第8炼 函数方程问题的分析--高考数学

2021年高考数学一轮复习 第二章 函数概念与基本初等函数1 第8讲 函数与方程习题 理 新人教A 版一、填空题1.若函数f (x )＝ax ＋b 有一个零点是2，那么函数g (x )＝bx 2－ax 的零点为________. 解析 由已知得b ＝－2a ，所以g (x )＝－2ax 2－ax ＝－a (2x 2＋x ).令g (x )＝0，得x 1＝0，x 2＝－12. 答案 0，－122.(xx·青岛统一检测)函数f (x )＝2x ＋x 3－2在区间(0，2)内的零点个数是________. 解析 因为函数y ＝2x ，y ＝x 3在R 上均为增函数，故函数f (x )＝2x ＋x 3－2在R 上为增函数，又f (0)＜0，f (2)＞0，故函数f (x )＝2x ＋x 3－2在区间(0，2)内只有一个零点. 答案 13.函数f (x )＝|x |－k 有两个零点，则实数k 的取值范围是________.解析 函数f (x )＝|x |－k 的零点就是方程|x |＝k 的根，在同一坐标系内作出函数y ＝|x |，y ＝k 的图象，如图所示，可得实数k 的取值范围是(0，＋∞).答案 (0，＋∞)4.(xx·昆明三中、玉溪一中统考)若函数f (x )＝3ax ＋1－2a 在区间(－1，1)内存在一个零点，则a 的取值范围是________.解析 当a ＝0时，f (x )＝1与x 轴无交点，不合题意，所以a ≠0；函数f (x )＝3ax ＋1－2a 在区间(－1，1)内是单调函数，所以f (－1)·f (1)＜0，即(5a －1)(a ＋1)＞0，解得a ＜－1或a ＞15. 答案 (－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫15，＋∞ 5.已知函数f (x )＝x ＋2x ，g (x )＝x ＋ln x ，h (x )＝x －x －1的零点分别为x 1，x 2，x 3，则x 1，x 2，x 3的大小关系是________.解析 依据零点的意义，转化为函数y ＝x 分别和y ＝－2x，y ＝－ln x ，y ＝x ＋1的交点的横坐标大小问题，作出草图(图略)，易得x 1＜0＜x 2＜1＜x 3.答案 x 1＜x 2＜x 36.函数f (x )＝3x －7＋ln x 的零点位于区间(n ，n ＋1)(n ∈N )内，则n ＝________. 解析 求函数f (x )＝3x －7＋ln x 的零点，可以大致估算两个相邻自然数的函数值，如f (2)＝－1＋ln 2，由于ln 2＜ln e ＝1，所以f (2)＜0，f (3)＝2＋ln 3，由于ln 3＞1，所以f (3)＞0，所以函数f (x )的零点位于区间(2，3)内，故n ＝2.答案 2 7.(xx·湖北卷)函数f (x )＝4cos 2x 2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x －2sin x －|ln(x ＋1)|的零点个数为________.解析 f (x )＝4cos 2x 2sin x －2sin x －|ln(x ＋1)|＝2sin x ·⎝⎛⎭⎪⎫2cos 2x 2－1－|ln(x ＋1)|＝sin 2x －|ln(x ＋1)|，令f (x )＝0，得sin 2x ＝|ln(x ＋1)|.在同一坐标系中作出两个函数y ＝sin 2x 与函数y ＝|ln(x ＋1)|的大致图象如图所示.观察图象可知，两函数图象有2个交点，故函数f (x )有2个零点.答案 28.已知函数f (x )＝⎩⎨⎧2x －1，x ＞0，－x 2－2x ，x ≤0，若函数g (x )＝f (x )－m 有3个零点，则实数m 的取值范围是________.解析 画出f (x )＝⎩⎨⎧2x－1，x ＞0，－x 2－2x ，x ≤0的图象，如图.由函数g (x )＝f (x )－m 有3个零点，结合图象得：0＜m ＜1，即m ∈(0，1).答案 (0，1)二、解答题9.已知函数f (x )＝－x 2＋2e x ＋m －1，g (x )＝x ＋e 2x (x ＞0).(1)若y ＝g (x )－m 有零点，求m 的取值范围；(2)确定m 的取值范围，使得g (x )－f (x )＝0有两个相异实根.解 (1)法一 ∵g (x )＝x ＋e 2x ≥2e 2＝2e ，图1等号成立的条件是x ＝e ，故g (x )的值域是[2e ，＋∞)，因而只需m ≥2e ，则y ＝g (x )－m 就有零点.法二 作出g (x )＝x ＋e 2x(x ＞0)的大致图象如图1. 可知若使y ＝g (x )－m 有零点，则只需m ≥2e.图2(2)若g (x )－f (x )＝0有两个相异实根，即y ＝g (x )与y ＝f (x )的图象有两个不同的交点，在同一坐标系中，作出g (x )＝x ＋e 2x(x ＞0)与f (x )＝－x 2＋2e x ＋m －1的大致图象如图2.∵f (x )＝－x 2＋2e x ＋m －1＝－(x －e)2＋m －1＋e 2.∴其图象的对称轴为x ＝e ，开口向下，最大值为m －1＋e 2.故当m －1＋e 2＞2e ，即m ＞－e 2＋2e ＋1时，y ＝g (x )与y ＝f (x )有两个交点，即g (x )－f (x )＝0有两个相异实根.∴m 的取值范围是(－e 2＋2e ＋1，＋∞).10.已知关于x 的二次方程x 2＋2mx ＋2m ＋1＝0有两根，其中一根在区间(－1，0)内，另一根在区间(1，2)内，求m 的取值范围.解 由条件，抛物线f (x )＝x 2＋2mx ＋2m ＋1与x 轴的交点分别在区间(－1，0)和(1，2)内，如图所示，得⎩⎪⎨⎪⎧ f （0）＝2m ＋1<0，f （－1）＝2>0，f （1）＝4m ＋2<0，f （2）＝6m ＋5>0⇒ ⎩⎪⎨⎪⎧m <－12，m ∈R ，m <－12，m >－56.即－56<m <－12. 故m 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－56，－12. 能力提升题组(建议用时：20分钟)11.若函数f (x )＝ax 2－x －1有且仅有一个零点，则实数a 的取值为________.解析 当a ＝0时，函数f (x )＝－x －1为一次函数，则－1是函数的零点，即函数仅有一个零点；当a ≠0时，函数f (x )＝ax 2－x －1为二次函数，并且仅有一个零点，则一元二次方程ax 2－x －1＝0有两个相等实根.∴Δ＝1＋4a ＝0，解得a ＝－14. 综上，当a ＝0或a ＝－14时，函数仅有一个零点. 答案 0或－1412.(xx·苏州调研)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧4，x ≥m ，x 2＋4x －3，x <m ，若函数g (x )＝f (x )－2x 恰有三个不同的零点，则实数m 的取值范围是________.解析 由题意得g (x )＝⎩⎨⎧4－2x ，x ≥m ，x 2＋2x －3，x <m ， 又函数g (x )恰有三个不同的零点，所以方程g (x )＝0的实根2，－3和1都在相应范围上，即1<m ≤2.答案 (1，2]13.(xx·湖南卷)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x 3，x ≤a ，x 2，x ＞a ，若存在实数b ，使函数g (x )＝f (x )－b 有两个零点，则a 的取值范围是________.解析 函数g (x )有两个零点，即方程f (x )－b ＝0有两个不等实根，则函数y ＝f (x )和y ＝b 的图象有两个公共点.①若a <0，则当x ≤a 时，f (x )＝x 3，函数单调递增；当x >a 时，f (x )＝x 2，函数先单调递减后单调递增，f (x )的图象如图(1)实线部分所示，其与直线y ＝b 可能有两个公共点.②若0≤a ≤1，则a 3≤a 2，函数f (x )在R 上单调递增，f (x )的图象如图(2)实线部分所示，其与直线y ＝b 至多有一个公共点.③若a >1，则a 3>a 2，函数f (x )在R 上不单调，f (x )的图象如图(3)实线部分所示，其与直线y ＝b 可能有两个公共点.综上，a <0或a >1.答案 (－∞，0)∪(1，＋∞)14.(xx·南通阶段检测)是否存在这样的实数a ，使函数f (x )＝x 2＋(3a －2)x ＋a －1在区间[－1，3]上恒有一个零点，且只有一个零点？若存在，求出a 的取值范围；若不存在，说明理由.解 令f (x )＝0，则Δ＝(3a －2)2－4(a －1)＝9a 2－16a ＋8＝9⎝ ⎛⎭⎪⎫a －892＋89＞0恒成立，即f (x )＝0有两个不相等的实数根，∴若实数a 满足条件，则只需f (－1)·f (3)≤0即可.f (－1)·f (3)＝(1－3a ＋2＋a －1)·(9＋9a －6＋a －1)＝4(1－a )(5a ＋1)≤0，∴a ≤－15或a ≥1. 检验：(1)当f (－1)＝0时，a ＝1，所以f (x )＝x 2＋x .令f (x )＝0，即x 2＋x ＝0，得x ＝0或x ＝－1.方程在[－1，3]上有两个实数根，不合题意，故a ≠1.(2)当f (3)＝0时，a ＝－15， 此时f (x )＝x 2－135x －65. 令f (x )＝0，即x 2－135x －65＝0， 解得x ＝－25或x ＝3. 方程在[－1，3]上有两个实数根，不合题意，故a ≠－15. 综上所述，a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－15∪(1，＋∞).。

