阿氏圆

高中数学阿氏圆的相关结论
阿波罗尼斯圆的二级结论，或者说阿波罗尼斯圆的性质：
1、满足上面条件的阿波罗尼斯圆的直径的两端是按照定比A内分AB和外分AB所得的两个分点；
2、直线CM平分LACB，直线CN平分∠ACB的外角；
3、AM/BM=AN/BN；
4、CM⊥CN；
5、λ>1时，点B在圆0内；0<λ<1,点A在圆O内；
6、若AC,AD是切线，则CD与40的交点即为B；
7、若点B做圆O的不与CD重合的弦EF，则AB平分∠EAF;
由阿波罗尼斯圆得到的阿波罗尼斯圆定理
阿波罗尼斯圆定理是在平面上给定相异两点A、B，设P点在同一平面上且满足PA/PB=λ，当λ>0且λ≠1时，P点的轨迹是个圆，这个圆我们称作阿波罗尼斯圆。

这个结论称作阿波罗尼斯轨迹定理。

阿波罗尼斯圆一般指阿氏圆，已知平面上两点A、B，则所有满足PA/PB=k且不等于1的点P的轨迹是一个以定比m：n内分和外分定线段AB的两个分点的连线为直径的圆。

这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称阿氏圆。

到两点点的距离之和为定值（大于两定点距离）的点的轨迹是椭圆．到两点点的距离之差为定值（小于两定点距离）的点的轨迹是双曲线那么到两定点的距离之比为定值的点的轨迹是什么呢？没错就是阿氏圆．阿氏圆定理（全称：阿波罗尼斯圆定理），具体的描述：一动点P到两定点A、B的距离之比等于定比m：n，则P点的轨迹，是以定比m：n内分和外分定线段AB的两个分点的连线为直径的圆．这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，该圆称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．【分析】令B为坐标原点，A的坐标为(a，0)．则动点P(x，y)．满足PA/PB=k（为实数，且不为±1）得(k2－1)(x2＋y2)＋2ax－a2=0，当k不为±1时,它的图形是圆．当k为±1时，轨迹是两点连线的中垂线．【典型例题】问题提出：如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝4，CA＝6，⊙C半径为2，P为圆上一动点，连结AP、BP，求AP＋1/2BP的最小值．（1）尝试解决：为了解决这个问题，下面给出一种解题思路：如图2，连接CP，在CB上取点D，使CD＝1，则有CD/CP＝CP/CB＝1/2，又∵∠PCD＝∠BCP，∴△PCD∽△BCP．∴PD/BP＝1/2，∴PD＝1/2BP，∴AP＋1/2BP＝AP＋PD．请你完成余下的思考，并直接写出答案：AP ＋1/2BP 的最小值为．（2）自主探索：在“问题提出”的条件不变的情况下，1/3AP ＋BP 的最小值为．（3）拓展延伸：已知扇形COD 中，∠COD ＝90°，OC ＝6，OA ＝3，OB ＝5，点P 是弧CD 上一点，求2PA ＋PB 的最小值．10．（3分）（2015•贵港）如图，已知P 是⊙O 外一点，Q 是⊙O 上的动点，线段PQ 的中点为M ，连接OP ，OM ．若⊙O 的半径为2，OP=4，则线段OM 的最小值是（ ）A ． 0B ． 1C ． 2D ． 318.如图，在ABC ∆中， 90,8,6ACB BC AC ∠=︒==，以点C 为圆心，4为半径的圆上有一个动点D .连接AD 、BD 、CD ，则12BD AD +的最小值是 .。

