中考数学专题复习圆压轴八大模型题-弧中点的运用

中考数学压轴题：圆中的8个重要模型，有⽅法更有技巧
其实在学”隐圆”之前，先要搞懂本⽂罗列的8个重要的圆模型，把握了这些⽅法与技
巧，就能台阶性地提⾼考⽣解决圆问题的能⼒！
关键词：#中考数学# #圆# #模型#
⽂末有获取资料⽅法
现在有很多资料是关于”隐圆”的⽅法归纳，其实在学”隐圆”之前，先要搞懂本⽂罗列的8个重要的
圆模型（共30页），学习都是有个循序渐进的过程。

与圆有关的证明与计算的综合解答题，往往位于许多省市中考题中的倒数第⼆题的位置上，是
试卷中综合性与难度都⽐较⼤的习题。

⼀般都会在固定习题模型的基础上变化与扩展，本⽂结合近年来各省市中考题，整理了这些习
题的常见的结论，破题的要点，常⽤技巧。

把握了这些⽅法与技巧，就能台阶性地帮助考⽣解决中考压轴题中有关圆的考题。

⽂末有获取资料⽅法
≡部分页⾯预览：
类型 1 弧中点的运⽤（部分页⾯）
类型 2 切割线互垂（部分页⾯）
类型 3 双切线组合（部分页⾯）
类型 4 圆内接等边三⾓形（部分页⾯）
类型 5 三切线组合（部分页⾯）
类型 6 圆外⼀点引圆的切线和直径的垂线（部分页⾯）
类型 7 直径在腰上（部分页⾯）
类型 8 阿⽒圆模型（以后专门有分类讨论，本⽂省略了）。

圆压轴题八大模型题（一）引言：与圆有关的证明与计算的综合解答题，往往位于许多省市中考题中的倒数第二题的位置上，是试卷中综合性与难度都比较大的习题。

一般都会在固定习题模型的基础上变化与括展，本文结合近年来各省市中考题，整理了这些习题的常见的结论，破题的要点，常用技巧。

把握了这些方法与技巧，就能台阶性地帮助考生解决问题。

类型1 弧中点的运用 在⊙O 中，点C 是⌒AD 的中点，CE ⊥AB 于点E .（1）在图1中，你会发现这些结论吗？ ①AP ＝CP ＝FP ； ②CH ＝AD ；②AC 2＝AP ·AD ＝CF ·CB ＝AE ·A B .（2）在图2中，你能找出所有与△ABC 相似的三角形吗？【典例】（2018·湖南永州）如图，线段AB 为⊙O 的直径，点C ，E 在⊙O 上，＝，CD ⊥AB ，垂足为点D ，连接BE ，弦BE 与线段CD 相交于点F ． （1）求证：CF ＝BF ；（2）若cos ∠ABE ＝，在AB 的延长线上取一点M ，使BM ＝4，⊙O 的半径为6．求证：直线CM 是⊙O 的切线．【变式运用】1.（2018·四川宜宾）如图，AB 是半圆的直径，AC 是一条弦，D 是AC 的中点，DE ⊥AB 于点E 且DE 交AC 于点F ，DB 交AC 于点G ，若＝，OHP F EDCBA（图1）（图1-2）则＝ ．2.（2018·泸州）如图，在平行四边形ABCD 中，E 为BC 边上的一点，且AE 与DE 分别平分∠BAD 和∠ADC 。

(1)求证：AE ⊥DE ；(2)设以AD 为直径的半圆交AB 于F ，连接DF 交AE 于G ，已知CD ＝5，AE ＝8，求FGAF值。

3. （2017·泸州）如图，△ABC 内接于⊙O ，AB 是⊙O 的直径，C 是AD 的中点，弦CE ⊥AB 于点H ，连结AD ，分别交CE 、BC 于点P 、Q ，连结BD 。

初中圆弧中点定理及应用的实际应用情况1. 应用背景初中数学中，圆弧中点定理是一个重要的几何定理，它揭示了圆弧上的中点与圆心、圆弧两端点之间的关系。

这个定理在解决与圆相关的问题时非常有用，尤其是在测量、建模、设计等实际应用中。

2. 应用过程圆弧中点定理的表述如下：定理：圆上任意两点与圆心的连线所夹的圆弧上的中点与圆心、圆弧两端点连线的中点三点共线。

应用圆弧中点定理的具体过程如下：1.已知一个圆和圆上的两点A、B，以及这两点与圆心O的连线。

2.连接OA和OB，得到两条线段。

3.找到线段OA和OB的中点M1和M2。

4.连接AM1和BM2，得到一条直线。

5.判断AM1BM2是否共线，即判断M1、O、M2是否在一条直线上。

6.如果M1、O、M2在一条直线上，则圆上的中点与圆心、圆弧两端点连线的中点共线。

3. 应用效果圆弧中点定理在实际应用中具有广泛的应用，下面将介绍一些具体的应用情况。

3.1 测量在测量中，圆弧中点定理可以用来确定一个圆的圆心位置。

假设我们需要测量一个圆的圆心位置，但是只能通过圆上的几个点来进行测量。

我们可以选择圆上的任意两点A、B，并通过这两点与圆心的连线来确定圆心位置。

根据圆弧中点定理，我们可以找到线段OA和OB的中点M1和M2，然后连接AM1和BM2，如果M1、O、M2在一条直线上，那么这条直线就是圆的直径，圆心就在直线的中点上。

3.2 建模在建模中，圆弧中点定理可以用来确定一个圆的直径。

假设我们需要根据一些已知的点来建立一个圆的模型，但是只能通过这些点来确定圆的直径。

我们可以选择圆上的任意两点A、B，并通过这两点与圆心的连线来确定圆的直径。

根据圆弧中点定理，我们可以找到线段OA和OB的中点M1和M2，然后连接AM1和BM2，如果M1、O、M2在一条直线上，那么这条直线就是圆的直径。

3.3 设计在设计中，圆弧中点定理可以用来确定一个圆的中点。

假设我们需要在一个圆上设计一个凸起的装饰物，并使得这个装饰物与圆心和圆弧两端点连线的中点共线。

专题01 中考压轴题-圆（九大题型+解题方法）1、圆中常见相似三角形2.在圆中解三角形或四边形的常用思路画出特殊图形：如圆中的特殊三角形、特殊四边形等，在已知条件下，以结果为导向，在这些特殊图形中求出一些中间量。

