张量分析在弹性力学中的应用

硕士研究生课程弹塑性力学II(C)第一讲绪论、张量分析简介同济大学地下建筑与工程系《弹性力学》，徐芝伦，高等教育出版社，2006v4《弹性力学》，杨桂通，高等教育出版社，1998《弹塑性力学引论》，杨桂通，清华大学出版社2004《塑性力学》，夏志皋，同济大学出版社，1991《塑性力学基础》，王仁等，科学出版社，1982《塑性力学基础》，北川浩，高等教育出版社，1982《岩土塑性力学原理》，郑颖人等，建筑工业出版社，2002相关书籍Timoshenko S.P, Goodier J N. Theory of elasticity. 3rd ed. New York: McGraw-Hill Book Co, 1970 (徐芝伦译)Chen W.F. Limit analysis and soil plasticity. 1975, New York: Elsevier Scientific Publishing Company;J. C. Simo, T. J. Hughes. Computational Inelasticity.1998,Springer.弹性力学部分目录§1.1弹性力学的任务、内容和方法§1.2弹性力学的基本假设§1.3弹性力学的发展简史§1.1弹性力学的任务、内容和方法•弹性力学，也称弹性理论，是固体力学学科的一个分支基本任务：解决构件的强度、刚度和稳定问题。

最大限度解决并统一经济与安全的矛盾。

研究对象：完全弹性体（包括构件、实体）。

主要研究内容：在外界因素（载荷或温度变化）作用下，弹性体的应力和变形问题。

•弹性是变形固体的基本属性。

弹性体是变形体的一种，它的特征为：在外力作用下物体变形，当外力不超过某一限度时，除去外力后物体即恢复原状。

绝对弹性体是不存在的。

物体在外力除去后的残余变形很小时，一般就把它当作弹性体处理。

•“完全弹性”是对弹性体变形的抽象。

河 北 水 利 电 力 学 院 学 报JournalofHebeiUniversityof WaterResourcesandElectricEngineering2021 年3 月第31卷第1期Mar2021Vol31 No1文章编号：2096 — 5680(2021)01 — 0075 — 06用张量分析方法推导含偶应力弹性力学有限元理论孙晓勇1 2 ,宋兴海2,侯娜娜12,付建航2,刘立悦1,2(1.河北省数据中心相变热管理技术创新中心，河北省沧州市重庆路1号061001；2.河北水利电力学院土木工程学院，河北省沧州市重庆路1号061001)摘要：经典弹性力学理论用位移梯度表示无限小变形，不考虑旋转变形，把微元体的旋转视为刚体旋转。

含偶应力弹性力学理论将旋转变形以旋转张量表示，微元体旋转和微元体平动位移同量级，而旋转张量和应变张量同量级，旋转张量与旋转矢量一一对应，用旋转矢量的梯度表示旋转变形。

含偶应力弹性力学理论本构关系包括应力-应变关系和偶应力-曲率张量关 系，用等参变换方法离散单元位移到节点上，从虚功原理出发，增加罚函数项以降低有限元方程对高阶单元的需求，推导了拟 解决三维及二维问题的含偶应力弹性线力学有限元理论，可得三维及二维问题中位移、应力、应变等分布情况，对结构进行力 学评价。

关键词：偶应力；旋转变形；旋转张量；张量分析中图分类号：O343文献标识码:A DOI ： 10. 16046/j. cnki. issn2096-5680. 2021. 01. 0151经典线弹性理论与考虑偶应力线弹 性理论在经典弹塑性力学理论中，物体内任意一点的 应力状态只和应变或应变的历史有关，其基本变量为位移，对位移求梯度得到应变张量,用位移梯度描述无限小的变形，然后再由一点的应变张量分析得 到应力张量［1］。

含偶应力的线弹性力学理论认为, 物体内任意一点的微元体，除有各个方向的位移外,还有本身的旋转变形，而这种旋转变形并非单纯的 以旋转角表达，而是用和应变张量一个量级的旋转张量来表示［］。

ρ()dx udydz x udydz ρ∂∂+ 2.10、张量分析在力学中的应用质量守恒定律将速度u 在直角坐标系中分解，沿,,x y z 轴上的分量为,,u v w 。

