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2018年7月襄阳市普通高中调研统一考试高二数学（理工类）第Ⅰ卷（选择题）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1.已知复数z 满足1iz i i++=（i 为虚数单位），则z = A. 12i -+ B. 12i -- C. 12i + D.12i -2. .双曲线()222104x y a a -=>的一个焦点与抛物线2y =的焦点重合，则双曲线的渐近线方程是 A. 14y x =±B. 12y x =± C. 2y x =± D.4y x =± 3. 一动圆与定圆()22:21F x y ++=相外切，且与直线:1l x =相切，则动圆圆心的轨迹方程为A. 24y x =B. 22y x =C. 24y x =-D. 28y x =- 4.下列说法错误的是A. 命题“若2320x x -+=，则1x =”的逆否命题是“若1x ≠，则2320x x -+≠”B.若p q ∧为假命题，则,p q 均为假命题C.“1x =”是“2320x x -+=”的充分不必要条件D.若命题:,p x R ∃∈使得210x x ++<，则:,p x R ⌝∀∈都有210x x ++≥5. 直线l 与椭圆22:184x y C +=相交于A,B 两点，若直线l 的方程为210x y -+=，则线段AB 的中点坐标是 A. 11,32⎛⎫--⎪⎝⎭ B. 11,33⎛⎫- ⎪⎝⎭ C. ()1,1 D. 11,33⎛⎫- ⎪⎝⎭6.广告投入对商品的销售额有较大影响.某电商对连续5个年度的广告费和销售额进行统计，得到统计数据如下表：（单位：万元）由上表可得回归直线方程为ˆˆ10.2yx a =+，据此模型，预测广告费为10万元时的销售额约为A. 111.2B. 108.8C. 101.2D.118.27.通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：参照上表，得到的结论是A. 有99%的把握认为“爱好该项运动与性别有关”B.有99%的把握认为“爱好该项运动与性别无关”C. 在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”D. 在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”8. 双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的离心率为2，则双曲线C 的焦距等于A. 9. 已知函数()sin f x x x =-，则不等式()()1220f x f x ++->的解集是 A. 1,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭ B. 1,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭C. ()3,+∞D. (),3-∞10.抛物线2:12C y x =的准线与轴交于点P ，A 是抛物线C 上的一点，F 是抛物线C 的焦点，若AP =，则点A 的横坐标为A. 4B. 3C. 11.已知()2168ln 2f x x x x =-+在[],1m m +上不是单调函数，则实数m 的取值范围是 A. ()1,2 B. ()3,4 C. (][)1,23,4 D. ()()1,23,4 12. 关于函数()2ln f x x x=+，下列说法错误的是 A. 2x =是()f x 的最小值点B. 函数()y f x x =-有且只有1个零点C. 存在正实数k ，使得()f x kx >恒成立D.对任意两个不相等的正实数12,x x ，若()()12f x f x =，则124x x +> 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.曲线3ln 2y x x =++在点P 处的切线方程为410x y --=，则点P 的坐标为 .14.若椭圆22164x y +=的两个焦点为12,F F ，P 是椭圆上的一点，若12PF PF ⊥，则12PF F ∆的面积为 .15.已知函数()32693,0ln ,0x x x x f x a x x ⎧+++≤=⎨>⎩在[]2,2-上的最小值为-1，则实数a 的取值范围为 .16. 我国古代数学名著《九章算术》的论割圆术中有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不能割，则与圆合体而无所失矣”它体现了一种无限与有限转化过程.比如在表达式1111x +++中“ ”即代表无限次重复，但原式却是个定值，它可以通过方程()110x x x +=>求得x == . 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程. 17.（本题满分12分） 已知()3222.f x x ax a x =+-+（1）当1a =时，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程； （2）当0a >时，求函数()f x 的单调区间.18.（本题满分12分）已知命题()21:,2102p x R x m x ∃∈+-+≤，命题:q “曲线222:128x y C m m +=+表示焦点在x 轴上的椭圆”，命题:s “曲线22:11x y C m t m t +=---表示双曲线”（1）若“p q ∧”是真命题，求m 的取值范围； （2）若q 是s 的必要不充分条件，求t 的取值范围.19.（本题满分12分）如图，在长方体1111ABCD A BC D -中，,AC BD 相交于点O ，2AB BC ==异面直线DB 与1D C 所（1）求此长方体的体积；（2）求截面1D AC 和底面ABCD 所成锐二面角的余弦值；（3）在棱1BB 上找一点P ，使得DP ⊥平面1D AC .20.（本题满分12分）已知ABC ∆的两个顶点,A B 的坐标分别为()()0,1,0,1-，且边,AC BC 所在直线的斜率之积等于()0.m m ≠（1）求顶点C 的轨迹E 的方程，并判断轨迹E 的曲线类型； （2）当12m =-时，过点()1,0F 的直线l 交曲线E 于M,N 两点，设点N 关于x 轴的对称点为Q （,M Q 不重合），求证：直线MQ 与x 轴的交点为定点，并求出该定点的坐标.21.（本题满分12分）记{}max ,m n 表示,m n 中的最大值，如{max =(){}()22221max 1,2ln ,max ln ,24.2f x x x g x x x x a x a a ⎧⎫⎛⎫=-=+-+-++⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭（1）设()()()21312h x f x x x ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭，求函数()h x 在(]0,1上的零点个数； （2）试探究是否存在实数()2,a ∈-+∞，使得()342g x x a <+对()2,x a ∈++∞恒成立？若存在，求a 的取值范围；若不存在，说明理由.22.（本题满分10分）已知双曲线22:14x C y -=，P 是C 上的任意一点. （1）求证：点P 到C 的两条渐近线的距离之积是一个常数； （2）设点A 的坐标为()5,0，求PA 的最小值.2017年7月襄阳市普通高中调研统一测试高二数学(理工类)参考答案及评分标准说明1．本解答列出试题的一种或几种解法，如果考生的解法与所列解法不同，可参照解答中评分标准的精神进行评分。
