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Anand本构方程在焊点可靠性研究中的应用王旭艳;徐仁春;刘刚【摘要】焊点可靠性直接决定了电子产品的使用寿命.因此,在微电子领域,对焊点可靠性提出了更高的要求.有限元模拟技术是研究焊点可靠性的重要手段.综合评述了一种统一了蠕变和塑性变形的非线性本构方程-Anand本构模型；概述了其发展演变过程及研究现状；介绍了该本构方程中9个参数的计算规则,并进一步分析了目前国内外对于本构方程参数的确定以及进一步的改进情况.在焊点可靠性研究方面,评论了该模型在无铅QFP、BGA焊点应力-应变分析及焊点疲劳寿命预测方面的应用,为焊点可靠性的研究提供了理论指导.同时,为了更好的研究无铅焊点的可靠性,对该模型的构建及修正提出了新的需求.%Service life of the electronics is decided by the reliability of solder joint .therefore,higher reliability of the solder joint is required in the field of micro-electronics.Finite Element Modeling technology is an important method to study the reliability of solder joint.Anand constitutive model which is a nonlinear equation unified with creep and plastic deformation was reviewed systematically in the text.Evolution,study status and the calculation of nine constants of this constitutive equation were introduced,and the determination of parameters and modification of the constitutive equation at home and abroad were analysed.In aspect of study of solder joint reliability .applying of the constitutive model to stress-strain analysis and fatigue life of QFP and BCA solder joint was discussed,which can provide the theory guide for practical applications.Meanwhile,new requirement for building andamending the constitutive model was proposed to study the reliability of solder joint better.【期刊名称】《电焊机》【年(卷),期】2012(042)012【总页数】4页(P66-69)【关键词】Anand本构模型;蠕变;微电子焊接;焊点可靠性【作者】王旭艳;徐仁春;刘刚【作者单位】南京电子技术研究所,江苏南京210039;南京汽车集团有限公司,江苏南京210061;南京电子技术研究所,江苏南京210039【正文语种】中文【中图分类】TG453+.90 前言在微电子工业中，随着手机、笔记本电脑等便携式电子产品的微型化需求，促进了电子元器件也向微型化、高密度方向转化，导致焊点的尺寸也越来越小。