目录：题型1：圆与三角形综合题型2：圆与四边形综合题型3：圆有关的动态问题题型4：圆与坐标系或函数题型5：以实际问题为背景，求圆与三角形、四边形综合问题题型6：最值问题题型7：在解三角形、四边形中作辅助圆题型8：定值问题题型9：在圆综合中求解三角函数值题型1：圆与三角形综合1．（2024·黑龙江哈尔滨·一模）已知，AD 、BC 为O 两条弦，AD BC ⊥于点E ，连接OE ，AE CE =．(1)如图1，连接OE ，求AEO ∠的度数；(2)如图2，连接AC ，延长EO 交AC 于点N ，点F 为AC 上一点，连接EF ，在EF 上方作等腰直角三角形EFG ，且90EGF ∠=︒，连接NG ，求证：NG BC ∥；(3)在（2）的条件下，连接AB ，CD ，当点G 落在线段AB 上时，过点O 做OL OE ⊥，交CD 于点L ，交CE于点T ，若2OE EG CL ==，求O 半径的长．2．（2024·黑龙江哈尔滨·一模）已知：AB 为O 的直径，点C 为 AB 上一点，连接AC ，点D 为 BC上一点，连接AD ，过点D 作AB 的垂线，垂足为点F ，交O 于点E ，连接CE ，分别交AD 和AB 于点H 和点K ，且90AHE =︒∠．(1)如图1，求证：CAD BAD ∠=∠；(2)如图2，连接HF ，过点H 作HF 的垂线交AB 于点T ，求证：2AB FT =；(3)如图3，在（2）的条件下，连接BC 交AD 于点G ，延长CD 交AB 的延长线于点M ，若CM AG =，5FT =，求CG 的长．3．（2024·黑龙江哈尔滨·一模）如图1，在O 中，直径AB 垂直弦CD 于点G ，连接AD ，过点C 作CF AD ⊥于F ，交AB 于点H ，交O 于点E ，连接DE ．(1)如图1，求证：2E C ∠=∠；(2)如图2，求证：DE CH =；(3)如图3，连接BE ，分别交AD CD 、于点M N 、，当2OH OG =，HF =EN 的长．4．（2024·浙江·模拟预测）如图1，ABC 内接于O ，作AD BC ⊥于点D ．(1)连结AO ，BO ．求证：2180AOB DAC ∠+∠=︒；(2)如图2，若点E 为弧AC 上一点，连结BE 交AD 于点F ，若2BAD CAD ∠∠＝，490DBF CAD ∠+∠=︒，连结OF ，求证：OF 平分AFB ∠；(3)在（2）的条件下，如图3，点G 为BC 上一点，连结EG ，2BGE C ∠=∠．若AD =3BD EG +=，求DF 的长．题型2：圆与四边形综合5．（2024·浙江杭州·模拟预测）如图，四边形ABCD 内接于O ，AC 为O 的直径，DE AC ⊥于点F 交BC 于点E ．(1)设DBC α∠=，试用含α的代数式表示ADE ∠；(2)如图2，若3BE CE =，求BDDE的值；(3)在（2）的条件下，若,AC BD 交于点G ，设FGx CF=，cos BDE y ∠=．①求y 关于x 的函数表达式．②若BC BD =，求y 的值．6．（2024·广东珠海·一模）如图1，F 为正方形ABCD 边BC 上一点，连接AF ， 在AF 上取一点O ， 以OA 为半径作圆， 恰好使得O 经过点B 且与CD 相切于点E ．(1)若正方形的边长为4时，求O 的半径；(2)如图2， 将AF 绕点A 逆时针旋转45︒后，其所在直线与O 交于点G ，与边CD 交于点H ，连接DG BG ，．①求ADG ∠的度数；②求证：··²AB BF AG FG BG +=．题型3：圆有关的动态问题7．（2024·广东·一模）综合探究：如图，已知10AB =，以AB 为直径作半圆O ，半径OA 绕点O 顺时针旋转得到OC ，点A 的对应点为C ，当点C 与点B 重合时停止．连接BC 并延长到点D ，使得CD BC =，过点D 作DE AB ⊥于点E ，连接AD ，AC ．(1)如图1，当点E 与点O 重合时，判断ABD △的形状，并说明理由；(2)如图2，当1OE =时，求BC 的长；(3)如图3，若点P 是线段AD 上一点，连接PC ，当PC 与半圆O 相切时，判断直线PC 与AD 的位置关系，并说明理由．8．（2024·浙江湖州·一模）如图，在ABCD Y 中，∠B 是锐角，AB =10BC =，在射线BA 上取一点P ，过P 作PE BC ⊥于点E ，过P ，E ，C 三点作O ．(1)当3cos 5B =时，①如图1，若AB 与O 相切于点P ，连结CP ，求CP 的长；②如图2，若O 经过点D ，求O 的半径长．(2)如图3，已知O 与射线BA 交于另一点F ，将BEF △沿EF 所在的直线翻折，点B 的对应点记为B '，且B '恰好同时落在O 和边AD 上，求此时PA 的长．9．（2024·云南昭通·模拟预测）如图，在O 中，AB 是O 的直径，点M 是直径AB 上的一个动点，过点M 的弦CD AB ⊥，交O 于点C 、D ，连接BC ，点F 为BC 的中点，连接DF 并延长，交AB 于点E ，交O 于点G ．图1 图2 备用图(1)如图1，连接CG ，过点G 的直线交DC 的延长线于点P ．当点M 与圆心O 重合时，若PGC MDE ∠=∠，求证：PG 是O 的切线；(2)在点M 运动的过程中，DE kDF =（k 为常数），求k 的值；(3)如图2，连接BG OF MF 、、，当MOF △是等腰三角形时，求BGD ∠的正切值．题型4：圆与坐标系或函数10．（2024·福建龙岩·一模）如图，抛物线234y x x =-++与x 轴分别交于A 、B 两点(点A 在点B 的左侧)与y 轴交于点C ．(1)直接写出A 、B 、C 三点的坐标；(2)如图(1)，P 是抛物线上异于A ，B 的一点，将点B 绕点P 顺时针旋转45︒得到点Q ，若点Q 恰好在直线AP 上，求点P 的坐标；(3)如图(2)，MN 是抛物线上异于B ，C 的两个动点，直线BN 与直线CM 交于点T ，若直线MN 经过定点()1,3，求证：点T 的运动轨迹是一条定直线．11．（2024·江苏常州·模拟预测）定义：在平面直角坐标系xOy 中，P 、Q 为平面内不重合的两个点，其中1122(,),(,)P x y Q x y ．若：1122x y x y +=+，则称点Q 为点P 的“等和点”．(1)如图1，已知点()21P ，，求点P 在直线1y x =+上“等和点”的坐标；(2)如图2，A 的半径为1，圆心A 坐标为()20，．若点()0P m ，在A 上有且只有一个“等和点”，求m 的值；(3)若函数()22y x x m =-+≤的图像记为1W ，将其沿直线x m =翻折后的图像记为2W ．当1W ，2W 两部分组成的图像上恰有点()0P m ，的两个“等和点”，请直接写出m 的取值范围．12．（2024·江苏宿迁·一模）如图1，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线23y ax bx =++与x 轴分别相交于A 、B 两点，与y 轴相交于点C ，已知点A 的坐标为(10)-，，点B 的坐标为(30)，．(1)求出这条抛物线的函数表达式；(2)如图2，点D 是第一象限内该抛物线上一动点，过点D 作直线l y 轴，直线l 与ABD △的外接圆相交于点E ．①仅用无刻度直尺找出图2中ABD △外接圆的圆心P ．②连接BC 、CE ，BC 与直线DE 的交点记为Q ，如图3，设CQE △的面积为S ，在点D 运动的过程中，S是否存在最大值？如果存在，请求出S 的最大值；如果不存在，请说明理由．13．（2024·江苏宿迁·二模）中国象棋棋盘上双方的分界处称为“楚河汉界”，以“楚河汉界”比喻双方对垒的分界线．在平面直角坐标系中，为了对两个图形进行分界，对“楚河汉界线”给出如下定义：点()11,P x y 是图形1G 上的任意一点，点()22,Q x y 是图形2G 上的任意一点，若存在直线()0l y kx b k =+≠∶满足11y kx b ≤+且22y kx b ≥+，则直线(0)y k b k =+≠就是图形1G 与2G 的“楚河汉界线”．例如：如图1，直线4l y x =--∶是函数6(0)y x x=<的图像与正方形OABC 的一条“楚河汉界线”．(1)在直线①2y x =-，②41y x =-，③23y x =-+，④31y x =--中，是图1函数6(0)y x x=<的图像与正方形OABC 的“楚河汉界线”的有______；（填序号）(2)如图2，第一象限的等腰直角EDF 的两腰分别与坐标轴平行，直角顶点D 的坐标是()2,1，EDF 与O 的“楚河汉界线”有且只有一条，求出此“楚河汉界线”的表达式；(3)正方形1111D C B A 的一边在y 轴上，其他三边都在y 轴的右侧，点(2,)M t 是此正方形的中心，若存在直线2y x b =-+是函数2)304(2y x x x =-++≤≤的图像与正方形1111D C B A 的“楚河汉界线”，求t 的取值范围．题型5：以实际问题为背景，求圆与三角形、四边形综合问题14．（2024·陕西西安·一模）【问题提出】（1）如图1，已知在边长为5的等边ABC 中，点D 在边BC 上，3BD =，连接AD ，则ACD 的面积为 ；【问题探究】（2）如图2，已知在边长为6的正方形ABCD 中，点E 在边BC 上，点F 在边CD 上，且45EAF ∠=︒，若5EF =，求AEF △的面积；【问题解决】（3）如图3是某座城市廷康大道的一部分，因自来水抢修在4AB =米，AD =ABCD 区域内开挖一个AEF △的工作面，其中B 、F 分别在BC CD 、边上（不与B 、C 、D 重合），且60EAF ∠=︒，为了减少对该路段的拥堵影响，要求AEF △面积最小，那么是否存在一个面积最小的AEF △？若存在，请求出AEF △面积的最小值；若不存在，请说明理由．15．（2024·陕西西安·一模）【问题提出】（1）如图1，点D 为ABC 的边BC 上一点，连接2,,3BD AD BDA BAC AB ∠=∠=，若ABD △的面积为4，则ACD 的面积为______；【问题探究】（2）如图2，在矩形ABCD 中，6,5AB BC ==，在射线BC 和射线CD 上分别取点E F 、，使得65BE CF =，连接AE BF 、相交于点P ，连接CP ，求CP 的最小值；【问题解决】（3）如图3，菱形ABCD 是某社区的一块空地，经测量，120AB =米，60ABC ∠=︒．社区管委会计划对该空地进行重新规划利用，在射线AD 上取一点E ，沿BE CE 、修两条小路，并在小路BE 上取点H ，将CH 段铺设成某种具有较高观赏价值的休闲通道（通道宽度忽略不计），根据设计要求，BHC BCE ∠=∠，为了节省铺设成本，要求休闲通道CH 的长度尽可能小，问CH 的长度是否存在最小值？若存在，求出CH 长度的最小值；若不存在，请说明理由．题型6：最值问题16．（2024·湖南长沙·三模）如图1，,,A B C 为O 上不重合的三点，GC 为O 的切线，1902G A ∠+∠=︒．(1)求证：GB 为O 的切线；(2)若ABC 为等腰三角形，345,tan 4BAC BAC ∠<︒∠=，求BC AG的值；(3)如图2，若AB 为直径，M 为线段AC 上一点且GM GB ⊥，2223880AM OB GB GB +-+-=，02GB <<，求MGBA S 四边形的最大值．17．（2024·重庆·模拟预测）如图，在直角ABC 中，90BAC ∠=︒．点D 为ABC 内一点，且60ADB ∠=︒，E 为线段BD 的中点，连接AE ．(1)如图1，若AB AC ==，2AD =，求BE 的长；(2)如图2，连接CD ，若AB AC =，BAE ACD ∠=∠，过点E 作EF AD ⊥交于F ，求证：AE =；(3)如图3，过点D 作DM AC ⊥于点M ，DN BC ⊥于点N ，连接MN ，若AB =4AC =，求MN 的最小值．题型7：在解三角形、四边形中作辅助圆18．（2024·福建泉州·一模）如图1，在ABCD Y 中，BE 平分ABC ∠交AD 于点E ，F 是CD 上一点，且DF DE =．(1)求证：BE EF ⊥；(2)如图2，若120A ∠=︒，FG BC ⊥于点G ，H 是BF 的中点，连接DG ，EH ，EG ，且EG 与BF 相交于点K ．①求证：DG EH =；②若2CF DF =，求KFGK的值．题型8：定值问题19．（2024·浙江·模拟预测）如图1，E 点为x 轴正半轴上一点，E 交x 轴于A 、B 两点，P 点为劣弧 BC上一个动点，且(1,0)A -、(1,0)E ．(1) BC的度数为 °；(2)如图2，连结PC ，取PC 中点G ，则OG 的最大值为 ；(3)如图3，连接AC 、AP 、CP 、CB ．若CQ 平分PCD ∠交PA 于Q 点，求AQ 的长；(4)如图4，连接PA 、PD ，当P 点运动时（不与B 、C 两点重合），求证：PC PDPA+为定值，并求出这个定值．题型9：在圆综合中求解三角函数值20．（2024·湖南长沙·一模）如图1，在Rt ABC △中，90ABC ∠=︒，30C ∠=︒，B C =，D 是BC 的中点．经过A ，B ，D 三点的O 交AC 于点E ，连接BE ．(1)求AE 和BE 的长；(2)如图2，两动点P 、Q 分别同时从点A 和点C 出发匀速运动，当点P 运动到点E 时，点Q 恰好运动到点B ，P 、Q 停止运动，连接PQ ．①记AP x =，当PQC △的面积最大时，求x 的值；②如图3，连接BP 并延长交O 于点F ，连接AF 、FE ．当BE 平分FBC ∠时，求sin ABF ∠的值．21．（2024·上海杨浦·一模）已知以AB 为直径的半圆O 上有一点C ，CD OA ⊥，垂足为点D ，点E 是半径OC 上一点（不与点O 、C 重合），作EF OC ⊥交弧BC 于点F ，连接OF ．(1)如图1，当FE 的延长线经过点A 时，求CDAF的值；(2)如图2，作FG AB ⊥，垂足为点G ，连接EG ．①试判断EG 与CD 的大小关系，并证明你的结论；②当EFG 是等腰三角形，且4sin 5COD ∠=，求OE OD的值．专题01 中考压轴题-圆（九大题型+解题方法）1、圆中常见相似三角形2.在圆中解三角形或四边形的常用思路画出特殊图形：如圆中的特殊三角形、特殊四边形等，在已知条件下，以结果为导向，在这些特殊图形中求出一些中间量。

2020年深圳中考压轴题圆题型汇总(托勒密定理等圆中难题秘诀)中考专项练——圆一、圆中等积式证明（三角形相似）在圆中，我们常常需要证明一些等积式，其中一种常见的方法是利用三角形相似。

例如，我们可以证明在同一圆周上的两个弧所对应的圆心角相等，即 $\angle AOB = \angle COD$，其中 $AB$ 和 $CD$ 分别是这两个弧所对应的弦。

我们可以通过证明 $\triangle AOB \sim \triangle COD$ 来得到这个结论。

圆中的相似模型】在圆中，我们还可以利用相似模型来解决问题。

例如，我们可以利用相似模型证明切线与半径垂直，即 $\angle AOB = 90^\circ$，其中$OA$ 是圆的半径，$AB$ 是与圆相切的切线。

切线定理】切线定理是圆中一个重要的定理，用于描述切线与圆的关系。

根据切线定理，切线与圆的切点处的切线段长度相等。

例如，如果 $AB$ 和 $CD$ 是与圆相切的两条切线，它们的切点为 $P$，那么 $AP=PD$ 和 $BP=PC$。

中点弧模型】中点弧模型是圆中一个常见的模型，用于求解圆中线段的长度。

例如，如果 $AB$ 是圆中一条弦，$M$ 是 $AB$ 的中点，$OM$ 是圆的半径，那么 $AB=2OM$。

例题】例如，如果 $AB$ 是圆中一条直径，$C$ 是圆上一点，$CD$ 是过 $C$ 的切线，交直径 $AB$ 于 $E$，那么 $CE=DE$。

二、圆中线段和差比值问题利用三角形全等进行截长补短】在圆中，我们常常需要解决线段和差比值的问题。

例如，如果 $AB$ 和 $CD$ 是圆中两条相交的弦，交点为 $E$，那么$\dfrac{AE}{EB}=\dfrac{CD}{DB}$。

我们可以利用三角形全等来证明这个结论。

托密勒定理】托密勒定理是圆中一个重要的定理，用于描述线段和差的比值。

根据托密勒定理，如果 $AB$ 和 $CD$ 是圆中两条相交的弦，交点为 $E$，那么$\dfrac{AE}{EB}\cdot\dfrac{CD}{AD}=\dfrac{CE}{ED}$。

初三数学圆压轴题方法初三数学作为初中阶段最后一年的学习，对于学生来说，数学圆压轴题可以说是非常重要的一道考题。

那么，如何在考试中成功解决数学圆压轴题呢？下面是我总结的一些方法和技巧，希望能够帮助到大家。

一、切割法切割法是解决数学圆压轴题的一种常用方法。

具体来说，我们可以将圆分割成一些已知图形，通过这些已知图形的性质，来计算未知部分的值。

比如说，在求一个扇形的面积时，我们可以将扇形切割成一个以扇形半径为边长的等腰三角形和一个圆心角的弧所对的扇形，然后通过求等腰三角形的面积和扇形的面积的和来得到最终答案。

二、相似三角形法相似三角形法是圆压轴题中的常用方法之一。

我们可以通过建立一些相似三角形，来计算圆内、外一些未知部分的值。

比如说，在求圆内接正三角形的边长时，我们可以通过建立相似三角形来求解。

具体来说，我们可以连接圆心与三角形的顶点，并作垂线，然后就可以得到一个小三角形和一个大三角形。

由于这两个三角形是相似的，所以我们可以利用它们的边长比例，来求解出正三角形的边长。

三、勾股定理法有些圆压轴题，可以利用勾股定理来求解。

比如说，如果我们已知一个角度以及圆弧所对的弦长，那么我们就可以通过勾股定理来求解弧长。

具体来说，我们可以将弦分成两部分，然后运用勾股定理得到弦的长度，最后再用弦长（即直径）来求解弧长。

四、向量法向量法可以帮助我们快速求解圆的一些部分，例如弧长、面积等。

我们可以通过向量的加减乘除运算，来计算圆周上的点的坐标，从而求得圆弧的长度和面积。

以上就是我总结的一些初三数学圆压轴题的方法和技巧，希望能够帮助大家在考试中取得优异的成绩。

当然，解决数学圆压轴题不仅需要掌握一些方法和技巧，更需要这些方法和技巧在实践中的灵活应用，只有这样，我们才能更加轻松地应对各类数学题目。

专题38重要的几何模型之中点模型（一）中点模型是初中数学中一类重要模型，它在不同的环境中起到的作用也不同，主要是结合三角形、四边形、圆的运用，在各类考试中都会出现中点问题，有时甚至会出现在压轴题当中，我们不妨称之为“中点模型”，它往往涉及到平分、平行、垂直等问题，因此探寻这类问题的解题规律对初中几何的学习有着十分重要的意义。

常见的中点模型：①垂直平分线模型；②等腰三角形“三线合一”模型；③“平行线+中点”构造全等或相似模型（与倍长中线法类似）；④直角三角形斜边中点模型；⑤中位线模型；⑥中点四边形模型。

