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第8章 矩阵位移法 ♍♦♐ 制作同济大学教材笔记(本章答案陆续上传中)一、知识要点： 1.结构坐标系一般采用右手坐标系，记为xoy 。
此时，结点位移和结点力均取与结构坐标系方向一致为正，其中结点的角位移和结点力矩按右手法则均取逆时针方向为正。
2.局部坐标系主要注意α角的定义，看如下图示即明白。
yxoijexyα3.桁架单元刚度方程000000000000eeexi i yi i xj j yj j EAEA F u l lF v EA EAF u l l F v ⎛⎫-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪-⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎪⎝⎭桁架结构变换矩阵Tcos sin 00sin cos 0000cos sin 00sin cos T αααααααα⎛⎫⎪-⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭桁架在结构坐标系下的单元刚度矩阵22222222ee c sc c sc sc s sc s EA k l c sc c sc sc s sc s ⎛⎫-- ⎪-- ⎪=⎪-- ⎪⎪--⎝⎭4.刚架单元刚度方程32322232322212612664621261266264eeeyi i i i yj j j j EIEI EI EI l l l l F v EI EI EI EI M l l l l EI EI EI EI F v l l l l M EI EI EI EI l l l l θθ⎛⎫- ⎪⎪⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎪ ⎪=⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎪⎪-⎝⎭5.受轴向力作用的一般刚架单元刚度方程32322232322200001261260064620000001261260062640eexi i yi i i i xj j yj j EAEA ll EI EIEI EI F u l l l l F v EI EI EI EI M l l l l EA EA F u l l F v EIEI EI EI M l l l l EI EI EI EI l lllθ⎛⎫- ⎪⎪ ⎪⎛⎫- ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪=⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--- ⎪⎝⎭⎪ ⎪- ⎪⎝⎭ej j ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭一般刚架单元刚度方程的坐标变换矩阵Tcos sin 0000sin cos 0000001000000cos sin 0000sin cos 0001T αααααααα⎛⎫⎪- ⎪ ⎪=⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭结构坐标系下的一般刚架单元刚度矩阵e k12412423523545645612412423523545645622ea a a a a a a a a a a a a a a a a a k a a a a a a a a a a a a a a a a a a --⎛-- --=---- ---- --⎝6.为什么已知杆端位移能求得单元的唯一杆端力，而已知杆端力却无法唯一确定杆端位移这是因为支座位移条件不已知，可能相差一个刚体位移，即位移的绝对值不同。
习 题8-1 试说出单元刚度矩阵的物理意义及其性质与特点。
8-2 试说出空间桁架和刚架单元刚度矩阵的阶数。
8-3 试分别采用后处理法和先处理法列出图示梁的结构刚度矩阵。
(a)解：（a ）用后处理法计算 （1）结构标识（2）建立结点位移向量，结点力向量[]T44332211 θνθνθνθν=∆[]Ty M F M F M F M F F 4y43y32y211 =θ（3）计算单元刚度矩阵⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=2222322211211462661261226466126122EI 21 l l -l l l -l -l l -l l l l - l k k k k k ①①①①①⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=222233332232223 33 6 3632336 362EI 21 l l - l l l - l -l l -l l l -l l k k k k k ②②②②②lll⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=222234443343323 33 6 3632336 362EI 2 1 l l - l l l - l -l l -l l l -l l k k k k k ③③③③③（4）总刚度矩阵⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡++=222222222234443343333322322222112112 3300003 6 3 6 000 03403003601236000 0 3632600 363186120000 26460 0 0 06126122EI 0 0 00 0 0 4 3 2 1 4 3 2 1 l l -l l l - l - - l l -l l l l - l - - l l -l l -l l l l - -l -- l l -l l l l - l k k k k k k k k k k k k k ③③③③②②②②①①①①θ （5）建立结构刚度矩阵支座位移边界条件[][]00004311 θ θ θν=将总刚度矩阵中对应上述边界位移行列删除，得刚度结构矩阵。
第八章矩阵位移法主要内容有限单元法的基本概念，结构离散化。
平面杆系结构的单元分析：局部坐标系下的单元刚度矩阵和整体坐标系下的单元刚度矩阵。
平面杆系结构的整体分析：结构整体刚度矩阵和结构整体刚度方程。
支承条件的处理，单元内力计算。
利用对称性简化位移法计算。
矩阵位移法的计算步骤和应用举例。
学习目的和要求矩阵位移法是以计算机为计算工具的现代化结构分析方法。
基于该法的结构分析程序在结构设计中得到了广泛的应用。
因此，以计算机进行结构分析是本章的学习目的。
本章的基本要求：矩阵位移法包含两个基本环节：单元分析和整体分析。
在单元分析中，熟练掌握单元刚度矩阵和单元等效荷载的概念和形成。
熟练掌握已知结点位移后求单元杆端力的计算方法。
在整体分析中，熟练掌握结构整体刚度矩阵中元素的物理意义和集成过程，熟练掌握结构综合结点荷载的集成过程。
掌握单元定位向量的建立，支撑条件的处理。
自由式单元的单元刚度矩阵不要求背记，但要领会其物理意义，并会由它来推出特殊单元的单元刚度矩阵。
§ 8-1 概述杆系结构矩阵分析又叫杆系结构的有限元法, 分为矩阵力法和矩阵位移法, 亦称为柔度法和刚度法。
由于矩阵位移法比矩阵力法更容易实现计算过程程序化, 因而应用很广泛, 故本章只讨论矩阵位移法。
矩阵位移法的内容包括以下两部分：(1) 将整体结构分成为有限个较小的单元( 在杆系结构中常把一个等截面直杆作为一个单元), 即进行结构的离散化。
然后分析单元内力与位移之间的关系式, 建立单元刚度矩阵, 形成单元的刚度方程, 称该过程为单元分析。
(2) 把各单元按结点处的变形协调条件和结点的平衡条件集合成原整体结构, 建立结构刚度矩阵, 形成结构刚度方程, 解方程后求出原结构的结点位移和内力, 称该过程为整体分析。
上述一分一合,先拆后搭的过程中, 是将复杂结构的计算问题转化为简单单元的分析及集合问题。
而由单元刚度矩阵直接形成结构刚度矩阵是直接刚度法的核心内容。
第八章矩阵位移法
主要内容
有限单元法的基本概念，结构离散化。
平面杆系结构的单元分析：局部坐标系下的单元刚度矩阵和整体坐标系下的单元刚度矩阵。
平面杆系结构的整体分析：结构整体刚度矩阵和结构整体刚度方程。
支承条件的处理，单元内力计算。
利用对称性简化位移法计算。
矩阵位移法的计算步骤和应用举例。
学习目的和要求
矩阵位移法是以计算机为计算工具的现代化结构分析方法。
基于该法的结构分析程序在结构设计中得到了广泛的应用。
因此，以计算机进行结构分析是本章的学习目的。
本章的基本要求：
矩阵位移法包含两个基本环节：单元分析和整体分析。
在单元分析中，熟练掌握单元刚度矩阵和单元等效荷载的概念和形成。
熟练掌握已知结点位移后求单元杆端力的计算方法。
在整体分析中，熟练掌握结构整体刚度矩阵中元素的物理意义和集成过程，熟练掌握结构综合结点荷载的集成过程。
掌握单元定位向量的建立，支撑条件的处理。
自由式单元的单元刚度矩阵不要求背记，但要领会其物理意义，并会由它来推出特殊单元的单元刚度矩阵。
§8-1 概述
杆系结构矩阵分析又叫杆系结构的有限元法,分为矩阵力法和矩阵位移法,亦称为柔度法和刚度法。
由于矩阵位移法比矩阵力法更容易实现计算过程程序化,因而应用很广泛,故本章只讨论矩阵位移法。
矩阵位移法的内容包括以下两部分：
(1) 将整体结构分成为有限个较小的单元(在杆系结构中常把一个等截面直杆作为一个单元),即进行结构的离散化。
然后分析单元内力与位移之间的关系式,建立单元刚度矩阵,形成单元的刚度方程,称该过程为单元分析。
(2) 把各单元按结点处的变形协调条件和结点的平衡条件集合成原整体结构,建立结构刚度矩阵,形成结构刚度方程,解方程后求出原结构的结点位移和内力,称该过程为整体分析。
上述一分一合,先拆后搭的过程中,是将复杂结构的计算问题转化为简单单元的分析及集合问题。
而由