不锈钢点焊结构车体FEA建模方法摘要:针对不锈钢车体点焊结构的“点传力”特性，提出了位移主-从约束关系建模思想，并通过数值试验验证了采用位移主-从约束关系来模拟焊核比现有其它的模拟方法具有更高的精度.以城市轻轨动车组不锈钢点焊车体为应用对象，基于位移主-从约束关系建立了该车车体的有限元模型，计算结果与试验测试结果基本一致，证明了模型的正确性，为今后该类车型的设计与开发打下了良好的技术基础.关键词:FEA，位移耦合，点焊结构点焊是地铁车辆、城市轻轨车辆、甚至高速动车组的不锈钢车体结构大量金属板构件间的主要连接形式，分布于车身各部位，数量达上万个.点焊结构主要特点是:结构紧凑、重量轻、强度高、耐腐蚀.同时，它的制造工艺比较复杂，技术要求高，因此，尽管点焊结构车辆在国外已经获得了广泛应用，在国内则刚刚开始研制[1-2].如何把握点焊结构的力学特性，建立高精度的车体FEA计算模型已成为不锈钢点焊车研制过程中计算人员极为关注的问题.当前点焊结构常采用实体单元、梁单元、刚性单元和主-从关系(即位移耦合)来模拟焊核[3-4].从理论上说，点焊结构用适当高度的块体元模拟时，则可获得较高的精度，但对于大量均布、密集排列的焊点的不锈钢车体结构来说这将导致单元/结点数量急剧增加而不可行，因此，必须抓住不锈钢点焊车传力的主要特征创建FEA模型.与车辆结构尺寸相比，点焊焊核自身的尺寸可以忽略不计，在有限元模型中，可以将它们视为仅是整体坐标系下的一个“点”，在外载荷作用下，结构依靠这些“点”传递内力，这类结构可称为“点传力结构”.基于位移主-从控制关系原理[5]，本文认为对于不锈钢点焊车体这类典型的“点传力结构”，用位移的主-从约束关系来模拟焊核(即等价于在计算模型中被焊接连接的两点之间位移完全一致)是更为合理的，并通过数值试验证明了主-从约束关系比其它建模方法具有更高的精度.基于位移主-从约束关系建立了城市轻轨动车组不锈钢点焊车体的FEA模型，根据相关标准进行加载计算，通过与物理试验的比较，验证了计算模型的合理性和有效性.1 主-从控制关系的正则方程主-从关系(位移耦合)，指的是当一个结点被定义为另一个结点的从结点后，该从结点就失去了位移的独立性，它的位移只能且必须从属于主结点.主结点上的位移处理为独立位移，从结点上的位移为相关位移.在应用最小总势能原理求基于位移法的结构正则方程时，相关位移对总势能的贡献是通过与之有关的独立位移和指定位移表达的.结构的总势能为2 各种方法对比分析本文提出用位移主—从约束关系描写不锈钢点焊车体的点焊传力，这意味着模型中的每一点焊的焊核均被凝聚成一点，那么，这种简化与其它建模方法相比精度到底多高?以下用实体单元、梁单元、刚性单元和主-从关系(即位移耦合)为点焊结构建模来讨论各种方法的精确性.假设薄板A与B用点焊方式焊接，其厚度分别为t1与t2，t1薄板右端均匀作用有F吨拉力，t2薄板左端被约束住.焊核为三维椭球，其最大剖面的直径为d.在各方法的计算模型中，板的中心为焊点位置，也为坐标原点，梁单元的物理属性取决于板材，单元直径为d，单元长度为(t1+t2)/2;刚性单元，无物理属性，单元长度为(t1+t2)/2;实体单元物理属性取决于板材，单元尺寸取决于t1，t2;位移主-从约束不需要定义材料属性，只需指定六个自由度之间位移主-从约束关系.以实体元计算结果为标准，t1薄板上载荷方向的应力误差比列入附表.表中方法1为采用梁单元;方法2为采用刚性单元;方法3为采用位移耦合.表中位置点1至点8依次为t1薄板上过原点与载荷方向一致的坐标轴上等距离的点;位置点9至点16依次为t1薄板上过原点与载荷方向垂直的坐标轴上等距离的点.表中应力误差比的定义为(σ-σ0)/σ0，其中σ0为实体元计算结果.由附表可以看出:位移主—从约束建模方法的误差较小，刚性单元和梁元的较大.