江苏南通2020 高考数学冲刺小练(2)

2020年江苏省南通市高考数学模拟试卷（二）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分．不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．（5分）设集合{|32}A x x =-剟，{|2121}B x k x k =-+剟，且A B ⊇，则实数k 的取值范围是 ．2．（5分）若复数1z i =+，则zzi= ． 3．（5分）某校高二年级有1000名学生，其中文科生有300名，按文理生比例用分层抽样的方法，从该年级学生中抽取一个容量为50的样本，则应抽取的理科生人数为 ． 4．（5分）如图是一个算法流程图，则输出的S 的值是 ．5．（5分）函数1()15f x x x =+--的定义域是 6．（5分）将黑白2个小球随机放入编号为1，2，3的三个盒子中，则黑白两球均不在1号盒子的概率为7．（5分）已知函数()y f x x =+是偶函数，且f （3）1=，则(3)f -= ．8．（5分）若双曲线22154x y -=的左焦点在抛物线22y px =的准线上，则p 的值为 ．9．（5分）设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，已知23a =，611a =，则7S = ． 10．（5分）若直线1:cos 20l x y θ+=与直线2:3sin 30l x y θ++=垂直，则sin 2θ= ． 11．（5分）如图，已知圆锥的高是底面半径的2倍，侧面积为π，若正方形ABCD 内接于底面圆O ，则四棱锥P ABCD -侧面积为 ．12．（5分）已知圆221:20C x y x m +-+=与圆222:(3)(3)36C x y +++=内切，且圆1C 的半径小于6，点P 是圆1C 上的一个动点，则点P 到直线:51280l x y ++=距离的最大值为 ．13．（5分）已知,a b r r 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c r 满足1||2c a -=r r ，则||2||a b c c b +-+-r rr r r 的最小值为 ．14．（5分）已知a ，b R ∈，()x f x e ax b =-+，若()1f x …恒成立，则b aa-的取值范围是 二、解答题（本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）15．（14分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，且(2)cos cos a c B b C -=． （Ⅰ）求角B 的大小； （Ⅱ）若,24A a π==，求ABC ∆的面积．16．（14分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，AC BC =，点M 为棱11A B 的中点． 求证：（1）//AB 平面11A B C ； （2）平面1C CM ⊥平面11A B C ．17．（14分）一个玩具盘由一个直径为2米的半圆O 和一个矩形ABCD 构成，1AB =米，如图所示．小球从A 点出发以5v 的速度沿半圆O 轨道滚到某点E 处后，经弹射器以6v 的速度沿与点E 切线垂直的方向弹射到落袋区BC 内，落点记为F ．设AOE θ∠=弧度，小球从A 到F 所需时间为T ．（1）试将T 表示为θ的函数()T θ，并写出定义域； （2）当θ满足什么条件时，时间T 最短．18．（16分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为12，(,0)A a ，(0,)B b ，(0,0)O ，ABO ∆3（1）求椭圆C 的方程；（2）设P 是椭圆C 上的一点，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N ，求证：||||AN BM g 为定值．19．（16分）己知数列{}n a 中，0n a >，n S 是数列{}n a 的前n 项和，且22n n na S a +=． （1）求2S ，3S ，并求数列{}n a 的通项公式n a ； （2）设21n n n b S S +=+，数列{}n b 的前n 项和为n T ，若220n T k -…对任意的正整数n 都成立，求实数k 的取值范围．20．（16分）已知函数()2()f x lnx ax a R =+∈，2()12()g x x f x =+- （1）当1a =-时，①求函数()f x 在点(1A ，f （1）)处的切线方程； ②比较()f m 与1()f m的大小；（2）当0a >时，若对(1,)x ∀∈+∞时，()0g x …，且()g x 有唯一零点，证明：34a <． 【选做题】（在A 、B 、C 三小题中只能选做2题，每小题10分，计20分．请把答案写在答题纸的指定区域内）[选修4-2：矩阵与变换]21．（10分）已知矩阵30[]2A a=，A 的逆矩阵11[]31A b -=，求A 的特征值．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在极坐标系中，设直线l 过点)6A π，(3,0)B ，且直线l 与曲线:cos (0)C a a ρθ=>有且只有一个公共点，求实数a 的值．五、解答题（共2小题，满分20分）23．（10分）已知抛物线2:2(02)C x py p =<<的焦点为F ，0(2,)M y 是C 上的一点，且5||2MF =． （1）求C 的方程；（2）直线l 交C 于A 、B 两点，2OA OB k k =-g 且OAB ∆的面积为16，求l 的方程． 24．（10分）某种质地均匀的正四面体玩具的4个面上分别标有数字0，1，2，3，将这个玩具抛掷n 次，记第n 次抛掷后玩具与桌面接触的面上所标的数字为n a ，数列{}n a 的前n 和为n S ．记n S 是3的倍数的概率为()P n ．（1）求P （1），P （2）； （2）求()P n ．2020年江苏省南通市高考数学模拟试卷（二）参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分．不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．（5分）设集合{|32}A x x =-剟，{|2121}B x k x k =-+剟，且A B ⊇，则实数k 的取值范围是 112k-剟 ． 【解答】解：因为A B ⊇B ∴≠∅，∴213212k k --⎧⎨+⎩……，解得112k-剟 故答案为：112k-剟 2．（5分）若复数1z i =+，则zzi= 1- ． 【解答】解：Q 复数1z i =+，∴1z i =-，∴111(1)1z i izi i i i --===-+-． 故答案为1-．3．（5分）某校高二年级有1000名学生，其中文科生有300名，按文理生比例用分层抽样的方法，从该年级学生中抽取一个容量为50的样本，则应抽取的理科生人数为 35 ． 【解答】解：理科生人数占的比例为10003007100010-=，则应抽取的理科生人数为为7503510⨯=人， 故答案为：35．4．（5分）如图是一个算法流程图，则输出的S 的值是 20 ．【解答】解：赋值5a =，1S =，判断54a =…成立， 执行155S =⨯=，1514a a =-=-=，判断44a =…成立， 执行5420S =⨯=，1413a a =-=-=，判断34a =…不成立， 算法结束，输出20S =． 故答案为：20． 5．（5分）函数1()15f x x x =+--的定义域是 {|1x x …且5}x ≠ 【解答】解：要使函数有意义，则1050x x -⎧⎨-≠⎩…得15x x ⎧⎨≠⎩…，即1x …且5x ≠，即函数的定义域为{|1x x …且5}x ≠， 故答案为：{|1x x …且5}x ≠ 6．（5分）将黑白2个小球随机放入编号为1，2，3的三个盒子中，则黑白两球均不在1号盒子的概率为49【解答】解：将黑白2个小球随机放入编号为1，2，3的三个盒子中， 基本事件总数339n =⨯=，黑白两球均不在1号盒子包含的基本事件总数224m =⨯=，∴黑白两球均不在1号盒子的概率为49m p n ==． 故答案为：49． 7．（5分）已知函数()y f x x =+是偶函数，且f （3）1=，则(3)f -= 7 ． 【解答】解：Q 函数()y f x x =+是偶函数，()()f x x f x x ∴--=+，即()()2f x f x x -=+，f Q （3）1=，(3)f f ∴-=（3）23167+⨯=+=，故答案为：7．8．（5分）若双曲线22154x y -=的左焦点在抛物线22y px =的准线上，则p 的值为 6 ．【解答】解：由双曲线22154x y -=，得25a =，24b =，则3c =，则双曲线22154x y -=的左焦点为(3,0)-，抛物线22y px =的准线方程为2p x =-，则32p=，6p =．故答案为：6．9．（5分）设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，已知23a =，611a =，则7S = 49 ． 【解答】解：2617a a a a +=+Q∴1777()492a a s +== 故答案是4910．（5分）若直线1:cos 20l x y θ+=与直线2:3sin 30l x y θ++=垂直，则sin 2θ= 1213- ． 【解答】解：Q 直线1:cos 20l x y θ+=与直线2:3sin 30l x y θ++=垂直，3cos 2sin 0θθ∴+=，2cos sin 3θθ∴=-，22222413sin cos 199sin sin sin θθθθθ∴+=+==，解得sinθ=，cos θ=sin θ=cos θ=12sin 22sin cos 213θθθ∴==-=-．故答案为：1213-． 11．（5分）如图，已知圆锥的高是底面半径的2倍，侧面积为π，若正方形ABCD 内接于底面圆O ，则四棱锥P ABCD -侧面积为．【解答】解：Q 圆锥的高是底面半径的2倍，侧面积为π，∴设底面半径为r ，则高为2r ，母线长2245l r r r =+， ∴圆锥的侧面积5S rl r r πππ==⨯=，解得15r =41555l =Q 正方形ABCD 内接于底面圆O ， 2AB r ∴=，∴四棱锥P ABCD -侧面积为：22144()22PAB ABS S AB PA ∆==⨯⨯-2221652256625r r r r =-==．65 12．（5分）已知圆221:20C x y x m +-+=与圆222:(3)(3)36C x y +++=内切，且圆1C 的半径小于6，点P 是圆1C 上的一个动点，则点P 到直线:51280l x y ++=距离的最大值为 2 ． 【解答】解：根据题意，圆22:20C x y x m +-+=化为标准方程为22(1)1x y m -+=-，其圆心为(1,0)，半径1r m =- 2212||435C C =+，又由圆1C 与圆2C 内切，且圆1C 的半径小于6，则有615m -，解可得0m =，圆心1(1,0)C 到51280x y ++=的距离|58|125144d +==+，点P 是圆1C 上的一个动点，则点P 到直线:51280l x y ++=距离的最大值为112+=； 故答案为：2．13．（5分）已知,a b r r 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c r 满足1||2c a -=r r ，则||2||a b c c b +-+-r rr r r 的最小值为．【解答】解：如图，(1,0)A ，(0,1)B ，(1,1)D ，设OA a =u u u r r ，OB b =u u u r r ，则向量c r 满足1||2c a -=r r ，设OC c =u u u r r ，所以点C 为以A 为圆心，以12为半径的圆上的一点， 所以||||||a b c OD OC CD +-=-=u u u r u u u r r r r ，同理2||2||c b BC -=rr ，取点1(1,)4E ，则AE ACAC AD =，又因CAE DAC ∠=∠， 所以AEC ACD ∆∆∽，所以12CE CD =，即2CD CE =， 所以||2||2222()a b c c b CD BC CE BC BC CE +-+-=+=+=+r rr r r ，由三角形的三边关系知223552()221()2442BC CE BE +=+=⨯=…．