本专题就中点模型的后三类模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。

模型1：垂直平分线定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等。

如图，在三角形ABC 中，DE ⊥BC ，且D 为BC 中点，则BE=EC 。

模型运用条件：当遇到三角形一边垂线过这边中点时，可以考虑用垂直平分线的性质。

例1．（2023·河北廊坊·校考三模）如图，已知在菱形ABCD 中，连接对角线AC ，作BC 边的垂直平分线EF ，分别交BC 、AC 、AD 于点F 、Q 、E ，若21EQD ，则CAB 的度数是（）A ．21B ．37C ．42D ．69【答案】B 【分析】如图，连接QB ，证明QD QB QC ，902169ADQ ，设QDC QCD x ，证明DA DC ，由作图可得：EF 是BC 的垂直平分线，∴QD QB QC ，ADQ ∵菱形ABCD ，∴DA DC ∴180BAD ADC ，∴2A ．8【答案】A 【分析】本题考查了作垂线，垂直平分线的性质．熟练掌握作垂线，垂直平分线的性质是解题的关键．由作图可知，MN 垂直平分A．2B．22【答案】B【分析】连接BD，由作法得MN，由三角形外角的性质得到ABD BAD15【点睛】本题考查了作图 复杂作图，线段垂直平分线的性质，含识，熟悉基基本作图和线段垂直平分线的性质是解决问题的关键．例4．（2023上·辽宁营口·八年级校联考阶段练习）如图，在 ，点PQ分别是AD平分BACAD ∵是P 、P 的对称轴，即AD PQ BQ 的最小值即为P Q BQ 当BP AC 时，BP 即P Q BQ ∵在ABC 中，90C ，BAC 【答案】74【分析】设CBD ，BFE (SAS)CBD CBT ≌ ，得CT∵点E是AB的中点，EF∵，BCD BCT BC90，BDCCT CD41046AC AT CT(1)若222，求BACBD CE DE的大小；过点F作FG垂直于BA的延长线于点【答案】(1)135 (2)证明见解析∵DH EF 、为边AB AC ，的垂直平分线，∴AD BD AE CE ，，∴BAD ∵222BD CE DE ，∴22AD AE ∴ADE V 为直角三角形，且=90DAE ∵BF 是ABC 的平分线，FG BG ，∵AB BM ，ABF MBF ，BF ∵EF 是AC 的垂直平分线，∴FA FC模型2：等腰三角形的“三线合一”定理：等腰三角形底边中线、高线、顶角平分线“三线合一”。

