有效数字及运算法则

•有效数字修约与运算法则• 1.有效数字的大体概念：•（1）有效数字是指在查验工作中所能取得有实际意义的数值,其最后一名数字欠准是允许的,这种由靠得住数字和最后一名不肯定数字组成的数值,即为有效数字。

•（2）有效数字的定位(数位),是指肯定欠准数字的位置,那个位置肯定后,其后面的数字均为无效数字。

•例如，一支25ml的滴定管，其最小刻度为,若是滴定管的体积介符于到之间,则需估量一名数字,读出,那个7就是个欠准的数字,那个位置肯定后,它有效位数就是4个,即便其后面还有数字也只是无效数字。

•（3）在没有小数位且以若干个零结尾的数值中，有效位数系指从非零数字最左一名向右数取得的位数减去无效零(即仅为定位用的零)的个数。

•例如：35000，如有两个无效零，则为三位有效位数，应写作350×102或×104;如有三个无效零，则为两位有效位数，应写作35×103或×104。

•（4）在其他10进位数中,有效数字系指从非零数字最左一名向右数而取得的位数,例如：、、和均为两位有效位数；为三位有效位数;为四位有效位数;为五位有效位数。

•（5）非持续型数值：（如个数、分数、倍数）是没有欠准数字的，2其有效位数可视为无穷多位。

例如，H2SO4中的2和4是个数。

常数л和系数等。

数值的有效位数可视为无穷多位。

每1ml××滴定液（L）中的为名义浓度,规格项下的或“1ml:25mg”中的“”、“1”、“25”均为标示量,其有效位数,也为无穷多位。

即在计算中，其有效位数应按照其他数值的最少有效位数而定。

•（6）pH值等对数值,其有效位数是由其小数点后的位数决定的,其整数部份只表明其真数的乘方次数。

•如：pH= ([H+]=×10-12mol/L),其有效数字只有两位。

•（7）有效数字的首位数字为8或9时，其有效位数能够多计一名，例如:85%与115%，都能够看成是三位有效数字；%与%都能够看成是四位有效数字。

有效数字的运算法则
有效数字运算规则是：加减法：先按小数点后位数最少的数据，保留其它各数的位数，再进行加减计算，计算结果也使小数点后保留相同的位数。

乘除法：先按有效数字最少的数据保留其它各数，再进行乘除运算，计算结果仍保留相同有效数字。

乘方和开方：对数据进行乘方或开方时，所得结果的有效数字位数保留应与原数据相同。

1、加减法：先按小数点后位数最少的数据，保留其它各数的位数，再进行加减计算，计算结果也使小数点后保留相同的位数。

2、乘除法：先按有效数字最少的数据保留其它各数，再进行乘除运算，计算结果仍保留相同有效数字。

3、乘方和开方：对数据进行乘方或开方时，所得结果的有效数字位数保留应与原数据相同。

4、对数计算：所取对数的小数点后的位数（不包括整数部分）应与原数据的有效数字的位数相等。

5、在计算中常遇到分数、倍数等，可视为多位有效数字。

— 1 —
6、在乘除运算过程中，首位数为"8"或"9"的数据，有效数字位数可多取1位。

7、在混合计算中，有效数字的保留以最后一步计算的规则执行。

8、表示分析方法的精密度和准确度时，大多数取1～2位有效数字。

— 2 —。

有效数字及运算规则1.4.1 有效数字的基本概念任何测量结果都存在不确定度，测量值的位数不能任意的取舍，要由不确定度来决定，即测量值的末位数要与不确定度的末位数对齐。

如体积的测量值3cm 961.5=V ，其不确定度3cm 04.0=V U ，由不确定度的定义及V U 的数值可知，测量值在小数点后的百分位上已经出现误差，因此961.5=V 中的“6”已是有误差的欠准确数，其后面一位“1”已无保留的意义，所以测量结果应写为3cm 04.096.5±=V 。

另外，数据计算都有一定的近似性，计算时既不必超过原有测量准确度而取位过多，也不能降低原测量准确度，即计算的准确性和测量的准确性要相适应。

所以在数据记录、计算以及书写测量结果时，必须按有效数字及其运算法则来处理。

熟练地掌握这些知识，是普通物理实验的基本要求之一，也为将来科学处理数据打下基础。

测量值一般只保留一位欠准确数，其余均为准确数。

所谓有效数字是由所有准确数字和一位欠准确数字构成的，这些数字的总位数称为有效位数。

一个物理量的数值与数学上的数有着不同的含义。

例如，在数学意义上600.460.4=，但在物理测量中(如长度测量)，cm 600.4cm 60.4≠，因为cm 60.4中的前两位“4”和“6”是准确数，最后一位“0”是欠准确数，共有三位有效数字。