绵阳市重点名校2017-2018学年高二下学期期末综合测试数学试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知1F 、2F 分别是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，点P 是双曲线右支上的点，且1245F PF ∠=︒，若坐标原点O 到直线1PF 的距离等于实半轴长，则该双曲线的离心率为（ ）A ．2B ．3C ．2D ．5【答案】B 【解析】 【分析】利用题设条件和双曲线性质在三角形中寻找等量关系，得出a 与c 之间的等量关系，进而求出双曲线的离心率. 【详解】 如图，1OM PF ⊥，21⊥NF PF ，依题意OM a =，22NF a =， Q 且1245F PF ∠=︒，可知三角形2PF N 是一个等腰直角三角形，222PF a ∴=，1222PF a a =+，在12F PF △中，由余弦定理可得：()222(2)(222)(22)22222245=++-⨯+⨯⨯o c a a a a a a cos ，化简得223c a =，∴3故选：B ． 【点睛】本题主要考查余弦定理，双曲线的定义、简单几何性质，突出了对计算能力和综合运用知识能力的考查，属中档题．影部分的概率是（ ）A ．23e - B ．13e - C ．43e- D ．53e- 【答案】D 【解析】 【分析】通过定积分可求出空白部分面积，于是利用几何概型公式可得答案. 【详解】由题可知长方形面积为3，而长方形空白部分面积为：()()11001|2x x e dx e x e -=-=-⎰，故所求概率为25133e e---=，故选D. 【点睛】本题主要考查定积分求几何面积，几何概型的运算，难度中等.3．已知03cos 2⎛⎫=- ⎪⎝⎭⎰m x dx ππ，则()23-+m x y z 的展开式中，2-m x yz 项的系数等于（ ） A ．180 B ．-180 C ．-90 D ．15【答案】B 【解析】分析：利用定积分的运算求得m 的值，再根据乘方的几何意义，分类讨论，求得x m ﹣2yz 项的系数．详解：03cos 2m x dx ππ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭⎰0π⎰3sinxdx=﹣3cosx 0|π=﹣3（cosπ﹣cos0）=6，则（x ﹣2y+3z ）m =（x ﹣2y+3z ）6 ，x m ﹣2yz=x 4yz ．而（x ﹣2y+3z ）6表示6个因式（x ﹣2y+3z ）的乘积，故其中一个因式取﹣2y ，另一个因式取3z ，剩余的4个因式都取x ，即可得到含x m ﹣2yz=x 4yz 的项，∴x m ﹣2yz=x 4yz 项的系数等于()11465423180.C C C -⋅⋅=-故选：B ．点睛：这个题目考查的是二项式中的特定项的系数问题，在做二项式的问题时，看清楚题目是求二项式系数还是系数，还要注意在求系数和时，是不是缺少首项；解决这类问题常用的方法有赋值法，求导后赋值，积分后赋值等。
2018年四川省绵阳市中学体育馆高二数学理下学期期末试题一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 函数的图象是由函数的图像向左平移个单位得到的，则（）A. B. C. D.参考答案：B【分析】把的图像向左平移个单位后得到的图像，化简后可得的值，利用两角和的余弦和正弦展开后可得的值.【详解】把的图像向左平移个单位后得到所得图像的解析式为，根据可得①，所以即（舍），又对①化简可得，故，故选B.【点睛】三角函数的图像往往涉及振幅变换、周期变换和平移变换，注意左右平移时是自变量作相应的变化，而且周期变换和平移变换（左右平移）的次序对函数解析式的也有影响，比如，它可以由先向左平移个单位，再纵坐标不变，横坐标变为原来的，也可以先保持纵坐标不变，横坐标变为原来的，再向左平移.2. 某校从高一年级学生中随机抽取部分学生,将他们的模块测试成绩分为6组:[40,50), [50,60), [60,70), [70,80), [80,90), [90,100]加以统计,得到如图所示的频率分布直方图.已知高一年级共有学生600名,据此估计,该模块测试成绩不少于60分的学生人数为A．588 B．480 C．450 D．120参考答案：B3. 由曲线y=，直线y=x﹣2及y轴所围成的图形的面积为（）A．B．4 C．D．6参考答案：C【考点】6G：定积分在求面积中的应用．【分析】利用定积分知识求解该区域面积是解决本题的关键，要确定出曲线y=，直线y=x﹣2的交点，确定出积分区间和被积函数，利用导数和积分的关系完成本题的求解．【解答】解：联立方程得到两曲线的交点（4，2），因此曲线y=，直线y=x﹣2及y轴所围成的图形的面积为：S=．故选C．【点评】本题考查曲边图形面积的计算问题，考查学生分析问题解决问题的能力和意识，考查学生的转化与化归能力和运算能力，考查学生对定积分与导数的联系的认识，求定积分关键要找准被积函数的原函数，属于定积分的简单应用问题．4. 已知x，y满足，则z=的取值范围为( )A．（﹣1，] B．（﹣∞，﹣1）∪[，+∞）C．[﹣，] D．（﹣∞，﹣]∪[，+∞）参考答案：B【考点】简单线性规划．【专题】数形结合；定义法；不等式的解法及应用．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用直线斜率的几何意义，进行求解即可．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：z=的几何意义是区域内的点到定点D（0，﹣5）的斜率，由图象z≥k AD，或k＜k BC=﹣1，由得，即A（3，8），此时k AD==，故z≥，或k＜﹣1，故选：B【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用直线的斜率公式结合数形结合是解决本题的关键．5. 设F1，F2分别是椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，过F2的直线交椭圆于P，Q两点，若∠F1PQ=60°，|PF1|=|PQ|，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．参考答案：D【考点】椭圆的简单性质．【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】设|PF1|=t，则由∠F1PQ=60°，|PF1|=|PQ|，推出PQ|=t，|F1Q|=t，且F2为PQ的中点，根据椭圆定义可知|PF1|+|PF2|=2a用t表示，根据等边三角形的高，求出2c用t表示，再由椭圆的离心率公式e=，即可得到答案．【解答】解：设|PF1|=t，∵|PF1|=|PQ|，∠F1PQ=60°，∴|PQ|=t，|F1Q|=t，由△F1PQ为等边三角形，得|F1P|=|F1Q|，由对称性可知，PQ垂直于x轴，F2为PQ的中点，|PF2|=，∴|F1F2|=，即2c=，由椭圆定义：|PF1|+|PF2|=2a，即2a=t=t，∴椭圆的离心率为：e===．故选D．6. 已知函数y=f（x）的图象如图所示，则其导函数y=f′（x）的图象可能是（）A．B．C．D．参考答案：A【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】观察函数y=f（x）的图象知，f（x）在（0，+∞）上是减函数，f（x）在（﹣∞，0）从左到右，先增再减最后增；从而确定导数的正负，从而求解．【解答】解：观察函数y=f（x）的图象知，f（x）在（0，+∞）上是减函数，故y=f′（x）＜0在（0，+∞）恒成立，故排除B，D，f（x）在（﹣∞，0）从左到右，先增再减最后增，故y=f′（x）在（﹣∞，0）从左到右，先“+”再“﹣”最后“+”恒成立，故排除C，故选：A．7. “”是“”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：A本题主要考查.k本题主要考查三角函数的基本概念、简易逻辑中充要条件的判断. 属于基础知识、基本运算的考查.当时，，反之，当时，有，或，故应选A.8. 命题“若，则”的逆否命题是()A.若，则B．若，则C．若，则D．若，则参考答案：D如果两个命题中一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件的否定，则这两个命题称为互为逆否命题。
保密 ★ 启用前 【考试时间：2019年6月28日上午10:30—12:00】绵阳市示范初中2018级第二学期教学质量监测数 学 试 题 卷本试卷分为试题卷（共4页）和答题卷（共4页）两部分。
考试时间90分钟，满分100分。