模型介绍【模型解读】类型一中点弧与相似点P 是优弧AB上一动点，则∠1＝∠2，∠PCB为公共角，子母型相似【补充】⑥PE •PC ＝PA •PB【以下五个条件知一推四】1点C 是AB 的中点2AC ＝BC 3OC ⊥AB 4PC 平分∠APB52CE CP CB ⋅=(即~CPB CBE △△)类型二中点弧与旋转【模型解读】点P 是优弧AB 上一动点，且点C 是 AB 的中点邻边相等+对角互补旋转相似模型，一般用来求圆中三条线段之间的数量关系.由于对角互补，即180PBC PAC ∠∠︒＋＝，显然'PAP 共线，且'PC P C ＝，通过导角不难得出相似.类型三中点弧+内心可得等腰【模型讲解】外接圆+内心⇒得等腰如图，圆O 是△ABC 外接圆圆心，I 是三角形ABC 模型25圆综合之中点弧模型（原卷版）-2023年中考数学重难点解题大招复习讲义-几何模型篇内心，延长AI 交圆O 于D ，证DI ＝DC ＝BD【简证】∠1＝∠4＋∠5,∠4＝∠3，∠2＝∠5∴∠1＝∠2＋∠3类型四弧中点与垂径定理【模型解读】知1推51AD平分∠CAB 2D是 CB的中点3DO⊥CB4CE EB=5//AC OD612 OE AC=例题精讲考点一：中点弧与相似三角形的综合【例1】．如图，A、B、C、D是⊙O上的四个点，AB＝AC，AD交BC于点E，AE＝3，ED ＝4，则AB的长为_______解：∵AB＝AC，∴∠ACB＝∠ABC＝∠D，∵∠BAD＝∠BAD，∴△ABD∽△AEB，∴，∴AB2＝3×7＝21，∴AB＝．变式训练【变式1-1】．如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC、BD交于点P，且AB＝AD，若AC＝7，AB＝3，则BC•CD＝40．解：∵AB＝AD＝3，∴＝，∴∠ADP＝∠ACD，∵∠DAP＝∠CAD，∴△ADP∽△ACD，∴＝，∴＝，∴AP＝，PC＝AC﹣PA＝7﹣＝，∵∠CBP＝∠CAD，∠BCP＝∠ACD，∴△CBP∽△CAD，∴＝，∴BC•CD＝CA•CP＝7×＝40．故答案为：40．【变式1-2】．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为直径，AD＝CD，过点D作DE⊥AB于点E，连接AC交DE于点F．若sin∠CAB＝，DF＝5，则BC的长为_______解：连接BD，如图，∵AB为直径，∴∠ADB＝∠ACB＝90°，∵AD＝CD，∴∠DAC＝∠DCA，而∠DCA＝∠ABD，∴∠DAC＝∠ABD，∵DE⊥AB，∴∠ABD+∠BDE＝90°，而∠ADE+∠BDE＝90°，∴∠ABD＝∠ADE，∴∠ADE＝∠DAC，∴FD＝FA＝5，在Rt△AEF中，∵sin∠CAB＝＝，∴EF＝3，∴AE＝＝4，DE＝5+3＝8，∵∠ADE＝∠DBE，∠AED＝∠BED，∴△ADE∽△DBE，∴DE：BE＝AE：DE，即8：BE＝4：8，∴BE＝16，∴AB＝4+16＝20，在Rt△ABC中，∵sin∠CAB＝＝，∴BC＝20×＝12．考点二中点弧与旋转的综合【例2】.在OBAD∠=︒，点C为弧BD的AB=，10AD=，60的内接四边形ABCD中，6中点，则AC的长是．解：如图，过C 作CE AB ⊥于E ，CF AD ⊥于F ，则90E CFD CFA ∠=∠=∠=︒， 点C 为弧BD 的中点，∴ BC CD =，BAC DAC ∴∠=∠，BC CD =，CE AB ⊥ ，CF AD ⊥，CE CF ∴=，A 、B 、C 、D 四点共圆，D CBE ∴∠=∠，在CBE ∆和CDF ∆中CBE D E CFD CE CF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，CBE CDF ∴∆≅∆，BE DF ∴=，在AEC ∆和AFC ∆中，E AFC EAC FAC AC AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，AEC AFC ∴∆≅∆，AE AF ∴=，设BE DF x ==，6AB = ，10AD =，3AE AF x ∴==+，106x x ∴-=+，解得：2x =，即8AE =，163cos303AE AC ∴==︒1633．变式训练【变式2-1】．如图，已知AB 是O 的弦，点C 是弧AB 的中点，D 是弦AB 上一动点，且不与A 、B 重合，CD 的延长线交于O 点E ，连接AE 、BE ，过点A 作AF BC ⊥，垂足为F ，30ABC ∠=︒．（1）求证：AF 是O 的切线；（2）若6BC =，3CD =，求DE 的长；（3）当点D 在弦AB 上运动时，CEAE BE+的值是否发生变化？如果变化，请写出其变化范围；如果不变，请求出其值．（1）证明：如图，连接AC ，OA ，OC ，OC 交AB 于H ，260AOC ABC ∠=∠=︒ ，OA OC =，AOC ∴∆是等边三角形，60CAO ACO ∴∠=∠=︒， 点C 是弧AB 的中点，∴ BC AC =，30ABC BAC ∴∠=∠=︒，180180603090CHA OCA CAB ∴∠=-∠-∠=︒-︒-︒=︒，AB OC ∴⊥，1302OAD OAC ∴∠=∠=︒，30ABC ∠=︒ ，ABC OAD ∴∠=∠，//OA BF ∴，AF BF ⊥ ，OA AF ∴⊥，AF ∴是O 的切线；（2）解： BCAC =，CBD BEC ∴∠=∠，BCD BCE ∠=∠ ，BCD ECB ∴∆∆∽，∴BC CD EC CB =，∴636EC =，12EC ∴=，1239DE EC CD ∴=-=-=；（3）结论：3CE AE BE =+，CEAE BE+的值不变．理由：如图，连接AC ，OC ，OC 交AB 于H ，作//AN EC 交BE 的延长线于N ， BCAC =，CB CA ∴=，由（1）得，OC AB ⊥，12BH AH AB ∴==，30ABC ∠=︒ ，30ABC BAC BEC AEC ∴∠=∠=∠=∠=︒，cos302BH BC ∴=︒=，∴122AB AC =，//CE AN ，30N CEB ∴∠=∠=︒，30EAN AEC ∠=∠=︒，EAN N ∴∠=∠，N AEC ∴∠=∠，AE EN =，ACE ABN ∠=∠ ，ACE ABN ∴∆∆∽，∴3CE AC BN AB ==，∴CE CE EN BE AE BE ==++，∴CE AE BE +的值不变．考点三：中点弧+内心可得等腰三角形【例3】．如图，已知⊙O 是△ABC 的外接圆，点I 是△ABC 的内心，延长AI 交BC 于点E ，交⊙O 于点D ，连接BD 、DC 、BI ．求证：DB ＝DC ＝DI ．证明：∵点I 是△ABC 的内心，∴∠BAD ＝∠DAC ，∠ABI ＝∠IBC ，∵⊙O 是△ABC 的外接圆，∠BAD ＝∠DAC ，∴＝，∴BD ＝CD ，∵＝，∴∠CAD ＝∠CBD ，∵∠DBI ＝∠IBC +∠CBD ，∠BID ＝∠ABI +∠BAI ，∴∠DBI ＝∠BID ，∴DB ＝DI ，∴DB ＝DC ＝DI ．变式训练【变式3-1】．如图，点I是△ABC的内心，BI的延长线与△ABC的外接圆⊙O交于点D，与AC交于点E，延长CD、BA相交于点F，∠ADF的平分线交AF于点G．（1）求证：DG∥CA；（2）求证：AD＝ID；（3）若DE＝4，BE＝5，求BI的长．（1）证明：∵点I是△ABC的内心，∴∠2＝∠7，∵DG平分∠ADF，∴∠1＝∠ADF，∵∠ADF＝∠ABC，∴∠1＝∠2，∵∠3＝∠2，∴∠1＝∠3，∴DG∥AC；（2）证明：∵点I是△ABC的内心，∴∠5＝∠6，∵∠4＝∠7+∠5＝∠3+∠6，即∠4＝∠DAI，∴DA＝DI；（3）解：∵∠3＝∠7，∠ADE ＝∠BDA ，∴△DAE ∽△DBA ，∴AD ：DB ＝DE ：DA ，即AD ：9＝4：AD ，∴AD ＝6，∴DI ＝6，∴BI ＝BD ﹣DI ＝9﹣6＝3．【变式3-2】．如图1，在△ABC 中，AB ＝AC ，⊙O 是△ABC 的外接圆，过点C 作∠BCD ＝∠ACB 交⊙O 于点D ，连接AD 交BC 于点E ，延长DC 至点F ，使CF ＝AC ，连接AF ．（1）求证：ED ＝EC ；（2）求证：AF 是⊙O 的切线；（3）如图2，若点G 是△ACD 的内心，BC ·BE ＝25，求BG 的长．解：（1）∵AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠ACB ，又∵∠ACB ＝∠BCD ，∠ABC ＝∠ADC ，∴∠BCD ＝∠ADC ，∴ED ＝EC ；（2）如图，连接OA ，∵AB ＝AC ，∴ AB AC ，∴OA ⊥BC ，∵CA ＝CF ，∴∠CAF ＝∠CFA ，∴∠ACD ＝∠CAF ＋∠CFA ＝2∠CAF ，∵∠ACB ＝∠BCD ，∴∠ACD ＝2∠ACB ，∴∠CAF ＝∠ACB ，∴AF ∥BC ，∴OA ⊥AF ，∴AF 为⊙O 的切线；（3）∵∠ABE ＝∠CBA ，∠BAD ＝∠BCD ＝∠ACB ，∴△ABE ∽△CBA ，∴AB BE BC AB=，∴AB 2＝BC •BE ，∵BC •BE ＝25，∴AB ＝5，如图，连接AG ，∴∠BAG ＝∠BAD ＋∠DAG ，∠BGA ＝∠GAC ＋∠ACB ，∵点G 为内心，∴∠DAG ＝∠GAC ，又∵∠BAD ＋∠DAG ＝∠GAC ＋∠ACB ，∴∠BAG ＝∠BGA ，∴BG ＝AB ＝5．考点四:弧中点与垂径定理【例4】．如图，AB 为O 的直径，C ，D 为圆上的两点，//OC BD ，弦AD ，BC 相交于点E ．（1）求证： AC CD=；（2）若2CE =，6EB =，求O 的半径．（1）证明：OC OB = ，OBC OCB ∴∠=∠，//OC BD ，OCB CBD ∴∠=∠，OBC CBD ∴∠=∠，∴AC CD =；（2）连接AC ，2CE = ，6EB =，8BC ∴=，AC CD =，CAD ABC ∴∠=∠，ACB ACB ∠=∠ ，ACE BCA ∴∆∆∽，∴AC CB CE AC =，即82AC AC=，解得，4AC =，AB 是直径，90ACB ∴∠=︒，AB ∴==，O ∴ 的半径为．变式训练【变式4-1】．如图，AB 是⊙O 的直径，点C 为的中点，CF 为⊙O 的弦，且CF ⊥AB ，垂足为E ，连接BD 交CF 于点G ，连接CD ，AD ，BF ．（1）求证：△BFG ≌△CDG ；（2）若AD ＝BE ＝4，求BF 的长．（1）证明：∵C 是中点，∴＝，∵AB 是⊙O 的直径，且CF ⊥AB ，∴＝，∴＝，∴CD ＝BF ，在△BFG 和△CDG 中，，∴△BFG ≌△CDG （AAS ）；（2）解：如图，连接OF ，设⊙O 的半径为r ，Rt △ADB 中，BD 2＝AB 2﹣AD 2，即BD 2＝（2r ）2﹣42，Rt △OEF 中，OF 2＝OE 2+EF 2，即EF 2＝r 2﹣（r ﹣4）2，∵＝＝，∴＝，∴BD＝CF，∴BD2＝CF2＝（2EF）2＝4EF2，即（2r）2﹣42＝4[r2﹣（r﹣4）2]，解得：r＝2（舍）或6，∴BF2＝EF2+BE2＝62﹣（6﹣4）2+42＝48，∴BF＝4．【变式4-2】．如图，AB是⊙O的直径，点E为弧AC的中点，AC、BE交于点D，过A的切线交BE的延长线于F．（1）求证：AD＝AF；（2）若，求tan∠ODA的值．解：（1）连接AE，OE交AC于H，∵AB是直径，∴∠AEB＝90°，∴∠B+∠BAE＝90°，∵AF是⊙O的切线，∴∠BAF＝90°，∴∠BAE+∠FAE＝90°，∴∠B＝∠FAE，∵点E为弧AC的中点，∴＝，∴∠B ＝∠CAE ，∴∠CAE ＝∠FAE ，在△ADE 和△AFE 中，，∴△ADE ≌△AFE （ASA ），∴AD ＝AF ；（2）∵，∴设AO ＝2x ，AF ＝3x ，∴AB ＝4x ，∴BF ＝＝＝5x ，∵S △ABF ＝×AB ×AF ＝×BF ×AE ，∴AE ＝x ，∴EF ＝＝x ，∵点E 为弧AC 的中点，∴OE ⊥AC ，AH ＝CH ，∵∠DAE ＝∠EAF ，∠AEF ＝∠AHE ＝90°，∴△AEH ∽△AFE ，∴，∴＝＝，∴AH ＝x ，HE ＝x ，∴OH ＝x ，HD ＝x ，∴tan ∠ODA ＝＝．考点五弧中点与垂径模型（三等弧模型）【例5】.如图，AB 是O 的直径，点C 为 BD的中点，CF 为O 的弦，且CF AB ，垂足为E ，连接BD 交CF 于点G ，连接CD ，AD ，BF ．（1）求证：BFG CDG ∆≅∆；（2）若2AD BE ==，求BF的长．证明：（1）C 是 BD的中点，∴ CD BC =，AB 是O 的直径，且CF AB ⊥，∴ BCBF =，∴ CD BF =，CD BF ∴=，在BFG ∆和CDG ∆中，F CDG FGB DGC BF CD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()BFG CDG AAS ∴∆≅∆；（2）如图，连接OF ，设O 的半径为r ，Rt ADB ∆中，222BD AB AD =-，即222(2)2BD r =-，Rt OEF ∆中，222OF OE EF =+，即222(2)EF r r =--，CDBC BF ==，∴ BD CF =，BD CF ∴=，2222(2)4BD CF EF EF ∴===，即2222(2)24[(2)]r r r -=--，解得：1r =（舍)或3，2222223(32)212BF EF BE ∴=+=--+=，BF ∴=；1．如图，在⊙O 中AB 为直径，C 为弧AB 的中点，EF ∥AB ，连接AC 交EF 于点D ，若已知DF ＝2DE ，则CD ：AD 的值为（）A．1：3B．1：2C．1：2D．1：4解：如图，连接CO交EF于H，连接AE，CF，BC，∵DF＝2DE，∴设DE＝x，DF＝2x，∴EF＝3x，∵C为弧AB的中点，∴OC⊥AB，∠CAB＝∠CBA＝45°，∵EF∥AB，∴OC⊥EF，∠CDH＝45°，∴EH＝HF＝x，∴DH＝x＝CH，∴CD＝x，∵∠EAD＝∠CFD，∠ADE＝∠CDF，∴△ADE∽△FDC，∴，∴，∴AD＝2x，∴CD：AD＝1：4．故选：D．2．如图，已知点A是以MN为直径的半圆上一个三等分点，点B是的中点，点P是半径ON上的点．若⊙O的半径为1，则AP+BP的最小值为（）A．2B．C．D．1解：作点A关于MN的对称点A′，连接A′B，交MN于点P，则PA+PB最小，连接OA′，AA′，OB，∵点A与A′关于MN对称，点A是半圆上的一个三等分点，∴∠A′ON＝∠AON＝60°，PA＝PA′，∵点B是弧的中点，∴∠BON＝30°，∴∠A′OB＝∠A′ON+∠BON＝90°，又∵OA＝OA′＝1，∴A′B＝．∴PA+PB＝PA′+PB＝A′B＝．故选：C．3．在⊙O的内接四边形ABCD中，AB＝6，AD＝10，∠BAD＝60°，点C为弧BD的中点，则AC的长是．解：如图2中，过C作CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，则∠E＝∠CFD＝∠CFA＝90°，∵点C为弧BD的中点，∴＝，∴∠BAC＝∠DAC，BC＝CD，∵CE⊥AB，CF⊥AD，∴CE＝CF，∵A、B、C、D四点共圆，∴∠D＝∠CBE，在△CBE和△CDF中，∴△CBE≌△CDF，∴BE＝DF，在△AEC和△AFC中，，∴△AEC≌△AFC，∴AE＝AF，设BE＝DF＝x，∵AB＝6，AD＝10，∴AE＝AF＝x+3，∴10﹣x＝6+x，解得：x＝2，即AE＝8，∴AC＝＝，故答案为．4．如图，∠BAC的平分线交△ABC的外接圆于点D，∠ABC的平分线交AD于点E．（1）求证：DE＝DB；（2）若∠BAC＝90°，BD＝4，求△ABC外接圆的半径．（1）证明：∵AD平分∠BAC，BE平分∠ABC，∴∠BAD＝∠CAD，∠ABE＝∠CBE，∵∠BED＝∠BAE+∠ABE，∠DBE＝∠EBC+∠CBD，∠CBD＝∠CAD，∴∠BED＝∠EBD，∴DE＝DB；（2）解：连接CD，∵∠BAC＝90°，∴BC是直径，∴∠BDC＝90°，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD，∴，∴BD＝CD，∵BD＝4，∴BC＝＝4，∴△ABC外接圆的半径为2．5．如图，AB是⊙O的直径，AC为弦，D是的中点，过点D作EF⊥AC，交AC的延长线于E，交AB的延长线于F．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）若sin∠F＝，AE＝4，求⊙O的半径和AC的长．（1）证明：连接OD，OC．∵D是的中点，∴∠BOD＝∠BOC，∵∠A＝∠BOC，∴∠BOD＝∠A，∴OD∥AC，∵EF⊥AC，∴∠E＝90°，∴∠ODF＝90°，即EF是⊙O的切线；（2）解：在△AEF中，∵∠E＝90°，sin∠F＝，AE＝4，∴AF＝＝12．设⊙O的半径为R，则OD＝OA＝OB＝R，AB＝2R．在△ODF中，∵∠ODF＝90°，sin∠F＝，∴OF＝3OD＝3R．∵OF+OA＝AF，∴3R+R＝12，∴R＝3．连接BC，则∠ACB＝90°．∵∠E＝90°，∴BC∥EF，∴AC：AE＝AB：AF，∴AC：4＝2R：4R，∴AC＝2．故⊙O的半径为3，AC的长为2．6．如图，已知AC，BD为⊙O的两条直径，连接AB，BC，OE⊥AB于点E，点F是半径OC的中点，连接EF．（1）设⊙O的半径为1，若∠BAC＝30°，求线段EF的长．（2）连接BF，DF，设OB与EF交于点P，①求证：PE＝PF．②若DF＝EF，求∠BAC的度数．（1）解：∵OE⊥AB，∠BAC＝30°，OA＝1，∴∠AOE＝60°，OE＝OA＝，AE＝EB＝OE＝，∵AC是直径，∴∠ABC＝90°，∴∠C＝60°，∵OC＝OB，∴△OCB是等边三角形，∵OF＝FC，∴BF⊥AC，∴∠AFB＝90°，∵AE＝EB，∴EF＝AB＝．（2）①证明：过点F作FG⊥AB于G，交OB于H，连接EH．∵∠FGA＝∠ABC＝90°，∴FG∥BC，∴△OFH∽△OCB，∴＝＝，同理＝，∴FH＝OE，∵OE⊥AB．FH⊥AB，∴OE∥FH，∴四边形OEHF是平行四边形，∴PE＝PF．解法二：可以作OB中点G，连接FG，EG，证明OEFG是平行四边形即可，得对角线互相平分．②∵OE∥FG∥BC，∴＝＝1，∴EG＝GB，∴EF＝FB，∵DF＝EF，∴DF＝BF，∵DO＝OB，∴FO⊥BD，∴∠AOB＝90°，∵OA＝OB，∴△AOB是等腰直角三角形，∴∠BAC＝45°．解法二：可以过E点作EG∥OB交AC于点G，连接DG．∵EG∥OB，AE＝EB，∴AG＝OG∵OF＝FC，∴OG＝OF，∴OD＝FG，∵AE⊥OE，AG＝OG，∴EG＝AO＝OG，∵∠DOG＝∠FGE，∴DOG≌△FGE（SAS），∴DG＝EF，∵DF＝EF，∴DG＝DF，∴DO⊥FG，∴EG⊥AO，∴EA＝EO，∴∠BAC＝45°7．如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，C是中点，弦CE⊥AB于点H，连接AD，分别交CE、BC于点P、Q，连接BD．（1）求证：P是线段AQ的中点；（2）若⊙O的半径为5，D是的中点，求弦CE的长．（1）证明：∵CE⊥AB，AB是直径，∴，又∵∴，∴∠CAD＝∠ACE，∴AP＝CP，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90˚，∴∠ACE+∠BCP＝90°，∠CAD+∠CQA＝90°，∴∠BCP＝∠CQA，∴CP＝PQ，∴AP＝PQ，即P是线段AQ的中点；（2）解：∵，AB是直径，∴∠ACB＝90˚，∠ABC＝30˚，又∵AB＝5×2＝10，∴AC＝5，BC＝5，∴CH＝BC＝，又∵CE⊥AB，∴CH＝EH，∴CE＝2CH＝2×＝5．8．如图，已知AB是⊙O的弦，点C是弧AB的中点，D是弦AB上一动点，且不与A、B 重合，CD的延长线交于⊙O点E，连接AE、BE，过点A作AF⊥BC，垂足为F，∠ABC ＝30°．（1）求证：AF是⊙O的切线；（2）若BC＝6，CD＝3，求DE的长．（3）当点D在弦AB上运动时，的值是否发生变化？如果变化，请写出其变化范围；如果不变，请求出其值．（1）证明：如图，连接AC，OA，OC，OC交AB于H，∵∠AOC＝2∠ABC＝60°，OA＝OC，∴△AOC是等边三角形，∴∠CAO＝∠ACO＝60°，∵点C是弧AB的中点，∴，∴∠ABC＝∠BAC＝30°，∴∠CHA＝180﹣∠OCA﹣∠CAB＝180°﹣60°﹣30°＝90°，∴AB⊥OC，∴∠OAD＝∠OAC＝30°，∵∠ABC＝30°，∴∠ABC＝∠OAD，∴OA∥BF，∵AF⊥BF，∴OA⊥AF，∴AF是⊙O的切线；（2）解：∵，∴∠CBD＝∠BEC，∵∠BCD＝∠BCE，∴△BCD∽△ECB，∴，∴，∴EC＝12，∴DE＝EC﹣CD＝12﹣3＝9；（3）结论：，的值不变．理由：如图，连接AC，OC，OC交AB于H，作AN∥EC交BE的延长线于N，∵，∴CB＝CA，由（1）得，OC⊥AB，∴BH＝AH＝，∵∠ABC＝30°，∴∠ABC＝∠BAC＝∠BEC＝∠AEC＝30°，∴BH＝BC cos30°＝BC，∴，∵CE∥AN，∴∠N＝∠CEB＝30°，∠EAN＝∠AEC＝30°，∴∠EAN＝∠N，∴∠N＝∠AEC，AE＝EN，∵∠ACE＝∠ABN，∴△ACE∽△ABN，∴，∴＝，∴的值不变．解法二：连接AC，可知BC＝AC，∠BCA＝120°，可得BC：AC：AB＝1：1：，再利用相似三角形的性质解决问题．9．已知△ABC内接于⊙O，∠BAC的平分线交⊙O于点D，连接DB，DC．（1）如图①，当∠BAC＝120°时，请直接写出线段AB，AC，AD之间满足的等量关系式AB+AC＝AD；（2）如图②，当∠BAC＝90°时，试探究线段AB，AC，AD之间满足的等量关系，并证明你的结论；（3）如图③，若BC＝m，BD＝n，求的值（用含m，n的式子表示）．解：（1）如图①在AD上截取AE＝AB，连接BE，∵∠BAC＝120°，∠BAC的平分线交⊙O于点D，∴∠DBC＝∠DAC＝60°，∠DCB＝∠BAD＝60°，∴△ABE和△BCD都是等边三角形，∴∠ABE＝∠DBC＝60°，∴∠DBE＝∠ABC，又∵AB＝BE，BC＝BD，∴△BED≌△BAC（SAS），∴DE＝AC，∴AD＝AE+DE＝AB+AC；故答案为：AB+AC＝AD．（2）AB+AC＝AD．理由如下：如图②，延长AB至点M，使BM＝AC，连接DM，∵四边形ABDC内接于⊙O，∴∠MBD＝∠ACD，∵∠BAD＝∠CAD＝45°，∴BD＝CD，∴△MBD≌△ACD（SAS），∴MD＝AD，∠M＝∠CAD＝45°，∴MD⊥AD．∴AM＝AD，即AB+BM＝AD，∴AB+AC＝AD；（3）如图③，延长AB至点N，使BN＝AC，连接DN，∵四边形ABDC内接于⊙O，∴∠NBD＝∠ACD，∵∠BAD＝∠CAD，∴BD＝CD，∴△NBD≌△ACD（SAS），∴ND＝AD，∠N＝∠CAD，∴∠N＝∠NAD＝∠DBC＝∠DCB，∴△NAD∽△CBD，∴，∴，又AN＝AB+BN＝AB+AC，BC＝m，BD＝n，∴＝．10．如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的直线与AB的延长线交于点P，AC＝PC，∠COB＝2∠PCB．（1）求证：PC是⊙O的切线；（2）求证：BC＝AB；（3）点M是弧AB的中点，CM交AB于点N，若AB＝8，求MN•MC的值．（1）证明：∵OA＝OC，∴∠A＝∠ACO．又∵∠COB＝2∠A，∠COB＝2∠PCB，∴∠A＝∠ACO＝∠PCB．又∵AB是⊙O的直径，∴∠ACO+∠OCB＝90°．∴∠PCB+∠OCB＝90°．即OC⊥CP，∵OC是⊙O的半径．∴PC是⊙O的切线．（2）证明：∵AC＝PC，∴∠A＝∠P，∴∠A＝∠ACO＝∠PCB＝∠P．又∵∠COB＝∠A+∠ACO，∠CBO＝∠P+∠PCB，∴∠COB＝∠CBO，∴BC＝OC．∴BC＝AB．（3）解：连接MA，MB，∵点M是的中点，∴＝，∴∠ACM＝∠BCM．∵∠ACM＝∠ABM，∴∠BCM＝∠ABM．∵∠BMN＝∠BMC，∴△MBN∽△MCB．∴＝．∴BM2＝MN•MC．又∵AB是⊙O的直径，＝，∴∠AMB＝90°，AM＝BM．∵AB＝8，∴BM＝4．∴MN•MC＝BM2＝32．11．如图，已知⊙O的半径为2，AB为直径，CD为弦．AB与CD交于点M，将沿CD翻折后，点A与圆心O重合，延长OA至P，使AP＝OA，连接PC（1）求CD的长；（2）求证：PC是⊙O的切线；（3）点G为的中点，在PC延长线上有一动点Q，连接QG交AB于点E．交于点F（F与B、C不重合）．问GE•GF是否为定值？如果是，求出该定值；如果不是，请说明理由．（1）解：如图，连接OC，∵沿CD翻折后，点A与圆心O重合，∴OM＝OA＝×2＝1，CD⊥OA，∵OC＝2，∴CD＝2CM＝2＝2＝2；（2）证明：∵PA＝OA＝2，AM＝OM＝1，CM＝CD＝，∠CMP＝∠OMC＝90°，∴PC＝＝＝2，∵OC＝2，PO＝2+2＝4，∴PC2+OC2＝（2）2+22＝16＝PO2，∴∠PCO＝90°，∴PC是⊙O的切线；（3）解：GE•GF是定值，证明如下，连接GO并延长，交⊙O于点H，连接HF∵点G为的中点∴∠GOE＝90°，∵∠HFG＝90°，且∠OGE＝∠FGH∴△OGE∽△FGH∴＝∴GE•GF＝OG•GH＝2×4＝8．12．如图1，在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣，0），B（3，0），以AB为直径的⊙G交y轴于C、D两点．（1）填空：请直接写出⊙G的半径r、圆心G的坐标：r＝；G（，）；（2）如图2，直线y＝﹣x+5与x，y轴分别交于F，E两点，且经过圆上一点T（2，m），求证：直线EF是⊙G的切线．（3）在（2）的条件下，如图3，点M是⊙G优弧上的一个动点（不包括A、T两点），连接AT、CM、TM，CM交AT于点N．试问，是否存在一个常数k，始终满足CN•CM ＝k？如果存在，求出k的值，如果不存在，请说明理由．解：（1）∵A（﹣，0），B（3，0），AB是直径，∵AB＝4，∴⊙G的半径为2，G（，0），故答案为r＝2，，0．（2）如图2中，连接GT，过点T作TH⊥x轴于H，∵直线y＝﹣x+5与x、y轴交于E、F两点，则E（0，5），F（5，0），∵直线y＝﹣x+5经过T（2，m），则m＝﹣×2+5＝3，∴T（2，3），故TH＝3．GH＝，HF＝3，在Rt△HGT中，GT＝r＝2，∴GH＝GT，∴∠GTH＝30°，在Rt△THF中，tan∠FTH＝＝＝，∴∠FTH＝60°，∴∠GTF＝∠GTH+∠HTF＝30°+60°＝90°，∴GT⊥EF，∴直线EF是⊙G的切线．（3）如图3中，连接CG、TG、TC．在Rt△COG中，OG＝，CG＝r＝2，∴OC＝3，∠CGO＝60°．∵C（0，3），T（2，3），∴CT∥x轴，∴CT＝2，即CT＝CG＝GT＝2，∴△CGT是等边三角形，∴∠CGT＝∠TCG＝∠CGA＝60°，∴∠CTA＝∠CGA＝30°，∠M＝∠CGT＝30°，∴∠CTA＝∠M，在△CNT和△CTM中，∵∠TCN＝∠MTC，∠CTN＝∠M，∴△CNT∽△CTM，∴＝，∴CN•CM＝CT2＝（2）2＝12．∴k＝CN•CM＝12．13．已知：如图，抛物线y＝x2﹣x+m与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，∠ACB＝90°，（1）求m的值及抛物线顶点坐标；（2）过A、B、C的三点的⊙M交y轴于另一点D，连接DM并延长交⊙M于点E，过E 点的⊙M的切线分别交x轴、y轴于点F、G，求直线FG的解析式；（3）在条件（2）下，设P为上的动点（P不与C、D重合），连接PA交y轴于点H，问是否存在一个常数k，始终满足AH•AP＝k？如果存在，请写出求解过程；如果不存在，请说明理由．解：（1）由抛物线可知，点C的坐标为（0，m），且m＜0．设A（x1，0），B（x2，0）．则有x1•x2＝3m又OC是Rt△ABC的斜边上的高，∴△AOC∽△COB∴∴，即x1•x2＝﹣m2∴﹣m2＝3m，解得m＝0或m＝﹣3而m＜0，故只能取m＝﹣3（3分）这时，y＝x2﹣x﹣3＝﹣4故抛物线的顶点坐标为（，﹣4）．（2）由已知可得：M（，0），A（﹣，0），B（3，0），C（0，﹣3），D（0，3）∵抛物线的对称轴是直线x＝，也是⊙M的对称轴，连接CE∵DE是⊙M的直径，∴∠DCE＝90°，∴直线x＝，垂直平分CE，∴E点的坐标为（2，﹣3）∵，∠AOC＝∠DOM＝90°，∴∠ACO＝∠MDO＝30°，∴AC∥DE∵AC⊥CB，∴CB⊥DE又∵FG⊥DE，∴FG∥CB由B（3，0）、C（0，﹣3）两点的坐标易求直线CB的解析式为：y＝﹣3可设直线FG的解析式为y＝+n，把（2，﹣3）代入求得n＝﹣5故直线FG的解析式为y＝﹣5．（3）存在常数k＝12，满足AH•AP＝12，假设存在常数k，满足AH•AP＝k连接CP，∵AB⊥CD，∴＝∴∠P＝∠ACH（或利用∠P＝∠ABC＝∠ACO），又∵∠CAH＝∠PAC，∴△ACH∽△APC，＝，∴即AC2＝AH•AP，在Rt△AOC中，AC2＝AO2+OC2＝（）2+（3）2＝12，∴AH•AP＝k＝12；（也可以证明△AOH∽△APB，可得AH•AP＝AO•AB，由此即可解决问题）。

