江苏南通2018高考数学冲刺小练(附解析)

2018江苏省高考压轴卷数 学I注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分，请把答案填写在答题卡相应位置上 1.若集合A={﹣1，0，1，2}，B={x|x+1＞0}，则A∩B= ．2.若复数z 满足z （1﹣i ）=2i （i 是虚数单位），z 是z 的共轭复数，则z = ．3.某学校对高二年级期中考试数学成绩进行分析，随机抽取了分数在[100，150]的1000名学生的成绩，并根据这1000名学生的成绩画出频率分布直方图（如图所示），则成绩在[120，130）内的学生共有 人．4.如图，该程序运行后输出的结果为 ．5.将函数y=3sin （2x ﹣6π）的图象向左平移4π个单位后，所在图象对应的函数解析式为 ． 6.如图，在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB=AD=3cm ，AA 1=2cm ，则三棱锥A ﹣B 1D 1D 的体积为 cm 3．7.如图，在一个面积为8的矩形中随机撒一粒黄豆，若黄豆落到阴影部分的概率为41，则阴影部分的面积为 ．8.已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右端点分别为A、B两点，点C（0， b），若线段AC的垂直平分线过点B，则双曲线的离心率为．9.设公比不为1的等比数列{a n}满足a1a2a3=﹣81，且a2，a4，a 3成等差数列，则数列{a n}的前4项和为．10.设定义在R上的偶函数f（x）在区间（﹣∞，0]上单调递减，若f（1﹣m）＜f（m），则实数m的取值范围是．11.已知函数f（x）=，若a、b、c互不相等，且f（a）=f（b）=f（c），则a+b+c的取值范围是．12.如图，在△ABC中，已知AN=21AC，P是BN上一点，若AP=m AB+41AC，则实数m的值是．13.已知非零向量a，b满足|a|=|b|=|a+b|，则a与2a－b夹角的余弦值为．14.已知函数f(x)=⎩⎨⎧≥++-<1x,ax25x9x1x,xsin23，若函数f（x）的图象与直线y=x有三个不同的公共点，则实数a的取值集合为．15.如图，在三棱柱ABC A1B1C1中，AB AC，点E，F分别在棱BB1 ，CC1上（均异于端点），且∠ABE∠ACF，AE⊥BB1，AF⊥CC1．求证：（1）平面AEF⊥平面BB1C1C；（2）BC // 平面AEF．16.在△ABC中，角,,A B C的对边分别为,,a b c，且()2cos cosa b C c B-⋅=⋅.AA1B1C1BCFE（第16题）（1）求角C 的大小；（2）若2c =，△ABC 的面积为3，求该三角形的周长.17.已知中心在坐标原点的椭圆C ，F 1，F 2 分别为椭圆的左、右焦点，长轴长为6，离心率为（1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知点P 在椭圆C 上，且PF 1=4，求点P 到右准线的距离．18.如图，四棱锥P ﹣ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为直角梯形，AD ∥BC ，∠BAD=∠CBA=90°，PA=AB=BC=1，AD=2，E ，F ，G 分别为BC ，PD ，PC 的中点． （1）求EF 与DG 所成角的余弦值；（2）若M 为EF 上一点，N 为DG 上一点，是否存在MN ，使得MN ⊥平面PBC ？若存在，求出点M ，N 的坐标；若不存在，请说明理由．19.设等比数列a 1，a 2，a 3，a 4的公比为q ，等差数列b 1，b 2，b 3，b 4的公差为d ，且10q d ≠≠，． 记i i i c a b =+（i1，2，3，4）．（1）求证：数列123c c c ，，不是等差数列； （2）设11a =，2q =．若数列123c c c ，，是等比数列，求b 2关于d 的函数关系式及其定义域； （3）数列1234c c c c ，，，能否为等比数列？并说明理由． 20.（16分）已知f （x ）=x 2+mx+1（m ∈R ），g （x ）=e x ．（1）当x ∈[0，2]时，F （x ）=f （x ）﹣g （x ）为增函数，求实数m 的取值范围； （2）若m ∈（﹣1，0），设函数 G(x)=)x (g )x (f ，H(x)=﹣41x+45，求证：对任意x 1，x 2∈[1，1﹣m]，G （x 1）＜H （x 2）恒成立．数学II （附加题）注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1.本试卷共2页，均为非选择题（第21题 ~第23题）。

DCBAP（第4题）2018年高考模拟试卷(3)南通市数学学科基地命题 第Ⅰ卷（必做题，共160分）一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分 ．1.已知集合{}|12A x x =-≤<，集合{}|1B x x =<，则A B ⋂= ▲ .2.某中学共有学生2000人，其中高一年级共有学生650人，高二男生有370人.现在全校学生中随机抽取1名，抽到高二年级女生的概率是0.19．则该校高三学生共有 ▲ 人. 3．已知i 是虚数单位，且复数z 1＝2+b i ，z 2＝1－2i ，若12z z 是实数， 则实数b = ▲ .4．根据如图所示的伪代码，已知输出值为1，则输入值=x ▲ ． 5．已知m ∈{-1，0，1}，n ∈{-2，2}，若随机选取m ，n ，则直线10mx ny ++=上存在第二象限的点的概率是 ▲ ．6．已知||2a =，||3b = ，,a b 的夹角为120 ，则|2|a b += _____▲_____. 7．已知一元二次不等式()0f x >的解集为()(),12,-∞⋃+∞，则(lg )0f x <的解集为 ▲ ．8. 设α为锐角，若9．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面A B C D ，底面ABCD 是菱形，若2,60AB BAD ︒=∠=.则当四棱锥P ABCD -的体积等于时，则PC =▲ .10. 在平面直角坐标系xOy 中,过点(4,3)P 引圆222:()1(04)C x y m m m +-=+<<的两条切线,切点分别为A 、B,则直线AB 过定点 ▲ .11．已知等差数列{}n a 的各项均为正数，1a =110p q -=，则p q a a -=▲ .12．若曲线ln y a x =与曲线212y x e =在它们的公共点(),P s t 处具有公共切线，则st= ▲ . 13．已知 ABCD 的面积为2，P 是边AD 上任意一点，则22PB PC + 的最小值为 ▲ ． 14. 设函数348,12,2()1(), 2.22x x f x x f x ⎧--⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩≤≤，则函数()()6g x xf x =-在区间2015[1,2]内的所有零点的和为▲ .二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.（本小题满分14分）在ABC ∆中，三个内角分别为A,B,C ，已知sin(A )2cosA 6π+=．（1）若cos C =230a c -=．（2）若(0,)3B π∈，且4cos()5A B -=，求sin B ．16.（本小题满分14分）已知四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是直角梯形，AB ∥DC ，60ABC ∠=︒，1,DC AD ==PB =PC .（1）若N 为PA 的中点，求证：DN ∥平面PBC ； （2）若M 为BC 的中点，求证：MN ⊥BC ．17.（本小题满分14分）某城市在进行规划时，准备设计一个圆形的开放式公园.为达到社会和经济效益双丰收.园林公司进行如下设计，安排圆内接四边形ABCD 作为绿化区域，其余作为市民活动区域.其中ABD ∆区域种植花木后出售，BCD ∆区域种植草皮后出售，已知草皮每平方米售价为a 元，花木每平方米的售价是草皮每平方米售价的三倍. 若6BC = km ，4AD CD == km（1）若BD = km ，求绿化区域的面积；（2）设BCD θ∠=，当θ取何值时，园林公司的总销售金额最大.18. (本小题满分16分) 已知A,B 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左,右顶点，F 为其右焦点，在直线4x =上任取一点P （点P 不在x 轴上），连结PA,PF ,PB ．若半焦距1c =，且2PF PA PB k k k =+（1）求椭圆C 的方程；（2）若直线PF 交椭圆于,M N ，记△AMB 、△ANB 的面积分别为S 1、S 2，求DNDCBAP12S S 的取值范围． 19.（本小题满分16分）已知函数()()ln f x ax x a R =+∈，2()ln x g x x x =-．（1）当1a =时，求()f x 的单调增区间；（2）若()()()h x f x g x =-恰有三个不同的零点123,,x x x （123x x x <<）．①求实数a 的取值范围；②求证：2312123ln ln ln 1111x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫---= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 20.（本小题满分16分）已知数列{}n a 是等比数列． （1）设11a =，48a =． ①若22212212111111()n nM a a a a a a +++=+++ ，*n N ∈，求实数M 的值； ②若在11a 与41a 之间插入k 个数12,,,k b b b ，使得12145111,,,,,,k b b b a a a 成等差数列，求这k 个数的和k S ； （2）若一个数列{}n c 的所有项都是另一个数列{}n d 中的项，则称{}n c 是{}n d 的子数列.已知数列{}n b 是公差不为0的等差数列，11b a =，22b a =，3m b a =,其中m 是某个正整数，且3m ≥，求证：数列{}n a 是{}n b 的子数列．第Ⅱ卷（附加题，共40分）21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 共4小题，请选定其中两小题．．．．．．．．，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A ．（选修４－１：几何证明选讲）如图，BCD 内接于O ，过B 作O 的切线AB ，点C 在圆上，∠ABC 的角平分线BE 交圆于点E ，且DB BE ⊥.求证：DB ＝DC .B ．（选修４－２：矩阵与变换）在平面直角坐标系xOy 中，设点P (x ，3)在矩阵M 1234⎡⎤=⎢⎥⎣⎦对应的变换下得到点Q (y -4，y +2)，求2x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦M ．C ．（选修４－４：坐标系与参数方程）在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为3x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数)，在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，圆C的方程为ρθ=.若点P的坐标为(，求PA PB +的值.D ．（选修４－５：不等式选讲）若关于x 的不等式20x ax b -+<的解集为()1,2,求函数()((f x a b =--.【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分.22．（本小题满分10分）如图，一简单几何体ABCDE 的一个面ABC 内接于圆O, AB 是圆O 的直径，四边形DCBE 为平行四边形，且DC ⊥平面ABC. 若AC=BC=BE =2, （1）BE 边上是否存在一点M ，使得AD 和CM 的夹角为60︒？ （2）求锐二面角O-CE-B 的余弦值.23. （本小题满分10分）已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11a =，且当2n ≥时，1121112()(1)()n n nS S n S S S --=++++ （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求证：当2n ≥时，2224n n a a n n a a +-+≤.2018年高考模拟试卷(3) 参考答案南通市数学学科基地命题第Ⅰ卷（必做题，共160分）一、填空题1. [)1,1-.2. 600. 3．-4. 4．-1 . 5．23.【解析】m 、n 的取法共有3×2＝6种，即共有6条直线，其中当m ＝0，n ＝2和m ＝－1，n ＝2，直线10mx ny ++=恰好不经过第二象限，所有经过第二象限的直线有4条，所以P ＝23． 