2017创新导学案(人教版·文科数学)新课标高考总复习专项演练：第六章 数列 6-1 Word版含答案

2-7A 组 专项基础训练 (时间：45分钟)1．函数y ＝5x 与函数y ＝－15x 的图象关于( )A ．x 轴对称B ．y 轴对称C ．原点对称D ．直线y ＝x 对称【解析】 y ＝－15x ＝－5－x ，可将函数y ＝5x 中的x ，y 分别换成－x ，－y 得到，故两者图象关于原点对称．【答案】 C2．(2015·浙江)函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫x －1x cos x (－π≤x ≤π且x ≠0)的图象可能为( )【解析】 根据函数的奇偶性及特值法进行判断．函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫x －1x cos x (－π≤x ≤π且x ≠0)为奇函数，排除选项A ，B ；当x ＝π时，f (x )＝⎝⎛⎭⎫π－1πcos π＝1π－π<0，排除选项C ，故选D.【答案】 D3．(2016·揭阳模拟)设定义在－1，7]上的函数y ＝f (x )的图象如图所示，则关于函数y ＝1f （x ）的单调区间表述正确的是( )A ．在－1，1]上单调递增B ．在(0，1]上单调递减，在1，3)上单调递增C ．在5，7]上单调递增D ．在3，5]上单调递增【解析】 由题图可知，f (0)＝f (3)＝f (6)＝0，所以函数y ＝1f （x ）在x ＝0，x ＝3，x ＝6时无定义，故排除A 、C 、D ，选B.【答案】 B4．如图，函数f (x )的图象为折线ACB ，则不等式f (x )≥log 2(x ＋1)的解集是( )A ．{x |－1<x ≤0}B ．{x |－1≤x ≤1}C ．{x |－1<x ≤1}D ．{x |－1<x ≤2} 【解析】 借助函数的图象求解该不等式． 令g (x )＝y ＝log 2(x ＋1)，作出函数g (x )图象如图．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，y ＝log 2（x ＋1），得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1. ∴结合图象知不等式f (x )≥log 2(x ＋1)的解集为{x |－1<x ≤1}．【答案】 C5．(2014·山东)已知函数f (x )＝|x －2|＋1，g (x )＝kx .若方程f (x )＝g (x )有两个不相等的实根，则实数k 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫0，12B.⎝⎛⎭⎫12，1 C ．(1，2) D ．(2，＋∞)【解析】 先作出函数f (x )＝|x －2|＋1的图象，如图所示，当直线g (x )＝kx 与直线AB 平行时斜率为1，当直线g (x )＝kx 过A 点时斜率为12，故f (x )＝g (x )有两个不相等的实根时，k 的范围为⎝⎛⎭⎫12，1.【答案】 B6．已知f (x )＝⎝⎛⎭⎫13x，若f (x )的图象关于直线x ＝1对称的图象对应的函数为g (x )，则g (x )的表达式为________．【解析】 设g (x )上的任意一点A (x ，y )，则该点关于直线x ＝1的对称点为B (2－x ，y )，而该点在f (x )的图象上．∴y ＝⎝⎛⎭⎫132－x＝3x －2，即g (x )＝3x －2.【答案】 g (x )＝3x －27．用min{a ，b ，c }表示a ，b ，c 三个数中的最小值．设f (x )＝min{2x ，x ＋2，10－x }(x ≥0)，则f (x )的最大值为________．【解析】 f (x )＝min{2x ，x ＋2，10－x }(x ≥0)的图象如图．令x ＋2＝10－x ，得x ＝4. 当x ＝4时，f (x )取最大值， f (4)＝6. 【答案】 68．(2015·安徽)在平面直角坐标系xOy 中，若直线y ＝2a 与函数y ＝|x －a |－1的图象只有一个交点，则a 的值为________．【解析】 画出函数y ＝|x －a |－1的图象与直线y ＝2a ，利用数形结合思想求解即可． 函数y ＝|x －a |－1的图象如图所示，因为直线y ＝2a 与函数y ＝|x －a |－1的图象只有一个交点， 故2a ＝－1，解得a ＝－12.【答案】 －129．已知函数f (x )＝x1＋x .(1)画出f (x )的草图； (2)指出f (x )的单调区间．【解析】 (1)f (x )＝x 1＋x ＝1－1x ＋1，函数f (x )的图象是由反比例函数y ＝－1x 的图象向左平移1个单位后，再向上平移1个单位得到，图象如图所示．(2)由图象可以看出，函数f (x )有两个单调递增区间： (－∞，－1)，(－1，＋∞)．10．已知函数f (x )＝2x ，当m 取何值时方程|f (x )－2|＝m 有一个解，两个解？ 【解析】 令F (x )＝|f (x )－2|＝|2x －2|， G (x )＝m ，画出F (x )的图象如图所示．由图象看出，当m ＝0或m ≥2时，函数F (x )与G (x )的图象只有一个交点，原方程有一个解；当0<m <2时，函数F (x )与G (x )的图象有两个交点，原方程有两个解． B 组 专项能力提升 (时间：20分钟)11．(2016·唐山模拟)函数y ＝e |ln x |－|x －1|的图象大致是( )【解析】 函数的定义域为(0，＋∞)． 当0<x <1时，y ＝e－ln x－1＋x ＝1x－1＋x ；当x ≥1时，y ＝e ln x ＋1－x ＝x ＋1－x ＝1，故选项D 正确． 【答案】 D12．函数y ＝11－x 的图象与函数y ＝2sin πx (－2≤x ≤4)的图象所有交点的横坐标之和等于( )A ．2B ．4C ．6D ．8 【解析】 令1－x ＝t ，则x ＝1－t .由－2≤x ≤4，知－2≤1－t ≤4，所以－3≤t ≤3. 又y ＝2sin πx ＝2sin π(1－t )＝2sin πt . 在同一坐标系下作出y ＝1t和y ＝2sin πt 的图象．由图可知两函数图象在－3，3]上共有8个交点，且这8个交点两两关于原点对称． 因此这8个交点的横坐标的和为0， 即t 1＋t 2＋…＋t 8＝0.也就是1－x 1＋1－x 2＋…＋1－x 8＝0， 因此x 1＋x 2＋…＋x 8＝8. 【答案】 D13．(2014·天津)已知函数f (x )＝|x 2＋3x |，x ∈R .若方程f (x )－a |x －1|＝0恰有4个互异的实数根，则实数a 的取值范围为________．【解析】 设y 1＝f (x )＝|x 2＋3x |，y 2＝a |x －1|， 在同一直角坐标系中作出y 1＝|x 2＋3x |， y 2＝a |x －1|的图象如图所示．由图可知f (x )－a |x －1|＝0有4个互异的实数根等价于y 1＝|x 2＋3x |与y 2＝a |x －1|的图象有4个不同的交点，所以，①⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x 2－3x ，y ＝a （1－x ）(－3<x <0)有两组不同解．消去y 得x 2＋(3－a )x ＋a ＝0有两个不等实根x 1，x 2， ∴Δ＝(3－a )2－4a >0，即a 2－10a ＋9>0，又∵x 1＋x 2＝a －3<0，x 1·x 2＝a >0，∴0<a <1.②⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2＋3x ，y ＝a （x －1）(x >1)有两组不同解． 消去y 得x 2＋(3－a )x ＋a ＝0有两不等实根x 3、x 4， ∴Δ＝a 2－10a ＋9>0，又∵x 3＋x 4＝a －3>2，∴a >9. 综上可知，0<a <1或a >9. 【答案】 (0，1)∪(9，＋∞)14．(2016·湖北重点中学联考)设函数y ＝f (x ＋1)是定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的偶函数，在区间(－∞，0)是减函数，且图象过点(1，0)，则不等式(x －1)f (x )≤0的解集为________．【解析】 y ＝f (x ＋1)向右平移1个单位得到y ＝f (x )的图象，由已知可得f (x )的图象的对称轴为x ＝1，过定点(2，0)，且函数在(－∞，1)上递减，在(1，＋∞)上递增，则f (x )的大致图象如图所示．不等式(x －1)f (x )≤0可化为⎩⎪⎨⎪⎧x >1，f （x ）≤0或⎩⎪⎨⎪⎧x <1，f （x ）≥0.由图可知符合条件的解集为(－∞，0]∪(1，2]． 【答案】 (－∞，0]∪(1，2]15．已知函数f (x )＝x |m －x |(x ∈R )，且f (4)＝0. (1)求实数m 的值； (2)作出函数f (x )的图象；(3)根据图象指出f (x )的单调递减区间；(4)若方程f (x )＝a 只有一个实数根，求a 的取值范围． 【解析】 (1)∵f (4)＝0，∴4|m －4|＝0，即m ＝4. (2)f (x )＝x |x －4|＝⎩⎪⎨⎪⎧x （x －4）＝（x －2）2－4，x ≥4，－x （x －4）＝－（x －2）2＋4，x <4. f (x )的图象如图所示．(3)f (x )的减区间是2，4]．(4)从f (x )的图象可知，当a >4或a <0时，f (x )的图象与直线y ＝a 只有一个交点，方程f (x )＝a 只有一个实数根，即a 的取值范围是(－∞，0)∪(4，＋∞)．。

12-1A组专项基础训练(时间：45分钟)1．(教材改编)数列2，5，11，20，x，47，…中的x等于()A．28B．32C．33 D．27【解析】5－2＝3，11－5＝6，20－11＝9，推出x－20＝12，所以x＝32.【答案】B2．正弦函数是奇函数，f(x)＝sin(x2＋1)是正弦函数，因此f(x)＝sin(x2＋1)是奇函数，以上推理() A．结论正确B．大前提不正确C．小前提不正确D．全不正确【解析】f(x)＝sin(x2＋1)不是正弦函数，所以小前提错误．【答案】C3．下列推理是归纳推理的是()A．A，B为定点，动点P满足|P A|＋|PB|＝2a>|AB|，则P点的轨迹为椭圆B．由a1＝1，a n＝3n－1，求出S1，S2，S3，猜想出数列的前n项和S n的表达式C．由圆x2＋y2＝r2的面积πr2，猜想出椭圆x2a2＋y2b2＝1的面积S＝πabD．科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇【解析】从S1，S2，S3猜想出数列的前n项和S n，是从特殊到一般的推理，所以B是归纳推理，故应选B.【答案】B4．给出下列三个类比结论：①(ab)n＝a n b n与(a＋b)n类比，则有(a＋b)n＝a n＋b n；②log a(xy)＝log a x＋log a y与sin(α＋β)类比，则有sin(α＋β)＝sin αsin β；③(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2与(a＋b)2类比，则有(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2.其中正确结论的个数是()A．0 B．1C ．2D ．3【解析】 (a ＋b )n ≠a n ＋b n (n ≠1，a ·b ≠0)，故①错误． sin(α＋β)＝sin αsin β不恒成立．如α＝30°，β＝60°，sin 90°＝1，sin 30°·sin 60°＝34，故②错误． 由向量的运算公式知③正确． 【答案】 B5．若数列{a n }是等差数列，则数列{b n }⎝⎛⎭⎫b n ＝a 1＋a 2＋…＋a n n 也为等差数列．类比这一性质可知，若正项数列{c n }是等比数列，且{d n }也是等比数列，则d n 的表达式应为( )A ．d n ＝c 1＋c 2＋…＋c n nB ．d n ＝c 1·c 2·…·c nnC ．d n ＝ n c n1＋c n 2＋…＋c n nnD ．