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单元刚度矩阵直接形成结构刚度矩阵是直接刚度法的核心内容。
§8-2 单元刚度矩阵
对称性 由反力互等定理可知,在单元刚度矩阵e k ⎡⎤⎣⎦中位于主斜线两边对称位置的两个元素是相
等的,故e k ⎡⎤⎣⎦是一个对称方阵。
奇异性 单元刚度矩阵e k ⎡⎤⎣⎦是奇异矩阵。
e k ⎡⎤⎣⎦的相应行列式的值为零,逆矩阵不存在。
因此,若给定了杆端位移e δ⎡⎤⎣⎦,则可以由式(10-4)确定出杆端力e F ⎡⎤⎣⎦；但是给定了杆端力e F ⎡⎤⎣⎦后,却不能由式
(10-4)反求出杆端位移e δ⎡⎤⎣⎦。
由于讨论的是一般单元(自由单元),两端设有任何支承约束,因此,杆件除了由杆端力所引起的弹性变形外,还可以具有任意的刚体位移。
§8-3 单元刚度矩阵的坐标变换
在上节中，单元刚度矩阵是建立在杆件的局部坐标系中的。
其目的是推导出的单元刚度矩阵形式最简单。
如果从整体分析的角度来考虑，对于整个结构，由于各杆轴方向不尽相同，因而各单元的局部坐标也不尽相同，很不统一。
为了便于整体分析，在考虑整个结构的几何条件和平衡条件时，必须选定一个统一的坐标系，称为结构坐标系(或整体坐标系)。
为了与局部坐标相区分，结构坐标系用xoy 表示。
为了推导结构坐标系下的单元刚度矩阵e k ⎡⎤⎣⎦，可采用坐标变换的方法，即把局部坐标系中建立的单元刚度矩阵e k ⎡⎤⎣⎦转换为结构坐标系中的e k ⎡⎤⎣⎦，为此，首先讨论两种坐标系中单元杆端力的转换式，得到
单元坐标转换矩阵；其次再讨论两种坐标系中单元刚度矩阵的转换式。
§8-4 结构的原始刚度矩阵
从本节开始进行结构的整体分析，即在单元分析的基础上，考虑各结点的几何条件及平衡条件，建立结构的刚度方程和结构刚度矩阵。
§8-5 非结点荷载的处理
结构上受到的荷载，按其作用位置的不同可分为两类：一类直接作用在结点上的称为结点荷载；另一类作用在结点之间的杆件上的称为非结点荷载。
非结点荷载不能直接用于结构矩阵分析。
但实际问题中所遇到的大部分荷载又是非结点荷载。
因此，在结构矩阵分析中，必须将非结点荷载处理为结点荷载，将其与结点荷载一并形成结构荷载列向量。
1．等效结点荷载
受有非结点荷载，可按以下两步来处理。
(1) 在具有结点位移的结点上加入附加刚臂和附加链杆以阻止所有结点的转动和移动，此时各单元将产生固端力，附加刚臂和附加链杆上产生附加反力矩和反力。
由结点的平衡可知，这些附加反力矩和反力的大小等于汇交于该结点的各单元固端力的代数和。
(2) 取消附加刚臂和链杆，相当于将上述附加反力矩和反力反号作为荷载加于结点上。
这些结点荷载称为原非结点荷载的等效结点荷载。
在等效结点荷载作用下，便可按前述方法求解。
最后，将以上两步内力叠加，即可得原结构在非结点荷载作用下的内力解答。
2．综合结点荷载
若除了非结点荷载的等效结点荷载[F Ei]外，结点上还有原来直接作用的荷载[F Di](下标“D”表示直接之意)，则总的结点荷载为
[F i]=[F Ei]+[F Di]
[F i]称为综合结点荷载。
整个结构的结点荷载列阵为
[F]=[F E]+[F D]
式中[F D]是直接结点荷载列阵，[F E]是等效结点荷载列阵。
§8-6 矩阵位移法的计算步骤及示例
通过以上的分析，可将矩阵位移法的计算步骤总结如下：
(1) 对结点、单元进行编号，选定结构坐标系及局部坐标系。
(2) 建立单元在局部坐标系中的单元刚度矩阵。
(3) 建立单元在结构坐标系中的单元刚度矩阵。
(4) 形成结构原始刚度矩阵。
(5) 计算固端力，等效结点荷载及综合结点荷载。
(6) 引入支承条件，修改结构原始刚度方程。
(7) 解刚度方程，求结点位移。
(8) 计算各单元杆端内力。
铰结点的处理
当刚架中有铰结点时，处理方法之一是像传统位移法那样，不把铰结点的转角作为基本未知量，当然这就要引用具有铰结端的单元刚度矩阵。
另一种处理方法是将各铰结端的转角均作为基本未知量求解，这样虽然增加了未知量的数目，但所有杆件都采用前述一般单元的刚度矩阵，因而单元类型统一，程序简单，通用性强。
当采用后一种处理方法时，由于在铰结点处，各杆的转角各不相等，故铰结点处的转角未知量便不止一个，因此在对结点编号时要编2个及2个以上的号，把每个铰结端都作为一个结点，而令它们的
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线位移相等，角位移则各自独立。
位移相等的则编相同的编号。
忽略轴向变形的影响
用矩阵位移法计算刚架时，亦可忽略轴向变形的影响。
由于不计轴向变形，各结点线位移不再全部独立，因而只对其独立的结点线位移予以编号，凡结点线位移相等者编号亦相同。
但当有斜杆等情况时，这样处理并不方便。
忽略轴向变形另一方便的办法是采用前面讲的一般方法（即每个结点位移分量均作为独立未知量求解），但将杆件的截面面积A输为很大的
数（例如比实际面积大104～106倍），就可得到满意的结果。
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