初中数学中点模型的构造及应用-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1-CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除中点模型的构造及应用一、遇到以下情况考虑中点模型：任意三角形或四边形中点或与中点有关的线段出现两个或三个中点考虑三角形中线定理已知直角三角形斜边中点，可以考虑构造斜边中线已知等边、等腰三角形底边中点，可以考虑与顶角连接用“三线合一”有些题目不直接给出中点，我们可以挖掘其中隐含中点，比如等腰三角形、等边三角形、直角三角形、平行四边形、圆中圆心是直径中点等可以出现中点的图形通常考虑用中点模型三角形中线的交点称为重心，它把中线分的线段比为2:1二、中点模型辅助线构造方法分类（一）倍长中线法（构造全等三角形，八字全等）当已知条件中出现中线时，常常将此中线倍长构造全等三角形解决问题。

如图，在∆ABC中，D为BC中点，延长AD到E使AD=DE，连接BE，则有：∆ADC≌∆EDB。

作用：转移线段和角。

（二）倍长类中线法（与中点有关线段，构造全等三角形，八字全等）当已知条件中出现类中线时，常常将此类中线倍长构造全等三角形解决问题。

如图，在∆ABC中，D为BC中点，延长ED到F使ED=DF，连接CF，则有：∆BED≌∆CFD。

作用：转移线段和角。

（三）直角三角形斜边中线法当已知条件中同时出现直角三角形和中点时，常构造直角三角形斜边中线，然后再利用直角三角形斜边的中线性质解决问题。

如下图，在Rt ∆ABC 中，ACB 90∠=︒，D 为AB 中点，则有：12CD AD BD AB === （四）等腰三角形三线合一当出现等腰三角形时，常隐含有底边中点，将其与顶角连接，可构成三线合一。

在∆ABC?中:（1）AC=BC?；（2）CD 平分ACB ∠；（3）AD=BD?，（4）CD AB ⊥ “知二得二”：比如由（2）（3）可得出（1）（4）.也就是说，以上四条语句，任意选择两个作为条件，就可以推出剩下两条。

方法专题:中点的妙用联想是一种非常重要的数学品质。

善于联想，才能更好的寻求解决问题的方法。

同学们当你遇到中点时，你会产生哪些联想呢？学习完这个专题后，能给你带来一定的启示。

看到中点该想到什么？1、等腰三角形中遇到底边上的中点，常联想“三线合一”的性质；2、直角三角形中遇到斜边上的中点，常联想“斜边上的中线，等于斜边的一半”；3、三角形中遇到两边的中点，常联想“三角形的中位线定理”；4、两条线段相等，为全等提供条件（遇到两平行线所截得的线段的中点时，常联想“八字型”全等三角形）；5、有中点时常构造垂直平分线；6、有中点时，常会出现面积的一半（中线平分三角形的面积）；7、倍长中线8、圆中遇到弦的中点，常联想“垂径定理” 中点辅助线模型一、等腰三角形中遇到底边上的中点，常联想“三线合一”的性质1、如图1所示，在△ABC 中，AB=AC=5，BC=6，点M 为BC 中点，MN ⊥AC 于点N ，则MN 等于（ ）A ．65B ．95C ．125D ．165二、直角三角形中遇到斜边上的中点，常联想“斜边上的中线，等于斜边的一半”2、如图，在Ｒｔ⊿ABC 中，∠A=90°,AC=AB,M 、N 分别在AC 、AB 上。

且AN=BM.O 为斜边BC 的中点.试判断△OMN 的形状，并说明理由.3、如图，正方形ABCD 的边长为2, 将长为2的线段QF 的两端放在正方形相邻的两边上同时滑动．如果点Q 从点A 出发，沿图中所示方向按A D C B A →→→→滑动到点A 为止，同时点F 从点B 出发，沿图中所示方向按B A D C B →→→→滑动到点B 为止，那么在这个过程中，线段QF 的中点M 所经过的路线围成的图形的面积为（ ） A. 2 B. 4－π C.π D.1π-NMBO CADA BC 第8题图QFM三、三角形中遇到两边的中点，常联想“三角形的中位线定理” 4、（直接找线段的中点，应用中位线定理）如图，已知四边形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，且AC=BD ，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，MN 分别交BD 、AC 于点E 、F.你能说出OE 与OF 的大小关系并加以证明吗？5、（利用等腰三角形的三线合一找中点，应用中位线定理）如图所示，在三角形ABC 中，AD 是三角形ABC ∠BAC 的角平分线，BD ⊥AD ，点D 是垂足，点E 是边BC 的中点，如果AB=6,AC=14，求DE 的长6、（利用平行四边形对角线的交点找中点，应用中位线定理）如图所示，AB ∥CD ，BC ∥AD ，DE ⊥BE ，DF=EF ，甲从B 出发，沿着BA 、AD 、DF 的方向运动，乙B 出发，沿着BC 、CE 、EF 的方向运动，如果两人的速度是相同的，且同时从B 出发，则谁先到达F 点？7、（综合使用斜边中线及中位线性质，证明相等关系问题）如图，等腰梯形ABCD 中，CD ∥AB ，对角线AC 、BD 相交于点O ，60ACD ∠=︒，点S 、P 、Q 分别是DO 、AO 、BC 的中点.求证：△SPQ 是等边三角形。

一、圆的综合真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．如图，在直角坐标系中，已知点A(－8，0)，B(0，6)，点M在线段AB上。

