第2节 有效数字及运算规则

2020/11/3
3．改变单位，不改变有效数字的位数
如： 24.01mL
24.0110－3 L
4．注意点
（1）容量器皿；滴定管；移液管；容量瓶；4位有效数字
（2）分析天平（万分之一）取4位有效数字
（3）标准溶液的浓度，用4位有效数字表示: 0.1000 mol/L
（4）pH 4.34,小数点后的数字位数为有效数字位数
0.01 0.001
26.7091
与小数点后位数最少的数一致
2020/11/3
2. 乘除运算
有效数字的位数取决于相对误差最大的数据的位
数。
例：(0.0325 5.103 60.06)/ 139.8 = 0.071179184
0.0325
±0.0001/0.0325 100%=±0.3%
5.103
有效数字按小数点后的位数计算。
2020/11/3
小结：运算规则
加减法: 结果的绝对误差应不小于各项中绝对误差最大 的数。 (与小数点后位数最少的数一致) 0.112+12.1+0.3214=12.5
乘除法: 结果的相对误差应与各因数中相对误差最大的 数相适应 (与有效数字位数最少的一致) 0.0121×25.66×1.0578＝0.328432
2020/11/3
二、有效数字运算中的修约规则
四舍六入五成双
尾数≤4时舍; 尾数≥6时入
尾数＝5时, 若后面数为0, 舍5成双;若5后面还有 不是0的任何数皆入
例 下列值修约为四位有效数字
0.324 74 0.324 75 0.324 76
0.324 7 0.324 8 0.324 8
0.324 85
0.324 8

例：测定某物质的含量为0.5180g，即0.5180±0.0001g相对误 差
Er 1 100% 0.02% 5180
二、数字的修约规则 “四舍六入五成双，五后有数就进一，五 后没数要留双”规则： 1、当测量值中修约的那个数字等于或小于4 时，该数字舍去；等于或大于6时，进位；等 于5时(5后面无数据或是0时)，如进位后末位 数为偶数则进位，舍去后末位数位偶数则舍 去。5后面有数时，进一位。 2、修约数字时，只允许对原测量值一次修约 到所需要的位数，不能分次修约。
第三部分：课堂练习 按数字的修约规则（保留三位）4.135修约 为 ，4.125修约为 ，4.105修约 为 ，4.1251修约为 ，4.1349修约 为 。 第四部分：课堂小结 掌握有效数字及其运算规则 作业：P20：6（1）、（2）


三、有效数字的运算法则



1.加减法：当几个数据相加减时，它们和或差的 有效数字位数，应以小数点后位数最少的数据为 依据，因小数点后位数最少的数据的绝对误差最 大。例： 0.0121+25.64+1.05782=？ 绝对误差 ±0.0001 ±0.01 ±0.00001 在加合的结果中总的绝对误差值取决于25.64。 0.01+25.64+1.06=26.71
§2.2 有效数字及 其运算规则
王元杭
一、有效数字（significant figure）的概念
指在分析工作中实际能测到的数字， 它包括所有的准确数字和最后一位可 疑数字。在有效数字中, 只有最后一位 数是不确定的，可疑的。有效数字位 数由仪器准确度决定，它直接影响测 定的相对误差。

举
例

2019/1/3
保留三位有效数字
3. 注意点 （1） 分数；比例系数；实验次数等不记位数 （2）容量器皿；滴定管；移液管；容量瓶；4
位有效数字
（3）分析天平（万分之一）取4位有效数字
（4）标准溶液的浓度，用4位有效数字表示:
0.1000 mol/L
2019/1/3
某人用差示光度分析法分析药物含量，称取 此药物试样0.0520g，最后计算此药物的质量 分数为96.24%。问该结果是否合理？为什么 ？ 答：该结果不合理。因为试样质量只有三位 有效数字，而结果却报出四位有效数字，结 果不可能有那样高的精度。最后计算此药物 的质量分数应改为96.2%。
2019/1/3
43181 10.98% 1.98×10-10
2×105 100
二数字修约规则
1 四舍六入五后有数（不为0）就进一 五后没数（不为0）看前方— 奇进偶舍 2 只允许对原测量值一次修约至所需位数， 不能分次修约。 3 修约标准偏差时应使准确度变得更差些
2019/1/3

