圆压轴八大模型题(3)-双切线组合说课讲解

专题40 圆的“双切线”问题【方法点拨】1.涉及从圆外一点向圆引两条切线的相关线段长计算问题，根据对称性,常将双切线问题转化为一条切线问题，抓住“特征直角三角形”(切点、圆心、圆外点为顶点)，向点与圆心的距离问题转化.2.圆上存在一点、圆心与圆外一点（或圆上存在两点与圆外一点）的张角有最大值，张角最大时，直线与圆相切，转化为点与圆心的距离问题. 【典型题示例】例1 （2020·新课标Ⅰ·理科·11）已知⊙M ：222220x y x y +---=，直线l ：220x y ++=，P 为l 上的动点，过点P 作⊙M 的切线,PA PB ，切点为,A B ，当||||PM AB ⋅最小时，直线AB 的方程为（ ）A. 210x y --=B. 210x y +-=C. 210x y -+=D. 210x y ++=【答案】D【分析】由题意可判断直线与圆相离，根据圆的知识可知，四点,,,A P B M 共圆，且AB MP ⊥，根据22PAM PM AB S PA ⋅==△可知，当直线MP l ⊥时，PM AB ⋅最小，求出以MP 为直径的圆的方程，根据圆系的知识即可求出直线AB 的方程． 【解析】圆的方程可化为()()22114x y -+-=，点M 到直线l 的距离为2d ==，所以直线l 与圆相离．依圆的知识可知，四点,,,A P B M 四点共圆，且AB MP ⊥，所以12222PAM PM AB S PA AM PA ⋅==⨯⨯⨯=△，而PA =当直线MP l ⊥时，min MP =，min 1PA =，此时PM AB ⋅最小．∴()1:112MP y x -=-即1122y x =+，由1122220y x x y ⎧=+⎪⎨⎪++=⎩解得，10x y =-⎧⎨=⎩． 所以以MP 为直径的圆的方程为()()()1110x x y y -++-=，即2210x y y +--=， 两圆的方程相减可得：210x y ++=，即为直线AB 的方程．例2 在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l :y =kx +6上存在点P ，过点P 作圆O : x 2+ y 2=4的切线，切点分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，且x 1 x 2+ y 1y 2=－2，则实数k 的取值范围为 . 【答案】(－∞，－52]∪[52，＋∞)12121212=cos =4cos 2x x y y OA OB OA OB AOB AOB +=⋅∠∠=-，则23AOB π∠=，在△PAC ，∠APC =300，PC =4，当直线l 上的点 P 满足PC =4即满足题意.又因为点C 与直线上点间的距离，以垂线段最短，故只需C 到直线的距离不大于4.由点到直线的距离公式得：2641k ≤+，解之得5522k k ≤-≥或 所以k 的取值范围为(－∞，－52]∪[52，＋∞). 例 3 过点)1,1(-P 作圆C :)(1)2()(22R t t y t x ∈=+-+- 的切线,切点分别为B A ,,则PA PB ⋅ 的最小值为__________.【答案】214【分析】为了求出PA PB ⋅的最小值，需建立目标函数，这里选择使用数量积的定义作为突破口，选择线段PC 长为“元”. 设∠APC =θ，则1sin PC θ=，222cos 212sin 1PC θθ=-=-， 故222222cos 2(1)(1)3PA PB PA PB PC PC PC PCθ⋅==--=+- 又点(,2)C t t -在直线20x y --=，故22PC ≥即28PC ≥所以2218384PA PB ⋅≥+-= 故PA PB ⋅ 的最小值为214.点评：（1）求最值问题要牢固树立建立目标函数的意识；（2）涉及从圆外一点向圆引两条切线的相关线段长计算问题，常将双切线问题转化为一条切线问题，抓住“特征直角三角形”，向点与圆心的距离问题转化.例4 已知圆O ：x 2＋y 2＝1，圆M ：(x ＋a ＋3)2＋(y －2a )2＝1(a 为实数)．若圆O 与圆M上分别存在点P ，Q ，使得∠OQP ＝30︒，则a 的取值范围为 ． 【答案】[－65，0]【分析】双动点问题先转化为一点固定不动，另一点动.这里，先将Q 固定不动，则点P 在圆O 运动时，当PQ 为圆O 的切线时，∠OQP 最大，故满足题意，需∠OQP ≥30︒，再将角的范围转化为O 、Q 间的距离问题，即需OQ ≤2.再固定P 不动，易得只需OM ≤3即可，利用两点间距离公式(a ＋3)2＋(2a )2≤9，解得－65 ≤a ≤ 0.点评：圆上存在一点（或两点）与圆外一点的张角问题，张角最大时，直线与圆相切，转化为点与圆心的距离问题.例5 平面直角坐标系xOy 中，点P 在x 轴上，从点P 向圆C 1：x 2＋(y －3)2＝5引切线，切线长为d 1，从点P 向圆C 2：(x －5)2＋(y ＋4)2＝7引切线，切线长为d 2，则d 1＋d 2的最小值为_____． 【答案】52【分析】求切线长问题再利用数形结合思想解决最值问题. 【解析】设点P (x ，0)，则d 1＝ x 2＋(－3)2－5，d 2＝ (x －5)2＋42－7，d 1＋d 2＝ x 2＋4＋(x －5)2＋9，几何意义：点P (x ，0)到点M (0，2)，N (5，－3)的距离和． 当M ，P ，N 三点共线时，d 1＋d 2有最小值52，此时P (2，0).【巩固训练】1.在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C ：x 2＋(y －3)2＝2，点A 是x 轴上的一个动点，AP ，AQ 分别切圆C 于P ，Q 两点，则线段PQ 的长的取值范围是________．2.已知圆M ：(x －1)2＋(y －1)2＝4，直线l ：x ＋y －6＝0，A 为直线l 上一点．若圆M 上存在两点B ，C ，使得∠BAC ＝60°，则点A 横坐标的取值范围是__________．3.已知椭圆C 1：22221x y a b +=（a ＞b ＞0）与圆C 2：22234b x y +=，若在椭圆C 1上不存在点P ，使得由点P 所作的圆C 2的两条切线互相垂直，则椭圆C 1的离心率的取值范围是_______4.在平面直角坐标系xOy 中，已知圆O : x 2+ y 2= r 2(r ＞0) 与圆C : (x －6)2+ (y －8)2=4，过圆O 上任意一点P 作圆C 的切线，切点分别为A ，B ，6PA PB +≥，则实数r 的取值范围为 .5.在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C ：22(3)(4)16x y +++=，若对于直线10x my ++= 上的任意一点P ，在圆C 上总存在Q 使∠PQC ＝2π，则实数m 的取值范围为 ． 6.在平面直角坐标系xOy 中，已知圆O ：x 2＋y 2＝1，直线l ：x ＋ay －3＝0(a >0)，过直线l 上一点P 作圆O 的两条切线，切点分别为M ，N .若PM →·PN →＝23，则正实数a 的取值范围是________．7. 过直线l ：y ＝x －2上任意一点P 作圆C ：x 2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，当切线最短时，△PAB 的面积为________．8. 已知圆C ：(x －1)2＋(y －4)2＝10上存在两点A ，B ，P 为直线x ＝5上的一个动点．且满足AP ⊥BP ，那么点P 的纵坐标的取值范围是________．【答案与提示】1.【答案】 [2314,22)【提示】直线与圆相切时，利用所得到的直角三角形，向点与圆心的距离问题转化. 2．【答案】[1，5]【提示】∠BAC 最大时，直线与圆相切，转化为点与圆心的距离问题. 3.【答案】3(0,)3【分析】如图，设过点P 的两条直线与圆2C 分别切于点M N ，，由两条切线相互垂直，可知62OP b =，由题知OP a >，解得63b a >，又21b e a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭即可得出结果. 【解析】如图，设过点P 的两条直线与圆2C 分别切于点M N ，，由两条切线相互垂直， 可知36=222OP b b ⨯=， 又因为在椭圆C 1上不存在点P ，使得由点P 所作的圆C 2的两条切线互相垂直， 所以OP a >，即得62b a >，所以63b a >， 所以椭圆C 1的离心率22222631133c a b b e a a a ⎛⎫-⎛⎫===-<-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 又0e >，所以303e <<. 4.【答案】(][)+∞⋃,146,0 5.【答案】3(,)4+∞6.【答案】[2，+∞]【解析】如下图，设∠MPO ＝α，由切线的性质知∠NPO ＝α，PM ＝PN ，则PM →·PN →＝|PM →|·|PN →|·cos 2α＝|PN →|2(1－2sin 2α)＝23，即(PO 2－1)⎝⎛⎭⎪⎫1－2PO 2＝23，解得PO ＝3，故点P 的轨迹为x 2＋y 2＝3. 因为点P 在直线l ：x ＋ay －3＝0(a >0)上，所以直线l 与圆x 2＋y 2＝3有交点，即圆心到直线l 的距离为d ＝|－3|1＋a2≤3，解得a ≥ 2.7.【答案】12 8.【答案】[2,6]。