阿氏圆最值四字口诀以下是关于阿氏圆最值的四字口诀：**口诀一：阿氏圆规**阿氏圆呀，有个要点。

一比二定，先得看清。

一呢就是一个定点，就像家里的房梁固定在那儿不动。

二呢是两个关键，一个是比例关系，就好像分糖果，按照一定的比例分给小伙伴。

另一个就是圆上动点。

我们要把这个动点当作调皮的小猴子，在圆上跳来跳去。

计算最值的时候，要先找到这个固定的点，就像找宝藏的起点一样。

然后根据给定的比例，比如说1 : 2之类的，就像把一块蛋糕分成1份和2份。

然后盯着那个在圆上乱动的点，利用这个比例关系，构造相似三角形，这就像是搭积木一样，找到对应的边，通过相似比来算出最值。

这样阿氏圆的最值就能轻松搞定啦，就像沿着一条明确的小路走到终点一样。

**口诀二：圆定比寻**阿氏圆题，圆定比寻。

啥是圆定呢？就是先找到那个阿氏圆，它就像一个大圆盘，稳稳地在那里。

这个圆有它自己的半径和圆心，圆心就像圆的心脏，半径就是从心脏到边缘的距离。

比寻呢，就是寻找比例关系。

这比例就像分水果的规则，比如2个苹果给3个人，有个2 :3的关系。

我们要在题目里找出这个特殊的比例，可能是1 : 3或者2 :5之类的。

找到这个比例之后，再找到那个定点，这个定点就像舞台上的主角位置不变。

然后根据这些条件，去构造我们的数学模型，就像搭乐高积木一样，一块一块把相似三角形搭起来，这样就能算出阿氏圆中的最值了，就像从一团乱麻里抽出了一根关键的线。

**口诀三：定圆比定**定圆在前，这圆啊就像一个大操场，有它的边界和中心。

我们要先确定这个圆的各种信息，就像熟悉操场的大小和中间的位置一样。

比定随后，这个比例是非常关键的东西。

就好比把一群小动物按照一定的数量比例分开，比如说3只兔子和5只小鸡的比例是3 : 5。

这个比例在阿氏圆里就像一把神奇的钥匙。

确定了比例，再找到那个固定的点，这个点就像大树扎根在地上不动。

然后我们就可以根据这个点、这个比例和圆的情况，像拼图一样把相似三角形拼出来，通过三角形的边长关系算出阿氏圆中的最值，就像在迷宫里找到了出口。

高中阿氏圆例题
（最新版）
目录
1.阿氏圆的定义与性质
2.阿氏圆的构造方法
3.阿氏圆的性质与应用
4.阿氏圆的例题解析
正文
一、阿氏圆的定义与性质
阿氏圆，又称为圆的外接圆或外接圆，是指一个三角形的外接圆。