而cm 600.4则有四位有效数字。

实际上这两种写法表示了两种不同精度的测量结果，所以在记录实验测量数据时，有效数字的位数不能随意增减。

1.4.2 直接测量的读数原则直接测量读数应反映出有效数字，一般应估读到测量器具最小分度值的10/1。

但由于某些仪表的分度较窄、指针较粗或测量基准较不可靠等，可估读5/1或2/1分度。

对于数字式仪表，所显示的数字均为有效数字，无需估读，误差一般出现在最末一位。

例如：用毫米刻度的米尺测量长度，如图1-4-1(a )所示，cm 67.1=L 。

“6.1”是从米尺上读出的“准确”数，“7”是从米尺上估读的“欠准确”数，但是有效的，所以读出的是三位有效数字。

有效数字及运算规则有效数字的基本概念任何测量结果都存在不确定度，测量值的位数不能任意的取舍，要由不确定度来决定，即测量值的末位数要与不确定度的末位数对齐。

如体积的测量值3cm 961.5=V ，其不确定度3cm 04.0=V U ，由不确定度的定义及V U 的数值可知，测量值在小数点后的百分位上已经出现误差，因此961.5=V 中的“6”已是有误差的欠准确数，其后面一位“1”已无保留的意义，所以测量结果应写为3cm 04.096.5±=V 。

另外，数据计算都有一定的近似性，计算时既不必超过原有测量准确度而取位过多，也不能降低原测量准确度，即计算的准确性和测量的准确性要相适应。

所以在数据记录、计算以及书写测量结果时，必须按有效数字及其运算法则来处理。

熟练地掌握这些知识，是普通物理实验的基本要求之一，也为将来科学处理数据打下基础。

测量值一般只保留一位欠准确数，其余均为准确数。

所谓有效数字是由所有准确数字和一位欠准确数字构成的，这些数字的总位数称为有效位数。

一个物理量的数值与数学上的数有着不同的含义。

例如，在数学意义上600.460.4=，但在物理测量中(如长度测量)，cm 600.4cm 60.4≠，因为cm 60.4中的前两位“4”和“6”是准确数，最后一位“0”是欠准确数，共有三位有效数字。

而cm 600.4则有四位有效数字。

实际上这两种写法表示了两种不同精度的测量结果，所以在记录实验测量数据时，有效数字的位数不能随意增减。

直接测量的读数原则直接测量读数应反映出有效数字，一般应估读到测量器具最小分度值的10/1。

但由于某些仪表的分度较窄、指针较粗或测量基准较不可靠等，可估读5/1或2/1分度。

对于数字式仪表，所显示的数字均为有效数字，无需估读，误差一般出现在最末一位。

例如：用毫米刻度的米尺测量长度，如图1-4-1(a )所示，cm 67.1=L 。

“6.1”是从米尺上读出的“准确”数，“7”是从米尺上估读的“欠准确”数，但是有效的，所以读出的是三位有效数字。

有效数字及运算规则一、有效数字为了取得准确的分析结果，不仅要准确测量，而且还要正确记录与计算。

所谓正确记录是指记录数字的位数。

因为数字的位数不仅表示数字的大小，也反映测量的准确程度。

所谓有效数字，就是实际能测得的数字。

有效数字保留的位数，应根据分析方法与仪器的准确度来决定，一般使测得的数值中只有最后一位是可疑的。

例如在分析天平上称取试样，这不仅表明试样的质量，还表明称量的误差在±以内。

如将其质量记录成，则表明该试样是在台称上称量的，其称量误差为，故记录数据的位数不能任意增加或减少。

如在上例中，在分析天平上，测得称量瓶的重量为，这个记录说明有6位有效数字，最后一位是可疑的。

因为分析天平只能称准到,即称量瓶的实际重量应为±,无论计量仪器如何精密，其最后一位数总是估计出来的。

因此所谓有效数字就是保留末一位不准确数字，其余数字均为准确数字。

同时从上面的例子也可以看出有效数字是和仪器的准确程度有关,即有效数字不仅表明数量的大小而且也反映测量的准确度.二、有效数字中＂0＂的意义＂0＂在有效数字中有两种意义：一种是作为数字定值，另一种是有效数字．例如在分析天平上称量物质，得到如下质量：物质称量瓶Ｎａ2ＣＯ３H2C2O4·2H2O称量纸质量１０．１４３０２.１０４５有效数字位数６位5位4位3位以上数据中“0”所起的作用是不同的。