故填：52．14．（5分）已知a ，b R ∈，()x f x e ax b =-+，若()1f x …恒成立，则b aa-的取值范围是 [1-，)+∞【解答】解：()x f x e ax b =-+Q ， ()x f x e a ∴'=-，当0a …时，()0f x '>恒成立，则()f x 单调递增，()1f x …不恒成立， 当0a >时，令()0x f x e a '=-=，解得x lna =， 当(,)x lna ∈-∞时，()0f x '<，函数()f x 单调递减， 当(,)x lna ∈+∞时，()0f x '>，函数()f x 单调递增， ()()min f x f lna a alna b ∴==-+，()1f x Q …恒成立，1a alna b -+Q … 1b alna a ∴-+…，∴2112b a alna a lna a a a--+=+-…， 设g （a ）12lna a=+-，0a > g ∴'（a ）22111a a a a-=-=， 令g '（a ）0=，解得1a =，当(0,1)a ∈时，g '（a ）0<，函数g （a ）单调递减， 当(1,)x ∈+∞时，g '（a ）0>，函数g （a ）单调递增，g ∴（a ）0121min =+-=-，∴1b aa--…， 故答案为：[1-，)+∞二、解答题（本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）15．（14分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，且(2)cos cos a c B b C -=． （Ⅰ）求角B 的大小； （Ⅱ）若,24A a π==，求ABC ∆的面积．【解答】解：（Ⅰ）(2)cos cos a c B b C -=Q ，由正弦定理，得(2sin sin )cos sin cos A C B B C ∴-=． ⋯（2分）2sin cos sin cos sin cos sin()sin A B C B B C B C A ∴=+=+=，⋯（4分） (0,)A π∈Q ，sin 0A ∴≠．1cos 2B ∴=． 又0B π<<Q ，3Bπ∴=． ⋯（6分）（Ⅱ）由正弦定理sin sin a bA B=，得32262b ⨯==． ⋯（8分） 4A π=Q ，3B π=，512C π∴=，sin sin C ∴= 5sin()sin cos 12646ππππ=+= cos 4π+ 4πsin 626π+=． ⋯（11分） 116233sin 2622S ab C ++∴==⨯⨯⨯=g ． ⋯（13分） 16．（14分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，AC BC =，点M 为棱11A B 的中点． 求证：（1）//AB 平面11A B C ； （2）平面1C CM ⊥平面11A B C ．【解答】证明：（1）11//AA BB Q ，11AA BB =，∴四边形11AA B B 是平行四边形，11//AB A B ∴，又AB ⊂/平面11A B C ，11A B ⊂平面11A B C ，//AB ∴平面11A B C ．（2）由（1）证明同理可知11AC AC =，11BC B C =，AB BC =Q ，1111A B B C ∴=，M Q 是11A B 的中点，111C M A B ∴⊥，1CC ⊥Q 平面111A B C ，11B A ⊂平面111A B C ， 111CC B A ∴⊥，又111CC C M C =I ， 11B A ∴⊥平面1C CM ，又11B A ⊂平面111A B C ，∴平面1C CM ⊥平面11A B C ．17．（14分）一个玩具盘由一个直径为2米的半圆O 和一个矩形ABCD 构成，1AB =米，如图所示．小球从A 点出发以5v 的速度沿半圆O 轨道滚到某点E 处后，经弹射器以6v 的速度沿与点E 切线垂直的方向弹射到落袋区BC 内，落点记为F ．设AOE θ∠=弧度，小球从A 到F 所需时间为T ．（1）试将T 表示为θ的函数()T θ，并写出定义域； （2）当θ满足什么条件时，时间T 最短．【解答】解：（1）连接CO 并延长交半圆于M ，则4AOM COD π∠=∠=，故4πθ…，同理可得34πθ…，[4πθ∴∈，3]4π． 过O 作OG BC ⊥于G ，则1OG =，||2GOF πθ∠=-，11sin cos ||2OF πθθ∴==-，又¶AE θ=， 11()566sin T vv v θθθ∴=++，[4πθ∈，3]4π．（2）22222 1cos65cos65cos6 ()563030sin cosTv vsin vsin vsinθθθθθθθθθ---+'=-==，令()0Tθ'=可得26cos5cos60θθ--+=，解得2cos3θ=或3cos2θ=-（舍)．设2cos3θ=，[4πθ∈，3]4π，则当4πθθ<…时，()0Tθ'<，当34πθθ<…时，()0Tθ'>，∴当θθ=，()Tθ取得最小值．故2cos3θ=时，时间T最短．18．（16分）已知椭圆2222:1(0)x yC a ba b+=>>的离心率为12，(,0)A a，(0,)B b，(0,0)O，ABO∆3（1）求椭圆C的方程；（2）设P是椭圆C上的一点，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N，求证：||||AN BMg为定值．【解答】解：（1）由题意可知，12cea==，132S a b=⨯⨯222a b c=+，所以2a=，3b=，1c=，所以椭圆方程为22143x y+=；（2）证明：方法一：由（1）知，(2,0)A，3)B，由题意可得，因为(P x，)y，则2200143x y+=，直线PA的方程为0(2)2yy xx=--令0x=，得022Myyx=--．从而02|||3||3|2MyBM yx==-．直线PB的方程为033yy-=+令0y =，得0033N x x y =--．从而003|||2||2|3N x AN x y =-=+-．0032|||||2||3|23x y AN BM x y ∴=++--g g 2200000000003443128312||3223x y x y x y x y x y ++--+=--+0000000043128324||433223x y x y x y x y --+==--+．所以||||AN BM g 为定值．方法二：如图所示：设P 的坐标为(2cos ,3sin )θθ， 由(2,0)A ，(0,3)B ， 则直线AP 的方程为3sin (2)y x θ=-，令0x =时，则3sin y θ=，即3sin (0,)M θ，所以3sin cos 1sin |||3|3||1cos BM θθθθ--=+=-，同理可得2cos (1sin N θθ-，0)， 所以2cos 1sin cos |||2|2||1sin 1sin AN θθθθθ--=-=--，所以|1sin cos ||1sin cos |(1sin )(1cos )||||2323243(1sin )(1cos )(1sin )(1cos )AN BM θθθθθθθθθθ------==⨯⨯=----g g ，所以||||AN BM g为定值．19．（16分）己知数列{}n a 中，0n a >，n S 是数列{}n a 的前n 项和，且22n n na S a +=． （1）求2S ，3S ，并求数列{}n a 的通项公式n a ； （2）设21n n n b S S +=+，数列{}n b 的前n 项和为n T ，若0n k -…对任意的正整数n 都成立，求实数k 的取值范围．【解答】解：（1）数列{}n a 中，0n a >，n S 是数列{}n a 的前n 项和，且22n n na S a +=， 可得1111222S a a a ==+，解得1a =由2222)a a a =+，解得22a =-可得22S =； 由33322(2)a a a +=+，解得32a =，即有3S = 由2n …时，1n n n a S S -=-，可得1122n n n n n S S S S S ---+=-，化为11()()2n n n n S S S S ---+=，即2212n n S S --=，则222(1)2nS n n =+-=，由0n a >，可得n S由22n n na S a +==，可得n a =； （2）21n n n b S S +===+，可得11n T =，由10n n T T +->，可得n T 在*n N ∈递增，n T的最小值为1T =，0n k -…对任意的正整数n都成立，可得11k =…，则实数k 的取值范围为(-∞1]．20．（16分）已知函数()2()f x lnx ax a R =+∈，2()12()g x x f x =+- （1）当1a =-时，①求函数()f x 在点(1A ，f （1）)处的切线方程； ②比较()f m 与1()f m的大小；（2）当0a >时，若对(1,)x ∀∈+∞时，()0g x …，且()g x 有唯一零点，证明：34a <．【解答】解：（1）①当1a =-时，()2f x lnx x =-，1()2f x x'=-，f '（1）1=-， 又(1,2)A ，∴切线方程为2(1)y x +=--，即10x y ++=；②令1122()()()2()22h m f m f lnm m ln lnm m m m m m=-=---=-+，则222222(1)()20m m h m m m m -+'=--=-<，()h m ∴在(0,)+∞上单调递减．又h （1）0=，∴当01m <<时，()0h m >，即1()()f m f m>；当1m =时，()0h m =，即1()()f m f m =；当1m >时，()0h m <，即1()()f m f m<．证明：（2）由题意，21240x lnx ax +--…，而222(21)()24x ax g x x a x x --'=--=，令()0g x '=，解得x a =±0a >Q ，∴1a ，()g x ∴'在(1,)+∞上有唯一零点0x a =+．当0(1,)x x ∈时，()0g x '<，()g x 在0(1,)x 上单调递减， 当0(x x ∈，)+∞时，()0g x '>，()g x 在0(x ，)+∞上单调递增． 0()()min g x g x ∴=．()0g x Q …在(1,)+∞恒成立，且()0g x =有唯一解，∴00()0()0g x g x '=⎧⎨=⎩，即00200022401240x a x x lnx ax ⎧--=⎪⎨⎪+--=⎩，消去a ，得200000212(2)0x lnx x x x +---=， 即200230lnx x --+=．令2000()23h x lnx x =--+，则0002()2h x x x '=--，0()0h x '<Q 在(1,)+∞上恒成立，0()h x ∴在(1,)+∞上单调递减，又h （1）20=>，h （2）2210ln =--<，012x ∴<<． 0011()2a x x =-Q 在(1,2)上单调递增，34a ∴<． 【选做题】（在A 、B 、C 三小题中只能选做2题，每小题10分，计20分．请把答案写在答题纸的指定区域内）[选修4-2：矩阵与变换]21．（10分）已知矩阵30[]2A a=，A 的逆矩阵110[]31A b -=，求A 的特征值．【解答】解：Q 矩阵30[]2A a=，A 的逆矩阵11[]31A b -=，111030032213AA a ab a b -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥∴==⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦， 解得1a =，23b =-，3021A ⎡⎤∴=⎢⎥⎣⎦． 