d n ＝n c 1·c 2·…·c n【解析】 若{a n }是等差数列， 则a 1＋a 2＋…＋a n ＝na 1＋n （n －1）2d ，∴b n ＝a 1＋（n －1）2d ＝d 2n ＋a 1－d2，即{b n }为等差数列； 若{c n }是等比数列，则c 1·c 2·…·c n ＝c n1·q 1＋2＋…＋(n －1)＝c n 1·qn （n －1）2，∴d n ＝nc 1·c 2·…·c n ＝c 1·q n －12，即{d n }为等比数列，故选D. 【答案】 D6．仔细观察下面○和●的排列规律：○ ● ○○ ● ○○○ ● ○○○○ ● ○○○○○ ● ○○○○○○ ●……若依此规律继续下去，得到一系列的○和●，那么在前120个○和●中，●的个数是________．【解析】 进行分组○●|○○●|○○○●|○○○○●|○○○○○●|○○○○○○●|……， 则前n 组两种圈的总数是f (n )＝2＋3＋4＋…＋(n ＋1) ＝n （n ＋3）2， 易知f (14)＝119，f (15)＝135，故n ＝14. 【答案】 147．在平面几何中，有“正三角形内切圆半径等于这个正三角形高的13”．拓展到空间，类比平面几何的上述正确结论，则正四面体的内切球半径等于这个正四面体的高的________．【解析】 设正三角形的边长为a ，高为h ，内切圆半径为r ，由等面积法知3ar ＝ah ，所以r ＝13h ；同理，由等体积法知4SR ＝HS ，所以R ＝14H .【答案】 148．(2015·福建)一个二元码是由0和1组成的数字串x 1x 2…x n (n ∈N *)，其中x k (k ＝1，2，…，n )称为第k 位码元．二元码是通信中常用的码，但在通信过程中有时会发生码元错误(即码元由0变为1，或者由1变为0)．已知某种二元码x 1x 2…x 7的码元满足如下校验方程组： ⎩⎪⎨⎪⎧x 4⊕x 5⊕x 6⊕x 7＝0，x 2⊕x 3⊕x 6⊕x 7＝0，x 1⊕x 3⊕x 5⊕x 7＝0，其中运算⊕定义为：0⊕0＝0，0⊕1＝1，1⊕0＝1，1⊕1＝0.现已知一个这种二元码在通信过程中仅在第k 位发生码元错误后变成了1101101，那么利用上述校验方程组可判定k 等于________．【解析】 根据校验方程组推理．因为x 2⊕x 3⊕x 6⊕x 7＝0，所以x 2，x 3，x 6，x 7都正确．又因为x 4⊕x 5⊕x 6⊕x 7＝1，x 1⊕x 3⊕x 5⊕x 7＝1，故x 1和x 4都错误，或仅x 5错误．因为条件中要求仅在第k 位发生码元错误，故只有x 5错误．【答案】 59．已知等差数列{a n }的公差d ＝2，首项a 1＝5. (1)求数列{a n }的前n 项和S n ；(2)设T n ＝n (2a n －5)，求S 1，S 2，S 3，S 4，S 5；T 1，T 2，T 3，T 4，T 5，并归纳出S n 与T n 的大小规律． 【解析】 (1)∵a 1＝5，d ＝2，∴S n ＝5n ＋n （n －1）2×2＝n (n ＋4)．(2)∵T n ＝n (2a n －5)＝n 2(2n ＋3)－5]＝4n 2＋n . ∴T 1＝5，T 2＝4×22＋2＝18，T 3＝4×32＋3＝39， T 4＝4×42＋4＝68，T 5＝4×52＋5＝105.S 1＝5，S 2＝2×(2＋4)＝12，S 3＝3×(3＋4)＝21， S 4＝4×(4＋4)＝32，S 5＝5×(5＋4)＝45. 由此可知S 1＝T 1，当2≤n ≤5，n ∈N 时，S n <T n .归纳猜想：当n ＝1时，S n ＝T n ；当n ≥2，n ∈N 时，S n <T n .10．(2015·辽宁铁岭二模改编)已知椭圆具有性质：若M 、N 是椭圆C 上关于原点对称的两个点，点P 是椭圆上任意一点，当直线PM 、PN 的斜率都存在，并记为k PM 、k PN 时，那么k PM 与k PN 之积是与点P 的位置无关的定值．试对双曲线x 2a 2－y 2b2＝1写出类似的性质．【解析】 类似的性质为：若M 、N 是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1上关于原点对称的两个点，点P 是双曲线上任意一点，当直线PM 、PN 的斜率都存在，并记为k PM 、k PN 时，那么k PM 与k PN 之积是与点P 的位置无关的定值．证明：设点M 、P 的坐标分别为(m ，n )、(x ，y )，则N (－m ，－n )． 因为点M (m ，n )在已知双曲线上，所以n 2＝b 2a2m 2－b 2.同理，y 2＝b 2a 2x 2－b 2.则k PM ·k PN ＝y －n x －m ·y ＋n x ＋m ＝y 2－n 2x 2－m 2＝b 2a 2（x 2－m 2）x 2－m 2＝b 2a 2(定值)．B 组 专项能力提升 (时间：30分钟)11．已知①正方形的对角线相等；②矩形的对角线相等；③正方形是矩形．根据“三段论”推理出一个结论．则这个结论是( )A ．正方形的对角线相等B ．矩形的对角线相等C ．正方形是矩形D ．其他【解析】 根据演绎推理的特点，正方形与矩形是特殊与一般的关系，所以结论是正方形的对角线相等．【答案】 A12．设⊕是R 的一个运算，A 是R 的非空子集．若对于任意a ，b ∈A ，有a ⊕b ∈A ，则称A 对运算⊕封闭．下列数集对加法、减法、乘法和除法(除数不等于零)四则运算都封闭的是( )A ．自然数集B ．整数集C ．有理数集D ．无理数集【解析】 A 错：因为自然数集对减法、除法不封闭；B 错：因为整数集对除法不封闭；C 对：因为任意两个有理数的和、差、积、商都是有理数，故有理数集对加、减、乘、除法(除数不等于零)四则运算都封闭；D 错：因为无理数集对加、减、乘、除法都不封闭．【答案】 C13．如图(1)若从点O 所作的两条射线OM 、ON 上分别有点M 1、M 2与点N 1、N 2，则三角形面积之比S △OM 1N 1S △OM 2N 2＝OM 1OM 2·ON 1ON 2.如图(2)，若从点O 所作的不在同一平面内的三条射线OP 、OQ 和OR 上分别有点P 1、P 2，点Q 1、Q 2和点R 1、R 2，则类似的结论为________________．【解析】 考查类比推理问题，由图看出三棱锥P 1­OR 1Q 1及三棱锥P 2­OR 2Q 2的底面面积之比为OQ 1OQ 2·OR 1OR 2，又过顶点分别向底面作垂线，得到高的比为OP 1OP 2， 故体积之比为VO ­P 1Q 1R 1VO ­P 2Q 2R 2＝OP 1OP 2·OQ 1OQ 2·OR 1OR 2.【答案】VO ­P 1Q 1R 1VO ­P 2Q 2R 2＝OP 1OP 2·OQ 1OQ 2·OR 1OR 214．数列{a n }的前n 项和记为S n ，已知a 1＝1，a n ＋1＝n ＋2nS n (n ∈N *)．证明： (1)数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是等比数列；(2)S n ＋1＝4a n .【证明】 (1)∵a n ＋1＝S n ＋1－S n ，a n ＋1＝n ＋2n S n ，∴(n ＋2)S n ＝n (S n ＋1－S n )， 即nS n ＋1＝2(n ＋1)S n . 故S n ＋1n ＋1＝2·S nn ，(小前提)故⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是以2为公比，1为首项的等比数列．(结论)(大前提是等比数列的定义这里省略了) (2)由(1)可知S n ＋1n ＋1＝4·S n －1n －1(n ≥2)，∴S n ＋1＝4(n ＋1)·S n －1n －1＝4·n －1＋2n －1·S n －1＝4a n (n ≥2)．(小前提)又∵a 2＝3S 1＝3，S 2＝a 1＋a 2＝1＋3＝4＝4a 1，(小前提) ∴对于任意正整数n ，都有S n ＋1＝4a n .(结论)15．(2015·汉中调研)对于三次函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d (a ≠0)，给出定义：设f ′(x )是函数y ＝f (x )的导数，f ″(x )是f ′(x )的导数，若方程f ″(x )＝0有实数解x 0，则称点(x 0，f (x 0))为函数y ＝f (x )的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．若f (x )＝13x 3－12x 2＋3x －512，请你根据这一发现．(1)求函数f (x )＝13x 3－12x 2＋3x －512的对称中心；(2)计算f ⎝⎛⎭⎫12 013＋f ⎝⎛⎭⎫22 013＋f ⎝⎛⎭⎫32 013＋f ⎝⎛⎭⎫42 013＋…＋f ⎝⎛⎭⎫2 0122 013. 【解析】 (1)f ′(x )＝x 2－x ＋3，f ″(x )＝2x －1， 由f ″(x )＝0，即2x －1＝0，解得x ＝12.f ⎝⎛⎭⎫12＝13×⎝⎛⎭⎫123－12×⎝⎛⎭⎫122＋3×12－512＝1. 由题中给出的结论，可知函数f (x )＝13x 3－12x 2＋3x －512的对称中心为⎝⎛⎭⎫12，1. (2)由(1)，知函数f (x )＝13x 3－12x 2＋3x －512的对称中心为⎝⎛⎭⎫12，1， 所以f ⎝⎛⎭⎫12＋x ＋f ⎝⎛⎭⎫12－x ＝2， 即f (x )＋f (1－x )＝2. 故f ⎝⎛⎭⎫12 013＋f ⎝⎛⎭⎫2 0122 013＝2， f ⎝⎛⎭⎫22 013＋f ⎝⎛⎭⎫2 0112 013＝2， f ⎝⎛⎭⎫32 013＋f ⎝⎛⎭⎫2 0102 013＝2， …f ⎝⎛⎭⎫2 0122 013＋f ⎝⎛⎭⎫12 013＝2.所以f ⎝⎛⎭⎫12 013＋f ⎝⎛⎭⎫22 013＋f ⎝⎛⎭⎫32 013＋f ⎝⎛⎭⎫42 013＋…＋f ⎝⎛⎭⎫2 0122 013＝12×2×2 012＝2 012.。

2-9A 组 专项基础训练(时间：45分钟)1．(2016·临沂质检)某家具的标价为132元，若降价以九折出售(即优惠10%)，仍可获利10%(相对进货价)，则该家具的进货价是( )A ．118元B ．105元C ．106元D ．108元【解析】 设进货价为a 元，由题意知132×(1－10%)－a ＝10%·a ，解得a ＝108.【答案】 D2．若一根蜡烛长20 cm ，点燃后每小时燃烧5 cm ，则燃烧剩下的高度h (cm)与燃烧时间t (小时)的函数关系用图象表示为( )【解析】 根据题意得解析式为h ＝20－5t (0≤t ≤4)，其图象为B.【答案】 B3．利民工厂某产品的年产量在150吨至250吨之间，年生产的总成本y (万元)与年产量x (吨)之间的关系可近似地表示为y ＝x 210－30x ＋4 000，则每吨的成本最低时的年产量为( ) A ．240吨 B ．200吨C ．180吨D ．160吨【解析】 依题意，得每吨的成本为y x ＝x 10＋4 000x－30， 则y x ≥2 x 10·4 000x－30＝10，当且仅当x 10＝4 000x，即x ＝200时取等号， 因此，当每吨成本最低时，年产量为200吨，故选B.【答案】 B4．某电信公司推出两种手机收费方式：A 种方式是月租20元，B 种方式是月租0元．一个月的本地网内打出电话时间t (分钟)与打出电话费s (元)的函数关系如图，当打出电话150分钟时，这两种方式电话费相差( )A ．10元B ．20元C ．30元 D.403元 【解析】 设A 种方式对应的函数解析式为s ＝k 1t ＋20，B 种方式对应的函数解析式为s ＝k 2t ，当t ＝100时，100k 1＋20＝100k 2，∴k 2－k 1＝15， t ＝150时，150k 2－150k 1－20＝150×15－20＝10. 【答案】 A5．某汽车销售公司在A ，B 两地销售同一种品牌的汽车，在A 地的销售利润(单位：万元)为y 1＝4.1x －0.1x 2，在B 地的销售利润(单位：万元)为y 2＝2x ，其中x 为销售量(单位：辆)，若该公司在两地共销售16辆该种品牌的汽车，则能获得的最大利润是( )A ．10.5万元B ．11万元C ．43万元D ．43.025万元【解析】 设公司在A 地销售该品牌的汽车x 辆，则在B 地销售该品牌的汽车(16－x )辆，所以可得利润y ＝4.1x －0.1x 2＋2(16－x )＝－0.1x 2＋2.1x ＋32＝－0.1⎝⎛⎭⎫x －2122＋0.1×2124＋32. 因为x ∈0，16]，且x ∈N ，所以当x ＝10或11时，总利润取得最大值43万元．【答案】 C6．如图是某质点在4秒钟内作直线运动时，速度函数v ＝v (t )的图象，则该质点运动的总路程为________ cm.