实体单元和位移耦合的两个模型沿外载荷方向的应力值比较如图1所示.结果表明:两种模型高应力区域一致;焊核附近，位移耦合模型的应力值要大于实体单元模型的，稍离开焊核，两种模型应力值几乎相同.3 工程验证城市轻轨动车组不锈钢点焊车体是典型的点传力结构，全部采用高强度车辆专用的冷弯或轧压工艺制造的不锈钢型材.除车顶、地板的波纹板之间的连接采用缝焊，其余板与梁、柱及部件与部件之间的连接均采用接触点焊.由于板薄，板与板、板与梁(柱)和柱与柱之间只能采用搭接接头，除2层、3层搭接外，最多还有5层板搭接.该不锈钢车体大约有4万个焊点，该车典型的焊接示意图如图2所示.不锈钢点焊车体在承受外载后，载荷通过数万焊点将力传递到车体各部，并由此产生车体各处的变形与应力，这一特点，在建模时必须真实体现，否则，计算模型将会失真，并将导致计算结果失真.假定车体构件的每一“点对”之间，一旦形成点焊，尽管这一点焊事实上占有一很小的面积，但相对车体构件尺寸而言，有理由视这两点被“焊成一点”，因此，在变形的过程中，点焊可以用位移主—从关系来描述.城市轻轨动车组不锈钢点焊车体有限元建模的关键问题是每一个焊点位置处必须要有结点生成.因此，在I-DEAS 软件(10.0)中创建真实地反映不锈钢车体构件之间的相互关系的、用于划分有限元网格的三维几何时，根据点焊位置，要一一创建“锚点”[6]，因为“锚点”一经生成，在随后的单元网格生成过程中，“锚点”将自动转化为单元的结点，这样就为点焊的“点对”准确位置的确定创造了条件.不锈钢点焊车体四分之一的局部放大网格如图3所示.四分之一模型的求解规模为:单元总数132309;节点总数134659;焊点数8824.依据文献[7]进行加载计算，垂直总静载荷工况作用下车体和部件的Von.Mises应力云图如图4所示.该车FEA计算结果与强度试验测试结果[8]的对比如图5所示，由图5可以看出两者基本一致，因此，该计算模型质量很高.事实上，正是由于该性能仿真模型的高可靠性，设计人员才有可能进行一次又一次的方案对比.而相对最优方案也正是在这种一次又一次对比中逐步形成的，其重要意义不言而喻.5 结语FEA的置信度关键在于计算模型的质量，而创建一个计算模型的必备条件是计算机、仿真软件和使用者.事实上，功能再好的仿真软件，速度再快的计算机，也只能辅助建模者提高建模的效率而不提供建模的原则与技巧，计算模型的质量主要还是取决于使用者的理论素养和建模经验.只有具有良好的理论素养和厚实的建模经验才能够很好地消化吸收仿真软件中的精髓，并将其融化在仿真模型的建立过程之中，使仿真模型合理和科学.本文基于位移主-从约束关系(位移耦合)原理模拟不锈钢点焊车体的点焊，并利用I-DEAS仿真软件高级建模功能，建立了城市轻轨动车组不锈钢点焊车体的FEA模型.通过FEA 计算结果与物理试验结果的对比，证明本文的建模思想方法是切实可行的. 参考文献:[1]内田，博行.日本不锈钢车辆技术，国外铁道车辆[J]，2001，38(4):1-4.[2]孙双进.开发生产不锈钢客车提高我国客车制造水平[J].铁道车辆，1998，36(6):18-21.[3]周长路，范子杰，陈宗渝，等，微型客车白车身模态分析[J].汽车工程，2004，26(1):78-80.[4]王宏雁，徐少英.有限元法在客车车身结构模态分析中的应用[J].北京汽车，2002，(1):13-15.[5]钟万勰.计算结构力学微机程序设计[M].北京:水利电力出版社，1984.[6]I-DEASMasterSeriesTMStudentGuide[M].StructuralDyn amicsResearchCorporation，1998.[7]JISE7105-1989.铁道车辆车体结构强度试验方法()[S].日本标准协会，1989.[8]天津滨海快速轨道交通不锈钢车体静强度试验报告[R].青岛:中国北车集团四方车辆研究所，2003.。