圆压轴题八大模型题(一)市七中佳彼学校易建洪引言：与圆有关的证明与计算的综合解答题，往往位于许多省市中老题中的倒数第二题的位責上，是试卷中综合性与难度都比较大的习题。

一般都会在固定习题模型的基础上变化与括展，本文结合近年来各省市中考题，整理了这些习题的常见的结论，破题的要点，常用技巧。

把握了这些方法与技巧，就能台阶性地帮助考生解决问题。

类型1弧中点的运用在OO中，点O是处的中点，CE1AB于点£(1)在图】中，你会发现这些结论吗？CP= FP\② CH= AD\©AC^ = AP- AD=CF・ CB=AE・ SB.(2)在图2中，你能找出所有与相似的三角形吗?【分析】(1)①由等弧所对的圆周角相等及同角或等角的余角相等得：ZCAD= LAC巳/_ PCF= Z 所以AP= CP= FP.(1)②由垂径定理和弧中点的性质得，DC= AC= AH, 再由弧脅加得：CH^AD^X CH= AD.⑴③由共边角相似易证：\ACEs、ABC4ACPs“ADC4ACFs、BCA送而得AC1 =AE AB^ACr^APAaACr^CF CB:(2)垂径定理的推论得：CO丄SD易证：RtA/45C<^RtA C55^>RtA BD2 RtAZCG^RtACG^此外还有RtA/4^£^RtAZOG^RtA^5D^RtAC^G.运用这些相似三角形可以解决相关的计算与证明题.建议：将下列所有例题与习题转化到图】或图2上观察、比较、思考和总结。

【典例】(2018 •永州)如图，线段处为OO的直径，点C F在OO上，BC=CE, CQ丄S3,垂足为点O连接BE、弦3F与线段CQ相交于点F.(1)求证：CF= BF\⑵若COSZ/I5F=A,在S3的延长线上取一点M使购=4, OO的半径为6.求证:5・・ •专业【分析】（1）延长OQ 与圆相交，由垂径定理得到缸 =BG,再由BC=CE^到五=血=无，等弧所对的 角相等，等角对等边。

2.圆的双切线模型及应用圆的双切线模型是圆中常见的一类考题，由于其结论丰富，变化多端，颇受命题人的热爱，2020年的理数全国一卷的选择题11题就是一个典例应用.尽管如此，在实际应用中，学生对该模型中的相关几何结论的理解和使用仍然显得办法不多，因此，本文将系统的梳理一下圆的双切线模型中的常见结论及应用，希望提升同学们对这类问题的解决能力.如图1，从圆外任一点),(00y x P 向圆引两条切线，圆心C ，两切点B A ,，我们把线段PB P A ，的长度叫做切线长，设圆的半径为r ，则四边形P ABC 具有如下的性质：1.P AC PBC ；PB P A .2.切线长的计算：22r PC PB P A,当半径给定，切线长最小等价于PC 最小.3.C B A P AP CA BP BC ,,,, 四点共圆180 ACB APB ，C B A P ,,,的外接圆以PC 为直径 PC AB AP BC PB AC （托勒密定理）.4.PC 平分ACB APB ，.5.222r PC r PB BC S S PBC P ABC ，当半径给定，四边形P ABC 最小等价于PC 最小.6.假设 2 APC BPC 且PCrPC BCsin .由基本的三角恒等关系可知：22(21sin 212cos PCr ，故可得：2cos ||||P A PB PB P A 224222232](21[)(r PC r PC PC r r PC .对2PC 使用均值不等式可得 PB P A 最小值.图17.假设),(00y x P ，圆C 的方程为022 F Ey Dx y x （0422 F E D ）则切点弦AB 的方程为：0220000 F yy E x x Dy y x x .可以看到，该模型中的很多几何量最终都可以建立为PC 的函数从而求得最小值，这是应该注意的地方.下面我们将通过几个例子详细展示圆的双切线模型在高考以及模考中的应用，进一步体会相关结论的用途.例1.若P 是直线l ：3490x y 上一动点，过P 作圆C ：2240x y x 的两条切线，切点分别为A ，B ，则四边形PACB 面积的最小值为（）B．D．解析：考察性质5.因为直线与圆相切，所以90PAC PBC ，且PAC PBC ≌所以四边形PACB 面积12222PAC S S AC PA PA ，又PA，所以当PC 最小时，P A 最小，四边形PACB 面积的最小值，由图象可得，PC 最小值即为点C 到直线3490x y 的距离，所以min 3PC，所以min PA 所以四边形PACB面积的最小值2S PA ，故选：B例2.（2020全国1卷）已知⊙M：222220x y x y ，直线l ：220x y ，P 为l 上的动点，过点P 作⊙M 的切线,PA PB ，切点为,A B ，当||||PM AB 最小时，直线AB 的方程为（）A．210x y B．210x y C．210x y D．210x y 解析：综合考察性质3，5,7.圆的方程可化为 22114x y ，点M 到直线l的距离为2d，所以直线l 与圆相离．依圆的知识可知，四点,,,A P B M 四点共圆，且AB MP ，所以14442PAM PM AB S PA AM PA，而PA，当直线MP l时，min MP ，min 1PA ，此时PM AB 最小．∴ 1:112MP y x 即1122y x ，由1122220y x x y解得，10x y．所以以MP 为直径的圆的方程为 1110x x y y ，即2210x y y ，两圆的方程相减可得：210x y ，即为直线AB 的方程．我们在平时解析几何的教学与备考中，应该更加深入地总结出一些常见常考的解析几何模型及应用，这样就更好地展示出了解析几何的生命力，使得学生可以从几何与代数多角度来研究问题，提高学生的数学素养.练习题.1．已知圆C ： 22111x y ，P 是直线10x y 的一点，过点P 作圆C 的切线，切点为A ，B ，则PC AB 的最小值为（）B．C．2．设P 为圆224x y 外一点，过P 引圆的切线，两切点分别为A 和B ，若4PA PB，则cos APB （）A．21C．2D．23．过椭圆2213627x y 上一点P 分别向圆 221:34C x y 和圆 222:31C x y 作切线，切点分别为M 、N ，则222PM PN 的最小值为（）A．90B．102C．107D．1654．已知点P 是直线:260l x y 上的动点，过点P 作圆222:(2)C x y r (0)r 的两条切线PM ，PN ，M ，N 为切点.若MPN 的最大值为60 ，则r 的值为（）A．2B．1C．D5．已知圆C ：224210x y x y ，点P 是直线4y 上的动点，过P 作圆的两条切线，切点分别为A ，B ，则AB 的最小值为（）6．已知圆22:(2)(6)4 C x y ，点M 为直线:80l x y 上一个动点，过点M 作圆C 的两条切线，切点分别为A ，B ，则当四边形CAMB 周长取最小值时，四边形CAMB 的外接圆方程为（）A．22(7)(1)4 x y B．22(1)(7)4 x y C．22(7)(1)2x y D．22(1)(7)2x y7．已知 3,4P ，过点P 作圆 22:11C x a y a （a 为参数，且a R ）的两条切线分别切圆C 于点A 、B ，则sin APB 的最大值为（）A．1B．128．已知圆22:20C x y x ，直线:10l x y ，P 为l 上的动点，过点P 作圆C 的两条切线PA 、PB ，切点分别A 、B ，当·PC AB 最小时，直线AB 的方程为（）A．0x y B．0x y C．2210x y D．2210x y5.解析：圆C ：224210x y x y 化为标准方程： 22214 x y ，其圆心 2,1C ,半径2r .过点P 引圆C 的两条切线,切点分别为点A、B ,如图：在△PAC 中,有11||||||||222PAC AB S CA AP CP，即||||||4AB AP CP ，变形可得：4||||||AP AB CP.设||CP x ，则44||AB x 所以当||CP 的值即x 最小时，24x 的值最大，此时||AB 最小.而||CP 的最小值为点C 到直线4y 的距离，即min ||3CP ，所以min ||AB .故选：B6.解析：圆22:(2)(6)4 C x y 的圆心(2,6)C ，半径2r ，点C 到直线l 的距离dCA AM ，四边形CAMB 周长2||2||44CA AM 48 ，当且仅当CM l 时取“=”，此时直线:80CM x y ，由8080x y x y得点(0,8)M ，四边形CAMB 的外接圆圆心为线段CM 中点(1,7)22(1)(7)2 x y .故选：D7.解析：圆心 ,1C a a ，半径为1，圆心C 在直线1y x 上运动，设APC ，则2APB ，由圆的几何性质可知1tan AC PA PA，所以，2222sin cos 2tan 22sin sin 211sin cos tan 1tan tan APB PA PA，当直线PC 与直线1y x 垂直时，PC取最小值，则PA 且min2PC，则min PAPA ，由双勾函数的单调性可知，函数1yx x在上为增函数，且10y x x，故函数21f xx x在上为减函数，故当PAsin APB取得最大值42.故选：C.8.解析：圆C 的标准方程为 2211x y ，圆心为 1,0，半径为1r .依圆的知识可知，四点P ，A ，B ，C 四点共圆，且AB ⊥PC ，所以14422PAC PC AB S PA AC PA△，而PA当直线PC ⊥l 时，PA 最小，此时PC AB 最小.结合图象可知，此时切点为 0,0,1,1 ，所以直线AB 的方程为y x ，即0x y .故选：A。