【解析】 总路程为(2＋4)×1×12＋4×1＋12×2×4＝11. 【答案】 117．(2016·长春模拟)一个容器装有细沙a cm 3，细沙从容器底下一个细微的小孔慢慢地匀速漏出，t min 后剩余的细沙量为y ＝a e －bt (cm 3)，经过8 min 后发现容器内还有一半的沙子，则再经过________ min ，容器中的沙子只有开始时的八分之一．【解析】 当t ＝0时，y ＝a ，当t ＝8时，y ＝a e－8b ＝12a ， ∴e －8b ＝12，容器中的沙子只有开始时的八分之一时， 即y ＝a e－bt ＝18a ， e －bt ＝18＝(e －8b )3＝e －24b ，则t ＝24. 所以再经过16 min.【答案】 168．某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3 km(不超过3 km 按起步价付费)；超过3 km 但不超过8 km 时，超过部分按每千米2.15元收费；超过8 km 时，超过部分按每千米2.85元收费，另每次乘坐需付燃油附加费1元．现某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此次出租车行驶了________ km.【解析】 设出租车行驶x km 时，付费y 元，则y ＝⎩⎪⎨⎪⎧9，0<x ≤3，8＋2.15（x －3）＋1，3<x ≤8，8＋2.15×5＋2.85（x －8）＋1，x >8，由y ＝22.6，解得x ＝9.【答案】 99．某地上年度电价为0.8元，年用电量为1亿千瓦时．本年度计划将电价调至0.55元～0.75元之间，经测算，若电价调至x 元，则本年度新增用电量y (亿千瓦时)与(x －0.4)(元)成反比例．又当x ＝0.65时，y ＝0.8.(1)求y 与x 之间的函数关系式；(2)若每千瓦时电的成本价为0.3元，则电价调至多少时，本年度电力部门的收益将比上年度增加20%？收益＝用电量×(实际电价－成本价)]【解析】 (1)∵y 与(x －0.4)成反比例，∴设y ＝k x －0.4(k ≠0)．把x ＝0.65，y ＝0.8代入上式，得0.8＝k 0.65－0.4，k ＝0.2. ∴y ＝0.2x －0.4＝15x －2， 即y 与x 之间的函数关系式为y ＝15x －2. (2)根据题意，得⎝⎛⎭⎫1＋15x －2·(x －0.3) ＝1×(0.8－0.3)×(1＋20%)．整理，得x 2－1.1x ＋0.3＝0，解得x 1＝0.5，x 2＝0.6.经检验x 1＝0.5，x 2＝0.6都是所列方程的根．∵x 的取值范围是0.55～0.75，故x ＝0.5不符合题意，应舍去．∴x ＝0.6.∴当电价调至0.6元时，本年度电力部门的收益将比上年度增加20%.10．“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点．研究表明：“活水围网”养鱼时，某种鱼在一定的条件下，每尾鱼的平均生长速度v (单位：千克/年)是养殖密度x (单位：尾/立方米)的函数．当x 不超过4尾/立方米时，v 的值为2千克/年；当4<x ≤20时，v 是x 的一次函数，当x 达到20尾/立方米时，因缺氧等原因，v 的值为0千克/年．(1)当0<x ≤20时，求函数v 关于x 的函数表达式；(2)当养殖密度x 为多大时，鱼的年生长量(单位：千克/立方米)可以达到最大？并求出最大值．【解析】 (1)由题意得当0<x ≤4时，v ＝2；当4<x ≤20时，设v ＝ax ＋b ，显然v ＝ax ＋b 在(4，20]内是减函数，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧20a ＋b ＝0，4a ＋b ＝2，解得⎩⎨⎧a ＝－18，b ＝52，所以v ＝－18x ＋52， 故函数v ＝⎩⎪⎨⎪⎧2， 0<x ≤4，－18x ＋52， 4<x ≤20. (2)设年生长量为f (x )千克/立方米，依题意并由(1)可得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ， 0<x ≤4，－18x 2＋52x ， 4<x ≤20， 当0<x ≤4时，f (x )为增函数，故f (x )max ＝f (4)＝4×2＝8；当4<x ≤20时，f (x )＝－18x 2＋52x ＝－18(x 2－20x )＝－18(x －10)2＋1008， f (x )max ＝f (10)＝12.5.所以当0<x ≤20时，f (x )的最大值为12.5.即当养殖密度为10尾/立方米时，鱼的年生长量可以达到最大，最大值为12.5千克/立方米．B 组 专项能力提升(时间：25分钟)11．某种新药服用x 小时后血液中的残留量为y 毫克，如图所示为函数y ＝f (x )的图象，当血液中药物残留量不小于240毫克时，治疗有效．设某人上午8：00第一次服药，为保证疗效，则第二次服药最迟的时间应为( )A ．上午10：00B ．中午12：00C ．下午4：00D ．下午6：00【解析】 当x ∈0，4]时，设y ＝k 1x ，把(4，320)代入，得k 1＝80，∴y ＝80x .当x ∈4，20]时，设y ＝k 2x ＋b .把(4，320)，(20，0)分别代入可得⎩⎪⎨⎪⎧k 2＝－20，b ＝400. ∴y ＝400－20x .∴y ＝f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧80x ， 0≤x ≤4，400－20x ， 4<x ≤20. 由y ≥240，得⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤480x ≥240或⎩⎪⎨⎪⎧4<x ≤20，400－20x ≥240. 解得3≤x ≤4或4<x ≤8，∴3≤x ≤8.故第二次服药最迟应在当日下午4：00.故选C.【答案】 C12．(2016·江门模拟)我国为了加强对烟酒生产的宏观管理，除了应征税收外，还征收附加税．已知某种酒每瓶售价为70元，不收附加税时，每年大约销售100万瓶；若每销售100元国家要征附加税x 元(叫做税率x %)，则每年销售量将减少10x 万瓶，如果要使每年在此项经营中所收取的附加税额不少于112万元，则x 的最小值为( )A ．2B ．6C ．8D ．10【解析】 由分析可知，每年此项经营中所收取的附加税额为104·(100－10x )·70·x 100， 令104·(100－10x )·70·x 100≥112×104， 解得2≤x ≤8.故x 的最小值为2.【答案】 A13．某工厂采用高科技改革，在两年内产值的月增长率都是a ，则这两年内第二年某月的产值比第一年相应月产值的增长率为( )A ．a 12－1B ．(1＋a )12－1C ．aD ．a －1【解析】 不妨设第一年8月份的产值为b ，则9月份的产值为b (1＋a )，10月份的产值为b (1＋a )2，依次类推，到第二年8月份是第一年8月份后的第12个月，即一个时间间隔是1个月，这里跨过了12个月，故第二年8月份产值是b (1＋a )12.又由增长率的概念知，这两年内的第二年某月的产值比第一年相应月产值的增长率为b （1＋a ）12－b b＝(1＋a )12－1. 【答案】 B14．某化工厂打算投入一条新的生产线，但需要经环保部门审批后方可投入生产．已知该生产线连续生产n 年的累计产量为f (n )＝12n (n ＋1)(2n ＋1)吨，但如果年产量超过150吨，将会给环境造成危害．为保护环境，环保部门应给该厂这条生产线拟定最长的生产期限是________年．【解析】 设第n (n ∈N *)年的年产量为a n ，则a 1＝12×1×2×3＝3； 当n ≥2时，a n ＝f (n )－f (n －1)＝12n (n ＋1)·(2n ＋1)－12n (n －1)(2n －1)＝3n 2. 又a 1＝3也符合a n ＝3n 2，所以a n ＝3n 2(n ∈N *)．令a n ≤150，即3n 2≤150，解得－52≤n ≤52，所以1≤n ≤7，n ∈N *，故最长的生产期限为7年．【答案】 715．(2015·福建福州月考)某沿海地区养殖的一种特色海鲜上市时间仅能持续5个月，预测上市初期和后期会因供应不足使价格呈持续上涨态势，而中期又将出现供大于求使价格连续下跌．现有三种价格模拟函数：①f(x)＝p·q x；②f(x)＝px2＋qx＋1；③f(x)＝x(x－q)2＋p(以上三式中p，q均为常数，且q>1)．(1)为准确研究其价格走势，应选哪种价格模拟函数(不必说明理由)?(2)若f(0)＝4，f(2)＝6，求出所选函数f(x)的解析式(注：函数定义域是0，5]，其中x＝0表示8月1日，x＝1表示9月1日，以此类推)；(3)在(2)的条件下研究下面课题：为保证养殖户的经济效益，当地政府计划在价格下跌期间积极拓宽外销，请你预测该海鲜将在哪几个月内价格下跌．【解析】(1)因为上市初期和后期价格呈持续上涨态势，而中期又将出现价格连续下跌，所以在所给出的函数中应选模拟函数f(x)＝x(x－q)2＋p.(2)对于f(x)＝x(x－q)2＋p，由f(0)＝4，f(2)＝6，可得p＝4，(2－q)2＝1，又q>1，所以q＝3，所以f(x)＝x3－6x2＋9x＋4(0≤x≤5)．(3)因为f(x)＝x3－6x2＋9x＋4(0≤x≤5)，所以f′(x)＝3x2－12x＋9，令f′(x)<0，得1<x<3.所以函数f(x)在(1，3)内单调递减，所以可以预测这种海鲜将在9月、10月两个月内价格下跌．。

【创新设计】（浙江专用）2017版高考数学一轮复习 第六章 数列 第3讲 等比数列及其前n 项和练习基础巩固题组 (建议用时：40分钟)一、选择题1.(2016·宜昌模拟)等比数列{a n }中a 1＝3，a 4＝24，则a 3＋a 4＋a 5＝( ) A.33B.72C.84D.189解析 由已知，得q 3＝a 4a 1＝8，解得q ＝2，则有a 3＋a 4＋a 5＝a 1(q 2＋q 3＋q 4)＝3×(4＋8＋16)＝84. 答案 C2.已知x ，y ，z ∈R ，若－1，x ，y ，z ，－3成等比数列，则xyz 的值为( ) A.－3B.±3C.－3 3D.±3 3解析 由等比中项知y 2＝3，∴y ＝±3，又∵y 与－1，－3符号相同，∴y ＝－3，y 2＝xz ， 所以xyz ＝y 3＝－3 3. 答案 C3.在等比数列{a n }中，如果a 1＋a 4＝18，a 2＋a 3＝12，那么这个数列的公比为( ) A.2B.12C.2或12D.－2或12解析 设数列{a n }的公比为q ，由a 1＋a 4a 2＋a 3＝a 1（1＋q 3）a 1（q ＋q 2）＝1＋q 3q ＋q 2＝（1＋q ）（1－q ＋q 2）q （1＋q ）＝1－q ＋q2q＝1812，得q ＝2或q ＝12.故选C. 答案 C4.(2015·浙江卷)已知{a n }是等差数列，公差d 不为零，前n 项和是S n ，若a 3，a 4，a 8成等比数列，则( ) A.a 1d ＞0，dS 4＞0 B.a 1d ＜0，dS 4＜0 C.a 1d ＞0，dS 4＜0D.a 1d ＜0，dS 4＞0解析 ∵a 3，a 4，a 8成等比数列，∴(a 1＋3d )2＝(a 1＋2d )(a 1＋7d )， 整理得a 1＝－53d ，∴a 1d ＝－53d 2＜0，又S 4＝4a 1＋4×32d ＝－2d3，∴dS 4＝－2d23＜0，故选B.答案 B5.设各项都是正数的等比数列{a n }，S n 为前n 项和，且S 10＝10，S 30＝70，那么S 40等于( ) A.150B.－200C.150或－200D.400或－50解析 依题意，数列S 10，S 20－S 10，S 30－S 20，S 40－S 30成等比数列，因此有(S 20－S 10)2＝S 10(S 30－S 20).即(S 20－10)2＝10(70－S 20)， 故S 20＝－20或S 20＝30，又S 20＞0， 因此S 20＝30，S 20－S 10＝20，S 30－S 20＝40， 故S 40－S 30＝80.S 40＝150.故选A. 答案 A 二、填空题6.(2016·舟山联考)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 1，S 3，S 2成等差数列，则{a n }的公比q 等于________.解析 ∵S 1，S 3，S 2成等差数列，∴a 1＋a 1＋a 1q ＝2(a 1＋a 1q ＋a 1q 2).