河北衡水中学数学中心教研室 数学学科课件2016

第1讲函数及其表示◆高考导航·顺风启程◆[知识梳理]1．函数与映射的概念(1)函数的定义域、值域在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域.显然，值域是集合B的子集.(2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系.(3)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据．(4)函数的表示法表示函数的常用方法有：解析法、图象法、列表法.3．分段函数若函数在其定义域的不同子集上，因 对应关系 不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．4．常见函数定义域的求法 (1)分式函数中分母 不等于零 .(2)偶次根式函数被开方式 大于或等于0 . (3)一次函数、二次函数的定义域为R.(4)y ＝a x (a ＞0且a ≠1)，y ＝sin x ，y ＝cos x ，定义域均为R. (5)y ＝tan x 的定义域为{x |x ∈R ，且x ≠k π＋π2，k ∈Z}．(6)函数f (x )＝x 0的定义域为 {x |x ∈R ，且x ≠0} .[知识感悟]1．辨明两个易误点(1)易混“函数”与“映射”的概念：函数是特殊的映射，映射不一定是函数，从A 到B 的一个映射，A 、B 若不是数集，则这个映射便不是函数．(2)分段函数是一个函数，而不是几个函数．分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集．2．函数解析式的四种常用求法(1)配凑法：由已知条件f (g (x ))＝F (x )，可将F (x )改写成关于g (x )的表达式，然后以x 替代g (x )，便得f (x )的表达式；(2)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法； (3)换元法：已知复合函数f (g (x ))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围； (4)方程组法：已知关于f (x )与f ⎝⎛⎭⎫1x 或f (－x )的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f (x )．[知识自测]1．(2018·潍坊模拟)下列图象可以表示以M ＝{x |0≤x ≤1}为定义域，以N ＝{y |0≤y ≤1}为值域的函数的是( )[解析] 由选择支知A 值域不是[0,1]，B 定义域不是[0,1]，D 不是函数，只有C 符合题意．故选C.[答案] C2．(2015·湖北卷)设x ∈R ，定义符号函数sgn x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ＞0，0，x ＝0，－1，x ＜0，则( )A ．|x |＝x |sgn x |B ．|x |＝x sgn |x |C ．|x |＝|x |sgn xD ．|x |＝x sgn x[解析] ∵|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ＞0，0，x ＝0，－x ，x ＜0，sgn x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ＞0，0，x ＝0，－1，x ＜0，∴|x |＝x sgn x . [答案] D3．已知f ⎝⎛⎭⎫1x ＝x 2＋5x ，则f (x )＝ ________ . [解析] 令t ＝1x ，∴x ＝1t ，∴f (t )＝1t 2＋5t .∴f (x )＝5x ＋1x 2(x ≠0)． [答案]5x ＋1x 2(x ≠0)题型一 函数的概念(基础拿分题，自主练透)有以下判断：①f (x )＝|x |x 与g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1 (x ≥0)－1 (x ＜0)表示同一函数；②函数y ＝f (x )的图象与直线x ＝1的交点最多有1个； ③f (x )＝x 2－2x ＋1与g (t )＝t 2－2t ＋1是同一函数；④若f (x )＝|x －1|－|x |，则f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫12＝0. 其中正确判断的序号是 ________ .[解析] 对于①，由于函数f (x )＝|x |x 的定义域为{x |x ∈R 且x ≠0}，而函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1(x ≥0)，－1(x ＜0)的定义域是R ，所以二者不是同一函数；对于②，若x ＝1不是y ＝f (x )定义域内的值，则直线x ＝1与y ＝f (x )的图象没有交点，如果x ＝1是y ＝f (x )定义域内的值，由函数定义可知，直线x ＝1与y ＝f (x )的图象只有一个交点，即y ＝f (x )的图象与直线x ＝1最多有一个交点；对于③，f (x )与g (t )的定义域、值域和对应关系均相同，所以f (x )和g (t )表示同一函数；对于④，由于f ⎝⎛⎭⎫12＝⎪⎪⎪⎪12－1－⎪⎪⎪⎪12＝0，所以f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫12＝f (0)＝1. 