第Ⅰ卷（选择题，共36分）注意事项：1．答第I 卷前，请务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上．2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试题卷上．一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．在，﹣1，0，35-，这四个数中，最小的实数是A ．B ．﹣1C ．0D ．35-2．为了了解某校1500名学生的视力情况，抽查了500名学生的视力进行统计分析，下面四个判断正确的是A ．500名学生的视力是总体的一个样本B ．500名学生是总体C ．每名学生是总体的一个个体D ．样本容量是500名 3．下列命题正确的是A ．若22bc ac >，则 b a > B ．若b a >，则c b c a +<+C ．若b a >，c <0，则ac >bcD ．若b a >，则cb c a > 4．如图，不能判定CD ∥EF 的条件是A ．∠B ＝∠AED B ．∠C+∠CDE=180°C ．∠EFB ＝∠DEFD ．∠CDE +∠DEF +＝180° 5．若a 为整数，且满足6＜a ＜，则a 的值为A ．4B ．113C ．2D ．1 6．已知a 、b 、c 是同一平面内的不同直线，下列说法正确的是A ．若a 与b 相交，b 与c 相交，则a 与c 相交B ．若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥cC ．若a ⊥b ，b ⊥c ，则a ⊥cD ．若a 、b 、c 两两相交（不重合），则有三个交点 7．若点（3m-3，1）在第一象限，则m 的取值范围为 A ．m<-1或m ≥1 B ．-1<m<1 C ．m ≤-1或m ≥1 D ．﹣1＜m ≤18．如图，直线AB 与CD 相交于点O ，OD 平分∠BOF ，OE ⊥OF ，若∠BOD ＝29°，则∠COE 的度数是 A ．116° B ．118° C ．119° D ．120°9．中国象棋是中华民族的文化瑰宝，它渊远流长，趣味浓厚．现在甲、乙两人制定比赛规则：胜 一局得2分，平一局得1分，负一局得0分，甲共进行了9局比赛，得了12分。
2017-2018学年四川省绵阳市高二（下）期末数学试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题4分，满分48分）1．已知p：∀x∈R，lgx=2，则￢p是（）A．∀x∉R，lgx=2 B．∃x0∈R，lgx0≠2 C．∀x∈R，lgx≠2 D．∃x0∈R，lgx0=22．下列不等式中成立的是（）A．若a＞b，则ac2＞bc2B．若a＞b，则a2＞b2C．若a＜b＜0，则a2＜ab＜b2D．若a＜b＜0，则＞3．已知i是虚数单位，若复数z满足（1+i）z=2+i，则=（）A．﹣i B． +i C．1+i D．1﹣i4．已知（x2﹣3x+1）5=a0+a1x+a2x2+…+a10x10，则a1+a2+a3+…+a10=（）A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．05．函数y=x2+在（0，+∞）上的最小值为（）A．1 B．2 C．3 D．46．下列说法正确的是（）A．集合M={x|0＜x≤3}，N={x|0＜x≤2}，则“a∈M”是“a∈N”的充分不必要条件B．“|a|＞|b|”是“a2＞b2”的必要不充分条件C．“若a∈M，则b∉M”的否是“若a∉M，则b∈M”D．“若a，b都是奇数，则a+b是偶数”的逆否是“若a+b不是偶数，则a，b都不是奇数”7．已知函数y=f（x）（x∈R）的图象如图所示，f′（x）是f（x）的导函数，则不等式（x﹣1）f′（x）＜0的解集为（）A．（﹣∞，）∪（1，2）B．（﹣1，1）∪（1，3）C．（﹣1，）∪（3，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）8．已知xy＞0，若x2+4y2＞（m2+3m）xy恒成立，则实数m的取值范围是（）A．m≥﹣1或m≤﹣4 B．m≥4或m≤﹣1 C．﹣4＜m＜1 D．﹣1＜m＜49．设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=3x﹣y的取值范围是（）A．B．C．[﹣1，6] D．10．2位男生和3位女生共5位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是（）A．60 B．48 C．42 D．3611．已知函数f（x）=在[1，+∞）上为增函数，则实数a的取值范围是（）A．0＜a≤B．a C．＜a≤D．a≥12．函数f（x）=a x﹣x3（a＞0，且a≠1）恰好有两个不同的零点，则实数a的取值范围是（）A．1＜a＜e B．1＜a＜eC．0＜a＜e D．e＜a＜e二、填空题（共4小题，每小题3分，满分12分）13．若复数z=（m2﹣m）+mi是纯虚数，则实数m的值为．14．（﹣x2）9展开式中的常数项为．15．甲乙两人各射击一次，击中目标的概率分别为和，假设两人射击是否击中目标相互之间没有影响，每次射击是否击中目标相互之间也没有影响，现甲乙两人各射击4次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次的概率为．16．已知正实数a，b满足2a+b=1，则4a2+b2+的最小值为．三、解答题（共3小题，满分30分）17．设p：对任意的x∈R，不等式x2﹣ax+a＞0恒成立，q：关于x的不等式组的解集非空，如果“p∧q”为假，“p∨q”为真，求实数a的取值范围．18．某公司进行公开招聘，应聘者从10个考题中通过抽签随机抽取3个题目作答，规定至少答对2道者才有机会进入“面试”环节，小王只会其中的6道．（1）求小王能进入“面试”环节的概率；（2）求抽到小王作答的题目数量的分布列．19．已知f（x）=ax2﹣lnx，设曲线y=f（x）在x=t（0＜t＜2）处的切线为l．（1）试讨论函数f（x）的单调性；（2）当a=﹣时，证明：当x∈（0，2）时，曲线y=f（x）与l有且仅有一个公共点．[选修4-1：几何证明选讲]20．如图所示，已知PA与⊙O相切，A为切点，PBC为割线，弦CD∥AP，AD、BC相交于E点，F为CE上一点，且∠EDF=∠ECD．（1）求证：△DEF∽△PEA；（2）若EB=DE=6，EF=4，求PA的长．[选修4-4：坐标系与参数方程]21．设直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=4cosθ．（1）把曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）设直线l与曲线C交于M，N两点，点A（1，0），求+的值．[选修4-5：不等式选讲]22．设函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣2|（1）解不等式f（x）≥3（2）若不等式|a+b|+|a﹣b|≥af（x）（a≠0，a，b∈R）恒成立，求实数x的范围．2015-2016学年四川省绵阳市高二（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题4分，满分48分）1．已知p：∀x∈R，lgx=2，则￢p是（）A．∀x∉R，lgx=2 B．∃x0∈R，lgx0≠2 C．∀x∈R，lgx≠2 D．∃x0∈R，lgx0=2【考点】全称．【分析】本题中的是一个全称，其否定是特称，依据全称的否定书写形式：将量词“∀”与“∃”互换，结论同时否定，写出的否定即可．【解答】解：∵p：∀x∈R，lgx=2，∴￢p：∃x0∈R，lgx0≠2，故选：B．2．下列不等式中成立的是（）A．若a＞b，则ac2＞bc2B．若a＞b，则a2＞b2C．若a＜b＜0，则a2＜ab＜b2D．若a＜b＜0，则＞【考点】不等式的基本性质．【分析】运用列举法和不等式的性质，逐一进行判断，即可得到结论．【解答】解：对于A，若a＞b，c=0，则ac2=bc2，故A不成立；对于B，若a＞b，比如a=2，b=﹣2，则a2=b2，故B不成立；对于C，若a＜b＜0，比如a=﹣3，b=﹣2，则a2＞ab，故C不成立；对于D，若a＜b＜0，则a﹣b＜0，ab＞0，即有＜0，即＜，则＞，故D成立．故选：D．3．已知i是虚数单位，若复数z满足（1+i）z=2+i，则=（）A．﹣i B． +i C．1+i D．1﹣i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】由（1+i）z=2+i，得，然后利用复数代数形式的乘除运算化简复数z，则可求．【解答】解：由（1+i）z=2+i，得=，则=．故选：B．4．