概率论 期末考试试卷A
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天津大学试卷专用纸
学院 专业 班 年级 学号 姓名 共4 页 第 1 页
2010～2011学年第2学期期末考试试卷
《概率论》（A卷 共 4 页）
（考试时间：2011年5月4日）
题号 一 二 三 四
成绩 核分人签字
1 2 3 4 5 6
得分
一、填空题（共20分，每空2分）
1、12.设A，B相互独立且都不发生的概率为91，又A发生而B不发生的概率与B发生而A不发生的概率相等，则)|B(AP= ___ 1/3______.
2、区间(0,1)内随机地取两个数，则两数的乘积小于1/2的概率为 ___0.5(1+ln2) .
3、设随机变量X 的分布函数为：
0,0()1/4,02/31,2/3xFxxxx
则随机变量X为__非离散非连续_____型随机变量，且23PX ___1/12_____ .
4、已知连续型随机变量X的概率密度函数为24)(xxecxf,Rx,则常数
42,ceEX___ 9/2______.(4.5)
5、甲在上班路上所需的时间（单位：分）X~N（50，100）．已知上班时间为早晨8时，他每天7时出门，某周（以五天计）甲最多迟到一次的概率为__ 1-Φ4(1).（用标准正态分布函数()x表示）
6、一台设备由三大部件构成，在设备运转中各部件需要调整的概率分别为0.1，0.2和0.3.假设各部件的状态相互独立， 以X表示同时需要调整的部件数。则X的数学期望为
____0.6_____方差为____0.46_____.
7、已知随机变量X与Y分别服从参数为1与2的泊松分布，且X与Y相互独立，则条件概率{|}PXkXYn 121212()()kknknC (0,1,,)kn.
二、选择题 （共12分，每题2分）
1、设一批产品共有1000件，其中50件次品，从中随机地、有放回地抽取500件产品，表示抽到次品的件数，则{3}PX（ C ）
A． 347509505001000CCC； B．347509505001000AAA C．334975000.050.95C； D．3500.
2、下列四个函数中，能作为随机变量分布函数的是（ A ）
A．10,0,(),01xFxxxx B． 20,0,1(),02,31,2.xFxxx C．3ln(1),1,()10,0.xxFxxx
D． 431()+arctan,.42Fxxx
3、设随机变量X与Y独立同分布，它们取-1，1两个值的概率分别为41，43，则1XYP（ D ）
A． 161 B．163 C．41 D．83
4、二维随机变量(X,Y)的联合分布函数为F(x,y).联合概率分布为
Y
X 0 1 2
-1 0.2 0.1 0.1
1 0.1 0.3 0.2
则F（0.5,1.6）=（ B ）
A. 0.2 B. 0.3 C. 0.7 D. 0.8
5、已知随机变量X的密度函数f(x)=xxAe,x0,(>0,A为常数)，则概率P{X<+a}（a>0）的值（ C ）
A．与a无关，随的增大而增大 B．与a无关，随的增大而减小
C．与无关，随a的增大而增大 D．与无关，随a的增大而减小
6、已知随机变量X的二阶矩2EX存在,则有（ D ）
A． 2EXEX B．2EXEX C．22()EXEX D．22()EXEX 天津大学试卷专用纸
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三、是非题（9分，每题1分），在括号后面写是与非或划√与×.
①若随机变量(,)~(0,1;0,1;0.5),XYN则)1,0(~NYX. （√ ）
②设样本空间4321,,,，事件431,,A，则75.0)(AP. （× ）
③设n次独立重复试验中，事件A出现的次数为X，则5n次独立重复试验中，事件A出
现的次数未必为5X. （ √ ）
④如果()()(),PABPAPB，则事件A与B 互不相容. （× ）
⑤如果1)()(BPAP，则事件A与B 必定相容. （ √ ）
⑥)()()(YEXEXYE是X与Y相互独立的必要而非充分的条件. （√）
⑦连续随机变量等于常数的概率为零. （ √ ）
⑧若A，B互不相容，且概率都大于零，则A，B也相互独立. （ × ）
⑨ 标准正态分布具有可加性. （× ）
四、解答题（共59分）
1、（本题4分）已知随机变量X与Y独立,且13,EX16,DX8,4,EYDY又随机变量23ZXY, 则由切比雪夫不等式估计的一个{3570}PZ下界.
解
23262450EZEXEY
4941694100DZDXDY
2{3570}{155020}{155015}1001255{|50|15}1.152259PZPZPZPZ
2、（本题8分）设随机变量X与都只取-1，1，满足1{1}4PX，
1{1|1}{1|1}3PYXPYX
求 (1)),(YX的联合概率分布律； （2）在随机变量Y的边缘分布律.
(3) t 的方程20tXtY有实根的概率；
解：(1)3{1}1{1}4PXPX
111{1,1}{1|1}{1}3412PXYPYXPX
131{1,1}{1|1}{1}344PXYPYXPX
111{1,1}{1}{1,1}4126PXYPXPYX
311{1,1}{1}{1,1}442PXYPXPXY
二维随机变量(X,Y)的联合概率分布为
Y
X -1 1
-1 1/4 1/2
1 1/6 1/12
(2)115{1}{1,1}{1,1}4612PYPXYPXY,
57{1}1{1}11212PYPY
(3t的方程20tXtY有实根要求240,XY即有25{0}{40}{1,1}{1}12PPXYPXYPY
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3、（本题8分）在你外出度假时，你托邻居帮你浇快要凋谢的花，若不浇水花凋谢的概率为0.8，浇水花仍会凋谢的概率为0.15，你有90%的把握确信邻居会记着帮你浇花，求 (1)在你回来时，花活着的概率；
(2)如果花凋谢了，你的邻居忘记帮你浇花的概率.
解：设A={花活着}， B={花被浇}
(1) P(A)P(A|B)P(B)P(A|B)P(B)0.850.90.20.10.785，
(2)P(A)1P(A)10.7850.215（或用全概率公式）
所求为P(A|B)P(B)0.10.816P(B|A)=0.21543P(A).
4、（本题18分）设,XY在由直线2,yx2xy及y轴所围成的区域内服从均匀分布．（1）求,XY的联合概率密度函数(,)fxy，2{}PYX；
（2）求X、Y的边缘概率密度函数)(xfX，()Yfy；
（3）判断X与Y是否相互独立，为什么？
（4）求|()XYfxy，2{|1}5PXY；
（5）判断X与Y是否相关，为什么？
解：（1）由题知平面区域G的面积为0x+22x2xdy4,GSd
所以1,x-2x-2,2x<0,(,)40,yfxy其它.
202022111113{}x(2)4424xxPYXddyxxdx
（2）2-211,20,()420,.xxXxdyxfx其它
（3）因为(,)()()XYfxyfxfy,所0y-20y211x(2y),0y2,4411()(,)xx(y2),2y0,440,Xdfxfxydd其它.以X与Y不独立. (9分)
（4）当2y0时 ，|1,-20,(,)2()()0,XYYyxfxyyfxyfy其它，
当0y2时 ，|Y1,-20,(,)2()()0,XYyxfxyyfxyfy其它，
|1,10,(|1)0,XYxfxy其它， 02522{|1}155PXYdx
（5）因为022(1)23xEXxdx,
022011(2)(2)044EYyydyyydy，或0x+22x21xdy0,4EYdy
0x+22x21xdy0,4EXYdxy，
(,)0CovXYEXYEXEY.
所以 X与Y不相关.
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