综上可知，正确的判断是②③. [答案] ②③方法感悟两个函数是否相同判断方法1．定义域和对应法则都相同，则两个函数表示同一函数．2．即使定义域和值域都分别相同的两个函数，它们也不一定是同一函数，因为定义域、值域不能唯一地确定函数的对应法则．3．两个函数是否相同与自变量用什么字母表示无关． 【针对补偿】1．(2016·全国Ⅱ卷)下列函数中，其定义域和值域分别与函数y ＝10lg x 的定义域和值域相同的是( )A ．y ＝xB ．y ＝lg xC ．y ＝2xD ．y ＝1x[解析] 由y ＝10lg x 定义域值域均为(0，＋∞)，与D 符合．故选D. [答案] D2．下列各组函数中，表示同一函数的是( ) A ．f (x )＝|x |，g (x )＝x 2 B ．f (x )＝x 2，g (x )＝(x )2 C ．f (x )＝x 2－1x －1，g (x )＝x ＋1D ．f (x )＝x ＋1·x －1，g (x )＝x 2－1 [解析] A 中，g (x )＝|x |，∴f (x )＝g (x )． B 中，f (x )＝|x |，g (x )＝x (x ≥0)， ∴两函数的定义域不同．C 中，f (x )＝x ＋1(x ≠1)，g (x )＝x ＋1， ∴两函数的定义域不同．D 中，f (x )＝x ＋1·x －1(x ＋1≥0且x －1≥0)，f (x )的定义域为{x |x ≥1}； g (x )＝x 2－1(x 2－1≥0)，g (x )的定义域为{x |x ≥1或x ≤－1}． ∴两函数的定义域不同．故选A. [答案] A题型二 求函数的定义域(高频考点题，多角突破)考向一 求给定函数解析式的定义域 1．函数f (x )＝1－|x －1|a x －1(a ＞0且a ≠1)的定义域为 ________ .[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧ 1－|x －1|≥0，a x －1≠0，⇒⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤2，x ≠0，⇒0＜x ≤2，故所求函数的定义域为(0,2]． [答案] (0,2]2．(2016·江苏卷)函数y ＝3－2x －x 2的定义域是 ________ . [解析] 3－2x －x 2≥0，解得－3≤x ≤1，因此定义域为[－3,1]． [答案] [－3,1]考向二 求抽象函数的定义域3．若函数f (x 2＋1)的定义域为[－1,1]，则f (lg x )的定义域为( ) A ．[－1,1] B ．[1,2] C ．[10,100]D ．[0，lg 2][解析] 因为f (x 2＋1)的定义域为[－1,1]，则－1≤x ≤1，故0≤x 2≤1，所以1≤x 2＋1≤2.因为f (x 2＋1)与f (lg x )是同一个对应法则，所以1≤lg x ≤2，即10≤x ≤100，所以函数f (lg x )的定义域为[10,100]．故选C.[答案] C4．(2018·唐山模拟)已知函数f (x )的定义域[0,2]，则函数g (x )＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋12＋f ⎝⎛⎭⎫x －12的定义域为______．[解析] 因为函数f (x )的定义域是[0,2]，所以函数g (x )＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋12＋f ⎝⎛⎭⎫x －12中的自变量x 需要满足⎩⎨⎧0≤x ＋12≤2，0≤x －12≤2，解得12≤x ≤32，所以函数g (x )的定义域是⎣⎡⎦⎤12，32. [答案] ⎣⎡⎦⎤12，32考向三 由定义域确定参数问题5．(2018·合肥模拟)若函数f (x )＝2x 2＋2ax －a －1的定义域为R ，则a 的取值范围为 ________ .[解析] 函数f (x )的定义域为R ，所以2x 2＋2ax －a －1≥0对x ∈R 恒成立，即2x 2＋2ax －a ≥20，x 2＋2ax －a ≥0恒成立，因此有Δ＝(2a )2＋4a ≤0，解得－1≤a ≤0.[答案] [－1,0]方法感悟函数定义域的求解策略1．已知函数解析式：构造使解析式有意义的不等式(组)求解． 2．实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解． 3．