数字修约规则和实例
第二章 误差和分析数据 处理
第二节 有效数字及其 运算法则
一、有效数字 二、数字的修约规则 三、有效数字运算规则
2019/1/3
一、有效数字(significant figure)
(一)有效数字：－－实际上能测到的数字
23.43、23.42、23.44mL 记录测量值时规定只允许数的 末位欠准
2019/1/3
三、有效数字的运算法则
1．加减法：以小数点后位数最少的数为准（即以 绝对误差最大的数为准） 例： 50.1 + 1.45 + 0.5812 = ？ 52.1 δ ±0.1 ±0.01 ±0.0001

1.有效数字的加减
的必要。
在上面两例中，我们按数值的大小对齐后相加或相减，并以其中可疑位数最靠前的为基准，先进行取舍，取齐诸数的可疑位数，然后加、减，则运算简便，结果相同。
2.有效数字的乘除
点后面是可疑数字，允许有所不同。
从以上两例中可得如下结论：诸量相乘或相除，以有效数字最少的数为标准，将有效数字多的其它数字，删至与文相同，然后进行运算。最后结果中的有效数字位数与运算前诸量中有效数字位数最少的一个相同。
2.确定测量结果有效数字的基本方法
(1)仪器的正确测读
仪器正确测读的原则是：读出有效数字中可靠数部分是由被测量的大小与所用仪器的最小分度来决定。可疑数字由介于两个最小分度之间的数值进行估读，估读取数一位(这一位是有误差的)。
例如，用分度值为1mm的米尺测量一物体的长度，物体的一端正好与米尺零刻度线对齐，另一端如图1-1。
4.数值表示方幂来表示其数量级。前面的数字是测得的有效数字，并只保留一位数在小数点的前面。如×105m×10-3kg等。
二、有效数字的运算规则
在有效数字的运算过程中，为了不致因运算而引进误差或损失有效数字，影响测量结果的精确度，并尽可能地简化运算过程，因此，规定有效数字运算规则如下(例中加横线的数字代表可疑数字)：
有效数字及其运算规则
§ 有效数字及其运算规则
一、有效数字的一般概念
1.有效数字
任何一个物理量，其测量结果必然存在误差。因此，表示一个物理量测量结果的数字取值是有限的。
我们把测量结果中可靠的几位数字，加上可疑的一位数字，统称为测量结果的有效数字。例如，的有效数字是三位，是可靠数字，尾位“8”是可疑数字。这一位数字虽然是可疑的，但它在一定程度上反映了客观实际，因此它也是有效的。

• 数据中第一个非零数字之后的“0”都是有意义的。 如20.80ml有四位有效数字。若略去末尾的“0”， 即20.8ml，只有三位有效数字。因此数据末尾的 “0”是不能随意略去的。整数不能确定“0”是否为 有效数字时，需根据需要进行判断。
化学分析
第二章 误差和分析数据处理
4
• 对于很小的数字，可用指数形式表示。例如，离 解常数Ka=0.000018，可写成Ka=1.8×10-5；很大的 数字也可采用这种表示方法。例如2500L，若为 三位有效数字，可写成2.50×103L。
• 例如，0.0121×25.64×1.0578=0.328，其中，有 效数字位数最少的0.0121相对误差最大，故计 算结果应修约为三位有效数字。
化学分析
第二章 误差和分析数据处理
11
• 3. 百分数表示 • 高含量组分（>10%），保留四位有效数字； • 中含量组分（1～10%），保留三位有效数字； • 低含量组分（<1%），保留两位有效数字。 • 4. 其他运算 • 乘方或开方，结果的有效数字位数不变，
化学分析
第二章 误差和分析数据处理
19
3.正态分布曲线规律：
• (1) x=μ时，y值最大，体现了测量值的集中趋 势。说明误差为零的测量值出现的概率最大。 大多数测量值集中在算术平均值的附近。
• (2) 曲线以x=μ这一直线为其对称轴，说明绝对 值相等的正、负误差出现的概率相等。
• (3) 当x趋于-∞或+∞时，曲线以x轴为渐近线。 即小误差出现概率大，大误差出现概率小。
化学分析
第二章 误差和分析数据处理
5
• 对pH、pM、lgc、lgK等对数值，其有效数字的
位数仅取决于小数部分数字的位数，整数部分 只说明其真数的方次。如pH=11.02，即[H＋]＝ 9.6×10-12mol/L，其有效数字为两位而非四位。