6．. 7．()10,100 . 8. 2425. 【解析】因为α数，所以6πα+24sin(2)2sin()cos()36625πππα+=α+α+=，又因为cos(2)sin(2)63ππα-=α+，所以24cos(2)625πα-=. 9【解析】因为，底面ABCD 是菱形，2,60AB BAD ︒=∠=，所以，12sin 60222ABCD S AB AD ︒=⨯⨯⨯=⨯=PA ⊥平面ABCD ，所以，四棱锥P ﹣ABCD 的高为PA，所以，13PA ⨯=3PA =，因为，PA ⊥平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，所以，PA ⊥AC ，在Rt △PAC中，PB .10. 5(,3)2- . 【解析】直线AB 上任取一点(,)Q x y ,则2=CQ CP CB CP CB ⋅=⋅ ，因为(,),(4,3)CQ x y m CP m =-=-，所以24(3)()1x m y m m +--=+,即431(3)0x y m y +--+=.所以直线AB :431(3)0x y m y +--+=，令431030x y y +-=⎧⎨+=⎩,则523x y ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，故直线AB 过定点5(,3)2-.11．15 . 【解析】等差数列公差为d ，由题意知0d >，04536442=--d d所以，12. .【解析】 对曲线ln y a x =求导可得a y x '=，对曲线212y x e =求导可得xy e'=，因为它们在公共点(),P s t 处具有公共切线，所以a s s e=，即2s ea =，又21lns 2t a s e ==，即22lns ea s =，将2s ea =代入，所以1a =.所以12t =，s，即st=. 13．4.【解析】 因为2ABCD S = ，所以1PBC S =△，如图，取BC 的中点M ，连PM ，过点P 作PH BC ⊥于H ，则2PB PC PM +=，PM PH ≥，且1=12S BC PH ⋅=△PBC ，所以2BC PH ⋅=P DA222212()22PB PC PB PC PC PB PB PC BC ⎡⎤+=⋅+-=⋅+⎢⎥⎣⎦()()2222222211142+222PB PC PB PC BC PM BC BC PM BC ⎡⎤⎡⎤=+--+=-+=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ 2212224 4.2PBC PM BC PM BC PH BC S ∆=+≥⋅≥⋅==当且仅当12PM BC =，且点M 与点H 重合时等号成立．所以2PB PC BC ⋅+ 的最小值为4． 14.201523()21-.【解析】 当312x ≤≤时，88f x x =-（），所以()2(82)18g x x =--，此时当32x =时，0max g x =（）；当322x ≤＜时，168f x x =-（），所以28120g x x =--+（）（）＜；由此可得12x ≤≤时，0max g x =（）．下面考虑122n n x -≤≤且2n ≥时，g x （）的最大值的情况．当12232n n x --≤≤⋅时，由函数f x （）的定义知()11112()2)(22n n x f x f f x --==⋯=,因为13122n x -≤≤，所以()2225(1282)n n g x x --=--，此时当232n x -=⋅时，0max g x =（）；当2322n n x -⋅≤≤时，同理可知()1225(182)20n n g x x --=--+，＜．由此可得122n n x -≤≤且2n ≥时，0max g x =（）．综上可得：对于一切的*n N ∈，函数gx （）在区间12]2[n n -，上有1个零点，从而()g x 在区间[1]2n ，上有n 个零点，且这些零点为232n n x -=⋅，所以，当2015n =时，所有这些零点的和为201523()21-． 二、解答题15.因为sin(A )2cosA 6π+=1A cos A 2cos A 2+=，即sin A ，因为()A 0,∈π，且cos A 0≠，所以tan A A 3π=. …………4分 （1）因为22sin C cos C 1+=，cos C =()C 0,∈π，所以sin C =由正弦定理知a csin A sinC =，即32a sin A c sinC ===，即230a c -=.…………7分 （2）因为(0,)3B π∈，所以033A B B ,ππ⎛⎫-=-∈ ⎪⎝⎭，因为22sin ()cos ()1A B A B -+-=，所以3sin()5A B -=， …………10分 所以()()sin sin sin cos()cos sin()B A A B A A B A A B =--=---=.……14分 16.（1）取PB 的中点E ，连接NE ，CE ，因为ABCD 是直角梯形，AB ∥DC ，60ABC ∠=︒，1,DC AD ==易得AC =CB = AB =2， ……………… 2分又因E 为PB 的中点，N 为PA 的中点， 所以NE ∥CD 且NE =CD 所以四边形CDNE 是平行四边形所以DN ∥CE ； ……………… 4分 又CE ⊂平面PBC ，DN ⊄平面PBC …所以DN ∥平面PBC ………………………… 6分 （2）连接AM ，PM ．因为PB =PC ，M 为BC 的中点所以PM ⊥BC ， …………8分 因为AC =AB ，M 为BC 的中点所以AM ⊥BC ， …………… 10分 又因为AM PM M = ， ,AM PM ⊂平面PAM ， 所以BC ⊥平面PAM ． ……… 12分 因为NM ⊂平面PAM ，所以MN ⊥BC ． …………………………… 14分 17.（1）在BCD ∆中，BD =，6BC =，4CD =，由余弦定理得，(222222641cos 22642BC CD BDBCD BC CD+-+-∠===⨯⨯ 因为[)0,180BCD ∠∈︒︒， 所以60BCD ∠=︒， …………… 2分 又因为A 、B 、C 、D 共圆，所以120BAD ∠=︒. 在ABD ∆中，由余弦定理得2222cos BD AB AD AB AD BAD =+-∠ ， 将4AD =，BD =代入化简得24120AB AB +-=，解得2AB =（6AB =-舍去）. ……… 4分所以1124sin12046sin 6022ABCD ABD BCD S S S ︒︒=+=⨯⨯+⨯⨯=即绿化空间的面积为2km ……… 6分 （2）在BCD ∆、ABD ∆中分别利用余弦定理得 MNDCBAPB22264264cos BD θ=+-⨯⨯ ①()222424cos -BD AB AB πθ=+-⨯ ②联立①②消去BD 得28cos 48cos 360AB AB θθ++-= ，得()()68cos 60AB AB θ++-=，解得68cos AB θ=-（6AB =-舍去）. ………… 10分因为0AB >，所以68cos 0θ->，即3cos 4θ<. ()()11sin 68cos 4sin 12sin 16sin cos 22ACD S AB AD πθθθθθθ∆=-=-⨯=- 11sin 64sin 12sin 22BCD S BC CD ∆==⨯⨯= θθθ 因为草皮每平方米售价为a 元，则花木每平方米售价为3a 元，设销售金额为y 百万元.()()()312sin 16sin cos 12sin 48sin sin cos y f a a a θθθθθθθθ==-+=- …… 12分()()()()()22248cos cos sin 482cos cos 1482cos 1cos 1f a a a θθθθθθθθ'=-+=-++=-+-令0y '>，解得1cos 12-<<θ，又3cos 4<θ，不妨设03cos 4=θ，则函数()f θ在02,3πθ⎛⎫⎪⎝⎭上为增函数；令0y '<，解得1cos 2θ<-，则函数()f θ在2,3ππ⎛⎫⎪⎝⎭上为减函数，所以当23=πθ时，()max f =θ.答：（1）绿化区域的面积为2km ；（2）当23πθ=时，园林公司的销售金额最大，最大为百万元. … 14分18. （1）令0(4,)P y ,(,0),(,0)A a B a -, 因为1c =，所以(1,0)F 因为2PF PA PB k k k =+，所以00024144y y ya a=+-+-， ………2分 解得2a =，从而2223b a c =-=故椭圆方程为22143x y += ………6分（2）令1122(,),(,)M x y N x y ，设直线PF 方程为1x my =+ 由2234121x y x my ⎧+=⎨=+⎩消x , 得22(34)690m y my ++-=，122634m y y m +=-+① 122934y y m =-+ ② 所以2122214234y y m y y m ++=-+，令12y t y =，则222161110810334334m t t t t m m ++=+==-++ ………12分所以11023t t <+<，从而133t <<且1t ≠，因为121212AMBANBAB y S t S AB y == ， 所以()1,11,33AMB ANB S S ⎛⎫∈⋃ ⎪⎝⎭………16分 19.（1）当1a =时，()ln f x x x =+，定义域为()0+∞，． ()11'1x f x x x+=+=． 所以()'0f x >，()f x 在()0+∞，上单调递增； 即()f x 的单调增区间为()0+∞，. ………3分 （2）①由题意可得，关于x 的方程2ln ln x ax x x x=+-在()0+∞，上有三个不同的解． 即关于x 的方程ln ln x xa x x x=--在()0+∞，上有三个不同的解． 令()ln ln x xF x x x x=--，()0+x ∈∞，． 所以()()()()()2222ln 1ln 2ln 1ln 1ln ln ln x x x x xx F x x x x x x x ----'=-=--． ………5分 显然，当()0+x ∈∞，时，2ln 0x x ->，证明如下： 令()2ln 0y x x x =->，121'2x y x x-=-=． 当102x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，'0y <，函数2ln y x x =-在102⎛⎫⎪⎝⎭，上单调递减；当12x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，时，'0y >，函数2ln y x x =-在102⎛⎫⎪⎝⎭，上单调递增． 所以当12x =时，2ln y x x =-取最小值11ln 2-．所以，当()0+x ∈∞，时，2ln 0x x ->． ………7分令()0F x '=，可得1x =或e ． 将x,h 1(x),h(x)变化情况列表如下又当0,(),() 1.x h x x h x →→+∞→+∞→时当， 所以，实数a 的取值范围为1(1,)1e e e--． ………10分 ②由①可知，当12301x x e x <<<<<时，ln 1ln ln ln 1x x xa x x x x x x=-=---．令ln x t x =，则11a t t=--， 即()2110t a t a +-+-=，1210t t a +=-<，1210t t a =-<． ………12分 不妨设12t t <，则120t t <<． 又()()ln 0x t x x x =>，()21ln 'xt x x-=， 当()0x e ∈，时，()'0t x >，()t x 在()0e ，上单调递增； 当()x e ∈+∞，时，()'0t x <，()t x 在()e +∞，上单调递减． 显然，当()01x ∈，时，()0t x <；当()x e ∈+∞，时，()0t x >． 所以111ln x t x =，32223ln ln x x t x x ==． ………14分所以 2223121212312ln ln ln ln ln 11111x x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫---=-- ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()()2122111t t t =---()()21211t t =--⎡⎤⎣⎦()212121t t t t =-++⎡⎤⎣⎦()()2111a a =--+-⎡⎤⎣⎦1=．即2312123ln ln ln 1111x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫---= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭． ………16分 20.（1）设等比数列{}n a 的公比为q ，由11a =，48a =，得2q =， ………2分① 因为{}n a 是等比数列，所以1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等比数列，且公比为12，22212212111111()n nM a a a a a a +++=+++ ， 所以22111()1()22111124n nM --=⋅--对*n N ∈都成立， 所以32M =； ………4分 ②因为111a =，4118a =，51116a =，因为12145111,,,,,,k b b b a a a 成等差数列，所以公差5411116d a a =-=-，6分 且4111(1)k d a a -=+，即111(1)()816k -=+⨯-，解得13k =； 所以这13个数的和1131313()131117(1)22816b b S +==+=……8分 （2）设数列{}n b 的公差为d ，则0d ≠，由条件得11b a =，11b d a q +=，211(1)b m d a q +-=， 所以2(1)(1)(1)m q q --=-，因为0d ≠，所以1q ≠，从而2q m =-，因为m 是某个正整数，且3m ≥，所以q 也是正整数，且1q >，10分 因为11b a =，22b a =，3m b a =,所以1a ，2a ，3a 是数列{}n b 中的项， ………12分 当4n ≥时，若n t a b =，则1111(1)(1)n a q a t a q -=+--， 化简得1221111n n q t q q q q----==++++- ， 即222n t q q q -=++++ ，且q 是正整数， 所以，t 也是正整数，所以对任意4,n n N *≥∈，存在t N *∈，使得n t a b =，即数列{}n a 中的每一项都是数列{}n b 中的项． 所以，数列{}n a 是{}n b 的子数列． ………16分第Ⅱ卷（附加题，共40分）21A ．如图，连接DE ，交BC 于点G . 由弦切角定理得，∠ABE ＝∠BCE .而∠ABE ＝∠CBE ，故∠CBE ＝∠BCE ，BE ＝CE . 又因为DB ⊥BE ，所以DE 为直径，则∠DCE ＝90°， 所以，DBE DEC ≅ ，所以，DB ＝DC . ………10分 B ．依题意，1234⎡⎤⎢⎥⎣⎦3x ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦42y y -⎡⎤⎢⎥+⎣⎦，即64 3122 x y x y +=-⎧⎨+=+⎩，，解得0 10 x y =⎧⎨=⎩，， 21 21 27 103 43 415 22M ⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦所以，27 1001001022015 22x y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦M ． ………10分 C ．由ρθ=，可得220x y +-=，即圆C的方程为22(5x y +=．将l的参数方程3,,x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入圆C的直角坐标方程，得2235⎛⎫⎫+= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，即240t -+=．由于24420∆=-⨯=>．故可设12t t 、是上述方程的两个实根，所以12124t t t t ⎧+=⎪⎨⋅=⎪⎩．又直线l过点(3P ，故由上式及t的几何意义得1212||||||||PA PB t t t t +=+=+= ………10分 D ．因为不等式20x ax b -+<的解集也为()1,2,所以可得，3a =,2b =.又函数()((f x a b =--由柯西不等式可得:22222(21]≤++,当且仅当16[3,5]5x =∈时取等号, 所以，当165x =时,函数()(1(1f x a b =--. …10分 22．（1）因为AB 是圆O 的直径，所以AC CB ⊥以C 为原点，CB 为x 轴正方向，CA 为y 轴正方向，CD 为z 轴正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系 因为AC=BC=BE =2,所以C(0,0,0),B(2,0,0),A(0,2,0),O(1,1,0),E(2,0,2)，D(0,0,2)，所以(0,2,2)AD =-设BE 边上是否存在一点M ，设[](2,0,),0,2M λλ∈所以(2,0,)CM λ=所以1cos ,2AD CM <>==解得2λ=所以，当点M 与点E 重合时，AD 和CM 的夹角为60︒. ………5分（2）平面BCE 的法向量()0,1,0m = ，设平面OCE 的法向量()000,,n x y z =由()()2,0,2,1,1,0CE CO ==所以00n CE n CO ⎧=⎪⎨=⎪⎩ ，即0000220,0,x z x y +=⎧⎨+=⎩，故0000,,z x y x =-⎧⎨=-⎩ 令()01,1,1,1x n =-=-因为二面角O-CE-B 是锐二面角，记为θ，则cos ,m n m n m n<>==故锐二面角O-CE-B.....................................10分 23．（1）当2n =时，由1121112()(1)()n n nS S n S S S --=++++ ，可得22123(1)1a a =⨯++，所以22a =，同理33a = 猜想n a n =.当1,2n =时，命题成立，假设当n k =时命题成立，即k a k =， 则当n=k+1时，11211112()(11)()k k k S S k S S S ++-=+++++ 所以1121111111()2k k k k a S S S S ++++=++++ 因为(1)2k k k S +=， 所以121111111111112(1)()()2231k k k k S S S S k k S a ++⎡⎤++++=-+-++-+⎢⎥++⎣⎦ 1111212(1)11k k k k k k S a k S a ++=-+=+++++， 即11221212k k k k a k a ++⎡⎤⎢⎥+=+⎢⎥+⎢⎥+⎣⎦解得11k a k +=+所以，当1n k =+时命题成立，综上，n a n =. ……………5分（2）当n ≥2时，欲证2224n n a a n n a a +-+≤，只需证明214nn ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭，因为0112222222(1)41()()()1242nn nnn n n n n C C C C n n n n n -⎛⎫+=++++≥++⋅≥ ⎪⎝⎭所以对任意正整数n (n ≥2)，都有2224n n a a n n a a +-+≤成立． …………10分。

2018年高考模拟试卷（6） 南通市数学学科基地命题 第Ⅰ卷（必做题，共160分）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1．已知集合{|0}U x x =>，={|2}A x x >，则U A ð= ▲ ．2．已知复数z ＝21－i－i 3，其中i 虚数单位，则z 的模为 ▲ ．3．某高级中学高一，高二，高三在校生数分别为1200，1180，1100．为了了解学生视力情况，现用分层抽样的方法抽若干名学生测量视力，若高二抽到118名学生测视力，则全校共抽到测视力的人数为 ▲ ．4．在平面直角坐标系xOy 中，若抛物线22(0)x py p =>上纵坐标为1的一点到焦点的距离为4，则该抛物线的 焦点到准线的距离为 ▲ ．5．执行如图所示的流程图，则输出S 的值为 ▲ ．6．已知一球与一个正三棱柱的三个侧面及两个底面都相切．若该球的体积为4π3，则该三棱柱的体积是 ▲ ．7．将函数()π()sin 6f x x ω=-（0ω>）的图象向左平移π3个单位后，所得图象关于直线πx =对称，则ω的最小值为 ▲．8．两人约定：在某天一同去A 地，早上7点到8点之间在B 地会合，但先到达B 地者最多在原地等待5分钟，如果没有见到对方则自己先行．设两人到达B 的时间是随机的、独立的、等可能的．那么，两人能够在当天一同去A 地概率是 ▲ ．9．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆22:810C x y x m ++-+=与直线10x ++=相交于A ，B 两点．若△ABC 为等边三角形，则实数m 的值为 ▲ ．10．设正△ABC 的边长为1，t 为任意的实数．则|AB →＋t AC →|的最小值为 ▲ ． 11．若函数()1()log 1a x f x a x =+-（0a >且1a ≠）没有最小值，则a 的取值范围是 ▲ ．12．数列{a n }满足a 1＝14，a 2＝15，且a 1a 2+a 2a 3+…+a n a n +1＝na 1 a n +1对任何正整数n 成立，则1a 1＋1a 2＋…＋1a 10的值为 ▲ ．13．已知函数2210()0xx mx x e f x e mx x ⎧+<⎪=⎨⎪+>⎩，，，，若函数()f x 有四个不同的零点，则实数m 的取值范围是 ▲ ．14．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin sin sin sin 0A B A B λ++=，且2a b c +=，则实数λ的取值范围是 ▲ ． 二、解答题：本大题共6小题，共计90分． 15．(本小题满分14分)已知向量(1,)m =a ，(2,)n =b ．（1）若3m =，1n =-，且()λ⊥+a a b ，求实数λ的值； （2）若5+=a b ，求⋅a b 的最大值．16．(本小题满分14分)在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB AC =，平面BB 1C 1C ⊥底面ABCD ，点M 、F 分别是线段1AA 、BC 的中点． （1）求证：AF ⊥DD 1； （2）求证：AD //平面1MBC ．17．(本小题满分16分)如图，设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，离心率e ＝12，F 为椭圆右焦点．若椭圆上有一点BA（第16题）B 1A 1C 1MCF DD 1P 在x 轴的上方，且PF ⊥x 轴，线段PF ＝32．（1）求椭圆C 的方程；（2）过椭圆右焦点F 的直线（不经过P 点）与椭圆交于A ，B 两点，当APB ∠的平分线为PF 时，求直线AB 的方程．18．（本小题满分16分）某公司拟购买一块地皮建休闲公园，如图，从公园入口A 沿AB ，AC 方向修建两条小路， 休息亭P与入口的距离为米（其中a 为正常数），过P 修建一条笔直的鹅卵石健身步行带，步行带交两条小路于E 、F 处，已知045BAP ∠=，12tan 5CAB ∠=． （1）设AE x =米，AF y =米，求y 关于x 的函数关系式及定义域； （2）试确定E ，F 的位置，使三条路围成的三角形AEF 地皮购价最低．A OB OC OP O（17题图）F E19．（本小题满分16分）已知函数21()2ln (R)2f x x x ax a =+-∈.(1)当3=a 时,求函数)(x f 的单调区间；(2)若函数)(x f 有两个极值点21x x ，，且]10(1，∈x ,求证:2ln 223)()(21-≥-x f x f ； (3)设ax x f x g ln )()(-=，对于任意)2,0(∈a 时,总存在]2,1[∈x ，使2)2()(-->a k x g 成立,求实数k 的取值范围．20．(本小题满分16分)已知{a n }为等差数列，{b n }为等比数列，公比为q (q ≠1)．令A ＝{k |a k ＝b k ，k ∈N*}． (1)若A ＝{1，2}，①当a n ＝n ，求数列{b n }的通项公式；②设a 1＞0，q ＞0，试比较a n 与b n (n ≥3)的大小？并证明你的结论． (2)问集合A 中最多有多少个元素？并证明你的结论．2018年高考模拟试卷（6）数学Ⅱ(附加题)21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定两题，并在相应的答题区域内．．．．．．．．．．．．．．．作答．．． A ．[选修4-1：几何证明选讲]（本小题满分10分）如图，圆O 内接四边形ABCD ，直线PA 与圆O 相切于点A ，与CD 的延长线交于点P ，AD ·BC ＝DP ·AB ，求证：AD ＝BC ．B ．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）二阶矩阵M 对应的变换将△ABC 变换成△A 1B 1C 1，其中△ABC 三个顶点坐标分别为A (1，－1)、B (－2，1)，C (2，2)，△A 1B 1C 1中与A 、B 对应的两个坐标分别为 A 1(－1，－1)、B 1(0，－2)．求C 1点的坐标．C ．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）若两条曲线的极坐标方程分别为ρsin(θ＋π3)＝1与ρ＝2sin(θ＋π3)，它们相交于A 、B两点，求线段AB 的长．D ．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）求证：对任意x ，y ∈R,不等式x 2＋xy ＋y 2≥3(x ＋y －1)总成立．