点焊焊接参数及其相互关系1。
点焊焊接循环焊接循环（welding cycle）,在电阻焊中是指完成一个焊点(缝）所包括的全部程序。
图19是一个较完整的复杂点焊焊接循环，由加压,…，休止等十个程序段组成，I、F、t中各参数均可独立调节，它可满足常用(含焊接性较差的）金属材料的点焊工艺要求.当将I、F、t中某些参数设为零时，该焊接循环将会被简化以适应某些特定材料的点焊要求。
当其中I1、I3、F pr、F fo、t2、t3、t4、t6、t7、t8均为零时，就得到由四个程序段组成的基本点焊焊接循环，该循环是目前应用最广的点焊循环,即所谓“加压－焊接－维持－休止"的四程序段点焊或电极压力不变的单脉冲点焊.2。
点焊焊接参数点焊焊接参数的选择，主要取决于金属材料的性质、板厚、结构形式及所用设备的特点(能提供的焊接电流波形和压力曲线），工频交流点焊在点焊中应用最为广泛且主要采用电极压力不变的单脉冲点焊。
（1）焊接电流I焊接时流经焊接回路的电流称为焊接电流，一般在数万安培（A）以内。
焊接电流是最主要的点焊参数。
调节焊接电流对接头力学性能的影响如图20所示。
AB段曲线呈陡峭段.由于焊接电流小使热源强度不足而不能形成熔核或熔核尺寸甚小，因此焊点拉剪载荷较低且很不稳定.BC段曲线平稳上升。
随着焊接电流的增加，内部热源发热量急剧增大（Q∝I2)，熔核尺寸稳定增大，因而焊点拉剪载荷不断提高;临近C点区域，由于板间翘离限制了熔核直径的扩大和温度场进入准稳态，因而焊点拉剪载荷变化不大。
CD段由于电流过大使加热过于强烈，引起金属过热、喷溅、压痕过深等缺陷，接头性能反而降低。
图20还表明,焊件越厚BC段越陡峭，即焊接电流的变化对焊点拉剪载荷的影响越敏感.(2）焊接时间t 自焊接电流接通到停止的持续时间，称焊接通电时间，简称焊接时间。
点焊时t一般在数十周波(1周波＝0。
02s)以内。
焊接时间对接头力学性能的影响与焊接电流相似（图21）.但应注意二点：1) C点以后曲线并不立即下降，这是因为尽管熔核尺寸已达饱和，但塑性环还可有一定扩大，再加之热源加热速率较和缓,因而一般不会产生喷溅。
材料的本构模型材料的本构关系是指材料在承受外界环境作用（外力，温度，能量等）下材料所表现出来的应力和应变之间的关系。
20世纪80年代以来，随着电子封装技术和表面组装技术的发展，为了对SnPb 焊点进行失效分析和寿命预测，人们开始对SnPb钎料的材料模式和力学本构关系进行了较深入的研究。
对SnPb基钎料合金材料模式的描述，经历了从弹性、弹塑性到粘塑性的发展过程。
Shall和Lau采用弹性或弹塑性本构方程描述SnPb 钎料的力学行为，对SnPb焊点热循环条件下的应力应变过程进行了有限元分析。
Stone的研究表明，高温下蠕变变形是SnPb焊点失效的主要机制。
因此，由于弹性或弹塑性本构方程不能描述SnPb与时间相关的变形行为，采用这类本构方程描述SnPb钎料的力学行为与实验结果差异太大。
Kneeht首先提出了SnPb钎料与时间无关的塑性变形和与时间有关的蠕变变形分开描述的粘塑性本构方程，随后，Sarihan、Pao和Sauber等也采用类似的方程作为SnlPb钎料的本构方程。
这类本构方程的具体形式是:弹塑性变形采用Hooke定律和Osgoed-Ramberg 幂级型本构方程，稳态蠕变变形采用幂级蠕变规律或类似于Garofalo方程的双曲型蠕变规律。
统一粘塑性本构方程区别于传统塑性本构理论的主要特点是，考虑材料内部状态变化对变形的影响，导致在本构方程中引入内变量，并用准确的演化方程描述内变量。