高考数学一轮总复习函数与方程的常见错误与解析在高考数学中，函数与方程是常见且重要的考点。

然而，由于概念理解不到位、题型掌握不准确等原因，很多学生在解题过程中会出现各种错误。

本文将介绍函数与方程中常见的错误，并给出解析与解决方法，帮助同学们避免这些错误。

一、函数的常见错误与解析1. 混淆函数与方程函数是自变量与因变量之间的对应关系，而方程则是等式关系。

许多学生在题目中将函数误认为是方程，从而导致解题出错。

解决方法是在理解题意时明确函数与方程的区别，并根据具体情况采用正确的方法。

2. 对函数定义域与值域的概念模糊很多同学对于函数的定义域与值域的概念模糊，导致在解题过程中无法正确确定函数的定义域与值域。

要解决这个问题，需要加强对定义域与值域的理解。

定义域是指自变量的取值范围，值域是指函数可能取到的所有值。

3. 对函数图像的误读学生在读取函数图像时常常存在误读的情况。

可能是由于不熟悉函数的图像特征，或者由于没有正确理解题目所给出的条件。

解决这个问题的方法是多进行函数图像的练习，提高对函数图像的辨识能力。

二、方程的常见错误与解析1. 忽略方程的根的个数有些同学在解方程时，往往只找到一个根而忽略了其他可能的根。

这样就会导致答案与正确解不一致。

正确的解决方法是要有意识地寻找所有可能的根，并进行验证。

2. 对分式方程分母为零的情况处理不当在解分式方程时，有时会出现分母为零的情况。

这需要对方程进行分类讨论，注意排除分母为零的解，以确保解的准确性。

3. 使用错误的消元方法解方程时，很多同学会使用错误的消元方法，从而得到错误的答案。

要避免这种错误，需要熟练掌握各种消元方法，并在解题时选择合适的方法。

4. 运算符使用错误在解方程时，有时会使用错误的运算符，如将减号误认为加号等。

这种错误常常导致最终答案有误。

正确的方法是仔细阅读题目，确保使用正确的运算符。

总结：函数与方程是高考数学中的重要考点，掌握好这部分内容对于取得好成绩至关重要。

专题3.8函数与方程【考纲解读与核心素养】1.理解函数零点的概念.2.培养学生数学抽象、逻辑推理、数学运算、直观想象、数据分析等数学核心素养.3.高考预测：（1）分段函数与函数方程结合；（2）二次函数、指数函数、对数函数与方程结合.（3）常常以基本初等函数为载体，结合函数的图象，判断方程根的存在性及根的个数，或利用函数零点确定参数的取值范围等．也可与导数结合考查.题目的难度起伏较大.4.备考重点：（1）函数方程的概念（2）基本初等函数的图象和性质.【知识清单】1．函数的零点(1)函数零点的概念对于函数y＝f(x)，把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点.(2)函数零点与方程根的关系方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点.2．零点存在性定理如果函数y＝f(x)满足：①在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线；②f(a)·f(b)<0；则函数y＝f(x)在(a，b)上存在零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根.特别提醒两个易错点：(1)函数的零点不是点,是方程f(x)=0的实根.(2)函数零点的存在性定理只能判断函数在某个区间上的变号零点,而不能判断函数的不变号零点,而且连续函数在一个区间的端点处函数值异号是这个函数在这个区间上存在零点的充分不必要条件.【典例剖析】高频考点一：求函数的零点【典例1】（2019·四川高考模拟（理））已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则方程的所有解的和为（）A．B．1C．3D．5【解析】∵是定义在R 上的奇函数，且当时，∴当时，则即则作出的图象如图：∵的图象与的图象关于对称∴作出的图象，由图象知与的图象有三个交点即有三个根，其中一个根为1，另外两个根a，b 关于对称即则所有解的和为故选：C．【思路点拨】根据函数奇偶性，求出函数的解析式，结合的图象与的图象关于对称，画出函数图象，结合函数的对称性，求得方程的所有解的和．【典例2】（2020·上海高三三模）函数2,1()(2),1x x f x x x ⎧=⎨->⎩，如果方程()f x b =有四个不同的实数解1x 、2x 、3x 、4x ，则1234x x x x +++=．【答案】4作出函数2,1()(2),1x x f x x x ⎧=⎨->⎩的图象，方程()f x b =有四个不同的实数解，等价为()y f x =和y b =的图象有4个交点，不妨设它们交点的横坐标为1x 、2x 、3x 、4x ，且1234x x x x <<<，由1x 、2x 关于原点对称，3x 、4x 关于(2,0)对称，可得120x x +=，344x x +=，则12344x x x x +++=．故答案为：4．【总结提升】1.正确理解函数的零点：(1)函数的零点是一个实数，当自变量取该值时，其函数值等于零．(2)根据函数零点定义可知，函数f (x )的零点就是f (x )＝0的根，因此判断一个函数是否有零点，有几个零点，就是判断方程f (x )＝0是否有实根，有几个实根．即函数y ＝f (x )的零点⇔方程f (x )＝0的实根⇔函数y ＝f (x )的图象与x 轴交点的横坐标．2．函数零点的求法：(1)代数法：求方程f (x )＝0的实数根．(2)几何法：与函数y ＝f (x )的图象联系起来，图象与x 轴的交点的横坐标即为函数的零点．,【变式探究】1.（2019·贵州省凯里一中高一期中）方程2210x x --=的两个根分别为（）A．2,1-B．1,12-C．2,1-D．1,12-【答案】B 【解析】2210x x --=等价于()()2110x x +-=，解得12x =-或1.