∵a 1≠0，q ≠0，∴解得q ＝－12.答案 －127.(2016·哈尔滨一模)正项等比数列{a n }中，a 2＝4，a 4＝16，则数列{a n }的前9项和等于________.解析 正项等比数列{a n }的公比q ＝a 4a 2＝164＝2， a 1＝a 2q ＝2，∴S 9＝2（1－29）1－2＝1 022.答案 1 0228.(2016·甘肃诊断)已知各项均为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 4＝3S 2，a 3＝2，则a 7＝________.解析 设等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q ，显然q ≠1且q ＞0，因为S 4＝3S 2，所以a 1（1－q 4）1－q ＝3a 1（1－q 2）1－q，解得q 2＝2，因为a 3＝2，所以a 7＝a 3q 4＝2×22＝8.答案 8三、解答题9.(2015·四川卷)设数列{a n }(n ＝1，2，3，…)的前n 项和S n 满足S n ＝2a n －a 1，且a 1，a 2＋1，a 3成等差数列. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)记数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前n 项和为T n ，求使得|T n －1|＜11 000成立的n 的最小值.解 (1)由已知S n ＝2a n －a 1， 有a n ＝S n －S n －1＝2a n －2a n －1(n ≥2)， 即a n ＝2a n －1(n ≥2)，所以q ＝2， 从而a 2＝2a 1，a 3＝2a 2＝4a 1， 又因为a 1，a 2＋1，a 3成等差数列， 即a 1＋a 3＝2(a 2＋1)，所以a 1＋4a 1＝2(2a 1＋1)，解得a 1＝2，所以，数列{a n }是首项为2，公比为2的等比数列， 故a n ＝2n.(2)由(1)得1a n ＝12n ，所以T n ＝12＋122＋…＋12n ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 1－12＝1－12n .由|T n －1|＜11 000，得⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－12n －1＜11 000， 即2n＞1 000，因为29＝512＜1 000＜1 024＝210，所以n ≥10， 于是，使|T n －1|＜11 000成立的n 的最小值为10.10.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝4a n －3(n ∈N *). (1)证明：数列{a n }是等比数列；(2)若数列{b n }满足b n ＋1＝a n ＋b n (n ∈N *)，且b 1＝2，求数列{b n }的通项公式. (1)证明 依题意S n ＝4a n －3(n ∈N *)，n ＝1时，a 1＝4a 1－3，解得a 1＝1.因为S n ＝4a n －3，则S n －1＝4a n －1－3(n ≥2)， 所以当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝4a n －4a n －1，整理得a n ＝43a n －1.又a 1＝1≠0，所以{a n }是首项为1，公比为43的等比数列.(2)解 由(1)知a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫43n －1，由b n ＋1＝a n ＋b n (n ∈N *)，得b n ＋1－b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫43n －1.可得b n ＝b 1＋(b 2－b 1)＋(b 3－b 2)＋…＋(b n －b n －1)＝2＋1－⎝ ⎛⎭⎪⎫43n －11－43＝3·⎝ ⎛⎭⎪⎫43n －1－1(n ≥2).当n ＝1时也满足，所以数列{b n }的通项公式为b n ＝3·⎝ ⎛⎭⎪⎫43n －1－1(n ∈N *).能力提升题组 (建议用时：20分钟)11.(2016·绍兴十校联考)已知数列{a n }是首项a 1＝4的等比数列，且4a 1，a 5， －2a 3成等差数列，则其公比q 等于( ) A.－1B.1C.1或－1D. 2解析 ∵4a 1，a 5，－2a 3成等差数列，∴2a 5＝4a 1－2a 3，即2a 1q 4＝4a 1－2a 1q 2，又∵a 1＝4，则有q 4＋q 2－2＝0，解得q 2＝1，∴q ＝±1，故选C. 答案 C12.(2016·临沂模拟)数列{a n }中，已知对任意n ∈N *，a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝3n －1，则a 21＋a 22＋a 23＋…＋a 2n 等于( )A.(3n －1)2B.12(9n－1) C.9n－1D.14(3n－1) 解析 ∵a 1＋a 2＋…＋a n ＝3n－1，n ∈N *，n ≥2时，a 1＋a 2＋…＋a n －1＝3n －1－1，∴当n ≥2时，a n ＝3n －3n －1＝2·3n －1，又n ＝1时，a 1＝2适合上式，∴a n ＝2·3n －1，故数列{a 2n }是首项为4，公比为9的等比数列. 因此a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝4（1－9n）1－9＝12(9n－1).答案 B13.(2016·温州诊断)数列{a n }的首项为a 1＝1，数列{b n }为等比数列且b n ＝a n ＋1a n，若b 10b 11＝2 015110，则a 21＝________. 解析 由b n ＝a n ＋1a n ，且a 1＝1，得b 1＝a 2a 1＝a 2；b 2＝a 3a 2，a 3＝a 2b 2＝b 1b 2；b 3＝a 4a 3，a 4＝a 3b 3＝b 1b 2b 3；……；b n －1＝a na n －1，a n ＝b 1b 2…b n －1，∴a 21＝b 1b 2…b 20.∵数列{b n }为等比数列，∴a 21＝(b 1b 20)(b 2b 19)…(b 10b 11)＝(b 10b 11)10＝(2 015110)10＝2 015. 答案 2 01514.已知在正项数列{a n }中，a 1＝2，点A n (a n ，a n ＋1)在双曲线y 2－x 2＝1上，数列{b n }中，点(b n ，T n )在直线y ＝－12x ＋1上，其中T n 是数列{b n }的前n 项和.(1)求数列{a n }的通项公式； (2)求证：数列{b n }是等比数列.(1)解 由已知点A n 在y 2－x 2＝1上知，a n ＋1－a n ＝1， ∴数列{a n }是一个以2为首项，以1为公差的等差数列， ∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2＋n －1＝n ＋1.(2)证明 ∵点(b n ，T n )在直线y ＝－12x ＋1上，∴T n ＝－12b n ＋1，①∴T n －1＝－12b n －1＋1(n ≥2)，②①②两式相减得b n ＝－12b n ＋12b n －1(n ≥2)，∴32b n ＝12b n －1，∴b n ＝13b n －1(n ≥2). 令n ＝1，得b 1＝－12b 1＋1，∴b 1＝23，∴{b n }是一个以23为首项，以13为公比的等比数列.。

4-6A 组 专项基础训练(时间：45分钟)1．(2015·乌鲁木齐诊断测试三)已知sin 2α＝－2425，且α∈⎝⎛⎭⎫3π4，π，则sin α＝( ) A.35 B.45C ．－35D ．－45【解析】 ∵α∈⎝⎛⎭⎫3π4，π，∴cos α<0，sin α>0， 且|cos α|>|sin α|，又(sin α＋cos α)2＝1＋sin 2α＝1－2425＝125， ∴sin α＋cos α＝－15， 同理可得sin α－cos α＝75，∴sin α＝35，故选A. 【答案】 A2．若sin α＝45，则sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4－22cos α等于( ) A.225 B ．－225C.425 D ．－425【解析】 sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4－22cos α ＝sin αcosπ4＋cos αsin π4－22cos α＝45×22＝225. 【答案】 A3．在△ABC 中，tan B ＝－2，tan C ＝13，则A 等于( ) A.π4 B.3π4C.π3D.π6【解析】 tan A ＝tan π－(B ＋C )]＝－tan(B ＋C )＝－tan B ＋tan C 1－tan B tan C ＝－－2＋131－（－2）×13＝1.又A 为△ABC 的内角．故A ＝π4. 【答案】 A4．若tan α＋1tan α＝103，α∈⎝⎛⎭⎫π4，π2，则sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π4的值为( ) A ．－210 B.210C.3210D.7210【解析】 由tan α＋1tan α＝103 得sin αcos α＋cos αsin α＝103， ∴1sin αcos α＝103，∴sin 2α＝35. ∵α∈⎝⎛⎭⎫π4，π2，∴2α∈⎝⎛⎭⎫π2，π， ∴cos 2α＝－45. ∴sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π4＝sin 2αcos π4＋cos 2αsin π4 ＝22×⎝⎛⎭⎫35－45＝－210. 【答案】 A5．已知cos 2θ＝23，则sin 4θ＋cos 4θ的值为( ) A.1318 B.1118C.79D ．－1 【解析】 sin 4θ＋cos 4θ＝(sin 2θ＋cos 2θ)2－2sin 2θcos 2θ＝1－12sin 22θ＝1－12(1－cos 22θ)＝1118. 【答案】 B6．(2015·浙江)函数f (x )＝sin 2x ＋sin x cos x ＋1的最小正周期是________，最小值是________．【解析】 利用三角恒等变换，化为正弦型函数再求解．f (x )＝sin 2x ＋sin x cos x ＋1 ＝1－cos 2x 2＋12sin 2x ＋1＝32＋22sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4. 故最小正周期T ＝2π2＝π.当sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4＝－1时， f (x )取得最小值为32－22＝3－22. 【答案】 π 3－227．设x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则函数y ＝2sin 2x ＋1sin 2x 的最小值为________． 【解析】 方法一：因为y ＝2sin 2x ＋1sin 2x ＝2－cos 2x sin 2x， 所以令k ＝2－cos 2x sin 2x .又x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2， 所以k 就是单位圆x 2＋y 2＝1的左半圆上的动点P (－sin 2x ，cos 2x )与定点Q (0，2)所成直线的斜率． 又k min ＝tan 60°＝3，所以函数y ＝2sin 2x ＋1sin 2x的最小值为 3. 方法二：y ＝2sin 2x ＋1sin 2x ＝3sin 2x ＋cos 2x 2sin x cos x＝3tan 2x ＋12tan x ＝32tan x ＋12tan x. ∵x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴tan x >0. ∴32tan x ＋12tan x ≥2 32tan x ·12tan x＝ 3. ⎝⎛⎭⎫当tan x ＝33，即x ＝π6时取等号 即函数的最小值为 3.【答案】 3 8．