已知（x2﹣3x+1）5=a0+a1x+a2x2+…+a10x10，则a1+a2+a3+…+a10=（）A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．0【考点】二项式定理的应用．【分析】在所给的等式中，令x=0，可得a0=1，令x=1，可得a0+a1+a2+a3+…+a10=﹣1，由此求得a1+a2+a3+…+a10的值．【解答】解：由于（x2﹣3x+1）5=a0+a1x+a2x2+…+a10x10，令x=0，可得a0=1，令x=1，可得a0+a1+a2+a3+…+a10=﹣1，∴a1+a2+a3+…+a10=﹣2，故选：C．5．函数y=x2+在（0，+∞）上的最小值为（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】基本不等式．【分析】变形y=x2+=x2++，利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：∵x∈（0，+∞），∴函数y=x2+=x2++≥=3，当且仅当x=1时取等号．∴函数y=x2+在（0，+∞）上的最小值为3．故选：C．6．下列说法正确的是（）A．集合M={x|0＜x≤3}，N={x|0＜x≤2}，则“a∈M”是“a∈N”的充分不必要条件B．“|a|＞|b|”是“a2＞b2”的必要不充分条件C．“若a∈M，则b∉M”的否是“若a∉M，则b∈M”D．“若a，b都是奇数，则a+b是偶数”的逆否是“若a+b不是偶数，则a，b都不是奇数”【考点】的真假判断与应用．【分析】A．根据集合关系以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可，B．根据不等式的关系，结合充分条件和必要条件的定义进行判断，C．根据否的定义进行判断，D．根据逆否的定义进行判断即可．【解答】解：A．∵M={x|0＜x≤3}，N={x|0＜x≤2}，∴N⊊M，即“a∈M”是“a∈N”的必要不充分条件，故A错误，B．“|a|＞|b|”⇔“a2＞b2”，即“|a|＞|b|”是“a2＞b2”的充要条件，故B错误，C．根据否的定义得“若a∈M，则b∉M”的否是“若a∉M，则b∈M”，故C正确，D．“若a，b都是奇数，则a+b是偶数”的逆否是“若a+b不是偶数，则a，b不都是奇数”，故D错误，故选：C．7．已知函数y=f（x）（x∈R）的图象如图所示，f′（x）是f（x）的导函数，则不等式（x﹣1）f′（x）＜0的解集为（）A．（﹣∞，）∪（1，2）B．（﹣1，1）∪（1，3）C．（﹣1，）∪（3，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】先由（x﹣1）f'（x）＜0，分成x﹣1＞0且f'（x）＜0或x﹣1＜0且f'（x）＞0两种情况分别讨论即可【解答】解：当x﹣1＞0，即x＞1时，f'（x）＜0，即找在f（x）在（1，+∞）上的减区间，由图象得，1＜x＜2；当x﹣1＜0时，即x＜1时，f'（x）＞0，即找f（x）在（﹣∞，1）上的增区间，由图象得，x＜．故不等式解集为（﹣∞，）∪（1，2）故选：A．8．已知xy＞0，若x2+4y2＞（m2+3m）xy恒成立，则实数m的取值范围是（）A．m≥﹣1或m≤﹣4 B．m≥4或m≤﹣1 C．﹣4＜m＜1 D．﹣1＜m＜4【考点】基本不等式．【分析】xy＞0，x2+4y2＞（m2+3m）xy，可得m2+3m＜，利用基本不等式的性质求出的最小值，即可得出．【解答】解：∵xy＞0，x2+4y2＞（m2+3m）xy，∴m2+3m＜，∵≥=4，当且仅当x=2y＞0时取等号．∴m2+3m＜4，解得﹣4＜m＜1．∴实数m的取值范围是﹣4＜m＜1．故选：C．9．设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=3x﹣y的取值范围是（）A．B．C．[﹣1，6] D．【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组表示的平面区域；作出目标函数对应的直线；由目标函数中z的几何意义可求z的最大值与最小值，进而可求z的范围【解答】解：作出不等式组表示的平面区域，如图所示由z=3x﹣y可得y=3x﹣z，则﹣z为直线y=3x﹣z在y轴上的截距，截距越大，z越小结合图形可知，当直线y=3x﹣z平移到B时，z最小，平移到C时z最大由可得B（，3），由可得C（2，0），z max=6∴故选A10．2位男生和3位女生共5位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是（）A．60 B．48 C．42 D．36【考点】排列、组合及简单计数问题．【分析】从3名女生中任取2人“捆”在一起，剩下一名女生记作B，两名男生分别记作甲、乙，则男生甲必须在A、B之间，最后再在排好的三个元素中选出四个位置插入乙．【解答】解：从3名女生中任取2人“捆”在一起记作A，（A共有C32A22=6种不同排法），剩下一名女生记作B，两名男生分别记作甲、乙；则男生甲必须在A、B之间（若甲在A、B两端．则为使A、B不相邻，只有把男生乙排在A、B之间，此时就不能满足男生甲不在两端的要求）此时共有6×2=12种排法（A左B右和A右B左）最后再在排好的三个元素中选出四个位置插入乙，∴共有12×4=48种不同排法．故选B．11．已知函数f（x）=在[1，+∞）上为增函数，则实数a的取值范围是（）A．0＜a≤B．a C．＜a≤D．a≥【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】先求导，由函数f（x）在[1，+∞]上为增函数，转化为f′（x）≥0在[1，+∞]上恒成立问题求解．【解答】解：f′（x）=，由f'（x）≥0在[1，+∞）上恒成立，即﹣1﹣lna+lnx≥0在[1，+∞）上恒成立，∴lnx≥lnea在[1，+∞）上恒成立，∴lnea≤0，即ea≤1，∴a≤，∵a＞0，∴0故选：A12．函数f（x）=a x﹣x3（a＞0，且a≠1）恰好有两个不同的零点，则实数a的取值范围是（）A．1＜a＜e B．1＜a＜eC．0＜a＜e D．e＜a＜e【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】原题意等价于方程a x=x3恰有两个不同的解．分类讨论结合函数思想求解当0＜a＜1时，y=a x与y=x3的图象只有一个交点，不符合题意．当a＞1时，y=a x与y=x3的图象在x∈（﹣∞，0）上没有交点，所以只考虑x＞0，于是可两边同取自然对数，得xlna=3lnx，即lna=，构造函数g（x）=，求解，利用导数求解即可．【解答】解：∵f（x）=a x﹣x3（a＞0，且a≠1）恰好有两个不同的零点∴等价于方程a x=x3恰有两个不同的解．当0＜a＜1时，y=a x与y=x3的图象只有一个交点，不符合题意．当a＞1时，y=a x与y=x3的图象在x∈（﹣∞，0）上没有交点，所以只考虑x＞0，于是可两边同取自然对数，得xlna=3lnx，即lna=，令g（x）=，则，当x∈（0，e）时，g（x）单调递增，当x＜1时，当g（x）＜0，x∈（e，+∞）时，g（x）单减且g（x）＞0．∴要有两个交点，0＜lna＜g（e）=，即1＜a＜．故选：A二、填空题（共4小题，每小题3分，满分12分）13．若复数z=（m2﹣m）+mi是纯虚数，则实数m的值为1．【考点】复数的基本概念．【分析】根据复数的概念进行求解即可．【解答】解：若复数z=（m2﹣m）+mi是纯虚数，则，即，即m=1，故答案为：114．（﹣x2）9展开式中的常数项为﹣84．【考点】二项式系数的性质．【分析】先求出二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于0，求得r的值，即可求得展开式中的常数项的值．【解答】解：二项式（﹣x2）9的展开式中的通项公式为T r+1=C9r x3r﹣9•（﹣1）r，令3r﹣9=0，求得r=3，故二项式（﹣x2）9的展开式中的常数项为﹣C93=﹣84，故答案为：﹣84．15．甲乙两人各射击一次，击中目标的概率分别为和，假设两人射击是否击中目标相互之间没有影响，每次射击是否击中目标相互之间也没有影响，现甲乙两人各射击4次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次的概率为．【考点】相互独立事件的概率乘法公式；互斥事件的概率加法公式．