故选：B.2.（2019·安徽高考模拟（文））函数()2211f x x x x =----的所有零点之和等于______．【答案】2【解析】令()22110f x x x x =----=，则()21120x x ----=.设10t x =-≥，则220t t --=，解得1t =-(舍去)或2t =.所以12t x =-=，解得1x =-或3x =.所以函数()f x 有两个零点1,3-，它们之和等于13 2.-+=高频考点二：判断函数零点所在区间【典例3】（2020·海丰县彭湃中学高一期末）函数31()102f x x x =--+的零点所在的大致区间为（）A．(1,0)-B．(0,1)C．(1,2)D．(2,3)【答案】D 【解析】因为函数31()102f x x x =--+在R 上单调递减,(2)10f =>,(3)0f <,所以零点所在的大致区间为(2,3)故选:D【典例4】(2019·浙江省温州十校联考)设f (x )＝ln x ＋x －2，则函数f (x )的零点所在的区间为()A．(0,1)B．(1,2)C．(2,3)D．(3,4)【答案】B 【解析】方法一函数f (x )的零点所在的区间可转化为函数g (x )＝ln x ，h (x )＝－x ＋2图象交点的横坐标所在的区间．作图如下：可知f (x )的零点所在的区间为(1，2)．方法二易知f (x )＝ln x ＋x －2在(0，＋∞)上为增函数，且f (1)＝1－2＝－1<0，f (2)＝ln 2>0.所以根据函数零点存在性定理可知在区间(1，2)内函数存在零点．【规律方法】判断函数零点所在区间有三种方法：①解方程，直接求出零点；②利用零点存在定理，判断零点所在区间；③图象法，观察交点所在区间.特别提醒：在判断一个函数在某个区间上不存在零点时，不能完全依赖函数的零点存在性定理，要综合函数性质进行分析判断．【特别提醒】二分法只能求出连续函数变号零点，另外应注意初始区间的选择，依据给出的精确度，计算时及时检验．【变式探究】1.（2019·云南省玉溪第一中学高考模拟（文））函数()23x f x x =+的零点所在的一个区间是（）A．（-2，-1）B．（-1,0）C．（0,1）D．（1,2）【答案】B 【解析】由题，函数()23x f x x =+在定义域上单调递增且连续，2(2)260f --=-<，1(1)230f --=-<，f(0)=1>0，由零点定理得，零点所在区间是（-1,0），故选B.2.（2020·郸城县实验高中高一月考）如图是函数f (x )的图象，它与x 轴有4个不同的公共点.给出的下列四个区间之中，存在不能用二分法求出的零点，该零点所在的区间是（）A．[－2.1，－1]B．[4.1，5]C．[1.9，2.3]D．[5，6.1]【答案】C 【解析】结合图象可得：ABD 选项每个区间的两个端点函数值异号，可以用二分法求出零点，C 选项区间两个端点函数值同号，不能用二分法求零点.故选：C高频考点三：判断函数零点的个数【典例5】（2015·天津高考真题（文））已知函数,函数,则函数的零点的个数为（）A．2B．3C．4D．5【答案】A 【解析】当时,所以,,此时函数的小于零的零点为;当时,,函数无零点;当时,,,函数大于2的零点为,综上可得函数的零点的个数为2.故选A.【典例6】（2020·山东省高三二模）已知图象连续不断的函数()f x 的定义域为R ，()f x 是周期为2的奇函数，()y f x =在区间[]1,1-上恰有5个零点，则()f x 在区间[]0,2020上的零点个数为（）A．5050B．4041C．4040D．2020【答案】B 【解析】由函数()f x 的定义域为R 上的奇函数，可得()00f =，又由()y f x =在区间[]1,1-上恰有5个零点，可得函数()f x 在区间[1,0)-和(0,1]内各有2个零点，因为()f x 是周期为2，所以区间(1,2]内有两个零点，且(2)0f =，即函数()f x 在区间(0,2]内有4个零点，所以()f x 在区间[]0,2020上的零点个数为20204140412⨯+=个零点.故选：B.【规律方法】判断函数零点个数的方法：1.直接法：即直接求零点，令f (x )＝0，如果能求出解，则有几个不同的解就有几个零点；2.定理法：利用零点存在性定理，不仅要求函数的图象在区间[a ，b ]上是连续不断的曲线，且f (a )·f (b )＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点3.图象法：即利用图象交点的个数，画出函数f (x )的图象，函数f (x )的图象与x 轴交点的个数就是函数f (x )的零点个数；将函数f (x )拆成两个函数h (x )和g (x )的差，根据f (x )＝0⇔h (x )＝g (x )，则函数f (x )的零点个数就是函数y ＝h (x )和y ＝g (x )的图象的交点个数.4.性质法：即利用函数性质，若能确定函数的单调性，则其零点个数不难得到；若所考查的函数是周期函数，则只需解决在一个周期内的零点的个数.【变式探究】1.（2020·江苏省高三其他）设[]t 表示不超过实数t 的最大整数(如[ 1.3]2-=-，[2.6]2=)，则函数[]()21f x x x =--的零点个数为_______.【答案】2【解析】函数[]()21f x x x =--的零点即方程[]21x x -=的根，∴函数()f x 的零点个数，即方程[]21x x -=的根的个数.[]210,0,0x x x -≥∴≥∴≥ .当01x ≤<时，[]10,210,2x x x =∴-=∴=.当1x =时，[]1,211,211x x x =∴-=∴-=或211,1x x -=-∴=或0x =（舍）.当1x >时，[]2121x x x x -=->≥，∴方程[]21x x -=无解.综上，方程[]21x x -=的根为12，1.