应用多元统计分析课后习题答案高惠璇(第四章部分习题解答

2.1.试叙述多元联合分布和边际分布之间的关系。

解：多元联合分布讨论多个随机变量联合到一起的概率分布状况，12(,,)p X X X X '=L 的联合分布密度函数是一个p 维的函数，而边际分布讨论是12(,,)p X X X X '=L 的子向量的概率分布，其概率密度函数的维数小于p 。

2.2设二维随机向量12()X X '服从二元正态分布，写出其联合分布。

解：设12()X X '的均值向量为()12μμ'=μ，协方差矩阵为21122212σσσσ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则其联合分布密度函数为1/21222112112222122121()exp ()()2f σσσσσσσσ--⎧⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪'=---⎨⎬ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎪⎪⎩⎭x x μx μ。

2.3已知随机向量12()X X '的联合密度函数为121212222[()()()()2()()](,)()()d c x a b a x c x a x c f x x b a d c --+-----=--其中1ax b ≤≤，2c x d ≤≤。

求（1）随机变量1X 和2X 的边缘密度函数、均值和方差； （2）随机变量1X 和2X 的协方差和相关系数；（3）判断1X 和2X 是否相互独立。

（1）解：随机变量1X 和2X 的边缘密度函数、均值和方差；112121222[()()()()2()()]()()()dx cd c x a b a x c x a x c f x dx b a d c --+-----=--⎰12212222222()()2[()()2()()]()()()()dd c c d c x a x b a x c x a x c dx b a d c b a d c -------=+----⎰ 121222202()()2[()2()]()()()()dd c c d c x a x b a t x a t dt b a d c b a d c ------=+----⎰ 2212122222()()[()2()]1()()()()d cdc d c x a x b a t x a t b a d c b a d c b a------=+=----- 所以 由于1X 服从均匀分布，则均值为2b a+，方差为()212b a -。

第四章判别分析4.1 简述欧几里得距离与马氏距离的区别和联系。

答：设p维欧几里得空间中的两点X=和Y=。

则欧几里得距离为。

欧几里得距离的局限有①在多元数据分析中，其度量不合理。

②会受到实际问题中量纲的影响。

设X,Y是来自均值向量为，协方差为的总体G中的p维样本。

则马氏距离为D(X,Y)=。

当即单位阵时，D(X,Y)==即欧几里得距离。

因此，在一定程度上，欧几里得距离是马氏距离的特殊情况，马氏距离是欧几里得距离的推广。

4.2 试述判别分析的实质。

答：判别分析就是希望利用已经测得的变量数据，找出一种判别函数，使得这一函数具有某种最优性质，能把属于不同类别的样本点尽可能地区别开来。

设R1，R2，…，Rk 是p 维空间R p 的k 个子集，如果它们互不相交，且它们的和集为，则称为的一个划分。

判别分析问题实质上就是在某种意义上，以最优的性质对p 维空间构造一个“划分”，这个“划分”就构成了一个判别规则。

4.3 简述距离判别法的基本思想和方法。

答：距离判别问题分为①两个总体的距离判别问题和②多个总体的判别问题。

其基本思想都是分别计算样本与各个总体的距离（马氏距离），将距离近的判别为一类。

①两个总体的距离判别问题设有协方差矩阵∑相等的两个总体G 1和G 2，其均值分别是μ1和μ 2，对于一个新的样品X ，要判断它来自哪个总体。

计算新样品X 到两个总体的马氏距离D 2（X ，G 1）和D 2（X ，G 2），则X，D 2（X ，G 1）D 2（X ，G 2）X，D 2（X ，G 1）> D 2（X ，G 2，具体分析，2212(,)(,)D G D G -X X111122111111111222111211122()()()()2(2)2()-----------''=-----''''''=-+--+'''=-+-X μΣX μX μΣX μX ΣX X ΣμμΣμX ΣX X ΣμμΣμX ΣμμμΣμμΣμ11211212112122()()()2()22()2()---''=-++-'+⎛⎫=--- ⎪⎝⎭''=--=--X ΣμμμμΣμμμμX ΣμμX μααX μ 记()()W '=-X αX μ 则判别规则为X，W(X)X，W(X)<0②多个总体的判别问题。

第4章违背基本假设的情况思考与练习参考答案4.1 试举例说明产生异方差的原因。

答：例4.1：截面资料下研究居民家庭的储蓄行为Y i=0+1X i+εi其中：Y i表示第i个家庭的储蓄额，X i表示第i个家庭的可支配收入。

由于高收入家庭储蓄额的差异较大，低收入家庭的储蓄额则更有规律性，差异较小，所以εi的方差呈现单调递增型变化。

例4.2：以某一行业的企业为样本建立企业生产函数模型Y i=A i1K i2L i3eεi被解释变量：产出量Y，解释变量：资本K、劳动L、技术A，那么每个企业所处的外部环境对产出量的影响被包含在随机误差项中。