阿氏圆具有以下性质：
1.阿氏圆的圆心是三角形三顶点所在直线的垂直平分线的交点。

2.阿氏圆的半径等于三角形面积除以半周长。

二、阿氏圆的构造方法
构造阿氏圆的方法有多种，常见的有以下两种：
1.以三角形的三个顶点为圆心，以三角形三边的垂直平分线为半径，分别作圆。

这三个圆相交于一点，该点即为阿氏圆的圆心。

2.作三角形的三边的垂直平分线，将垂直平分线相交于一点，该点即为阿氏圆的圆心。

然后以圆心到三角形三顶点的距离为半径，作圆。

三、阿氏圆的性质与应用
阿氏圆在解决一些与三角形相关的数学问题时具有重要作用，例如：
1.判断三角形是否为直角三角形。

若阿氏圆的圆心与三角形某一顶点重合，则该三角形为直角三角形。

2.求解三角形的面积。

通过阿氏圆的半径可以求得三角形的面积。

3.求解三角形的半周长。

通过阿氏圆的半径可以求得三角形的半周长。

四、阿氏圆的例题解析
例题：已知三角形 ABC 的三边长分别为 a、b、c，求三角形 ABC 的面积。

解：首先构造三角形 ABC 的阿氏圆，然后求得阿氏圆的半径。

根据
阿氏圆的性质，半径 r 等于三角形面积 S 除以半周长 p，即 r = S / p。

阿氏圆题型的解题方法和技巧以阿氏圆(阿波罗尼斯圆)为背景的几何问题近年来在中考数学中经常出现，对于此类问题的归纳和剖析显得非常重要.具体内容如下：阿氏圆定理(全称：阿波罗尼斯圆定理)，具体的描述：一动点 P 到两定点 A、B 的距离m m之比等于定比(≠1)，则P 点的轨迹，是以定比内分和外分定线段AB 的两个分点的n n连线为直径的圆．这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，该圆称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．定理读起来和理解起来比较枯燥，阿氏圆题型也就是大家经常见到的 PA+kPB，(k≠1) P 点的运动轨迹是圆或者圆弧的题型.PA+kPB,(k≠1)P点的运动轨迹是圆或圆弧的题型阿氏圆基本解法：构造母子三角形相似【问题】在平面直角坐标系 xOy 中，在 x 轴、y 轴分别有点 C(m，0)，D(0，n).点P 是平面内一动点，且 OP=r，求 PC+kPD 的最小值.阿氏圆一般解题步骤：第一步：确定动点的运动轨迹(圆)，以点 O 为圆心、r 为半径画圆；(若圆已经画出则可省略这一步)第二步：连接动点至圆心 O(将系数不为 1 的线段的固定端点与圆心相连接)，即连接OP、OD；第三步：计算出所连接的这两条线段 OP、OD 长度；第四步：计算这两条线段长度的比 k；第五步：在 OD 上取点 M，使得 OM:OP=OP:OD=k；第六步：连接 CM，与圆 O 交点即为点 P．此时 CM 即所求的最小值.【补充：若能直接构造△相似计算的，直接计算，不能直接构造△相似计算的，先把k 提1到括号外边，将其中一条线段的系数化成，再构造△相似进行计算】k3 习题【旋转隐圆】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D 为AC 的中点，M 为BD 的中点，将线段AD 绕A 点任意旋转（旋转过程中始终保持点M 为BD 的中点），若AC=4，BC=3，那么在旋转过程中，线段CM 长度的取值范围是.1.Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，点D 为△ABC内一动点，满足 CD=2，则2AD+ BD 的最小值为.32.如图，菱形 ABCD 的边长为 2，锐角大小为60°，⊙A与BC 相切于点 E，在⊙A上任取一点P，则PB+ PD 的最小值为.23.如图，已知菱形 ABCD 的边长为 4，∠B=60°，圆B 的半径为 2，P 为圆B 上一动点，则1PD+ PC 的最小值为.24.如图，点 A，B 在⊙O上，OA=OB=12,OA⊥OB，点C 是OA 的中点，点 D 在OB 上，OD=10.1动点P 在⊙O上，则PC+ PD 的最小值为.25.如图，等边△ABC的边长为 6，内切圆记为⊙O，P 是圆上动点，求 2PB+PC 的最小值.2 2 6. 如图，边长为 4 的正方形，内切圆记为⊙O，P 是圆上的动点，求PA+PB 的最小值.17. 如图，边长为 4 的正方形，点 P 是正方形内部任意一点，且 BP=2，则 PD+ PC 的最小值2为； PD+4PC 的最小值为.8.在平面直角坐标系 xOy 中，A(2，0)，B(0,2)，C(4，0)，D(3，2)，P 是△AOB 外部的第一象限内一动点，且∠BPA=135°，则 2PD+PC 的最小值是.9. 