有效数字及其运算规则一、测量结果得有效数字1.有效数字得定义及其基本性质测量结果中所有可靠数字加上末位得可疑数字统称为测量结果得有效数字。

有效数字具有以下基本特性:(1)有效数字得位数与仪器精度(最小分度值)有关,也与被测量得大小有关。

对于同一被测量量,如果使用不同精度得仪器进行测量,则测得得有效数字得位数就是不同得。

例如用千分尺(最小分度值,)测量某物体得长度读数为。

其中前三位数字“”就是最小分度值得整数部分,就是可靠数字;末位“"就是在最小分度值内估读得数字,为可疑数字;它与千分尺得在同一数位上,所以该测量值有四位数字、如果改用最小分度值(游标精度)为得游标卡尺来测量,其读数为,测量值就只有三位有效数字。

游标卡尺没有估读数字,其末位数字“"为可疑数字,它与游标卡尺得也就是在同一数位上。

(2)有效数字得位数与小数点得位置无关,单位换算时有效数字得位数不应发生改变。

2、有效数字与不确定度得关系在我们规定不确定度得有效数字只取一位时,任何测量结果,其数值得最后一位应与不确定度所在得那一位对齐、如,测量值得末位“”刚好与不确定度得“"对齐。

由于有效数字得最后一位就是不确定度所在位,因此有效数字或有效位数在一定程度上反映了测量值得不确定度(或误差限值)。

测量值得有效数字位数越多,测量得相对不确定度越小;有效位数越少,相对不确定度就越大。

3.数值得科学表示法二、有效数字得运算规则１.数值得舍入修约原则测量值得数字得舍入,首先要确定需要保留得有效数字与位数,保留数字得位数确定以后,后面多余得数字就应予以舍入修约,其规则如下:(１)拟舍弃数字得最左一位数字小于5时,则舍去,即保留得各位数字不变。

(2)拟舍弃数字得最左一位数字大于5,或者就是５而其后跟有并非0得数字时,则进１,即保留得末位数字加１。

(3)拟舍弃数字得最左一位数字为5,而5得右边无数字或皆为0时,若所保留得末位数字为奇数则进1,为偶数或0则舍去,即“单进双不进”。

有效数字及其运算规则一、测量结果的有效数字1．有效数字的定义及其基本性质测量结果中所有可靠数字加上末位的可疑数字统称为测量结果的有效数字。

有效数字具有以下基本特性：有效数字具有以下基本特性：（1）有效数字的位数与仪器精度（最小分度值）有关，也与被测量的大小有关。

）有效数字的位数与仪器精度（最小分度值）有关，也与被测量的大小有关。

对于同一被测量量，如果使用不同精度的仪器进行测量，则测得的有效数字的位数是不同的。

例如用千分尺（最小分度值00.011m m ，0.004m mD =仪）测量某物体的长度读数为84.8334m m 。

其中前三位数字“483”是最小分度值的整数部分，是可靠数字；末位“4”是在最小分度值内估读的数字，为可疑数字；它与千分尺的D 仪在同一数位上，所以该测量值有四位数字。

