有效数字及其运算规则教案

一、目的：建立有效数字及其运算规程，规范药品生产时记录数据的运算规范、准确。

二、范围：适用于所有相关数据的计算。

三、责任者：生产部、质量管理部。

四、内容1．有效数字1.1定义有效数字就是实际能测到的数字。

有效数字的位数和分析过程所用的分析方法、测量方法、测量仪器的准确度有关。

我们可以把有效数字这样表示。

有效数字＝所有的可靠的数字+ 一位可疑数字1.2有效数字位数从一个数的左边第一个非0数字起，到末位数字止，所有的数字都是这个数的有效数字。

例：A.0.0109，前面两个0不是有效数字，后面的109均为有效数字（注意，中间的0也算）。

B.3.109*10^5（3.109乘以10的5次方）中，3 1 0 9均为有效数字，后面的10的5次方不是有效数字。

C.5200000000，全部都是有效数字。

D.0.0230，前面的两个0不是有效数字，后面的230均为有效数字（后面的0也算）。

E.1.20 有3个有效数字。

F.1100.120 有7位有效数字。

G.2.998*104（2.998乘以10的4次方）中，保留3个有效数字为3.00*104。

H.对数的有效数字为小数点后的全部数字，如lg x=1.23有效数字为2.3，lg a=2.045有效数字为0、4.5，pH=2.35有效数字为3.5。

1.3“0”的双重意义1.3.1作为定位的标志。

例：滴定管读数为20.30毫升。

两个0都是测量出的值，算做普通数字，都是有效数字，这个数据有效数字位数是四位。

1.3.2作为普通数字使用例：改用“升”为单位，数据表示为0.02030升，前两个0是起定位作用的，不是有效数字，此数据是四位有效数字。

2.有效数字的运算规则2.1数字修约规则测量值的数字的舍入，首先要确定需要保留的有效数字和位数，保留数字的位数确定以后，后面多余的数字就应予以舍入修约，其规则为“四舍六入五成双”，具体规则如下：2.1.1当保留n位有效数字，若第n+1位数字小于5时，则舍去，即保留的各位数字不变。

一、目的：建立有效数字及其运算规程，规范药品生产时记录数据的运算规范、准确。

二、范围：适用于所有相关数据的计算。

三、责任者：生产部、质量管理部。

四、内容1．有效数字1.1定义有效数字就是实际能测到的数字。

有效数字的位数和分析过程所用的分析方法、测量方法、测量仪器的准确度有关。

我们可以把有效数字这样表示。

有效数字＝所有的可靠的数字+ 一位可疑数字1.2有效数字位数从一个数的左边第一个非0数字起，到末位数字止，所有的数字都是这个数的有效数字。

例：A.0.0109，前面两个0不是有效数字，后面的109均为有效数字（注意，中间的0也算）。

B.3.109*10^5（3.109乘以10的5次方）中，3 1 0 9均为有效数字，后面的10的5次方不是有效数字。

C.5200000000，全部都是有效数字。

D.0.0230，前面的两个0不是有效数字，后面的230均为有效数字（后面的0也算）。

E.1.20 有3个有效数字。

F.1100.120 有7位有效数字。

G.2.998*104（2.998乘以10的4次方）中，保留3个有效数字为3.00*104。

H.对数的有效数字为小数点后的全部数字，如lg x=1.23有效数字为2.3，lg a=2.045有效数字为0、4.5，pH=2.35有效数字为3.5。

1.3“0”的双重意义1.3.1作为定位的标志。

例：滴定管读数为20.30毫升。

两个0都是测量出的值，算做普通数字，都是有效数字，这个数据有效数字位数是四位。

1.3.2作为普通数字使用例：改用“升”为单位，数据表示为0.02030升，前两个0是起定位作用的，不是有效数字，此数据是四位有效数字。

2.有效数字的运算规则2.1数字修约规则测量值的数字的舍入，首先要确定需要保留的有效数字和位数，保留数字的位数确定以后，后面多余的数字就应予以舍入修约，其规则为“四舍六入五成双”，具体规则如下：2.1.1当保留n位有效数字，若第n+1位数字小于5时，则舍去，即保留的各位数字不变。

