大学物理练习题 氢原子理论 薛定谔方程

第二章 习 题1.质量为μ的粒子，约束在一维势V(x)中，设在某些区域V(x)是常数，V(x)=V 0，在这些区域里，求：(1) E>V 0; (2)E<V 0; (3)E=V 0 三种情况下粒子的定态波函数，此处E 为粒子能量。

2.考虑一个粒子受不含时势()V r 的束缚，(1) 设粒子的态用的形如(,)()()V r t r t φχ=的波函数描述，证明：()i t t Ae ωχ-=（A是常数），而必须满足方程：22()()()()2r V r r r φφωφμ-∇+=(2) 证明：(1)中情况下，概率密度不依赖于时间。

3.质量为的粒子束缚在形如：(,,)()()()V x y z V x U y W z =++的三维势场中，用分离变量法导出三个独立的一维问题，并建立三维能量和一维问题有效能量的关系。

4.设束缚态波函数和是S.E 的两个解，证明：*12d ψψτ⎰(全空间)与时间无关。

（可用两种方法证）（奥斯特罗格拉德斯基公式：()()V s Ad Ad s τ∇=⎰⎰⎰⎰⎰）5.NaCl 晶体内有些负离子空穴，每个空穴束缚一个电子，因此可将这些电子看成束缚在边长为晶格常数a 的立方体内的粒子，设在室温下电子处于基态，求处于基态的电子吸收电磁波跃迁到第一激发态时，所吸收电磁波的波长。

6.将在动量空间中的波函数：()exp()(0,)C p N P P P αα=->=归一化，并证明在坐标空间中的波函数表达式为：3/2221()(2)()r r αψαπα=+（提示：在球面坐标ρ、θ、φ下由傅立叶变换关系求证） 7.粒子在：(1)一维无限深方势阱(0≤x ≤a)；—V 0<0 x a ≤ (2)一维有限深方势阱：V(x)=0 x a>中运动，运用索末菲量子化条件()q P dq nh =⎰求体系束缚定态能谱。

8.证明氢原子稳定轨道上正好能容纳下整数个电子的德布罗意波波长，上述结果同样适用于椭圆轨道。

练习二十三 氢原子理论 薛定谔方程一、选择题1. 已知氢原子从基态激发到某一定态所需能量为10.19eV ，若氢原子从能量为−0.85eV 的状态跃迁到上述定态时，所发射的光子的能量为(A ) 2.56eV 。

(B ) 3.41eV 。

(C ) 4.25eV 。

(D ) 9.95eV 。

2. 氢原子光谱的巴耳末系中波长最长的谱线用λ1表示，其次波长用λ2表示，则它们的比值λ1/λ2为(A ) 9/8。

(B ) 19/9。

(C ) 27/20。

(D ) 20/27。

3. 根据氢原子理论，氢原子在n =5的轨道上的动量矩与在第一激发态的轨道动量矩之比为：(A ) 5/2。

(B ) 5/3。

(C ) 5/4。

(D ) 5。

4. 将波函数在空间各点的振幅同时增大D 倍，则粒子在空间的分布几率将(A ) 增大D 2倍。

(B ) 增大2D 倍。

(C ) 增大D 倍。

(D ) 不变。

5. 一维无限深势阱中，已知势阱宽度为a 。

应用不确定关系估计势阱中质量为m 的粒子的零点能量为：(A ) ћ/(ma 2)。

(B ) ћ2/(2ma 2)。

(C ) ћ2/(2ma )。

(D ) ћ/(2ma 2)。

6. 由于微观粒子具有波粒二象性，在量子力学中用波函数Ψ(x ，y ，z ，t )来表示粒子的状态，波函数Ψ(A ) 只需满足归一化条件。

(B ) 只需满足单值、有界、连续的条件。

(C ) 只需满足连续与归一化条件。

(D ) 必须满足单值、有界、连续及归一化条件。

7. 反映微观粒子运动的基本方程是(A ) 牛顿定律方程。

(B ) 麦克斯韦电磁场方程。

(C ) 薛丁格方程。

(D ) 以上均不是。

8. 已知一维运动粒子的波函数为()()⎪⎩⎪⎨⎧==−0e x cx x kx ψψ00<≥x x 则粒子出现概率最大的位置是x =(A)k1。

(B) 1/k2。

(C)k。

(D) 1/k。

9. 由氢原子理论知，当大量氢原子处于n=3的激发态时，原子跃迁将发出(A) 一种波长的光。

氢原子薛定谔方程一、薛定谔方程1.定态薛定谔方程波函数所满足的微分方程：记哈密顿算符分离变量即，代入式得两边同时除以，令则有将时间和空间部分合并，薛定谔方程的解可以表示成：上式称为薛定谔方程的本征解，为哈密顿算符的本征函数，为能量本征值。