30||(3)(1)021E A λλλλλ-⎡⎤-==--=⎢⎥--⎣⎦， 解得A 的特征值为1或3． [选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在极坐标系中，设直线l 过点)6A π，(3,0)B ，且直线l 与曲线:cos (0)C a a ρθ=>有且只有一个公共点，求实数a 的值．【解答】解：直线l过点)6A π，(3,0)B 转化为直角坐标为：3(2A，(3,0)B ，则直线l的方程为：30x +-=．曲线:cos (0)C a a ρθ=>转化为直角坐标方程为：222()24a a x y -+=，直线l 与曲线C 有且只有一个公共点，则：|3|222a a -= 解得：2a =（负值舍去）． 实数a 的值为2．五、解答题（共2小题，满分20分）23．（10分）已知抛物线2:2(02)C x py p =<<的焦点为F ，0(2,)M y 是C 上的一点，且5||2MF =． （1）求C 的方程；（2）直线l 交C 于A 、B 两点，2OA OB k k =-g 且OAB ∆的面积为16，求l 的方程． 【解答】解：（1）将0(2,)M y 代入22x py =得02y p =，又025||()222p p MF y p =--=+=，1p ∴=， ∴抛物线的方程为22x y =，（2）直l 的斜率显然存在，设直线:l y kx b =+，1(A x ，1)y 、2(B x ，22)2y由22y kx b x y =+⎧⎨=⎩得：2220x kx b --= 122x x k ∴+=，122x x b =-由，121212242OA OB y y x x b k k x x ===-=-g ，4b ∴= ∴直线方程为：4y kx =+，所以直线恒过定点(0,4)，原点O 到直线l的距离d =，11||1622OAB S d AB ∴=⨯=，243264k ∴+=，解得k =±所以直线方程为：4y =±+．24．（10分）某种质地均匀的正四面体玩具的4个面上分别标有数字0，1，2，3，将这个玩具抛掷n 次，记第n 次抛掷后玩具与桌面接触的面上所标的数字为n a ，数列{}n a 的前n 和为n S ．记n S 是3的倍数的概率为()P n ．（1）求P （1），P （2）； （2）求()P n ．【解答】解：（1）抛掷一次，出现一个0和一个3时符合要求，故P （1）12=， 抛掷两次，出现12+，21+，00+，33+，03+，30+时，符合要求，故计6种情况， 故P （2）63168==． （2）设n S 被3除时余1的概率为1()p n ，n S 被3除时余2的概率为2()P n ， 则12111(1)()()()244P n P n P n P n +=++，① 112111(1)()()()424P n P n P n P n +=++，② 212111(1)()()()442P n P n P n P n +=++，③ ①(-②+③)，得：12121(1)[(1)(1)][()()]2P n P n P n P n P n +-+++=-+， 化简，得4(1)()1P n p n +=+， 111(1)[()]343P n P n ∴+-=-，又P （1）12=， 121()334n P n ∴=+⨯．。

2020南通名师高考原创卷压轴卷数学 (含附加题)数学I参考公式:圆柱的侧面积S= 2πrl,其中r 为底面半径,l 为母线长.球的面积24,S R π=其中R 为球的半径.一、填空题:本大题共14小题，每小题5分,共70分.1.已知集合A={x|2x -4<0} ,B= {x|log 2x>-1},则A∩B=___2.若复数z 满足(1-2i)z=5(其中i 为虚数单位) ,则z 的模是___3.右图是一个算法流程图,若输人3πθ=−，则输出的y 的值是___4.用系统抽样方法从400名学生中抽取容量为40的样本,将400名学生随机地编号为1~400, 按编号顺序平均分成40个组(1~10号,11~20号,......391~400号).若第1组中用抽签的方法确定抽出的号码为3,则第10组抽取的号码是____5.将分别写有“中”“国”“梦”的3张卡片随机排序，则能组成“中国梦”的概率是_____6.已知a 1(0,),cos()233ππα∈+=，则cos(2)6πα+的值是____ 7.已知数列{}n a 是公差为d 的等差数列，n S 是其前n 项和，若47103115,62a a a S ++==,则d 的值是____8.在△ABC 中,,3B AC π==若△ABC ABC 的周长是_____ 9.制作一个如图所示的密封饮料罐，需要将一个高为9 cm,底面直径为6 cm 的圆柱体的底部改为内凹的半球面，则该密封饮料罐的表面积为____cm².10.在平面直角坐标系xOy 中12,F F 分别是双曲线2221(0,0)zx y a b a b−=>>的左、右焦点,过1F 作圆222x y a +=的切线l 与双曲线的右支交于点P,且22()0OP OF F P +⋅= ，则该双曲线的离心率是____11.在平面直角坐标系xOy 中,C 为直线x-2y=0在第一象限内的点,以C 为圆心的圆C 与y 轴相切,且截x 轴所得弦长为则圆C 的标准方程为____12. 已知正三角形ABC 的边长为EF 为△ABC 的外接圆O 的一条直径,点M 在△ABC 的边上运动,则ME MF ⋅ 的最小值是____13.已知函数f(x)的定义域为(0, +∞),f(1)=0,且()()f x xf x ′<在(0,+∞)内恒成立(()f x ′为f(x)的导函数),则关于t 的不等式f(t)<0的解集为____ 14. 已知x,y ∈R ,且x+y>0,则2232x xy y x y++++的最小值为___ 二、解答题:本大题共6小题，共计90分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。

甲 乙 8 9 79 01398 210 （第5题）江苏省南通基地2020年高考数学密卷（2）理第Ⅰ卷（必做题，共160分）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1． 已知集合A ={1，4}，B ={|13x x ≤≤}，则A ∩B = ▲ ． 2． 设复数2(2i)z =+（i 为虚数单位），则z 的共轭复数为 ▲ ． 3．函数的y =定义域为 ▲ ．4． 阅读下面的伪代码，由这个算法输出的结果为 ▲ ．5． 如图是甲、乙两位同学在5次数学测试中得分的茎叶图，则成绩较稳定（方差较小）的那一位同学的方差为 ▲ ．6． 将黑白2个小球随机放入编号为1，2，3的三个盒子中，则黑白两球均不在1号盒子的概率为 ▲ ．7． 在平面直角坐标系xOy 中，将函数cos 2y x =的图象向右平移6π个单位得到()g x 的图象，则()2g π的值为 ▲ ．8． 在平面直角坐标系xOy 中，双曲线2214y x -=的一条渐近线与准线的交点到另一条渐近线的距离为 ▲ ． 9． 若()πtan 34x +=-，则sin 2cos 3sin 4cos x x x x++的值为 ▲ ． 10．已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且对于任意的 x ∈R 都有f (x +4)= f (x )+ f (2)，f (1)= 4，则f (3)+ f (10)的值为 ▲ ．11．已知n S 为数列{a n }的前n 项和，且22111n n n a a a ++-=-，21313S a =，则{a n }的首项的所有s ←0t ←1For I From 1 To 3 s ←s +I t ←t ⨯I End For r ←s ⨯t Print r（第4题）可能值为 ▲ ．12．在平面直角坐标系xOy 中，已知直线:3450l x y -+=与圆22:100C x y x +-=交于A ，B 两点，P 为x 轴上一动点，则△ABP 周长的最小值为 ▲ ．13．已知函数22()3x x a x a f x x x a x a ⎧-+-⎪=⎨++<-⎪⎩≥，，，．记{|()0}A x f x ==，若(2)A -∞≠∅I ，，则实数a 的取值范围为 ▲ ．14．若△ABC 中，ABBC =8，B ∠=45°，D 为△ABC 所在平面内一点且满足()()4AB AD AC AD ⋅⋅⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r，则AD 长度的最小值为 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答. 解答时应写出文字 说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）如图，在△ABC 中，a b c ，，为A B C ，，所对的边，CD ⊥AB 于D ，且12BD AD c -=． （1）求证：sin 2sin()C A B =-； （2）若3cos 5A =，求tan C 的值．16．（本小题满分14分）在正四棱锥V ABCD -中，E ，F 分别为棱VA ，VC 的中点． （1）求证：EF ∥平面ABCD ； （2）求证：平面VBD ⊥平面BEF ．17．(本小题满分14分)如图所示的某种容器的体积为90πcm 3，它是由圆锥和圆柱两部分连接而成，圆柱与圆锥ACBD（第16题）VE FCADB（第15题）h 1rh 2（第17题）45° 的底面半径都为r cm ．圆锥的高为h 1 cm ，母线与底面所成的角为o45；圆柱的高为h 2 cm ．已知圆柱底面的造价为2a 元/cm 2，圆柱侧面造价为a 元/cm 2，a元/cm 2．（1）将圆柱的高h 2表示为底面半径r 的函数，并求出定义域； （2）当容器造价最低时，圆柱的底面半径r 为多少？18．（本小题满分16分）已知在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：22221(0)y x ab a b+=>>，其短轴长为2．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）如图，A 为椭圆C 的左顶点，P ，Q 为椭圆C 上两动点，直线PO 交AQ 于E ，直线QO 交AP 于D ，直线OP 与直线OQ 的斜率分别为1k ，2k ，且1212k k =-，AD DP λ=u u u r u u u r，AE EQ μ=u u u r u u u r （λμ，为非零实数），求22λμ+的值．19．（本小题满分16分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知11a =，121n n S S +-=（*n ∈N ）． （1）求证：数列{}n a 为等比数列； （2）若数列{}n b 满足：11b =，1112nn n b b a ++=+． ① 求数列{}n b 的通项公式；（第18题）② 是否存在正整数n ，使得14ni i b n ==-∑成立？若存在，求出所有n 的值；若不存在，请说明理由．20．（本小题满分16分）已知函数*()ln k f x x x k =∈N ，，()1g x cx c =-∈R ，． （1）当1k =时，①若曲线()y f x =与直线()y g x =相切，求c 的值；②若曲线()y f x =与直线()y g x =有公共点，求c 的取值范围．（2）当2k ≥时，不等式2()()f x ax bx g x +≥≥对于任意正实数x 恒成立，当c 取得最大值时，求a ，b 的值．2020年高考模拟试卷（2）数学Ⅱ(附加题)21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定两题，并在．．．．．．．相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．． A ．[选修4—1：几何证明选讲]（本小题满分10分）如图，ABCD 为圆内接四边形，延长两组对边分别交于点E ，F ．M ，N 为AB ，CD 上两点，EM ＝EN ，点F 在MN 的延长线上．求证：∠BFM ＝∠AFM ．B ．[选修4—2：矩阵与变换]（本小题满分10分）已知在二阶矩阵M 对应变换的作用下，四边形ABCD 变成四边形A B C D ''''，其中 (11)A ，，(11)B -，，(11)C --，，(33)A '，，(11)B '-，，(11)D '-，． （1）求矩阵M ； （2）求向量DC 'u u u u r的坐标．