在△ABC 中，AB=9，BC=8，∠ABC=60°，⊙A 的半径为 6，P 是⊙A 上的动点，连接PB 、PC ，则 3PC+2PB 的最小值为.10. 如图，在 Rt△ABC 中，∠A=30°，AC=8，以 C 为圆心，4 为半径作⊙C． (1)试判断⊙C 与 AB 的位置关系，并说明理由；(2) 点 F 是⊙C 上一动点，点 D 在 AC 上且 CD=2，试说明△FCD～△ACF；1(3) 点 E 是 AB 上任意一点，在(2)的情况下，试求出 EF+ FA 的最小值.211.(1)如图 1，已知正方形 ABCD 的边长为 4，圆B 的半径为 2，点P 是圆B 上的一个动点，1 1求 PD+ PC 的最小值和 PD- PC 的最大值；2 2(2)如图 2，已知正方形 ABCD 的边长为 9，圆B 的半径为 6，点P 是圆B 上的一个动点，那2 2么PD+ PC 的最小值为，PD- PC 的最大值为．3 3(3)如图 3，已知菱形 ABCD 的边长为 4，∠B=60°，圆B 的半径为 2，点P 是圆B 上的一个1 1动点，那么PD+ PC 的最小值为，PD- PC 的最大值为.2 212.问题提出：如图 1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CB=4，CA=6，⊙C半径为 2，P 为圆上1一动点，连结 AP、BP，求 AP+ BP 的最小值．2(1)尝试解决：为了解决这个问题，下面给出一种解题思路：如图 2，连接 CP，在CB 上取CD 点 D，使 CD=1，则有CP =CPCB=1，又∵∠PCD=∠BCP，∴△PCD∽△BCP．∴PD2 BP=1，21 1∴PD= BP，∴AP+BP=AP+PD．2 21请你完成余下的思考，并直接写出答案：AP+ BP 的最小值为．21(2)自主探索：在“问题提出”的条件不变的情况下， AP+BP 的最小值为．3(3)拓展延伸：已知扇形 COD 中，∠COD=90°，OC=6，OA=3，OB=5，点P 是弧CD 上一点，求2PA+PB 的最小值.【二次函数结合阿氏圆题型】13.如图 1，抛物线y=ax²+(a+3)x+3（a≠0）与x 轴交于点 A（4，0），与y 轴交于点 B，在x 轴上有一动点 E（m，0）（0＜m＜4），过点 E 作x 轴的垂线交直线 AB 于点N，交抛物线于点 P，过点 P 作PM⊥AB于点M．(1)求a 的值和直线 AB 的函数表达式；(2)设△PMN的周长为 C1，△AEN的周长为 C2，若C16，求 m 的值；C25(3)如图 2，在（2）条件下，将线段 OE 绕点O 逆时针旋转得到OE′，旋转角为α（0°2＜α＜90°），连接E′A、E′B，求E′A+ E′B 的最小值．3问题背景：如图 1，在△ABC 中，BC=4，AB=2AC．问题初探：请写出任意一对满足条件的AB 与AC 的值：AB=，AC=．问题再探：如图2，在AC 右侧作∠CAD=∠B，交BC 的延长线于点D，求CD 的长．问题解决：求△ABC的面积的最大值．21. 小明的数学探究小组进行了系列探究活动．类比定义：类比等腰三角形给出如下定义：有一组邻边相等的凸四边形叫做邻等四边形． 探索理解：(1) 如图 1，已知 A 、B 、C 在格点（小正方形的顶点）上，请你协助小明用两种不同的方法画出格点 D ，连接 DA 、DC ，使四边形 ABCD 为邻等四边形；尝试体验：(2) 如图 2，邻等四边形 ABCD 中，AD=CD ，∠ABC=120°，∠ADC=60°，AB=2，BC=1，求四边形 ABCD 的面积． 解决应用：(3) 如图 3，邻等四边形 ABCD 中，AD=CD ，∠ABC=75°，∠ADC=60°，BD=4．小明爸爸所在的工厂，需要裁取某种四边形的材料板，这个材料板的形状恰巧是符合如图3 条件的邻等四边形，要求尽可能节约．你能求出这种四边形面积的最小值吗？如果能， 请求出此时四边形 ABCD 面积的最小值；如果不能，请说明理由．2. 我们定义：有一组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形”．(1) 如图 1，在四边形 ABCD 中，添加一个条件使得四边形 ABCD 是“等邻边四边形”．请写出你添加的一个条件．(2) 如图 2，等邻边四边形 ABCD 中，AB=AD ，∠BAD+∠BCD=90°，AC 、BD 为对角线，AC=AB ，试探究 BC ，BD 的数量关系．(3) 如图 3，等邻边四边形 ABCD 中，AB=AD ，AC=2，∠BAD=2∠BCD=60°，求等邻边四边形ABCD 面积的最小值.。