抽象函数：(1)若已知函数f (x )的定义域为[a ，b ]，其复合函数f (g (x ))的定义域由不等式a ≤g (x )≤b 求出；(2)若已知函数f (g (x ))的定义域为[a ，b ]，则f (x )的定义域为g (x )在x ∈[a ，b ]时的值域． 【针对补偿】3．(2018·北京模拟)已知函数y ＝f (x )的定义域为[0,4]，则函数y 1＝f (2x )－ln(x －1)的定义域为( )A ．[1,2]B ．(1,2]C ．[1,8]D ．(1,8][解析] 由已知函数y ＝f (x )的定义域为[0,4]，则使函数y 1＝f (2x )－ln(x －1)有意义，需⎩⎪⎨⎪⎧0≤2x ≤4，x －1＞0，解得1＜x ≤2，所以定义域为(1,2]，故选B. [答案] B4．函数y ＝ln ⎝⎛⎭⎫1＋1x ＋1－x 2的定义域为 ________ . [解析] 要使函数有意义，需⎩⎪⎨⎪⎧1＋1x ＞0，1－x 2≥0，x ≠0.即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1x ＞0，x 2≤1，x ≠0.即⎩⎪⎨⎪⎧x ＜－1或x ＞0，－1≤x ≤1，x ≠0，解得0＜x ≤1，所以定义域为(0,1]．[答案] (0,1]题型三 求函数解析式(重点保分题，共同探讨)(1)已知f ⎝⎛⎭⎫2x ＋1＝lg x ，则f (x )＝ ________ .(2)已知f (x )是一次函数，且满足3f (x ＋1)－2f (x －1)＝2x ＋17，则f (x )＝ ________ . (3)已知函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f (x )＝2f ⎝⎛⎭⎫1x x －1，则f (x )＝ ________ . [解析] (1)(换元法)令t ＝2x ＋1(t ＞1)，则x ＝2t －1，∴f (t )＝lg 2t －1，即f (x )＝lg 2x －1(x ＞1)．(2)(待定系数法) 设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)， 则3f (x ＋1)－2f (x －1)＝3ax ＋3a ＋3b －2ax ＋2a －2b ＝ax ＋5a ＋b ， 即ax ＋5a ＋b ＝2x ＋17，不论x 为何值都成立，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b ＋5a ＝17，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝7，∴f (x )＝2x ＋7. (3)(消去法)在f (x )＝2f ⎝⎛⎭⎫1x x －1中，用1x 代替x ， 得f ⎝⎛⎭⎫1x ＝2f (x )·1x －1， 将f ⎝⎛⎭⎫1x ＝2f (x )x －1代入f (x )＝2f ⎝⎛⎭⎫1x ·x －1中， 可求得f (x )＝23x ＋13.[答案] (1)lg 2x －1(x ＞1) (2)2x ＋7 (3)23x ＋13方法感悟函数解析式的求法(1)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)，可用待定系数法； (2)换元法：已知复合函数f (g (x ))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围； (3)配凑法：由已知条件f (g (x ))＝F (x )，可将F (x )改写成关于g (x )的表达式，然后以x 替代g (x )，使得f (x )的解析式；(4)消去法：已知f (x )与f ⎝⎛⎭⎫1x 或f (－x )之间的关系式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f (x )．【针对补偿】5．已知f (x ＋1)＝x ＋2x ，则f (x )＝ ________ . [解析] 令t ＝x ＋1，∴t ≥1，x ＝(t －1)2. 则f (t )＝(t －1)2＋2(t －1)＝t 2－1， ∴f (x )＝x 2－1(x ≥1)．[答案] x 2－1(x ≥1)6．(2016·浙江卷)设函数f (x )＝x 3＋3x 2＋1.已知a ≠0，且f (x )－f (a )＝(x －b )(x －a )2，x ∈R ，则实数a ＝______，b ＝______.[解析] f (x )－f (a )＝x 3＋3x 2＋1－a 3－3a 2－1＝x 3＋3x 2－a 3－3a 2， (x －b )(x －a )2＝x 3－(2a ＋b )x 2＋(a 2＋2ab )x －a 2b ， 所以⎩⎪⎨⎪⎧－2a －b ＝3a 2＋2ab ＝0－a 2b ＝－a 3－3a 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2b ＝1.[答案] －2；17．已知f (x )＋2f ⎝⎛⎭⎫1x ＝x (x ≠0)，则f (x )的解析式为__________． [解析] ∵f (x )＋2f ⎝⎛⎭⎫1x ＝x ，∴f ⎝⎛⎭⎫1x ＋2f (x )＝1x. 