（第21题（A ）【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答卷纸指定区域内．．．．．．．．作答． 22．（本小题满分10分）如图，在三棱锥A BCD -中，已知,ABD BCD ∆∆都是边长为2的等边三角形，E 为BD 中点，且AE ⊥平面BCD ，F 为线段AB 上一动点，记BF BAλ=．（1）当13λ=时，求异面直线DF 与BC 所成角的余弦值；（2）当CF 与平面ACD时，求λ的值．23．（本小题满分10分）设函数f n (x )＝1+x +12!x 2＋…＋1n !x n，n ∈N*．(1)求证：当x ∈(0，＋∞)时，e x＞f n (x )；(2)若x ＞0，且e x＝f n (x )+1(n +1)!x n +1e y ，求证：0＜y ＜x ．BC2018年高考模拟试卷（6）参考答案数学Ⅰ一、填空题： 1．(]02，2． 5 解：z ＝21－i－i 3＝1＋i ＋i ＝1＋2i ，所以| z |＝ 5．3．348 解：因为高二学生总数1180人，抽到118人，故抽了10%，所以高三学生抽到的人数为120，高一抽到的人数为110，共348人． 4．6 解：由题意抛物线定义可知，142p+=，所以6p =，即焦点到准线的距离为6． 5．4860 解：由题设可知，S ＝100+99+98+…+20＝4860．6．6 3 解：由体积得球半径R ＝1，三棱柱的高为2，底面边长为2 3．V ＝ 34(2 3)2×2＝6 3．7． 12 解：将()f x 的图象向左平移π3个单位得到()ππsin 36y x ωω=+-，因为图象关于直线πx =对称，所以()4ππsin 136ω-=±，所以4ππππ362k ω-=+，即3142k ω=+，k ∈Z ，所以ω的最小值为12．8．23144 解：设两人到达A 地的时间分别是7点边m 分和7点过n 分(0≤m 、n ≤60)． 用数对(m ，n )表示两人分别到达A 地的时间．则在直角坐标系中， 点(m ，n )的存在域是一个边长为60的正方形，其面积为3600． 两人能够在当天一同去A 地等价于|m －n |≤5．此时，相应点的存在 域是正方形中位于两直线m －n ＝±5之间的部分区域(如图)， 其面积为3600－552＝575．故所求概率为5753600＝23144．9．11- 解：圆C 的半径r ABC 为等边三角形，所以圆心C 到直线AB 的距离d ==11m =-．10．32解：令a ＝AB →，b ＝AC →．则|a |＝|b |＝1，a 、b 的夹角为60°．于是，|AB →＋t AC →|2＝|a ＋t b |2＝a 2＋t 2b 2＋2 t a ·b ＝t 2＋t +1＝(t ＋12)2＋34≥34．所以|AB →＋t AC →|≥32．11．01a <<或4a ≥ 解：令11x t a x =+-，则log a y t =．若01a <<，因为t 没有最大值，所以符合；若1a >，因为111x t a x =+-≥，要使原函数没有最小值，必须10≤，解得4a ≥．12．85 解法一：由a 1a 2+a 2a 3＝2a 1a 3及a 1＝14，a 2＝15，得a 3＝16，再由a 1a 2+a 2a 3+ a 3a 4＝3a 1a 4，a 4＝17．进一步得a 5＝18，a 6＝19， a 7＝110，a 8＝111，a 9＝112，a 10＝113，故1a 1＋1a 2＋…＋1a 10＝4+5+6+7+8+9+10+11+12+13＝85．解法二：由a 1a 2+a 2a 3+…+a n a n +1＝na 1 a n +1 ①，a 1a 2+a 2a 3+…+a n a n +1+ a n +1a n +2＝(n +1)a 1 a n +2 ②，②－①得，a n +1a n +2＝(n +1)a 1 a n +2－na 1 a n +11a 1＝n +1a n +1－n a n +2＝n a n －n －1a n +12a n +1＝1a n ＋1a n +2，(n ≥2)，则a 1a 2+a 2a 3＝2a 1a 32a 2＝1a 1＋1a 3，所以数列{1a n}成等差数列，公差为1，即1a n ＝n +3，a n ＝1n +3．代入可得1a 1＋1a 2＋…＋1a 10＝85．13． 2(,)4e -∞- 解：由对称性，只需当0x >时，2x e mx =-有两解即可.即2x e m x =-在0x >时有两解.设2()xe g x x =，由3(2)()0x e x g x x -'=>得()g x 在（0,2）上递减，在(2,)+∞上递增. 由图可知24e m ->，所以24e m <-．14．λ≤ 解：由条件，sin sin sin sin A B A B λ+=-．因为2a b c +=，所以sin sin 2sin A B C +=， 所以sin sin 12sin A B C +=，所以22()sin sin sin sin 2sin sin 2sin 2sin sin a b A B A B cA B C ab C ab Cλ+++=-⨯=-=-． 而2222()2323cos 1222a b ab c c ab c C ab ab ab+---===-，所以22(1cos )3c C ab =+．由2a b c +=，得1cos 2C ≥，即π03C <≤，所以41cos 3sin C C λ=-+⋅≤．二、解答题：15．解：（1）当3m =，1n =-时，(1,3)=a ，又(2,1)=-b ，所以(1,3)(2,1)(12,3)λλλλ+=+-=+-a b ， 若(λ⊥+)a a b ，则(0λ⋅+)=a a b ，即(12)3(3)0λλ++-=，解得10λ=． …… 7分（2）因为(1,)m =a ，(2,)n =b ，所以(3,)m n ++a b =， 因为5+=a b ，所以2223()5m n ++=，则2()16m n +=， 所以211122()216644mn m n ⋅⨯+++=+⨯=≤a b =，故当2m n ==或2m n ==-时，⋅a b 的最大值为6． …… 14分16．证明：（1）∵AB =AC ，点F 是线段BC 的中点，∴AF ⊥BC ．…………………………………………2分 又∵平面11BB C C ⊥底面ABC ，AF ⊂平面ABC ， 平面11BB C C ⋂底面ABC BC =，∴AF ⊥平面11BB C C ． ……………………………………………………………………5分 又CC 1⊂平面11BB C C ，∴AF ⊥CC 1，又CC 1∥DD 1，∴AF ⊥DD 1．………………………………………………………………7分 （2）连结B 1C 与BC 1交于点E ，连结EM ，FE ．在斜三棱柱111ABC A B C -中，四边形BCC 1B 1是平行四边形， ∴点E 为B 1C 的中点． ∵点F 是BC 的中点， ∴FE //B 1B ，FE 12=B 1B ．…………………………10分 又∵点M 是平行四边形BCC 1B 1边AA 1的中点， ∴AM //B 1B ，AM 12=B 1B ． ∴AM // FE ，AM =FE ．∴四边形AFEM 是平行四边形．∴EM // AF ．…………………………………………12分 又EM ⊂平面MBC 1，AF ⊄平面MBC 1，BAE （第15（2）题图）B 1A 1C 1M C FDD 1∴AF //平面MBC 1．……………………………………………………………………14分 17．解：（1）设右焦点)0,(c F ，由x PF ⊥轴，设),(t c P 代入椭圆方程，即得),(2ab c P ，所以232==a b PF ，联立2222321e 2b a c a b c a ⎧=⎪⎪⎪==⎨⎪+=⎪⎪⎩， …………………3分解得1,3,2===c b a ，所以椭圆方程为13422=+y x ，右准线l 的方程为42==ca x . (6)分（2）设)1)(,(000≠x y x A ，则直线AB 的方程为)1(100--=x x y y ，即100-=x y k ， 联立⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+--=134)1(12200y x x x y y ， 消去y ， 即得0)1(1248]4)1(3[20202022020=--+-+-x y x y x y x (※)， ………………… 9分 又0x 为方程(※)的一根，所以另一根为()02020204138x y x y x B -+-=，又点)1)(,(000≠x y x A 在椭圆上，所以满足134220=+y x ，代入另一根即得528500--=x x x B ， 所以⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---523,52850000x y x x B .由（1）知，点⎪⎭⎫⎝⎛231，P 则直线PA 的斜率()1232001--=x y k ，直线PB 的斜率)1(25220002-+-=x x y k ， (12)分①当APB ∠的平分线为PF 时，PA ，PB 的斜率1k ，2k 满足021=+k k ， 所以0)1(2522)1(2320000021=-+-+--=+x x y x y k k ，即1200-=x y ，所以21=k ，故直线AB 的方程为 x －2y －1＝0． …………… 14分18．（方法一）（1）由12tan 5CAB ∠=得12sin 13CAB =∠，5cos 13CAB =∠且sin sin()sin(45)FAP CAB PAE CAB ∠=∠-∠=∠-︒=由题可知AEFAEPAFPS SS=+所以111sin sin sin 222AE AF CAB AEAP PAE AP AF FAP ∠=∠+∠得1121121322xy x y ⋅=⋅+⋅⋅ 即1232113213xy ax ay =+ 所以1347axy x a=-由013047x axy x a >⎧⎪⎨=>⎪-⎩得定义域为7(,)4a +∞ ……………………6分 (2) 设三条路围成地皮购价为y 元，地皮购价为k 元/平方米，则AEFy k S =⋅(k 为常数)，所以要使y 最小，只要使AEFS 最小由题可知2111266136sin 221313134747AEFax ax S AE AF CAB xy xy x x a x a=⋅⋅∠=⋅==⋅=-- 定义域为7(,)4a+∞ 令470t x a =-> 则2222763144934941488AEFt a a a t at a a a St a t t t +⎛⎫ ⎪⎛⎫++⎝⎭==⋅=++ ⎪⎝⎭23211482a a a ⎛⎫≥= ⎪ ⎪⎝⎭当且仅当7t a =即72ax =时取等号 所以，当72ax =时，AEFS 最小，所以y 最小答：当点E 距离点A72a米远时，三条路围成地皮购价最低……………14分 （方法二）(1) 由12tan 5CAB ∠=得12sin 13CAB =∠，5cos 13CAB =∠ sin sin()sin(45)FAP FAE PAE FAE ∠=∠-∠=∠-︒=设FPA θ∠=APF 中，由正弦定理sin sin sin AF PF APAPF FAP AFE==∠∠∠所以26,sin sin yPF AFE θ=∠=同理可得122,sin xy xPE FE θ==由PF PE FE +=即12262sin sin y xy x θθ+整理得1347axy x a=-，由013047x axy x a >⎧⎪⎨=>⎪-⎩得定义域为7(,)4a +∞ ……………………6分 （方法三）（1）以AB 所在直线为x 轴，点A 为坐标原点，建立如图直角坐标系，则(),0E x ，()3,3P a a ，由12tan 5CAB ∠=，得12sin 13CAB =∠，5cos 13CAB =∠所以512,1313F y y ⎛⎫ ⎪⎝⎭因为PE 与PF 共线所以()()51233331313y a a y a x a ⎛⎫⎛⎫--=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以1347axy x a=-由013047x axy x a >⎧⎪⎨=>⎪-⎩得定义域为7(,)4a +∞ ……………………6分 19．解：)0(22)(2>+-=-+='x xax x a x x x f(1)当3=a 时,xx x x x x x f )1)(2(23)(2--=+-=', 令100)(<<⇒>'x x f 或2>x ,令210)(<<⇒<'x x f , 所以)(x f 的递增区间为)1,0(和),2(+∞,递减区间为)2,1(. (2)由于)(x f 有两个极值点21,x x ,则022=+-ax x 在),0(+∞∈x 上有两个不等的实根21,x x ,⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=>⇒≤<⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>==+>-=∆∴1221121212222)10(02208x x x x a a x a x x a x x a )21ln 2()21ln 2()()(2222121121ax x x ax x x x f x f -+--+=- ))((2121)ln (ln 22121222121x x x x x x x x -+--+-= 21211121)2(21)2ln (ln 2x x x x -+-= )10(2ln 222ln 4121211≤<--+=x x x x设)10(2ln 222ln 4)(22≤<--+=x x xx x F ，所以0)2(4444)(3223423<--=--=--='xx x x x x x x x F 所以)(x F 在]1,0(上递减，所以2ln 223)1()(-=≥F x F即2ln 223)()(21-≥-x f x f . (3)由题意知：只需2)2()(max -->a k x g 成立即可.