（1）如图1，如果点M是线段AB的中点，且⊙M的半径等于4，试判断直线OB与⊙M 的位置关系，并说明理由；（2）如图2，⊙M与x轴，y轴都相切，切点分别为E，F，试求出点M的坐标；（3）如图3，⊙M与x轴，y轴，线段AB都相切，切点分别为E，F，G，试求出点M的坐标（直接写出答案）【答案】（1）OB与⊙M相切；（2）M（－247，247）；（3）M（－2，2）【解析】分析：（1）设线段OB的中点为D，连结MD，根据三角形的中位线求出MD，根据直线和圆的位置关系得出即可；（2）求出过点A、B的一次函数关系式是y=34x+6，设M（a，﹣a），把x=a，y=﹣a代入y=34x+6得出关于a的方程，求出即可．（3）连接ME、MF、MG、MA、MB、MO，设ME=MF=MG=r，根据S△ABC=12AO•ME+12BO•MF+12AB•MG=12AO•BO求得r=2，据此可得答案．详解：（1）直线OB与⊙M相切．理由如下：设线段OB的中点为D，如图1，连结MD，∵点M是线段AB的中点，所以MD∥AO，MD=4，∴∠AOB=∠MDB=90°，∴MD⊥OB，点D在⊙M上．又∵点D在直线OB上，∴直线OB与⊙M相切；（2）如图2，连接ME，MF，∵A（﹣8，0），B（0，6），∴设直线AB的解析式是y=kx+b，∴806k bb-+=⎧⎨=⎩，解得：k=34，b=6，即直线AB的函数关系式是y=34x+6．∵⊙M与x轴、y轴都相切，∴点M到x轴、y轴的距离都相等，即ME=MF，设M（a，﹣a）（﹣8＜a＜0），把x=a，y=﹣a代入y=34x+6，得：﹣a=34a+6，得：a=﹣24 7，∴点M的坐标为（﹣242477，）．（3）如图3，连接ME、MF、MG、MA、MB、MO，∵⊙M与x轴，y轴，线段AB都相切，∴ME⊥AO、MF⊥BO、MG⊥AB，设ME=MF=MG=r，则S△ABC=12AO•ME+12BO•MF+12AB•MG=12AO•BO．∵A（﹣8，0），B（0，6），∴AO=8、BO=6，AB=22AO BO=10，∴12r•8+12r•6+12r•10=12×6×8，解得：r=2，即ME=MF=2，∴点M的坐标为（﹣2，2）．点睛：本题考查了圆的综合问题，掌握直线和圆的位置关系，用待定系数法求一次函数的解析式的应用，能综合运用知识点进行推理和计算是解答此题的关键，注意：直线和圆有三种位置关系：已知⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离是d，当d=r时，直线l和⊙O 相切．2．如图，已知AB是⊙O的直径，点C为圆上一点，点D在OC的延长线上，连接DA，交BC的延长线于点E，使得∠DAC=∠B．（1）求证：DA是⊙O切线；（2）求证：△CED∽△ACD；（3）若OA=1，sinD=13，求AE的长．【答案】（1）证明见解析；（2）2【解析】分析：（1）由圆周角定理和已知条件求出AD⊥AB即可证明DA是⊙O切线；（2）由∠DAC=∠DCE，∠D=∠D可知△DEC∽△DCA；（3）由题意可知AO=1，OD=3，DC=2，由勾股定理可知AD=2，故此可得到DC2=DE•AD，故此可求得DE的长，于是可求得AE的长．详解：（1）∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠CAB+∠B=90°．∵∠DAC=∠B，∴∠CAB+∠DAC=90°，∴AD⊥AB．∵OA是⊙O半径，∴DA为⊙O的切线；（2）∵OB=OC，∴∠OCB=∠B．∵∠DCE=∠OCB，∴∠DCE=∠B．∵∠DAC=∠B，∴∠DAC=∠DCE．∵∠D=∠D，∴△CED∽△ACD；（3）在Rt△AOD中，OA=1，sin D=13，∴OD=OAsinD=3，∴CD=OD﹣OC=2．∵AD=22OD OA-=22．又∵△CED∽△ACD，∴AD CDCD DE=，∴DE=2CDAD=2，∴AE=AD﹣DE=22﹣2=2．点睛：本题主要考查的是切线的性质、圆周角定理、勾股定理的应用、相似三角形的性质和判定，证得△DEC∽△DCA是解题的关键．3．在平面直角坐标系xOy中，点M的坐标为（x1，y1），点N的坐标为（x2，y2），且x1≠x2，y1≠y2，以MN为边构造菱形，若该菱形的两条对角线分别平行于x轴，y轴，则称该菱形为边的“坐标菱形”．（1）已知点A（2，0），B（0，23），则以AB为边的“坐标菱形”的最小内角为；（2）若点C（1，2），点D在直线y=5上，以CD为边的“坐标菱形”为正方形，求直线CD 表达式；（3）⊙O的半径为2，点P的坐标为（3，m）．若在⊙O上存在一点Q，使得以QP为边的“坐标菱形”为正方形，求m的取值范围．【答案】（1）60°；（2）y=x+1或y=﹣x+3；（3）1≤m≤5或﹣5≤m≤﹣1【解析】分析：（1）根据定义建立以AB为边的“坐标菱形”，由勾股定理求边长AB=4，可得30度角，从而得最小内角为60°；（2）先确定直线CD与直线y=5的夹角是45°，得D（4，5）或（﹣2，5），易得直线CD的表达式为：y=x+1或y=﹣x+3；（3）分两种情况：①先作直线y=x，再作圆的两条切线，且平行于直线y=x，如图3，根据等腰直角三角形的性质分别求P'B=BD=1，PB=5，写出对应P的坐标；②先作直线y=﹣x，再作圆的两条切线，且平行于直线y=﹣x，如图4，同理可得结论．详解：（1）∵点A（2，0），B（0，3∴OA=2，OB3．在Rt△AOB中，由勾股定理得：AB22（），∴∠ABO=30°．223∵四边形ABCD是菱形，∴∠ABC=2∠ABO=60°．∵AB∥CD，∴∠DCB=180°﹣60°=120°，∴以AB为边的“坐标菱形”的最小内角为60°．故答案为：60°；（2）如图2．∵以CD为边的“坐标菱形”为正方形，∴直线CD与直线y=5的夹角是45°．过点C作CE⊥DE于E，∴D（4，5）或（﹣2，5），∴直线CD的表达式为：y=x+1或y=﹣x+3；（3）分两种情况：①先作直线y=x，再作圆的两条切线，且平行于直线y=x，如图3．∵⊙O2，且△OQ'D是等腰直角三角形，∴OD2OQ'=2，∴P'D=3﹣2=1．∵△P'DB是等腰直角三角形，∴P'B=BD=1，∴P'（0，1），同理可得：OA=2，∴AB=3+2=5．∵△ABP是等腰直角三角形，∴PB=5，∴P（0，5），∴当1≤m≤5时，以QP为边的“坐标菱形”为正方形；②先作直线y=﹣x，再作圆的两条切线，且平行于直线y=﹣x，如图4．∵⊙O的半径为2，且△OQ'D是等腰直角三角形，∴OD=2OQ'=2，∴BD=3﹣2=1．∵△P'DB是等腰直角三角形，∴P'B=BD=1，∴P'（0，﹣1），同理可得：OA=2，∴AB=3+2=5．∵△ABP是等腰直角三角形，∴PB=5，∴P（0，﹣5），∴当﹣5≤m≤﹣1时，以QP为边的“坐标菱形”为正方形；综上所述：m的取值范围是1≤m≤5或﹣5≤m≤﹣1．点睛：本题是一次函数和圆的综合题，考查了菱形的性质、正方形的性质、点P，Q的“坐标菱形”的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会利用图象解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，注意一题多解，属于中考创新题目．4．如图所示，以Rt△ABC的直角边AB为直径作圆O，与斜边交于点D，E为BC边上的中点，连接DE．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）连接OE，AE，当∠CAB为何值时，四边形AOED是平行四边形？并在此条件下求sin∠CAE的值．【答案】(1)见解析;(2)1010. 【解析】分析：（1）要证DE 是⊙O 的切线，必须证ED ⊥OD ，即∠EDB+∠ODB=90°（2）要证AOED 是平行四边形，则DE ∥AB ，D 为AC 中点，又BD ⊥AC ，所以△ABC 为等腰直角三角形，所以∠CAB=45°，再由正弦的概念求解即可． 详解：（1）证明：连接O 、D 与B 、D 两点， ∵△BDC 是Rt △，且E 为BC 中点， ∴∠EDB=∠EBD ．（2分） 又∵OD=OB 且∠EBD+∠DBO=90°， ∴∠EDB+∠ODB=90°． ∴DE 是⊙O 的切线． （2）解：∵∠EDO=∠B=90°，若要四边形AOED 是平行四边形，则DE ∥AB ，D 为AC 中点， 又∵BD ⊥AC ，∴△ABC 为等腰直角三角形． ∴∠C AB=45°． 过E 作EH ⊥AC 于H ， 设BC=2k ，则EH=2k ，AE=5k ， ∴sin ∠CAE=10EH AE．点睛：本题考查的是切线的判定，要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心和这点（即为半径），再证垂直即可．5．如图，A 是以BC 为直径的⊙O 上一点，AD ⊥BC 于点D ，过点B 作⊙O 的切线，与CA 的延长线相交于点E ，G 是AD 的中点，连结CG 并延长与BE 相交于点F ，延长AF 与CB 的延长线相交于点P ． （1）求证：BF =EF ：（2）求证：PA 是⊙O 的切线；（3）若FG=BF，且⊙O的半径长为32，求BD的长度.【答案】(1)证明见解析；(2) 证明见解析；（3）22【解析】分析：（1）利用平行线截三角形得相似三角形，得△BFC∽△DGC且△FEC∽△GAC，得到对应线段成比例，再结合已知条件可得BF=EF；（2）利用直角三角形斜边上的中线的性质和等边对等角，得到∠FAO=∠EBO，结合BE是圆的切线，得到PA⊥OA，从而得到PA是圆O的切线；（3）点F作FH⊥AD于点H，根据前两问的结论，利用三角形的相似性质即可以求出BD 的长度．详解：证明：(1)∵BC是圆O的直径，BE是圆O的切线，∴EB⊥BC.又∵AD⊥BC，∴AD∥BE.∴△BFC∽△DGC，△FEC∽△GAC，∴BFDG=CFCG，EFAG=CFCG，∴BFDG=EFAG，∵G是AD的中点，∴DG=AG，∴BF=EF；(2)连接AO，AB.∵BC是圆O的直径，∴∠BAC=90°，由(1)得：在Rt△BAE中，F是斜边BE的中点，∴AF=FB=EF，可得∠FBA=∠FAB，又∵OA=OB，∴∠ABO =∠BAO ， ∵BE 是圆O 的切线， ∴∠EBO =90°， ∴∠FBA +∠ABO =90°， ∴∠FAB +∠BAO =90°， 即∠FAO =90°， ∴PA ⊥OA ， ∴PA 是圆O 的切线；（3）过点F 作FH ⊥AD 于点H ，∵BD ⊥AD ，FH ⊥AD ， ∴FH ∥BC ，由(2)，知∠FBA =∠BAF ， ∴BF =AF . ∵BF =FG ， ∴AF =FG ，∴△AFG 是等腰三角形. ∵FH ⊥AD ， ∴AH =GH ， ∵DG =AG ， ∴DG =2HG . 即12HG DG =， ∵FH ∥BD ，BF ∥AD ，∠FBD =90°， ∴四边形BDHF 是矩形， ∴BD =FH ， ∵FH ∥BC ∴△HFG ∽△DCG ， ∴12FH HG CD DG ==， 即12BD CD =，∴23 2.15，3∵O的半径长为32，∴BC=62，∴BD=1BC＝22.3点睛：本题考查了切线的判定、勾股定理、圆周角定理、相似三角形的判定与性质.结合已知条件准确对图形进行分析并应用相应的图形性质是解题的关键.6．如图1，等边△ABC的边长为3，分别以顶点B、A、C为圆心，BA长为半径作AC、CB、BA，我们把这三条弧所组成的图形称作莱洛三角形，显然莱洛三角形仍然是轴对称图形，设点l为对称轴的交点．（1）如图2，将这个图形的顶点A与线段MN作无滑动的滚动，当它滚动一周后点A与端点N重合，则线段MN的长为；（2）如图3，将这个图形的顶点A与等边△DEF的顶点D重合，且AB⊥DE，DE=2π，将它沿等边△DEF的边作无滑动的滚动当它第一次回到起始位置时，求这个图形在运动过程中所扫过的区域的面积；（3）如图4，将这个图形的顶点B与⊙O的圆心O重合，⊙O的半径为3，将它沿⊙O的圆周作无滑动的滚动，当它第n次回到起始位置时，点I所经过的路径长为（请用含n的式子表示）【答案】（1）3π；（2）27π；（3）3．【解析】试题分析：（1）先求出AC的弧长，继而得出莱洛三角形的周长为3π，即可得出结论；（2）先判断出莱洛三角形等边△DEF绕一周扫过的面积如图所示，利用矩形的面积和扇形的面积之和即可；（3）先判断出莱洛三角形的一个顶点和O重合旋转一周点I的路径，再用圆的周长公式即可得出．试题解析：解：（1）∵等边△ABC的边长为3，∴∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°，AC BC AB ==，∴AC BC l l ==AB l =603180π⨯=π，∴线段MN 的长为AC BC AB l l l ++=3π．故答案为3π；（2）如图1．∵等边△DEF 的边长为2π，等边△ABC 的边长为3，∴S 矩形AGHF =2π×3=6π，由题意知，AB ⊥DE ，AG ⊥AF ，∴∠BAG =120°，∴S 扇形BAG =21203360π⨯=3π，∴图形在运动过程中所扫过的区域的面积为3（S 矩形AGHF +S 扇形BAG ）=3（6π+3π）=27π；（3）如图2，连接BI 并延长交AC 于D ．∵I 是△ABC 的重心也是内心，∴∠DAI =30°，AD =12AC =32，∴OI =AI =3230AD cos DAI cos ∠=︒=3，∴当它第1次回到起始位置时，点I所经过的路径是以O 为圆心，OI 为半径的圆周，∴当它第n 次回到起始位置时，点I 所经过的路径长为n •2π•3=23n π．故答案为23n π．点睛：本题是圆的综合题，主要考查了弧长公式，莱洛三角形的周长，矩形，扇形面积公式，解（1）的关键是求出AC 的弧长，解（2）的关键是判断出莱洛三角形绕等边△DEF 扫过的图形，解（3）的关键是得出点I 第一次回到起点时，I 的路径，是一道中等难度的题目．7．在O 中，AB 为直径，C 为O 上一点.（Ⅰ）如图①，过点C 作O 的切线，与AB 的延长线相交于点P ，若28CAB ∠=︒，求P ∠的大小；（Ⅱ）如图②，D 为弧AC 的中点，连接OD 交AC 于点E ，连接DC 并延长，与AB 的延长线相交于点P ，若12CAB ∠=︒，求P ∠的大小. 【答案】（1）∠P ＝34°；（2）∠P ＝27°【解析】【分析】（1）首先连接OC，由OA=OC，即可求得∠A的度数，然后由圆周角定理，求得∠POC的度数，继而求得答案；（2）因为D为弧AC的中点，OD为半径，所以OD⊥AC，继而求得答案．【详解】（1）连接OC，∵OA＝OC，∴∠A＝∠OCA＝28°，∴∠POC＝56°，∵CP是⊙O的切线，∴∠OCP＝90°，∴∠P＝34°；（2）∵D为弧AC的中点，OD为半径，∴OD⊥AC，∵∠CAB＝12°，∴∠AOE＝78°，∴∠DCA＝39°，∵∠P＝∠DCA﹣∠CAB，∴∠P＝27°．【点睛】本题考查切线的性质以及等腰三角形的性质．注意准确作出辅助线是解此题的关键．8．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O与边BC交于点D，DE⊥AC，垂足为E，交AB的延长线于点F．(1)求证：EF是⊙O的切线；(2)若∠C＝60°，AC＝12，求BD的长．(3)若tan C＝2，AE＝8，求BF的长．【答案】(1)见解析;(2) 2π；(3)103. 【解析】 分析：（1）连接OD ，根据等腰三角形的性质：等边对等角，得∠ABC=∠C ，∠ABC=∠ODB ，从而得到∠C=∠ODB ，根据同位角相等，两直线平行，得到OD ∥AC ，从而得证OD ⊥EF ，即 EF 是⊙O 的切线；（2） 根据中点的性质，由AB=AC=12 ，求得OB=OD=12AB =6，进而根据等边三角形的判定得到△OBD 是等边三角形，即∠BOD=600，从而根据弧长公式七届即可； （3）连接AD ，根据直角三角形的性质，由在Rt △DEC 中, tan 2DE C CE == 设CE=x,则DE=2x ，然后由Rt △ADE 中, tan 2AE ADE DE ∠== ，求得DE 、CE 的长，然后根据相似三角形的判定与性质求解即可.详解：（1）连接OD ∵AB=AC ∴∠ABC=∠C∵OD=OB ∴∠ABC=∠ODB∴∠C=∠ODB ∴OD ∥AC又∵DE ⊥AC ∴OD ⊥DE ，即OD ⊥EF∴EF 是⊙O 的切线（2） ∵AB=AC=12 ∴OB=OD=12AB =6 由（1）得：∠C=∠ODB=600∴△OBD 是等边三角形 ∴∠BOD=600∴BD =6062180ππ⨯= 即BD 的长2π （3）连接AD ∵DE ⊥AC ∠DEC=∠DEA=900在Rt △DEC 中, tan 2DE C CE == 设CE=x,则DE=2x ∵AB 是直径 ∴∠ADB=∠ADC=900 ∴∠ADE+∠CDE=900 在Rt △DEC 中,∠C+∠CDE=900∴∠C=∠ADE 在Rt △ADE 中, tan 2AE ADE DE ∠== ∵ AE=8，∴DE=4 则CE=2∴AC=AE+CE=10 即直径AB=AC=10 则OD=OB=5∵OD//AE ∴△ODF ∽△AEF∴ OF OD AF AE = 即：55108BF BF +=+ 解得：BF=103 即BF 的长为103. 点睛：此题考查了切线的性质与判定、圆周角定理、等腰三角形的性质、直角三角形以及相似三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．9．如图，已知AB 是⊙O 的直径，BC 是弦，弦BD 平分∠ABC 交AC 于F ，弦DE ⊥AB 于H ，交AC 于G ．①求证：AG ＝GD ；②当∠ABC 满足什么条件时，△DFG 是等边三角形？③若AB ＝10，sin ∠ABD ＝35，求BC 的长．【答案】（1）证明见解析；（2）当∠ABC ＝60°时，△DFG 是等边三角形．理由见解析；（3）BC 的长为145． 【解析】【分析】（1）首先连接AD ，由DE ⊥AB ，AB 是O 的直径，根据垂径定理，即可得到AD AE =，然后根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，证得∠ADE ＝∠ABD ，又由弦BD 平分∠ABC ，可得∠DBC ＝∠ABD ，根据等角对等边的性质，即可证得AG=GD ；（2）当∠ABC=60°时，△DFG 是等边三角形，根据半圆（或直径）所对的圆周角是直角与三角形的外角的性质，易求得∠DGF=∠DFG=60°，即可证得结论；（3）利用三角函数先求出tan ∠ABD 34=，cos ∠ABD ＝45，再求出DF 、BF ，然后即可求出BC.【详解】（1）证明：连接AD ，∵DE ⊥AB ，AB 是⊙O 的直径，∴AD AE =，∴∠ADE ＝∠ABD ，∵弦BD 平分∠ABC ，∴∠DBC ＝∠ABD ，∵∠DBC ＝∠DAC ，∴∠ADE ＝∠DAC ，∴AG ＝GD ； （2）解：当∠ABC ＝60°时，△DFG 是等边三角形．理由：∵弦BD 平分∠ABC ，∴∠DBC ＝∠ABD ＝30°，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°，∴∠CAB ＝90°﹣∠ABC ＝30°，∴∠DFG ＝∠FAB+∠DBA ＝60°，∵DE ⊥AB ，∴∠DGF ＝∠AGH ＝90°﹣∠CAB ＝60°，∴△DGF 是等边三角形；（3）解：∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB ＝∠ACB ＝90°，∵∠DAC ＝∠DBC ＝∠ABD ，∵AB ＝10，sin ∠ABD ＝35， ∴在Rt △ABD 中，AD ＝AB•sin ∠ABD ＝6，∴BD8，∴tan ∠ABD ＝34AD BD =，cos ∠ABD ＝4=5BD AB ， 在Rt △ADF 中，DF ＝AD•tan ∠DAF ＝AD•tan ∠ABD ＝6×34＝92， ∴BF ＝BD ﹣DF ＝8﹣92＝72， ∴在Rt △BCF 中，BC ＝BF•cos ∠DBC ＝BF•cos ∠ABD ＝72×45＝145．∴BC的长为：145．【点睛】此题考查了圆周角定理、垂径定理、直角三角形的性质、三角函数的性质以及勾股定理等知识．此题综合性较强，难度较大，解题的关键是掌握数形结合思想与转化思想的应用，注意辅助线的作法．10．已知Rt△ABC，∠BAC＝90°，点D是BC中点，AD＝AC，BC＝43，过A，D两点作⊙O，交AB于点E，（1）求弦AD的长；（2）如图1，当圆心O在AB上且点M是⊙O上一动点，连接DM交AB于点N，求当ON 等于多少时，三点D、E、M组成的三角形是等腰三角形？（3）如图2，当圆心O不在AB上且动圆⊙O与DB相交于点Q时，过D作DH⊥AB（垂足为H）并交⊙O于点P，问：当⊙O变动时DP﹣DQ的值变不变？若不变，请求出其值；若变化，请说明理由．【答案】（1）23（2）当ON等于13﹣1时，三点D、E、M组成的三角形是等腰三角形（3）不变，理由见解析【解析】【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得到AD的长；（2）连DE、ME，易得当ED和EM为等腰三角形EDM的两腰，根据垂径定理得推论得OE⊥DM，易得到△ADC为等边三角形，得∠CAD=60°，则∠DAO=30°，∠DON=60°，然后根据含30°的直角三角形三边的关系得DN=123ON=33DN=1；当MD=ME，DE为底边，作DH⊥AE，由于3∠DAE=30°，得到3，∠DEA=60°，DE=2，于是OE=DE=2，OH=1，又∠M=∠DAE=30°，MD=ME ，得到∠MDE=75°，则∠ADM=90°-75°=15°，可得到∠DNO=45°，根据等腰直角三角形的性质得到；（3）连AP 、AQ ，DP ⊥AB ，得AC ∥DP ，则∠PDB=∠C=60°，再根据圆周角定理得∠PAQ=∠PDB ，∠AQC=∠P ，则∠PAQ=60°，∠CAQ=∠PAD ，易证得△AQC ≌△APD ，得到DP=CQ ，则DP-DQ=CQ-DQ=CD ，而△ADC 为等边三角形，DP-DQ 的值．【详解】解：（1）∵∠BAC ＝90°，点D 是BC 中点，BC ＝∴AD ＝12BC ＝ （2）连DE 、ME ，如图，∵DM ＞DE ，当ED 和EM 为等腰三角形EDM 的两腰，∴OE ⊥DM ，又∵AD ＝AC ，∴△ADC 为等边三角形，∴∠CAD ＝60°，∴∠DAO ＝30°，∴∠DON ＝60°，在Rt △ADN 中，DN ＝12AD ，在Rt △ODN 中，ON ＝3DN ＝1， ∴当ON 等于1时，三点D 、E 、M 组成的三角形是等腰三角形；当MD ＝ME ，DE 为底边，如图3，作DH ⊥AE ，∵AD ＝∠DAE ＝30°，∴DH ∠DEA ＝60°，DE ＝2，∴△ODE 为等边三角形，∴OE ＝DE ＝2，OH ＝1，∵∠M ＝∠DAE ＝30°，而MD ＝ME ，∴∠MDE ＝75°，∴∠ADM ＝90°﹣75°＝15°，∴∠DNO ＝45°，∴△NDH 为等腰直角三角形，∴NH＝DH∴ON ﹣1；综上所述，当ON 等于11时，三点D 、E 、M 组成的三角形是等腰三角形；（3）当⊙O变动时DP﹣DQ的值不变，DP﹣DQ＝23．理由如下：连AP、AQ，如图2，∵∠C＝∠CAD＝60°，而DP⊥AB，∴AC∥DP，∴∠PDB＝∠C＝60°，又∵∠PAQ＝∠PDB，∴∠PAQ＝60°，∴∠CAQ＝∠PAD，∵AC＝AD，∠AQC＝∠P，∴△AQC≌△APD，∴DP＝CQ，∴DP﹣DQ＝CQ﹣DQ＝CD＝23．【点睛】本题考查了垂径定理和圆周角定理：平分弧的直径垂直弧所对的弦；在同圆和等圆中，相等的弧所对的圆周角相等．也考查了等腰三角形的性质以及含30°的直角三角形三边的关系．。