解方程组⎩⎨⎧f (x )＋2f ⎝⎛⎭⎫1x ＝x ，f ⎝⎛⎭⎫1x ＋2f (x )＝1x，得f (x )＝23x －x3(x ≠0)． [答案] f (x )＝23x －x3(x ≠0) 题型四 分段函数问题(高频考点题，共同突破) 考向一 分段函数的求值问题 1．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋log 2(2－x )，x ＜1，2x －1，x ≥1，则f (－2)＋f (log 212)＝( ) A ．3 B ．6 C ．9 D ．12[解析] ∵－2＜1，∴f (－2)＝1＋log 2(2＋2)＝1＋log 24＝1＋2＝3. ∵log 212＞1，∴f (log 212)＝2log 212－1＝122＝6. ∴f (－2)＋f (log 212)＝3＋6＝9. [答案] C考向二 解方程式解不等式问题2．(2017·课标Ⅲ)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤0，2x ，x ＞0，则满足的f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫x －12＞1的x 的取值范围是_______．[解析] 令g (x )＝f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫x －12， 当x ≤0时，g (x )＝f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫x －12＝2x ＋32， 当0＜x ≤12时，g (x )＝f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫x －12＝2x ＋x ＋12， 当x ＞12时，g (x )＝f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫x －12＝(2＋1)2x －1， 写成分段函数的形式：g (x )＝f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫x －12＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋32，x ≤02x＋x ＋12，0＜x ≤12，(2＋1)2x －1，x ＞12函数g (x )在区间(]－∞，0，⎝⎛⎦⎤0，12，⎝⎛⎭⎫12，＋∞三段区间内均单调递增， 且：g ⎝⎛⎭⎫－14＝1,20＋0＋12＞1，(2＋1)×20－1＞1 ， 据此x 的取值范围是： ⎝⎛⎭⎫－14，＋∞. [答案] ⎝⎛⎭⎫－14，＋∞ 考向三 求最值或值域问题3．(2016·北京卷)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3－3x ，x ≤a ，－2x ，x ＞a .(1)若a ＝0，则f (x )的最大值为______；(2)若f (x )无最大值，则实数a 的取值范围是______.[解析] (1)若a ＝0，则f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3－3x ，x ≤0，－2x ，x ＞0，则f ′(x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x 2－3，x ≤0，－2，x ＞0，当x <－1时，f ′(x )>0，此时函数为增函数， 当x >－1时，f ′(x )<0，此时函数为减函数， 故当x ＝－1时，f (x )的最大值为2.(2)f ′(x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x 2－3，x ≤a ，－2，x ＞a ，令f ′(x )＝0，则x ＝±1，若f (x )无最大值，则⎩⎪⎨⎪⎧a ≥－1，－2a ＞a 3－3a 或⎩⎪⎨⎪⎧a ＞－1，－2a ＞a 3－3a －2a ＞2.解得a ∈(－∞，－1)． [答案] (1)2 (2)(－∞，－1) 考向四 图象及应用4．(2018·北京顺义二模)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 12x ，x ＞0，2x ，x ≤0，若关于x 的方程f (x )＝k 有两个不等的实数根，则实数k 的取值范围是( )A ．(0，＋∞)B ．(－∞，1)C ．(1，＋∞)D ．(0,1][解析] 作出函数y ＝f (x )与y ＝k 的图象，如图所示：由图可知k ∈(0,1]，故选D. [答案] D方法感悟分段函数应用的常见题型与求解策略整合．【针对补偿】8．(2018·唐山统考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －2，x ≤0，－log 3x ，x ＞0，且f (a )＝－2，则f (7－a )＝( )A ．－log 37B ．－34C ．