高数辅导之专题二十：交错级数、任意项级数的敛散性判别法

专题二十基础知识定理1（交错级数的莱布尼兹定理）若交错级数∑∞=-1)1(n n nu （Λ,3,2,1=n ）满足：（1）1+≥n n u u （Λ,3,2,1=n ） （2）0lim =∞→n n u则∑∞=-1)1(n n nu 收敛，且11)1(u u n n n ≤-∑∞=。

注：交错级数∑∞=-1)1(n n nu 收敛要求数列}{n u 单调递减且趋向于零。

对于任意项级数∑∞=1n nu，引入绝对值级数的概念：级数∑∞=1||n nu称为∑∞=1n n u 的绝对值级数。

定理2若级数∑∞=1||n nu收敛，则∑∞=1n n u 亦收敛。

由定理2知收敛级数∑∞=1n nu分为两种：（1）条件收敛：要求∑∞=1n nu收敛，∑∞=1||n nu发散。

（2）绝对收敛：要求∑∞=1||n nu。

总结：判定级数∑∞=1n nu的敛散性，可按如下步骤进行：（1）首先讨论n n u ∞→lim 。

若n n u ∞→lim 不存在或0lim ≠∞→n n u ，级数∑∞=1n nu发散；若0lim =∞→n n u ，转入第二步。

（2）其次讨论∑∞=1||n nu的敛散性，可运用正项级数的一系列敛散性判别法。

若∑∞=1||n n u 收敛，则∑∞=1n nu绝对收敛；若∑∞=1||n nu发散，转入第三步。

（3）最后讨论∑∞=1n nu的敛散性，可能用到交错级数的莱布尼兹定理。

若∑∞=1n nu收敛，则∑∞=1n nu条件收敛；若∑∞=1n nu发散，当然∑∞=1n nu发散。

例题1. 设α为常数，判定级数∑∞=-12]1sin [n nn na 的敛散性。

解：∑∑∑∞=∞=∞=-=-112121sin ]1sin [n n n n n na n n na 由于221|sin |n n na ≤，∑∞=121n n 收敛，由比较判别法知级数∑∞=12sin n n na 收敛（绝对收敛），而∑∑∞=∞==121111n n nn为一发散的p 级数，故∑∞=-12]1sin [n nn na 发散。

级数收敛与发散的判定方法级数是由一系列连加的无穷项组成的数列。

在数学中，判断一个级数是收敛还是发散是一个重要的问题。

下面我将介绍几种常见的方法来判定级数的收敛性或发散性。

一、正项级数收敛判定法正项级数是指级数的每一项都是非负数。

对于正项级数，我们可以使用以下几种方法来判定其收敛性或发散性。

1. 比较判别法：如果一个正项级数的每一项都小于等于另一个已知收敛的正项级数的对应项，那么这个级数也是收敛的；如果一个正项级数的每一项都大于等于另一个已知发散的正项级数的对应项，那么这个级数也是发散的。

2. 比值判别法：对于正项级数，计算相邻两项的比值，如果这个比值的极限存在且小于1，则级数收敛；如果大于1，则级数发散；如果等于1，则无法判定。

3. 根值判别法：对于正项级数，计算相邻两项的根的比值，如果这个比值的极限存在且小于1，则级数收敛；如果大于1，则级数发散；如果等于1，则无法判定。

二、交错级数收敛判定法交错级数是指级数的每一项交替正负。

对于交错级数，我们可以使用以下方法进行判定。

1. 莱布尼茨判别法：对于交错级数，如果级数的每一项绝对值递减趋向于零，并且满足单调性条件，即后一项的绝对值不大于前一项的绝对值，那么该级数收敛。

三、级数收敛判定法对于非正项级数，也有一些方法可以判定其收敛性。

1. 绝对收敛判别法：如果一个级数的绝对值级数收敛，那么原级数也收敛。

2. 条件收敛判别法：如果一个级数是收敛的但不是绝对收敛的，那么它是条件收敛的。

四、其他级数的判定方法除了上述常见的判定法外，还有一些特殊的级数判定方法。

1. 积分判别法：将一个级数与一个函数的积分进行比较，如果积分收敛，则级数收敛；如果积分发散，则级数发散。

2. 定积分法：将级数的前n项求和表示为一个关于n的函数，然后对该函数进行定积分，如果定积分收敛，则级数收敛；如果定积分发散，则级数发散。

总结：级数的收敛与发散的判定方法有比较判别法、比值判别法、根值判别法、莱布尼茨判别法、绝对收敛判别法、条件收敛判别法、积分判别法和定积分法等。

判别数项级数敛散性的一些方法和技巧要判断数项级数的敛散性，我们可以使用一些方法和技巧。

以下是一些常见的方法和技巧：1.非负项级数的比较判别法：-比较判别法：如果一个数项级数的绝对值项与一个已知级数的绝对值项相比，可以发现后者收敛，则前者也收敛；如果后者发散，则前者也发散。