A圆的弧中点条件应用知识目标目标一 掌握垂径定理在圆相关计算中的用法 目标二 熟悉弧中点条件在圆的计算中的应用 第一部分 中考专题考点精讲 1、垂径定理2、弧中点条件已知AB 为e O 直径，M 为»AC 中点，证明： ①BM 平分∠ABC 或∠ABC 的补角；②若OM 交AC 于D ，则OM ∥BC ，OD =12BC ； ③过M 作AB 的垂线交AB 于N ，则MN =12AC ；④直线AM 、BC 交于点P ，则BP =AB ，2BMcos ∠ABM =AB ±BC .A 已知：如图，△ABC 内接于圆O ，AB 为直径，弦CE ⊥AB 于F ，C 是弧AD 的中点，连接AD ，交CE 于P .(1) 求证：P 是△ACQ 的外心；(2) 若AF =2，AD =8，求圆O 的半径.练在△ABG 中，90ABG ∠=︒，以AB 为直径作圆O 交AG 于D 点，弧BD =弧CD ，过D 作AC 的垂线，垂足为E ，ED 的延长线交BG 于F . (1) 求证：BF =DF ； (2) 若 tan G ∠=，AC =2，求圆O 的半径.例2如图，AB 为圆O 的直径，C 为圆O 上一点，过C 作圆O 的切线CE ，作AD ⊥CE 于点D ，连AC . (1) 求证：AC 平分BAD ∠；(2) 连接BD 交AC 于点F ，若57DF BF =，求tan BDE ∠的值.F A BA 图2EA 如图，AB 为圆O 的直径，C 为圆O 上一点，AD 与过C 点的切线垂直，垂足为D ，连AC . (1)求证：AC 平分DAB ∠； (2)延长AB ，交直线DC 于E ，若45AD AB =，求tan E ∠.例3如图，等腰△ABC 中，AC =BC =10，AB =12，以BC 为直径作圆O 交AB 于点D ，交AC 于点G ，DF ⊥AC ，垂足为F ，交CB 的延长线于点E . (1) 求证：直线EF 是圆O 的切线；(2) 求sin E ∠的值.练如图，在△ABC 中，AC =AB ，以AC 为直径作圆O 交BC 于点G ，且D 是BC 中点，DE ⊥AB ，垂足为E ，交AC 的延长线于点F . (1) 求证：直线EF 是圆O 的切线； (2) 若CF =5，2cos 5A ∠=，求sin B ∠E已知AB 是圆O 的直径，AC 是圆O 的弦，点D 是弧ABC 的中点，弦DE ⊥AB 于点F ，DE 交AC 于点G . (1) 如图1，求证：BAC OED ∠=∠;(2) 如图2，过点E 作圆O 的切线交AC 的延长线于点H ，若AF =3，FB =43，求tan DAC ∠的值.练已知：AB 为圆O 的直径，C 、D 为圆O 上的点，C 是优弧AD 的中点，CE ⊥DB 交DB 的延长线于点E . (1) 如图1，判断直线CE 与圆O 的位置关系，并说明理由； (2) 如图2，若CE =4，BE =3，连BC 、CD ，求cos BCD ∠的值.图1A 图2A图1E图2E如图，AB为圆O的直径，C为圆O上一点，过C点的切线CE⊥BD于点E，连接BC.(1)如图1，求证：ABC EBC∠=∠；(2)如图2，延长DO交AC于点P，若56APCP=，求sin A∠的值练如图，△ABC内接于圆O，AB=AC，CD平分ACB∠交O于点D，交AB于点F，连接AO并延长交CD于点E.(1)求证：AD=DE;(2)若DF=CE=2，求BFAF的值.图1A图2A课后作业1、 如图，已知AB 是圆O 的直径，C 是圆O 上一点，AC 平分DAB ∠，AD ⊥CD 于D . （1） 求证：CD 是圆O 的切线；（2） 若点E 为弧AB 的中点（点E 与点C 位于AB 两侧），325AD =，AC =8，求CE 的长.2、 如图，AB 是圆O 的直径，点C 在圆周上，过C 作圆O 的切线，过A 作AE 垂直过点C 的切线于E ，交圆O 于D .（1） 求证：AC 平分EAB ∠;（2） 连BD ，点P 是半圆的中点，DE =1，CE =2，求sin PBD ∠3、如图，AB 是圆O 的直径，点C 是圆O 上一点，AD 与过点C 的切线垂直，垂足为点D ，直线DC 与AB 的延长线相交于点P ，弦CE 平分ACB ∠. (1)求证：△PCF 是等腰三角形； (2)若tan ∠CAB=34，2BE =，求线段PC 的长。