－54D ．－74[解析] 当a ≤0时，2a －2＝－2无解；当a ＞0时，由－log 3a ＝－2，解得a ＝9，所以f (7－a )＝f (－2)＝2－2－2＝－74.[答案] D9．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －1，x ＜1，2x ， x ≥1，则满足f (f (a ))＝2f (a )的a 的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤23，1 B.[]0，1 C.⎣⎡⎭⎫23，＋∞ D.[)1，＋∞[解析] 由f (f (a ))＝2f (a )得，f (a )≥1.当a ＜1时，有3a －1≥1，∴a ≥23，∴23≤a ＜1.当a ≥1时，有2a ≥1，∴a ≥0，∴a ≥1.综上，a ≥23，故选C.[答案] C10．(2018·山东省济宁市二模试卷)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧cos ⎝⎛⎭⎫x －π2，x ∈[0，π]log 2 017xπ，x ∈(π，＋∞)若存在三个不相等的实数a ，b ，c 使得f (a )＝f (b )＝f (c )，则a ＋b ＋c 的取值范围为______．[解析] f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x ，0≤x ≤πlog 2 017xπ，x ＞π， 作出f (x )的函数图象如图所示：∵存在三个不相等的实数a ，b ，c 使得f (a )＝f (b )＝f (c )，不妨设a ＜b ＜c ，则0＜a ＜π2，π2＜b ＜π， 令log 2 017xπ＝1得x ＝2 017π，∴π＜c ＜2 017π，∵f (x )在[0，π]上的图象关于直线x ＝π2对称，∴a ＋b ＝π，∴a ＋b ＋c ∈(2π，2 018π)． 故答案为(2π，2 018π)． [答案] (2π，2 018π)◆牛刀小试·成功靠岸◆课堂达标(四)[A 基础巩固练]1．下列所给图象是函数图象的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4[解析] ①中当x ＞0时，每一个x 的值对应两个不同的y 值，因此不是函数图象，②中当x ＝x 0时，y 的值有两个，因此不是函数图象，③④中每一个x 的值对应唯一的y 值，因此是函数图象，故选B.[答案] B2．(2018·南昌模拟)函数f (x )＝2x ＋12x 2－x －1的定义域是( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠－12B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＞－12C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠－12，且x ≠1D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＞－12，且x ≠1[解析] 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1≥0，2x 2－x －1≠0，解得x ＞－12且x ≠1，故选D.[答案] D3．(2018·黑龙江大庆实验中学三模)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫13x ，x ≥3f (x ＋1)，x ＜3，则f (2＋log 32)的值为( )A ．－227 B.154 C.227D ．－54[解析] ∵2＋log 31＜2＋log 32＜2＋log 33，即2＜2＋log 32＜3 ∴f (2＋log 32)＝f (2＋log 32＋1)＝f (3＋log 32) 又3＜3＋log 32＜4∴f (3＋log 32)＝⎝⎛⎭⎫133＋log 32＝⎝⎛⎭⎫133×⎝⎛⎭⎫13log 32＝127×(3－1)log 32＝127×3－log 32＝127×3log 312＝127×12＝154∴f (2＋log 32)＝154.故选B. [答案] B4．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ＋6，x ≤0，－x ＋6，x ＞0，则不等式f (x )＜f (－1)的解集是( )A ．(－3，－1)∪(3，＋∞)B ．(－3，－1)∪(2，＋∞)C ．(－3，＋∞)D ．(－∞，－3)∪(－1,3)[解析] f (－1)＝3，f (x )＜3, 当x ≤0时，x 2＋4x ＋6＜3，解得x ∈(－3，－1)； 当x ＞0时，－x ＋6＜3，解得x ∈(3，＋∞)，故不等式的解集为(－3，－1)∪(3，＋∞)，故选A.[答案] A5．已知函数f (x )满足f (x )＋2f (3－x )＝x 2，则f (x )的解析式为( ) A ．f (x )＝x 2－12x ＋18 B ．