-极限判别法：如果一个数项级数的绝对值项的极限为零，而另一个已知级数的绝对值项发散，则前者也发散；如果后者收敛，则前者也收敛。

-比值判别法：如果一个数项级数的绝对值项的比值极限存在且小于1，那么级数收敛；如果比值极限大于1，那么级数发散；如果比值极限等于1，判定不确定。

2.收敛级数的性质：-绝对收敛和条件收敛：如果一个数项级数的绝对值级数收敛，那么原级数也收敛；如果绝对值级数发散，但原级数收敛，则称为条件收敛。

-级数的加减法和乘法：只要两个级数中有一个收敛，那么它们的和、差和乘积也收敛。

3.交错级数的收敛性：-莱布尼茨判别法：对于一个交错级数，如果该级数的绝对值项递减趋于零，则级数收敛；如果绝对值项不满足这个条件，则级数发散。

4.幂级数的收敛性：- 幂级数的收敛半径：对于一个幂级数∑an(x-a)^n，可以通过求其收敛半径来判断其在收敛范围内是否收敛。

收敛半径可以使用根值判别法或比值判别法进行计算。

5.特殊级数的敛散性：-调和级数：调和级数∑1/n发散，但调和级数∑1/n^p，其中p>1，收敛。

- 几何级数：几何级数∑ar^n，在，r，<1时收敛，否则发散。

6.柯西收敛准则：-柯西收敛准则：一个数项级数收敛当且仅当对于任意给定的正数ε，存在正整数N，当n>N时，级数的部分和之差的绝对值小于ε。

7.级数的整体性质：-典型例子：级数的敛散性常常可以通过和或平方根的形式来判断。

例如，级数∑1/n^2收敛，而级数∑1/n发散。

通过以上这些方法和技巧，我们可以判断数项级数的敛散性并进行求和计算。

但需要注意的是，并非所有的数项级数都可以通过这些方法和技巧来判断其敛散性，有些级数可能需要更复杂的方法来求解。

关于数项级数敛散性的判定关于数项级数敛散性的判定摘要：就数项级数敛散性的判定进⾏了深⼊细致的分析、探究与总结，重点论述了正项级数及⼀般项级数的敛散性判别⽅法，提出了数项级数敛散性判定的⼀般步骤，以及判定过程中需要注意的⼀些问题。

使得对数项级数敛散性的知识有了更深的认识，提⾼了解题能⼒。

关键词：数项级数；正项级数；交错级数；⼀般项级数；敛散性引⾔：⽆穷级数是⾼等数学的⼀个重要组成部分，是研究“ ⽆穷项相加” 的理论，它是表⽰函数、研究函数的性质以及进⾏数值计算的⼀种⼯具。

如今，⽆穷级数已经渗透到科学技术的很多领域，成为数学理论和应⽤中不可缺少的有⼒⼯具，⽽应⽤的前提是级数收敛，所以其收敛性的判别就显得⼗分重要，判断级数敛散的理论和⽅法很多，本⽂的根本⽬的是对数项级数敛散性的判定进⾏深⼊的研究与总结。

1.预备知识： 1.1级数的定义及性质定义1：给定⼀个数列{}n u ，对它的各项依次⽤“+”号连接起来的表达式......21++++n u u u称为数项级数。

其中n u 称为该数项级数的通项。

数项级数的前n 项之和记为：∑=+++==nk n k n u u u u S 121...。

称为数项级数第n 个部分和。

定义2：若数项级数的部分和数列{}n S 收敛于S （即S S n n =∞→lim ），则称数项级数收敛。

若{}n S 是发散数列，则称数项级数发散。

即：n n S ∞→lim 不存在或为∞。

性质：（1）级数收敛的柯西准则：级数收敛的充要条件：0>?ε，0>?N ,使得当N m >以及对任意正整数P ，都有ε<++++++p m m m u u u (21)推论：级数收敛的必要条件：若级数收敛，则0lim =∞→n n u 。

