0.1+弹性力学的基本方程和变分原理

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弹性力学的基本方程和变分原理

σ xx
( x,
y, z) +
∂σ xx
( x,
∂x
y, z)
dx +
∂
2σ
xx ( x,
2∂x2
y,
z
)
(
dx
)2
+
略去二阶以上微量，有
σ
xx
(x
+
dx,
y
)
=
σ
xx
(x,
y)
+Leabharlann ∂σxx (x,∂x
y
)
dx
故弹性体 V 域内任一点沿坐标轴 x, y, z 方向的平衡方程为
∂σ x ∂x
+
∂τ xy ∂y
(0.1.5)
其中 [A]是微分算子
∂
∂x
0
0
∂ ∂y
0
∂
∂z
[A]
=
0
∂ ∂y
0
∂∂ ∂x ∂z
0
0
0
∂ ∂z
0
∂ ∂y
∂
∂x
(0.1.6)
{F} 是体积力向量，{F} = Fx Fy Fz T
2. 几何方程——应变-位移关系设一个变形体微小体元的平面直角在变形前为 APB，而变形后为 A’P’B’，P 点变形到 P’点的
PA′ − PP′ − PA PA
=
P= A + AA′ − PP′ − PA
dx +
u
+
∂u ∂x
dx
−u
− dx
=
∂u
PA
dx
∂x
(2)定义 y 方向的相对伸长量为

选出弹性力学的三个基本方程

弹性力学三大基本方程第一个基本方程是平衡方程（3个方向）；第二个基本方程是物理方程或者本构方程（3个主方向➕3个剪切方向）；第三个基本方程是几何方程（3个主方向➕3个剪切方向）。

三个方程对应了三个基本规律：变形连续规律、应力-应变关系和运动(或平衡)规律，它们有时被称为弹性力学三大基本规律。

弹性力学中许多定理、公式和结论等，都可以从三大基本规律推导出来。

一、变形连续规律对应了几何方程。

弹性力学（和刚体的力学理论不同）考虑到物体的变形，但只限于考虑原来连续、变形后仍为连续的物体，在变形过程中，物体不产生新的不连续面。

如果物体中本来就有裂纹，则弹性力学只考虑裂纹不扩展的情况。

反映变形连续规律的数学方程有两类：一是几何方程，二是位移边界条件。

几何方程反映应变和位移的联系，它的力学含义是，应变完全由连续的位移所引起，在笛卡儿坐标系中，几何方程为：若所考虑的物体Q在其一部分边界B1上和另一物体Q1相连接，而且Q在B1上的位移为已知量，在B1上便有位移边界条件:二、应力-应变关系对应了物理方程或者本构方程。

弹性体中一点的应力状态和应变状态之间存在着一定的联系，这种联系与如何达到这种应力状态和应变状态的过程无关，即应力和应变之间存在一一对应的关系。

若应力和应变呈线性关系，这个关系便叫作广义胡克定律，各向同性材料的广义胡克定律有两种常用的数学形式：和式中为应力分量；λ和G为拉梅常数，G又称剪切模量；E为杨氏模量（或弹性模量）；v为泊松比（见材料的力学性能）。

λ、G、E和v四个常数之间存在下列联系：三、运动（或平衡）规律对应平衡方程。

处于运动（或平衡）状态的物体，其中任一部分都遵守力学中的运动（或平衡）规律，即牛顿运动三定律，反映这个规律的数学方程有两类：一是运动（或平衡）微分方程，二是载荷边界条件。