目前，现代塑性理论已发展了多种形式的统一型粘塑性本构方程，其中重要的是:(l)Miller方程; (2) Bodner-Partom方程; (3)Anand方程金属材料在塑性变形过程中, 显微组织结构发生了很大的变化, 从而导致了变形条件对变形的影响难以准确地用理论研究的方法获得, 特别是在高温和高应变速率条件下, 建立热粘性材料的本构关系更是如此。
因此, 世界上各国学者都先借助于实验研究来获得应力—应变—应变速率—温度之间的各种数据, 再采用统计回归方法建立数学表达式, 然后根据实验结果对原本构关系加以修改以使其预测结果与实际更好地吻合。
点焊工艺及参数分解
点焊是金属加工中常用的一种连接方式，其原理是通过在焊接接合部
位施加一定的压力和电流，使金属接合处达到高温熔化状态，然后冷却硬
化形成焊点。
点焊工艺的参数包括焊接电流、焊接时间、焊接压力和焊接
周期等。
焊接电流：焊接电流是点焊中最重要的参数之一，它决定了焊接过程
中所提供的热量大小。
一般来说，焊接电流与焊接金属的导电性和细致度
有关，导电性好的材料需要较低的焊接电流。
焊接时间：焊接时间指焊接电流在焊接接头上流动的时间，是指定时
间电流要消耗的焊接时间。
焊接时间的长短决定了焊接接头的热量输入量，直接影响焊接的质量和效率。
焊接压力：焊接压力是施加在焊接接头上的压力，它对焊接接头的抵
抗力和焊接的牢固性有重要影响。
焊接压力过大会使焊接接头的形变增大，焊缝凹陷度增加，对于薄板材料的焊接，会造成焊接接头的变形和变僵。
焊接周期：焊接周期是一个焊接过程的完整周期，包括上压时间、焊
接时间、冷却时间和提离时间。
上压时间指把电极施加在焊接接头上的时间；焊接时间指施加在焊接接头上的电流流动时间；冷却时间指焊接完成
后电极仍然施加在焊接接头上的时间；提离时间指将电极从焊接接头上提
离的时间。
不同焊接物料的厚度和性质，焊机的配置及压力模块会对焊接
周期进行调整。
除了这些主要的焊接参数外，还有其他一些次要的参数也会影响到点
焊的质量和效果，如电极压头尺寸、电极表面的保养和养护等。
总结起来，点焊工艺及参数分解主要包括焊接电流、焊接时间、焊接压力和焊接周期。
合理的选择和调节这些参数可以实现点焊过程中的高效率和高质量。
焊接位姿参数定义的讨论及典型工件的建模
焊接作为一种最常见的工艺之一，其位姿参数的定义对于保证焊接效果至关重要。
焊接位姿参数包括：焊接位置、焊缝形状、焊接方向以及环境因素等。
其中焊接位置分为平面位和立体位。
平面位包括横向、纵向等，立体位包括顶面、底面和侧面等。
焊缝形状包括对接缝、搭接缝、角接缝等，不同焊缝形状对应着不同的焊接方法和焊接材料。
焊接方向包括水平方向、竖直方向和倾斜方向等。
环境因素包括焊接精度、焊接温度、电流等因素，这些因素都会影响到焊接的质量和效果。
在建模方面，我们可以通过计算机辅助设计软件（CAD）进行三维建模。
具体步骤包括：建立焊接工件、定义焊缝形状和焊接位置、划分焊接区域、分配焊接材料和焊接参数等。
其中，建立焊接工件是重要的一步，需要根据实际工件尺寸进行精确设计，以保证后续分配焊接材料和参数时的准确性。
在分配焊接材料和参数时，我们需要根据具体需求进行选择，以保证焊接效果的质量和稳定性。
总之，焊接位姿参数的定义和建模设计对于保证焊接质量和效果非常重要。
通过科学合理的设计和建模，我们可以最大程度地提高焊接效率和生产效益，为实现工业自动化和智能化贡献一份力量。
点焊工艺及参数资料
（一）焊接工艺要求
1、点焊是由深焊和浅焊两种焊接方法组成，点焊是在每一焊点上只能做一遍，焊接后不能再焊接。
2、焊点的形状应现场决定，熔核和熔池大小是通过选择合适的焊接参数和实践熔核把握的，焊接时要避免过多的焊点堆积。
3、焊接参数的控制：根据熔核和熔池的尺寸，焊接参数应根据不同焊方式及被焊件的物理性质变化，根据熔核尺寸，焊接参数应选择合适的温度，直流焊接时考虑电流大小，选择合适的电流，焊接时考虑焊材的厚度，选择合适的焊接频率。