所以方程[]21x x -=有2个根，即函数[]()21f x x x =--有2个零点.故答案为：2.2.（2019·四川高考模拟（文））函数()()22ln f x x x =--的零点个数为______．【答案】2【解析】函数()()22ln f x x x =--的定义域为()0+∞，，画出两个函数()22y x =-，ln y x =的图象，由函数图象的交点可知，函数的零点个数为2．故答案为：2．高频考点四：函数零点的应用【典例7】（2020·鸡泽县第一中学高二开学考试）已知函数()232,3,x x x m f x x x m⎧-+≤=⎨-+>⎩，若()f x 恰好有2个零点，则m 的取值范围是（）A．(]2,3B．[)2,3C．[)[)1,23,+∞ D．(][)1,23,+∞ 【答案】C 【解析】令21232,3y x x y x =-+=-+，因为方程2320x x -+=的两根为121,2x x ==，所以在同一直角坐标系下作出函数21232,3y x x y x =-+=-+的图象如图所示：由图可知，当12m ≤<时，函数()f x 恰有两个零点，图象如图所示：当3m ≥时，函数()f x 恰有两个零点，图象如图所示：综上可知，所求实数m 的取值范围为[)[)1,23,+∞ .故选：C【典例8】（2019·新疆高考模拟（文））关于x 的方程()00,1xa x a a a --=>≠且有两个解，则a 的取值范围是（）A．()1+∞，B．()01，C．()0+∞，D．ϕ【答案】A 【解析】由0x a x a --=得：x a x a =+，当01a <<时，分别作出函数x y a =及y x a =+的图象如下：显然，两个函数图象只交于一点，故0x a x a --=只有一解.当1a >时，分别作出函数x y a =及y x a =+的图象如下：显然，两个函数图象交于两点，故0x a x a --=有两个解.所以实数a 的取值范围是1a >.故选：A【典例9】已知e 是自然对数的底数,函数()2xf x e x =+-的零点为a,函数() 2g x ln x x =+-的零点为b,则()()(),1,f a f f b 的大小关系为________.【答案】()()()1f a f f b <<【解析】由题意,知()10xf x e '=+>恒成立,所以函数f(x)在R 上是单调递增的,而()000210,f e =+-=-<()111210,f e e =+-=->所以函数f(x)的零点a∈(0,1);由题意,知g′(x)=1x+1>0,所以函数g(x)在(0,+∞)上是单调递增的,又g(1)=ln 1+1-2=-1<0,g(2)=ln 2+2-2=ln 2>0,所以函数g(x)的零点b∈(1,2).综上,可得0<a<1<b<2.因为f(x)在R 上是单调递增的,所以()()()1f a f f b <<.【规律方法】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路：(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．【变式探究】1.（2019·江西高考模拟（文））已知函数22,1(),1x x f x x x ⎧-+<=⎨≥⎩若函数g(x)=f(x)-m x-m 的图像与x 轴的交点个数恰有3个，则实数m 的取值范围为（）A．()0,∞+B．1,12⎛⎫⎪⎝⎭C．()1,2D．()1,+∞【答案】B 【解析】由题可知函数g(x)=f(x)-m x-m 的图像与x 轴的交点恰有3个，即为函数()y=f x 的图像与函数m mx y +=的图像的交点恰有3个，函数m mx y +=的图像过定点()1,0P -，且斜率m ，当动直线过点()1,1A 时有2个交点，此时直线的斜率1.2m m =增大即有3个交点，故21>m当动直线与直线2+=x y 平行时有2个交点，故1m <，综上：112m <<2.(2019·河北保定一模)定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x ＋1)＝－f (x )，当x ∈[0,1]时，f (x )＝－2x ＋1，设函数g (x x －1|(－1≤x ≤3)，则函数f (x )与g (x )的图象所有交点的横坐标之和为()A．2B．4C．6D．8【答案】A【解析】∵f (x ＋1)＝－f (x )，∴f (x ＋2)＝－f (x ＋1)＝f (x )，∴f (x )的周期为2.又f (x )为偶函数，∴f (1－x )＝f (x －1)＝f (x ＋1)，故f (x )的图象关于直线x ＝1对称．又g (x x －1|(－1≤x ≤3)的图象关于直线x ＝1对称，作出f (x )和g (x )的图象如图所示．3.已知函数f (x )＝2x＋x ，g (x )＝x －log 12x ，h (x )＝log 2x －x 的零点分别为x 1，x 2，x 3，则x 1，x 2，x 3的大小关系是()A．x 1＞x 2＞x 3B．x 2＞x 1＞x 3C．x 1＞x 3＞x 2D．x 3＞x 2＞x 1【答案】D 【解析】由f (x )＝2x ＋x ＝0，g (x )＝x －log 12x ＝0，h (x )＝log 2x －x ＝0得2x＝－x ，x ＝log 12x ，log 2x ＝x .在坐标系中分别作出y ＝2x，y ＝－x ；y ＝x ，y ＝log 12x ；y ＝log 2x ，y ＝x 的图象，由图象可知－1＜x 1＜0,0＜x 2＜1，x 3＞1，所以x 3＞x 2＞x 1.【总结提升】函数零点的应用主要体现在三类问题：一是函数中不含参数，零点又不易直接求出，考查各零点的和或范围问题；二是函数中含有参数，根据零点情况求函数中参数的范围；三是函数中有参数，但不求参数，仍是考查零点的范围问题．这三类问题最终都是通过数形结合转化为两函数图象的交点进行解决．。

