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典例2 一探险队员在探险时遇到一山沟,山沟的一侧竖直,另一侧的坡面 呈抛物线形状。此队员从山沟的竖直一侧,以速度v0沿水平方向跳向另一 侧坡面。如图所示,以沟底的O点为原点建立坐标系Oxy。已知,山沟竖直 一侧的高度为2h,坡面的抛物线方程为y= x2;探险队员的质量为m。人视 为质点,忽略空气阻力,重力加速度为g。 (1)求此人落到坡面时的动能;
C.物体的末位置比初位置高些 D.重力做了50 J的负功
2. 答案 BCD
物体克服重力做功,是重力对物体做负功的另一种表述
方式,由重力做功跟重力势能变化的关系可知物体的重力势能增加了50 J, 所以选项B、C、D正确。
3.质量为m的小球,从离桌面H高处由静止下落,桌面离地高度为h,如图所示,
若以桌面为参考平面,那么小球落地时的重力势能及整个过程中小球重力 势能的变化分别为( )
1 m (2)小环运动到最远处,其速度为零,从x0=0到x2处用机械能守恒定律有: v 2
+mgy0=mgy2
2
0
得y2=0
代入y2=2.5 cos(kx2+ π)
5 πm 得x2= 6 2 3
思想方法
多个物体组成的系统机械能守恒问题处理方法
对系统应用机械能守恒定律要注意: (1)合理选取系统,判断是哪个系统的机械能守恒;
4.将一物体以速度v从地面竖直上抛,取地面为重力势能参考平面。当物体
运动到某高度时,它的动能恰为重力势能的一半,不计空气阻力,重力加速 度为g,则这个高度为 (
v2 A. g v2 B. 2g v2 C. 3g
)
v2 D. 4g
4. 答案 C 由于物体运动过程除重力以外没有其他作用力,所以物体的
包括③ 重力势能 和④ 弹性势能 。 2.机械能守恒定律 (1)内容:在只有⑤ 重力 或系统内弹力做功的物体系统内,动能与势能 可以相互转化,而总的机械能保持不变。 (2)表达式:Ek1+Ep1=Ek2+Ep2或ΔEk增=ΔEp减,或ΔEA增=ΔEB减。 (3)守恒条件:只有重力做功或系统内弹力做功。 3.辨析 (1)物体所受合外力为零,其机械能一定守恒 ⑥(✕) (2)合外力做功为零,物体的机械能一定守恒 ⑦(✕) (3)做匀速运动的物体其机械能一定守恒 ⑧(✕)
知识梳理
一、重力做功和重力势能 1.重力做功的特点 重力做功与① 运动路径 无关,只与始末位置的② 高度差 有关。 2.重力做功与重力势能变化的关系
(1)定性关系:重力对物体做正功,重力势能就③ 减少 ;重力对物体做
负功,重力势能就④ 增加 。 (2)定量关系:重力对物体所做的功,等于物体重力势能的⑤ 减少量 。
机械能守恒。令动能等于重力势能的一半时物体距离地面高为h,由机械
v2 1 1 1 2 能守恒定律可得 mv =mgh+Ek,依题意有Ek= Ep= mgh,可解得h= 。 2 2 2 3g
5.如图所示,一根轻弹簧下端固定,竖立在水平面上。
其正上方A位置有一个小球。小球从静止开始下落, 在B位置接触弹簧的上端,在C位置小球所受弹力大
外力一直向下,对小球做正功,使动能增加;C→D小球受的合外力一直向上, 对小球做负功,使动能减少,所以B正确。从A→C小球重力势能的减少量等
于小球动能的增加量与弹簧弹性势能的增加量之和,所以C正确。A、D两
位置动能均为零,重力做的正功等于弹力做的负功,所以D正确。
重难突破
重难一 机械能是否守恒的判断
即WG=-ΔFp=⑥ Ep1-Ep2 。
3.辨析
(1)重力势能的大小与零势能参考面的选取有关 ⑦(√)
(2)重力势能的变化量与零势能参考面的选取无关 ⑧(√) (3)被举高的物体重力势能一定不为零 ⑨(✕)
二、弹性势能
1.概念:物体由于发生① 弹性形变 而具有的能叫弹性势能。 2.大小:弹簧的弹性势能大小与② 劲度系数 和③ 弹性形变量 有
小等于重力,在D位置小球速度减小到
零。小球下降阶段下列说法中正确的是 ( A.在B位置小球动能最大 B.在C位置小球动能最大 )
C.从A→C小球重力势能的减少量大于小球动能的增加量
D.从A→D小球重力势能的减少量等于弹簧弹性势能的增加量
5. 答案 BCD
小球动能的增加用合外力做功来度量,A→C小球受的合
的最大高度为h,有
1 mv2 mgh= 2
联立解得h= 故物块B上升的最大高度为H=s+h=s+ = s。
s 6 5 5
s 5
针对训练2 如图所示,长度相同的三根轻杆构成一个正三角形支架。在A
处固定质量为2m的小球,B处固定质量为m的小球,支架悬挂在O点,可绕与 支架所在平面相垂直的固定轴转动。开始时OB与地面相垂直。放手后开
解析