由于每个企业所处的外部环境对产出量的影响程度不同，造成了随机误差项的异方差性。

这时，随机误差项ε的方差并不随某一个解释变量观测值的变化而呈规律性变化，呈现复杂型。

4.2 异方差带来的后果有哪些？答：回归模型一旦出现异方差性，如果仍采用OLS估计模型参数，会产生下列不良后果：1、参数估计量非有效2、变量的显著性检验失去意义3、回归方程的应用效果极不理想总的来说，当模型出现异方差性时，参数OLS估计值的变异程度增大，从而造成对Y的预测误差变大，降低预测精度，预测功能失效。

4.3 简述用加权最小二乘法消除一元线性回归中异方差性的思想与方法。

答：普通最小二乘估计就是寻找参数的估计值使离差平方和达极小。

其中每个平方项的权数相同，是普通最小二乘回归参数估计方法。

在误差项等方差不相关的条件下，普通最小二乘估计是回归参数的最小方差线性无偏估计。

然而在异方差的条件下，平方和中的每一项的地位是不相同的，误差项的方差大的项，在残差平方和中的取值就偏大，作用就大，因而普通最小二乘估计的回归线就被拉向方差大的项，方差大的项的拟合程度就好，而方差小的项的拟合程度就差。

由OLS 求出的仍然是的无偏估计，但不再是最小方差线性无偏估计。

所以就是：对较大的残差平方赋予较小的权数，对较小的残差平方赋予较大的权数。

多元统计分析课后练习答案第1章多元正态分布1、在数据处理时，为什么通常要进行标准化处理？数据的标准化是将数据按比例缩放，使之落入一个小的特定区间。

在某些比较和评价的指标处理中经常会用到，去除数据的单位限制，将其转化为无量纲的纯数值，便于不同单位或量级的指标能够进行比较和加权。

其中最典型的就是0-1标准化和Z 标准化。

2、欧氏距离与马氏距离的优缺点是什么？欧氏距离也称欧几里得度量、欧几里得度量，是一个通常采用的距离定义，它是在m 维空间中两个点之间的真实距离。

在二维和三维空间中的欧氏距离的就是两点之间的距离。

缺点：就大部分统计问题而言，欧氏距离是不能令人满意的。

每个坐标对欧氏距离的贡献是同等的。

当坐标表示测量值时，它们往往带有大小不等的随机波动，在这种情况下，合理的方法是对坐标加权，使变化较大的坐标比变化较小的坐标有较小的权系数，这就产生了各种距离。

当各个分量为不同性质的量时，“距离”的大小与指标的单位有关。

它将样品的不同属性之间的差别等同看待，这一点有时不能满足实际要求。

没有考虑到总体变异对距离远近的影响。

马氏距离表示数据的协方差距离。

为两个服从同一分布并且其协方差矩阵为Σ的随机变量与的差异程度:如果协方差矩阵为单位矩阵,那么马氏距离就简化为欧氏距离,如果协方差矩阵为对角阵,则其也可称为正规化的欧氏距离。

优点：它不受量纲的影响，两点之间的马氏距离与原始数据的测量单位无关。

由标准化数据和中心化数据计算出的二点之间的马氏距离相同。

马氏距离还可以排除变量之间的相关性的干扰。

缺点：夸大了变化微小的变量的作用。

受协方差矩阵不稳定的影响，马氏距离并不总是能顺利计算出。

3、当变量X1和X2方向上的变差相等，且与互相独立时，采用欧氏距离与统计距离是否一致？统计距离区别于欧式距离，此距离要依赖样本的方差和协方差，能够体现各变量在变差大小上的不同，以及优势存在的相关性，还要求距离与各变量所用的单位无关。

如果各变量之间相互独立,即观测变量的协方差矩阵是对角矩阵, 则马氏距离就退化为用各个观测指标的标准差的倒数作为权数的加权欧氏距离。

多元统计分析课后题第四章 回归分析1、设河流的一个断面的年径流量为y ，该断面的上游流域的年平均降水量为x1，年平均饱和差为x2，现共有14年的观测记录：时间x1x2y 时间x1x2y17201.8029085792.221512553 2.6713595152.411313575 1.75234105763.031064548 2.07182115471.832005572 2.49145125681.902246453 3.5969137201.982717540 1.88205147002.90130（1）试求y 关于x 1、x 2的二元线性回归方程;（2）对回归方程和每一个回归系数的显著性做检验;（3）求出每一个回归系数的置信水平为0.95的置信区间;（4）求出回归方程的复相关系数;（5）设某年x 1=600，x 2=2.50，求E(y)的点估计及置信水平为0.95的置信区间。