高考数学函数题解题思路解析在高考数学中，函数题一直占据着重要的地位。

函数题不仅考查了学生对函数概念、性质的理解和掌握，还考查了学生的逻辑思维能力、运算能力和综合运用知识解决问题的能力。

对于很多考生来说，函数题是一个难点，但只要掌握了正确的解题思路，就能够化难为易，提高解题的准确性和效率。

一、函数的基本概念要解决函数题，首先要对函数的基本概念有清晰的理解。

函数是一种对应关系，对于定义域内的每一个自变量的值，都有唯一确定的因变量的值与之对应。

函数的定义域、值域和对应法则是函数的三个要素。

在解题时，要特别注意函数的定义域。

很多函数题的错误往往是由于忽略了定义域而导致的。

例如，在分式函数中，分母不能为零；在根式函数中，被开方数必须大于等于零；在对数函数中，真数必须大于零等等。

二、函数的性质函数的性质包括单调性、奇偶性、周期性等。

1、单调性函数的单调性是指函数在定义域内的某个区间上，随着自变量的增大，函数值是增大还是减小。

判断函数的单调性通常有定义法、导数法等。

定义法是通过比较函数在区间内任意两个自变量对应的函数值的大小来判断单调性；导数法则是通过求函数的导数，根据导数的正负来判断函数的单调性。

2、奇偶性函数的奇偶性是指函数的图像关于原点对称（奇函数）或关于 y 轴对称（偶函数）。

判断函数的奇偶性通常是通过判断f(x)与f(x)的关系。

若 f(x) ＝ f(x)，则函数为奇函数；若 f(x) ＝ f(x)，则函数为偶函数。

3、周期性函数的周期性是指函数在一定的区间内，函数值按照一定的规律重复出现。

常见的周期函数有正弦函数、余弦函数等。

三、常见函数类型及解题方法1、一次函数一次函数的一般形式为 y ＝ kx ＋ b（k ≠ 0）。

其图像是一条直线。

在解题时，通常需要根据已知条件求出 k 和 b 的值。

2、二次函数二次函数的一般形式为 y ＝ ax²＋ bx ＋ c（a ≠ 0）。

二次函数的图像是一条抛物线。

8函数方程许多函数方程的解决仅以初等数学为工具，解法富于技巧，对人类的智慧具有明显的挑战意味，因此，函数方程是数学竞赛中一种常见的题型。

1、确定函数的形式尚无一般解法，需因题而异，其解是多样的：有无限多解的，有有限个解的，有可能无解（如：方程01)()(22=+-+x f x f 无解）。

2、确定函数的性质3、确定函数值三、求函数的解析式1、换元法2、赋值法四、研究函数的性质 例题讲解1．设函数)(x f 满足条件x x f x f 2)1(2)1(3=-+-，求)(x f 。

2．设函数)(x f 定义于实数集R ，且)(x f 满足条件x x xf x f +=-+1)1()(，求)(x f 。

3．函数)(x f 在0=x 处没有定义，但对所有非零实数x 有：x x f x f 312)(=⎪⎭⎫⎝⎛+，求)(x f 。

4．求满足条件422)1()(x x x f x f x -=-+的)(x f 。

5．设函数)(x f 定义于实数集R 上，且1)0(=f ，若对于任意实数m 、n ，都有： )12()()(+--=-n m n m f n m f ，求)(x f 。

6．设函数)(x f 定义于自然数集N 上，且1)1(=f ，若对于任意自然数x 、y ，都有：xy y f x f y x f ++=+)()()(，求)(x f 。

7．设函数)(x f 定义于R 上，且函数)(x f 不恒为零，0)2(=πf ，若对于任意实数x 、y ，恒有：)2()2(2)()(y x f y x f y f x f -⋅+=+。