已知tan ⎝⎛⎭⎫π4＋θ＝3，则sin 2θ－2cos 2θ的值为________． 【解析】 ∵tan ⎝⎛⎭⎫π4＋θ＝3， ∴1＋tan θ1－tan θ＝3，解得tan θ＝12. ∵sin 2θ－2cos 2θ＝sin 2θ－cos 2θ－1＝2sin θcos θsin 2θ＋cos 2θ－cos 2θ－sin 2θsin 2θ＋cos 2θ－1＝2tan θ1＋tan 2θ－1－tan 2θ1＋tan 2θ－1 ＝45－35－1＝－45. 【答案】 －459．已知tan α＝－13，cos β＝55，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，求tan(α＋β)的值，并求出α＋β的值．【解析】 由cos β＝55，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2， 得sin β＝255，tan β＝2. ∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝－13＋21＋23＝1. ∵α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴π2<α＋β<3π2，∴α＋β＝5π4. 10．已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫13x －π6，x ∈R . (1)求f ⎝⎛⎭⎫5π4的值；(2)设α，β∈⎣⎡⎦⎤0，π2，f ⎝⎛⎭⎫3α＋π2＝1013，f (3β＋2π)＝65，求cos(α＋β)的值． 【解析】 (1)由题设知：f ⎝⎛⎭⎫5π4＝2sin ⎝⎛⎭⎫5π12－π6＝2sin π4＝ 2. (2)由题设知：1013＝f ⎝⎛⎭⎫3α＋π2＝2sin α， 65＝f (3β＋2π)＝2sin ⎝⎛⎭⎫β＋π2＝2cos β， 即sin α＝513，cos β＝35， 又α，β∈⎣⎡⎦⎤0，π2，∴cos α＝1213，sin β＝45， ∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝1213×35－513×45＝1665. B 组 专项能力提升(时间：25分钟)11．(2016·邯郸期末联考)cos 20°cos 40°cos 60°·cos 80°等于( ) A.14 B.18C.116D.132【解析】 原式＝sin 20°cos 20°cos 40°cos 80°2sin 20°＝sin 40°cos 40°cos 80°4sin 20°＝sin 80°cos 80°8sin 20°＝sin 160°16sin 20°＝116. 【答案】 C12．定义运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b c d ＝ad －bc ，若cos α＝17，⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin α sin βcos α cos β＝3314，0<β<α<π2，则β等于( )A.π12B.π6C.π4D.π3【解析】 依题意有sin αcos β－cos αsin β＝sin(α－β)＝3314， 又0<β<α<π2，∴0<α－β<π2， 故cos(α－β)＝1－sin 2（α－β）＝1314， 而cos α＝17，∴sin α＝437， 于是sin β＝sin α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β) ＝437×1314－17×3314＝32，故β＝π3，故选D. 【答案】 D13．sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝24，则sin 2α＝________． 【解析】 sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝22sin α＋22cos α＝24， ∴sin α＋cos α＝12， (sin α＋cos α)2＝sin 2α＋cos 2α＋2sin αcos α＝1＋sin 2α＝14，故sin 2α＝－34. 【答案】 －3414．(2015·天津)已知函数f (x )＝sin 2x －sin 2⎝⎛⎭⎫x －π6，x ∈R . (1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π3，π4上的最大值和最小值． 【解析】 (1)由已知，有f (x )＝1－cos 2x 2－1－cos ⎝⎛⎭⎫2x －π32＝12⎝⎛⎭⎫12cos 2x ＋32sin 2x －12cos 2x ＝34sin 2x －14cos 2x ＝12sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6. 所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. (2)因为f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π3，－π6上是减函数， 在区间⎣⎡⎦⎤－π6，π4上是增函数， 且f ⎝⎛⎭⎫－π3＝－14，f ⎝⎛⎭⎫－π6＝－12，f ⎝⎛⎭⎫π4＝34， 所以f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π3，π4上的最大值为34， 最小值为－12. 15．(2015·安徽合肥质检)已知cos ⎝⎛⎭⎫π6＋α·cos ⎝⎛⎭⎫π3－α＝－14，α∈⎝⎛⎭⎫π3，π2. (1)求sin 2α的值；(2)求tan α－1tan α的值． 【解析】 (1)cos ⎝⎛⎭⎫π6＋α·cos ⎝⎛⎭⎫π3－α ＝cos ⎝⎛⎭⎫π6＋α·sin ⎝⎛⎭⎫π6＋α＝12sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝－14， 即sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝－12. ∵α∈⎝⎛⎭⎫π3，π2，∴2α＋π3∈⎝⎛⎭⎫π，4π3， ∴cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝－32， ∴sin 2α＝sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫2α＋π3－π3 ＝sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3·cos π3－cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π3·sin π3＝12. (2)∵α∈⎝⎛⎭⎫π3，π2，∴2α∈⎝⎛⎭⎫2π3，π， 又由(1)知sin 2α＝12，∴cos 2α＝－32. ∴tan α－1tan α＝sin αcos α－cos αsin α＝sin 2α－cos 2αsin αcos α＝－2cos 2αsin 2α＝－2×－3212＝2 3.。

4-4A 组 专项基础训练 (时间：45分钟)1．(2015·陕西西安八校联考)若函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6(ω∈N *)图象的一个对称中心是⎝⎛⎭⎫π6，0，则ω的最小值为( )A ．1B ．2C ．4D ．8【解析】 由题意知πω6＋π6＝k π＋π2(k ∈Z )⇒ω＝6k ＋2(k ∈Z )，又ω∈N *，∴ωmin ＝2，故选B. 【答案】 B2．(2015·云南统考)已知函数①y ＝sin x ＋cos x ，②y ＝22·sin x cos x ，则下列结论正确的是( ) A ．两个函数的图象均关于点⎝⎛⎭⎫－π4，0中心对称B ．两个函数的图象均关于直线x ＝－π4轴对称C ．两个函数在区间⎝⎛⎭⎫－π4，π4上都是单调递增函数D ．两个函数的最小正周期相同【解析】 设f (x )＝sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4，g (x )＝22sin x cos x ＝2sin 2x .对于A 、B ，f ⎝⎛⎭⎫－π4＝0，g ⎝⎛⎭⎫－π4＝－2≠0，易知A 、B 都不正确．对于C ，由－π2＋2k π≤x ＋π4≤π2＋2k π(k ∈Z )，得f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤－3π4＋2k π，π4＋2k π(k ∈Z )，由－π2＋2k π≤2x ≤π2＋2k π(k ∈Z )，得g (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤－π4＋k π，π4＋k π(k ∈Z )，易知C 正确．对于D ，f (x )的最小正周期为2π，g (x )的最小正周期为π，D 不正确．故选C. 【答案】 C3．已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，且|φ|<π2的部分图象如图所示，则函数f (x )的一个单调递增区间是( )A.⎣⎡⎦⎤－7π12，5π12B.⎣⎡⎦⎤－7π12，－π12C.⎣⎡⎦⎤－π12，7π12D.⎣⎡⎦⎤－π12，5π12 【解析】 由函数的图象可得14T ＝23π－512π，∴T ＝π，则ω＝2.又图象过点⎝⎛⎭⎫512π，2，∴2sin ⎝⎛⎭⎫2×512π＋φ＝2， ∴φ＝－π3＋2k π，k ∈Z ，∵|φ|<π2.∴取k ＝0，即得f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3，其单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－π12，k π＋5π12，k ∈Z ，取k ＝0，即得选项D. 【答案】 D4．电流强度I (安)随时间t (秒)变化的函数I ＝A sin(ωt ＋φ)⎝⎛⎭⎫A >0，ω>0，0<φ<π2的图象如图所示，则当t ＝1100秒时，电流强度是( )A ．－5安B ．5安C ．53安D ．10安【解析】 由图象知A ＝10，T 2＝4300－1300＝1100，∴ω＝2πT＝100π.∴I ＝10sin(100πt ＋φ)．⎝⎛⎭⎫1300，10为五点中的第二个点， ∴100π×1300＋φ＝π2.∴φ＝π6.∴I ＝10sin ⎝⎛⎭⎫100πt ＋π6，当t ＝1100秒时，I ＝－5安．【答案】 A5．已知函数f (x )＝2sin ωx 在区间⎣⎡⎦⎤－π3，π4上的最小值为－2，则ω的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎤－∞，－92∪6，＋∞) B.⎝⎛⎦⎤－∞，－92∪⎣⎡⎭⎫32，＋∞ C ．(－∞，－2]∪6，＋∞) D ．(－∞，－2]∪⎣⎡⎭⎫32，＋∞ 【解析】 当ω>0时，－π3ω≤ωx ≤π4ω，由题意知－π3ω≤－π2，即ω≥32；当ω<0时，π4ω≤ωx ≤－π3ω，由题意知π4ω≤－π2，∴ω≤－2.综上可知，ω的取值范围是(－∞，－2]∪⎣⎡⎭⎫32，＋∞. 【答案】 D6．设偶函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，0<φ<π)的部分图象如图所示，△KLM 为等腰直角三角形，∠KML ＝90°，KL ＝1，则f ⎝⎛⎭⎫16的值为________．【解析】 取K ，L 中点N ，则MN ＝12，因此A ＝12.由T ＝2得ω＝π.∵函数为偶函数，0<φ<π，∴φ＝π2， ∴f (x )＝12cos πx ，∴f ⎝⎛⎭⎫16＝12cos π6＝34. 【答案】347．某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数y ＝a ＋A cos ⎣⎡⎦⎤π6（x －6）(x ＝1，2，3，…，12，A >0)来表示，已知6月份的月平均气温最高，为28 ℃，12月份的月平均气温最低，为18 ℃，则10月份的平均气温值为________℃.