“近似数和有效数字”教案一、教学目标1. 让学生理解近似数和有效数字的概念。

2. 培养学生运用近似数和有效数字进行科学计算和数据分析的能力。

3. 提高学生对数值精确度的认识，增强其科学素养。

二、教学内容1. 近似数的概念：近似数是对一个数进行四舍五入或截取，使其与实际数值接近的数。

2. 有效数字的概念：有效数字是指一个数中从第一个非零数字开始到一个数字结束的所有数字。

3. 近似数的表示方法：精确到某位、保留几位小数等。

4. 有效数字的计算规则：加减乘除运算中，结果的有效数字位数取决于参与运算各数中有效数字位数最少的那一个。

5. 科学计算器在近似数和有效数字中的应用。

三、教学重点与难点1. 教学重点：近似数和有效数字的概念、表示方法及计算规则。

2. 教学难点：有效数字的计算规则，科学计算器的使用。

四、教学方法1. 采用讲授法，讲解近似数和有效数字的概念、表示方法及计算规则。

2. 运用案例分析法，让学生通过具体例子理解有效数字的计算规则。

3. 实践操作法，引导学生使用科学计算器进行近似数和有效数字的计算。

五、教学准备1. 教案、PPT、教学素材。

2. 科学计算器。

3. 练习题。

教学进程：1. 导入新课，讲解近似数和有效数字的概念。

2. 讲解近似数的表示方法，如精确到某位、保留几位小数等。

3. 讲解有效数字的计算规则，并通过案例分析让学生理解。

4. 引导学生使用科学计算器进行近似数和有效数字的计算。

5. 布置练习题，巩固所学知识。

6. 课堂小结，总结本节课的重点内容。

7. 课后作业：完成练习题，进一步巩固所学知识。

8. 课后反思：总结教学效果，针对学生掌握情况进行调整教学策略。

六、教学拓展1. 引导学生了解不同科学领域中近似数和有效数字的应用，如物理学、化学、生物学等。

2. 探讨近似数和有效数字在实际生活中的应用，如购物、医疗、工程等。

七、课堂互动1. 提问：什么是近似数？什么是有效数字？2. 提问：近似数和有效数字在科学研究中的应用有哪些？3. 小组讨论：如何运用有效数字进行数据分析和计算？八、案例分析1. 分析实际案例，如测量长度、质量、时间等，引导学生运用近似数和有效数字进行表示。

有效数字及其运算规则一、测量结果得有效数字1.有效数字得定义及其基本性质测量结果中所有可靠数字加上末位得可疑数字统称为测量结果得有效数字。

有效数字具有以下基本特性:(1)有效数字得位数与仪器精度(最小分度值)有关,也与被测量得大小有关。

对于同一被测量量,如果使用不同精度得仪器进行测量,则测得得有效数字得位数就是不同得。

例如用千分尺(最小分度值,)测量某物体得长度读数为。

其中前三位数字“”就是最小分度值得整数部分,就是可靠数字;末位“"就是在最小分度值内估读得数字,为可疑数字;它与千分尺得在同一数位上,所以该测量值有四位数字、如果改用最小分度值(游标精度)为得游标卡尺来测量,其读数为,测量值就只有三位有效数字。

游标卡尺没有估读数字,其末位数字“"为可疑数字,它与游标卡尺得也就是在同一数位上。

(2)有效数字得位数与小数点得位置无关,单位换算时有效数字得位数不应发生改变。

2、有效数字与不确定度得关系在我们规定不确定度得有效数字只取一位时,任何测量结果,其数值得最后一位应与不确定度所在得那一位对齐、如,测量值得末位“”刚好与不确定度得“"对齐。

由于有效数字得最后一位就是不确定度所在位,因此有效数字或有效位数在一定程度上反映了测量值得不确定度(或误差限值)。

测量值得有效数字位数越多,测量得相对不确定度越小;有效位数越少,相对不确定度就越大。

3.数值得科学表示法二、有效数字得运算规则１.数值得舍入修约原则测量值得数字得舍入,首先要确定需要保留得有效数字与位数,保留数字得位数确定以后,后面多余得数字就应予以舍入修约,其规则如下:(１)拟舍弃数字得最左一位数字小于5时,则舍去,即保留得各位数字不变。