解：利用以上数据表拟合线性回归模型.22110εβββ+++=x x y 点选SPSS 视窗中的分析回归分析线性…，再将y 选入因变量的方框中，同时→→将x1和x2选入自变量的方框中，再在“统计”中选择估计、模型拟合、R 平方变化、描述、部分和偏相关、Durbin-Watson 选项，最后点击“OK ”按钮即可作线性回归分析，输出结果如下：Regression变量的样本均值和标准差：变量间的简单相关系数：这里给出了回归方程的样本决定系数和P值以及DW值：下面的框图是方差分析表，从中可以看出，y关于x1和x2的线性回归方程通过了显著性检验，均方残差为554.963，F统计量值为42.155，P值为0.000，回归方程在0.000的统计意义上是显著的。

上面的框图给出了非标准化和标准化的回归方程，以及回归系数的t 统计量检验结果。

从中我们可以看出，非标准化的回归方程为：（1）21x 647.87292.0875.209-+=x y（2）回归系数、均通过了显著性检验。

第四章判别分析习题4.8（1）根据数据建立贝叶斯判别函数，并根据此判别函数对原样本进行回判。

（2）现有一新品牌的饮料在该超市试销，其销售价格为3.0，顾客对其口味评分为8，信任度评分平均为5，试预测该饮料的销售情况。

将数据导入SPSS，分析得到以下结果：1.典型判别函数的特征函数的特征值表表1-1 特征值表表1-1所示是典型判别函数的特征值表，只有两个判别函数，所以特征值只有2个。

函数1的特征值为17.791，函数2的特征值为0.720，判别函数的特征值越大，说明函数越具有区别判断力。

函数1方差的累积贡献率高达96.1%，且典型相关系数为0.973，而函数2方差的贡献率仅为3.9%，典型相关系数为0.647。

由此，说明函数1的区别判断力比函数2的强，函数1更具有区别判断力。

2.Wilks检验结果表1-2 Wilks 的Lambda上表中判别函数1和判别函数2的Wilks’Lambda值为0.031，判别函数2的Wilks’Lambda值为0.581。

“1到2”表示两个判别函数的平均数在三个类间的差异情况，P值=0.002<0.05表示差异达到显著水平“2”表示在排除了第一个判别函数后，第二个判别函数在三个组别间的差异情况，P值=0.197>0.05表示判别函数2未达到显著水平。

3.建立贝叶斯判别函数表1-3 贝叶斯判别法函数系数上表为贝叶斯判别函数的系数矩阵，用数学表达式表示各类的贝叶斯判别函数为：第一组：F1=-81.843-11.689X1+12.97X2+16.761X3第二组：F2=-94.536-10.707X1+13.361X2+17.086X3第三组：F3=-17.499-2.194X1+4.960X2+6.447X3将新品牌饮料样品的自变量值分别代入上述三个贝叶斯判别函数，得到三个函数值为：F1=65.271，F2=65.661，F3=47.884比较三个值，可以看出F2=65.661最大，据此得出新品牌饮料样品应该属于第二组，即该饮料的销售情况为平销。

第二章2.1.试叙述多元联合分布和边际分布之间的关系。

解：多元联合分布讨论多个随机变量联合到一起的概率分布状况，12(,,)p X X X X '=的联合分布密度函数是一个p 维的函数，而边际分布讨论是12(,,)p X X X X '=的子向量的概率分布，其概率密度函数的维数小于p 。

2.2设二维随机向量12()X X '服从二元正态分布，写出其联合分布。

解：设12()X X '的均值向量为()12μμ'=μ，协方差矩阵为21122212σσσσ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则其联合分布密度函数为1/21222112112222122121()exp ()()2f σσσσσσσσ--⎧⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪'=---⎨⎬ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎪⎪⎩⎭x x μx μ。

2.3已知随机向量12()X X '的联合密度函数为121212222[()()()()2()()](,)()()d c x a b a x c x a x c f x x b a d c --+-----=--其中1a x b ≤≤，2c x d ≤≤。