C ．[选修4—4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位．已知直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝t －3(t 为参数)，圆C 的极坐标方程是ρ＝4cos θ，求直线l 被圆C 截得的弦长．D ．[选修4—5：不等式选讲]（本小题满分10分）已知x >0，y >0，z >0，221x y z ++=，求证：135xy yz zx ++≤．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答卷纸指定区域内．．．．．．．．作答． 22．（本小题满分10分）某同学理科成绩优异，今年参加了数学，物理，化学，生物4门学科竞赛．已知该同 学数学获一等奖的概率为23，物理，化学，生物获一等奖的概率都是12，且四门学科是否获一等奖相互独立．（1）求该同学至多有一门学科获得一等奖的概率；（2）用随机变量X 表示该同学获得一等奖的总数，求X 的概率分布和数学期望()E X ．23．（本小题满分10分）已知函数2()1f x x x =-+，记1()()f x f x =，当12()(())n n n f x f f x -=≥时，． （1）求证：2()f x 在(1)+∞，上为增函数；（2）对于任意*N n ∈，判断()n f x 在(1)+∞，上的单调性，并证明．2020年高考模拟试卷（2）参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1． {1}【解析】依题意，A ∩B ={1}2． 34i -【解析】由于2(2i)34i z =+=+，所以z 的共轭复数为34i -． 3． (]0,8【解析】由23log 0x -≥，解得08x <≤．4． 36【解析】1236s =++=，1236t =⨯⨯=，输出的结果6636r =⨯=． 5． 2【解析】由茎叶图可知，8889909192905x ++++==，所以甲的方差为52211()25i i s x x ==-=∑；同理乙的方差为4，所以比较稳定的是甲．6． 49【解析】所有等可能的基本事件总数为339⨯=种，“黑白两球均不在1号盒子”有224⨯=种，所以概率为49．7． 12-【解析】()()cos 23g x x π=-，所以()1()cos 232g ππ=π-=-．8． 45【解析】一条渐近线2y x =与右准线5x =的交点为525(,)，其到另一条渐近线2y x =-的距离为45．9． 25【解析】由()ππ31tan tan 2441(3)x x --⎡⎤=+-==⎢⎥+-⎣⎦，得sin 2cos tan 223sin 4cos 3tan 45x x x x x x ++==++．10． 4【解析】令f (x +4)= f (x )+ f (2)中x =2，得f (2)= f (2)+ f (2)，所以f (2)=0，又因为f (x )是定义在R 上的偶函数，所以f (2)=0，所以f (x +4)= f (x )，所以f (x )是周期为4的周期函数，所以f (3)+ f (10)= f (1) + f (2)= f (1)+0= 4．11． 34-，【解析】因为22111n n n a a a ++-=-，所以22111n n a a a ++-=-，所以222211a a a -=-，223321a a a -=-，…，221313121a a a -=-，将以上各式相加，得2213113112S a a a --=-， 又21313S a =，所以211120a a --=，获解．Cxy O BA （第12题）P B 'Q12． 14【解析】设直线l 与圆C 的一个交点B （5，5）关于x 轴的对称点为B '，易知B B '恰为圆C 的直径，记A B '与x 轴 交于点Q ，则PA PB PA PB AB ''+=+≥，所以△ABP 的周长的最小值为AB AB '+，易求得结果为14. 13． (14⎤-∞⎦，在(2)-∞，所以方程2|x x =所以函数()g x =注意到函数(h x 14．2设()D x y ，，所以(11)AB =--，(71)AC =-，()AD x =， 所以()()()(7)4AB AD AC AD x y x y ⋅⋅⋅=---=u u u r u u u r u u u r u u u r ，即()(7)4x y y x +-=，令7x y m y x n +=⎧⎨-=⎩，则1()81(7)8x m n y m n ⎧=-⎪⎨⎪=+⎩，所以mn =4，所以22222211()(7)5021288AD x y m n m n m n mn =+-++++ 222225*********m n mn +++≥． 当且仅当5m =n =5±AD 2 二、解答题：本大题共6小题，共90分． 15．（本小题满分14分）（1）证明：因为12BD AD c -=，所以1cos cos 2a Bb Ac -=， …… 3分由正弦定理，得1sin cos sin cos sin 2A B B A C -=，所以sin 2sin()C A B =-． …… 6分（2）解：由（1）得，sin()2sin()A B A B +=-， …… 8分Cx yA B D（第14题）CADB（第15题）所以sin cos cos sin 2(sin cos cos sin )A B A B A B A B +=-，化简，得3cos sin sin cos A B A B =． …… 10分又3cos 5A =，所以4sin 5A =，所以4tan 3A =，4tan 9B =， …… 12分所以44tan tan 4839tan tan()1tan tan 4411139A B C A B A B ++=-+=-=-=---⋅． …… 14分16．（本小题满分14分）（1）因为E ，F 分别为棱VA ，VC 的中点，所以EF ∥AC ， …… 3分 又因为EF ABCD ⊄平面，AC ABCD ⊂平面，所以EF ∥平面ABCD ． …… 6分（2）连结AC ，BD 交于点O ，连结VO ．因为V ABCD -为正四棱锥，所以VO ABCD ⊥平面．又AC ABCD ⊂平面，所以VO AC ⊥．…… 8分又因为BD AC ⊥，EF ∥AC ，所以EF ⊥VO ，EF ⊥BD ． …… 10分 又VO BD VBD ⊂，平面，=VO BD O ∩，所以EF VBD ⊥平面， …… 12分又EF BEF ⊂平面，所以平面VBD ⊥平面BEF ．…… 14分17．（本小题满分14分）（1）解：因为圆锥的母线与底面所成的角为o 45，所以1h r =，圆锥的体积为231111ππ33V r h r ==，圆柱的体积为222πV r h =． …… 2分因为1290πV V +=，所以23221π90ππ3V r h r ==-，所以32222709033r r h r r-==-． …… 4分 因为311π90π3V r =<，所以r <0r <<．所以32222709033r r h r r -==-，定义域为{|0r r <<． …… 6分 ACBD（第16题）VE FO（2）圆锥的侧面积21πS r r ==，圆柱的侧面积222πS rh =，底面积23πS r =． …… 8分容器总造价为1232y aS aS =++2222π2π2πr a rh a r a =++2222π()a r rh r =++()22902π23r a r r r⎡⎤=+-⎣⎦ ()210π543a r r=+． …… 10分令254()f r r r =+，则254()2f r r r '=-．令()0f r '=，得3r =． 当03r <<时，()0f r '<，()f r 在(0 3)，上为单调减函数；当3r <<时，()0f r '>，()f r在(3上为单调增函数． 因此，当且仅当3r =时，()f r 有最小值，y 有最小值90πa 元．…… 13分 所以，总造价最低时，圆柱底面的半径为3cm ． …… 14分18．（本小题满分16分）（1）解：因为短轴长2b =2，所以b =1，…… 2分又离心率c a =a =， …… 4分 所以222222()a c ab ==-，所以22a =，所以椭圆C 的标准方程为2212x y +=．…… 6分 （2）由（1），点A (0)，设1100()()P x y D x y ，，，，则111020y k x y k x ==，，因为AD DP λ=u u u r u u u r，所以010010()()x x x y y y λλ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩L L L L ①②， …… 8分由①得，011+x x λλ=- 由②得，101+y y λλ=，所以1120211+(k x k x k x λλ==， …… 11分两边同时乘以k 1得，21112111((2k x k k x x ==-，所以11x =1121(12)y k λ=+，代入椭圆的方程得，221112k λ=+， …… 14分 同理可得，()22122221121112121122k k k k μ===+++-， 所以221λμ+=． …… 16分19．（本小题满分16分）（1）解：由121n n S S +-=，得121n n S S --=（2n ≥）， 两式相减，得120n n a a +-=，即12n na a +=（2n ≥）． …… 2分 因为11a =，由121()21a a a +-=，得22a =，所以212a a =， 所以12n na a +=对任意*n ∈N 都成立， 所以数列{}n a 为等比数列，首项为1，公比为2． ……4分 （2）① 由（1）知，12n n a -=， 由1112n n nb b a ++=+，得1122n n nbb +=+， …… 6分 即11221n n n n b b -+=+，即11221n n n n b b -+-=， 因为11b =，所以数列{}12n n b -是首项为1，公差为1的等差数列． …… 8分 所以121(1)1n n b n n -=+-⨯=，所以12n n n b -=． …… 10分 ② 设1nn i i T b ==∑，则012111111()2()3()()2222n n T n -=⨯+⨯+⨯++⨯L ，所以123111111()2()3()()22222n n T n =⨯+⨯+⨯++⨯L ，两式相减，得0121111111()()()()()222222n n n T n -=++++-⨯L 11()12()1212nn n -=-⨯-12(2)()2n n =-+⨯， 所以14(24)()2n n T n =-+⨯． …… 12分由14ni i b n ==-∑，得14(24)()42n n n -+⨯=-，即122n n n -+=．显然当2n =时，上式成立，设12()2n n f n n-+=-（*n ∈N ），即(2)0f =．因为11322(1)()(2)(2)201(1)n n n n n f n f n n n n n --⎡⎤+++-=---=-+<⎢⎥++⎣⎦，所以数列{}()f n 单调递减， 所以()0f n =只有唯一解2n =，所以存在唯一正整数2n =，使得14ni i b n ==-∑成立． …… 16分20．（本小题满分16分）（1）解：当1k =时，()ln f x x x =，所以()1ln f x x '=+．①设切点为00()P x y ，，则0000001ln ln 1x c y x x y cx +=⎧⎪=⎨⎪=-⎩①②③…… 2分由②③得，0001ln cx x x -=④由①得0ln 1x c =-代入④得，001(1)cx x c -=-所以011x c ==，． …… 4分 ②由题意，得方程ln 1x x cx =-有正实数根，即方程1ln 0x c x+-=有正实数根，记1()ln h x x c x =+-，令22111()x h x x x x-'=-=， 当01x <<时，()0h x '<；当1x >时，()0h x '>； 所以()h x 在(01)，上为减函数，在(1)∞，+上为增函数；所以min ()(1)1h x h c ==-． …… 6分 若1c <，则()(1)10h x h c =->≥，不合； 若1c =，由①知适合；若1c >，则(1)10h c =-<，又11(e )0e e c c ch c c =+-=>， 所以(1)(e )0c h h ⋅<，由零点存在性定理知()h x 在(1e )(0)c ⊆+∞，，上必有零点． 