4、焊点质量检测：焊点质量检测应按照焊接质量检测标准进行，焊点应符合技术要求，焊点表面应均匀，不应有外观缺陷，接触电阻和接触电压应达到规定的要求。
（二）焊接参数
1、焊接电流：焊接电流应根据焊点的熔核深度和厚度来选择，正常情况下，焊接电流大小低于50A，常规焊电流在7~18A之间，而对于厚如2mm及以上的电缆，焊接电流可以超过100A。
2、焊接频率：焊接频率是指一次焊接完成过程中有多少次变化的频率。
一般的焊接频率为50〜1000Hz,具体可根据使用的焊接电源参数来确定。
材料的本构模型
材料的本构关系是指材料在承受外界环境作用（外力，温度，能量等）下材料所表现出来的应力和应变之间的关系。
20世纪80年代以来，随着电子封装技术和表面组装技术的发展，为了对SnPb 焊点进行失效分析和寿命预测，人们开始对SnPb钎料的材料模式和力学本构关系进行了较深入的研究。
对SnPb基钎料合金材料模式的描述，经历了从弹性、弹塑性到粘塑性的发展过程。
Shall和Lau采用弹性或弹塑性本构方程描述SnPb 钎料的力学行为，对SnPb焊点热循环条件下的应力应变过程进行了有限元分析。
Stone的研究表明，高温下蠕变变形是SnPb焊点失效的主要机制。
因此，由于弹性或弹塑性本构方程不能描述SnPb与时间相关的变形行为，采用这类本构方程描述SnPb钎料的力学行为与实验结果差异太大。
Kneeht首先提出了SnPb钎料与时间无关的塑性变形和与时间有关的蠕变变形分开描述的粘塑性本构方程，随后，Sarihan、Pao和Sauber等也采用类似的方程作为SnlPb钎料的本构方程。
这类本构方程的具体形式是:弹塑性变形采用Hooke定律和Osgoed-Ramberg 幂级型本构方程，稳态蠕变变形采用幂级蠕变规律或类似于Garofalo方程的双曲型蠕变规律。
统一粘塑性本构方程区别于传统塑性本构理论的主要特点是，考虑材料内部状态变化对变形的影响，导致在本构方程中引入内变量，并用准确的演化方程描述内变量。
目前，现代塑性理论已发展了多种形式的统一型粘塑性本构方程，其中重要的是:(l)Miller方程; (2) Bodner-Partom方程; (3)Anand方程
金属材料在塑性变形过程中, 显微组织结构发生了很大的变化, 从而导致了变形条件对变形的影响难以准确地用理论研究的方法获得, 特别是在高温和高应变速率条件下, 建立热粘性材料的本构关系更是如此。
因此, 世界上各国学者都先借助于实验研究来获得应力—应变—应变速率—温度之间的各种数据, 再采用统计回归方法建立数学表达式, 然后根据实验结果对原本构关系加以修改以使其预测结果与实际更好地吻合。
尽管如此, 由于实验条件的覆盖范围有限, 难免会影响到所建立本构关系的准确度。
所谓人工神经网络是模拟脑神经传递信息的方式而建立起来的一种人工智能方法, 它具有自学习、自组织、自适应和非线性动态处理等特征, 为解决非线性系统模拟和未知模型的预测提供了新的途径。
*《一种建立热粘塑性材料本构关系的新方法》
逐渐形成以现代统一塑性理论为基础的各种现代粘塑性统一本构模型，在这些模型中虽然存在差异，但是如下几点是共同的:
1.材料中任意一点的应变率均可视为弹性应变和非弹性应变之和;
2.材料的力学性质是由材料的两个基本内变量决定的，分别为描述等向硬化的应力K(DragStress)和描述运动硬化的应力(BaekStress)。
3.方程中摒弃了屈服准则，是无屈服面理论。
本篇博士论文的重要意义:发现了此前统一本构模型的缺欠在于忽略了材料
的弹性率相关性;在现代弹性粘塑性统一本构模型的基础上，引入粘弹性变形，建立了粘弹塑性统一本构模型;建立了新粘弹塑性统一本构理论框架。