阿氏圆经典例题篇一：阿氏圆是指以点P为圆心,以距离点P为半径的圆的圆心角等于直角的圆。

下面是阿氏圆的经典例题:例题:一个直径为4的圆上,点P位于圆心,点Q在圆上某一点R处,已知点P、Q、R共线,求点R的坐标。

解:因为点P、Q、R共线,所以可以得出点P和点R、点Q和点R的共线。

假设点R的坐标为(x,y),则根据阿氏圆的定义,可以得出:圆心角POQ=直角因为点P、Q、R共线,所以点P和点Q的横坐标相等,纵坐标也相等,即P的横坐标为2,Q的纵坐标为2。

根据勾股定理,可以得出:x2+y2=42将x2+y2=42代入点R的坐标(x,y)中,可以得出:x2+2y2=42因为点R在直径4上,所以可以得出:x2+2y2=4因为点Q在圆上某一点R处,所以可以得出:x2+2y2=4-2y2将上述两个式子联立起来,可以得出:x2+y2=4x2+4y2+y2=4化简后可以得出:y2=0因此,点R的坐标为(0,0)。

拓展:阿氏圆的应用非常广泛,无论是在数学、物理、工程等领域,都需要应用到阿氏圆的知识。

下面列举一些阿氏圆的应用:1. 在物理学中,阿氏圆可以用来描述物体在运动过程中的位置和速度变化。

2. 在工程学中,阿氏圆可以用来描述机械零件的几何形状和尺寸,以及设计机械运动的平衡。

3. 在计算机科学中,阿氏圆可以用来描述图形的旋转和变换。

4. 在语言学中,阿氏圆可以用来描述语音的旋转和变化。

阿氏圆是一个非常重要的数学概念,不仅在数学领域有着广泛的应用,同时也有着广泛的应用前景。

篇二：阿氏圆是几何学中一个重要的概念,指的是以任意一点为圆心,任意一段圆弧为半径所构成的圆。

阿氏圆的经典例题包括以下两种:例题1:将一个半径为2的圆剪成两个相等的直角三角形和一个小圆弧,求小圆弧的长度。

解析:将圆剪成两个相等的直角三角形和一个小圆弧,可以看作是将圆沿着一条直角边切割成两个直角三角形,然后将小圆弧沿着另外一条直角边剪出来。

根据阿氏圆的定义,小圆弧的长度等于以圆心为起点,沿着直角三角形斜边的长度,即:L = r × s其中,L是小圆弧的长度,r是圆的半径,s是直角三角形的斜边长度。

经典几何模型之“阿氏圆”一.模型名称由来【模型背景】“PA+k·PB”型的最值问题是近几年中考考查的热点更是难点。

当k值为1时，即可转化为“PA+PB”之和最短问题，就可用我们常见的“饮马问题”模型来处理，即可以转化为轴对称问题来处理。

而当k取任意不为1的正数时，若再以常规的轴对称思想来解决问题，则无法进行，因此必须转换思路。

此类问题的处理通常以动点P所在图像的不同来分类，一般分为2类研究。

即点P在直线上运动和点P 在圆上运动。

其中点P在直线上运动的类型称之为“胡不归”问题；点P在圆周上运动的类型称之为“阿氏圆”问题。

【模型由来】“阿氏圆”又称“阿波罗尼斯圆”，已知平面上两点A、B，则所有满足PA=k·PB（k≠1）的点P的轨迹是一个圆，这个轨迹最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆”。

二.模型建立如图1所示，⊙O的半径为r，点A、B都在⊙O外，P为⊙O上一动点，已知r=k·OB，连接PA、PB，则当“PA+k·PB”的值最小时，P点的位置如何确定？模型解读：最早见“PA+PB”型问题应该是在“将军饮马”问题中，而本题多了一个“k”，故如何确定“k·PB”的大小是关键，如图2，在线段OB上截取OC使OC=k·r，则可说明△BPO与△PCO相似，即k·PB=PC。

故本题求“PA+k·PB”的最小值可以转化为“PA+PC”的最小值，其中与A与C为定点,P为动点，故当A、P、C三点共线时，“PA+PC”值最小。

如图3三.“阿氏圆”模型破解策略【破解策略详细步骤解析】第一步：连接动点于圆心O （一般将含有k 的线段两端点分别与圆心O 相连），即连接OB 、OP ；第二步：计算出线段OP 与OB 及OP 与OA 的线段比，找到线段比为k 的情况，如例子中的k OBOP =第三步：在OB 上取点C ，使得OB OP OP OC =；（核心关键步骤）第四步：连接AC ，与⊙O 的交点即为点P 【核心步骤另单独解析】回顾图2，在OB 上取点C 构建OBOP OP OC =的目的是为了形成“母子型相似模型”，“母子型相似”的构建是“阿氏圆”模型破解的“核武器”，“母子型相似”一出，“阿氏圆”直接秒杀。