求（1）随机变量1X 和2X 的边缘密度函数、均值和方差； （2）随机变量1X 和2X 的协方差和相关系数； （3）判断1X 和2X 是否相互独立。

（1）解：随机变量1X 和2X 的边缘密度函数、均值和方差；112121222[()()()()2()()]()()()dx cd c x a b a x c x a x c f x dx b a d c --+-----=--⎰12212222222()()2[()()2()()]()()()()dd cc d c x a x b a x c x a x c dx b a d c b a d c -------=+----⎰ 12122222()()2[()2()]()()()()dd cc d c x a x b a t x a t dt b a d c b a d c ------=+----⎰2212122222()()[()2()]1()()()()d cdcd c x a x b a t x a t b a d c b a d c b a------=+=----- 所以由于1X 服从均匀分布，则均值为2b a +，方差为()212b a -。

多元统计分析课后习题答案多元统计分析课后习题答案在学习多元统计分析时，课后习题是巩固所学知识的重要环节。

通过解答习题，我们可以进一步理解和应用统计学的概念和方法。

下面将给出一些多元统计分析课后习题的答案，希望能对大家的学习有所帮助。

1. 在多元统计分析中，什么是协方差矩阵？如何计算协方差矩阵？答：协方差矩阵是用来衡量多个随机变量之间的线性关系的矩阵。

它是一个对称矩阵，对角线上的元素是各个变量的方差，非对角线上的元素是两个变量之间的协方差。

计算协方差矩阵的方法是，首先计算每个变量的平均值，然后计算每个变量与其他变量的协方差。

最后将这些协方差按照矩阵的形式排列，即得到协方差矩阵。

2. 什么是主成分分析？主成分分析的步骤是什么？答：主成分分析是一种用于降维的统计方法，它可以将多个相关变量转化为一组无关的主成分。

主成分分析的目标是找到能够解释原始变量大部分方差的少数几个主成分。

主成分分析的步骤如下：(1) 标准化数据：将原始数据进行标准化处理，使得每个变量的均值为0，标准差为1。

(2) 计算协方差矩阵：根据标准化后的数据计算协方差矩阵。

(3) 计算特征值和特征向量：求解协方差矩阵的特征值和特征向量。

(4) 选择主成分：根据特征值的大小选择主成分，通常选择特征值较大的前几个主成分。

(5) 构造主成分：将选择的主成分与原始数据进行线性组合，得到新的主成分。

3. 什么是判别分析？判别分析的步骤是什么？答：判别分析是一种用于分类的统计方法，它通过寻找最佳的分类边界，将样本分为不同的类别。

判别分析的目标是找到能够最大程度地区分不同类别的线性组合。

判别分析的步骤如下：(1) 收集样本数据：首先收集包含已知类别的样本数据。

(2) 计算类均值向量：根据样本数据计算每个类别的均值向量。

(3) 计算类内离散度矩阵：根据样本数据计算每个类别的类内离散度矩阵。

(4) 计算类间离散度矩阵：根据样本数据计算类间离散度矩阵。

(5) 计算投影向量：根据类内离散度矩阵和类间离散度矩阵计算投影向量。

第四章4-1 设⎪⎩⎪⎨⎧++=+-=+=,2,2,332211εεεb a y b a y a y ).,0(~323321I N σεεεε⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=（1）试求参数b a ,的最小二乘估计；（2）试导出检验b a H =:0的似然比统计量，并指出当假设成立时，这个统计量是分布是什么？解：（1）由题意可知.,,,211201321321⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=εεεεβ b a y y y Y C 则⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-==--321'1''1'211201************)(ˆy y y Y C C C β.ˆˆ)2(51)2(6132321⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+-++ba y y y y y（2）由题意知，检验b a H =:0的似然比统计量为2322ˆ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=σσλ 其中，])ˆ2ˆ()ˆˆ2()ˆ[(31ˆ2322212b a y b a y a y --++-+-=σ。

当0H 成立时，设0a b a ==，则⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+=,3,,303202101εεεa y a y a y ,311⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=C 可得,ˆ)3y (111311311311)(ˆ0321321'1''1'ay y y y y Y C C C =++=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡==--β ],)ˆ3()ˆ()ˆ[(31ˆ20320220120a y a y ay -+-+-=σ因此，当假设0H 成立时，与似然比统计量λ等价的F 统计量及其分布为).1,1(~ˆˆˆ2202F F σσσ-=4-3 设Y 与321,,x x x 有相关关系，其8组观测数据见表4.5.表 4.5 观测数据序号 1x2x3xY1 38 47.5 23 66.02 41 21.3 17 43.0 3 34 36.5 21 36.0 4 35 18.0 14 23.0 5 31 29.5 11 27.06 34 14.2 9 14.07 29 21.0 4 12.0 83210.087.6（1）设εββββ++++=3322110x x x Y ，试求回归方程及决定系数2R 和均方误差2s 。