圆的切线的判定(教案)第一章：圆的切线定义与性质1.1 圆的切线定义引入圆的切线概念，讲解圆的切线是如何与圆相切的。

通过图形和实例，让学生理解圆的切线的特点。

1.2 圆的切线性质讲解圆的切线的性质，包括切线与半径垂直、切线与圆心连线垂直等。

提供相关的定理和公式，让学生能够熟练掌握。

第二章：圆的切线判定定理2.1 第一判定定理讲解第一判定定理，即如果一条直线与圆相切，这条直线的斜率等于过切点的半径的斜率。

提供定理的证明和相关的例题，让学生能够理解和应用。

2.2 第二判定定理讲解第二判定定理，即如果一条直线与圆相切，这条直线与圆的切点处的切线垂直于直线。

提供定理的证明和相关的例题，让学生能够理解和应用。

第三章：圆的切线方程3.1 切线方程的定义讲解切线方程的定义，即切线的一般式和点斜式。

引导学生理解切线方程与圆的切线的关系。

3.2 切线方程的求法讲解如何求解圆的切线方程，包括给定圆的方程和切点的坐标等。

提供相关的例题和练习题，让学生能够熟练掌握。

第四章：圆的切线与圆的位置关系4.1 切线与圆相离讲解切线与圆相离的情况，即切线与圆没有交点。

提供相关的例题和练习题，让学生能够理解和应用。

4.2 切线与圆相切讲解切线与圆相切的情况，即切线与圆只有一个交点。

提供相关的例题和练习题，让学生能够理解和应用。

第五章：圆的切线综合应用5.1 切线与圆的交点问题讲解如何求解切线与圆的交点，包括切线与圆的方程联立等。

提供相关的例题和练习题，让学生能够熟练掌握。

5.2 切线与圆的切点问题讲解如何求解切线与圆的切点，包括切线的斜率和切线方程等。

提供相关的例题和练习题，让学生能够熟练掌握。

第六章：圆的切线与圆的性质6.1 切线与圆的切点性质讲解切线与圆的切点的性质，如切点处的切线与半径垂直。

提供相关的定理和公式，让学生能够熟练掌握。

6.2 切线与圆的切线性质讲解切线与圆的切线的性质，如切线与圆心连线垂直。

提供相关的定理和公式，让学生能够熟练掌握。

圆压轴题八大模型题（一）引言：与圆有关的证明与计算的综合解答题，往往位于许多省市中考题中的倒数第二题的位置上，是试卷中综合性与难度都比较大的习题。

一般都会在固定习题模型的基础上变化与括展，本文结合近年来各省市中考题，整理了这些习题的常见的结论，破题的要点，常用技巧。

把握了这些方法与技巧，就能台阶性地帮助考生解决问题。

类型1 弧中点的运用 在⊙O 中，点C 是⌒AD 的中点，CE ⊥AB 于点E .（1）在图1中，你会发现这些结论吗？ ①AP ＝CP ＝FP ； ②CH ＝AD ；②AC 2＝AP ·AD ＝CF ·CB ＝AE ·A B .（2）在图2中，你能找出所有与△ABC 相似的三角形吗？【典例】（2018·湖南永州）如图，线段AB 为⊙O 的直径，点C ，E 在⊙O 上，＝，CD ⊥AB ，垂足为点D ，连接BE ，弦BE 与线段CD 相交于点F ． （1）求证：CF ＝BF ；（2）若cos ∠ABE ＝，在AB 的延长线上取一点M ，使BM ＝4，⊙O 的半径为6．求证：直线CM 是⊙O 的切线．【变式运用】1.（2018·四川宜宾）如图，AB 是半圆的直径，AC 是一条弦，D 是AC 的中点，DE ⊥AB 于点E 且DE 交AC 于点F ，DB 交AC 于点G ，若＝，OHP F EDCBA（图1）（图1-2）则＝ ．2.（2018·泸州）如图，在平行四边形ABCD 中，E 为BC 边上的一点，且AE 与DE 分别平分∠BAD 和∠ADC 。

(1)求证：AE ⊥DE ；(2)设以AD 为直径的半圆交AB 于F ，连接DF 交AE 于G ，已知CD ＝5，AE ＝8，求FGAF值。

3. （2017·泸州）如图，△ABC 内接于⊙O ，AB 是⊙O 的直径，C 是AD 的中点，弦CE ⊥AB 于点H ，连结AD ，分别交CE 、BC 于点P 、Q ，连结BD 。

圆压轴题八大模型题（三）引言：与圆有关的证明与计算的综合解答题，往往位于许多省市中考题中的倒数第二题的位置上，是试卷中综合性与难度都比较大的习题。

一般都会在固定习题模型的基础上变化与括展，本文结合近年来各省市中考题，整理了这些习题的常见的结论，破题的要点，常用技巧。

把握了这些方法与技巧，就能台阶性地帮助考生解决问题。

类型3双切线组合径在直角边——直径在直角三角形的直角边上.Rt△PBC中，∠ABC＝90°，Rt△PBC的直角边PB上有一点A，以线段AB为直径的⊙O与斜边相切于点D.【分析】(1)由PC=226810+=,△POD∽△PCB得DO POBC PC=，∴8610r r-=，∴r=3.(2)设BC=CD=x，在Rt△PBC中，82+x2=(4+x)2,得BC=x=6.(3)在Rt△PDO中，42+r2=(2+r)2,解得r=3.(4)由△PDA∽△PBD得：PD2=PA⋅PB.(5)由△PDA∽△PBD得1tan2PD PA ADPB PD DBα====，PB=8,∴PD=4,PA=2,AB=6.设AD=x,DB=2x,在Rt△ADB中，x2+(2x)2=62,∴AD=x=65 5.(6)由∠DEC=∠ADB=90°得OC∥AD.(7)由AB=2,则OB=1,又BC=2OC=21(2)3+=,在Rt△OBC中，BE⊥OC，得OE=33,由中位线定理得：AD=2OE=233.DB=263,由△PDA∽△PBD得：12PA ADPD DB==,设PA=x,则PD=2x,在Rt△PDO中，(2x)2+1=(x+1)2得x=2,∴PA=2,PD=22.(8)由AD∥OC得21PA PDAO DC==,设AO=DO=BO=m，OPDCBA(4)PD2＝P A⋅PB;(5)PB＝8，tanα＝12，求P A和A D.ABCDPOα(6)求证:OC∥AD（变式）.(7)若AB＝2,BC＝,求AD、PD、PA的长.图(1) 图(2) 图(3)(1)PB＝8,BC＝6,求⊙O的半径r.(2)PD＝4,PB＝8,求BC的长.(3)PD＝4,P A＝2,求⊙O的半径r.DOECBAPDOECBAP则PA=2m ，P0=3m ，PD=22m ，由△PDA ∽△PBD 得12PA AD PD DB ==,且AD+BD=2+22， ∴AD=2,BD=22,则AB=23=2m,∴m=3,PB=33,PD=26,PC=36,BC=33, S △PBC=12BC ⋅PB=13.5.【典例】（2018·四川乐山）如图，P 是⊙O 外的一点，PA 、PB 是⊙O 的两条切线，A 、B 是切点，PO 交AB 于点F ，延长BO 交⊙O 于点C ，交PA 的延长交于点Q ，连结A C ． （1）求证：AC ∥PO ；（2）设D 为PB 的中点，QD 交AB 于点E ，若⊙O 的半径为3，CQ ＝2，求的值．【分析】（1）由等腰三角形三线合一与直径所对的圆周角是直角得同位角相等。

