氢原子结构薛定谔方程解30页PPT

ml = -1
Wnl (r ) R 2 r 2 dr
0.6
Wn l (r) ~ r 的函数关系
[n，l]
0.5 0.4
[1，0]
峰值数： n – 个
Wn l(r)
0.3 0.2 0.1
[2，0] [3，0] [4，0]
0
3
6
9
12
15
18
21
24
27
30
33
36
r / r1
Wn l (r) ~ r 的函数关系
* 对于是一常量，表明电子的 空间概率分布与 无关，
即相对于z轴对称。
2
2表示电子的概率分布与的关系,计算表明与l和ml 有关
z
Z
y
y
x
x
l 0 , ml 0
z
z
y

x
l 1, ml 0
l 1, ml 1
ml = +2
ml = +1
ml = 0
=2
ml = -2
15-10 电子的磁矩 原子的壳层结构
1896年塞曼发现光谱线在外磁场中分裂的现象 ----塞曼效应
一、电子的轨道磁矩 1.角动量和磁矩的关系
按玻尔模型
B z Lz i r
●
ev evr 2 IS πr 2r 2
v
eL
L
e L 2me
e L 2me
对应某个轨道量子数为l的能级，有 轨道状态：
2l 1个不同的 2l 1
无外磁场时这些状态的能量相同，是简并的， 有外磁场时简并消失，原来一个能级分裂成 个能级，相邻两能级能量差为

为了求解波动方程的方便，可先将氢原子（或类氢离子）波动方程 整理为：
ħ2 2m
1 r2
[ ∂∂r
(r2
∂ ∂r
)ψ] +
+
si1nθ[
∂ ∂θ
(sinθ∂∂θ )ψ] +
1 ∂2 + [ sin2θ∂φ2 ψ]
+（
Ze2 r
+
E）ψ=
0
根据变量分离原理，令：
ψ(r,θ,φ) = R(r) Y(θ,φ）= R(r) Θ(θ〕Φ(φ)
z
在研究氢原子或类氢离子中电子的运动时，可
把原子核近似地看成相对固定不动，把原子核选作
坐标系的原点。
+
-e y
2.动能
T（e） >> T（p）
电子的 动能
原子核的 动能
x
电子对核的相对运动
经典物理学的动能
Ek =
1 2
mv2
电子的运动“速度”>>核的运 动“速度”。
3.势能 若把氢原子中的核近似地看成相对固定不动，并把原子核选作坐标系的
1 sinθ
[
∂ ∂θ
(sinθ
∂∂θ)Y
]
+
[
1 sin2θ
∂2 ∂φ2
Y
]
由于 r、θ、φ三个均为独立变量，要使方程成立，方程两端必须等于 某一常量。
设此常量为β，则有：
1 R
[
d dr
(r2
d dr
)
R]
2mr2 Ze2 + ħ2（ r +
E）=
β
1 Y
si1nθ[
∂∂θ(sinθ