(2)拟舍弃数字得最左一位数字大于5,或者就是５而其后跟有并非0得数字时,则进１,即保留得末位数字加１。

(3)拟舍弃数字得最左一位数字为5,而5得右边无数字或皆为0时,若所保留得末位数字为奇数则进1,为偶数或0则舍去,即“单进双不进”。

有效数字及其运算规则一、测量结果的有效数字1．有效数字的定义及其基本性质测量结果中所有可靠数字加上末位的可疑数字统称为测量结果的有效数字。

有效数字具有以下基本特性：有效数字具有以下基本特性：（1）有效数字的位数与仪器精度（最小分度值）有关，也与被测量的大小有关。

）有效数字的位数与仪器精度（最小分度值）有关，也与被测量的大小有关。

对于同一被测量量，如果使用不同精度的仪器进行测量，则测得的有效数字的位数是不同的。

例如用千分尺（最小分度值00.011m m ，0.004m mD =仪）测量某物体的长度读数为84.8334m m 。

其中前三位数字“483”是最小分度值的整数部分，是可靠数字；末位“4”是在最小分度值内估读的数字，为可疑数字；它与千分尺的D 仪在同一数位上，所以该测量值有四位数字。

如果改用最小分度值（游标精度）为00.022m m 的游标卡尺来测量，其读数为84.844m m ，测量值就只有三位有效数字。

游标卡尺没有估读数字，其末位数字“4”为可疑数字，它与游标卡尺的0.02m m D 仪＝也是在同一数位上。

也是在同一数位上。

（2）有效数字的位数与小数点的位置无关，单位换算时有效数字的位数不应发生改变。

2．有效数字与不确定度的关系在我们规定不确定度的有效数字只取一位时，任何测量结果，其数值的最后一位应与不确定度所在的那一位对齐。

如39(8.922700.0005)/g c m r =±，测量值的末位“7”刚好与不确定度00.0005的“5”对齐。

”对齐。

由于有效数字的最后一位是不确定度所在位，因此有效数字或有效位数在一定程度上反映了测量值的不确定度（或误差限值）。

测量值的有效数字位数越多，测量的相对不确定度越小；有效位数越少，相对不确定度就越大。

越小；有效位数越少，相对不确定度就越大。

3．数值的科学表示法二、有效数字的运算规则1．数值的舍入修约原则测量值的数字的舍入，首先要确定需要保留的有效数字和位数，保留数字的位数确定以222()()()A B C D +D +D 2222()()0.300.088A C D +D +2222()()0.0402483.751.2R T RTD D æöæöæöæ+´=+´ç÷ç÷ç÷çèøèøèøè2。

第六节有效数字及其运算规则一、有效数字的含义及位数为了得到准确的分析结果，不仅要准确地测量，而且还要正确地记录和运算，即记录的数字不仅表示数量的大小，而且要正确的反映测量的精确程度。

如某物重0.5180g 、其中0.518 是准确的，“0 ”位可疑，即其有上下一个单位的误差，也就是说此物重的绝对误差为二．有效数字的运算规则：1 ．和或差的有效数字：几个数相加减时，和或差的有效数字的保留，应以小数点后位数最少的数据为根据，即决定于绝对误差最大的那个数据。

例如：0.0121+25.64+1.05782 ＝26.70992应依25.64 为依据，即：原式＝26.71小数点后位数的多少反映了测量绝对误差的大小，如小数后有1 位，它的绝对误差为±0.1 ，而小数点有 2 位时，绝对误差为±0.01 。

可见，小数点具有相同位数的数字，其绝对误差的大小也相同。

而且，绝对误差的大小仅与小数部分有关，而与有效数字位数无关。

所以，在加减运算中，原始数据的绝对误差，决定了计算结果的绝对误差大小，计算结果的绝对误差必然受到绝对误差最大的那个原始数据的制约而与之处在同一水平上。

2 ．乘除法几个数相乘、除时，其积或商的有效数字应与参加运算的数字中，有效数字位数最少的那个数字相同。

即：所得结果的位数取决于相对误差最大的那个数字。

商应与0.0325 在同一水平上，即取3 位。

又如：3.001×2.1= 6.3有效数字的位数的多少反映了测量相对误差的大小。

如 2 位有效数字1.0 和9.9 它们的都是±0.1 ，相对误差分别为±10% 和±1%, 即：两位有效数字的相对误差总在±1% ～10%叁位有效数字的相对误差总在±0.1 ～1%肆位有效数字的相对误差总在±0.01 ～±0.1% 之间。