【解析】 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋A ＝28，a －A ＝18，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝23，A ＝5，∴y ＝23＋5cos ⎣⎡⎦⎤π6（x －6），当x ＝10时，y ＝23＋5×⎝⎛⎭⎫－12＝20.5. 【答案】 20.58．已知函数f (x )＝cos x sin x (x ∈R )，给出下列四个命题： ①若f (x 1)＝－f (x 2)，则x 1＝－x 2； ②f (x )的最小正周期是2π；③f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π4，π4上是增函数；④f (x )的图象关于直线x ＝3π4对称．其中真命题是________．【解析】 f (x )＝12sin 2x ，当x 1＝0，x 2＝π2时，f (x 1)＝－f (x 2)，但x 1≠－x 2，故①是假命题； f (x )的最小正周期为π，故②是假命题；当x ∈⎣⎡⎦⎤－π4，π4时，2x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2，故③是真命题；因为f ⎝⎛⎭⎫3π4＝12sin 32π＝－12，故f (x )的图象关于直线x ＝34π对称，故④是真命题．【答案】 ③④9．已知函数f (x )＝cos x ·cos ⎝⎛⎭⎫x －π3.(1)求f ⎝⎛⎭⎫2π3的值；(2)求使f (x )<14成立的x 的取值集合．【解析】 (1)f ⎝⎛⎭⎫2π3＝cos 2π3·cos π3＝－cos π3·cos π3＝－⎝⎛⎭⎫122＝－14. (2)f (x )＝cos x cos ⎝⎛⎭⎫x －π3＝cos x ·⎝⎛⎭⎫12cos x ＋32sin x＝12cos 2x ＋32sin x cos x ＝14(1＋cos 2x )＋34sin 2x＝12cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋14. f (x )<14等价于12cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋14<14，即cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3<0，于是2k π＋π2<2x －π3<2k π＋3π2，k ∈Z .解得k π＋5π12<x <k π＋11π12，k ∈Z .故使f (x )<14成立的x 的取值集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪k π＋5π12<x <k π＋11π12，k ∈Z. 10．(2015·湖北)某同学用“五点法”画函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，|φ|<π2在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：(1)(2)将y ＝f (x )图象上所有点向左平行移动θ(θ>0)个单位长度，得到y ＝g (x )的图象．若y ＝g (x )图象的一个对称中心为⎝⎛⎭⎫5π12，0，求θ的最小值． 【解析】 (1)根据表中已知数据， 解得A ＝5，ω＝2，φ＝－π6，数据补全如下表：且函数解析式为f (x )＝5sin ⎝⎛⎭⎫2x －6.(2)由(1)知f (x )＝5sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6，则g (x )＝5sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2θ－π6.因为函数y ＝sin x 图象的对称中心为(k π，0)，k ∈Z ，令2x ＋2θ－π6＝k π，解得x ＝k π2＋π12－θ，k ∈Z .由于函数y ＝g (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎫5π12，0成中心对称，所以令k π2＋π12－θ＝5π12，解得θ＝k π2－π3，k ∈Z .由θ>0可知，当k ＝1时，θ取得最小值π6.B 组 专项能力提升 (时间：20分钟)11．将函数y ＝sin(x ＋φ)的图象F 向左平移π6个单位长度后得到图象F ′，若F ′的一个对称中心为⎝⎛⎭⎫π4，0，则φ的一个可能取值是( ) A.π12 B.π6 C.5π6 D.7π12【解析】 图象F ′对应的函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＋φ，则π4＋π6＋φ＝k π，k ∈Z ，即φ＝k π－5π12，k ∈Z ， 当k ＝1时，φ＝7π12，故选D.【答案】 D12．(2016·黄冈市高三年级质量检测)已知A ，B ，C ，D 是函数y ＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，0<φ<π2一个周期内的图象上的四个点，如图所示，A ⎝⎛⎭⎫－π6，0，B 为y 轴上的点，C 为图象上的最低点，E 为该函数图象的一个对称中心，B 与D 关于点E 对称，CD →在x 轴上的投影为π12，则ω，φ的值为( )A ．ω＝2，φ＝π3B ．ω＝2，φ＝π6C ．ω＝12，φ＝π3D ．ω＝12，φ＝π6【解析】 因为CD →在x 轴上的投影为π12，又点A ⎝⎛⎭⎫－π6，0，所以函数的四分之一个最小正周期为π6＋π12＝π4.即函数的最小正周期为π，故ω＝2ππ＝2.又点A ⎝⎛⎭⎫－π6，0是处于递增区间上的零点，所以2×⎝⎛⎭⎫－π6＋φ＝2k π(k ∈Z )，则φ＝2k π＋π3(k ∈Z )．又因为0<φ<π2，所以φ＝π3.故选A.【答案】 A13．(2015·安徽)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ均为正的常数)的最小正周期为π，当x ＝2π3时，函数f (x )取得最小值，则下列结论正确的是( )A ．f (2)<f (－2)<f (0)B ．f (0)<f (2)<f (－2)C ．f (－2)<f (0)<f (2)D ．f (2)<f (0)<f (－2)【解析】 根据三角函数的性质确定ω，φ的值，结合图象进行判断． 方法一：由题意，得T ＝2πω＝π，∴ω＝2，∴f (x )＝A sin(2x ＋φ)，而当x ＝2π3时，2×2π3＋φ＝2k π＋3π2(k ∈Z )，∴φ＝2k π＋π6(k ∈Z )，∴f (x )＝A sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6.当2x ＋π6＝2k π＋π2(k ∈Z )，即x ＝π6＋k π(k ∈Z )时，f (x )取得最大值．下面只需判断2，－2，0与最近的最大值处的对称轴距离大小，距离越大，函数值越小． 当k ＝0时，x ＝π6，⎪⎪⎪⎪0－π6≈0.52，⎪⎪⎪⎪2－π6≈1.48，当k ＝－1时，x ＝－5π6，⎪⎪⎪⎪－2－⎝⎛⎭⎫－5π6≈0.6，∴f (2)<f (－2)<f (0)．方法二：将要比较的函数值化归到函数的同一单调区间上． ∵f (x )的最小正周期为π，∴f (－2)＝f (π－2)． 又当x ＝2π3时，f (x )取得最小值，故当x ＝π6时，f (x )取得最大值，⎣⎡⎦⎤π6，2π3是函数f (x )的一个递减区间．又∵π6<π－2<2<2π3，∴f (π－2)>f (2)，即f (－2)>f (2)．再比较0，π－2与对称轴x ＝π6距离的大小．∵⎪⎪⎪⎪π－2－π6－⎪⎪⎪⎪0－π6＝5π6－2－π6＝2π3－2>0，∴f (0)>f (π－2)，即f (0)>f (－2)． 综上，f (0)>f (－2)>f (2)．故选A. 【答案】 A14．(2015·福建)已知函数f (x )＝103sin x 2cos x 2＋10cos 2x2.(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)将函数f (x )的图象向右平移π6个单位长度，再向下平移a (a >0)个单位长度后得到函数g (x )的图象，且函数g (x )的最大值为2.求函数g (x )的解析式．【解析】 (1)因为f (x )＝103sin x 2cos x 2＋10cos 2x2＝53sin x ＋5cos x ＋5＝10sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＋5，所以函数f (x )的最小正周期T ＝2π.(2)将f (x )的图象向右平移π6个单位长度后得到y ＝10sin x ＋5 的图象，再向下平移a (a >0)个单位长度后得到g (x )＝10sin x ＋5－a 的图象．又已知函数g (x )的最大值为2，所以10＋5－a ＝2，解得a ＝13. 所以g (x )＝10sin x －8.15．已知函数f (x )＝3sin ωx ·cos ωx ＋cos 2ωx －12(ω>0)，其最小正周期为π2.(1)求f (x )的表达式；(2)将函数f (x )的图象向右平移π8个单位长度，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数y ＝g (x )的图象，若关于x 的方程g (x )＋k ＝0在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上有且只有一个实数解，求实数k 的取值范围．【解析】 (1)f (x )＝3sin ωx ·cos ωx ＋cos 2ωx －12＝32sin 2ωx ＋cos 2ωx ＋12－12＝sin ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋π6， 由题意知f (x )的最小正周期T ＝π2，T ＝2π2ω＝πω＝π2，所以ω＝2，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π6.(2)将f (x )的图象向右平移π8个单位长度后，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫4x －π3的图象；再将所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的图象，所以g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3，因为0≤x ≤π2，所以－π3≤2x －π3≤2π3，所以g (x )∈⎣⎡⎦⎤－32，1 又g (x )＋k ＝0在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上有且只有一个实数解，即函数y ＝g (x )与y ＝－k 在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上有且只有一个交点，由正弦函数的图象可知－32≤－k <32或－k ＝1， 解得－32<k ≤32或k ＝－1， 所以实数k 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－32，32∪{－1}．。

