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课 题： 第01课时 不等式的基本性质 目的要求： 重点难点： 教学过程： 一、引入：不等关系是自然界中存在着的基本数学关系。
《列子•汤问》中脍炙人口的“两小儿辩日”：“远者小而近者大”、“近者热而远者凉”，就从侧面表明了现实世界中不等关系的广泛存在；日常生活中息息相关的问题，如“自来水管的直截面为什么做成圆的，而不做成方的呢?”、“电灯挂在写字台上方怎样的高度最亮？”、“用一块正方形白铁皮，在它的四个角各剪去一个小正方形，制成一个无盖的盒子。
要使制成的盒子的容积最大，应当剪去多大的小正方形？”等，都属于不等关系的问题，需要借助不等式的相关知识才能得到解决。
而且，不等式在数学研究中也起着相当重要的作用。
本专题将介绍一些重要的不等式（含有绝对值的不等式、柯西不等式、贝努利不等式、排序不等式等）和它们的证明，数学归纳法和它的简单应用等。
人与人的年龄大小、高矮胖瘦，物与物的形状结构，事与事成因与结果的不同等等都表现出不等的关系，这表明现实世界中的量，不等是普遍的、绝对的，而相等则是局部的、相对的。
还可从引言中实际问题出发，说明本章知识的地位和作用。
生活中为什么糖水加糖甜更甜呢?转化为数学问题：a 克糖水中含有b 克糖(a>b>0)，若再加m(m>0)克糖，则糖水更甜了，为什么?分析：起初的糖水浓度为a b ，加入m 克糖 后的糖水浓度为m a m b ++，只要证m a m b ++>ab 即可。
怎么证呢?二、不等式的基本性质：1、实数的运算性质与大小顺序的关系：数轴上右边的点表示的数总大于左边的点所表示的数，从实数的减法在数轴上的表示可知：0>-⇔>b a b a0=-⇔=b a b a 0<-⇔<b a b a得出结论：要比较两个实数的大小，只要考察它们的差的符号即可。
2、不等式的基本性质：①、如果a>b ，那么b<a ，如果b<a ，那么a>b 。
平均值不等式-北师大版选修4-5 不等式选讲教案一、知识点回顾1. 不等式的定义不等式是指两个实数之间的大小关系的式子。
2. 不等式的性质不等式在进行推导时要注意以下性质：•加减同项•倍乘同项•变形3. 平均值不等式平均值不等式是指对于一组实数a1, a2, ……,an，其算术平均数与其几何平均数之间存在如下关系：(a1 + a2 + …… + an) / n ≥ (a1 × a2 × …… × an) ^ (1/n)当且仅当所有的a1～an都相等时等号成立。
二、练习题1. 已知正整数a、b、c和d，且a < b < c < d，那么以下哪个不等式成立？(A)(a + d) / 2 > (b + c) / 2(B)(a + d) / 2 < (b + c) / 2(C)(a + d) / 2 ≥ (b + c) / 2(D)(a + d) / 2 ≤ (b + c) / 2解答：由于a、b、c、d是正整数，且a < b < c < d，因此有：•b > a•c > b•d > c两边分别相加得：a + d >b + c两边同时除以2，得：(a + d) / 2 > (b + c) / 2因此选项（A）成立，其他选项均不成立。
2. 已知a、b是正整数，且a + b = 10，那么a×b的最大值是多少？解答：按照平均值不等式的形式，有：(a + b) / 2 ≥ (a × b) ^ (1/2)代入a + b = 10，得到：5 ≥ (a × b) ^ (1/2)两边平方，得：25 ≥ a × b因此a×b的最大值为25。
三、实例演练1. 元素平均值不等式已知正数1 ≤ x1 < x2 < …… < xn，证明：(x1 + x2 + …… + xn) / n ≥ (x1 × x2 × …… × xn) ^ (1/n)证明：当n=2时，式子变形为：(x1 + x2) / 2 ≥ (x1 × x2) ^ (1/2)两边平方得：(x1 + x2) ^ 2 / 4 ≥ x1 × x2化简得：(x1 - x2) ^ 2 ≥ 0该式显然成立，因此对于n=2时，原式成立。
§3平均值不等式第1课时平均值不等式学习目标导航1.了解两个（三个）正数的算术平均值与几何平均值.（易错、易误点）2.掌握平均值不等式性质定理，能用性质定理证明简单的不等式.（重点'难点）<__________________________________________________________________________________阶段1 L认知预习质疑（知识梳理要点芬稻I）［基础•初探］教材整理平均值不等式阅读教材Pg〜P|2 “思考交流”以上部分，完成下列问题.1.定理1：对任意实数"，几有2+茫2呗当且仅当小时取“二”号）.2.定理2：对任意两个正数"，b,有导五（当且仅当二时取“二”号）.语言叙述为：两个正数的算术平均值不小于它们的几何平均值.3.定理3：对任意三个正数〃，b, c,有/+沪+c。