① 求证：)()2(x f x f =+π② 求证：)()(x f x f -=③ 求证：1)(2)2(2-=x f x f8．对常数m 和任意x ，等式)(1)(1)(x f x f m x f -+=+都成立，求证：函数)(x f 是周期函数。

9．设函数)(x f 定义于实数集R 上，函数)(x f 不恒为零，且对于任意实数1x 、2x ，都有：)()()2()2(212121x x f x x f x f x f -⋅+=+，求证：)()(x f x f -=。

高考数学必备解题技巧：函数与方程思想的八类应用（附例题详解）函数与方程都是中学数学中最为重要的内容。

而函数与方程思想更是中学数学的一种基本思想，几乎渗透到中学数学的各个领域，在解题中有着广泛的应用，是历年来高考考查的重点。

1．函数的思想函数的思想，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决。

函数思想是对函数概念的本质认识，用于指导解题就是善于利用函数知识或函数观点观察、分析和解决问题。

经常利用的性质是单调性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、图象变换等。

2．方程的思想方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决。

方程的教学是对方程概念的本质认识，用于指导解题就是善于利用方程或方程组的观点观察处理问题，方程思想是动中求静，研究运动中的等量关系。

3．函数思想与方程思想的联系函数思想与方程思想是密切相关的，如函数问题可以转化为方程问题来龙去脉解决；方程问题也可以转化为函数问题加以解决，如解方程f(x)=0，就是求函数y=f(x)的零点，解不等式f(x)>0(或f(x)<0)，就是求函数y=f(x)的正负区间，再如方程f(x)=g(x)的交点问题，也可以转化为函数y=f(x)-g(x)与x轴交点问题，方程f(x)=a有解，当且公当a属于函数f(x)的值域，函数与方程的这种相互转化关系十分重要。

4．函数方程思想的几种重要形式（1）函数和方程是密切相关的，对于函数y＝f(x)，当y＝0时，就转化为方程f(x)＝0，也可以把函数式y＝f(x)看做二元方程y－f(x)＝0。

函数问题（例如求反函数，求函数的值域等）可以转化为方程问题来求解，方程问题也可以转化为函数问题来求解，如解方程f(x)＝0，就是求函数y＝f(x)的零点；（2）函数与不等式也可以相互转化，对于函数y＝f(x)，当y>0时，就转化为不等式f(x)>0，借助于函数图像与性质解决有关问题，而研究函数的性质，也离不开解不等式；（3）数列的通项或前n项和是自变量为正整数的函数，用函数的观点处理数列问题十分重要； （4）函数f(x)＝nbax)(+（n∈N*）与二项式定理是密切相关的，利用这个函数用赋值法和比较系数法可以解决很多二项式定理的问题；（5）解析几何中的许多问题，例如直线和二次曲线的位置关系问题，需要通过解二元方程组才能解决，涉及到二次方程与二次函数的有关理论；（6）立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算，经常需要运用布列方程或建立函数表达式的方法加以解决。

高三数学函数与方程的应用与解题技巧总结随着高中数学的深入学习，数学函数与方程的应用与解题技巧显得尤为重要。

为了帮助同学们更好地掌握这一部分知识，下面将总结一些高三数学函数与方程的应用与解题技巧。

一、函数与方程的应用场景在实际生活中，函数与方程的应用非常广泛。

以下是一些常见的应用场景：1. 函数在物理领域的应用：例如位移函数、速度函数、加速度函数等，用于描述物体在运动过程中的状态和变化规律；2. 函数在经济领域的应用：例如收入函数、成本函数、利润函数等，用于分析和决策企业及个人的经济问题；3. 函数在生态领域的应用：例如种群增长函数、生态平衡函数等，用于研究生物种群数量和生态系统的关系；4. 方程在几何领域的应用：例如直线方程、圆的方程等，用于解决几何图形的性质和运动问题；5. 方程在金融领域的应用：例如利息方程、等额本息贷款还款方程等，用于解决金融和投资方面的问题。

二、解题技巧1. 函数与方程的建模能力：在实际问题中，将问题抽象成函数或方程模型是解题的第一步。

通过分析问题的特点，找出适合的变量和关系式，建立函数或方程模型；2. 图像分析与函数性质：通过对函数图像的分析，可以得到函数的最值、零点、单调性等性质，进而解决相关问题；3. 函数与方程的转化：有时候，将函数转化为方程或将方程转化为函数可以更方便地求解问题；4. 利用特殊性质：例如利用对称性、周期性、奇偶性等特殊性质，简化函数与方程的求解过程；5. 运用数学工具：如函数的导数、积分等工具，对函数进行求导、积分，求得函数的变化趋势、最值等有助于解题；6. 实际问题的转化：有时候，将实际问题转化为数学问题可以更便于求解。

例如，将一个复杂的几何问题转化为函数或方程的问题。

三、案例分析下面通过一些案例来具体说明解题技巧的运用：【案例一】已知函数f(x) = 2x^2 - 3x + 1，求f(x)的极值点和最小值。

解题思路：1. 首先，求导函数f'(x) = 4x - 3，并令f'(x) = 0，得到极值点的横坐标x = 3/4；2. 将x = 3/4代入原函数f(x)，可以求得f(x)的最小值，得到f(3/4) = 2(3/4)^2 - 3(3/4) + 1 = -1/8。

高中数学必考知识点函数与方程应用题解析及解题技巧总结高中数学必考知识点：函数与方程应用题解析及解题技巧总结在高中数学中，函数与方程应用题是必考的知识点之一。

通过运用函数与方程的知识，可以解决各种实际问题。

本文将解析一些常见的函数与方程应用题，并总结解题的技巧。

一、线性方程应用题1. 等速度问题在等速运动问题中，常会涉及到线性方程的应用。

假设某车以每小时50公里的速度行驶，若行驶t小时，求行驶的距离。

解题步骤：- 设行驶的距离为D，根据速度=距离/时间的关系，得到方程50 =D/t。

- 通过化简方程，可以求解出D = 50t。

2. 斜率问题斜率是线性方程中的一个重要概念，它描述了函数图像的变化趋势。

在应用题中，我们可以通过斜率来解决一些问题。

例如，在一个坡度为2/3的斜坡上，小明以每分钟1米的速度上升，求他上升2米需要多长时间。

解题步骤：- 设上升的时间为t分钟，根据速度=距离/时间的关系，得到方程1 = 2/3t。

- 通过化简方程，可以求解出t = 3/2分钟。

二、二次函数应用题1. 抛物线问题二次函数在物理学中有广泛的应用，常用于描述天体运动、抛体运动等。

在抛物线问题中，我们可以通过二次函数的性质解决一些实际问题。

例如，一个飞行器以初速度40米/秒从水平面上升，经过4秒钟后开始下降，请问其最高点的高度是多少？解题步骤：- 设最高点的高度为h，根据抛物线的性质，最高点的时间为0轴对称点的横坐标。