专题39重要的几何模型之中点模型（二）中点模型是初中数学中一类重要模型，它在不同的环境中起到的作用也不同，主要是结合三角形、四边形、圆的运用，在各类考试中都会出现中点问题，有时甚至会出现在压轴题当中，我们不妨称之为“中点模型”，它往往涉及到平分、平行、垂直等问题，因此探寻这类问题的解题规律对初中几何的学习有着十分重要的意义。

常见的中点模型：①垂直平分线模型；②等腰三角形“三线合一”模型；③“平行线+中点”构造全等或相似模型（与倍长中线法类似）；④直角三角形斜边中点模型；⑤中位线模型；⑥中点四边形模型。

本专题就中点模型的后三类模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。

模型1：直角三角形斜边中线模型定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．如图1，若AD为Rt ABC△斜边上的中线，则：（1）12AD BCBD DC；（2）ABD△，ACD△为等腰三角形；（3）2ADB C，2ADC B．DCBAMMAB CDAB CD图1图2拓展：如图2，在由两个直角三角形组成的图中，M为中点，则（1）AM MD；（2）2AMD ABD．模型运用条件：连斜边上的中线（出现斜边上的中点时）【答案】3【分析】根据直角三角形的性质得到即可求出DE．【详解】解：∵∠ACB=90°，点【答案】252/12.5【分析】本题考查了直角三角形的性质、等腰三角形的性质、三角形外角的定义及性质、三角形的面积，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得BAM ABM，A．3【答案】A【分析】根据直角三角形斜边中线定理，斜边上的中线等于斜边的一半可知度最大，即可求解．BA．BE BC【答案】C【分析】由旋转的性质可得可证BCE是等边三角形，【详解】解：∵将ABC 绕点C 按顺时针方向旋转一定角度后得到DEC ，∴AC CD ，BC CE ，AB DE ，60BCE ACD ，30ACB DCE ，∴BCE 是等边三角形，∴BE BC ，故A 正确，不符合题意；∵90ABC ，30ACB ，点F 是边AC 的中点，∴60BAC ，AF FC BF ，∴ABF △是等边三角形，∴AB AF BF CF DE ，在ABC 和CFD △中，AC DC BAC FCD AB CF，∴(SAS)ABC CFD ≌，∴BC DF ，90DFC ABC ，30CDF ACB ，故B 正确，不符合题意；∴BE BC DF ，BF DE ，∴四边形BEDF 是平行四边形，故D 正确，不符合题意；∵30GCF DCF DCE ，∴2CG GF ，∵30CDF ACB GCD ，∴2CG DG GF ，故C 不正确，符合题意；故选：C ．【点睛】本题考查了旋转的性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定等知识，灵活运用各知识点是解题的关键．模型2：中位线模型三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半。

中点弧模型【模型演示】模型解说——中点弧点 P是优弧 AB 上一动点P ①点 C是 AB 的中点②AC=BC2③OC AB ④PC均分 APB OAE1B⑤CPB CBE CE?CP=CB 21= 2， PCB为公共角，子母型相像CA= C ⑥PE?PC=PA?PBAPE PCB 注意：不可以反推出前五项⑥例 1．（2016·深圳）如图，已知⊙ O 的半径为 2,AB 为直径， CD 为弦． AB 与 CD 交于点 M ，⌒将 CD 沿 CD 翻折后，点 A 与圆心 O 重合，延伸 OA 至 P ，使 AP=OA ，连结 PC（ 1）求 CD 的长；（ 2）求证： PC 是⊙ O 的切线；（3）点 G 为 ⌒ 的中点，在 PC 延伸线上有一动点 Q ，连结 QG 交 AB 于点 E ．交 ⌒ 于点F ADB BC（ F 与 B 、 C 不重合）．问 GE ﹒GF 能否为定值？假如是，求出该定值；假如不是，请说明原因．【拓展】 （4）在（ 3）的条件下，当 CF ∥ AB 时，求 FE ·FG 的值例 2.（2017·深圳二模）如图，已知 AB 是⊙ O 的直径，点 C 在⊙ O 上，过点 C 的直线与 AB 的延伸线交于点 P,AC=PC,∠ COB=2∠PCB．（ 1）求证： PC 是⊙ O 的切线；1（ 2）求证： BC=2AB;（ 3）点 M 是弧 AB 的中点， CM 交 AB 于点 N，若 AB=8 ，求 MN · MC 的值．（ 4）在（ 3）的条件下，求 CN· CM 的值例 3．（2016·苏州）如图， AB 是⊙ O 的直径， D、E 为⊙ O 上位于 AB 异侧的两点，连结BD 并延伸至点 C，使得 CD=BD ，连结 AC 交⊙ O 于点 F，连结 AE 、DE、DF．（1）证明：∠ E=∠ C；（2）若∠ E=55°,求∠ BDF 的度数；2⌒（3）设 DE 交 AB 于点 G，若 DF=4,cosB=3,E是AB 的中点，求 EG· ED 的值．例 4. （2019·达州）如图，⊙ O 是△ ABC 的外接圆 ,∠BAC 的均分线交⊙ O 于点 D，交 BC 于点 E，过点 D 作直线 DF∥ BC．（ 1）判断直线 DF 与⊙ O 的地点关系，并说明原因；（ 2）若 AB=6,AE= 12 3 4 75 ,CE= 5 ,求 BD 的长．例 6.（2019·成都有删减）如图， AB 为⊙ O 的直径 ,C,D 为圆上的两点 ,OC∥BD,弦 AD,BC 订交于点 E．⌒⌒（ 1）求证： AC=CD;（ 2）若 CE=1,EB=3，求⊙ O 的半径；例 7.（2015·成都）如图，在 Rt△ABC 中,∠ABC=90° ,AC 的垂直均分线分别与 AC,BC 及 AB 的延伸线订交于点D,E,F,且 BF=BC, ⊙O 是△BEF 的外接圆 ,∠EBF 的均分线交 EF 于点 G，交⊙O 于点 H，连结 BD,FH ．（ 1）求证：△ABC ≌△ EBF;（2）试判断 BD 与⊙ O 的地点关系，并说明原因；（3）若 AB=1 ，求 HG· HB 的值．【练习】（ 2017 ·宝安区二模）如图1在平面直角坐标系xOy 中 , 点A(- 3 ,0),B(3 3 ,0),以AB 为直径的⊙G 交y 轴于C、 D 两点(1) 填空请直接写出⊙G 的半径r、圆心G的坐标（，） r=(2) 如图 2 直线 y= －3x+5与xy轴分别交于F、E两点且经过圆上一点T(23,m), 3求证直线EF 是⊙G 的切线(3)在(2)的条件下如图 3,点 M 是⊙G 优弧 TBA 上的一个动点(不包含 A、T 两点,连结 AT 、CM 、TM ，CM 交 AT 于点 N 试问能否存在一个常数 k 一直知足 CN ·CM=k?假如存在求出k 的值假如不存在请说明原因例 5. （湖北·荆州）已知：如图，抛物线 y= 1 2 2 33x- 3 x+m 与 x 轴交于 A 、 B 两点，与 y 轴交于 C 点 ,∠ ACB=90° ,（1）求 m 的值及抛物线极点坐标；（2）过 A 、 B 、C 的三点的⊙ M 交 y 轴于另一点 D ，连接 DM 并延长交⊙ M 于点 E，过 E 点的⊙ M 的切线分别交 x 轴、 y 轴于点 F、 G，求直线 FG 的解析式；⌒（ 3）在条件（ 2）下，设 P 为 CBD 上的动点（ P 不与 C、 D 重合），连接 PA 交 y 轴于点H ，问能否存在一个常数 k ，一直知足 AH ·AP=k ？假如存在，请写出求解过程；假如不存在，请说明原因．。

重要的几何模型之中点模型(一)中点模型是初中数学中一类重要模型，它在不同的环境中起到的作用也不同，主要是结合三角形、四边形、圆的运用，在各类考试中都会出现中点问题，有时甚至会出现在压轴题当中，我们不妨称之为“中点模型”，它往往涉及到平分、平行、垂直等问题，因此探寻这类问题的解题规律对初中几何的学习有着十分重要的意义。

常见的中点模型：①垂直平分线模型；②等腰三角形“三线合一”模型；③“平行线+中点”构造全等或相似模型(与倍长中线法类似)；④直角三角形斜边中点模型；⑤中位线模型；⑥中点四边形模型。

本专题就中点模型的后三类模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。

模型1：垂直平分线定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等。

如图，在三角形ABC中，DE⊥BC，且D为BC中点，则BE=EC。

模型运用条件：当遇到三角形一边垂线过这边中点时，可以考虑用垂直平分线的性质。

1(2023·河北廊坊·校考三模)如图，已知在菱形ABCD中，连接对角线AC，作BC边的垂直平分线EF，分别交BC、AC、AD于点F、Q、E，若∠EQD=21°，则∠CAB的度数是()A.21°B.37°C.42°D.69°2(2023上·江西南昌·八年级校考阶段练习)如图，已知AB=AC，AB=5，BC=3，以A，B两点为圆心1AB的长为半径画圆弧，两弧相交于点M，N，则△BDC的周长为()2A.8B.10C.11D.133(2023·山东济南·统考二模)如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=15°，分别以A、B为圆心，大于1AB的长为半径画弧，两弧交于M、N两?点，作直线MN交AC于D点，若AD=2，则△ABC的面积为2()A.2B.2+3C.2+3D.424(2023上·辽宁营口·八年级校联考阶段练习)如图，在△ABC中，∠C=90°，∠BAC=30°，AB=14，AD 平分∠BAC，点PQ分别是AB，AD边上的动点，则PQ+BQ的最小值是．5(2022·黑龙江哈尔滨·校考模拟预测)如图，△ABC中，∠C=90°，点D在AC边上，连接BD，点E是AB 的中点，EF⊥AB交BC于点F，∠EFB=2∠CBD，若AE=5，CD=4，则CF的长为．6(2023上·江苏盐城·八年级校联考阶段练习)如图，在△ABC中，∠BAC为钝角，边AB，AC的垂直平分线分别交BC于点D，E．(1)若BD2+CE2=DE2，求∠BAC的大小；(2)若∠ABC的平分线BF和边AC的垂直平分线EF相交于点F，过点F作FG垂直于BA的延长线于点G，求证：BC-AB=2AG．模型2：等腰三角形的“三线合一”定理：等腰三角形底边中线、高线、顶角平分线“三线合一”。