如果改用最小分度值（游标精度）为00.022m m 的游标卡尺来测量，其读数为84.844m m ，测量值就只有三位有效数字。

游标卡尺没有估读数字，其末位数字“4”为可疑数字，它与游标卡尺的0.02m m D 仪＝也是在同一数位上。

也是在同一数位上。

（2）有效数字的位数与小数点的位置无关，单位换算时有效数字的位数不应发生改变。

2．有效数字与不确定度的关系在我们规定不确定度的有效数字只取一位时，任何测量结果，其数值的最后一位应与不确定度所在的那一位对齐。

如39(8.922700.0005)/g c m r =±，测量值的末位“7”刚好与不确定度00.0005的“5”对齐。

”对齐。

由于有效数字的最后一位是不确定度所在位，因此有效数字或有效位数在一定程度上反映了测量值的不确定度（或误差限值）。

测量值的有效数字位数越多，测量的相对不确定度越小；有效位数越少，相对不确定度就越大。

越小；有效位数越少，相对不确定度就越大。

3．数值的科学表示法二、有效数字的运算规则1．数值的舍入修约原则测量值的数字的舍入，首先要确定需要保留的有效数字和位数，保留数字的位数确定以222()()()A B C D +D +D 2222()()0.300.088A C D +D +2222()()0.0402483.751.2R T RTD D æöæöæöæ+´=+´ç÷ç÷ç÷çèøèøèøè2。

(8) 若数据进行乘除运算时 第一位数 若数据进行乘除运算时, 字大于或等于8, 字大于或等于 其有效数字位数可 多算一位。 多算一位。 可看做是四位有效数字. 如9.46可看做是四位有效数字 可看做是四位有效数字
有效数字及计算规则
一. 有效数字 有效数字: 有效数字 是在分析工作中实际测量到 的数字,除最后一位是可疑的外 除最后一位是可疑的外,其余的数 的数字,除最后一位是可疑的外,其余的数 字都是确定的。 字都是确定的。它一方面反映了数量的 大小,同时也反映了测量的精密程度 同时也反映了测量的精密程度。 大小 同时也反映了测量的精密程度。
例如, 用分析天平称NaCl1.2007g,可能 例如 用分析天平称 可能 的误差;用台秤称 有±0.0001g的误差 用台秤称 的误差 用台秤称1.20g,可能 可能 有±0.01g的误差。 的误差。 的误差 注意: 数字0可以是测量得到的有效数 注意 数字 可以是测量得到的有效数 但当0只用来定位时 字,但当 只用来定位时 就不能是有效 但当 只用来定位时,就不能是有效 数字,并且有效数字的位数与小数点的 数字 并且有效数字的位数与小数点的 位置无关。 位置无关。 例如： 五位） 例如： 1.2007g (五位） 0.0012007g（五 五位 （ 位）
8.369→8.4 7.3500→7.4
7.4500→7.4 7.4501 7.5 →
7.549→7.5
三. 有效数字的计算规则 (1) 加减法；以 小数点后位数最少的为准 加减法； 小数点后位数最少的为准 先修约后加减， 先修约后加减，结果位数也按点后位数 最少的算。 最少的算。 例如, 例如 0.0121+12.56+7.8432 可先修约后计算,即 可先修约后计算 即 0.01+12.56+7.84=20.41

指针在82mA与83mA之间：读为82.* mA
指针正好在82mA上：读为82.0mA
可修改
12
对于1.0级表 △仪=100mA×1.0%=1mA
指针在82mA与84mA之间： 可读为82mA、83mA或84mA
指针正好在82mA上：读为82mA
可修改
13
例1
62 .
–5
+
1.
23–4
=
63
.
7–
0.326 9.674 __1_0_.0_0_0_，
100.00 __1_._00_0_0_。
0.326 9.674可修改
28
在表达式 100.00 0.100cm 中的
100.00的有效数字是_4__位;
100.00 0.10cm 中的
100.00的有效数字是__4__ 位;
100.0 0.1cm 中的有效数字
注意：进行单位换算时，
有效数字的位数不变。
可修改
4
2.数值的科学记数法
数据过大或过小时，可以 用科学表达式。
某电阻值为20000（欧姆），保留三位有 效数字时写成 2.00104
又 如 数 据 为 0.0000325m ， 使 用 科 学 记 数 法写成3.2510-5m
可修改
5
3.有效数字与仪器的关系
N 0.96 0.0可3修cm改
18
运算规则：结果的有效数字与其底或被开
方数的有效数字位数相同。
如： 1002=100102
100=10.0
49 = 7.0
4.02=16
正确
49 = 7
4.02=16.0 错误
可修改
19
(1)对数函数 lgx的尾数与x的位数相同