因为a ax x x x g ln 21ln )(2--+=, 所以a xx x g -+='1)(，因为]2,1[∈x ，所以⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈+25,21x x ，而)2,0(∈a ，所以0)(>'x g ，所以)(x g 在]2,1[∈x 递增， 当2=x 时，a a g x g ln 222ln )2()(max +-+==. 所以2)2(ln 222ln -->--+a k a a 在上)2,0(∈a 恒成立，令42ln )2(2ln )(++----=a k a a a h ，则0)(>a h 在上)2,0(∈a 恒成立，aa k k a a h 1)2(21)(---=---='，又0)2(=h 当02≤--k 时，0)(<'a h ,)(a h 在)2,0(∈a 递减,当0→a 时，+∞→)(a h , 所以0)2()(=>h a h ，所以2-≥k ； 当02>--k 即2-<k 时，ka a h --=⇒='210)( ①2210<--<k即25-<k 时，)(a h 在)2,21(k --上递增，存在ka --=21，使得0)2()(=<h a h ，不合； ②221≥--k 即225-<≤-k 时，0)(<'a h ，)(a h 在)2,0(∈a 递减, 当0→a 时，+∞→)(a h ,所以0)2()(=>h a h ，所以225-<≤-k 综上, 实数k 的取值范围为),25[+∞-.20．解：(1) 由A ＝{1,2}，得a 1＝b 1，a 2＝b 2．设数列{a n }公差为d ，数列{b n }公比为我q ，由a 2＝b 2 a 1+ d ＝a 1q ，故d ＝a 1(q －1) ①因为a n ＝n ，a 1＝b 1＝1，a 2＝b 2＝2，所以数列{b n }的公比q ＝b 2b 1＝2，所以，b n ＝2n -1．……2分② 答：a n ＜b n (n ＝1，2，…)．证明如下： 因为a 1＞0，q ＞0，q ≠1，所以b n －a n ＝a 1q n -1－［(a 1＋(n －1) a 1(q －1)］＝a 1( q n -1－1)－a 1(q －1) (n －1)＝a 1(q －1)(q n -2+q n -1+…+1)－a 1(q －1) (n －1)＝a 1(q －1)［q n -2+q n -3+…+1－(n －1)］ ＝a 1(q －1)［(q n -2－1)+( q n -3－1)＋…＋(q －1)］＝a 1(q －1)2［(q n -3＋q n -4＋…+1)＋(q n -4＋q n -5＋…＋1)＋…＋(q ＋1)＋1］＞0．所以a n ＜b n (n ＝1，2，…)． ……………………………… 6分(2)不妨设a n ＝a +bn (b ≠0)，b n ＝pq n，由a n ＝b n a +bn ＝pq na p ＋b pn ＝q n． 令s ＝a p ，t ＝b p，(t ≠0)，原问题转化为关于n 的方程q n－tn －s ＝0 ① ……………………………… 8分 最多有多少个解．下面我们证明：当q ＞0时，方程①最多有2个解；q ＜0时，方程②最多有3个解． 当q ＞0时，考虑函数f (x )＝q x－tx －s ，则f ′(x )＝q xln q －t 如果t ln q ＜0，则f (x )为单调函数，故方程①最多只有一个解；如果t ln q ＞0，且不妨设由f ′(x )＝0得f ′(x )有唯一零点x 0＝log q tln q，于是当x ＞x 0时，f ′(x )恒大于0或恒小于0，当x ＜x 0时，f ′(x )恒小于0或恒大于0，这样f (x )在区间(0，x 0)与(x 0，＋∞)上是单调函数，故方程①最多有2个解． …………………… 10分 当q ＜0时，如果t ＞0． 如果n 为奇数，则方程①变为 |q |n+tn +s ＝0，显然方程最多只有一个解，即最多只有一个奇数满足方程①． 如果n 为偶数，则方程①变为|q |n －tn －s ＝0．由q ＞0的情形，上式最多有2个解，即满足①的偶数最多有2个． 这样，最多有3个正数满足方程①．对于t ＜0，同理可以证明，方程①最多有3个解．综上所述，集合A 中的元素个数最多有3个． ……………………………… 12分 再由当a n ＝6n －8，，b n ＝(－2)n，则a 1＝b 1，a 2＝b 2，a 4＝b 4．A ＝{1，2，4}． 由此，可知集合A 中的元素个数最多有3个． ………………… 16分数学Ⅱ（附加题）21A ．证明：连AC ，在△ABC 与△ADP 中， 因为A 、B 、C 、D 四点共圆，所以∠ADP ＝∠ABC ， 又因为AD ·BC ＝DP ·AB ，即 AD DP ＝ABBC， 所以 △ABC ∽△ADP ， 所以 ∠BAC ＝∠DAP ．因为 直线PA 与圆O 相切，所以 ∠DAP ＝∠ACD ， 所以 ∠BAC ＝∠ACD ，所以，A B ∥CD ，所以圆内接四边形ABCD 为等腰梯形，所以AD ＝BC ．21B ．解：设M =a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则有a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦11⎡⎤⎢⎥-⎣⎦=11-⎡⎤⎢⎥-⎣⎦，a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦21-⎡⎤⎢⎥⎣⎦=02⎡⎤⎢⎥-⎣⎦， 所以11a b c d -=-⎧⎨-=-⎩，，且2022a b c d -+=⎧⎨-+=-⎩，．解得1234a b c d =⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩，所以M =12 34⎡⎤⎢⎥⎣⎦．所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤1234 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤22＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤614，即C 点坐标为(6,14)．21C ．解：由ρsin(θ＋π3)＝1得， 3x ＋y －2＝0，由ρ＝2sin(θ＋π3) 得，x 2+y 2－ 3x－y ＝0，直线3x ＋y －2＝0过圆x 2+y 2－3x －y ＝0的圆心(32，12)， 所以线段AB 的长为圆ρ＝2sin(θ＋π3)的直径长，即AB ＝2．21D ．法一：左－右=x 2 ＋（y －3) x ＋y 2 －3y ＋3∵Δ=（y －3)2－4（y 2 －3y ＋3）=－3 y 2＋6 y －3 ≤ 0 ∴左－右≥0 得证。

1．.【解析】分析：设圆锥底面半径为，则高为，母线长为，由圆锥侧面积为，可得，结合，利用三角形面积公式可得结果.点睛：本题主要考查圆锥的性质、正四棱锥的性质，以及圆锥的侧面积、正四棱锥的侧面积，属于中档题，解答本题的关键是求得正四棱锥底面棱长与圆锥底面半径之间的关系.2．.【解析】分析：若恒成立，满足的可行域在直线下面，结合图形可得结果.详解：画出表示的可行域，如图，直线过定点，若恒成立，可行域在直线下面，当直线过时，有最小值，最小值为，故答案为.点睛：本题主要考查可行域、含参数目标函数最优解，属于难题.含参变量的线性规划问题是近年来高考命题的热点，由于参数的引入，提高了思维的技巧、增加了解题的难度，此类问题的存在增加了探索问题的动态性和开放性，此类问题一般从目标函数的结论入手，对目标函数变化过程进行详细分析，对变化过程中的相关量的准确定位，是求最优解的关键.3．.【解析】分析：由函数的最值求出，由周期求出，由五点法作图求出的值，从而可得函数的解析式，再利用诱导公式得.点睛：本题主要通过已知三角函数的图象求解析式考查三角函数的性质，属于中档题.利用最值求出 ,利用图象先求出周期，用周期公式求出，利用特殊点求出，正确求是解题的关键.求解析时求参数是确定函数解析式的关键，由特殊点求时，一定要分清特殊点是“五点法”的第几个点，用五点法求值时，往往以寻找“五点法”中的第一个点为突破口，“第一点”(即图象上升时与轴的交点) 时；“第二点”(即图象的“峰点”) 时；“第三点”(即图象下降时与轴的交点) 时；“第四点”(即图象的“谷点”) 时；“第五点”时.4．.【解析】分析：先证明为等比数列，求得，，利用等比数列求和公式可得结果.详解：由，得，为等比数列，，，，故答案为.点睛：本题主要考查等比数列的定义以及已知数列的递推公式求通项，属于中档题.由数列的递推公式求通项常用的方法有：（1）等差数列、等比数列（先根据条件判定出数列是等差、等比数列）；（2）累加法，相邻两项的差成等求和的数列可利用累加求通项公式；（3）累乘法，相邻两项的商是能求出积的特殊数列时用累乘法求通项；（4）构造法，形如的递推数列求通项往往用构造法，即将利用待定系数法构造成的形式，再根据等比数例求出的通项，进而得出的通项公式.5．.【解析】分析：设甲食物重，乙两食物重，则，混合物重，利用线性规划可得结果.详解：点睛：本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的定点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值. 6．.【解析】分析：以为坐标原点，为轴建立直角坐标系，则，设点的坐标为，可得，从而可得结果.详解：由，且，得，如图，以为坐标原点，为轴建立直角坐标系，则，设点的坐标为，则，即的最小值是，故答案为.点睛：向量的运算有两种方法，一是几何运算往往结合平面几何知识和三角函数知识解答，运算法则是：（１）平行四边形法则（平行四边形的对角线分别是两向量的和与差）；（２）三角形法则（两箭头间向量是差，箭头与箭尾间向量是和）；二是坐标运算：建立坐标系转化为解析几何问题解答（求最值与范围问题，往往利用坐标运算比较简单）．的高为，当平面平面时，由面面垂直的性质定理得平面，以几何体的体积，，当，在时，取得最大值，，故选B.点睛：求最值问题往往先将所求问题转化为函数问题，然后根据:配方法、换元法、不等式法、三角函数法、图象法、函数单调性法求解，利用函数的单调性求最值，首先确定函数的定义域，然后准确地找出其单调区间，最后再根据其单调性求凼数的最值即可.8．.【解析】分析：函数恰有个零点，等价于与有个交点，画出图象，结合图象列不等式求解即可.详解：在两图象有一个交点，在上有两个交点，只需在有一个交点即可，画出两函数图象，如图，由图可得，，故答案为.点睛：本题主要考查函数的图象与性质以及数形结合思想的应用，属于难题. 数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法，.函数图象是函数的一种表达形式，它形象地揭示了函数的性质，为研究函数的数量关系提供了“形”的直观性．归纳起来，图象的应用常见的命题探究角度有：1、确定方程根的个数；2、求参数的取值范围；3、求不等式的解集；4、研究函数性质．详解：设，，以为切点的切线方程为，即，同理为切点的切线方程为，代入，可得，过的直线方程为，联立，可得，，又到直线的距离为，，当时，等号成立，故答案为.点睛：解决圆锥曲线中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法求解.10．.【解析】分析：在斜中，，结合可得，利用基本不等式可得结果.又在中，，，当且仅当时“=”成立，的最大值为，故答案为.点睛：本题主要考查诱导公式、两角差的正切公式的应用以及基本不等式求最值，属于中档题. 利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立）.11．证明见解析.【解析】分析：设直线的方程为，，，则, 将代入，得，利用韦达定理,.详解：当与轴垂直时，此时点与点重合，从而，，.当点与点不重合时，直线的斜率存在.设直线的方程为，，，则.点睛：探索定值问题常见方法有两种：① 从特殊入手，先根据特殊位置和数值求出定值，再证明这个值与变量无关；② 直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.12．(1) .(2) 这台收割机使用年，可使年均收益最大.【解析】试题分析：根据第二年付费元，第五年付费元可得关于的方程组，解出即可得到函数关系记使用年，年均收益为（元），利用基本不等式求最值即可解析：（Ⅰ）依题意，当，；，，即，解得，所以.（Ⅱ）记使用年，年均收益为（元），则依题意，，，当且仅当，即时取等号.