圆中的重要模型-圆中的全等三角形模型知识储备：垂径定理及推理、圆周角、圆心角、弧、弦、弦心距的关系等。

圆中常见全等模型：切线长模型、燕尾模型、蝴蝶模型、手拉手（旋转）模型、对角互补模型、半角模型。

模型1、切线长模型图1 图21）切线长模型（标准类）条件：如图1，P为O外一点，P A，PB是O的切线，切点分别为A，B。

结论：①△OAP≌△OBP；②∠AOB+∠APB=180°；③OP垂直平分AB；2）切线长模型（拓展类）条件：如图2，AD，CD，BC是O的切线，切点分别为A，E，B。

结论：①△AOD≌△EOD；②△BOC≌△EOC；③AD+BC=DC；④∠DOC=90°；切O于A B､60,O的半径为C ．点A 、B 都在以P O 为直径的圆上D ．P C 为B P A △的边A B 上的中线例3．（2023·河南信阳·二模）小倩用橡皮泥做了一个不倒翁如图所示，小倩从正面看发现M A 、M B 分别切O于点A 、B ，直径C D 所在的直线经过点M ，连接A B ．(1)小倩发现O M 垂直平分A B ，请说明理由；(2)若O的半径为3c m ，①当M D=______时，四边形A C B M为菱形；②当M D =______时，四边形A O B M 为正方形．模型2. 燕尾模型条件：OA ，OB 是O的半径，OC =OD 。

结论：①△AOC ≌△BOD ；②△P AD ≌△PBC ；例1．（2023·重庆九年级课时练习）如图，以O 为圆心的两个圆中，大圆的半径,O A O B 分别交小圆于点C ，D ，连结,,,A B C D A D B C ，下列选项中不一定正确的是（ ）A ．A CB D= B ．A B C D ∥ C ．2A BC D= D ．A DB C=例2．（2022·河南焦作·统考一模）欧几里得，古希腊数学家，被称为“几何之父”，他最著名的著作《几何原本》是欧洲数学的基础，总结了平面几何五大公设，被广泛的认为是历史上最成功的教科书．他在第Ⅲ卷中提出这样一个命题：“由已知点作直线切于已知圆”．如图，设A是已知点，小圆O为已知圆．具体作法是：以O为圆心，O A为半径作大圆O，连接O A交小圆O于点B，过B作B C O A，交大圆O于点C，连接O C，交小圆O于点D，连接A D，则A D是小圆O的切线．为了说明这一方法的正确性，需要对其进行证明，如下给出了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出“证明”的过程．已知：如图，点A，C和点B，D分别在以O为圆心的同心圆上，_________．求证：___________．证明：例3．（2022秋·江苏·九年级专题练习）如图，已知圆O的直径AB垂直于弦CD于点E，连接CO并延长交AD于点F，且CF⊥AD，连结AC．(1)△ACD为等边三角形；(2)请证明：E是OB的中点；(3)若AB＝8，求CD的长．模型3. 蝴蝶模型条件：OA，OE是O的半径，AD⊥OE，EB⊥OA。

圆压轴⼋⼤模型题-圆内接等边三⾓形泸州市七中佳德学校易建洪引⾔：与圆有关的证明与计算的综合解答题，往往位于许多省市中考题中的倒数第⼆题的位置上，是试卷中综合性与难度都⽐较⼤的习题。

⼀般都是在固定习题模型的基础上变化与括展，本⽂结合近年来各省市中考题，整理了这些习题的常见的结论，破题的要点，常⽤技巧。

把握了这些⽅法与技巧，就能台阶性帮助考⽣解决问题。

类型4 圆内接等边三⾓形如图，点P 为等边△ABC 外接圆劣弧BC 上⼀点.(1) 求证：PA ＝PB ＋PC ；(2) 设PA 、BC 交于点M ，①若BP ＝4，PC ＝2，求CM 的长度.②若AB ＝4，PC ＝2，求CM 的长度.【分析】(1) 证明：连结CD ．在PA 上截取PD=PC ，证得△ACD ≌△BCP ，∴AD=PB ，⼜DP=PC ，因此PA=PB+PC. (2)①⊙O 中△ABM ∽△CPM,12PC MC AB MA == ∴12PC MC AB MA == 设MC=x ，则AM=2x,MN=2-x ，⼜在Rt △AMN 中，由勾股定理得.(2)②过点C 作CE ⊥AP 于E ，过点A 作AN ⊥BC 于点N.由（1）可得AP=BP+CP=4+2=6,Rt △PCE 中，则因此由（2）②可得.【典例】（2018·湖南常德）如图，已知⊙O 是等边三⾓形ABC 的外接圆，点D 在圆上，在CD 的延长线上有⼀点F ，使DF ＝DA ，AE ∥BC 交CF 于E ．（1）求证：EA 是⊙O 的切线；图1图（1）图（2）图（3）（2）求证：BD ＝CF ．【分析】（1）连结OA 后，由∠OAC ＝30°，BC ∥AE 得∠CAE ＝∠BCA ＝60°，因此∠OAE ＝90°证得AE 是⊙O的切线.（2）∠ADF ＝∠ABC ＝60°，且DF ＝DA 得等边△ADF ，且△ABC 也是等边三⾓形，可得△ADB ≌△AFC ，因此BD ＝CF .【解答】证明：（1）连接OD ，∵⊙O 是等边三⾓形ABC 的外接圆，∴∠OAC ＝30°，∠BCA ＝60°，∵AE ∥BC ，∴∠EAC ＝∠BCA ＝60°，∴∠OAE ＝∠OAC ＋∠EAC ＝30°＋60°＝90°，∴AE 是⊙O 的切线；（2）∵△ABC 是等边三⾓形，∴AB ＝AC ，∠BAC ＝∠ABC ＝60°，∵A 、B 、C 、D 四点共圆，∴∠ADF ＝∠ABC ＝60°，∵AD ＝DF ，∴△ADF 是等边三⾓形，∴AD ＝AF ，∠DAF ＝60°，∴∠BAC ＋∠CAD ＝∠DAF ＋∠CAD ，即∠BAF ＝∠CAF ，在△BAD 和△CAF 中，∵，∴△BAD ≌△CAF ，∴BD ＝CF ．【点拨】等边三⾓形的边等⾓等易构造三⾓形全等和相似，圆上⼀点与圆内接等边三⾓形三顶点的连线之间的关系探究，可以运⽤延长法与截短法；含60°⾓三⾓形，知两边求第三边；借相交弦或平⾏线得三⾓形相似，作等边三⾓形的⾼，借⽐例线段和勾股定理建⽅程求线段是关键。