阿氏圆二级结论
阿氏圆的结论
1、引言:什么是阿氏圆？阿氏圆是1843年由威尔士科学家、数学家斯蒂芬·阿氏提出的一个概念。

他参照牛顿环形定律发现，当物体被向外抛出时，它会沿一定路径前进，被斯蒂芬·阿氏称为“阿氏圆”。

2、原理：阿氏圆原理可以解释物体沿阿氏圆运动。

斯蒂芬·阿氏发现，该圆圈形运动的运动轨迹由两部分组成，即直线段和耗散段。

耗散段又可分为四象限，四个象限对应四个夹角。

3、阿氏圆的应用:
（1）阿氏圆可用于研究物体的空间运动：当物体被外力作用时，它将沿着一定的轨迹运动，这就是阿氏圆。

（2）应用于动力学：阿氏圆可用于研究前进运动物体的实时状态获得速度、加速度等动力学参数。

（3）应用于科学的探索：阿氏圆可以帮助我们对自然界的物体运动机理有完整的认识，帮助我们更深入的了解宇宙的运动规律。

4、结论：斯蒂芬·阿氏的阿氏圆是一种概念上的模型，可以用于研究物体的空间运动、动力学参数以及探索自然规律，是科学家们理解宇宙运动规律的基础。

阿氏圆问题解题方法和口诀如下：
1、先判断是阿氏圆还是胡不归
方法是：如果动点在圆周或圆弧上运动，就是阿氏圆。

如果动点在固定直线上运动，就是胡不归。

2、判断三定一动点
三定指两个固定点A和B，以及圆心O。

一动是指点D。

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3、判断构造点位置在哪一条固定线段上
方法是：用半径4分别除以两条固定线段OA和OB，看两个比值中哪一个等于PA+kPB 中的k值，说明构造点就在哪一条固定线段上。

如：4/OA=4/√21≠½，4/OB=4/8=½，所以构造点E就在固定线段OB上。

4、求构造线段的长度即确定了构造点的确切位置
方法是：利用公式半径²=构造点位置所在的固定线段OB×构造线段OE即4²=8×构造线段OE，即OE=2，2是指构造点E到圆心O的距离。

5、连接构造点E和另一个固定点A
所连线段AE与圆O的交点就是动点D的位置，该线段的长度就是所求AD+½BD的最小值。

求线段AE的方法是由勾股定理：AE=√（OE²+OA²)=√［2²+(√21)²]=5，即AD+½BD=5。

6、验证
把动点D和三个固定点A、B、O都连接起来，找到母子型相似三角形△OED∽△ODB 即可。

∵OE/OD=2/4=½，OD/OB=4/8=½，∴ED/DB=½，即ED=½BD，
∴AD+½BD=AD+ED=AE=5。

（A、D、E三点共线转化成两点之间线段最短）。

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阿氏圆模型例题
阿氏圆模型例题
一、简答题：
1、阿氏圆模型指的是什么？
阿氏圆模型是指人格的三要素模型，由生物学家阿玛森阿氏（A.J.Aron）提出的。

它认为，每个人都有三种基本的类型的人格特质：外向性(extraversion)、感觉性(sensation)和情绪性(emotionality)。

2、阿氏圆模型有什么作用？
阿氏圆模型的目的是用来评估和描述一个人的个性特点，以便更容易理解一个人的心理状态和行为，并设计合适的行动计划。

它也可以帮助人们理解组织社会之间的关系，因为可以通过一个视角来看待不同类型的人格特质。

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阿氏圆圆心半径公式
“我可以用一个简单的公式，把圆圆心半径算出来，”著名数学家阿氏（Apollonius）曾说过。