综上，c 的取值范围为[1)∞，+． …… 9分（2）由题意得，当2k ≥时，ln 1k x x cx -≥对于任意正实数x 恒成立， 所以当2k ≥时，11ln k c x x x -+≤对于任意正实数x 恒成立，由（1）知，1ln 1x x+≥，两边同时乘以x 得，ln 1x x x +≥①， 两边同时加上1x得，11ln 12x x x x x +++≥≥②，所以1ln 1x x x +≥（*），当且仅当1x =时取等号．对（*）式重复以上步骤①②可得，21ln 1x x x +≥，进而可得，31ln 1x x x +≥，41ln 1x x x+≥，……，所以当2k ≥，*N k ∈时，11ln 1k x x x -+≥，当且仅当1x =时取等号．所以1c ≤． …… 12分 当c 取最大值1时，2ln 1k x x ax bx x +-≥≥对于任意正实数x 恒成立， 令上式中1x =得， 00a b +≥≥，所以0a b +=， 所以21ax ax x --≥对于任意正实数x 恒成立， 即2(1)10ax a x -++≥对于任意正实数x 恒成立， 所以0a >，所以函数2(1)1y ax a x =-++的对称轴102a x a+=>， 所以2(1)40a a ∆=+-≤，即2(1)0a -≤，所以1a =，1b =-． …… 14分 又由21ln 1k x x x-+≥，两边同乘以x 2得，2ln k x x x x +≥，所以当1a =，1b =-时，2ln k x x ax bx +≥也恒成立，综上，得1a =，1b =-． …… 16分数学Ⅱ（附加题）21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内 作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．[选修4—1：几何证明选讲]（本小题满分10分）证明：因为EM ＝EN ，所以∠EMN ＝∠ENM ， …… 3分 因为ABCD 为圆内接四边形，所以∠FCN ＝∠A ，…… 6分又因为∠EMN ＝∠AFM ＋∠A ，∠ENM ＝∠BFM ＋∠FCN ，所以∠AFM ＝∠BFM ． …… 10分B ．[选修4—2：矩阵与变换]（本小题满分10分） （1）解：设a b M c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦， 则有13111311a b a b c d c d --⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦，， …… 2分 故3311a b c d a b c d +=⎧⎪+=⎪⎨-+=-⎪⎪-+=⎩ 解得2112a b c d ====，，，，所以2112M ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦．…… 5分 （2）由21131213--⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦，知(33)C '--，， 易求12133=1233M -⎡⎤-⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦， …… 7分 由211133121133⎡⎤-⎡⎤⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦-⎢⎥⎣⎦，得(11)D -，， 所以=(42)DC '--u u u u r ，． …… 10分C ．[选修4—4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）解：直线l 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝t －3 (t 为参数)化为直角坐标方程是y ＝x －3，…… 2分圆C 的极坐标方程ρ＝4cos θ化为直角坐标方程是x 2＋y 2－4x ＝0． …… 5分 圆C 的圆心(2，0)到直线x －y －3＝0的距离为d ＝12＝． …… 7分又圆C 的半径r ＝2，所以直线l 被圆C 截得的弦长为2r 2－d 2＝14． …… 10分D ．[选修4—5：不等式选讲]（本小题满分10分）证明：因为222151(22)5(3)()(2)044x y z xy yz zx x y x y z ++-++=-++-≥，…… 5分所以2(22)5(3)x y z xy yz zx ++++≥， 又因为221x y z ++=，所以135xy yz zx ++≤． …… 10分【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时 应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）（1）解：记“该同学获得i 个一等奖”为事件i A ，01i =，， 则()021111(1)(1)(1)(1)322224P A =-⨯-⨯-⨯-=，()31213212115(1)(1)(1)3232224P A C =⨯-+-⨯⨯⨯-=，所以该同学至多有一门学科获得一等奖的概率为()()0115124244P A P A +=+=． …… 4分（2）随机变量X 的可能取值为0，1，2，3，4，()()01024P X P A ===，()()15124P X P A ===，()12223321121132(1)(1)()(1)3223228P X C C ==⨯⨯⨯-+-⨯⨯⨯-=，()2233332112173()(1)(1)()3223224P X C C ==⨯⨯⨯-+-⨯⨯=，()32114()3212P X ==⨯=， 所以X 的概率分布为故()15972130123424242424246E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=． …… 10分23．（本小题满分10分）（1）证明：因为22()(())(1)f x f f x f x x ==-+，所以22()(21)(1)f x x f x x ''=--+， 因为1x >，所以210x ->，211x x -+>，所以22(1)2(1)10f x x x x '-+=-+->，所以2()0f x '>，所以2()f x 在(1)+∞，上为增函数． …… 4分（2）结论：对于任意*N n ∈，()n f x 在(1)+∞，上均为增函数．证明：①当n =1时，结论显然成立；②假设当n =k 时结论也成立，即()k f x 在(1)+∞，上为增函数， 所以当1x >时，()0k f x '>在(1)+∞，上恒成立． 当n =k +1时，21()(())(1)k k k f x f f x f x x +==-+， 所以21()(21)(1)k k f x x f x x +''=--+ 又当1x >时，210x ->，211x x -+>，所以2(1)0k f x x '-+>在(1)+∞，上恒成立，所以21()(21)(1)0k k f x x f x x +''=--+>在(1)+∞，上恒成立， 所以1()k f x +在(1)+∞，上为增函数．由①②得证，对于任意*N n ∈，()n f x 在(1)+∞，上均为增函数．…… 10分。

二项分布及其应用一、选择题（本大题共12小题，共60分）1. 甲乙二人争夺一场围棋比赛的冠军，若比赛为“三局两胜”制，甲在每局比赛中获胜的概率均为，且各局比赛结果相互独立，则在甲获得冠军的情况下，比赛进行了三局的概率为A. B. C. D.（正确答案）B【分析】本题考查条件概率，考查相互独立事件概率公式，属于中档题．求出甲获得冠军的概率、比赛进行了3局的概率，即可得出结论．【解答】解：由题意，甲获得冠军的概率为，其中比赛进行了3局的概率为，所求概率为，故选B．2. 小赵、小钱、小孙、小李到 4 个景点旅游，每人只去一个景点，设事件“4 个人去的景点不相同”，事件“小赵独自去一个景点”，则A. B. C. D.（正确答案）A【分析】本题考查条件概率，考查学生的计算能力，确定基本事件的个数是关键这是求小赵独自去一个景点的前提下，4 个人去的景点不相同的概率，求出相应基本事件的个数，即可得出结论，属于中档题．【解答】解：小赵独自去一个景点，有4个景点可选，则其余3人只能在小赵剩下的3个景点中选择，可能性为种所以小赵独自去一个景点的可能性为种因为4 个人去的景点不相同的可能性为种，所以．故选A．3. 2016年鞍山地区空气质量的记录表明，一天的空气质量为优良的概率为，连续两天为优良的概率为，若今天的空气质量为优良，则明天空气质量为优良的概率是A. B. C. D.（正确答案）C解：一天的空气质量为优良的概率为，连续两天为优良的概率为，设随后一天空气质量为优良的概率为p，若今天的空气质量为优良，则明天空气质量为优良，则有，，故选：C．设随后一天的空气质量为优良的概率是p，利用相互独立事件概率乘法公式能求出结果．本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意相互独立事件概率乘法公式的合理运用．4. 投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试已知某同学每次投篮投中的概率为，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为A. B. C. D.（正确答案）A解：由题意可知：同学3次测试满足X∽，该同学通过测试的概率为．故选：A．判断该同学投篮投中是独立重复试验，然后求解概率即可．本题考查独立重复试验概率的求法，基本知识的考查．5. 设某种动物由出生算起活到10岁的概率为，活到15岁的概率为现有一个10岁的这种动物，它能活到15岁的概率是A. B. C. D.（正确答案）C解：记该动物从出生起活到10岁为事件A，从出生起活到15岁的为事件AB，而所求的事件为，由题意可得，，由条件概率公式可得，故选C．活到15岁的概率是在活到10岁的概率的情况下发生的，故可用条件概率来求解这个题．本题考点是条件概率，理清楚事件之间的关系是解决问题的关键，属中档题．6. 在10个球中有6个红球和4个白球各不相同，不放回地依次摸出2个球，在第一次摸出红球的条件下，第2次也摸到红球的概率为A. B. C. D.（正确答案）D解：先求出“第一次摸到红球”的概率为：，设“在第一次摸出红球的条件下，第二次也摸到红球”的概率是再求“第一次摸到红球且第二次也摸到红球”的概率为，根据条件概率公式，得：，故选：D．事件“第一次摸到红球且第二次也摸到红球”的概率等于事件“第一次摸到红球”的概率乘以事件“在第一次摸出红球的条件下，第二次也摸到红球”的概率根据这个原理，可以分别求出“第一次摸到红球”的概率和“第一次摸到红球且第二次也摸到红球”的概率，再用公式可以求出要求的概率．本题考查了概率的计算方法，主要是考查了条件概率与独立事件的理解，属于中档题看准确事件之间的联系，正确运用公式，是解决本题的关键．7. 将4个不同的小球装入4个不同的盒子，则在至少一个盒子为空的条件下，恰好有两个盒子为空的概率是A. B. C. D.（正确答案）A解：根据题意，将4个不同的小球装入4个不同的盒子，有种不同的放法，若没有空盒，有种放法，有1个空盒的放法有种，有3个空盒的放法有种，则至少一个盒子为空的放法有种，故“至少一个盒子为空”的概率，恰好有两个盒子为空的放法有种，故“恰好有两个盒子为空”的概率，则则在至少一个盒子为空的条件下，恰好有两个盒子为空的概率；故选：A．根据题意，由分步计数原理计算可得“将4个不同的小球装入4个不同的盒子”的放法数目，进而由排列、组合数公式计算“没有空盒”、“有1个空盒的放法”、“有3个空盒”的放法数目，由古典概型公式计算可得“至少一个盒子为空”以及“恰好有两个盒子为空”的概率，最后由条件概率的计算公式计算可得答案．本题考查条件概率的计算，涉及排列、组合的应用，关键是求出“至少一个盒子为空”以及“恰好有两个盒子为空”的概率．8. 