氢原子的薛定谔方程在量子力学中，薛定谔方程是描述微观粒子运动的基本方程之一。

对于氢原子来说，薛定谔方程起着至关重要的作用，它能够描述氢原子中电子的运动状态和能级分布，为我们理解氢原子的结构和性质提供了重要依据。

氢原子由一个质子和一个围绕质子运动的电子组成。

在薛定谔方程中，波函数描述了电子的运动状态，包括位置和动量等信息。

通过求解薛定谔方程，我们可以得到氢原子中电子的能级和波函数，从而揭示出氢原子的量子性质。

薛定谔方程的解可以分解为径向部分和角向部分，分别描述了电子在氢原子中径向和角向的运动。

径向部分的解决定了氢原子中电子的轨道半径和能级，而角向部分则描述了电子在轨道上的运动方式。

通过这两部分的解，我们可以全面了解氢原子中电子的运动规律。

薛定谔方程的一个重要应用是计算氢原子的能级结构。

通过求解薛定谔方程，我们可以得到氢原子中不同能级的能量和波函数。

这些能级决定了氢原子的光谱线，可以用来解释氢原子在不同波长下的吸收和发射现象。

因此，薛定谔方程的解不仅可以帮助我们理解氢原子的内部结构，还可以解释氢原子的光谱特性。

除了氢原子外，薛定谔方程还可以应用于其他原子和分子系统的研究。

通过对薛定谔方程的求解，我们可以得到不同原子和分子系统的波函数和能级，从而揭示它们的量子性质和相互作用规律。

这为我们研究原子和分子的结构、性质和反应机制提供了重要的理论基础。

总的来说，薛定谔方程是量子力学中的重要方程之一，对于理解氢原子和其他微观粒子系统的性质和行为具有重要意义。

通过求解薛定谔方程，我们可以揭示微观世界的奥秘，探索物质世界的微观规律，为科学技术的发展提供重要支持。

希望未来能有更多科学家通过对薛定谔方程的研究，揭示出更多微观世界的奥秘，推动人类对自然界的认识和探索。

氢原子薛定谔方程一、薛定谔方程1.定态薛定谔方程波函数所满足的微分方程：记哈密顿算符分离变量即，代入式得两边同时除以，令则有将时间和空间部分合并，薛定谔方程的解可以表示成：上式称为薛定谔方程的本征解，为哈密顿算符的本征函数，为能量本征值。

2.氢原子的定态薛定谔方程氢原子有质量较大的质子，通过正负电荷的相互吸引作用，束缚着一个质量很小带负电−e的电子绕其运动。

由库仑定律,势能为（SI单位），所以势函数为将式子代入定态薛定谔方程得到其中Z为核电荷数，r为电子与质子之间的距离，m为电子质量（忽略原子核的动能），式也称为库仑力场下定态薛定谔方程。

时，为氢原子的薛定谔方程。

二、球坐标下分离变数在球坐标下有拉普拉斯算符：则氢原子薛定谔方程为分离变数乘遍各项，并做适当移项左边是r的函数，右边是θ和φ的函数，我们通常有下面设法分解为两个方程角向分布的方程径向分布的方程进一步分离变数代入球函数方程得乘遍各项并适当移项得左边是的函数，右边是的函数，令此等式等于一常数分解为两个常微分方程：综上氢原子薛定谔方程可以分解为下面三个方程角向分布方程径向分布方程其中。

式与“自然的周期条件”构成本征值问题，解得这里可以采用更为简介等价的解的形式对进行归一化处理得到为磁量子数将代入到式并进行一定处理得连带勒让德方程令，将自变量变为得到此方程和自然边界条件有限构成本征值问题，本征值为，本征函数为，由梁老师的数学物理方法[2]可以得出本征解为综合角向解求得的归一化系数为归一化的解是缔合勒让德函数，也成为球谐函数。

1)l
前几个球谐函数表达式：
Y0,0
1
4
Y1,0
3 cos 4
Y1,1
3 sin ei 8
Y2,0
5 (3cos2 1) 16
上面分别是当l 0, m 0;l 1, m 0;l 1, m 1; 和l 1, m -1时的表示式。
(l m )!(2l 1)
Nlm 4 (l m )! 是归一化常数。
其中 Plm (cos ) 是关联勒让德多项式，
m
Pl m (cos ) (1 cos2 ) 2
dm
d cos m
Pl (cos )
其中Pl
(cos )
1 dl
2l l ! d cos l
(cos2
a0
R2,0
(r
)

(1 2a0
)
3 2
(2

r a0

)e
r
2a0
R2,1 (r )

(
1
3
)2
2a0
r a0
e r 2a0 3
a0为玻尔半径
角分布函数：
Y0,0
1
4
Y1,1
3 sin ei 8
Y1,0
3 cos 4
Y2,0
5 (3cos2 1) 16
m 0, 1, 2, 3 l
三、径向波函数 R(r) ,及能级和角动量的量子化：
R(r) 与n,l有关， 前几个径向波函数表达式：
R10 (r)


1 a0
3
2
r
2e a0
R20 (r)