在笛卡儿坐标系中，运动（或平衡）微分方程为：对于均匀而且各向同性的物体，应力分量可按式（3a）用应变分量表示，而应变分量又可按式（1）用位移分量表示。

弹性力学基础知识

06
弹性力学的有限元法
有限元法的基本概念
有限元法是一种数值分析方法，通过将复杂的物理系统离散化为有限个简单元（或称为元素）的组合，来近似求解复杂的物理问题。
这些简单元在节点处相互连接，形成一个离散的系统，其行为可以通过物理定律和数学模型进行描述。
有限元法的核心思想是将连续的求解域离散化，将复杂的边界条件和应力状态转化为有限个单元的组合。
弹性力学基础知识
• 弹性力学概述 • 弹性力学的基本假设 • 弹性力学的基本方程 • 弹性力学的基本问题 • 弹性力学的能量原理与变分原理 • 弹性力学的有限元法
01
弹性力学概述
定义与特点
定义
弹性力学是一门研究弹性物体在外力作用下变形和内力的科学。
特点
弹性力学主要关注物体在受力后发生的变形，以及这种变形如何影响物体的内力和应力分布。
在声学领域，有限元法可以用于分析声音的传播、噪音的来源等。
THANKS
感谢观看
有限元法的求解步骤
单元分析
对每个单元进行受力分析，建立单元的刚度方程。
求解方程
使用数值方法（如直接法、迭代法等）求解整体刚度方程，得到节点的位移和应力。
分析模型建立
首先需要建立待分析系统的数学模型，包括对系统进行离散化、定义节点、建立方程等。
系统组装
将所有单元的刚度方程组装成整体的刚度方程，同时引入边界条件和载荷。
弹性力学的能量原理与变分原理
弹性力学的能量原理
总结词
弹性力学的能量原理是描述物体在外力作用下能量变化的重要理论，它为解决弹性力学问题提供了基础框架。
VS
详细描述
弹性力学的能量原理指出，一个弹性系统在外力作用下，其能量变化等于外力所做的功与物体形变所吸收的功之和。这个原理在解决弹性力学问题时非常有用，因为它可以将复杂的物理现象转化为数学上的能量平衡问题。

变分原理-0

3
则 c1122 = c2211 ， c1133 = c3311 ， c1123 = c2311 ， c1131 = c3111 ， c1112 = c1211 ， c2233 = c3322 ，
c2223 = c2322 ， c2231 = c3122 ， c2212 = c1222 ， c3323 = c2333 ， c3331 = c3133 ， c3312 = c1233 ， c2312 = c1223 ， c3112 = c1231 ，共计 15 个等式。因此有 36-15=21 个独立的弹性常数。或者 (6+1)6/2=21
(01)可以求解，得到位移 ui 。
应变协调条件：
2 2 ∂ 2 ε x ∂ ε y ∂ γ xy + 2 = ∂x∂y ∂y 2 ∂x
∂ 2ε y ∂z 2
2 ∂ 2 ε z ∂ γ yz + 2 = ∂y∂z ∂y
∂ 2 ε z ∂ 2 ε x ∂ 2γ zx + 2 = ∂z ∂x ∂x 2 ∂z 2 ∂ εx ∂ ⎛ ∂γ xy ∂γ zx ∂γ yz ⎞ 2 = ⎜ + − ⎟ ∂y∂z ∂x ⎝ ∂z ∂y ∂x ⎠ ∂ 2ε y ∂ ⎛ ∂γ yz ∂γ xy ∂γ zx ⎞ 2 = ⎜ + − ⎟ ∂z ∂x ∂y ⎝ ∂x ∂z ∂y ⎠ ∂γ yz ∂γ xy ⎞ ∂ 2ε z ∂ ⎛ ∂γ 2 = ⎜ zx + − ⎟ ∂x∂y ∂z ⎝ ∂y ∂x ∂z ⎠
(026)
ε ij ,kl + ε kl ,ij − ε ik , jl − ε jl ,ik = 0 .
(027)
三、边界条件
弹性体的边界为)，分为)1 和)2 两部分，) = )1»)2，)1…)2= 0。位移边界条件：

