人教版高中数学必修5《基本不等式》课件1

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基本不等式人教A版高中数学必修五PPT课件

函数的最小值为 4.
用均值不等式求最值,必须注意 “相等” 的条件. 如果取等的条件不成立,则不能取到该最值.
基本不等式人教A版高中数学必修五PP T课件
基本不等式人教A版高中数学必修五PP T课件
练习
1、若x 0，求f ( x) 12 3x的最小值 x
2、已知x 0，y 0，求证 x y 2 yx
基本不等式人教A版高中数学必修五PP T课件
2.基本不等式基本不等式人教A版高中数学必修五PPT课件（均值定理）
如果a 0, b 0，那么 a b ab 2
(当且仅当a b时，取""号)
我们把 a b 叫做正数a, b的算术平均数， 2
把 ab叫做正数a, b的几何平均数。
此定理又可叙述为：
解：∵ x 0
x
x 1 2 x 1 2
x
x
当且仅当x 1 ,即x 1时，原式有最小值 2 x
变式、已知x 0，求x 1 的最值 x
解：∵ x 0， x 0
x 1 [( x) 1 ] 2 ( x) 1 2
x
( x)
( x)
运用均当且值仅不当等式x 的1过,程即x中，1时a、，b原必式须有最为大“正值数 2”．
(1)a、b均为正数;
(2)a+b与ab有一个为定值;
(3)等号必须取到。பைடு நூலகம்
以上三个条件缺一不可. “一正”、“二定”、“三相等”。
构造积为定值，利用基本不等式求最值
例1、求函数y 1 x( x 3)的最小值
x3
练习:
已知x 1，求x 1 的最小值以及取得最小值时x的值 x1
答：最小值是3，取得最小值时x的值为2

(人教版)数学必修五：3.4《基本不等式(1)》ppt课件

∴1x＋1y≥2 x1y＝ 2xy≥4 2则是错误的，因为此时等号取不到：前一个不等式成立的条件是 x＝2y＝12，后一个不等式则是在 x＝y 时成立．
(2)也可以直接将1x＋1y的分子 1 代换为 x＋2y，和乘以“1”是相同的．
已知 x＞0，y＞0，且1x＋9y＝1，求 x＋y 的最小值．
∵x＋1x≤－2，∴－12≤x＋1 1x<0，当且仅当 x＝－1 时，等号成立，
∴－1≤y<0；当 x＝0 时，y＝0.综上所述，该函数的值域为[－1,1].
一变形技巧：“1”的代换
已知正数 x，y 满足 x＋2y＝1，求1x＋1y的最小值． [分析] 灵活应用“1”的代换．在不等式解题过程中，常常将不等式“乘以 1”、“除以 1”或将不等式中的某个常数用等于 1 的式子代替．本例中可将分子中的 1 用 x＋2y 代替，也可以将式子1x＋1y乘以 x＋2y.
成才之路 ·数学
人教A版 ·必修5
路漫漫其修远兮吾将上下而求索
第三章不等式
第三章 3.4 基本不等式 ab≤a＋2 b
第1课时基本不等式
课前自主预习
下图是2002年在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民的热情好客．那么你能在这个图中找出一些相等关系或不等关系吗？
[解析] ∵x，y 为正数，且 x＋2y＝1. ∴1x＋1y＝(x＋2y)(1x＋1y)＝3＋2xy＋xy≥3＋2 2，当且仅当2xy ＝xy，即当 x＝ 2－1，y＝1－ 22时等号成立． ∴1x＋1y的最小值为 3＋2 2.
[方法总结] (1)本题若由 1＝x＋2y≥2 2xy，得 1xy≥2 2，

人教版必修五数学《基本不等式》PPT课件

《基本不等式》
·人教版必修五数学PPT课件·
目录
1
重要不等式
2
基本不等式
3
有关常用理论4Biblioteka 例题学习1 重要不等式
1. 重要不等式
当a,b是任意实数时,有a2+b2≥2ab,当且仅当a=b时,等号成立.
2 基本不等式
2. 基本不等式
2. 基本不等式
2. 基本不等式
从数列的角度看,a,b的算术平均数是a,b的等差中项,几何平均数是a,b的正的等比中项,则基本不等式可表示为:a与b的正的等比中项不大于它们的等差中项.
【做一做2】已知ab=16,a>0,b>0,则a+b的最小值为
.
答案:8
2. 基本不等式
2. 基本不等式
2. 基本不等式
2. 基本不等式
3 有关常用理论
3. 有关常用理论
3. 有关常用理论
4 例题学习
4. 例题学习
题型一
比较大小
4. 例题学习
4. 例题学习
题型二利用基本不等式求最值
4. 例题学习
4. 例题学习
4. 例题学习
4. 例题学习
同学们！下课啦！
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基本不等式课件(共43张PPT)