％bc（当且仅当二c时取“=”号）.4.定理4：对任意三个正数”，b, c,有"+：+心〈殛（当且仅当a=b= c时取“二”号）.语言叙述为：三个正数的算术平均值不小于它们的几何平均值.。
微依验。
判断(正确的打“J”,错误的打“X”)(彷+》2.()(2)出22.()(3)当"，b, c不全为正数时，莎成立⑷击+戸・()【解析】(1)X当兀＞0时,x+、2,当兀＜0时,兀+生一2.X X因为e、0,・：『+丄当且仅当x=0时取等号.22,［质疑•手记］预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流: 疑问1: ________________________________________如 b=c=~l 时, ”+b+c 1 , 3——、、「亠〃+b+c (4)X 当。
,b,沖号时，彳,p 为为正数，有驚+许3,当且仅当“ =b=c 时取等号.【答案】(l)x (2)7 (3)X ⑷X解惑：_____________________________________________ 疑问2：________________________________________ 解惑：_____________________________________________ 疑问3：________________________________________>例£1 命题：①任意 x 〉0, lg x+乙22；②任意 xGR, t/A +^^2（t/>0其中真命题有（）B.③④C •②③ D.①②③④【精彩点拨】关键看是否满足平均值不等式. ［小组合作型］卜平均值不等式的条件判定 IL 且6/7^1）；③任意圧0,㊁，tanx+ 衲$2；④任意圧R, sm+点泡A ・③【自主解答】在①，④中，lg圧R, sin%G[-l?l],不能确定lgQO与sinx>0,因此①，④是假命题.在②中，/〉0, /+土22十+=2,当且仅当汁0时取等号，故②是真命题./ \7T 1在③中，当xGO, c时，tanx>0,有tanx+—^2,且兀=斗时取等号，\ 厶）tan x 4故③是真命题.【答案】c名师區本题主要涉及平均值不等式成立的条件及取等号的条件.在定理1和定理2 中，是等号成立的充要条件.但两个定理有区别又有联系:⑴字2畑是"2+^22〃的特例，但二者适用范围不同，前者要求〃，b均为正数，后者只要求"，0GR；⑵“，b大于0是字师的充分不必要条件；“，b为实数是a2-\-b2^lab的充要条件.［再练一题］1•设"，b为实数，且ab>0,下列不等式中一定成立的个数是（）【导学号：94910010］j2 2④卅丸+0.A. 1B. 2C. 3D. 4【解析】血〉0, •冷+》2\普=2,①成立; 〃，b<0时，②不成立;当〃=一1, b=~2时，④不成立.因此，①③成立.【笞案】B类型2►证明简单的不等式⑴已知〃，b, cWR.求证：芳+/A?+c方;(2)设",b, c都是正数,求证:手+計兽+b+c.【精彩点拨】本题考查平均值不等式及不等式的性质等基础知识，同时考查推理论证能力•解答此题需要先观察所求式子的结构，然后拆成平均值不等式的和，再进行证明.【自主解答】（1）/+虑2"昵司理”4+『22"沅沪+『22必2, 将以上三个不等式相加得：/+//+/+c°+b°+c" 2 2"铝+lac + 2Z?2C2,即t/4+b4+c4a I D +a c + lo c.(2)：•当〃>0, b>0 时，a+b22莎将以上三个不等式相加得:be , ac , ab}^ .,2 —+「+—22(〃+b+c), 10 c)名师區平均值不等式具有将“和式”和“积式”相互转化的放缩功能，常常用于证明不等式，解决问题的关键是分析不等式两边的结构特点，选择好利用平均值不等式的切入点.但应注意连续多次使用平均值不等式定理的等号成立的条件是否保持一致.[再练一题][1 ]}2.设〃，b, c 为正数，求证：\(4 U V【证明】Vu>0, 0〉0, c〉0,亦+右+弓@ + 0 + (?)2当且仅当“二b=c时，等号成立.