有效数字及运算规则1.4.1 有效数字的基本概念任何测量结果都存在不确定度，测量值的位数不能任意的取舍，要由不确定度来决定，即测量值的末位数要与不确定度的末位数对齐。

如体积的测量值3cm 961.5=V ，其不确定度3cm 04.0=V U ，由不确定度的定义及V U 的数值可知，测量值在小数点后的百分位上已经出现误差，因此961.5=V 中的“6”已是有误差的欠准确数，其后面一位“1”已无保留的意义，所以测量结果应写为3cm 04.096.5±=V 。

另外，数据计算都有一定的近似性，计算时既不必超过原有测量准确度而取位过多，也不能降低原测量准确度，即计算的准确性和测量的准确性要相适应。

所以在数据记录、计算以及书写测量结果时，必须按有效数字及其运算法则来处理。

熟练地掌握这些知识，是普通物理实验的基本要求之一，也为将来科学处理数据打下基础。

测量值一般只保留一位欠准确数，其余均为准确数。

所谓有效数字是由所有准确数字和一位欠准确数字构成的，这些数字的总位数称为有效位数。

一个物理量的数值与数学上的数有着不同的含义。

例如，在数学意义上600.460.4=，但在物理测量中(如长度测量)，cm 600.4cm 60.4≠，因为cm 60.4中的前两位“4”和“6”是准确数，最后一位“0”是欠准确数，共有三位有效数字。

而cm 600.4则有四位有效数字。

实际上这两种写法表示了两种不同精度的测量结果，所以在记录实验测量数据时，有效数字的位数不能随意增减。

1.4.2 直接测量的读数原则直接测量读数应反映出有效数字，一般应估读到测量器具最小分度值的10/1。

但由于某些仪表的分度较窄、指针较粗或测量基准较不可靠等，可估读5/1或2/1分度。

对于数字式仪表，所显示的数字均为有效数字，无需估读，误差一般出现在最末一位。

例如：用毫米刻度的米尺测量长度，如图1-4-1(a )所示，cm 67.1=L 。

“6.1”是从米尺上读出的“准确”数，“7”是从米尺上估读的“欠准确”数，但是有效的，所以读出的是三位有效数字。

1. 有效数字及其运算规则1. 1 有效数字1. 定义有效数字就是实际能测到的数字。

有效数字的位数和分析过程所用的分析方法、测量方法、测量仪器的准确度有关。

我们可以把有效数字这样表示。

有效数字＝所有的可靠的数字+ 一位可疑数字表示含义：如果有一个结果表示有效数字的位数不同，说明用的称量仪器的准确度不同。

例：7.5克用的是粗天平7.52克用的是扭力天平7.5187克用的是分析天平2. “0”的双重意义作为普通数字使用或作为定位的标志。

例：滴定管读数为20.30毫升。

两个0都是测量出的值，算做普通数字，都是有效数字，这个数据有效数字位数是四位。

改用“升”为单位，数据表示为0.02030升，前两个0是起定位作用的，不是有效数字，此数据是四位有效数字。

3. 规定(1)．倍数、分数关系无限多位有效数字(2). pH、pM、lgc、lgK等对数值，有效数字由尾数决定。

例： pM＝5.00 （二位）[M]=1.0×10-5 ；PH＝10.34（二位）；pH＝0.03（二位）注意：首位数字是8，9时，有效数字可多计一位, 如9.83―四位。

1. 2 数字修约规则（“四舍六入五成双”规则）规定：当尾数≤4时则舍，尾数≥6时则入；尾数等于5而后面的数都为0时，5前面为偶数则舍，5前面为奇数则入；尾数等于5而后面还有不为0的任何数字，无论5前面是奇或是偶都入。