02
基本不等式的证明方法
综合法证明基本不等式
利用已知的基本不等式推导
01
通过已知的不等式关系，结合不等式的性质（如传递性、可加
性等），推导出目标不等式。
构造辅助函数
02
根据不等式的特点，构造一个辅助函数，通过对辅助函数的分
析来证明原不等式。
利用数学归纳法
03
对于涉及自然数n的不等式，可以考虑使用数学归纳法进行证明。
分析法证明基本不等式
寻找反例
通过寻找反例来证明某个不等式不成立，从而推导出原不等式。
利数，可以利用中间值定理来证明存在某个点使得函数值满足给定的不等式。
通过分析不等式在极限情况下的性质，来证明原不等式。
归纳法证明基本不等式
第一数学归纳法
通过对n=1和n=k+1时的情况进行归纳假设和推导，来证明对于所有正整数n，原不等式都成立。
拓展公式及其应用
要点一
幂平均不等式
对于正实数$a, b$和实数$p, q$，且$p < q$，有 $left(frac{a^p + b^p}{2}right)^{1/p} leq left(frac{a^q + b^q}{2}right)^{1/q}$，用于比较不同幂次的平均值大小。
要点二
切比雪夫不等式
算术-几何平均不等式（AM-GM不等式）：对于非负实数$a_1, a_2, ldots, a_n$，有 $frac{a_1 + a_2 + ldots + a_n}{n} geq sqrt[n]{a_1a_2ldots a_n}$，用于求解最值问题。
柯西-施瓦茨不等式（Cauchy-Schwarz不等式）：对于任意实数序列${a_i}$和${b_i}$，有 $left(sum_{i=1}^{n}a_i^2right)left(sum_{i=1}^{n}b_i^2right) geq left(sum_{i=1}^{n}a_ib_iright)^2$，用于证明与内积有关的不等式问题。

高中数学人教A版必修5必修五基本不等式PPT课件

∴x＋ 1 ＝（x－1）＋ 1 ＋1
x 1
(x 1)
凑项法
2 x 1 1 1 3
x 1
当且仅当x－1＝ 1 时取“＝”号。
x 1
于是x＝2或x＝0（舍去）
பைடு நூலகம்
高中数学人教A版必修5必修五基本不等式PPT 课件
高中数学人教A版必修5必修五基本不等式PPT 课件
已知0 x 1 ,求函数y x1 3x的最大值。
例1：(1)用篱笆围成一个面积为100m2的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短。
最短的篱笆是多少？
解：设矩形菜园的长为x m，宽为y m，
则xy=100，篱笆的长为2（x+y）m.
x y xy 2
x y 2 100
2(x y) 40
等号当且仅当x=y时成立，此时x=y=10. 因此，这个矩形的长、宽都为10m时，所用的篱笆最短最短的篱笆是40m.
① x 0 2,
② x0
,2
③ x 0 ,2 2,
④ x2
5 2
,
一正、二定、三等
一不正,需变号
二不定,需变形三不等,需单调
两个不等式：
a2 b2 2ab (a, b R)
ab
ab
(a 0, b 0)
2
得：
a2 b2 ab
ab ( a b )2
2
2
ab
a
2
高中数学人教A版必修5必修五基本不等式PPT 课件
最值定理：若x、y皆为正数，则
（1）当x+y的值是常数S时，当且仅当x=y时，xy有最和
大值__14__S_2__；
定积
（2）当xy的值是常数P时，当且仅当x=y时， x+y有最最

高中数学人教版必修五：基本不等式(共23张PPT)