微元控制体m 在dt 时间内，沿x 轴方向流入的质量：udydzdt ρ流出的质量：()udydzdt udydz dxdt x ρρ∂+∂ 净流出质量：()u dxdydzdt xρ∂∂ 同样的，沿y 轴方向的净流出质量为()v dxdydzdt xρ∂∂ 沿z 轴方向的净流出质量为()w dxdydzdt xρ∂∂ 总净流出质量：u v w dxdydzdt x y z ρρρ⎛⎫∂∂∂++ ⎪∂∂∂⎝⎭在o t 时刻，控制体质量为：dxdydz ρ经过dt 时间后，质量为：()dxdydz dxdydz dt tρρ∂+∂ dt 时间内的质量减少量为：()dxdydz dt dxdydzdt t tρρ∂∂-=-∂∂ 质量守恒：u v w dxdydzdt dxdydzdt t xy z ρρρρ⎛⎫∂∂∂∂-=++ ⎪∂∂∂∂⎝⎭0u v w t x y z ρρρρ∂∂∂∂+++=∂∂∂∂ 令：123,,u u v u w u ===123,,x x y x z x === 则： 3121230u u u t x x x ρρρρ∂∂∂∂+++=∂∂∂∂ 310i i iu t x ρρ=∂∂+=∂∂∑ 约定求和：0i iu t x ρρ∂∂+=∂∂ 张量形式：()0u t ρρ∂+∇⋅=∂（可压缩） 0tρ∂=∂，00i u x ρ∂=→∇⋅=∂（不可压缩）动量定理流体运动所遵循的牛顿第二定律可表述为：流体的动量随时间的变化率等于作用在该流体上的诸外力的向量和:()d Mu F dt =微元控制体m 在dt 时间内，沿x 轴方向流入的动量：uudydzdt ρ流出的动量：()uudydzdt uudydz dxdt x ρρ∂+∂ 净流出动量：()uu dxdydzdt xρ∂∂ 同样，沿y 轴方向的净流出动量为()uv dxdydzdt xρ∂∂ 沿z 轴方向的净流出动量为()uw dxdydzdt xρ∂∂ 总净流出动量：uu vu wu dxdydzdt xy z ρρρ⎛⎫∂∂∂++ ⎪∂∂∂⎝⎭ 在o t 时刻，控制体动量为：udxdydz ρ经过dt 时间后，动量为：()udxdydz udxdydz dt tρρ∂+∂ dt 时间内的动量变化为：()u udxdydz dt dxdydzdt t tρρ∂∂=∂∂因此，dt 时间内微元体的动量变化量为：u uu vu wu dxdydzdt tx y z ρρρρ⎛⎫∂∂∂∂+++ ⎪∂∂∂∂⎝⎭ u u u v u w u u u u u v u w dxdydzdt t t x x y y z z ρρρρρρρρ⎛⎫∂∂∂∂∂∂∂∂+++++++ ⎪∂∂∂∂∂∂∂∂⎝⎭u v w u u u u u u v w dxdydzdt tx y z t x y z ρρρρρ⎡⎤⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂∂∂∂∂+++++++⎢⎥ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎣⎦由于连续性方程：0u v w t x y zρρρρ∂∂∂∂+++=∂∂∂∂得： 因此，dt 时间内微元体的动量变化率为：u u u u u v w dxdydz tx y z ρ⎛⎫∂∂∂∂+++ ⎪∂∂∂∂⎝⎭ 微元体受到的力为质量力（体积力）和表面力，微元体受到的质量力为Fdxdydz ρ，表面力：假定左x 面受到的力为x p dydz -，则x 右平面受到的力为()x x x x p dydz p p dydz dx p dydz dydzdx x x∂∂+=+∂∂，因此x 两面受到的合力为：x p dxdydz x ∂∂。

张量分析在弹性力学中的应用自然界的许多问题用数学语言来描述时都需要引入坐标系，但其本质又与坐标无关。

当有些自然规律用坐标形式表达后，由于复杂的方程式往往使得人们忽略了它的内在本质。

张量是一种特殊的数学表达形式，它描述的结果不会因为坐标系的变化而发生变化[1]，因此可以摆脱坐标系的影响，反应事物的本质。

此外通过爱因斯坦求和约定、相关记法的规定等常用的表示方法，使得张量的表达形式变得十分简洁。

弹性力学，又称弹性理论，主要是研究弹性体在外力和其它外界因素作用下产生的应力、形变和位移，广泛应用于建筑、机械、化工、航天等工程领域。

为了求得一定边界条件下物体的应力、应变和位移，先对构成物体的材料以及物体的变形作了五条基本假设，即：连续性假设、均匀性假设、各向同性假设、完全弹性假设和小变形假设，然后分别从问题的静力学、几何学和物理学方面出发，导得弹性力学的基本方程，即平衡微分方程、几何方程和本构方程，共15个方程[2]。

由于方程数目的众多，使得我们在分析过程中往往将大部分注意力集中在了方程的形式上，从而忽略问题的本质。

如果将张量引入到物体的应力、应变和位移中，关于弹性问题的15个方程都可以用相关的符号而不是展开式来表示，一方面可以使得书写简便，更重要的是可以将大部分注意力集中在物理原理上而不是方程本身，从而深化对问题的分析[3,4]。