- 0轴对称点的横坐标为 t = 4/2 = 2秒。

- 将t = 2代入二次函数中得到高度，计算得到h = 40*2 - 9.8*2^2 = 40米。

2. 面积问题二次函数的图像可以形成一个抛物形状，通过求解该抛物线与x轴之间的面积，可以解决一些面积问题。

例如，一个花坛的形状是一个抛物线，已知顶点坐标为(2, 5)，边长为4的正方形位于抛物线与x轴之间，求正方形的面积。

解题步骤：- 设正方形的边长为a，根据抛物线的性质，正方形位于x=2附近，边长为a的正方形与抛物线有两个交点。

高中数学讲义微专题08函数方程问题的分析函数方程问题是高中数学中的重要内容，也是学生们较为困难的部分之一、在解决函数方程问题时，我们需要分析题目给出的条件，确定方程中未知函数的性质，通过代入和推理找到满足条件的函数解。

本文将从函数方程问题的分析方法、常见的函数方程类型以及解决函数方程问题的思路进行讨论。

首先，我们先来讨论函数方程问题的分析方法。

在遇到函数方程问题时，我们首先要仔细阅读题目，理解题意。

然后，我们可以通过已知条件给出的函数关系来分析未知函数的性质。

在分析函数性质的过程中，我们可以根据函数的定义、导数性质、复合函数等常见性质，来推导出更多的函数关系。

同时，我们也要留意题目给出的特殊条件，比如函数取值范围、函数的连续性、周期性等，这些条件会对函数的性质有所限制。

通过合理的分析，可以大大缩小解决问题的范围，为我们找到函数解提供线索。

接下来，我们来看一些常见的函数方程类型。

常见的函数方程类型包括函数的加法、乘法、复合、反函数以及函数的一些值等于常数等。

在解决这些类型的函数方程时，我们可以根据题目的给定条件和已知函数性质，进行代入、联立方程、构造逆函数等方法进行求解。

另外，函数方程问题中也存在一些特殊的函数方程，如Cauchy函数方程、Jensen函数方程等，这些问题需要掌握相应的特殊方法进行解答。

最后，我们来讨论解决函数方程问题的思路。

解决函数方程问题时，我们可以利用已知条件进行函数关系的推导和联立方程的建立。

在推导函数关系时，我们可以通过替换变量、函数的导数性质、复合函数等进行推算。

而建立联立方程时，我们可以根据题目中给出的多个函数关系来建立方程组，通过解方程组来确定未知函数。

此外，我们还可以通过构造特殊的函数解或者利用函数方程的性质进行推导。

总之，解决函数方程问题需要勤于思考，善于归纳和运用已知条件，通过分析和推导来解决问题。

综上所述，函数方程问题的分析是解决该类问题的关键。

我们需要运用所学的函数性质和常见的代数方法，通过分析题目给出的条件和推导函数关系，来确定未知函数的性质，进而找到解答。

第8讲 函数与方程课时作业1．(2019·某某质检)函数f (x )＝ln x －1x －1的零点的个数是() A ．0 B ．1 C ．2 D ．3答案 C解析 在同一平面直角坐标系中作出函数y ＝1x －1与y ＝ln x 的图象(图略)，由图象可知有两个交点．2．(2019·某某模拟)函数f (x )＝ln x －2x的零点所在的大致区间是()A ．(1,2)B ．(2,3)C ．(1，e)和(3,4)D ．(e ，＋∞)答案 B解析 因为f ′(x )＝1x ＋2x2>0(x >0)，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递增，又f (3)＝ln 3－23>0，f (2)＝ln 2－1<0，所以f (2)·f (3)<0，所以函数f (x )唯一的零点在区间(2,3)内．故选B ．3．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－1，x ≤1，1＋log 2x ，x >1，则函数f (x )的零点为()A ．12，0 B ．－2,0 C ．12 D ．0答案 D解析 当x ≤1时，由f (x )＝2x－1＝0，解得x ＝0；当x >1时，由f (x )＝1＋log 2x ＝0，解得x ＝12，又因为x >1，所以此时方程无解．综上，函数f (x )的零点只有0.4．函数f (x )＝1－x log 2x 的零点所在的区间是()A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫14，12 B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 C ．(1,2) D ．(2,3)答案 C解析 因为y ＝1x与y ＝log 2x 的图象只有一个交点，所以f (x )只有一个零点．又因为f (1)＝1，f (2)＝－1，所以函数f (x )＝1－x log 2x 的零点所在的区间是(1,2)．故选C ．5．函数f (x )＝x cos2x 在区间[0,2π]上的零点的个数为() A ．2 B ．3 C ．4 D ．5答案 D解析 f (x )＝x cos2x ＝0⇒x ＝0或cos2x ＝0，又cos2x ＝0在[0,2π]上的根有π4，3π4，5π4，7π4，共4个，故原函数有5个零点． 6．若x 0是方程⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＝x 13 的解，则x 0属于区间()A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫23，1B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，23C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫13，12 D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13 答案 C解析 令g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，f (x )＝x 13 ，则g (0)＝1>f (0)＝0，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1212 <f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1213 ，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1213>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1313 ，所以由图象关系可得13<x 0<12.7．(2019·某某模拟)f (x )＝3x－log 2(－x )的零点的个数是() A ．0 B ．1 C ．2 D ．3答案 B解析 f (x )的定义域为(－∞，0)，且f (x )在(－∞，0)上单调递增，f (－1)＝13>0，f (－2)＝－89<0，所以函数f (x )＝3x－log 2(－x )有且仅有1个零点，故选B ．