基本不等式：
ab

a
b 2
（第一课时）
2019/10/5
一、情境创设导入课题
第24届国际数学家大会（ICM2002）的会标
问题：你能在这个图中找出一些相等关系或不等关系吗？
二、自主探究推导公式
问题 1：在正方形 ABCD 中有4个全等的直角三角形.设直角三角形的
两条直角边长为a,b，正方形ABCD的面积为 S ，4个直角三角形的面积和
2
又称为基本不等式
4、从数列角度看：
把
ab 2
看做两个正数a，b 的等差中项，
ab 看做正数a，b的等比中项，
那么上面不等式可以叙述为：
两个正数的等差中项不小于它们的等比中项。
还有没有其它的证明方法证明均值不等式呢?
二、自主探究推导公式探究：如图，AB 是圆的直径，点 C 是 AB上一点，
显然，④是成立的.当且仅当 a b 时，④中的等号成立.
2019/10/5
析： a 0,b 0,
a b ab a b 2 ab ( a b)2 0
2
2
2
即 a b ab 2
当且仅当 a b即a b等号成立
上面所证结论通常称为均值不等式
（2）设矩形的长、宽分别为x(m)，y(m)，
依题意有2(x+y)=36，即x+y=18，因为x>0，y>0，所以， xy ≤ x y
2
因此 xy ≤9
将这个正值不等式的两边平方，得xy≤81, 当且仅当x=y时，式中等号成立，此时x=y=9，
因此，当这个矩形的长与宽都是9m时，它的面积最大，最大值是81m2。

人教版高中数学必修五第三章3.4.1 基本不等式公开课教学课件 (共21张PPT)

如图，这是在北京召开的第24届国际数学大会的会标，会标根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客.
问题探索
b a
a2 b2
问1：在正方形ABCD中,设AE=a,BE=b, 则正方形的面积为a2S=b—2———
问2： Rt△AEB,Rt△BFC,Rt△CGD,Rt△AHD2是ab全等三角形，它们的面积和是S’=——— 问3：S与S’有什么样的关系？从图形中易得，S > S’,即
5、You have to believe in yourself. That's the secret of success. ----Charles Chaplin人必须相信自己，这是成功的秘诀。-Thursday, June 17, 2021June 21Thursday, June 17, 20216/17/2021
3、Patience is bitter, but its fruit is sweet. (Jean Jacques Rousseau , French thinker)忍耐是痛苦的，但它的果实是甜蜜的。10:516.17.202110:516.17.202110:5110:51:196.17.202110:516.17.2021
时,
取“=”号.
∴当
x
=
1 4
时,
函数 y=x(1-2x) 的最大值是
1 8
.
五、作业：
课本习题练习 1,2,3,
21
（1）a2 b2 2ab(a,b R) 当且仅当a b时取""号
（2） a b 2 ab (a当且0,b仅当0)a=b时，等号成立
注意：1.两公式条件，前者要求a,b为实数；后者要求a,b为正数. 2.公式的正向、逆向使用的条件以及“=”的成立条件.

基本不等式(共43张)ppt课件

15
判别式及根的关系
根的关系
判别式：$Delta = b^2 4ac$，用于判断一元二次方
程的根的情况。
01
02
03
当 $Delta > 0$ 时，方程有两个不相等的实根；
当 $Delta = 0$ 时，方程有两个相等的实根（即一个重
根）；
04
2024/1/25
05
当 $Delta < 0$ 时，方程无实根，有两个共轭复根。
基本不等式性质
传递性
若$a > b$且$b > c$，则$a > c$。
正数乘法保序性
若$a > b > 0$且$c > d > 0$ ，则$ac > bd$。
对称性
若$a = b$，则$b = a$；若 $a > b$，则$b < a$。
2024/1/25
可加性
若$a > b$且$c > d$，则$a + c > b + d$。
2024/1/25
35
思考题与练习题
思考题：如何利用均值不等式证明其他不等式？
2024/1/25
|x - 3| < 5
练习题：解下列不等式，并在数轴上表示解集
(x + 1)/(x - 2) > 0
36
THANKS。
2024/1/25
37
次不等式组来解决。
12
03
一元二次不等式解法
2024/1/25
13
一元二次不等式概念
一元二次不等式
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式。
标准形式
$ax^2+bx+c>0$ 或 $ax^2+bx+c<0$，其中 $a neq 0$。

基本不等式ppt课件

a+b
当且仅当a
2
= b时，等号成立.
思考：如图，是圆的直径，点是上一点， = ，
D
= .过点作垂直于的弦，连接，.
a+b
ab
2
半径 = _______________，则
= _______________
与大小关系怎么样？
a+b
≥
(1)当积xy等于定值P时，
≥
2
证明：∵ x，y都是正数， ∴
1 2
时，积有最大值 .
4
xy.
p， ∴ x + y ≥ 2 p，
积定和最小
当且仅当x = y时，上式等号成立.
于是，当x = y时，和x + y有最小值2 p.
(2)当和x + y等于定值S时， xy ≤
S
，∴xy
2
当且仅当x = y，上式等号成立.
2
2
∴x +
4
]
2−x
4
，得x
2−x
4
的最大值为−2.
x−2
+ 2 ≤ −2 (2 − x)(
4
)
2−x
+ 2 = −2，
= 0或x = 4(舍去)，即x = 0时等号成立.
练习巩固
练习2：已知0 < < 1,求 1 − 的最大值.
解：∵0 < < 1，∴ 1 − x > 0
∴ 1 − ≤
∴x +
4
x+4
− 4 ≥ 2 (x + 4) ∙
4
，即x
x+4
4
的最小值为0.