（2）设有两收敛级数n u s ∑=，n v ∑=σ，则其和与差)(n n v u ±∑也收敛，并且σ±=±∑s v un n)(。

交错级数发散,原级数收敛的例子
摘要：
一、交错级数概念回顾
二、交错级数发散与收敛的判别方法
三、具体例子分析
1.交错级数发散的例子
2.交错级数收敛的例子
四、结论与启示
正文：
在数学分析中，交错级数的概念及发散与收敛的判别方法是基础内容，下面将通过具体例子来进一步了解这一概念。

一、交错级数概念回顾
交错级数是指如下一类级数：
∑(-1)^n * a_n
其中，a_n为级数项，n为自然数。

需要注意的是，交错级数的收敛性与发散性判定方法与非交错级数有所不同。

二、交错级数发散与收敛的判别方法
1.收敛性判别方法：
（1）交错级数的部分和序列单调有界；
（2）交错级数的部分和序列极限为0。

2.发散性判别方法：
（1）交错级数的部分和序列无界；
（2）交错级数的部分和序列极限不存在或非0。

三、具体例子分析
1.交错级数发散的例子：
考虑以下交错级数：
∑(-1)^n * (1/n)
该级数是交错级数，但部分和序列发散，因此整个级数发散。

2.交错级数收敛的例子：
考虑以下交错级数：
∑(-1)^n * (1/n^2)
该级数同样是交错级数，但部分和序列极限为1，因此整个级数收敛。

四、结论与启示
通过以上分析，我们可以发现交错级数的发散与收敛特性与非交错级数存在一定差异。

在实际应用中，要根据级数的性质和条件来判断其收敛性。

对于交错级数，我们可以通过部分和序列的单调性、有界性以及极限值来判断其发散性与收敛性。

数项级数敛散性判别法数项级数是由一系列数值相加而得到的无穷级数。

在数学中，我们经常需要判断一个数项级数的敛散性，即判断它是否会无限逼近一个有限值（收敛）或者永远无法收敛（发散）。

下面将介绍一些常见的判断数项级数敛散性的方法。

1.正项级数判别法（比较判别法）：对于一个数项级数∑an，如果对于所有的n，都有an≥0，并且an+1≤an，那么我们可以使用正项级数判别法来判断敛散性。

即如果极限值lim(n→∞)an=0，则级数收敛；如果极限值lim(n→∞)an>0，则级数发散。

2.比值判别法：如果存在一个正数r，使得lim(n→∞)an+1/an=r，那么根据r的大小，可以判断原级数的敛散性。

具体判别如下：-如果r<1，那么级数收敛；-如果r>1，那么级数发散；-如果r=1，判别不出来，需要使用其他方法进行判断。

3.根值判别法：如果存在一个正数r，使得lim(n→∞)√(n)(an) = r，那么根据r 的大小，可以判断原级数的敛散性。

具体判别如下：-如果r<1，那么级数收敛；-如果r>1，那么级数发散；-如果r=1，判别不出来，需要使用其他方法进行判断。

4.绝对收敛与条件收敛：如果一个级数的各项都是正数，并且该级数收敛，那么称该级数是绝对收敛的。

如果一个级数是收敛的，但其对应的绝对值级数是发散的，则称该级数是条件收敛的。

5.莱布尼茨判别法：对于一个交替级数∑((-1)^(n+1)*bn)，如果满足以下条件，那么该级数收敛：- bn>0，即各项都是正数；- bn≥bn+1（递减趋势）；- lim(n→∞)bn=0。

6.积分判别法：如果能够找到一个函数f(x)，使得f(x)在[1,∞)上连续且单调递减，并且∑an与∫f(x)dx之间有关系，那么可以使用积分判别法来判断敛散性。