弹性力学的变分原理

(
f y '
)
0
f
y '
xa 0
f y '
xb 0
( •)
（•）称为自然边界条件
自变函数事先满足旳边界条件称为本质边界条件。实例
本章学习要点：建立力学概念
本章包括了非常多旳力学概念，这些概念是有限元及其他力学分支中普遍用到旳，需对其内涵有一定了解
公式推导较多、较繁，但
公式旳推导、证明过程了解思绪即可
注意到：
( y) y(x) y(x)
与(*)式比较，可见：
( y) (y)'
即：
（ddyx） ddx（y）
结论：导数旳变分等于变分旳导数，或变分
记号与求导记号能够互换。
三、泛函旳变分
一般情况下，泛函可写为：
b
I a f (x, y, y)dx
1、按照泰勒级数展开法则，被积函数 f 旳增量能够写成
vε vc ijij
对于线弹性体
vε
vc
1 2
ijij
允许位移
允许应变
允许应力
虚位移
虚应变
虚应力
§11-3 广义虚功原理
虚
虚
功
位
应
互
移
力
等
原
原
原
理
理
理
§11-3 广义虚功原理
一、真实位移、真实应力和真实应变
ui 真实位移，满足：
ij
1 2
(ui,
j
u j,i )
j
u
k j ,i
)
uik ui
x V x Su
k ij