人教版高中数学必修五基本不等式课件PPT

第三章不等式
1.两个不等式
不等式
内容
等号成立条件
重要不等式
a2 b2 2ab(a, b R)“a=b”时取“=”
基本不等式
ab
a b (a＞0,b＞0) 2
“a=b”时取“=”
第三章不等式
第三章不等式
在艰苦奋斗的环境中锻炼出来的文人，总比生长在温暖逸乐的环境中的人要坚强伟大。
——郁达夫
1.你能在这个图案中找出一些相等关系
第三章不等式
D
提示: 设AE=a,BE=b,
GF HE A
则正方形ABCD的面积 C 是__a_2_+_b_2__，
这4个直角三角形的面积之和是___2_a_b____，
B
S> 正方形ABCD
4S直角三角形，
即a2 b2 2ab.
第三章不等式
【提升总结】基本不等式：注意：（1）a,b均为正数；（2）当且仅当a=b时取等号.
第三章不等式
D
如图,AB是圆的直径，C
是AB上任一点，
AC=a,CB=b,过点C作垂
A
C
B
直于AB的弦DE，连接
AD,BD,
E
则CD=＿＿,
半径为＿＿.
第三章不等式
CD小于或等于圆的半径. 用不等式表示为上述不等式当且仅当点C与圆心重合，即当a=b 时，等号成立. 几何意义：半径不小于半弦.
∴1x＋1y≥2 x1y＝ 2xy≥4 2则是错误的，因为此时等号取不到：前一个不等式成立的条件是 x＝2y＝12，后一个不等式则是在 x＝y 时成立．
(2)也可以直接将1x＋1y的分子 1 代换为 x＋2y，和乘以“1” 是相同的．

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0)
D
的几何解释吗？
A
C
E
ab
a
b
2
我们常把 a b 叫做正数a,b的算术平
2
均数，把 ab 做正数a,b的几何平均数.
例1. 已知 a,b,c为两两不相等的实数，
求证：a2 b2 c2 ab bc ca .
例1.已知 a,b,c为两两不相等的实数，
求证：a2 b2 c2 ab bc ca .
提问4：你能给出它的证明吗？
a2 b 2 2ab
注意：
(1) 当且仅当 a b,a2 b 2 2ab ;
(2) 特别地,如果 a 0,b 0,用 a和 b代替
a、b,
可得a
b
2
ab ,也可写成
ab
a
b
2
(a 0,b 0).
提问5：观察右图，你能得到不等式
ab
a b (a
2
0,b
例4. 当 x 1 时，
求f(x )
x2
x
3x
1
1
的值域
.
例5. 若实数 a、b满足a b 2,
求 3a 3b的最小值 .
例5. 若实数 a、b满足a b 2,
求 3a 3b的最小值 .
比较两个重要不等式的联系和区别：
a2 b 2 2ab ;
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
a
b
2
ab(a 0,b 0) .
提问2：那4个直角三角形的面积和是多
少呢？
D
GF C
A HE
B
提问3：根据观察4个直角三角形的面积
和正方形的面积，我们可得容易得到一个
不等式 a2 b 2 2ab ，什么时候这两部分面积相等呢？
D GF C A HE
B
一般地，对于任意实数a、b，我们有 a2 b 2 2ab ，当且仅当a＝b时，等号成立.
ab
a
b
2
提问1：我们把“风车”造型抽象成下图.
在正方形ABCD中有4个全等的直角三角形. 设直角三角形的两条直角边的长为a、b，那么正方形的边长为多少?面积为多少呢?
D GF C A HE
B
提问1：我们把“风车”造型抽象成下图.
在正方形ABCD中有4个全等的直角三角形. 设直角三角形的两条直角边的长为a、b，那么正方形的边长为多少?面积为多少呢?
练习. 已知 a 0,b 0,c 0,
求证：
bc a
ac b
ab c
a
b
c.
例2. 已知 a,b,c,d 都是正数,
求证 : (ab cd )(ac bd ) 4abcd .
例3. 若 a b 1，P lg a lg b ,
Q
1 (lg 2
a
lg
b ),R
lg
a
2
b
,
比较P、Q、R的大小.