在他的著作中，他提出了一个简单的公式来解决圆圆心半径的问题，这被称为“阿氏圆圆心半径公式”。

阿氏圆圆心半径公式是一种几何学公式，可以根据圆的半径、周长和面积来求出圆圆心半径。

它是20世纪初由阿氏发明的，并在1911年被阿氏本人确认。

这个公式可以用以下方式表达：
圆圆心半径=长2÷（4π）
或者
圆圆心半径=面积÷π
这种公式能够更有效地计算出圆圆心半径，比起传统的方法更加精确和有效。

阿氏圆圆心半径公式可以应用在各种各样的几何问题中，例如，圆的面积的计算、半径的计算和面积的计算等。

在高中数学课程中，它也被广泛使用，不仅用于几何问题的解决，而且还可以应用于几何学的其他概念的理解。

此外，阿氏圆圆心半径公式也可以用于实际工程中的计算，例如，建筑工程中特定圆形结构的设计，机械零件的制造等。

由于它的有效性和精度，许多工程师也会使用这种方法，以帮助他们完成计算。

阿氏圆圆心半径公式在数学领域也有其重要性，它不仅在几何学有重要的应用，而且还在推进许多其他数学理论和技术发展中发挥了
重要作用。

因此，“阿氏圆圆心半径公式”的发明使得计算圆的半径更加简单，也帮助了许多算法的发展。

由于这项发明，圆的面积、周长和半径的计算变得更加简单方便，也帮助了许多工程项目、几何学研究和数学应用的发展。

阿氏圆圆心半径公式将继续在几何学和数学等领域发挥着重要的作用。

阿氏圆（阿波罗尼斯圆）阿氏圆定理：到两定点的距离之比为定值（不等于1）的点的轨迹是一个圆．定理证明：已知：如上图，在PAB △中，AB m =，PA kPB =，试证明点P 的轨迹是一个圆．证明：在AB 上取一点C ，使得AC k CB =，在AB 的延长线上取一点D ，使得AD k DB =，由三角形角平分线分线段成比例定理的逆定理，可知PC 平分APB ∠，PD 平分APB ∠的外角，所以90CPD ∠=︒，所以点P 在以CD 为直径的圆上．应用：如图，在ABC △中，4BC =，2AB AC =，求ABC △的面积最大值．三角形内角平分线定理：三角形任意两边之比等于它们夹角的平分线分对边之比．如图1，若AD 平分BAC ∠，则必有：::AB AC BD CD =．三角形外角平分线定理：三角形外角的平分线如果和对边延长线相交，则它将按对应内角的两边之比分对边．如图2，若AE 平分CAF ∠，则必有：::AB AC BE CE=逆向运用：构造“子母型”相似（共边共角）+两点之间线段最短。