弹性力学的变分原理和应用

弹性力学的变分原理和应用1. 弹性力学的基本原理•弹性力学是研究物体在受力后发生形变，但受力取消后又能恢复原状的力学学科。

•弹性力学的基本原理包括胡克定律、平衡条件和应变能最小原理。

1.1 胡克定律•胡克定律是描述弹性体材料内部应力和应变之间关系的基本规律。

•胡克定律表述为应力与应变之间成正比，且比例系数为弹性模量。

•弹性模量是衡量材料弹性性能的物理参数，常见的有杨氏模量、剪切模量等。

1.2 平衡条件•在弹性力学中，物体达到平衡时需要满足平衡条件。

•平衡条件包括力的平衡条件和力矩的平衡条件。

力的平衡条件要求合外力为零，力矩的平衡条件要求合外力矩为零。

1.3 应变能最小原理•应变能最小原理是变分法在弹性力学中的应用。

•应变能是描述物体变形程度的物理量，应变能最小原理认为在给定边界条件下，物体的平衡状态对应的应变能应该是极小值。

2. 弹性力学的变分原理•变分原理是弹性力学中一种重要的数学方法，用于研究力学系统的平衡和稳定性。

•弹性力学的变分原理主要有广义虚功原理和最小势能原理。

2.1 广义虚功原理•广义虚功原理是描述连续介质力学中变形对象平衡状态的数学表述。

•广义虚功原理要求在满足平衡条件的情况下，任意变形状态与原始状态之间的虚功总和等于零。

•广义虚功原理能够推导出弹性力学的基本方程，如平衡方程和边界条件。

2.2 最小势能原理•最小势能原理是应变能最小原理在弹性力学中的具体应用。

•最小势能原理认为在给定边界条件下，力学系统的平衡状态对应的势能应该是极小值。

•最小势能原理可以通过变分法推导出与广义虚功原理等价的弹性力学方程。

3. 弹性力学的应用•弹性力学在工程和科学研究中有广泛的应用，以下列举其中一些应用领域。

3.1 结构力学•弹性力学在结构力学领域中应用广泛，用于探索材料的力学性能和结构的稳定性。

•结构力学涉及材料的弹性性质、刚度、变形和应力分布等问题，借助弹性力学的原理可以进行合理的设计和分析。

3.2 地质力学•地质力学研究地球内部岩石和土壤的力学性质及其变形行为。

第二章：弹性力学基本理论及变分原理

第二章弹性力学基本理论及变分原理弹性力学是固体力学的一个分支。

它研究弹性体在外力或其他因素（如温度变化）作用下产生的应力、应变和位移，并为各种结构或其构件的强度、刚度和稳定性等的计算提供必要的理论基础和计算方法。

本章将介绍弹性力学的基本方程及有关的变分原理。

§2.1小位移变形弹性力学的基本方程和变分原理在结构数值分析中，经常用到弹性力学中的定解问题及与之等效的变分原理。

现将它们连同相应的矩阵形式的张量表达式综合引述于后，详细推导可参阅有关的书籍。

§2.1.1弹性力学的基本方程的矩阵形式弹性体在载荷作用下，体内任意一点的应力状态可由6个应力分量表示，它们的矩阵表示称为应力列阵或应力向量111213141516222324252633343536444546555666x x y y z z xy xy yz yz zx zx D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D σεσεσετγτγτγ⎧⎫⎡⎤⎧⎫⎪⎪⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎪⎪=⎢⎥⎨⎬⎨⎬⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎩⎭⎣⎦⎩⎭ (2.1.1) 弹性体在载荷作用下，将产生位移和变形，弹性体内任意一点位移可用3个位移分量表示，它们的矩阵形式为[]T u u v u v w w ⎧⎫⎪⎪==⎨⎬⎪⎪⎩⎭(2.1.2)弹性体内任意一点的应变，可由6个应变分量表示，应变的矩阵形式为x y Tz xy z xy yz zx xy yz zx εεεσεεεγγγγγγ⎧⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎡⎤==⎨⎬⎣⎦⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎭(2.1.3)对于三维问题，弹性力学的基本方程可写成如下形式 1 平衡方程0xy x zx x f x y z τστ∂∂∂+++=∂∂∂ 0xy y zy y f xyzτστ∂∂∂+++=∂∂∂0yz zx zz f x y zττσ∂∂∂+++=∂∂∂ x f 、y f 和z f 为单位体积的体积力在x 、y 、z 方向的分量。

弹性力学—第五章—变分法

弹性体的形变势能
弹性体的形变势能
由上式可知，弹性体的形变势能大于等于零，试证明之。
弹性体的外力势能
外力所做的功称为外力功：
体力
面力作用面
面力
由于外力做了功，因此消耗了外力势能，则弹性体的外力势能为：
位移变分方程
现在我们来考察，由于弹性体发生了虚位移和引起的外力功，外力势能和形变势能的改变：，所
瑞利 - 里茨法（ J.W. Rayleigh ， 1842-1919 ，英国 ; W. Ritz ， 1878-1909，瑞士。)
位移变分法例题（a-1）
设有宽度为 a 高度为 b 的矩形薄板，在左边受连杆支撑，在右边及上边分别受有均布压力q1及q2，不计体力，试求薄板的位移。
位移变分法（2）
Am，Bm为互不依赖的2m个待定系数，用反映位移的变化，即位移的变分是由Am，Bm的变分来实现：
形变势能的变分：
位移变分法（3）
代入位移变分方程：
按每个系数的变分合并：
位移变分法（4）
由于形变势能U是Am，Bm的二次函数，故上式是各系数的一次方程。又因为各系数是互不依赖的，因此由上式可确定各系数。不多的Am，Bm可以求得较精确的位移值，但应力却很不精确。
虚功方程
如果在虚位移发生之前，弹性体处于平衡状态，那么在虚位移过程中，外力在虚位移上所做的功就等于应力在虚应变上所做的虚功。
位移变分方程（或极小势能原理，或虚功方程）等价于平衡微分方程和应力边界条件，或者说可以代替平衡微分方程和应力边界条件。
练习
已知右图中杆件中的纵向位移u 与横向向位移v之间的关系如下： y x l
增量
称为函数
的变分。