第29讲 蒙日圆结论蒙日圆定理的内容：椭圆的两条切线互相垂直，则两切线的交点位于一个与椭圆同心的圆上，该圆称为蒙日圆，其半径等于椭圆长半轴和短半轴平方和的算术平方根，具体结论及证明如下：结论一：曲线2222:1x y a bΓ+=的两条互相垂直的切线的交点P 的轨迹是圆：2222x y a b +=+．证明：当题设中的两条互相垂直的切线中有斜率不存在或㪷率为0时，可得点P 的坐标是( )a b ±，或( )a b ±-，． 当题设中的两条互相垂直的切线中的斜率均存在且均不为0时，可设点P 的坐标是()(000 , x y x a ≠±，且)0y b ≠±，∴可设由线Γ的过点P 的切线方程是()00(0)y y k x x k -=-≠．联立()2222001x y a b y y k x x ⎧+=⎪⎨⎪-=-⎩得()()()222222222000020a k b x ka kx y x a kx y a b +--+--=．由判别式0∆=得()(2222220000020xa k x y k yb x --+-=-)20a ≠．∵ PA PB k k ，是这个关于k 的一元二线方程的两个根，220220 1. PA PB y b k k x a -∴==--∴222200x y a b +=-，进而可得证明成立． 结论二：双曲线22221(0)x y a b a b-=>>的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是圆2x +222y a b =-．结论三：抛物线22y px =的两条互相垂直的切线的交点在该抛物线的准线上． 【例1】若动点()00 P x y ，为椭圆32:94x y C +=1外一点，且点P 到椭圆C 的两条切线相互垂直，求点P 的轨迹方程．【解析】(1)当切线斜率存在时，设从点P 所引的直线的方程为()00y y k x x -=-，即()00y kx y kx =+-．设从点P 所引的椭圆C 的两条切线的斜率分别为12 k k ，，则121k k =-． 将直线()00y kx y kx =+-的方程代入椭圆C 的方程并化简得()(2209418kx k y ++-)()20009360kx x y kx +--=，()()()222000018494[9360k y kx k y kx ⎤⎡⎤∆=--⨯+⋅--=⎣⎦⎦，化简得()2200940y kx k ---=，即()()22200009240x k x y k y --+-=，则12 k k ，是关于k 的一元二次方程(2x-9)()2200240k x y k y-+-=的两根，则12k k =2020419y x -=--，化简得220013x y +=．(2)当从点P 所引的两条切线均与坐标轴垂直，则P 的坐标为( 3 2)±±，，此时，点P 也在圆2213x y +=上．综上所述，点P 的轨的方程为2x +213y =．【例】过圆22:4O x y +=上任意一点P 作椭圆22:13x C y +=的两条切线 m n ，，求证：m n ⊥．【解析】证明：设()00 P x y ，．(1)当0x =01y =±，其中一条切线斜率不存在，另一条切线平行于x 轴，∴m n ⊥．(2)设0x ≠m 的斜率为k ，则其方程为()00y y k x x -=-．把00y kx y kx =+-代入2213x y +=并整理得()()2200136k x k y kx x ++-+()200330y kx --=，由0∆=可得，()22200003210x k x y k y -++-=．注意到直线n 的斜率也适合这个关系，∴ m n ，的㸯率12 k k ，就是上述方程的两根，由韦达定理，2122013y k k x -=-．由于点P 在圆22:4O x y +=上，()220031x y -=--，∴121k k =-．这就证明m n ⊥． 综上所述，在圆O 上任意一点P 作椭圆C 的两条切线 m n ，，总有m n ⊥．【例3】已知椭圆2222:1(x y C a b a b+=>>0)圆C 的“准圆”．若椭圆C 的一个焦点为F 0)，，其短轴上的一个端点到F的距离为(1)求椭圆C 的方程及其“准圆”方程．(2)点P 是椭圆C 的“准圆”上的动点，过点P 作椭圆的切线12 l l ，交“准圆”于点 M N ，．①当点P 为“准圆”与y 轴正半轴的交点时，求直线12 l l ，的方程并证明12l l ⊥． ②求证：线段MN 的长为定值．【解析】(1)依题意可得c a =，2221b a c =-=，∴22 1 23x y r +===，．22:4O x y +=． (2)证明：①由(1)题可得(0 2)P ，，设切线方程为：2y kx =+．联立22132x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去y 可得223(2)3x kx ++=，整理可得()22311290k x kx +++=． ∴()2221443631036k k k ∆=-+=⇒-360=，解得1k =±．∴设直线PM ：2y x =+，直线:PN y =2x -+．∴PM PN ⊥，即12l l ⊥． ②设()00 P x y ，，直线0:PM y y -=()10k x x -．则()0102233y y k x x x y ⎧-=-⎪⎨+=⎪⎩，消去y 可得()2210033x k x x y ⎡⎤+-+=⎣⎦．即()()222110103166k x k x k y x +--+22210100036330k x k y x y -+-=． ∴()()()222222101011010003643136330k x k y k k x k y x y ∆=--+⋅-+-=．整理得()222100103210x kx y k y -++-=．同理，设切线PN 的斜率为2k ，则有()2220200203210x k x y k y -++-=．∴20122013y k k x -=-．∴||MN 在“准圆”上．∴22220000413x y y x +=⇒-=-，∴121k k =-．∴ PM PN MN ⊥∴，为“准圆”的直径．∴||MN 为定值，||4MN =．评注：此题的准圆方程其实就是蒙旦圆方程，那看到蒙日圆方程，我们自然就知道 PM PN MN ⊥，为“蒙日圆”的直径这个题其本就解出夹了．第30讲 双切线模型的解题方法所谓双切线问题，就是过一点做圆锥曲线的两条切线的问题，解决这一类问题我们通常用同构式，同构式的含义是结构相同变量不同的式子，比如()11A x y ，满足110Ax By C ++=，()22B x y ，满足220Ax By C ++=，这两个式子就是同构式，则可知点A B 、在直线0Ax By C ++=上，这个同构式其实就是整体代换的思想，也是我们解决双切线问题的核心和关键． 双切线问题的解题步骤：①根据曲线外一点()00P x y ，设出切线方程()00y y k x x -=-． ②和曲线方程联立，求出判别式0∆=． ③整理出关于双切线斜率12k k 、的同构方程． ④写出关于12k k 、的韦达定理，并解题．双切线定值问题【例1】如下图所示，已知拋物线2:C y =4x ，点M 是抛物线C 的准线上任意一点，直线MA MB 、分别与拋物线C 相切于点A B 、，设直线MA MB 、的斜率分别为12k k 、．证明：12k k ⋅为定值．【解析】证明：抛物线C 的准线方程为1x =-．设点()1M t -，， 设过点()1M t -，的直线方程为()1y k x t =++． 联立()214y k x ty x⎧=++⎨=⎩，消去x 得24440ky y k t -++=．其判别式()1616k k t ∆=-+，令0∆=， 得210k tk +-=． 由韦达定理知121k k =-， 故121k k =-(定值)．【例2】为抛物线2:4C y x =的准线上任一点，过点P 作抛物线C 在其上点处的切线PA PB 、，切点分别为A B 、，直线0x =与直线PA PB 、分别交于M N 、两点，点M N、的纵坐标分别为m n 、，求mn 的值．【解析】设点P 的坐标为()01y -，，直线AP 的方程为()101y k x y =++，直线BP 的方程为()201y k x y =++．联立()21041y x y k x y ⎧=⎪⎨=++⎪⎩，得21104440k y y k y -++=．∴()110164440k k y ∆=-+=，得21k +0110y k -=．同理可得220210k y k +-=，∴120121k k y k k +=-⎧⎨=-⎩．分别令0x =，得10m k y =+，20n k y =+， ∴()()1020mn k y k y =++()2012012y k k y k k =+++22001y y =--1=-∴mn 为定值1-．【例3】设M 是圆2212x y +=上任意一点，由M 引椭圆22:184x y C +=的两条切线MA MB 、．当两条切线的斜率都存在时，证明：两条切线斜率的积为定值．【解析】证明:设点()00M x y ，，且22012x y +=． 由题意知，过点M 引椭圆C 的切线方程可设为()00y y k x x -=-，联立()0022184y y k x x x y ⎧⎪⎨⎪=-+=⎩-化简得：()()()2220000124280k x k y kx x y kx ++-+--=∵直线与椭圆相切，∴()()()22200004412280k y kx ky kx ⎡⎤∆=⎡-⎤-+⋅--=⎣⎦⎣⎦，化简得()22200008240x k x y k y --+-=． ∴22200012222000444181284y y y k k x y y ---====-----． ∴两条切线斜率的积为定值1-．双切线斜率引申问题【例1】过椭圆223:144x y C +=上的任意一点P ，向圆()222:0O x y r r b +=<<引两条切线12l l 、．若12l l 、的斜率乘积恒为定值，求圆O 的面积．【解析】设点()00P x y ，，则22003144x y +=，2200433x y =-设切线方程为()00y y k x x -=-，000kx y y kx -+-=r =．两边平方得()22222000020x r k x y k y r --+-=，则2202212222200433x r y r k k x r x r-+--==--， ∴22433r r -=，解得21r =． ∴圆O 的面积为π．【例2】P 是22:12x C y +=外的一点，过P 的直线12l l 、均与C 相切，且12l l 、的斜率之积为112m m ⎛⎫-≤≤- ⎪⎝⎭，记u 为PO 的最小值，求u 的取值范围．【解析】由题意可知，直线12l l 、的斜率存在且不为零． 设过点()00P x y ，的切线()00:l y y k x x -=-，联立()002212y y k x x x y ⎧-=-⎪⎨+=⎪⎩，，消去y 可得()()()2220000214220k x k y kx x y kx ++-+--=， 由于直线l 与椭圆C 相切， 则()()()2222000016421220ky kx k y kx ⎡⎤∆=--+⋅--=⎣⎦，化简并整理得()220021y kx k -=+，整理成关于k 的二次方程得()22200002210x k x y k y --+-=(易知0x ≠)，设直线12l l 、的斜率分别为12k k 、，∴20122012y k k m x -==-．∴220012y mx m =+-．∴()22200112x y m x m +=++-． ∴()222000112PO x y m x m =+=++-．易知当00x =时，有min 12u PO m ==-． ∵112m -≤≤-， ∴23u ≤≤，即u 的取值范围是23⎡⎤⎣⎦，．【例3】如下图所示，设点P 为抛物线2:y x Γ=外一点，过点P 作抛物线Γ的两条切线PA PB 、，切点分别为A B 、，若点P 为圆()2221x y ++=上的点，记两切线PA PB 、的斜率分别为12k k 、，求1211k k -的取值范围．【解析】设点()00P x y ，，则直线PA 的方程为1100y k x k x y =-+，直线PB 的方程为2200y k x k x y =-+．由11002y k x k x y y x=-+⎧⎨=⎩，可得211000k y y k x y --+=． ∵直线PA 与拋物线Γ相切，∴()211000101144410k k x y x k y k ∆=--+=-+=．同理可得202024410x k y k -+=． ∴12k k 、是方程2004410x k y k -+=的两根． ∴0120y k k x +=，12014k k x =，则22000122001y x y k k x x x --=-=．又∵()220021x y ++=，则031x -≤≤-，∴121212114k k k k k k -⎡-==⎣，．双切线交点弦问题所谓双切线交点弦问题指的是由一点引出一个曲线的两条切线和另外的曲线有交点时引申出来的问题，解题时通常需要用12k k 、来凑韦达定理． 题型一：双切线交点弦过定点问题【例1】已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>上的一点到两个焦点的距离之和为4，离心率为，点A 为椭圆C 的左顶点． (1)求椭圆C 的标准方程．(2)设圆()()222:202M x y rr +-=<<，过点A 作圆M 的两条切线分别交椭圆C 于点B 和D ，求证：直线BD 过定点．(1)【解析】由题意得24a c a =⎧⎪⎨=⎪⎩，解得2c a ⎧=⎪⎨=⎪⎩2221b a c =-=． ∴椭圆C 的标准方程为2214x y +=．(2)证明)设切线AB AD 、的方程为()2y k x =+，则r =，即()2224840r k k r --+-=．设两切线AB AD 、的斜率为12k k 、，则121k k =．联立()22214y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩，得()222214161640k x k x k +++-=，设点()11B x y ，，点()22D x y ，，则211212814k x k -=+，1121414k y k =+， 同理2221222212828144k k x k k --==++，212222144144k k y k k ==++，则()11221112221112211444143282841414BDk k k k k k k k k k k -++==--+-++． ∴直线BD 的方程为()21112221114328141441k k k y x k k k ⎛⎫--=- ⎪+++⎝⎭，整理得()121310341k y x k ⎛⎫=+ ⎪+⎝⎭，故直线BD 过定点1003⎛⎫- ⎪⎝⎭，． 