可见，相同有效数字位数的数字，其相对误差E r，处在同一水平上：而且E r的大小，仅与有效数字位数有关，而与小数点位数无关。

第五节有效数字及其运算实验离不开测量，测量是借助仪器读取数据，测量的结果总有误差。

那么，实验中如何读取数据，测得的数据如何进行运算，才能既方便，又具有合理的准确度呢?这就是有效数字及其运算所要讨论的问题。

下面将作简要介绍。

1.仪器的读数规则在实验中，使用仪器读取待测量的数值时，所读取的数字的准确程度直接受仪器本身的精密度——最小刻度的限制。

为了获得较好的测量结果，在读取数字时，我们通常的作法是：首先读出能够从仪器上直接读出的准确数字，对余下部分再进行估计读数。

即将读数过程分为直读和估读。

2．有效数字的定义我们把通过直读获得的准确数字叫做可靠数字；把通过估读得到的那部分数字叫做存疑数字。

把测量结果中能够反映被测量大小的带有一位存疑数字的全部数字叫有效数字。

如上例中测得物体的长度7.45cm。

数据记录时，我们记录的数据和实验结果的表述中的数据便是有效数字。

3.说明(1)实验中的数字与数学上的数字是不一样的。

如8.35=8.350=8.3500 ,8.35≠8.350≠8.3500。

(2)有效数字的位数与被测量的大小和仪器的精密度有关。

如前例中测得物体的长度为7.45cm，若用千分尺来测，其有效数字的位数有五位。

(3)第一个非零数字前的零不是有效数字。

(4)第一个非零数字开始的所有数字(包括零)都是有效数字。

(5)单位的变换不能改变有效数字的位数。

因此，实验中要求尽量使用科学计数法表示数据。

如100.2m可记为0.1002km。

但若用cm和mm作单位时，数学上可记为10020cm 和100200mm，但却改变了有效数字的位数。

采用科学计数法就不会产生这个问题了。

可得2002.1⨯cm=5.1⨯mm。

⨯km=4002101000210.1⨯m=110002.1-(6)有效数字与不确定度的关系。

有效数字的末位是估读数字，存在不确定性。

一般情况下不确定度的有效数字只取一位，其数位即是测量结果的存疑数字的位置；有时不确定度需要取两位数字，其最后一个数位才与测量结果的存疑数字的位置对应。

有效数字教学目标掌握有效数字的概念，能写出一个近似数的有效数字，能够按照要求对一个数据保留一定的有效数字。

教学重难点按照要求取一个数据的有效数字教学过程一．温故用四舍五入法，按括号中的要求对下列各数取近似数。

0.5327 (精确到0.001)8.2315(精确到个位)586342(精确到百位)21.36(精确到十分位)23736(精确到千位)3.476(精确到十分位)5.21×106(精确到万位)注意：当四舍五入到十位或十位以上时，应先用科学记数法表示这个数，再按要求取近似数。

二．有效数字：一般地，一个近似数，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位。

这时，从左边第一个不是0的数字起，到精确到哪一位为止，所有的数字都叫做这个数的有效数字。

三．讲解例题例1．（见教材P48 例2）强调：用科学记数法表示的数a×10n ,它的有效数字就是a的有效数字。

例2．（见教材P48 例3）例3．（1）我校初一年级415名师生，想租用45座的客车外出秋游，问：应该用多少辆客车？（2）工人师傅把一根100厘米的圆钢锯短，用来做6厘米长的零件，可加工多少件？解：（1）因为415÷45=9.222(进一法)所以应该租用10辆客车。

（2）因为100÷6=16.666 （去尾法）所以可加工16件。

注意：不是所有的数据取近似数都是四舍五入的，有时需要根据实际情况进一或者去尾。

四．课堂练习1．下列由四舍五入法得到的近似数，各精确到哪一位？有几个有效数字？（1）132.4精确到到，有个有效数字，分别为。

（2）0.0572精确到到，有个有效数字，分别为。

（3）2.4万精确到到，有个有效数字，分别为。

（4）2.4104精确到到，有个有效数字，分别为。

2．李明测得一要钢管的长度为0.8米。

（1）试举例说明该近似数可能是由哪些数四舍五入得来的？（2）按照李明测得的结果，你能求出钢管的准确长度x应在什么范围吗？五．课堂小结1．一个近似数的精确度有两种表示方法：（1）精确到哪一位；（2）保留几个有效数字。