8．已知a ，b ，c ，d 都是常数，a >b ，c >d .若f (x )＝2019－(x －a )(x －b )的零点为c ，d ，则下列不等式正确的是()A ．a >c >b >dB ．a >b >c >dC ．c >d >a >bD ．c >a >b >d答案 D解析 f (x )＝2019－(x －a )(x －b )＝－x 2＋(a ＋b )x －ab ＋2019，又f (a )＝f (b )＝2019，c ，d 为函数f (x )的零点，且a >b ，c >d ，所以可在平面直角坐标系中作出函数f (x )的大致图象，如图所示，由图可知c >a >b >d ，故选D ．9．(2019·某某某某模拟)已知x 0是f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋1x的一个零点，x 1∈(－∞，x 0)，x 2∈(x 0,0)，则()A ．f (x 1)<0，f (x 2)<0B ．f (x 1)>0，f (x 2)>0C ．f (x 1)>0，f (x 2)<0D ．f (x 1)<0，f (x 2)>0答案 C解析 如图，在同一平面直角坐标系内作出函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，y ＝－1x 的图象，由图象可知，当x ∈(－∞，x 0)时，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x >－1x ，当x ∈(x 0,0)时，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x <－1x ，所以当x 1∈(－∞，x 0)，x 2∈(x 0,0)时，有f (x 1)>0，f (x 2)<0，故选C ．10．(2019·某某质检)[x ]表示不超过x 的最大整数，例如[2.9]＝2，[－4.1]＝－5，已知f (x )＝x －[x ](x ∈R )，g (x )＝log 4(x －1)，则函数h (x )＝f (x )－g (x )的零点个数是()A ．1B ．2C ．3D ．4答案 B解析 作出函数f (x )与g (x )的图象如图所示，发现有两个不同的交点，故选B ．11．(2018·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x，x ≤0，ln x ，x >0，g (x )＝f (x )＋x ＋a .若g (x )存在2个零点，则a 的取值X 围是()A ．[－1,0)B ．[0，＋∞)C ．[－1，＋∞)D ．[1，＋∞)答案 C解析 画出函数f (x )的图象，再画出直线y ＝－x 并上下移动，可以发现当直线y ＝－x 过点A 时，直线y ＝－x 与函数f (x )的图象有两个交点，并且向下无限移动，都可以保证直线y ＝－x 与函数f (x )的图象有两个交点，即方程f (x )＝－x －a 有两个解，也就是函数g (x )有两个零点，此时满足－a ≤1，即a ≥－1，故选C ．12．(2019·某某正定模拟)已知f (x )为偶函数且f (x ＋2)＝f (x )，若当x ∈[0,1]时，f (x )＝x ，则方程f (x )＝log 3|x |的解的个数是()A ．0B ．2C ．4D ．6答案C解析 画出函数f (x )和y ＝log 3|x |的图象(如图所示)，由图象可知方程f (x )＝log 3|x |的解有4个．故选C ．13．已知函数y ＝f (x )的图象是连续曲线，且有如下的对应值表：x 1 2 3 4 5 6 y124.435－7414.5－56.7－123.6则函数y ＝f (x )在区间[1,6]上的零点至少有________个． 答案 3解析 由零点存在性定理及题中的对应值表可知，函数f (x )在区间(2,3)，(3,4)，(4,5)内均有零点，所以y ＝f (x )在[1,6]上至少有3个零点．14．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ln x ，x >0，x 2－x －2，x ≤0，则其零点为________.答案 1，－1解析 当x >0时，由f (x )＝0，即x ln x ＝0得ln x ＝0，解得x ＝1；当x ≤0时，由f (x )＝0，即x 2－x －2＝0，也就是(x ＋1)(x －2)＝0，解得x ＝－1或x ＝2.因为x ≤0，所以x ＝－1.综上，函数的零点为1，－1.15．(2019·某某模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2(x ＋1)，x >0，－x 2－2x ，x ≤0，若函数g (x )＝f (x )－m 有3个零点，则实数m 的取值X 围是________. 答案 (0,1)解析 函数g (x )＝f (x )－m 有3个零点，转化为f (x )－m ＝0的根有3个，进而转化为y ＝f (x )和y ＝m 的图象有3个交点．画出函数y ＝f (x )的图象，由图可知要使函数y ＝f (x )和y ＝m 的图象有3个交点，m 应满足0<m <1，所以实数m 的取值X 围是(0,1)．16．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x |，x ≤m ，x 2－2mx ＋4m ，x >m ，其中m >0.若存在实数b ，使得关于x 的方程f (x )＝b 有三个不同的实根，则m 的取值X 围是________.答案 (3，＋∞)解析 f (x )的图象如图所示，若存在实数b ，使得关于x 的方程f (x )＝b 有三个不同的实根，只需4m －m 2<m ，解得m >3或m <0，又m >0，所以m >3.17．(2019·某某模拟)函数f (x )的定义域为实数集R ，且f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1，－1≤x <0，log 2(x ＋1)，0≤x <3，对任意的x ∈R 都有f (x ＋2)＝f (x －2)．若在区间[－5,3]上函数g (x )＝f (x )－mx ＋m 恰好有三个不同的零点，某某数m 的取值X 围．解 因为对任意的x ∈R 都有f (x ＋2)＝f (x －2)，所以函数f (x )的周期为4.由在区间[－5,3]上函数g (x )＝f (x )－mx ＋m 有三个不同的零点，知函数f (x )与函数h (x )＝mx －m 的图象在[－5,3]上有三个不同的交点．在同一平面直角坐标系内作出函数f (x )与h (x )在区间[－5,3]上的图象，如图所示．由图可知1－0－1－1≤m <1－0－5－1，即－12≤m <－16.。