3）、 m e 近似： 电子和核实际上是绕原子的质量中心运动，这种内部 运动的动能全部是转动能。若核不动，且为坐标原点，则 有： 2 2 Ze 2 Mm H Hamilton算符： 4 0 r M m 2
由于 m ，则折合质量 m M 直角坐标表示的薛定谔方程
第六节
氢原子与类氢离子的定 态薛定谔方程
公元前五世纪，希腊科学 家德谟克利特等人认为：万物 都是由大量的不可分割的微粒 构成， 形成了欧洲最早的朴 素唯物主义的原子论。
Δημόκριτος
19世纪初，英国科学家道尔顿提 出原子学说，认为化学元素由不可分 的微粒原子构成，它在一切化学变化 中是不可再分的最小单位；同种元素 的原子性质和质量都相同，不同元素 原子的性质和质量各不相同，原子质 量是元素基本特征之一；不同元素化 合时，原子以简单整数比结合。
类氢离子：
r
e
ze
2、采取的近似.
1）、非相对论近似 光总是必须用相对论处理，但速度不太高的电子可 用非相对论处理 电子总是具有 c 和非零的静质量 me 2）、近似 (Born Oppenheimer)定核近似 思想依据：由于 M 核 me 所以 e N ,借用经 典方法，在电子运动数周时间内原子核的空所间坐标几 乎改变，即可忽略掉核动能。
3、球极坐标
Z
z

r
y
0
x
X

Y
二、单电子原子体系的Schrö dinger方程的变数分离
三、Φ方程的解及磁量子数
四、Θ方程的解及角量子数l
五、R方程的解及主量子数n
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
六、解的综合：
JohnDalton

例1 氢原子处在n=3时有多少个不同的状态？在 不考虑电子自旋的情况下，写出状态的量子态， 考虑到自旋后重新回答上述问题。 解 n=3, l=0,1,2 不考虑自旋氢原子的量子态 3,0,0 3,1,0 3,2,0 l=0, ml=0 3,1,-1 3,2,1 3,2,-1 l=1, ml=0,1,-1 3,1,1 3,2,2 3,2,-2 l=2, ml=0,1,2,-1,-2
太原理工大学物理系
小结:
四个量子数:描述氢原子中电子运动状态的四个参数 1.主量子数n=1,2,3,…… 确定电子能量的主要部分
2.角量子数l=0,1,2,…n-1 确定 的值 (n给定) 决定电子能量的次要部分 3.磁量子数ml=0,±1,±2,…±l
(l给定, ml共2 l+1个值)
确定L在外磁场方向 分量 的值
4.自旋磁量子数ms=±1/2 确定S在外磁场方向 分量 S z 太原理工大学物理系
ms 的值
氢原子核外电子的状态可由 n, l, ml , ms 四个量子数来共同确定。
练例1，
练
太原理工大学物理系
练
练例2，
太原理工大学物理系
例 氢原子处在n=3时有多少个不同的状态？在不 考虑电子自旋的情况下，写出状态的量子态，考 虑到自旋后重新回答上述问题。 解 n=3, l=0,1,2 不考虑自旋氢原子的量子态 3,0,0 3,1,0 3,2,0 l=0, ml=0 3,1,-1 3,2,1 3,2,-1 l=1, ml=0,1,-1 3,1,1 3,2,2 l=2, ml=0,1,2,-1,-2 3,2,-2
太原理工大学物理系
例2 画出n=4,l=2时电子轨道运动空间量子化情形. 解： 按题意n=4 ,l可取0,1,2,3四个值.取l=2 LZ

薛定谔方程求解氢原子
氢原子的薛定谔方程为：（−h¯22m∇2+V）ψ=Eψ（−h28π2m∇2−Ze24πε0r）ψ=Eψ。

薛定谔方程（Schrödinger equation），又称薛定谔波动方程（Schrodinger wave equation），是由奥地利物理学家薛定谔提出的量子力学中的一个基本方程，也是量子力学的一个基本假定。

它是将物质波的概念和波动方程相结合建立的二阶偏微分方程，可描述微观粒子的运动，每个微观系统都有一个相应的薛定谔方程式，通过解方程可得到波函数的具体形式以及对应的能量，从而了解微观系统的性质。