【分析】利用n次独立重复试验中恰好发生k次的概率公式求得甲恰好击中目标2次的概率、乙恰好击中目标3次的概率，再把这两个概率相乘，即为所求．【解答】解：甲恰好击中目标2次的概率为••=，乙恰好击中目标3次的概率为••=，故甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次的概率为•=，故答案为：．16．已知正实数a，b满足2a+b=1，则4a2+b2+的最小值为．【考点】基本不等式在最值问题中的应用．【分析】由题意，4a2+b2+==1+﹣4ab，令ab=t，则4a2+b2+=1+﹣4t，确定t的范围及y=﹣4t单调递减，即可得出结论．【解答】解：4a2+b2+==1+﹣4ab，令ab=t，则4a2+b2+=1+﹣4t．∵正实数a，b满足2a+b=1，∴1，∴0＜ab，∴0＜t，由y=﹣4t可得y′=﹣﹣4＜0，∴0＜t时，y=﹣4t单调递减，∴y≥，∴4a2+b2+≥．故答案为：．三、解答题（共3小题，满分30分）17．设p：对任意的x∈R，不等式x2﹣ax+a＞0恒成立，q：关于x的不等式组的解集非空，如果“p∧q”为假，“p∨q”为真，求实数a的取值范围．【考点】复合的真假．【分析】分别求出p，q成立的x的范围，结合p，q一真一假，求出a的范围即可．【解答】解：由已知要使p正确，则必有△=（﹣a）2﹣4a＜0，解得：0＜a＜4，由≥0，解得：x≤﹣3或x＞2，∴要使q正确，则a＞2，由“p∧q”为假，“p∨q”为真，得p和q有且只有一个正确，若p真q假，则0＜a≤2，若p假q真，则a≥4，故a∈（0，2]∪[4，+∞）．18．某公司进行公开招聘，应聘者从10个考题中通过抽签随机抽取3个题目作答，规定至少答对2道者才有机会进入“面试”环节，小王只会其中的6道．（1）求小王能进入“面试”环节的概率；（2）求抽到小王作答的题目数量的分布列．【考点】离散型随机变量及其分布列；古典概型及其概率计算公式．【分析】（1）设小王能进入面试环节为事件A，由互斥事件概率加法公式能求出小王能进入“面试”环节的概率．（2）设抽到小王会作答的题目的数量为x，则x=0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出抽到小王作答的题目数量X的分布列．【解答】解：（1）设小王能进入面试环节为事件A，则P（A）==．（2）设抽到小王会作答的题目的数量为x，则x=0，1，2，3，P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==，P（X=3）==，∴抽到小王作答的题目数量X的分布列为：X 0 1 2 3P19．已知f（x）=ax2﹣lnx，设曲线y=f（x）在x=t（0＜t＜2）处的切线为l．（1）试讨论函数f（x）的单调性；（2）当a=﹣时，证明：当x∈（0，2）时，曲线y=f（x）与l有且仅有一个公共点．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）求解定义域为：（0，+∞），由f（x）=ax2﹣lnx，f′（x）=2ax﹣，利用不等式，分类讨论判断单调性；（2）确定切线方程为：y=f′（t）（x﹣t）+f（t），构造函数设g（x）=f（x）﹣[f′（t）（x﹣t）+f（t）]，求解导数g′（x）=﹣x﹣f′（t），判断单调性，求解得出极值，当x∈（0，t）或（t，2），g（x）＞g（t）=0，得出所证明的结论．【解答】解；（1）f（x）的定义域为：（0，+∞）由f（x）=ax2﹣lnx，f′（x）=2ax﹣，①若a≤0，则f′（x）=2ax﹣＜0，②若a＞0，则f2ax﹣=0，解得x=，则当x∈（0，）时，f′（x）＜0，函数f（x）在（0，）上单调递减，当x∈（，+∞）时，f′（x）＞0，函数f（x）在（，+∞）上单调递增．，（2）当a=﹣时，f（x）=x2﹣lnx，f′（x）=x﹣，∴切线方程为：y=f′（t）（x﹣t）+f（t），设g（x）=f（x）﹣[f′（t）（x﹣t）+f（t）]，∴g（t）=0，g′（t）=0，设h（x）=g′（x）=﹣x﹣f′（t），则当x∈（0，2）时，h′（x）=﹣＞0，∴g′（x）在（0，2）上是增函数，且g′（t）=0，∴当x∈（0，t）时，g′（x）＜0，g（x）在（0，t）上是减函数当x∈（t，2）时，g′（x）＞0，g（x）在（t，2）上是增函数，故当x∈（0，t）或（t，2），g（x）＞g（t）=0，∴当且仅当x=t时，f（x）=f′（t）（x﹣t）+f（t），即当x∈（0，2），曲线y=f（x）与l有且仅有一个公共点．，[选修4-1：几何证明选讲]20．如图所示，已知PA与⊙O相切，A为切点，PBC为割线，弦CD∥AP，AD、BC相交于E点，F为CE上一点，且∠EDF=∠ECD．（1）求证：△DEF∽△PEA；（2）若EB=DE=6，EF=4，求PA的长．【考点】相似三角形的判定．【分析】（1）证明∠APE=∠EDF．又结合∠DEF=∠AEP即可证明△DEF∽△PEA；（2）利用△DEF∽△CED，求EC的长，利用相交弦定理，求EP的长，再利用切割线定理，即可求PA的长．【解答】（本题满分为10分）解：（1）证明：∵CD∥AP，∴∠APE=∠ECD，∵∠EDF=∠ECD，∴∠APE=∠EDF．又∵∠DEF=∠AEP，∴△DEF∽△PEA．…（2）∵∠EDF=∠ECD，∠CED=∠FED，∴△DEF∽△CED，∴DE：EC=EF：DE，即DE2=EF•EC，∵DE=6，EF=4，于是EC=9．∵弦AD、BC相交于点E，∴DE•EA=CE•EB．…又由（1）知EF•EP=DE•EA，故CE•EB=EF•EP，即9×6=4×EP，∴EP=．…∴PB=PE﹣BE=，PC=PE+EC=，由切割线定理得：PA2=PB•PC，即PA2=×，进而PA=．…[选修4-4：坐标系与参数方程]21．设直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=4cosθ．（1）把曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）设直线l与曲线C交于M，N两点，点A（1，0），求+的值．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（1）由曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=4cosθ，即ρ2sin2θ=4ρcosθ，利用互化公式可得直角坐标方程．（2）把直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程可得：3t2﹣8t﹣16=0，可得|t1﹣t2|=， +==．【解答】解：（1）由曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=4cosθ，即ρ2sin2θ=4ρcosθ，可得直角坐标方程：y2=4x．（2）把直线l的参数方程（t为参数）代入曲线C的直角坐标方程可得：3t2﹣8t﹣16=0，∴t1+t2=，t1t2=﹣．∴|t1﹣t2|===．∴+====．[选修4-5：不等式选讲]22．设函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣2|（1）解不等式f（x）≥3（2）若不等式|a+b|+|a﹣b|≥af（x）（a≠0，a，b∈R）恒成立，求实数x的范围．【考点】绝对值三角不等式；绝对值不等式的解法．【分析】（1）由已知条件根据x≤1，1＜x＜2，x≥2三种情况分类讨论，能求出不等式f（x）≥3的解集．（2）由不等式|a+b|+|a﹣b|≥af（x），得≥f（x），从而得到2≥|x﹣1|+|x﹣2|，由此利用分类讨论思想能求出实数x的范围．【解答】解：（1）当x≤1时，f（x）=1﹣x+2﹣x=3﹣2x，∴由f（x）≥3得3﹣2x≥3，解得x≤0，即此时f（x）≥3的解为x≤0；当1＜x＜2时，f（x）=x﹣1+2﹣x=1，∴f（x）≥3不成立；当x≥2时，f（x）=x﹣1+x﹣2=2x﹣3，∴由f（x）≥3得2x﹣3≥3，解得x≥3，即此时不等式f（x）≥3的解为x≥3，∴综上不等式f（x）≥3的解集为{x|x≤0或x≥3}．（2）由不等式|a+b|+|a﹣b|≥af（x），得≥f（x），又∵≥=2，∴2≥f（x），即2≥|x﹣1|+|x﹣2|，当x≥2时，2≥x﹣1+x﹣2，解得2≤x≤；当1≤x＜2时，2≥x﹣1+2﹣x，即2≥1，成立；当x＜1时，2≥1﹣x+2﹣x，解得x，即．∴实数x的范围是[，]．2016年9月2日。