弹性力学的基本方程

弹性力学的基本方程引言：弹性力学是研究物体在受力作用下的形变和应力分布规律的一门学科。

作为物理学和工程学的重要组成部分，弹性力学在众多领域中扮演着重要角色。

一、背景介绍弹性力学的研究对象是弹性体，它是指在外力作用下能够发生可逆形变的物质。

而这种可逆形变与外力的大小和形状是密切相关的。

二、应变与应力的关系在弹性力学中，应变是指物体在外力作用下发生的形变。

应变可以分为线性应变和非线性应变。

而应力则是物体单位面积上的力，它与应变密切相关。

弹性力学的基本原理之一是胡克定律，它表明应力与应变成正比。

三、弹性力学的基本方程弹性力学的基本方程是描述物体在弹性形变下的运动和力学性质的数学方程。

其中最基本的方程是平衡方程和弹性本构方程。

1. 平衡方程平衡方程是根据牛顿第二定律推导出来的，它描述了物体在力的作用下的平衡状态。

根据平衡方程，物体所受的外力与物体的质量和加速度之间存在着等式关系。

在弹性力学中，平衡方程包括了动力学平衡方程和力学平衡方程。

2. 弹性本构方程弹性本构方程描述了应力与应变之间的关系。

由于弹性体的应力与应变呈线性关系，因此可以用弹性模量来表示。

最常见的弹性本构方程是胡克定律，它表明应力与应变成正比，在各向同性的弹性体中，胡克定律可以表示为：σ = Eε其中，σ表示应力，E代表弹性模量，ε表示应变。

弹性本构方程的具体形式可以根据材料的性质和应变分布进行推导和求解。

四、应用与发展弹性力学理论不仅在工程领域中有着广泛应用，还在石油勘探、地震学、生物力学等领域发挥着重要作用。

它的应用不仅仅局限于弹性材料的研究，还可以用于推断地壳的应力状态、预测地震的发生等。

随着科学技术的不断发展，弹性力学理论也在不断完善和拓展，为实际问题的解决提供了重要的理论支持。

结语：弹性力学作为一门重要的学科，通过建立和研究各种力学方程，揭示了弹性体变形和应力分布的规律。

它不仅在工程领域有着广泛应用，还涉及到地震学、生物力学等多个领域。

弹性力学原理

弹性力学原理引言：弹性力学原理是工程力学的一个重要分支，研究材料在外力作用下的弹性变形和应力分布规律。

本文将探讨弹性力学原理的基本概念、公式和应用，以及一些实际工程中常见的弹性力学问题。

1. 弹性力学基本概念1.1 应力和应变弹性力学研究的核心概念是应力和应变。

应力是单位面积上的内力，表示材料受力状态的强度和方向。

应变是单位长度上的变形量，表示材料受到外力作用后的形变程度。

1.2 弹性恢复弹性力学的基本原则是材料在外力作用下会发生弹性变形，即承受外力后会产生形变，但在作用力消失后会完全恢复到原来的状态。

这个特性使得弹性材料非常适合许多工程应用。

2. 弹性力学公式2.1 长度变化和应力关系弹性力学公式中最基本的是胡克定律，它描述了材料在拉伸等均匀变形情况下的应力和应变之间的关系。

胡克定律可以用公式表示为σ = Eε，其中σ是应力，E是弹性模量，ε是应变。

2.2 弯曲弹性力学在弯曲问题中，弹性力学公式需要考虑横截面的形状和材料的性质。

弯曲弹性力学在结构设计中起着重要的作用，可以用公式M = EIθ 表示，其中M是弯矩，E是弹性模量，I是截面惯性矩，θ是单位长度的转角。

3. 弹性力学应用3.1 结构设计弹性力学原理在结构设计中有广泛的应用，可以通过计算应力和应变来确定材料的安全强度和结构的合理性。

例如，根据桥梁的设计要求和材料的性质，可以计算出合适的截面尺寸和材料类型，以确保桥梁在负荷下不会发生过度的弯曲或破坏。

3.2 材料研究弹性力学原理在材料研究中也起着重要的作用。

通过测量材料的应变和应力，可以获得材料的弹性性质和力学特性。

这些信息可以用于开发新的材料或改进现有材料的性能。

3.3 软件模拟随着计算机技术的发展，弹性力学原理被应用于软件模拟和计算机辅助设计。

通过建立弹性力学模型，可以在计算机上模拟各种力学行为，并进行虚拟测试和分析。

这些技术在工程设计和产品开发中起到了关键作用。

结论：弹性力学原理是工程力学领域中的核心内容，研究材料在外力作用下的弹性变形和应力分布规律。

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故弹性体 V 域内任一点沿坐标轴 x , y , z 方向的平衡方程为