2.氢原子的定态薛定谔方程氢原子有质量较大的质子，通过正负电荷的相互吸引作用，束缚着一个质量很小带负电−e的电子绕其运动。

由库仑定律,势能为（SI单位），所以势函数为将式子代入定态薛定谔方程得到其中Z为核电荷数，r为电子与质子之间的距离，m为电子质量（忽略原子核的动能），式也称为库仑力场下定态薛定谔方程。

时，为氢原子的薛定谔方程。

二、球坐标下分离变数在球坐标下有拉普拉斯算符：则氢原子薛定谔方程为分离变数乘遍各项，并做适当移项左边是r的函数，右边是θ和φ的函数，我们通常有下面设法分解为两个方程角向分布的方程径向分布的方程进一步分离变数代入球函数方程得乘遍各项并适当移项得左边是的函数，右边是的函数，令此等式等于一常数分解为两个常微分方程：综上氢原子薛定谔方程可以分解为下面三个方程角向分布方程径向分布方程其中。

式与“自然的周期条件”构成本征值问题，解得这里可以采用更为简介等价的解的形式对进行归一化处理得到为磁量子数将代入到式并进行一定处理得连带勒让德方程令，将自变量变为得到此方程和自然边界条件有限构成本征值问题，本征值为，本征函数为，由梁老师的数学物理方法[2]可以得出本征解为综合角向解求得的归一化系数为归一化的解是缔合勒让德函数，也成为球谐函数。

氢原子的薛定谔方程
氢原子是最简单的原子之一，由一个质子和一个电子组成。

在量子力学中，描述氢原子的运动状态的数学模型就是薛定谔方程。

薛定谔方程是量子力学的基础方程之一，它描述了微观粒子在势场中的运动规律。

薛定谔方程是一个偏微分方程，描述了波函数随时间和空间的演化。

波函数包含了粒子的所有信息，包括位置、动量等。

在氢原子的情况下，薛定谔方程可以被简化为一个径向部分和一个角向部分的乘积。

径向部分描述了电子在原子核周围运动的距离，角向部分描述了电子在不同方向上的概率分布。

通过求解薛定谔方程，我们可以得到氢原子的能级和波函数，从而进一步研究原子的性质和行为。

薛定谔方程的求解需要考虑原子核和电子之间的相互作用，以及外加的势场对电子的影响。

通过引入适当的近似和数值方法，可以求解薛定谔方程并得到氢原子的能级和波函数。

氢原子的能级是量子化的，即只能取离散的数值。

能级越高，电子离原子核越远，能量也越大。

每个能级对应一个波函数，描述了电子在原子周围的分布情况。

薛定谔方程的求解不仅可以用于氢原子，还可以推广到其他原子和
分子系统。

通过求解薛定谔方程，我们可以理解原子和分子的结构、性质和反应规律，为化学和物理学的发展提供重要的理论基础。

薛定谔方程是描述氢原子和其他微观粒子运动的重要方程，它揭示了量子力学世界的奥秘。

通过求解薛定谔方程，我们可以深入理解原子和分子的微观世界，为科学研究和技术应用提供重要支持。

希望未来能够进一步探索量子力学的奥秘，推动科学的发展和进步。

氢原子薛定谔方程氢原子薛定谔方程是研究氢原子的基本理论模型，可以用于解析和预测氢原子的行为。

在氢原子中，只存在一个质子和一个电子，因此，它是理论物理学研究的首要模型之一。

氢原子薛定谔方程是基于量子力学原理推导而来的，它描述了氢原子在电磁场中的一系列行为，包括电子的能量、波函数及其演化规律等。

其数学表达式如下：$-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2 \psi}{\partial r^2}-\frac{1}{r}\frac{\partial^2 (r\psi)}{\partialr^2}+\frac{\ell(\ell+1)\hbar^2}{2mr^2}\psi+V(r)\psi=E\psi$该式是解析薛定谔方程的基本形式。