高二（下）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.（）A. 5B. 5iC. 6D. 6i2.( )B.3.某校有高一学生n名，其中男生数与女生数之比为6：5，为了解学生的视力情况，若样本中男生比女生多12人，则n=（）A. 990B. 1320C. 1430D. 15604.（2，k（6，4是（）A. （1，8）B. （-16，-2）C. （1，-8）D. （-16，2）5.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A. 3πB. 4πC. 6πD. 8π6.若函数f（x）a的取值范围为（）A. （-5，+∞）B. [-5，+∞）C. （-∞，-5）D. （-∞，-5]7.设x，y z=x+y的最大值与最小值的比值为（）A. -1B.C. -28.x∈R，都有f（x1）≤f（x）≤f（x2）成立，则|x1-x2|的最小值为（）A. 2B. 1 D. 49.等比数列{a n}的前n项和为S n，若S10=10，S30=30，则S20=（）A. 20B. 10C. 20或-10D. -20或1010.当的数学期望取得最大值时，的数学期望为（）A. 211.若实轴长为2的双曲线C：4个不同的点则双曲线C的虚轴长的取值范围为( )12.已知函数f（x）=2x3+ax+a．过点M（-1，0）引曲线C：y=f（x）的两条切线，这两条切线与y轴分别交于A，B两点，若|MA|=|MB|，则f（x）的极大值点为（）二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.（x7的展开式的第3项为______．14.已知tan（α+β）=1，tan（α-β）=5，则tan2β=______．15.287212,也是著名的数学家,他最早利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆C的对称轴为坐标轴,焦点在y轴上,且椭圆C面积则椭圆C的标准方程为______.16.已知高为H R的球O的球面上，若二面4三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.nn的通项公式．18.2019年春节档有多部优秀电影上映，其中《流浪地球》是比较火的一部．某影评网站统计了100名观众对《流浪地球》的评分情况，得到如表格：（1）根据以上评分情况，试估计观众对《流浪地球》的评价在四星以上（包括四星）的频率；（2）以表中各评价等级对应的频率作为各评价等级对应的概率，假设每个观众的评分结果相互独立．（i）若从全国所有观众中随机选取3名，求恰有2名评价为五星1名评价为一星的概率；（ii）若从全国所有观众中随机选取16名，记评价为五星的人数为X，求X的方差．19.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知b sin A cos C+a sin C cos B A．（1）求tan A的值；（2）若b=1，c=2，AD⊥BC，D为垂足，求AD的长．20.已知B（1，2）是抛物线M：y2=2px（p＞0）上一点，F为M的焦点．（1，M上的两点，证明：|FA|，|FB|，|FC|依次成等比数列．（2）若直线y=kx-3（k≠0）与M交于P（x1，y1），Q（x2，y2）两点，且y1+y2+y1y2=-4，求线段PQ的垂直平分线在x轴上的截距．21.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，∠ABC=60°，PB=PC，E为线段BC的中点，F为线段PA上的一点．（1）证明：平面PAE⊥平面BCP．（2）若PA=AB，二面角A-BD=F求PD与平面BDF所成角的正弦值．22.已知函数f（x）=（x-a）e x（a∈R）．（1）讨论f（x）的单调性；（2）当a=2时，F（x）=f（x）-x+ln x，记函数y=F（x1）上的最大值为m，证明：-4＜m＜-3．答案和解析1.【答案】A【解析】故选：A．直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础题．2.【答案】C【解析】【分析】本题考查元素与集合的关系，子集与真子集，并集及其运算，属于基础题．先分别求出集合A与集合B，再判别集合A与B的关系，以及元素和集合之间的关系，以及并集运算得出结果．【解答】解：A={x|x2-4x＜5}={x|-1＜x＜5}，B={2}={x|0≤x＜4}，∴∉A，B，B⊆A，A∪B={x|-1＜x＜5}．故选C．3.【答案】B【解析】解：某校有高一学生n名，其中男生数与女生数之比为6：5，样本中男生比女生多12人，设男生数为6k，女生数为5k，解得k=12，n=1320．∴n=1320．故选：B．设男生数为6k，女生数为5k，利用分层抽样列出方程组，由此能求出结果．本题考查高一学生数的求法，考查分层抽样等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．4.【答案】B【解析】解：∴k=-3；∴（-16，-2）与共线．k=-3考查向量垂直的充要条件，向量坐标的加法和数量积的运算，共线向量基本定理．5.【答案】A【解析】解：由三视图知，几何体是一个简单组合体，左侧是一个半圆柱，底面的半径是1，高为：4，右侧是一个半圆柱，底面半径为1，高是2，∴，故选：A．几何体是一个简单组合体，左侧是一个半圆柱，底面的半径是1，高为：4，右侧是一个半圆柱，底面半径为1，高是2，根据体积公式得到结果．本题考查由三视图求几何体的体积，考查由三视图还原直观图，本题是一个基础题，题目的运算量比较小，若出现是一个送分题目．6.【答案】B【解析】解：函数f（x）x≤1时，函数是增函数，x＞1时，函数是减函数，由题意可得：f（1）=a+4≥，解得a≥-5．故选：B．利用分段函数的表达式，以及函数的单调性求解最值即可．本题考查分段函数的应用，函数的单调性以及函数的最值的求法，考查计算能力．7.【答案】C【解析】解：作出不等式组对应的平面区域如图：A（2，5），B-2）由z=-x+y，得y=x+z表示，斜率为1纵截距为Z的一组平行直线，平移直线y=x+z，当直线y=x+z经过点A时，直线y=x+z的截距最大，此时z最大值为7，经过B时则z=x+y的最大值与最小值的比值为：．故选：C．作出不等式对应的平面区域，利用z的几何意义，利用直线平移法进行求解即可．本题主要考查线性规划的基本应用，利用z的几何意义是解决线性规划问题的关键，注意利用数形结合来解决．【解析】解：由题意，对任意的∈R，都有f（x1）≤f（x）≤f（x2）成立，∴f（x1）=f（x）min=-3，f（x2）=f（x）max=3．∴|x1-x2|min∵T=4．∴|x1-x2|min=．故选：A．本题由题意可得f（x1）=f（x）min，f（x2）=f（x）max，然后根据余弦函数的最大最小值及周期性可知|x1-x2|min本题主要考查余弦函数的周期性及最大最小的取值问题，本题属中档题．9.【答案】A【解析】解：由等比数列的性质可得：S10，S20-S10，S30-S20成等比数列，（30-S20），解得S20=20，或S20=-10，∵S20-S10=q10S10＞0，∴S20＞0，∴S20=20，故选：A．由等比数列的性质可得：S10，S20-S10，S30-S20成等比数列，列式求解．本题考查了等比数列的通项公式和前n项和及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．10.【答案】D【解析】解：∴EX取得最大值．此时故选：D．利用数学期望结合二次函数的性质求解期望的最值，然后求解Y的数学期望．本题考查数学期望以及分布列的求法，考查计算能力．11.【答案】C【解析】【分析】本题考查了双曲线的性质，动点的轨迹问题，考查了转化思想，属于中档题．设P i（x，y）⇒x2+y2（x2。