在中两个“0”都是有效数字，所以它有6位有效数字。

在中的“0”也是有效数字，所以它有5位有效数字。

在中，小数前面的“0”是定值用的，不是有效数字，而在数据中的“0”是有效数字，所以它有4位有效数字。

在中，“1”前面的两个“0”都是定值用的，而在末尾的“0”是有效数字，所以它有3位有效数字。

综上所述，数字中间的“0”和末尾的“0”都是有效数字，而数字前面所有的“0”只起定值作用。

以“0”结尾的正整数，有效数字的位数不确定。

例如4500这个数，就不会确定是几位有效数字，可能为2位或3位，也可能是4位。

1.3 有效数字及其运算法则物理实验中要记录数据并进行运算，记录的数据应取几位，运算后应保留几位，这些要由不确定度来决定，也涉及有效数字的问题。

1.3.1 有效数字的概念任何一个物理量，既然其测量结果都包含有误差，该物理量的数值就不应该无限制地写下去。

例如，)02.037.1(±cm。

因为由不确定度0.02cm可cm应写成)02.1(±.03682知，该数值在百分位上已有误差，在它以后的数字便没有意义了。

因此，测量结果只写到有误差的那一位数，并且在位数以后按“四舍五入”的法则取舍。

最后一位虽然有误差，但在一定程度上也能反映出被测量的客观大小，也是有效的。

所以我们把能反映出被测量实际大小的全部数字，称为有效数字。

或者说，我们把测量结果中可靠的几位数字加上有误差的一位数字，统称为测量结果的有效数字。

有效数字数字的个数叫做有效数字的位数，如上述的1.37cm称为三位有效数字。

有效数字的位数与十进制单位的变换无关，即与小数点的位置无关。

因此，用以表示小数点位置的0不是有效数字。

当0不是用作表示小数点位置时，0和其它数字具有同等地位，都是有效数字。

显然，在有效数字的位数确定时，第一个不为零的数字左面的零不能算有效数字的位数，而第一个不为零的数字右面的零一定要算做有效数字的位数。

如0.0135 m是三位有效数字，0.0135m和1.35cm及13.5mm三者是等效的，只不过是分别采用了米、厘米和毫米作为长度的表示单位；1.030m是四位有效数字。

从有效数字的另一面也可以看出测量用具的最小刻度值，如0.0135m是用最小刻度为毫米的尺子测量的，而1.030m是用最小刻度为厘米的尺子测量的。

因此，正确掌握有效数字的概念对物理实验来说是十分必要的。

有效数字的位数多少大致反映相对不确定度的大小。

有效数字位数越多，相对不确定度越小，测量结果的精确度越高。

1.3.2 如何确定有效数字当给出（或求出）不确定度时，测量结果的有效数字由不确定度来确定。

有效数字与运算法则。

在实验工作中，对任一物理量的测定，其准确度都是有限的，我们只能以某一近似值表示之。

因此测量数据的准确度就不能超过测量所允许的范围。

如果任意将近似值保留过多的位数，反而歪曲测量结果的真实性。

实际上有效数字的位数就指明了测量准确的幅度。

现将有关有效数字和运算法则简述如下：(1)记录测量数据时，一般只保留一位可疑数字。

有效数字是指该数字在一个数量中所代表的大小。

例如，一滴定管的读数为32.47，其意义为十位数为3，个位数上为2，十分位上为4，百分位上为7。

从滴定管上的刻度来看，我们都知道要读到千分位是不可能的，因为刻度只刻到十分之一，百分之一已为估计值。

故在末位上，上下可能有正负一个单位出入。

这末一位数可认为不准确的或可疑的，而其前边各数所代表的数值，则均为准确测量的。

通常测量时，一般均可估计到最小刻度的十分位，故在记录一数量时，只应保留一位不准确数字，其余数均为准确数字。

我们称此时所记的数字均为有效数字。

在确定有效数字时，要注意“0”这个符号。

紧接小数点后的0仅用来确定小数点的位置，并不作为有效数字。

例如0.00015g中小数点后三个0都不是有效数字。

而0.150g中的小数点后的0是有效数字，至于350mm中的0就很难说是不是有效数字，最好用指数来表示，以10的方次前面的数字表示。

如写成3.5×102mm，则表示有效数字为两位；写成 3.50×102mm，则有效数字为三位；其余类推。

(2)在运算中舍去多余数字时采用四舍五人法。

凡末位有效数字后面的第一位数大于5，则在其前一位上增加1，小于5则舍去。

等于5时，如前一位为奇数，则增加1；如前一位为偶数则舍去。

例如，对27.0235取四位有效数字时，结果为27.02；取五位有效数字时，结果为27.024。

但将27.015与27.025取为四位有效数字时，则都为27.02。

(3)加减运算时，计算结果有效数字的末位的位置应与各项中绝对误差最大的那项相同。