在区间内随机投掷一个点其坐标为，若，则A. B. C. D.（正确答案）A解：根据题意，得，因此，事件AB对应的区间长度为，结合总的区间长度为1，可得又，同理可得因此，故选：A由题意，算出且，结合条件概率计算公式即可得到的值．本题给出投点问题，求事件A的条件下B发生的概率，着重考查了条件概率及其应用的知识，属于基础题．9. 九江气象台统计，5月1日浔阳区下雨的概率为，刮风的概率为，既刮风又下雨的概率为，设A为下雨，B为刮风，那么A. B. C. D.（正确答案）B解：由题意，，，，故选B．确定，，，再利用条件概率公式，即可求得结论．本题考查概率的计算，考查条件概率，考查学生的计算能力，属于基础题．10. 从混有5张假钞的20张一百元纸币中任意抽取2张，将其中一张在验钞机上检验发现是假币，则这两张都是假币的概率为A. B. C. D.（正确答案）D解：解：设事件A表示“抽到的两张都是假钞”，事件B表示“抽到的两张至少有一张假钞”，则所求的概率即．又，，由公式．故选：D．设事件A表示“抽到的两张都是假钞”，事件B表示“抽到的两张至少有一张假钞”，所求的概率即先求出和的值，再根据，运算求得结果．本题考查概率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意条件概率的合理运用．11. 如图，和都是圆内接正三角形，且，将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A表示事件“豆子落在内”，B表示事件“豆子落在内”，则A.B.C.D.（正确答案）D解：如图所示，作三条辅助线，根据已知条件这些小三角形全等，所以，故选：D．作三条辅助线，根据已知条件这些小三角形全等，即可求出．本题考查概率的计算，考查学生的计算能力，正确作出图形是关键．12. 下列说法中正确的是设随机变量X服从二项分布，则已知随机变量X服从正态分布且，则；．A. B. C. D.（正确答案）A解：设随机变量X服从二项分布，则，正确；随机变量服从正态分布，正态曲线的对称轴是．，，，正确；利用积分的几何意义，可知，正确；故不正确．故选：A．分别对4个选项，分别求解，即可得出结论．考查二项分布、正态分布以及定积分的几何意义，考查学生的计算能力，知识综合性强．二、填空题（本大题共4小题，共20分）13. 如果，当取得最大值时， ______ ．（正确答案）50解：，当，由组合数知，当时取到最大值．故答案为：50．根据变量符合二项分布，写出试验发生k次的概率的表示式，在表示式中，只有是一个变量，根据组合数的性质，当时，概率取到最大值．本题考查二项分布与n次独立重复试验的模型，考查概率的最值，考查组合数的性质，是一个比较简单的综合题目．14. 抛掷红、蓝两颗骰子，设事件A为“蓝色骰子的点数为3或6”，事件B为“两颗骰子的点数之和大于8”则当已知蓝色骰子点数为3或6时，问两颗骰子的点数之和大于8的概率为______ ．（正确答案）解：设x为掷红骰子得的点数，y为掷蓝骰子得的点数，则所有可能的事件与建立对应，显然：，，．．故答案为：由题意知这是一个条件概率，做这种问题时，要从这样两步入手，一是做出蓝色骰子的点数为3或6的概率，二是两颗骰子的点数之和大于8的概率，再做出两颗骰子的点数之和大于8且蓝色骰子的点数为3或6的概率，根据条件概率的公式得到结果．本题考查条件概率，条件概率有两种做法，本题采用概率来解，还有一种做法是用事件发生所包含的事件数之比来解出结果，本题出现的不多，以这个题目为例，同学们要认真分析．15. 从标有1，2，3，4，5的五张卡片中，依次抽出2张，则在第一次抽到偶数的条件下，第二次抽到奇数的概率为______．（正确答案）解：在第一次抽到偶数时，还剩下1个偶数，3个奇数，在第一次抽到偶数的条件下，第二次抽到奇数的概率为．故答案为：．根据剩下4个数的奇偶性得出结论．本题考查了条件概率的计算，属于基础题．16. 若随机变量，且，则 ______ ．（正确答案）解：随机变量，且，可得，正态分布曲线的图象关于直线对称．，，故答案为：．由条件求得，可得正态分布曲线的图象关于直线对称求得的值，再根据，求得的值．本题主要考查正态分布的性质，正态曲线的对称性，属于基础题．三、解答题（本大题共3小题，共40分）17. 甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为，乙每次击中目标的概率，假设两人射击是否击中目标，相互之间没有影响；每次射击是否击中目标，相互之间没有影响．Ⅰ求甲至少有1次未击中目标的概率；Ⅱ记甲击中目标的次数为，求的概率分布及数学期望；Ⅲ求甲恰好比乙多击中目标2次的概率．（正确答案）解：记“甲连续射击3次，至少1次未击中目标”为事件，由题意知两人射击是否击中目标，相互之间没有影响，射击3次，相当于3次独立重复试验，故．故甲至少有1次未击中目标的概率为；由题意知X的可能取值是0，1，2，3，，，，X的概率分布如下表：X 0 1 2 3P设甲恰比乙多击中目标2次为事件A，甲恰击中目标2次且乙恰击中目标0次为事件，甲恰击中目标 3次且乙恰击中目标 1次为事件，则，，为互斥事件甲恰好比乙多击中目标2次的概率为由题意知，两人射击是否击中目标，相互之间没有影响；甲每次击中目标的概率为，射击3次，相当于3次独立重复试验，根据独立重复试验概率公式得到结果．根据题意看出变量的可能取值，根据变量对应的事件和独立重复试验的概率公式，写出变量对应的概率，写出分布列，做出期望值．甲恰比乙多击中目标2次，包括甲恰击中目标2次且乙恰击中目标0次，甲恰击中目标3次且乙恰击中目标1次，这两种情况是互斥的，根据公式公式得到结果．本题考查离散型随机变量的分布列和期望，考查互斥事件的概率，是一个基础题，这种题目解题的关键是看清题目事件的特点，找出解题的规律，遇到类似的题目要求能做．18. 袋子A和B中装有若干个均匀的红球和白球，从A中摸出一个红球的概率是，从B中摸出一个红球的概率是现从两个袋子中有放回的摸球从A中摸球，每次摸出一个，共摸5次求：恰好有3次摸到红球的概率；设摸得红球的次数为随机变量X，求X的期望；Ⅱ从A中摸出一个球，若是白球则继续在袋子A中摸球，若是红球则在袋子B中摸球，若从袋子B中摸出的是白球则继续在袋子B中摸球，若是红球则在袋子A中摸球，如此反复摸球3次，计摸出的红球的次数为Y，求Y的分布列以及随机变量Y的期望．（正确答案）解：Ⅰ由题意知本题是在相同的条件下进行的试验，且事件发生的概率相同，可以看作独立重复试验，根据独立重复试验公式得到，恰好有3次摸到红球的概率：．由题意知从A中有放回地摸球，每次摸出一个，是独立重复试验，根据独立重复试验公式得到：，．随机变量Y的取值为0，1，2，3；且：；；；；随机变量Y的分布列是：的数学期望是．由题意知本题是在相同的条件下进行的试验，且事件发生的概率相同，可以看作独立重复试验，根据独立重复试验公式得到结果．由题意知从A中有放回地摸球，每次摸出一个，是独立重复试验，根据独立重复试验公式得到答案．由题意知计摸出的红球的次数为Y，随机变量Y的取值为0，1，2，3；由独立试验概率公式得到概率，写出分布列和期望．解决离散型随机变量分布列问题时，主要依据概率的有关概念和运算，同时还要注意题目中离散型随机变量服从什么分布，若服从特殊的分布则运算要简单的多．19. 某射击小组有甲、乙两名射手，甲的命中率为，乙的命中率为，在射击比武活动中每人射击发两发子弹则完成一次检测，在一次检测中，若两人命中次数相等且都不少于一发，则称该射击小组为“先进和谐组”；若，求该小组在一次检测中荣获“先进和谐组”的概率；计划在2011年每月进行1次检测，设这12次检测中该小组获得“先进和谐组”的次数，如果，求的取值范围．（正确答案）解：，，根据“先进和谐组”的定义可得该小组在一次检测中荣获“先进和谐组”的包括两人两次都射中，两人恰好各射中一次，该小组在一次检测中荣获“先进和谐组”的概率该小组在一次检测中荣获先进和谐组”的概率而，所以由知，解得：根据甲的命中率为，乙的命中率为，两人命中次数相等且都不少于一发，则称该射击小组为“先进和谐组”；我们可以求出该小组在一次检测中荣获“先进和谐组”的概率；由已知结合的结论，我们可以求出该小组在一次检测中荣获“先进和谐组”的概率含参数，由，可以构造一个关于的不等式，解不等式结合概率的含义即可得到的取值范围．本题考查的知识点是相互独立事件的概率乘法公式，二项分布与n次独立重复试验的模型，中关键是要列举出该小组在一次检测中荣获“先进和谐组”的所有可能性，的关键是要根据，可以构造一个关于的不等式．。

专题3-2、三角函数小题（二）一、单选题1．（2024·江苏南通·统考模拟预测）在ABC 中，“ABC 是钝角三角形”是“tan tan 1A B <”的（ ） A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件【详解】若ABC 是钝角三角形，为钝角时，tan C =−0,tan 0,B >1时，当tan 为钝角，ABC 为钝角三角形0=时，tan 为钝角，ABC 为钝角三角形，所以是必2．（2024·湖南长沙·湖南师大附中校考一模）已知sin 21cos θθ=+，则tan θ=（ ）A ．43B ．23−C ．43−D ．233．（2024·广东梅州·统考一模）已知π1sin 63α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则2πcos 23α⎛⎫−=⎪⎝⎭（ ） A ．79− B ．79 C．D4．（2024·湖北·荆州中学校联考二模）已知0w >，函数()π3sin 24f x wx ⎛⎫=+− ⎪⎝⎭在区间π,π2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，则w 的取值范围是（ ） A ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．(]0,2C ．13,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．15,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦5．（2024·湖北武汉·华中师大一附中校联考模拟预测）将函数()2sin 21f x x =−图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍，并沿x 轴向左平移()0ϕϕ>个单位长度，再向下平移1个单位长度得到函数()g x 的图象．若对于任意的1π0,4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，总存在2π,04x ⎡⎤∈−⎢⎥⎣⎦，使得()()12f x g x =，则ϕ的值可能是（ ）A ．π6B ．5π24C ．π4D ．2π36．（2024·湖南常德·统考一模）将函数()2sin 6f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（0ω>）的图像向左平移π3个单位，得到函数()y g x =的图像，若函数(y g x =）的一个极值点是π6，且在ππ,36⎡⎤−⎢⎥⎣⎦上单调递增，则ω的值为（ ） A ．23B ．43C ．83D ．1637．（2024·湖南岳阳·统考二模）已知函数()()2sin 2N ,2f x x +⎛⎫=+∈< ⎪⎝⎭ωϕωϕ的最小正周期3π3π,42T ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，将函数()f x 的图像向右平移π6个单位长度，所得图像关于原点对称，则下列关于函数()f x 的说法错误的是（ ）A ．函数()f x 的图像关于直线5π12x =−对称 B ．函数()f x 在ππ,62⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减C ．函数()f x 在13π0,12⎛⎫⎪⎝⎭上有两个极值点D ．方程()1f x =在[]0,π上有3个解8．（2024·江苏南通·二模）古代数学家刘徽编撰的《重差》是中国最早的一部测量学著作，也为地图学提供了数学基础．现根据刘徽的《重差》测量一个球体建筑物的高度，已知点A 是球体建筑物与水平地面的接触点（切点），地面上B ，C 两点与点A 在同一条直线上，且在点A 的同侧．若在B ，C 处分别测得球体建筑物的最大仰角为60°和20°，且BC = 100 m ，则该球体建筑物的高度约为（ ）（cos10° ≈ 0.985）A ．