例：将下列数字修约为4位有效数字。

修约前修约后0.526647--------0.52660.36266112------0.362710.23500--------10.24250.65000-------250.618.085002--------18.093517．46--------3517注意：修约数字时只允许一次修约，不能分次修约。

如：13.4748－13.471. 3 计算规则1. 加减法先按小数点后位数最少的数据保留其它各数的位数，再进行加减计算，计算结果也使小数点后保留相同的位数。

1) 2)
前面的“ 只起定位作用 只起定位作用——故无效 “1”前面的“0”只起定位作用 前面的 故无效 0.1080g中，夹在数字中间的“0”和数字后面的 中 夹在数字中间的“ 和数字后面的 “0”，都是有数值意义的 ，都是有数值意义的——故有效 故有效
这样的数字， （2）像3600这样的数字，有效数字位数比较含 ） 这样的数字 应根据实际的有效数字位数，分别写成： 位 糊，应根据实际的有效数字位数，分别写成：2位 有效数字、 位有效数字和 位有效数字分别为： 位有效数字和4位有效数字分别为 有效数字、3位有效数字和 位有效数字分别为：
H + = 6.3 × 10 −12 mol/L
6
注意： 注意： 改变单位， 改变单位，不改变有效数字的位数 如： 24.01mL
3 24.01× 24.01×10－ L
台秤(称至 台秤 称至0.1g):12.8g(3位), 0.5g(1位), 1.0g(2位) 称至 位 位 位 分析天平(称至 分析天平 称至0.1mg):12.8218g(6位), 称至 位 0.5024g(4位), 0.0500g(3位) 位 位 ★滴定管(量至 量至0.01mL):26.32mL(4位), 3.97mL(3位) 滴定管 量至 位 位 量至0.01mL): 25.00mL(4位); ★移液管(量至 移液管 量至 位 吸量管(量至 吸量管 量至0.01mL): 5.00mL（3位） 量至 （ 位 ★容量瓶:100.0mL(4位),250.0mL (4位)，50.00mL（4位） 容量瓶 位 位， （ 位 量筒(量至 量至1mL或0.1mL):26mL(2位), 4.0mL(2位) ☆ 量筒 量至 或 位 位 标准溶液的浓度， 标准溶液的浓度，用4位有效数字表示: 0.1000 mol/L 位有效数字表示:

有效数字及其运算规则一、有效数字的含义及位数为了得到准确的分析结果，不仅要准确地测量，而且还要正确地记录和运算，即记录的数字不仅表示数量的大小，而且要正确的反映测量的精确程度。

如某物重0.5180g 、其中0.518 是准确的，“0 ”位可疑，即其有上下一个单位的误差，也就是说此物重的绝对误差为二．有效数字的运算规则：1 ．和或差的有效数字：几个数相加减时，和或差的有效数字的保留，应以小数点后位数最少的数据为根据，即决定于绝对误差最大的那个数据。

例如：0.0121+25.64+1.05782 ＝26.70992应依25.64 为依据，即：原式＝26.71小数点后位数的多少反映了测量绝对误差的大小，如小数后有1 位，它的绝对误差为±0.1 ，而小数点有 2 位时，绝对误差为±0.01 。

可见，小数点具有相同位数的数字，其绝对误差的大小也相同。

而且，绝对误差的大小仅与小数部分有关，而与有效数字位数无关。

所以，在加减运算中，原始数据的绝对误差，决定了计算结果的绝对误差大小，计算结果的绝对误差必然受到绝对误差最大的那个原始数据的制约而与之处在同一水平上。

2 ．乘除法几个数相乘、除时，其积或商的有效数字应与参加运算的数字中，有效数字位数最少的那个数字相同。

即：所得结果的位数取决于相对误差最大的那个数字。

商应与0.0325 在同一水平上，即取3 位。

又如：3.001×2.1= 6.3有效数字的位数的多少反映了测量相对误差的大小。

如 2 位有效数字1.0 和9.9 它们的都是±0.1 ，相对误差分别为±10% 和±1%, 即：两位有效数字的相对误差总在±1% ～10%叁位有效数字的相对误差总在±0.1 ～1%肆位有效数字的相对误差总在±0.01 ～±0.1% 之间。