由于表达简洁、不会改变方程式的本质，张量分析得到了广泛的应用。

黄勇对张量的概念做出了具体的分析[5]；林诚之利用张量的概念推导了形状比能的表达式[6]；赵超先[7]、黄晓琴[8]将张量应用于物理学中，利用应力张量对麦克斯韦磁场力进行了重新推导；明华军等利用监测得到的张量结果得到了岩体破裂面空间方位的计算方法[9]；杨天鸿等以现场岩体渗透结构面概率模型统计资料为依据，采用离散介质方法建立典型裂隙网络模型，提出计算岩体结构面网络的等效渗透系数张量方法[10]。

本文的目的并不是概述张量在工程中的应用，而是主要介绍张量在弹性力学中的应用，具体介绍弹性力学中基本方程的张量表达形式以及用张量概念推导的弹性应变能函数的表达式。

第27卷 第5期岩石力学与工程学报 V ol.27 No.52008年5月 Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering May ，2008收稿日期：2007–10–09；修回日期：2008–03–19基金项目：国家自然科学基金资助项目(50779030)；国防科工委资助项目(科工计[2007]838号)作者简介：卢应发(1964–)，男，博士，1986年毕业于西安交通大学工程力学系应用力学专业，2002年于法国里尔科技大学土木工程系获博士学位，层状地质材料弹性张量求解及应用卢应发，杨丽平，陈高峰，罗先启(三峡大学 三峡库区地质灾害教育部重点实验室，湖北 宜昌 443002)摘要：有效弹性张量的确定是土木工程研究者一个重要课题，正确决定宏观有效弹性张量往往是计算结果是否成功的关键。

现行主要流行的方法主要有：对弹性张量各元素采用简单体积平均法(方法一)、自洽法 (方法二)、Hashin-Strikman 法上限(方法三)和Hashin-Strikman 法下限(方法四)。

利用均匀化技术，在横观各向同性成层地质材料满足位移和应力相等的条件下，获得了宏观弹性张量的具体表达形式(方法五)。

在特殊条件下，该表达方程可以简化为自洽法和简单的体积平均法。

在实例和应用研究的基础上，对5种方法进行了对比分析。

研究结果表明，所提出的方法可以综合描述平行流模型和系列流模型，且弹性张量各组成部分上、下限值不是Hashin-Strikman上下限法所指定的范围，其下限应为自洽法的结果；除元素eff 1133C 外，其上限应为Hashin-Strikman 上限法结果。

这种研究对边坡、坝基等土木工程的计算和分析具有重要作用。

关键词：固体力学；横观各向同性地质材料；有效弹性张量；比较分析中图分类号：O 34 文献标识码：A 文章编号：1000–6915(2008)05–0922–09RESEARCH ON ELASTIC TENSOR RESOLUTION IN STRATIFIEDGEOMATERIAL AND ITS APPLICATIONLU Yingfa ，YANG Liping ，CHEN Gaofeng ，LUO Xianqi(Key Laboratory of Geological Hazards on Three Gorges Reservoir Area ，Ministry of Education ，China Three Gorges University ，Yichang ，Hubei 443002，China )Abstract ：The determination of effective elastic tensor is very important for civil engineering researchers ；and it is essential to calculate the effective elastic tensor in order to obtain the rational results. Four kinds of methods for current effective elastic tensor determination are shown ：volumetrical average method ，self-consist method ，Hashin-Strikman method(upper limit method) and Hashin-Strikman method(lower limit method) for every component in the effective elastic tensor. Based on the homogenization technology ，the formulae of macroscopic effective elastic tensor are obtained for stratified isotropic geomaterial under the condition that the displacement and stress are equal in the everywhere in the element. And the proposed equation can be simplified as the formulae of volumetrical average method and self-consist method under some special cases. The comparative analyses of five different methods are performed ；and the calculation results show the proposed method can describe the parallel flow model and series flow model. The upper-lower limit values of every component of effective elastic tensor are not determined by Hashin-Strikman method ；and the lower limit scope can be decided by self-consistmethod. However ，the upper limit scope can be determined by Hashin-Strikman method except eff 1133C . Theobtained results are very important for calculation and analysis of rock slope and dam foundation engineering.第27卷 第5期 卢应发，等. 层状地质材料弹性张量求解及应用 • 923 •Key words ：solid mechanics ；transversal isotropic geological material ；effective elastic tensor ；comparative analyses1 引 言在地质材料的计算分析过程中，一个主要任务之一就是如何计算弹性张量，许多学者[1～12]进行了长期的研究，取得了一定的研究成果。