∂σ x ∂τ xy ∂τ xz 0 + + + Fx = ∂x ∂y ∂z ∂τ yx ∂x + ∂σ y ∂y + ∂τ yz ∂z 0 + Fy =
(0.1.4)
∂τ zx ∂τ zy ∂σ z 0 + + + Fz = ∂x ∂y ∂z
(0.1.12)
λ + 2G =
物理方程中的弹性矩阵[D]亦可表示为
(0.1.13)
0 0 0 λ λ λ + 2G λ 0 0 0 λ + 2G λ λ λ λ + 2G 0 0 0 0 [ D] = 0 0 G 0 0 0 0 0 0 0 G 0 0 0 0 0 G 0
0.1 弹性力学的基本方程
在有限单元法中经常要用到弹性力学的基本方程和与之等效的变分原理，现将它们连同相应的矩阵表达形式和张量表达形式综合引述于后。关于它们的详细推导可从弹性力学的有关教材中查到。弹性体的基本假设为突出所处理问题的实质，并使问题得以简单化和抽象化，在弹性力学中，提出以下五个基本假定。 (1)物体内的物质连续性(continuity)假定，即认为物质中无空隙，因此可采用连续函数来描述对象。 (2)物体内的物质均匀性(homogeneity)假定，即认为物体内各个位置的物质具有相同特性，因此，各个位置材料的描述是相同的。 (3)物体内的物质(力学)特性各向同性(isotropy)假定，即认为物体内同一位置的物质在各个方向上具有相同特性，因此，同一位置材料在各个方向上的描述是相同的。 (4)线弹性(1inear elasticity)假定，即物体变形与外力作用的关系是线性的，外力去除后，物体可恢复原状，因此，描述材料性质的方程是线性方程。 (5)小变形(small deformation)假定，即物体变形远小于物体的几何尺寸，因此在建立方程时，可以忽略高阶小量(二阶以上)。以上基本假定和真实情况虽然有一定的差别，但从宏观尺度上来看，特别是对于工程问题，大多数情况下还是比较接近实际的。以上几个假定的最大作用就是可以对复杂的对象进行简化处理，以抓住问题的实质。弹性体在载荷作用下，还将产生位移和变形，即弹性体位置的移动和形状的改变。
(0.1.14)
{ε } = [C ]{σ }
其中柔度矩阵和弹性矩阵是互逆关系，即， [C ] = [D ] 。
−1
(0.1.15)
弹性体 V 的全部边界为 S。一部分边界上已知外力 px , p y , pz 称为力的边界条件，这部分边界用
S σ 表示；另一部分边界上弹性体的位移 u , v , w 已知，称为几何边界条件或位移边界条件，这部分边
τ xy = τ yz =
E γ xy 2(1 + µ ) E γ yz 2(1 + µ ) E γ zx 2(1 + µ )
τ zx =
6
应力通过应变的表达式可用矩阵形式表示：
{σ } = [D]{ε }
其中
(0.1.10b)
1 µ 1 − µ µ 1 − µ E (1 − µ ) [D] = (1 + µ )(1 − 2µ ) 0 0 0
0 ∂ ∂z ∂ ∂y
∂ ∂z 0 ∂ ∂x
(0.1.6)
{F } 是体积力向量， {F } = Fx Fy Fz
2.
T
几何方程——应变-位移关系设一个变形体微小体元的平面直角在变形前为 APB，而变形后为 A’P’B’ ，P 点变形到 P’点的 x 方向位移为 u，y 方向位移为 v，如下图 0.1.4 所示。
5
εz =
τ τ 1 σ z − µ (σ y + σ x ) ， γ xy = xy ， γ yz = yz ， G G E
γ zx =
τ zx
G
(0.1.10a)
以矩阵形式表示：
{ε } = [C ] ⋅ {σ }
其中 [C ] 是柔性矩阵。
1 E µ − E − µ E [C ] = 0 0 0
T
(0.1.2)
称为应变列阵或应变向量。在外力作用下，弹性体内将产生应力，任意一点的应力状态可由 6 个应力分量
σ x ,σ y ,σ z ,τ xy ,τ yz ,τ zx 来表示。其中 σ x ,σ y ,σ z 为正应力；τ xy ,τ yz ,τ zx 为剪应力。应力分量的正负号
规定如下：如果某一个面的外法线方向与坐标轴的正方向一致，这个面上的应力分量就以沿坐标轴正方向为正，与坐标轴反向为负；相反，如果某一个面的外法线方向与坐标轴的负方向一致，这个面上的应力分量就以沿坐标轴负方向为正，与坐标轴同向为负。应力分量及其正方向见图 0.1.1。应力分量的矩阵表示称为应力列阵或应力向量。