其中，$\psi$是波函数，$m$是电子的质量，$\hbar$是普朗克常数，$r$是离子核与电子之间的距离，$\ell$是角动量量子数，$V(r)$是电子在离子核中的势能，$E$是氢原子的能量。

氢原子薛定谔方程的求解并非易事，这主要是因为它是一个偏微分方程。

在解析方面，有许多数学工具可以帮助我们进行计算，如分离变量法、拉普拉斯变换、傅里叶变换等等。

但对于比较复杂的氢原子体系，解析解可能并不是最好的选择。

通常，科学家和工程师使用不同数值技术，如有限元方法、有限差分方法等，来求解氢原子薛定谔方程。

在量子力学的研究中，最常用的氢原子薛定谔方程所表示的氢原子中，没有其他电子和离子核之间的相互作用。

如果涉及多个原子的分子时，我们就需要使用其他方程来解析它们的行为。

因此，氢原子薛定谔方程是在物理学研究中至关重要的方程之一。

总之，在理论物理学研究的发展中，氢原子薛定谔方程发挥了无比重要的作用。

它为科学家们提供了一个完整的模型来预测、解析氢原子在电磁场中的运动和行为，为人类探索宇宙和理解自然规律提供了更深刻的理论基础。

氢原子的薛定谔方程
薛定谔方程是一个著名的电子结构理论，可以用来描述一个原子的电子状态。

它是一个带有四个变量的复合实现方程，被称为薛定谔方程。

它由20世纪伟大的物理学家Ernst Schrdinger发明，他是量子力学的创始人。

当谈到氢原子时，薛定谔方程还可以用来解释它的电子状态。

氢原子只有一个电子，因此为了解释它的电子状态，只需要一个薛定谔方程。

薛定谔方程可以如下表达：
iψ/t = ^2/2m·^2ψ + Vψ
其中，ψ表示波函数；i是虚数单位；表示普朗克常数，ψ/t表示时间导数；m是电子的质量；^2表示laplace算符；V表示电子的势能。

薛定谔方程简写为：
Hψ = εψ
其中，H表示哈密顿量，ε表示电子的能量。

对氢原子的薛定谔方程可以写为：
[^2/2m·^2+ V(r)E]ψ(r) = 0
其中，V(r)表示电子势能，E表示电子能量，r表示电子的位置半径。

解决氢原子的薛定谔方程需要一些技巧——定义一个适应性正交基函数组，利用拉普拉斯算符变换到正交空间，然后使用矩阵方法解决。

有时，哈密顿量可以被简化为一个对角矩阵，这一点取决于电
子势能的类型。

任何时候，电子能量的计算都是从在某个特定的位置的电子的能量开始的。

氢原子可以通过薛定谔方程来解释，并且可以计算出它的电子能量，解释的结果可以用来解释它的原子结构。

薛定谔方程对氢原子的电子状态起着至关重要的作用。

第二章 原子结构习 题2.1 氢原子薛定谔方程中的能量E 包含哪些能量？ 2.2 令)()()(),()(),,(ϕθϕθϕθψΦΘ==r R Y r R r 将单电子原子的薛定谔方程分解为3个方程。