高中2016级第二学年末教学质量测试数学（理科）参考答案及评分意见一、选择题（每小题4分，共48分）1~5BCDBA 6~10DAACB11~12BD 二、填空题（每小题3分，共12分）13．(20)-，14．30015．0.616．（-7，-6）三、解答题（每小题10分，共40分）17．解：（1）设“学生甲成为诗词达人”为事件A ，“学生乙成为诗词达人”为事件B ，根据题意，得2136463310102()3C C C P A C C =+=；22333321220()33327P B C C =⨯+=（）（）．……………………………………………………4分（2）根据题意，得ξ=0，1，2，3，343101(0)30C P C ξ===，12643103(1)10C C P C ξ===，21643101(2)2C C P C ξ===，363101(3)6C P C ξ===．∴ξ的分布列为……………………………………………………………………………8分∴数学期望E (ξ)=13110123 1.8301026⨯+⨯+⨯+⨯=．……………………………10分18．解：（1）∵底面ABCD 是菱形，∴AB //CD ，∵CD ⊄面ABE ，AB ⊂面ABE ，∴CD //面ABE ．…………………………………………………………………………3分∵CD ⊂面PCD 且面ABEF ∩面CDP =EF ，∴EF //CD ．……………………………………………………………………………4分（2）取AD 的中点O ，连接OB ，OP ．∵PA =PD =AD =2，故PO ⊥AD ．由平面P AD ⊥平面ABCD ，且平面P AD∩平面ABCD=AD ，ξ0123P 1303101216B PA DFE C y x zO∴PO ⊥平面ABCD ．∵在菱形ABCD 中，∠ABC =120º，∴△ABD 为等边三角形，∴OB ⊥AD ．以OA 所在直线为x 轴，OB 所在直线为y 轴，以OP 所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系，…………………………………………………………………………………6分则(100)(003)(100)A P D -，，，，，，，，，(230)C -，，，于是PD 的中点13(0)22F -，，，PC 的中点33(1)22E -，，，∴33(0)22AF =- ，，，33(2)22AE =- ，，．……………………………………7分令m =(x ，y ，z )为平面AEF 的一个法向量，由00AF AE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ m m ，，得33022332022x z x y z ⎧-+=⎪⎪⎨⎪-++=⎪⎩，，得m =(3，3，33)．………………8分又取平面PAD 的一个法向量为n =(0，1，0)．∴313cos ||||1339⋅<>===m n m n m n ，．故锐二面角P -AF -E 的余弦值为1313．………………………………………………10分19．解：（1）()f x 的定义域为(0，+∞)，(2)(1)()2(2)a x a x f x x a x x-+'=---=，……………………………………………2分（ⅰ）若a ≤0，则()0f x '>，所以()f x 在(0，+∞)上单调递增，无极值点．……3分（ⅱ）若a >0，则由()0f x '=得2a x =．当(0)2a x ∈，时，()0f x '<；当()2a x ∈+∞，时，()0f x '>，∴()f x 在(0)2a ，上单调递减，在()2a +∞，上单调递增，此时()f x 有一个极值点．综上，当a ≤0时，()f x 无极值点；当a >0时，()f x 有一个极值点．……………5分（2）若-2<a <-1，由（1）知，()f x 为(0，+∞)上的增函数，∴12(0)x x ∀∈+∞，，，当12x x >，都有12()()f x f x >．由1212|()()|6||f x f x x x ->-，得1122()6()6f x x f x x ->-．令h (x )=f (x )-6x=x a x a x ln )4(2-+-，则h (x 1)>h (x 2)，即h (x )在(0)+∞，上单调递增．………………………………………7分()2(4)a h x x a x'=-+-≥0，所以a ≤22242(1)81662(1)811(1)x x x x x x x x -+-++==++-+++（）．………………………8分62(1)8(1)x x ++-+≥438-，故a ≤438-．综上，a 的取值范围为(2438]--，．……………………………………………10分20．解：（1）曲线C 的普通方程为22149x y +=．直线l 的极坐标方程变形为：2cos sin 6ρθρθ+=，因此直角坐标方程为2x +y =6．…………………………………………………………4分（2）曲线C 上动点(2cos 3sin )P θθ，到l 的距离为4cos 3sin 6|5sin()6|55d θθθα+-+-==||，其中α为锐角且4tan 3α=，………………………………………8分当sin()1θα+=-时，d 取得最大值，最大值为1155，当sin()1θα+=时，d 取得最小值，最小值为55．……………………………10分21．解：（1）当x ≤-1时，原不等式变为3-x -x -1≥6得x ≤-2；当-1<x <3时，原不等式变为3-x +x +1≥6，不成立；当x ≥3时，原不等式变为x -3+x +1≥6得x ≥4．综上，原不等式的解集为2]∞（-，-∪[4)+∞，．……………………………………5分（2）因为|x -3|+|x+1|≥|(x -3)-(x+1)|=4，当且仅当-1≤x ≤3时，等号成立，所以()f x 的最小值等于4．……………………………………………………………8分对于任意的实数x ∈R ，不等式m 2-m -2≤)(x f 恒成立，即m 2-m -2≤4．故-2≤m ≤3．………………………………………………………10分。
绵阳市高中2017级第二学期末教学质量测试数学（理科）一、选择题1.命题“00x ∃<，0112x ⎛⎫< ⎪⎝⎭”的否定是（ ）A.00x ∃≥，0112x ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭B.0x ∀≥，112x⎛⎫≥ ⎪⎝⎭C.0x ∀<，112x ⎛⎫> ⎪⎝⎭D.0x ∀<，112x⎛⎫⎪⎭≥⎝2.若复数()()211 i z a a a R =-++∈u r是纯虚数，则a =（ ） A.1B.0C.1-D.1±3.在高台跳水运动中，s t 时相对于水面的高度（单位：m ）是()24.9 6.510h t t t =-++，则该高台跳水运动员在1t s =时瞬时速度的大小为（ ） A.11.6m /s B.1.6m /sC.3.3m /sD.4.9m /s4.“不等式101x x +≤-成立”是“不等式()()110x x -+≤成立”的（ ） A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.已知命题:p 对1x ∀，()212x R x x ∈≠u r ，()()12120f x f x x x ->-成立，则()f x 在()0,+∞上为增函数；命题0:x R q ∃∈u r ，20210x x -+<，则下列命题为真命题的是（ ） A.p q ∨B.p q ∧C.()p q ⌝∨D.()()p q ⌝∧⌝6.某学习小组有3名男生和2名女生，现从该小组中先后随机抽取两名同学进行成果展示，则在抽到第1个同学是男生的条件下，抽到第2个同学也是男生的概率为（ ） A.35B.310C.12D.257.用0，1，2，3，4这5个数字组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有（ ） A.24个B.30个C.36个D.42个8.某电子元件生产厂家新引进一条产品质量检测线，现对检测线进行上线的检测试验：从装有5个正品和1个次品的同批次电子元件的盒子中随机抽取出3个，再将电子元件放回.重复6次这样的试验，那么“取出的3个电子元件中有2个正品，1个次品”的结果恰好发生3次的概率是（ ） A.316B.516C.716D.9169.如图，平行六面体1111ABCD A B C D -中，11AB AD AA ===，1120BAD BAA ∠=∠=︒，160DAA ∠=︒，则1AC =（ ）A.1B.210.(1n+的展开式中各项系数之和为243，设()()()2220122111nnn xa a x a x a x =+++++⋅⋅⋅++，则3a =（ ） A.120B.120-C.45D.45-11.