7
界用 S u 表示。这两部分边界构成弹性体的全部边界，即
Sσ + S u = S
(0.1.16)
Fig.0.1.5 物体的边界
4．力的边界条件弹性体在边界上单位面积的内力为 Tx ,T y ,Tz ，在边界 S σ 上已知弹性体单位面积上作用的面积力为 px , p y , pz ，根据平衡应有
σ x σ y σ z T σ x σ y σ z τ xy τ yz τ zx {σ } = = τ xy τ yz τ zx
(0.1.3)
2
图 0.1.3 应力分量对于三维问题，以下建立基于弹性理论的基本方程。 1. 平衡方程由 x，y，z 三方向的力平衡可推出微分形式的平衡方程。在推导平衡方程时不同位置截面上的应力将由于几何位置的差别 dx，dy，dz 而有所不同，以 Taylor 级数展开后，可写为
= Tx p = Ty p = Tz pz x, y,
(0.1.17)
图 0.1.6 设边界外法线为 N，其方向余弦为 n x , n y , n z ， n x = cos(n , x ) ， n y = cos(n , y ) ， nz = cos ( n, z ) ，且
2 2 nx + ny + n z2 = 1 则边界上弹性体的内力可由下式确定
(2)定义 y 方向的相对伸长量为
= εy
(3)定义夹角的变化 P'A’线与 PA 线的夹角为
P′B′ − PB ∂v = ∂y PB
4
∂v v + dx − v ∂x α ≈ tgα ≈ = P′A′
P'B’线与 PB 线的夹角为
∂v ∂v dx dx ∂v ∂x ∂x = = ∂u ∂u dx + u + dx − u dx + dx ∂x ∂x ∂x
(0.1.11)
称为弹性矩阵。它完全取决于弹性体材料的弹性模量 E 和泊桑比ν 。表征弹性体的弹性，也可以采用剪切弹性模量 G 和拉梅(Lam'e)常数 λ ：
G=
注意到
E ， 2 (1 + µ )
λ=
Eµ (1 + µ )(1 − 2µ )
E (1 − µ ) (1 + µ )(1 − 2µ )
其中 Fx , Fy , Fz 为单位体积的体积力在 x , y , z 方向的分量。平衡方程的矩阵形式为
0 [ A]{σ } + {F } =
(0.1.5)
3
其中 [ A] 是微分算子
∂ ∂x [A] = 0 0
0 ∂ ∂y 0
0 0 ∂ ∂z
∂ ∂y ∂ ∂x 0
u = v {u} = w
称作位移列阵或位移向量。
[u
v w]
T
(0.1.1)
弹性体内任意一点的应变，可以由 6 个应变分量 ε x ,ε y ,ε z ,γ xy ,γ yz ,γ zx 来表示。其中 ε x ,ε y ,ε z 为正应变； γ xy ,γ yz ,γ zx 为剪应变。应变的正负号与应力的正负号相对应，即应变以伸长时为正，缩短为负；剪应变是以两个沿坐标轴正方向的线段组成的直角变小为正，反之为负。图 0.1.2 的(a)， (b)
p
sp
Z Y z x y X
Ω
变量: 1、位移 2、应变 3、应力基本方程：1、平衡方程 2、几何方程 3、物理方程边界条件：1、力边界 2、位移边界
su
∂Ω = su + s p
图 0.1.1 弹性体内任一点的位移可由沿直角坐标轴方向的 3 个位移分量 u , v , w 来表示。它的矩阵形式是
0.1.4 平面问题中的变形表达从图 0.1.3 可以看出，平面物体在受力后，其几何形状的改变主要在两个方面：沿各个方向上的长度变化以及夹角的变化，下面给出具体的描述。 (1) 定义 x 方向的相对伸长量为
P′A′ − PA PA′ − PP′ − PA = PA PA ∂u dx + u + dx − u − dx PA + AA′ − PP′ − PA ∂u ∂ x = = = ∂x PA dx = εx
0 ∂ ∂y 0 ∂ ∂x ∂ ∂z 0
0 0 ∂ ∂z T = [ A] 0 ∂ ∂y ∂ ∂x
(0.1.9)
对于各向同性的线弹性材料，用应力表示的本构方程
εx =
1 σ x − µ (σ y + σ z ) ， E
εy =
1 σ y − µ (σ x + σ z ) E
∂u u + ∂y dy − u ∂u β = = dy ∂y