2.3 氢原子薛定谔方程是否具有形为br e ar -+=)1(ψ的解？若有，求a 、b 和能量E 。

2.4 若取变分函数为r e αφ-=，式中α为变分参数，试用变分法求H 原子的基态能量和波函数。

2.5 取变分函数为2r e αφ-=，式中α为变分参数，试用变分法求H 原子的基态能量，并与其1s 态能量对比。

2.6 分别求氢原子1s 电子和2s 电子离核的平均距离r ,并进行比较。

2.7求氢原子2p 电子离核的平均距离r 。

2.8 波函数23zd ψ有多少节面？用方程把这些节面表示出来。

这些节面将空间分成几个区域？2.9 验证氢原子波函数s 1ψ和zp 2ψ是正交的，xp 2ψ和yp 2ψ也是正交的。

2.10 求氢原子2p 和3d 电子几率密度最大值离核的距离r 。

2.11 求氢原子2p z 电子出现在 45≤θ的圆锥的几率。

2.12 求氢原子23z d 电子出现在 60≤θ的圆锥内的几率。

2.13 比较氢原子中2p x 和2p z 电子出现在相同半径圆球内的几率大小。

2.14 比较H 中2s 电子，He +中2s 电子和He (1s 12s 1)中2s 电子能量的大小。

2.15 求氦原子第2电离能。

2.16 实验测得O 7+的电离能是867.09 eV ，试与按量子力学所得结果进行比较。

2.17 实验测得C 5+的电离能是489.98 eV , 试与按量子力学所得结果进行比较。

2.18不查表，求3xy d ψ的角度部分。

2.19 不查表，给出下列氢原子波函数的角度部分Y(不需要归一化)(1) 2p x (2) 3s (3) 3p x (4) 224y x d -2.20求氢原子2p x 电子出现在p 1(r ,π/3,π/4)和p 2(r ,π/6,π/8)两处的几率密度之比。

氢原⼦的量⼦理论作业（含标准答案）第26章氢原⼦的量⼦理论习题 (初稿)⼀、填空题1. 氢原⼦的波函数可以写成如下形式(,,)()(,)l l nlm nl lm r R r Y ψθ?θ?=，请给出电⼦出现在~r r dr +球壳内的概率为___________，电⼦出现在(),θ?⽅向⽴体⾓d Ω内的概率为_______________。

2. 泡利不相容原理是指 ______________ ，原⼦核外电⼦排布除遵循泡利不相容原理外，还应遵循的物理规律是 __________ 。

3. 可以⽤⽤ 4 个量⼦数描述原⼦中电⼦的量⼦态，这 4 个量⼦数各称和取值范围怎样分别是：(1) (2) (3) (4) 。

4. 根据量⼦⼒学原理，如果不考虑电⼦⾃旋，对氢原⼦当n 确定后，对应的总量⼦态数⽬为_ _个，当n 和l 确定后，对应的总量⼦态数⽬为__ __个5. 给出以下两种元素的核外电⼦排布规律：钾（Z=19）: 铜（Z=29）: ___ __6. 设有某原⼦核外的 3d 态电⼦，其可能的量⼦数有个，分别可表⽰为____________________________。

7. 电⼦⾃旋与其轨道运动的相互作⽤是何种性质的作⽤。

8. 类氢离⼦是指___________________，⾥德伯原⼦是指________________。

9. 在主量⼦数为n=2，⾃旋磁量⼦数为s=1/2的量⼦态中，能够填充的最⼤电⼦数是________。

10. 1921年斯特恩和格拉赫实验中发现，⼀束处于s 态的原⼦射线在⾮均匀磁场中分裂为两束，对于这种分裂⽤电⼦轨道运动的⾓动量空间取向量⼦化难于解释，只能⽤_________来解释。

⼆、计算题11. 如果⽤13.0 eV 的电⼦轰击处于基态的氢原⼦，则：（1）氢原⼦能够被激发到的最⾼能级是多少？（2）氢原⼦由上⾯的最⾼能级跃迁到基态发出的光⼦可能波长为多少？（3）如果使处于基态的氢原⼦电离，⾄少要多⼤能量的电⼦轰击氢原⼦？12. 写出磷的电⼦排布，并求每个电⼦的轨道⾓动量。

薛定谔方程求解氢原子
氢原子的薛定谔方程为：（−h¯22m∇2+V）ψ=Eψ（−h28π2m∇2−Ze24πε0r）ψ=Eψ。

薛定谔方程（Schrödinger equation），又称薛定谔波动方程（Schrodinger wave equation），是由奥地利物理学家薛定谔提出的量子力学中的一个基本方程，也是量子力学的一个基本假定。

它是将物质波的概念和波动方程相结合建立的二阶偏微分方程，可描述微观粒子的运动，每个微观系统都有一个相应的薛定谔方程式，通过解方程可得到波函数的具体形式以及对应的能量，从而了解微观系统的性质。

在量子力学中，粒子以概率的方式出现，具有不确定性，宏观尺度下失效可忽略不计。

薛定谔方程（Schrodinger equation）在量子力学中，体系的状态不能用力学量（例如x）的值来确定，而是要用力学量的函数Ψ（x，t），即波函数（又称概率幅，态函数）来确定。

力学量取值的概率分布如何，这个分布随时间如何变化，这些问题都可以通过求解波函数的薛定谔方程得到解答。

这个方程是奥地利物理学家薛定谔于1926年提出的，它是量子力学最基本的方程之一。