故原不等式成立.【提示】穴鳶W 遍W 字W齐. ［探究共研型］关系?探究点I 平均值不等式的变式及条件不等 \式的证明探究1不等式字2扳/ j I h I 厂 、 2乂赢成立的条件都是ci, b, c 为在条件b 馮＞0成立时，”, +" b 之间有怎样的大小 lab探究2若问题中一端岀现“和式”，另一端岀现“积式”时，这便是应用不等式的“题眼”，那么若条件中有“和式为1”时，应如何思考？【提示】应用平均值不等式时，一定要注意条件〃>0, b>0, c>0.若有“和式为1”时，常反过来应用“1”的代换，即把“1”化成“和”，再试着应用平均值不等式.3 已知QO, b〉O, c〉O,求证:(1)十(2)\1?+方2+寸卩+c?+寸r+t?》仮〃+b+c)・【精彩点拨】⑴式两端均是“和”，不能直接利用平均值不等式，解决的关键是对、学的处理，先考虑平方关系，化难为易；（2）注意两边都是“和”式，可利用⑴题的结论.3 已知QO, b〉O, c〉O,求证:【自主解答】（1）・・・/+/劾, 2（（?+X） 2 （“+，.F + 员、（" + 0）2•: 2 " 4 _•a+b la2~hb2 又QO, b〉O, •••-y-W⑵由(1)得话舀孑+b).同理:3+c2$¥(b+c), pF+C 三式相加得：寸/+X+&+/+寸庄当且仅当a=b=c时，取“二”号.（〃 +c）・名师血--------------------- ( I > /.2|r21.第(2)问利用了第(1)问的结论亍W冷才记住这一结论可帮我们找到解题思路，但此不等式要给予证明.2.一般地，数学中的定理、公式揭示了若干量之间的本质联系，但不能定格于某种特殊形式，因此平均值不等式a2+b2^2ab的形式可以是a2^2ab-b2,2 I >2 .2 12也可以是―,—,还可以是22b(〃>0), —22b—ci等.解题时不仅要L a ct会利用原来的形式，而且要掌握它的几种变形形式以及公式的逆用.［再练一题］、O2 If 251)23.已知/ 肚(0, +°°),且”+b=l,求证：u+- + /?+? 2了. \ uj \ UJ L 【证明】因为〃，bG(O, +°°)>且〃+b=l, 所以迓，当且仅当a=b时，等号成立，所以血wgwbW治加4,/+長=：("+防2-2“/?=1一2“b21—2Xgp, /+卩？亦(,1> , ( , 1> ,1,11, , 25 〃+一 + b-\~T =/+/?~+4+二+二2亍+4+8=牙，V ci) b) a b 22f 1]2 1]2 25所以+州泻.\ a丿、。
平均值不等式教学设计【教材依据】本节教学设计依据北师大2007年5月第2版的《高中数学（选修4-5）》，是第一章“不等关系与基本不等式”的第3节“§3平均值不等式”中的第一课时。
一、设计思路1.指导思想。
本设计以素质教育精神和新课程理念为指导，充分调动学生动手实践、合作探究，以此提高课堂教学效率。
以建构主义为指导，找准学生认知的最近发展区和认知生长点，指导学生在已有认知的基础上学习、发展。
结合实践体验，引导学生意识到几何直观和类比、分析等在数学证明中的独特价值，让学生体会数学的图形之美、构造之美和结论的和谐一致之美。
2.教学目标。
知识与能力：进一步理解二元、三元平均值不等式，进而类比并了解n元平均值不等式。
方法与途径：观察、动手实践、讨论交流、总结归纳。
情感与评价：口头评价与成果交流评价相结合。
拓展学生的视野，激发学生类比、分析的意识与能力。
在从二元平均值不等式到三元平均值不等式的推广过程中，条件由“实数”变为了“正实数”，也以此让学生领会“量变会引起质变”的哲学观点。
现代教学手段的运用：PPT多媒体辅助手段与学案相结合。
3.教学重点与难点。
重点：二元、三原平均值不等式的理解与证明方法。
难点：类比得出三原平均值不等式，三元平均值不等式的证明思路的探索。
二、教学准备利用几何画板提前将有关二元平均值不等式及其变式的几何证明的图像做好，分为三组在学案上印制出来，准备让学生发现这些图形中隐藏的秘密。
三、教学过程1.体验数学发现与数学结论的不同表达形式让学生观察第一组3个图形中有关部分面积的大小关系，揭示其中的秘密并恰当表述出来。
师生共同交流总结出：22,,2a b R a b ab ∈+≥，当且仅当a b =时“=”成立。
让学生观察第二组2个图形中有关部分线段的长短关系，揭示其中的秘密并恰当表述出来。
有了刚才的铺垫，学生比较容易发现并表述出：,,a b R a b +∈+≥当且仅当a b =时“=”成立.或表示为2a b +≥。