有效数字及运算规则一、有效数字为了取得准确的分析结果，不仅要准确测量，而且还要正确记录与计算。

所谓正确记录是指记录数字的位数。

因为数字的位数不仅表示数字的大小，也反映测量的准确程度。

所谓有效数字，就是实际能测得的数字。

有效数字保留的位数，应根据分析方法与仪器的准确度来决定，一般使测得的数值中只有最后一位是可疑的。

例如在分析天平上称取试样，这不仅表明试样的质量，还表明称量的误差在±以内。

如将其质量记录成，则表明该试样是在台称上称量的，其称量误差为，故记录数据的位数不能任意增加或减少。

如在上例中，在分析天平上，测得称量瓶的重量为，这个记录说明有6位有效数字，最后一位是可疑的。

因为分析天平只能称准到,即称量瓶的实际重量应为±,无论计量仪器如何精密，其最后一位数总是估计出来的。

因此所谓有效数字就是保留末一位不准确数字，其余数字均为准确数字。

同时从上面的例子也可以看出有效数字是和仪器的准确程度有关,即有效数字不仅表明数量的大小而且也反映测量的准确度.二、有效数字中＂0＂的意义＂0＂在有效数字中有两种意义：一种是作为数字定值，另一种是有效数字．例如在分析天平上称量物质，得到如下质量：物质称量瓶Ｎａ2ＣＯ３H2C2O4·2H2O称量纸质量１０．１４３０２.１０４５有效数字位数６位5位4位3位以上数据中“0”所起的作用是不同的。

在中两个“0”都是有效数字，所以它有6位有效数字。

在中的“0”也是有效数字，所以它有5位有效数字。

在中，小数前面的“0”是定值用的，不是有效数字，而在数据中的“0”是有效数字，所以它有4位有效数字。

在中，“1”前面的两个“0”都是定值用的，而在末尾的“0”是有效数字，所以它有3位有效数字。

综上所述，数字中间的“0”和末尾的“0”都是有效数字，而数字前面所有的“0”只起定值作用。

以“0”结尾的正整数，有效数字的位数不确定。

例如4500这个数，就不会确定是几位有效数字，可能为2位或3位，也可能是4位。

有效数字及其运算规则[教学目标]1、了解有效数字的概念，了解有效数字的来源及学会有效数字处理方法；2、掌握有效数字的表示及其运算。

[教学难重点]教学重点：有效数字进位的处理方法；教学难点：有效数字的计算。

[复习提问]新课误差和有效数字有效数字的意义及位数有效数字的概念：有效数字指分析工作中实际能测量到数字。

．．．．．．．．．．．．．．．．．．．有效数字中只有最后一位是可疑数字，记录数据和计算结果时究竟应保留几位数字，须根据测定方法和使用仪器的精密程度来决定。

比如用万分之一的分析天平称出某物质的质量为0.2374g，小数点后的2374是有效数字，但由于受天平准确度的限制，它只能保证到小数点第三位是准确的，而第四位的数字4是可疑的。

1、有效数字位数的确定（1）分析数据中“0”的作用和意义①数字前面的“0”只起定位作用，不是有效数字。

②具体数字中间或后面的“0”是有效数字。

③以“0”结尾的正整数，其有效数字是不确定的。

如1200这个数，其有效数字可能是2、3或4位，如有效数字为2位，则1.2×103。

（2）有效数字的位数①含有对数值的有效数字位数，是由小数部分决定，而整数部分仅表示这个数的10的乘方次数。

如PH=4.32，是两位有效数字。

②百分数或千分数的有效位数，取决于小数部分数字的位数，如12.90%是四位有效数字，如0.0003%是一位有效数字。

③若第一位有效数字等于8或大于8，其有效数字的位数可多算一位。

如：9.37虽然只有三位，可看成四位。

④在进行单位换算时，有效数字的位数不能改变。

如：20.30mL=0.02030L，14.0g=1.40×104mg，是三位有效数字，不可写成14000mg。

⑤在分析化学测定及计算中，有些有效数字位数保留是惯例。

例如分析天平称量0.0001g,滴定管读数0.01mL，PH测量0.01。

⑥分析结果中，高含量组分（＞10%）一般应保留四位，中含量组分（1%—10%）一般应保留四位，对于微量组分（＜1%）一般应保留二位。