题型二：双切线交点弦定值问题【例1】若直线l 过拋物线2:2C x y =的焦点F 且与拋物线C 相交于M N 、两点，过点M N 、分别作抛物线C 的切线12l l 、，切线1l 与2l 相交于点P ，求2PF MF NF -⋅的值． 【解析】抛物线C 的方程可化为212y x =，求导可得y x '=． 设点M N 、的坐标分别为()11x y ，，()22x y ，．设直线l 的方程为12y kx =+(直线l 的斜率显然存在)．联立21212y kx y x ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，消去y 整理得2210x kx --=，可得121221x x k x x +=⎧⎨=-⎩． 有()21212121y y k x x k +=++=+，2212121144y y x x == 可得直线1l 的方程为2111(2y x x x -=-)1x ，整理为21112y x x x =-． 同理直线2l 的方程为22212y x x x =-．联立方程2112221212y x x x y x x x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，解得121222x x x x x y +⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，则点P 的坐标为12k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，．由拋物线的几何性质知112MF y =+，212NF y =+，PF =()()221212********* 2112224424MF NF y y y y y y k k ⎛⎫⎛⎫⋅=++=+++=+++=+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，∴20PF MF NF -⋅=．【例2】在平面直角坐标系中，已知椭圆22:12412x y C +=，设点()00R x y ，为椭圆上任意一点．过原点作圆()()2200:8R x x y y -+-=的两条切线，分别交椭圆于P Q 、两点． (1)若直线OP OQ 、相互垂直，求R 的方程．(2)若直线OP OQ 、斜率存在，并记为12k k 、，求证：12k k ⋅是一个定值． (3)22OP OQ +是否为定值？若是，求出该值．若不是，请说明理由． 【解析】(1)由()()2200:8R x x y y -+-=，可得r =∵OP OQ ⊥，∴4OR ==，即220016x y +=，联立2200220001241216x y x y x y ⎧⎧=+=⎪⎪⇒⎨⎨=-⎪⎪⎩+=⎩或00x y ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩00x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩00x y ⎧=-⎪⎨=⎪⎩ ∴R的方程为：((228x y +++=或((228x y ++-=或((228x y -++=或((228x y -+-=．(2)证明；设12:,:OP y k x OQ y k x ==．∵OP 与R 相切，∴R OP d r -==()()22100181k x y k ⇒-=+．化简可得()222010*******x k x y k y --+-=．对于直线2:OQ y k x =，同理可得()2220200208280x k x y k y --+-=． ∴12k k 、为()22200008280x k x y k y --+-=的两根． ∴20122088y k k x -=-∵220012412x y += ∴2200242x y =-∴2012208124282y k k y -==---． (3)当P Q 、不在坐标轴上时，设点()11P x y ，，点()22Q x y ，．∴联立122222122412412y k x x k x x y =⎧⎪⇒+=⎨+=⎪⎩．∴21212421x k =+，2211212421k y k =+．同理可得22222421x k =+，2222222421k y k =+． ∴()()222212222212112222222211221224124124242424212121212121k k k k x y x y k k k k k k +++++=+++=+++++++ ()22211122211111362121243621211212k k k k k k ⎡⎤⎛⎫⎢⎥+- ⎪++⎢⎥⎝⎭=+==⎢⎥++⎛⎫⎢⎥-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦． 若P Q 、在坐标轴上(不妨设P 在x 轴)上，则点()0P，点(0Q ，． ∴2236OP OQ +=．综上所述，22OP OQ +为定值36．【例3】如下图所示，过椭圆22:12x C y +=上且位于y 轴左侧的一点P ，作圆()22:11E x y -+=的两条切线，分别交y 轴于点M N 、．是否存在点P，使MN =？若存在，求出点P 的坐标．若不存在，请说明理由．【解析】设点()()0000P x y x <，，()0M m ，，()0N n ，． 直线PM 的方程为00y my x m x -=+，即()0000y m x x y mx --+=．∵圆心()10E ，到直线PM 的距离为11=，()()()222220000002y m x y m x m y m x m -+=-+-+，()2000220x m y m x -+-=．同理()2000220x n y n x -+-=．由此可知，m n 、为方程()202x x -+0020y x x -=的两个实根， ∴0022y m n x +=--，002x mn x =--．MN m n =-== ∵点()00P x y ，在椭圆C 上，则220012x y +=即220012x y =-，则MN ==令，则()2029x -=． ∵00x <，则01x =-，22001122x y =-=，即0y =∴存在点1P ⎛-± ⎝⎭，满足题设条件． 题型三：双切线交点弦最值问题【例1】如下图所示，已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的两个焦点12F F 、，点,A B 在椭圆上，且1F 在AB 边上，2ABF ∆的周长等于(1)求椭圆C 的标准方程．(2)过圆22:4O x y +=上任意一点P 作椭圆的两条切线PM 和PN 与圆O 交于点M N 、，求PMN ∆面积的最大值．【解析】(1)∵2ABF ∆的周长等于A B 、在椭圆上，且1F 在AB边上．∴4a =即a =．又∵离心率3c e a ==，∴c =222321b a c =-=-=． ∴椭圆C 的标准方程为2213x y +=．(2)设点()P P P x y ，，则224P P x y +=．①当两条切线中有一条切线的斜率不存在时，即P x =1P y =±， 则另一条切线的斜率为0，从而PM PN ⊥．11222PMN S PM PN ∆=⋅=⨯⨯ (2)当切线斜率都存在，即P x ≠P 的椭圆的切线方程为()P P y y k x x -=-，联立()2213P P y y k x x x y ⎧-=-⎪⎨+=⎪⎩，得()()()222316330P P P P k x k y kx x y kx ++-+--=， 则()()()2226431330P P P P k y kx k y kx ⎡⎤∆=⎡-⎤-+⋅--=⎣⎦⎣⎦， 即()2223210P P P P x k x y k y -++-=．设切线PM 和PN 的斜率分别是12k k 、．∴()2221222214131333P P P P P Px y x k k x x x ----+====----． 从而PM PN ⊥，则线段MN 为圆O 直径，4MN =．()2222111114422244PMN S PM PN PM PN MN ∆⎡⎤=⋅≤+==⨯=⎢⎦⎣．当且仅当PM PN =时，等号成立，PMN S ∆取得最大值为4．综上所述，PMN S ∆的最大值为4．【例2】设()G m n ，是椭圆22:14x E y +=上的动点，过原点O 作圆()()224:5G x m y n -+-=的两条斜率存在的切线分别与椭圆E 交于点A B 、，求OA OB +的最大值．【解析】设圆()()2245x m y n -+-=的切线()OA OB 的方程为y kx ==整理得()222541054m k mnk n --+-=0，其两根12k k 、满足21225454n k k m -=-①，这里1OA k k =，2OB k k =，且2214m n +=②，由①②得1214k k =-． 设点()11A x kx ，，点()22B x kx ，，则1OA =，2OB =，又∵22211114x k x +=，22222214x k x +=，∴()()22122112141114k OA k x k+=+=+，()()22222222241114k OB k x k +=+=+，则()222212222222121212324433225141414416k k OA OB k k k k k k +++=++=+=+++++． ∵()()222002a b a b a b +≤+>>，，当且仅当a b =时，取等号，∴OA OB +≤OA OB =时，取等号，即()maxOA OB+题型四：双切线交点弦范围问题 【例1】如下图所示，已知圆()224:9T x t y -+=，过椭圆22:143x y C +=的上顶点作圆T 的两条切线交椭圆于E F 、两点，当圆T 的圆心在x 轴上移动且()01t ∈，时，求EF 的斜率的取值范围．【解析】椭圆的上顶点为(0M ，设过点M 与圆T相切的直线方程为y kx =由直线y kx =+T相切可知23=，()2294230t k -++=，∴12k k +=，1222394k k t =-联立122143y k x x y ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得()2211340k x x ++=，∴1E x =，同理2F x =，((()12121212334E F E F E F EFE F E F E F k x k x k k y y k x k x k x x x x x x k k +-+--=====----，当01t <<时，()f t =EF的斜率的范围为0⎛ ⎝⎭． 【例2】经过圆22:5O x y +=上一动点P 作椭圆22:14x C y +=的两条切线，切点分别记为A B 、，直线PA PB 、分别与圆O 相交于异于点P 的M N 、两点．(1)求证：0OM ON +=．(2)求OAB ∆的面积的取值范围．【解析】(1)证明：设点()00P x y ，．(1)当直线PA PB 、的斜率都存在时，设过点P 与椭圆C 相切的直线方程为(y k x =-)00x y +．联立()0022440y k x x y x y ⎧=-+⎨+-=⎩，消去y 得()()()2220000148440k x k y kx x y kx ++-+⋅--=． ()())(222200006441444k y kx k y kx ⎡⎤∆=--+--⎣⎦．令0∆=，整理得：()22200004210x k x y k y -++-=．设直线PA PB 、的斜率分别为12k k 、．∴2122014y k k x -=-． 又22005x y +=．∴()220012220154144x x k k x x ---===---． ∴PM PN ⊥，即MN 为圆O 的直径， ∴0OM ON +=．②当直线PA 或PB 的斜率不存在时，不妨设()21P ，， 则直线PA 的方程为2x =．∴点()21M -，，点()21N -，，也满足0OM ON +=． 综上，有0OM ON +=． (2)设点()11A x y ，，点()22B x y ，．当直线PA 的斜率存在时，设直线PA 的方程为()111y k x x y =-+． 联立()11122440y k x x y x y ⎧=-+⎨+-=⎩，消去y 得()()()22211111111148440k x k y k x x y k x ++-+--= ()()()2222111111116441444k y k x k y k x ⎡⎤∆=--+⋅--⎣⎦．令0∆=，整理得()221111142x k x y k -++2110y -=．则11111122111444x y x y x k x y y --=-==-． ∴直线PA 的方程为()11114x y x x y y -=-+． 化简可得22111144x x y y y x +=+，即14x x+11y y =． 经验证，当直线PA 的斜率不存在时， 直线PA 的方程为2x =或2x =-，也满足1114x xy y +=． 同理，可得直线PB 的方程为2214x xy y +=． ∵()00P x y ，在直线PA PB 、上， ∴101014x x y y +=，202014x x y y +=．∴直线AB 的方程为0014x xy y +=． 联立00221444x xy y x y ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩，消去y 得()22200035816160y x x x y +-+-=．∴01220835x x x y +=+，201220161635y x x y -=+，∴12AB x =-=)20203135y y +==+．又点O 到直线AB的距离d=)20200311235OABy S y ∆+=⋅+t =，[]14t ∈，．则24444OAB t S t t t∆==++． 又[]445t t+∈，，∴OAB ∆的面积的取值范围为415⎡⎤⎢⎥⎣⎦，．。