直三棱柱ABC A B C '''-中，AC BC AA '==，90ACB ∠=︒，E 、D 分别为AB 、BB '的中点，则异面直线CE 与C D '所成角的余弦值为（ ）A.4B.5C.6D.512.已知函数()313ln xa f x x a=-在其定义域()0,+∞内既有极大值也有极小值，则实数a 的取值范围是（ ）A.()2e0,11,e ⎛⎫⋃ ⎪⎝⎭B.()0,1C.2ee ,⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ D.2e1,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭二、填空题13.设i 是虚数单位，则1i2i-=+______. 14.若曲线ln y x x =上在点P 处的切线与直线210x y +-=垂直，则点P 的坐标为______. 15.()51a b -+的展开式中，2ab 项的系数为______.（用数字作答）16.已知()()()12ln x a x x a R =-+∈u r在定义域上满足()0f x ≤恒成立，则a =______.三、解答题17.某超市举办酬宾活动，单次购物超过100元的顾客可参与一次抽奖活动，活动规则如下：盒子中装有大小和形状完全相同的7个小球，其中3个红球、2个白球和2个黑球，从中不放回地随机抽取2个球，每个球被抽到的机会均等.每抽到1个红球记0分，每抽到1个白球记50分，每抽到1个黑球记100分.如果抽取2个球总得分200分可获得10元现金，总得分低于100分没有现金，其余得分可获得5元现金. （1）设抽取2个球总得分为随机变量X ，求随机变量X 的分布列； （2）设每位顾客一次抽奖获得现金Y 元，求Y 的数学期望.18.如图，四棱锥P ABCD -中，2PD CD ==，4AD AB ==，PB =23PDC π∠=，//AB DC ，BC DC ⊥.（1）求证：PD BC ⊥；（2）求钝二面角A PD C --的余弦值.19.已知函数()2e xf x x =-.（1）当0x ≥时，求()f x 的最小值；（2）若存在实数1x ，2x ，使得()()221112323ln 42x f x x -+-=+，求21x x -的最小值. 20.在平面直角坐标xOy 中，直线l的参数方程为1,2,2x t y a t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数，a 为常数），以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2sin 4sin ρθθρ+=.（1）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）设直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点，若24AB =，求a 的值. 21.设函数()22f x x x m =++-. （1）当1m =时，解不等式()3f x x ≤+；（2）若存在实数x ，使得不等式()3f x m x ≤+-成立，求实数m 的取值范围.绵阳市高中2017级第二学年末教学质量测试 数学（理科）试题参考答案及评分标准一、选择题1.D2.A3.C4.A5.A6.C7.B8.B9.D10.B11.B12.D二、填空题 13.13i 55- 14.()e,e 15.30- 16.2 三、解答题17.解：（1）随机变量X 的所有可能取值为0，50，100，150，200.()2327107C P X C ===，()1132272507C C P X C ===，()2112322711003C C C P X C +===， ()112227415021C C P X C ===，()2227120021C P X C ===.∴随机变量X 的分布列为（2）由（1）知()3111650510*******E Y ∴=⨯+⨯+⨯=.18.（1）证明：在CDP △中，2PD CD ==，且23PDC π∠=， 由余弦定理，得PC =.过点D 作DE AB ⊥，可知四边形BCDE 是矩形，DE BC ∴=，且2AE EB ==.又4AD =，故DE BC ==于是有(((222222BC PC PB +=+==，即BC PC ⊥.又BC DC ⊥，且PC DC C ⋂=，BC ∴⊥平面PCD ， PD BC ∴⊥.（2）解：过点C 在平面PCD 内作直线Cz CD ⊥，由（1）可知BC ，DC 和直线Cz 两两垂直，如图，以点C 为坐标原点建立空间直角坐标系C xyz -.由题意，可得()2,0,0D，(P，()4,A ，(DP ∴=u u u r，()2,DA =u u u r.设平面PAD 的法向量为(),,x y z =m ，由0,0,DP DA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u u u r m m得0,20.x x ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩令x =1y =，1z =，即()=m . 再取平面PCD 的一个法向量()0,1,0=n . 设二面角A PD C --的大小为θ，则cos cos ,θ⋅=-=-==m m n n m n ， 即二面角A PD C --的余弦值为19.解：（1）()2x f x e x '=-Q ，()2x f x e ''=-⎡⎤⎣⎦， 由20xe ->，解得ln 2x >， 由20x e -<，解得0ln 2x ≤<，()f x '∴在[)0,ln 2单调递减，在()ln 2,+∞单调递增， ()()ln 222ln 20f x f ''∴≥=->， ()f x ∴在[)0,+∞上单调递增，∴当0x ≥时，()f x 的最小值为()01f =.（2）设()()221112323ln 42x f x x m -+-=+=， 则12x 321eln 42x m -=+=. 1x R ∈u rQ ，则1230x e ->，即0m >，故123ln x m -=，21ln24x m =-， 1ln 32m x +∴=，1422m x e -=，即1421ln 322m m x x e-+-=-，0m >. 令()()14ln 3202xx h x ex +=->， 则()14122x h x ex-'=-，因为142x e-和12x-在()0,+∞上单调递增， 所以()h x '在()0,+∞上单调递增，且104h ⎛⎫'=⎪⎝⎭， ∴当14x >时，()0h x '>， 当104x <<时，()0h x '<， ()h x ∴在10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，∴当14x =时，()h x 取最小值，此时11ln 242h ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 即21x x -最小值是1ln 22+. 20.解：（1）Q 直线l的参数方程为1,2,x t y a ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数，a 为常数），消去参数t 得l0y a +-=. 由2sin 4sin ρθθρ+=， 得222sin 4sin ρθρθρ+= 即2224y y x y +=+， 整理得24x y =，故曲线C 的直角坐标方程为24x y =.（2）将直线l的参数方程代入曲线中得2160t a +-=， 于是由()6430a ∆=+>，解得3a >-，且12t t +=-1216t t a =-，1224AB t t ∴=-===，解得6a =.21.解：（1）()2213f x x x x =++-≤+，于是当1x ≥时，原不等式等价于33x x ≤+，解得312x ≤≤； 当21x -<<时，原不等式等价于43x x -+≤+，解得112x ≤≤； 当2x ≤-时，原不等式等价于33x x -≤+，无解. 综上，原不等式的解集为13,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦.（2）由题意，存在实数x ，使得不等式23x x m ++-≤成立， 则只需()min23x x m++-≤，又222x x m x x m m ++-≥+-+=+，当()()20x x m +-≤时取等号. 所以23m +≤， 解得51m -≤≤.。