2-2A 组 专项基础训练(时间：45分钟)1．下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是( )A ．y ＝ln(x ＋2)B ．y ＝－x ＋1C ．y ＝⎝⎛⎭⎫12xD ．y ＝x ＋1x【解析】 ∵函数y ＝ln(x ＋2)在(－2，＋∞)上为增函数，∴在(0，＋∞)上也是增函数．【答案】 A2．(2016·辽宁五校联考)已知函数f (x )是定义在R 上的单调递增函数，且满足对任意的实数x 都有ff (x )－3x ]＝4，则f (x )＋f (－x )的最小值等于( )A ．2B ．4C ．8D ．12【解析】 由已知条件可知存在唯一实数k 使f (k )＝4，且f (x )＝3x ＋k ，令x ＝k ，得f (k )＝3k ＋k ＝4. 可得k ＝1，从而f (x )＝3x ＋1，∴f (x )＋f (－x )＝3x ＋13x ＋2≥2 3x ·13x ＋2＝4， 当且仅当x ＝0时取等号．故选B.【答案】 B3．(2014·天津)函数f (x )＝log 12(x 2－4)的单调递增区间是( )A ．(0，＋∞)B ．(－∞，0)C ．(2，＋∞)D ．(－∞，－2)【解析】 因为y ＝log 12t 在定义域上是减函数，所以求原函数的单调递增区间，即求函数t ＝x 2－4的单调递减区间，结合函数的定义域，可知所求区间为(－∞，－2)．【答案】 D4．已知f (x )为R 上的减函数，则满足f ⎝⎛⎭⎫1x >f (1)的实数x 的取值范围是( )A ．(－∞，1)B ．(1，＋∞)C ．(－∞，0)∪(0，1)D ．(－∞，0)∪(1，＋∞)【解析】 依题意得1x <1，即x －1x>0， 所以x 的取值范围是x >1或x <0.5．定义新运算“⊕”：当a ≥b 时，a ⊕b ＝a ；当a <b 时，a ⊕b ＝b 2，则函数f (x )＝(1⊕x )x －(2⊕x )，x ∈－2，2]的最大值等于( )A ．－1B ．1C ．6D ．12【解析】 由已知得当－2≤x ≤1时，f (x )＝x －2，当1<x ≤2时，f (x )＝x 3－2.∵f (x )＝x －2，f (x )＝x 3－2在定义域内都为增函数．∴f (x )的最大值为f (2)＝23－2＝6.【答案】 C6．已知函数f (x )＝x 2－2x －3，则该函数的单调增区间为________．【解析】 设t ＝x 2－2x －3，由t ≥0，即x 2－2x －3≥0，解得x ≤－1或x ≥3.所以函数的定义域为(－∞，－1]∪3，＋∞)．因为函数t ＝x 2－2x －3的图象的对称轴为x ＝1，所以函数在(－∞，－1]上单调递减，在3，＋∞)上单调递增．又因为y ＝t 在0，＋∞)上单调递增．所以函数f (x )的增区间为3，＋∞)．【答案】 3，＋∞)7．已知函数f (x )为(0，＋∞)上的增函数，若f (a 2－a )>f (a ＋3)，则实数a 的取值范围为________．【解析】 由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－a >0，a ＋3>0，a 2－a >a ＋3，解得－3<a <－1或a >3.所以实数a 的取值范围为(－3，－1)∪(3，＋∞)．【答案】 (－3，－1)∪(3，＋∞)8．(2015·福建)若函数f (x )＝2|x －a |(a ∈R )满足f (1＋x )＝f (1－x )，且f (x )在m ，＋∞)上单调递增，则实数m 的最小值等于________．【解析】 利用m ，＋∞)是函数f (x )的单调递增区间的子区间求解．因为f (x )＝2|x －a |， 所以f (x )的图象关于直线x ＝a 对称．又由f (1＋x )＝f (1－x )，知f (x )的图象关于直线x ＝1对称，故a ＝1，且f (x )的增区间是1，＋∞)， 由函数f (x )在m ，＋∞)上单调递增，知m ，＋∞)⊆1，＋∞)，所以m ≥1，故m 的最小值为1.9．已知函数f (x )＝1a －1x(a >0，x >0)， (1)求证：f (x )在(0，＋∞)上是增函数；(2)若f (x )在⎣⎡⎦⎤12，2上的值域是⎣⎡⎦⎤12，2，求a 的值． 【解析】 (1)证明：设x 2>x 1>0，则x 2－x 1>0，x 1x 2>0，∵f (x 2)－f (x 1)＝⎝⎛⎭⎫1a －1x 2－⎝⎛⎭⎫1a －1x 1＝1x 1－1x 2＝x 2－x 1x 1x 2>0， ∴f (x 2)>f (x 1)，∴f (x )在(0，＋∞)上是增函数．(2)∵f (x )在⎣⎡⎦⎤12，2上的值域是⎣⎡⎦⎤12，2， 又f (x )在⎣⎡⎦⎤12，2上单调递增，∴f ⎝⎛⎭⎫12＝12，f (2)＝2. 易得a ＝25. 10．已知函数f (x )＝－2x ＋1，x ∈0，2]，用定义证明函数的单调性，并求函数的最大值和最小值． 【解析】 设x 1，x 2是区间0，2]上的任意两个实数，且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝－2x 1＋1－⎝⎛⎭⎫－2x 2＋1 ＝－2（x 2＋1－x 1－1）（x 1＋1）（x 2＋1）＝－2（x 2－x 1）（x 1＋1）（x 2＋1）. 由0≤x 1<x 2≤2，得x 2－x 1>0，(x 1＋1)(x 2＋1)>0，所以f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)，故f (x )在区间0，2]上是增函数．因此，函数f (x )＝－2x ＋1在区间0，2]的左端点取得最小值，右端点取得最大值，即最小值是f (0)＝－2，最大值是f (2)＝－23. B 组 专项能力提升(时间：30分钟)11．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧（a －3）x ＋5， x ≤1，2a x， x >1是(－∞，＋∞)上的减函数，那么a 的取值范围是( )A ．(0，3)B ．(0，3]C ．(0，2)D ．(0，2]【解析】 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a －3<0，a >0，a －3＋5≥2a ，解得0<a ≤2.【答案】 D12．函数f (x )中，满足“对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，当x 1<x 2时，都有f (x 1)>f (x 2)”的是( )A ．f (x )＝1xB ．f (x )＝(x －1)2C ．f (x )＝e xD ．f (x )＝ln(x ＋1)【解析】 由题意知f (x )在(0，＋∞)上是减函数，A 中，f (x )＝1x满足要求； B 中，f (x )＝(x －1)2在0，1]上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数；C 中，f (x )＝e x 是增函数；D 中，f (x )＝ln(x ＋1)是增函数．【答案】 A13．(2015·湖北)已知符号函数sgn x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x >0，0，x ＝0，－1，x <0，f (x )是R 上的增函数，g (x )＝f (x )－f (ax )(a >1)，则( )A ．sgn g (x )]＝sgn xB ．sgn g (x )]＝sgn f (x )]C ．sgn g (x )]＝－sgn xD ．sgn g (x )]＝－sgn f (x )]【解析】 分类比较x 与ax 的大小，根据f (x )的单调性确定g (x )的符号，从而确定sgn g (x )]，再结合选项判断．因为a >1，所以当x >0时，x <ax ，因为f (x )是R 上的增函数，所以f (x )<f (ax )，所以g (x )＝f (x )－f (ax )<0，sgn g (x )]＝－1＝－sgn x ；同理可得当x <0时，g (x )＝f (x )－f (ax )>0，sgn g (x )]＝1＝－sgn x ；当x ＝0时，g (x )＝0，sgn g (x )]＝0＝－sgn x 也成立．故C 正确．【答案】 C14．已知f (x )＝x x －a(x ≠a )． (1)若a ＝－2，试证f (x )在(－∞，－2)内单调递增；(2)若a >0且f (x )在(1，＋∞)内单调递减，求a 的取值范围．【解析】 (1)证明：任取x 1<x 2<－2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1＋2－x 2x 2＋2＝2（x 1－x 2）（x 1＋2）（x 2＋2）. ∵(x 1＋2)(x 2＋2)>0，x 1－x 2<0，∴f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)，∴f (x )在(－∞，－2)内单调递增．(2)任设1<x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1－a －x 2x 2－a ＝a （x 2－x 1）（x 1－a ）（x 2－a ）. ∵a >0，x 2－x 1>0，∴要使f (x 1)－f (x 2)>0，只需(x 1－a )(x 2－a )>0恒成立，∴a ≤1.综上所述，a 的取值范围是(0，1]．15．(2016·昆明模拟)已知函数f (x )＝x 2＋2x ＋a x，x ∈1，＋∞)． (1)当a ＝12时，求函数f (x )的最小值； (2)若对任意x ∈1，＋∞)，f (x )>0恒成立，试求实数a 的取值范围．【解析】 (1)当a ＝12时，f (x )＝x ＋12x＋2， 设1≤x 1<x 2，则f (x 2)－f (x 1)＝(x 2－x 1)⎝⎛⎭⎫1－12x 1x 2， ∵1≤x 1<x 2，∴x 2－x 1>0，2x 1x 2>2，∴0<12x 1x 2<12，1－12x 1x 2>0， ∴f (x 2)－f (x 1)>0，f (x 1)<f (x 2)．∴f (x )在区间1，＋∞)上为增函数，∴f (x )在区间1，＋∞)上的最小值为f (1)＝72. (2)在区间1，＋∞)上f (x )>0恒成立⇔x 2＋2x ＋a >0恒成立．设y ＝x 2＋2x ＋a ，x ∈1，＋∞)，则函数y ＝x 2＋2x ＋a ＝(x ＋1)2＋a －1在区间1，＋∞)上是增函数． 所以当x ＝1时，y 取最小值，即y min ＝3＋a ，于是当且仅当y min ＝3＋a >0时，函数f (x )>0恒成立，故a >－3.。

【大高考】2017版高考数学一轮总复习 第6章 数列 第2节 等差数列及其前n 项和高考AB 卷 理等差数列中的运算问题1.(2016·全国Ⅰ，3)已知等差数列{a n }前9项的和为27，a 10＝8，则a 100＝( ) A.100 B.99 C.98D.97解析 由等差数列性质，知S 9＝9（a 1＋a 9）2＝9×2a 52＝9a 5＝27，得a 5＝3，而a 10＝8，因此公差d ＝a 10－a 510－5＝1，∴a 100＝a 10＋90d ＝98，故选C.答案 C2.(2013·全国Ⅰ，7)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，则m ＝( ) A.3 B.4 C.5D.6解析 ∵a m ＝S m －S m －1＝2，a m ＋1＝S m ＋1－S m ＝3， ∴d ＝a m ＋1－a m ＝1.∵S m ＝ma 1＋m （m －1）2×1＝0，∴a 1＝－m －12.又∵a m ＋1＝a 1＋m ×1＝3， ∴－m －12＋m ＝3.∴m ＝5.故选C.答案 C3.(2013·全国Ⅱ，16)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 10＝0，S 15＝25，则nS n 的最小值为________.解析 设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ， 则S 10＝10a 1＋10×92d ＝10a 1＋45d ＝0，①S 15＝15a 1＋15×142d ＝15a 1＋105d ＝25.② 联立①②，得a 1＝－3，d ＝23，所以S n ＝－3n ＋n （n －1）2×23＝13n 2－103n . 令f (n )＝nS n ，则f (n )＝13n 3－103n 2，设f (x )＝13x 3－103x 2，则f ′(x )＝x 2－203x ，令f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝203，∴当x >203时，f ′(x )>0，0<x <203时，f ′(x )<0，则f (n )的最小值在f (6)、f (7)中取到. 则f (6)＝－48，f (7)＝－49， 所以当n ＝7时，f (n )取最小值－49. 答案 －494.(2016·全国Ⅱ，17)S n 为等差数列{a n }的前n 项和，且a 1＝1，S 7＝28.记b n ＝[lg a n ]，其中[x ]表示不超过x 的最大整数，如[0.9]＝0，[lg 99]＝1. (1)求b 1，b 11，b 101；(2)求数列{b n }的前1 000项和.解 (1)设{a n }的公差为d ，据已知有7＋21d ＝28，解得d ＝1.