压轴题八大模型题(一)引言：与圆有关的证明与计算的综合解答题，往往位于许多省市中考题中的倒数第二题的位宜上，是试卷中综合性与难度都比较大的习题。

一般都会在固泄习题模型的基础上变化与括展，本文结合近年来各省市中考题，整理了这些习题的常见的结论，破题的要点，常用技巧。

把握了这些方法与技巧，就能台阶性地帮助考生解决问题。

类型1弧中点的运用在(？0中，点C是；6的中点，CE丄于点E(1)在图1中，你会发现这些结论吗？①&P=CP=FP：②CH=AD；®AC2=AP • AD = CF • CB=AE • AB.(2)在图2中，你能找出所有与AMC相似的三角形吗？【分析】(1)①由等弧所对的圆周角相等及同角或等角的余角相等得：ZCAD= ZB= ZACE; ZPCF= ZPFC,所以&P= CP=FP・⑴②由垂径泄理和弧中点的性质得，DC = AC = AH.再由弧叠加得：CH = AD,所以CH=AD・⑴③由共边角相似易证：AACE^AABC9 AACP^AADC. AACF^ABCA,进而得AC2 = AE AB; AC2=AP AD; AC2 = CF CB;(2)垂径左理的推论得：CO丄AD,易证：RtZ\A3CsRtZ\&CEsRtAcBEsRt2McFsRtZ\3DFs RtA^CG^RtACGF.此外还有RtA/lPfRtRtRtA CPG・运用这些相似三角形可以解决相关的计算与证明题.建议：将下列所有例题与习题转化到图1或图2上观察、比较、思考和总结。

【典例】(2018 •湖南永州)如图，线段加为00的直径，点C, £在上，BC=CE，CD丄&& 垂足为点D，连接3F,弦BE与线段CD相交于点F.(1)求证:CF=BF；(2)若cosZ^B£=i,在处的延长线上取一点M,使BM=4, 00的半径为6.求证:直线CM是0O的切线.【分析】（1）延长CD与圆相交，由垂径左理得到无=BG.再由氏=&得到&=奁=反，等弧所对的角相等，等角对等边。

湘教版数学九年级下册《2.5.2圆切线》说课稿3一. 教材分析湘教版数学九年级下册《2.5.2圆切线》这一节主要讲述了圆的切线性质和判定。

通过学习，使学生掌握圆的切线的定义、性质、判定方法以及切线与圆的位置关系，培养学生运用几何知识解决实际问题的能力。

二. 学情分析学生在学习这一节之前，已经掌握了直线、圆的基本性质，具备一定的观察、分析、推理能力。

但部分学生对圆的切线的性质和判定方法理解起来较为困难，需要在学习过程中给予个别辅导和指导。

三. 说教学目标1.知识与技能目标：理解圆的切线的定义、性质、判定方法，能运用切线的性质解决实际问题。

2.过程与方法目标：通过观察、实践、推理等过程，培养学生的几何思维能力。

3.情感态度与价值观目标：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队合作精神。

四. 说教学重难点1.圆的切线的定义和性质。

2.圆的切线的判定方法。

五. 说教学方法与手段1.采用问题驱动法，引导学生主动探究圆的切线的性质和判定方法。

2.利用多媒体课件，展示圆的切线的动态过程，增强学生的直观感受。

3.采用小组合作学习，让学生在讨论中加深对知识的理解。

六. 说教学过程1.导入：通过复习直线和圆的基本性质，引出圆的切线。

2.探究圆的切线的性质：让学生利用直尺和圆规尝试画出圆的切线，观察并总结切线的性质。

3.总结圆的切线的性质：引导学生用几何语言表述圆的切线的性质。

4.探究圆的切线的判定方法：让学生通过实际操作，探索判定圆的切线的方法。

5.总结圆的切线的判定方法：引导学生用几何语言表述圆的切线的判定方法。

6.应用练习：让学生运用切线的性质和判定方法解决实际问题。

7.课堂小结：回顾本节课所学内容，巩固知识。

七. 说板书设计板书设计如下：1.切线与半径垂直2.切线与圆只有一个交点3.切点处的切线斜率等于过切点的半径的斜率的相反数4.直线过圆外一点，且与过该点的圆的半径垂直5.直线过圆内一点，且与过该点的圆的半径不垂直八. 说教学评价通过课堂提问、学生作业、小组讨论等方式，评价学生对圆的切线的性质和判定方法的掌握程度。

圆压轴题八大模型题(五)泸州市七中佳德学校 易建洪引言： 与圆有关的证明与计算的综合解答题， 往往位于许多省市中考题中的倒数第二题与括展，本文结合近年来各省市中考题， 整理了这些习题的常见的结论，破题的要点，类型 5 三切线组合(2) 求证： 4AD· BC＝ AB 2.的位置上， 是试卷中综合性与难度都比较大的习题。