可见，相同有效数字位数的数字，其相对误差E r，处在同一水平上：而且E r的大小，仅与有效数字位数有关，而与小数点位数无关。

0.536 0.001 0.25
14.7 - 0.3674 - 14.064 =（小数1位）
14.7 0.37 14.06
8
2.乘除法 各测量值相对误差传递 计算结果以有效数字位数最少的为准
若 R=XY R x b
R xb
9
x 0.3210 48.112 (21.25 16.10) 0.28451000 0.3210 48.112 5.15 0.28451000
0.3210 48.11 5.15 (三位） 0.28451000
10
例：6.549， 2.451 一次修约至两位有效数字
6
3、运算过程中可多保留一位 4、修约标准偏差其结果应使准确度降低
S=0.213 两位 S=0.22 表示标准偏差和RSD时，通常取两位有效数字
7
三、运算法则 1、加减法
各测量值绝对误差传递，结果与数据中绝 对误差大的数据相当
0.5362 + 0.001 + 0.25 =（小数点后两位）
5．结果首位为8和9时，有效数字可以多计一位。 例：90.0%,101.4% 均可示为四位有效数字.
3
6. 记录有效数字时，不可夸大。 例：托盘天平：10.3g × 10.3000g,
量筒：10 mL H2O × 10.00mL. 7.常量分析0.000018 2500L （4位） 86（3位） 99.9%（4位） pH=12.26（2位）
2.5430 （5位） Ka=1.8×10-5（2位） 2.50×10-3（3位） 9 （2位） 100.1%（4位）
5
二、数字修约规则
1、四舍六入五留双
四位：14.2442 24.4863 15.0250 15.0150 15.0251

第二节有效数字及其运算规则学习目标：掌握有效数字的运算规则。

课前学习一、复习回顾：两把刻度尺的读数分别是厘米和。

读数为何不同？哪一把的更准确？第一把刻度尺的准确数值是；第二把的是。

二、课堂学习（一）有效数字（阅读课本P25倒数第二段，完成下列问题）１有效数字是。

2．有效数字由两部分组成，它们分别是和。

即：。

3．有效数字的位数是怎样确定的？。

例如：分析天平小数点后要保留位有效数字；托盘天平小数点后要保留位有效数字；10ml量筒小数点后要保留位有效数字；滴定管小数点后要保留位有效数字；4．有效数字中“0”的作用：①在具体数字前面时，②在数字中间时③在数值后面时，例如：3700分别可以有位、位、位有效数字，应分别记作、和。

5、对于含有对数的PH、lgK等的有效数字的位数取决于，例如：PH = 8.32,,有个有效数字。

6.在计算中遇到分数、倍数的关系时，应视为多位有效数字。

[课堂练习]1、分析工作中实际能够测量到的数字称为（）A.精密数字B.准确数字C.可靠数字D.有效数字2、下面数值中，有效数字不是四位的是（）A. ω(CaO)=25.30%B.pH=11.50C.π=3.141D.10003、下列各数中，有效数字位数为四位的是（）A.[H+]=0.0003mol/LB. pH=10.42C. ω(MgO)=19.96%D.40004、下列各数中，有效数字位数为四位的是（）A. pH=11.25B.C(Cl-)=0.0002 mol/LC. ω(Fe)=0.040D. ω(CaO)=38.56%5、下列数值中有几位有效数字？1、1.0572、15003、5.24×10-104、0.00375、0.02306、pH=5.307、1.502 8、0.0234 9、0.0030010、10.030 11、8.7×10-612、pH=2.013、114.0 14、40.02% 15、0.50%16、0.0007% 17、pK=7.12 18、95.500（二）、有效数字的修约规则（阅读课本P25-P26,完成下列问题）1、有效数字的修约规则可概括为：具体解释为：2、修约有效数字时应注意哪些问题？【及时练习】将下列数据修约为2位有效数字：3.5497 2.66 0.10504.55 8.251（三）有效数字的运算规则：（阅读课本P26-P27,完成下列问题）1、几个数据相加或相减时，它们的和或差的有效数字的保留，应以为依据，将各数据多余的数字修约后再进行加减运算。