49.25 mB ．50.76 mC ．56.74 mD ．58.60 m设球的半径为,3,tan10RR AB R AC ==︒3100tan10RBC R =−=︒， 100100sin101tan10R ︒∴==9．（2024·广东·校联考模拟预测）若函数()2sin 3f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭是区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的减函数，则ω的取值范围是（ ）A ．5,3⎛⎤−∞− ⎥⎝⎦B ．5,03⎡⎫−⎪⎢⎣⎭C ．7,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．70,3⎛⎤⎥⎝⎦【详解】函数10．（2024·江苏常州·校考一模）意大利数学家斐波那契于1202年写成《计算之书》，其中第12章提出兔子问题，衍生出数列：1，1，2，3，5，8，13，….记该数列为{}n F ，则121F F ==，21n n n F F F ++=+，*n ∈N .如图，由三个图（1）中底角为60°等腰梯形可组成一个轮廓为正三角形（图（2））的图形，根据改图所揭示的几何性质，计算22202520212022202320232024F F F F F F −=+（）A ．1B ．3C ．5D ．7由此可推断出20212022,F F所以()2202320241sin 602F F +整理可得(2202520223F F =⨯+所以2220252021F F F F F F −+=3A B C ．D ．12．（2024·浙江·校联考模拟预测）已知函数()sin (0)4f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在0,4⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，且()2f f ππ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则ω=（ ）A ．53B ．43C ．23D ．1313．（2024·江苏南通·二模）记函数()()sin 04f x x ωω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭>的最小正周期为T ．若ππ2T <<，且π()3f x f ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，则ω= （ ）A ．34B ．94C ．154D ．274二、多选题14．（2024·江苏南通·统考模拟预测）已知函数()sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，下列说法正确的有（ ）A ．()f x 在π0,3⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增B ．若()()1212f x f x ==，则21π,Z 3k x x k −=∈C ．函数()f x 的图象可以由cos2y x =向右平移π3个单位得到D ．若函数(0)2x y f ωω⎛⎫=> ⎪⎝⎭在π0,3⎛⎫⎪⎝⎭上恰有两个极大值点，则(]7,13ω∈15．（2024·江苏·统考一模）已知函数()()ππsin sin cos 066f x x x x ωωωω⎛⎫⎛⎫=++−+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则下列结论正确的有（ ）A ．将函数2sin y x ω=的图象向左平移π6个单位长度，总能得到()y f x =的图象B ．若3ω=，则当2π0,9x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()f x 的取值范围为[]1,2C ．若()f x 在区间()0,2π上恰有3个极大值点，则131966ω<≤D ．若()f x 在区间π5π,312⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，则1615ω≤≤16．（2024·山东枣庄·统考二模）已知函数()()πsin 0,0,02f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>><< ⎪⎝⎭的图象过点0,2A M ⎛⎫⎪⎝⎭和()π,0N ，()f x 的最小正周期为T ，则（ ）A ．T 可能取12π7B ．()f x 在()0,4π上至少有3个零点C ．直线8π11x =可能是曲线()y f x =的一个对称轴 D ．若函数()f x 的图象在[]0,2π上的最高点和最低点共有4个，则116ω=17．（2024·湖北·统考模拟预测）已知函数()()2sin 0,02f x x ωϕωϕ⎛⎫=+><< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，()()1232f x f x ==−，则（ ）A ．函数()y f x =在[]2,4上单调递减B ．函数()y f x =在[]3,6上的值域为[]1,1−C ．()21π3cos 64x x ⎡⎤−=⎢⎥⎣⎦D ．曲线()y f x =在=1x −18．（2024·湖南株洲·统考一模）关于函数()()cos sin 0f x x a x a =+≠有以下四个选项，正确的是（ ）A ．对任意的a ，()f x 都不是偶函数B ．存在a ，使()f x 是奇函数C ．存在a ，使()()πf x f x +=D ．若()f x 的图像关于π4x =对称，则1a =19．（2024·湖南郴州·统考三模）设函数()sin (0)g x x ωω=>向左平移π5ω个单位长度得到函数()f x ，已知()f x 在[]0,2π上有且只有5个零点，则下列结论正确的是（ ）A ．()f x 的图象关于点π,02⎛⎫⎪⎝⎭对称B ．()f x 在()0,2π上有且只有5个极值点C ．()f x 在π0,10⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增D ．ω的取值范围是1229,510⎡⎫⎪⎢⎣⎭20．（2024·广东广州·统考一模）已知函数()sin(2)22f x x ϕϕ⎛⎫=+−<< ⎪⎝⎭的图像关于直线π8x =对称，则（ ）A ．函数()y f x =的图像关于点π,08⎛⎫− ⎪⎝⎭对称B ．函数()y f x =在[0,]π有且仅有2个极值点C ．若()()122f x f x −=，则12x x −的最小值为π4D ．若ππ1882f f αβ⎛⎫⎛⎫−−= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，则()()cos21cos2αβαβ−=++21．（2024·广东湛江·统考一模）已知0ω>，函数()cos 3f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，下列选项正确的有（ ）A ．若()f x 的最小正周期2T =，则πω=B ．当2ω=时，函数()f x 的图象向右平移π3个单位长度后得到()cos 2g x x =的图象C ．若()f x 在区间2π,π3⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，则ω的取值范围是51,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．若()f x 在区间()0,π上只有一个零点，则ω的取值范围是17,66⎛⎤⎥⎝⎦22．（2024·浙江·永嘉中学校联考模拟预测）已知函数()2cos 233ππf x x x ⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，将函数()f x 的图象向右平移π6个单位长度，再把横坐标缩小为原来的12（纵坐标不变），得到函数()y g x =的图象，则（ ） A ．()f x 的周期为π B ．()f x 为奇函数C ．()g x 的图象关于点17π,024⎛⎫⎪⎝⎭对称D ．当π0,3x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()g x 的取值范围为⎡−⎢⎣⎦23．（2024·浙江嘉兴·统考模拟预测）已知函数()()()sin 0,0,ππf x A x A ωϕωϕ=+>>−<<的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）A ．π3ϕ=−B ．()π12f x f ⎛⎫≤− ⎪⎝⎭C ．()f x 在4ππ,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增D ．()f x 在[]0,2π上有且仅有四个零点三、填空题24．（2024·浙江·永嘉中学校联考模拟预测）我国南宋时期著名的数学家秦九韶在其著作《数书九章》中，提出了已知三角形三边长求三角形面积的公式.在ABC 中，设,,a b c 分别为ABC 的内角,,A B C 的对边，S 表示ABC 的面积，其公式为S =若sin sin a B C =，b =2S =，则c =______. 【详解】在ABC 中，由正弦定理得，故3sin sin B =2sin ,C a ∴32S =可得25．（2024·浙江·模拟预测）已知函数()()πsin 0,2f x A x ωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭，()π6f x f ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，()4π03f x f x ⎛⎫+−= ⎪⎝⎭，()f x 在ππ,366⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调，则正整数ω的最大值为____________．【详解】()f x ≤4π()3f x f x ⎛⎫+− ⎪⎝⎭122ππ436k T +∴=−2π2π,21T k k ω∴==+2k ω∴=+26．（2024·江苏南通·校联考模拟预测）已知函数()2sin (0)4f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，若()f x 在区间,2ππ⎛⎫⎪上单调递增，则ω的取值范围是_________．所以欲使得()f x 是增函数，则必须对于ππ42t <≤ ，即ππ44x ω<+ππ⎛27．（2024·山东济南·一模）已知函数()()πsin 03f x x ωω⎛⎫=−> ⎪⎝⎭在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则ω的取值范围为__________． ()f x 在即ω的取值范围为故答案为：28．（2024·湖南·校联考模拟预测）已知ππ,sin 2cos 2sin cos 122βαβααβ−<−<+=−=，则πcos 3α⎛⎫+= ⎪___________.29．（2024·湖南张家界·统考二模）已知α为锐角，11sin α，则α=__________．30．（2024·广东佛山·统考一模）已知函数()()sin f x x ωϕ=+（其中0ω>，π2ϕ<）.T 为()f x的最小正周期，且满足1132f T f T⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.若函数()f x在区间()0,π上恰有2个极值点，则ω的取值范围是______.。

绝密★启用前2020届江苏省高考数学南通名师冲刺模拟卷数学Ⅰ卷注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1．本试卷共4页，均为非选择题(第1题～第20题，共20题)。

本卷满分为160分，考试时间为120分钟。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一片交回。