它将以往的统一本构模型所描述的变形范围进行了扩大，使粘弹塑性统一本构模型能够涵盖的更广泛的材料变形，模拟的数值精度更高。
与时间无关的塑性形变 1pl ()n A εσ=
ε是与时间无关的塑性应变，σ是剪切应力，A 是强度系数， n 是强度硬化指数
蠕变
稳态蠕变最小蠕变律：
幂律方程 min exp()n d dt A H RT εσ=∆
A 为常数；n 为应力或幂律指数，纯金属4<n<6，合金2<n<4；ΔH 为普适气体常数；T 为温度；
指数方程 m i n e x p ()e x p ()d d t C H R T εβσ=∆ βσ为无量纲应力 双曲正弦律 m i n [s i n h ()]e x p ()
p d d t B H R
T εασ=∆ α与温度有关的参数，ασ无量纲应力，p 是双曲正弦指数
与时间有关的蠕变形变 n n p exp exp d s Q d Q A A dt kT kT γσσ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
ⅠⅡⅠⅡⅠⅡ [13C C εσ=()exp(A εσ=
统一的粘塑性模型：包括与时间无关的塑性形变和与时间有关的蠕变形变机理的统一基本模型
粘塑性形变通常是考虑到应力/应变与时间变化有关的塑性形变行为,在ANSYS中属于非线性分析中的材料非线性
统一本构模型进行细分,可以分为有屈服面假设与没有屈服面假设的两类模型。
而无
屈服面假设的统一本构模型主要包括：MATMOD模型、J-C模型、Z-A模型、Anand模型和Bodner-Partom模型。
p Q RT Ae
ε=011p s h a ε=->⎨⎪⎩
（）
()]p
Q RT n e ε
常数，T 是温度，h0是硬化/软化常数， a 是与硬化/软化相关的应变率敏感指数，符号S *表示给定温度和应变率时内部变量的饱和值，S *是系数，n 是指数。
粘塑性 Anand 模型有两个基本特征：⑴在应力空间没有明确的屈服面。
因此，在变形过程中，不需要加载/卸载准则，塑性变形在所有非零应力条件下产生。
⑵采用单一内部变量描述材料内部状态对塑性流动的阻抗。
内部变量（或称形变阻抗）用s 标记，具有应力量纲。
Anand 本构模型可以反映粘塑性材料与应变速度、温度相关的变形行为，以及应变率的历史效应、应变硬化和动态回复等特征。
)(1T ε-0
εεε=
01s ε=
A ，
B ，
C ，n ，m 为五个材料常数，*ε为无因次应变率，T 为绝对温度，m
T 为熔点温度，r T 为相对温度，一般取试验中的最低温度。
J-C 模型主要是解决金属在高温高应变率大变形下的变形问题，最大的特点是采用乘积的形式来描述应变，应变率，温度之间的关系。
)T K ε+0B 0，β0，β1，K ，n 均为材料常数，
ε
为应变率，T 为绝对温度。
等式两边对应
变求导，可得：
1n d Kn d σ
εε
-=，材料的硬化率与温度和应变率均无关，这也许是Z-A 模型最大的问题。
3εσ= ⎝3εσ= ⎝(p A z σε--ε-25.73)/K ε/1.67)/In10)
10内变量，Z 0,Z 1分别为Z 的初始值和饱和值，m 为材料常数。
B-P 模型利用各向同性硬化变量与方向硬化张量对材料的非弹性大变形进行描述。
在材料发生塑性流动的过程中，没有屈服面假设与加载卸载准则，较多的被应用于单轴拉伸或蠕变试验的模拟上。
（2）:D 0—极限剪切应变速率; n —表征应变速率敏感性的材料常数; z —表征非弹性内部结构变化的内状态变量, z 1—z 的极限值; z i — 给定温度下z 的稳态值;m —
与硬化速率相关的材料常数; A , q — 材料常数。
弹塑性变形Ramberg-Osgood模型Garofalo–Arrhenius模型
塑性
黏弹性
黏塑性/蠕变。