f (x )＝13x 2－4x ＋6C ．f (x )＝6x ＋9D ．f (x )＝2x ＋3[解析] 由f (x )＋2f (3－x )＝x 2可得f (3－x )＋2f (x )＝(3－x )2，由以上两式解得f (x )＝13x 2－4x ＋6，故选B.[答案] B6．已知具有性质：f ⎝⎛⎭⎫1x ＝－f (x )的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，下列函数： ①y ＝x －1x ；②y ＝x ＋1x ；③y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，0＜x ＜1，0，x ＝1，－1x ，x ＞1.其中满足“倒负”变换的函数是( ) A ．①②B ．①③C ．②③D ．①[解析] 对于①，f (x )＝x －1x ，f ⎝⎛⎭⎫1x ＝1x －x ＝－f (x )，满足；对于②，f ⎝⎛⎭⎫1x ＝1x＋x ＝f (x )，不满足；对于③，f ⎝⎛⎭⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，0＜1x＜1，0，1x ＝1，－x ，1x＞1，即f ⎝⎛⎭⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x，x ＞1，0，x ＝1，－x ，0＜x ＜1，故f ⎝⎛⎭⎫1x ＝－f (x )．满足．综上可知，满足“倒负”变换的函数是①③. [答案] B7．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，x ＞1，－x －2，x ≤1，则f (f (2))＝ ________ ，函数f (x )的值域是________ .[解析] f (2)＝12，则f (f (2))＝f ⎝⎛⎭⎫12＝－52， 当x ＞1时，f (x )∈(0,1)，当x ≤1时， f (x )∈[－3，＋∞)，∴f (x )∈[－3，＋∞)． [答案] －52；[－3，＋∞)8．若函数y ＝f (x )的定义域是[0,2]，则函数g (x )＝f (2x )x －1的定义域为______． [解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧x －1≠0，0≤2x ≤2，得0≤x ＜1，即定义域是[0,1)．[答案] [0,1) 9．若函数y ＝ax ＋1ax 2＋2ax ＋3的定义域为R ，则实数a 的取值范围是 ________ .[解析] 因为函数y ＝ax ＋1ax 2＋2ax ＋3的定义域为R ，所以ax 2＋2ax ＋3＝0无实数解，即函数y ＝ax 2＋2ax ＋3的图象与x 轴无交点． 当a ＝0时，函数y ＝3的图象与x 轴无交点； 当a ≠0时，则Δ＝(2a )2－4·3a ＜0，解得0＜a ＜3.综上所述，a 的取值范围是[0,3)． [答案] [0,3)10．(1)如果f ⎝⎛⎭⎫1x ＝x1－x ，则当x ≠0且x ≠1时，求f (x )的解析式；(2)动点P 从单位正方形ABCD 的顶点A 出发，顺次经过B ，C ，D 绕边界一周，当x 表示点P 的行程，y 表示PA 的长时，求y 关于x 的解析式，并求f ⎝⎛⎭⎫52的值．[解] (1)令1x ＝t ，得x ＝1t(t ≠0且t ≠1)，∴f (t )＝1t1－1t ＝1t －1，∴f (x )＝1x －1(x ≠0且x ≠1)．(2)当P 点在AB 上运动时，y ＝x (0≤x ≤1)； 当P 点在BC 上运动时，y ＝12＋(x －1)2＝x 2－2x ＋2(1<x ≤2)； 当P 点在CD 上运动时，y ＝12＋(3－x )2＝x 2－6x ＋10(2<x ≤3)； 当P 点在DA 上运动时，y ＝4－x (3＜x ≤4)； 综上可知，y ＝f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，0≤x ≤1，x 2－2x ＋2，1<x ≤2，x 2－6x ＋10，2<x ≤3，4－x ，3<x ≤4.∴f ⎝⎛⎭⎫52＝52.[B 能力提升练]1．(2018·唐山期末)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(1－2a )x ＋3a ，x ＜1，ln x ，x ≥1的值域为R ，那么a 的取值范围是( )A ．(－∞，－1] B.⎝⎛⎭⎫－1，12 C.⎣⎡⎭⎫－1，12 D.⎝⎛⎭⎫0，12 [解析] 要使函数f (x )的值域为R ，需使⎩⎪⎨⎪⎧1－2a ＞0，ln 1≤1－2a ＋3a ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＜12，a ≥－1，∴－1≤a ＜12.即a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫－1，12. [答案] C2．