解决带系数两线段之和的最值问题．APC △∽ABP △，PB AB PC AP∴=．例1．已知90AOB ∠=︒，4OB =，6OA =，O 的半径为2，P 为圆上的一个动点．①求12AP BP +的最小值；②求13AP BP +的最小值．解题步骤：①分别连接圆心O 与系数不为1的线段BP 的两端点，即OP ，OB ；②计算OP OB 的值，则12OP k OB ==（半径圆心到定点的距离）；③在①中定点与圆心连线上取点C （即在OB 上取点C ），使OC k OP =；④连接AC ，当A 、P 、C 三点共线时，12AP BP AP PC AC +=+≥；⑤计算AC 的长度即为最小值．适用情况：已知：①两定点；②动点轨迹是圆或者动点在圆上；③求定点与动点连线之和的最小值．练习1．已知O 半径为1，AC 、BD 为切线，1AC =，2BD =，P 为弧AB 上一动点，求22PC PD +的最小值．2．已知点A （4，0），B （4，4），点P 在半径为2的O 上运动，试求12AP BP +的最小值．3．已知点A （-3，0），B （0，3），C （1，0），若点P 为C 上一动点，且C 与y 轴相切．①求14AP BP +的最小值；②PAB S △的最小值．4．（1）如图1，已知正方形ABCD 的边长为4，圆B 的半径为2，点P 是圆B 上的一个动点，求12PD PC +的最小值为__________；12PD PC -的最大值为__________．（2）如图2，已知正方形ABCD 的边长为9，圆B 的半径为6，点P 是圆B 上的一个动点，那么23PD PC +的最小值为；23PD PC -的最大值为．（3）如图3，已知菱形ABCD 的边长为4，∠B=60°，圆B 的半径为2.点P 是圆B 上的一个动点.那么12PD PC +的最小值为；12PD PC -的最大值为．图1图2图35．如图，在△ABC 中，∠B ﹦90°，AB ﹦CB ﹦2，以点B 为圆心作圆B 与AC 相切，点P 为圆B 上任一动点，求22PA PC +的最小值．6．如图，菱形ABCD 的边长为2，锐角大小为60°，⊙A 与BC 相切于点E ，在⊙A 上任取一点P ．求2PB PD 的最小值．7．在平面直角坐标系中，A （2，0），B （0，2），C （4，0），D （3，2），P 是△AOB 外部的第一象限内一动点，且∠BPA ﹦135°，求2PD ﹢PC 的最小值．8．如图1，抛物线y＝ax2＋(a＋3)x＋3（a≠0）与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B，在x轴上有一动点E（m，0）（0＜m＜4），过点E作x轴的垂线交直线AB于点N，交抛物线于点P，过点P作PM⊥AB于点M．（1）求a的值和直线AB的函数表达式；（2）设△PMN的周长为C1，△AEN的周长为C2，若12CC＝65，求m的値；（3）如图2，在（2）的条件下，将线段OE绕点O逆时针旋转得到OE′，旋转角为α(0°＜α＜90°)，连接E′A、E′B，求E′A＋23E′B的最小值．图1图2例2．如图，点A 、B 在O 上，且6OA OB ==，OA OB ⊥，点C 使OA 的中点，点D 在OB 上，且OD =4，动点P 在O 上，求2PC+PD 最小值．思考：①求12PC PD +；②32PC PD +．练习：1．如图，AB 是圆O 的直径，半径2=r ，C 是OA 的中点，过C 作CD AB ⊥交圆于点D ，DE 是圆的另一条直径，P 是圆上的动点，求2PC PE +的最小值．2．如图，在扇形CAB 中，4CA =，120CAB ∠=︒，D 为CA 的中点，P 为BC 弧上一动点（不与C ，B 重合），求2PD PB +的最小值．总结：对于kPA PB+的阿氏圆问题：1、两个定点都在圆外（内构相似）：①当01k<<时，转化PA；②当1k>时，变形为1()k PA PBk+，转化PB；2、两个定点都在圆内（外构相似）：①当01k<<时，变形为1()k PA PBk+，转化PB；②当1k>时，转化PA；3、两个定点在圆的一内一外，定点连线即可．巩固练习1．在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，4AC =，3BC =，点D 为ABC △内一动点，满足2CD =，求23AD BD +的最小值．2．如图，边长为4的正方形，点P 是正方形内部任意一点，且2BP =；求：①12PD PC +4PC +的最小值．3．如图，等边ABC △的边长为6，内切圆记为O ，P 是O 上一动点，求2PB PC +的最小值．4．如图，在ABC △中，90ACB ∠=︒，4AC BC ==，C 的半径为2，点D 是C 上的动点，点E 在CB 上，1CE =，连接AD ，DE ，求122AD DE +的最小值．5．如图，在平面直角坐标系中，以点C （1，1为半径的圆与x 轴、y 轴分别交于点A 和点B ，点D 为弧AB 上的动点，求2BD +的最小值．。

初中数学阿氏圆
“阿氏圆”又称为“阿波罗尼斯圆”，如下图，已知A、B两点，点P满足
PA：PB=k（k≠1），则满足条件的所有的点P的轨迹构成的图形为圆．这个
轨迹最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆”.

如图 1 所示，⊙O 的半径为R，点 A、B 都在⊙O 外 ，P为⊙O上一动
点，已知R=OB，连接 PA、PB，则当“PA+kPB”的值最小时，P 点的位置
如何确定？

解决办法：如图2，在线段 OB 上截取OC使 OC=R，则可说明△BPO与
△PCO相似，则有PB=PC。故本题求“PA+kPB”的最小值可以转化为
“PA+PC”的最小值，其中与A与C为定点，P为动点，故当 A、P、C 三点
共线时，“PA+PC”值最小。

【技巧总结】
计算的最小值时，利用两边成比例且夹角相等构造母子型相似三角形