具体判别如下：- 如果∫f(x)dx收敛，那么∑an也收敛；- 如果∫f(x)dx发散，那么∑an也发散。

判别数项级数敛散性的常用方法与技巧判断数项级数的敛散性是数学分析中的一个重要问题。

对于数项级数a₁+a₂+a₃+⋯，判断它的敛散性可以使用多种方法和技巧。

以下是判别数项级数敛散性的常用方法和技巧：1.部分和序列法（也称柯西收敛准则）：数项级数收敛的必要条件是它的部分和序列收敛。

即，如果部分和序列Sₙ=a₁+a₂+⋯+aₙ收敛，则数项级数也收敛。

这个方法常用于证明一些级数的发散。

2.比较判别法：将待判别的级数与已知级数进行比较，从而确定待判别级数的敛散性。

-比较判别法一：如果对于所有n，都有0≤bₙ≤aₙ，且∑aₙ收敛，则∑bₙ也收敛。

如果∑aₙ发散，则∑bₙ也发散。

-比较判别法二：如果对于所有n，都有aₙ≤bₙ≥0，且∑aₙ发散，则∑bₙ也发散。

如果∑aₙ收敛，则∑bₙ也收敛。

比较判别法常见的应用有比较无穷大级数、比较一致收敛级数和比较正项级数等。

3. 极限判别法（拉阿贝尔判别法）：对于正项级数(非负数列构成的级数)，如果存在极限lim(n→∞)(aₙ/aₙ₊₁)，则：-若极限存在且大于1，则级数发散；-若极限存在且小于1，则级数绝对收敛；-若极限等于1，则不能确定级数的敛散性。

极限判别法适用于有常数项的级数以及指数函数和幂函数构成的级数。

4. 积分判别法：对于正项级数∑aₙ，如果存在连续函数f(x)，满足aₙ = f(n)且f(x)在x≥1上单调递减，则∑aₙ和∫f(x)dx同敛散。

即，级数与积分的敛散性相同。

积分判别法适用于正项级数，特别适用于有幂函数构成的级数。

5.序列收敛法：将待判别级数的项化为序列的形式，然后判断这个序列是否收敛。

如果序列收敛，则级数收敛；如果序列发散或趋于正无穷，则级数发散。

序列收敛法适用于特定结构的级数，如差分级数。

以上是常用的判别数项级数敛散性的方法和技巧。

在具体问题中，可以结合使用不同的方法确定级数的敛散性。

需要注意的是，判别数项级数敛散性的方法与技巧是基于数学分析中的定理和推理的，需要熟练掌握并灵活运用。

教学方法课程教育研究学法教法研究 123引言大学数学课程中，级数部分是该课程知识体系中重要的组成部分。

数学专业的后续课程，如《复变函数论》等都和级数有密切的关系，对于工科的学生来讲，傅立叶级数和傅立叶变换主要应用在信号分析领域，包括滤波、数据压缩、电力系统的监控和电子产品的制造等领域，因此级数和这些内容的相应的课程紧密相关。

作为函数项级数基础的数项级数部分自然尤为重要。

判断数项级数敛散性是学习级数的重要环节，关系到后面各类函数项级数的学习。

数项级数敛散性的判断如果掌握了一些特定的技巧，则可以帮助我们巧妙地解决这个问题。

关于数项级数敛散性的判断，有一些基本方法，如：敛散性的定义、级数收敛的必要条件、比较审敛法、比值审敛法、根值审敛法等，这些方法针对一些特定形式的级数敛散性判断都非常有效，该部分在文献[4]中有详细讲解，这里不再赘述。

但是，这里存在的普遍问题是，以上方法只是针对一些特定形式的数项级数能够确定其敛散性，对于一般级数的问题，需要探索新的方法，比如对于交错级数，只有级数满足Leibniz 定理[4]的两个条件时，才能判断它是收敛的，显然这个方法有一定的局限性。

泰勒公式是高等数学课程中一个功能强大的工具，我们熟知的在近似计算、误差估计、极限计算等方面都有广泛的使用[3]。

用泰勒公式判定级数的敛散性在一些文章已有所提及[5],但这些论证没有深入挖掘它的奇妙之处及具体使用方法。

下面，本文将论证用泰勒公式判定级数的敛散性的方法：：该等式称为按的幂展开的带有拉格朗日型余项的n 。

2.在几类基本初等函数中，幂函数是形式简单，容易确定极限的一类函数，借助泰勒公式可以把各类函数转化为幂函数的问题。

泰勒公式中，参照点取零，展开式各项都是关于的幂函数，余项是当变量趋向零时的无穷小量，这样无论原始级数什么形式都可以通过幂函数的次数判断该项的敛散性。

以下通过三个实例分别说明用泰勒公式判别交错级数、任意项级数、正项级数的敛散性的方法。