有效数字的位数
测量值本身的大小、仪器的准确度
米尺 L=2.52cm （三位有效数字）
20分度游标卡尺 L=2.525cm （四位有效数字）
螺旋测微计 L=2.5153cm （五位有效数字）
4.不确定度的表达
N N (单位)
σ取一个有效数字， σ决定N的有效位
a 10.0 0.1cm2 b 20.02 0.01cm
100.0035=1.00809611.008
四、间接测量量有效数字的确定 ——有效数字的运算法则
1.加减法 2.乘除法 3.乘方与开方 4.函数运算
5.自然数与常量
①自然数不是测量值，不存在误差， 故有效数字是无穷位。
如在D=2R中，2不是一位有效数字，而是无穷位
②常数、e等的位数可与参加运算的 量中有效数字位数最少的位数相同 或多取一位。
例 9 L=2R 其中R=2.3510-2m
就应取3.14(或3.142)
即L=23.1422.3510-2=0.148(m)
综合运算举例
50.00 ( 18.30 16.3 ) ( 103 3.0 ) ( 1.00 + 0.001 )
=
50.00 2.0 100 1.00
=
1.0102 100
= 1.0
10.02 lg100.0 35 27.3211 27.31 = 100 2.0000 35
0.01 = 2104 35 = 2104
试用有效数字计算结果： （1）123.98 - 40.456 + 7.8 = 171.0 （2） lg10.00 = 1.0000 （3）789.30 × 50 ÷ 0.100 = 3.9×103 （4）1.002 = 1.00

分析化学中有效数字及其运算规则（二）2.2.2有效数字的修约规章在处理分析数据时，涉及的各测量值的有效数字位数可能不同。

从误差传递原理可知，通过运算所得的结果，其误差总比个别测量的误差大。

数据计算所得结果的误差取决于各测量值(特殊是误差较大的测量值)的误差。

所以，为保证计算结果的精确度与试验数据相符合，则需要对其有效数字的位数确定，多余部分一概舍弃，我们将该过程称为数字修约。

其基本原则如下： 2.2.2.1采纳“四舍六入五留双”的规章该规章规定：当多余位数的首位≤4时，舍去；多余位数的首位≥6时，进位；等于5时，假如5后数字不为0，则进位；假如5后数字为0，则视5前面是奇数还是偶数，采纳“奇进偶舍”的办法举行修约，是被保留数据的末位为偶数。

例如，将下列数据修约为两位有效数字： 7.549→7.5 3.3690→3.4 7.4501→7.50.007350→0.0074 0.8450→0.84 2.2.2.2禁止分次修约修约应一次到位，不得延续多次举行修约，例如，将数据2.345 7修约为两位，则为2.345 7→2.3；然而若分次修约：2.345 7→2.346→2.35→2.4这样浮现了错误。

2.2.2.3可多保留一位有效数字举行运算在大量运算中，为了提高运算速度，且又不使修约误差快速累积，则可采纳“平安数字”。

即将参加运算各数的有效数字修约到比肯定误差最大的数据多保留一位，再运算后，将结果修约到应有的位数。

例如，计算5.3527、2.3、0.054及3.35的和。

按加减法的运算法则，其计算结果只保留一位小数。

在计算过程中我们不妨多保留一位，则上述数据计算，可写成 5.35＋2.3＋0.05+3.35＝11.05 计算结果可修约为11.0。

2.2.2.4修约标准偏差对标准偏差的修约，其结果应使精确度降低。

例如，某计算结果的标准偏差为0.213，取两位有效数字，修约为0.21。

在做统计检验时，标准偏差可多保留1～2位数参加运算，计算结果的统计量可多保留一位数字与临界值比较。