2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。

3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符。

4．作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效。

5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗。

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位．．．．．．置上．．．1. 设复数z满足(2i)1iz-=+（i为虚数单位），则复数z=▲．2. 已知集合{}1,0A=-，{}0,2B=，则A B共有▲个子集．3. 根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S为▲．4. 某地区连续5天的最低气温（单位：°C）依次为8，-4，-1，0，2，则该组数据的方差为▲．5. 在平面直角坐标系中，已知双曲线的渐近线方程为，且它的一个焦点为，则双曲线的方程为▲．6. 函数()f x的定义域为▲ ．7. 若函数的部分图象如图所示，则的值为▲．8. 现有5张分别标有数字1，2，3，4，5的卡片，它们的大小和颜色完相同．从中随机抽取2张组成两位数，则该两位数为奇数的概率为▲ ．9. 已知F是抛物线C：28y x=的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N．若M是FN的中点，则FN的长度为▲．xOy C xy±=Csin()(0)y xωϕω=+>ω（第3题）（第11题）A BCMN（第12题）ABCB 1C 1A 1MN（第16题）10. 若函数()f x 为定义在R 上的奇函数，当0x >时，()ln f x x x =，则不等式()e f x <-的解集为 ▲ ．11. 钢材市场上通常将相同的圆钢捆扎为正六边形垛（如图）．现将99根相同的圆钢捆扎为1个尽可能大的正六边形垛，则剩余的圆钢根数为 ▲ ．12. 如图，在△ABC 中，点M 为边BC 的中点，且2AM =，点N 为线段AM 的中点，若74AB AC ⋅=，则NB NC ⋅的值为 ▲ ． 13. 已知正数x y ，满足11910x y x y +++=，则1x y+的最小值是 ▲ ． 14. 若方程有四个不同的实数根，且，则的取值范围是 ▲ .二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）已知向量1(sin 22x =，m ，1(3)22x =，n ，函数()f x =⋅m n ． （1）求函数()f x 的最小正周期；（2）若//m n ，且(0,)2x π∈，求(4)f x 的值． 16．（本小题满分14分） 如图，在三棱柱中，已知，分别为线段，的中点，与所成角的大小为2|21|0x x t ---=1234,,,x x x x 1234x x x x <<<41322()()x x x x -+-111ABC A B C -M N 1BB 1A C MN 1AA90°，且．求证：（1）平面平面；（2）平面．17．（本小题满分14分）某厂花费2万元设计了某款式的服装．根据经验，每生产1百套该款式服装的成本为1万元，每生产x （百套）的销售额（单位：万元）20.4 4.20.805()914.7 5.3x x x P x x x ⎧-+-<⎪=⎨->⎪-⎩≤，，， （1）该厂至少生产多少套此款式服装才可以不亏本？（2）试确定该厂生产多少套此款式服装可使利润最大，并求最大利润． （注：利润=销售额-成本，其中成本=设计费+生产成本）18．（本小题满分16分）已知在平面直角坐标系中，椭圆C ：，其短轴长为2．1MA MC =1A MC ⊥11A ACC //MN ABCxOy 22221(0)y x a b a b+=>>（1）求椭圆C 的标准方程；（2）如图，A 为椭圆C 的左顶点，P ，Q 为椭圆C 上两动点，直线PO 交AQ 于E ，直线QO 交AP 于D ，直线OP 与直线OQ 的斜率分别为，，且，，（为非零实数），求的值．19．（本小题满分16分）设数列{a n }的前n 项和为，且满足：．（1）若，求a 1的值； （2）若成等差数列，求数列{a n }的通项公式．20．（本小题满分16分）已知函数()e (1)xf x a x =-+，其中e 为自然对数的底数，a ∈R ． （1）讨论函数()f x 的单调性，并写出相应的单调区间；（2）已知0a >，b ∈R ，若()f x b ≥对任意x ∈R 都成立，求ab 的最大值； （3）设()(e)g x a x =+，若存在0x ∈R ，使得00()()f x g x =成立，求a 的取值范围．1k 2k 1212k k =-AD DP λ=AE EQ μ=λμ，22λμ+n S ()()2*0n n n a S a p n p >=+∈∈N R ，，29p =123a a a ，，。

2020届江苏省南通市高三年级第三次高考全真经典冲刺模拟卷数学试题第I 卷（必做题，共160分）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上．）1．设集合A ＝{1，x }，B ＝{2，3，4}，若A I B ＝{4}，则x 的值为 ． 2．已知复数z 满足z i＝1＋i （i 为虚数单位），则复数z ﹣i 的模为 ．3．对一批产品的长度（单位：毫米）进行抽样检测，样本容量为200，右图为检测结果的频率分布直方图，根据产品标准，单件产品长度在区间[25，30)的为一等品，在区间[20，25)和[30，35)的为二等品，其余均为三等品，则样本中三等品的件数为 ．第3题第5题4．幂函数2()f x x -=的单调增区间为 ．5．根据图中所示的伪代码，可知输出的结果S 为 ． 6．设实数x ，y 满足0121x y x y x y -≥⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩，则3x ＋2y 的最大值为 ．7．已知双曲线C ：22221x y a b-=(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线平行于直线l ：210y x =+，且它的一个焦点在直线l 上，则双曲线C 的方程为 ．8．已知双曲线2214y x -=的左、右顶点为A 、B ，焦点在y 轴上的椭圆以A 、B 为顶点，且离心率为3，过A 作斜率为k 的直线交双曲线于另一点M ，交椭圆于另一点N ，若AN NM =u u u r u u u u r ，则k 的值为 ．9．已知函数1()cos (sin cos )2f x x x x =+-，若2()f α=，则cos(2)4πα-的值为 ．10．已知函数2()2x f x x +=+，x ∈R ，则2(2)(2)f x x f x -<-的解集是 ． 11．定义在[﹣1，1]上的函数()sin f x x ax b =-+(a ＞1)的值恒非负，则a ﹣b 的最大值为 ．12．在△ABC 中，若352115CA AB AB BC BC CA==⋅⋅⋅u u ur u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，则cosC 的值为 ．13．若△ABC 中，AB ，BC ＝8，∠B ＝45°，D 为△ABC 所在平面内一点且满足(AB AD)(AC AD)4⋅⋅⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r ，则AD 长度的最小值为 ．14．已知偶函数()y f x =满足(2)(2)f x f x +=-，且在x ∈[﹣2，0]时，2()1f x x =-+，若存在1x ，2x ，…，n x 满足0≤1x ＜2x ＜…＜n x ，且1223()()()()f x f x f x f x -+-+1()()2017n n f x f x -+-=L ，则n x 最小值为 ．二、解答题（本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15．（本小题满分14分）已知函数()Asin()f x x ϕ=+(A ＞0，0＜ϕ＜π)的最小值是﹣2，其图象经过点M(3π，1)．（1）求()f x 的解析式；（2）已知α，β∈(0，2π)，且8()5f α=，24()13f β=，求()f αβ-的值．16．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P —ABCD 中，∠BAD ＝90°，AD ∥ BC ，AD ＝2BC ，AB ⊥PA ．（1）求证：平面PAD ⊥平面ABCD ；（2）若E 为PD 的中点，求证：CE //平面PAB ．有一块以点O为圆心，半径为2百米的圆形草坪，草坪内距离O百米的D点有一用于灌溉的水笼头，现准备过点D修一条笔直小路交草坪圆周于A，B两点，为了方便居民散步，同时修建小路OA，OB，其中小路的宽度忽略不计．（1）若要使修建的小路的费用最省，试求小路的最短长度；（2）若要在△ABO区域内（含边界）规划出一块圆形的场地用于老年人跳广场舞，试求这块圆形广场的最大面积．（结果保留根号和π）18．（本小题满分16分）如图，点A，B，F分别为椭圆C：22221x ya b+=(a＞b＞0)的左、右顶点和右焦点，过点F的直线交椭圆C于点M，N．（1）若AF＝3，点F与椭圆C左准线的距离为5，求椭圆C的方程；（2）已知直线BN的斜率是直线MA斜率的2倍．①求椭圆C的离心率；②若椭圆C 的焦距为2，求△AMN面积的最大值．已知数列{}n a 的首项1a a =(a ＞0)，其前n 项和为n S ，设1n n n b a a +=+(n N *∈)．（1）若21a a =+，322a a =，且数列{}n b 是公差为3的等差数列，求2n S ；（2）设数列{}n b 的前n 项和为n T ，满足2n T n =．①求数列{}n a 的通项公式；②若对∀n N *∈，且n ≥2，不等式1(1)(1)2(1)n n a a n +--≥-恒成立，求a 的取值范围．20．（本小题满分16分）已知函数()ln kf x x x =，N k *∈，()1g x cx =-，c ∈R ． （1）当k ＝1时，①若曲线()y f x =与直线()y g x =相切，求c 的值；②若曲线y ()f x =与直线()y g x =有公共点，求c 的取值范围．（2）当k ≥2时，不等式2()()f x ax bx g x ≥+≥对于任意正实数x 恒成立，当c 取得最大值时，求a ，b 的值．第II 卷（附加题，共40分）21．【选做题】本题包括A ，B ，C 三小题，请选定其中两题作答，每小题10分共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．A ．选修4—2：矩阵与变换已知点A 在变换T ：2 x x x y y y y '+⎡⎤⎡⎤⎡⎤→=⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦⎣⎦作用后，再绕原点逆时针旋转90° ，得到点B ．若点B 的坐标为(﹣3，4)，求点A 的坐标．B ．选修4—4：坐标系与参数方程在极坐标系中，设P 为曲线C ：ρ＝2上任意一点，求点P 到直线l ：sin()33πρθ-=的最大距离．C ．选修4—5：不等式选讲已知正数a ，b ，c 满足2a ＋3b ＋6c ＝2，求321a b c++的最小值．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．22．（本小题满分10分）如图，在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，已知AB ⊥AC ，AB ＝2，AC ＝4，AA 1＝3，D 是线段BC 的中点．（1）求直线DB 1与平面A 1C 1D 所成角的正弦值；（2）求二面角B 1—A 1D —C 1的大小的余弦值．23．（本小题满分10分）（1）求证：11()k k n k n k kC n k C ----=-；（2）求证：100820170(1)120172017nn n n C n -=-=-∑．。