所以这台收割机使用14年，可使年均收益最大.13．(1) 函数的定义域为.(2) 当的长度分别为米，米时，裁剪出的四边形的面积最小，最小值为平方米.详解：（1）过点作，垂足为.在中,所以故所以据题意，，所以且当点重合于点时，所以函数的定义域为.（2）由（1）可知，当且仅当时，不等号取等号又故答：当的长度分别为米，米时，裁剪出的四边形的面积最小，最小值为平方米.点睛：本题主要考查阅读能力、数学建模能力和化归思想以及二倍角公式、基本不等式求最值的应用，属于中档题.与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向，这类问题的特点是通过现实生活的事例考查书本知识，解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题，只有吃透题意，才能将实际问题转化为数学模型进行解答.14．(1) .(2) .试题解析：（1）设直线与轴的交点是，依题意，即,,,,即………①因为圆过两点，所以线段的中点的坐标为又………②由①和②得，所以圆心坐标为故所求圆方程为15．(1) .(2) .(3) .【解析】分析：（1）求出，由的值可得切点坐标，求出的值，可得切线斜率，利用点斜式可得曲线在点处的切线方程；（2）是方程的两个正根，可得，则可化为，令，可得在上单调递增，所以；（3）对任意的实数恒成立，即对任意的实数恒成立，令，利用导数研究函数的单调性，讨论的范围，令的最小值不小于零，可得到实数的取值范围.（2）由，可得因为函数存在两个极值点，所以是方程的两个正根，即的两个正根为所以，即所以所以故得取值范围是（3）据题意，对任意的实数恒成立，即对任意的实数恒成立.令，则①若，当时，，故符合题意；②若，（i）若，即，则，在上单调赠所以当时，，故符合题意；③若，令，得当时，，在上单调增；当时，，在上单调减.首先证明：要证：，即要证：，只要证：因为，所以，故所以其次证明，当时，对任意的都成立所以，则所以当时，对任意的都成立所以当时，即，与题意矛盾，故不符题意，综上所述，实数的取值范围是.点睛：本题是以导数的运用为背景的函数综合题，主要考查了函数思想，化归思想，抽象概括能力，综合分析问题和解决问题的能力，属于较难题，近来高考在逐年加大对导数问题的考查力度，不仅题型在变化，而且问题的难度、深度与广度也在不断加大，本部分的要求一定有三个层次：第一层次主要考查求导公式，求导法则与导数的几何意义；第二层次是导数的简单应用，包括求函数的单调区间、极值、最值等；第三层次是综合考查，包括解决应用问题，将导数内容和传统内容中有关不等式甚至数列及函数单调性有机结合，设计综合题.16．(1) .(2)3个，证明见解析.详解：（1），则（2）不妨设，由令，原问题转化为关于的方程①最多有多少个解.下面我们证明：当时，方程①最多有个解：时，方程①最多有个解当时，考虑函数，则如果，则为单调函数，故方程①最多只有一个解；如果，且不妨设由得由唯一零点，于是当时，恒大于或恒小于，当时，恒小于或恒大于这样在区间与上是单调函数，故方程①最多有个解当时，如果如果为奇数，则方程①变为显然方程最多只有一个解，即最多只有一个奇数满足方程①如果为偶数，则方程①变为，由的情形，上式最多有个解，即满足①的偶数最多有个这样，最多有个正数满足方程①对于，同理可以证明，方程①最多有个解.综上所述，集合中的元素个数最多有个.再由（1）可知集合中的元素个数最多有个.点睛：本题主要考查数列的综合性质以及分类讨论思想的应用.属于难题.分类讨论思想解决高中数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决含参数问题发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点. 充分利用分类讨论思想方法能够使问题条理清晰，进而顺利解答，希望同学们能够熟练掌握并应用与解题当中.17．(1) .(2)分布列见解析，.共有种取法，其中的三角形如，这类三角形共有个因此.（2）由题意，的可能取值为其中的三角形如，这类三角形共有个；其中的三角形有两类，，如（个），（个），共有个；其中的三角形如，这类三角形共有个；其中的三角形如，这类三角形共有个；其中的三角形如，这类三角形共有个；因此所以随机变量的概率分布列为：所求数学期望.点睛：在解古典概型概率题时，首先把所求样本空间中基本事件的总数，其次所求概率事件中含有多少个基本事件，然后根据公式求得概率；求解一般的随机变量的期望和方差的基本方法是：先根据随机变量的意义，确定随机变量可以取哪些值，然后根据随机变量取这些值的意义求出取这些值的概率，列出分布列，根据数学期望和方差的公式计算．注意在求离散型随机变量的分布列时不要忽视概率分布列性质的应用，对实际的含义要正确理解.18．(1) .(2) 分布列见解析，.详解：（1）当时，记事件：“所取子集的元素既有奇数又有偶数”.则集合的非空子集数为，其中非空子集的元素全为奇数的子集数为，全为偶数的子集数为，所以，（2）当时，的所有可能取值为则所以的数学期望.点睛：本题主要考查古典概型概率公式以及离散型随机变量的分布列与数学期望，属于中档题. 求解该类问题，首先正确要理解题意，其次要准确无误的找出随机变量的所以可能值，计算出相应的概率，写出随机变量的分布列，正确运用均值、方差的公式进行计算，也就是要过三关：（1）阅读理解关；（2）概率计算关；（3）公式应用关. 19．(1) .(2) .详解：（1）分别以所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设，则所以，因为，所以，即，解得所以的长为.（2）因为，所以，又，故据图可知，二面角大小的余弦值为.点睛：空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.20．(1) ，.(2) ①证明见解析. ②证明见解析.【解析】分析：（1）由抛物线定义知，所以，将点代入抛物线得，；(2) 设求得,,利用斜率公式消去、可得直线的斜率为；②设点的横坐标分别为，求得，，根据中点坐标公式化简即可的结果.详解：（1）由抛物线定义知，所以，将点代入抛物线得，②设点的横坐标分别为由①知，直线的方程为：令得，又直线的方程为：令得，所以所以是线段的中点.点睛：本题主要考查直线与圆锥曲线的位置关系的相关问题，意在考查学生理解力、分析判断能力以及综合利用所学知识解决问题能力和较强的运算求解能力，其常规思路是先把直线方程与圆锥曲线方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．。

甲 乙 8 9 79 01398 210 （第5题）江苏省南通基地2018年高考数学密卷（2）理第Ⅰ卷（必做题，共160分）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1． 已知集合A ={1，4}，B ={|13x x ≤≤}，则A ∩B = ▲ ． 2． 设复数2(2i)z =+（i 为虚数单位），则z 的共轭复数为 ▲ ． 3．函数的y =定义域为 ▲ ．4． 阅读下面的伪代码，由这个算法输出的结果为 ▲ ．5． 如图是甲、乙两位同学在5次数学测试中得分的茎叶图，则成绩较稳定（方差较小）的那一位同学的方差为 ▲ ．6． 将黑白2个小球随机放入编号为1，2，3的三个盒子中，则黑白两球均不在1号盒子的概率为 ▲ ．7． 在平面直角坐标系xOy 中，将函数cos 2y x =的图象向右平移6π个单位得到()g x 的图象，则(2g π的值为 ▲ ．8． 在平面直角坐标系xOy 中，双曲线2214y x -=的一条渐近线与准线的交点到另一条渐近线的距离为 ▲ ． 9． 若()πtan 34x +=-，则sin 2cos 3sin 4cos x x x x++的值为 ▲ ． 10．已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且对于任意的 x ∈R 都有f (x +4)= f (x )+ f (2)，f (1)= 4，则f (3)+ f (10)的值为 ▲ ．11．已知n S 为数列{a n }的前n 项和，且22111n n n a a a ++-=-，21313S a =，则{a n }的首项的所有s ←0t ←1For I From 1 To 3 s ←s +I t ←t ⨯I End For r ←s ⨯t Print r（第4题）可能值为 ▲ ．12．在平面直角坐标系xOy 中，已知直线:3450l x y -+=与圆22:100C x y x +-=交于A ，B 两点，P 为x 轴上一动点，则△ABP 周长的最小值为 ▲ ．13．已知函数22()3x x a x a f x x x a x a ⎧-+-⎪=⎨++<-⎪⎩≥，，，．记{|()0}A x f x ==，若(2)A -∞≠∅，，则实数a 的取值范围为 ▲ ．14．若△ABC 中，ABBC =8，B ∠=45°，D 为△ABC 所在平面内一点且满足 ()()4AB AD AC AD ⋅⋅⋅=，则AD 长度的最小值为 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答. 解答时应写出文字 说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）如图，在△ABC 中，a b c ，，为A B C ，，所对的边，CD ⊥AB 于D ，且12BD AD c -=． （1）求证：sin 2sin()C A B =-； （2）若3cos 5A =，求tan C 的值．16．（本小题满分14分）在正四棱锥V ABCD -中，E ，F 分别为棱VA ，VC 的中点． （1）求证：EF ∥平面ABCD ； （2）求证：平面VBD ⊥平面BEF ．17．(本小题满分14分)如图所示的某种容器的体积为90πcm 3，它是由圆锥和圆柱两部分连接而成，圆柱与圆锥ACBD（第16题）VE FCADB（第15题）h 1rh 2（第17题）45° 的底面半径都为r cm ．圆锥的高为h 1 cm ，母线与底面所成的角为o 45；圆柱的高为h 2 cm ．已知圆柱底面的造价为2a 元/cm 2，圆柱侧面造价为a 元/cm 2，元/cm 2．（1）将圆柱的高h 2表示为底面半径r 的函数，并求出定义域； （2）当容器造价最低时，圆柱的底面半径r 为多少？18．（本小题满分16分）已知在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：22221(0)y xa b a b+=>>，其短轴长为2．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）如图，A 为椭圆C 的左顶点，P ，Q 为椭圆C 上两动点，直线PO 交AQ 于E ，直线QO 交AP 于D ，直线OP 与直线OQ 的斜率分别为1k ，2k ，且1212k k =-，AD DP λ=，AE EQ μ=（λμ，为非零实数），求22λμ+的值．19．（本小题满分16分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知11a =，121n n S S +-=（*n ∈N ）． （1）求证：数列{}n a 为等比数列； （2）若数列{}n b 满足：11b =，111nn n b b ++=+． ① 求数列{}n b 的通项公式；② 是否存在正整数n ，使得14ni i b n ==-∑成立？若存在，求出所有n 的值；若不存在，请说明理由．20．（本小题满分16分）已知函数*()ln k f x x x k =∈N ，，()1g x cx c =-∈R ，． （1）当1k =时，①若曲线()y f x =与直线()y g x =相切，求c 的值；②若曲线()y f x =与直线()y g x =有公共点，求c 的取值范围．（2）当2k ≥时，不等式2()()f x ax bx g x +≥≥对于任意正实数x 恒成立，当c 取得最大值时，求a ，b 的值．2018年高考模拟试卷（2）数学Ⅱ(附加题)21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定两题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．． A ．[选修4—1：几何证明选讲]（本小题满分10分）如图，ABCD 为圆内接四边形，延长两组对边分别交于点E ，F ．M ，N 为AB ，CD 上两点，EM ＝EN ，点F 在MN 的延长线上．求证：∠BFM ＝∠AFM ．B ．[选修4—2：矩阵与变换]（本小题满分10分）已知在二阶矩阵M 对应变换的作用下，四边形ABCD 变成四边形A B C D ''''，其中 (11)A ，，(11)B -，，(11)C --，，(33)A '，，(11)B '-，，(11)D '-，． （1）求矩阵M ； （2）求向量DC '的坐标．C ．[选修4—4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中 取相同的长度单位．已知直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝t －3(t 为参数)，圆C 的极坐标方程是ρ＝4cos θ，求直线l 被圆C 截得的弦长．