在量子力学中，粒子以概率的方式出现，具有不确定性，宏观尺度下失效可忽略不计。

薛定谔方程（Schrodinger equation）在量子力学中，体系的状态不能用力学量（例如x）的值来确定，而是要用力学量的函数Ψ（x，t），即波函数（又称概率幅，态函数）来确定。

力学量取值的概率分布如何，这个分布随时间如何变化，这些问题都可以通过求解波函数的薛定谔方程得到解答。

这个方程是奥地利物理学家薛定谔于1926年提出的，它是量子力学最基本的方程之一。

平均效果为零。所以对外起作用的是 j ，常把它称为电子
的总磁矩。
j


j
j
j e ( j s) j
j 2m
j
j j


e 2m
(1

s j
j
2
)
j
j s s j 1 j 2 s 2 2 2
单电子原子总磁矩（有效磁矩）:
j

e 2m
gj
g 1 j(j 1) l(l 1) s(s 1)
(2)
2P3/ 2 ： s

1 2
， l 1，
j3 ，
2
gj

3 2

1 2
(1 1) 1(11) 2 2 3 ( 3 1)

4 3
22
s, p,d, f, g... S,P,D,F,G... 0,1,2,3,4...
jz

g jmjB (mj


3 , 1 , 22
S,P,D,F,G... 0,1,2,3,4...
jz g jm j B (m j 1,0,1)
jz在特定方向的投影只可能取 g jmjB 即 1 (1)B ,0,1 (1)B三个值
g l(l 1) 2 j( j 1)
原子态2s1Lj
以a轴为转轴的力矩M l1F sin BIl2l1 sin BISsin
定义： ISnˆ 线圈磁矩
我们需要使用的结论:

**均 均匀 匀磁磁场场中 中,,载 磁流 矩线 的圈势所能受为的U合外力
B
*非均匀磁场中,载流线圈所受的合外力
F 0
F

r 2


mvr e 2m


e 2m
L
i
量子力学薛定谔方程求解出的轨道角动量：
L l(l 1) h l(l 1)
2
是量子化的
l


e 2m
L


l(l 1) he
4m
l(l 1)B
量子化的。
B

he
4m

9.27401023 A m2
玻尔磁子
简言之，请大家记住
*非均匀磁场中,环绕电流所受的合外力
F



dB
dr
如果非均匀磁场的方向规定为z方向，
则原子内部的总磁矩就会绕着此方向转动，
而且绕的角度是量子化的，即在z方向投影 是量子化的，那么受到的力的大小
F

z
dB dz

g
jmjB
dB dz
也是量子化的
以上理论预言在实验上的验证！
史特恩-革拉赫实验
z

θ
i
关于刚体转动相关知识的回顾
一个绕着中心公转的质 点m每秒钟转过的角度叫做 角速度
则这个转动的角动量L J0 mR2 mvR,
方向沿着公转平面的法线方向！
原子内部电子轨道角动量运动形成的磁矩
电子(带负电)轨道运动的磁矩（公转形成的磁矩）
z