般都会在固定习题模型的基础上变化常用技巧。

把握了这些方法与技巧， 就能台阶性地帮助考生解决问题。

直角梯形 ABCD 中， AD∥BC， ∠ B＝ 90 °，以 AB 为直径的半圆⊙ O 与 CD 相切于点 E .(1) AD ＝4， BC ＝9，求 AB ；(3) 求证： CO 2＝CB· CD；(4) 求证： CO∥ AE , D O∥BE .分析】 (1) 法一：如图 (a )过点D 作 DF⊥ BC , AB ＝ DF ＝ (9 4)2(924)2＝ 12.法二：如图 (b ) 由△ OBC∽△ DAO , 或△ COE∽△ ODE 得：2r 2＝4×9＝36,r ＝6, AB ＝ 12.(2) 由△ OBC∽△ DAO , 或△COE∽△ ODE 得： r 2＝AD BC ,( AB 2) 2＝ AD BC ,2D图(1) D图(2) 图(3)D A(a )∴4AD· BC＝ AB(3) 由 Rt △CBO∽ Rt △ COD 得： CO 2＝ CB C D. (4) ∠ CFE＝∠ COG＝∠ EGD＝ 90°, CO∥ AE , DO∥BE .(6) 由 CB ＝CE , ∠CBE＝∠ CEB＝∠ DEG ; CB∥ DA 得∠ CBE＝∠ D , ∴∠ DEG＝∠ D.∴DG＝EG ,又EG ＝GA , ∴DG＝ AG .(7) EF∥DA ,得EP BP FP, 又 DG ＝GA ,得EP ＝FP . DG BG GA(8) 由 AB 2＝4AD BC 得：(2 5 )2＝4×2BC ,∴BC＝,CF ＝BC ＝,BF ＝5.在Rt △ABF 中，AF ＝ (2 5)2 52＝3 5 .由AD∥BF 得 AE AD 4 EF CF 5∴EF＝ 5 AF ＝ 5×3 5 ＝ 5 59 9 3【典例】2018·湖南娄底）如图，已知半圆 O 与四边形 ABCD 的边 AD 、AB 、BC 都相切，切点分别为D 、E 、C ，半径 OC ＝1，则 AE·BE ______________ .1 【分析】连接 OE ，由切线长定理可得∠ AOE＝ ∠DOE， 21 ∠BOE＝ ∠EOC，再根据∠ DOE＋∠ EOC＝ 180°，可得2∠AOB＝ 90°，继而可证△ AEO∽△ OEB，根据相似三角形 对应边成比例即可得 .解：如图，连接 OE ，∵ AD、AB 与半圆 O 相切， ∴ OE⊥ AB， OA 平分∠ DOE，(6) 求证： DG=AG.(8) 若 AB=2 5 ，AD=2，求(7) 求证： EP=FP.分析】 (5) 由 CB∥EF∥ DA , CB ＝ CE , DA ＝ DE 得 EP CP DACA BC 和 EF 的长. BP BD FP DA∴ EP＝ FP .(5) 求证： EP=FP. 图(6)图 5-1DO图a11∴∠ AOE＝∠DOE，同理∠ BOE＝∠EOC，22∵∠ DOE＋∠ EOC＝180°，∴∠ AOE＋∠ BOE＝90°，即∠ AOB＝90°，∴∠ ABO＋∠ BAO＝90°，∵∠ BAO＋∠ AOE＝90°，∴∠ ABO＝∠ AOE，∵∠ OEA＝∠ BEO＝90°，∴△ AEO∽△ OEB，∴AE： OE＝OE： BE，∴ AE?BE＝ OE2＝1，答案：1.【点拨】由切线长定理引出的四个母子相似三角形中，含直角三角形、等腰三角形、全等三角形及相似三角形。

吴康教授：《圆的双切线方程》ID/抖音：Vlxsy8 视频号/B站：乐学数韵教研、解题、资源Q群： 314559613 ,1078982440正文吴康教授简介【吴康简介】吴康（1957.7.～），男，祖籍广东高州。

数学教育家，竞赛数学研究专家。

华南师范大学原教学督导，数学科学学院副教授、硕士研究生导师、教育硕士研究生导师。

首批中国数学奥林匹克高级教练，国家级教练。

现任全国初等数学研究会（筹）理事长，广东省初等数学学会会长，广东省高考研究会理事长，丘成桐中学科学奖（数学）全球组委会委员，南部赛区组委会主任、专家委员会委员，中国高等教育学会教育数学专业委员会副理事长，《数学教育学报》编委，华南师范大学附属中学校外专家，澳门培正中学客座教授，广东省教育系统棋类协会常务副会长，华南师范大学教工棋类协会名誉会长、原会长，广东省数学会中小学数学教育专业委员会特别顾问等。

荣获全国初等数学研究突出贡献奖，广西壮族自治区科技进步奖一等奖、二等奖（各一次），广西科学院科技进步奖特等奖（两次），广东省高等教育教学成果一等奖，广东省委高校工委“基层挂职先进工作者”等。

曾任《中学数学研究》杂志编委、副主编、主编，华南师范大学数学科学学院数学教育指导组组长，教育部教材审查委员会数学专家组成员，教育部高考题库数学专家组成员，广东省数学会普及工作委员会委员，广东省高考命题数学专家组成员，广东省高考评卷数学专家组成员，全国高中数学联赛广东赛区评卷专家组成员，华南师范大学数学科学学院党委委员等。

曾任“华罗庚杯”、“希望杯”、“五羊杯”、“走美杯”等多项数学竞赛的主试委员和组委会委员，国际数学奥林匹克（IMO）中国国家集训队教练、中国澳门代表队教练，中国数学奥林匹克（CMO）广东省代表队领队兼主教练，“华罗庚杯”数学邀请赛潮州代表队主教练，全国大学生数学建模竞赛华南师范大学代表队教练等。

全国高校竞赛数学课程首位主讲。

“五羊杯”数学竞赛创始人之一。

圆的切线教学设计优秀教案圆的切线教学设计优秀教案发布者：邓美君复习目的：1.本节课主要通过习题与考点实体的分析，使学生在复习过程中了解中招试题与课本的内在联系，避免在复习过程中抛开课本，一味地钻到偏题、怪题的题海里。

2.通过本节的复习，让学生牢牢地把握圆的切线的基础知识。

3.在基础知识掌握的同时去发挥：改变题的条件与结论、增加或减少条件、给出条件探索结论、给出结论探索条件等形成新题。

复习重点：例习题的改造及分析。

复习难点：试题的解答。

教具：多媒体课件。

教学过程：一、新课引入：现在考试题目并不推崇怪题、偏题，很多题目就是以课本习题为蓝本，通过改编而成，所以深入挖掘研究教材是大有可为的。

请看下面题目：二、讲新课：例1 （XX年湖北荆州市中考题）如图1，在△ABC中，∠B=90°，O是AB上一点，以O为圆心，OB为半径的圆与AB交与点E与AC切于点D。

⑴求证：DE‖OC；⑵若AD＝2，DC＝3，求tan∠ADE的值。

（让学生读题,引导学生分析)师:由AC与⊙O相切可得哪些结论?生:AC与过切点D的半(直)径垂直.师:连结OD后,图中都有哪些相等的角?生:∠CDO=∠CBO=90°,∠ACO=∠BCO,∠COD=∠COB,∠ODE=∠OED, ∠ACB=∠AOD(∵∠ACB+∠DOB=180°,∠AOD+∠DOB=180°,∴∠ACB=∠AOD.) 师:由∠ACB=∠AOD,还能得出相等的角吗?(关键引导得出:∠COD=∠COB=∠ODE=∠OED.再由∠COD=∠ODE 或∠COB=∠OED.最后由内错角相等或同位角相等证明DE‖OC)师: 第⑵问在第⑴问DE‖OC的基础上,若AD ＝2，DC＝3，求tan∠ADE的值,∠ADE与哪些角相等?生:∠ADE=∠ACO,∠ADE=∠BCO.师: 求tan∠ADE的值,若能求出tan∠BCO的值即可.Rt△OCB中，CB=CD=3，只要求出OB的值，能求出OB的值吗？（设OB＝x，由勾股定理得AB＝4，由DE‖OC，得＝，即＝，得x=1.5,tan∠ADE=1.5.)师:此题似曾相识，它的图形与我们学过的哪个题的图形差不多？区别在哪里？比课本上的题的难度怎样？（引导学生回忆，它的第⑴问是将几何第三册P94例3如图2，已知:AB是⊙O的直径,BC是⊙O的切线,切点为B,OC平行于弦AD.求证C是⊙O 的切线.两题中的平行的条件和切线的结论交换了位置，来源于教材，难度却在教材之上。