(2018·辽宁沈阳一模)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧16x ＋2，x ＞ax 2＋3x ＋2，x ≤a ，函数g (x )＝f (x )－ax ，恰有三个不同的零点，则a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫16，3－22B.⎝⎛⎭⎫16，32C ．(－∞，3－22)D ．(3－22，＋∞)[解析] 函数g (x )有3个零点，等价于函数f (x )与y ＝ax 有3个不同的交点，如图，y ＝ax 与y ＝16x ＋2有一个交点，需a ＞16，若与抛物线有2个交点，需计算相切的时候的斜率，x 2＋3x ＋2＝ax ，Δ＝(a －3)2－8＝0，解得：a ＝3－22或a ＝3＋22(舍)，所以16＜a ＜3－22，故选A.[答案] A3．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x (x ≤2)，f (x －2)(x ＞2)则f (log 27)＝ ________ .[解析] f (log 27)＝f (log 27－2)＝f ⎝⎛⎭⎫log 274＝2log 274＝74. [答案]744．已知函数f (x )满足对任意的x ∈R 都有f ⎝⎛⎭⎫12＋x ＋f ⎝⎛⎭⎫12－x ＝2成立，则f ⎝⎛⎭⎫18＋f ⎝⎛⎭⎫28＋…＋f ⎝⎛⎭⎫78＝______.[解析] 由f ⎝⎛⎭⎫12＋x ＋f ⎝⎛⎭⎫12－x ＝2 得f ⎝⎛⎭⎫18＋f ⎝⎛⎭⎫78＝2，f ⎝⎛⎭⎫28＋f ⎝⎛⎭⎫68＝2， f ⎝⎛⎭⎫38＋f ⎝⎛⎭⎫58＝2，又f ⎝⎛⎭⎫48＝12⎣⎡⎦⎤f ⎝⎛⎭⎫48＋f ⎝⎛⎭⎫48＝12×2＝1. ∴f ⎝⎛⎭⎫18＋f ⎝⎛⎭⎫28＋…＋f ⎝⎛⎭⎫78＝2×3＋1＝7. [答案] 75．已知f (x )是二次函数，若f (0)＝0，且f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1. (1)求函数f (x )的解析式； (2)求函数y ＝f (x 2－2)的值域．[解析] (1)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧c ＝0，a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋c ＝ax 2＋bx ＋c ＋x ＋1， 整理得⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＋b ＝b ＋1，a ≠0，a ＋b ＝1，c ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝12，c ＝0.∴f (x )＝12x 2＋12x .(2)由(1)知y ＝f (x 2－2)＝12(x 2－2)2＋12(x 2－2)＝12(x 4－3x 2＋2)＝12⎝⎛⎭⎫x 2－322－18， 当x 2＝32时，y 取最小值－18，故函数值域为⎣⎡⎭⎫－18，＋∞. [C 尖子生专练](2018·长沙二模)某地一渔场的水质受到了污染．渔场的工作人员对水质检测后，决定往水中投放一种药剂来净化水质．已知每投放质量为m (m ∈N *)个单位的药剂后，经过x 天该药剂在水中释放的浓度y (毫克/升)满足y ＝mf (x )，其中f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3(x ＋4)，0＜x ≤5，6x －2， x ＞5，当药剂在水中释放的浓度不低于6(毫克/升)时称为有效净化；当药剂在水中释放的浓度不低于6(毫克/升)且不高于18(毫克/升)时称为最佳净化．(1)如果投放的药剂质量为m ＝6，试问渔场的水质达到有效净化一共可持续几天？ (2)如果投放的药剂质量为m ，为了使在8天(从投放药剂算起包括第8天)之内的渔场的水质达到最佳净化，试确定应该投放的药剂质量m 的取值范围．[解] (1)从题设，投放的药剂质量为m ＝6，渔场的水质达到有效净化⇔6f (x )≥6⇔f (x )≥1⇔⎩⎪⎨⎪⎧0＜x ≤5，log 3(x ＋4)≥1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＞5，6x －2≥1⇔0＜x ≤5或5＜x ≤8，即0＜x ≤8，所以如果投放的药剂质量为m ＝6，水质达到有效净化一共可持续8天． (2)由题设，∀x ∈(0,8]，6≤mf (x )≤18，m ＞0， ∵f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3(x ＋4)，0＜x ≤5，6x －2， x ＞5，∴∀x ∈(0,5]，6≤m log 3(x ＋4)≤18，且∀x ∈(5,8]， 6≤6mx －2≤18，∴⎩⎪⎨⎪⎧m log 34≥6，2m ≤18 且⎩⎪⎨⎪⎧m ≥6，2m ≤18⇔5≤m ≤9且6≤m ≤9， ∴6≤m ≤9，投放的药剂质量m 的取值范围为[6,9]．。