l

iS

e
v
2r
2S1
2
对z方向的非均匀磁场: F 0 , 原子受到z方向力的作用, 而改变运动路径，所以就会发生偏离现象！
F

z
dB dz

2p 3p 3d 4p 4d 4f 5p 5d 5f 6p 6d 6f 太原理工大学物理系
5g 6g
6h
4.氢原子的能级简并度 一组量子数n，l，m取值之间的制约关系为 n=1，2，3… l=0，1，2，…，（n-1） m=0，±1，±2，…，±l 对每一组量子数n，l，m，有相应的波函数
Ψ n, l , m ( r , , )
自旋角动量的空间取向是量子化的，它在外 场方向（取为z方向）上的投影只能有两种取值：
1 1 S z ms , ms ( )或 ( ) 2 2
ms称为自旋量子数
施特恩--格拉赫实验其实 是电子自旋角动量在磁场中 的空间量子化的体现.
Z
1 ms 2
ms
1 2
太原理工大学物理系
氢原子核外电子的状态可由 n, l, m, ms 四个 量来共同确定。 例1 氢原子处在n=3时有多少个不同的状态？在 不考虑电子自旋的情况下，写出状态的量子态， 考虑到自旋后重新回答上述问题。 解 n=3, l=0,1,2 l=0, m=0 l=1, m=0,1,-1 l=2, m=0,1,2,-1,-2 太原理工大学物理系
l称为角量子数，或副量子数。 角动量也是量子化的. 角动量只能取一系列分 立值,这些值由l 决定. 太原理工大学物理系
3.轨道角动量空间量子化 氢原子中电子绕核运动的角动量大小取分离值， 角动量的方向如何呢? 氢原子中角动量L在空间的取向不是任意的， 只能取一些特定的方向（空间量子化）. 这个特征是以角动量在空间某一特定方向Z 轴上的投影来表示的。
实验结果无法解释：轨道角动量（L）的取值 有2l+1个可能性，并非偶数。 1925年，乌仑贝克和高德斯密特大胆地提出： 电子具有固有角动量——自旋角动量。 由量子力学计算 自旋角动量 S s( s 1) s — 自旋量子数 可以证明

答案C
2.具有下列哪一能量的光子，能被处在n = 2的能 级的氢原子吸收？ (A) 1.51 eV． (B) 1.89 eV．
(C) 2.16 eV．
(D) 2.40 eV．
答案B
例题1. 实验发现基态氢原子可吸收能量为 12.75 eV的 光子． (1) 试问氢原子吸收该光子后将被激发到哪个能级？ (2) 受激发的氢原子向低能级跃迁时，可能发出哪几 条谱线？请画出能级图(定性)，并将这些跃迁画在能 级图上． （3）巴耳末线系有几条？ 莱曼系有几条？
定态薛定谔方程变为
1 2 1 1 (r ) 2 (sin ) 2 2 2 r r r r sin r sin 2
2
2m e2 2 (E ) 0 4π 0 r
设波函数
(r , , ) R(r )Θ( )Φ( )
解（1） 激发态能量 (n 1) E1 13.6 En 2 - 2 eV n n
1 E n - E1 13.6(1 2 ) 12.75e V n
n =4
第三激发态
43 42 32 41 31 21
n =4 3 2 1
42 21 六条谱线． 41 43 31 32 (2) 可以发出 （3）巴耳末线系有 42 32 2条 莱曼线系有 41 31 21 3条
h Em En
第一激发态
第二激发态
基态 n 1
13.6
氢 原 子与 能光 级谱 跃系 迁
n4 n3 n2
n
帕邢系 巴耳末系
莱曼系
E 0
n 1
E
氢原子光谱
1.由氢原子理论知，当大量氢原子处于n =3的激 发态时，原子跃迁将发出： (A) 一种波长的光． (C) 三种波长的光． (B) 两种波长的光． (D) 连续光谱．

§3.6 (类)氢原子的量子力学处理 (r,,)
一、氢原子的薛定谔方程
电子在原子核的库仑场中运动：
U Ze2
4 0r
定态薛定谔方程：
[ 2 2
e2
]
(r )

E
(r )
2 4 0r
氢原子问题是球对称问题，通常采用球坐标系：
x r sin cos y r sin sin z r cos
l 动量，但是大小是非连续取值的！角量子数 来自于薛定谔方程求解
过程条件限制的必然结果！ ~ l 0,1,2,3, , , , , , n 1
L l l 1
名字s.p.d. f .g.h.i. j.k
对于同一个总能级量子数第n个轨道,会有对应的n
个亚轨道，这些亚轨道对应的总能量大致相等，
亚轨道l=0,取名s轨道，对应的角动量L=0，亚轨道l=1,取名p轨道角
动量大小L= 2 ！l=2,取名d轨道，L= 6 ；l=3,取名f 轨道，
L= 12 ！
其实，不同的角动量大小对能级的能量值有细微影响
1926年，海森堡解得氢原子的
能量 En,l为