D ．[选修4—5：不等式选讲]（本小题满分10分）已知x >0，y >0，z >0，221x y z ++=，求证：135xy yz zx ++≤．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答卷纸指定区域内．．．．．．．．作答． 22．（本小题满分10分）某同学理科成绩优异，今年参加了数学，物理，化学，生物4门学科竞赛．已知该同 学数学获一等奖的概率为23，物理，化学，生物获一等奖的概率都是12，且四门学科是否获一等奖相互独立．（1）求该同学至多有一门学科获得一等奖的概率；（2）用随机变量X 表示该同学获得一等奖的总数，求X 的概率分布和数学期望()E X ．23．（本小题满分10分）已知函数2()1f x x x =-+，记1()()f x f x =，当12()(())n n n f x f f x -=≥时，． （1）求证：2()f x 在(1)+∞，上为增函数； （2）对于任意*N n ∈，判断()n f x 在(1)+∞，上的单调性，并证明．2018年高考模拟试卷（2）参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1． {1}【解析】依题意，A ∩B ={1}2． 34i -【解析】由于2(2i)34i z =+=+，所以z 的共轭复数为34i -． 3． (]0,8【解析】由23log 0x -≥，解得08x <≤．4． 36【解析】1236s =++=，1236t =⨯⨯=，输出的结果6636r =⨯=． 5． 2【解析】由茎叶图可知，8889909192905x ++++==，所以甲的方差为52211()25i i s x x ==-=∑；同理乙的方差为4，所以比较稳定的是甲．6． 49【解析】所有等可能的基本事件总数为339⨯=种，“黑白两球均不在1号盒子”有224⨯=种，所以概率为49．7． 12-【解析】()()cos 23g x x π=-，所以()1()cos 232g ππ=π-=-．8． 4【解析】一条渐近线2y x =与右准线x，其到另一条渐近线2y x =-的距离为45．9． 2【解析】由()ππ31tan tan 2441(3)x x --⎡⎤=+-==⎢⎥+-⎣⎦，得sin 2cos tan 22x x x ++==．10． 4【解析】令f (x +4)= f (x )+ f (2)中x，得f (2)= ff (2)，所以f ，又因为f (x )是定义在R 上的偶函数，所以f (2)=0，所以f (x +4)= f (x )， 所以f (x )是周期为4的周期函数，所以f (3)+ f (10)= ff (2)= f (1)+0= 4．11． 34-，【解析】因为22111n n n a a a ++-=-，所以22111n n n a a a ++-=-，所以222211a a a -=-，223321a a a -=-，…，221313121a a a -=-，将以上各式相加，得2213113112S a a a --=-， 又21313S a =，所以211120a a --=，获解．（第12题）12． 14【解析】设直线l 与圆C 的一个交点B （5，5）关于x 轴的对称点为B '，易知B B '恰为圆C 的直径，记A B '与x 轴 交于点Q ，则PA PB PA PB AB ''+=+≥，所以△ABP 的周长的最小值为AB AB '+，易求得结果为14. 13． (14⎤-∞⎦，在(2)-∞，所以方程2|x x =所以函数()g x =注意到函数(h x a ，a ）在直线14．【解析】建立如图所示的平面直角坐标系，由题意，设()D x y ，，所以(11)AB =--，(71)AC =-，(AD x = 所以()()()(7)4AB AD AC AD x y x y ⋅⋅⋅=---=，即()(7)4x y y x +-=，令7x y m y x n +=⎧⎨-=⎩，则1()81(7)8x m n y m n ⎧=-⎪⎨⎪=+⎩，所以mn =4，所以AD 当且仅当5m =n =±AD 二、解答题：本大题共6小题，共90分． 15．（本小题满分14分）（1）证明：因为12BD AD c -=，所以1cos cos 2a Bb Ac -=， …… 3分由正弦定理，得1sin cos sin cos sin 2A B B A C -=，所以sin 2sin()C A B =-． …… 6分（2）解：由（1）得，sin()2sin()A B A B +=-， …… 8分（第14题）CADB（第15题）所以sin cos cos sin 2(sin cos cos sin )A B A B A B A B+=-， 化简，得3cos sin sin cos A B A B =． …… 10分又3cos 5A =，所以4sin 5A =，所以4tan 3A =，4tan 9B =， …… 12分所以44tan tan 4839tan tan()1tan tan 4411139A B C A B A B ++=-+=-=-=---⋅． …… 14分16．（本小题满分14分）（1）因为E ，F 分别为棱VA ，VC 的中点，所以EF ∥AC ， …… 3分 又因为EF ABCD ⊄平面，AC ABCD ⊂平面，所以EF ∥平面ABCD ． …… 6分（2）连结AC ，BD 交于点O ，连结VO ．因为V ABCD -为正四棱锥，所以VO ABCD ⊥平面．又AC ABCD ⊂平面，所以VO AC ⊥．…… 8分又因为BD AC ⊥，EF ∥AC ，所以EF ⊥VO ，EF ⊥BD ． …… 10分 又VO BD VBD ⊂，平面，=VO BD O ∩，所以EF VBD ⊥平面， …… 12分又EF BEF ⊂平面，所以平面VBD ⊥平面BEF ．…… 14分17．（本小题满分14分）（1）解：因为圆锥的母线与底面所成的角为o 45，所以1h r =，圆锥的体积为231111ππV r h r ==，圆柱的体积为222πV r h =． …… 2分因为1290πV V +=，所以23221π90ππ3V r h r ==-，所以32222709033r r h r r-==-． …… 4分 因为311π90π3V r =<，所以r <0r <<．所以32222709033r r h r r -==-，定义域为{|0r r <<． …… 6分 ACBD（第16题）VE FO（2）圆锥的侧面积21πS r r =，圆柱的侧面积222πS rh =，底面积23πS r =． …… 8分容器总造价为1232y aS aS =++2222π2π2πr a rh a r a =++2222π()a r rh r =++()22902π2r a r r r ⎡⎤=+-⎣⎦()210π543a r r=+． …… 10分令254()f r r r =+，则254()2f r r r '=-．令()0f r '=，得3r =． 当03r <<时，()0f r '<，()f r 在(0 3)，上为单调减函数；当3r <<()0f r '>，()f r在(3上为单调增函数． 因此，当且仅当3r =时，()f r 有最小值，y 有最小值90πa 元．…… 13分 所以，总造价最低时，圆柱底面的半径为3cm ． …… 14分18．（本小题满分16分）（1）解：因为短轴长2b =2，所以b =1，…… 2分又离心率c a =a =， …… 4分 所以222222()a c ab ==-，所以22a =，所以椭圆C 的标准方程为2212x y +=．…… 6分 （2）由（1），点A (0)，设1100()()P x y D x y ，，，， 则111020y k x y k x ==，，因为AD DP λ=，所以010010()()x x x y y y λλ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩①②， …… 8分由①得，011+x x λλ=， 由②得，101+y y λλ=，所以1120211+(k x k x k x λλ==， …… 11分两边同时乘以k 1得，21112111((2k x k k x x ==-，所以11x，1121(12)y k λ=+，代入椭圆的方程得，221112k λ=+， …… 14分 同理可得，()2212222112111212112k k k μ===+++-， 所以221λμ+=． …… 16分19．（本小题满分16分）（1）解：由121n n S S +-=，得121n n S S --=（2n ≥）， 两式相减，得120n n a a +-=，即12n na a +=（2n ≥）． …… 2分 因为11a =，由121()21a a a +-=，得22a =，所以212a a =， 所以12n na a +=对任意*n ∈N 都成立， 所以数列{}n a 为等比数列，首项为1，公比为2． ……4分 （2）① 由（1）知，12n n a -=， 由1112n n nb b a ++=+，得1122n n n bb +=+， …… 6分 即11221n n n n b b -+=+，即11221n n n n b b -+-=， 因为11b =，所以数列{}12n n b -是首项为1，公差为1的等差数列． …… 8分 所以121(1)1n n b n n -=+-⨯=，所以12n n n b -=． …… 10分 ② 设1nn i i T b ==∑，则012111111()2()3()()2222n n T n -=⨯+⨯+⨯++⨯，所以123111111()2()3()()22222n n T n =⨯+⨯+⨯++⨯，两式相减，得0121111111()()()()()222222n n n T n -=++++-⨯11()12()1212nn n -=-⨯-12(2)()2n n =-+⨯， 所以14(24)()2n n T n =-+⨯． …… 12分由14ni i b n ==-∑，得14(24)()42n n n -+⨯=-，即122n n n -+=．显然当2n =时，上式成立，设12()2n n f n n-+=-（*n ∈N ），即(2)0f =．因为11322(1)()(2)(2)201(1)n n n n n f n f n n n n n --⎡⎤+++-=---=-+<⎢⎥++⎣⎦，所以数列{}()f n 单调递减， 所以()0f n =只有唯一解2n =，所以存在唯一正整数2n =，使得14ni i b n ==-∑成立． …… 16分20．（本小题满分16分）（1）解：当1k =时，()ln f x x x =，所以()1ln f x x '=+．①设切点为00()P x y ，，则0000001ln ln 1x c y x x y cx +=⎧⎪=⎨⎪=-⎩①②③…… 2分由②③得，0001ln cx x x -=④由①得0ln 1x c =-代入④得，001(1)cx x c -=-所以011x c ==，． …… 4分 ②由题意，得方程ln 1x x cx =-有正实数根，即方程1ln 0x c x+-=有正实数根，记1()ln h x x c x =+-，令22111()x h x x x x -'=-=， 当01x <<时，()0h x '<；当1x >时，()0h x '>； 所以()h x 在(01)，上为减函数，在(1)∞，+上为增函数； 所以min ()(1)1h x h c ==-． …… 6分 若1c <，则()(1)10h x h c =->≥，不合； 若1c =，由①知适合；若1c >，则(1)10h c =-<，又11(e )0e e c cch c c =+-=>， 所以(1)(e )0c h h ⋅<，由零点存在性定理知()h x 在(1e )(0)c ⊆+∞，，上必有零点． 综上，c 的取值范围为[1)∞，+． …… 9分（2）由题意得，当2k ≥时，ln 1k x x cx -≥对于任意正实数x 恒成立， 所以当2k ≥时，11ln k c x x x -+≤对于任意正实数x 恒成立，由（1）知，1ln 1x x+≥，两边同时乘以x 得，ln 1x x x +≥①， 两边同时加上1x得，11ln 12x x x x x +++≥≥②，所以1ln 1x x x +≥（*），当且仅当1x =时取等号．对（*）式重复以上步骤①②可得，21ln 1x x x +≥，进而可得，31ln 1x x x +≥，41ln 1x x x+≥，……，所以当2k ≥，*N k ∈时，11ln 1k x x x -+≥，当且仅当1x =时取等号．所以1c ≤． …… 12分 当c 取最大值1时，2ln 1k x x ax bx x +-≥≥对于任意正实数x 恒成立， 令上式中1x =得， 00a b +≥≥，所以0a b +=， 所以21ax ax x --≥对于任意正实数x 恒成立，即2(1)10ax a x -++≥对于任意正实数x 恒成立， 所以0a >，所以函数2(1)1y ax a x =-++的对称轴102a x a+=>， 所以2(1)40a a ∆=+-≤，即2(1)0a -≤，所以1a =，1b =-． …… 14分 又由21ln 1k x x x-+≥，两边同乘以x 2得，2ln k x x x x +≥，所以当1a =，1b =-时，2ln k x x ax bx +≥也恒成立，综上，得1a =，1b =-． …… 16分数学Ⅱ（附加题）21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内 作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．