所以{a n }的通项公式为a n ＝n .b 1＝[lg 1]＝0，b 11＝[lg 11]＝1，b 101＝[lg 101]＝2.(2)因为b n＝⎩⎪⎨⎪⎧0，1≤n <10，1，10≤n <100，2，100≤n <1 000，3，n ＝1 000，所以数列{b n }的前1 000项和为1×90＋2×900＋3×1＝1 893.5.(2014·大纲全国，18)等差数列{a n }的前n 项和为S n .已知a 1＝10，a 2为整数，且S n ≤S 4. (1)求{a n }的通项公式； (2)设b n ＝1a n a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和T n .解 (1)由a 1＝10，a 2为整数知：等差数列{a n }的公差d 为整数. 又S n ≤S 4，故a 4≥0，a 5≤0，于是10＋3d ≥0，10＋4d ≤0. 解得－103≤d ≤－52.因此d ＝－3.数列{a n }的通项公式为a n ＝13－3n .(2)b n ＝1（13－3n ）（10－3n ）＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫110－3n －113－3n .于是T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n＝13⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫17－110＋⎝ ⎛⎭⎪⎫14－17＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫110－3n －113－3n ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫110－3n －110＝n10（10－3n ）. 6.(2015·全国Ⅰ，17)S n 为数列{a n }的前n 项和.已知a n >0，a 2n ＋2a n ＝4S n ＋3. (1)求{a n }的通项公式； (2)设b n ＝1a n a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和.解 (1)由a 2n ＋2a n ＝4S n ＋3，可知a 2n ＋1＋2a n ＋1＝4S n ＋1＋3. 可得a 2n ＋1－a 2n ＋2(a n ＋1－a n )＝4a n ＋1，即 2(a n ＋1＋a n )＝a 2n ＋1－a 2n ＝(a n ＋1＋a n )(a n ＋1－a n ). 由于a n >0，可得a n ＋1－a n ＝2.又a 21＋2a 1＝4a 1＋3，解得a 1＝－1(舍去)，a 1＝3. 所以{a n }是首项为3，公差为2的等差数列，通项公式为a n ＝2n ＋1.(2)由a n ＝2n ＋1可知b n ＝1a n a n ＋1＝1（2n ＋1）（2n ＋3）＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1－12n ＋3.设数列{b n }的前n 项和为T n ，则T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝12⎣⎢⎡⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋⎝ ⎛⎭⎪⎫15－17⎦⎥⎤＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1－12n ＋3＝n 3（2n ＋3）.等差数列中的运算问题1.(2015·重庆，2)在等差数列{a n }中，若a 2＝4，a 4＝2，则a 6＝( ) A.－1 B.0 C.1D.6解析 由等差数列的性质，得a 6＝2a 4－a 2＝2×2－4＝0，选B. 答案 B2.(2014·福建，3)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝2，S 3＝12，则a 6等于( ) A.8 B.10 C.12D.14解析 设等差数列{a n }的公差为d ，则S 3＝3a 1＋3d ，所以12＝3×2＋3d ，解得d ＝2，所以a 6＝a 1＋5d ＝2＋5×2＝12，故选C. 答案 C3.(2014·辽宁，8)设等差数列{a n }的公差为d .若数列{2a 1a n }为递减数列，则( ) A.d <0 B.d >0 C.a 1d <0D.a 1d >0解析 {2a 1a n }为递减数列，可知{a 1a n }也为递减数列，又a 1a n ＝a 21＋a 1(n －1)d ＝a 1dn ＋a 21－a 1d ，故a 1d <0，故选C.答案 C4.(2016·北京，12)已知{a n }为等差数列，S n 为其前n 项和.若a 1＝6，a 3＋a 5＝0，则S 6＝________.解析 ∵a 3＋a 5＝2a 4＝0，∴a 4＝0. 又a 1＝6，∴a 4＝a 1＋3d ＝0，∴d ＝－2. ∴S 6＝6×6＋6×（6－1）2×(－2)＝6.答案 65.(2016·江苏，8)已知{a n }是等差数列，S n 是其前n 项和.若a 1＋a 22＝－3，S 5＝10，则a 9的值是________.解析 设等差数列{a n }公差为d ，由题意可得：⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋（a 1＋d ）2＝－3，5a 1＋5×42d ＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－4，d ＝3， 则a 9＝a 1＋8d ＝－4＋8×3＝20. 答案 206.(2015·陕西，13)中位数为1 010的一组数构成等差数列，其末项为2 015，则该数列的首项为________.解析由题意设首项为a1，则a1＋2 015＝2×1 010＝2 020，∴a1＝5.答案5等差数列的性质7.(2015·北京，6)设{a n}是等差数列，下列结论中正确的是( )A.若a1＋a2＞0，则a2＋a3＞0B.若a1＋a3＜0，则a1＋a2＜0C.若0＜a1＜a2，则a2＞a1a3D.若a1＜0，则(a2－a1)(a2－a3)＞0解析A，B选项易举反例，C中若0＜a1＜a2，∴a3＞a2＞a1＞0，∵a1＋a3>2a1a3，又2a2＝a1＋a3，∴2a2>2a1a3，即a2>a1a3成立.答案C8.(2015·广东，10)在等差数列{a n}中，若a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝25，则a2＋a8＝________.解析因为{a n}是等差数列，所以a3＋a7＝a4＋a6＝a2＋a8＝2a5，a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝5a5＝25，即a5＝5，a2＋a8＝2a5＝10.答案109.(2012·江西，12)设数列{a n}，{b n}都是等差数列，若a1＋b1＝7，a3＋b3＝21，则a5＋b5＝________.解析∵{a n}，{b n}均是等差数列，根据等差数列的性质a1＋a5＝2a3，b1＋b5＝2b3，即a5＝2a3－a1，b5＝2b3－b1，∴a5＋b5＝2(a3＋b3)－(a1＋b1)＝2×21－7＝35.答案35等差数列的综合应用10.(2016·浙江，6)如图，点列{A n}，{B n}分别在某锐角的两边上，且|A n A n＋1|＝|A n＋1A n＋2|，A n≠A n＋2，n∈N*，|B n B n＋1|＝|B n＋1B n＋2|，B n≠B n＋2，n∈N*(P≠Q表示点P与Q不重合).若d n ＝|A n B n|，S n为△A n B n B n＋1的面积，则( )A.{S n }是等差数列B.{S 2n }是等差数列 C.{d n }是等差数列D.{d 2n }是等差数列解析 S n 表示点A n 到对面直线的距离(设为h n )乘以|B n B n －1|长度一半，即S n ＝12h n |B n B n －1|，由题目中条件可知|B n B n －1|的长度为定值，过A 1作垂直得到初始距离h 1，那么A 1，A n 和两个垂足构成等腰梯形，则h n ＝h 1＋|A 1A n |tan θ(其中θ为两条线所成的锐角，为定值)，从而S n ＝12(h 1＋|A 1A n |tan θ)|B n B n ＋1|，S n ＋1＝12(h 1＋|A 1A n ＋1|)|B n B n ＋1|，则S n ＋1－S n ＝12|A n A n ＋1||B n B n ＋1|tan θ，都为定值，所以S n ＋1－S n 为定值，故选A. 答案 A11.(2015·四川，16)设数列{a n }(n ＝1，2，3，…)的前n 项和S n 满足S n ＝2a n －a 1，且a 1，a 2＋1，a 3成等差数列.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)记数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前n 项和为T n ，求使得|T n －1|＜11 000成立的n 的最小值.解 (1)由已知S n ＝2a n －a 1，有a n ＝S n －S n －1＝2a n －2a n －1(n ≥2)， 即a n ＝2a n －1(n ≥2)，所以公比q ＝2， 从而a 2＝2a 1，a 3＝2a 2＝4a 1， 又因为a 1，a 2＋1，a 3成等差数列， 即a 1＋a 3＝2(a 2＋1)，所以a 1＋4a 1＝2(2a 1＋1)，解得a 1＝2，所以，数列{a n }是首项为2，公比为2的等比数列，故a n ＝2n. (2)由(1)得1a n ＝12n ，所以T n ＝12＋122＋…＋12n ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 1－12＝1－12n .由|T n －1|＜11 000，得⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－12n －1＜11 000， 即2n＞1 000，因为29＝512＜1 000＜1 024＝210，所以n ≥10，于是，使|T n －1|＜11 000成立的n 的最小值为10.12.(2013·山东，20)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 4＝4S 2，a 2n ＝2a n ＋1. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设数列{b n }的前n 项和为T n ，且T n ＋a n ＋12n＝λ(λ为常数).令c n ＝b 2n ，(n ∈N *)，求数列{c n }的前n 项和R n .解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，令n ＝1， 则a 2＝2a 1＋1，即a 1＝d －1，① 又S 4＝4S 2，即2a 1＝d ，② 由①②联立解得a 1＝1，d ＝2， 所以a n ＝2n －1(n ∈N *). (2)由题意知，T n ＝λ－n2n －1，所以当n ≥2时，b n ＝T n －T n －1＝⎝⎛⎭⎪⎫λ－n 2n－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫λ－n －12n －2＝n －22n －1. 故c n ＝b 2n ＝n －14n －1(n ∈N *).∴R n ＝c 1＋c 2＋…＋c n －1＋c n ＝0＋14＋242＋…＋n －14n －1，14R n ＝142＋243＋…＋n －24n －1＋n －14n ， 两式相减得34R n ＝14＋142＋…＋14n －1－n －14n＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14n －11－14－n －14n＝13⎝⎛⎭⎪⎫1－3n ＋14n ，整理得R n ＝49⎝ ⎛⎭⎪⎫1－3n ＋14n ＝19⎝ ⎛⎭⎪⎫4－3n ＋14n －1.所以数列{c n }的前n 项和R n ＝19⎝ ⎛⎭⎪⎫4－3n ＋14n －1。