从b开始释放到b落地的过程中,a、b系统机械能守恒,所以(3m-m)
v2 h 1 2 gh= (3m+m)v ,v= ,b落地后,a做竖直上抛运动,上升高度h'= = ,所以a gh 2 2g 2
可能达到的最大高度为h+h'=1.5h,故选B。
答案
B
针对训练1 如图所示,一固定的楔形木块,其斜面的倾角为θ=30°,另一边
功,则其他力对物体做功的代数和为零,此时物体的机械能守恒;若重力做
功,其他外力做功的代数和不为零,此时机械能不守恒,故C错误;由机械能 守恒的条件知D正确。
2.一个物体在运动过程的某个阶段,克服重力做功为50 J。在此过程中,下
列的一些判断中正确的是 ( A.物体的重力势能减少了50 J )
B.物体的重力势能增加了50 J
1.下列叙述中正确的是 ( ) A.做匀变速直线运动的物体的机械能一定守恒 B.做匀变速直线运动的物体的机械能可能守恒 C.外力对物体做功为零,物体的机械能一定守恒 D.系统内只有重力和弹力做功时,系统的机械能一定守恒
1. 答案 BD
做匀变速直线运动的物体,若只有重力对它做功,机械能守
恒,若重力以外的其他外力对物体做功的代数和不为零,则物体的机械能不 守恒,故A错误、B正确;外力对物体做功为零时,有两种情况:若重力不做
关,弹簧劲度系数一定时,在弹性范围内,形变量越大,弹性势能越大。Ep=
1 kx 。
2
2
3.弹力做功与弹性势能变化的关系:弹力做多少正功,弹性势能就④ 减 少 多少;弹力做多少负功,弹性势能就⑤ 增加 多少。
三、机械能守恒定律
1.机械能:① 动能 和② 势能 统称为机械能,即E=Ek+Ep,其中势能
1 mv = 1 m 2 +mg(2h-y) ④ v0
2
2
2
联立①②③④式得
2 2 21 4 g h 1 2 mv = m ⑤ v 0 2 v0 gh 2 2
(2)⑤式可以改写为
2
v = 2+3gh ⑥ 2 gh v0 gh 2 v0 gh
1 2h
(2)此人水平跳出的速度为多大时,他落在坡面时
的动能最小?动能的最小值为多少?
解析
(1)设该队员在空中运动的时间为t,在坡面上落点的横坐标为x,纵
坐标为y。由运动学公式和已知条件得
x=v0t ① 2h-y= gt2 ②
1 2
根据题意有
x2 y= ③ 2h
由机械能守恒知落到坡面时的动能为
只要满足下列条件之一,机械能一定守恒。
(1)物体只受重力,只发生动能和重力势能的相互转化。如自由落体运
动、抛体运动等。 (2)只有系统内弹力做功,只发生动能和弹性势能的相互转化。如在光滑 水平面上运动的物体碰到一个弹簧,和弹簧相互作用的过程中,对物体和 弹簧组成的系统来说,机械能守恒。 (3)物体既受重力,又受弹力,只有重力和系统内弹力做功,只发生动能、
解析
重物由A点下摆到B点的过程中,弹簧被拉长,弹簧对重物做了负
功,根据功能关系知,重物的机械能减小,④正确,③错误;同时,重物高度下 降,重力势能减小,①正确,②错误。故选C。
答案
C
1-1 下列物体中,机械能守恒的是 ( A.被平抛的物体(不计空气阻力) B.被匀速吊起的集装箱 C.光滑曲面上自由运动的物体
2
v2最小的条件为⑥式中的平方项等于0,由此得
v0= gh ⑦ 此时v2=3gh,则最小动能为
1 = mgh3 ⑧ mv
2
min 2 1 2 4 g 2 h2 答案 (1) m v0 2(2) v0 gh 2
2
gh mgh
3 2
应用机械能守恒定律的解题思路
1.明确研究对象,即哪些物体参与了动能和势能的相互转化,选择合适的初态
和末态。 2.分析物体的受力并分析各个力做功的情况,看是否符合机械能守恒的条件, 只有符合条件才能应用机械能守恒定律。 3.正确选择守恒定律的表达式列方程,可分过程列式,也可对全过程列式。 4.求解结果并说明自由下落的物体落到竖直的弹簧
上,和弹簧相互作用的过程中,对物体和弹簧组成的系统来说,机械能守 恒。
(4)除受重力(或系统内弹力)外,还受其他力,但其他力不做功,或其他力做
功的代数和为零。如物体在沿斜面向下的拉力F的作用下沿斜面向下运 动,其拉力的大小与摩擦力的大小相等,在此运动过程中,其机械能守恒。
A.mgh,减少mg(H-h)
B.mgh,增加mg(H+h) C.-mgh,减少mg(H+h)
D.-mgh,增加mg(H-h)
3. 答案 C 因为以桌面为参考平面,所以小球落地时的重力势能为-mgh,
A、B错误;小球下落过程中重力做正功WG=mg(H+h),重力势能减少mg(H +h),所以C正确,D错误。
典例1 如图所示,一轻弹簧固定于O点,另一端系一重物,将重物从与悬 点O在同一水平面且弹簧保持原长的A点无初速地释放,让它自由摆下,