En,l


13.6 n2
L 转动惯量I 角速度 mr2 mvr
但是电子绕原子核运动形成角动量的方向并不是跟宏观一样，
方向只能取特定值！（方向量子化）而且这些特定值跟l有关,可能 存在的方向为2l+1个！
比如，n=1，亚能级只有一个，对应的
轨道量子数l=0,取名s亚能级，对应的角 动量L=0！所以不存在方向问题！对应 的能量值为[-13.6-ΔE(1,0) ]eV
L l l 1

sin 2
1
Θ sin
d
d
(sin
dΘ ) l(l
d
1)
1 d (r 2 dR ) 8π2mr2 (E e2 ) l(l 1)
R dr dr
h2
4πε0r
12
12
角动量量子化和角量子数 电子绕核运动时的角动量为：
L l(l 1) h 2π
l 0，1，2，3，，(n 1) 为角量子数
例如，n =2时，l =0，1相应的
L0 L 2 h 2π
13
13
3 角动量空间量子化和磁量子数
当氢原子置于外磁场中，角动量L在空 间取向只能取一些特定的方向，L在外磁场 方向的投影必须满足量子化条件
Lz
ml
h 2π
ml 0,1,2, l
磁量子数
14
14
例如，l 1 时，
h
h
L l(l 1) 2
（2）承认电子在中心力场中运动，角动量守恒。 但是玻尔硬加了一个角动量量子化条件
“玻尔理论是 经典理论 + 量子化条件”
9
9
卢瑟福 对玻尔 的频率条件质疑
h E2 E1
多种频率 的光入射
E3 E2
?
E1
“当电子从E1往E2跳时，您必须假设电子事先 就知道它要往那里跳！” 但是它去过了吗？
为了选择，必须先去过， 逻辑上循环！
解为
R Cer / r1
16
16
氢原子的薛定谔方程
1
氢原子的薛定谔方程
氢原子中电子的势能函数
Ep
e2 4πε0r
定态薛定谔方程为
2
8π2m h2
(E
e2 4πε0r

l 1 为缔合勒盖尔多项式。 L2 n l
同时规定了 l 的取值范围，即对于某一确定n ,l 可能取n个值：l=0,1,2,…n-1
氢原子的波函数： nlm (r, , ) Rnl (r )Ylm ( , )
哈尔滨工程大学理学院
氢原子薛定谔方程的解
第十一章 量子物理学基础
讨论n、l、ml 参数的物理意义
氢原子薛定谔方程的解
第十一章 量子物理学基础
在球坐标系下： x r sin cos ,
z


y r sin sin , z r cos ,
在球坐标系下的薛定谔方程：
y
x
此偏微分方程可以用分离变数法化成常微分方程 求解，即设 R(r )( )( ) 代入上式得：
方程（1）得到的波函数 ()表明：电子绕核转动的 角动量空间取向是量子化的，设：外磁场方向为Z轴 方向，Lz表示L在外场方向投影大小，则：
这里的 ml即为前面讲的m，称为磁量子数。对应一个 l， ml有2l+1个值，即角动量的空间取向有2l+1种可能。
哈尔滨工程大学理学院
氢原子薛定谔方程的解
第十一章 量子物理学基础
一般s、p、d、f、g……等字母表示 l=0,1,2, ……，显然，对于s 态的电子来说，其动量矩L=0.
哈尔滨工程大学理学院
氢原子薛定谔方程的解 （3）角动量的空间取向量子化
第十一章 量子物理学基础
索末菲在1915-1916年提出：氢原子中的电子绕核作圆 周轨道运动，轨道平面在空间的取向不是任意的，而 只能取有限的特定方位，这既是轨道空间量子化假设
氢原子中的电子绕核作圆周轨道运动轨道平面在空间的取向不是任意的而只能取有限的特定方位这既是轨道空间量子化假设第十一章量子物理学基础氢原子薛定谔方程的解哈尔滨工程大学理学院如图即为n4l0123电子的角动量空间取向量子化的情形