[选修4—1：几何证明选讲]（本小题满分10分）证明：因为EM ＝EN ，所以∠EMN ＝∠ENM ， …… 3分 因为ABCD 为圆内接四边形，所以∠FCN ＝∠A ，…… 6分又因为∠EMN ＝∠AFM ＋∠A ，∠ENM ＝∠BFM ＋∠FCN ，所以∠AFM ＝∠BFM ． …… 10分B ．[选修4—2：矩阵与变换]（本小题满分10分） （1）解：设a b M c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦， 则有13111311a b a b c d c d --⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦，， …… 2分 故3311a b c d a b c d +=⎧⎪+=⎪⎨-+=-⎪⎪-+=⎩ 解得2112a b c d ====，，，，所以2112M ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦．…… 5分 （2）由21131213--⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦，知(33)C '--，， 易求12133=1233M -⎡⎤-⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦， …… 7分 由211133121133⎡⎤-⎡⎤⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦-⎢⎥⎣⎦，得(11)D -，， 所以=(42)DC '--，． …… 10分C ．[选修4—4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）解：直线l 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝t －3 (t 为参数)化为直角坐标方程是y ＝x －3，…… 2分圆C 的极坐标方程ρ＝4cos θ化为直角坐标方程是x 2＋y 2－4x ＝0． …… 5分 圆C 的圆心(2，0)到直线x －y －3＝0的距离为d ＝12＝…… 7分又圆C 的半径r ＝2，所以直线l 被圆C 截得的弦长为2r 2－d 2＝14． …… 10分D ．[选修4—5：不等式选讲]（本小题满分10分）证明：因为222151(22)5(3)()(2)044x y z xy yz zx x y x y z ++-++=-++-≥，…… 5分所以2(22)5(3)x y z xy yz zx ++++≥， 又因为221x y z ++=，所以135xy yz zx ++≤． …… 10分【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时 应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）（1）解：记“该同学获得i 个一等奖”为事件i A ，01i =，， 则()021111(1)(1)(1)(1)322224P A =-⨯-⨯-⨯-=，()31213212115(1)(1)(1)P A C =⨯-+-⨯⨯⨯-=，所以该同学至多有一门学科获得一等奖的概率为()()0115124244P A P A +=+=． …… 4分（2）随机变量X 的可能取值为0，1，2，3，4，()()01024P X P A ===，()()15124P X P A ===，()12223321121132(1)(1)()(1)3223228P X C C ==⨯⨯⨯-+-⨯⨯⨯-=，()2233332112173()(1)(1)()P X C C ==⨯⨯⨯-+-⨯⨯=，()32114()3212P X ==⨯=， 所以X 的概率分布为故()15972130123424242424246E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=． …… 10分23．（本小题满分10分）（1）证明：因为22()(())(1)f x f f x f x x ==-+，所以22()(21)(1)f x x f x x ''=--+， 因为1x >，所以210x ->，211x x -+>，所以22(1)2(1)10f x x x x '-+=-+->，所以2()0f x '>，所以2()f x 在(1)+∞，上为增函数． …… 4分 （2）结论：对于任意*N n ∈，()n f x 在(1)+∞，上均为增函数． 证明：①当n =1时，结论显然成立；②假设当n =k 时结论也成立，即()k f x 在(1)+∞，上为增函数， 所以当1x >时，()0k f x '>在(1)+∞，上恒成立． 当n =k +1时，21()(())(1)k k k f x f f x f x x +==-+， 所以21()(21)(1)k k f x x f x x +''=--+ 又当1x >时，210x ->，211x x -+>，所以2(1)0k f x x '-+>在(1)+∞，上恒成立， 所以21()(21)(1)0k k f x x f x x +''=--+>在(1)+∞，上恒成立， 所以1()k f x +在(1)+∞，上为增函数． 由①②得证，对于任意*N n ∈，()n f x 在(1)+∞，上均为增函数．…… 10分。

全国著名重点中学领航高考冲刺试卷数 学(江苏卷)8命题：王建宏本试卷分为第I 卷（填空题）、第II 卷（解答题）和第Ⅲ卷（附加题）三部分，文科考生只要求．．．做第I 卷、第II 卷，第Ⅲ卷．．．不做．．，满分160分，考试时间120分钟；理科考生第I 卷、第II 卷和第Ⅲ卷都必须做．．．．，满分160+40分，考试时间120＋30分钟。

第I 卷（填空题 共70分）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.1.已知空间中两点)3,2,(1x P 和)7,3,5(2+x P 间的距离为6，则x 的值为 ▲ ．2.命题“对任意的x R ∈，3210x x -+≤”的否定是 ▲ ．3. 某校高三年级学生年龄分布在17岁、18岁、19岁的人数分别为500、400、100，现通过分层抽样从上述学生中抽取一个样本容量为m 的样本，已知每位学生被抽到的概率都为0.2，则m = ▲ ．4.在正方体1111D C B A ABCD -中,已知F E ,分别是棱BC AB ,的中点,那么直线CE 与直线F D 1所成角的大小为_ ▲ ．5.已知sin 13cos 3sin 2=-x x (θ+x ),(R x ∈)，则θtan 的值为 ▲ ．6. 在ABC ∆中，已知AB=8，AC=5，12=∆ABC S ，则BC= ▲ ．7.已知数列{}n a 满足：对于任意*p q ∈N ，，都有p q p q a a a ++=.若36a =4,则首项1a = ▲ ．8.已知函数)2(log )(a x x f a -=在区间]32,21[上恒有0)(>x f ，则实数a 的取值范围是 ▲ ．9.若定义运算：,bc ad d c b a -=那么满足条件i iz z 2321+=的复数z = ▲ ．10.下图是一个算法的程序框图,当输入的x 为5时, 则其输出的结果是y = ▲ ．11.已知)(x f 是R 上的偶函数，对一切R x ∈，都有)3()()6(f x f x f +=+成立，若2)2(=f ，则)2008(f = ▲ ．12.一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2cm 的球面上．如果正四棱柱的底面边长为1cm ，那么该棱柱的表面积为 ▲ cm 2．13.设m 为实数，若{}22250()30()250x y x y x x y x y mx y ⎧⎫-+⎧⎪⎪⎪-⊆+⎨⎨⎬⎪⎪⎪+⎩⎩⎭≥，≥，≤≥，则m 的取值范围是 ▲ ．14.已知函数)(x f y =和)(x g y =的定义域 及值域均为],[a a -(常数0a ＞)，其图像如右图所示. 给出下列四个命题：(1)方程0)]([=x g f 有且仅有六个根； (2)方程0)]([=x f g 有且仅有六个根 (3)方程0)]([=x f f 有且仅有九个根； (4)方程0)]([=x g g 有且仅有四个根 则其中正确命题的序号是： ▲ (注:把你认为正确的序号都填上) ．第Ⅱ卷（解答题 共90分）二、解答题：本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.（本小题满分14分）设向量=a (x x cos ,cos 2),=b (x x sin 32,cos ), 函数b a x f ⋅=)(. ⑴若函数)(x f y =的定义域为]4,4[ππ-，求)(x f 的值域 ⑵若将函数)(x f y =)(R x ∈的图像按向量),(n m c =平移后可得到函数x y 2cos 2=)(R x ∈的图像，其中2||π<m ，求实数n m ,的值.16（本小题满分14分）已知袋中有红色球4个，蓝色球3个，黄色球2个.现每次从中任取一球确定颜色后再放回， 若取到红色球就结束取球，且最多可取4次. ⑴求取球次数为3的概率⑵求在4次取球中恰有3次取到蓝色球的概率17.（本小题满分14分）如图所示,一吊灯的下圆环直径为m 22,通过拉链悬挂在天 花板上,圆环呈水平状态,并且与天花板的距离为m 2.在圆环上 设置三个等分点321,,A A A ,点C 与点B A A A ,,,321均用拉链相 连结,且321,,CA CA CA 等长.记BC 的长度为x ,拉链的总长度为y . ⑴试将y 表示为x 的函数)(x f y =； ⑵要使拉链总长最短,BC 应为多长?18.（本小题满分16分）如图在直三棱柱111C B A ABC -中，090=∠ACB ,3,2==BC AC ,5161=AA ,M 、N 分别是11,BC AA 的中点.⑴求证：MN ∥平面ABC ;⑵求直线1CC 与平面1BMC 所成角的正切值;⑶求点1A 到平面M BC 1的距离.A 1B 1C 1AC BNMBCA 1A 2A 319.（本小题满分16分）设正项数列}{n a 的前n 项和为n S ，首项11=a ，q 为非零常数，已知对任意正整数m n ,，当m n > 时，m n m m n S q S S -=-总成立. ⑴求证：数列}{n a 是等比数列； ⑵求证：当m n >时，nmn mn S 2S 1S 1>++-.20.（本小题满分16分）已知动点P 到两定点)0,2(),0,2(21F F -的距离之差为2. ⑴求动点P 的轨迹方程；⑵由P 作圆C ：1)1(22=++y x 的两条切线,这两条切线与y 轴分别交于M 、N 两点，求MN 的取值范围.第Ⅲ卷（附加题 共40分）本大题6小题，共40分，其中第一、第二小题每小题12分为必做题；第三、第四、第五、第六小题中选做两小题，多做无效，每小题8分。

江苏省南通基地2018年高考数学密卷（4）理第Ⅰ卷（必做题，共160分）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1．设复数z 满足(2i)1i z -=+（i 为虚数单位），则复数z = ▲ ． 2．已知集合{}1,0A =-，{}0,2B =，则AB 共有 ▲ 个子集．3．根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S 为 ▲ ． 4．在某频率分布直方图中，从左往右有10个小矩形，若第一个 小矩形的面积等于其余9个小矩形的面积和的15，且第一组数据的频数为25，则样本容量为 ▲ ．5．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C的渐近线方程为x y ±=，且它的一个焦点为，则双曲线C 的方程为 ▲ ． 6．函数()f x =的定义域为 ▲ ．7．若函数sin()(0)y x ωϕω=+>的部分图象如图所示， 则ω的值为 ▲ ．8．现有5张分别标有数字1，2，3，4，5的卡片，它们的大小和颜色完全相同．从中随机抽取2张组成两位数，则该两位数为奇数的概率为 ▲ ．9．在三棱锥P ABC -中，D ，E 分别为PB ，PC 的中点，记三棱锥D ABE -的体积为1V ， 三棱锥P ABC -的体积为2V ，则12V V = ▲ ． 10．设点P 是ABC ∆所在平面上的一点，点D 是BC 的中点，且23BC BA BP +=，设PD AB ACλμ=+，则λμ+= ▲ ． 11．已知数列{}n a 中，11a =，24a =，310a =．若1{}n n a a +-是等比数列，则101i i a ==∑ ▲ ．12．已知a b ∈R ，，a b >，若22240a ab b ---=，则2a b -的最小值为 ▲ ． 13．在平面直角坐标系xOy 中，动圆222:(3)()C x y b r -+-=（其中229r b -<）截x轴所得的弦长恒为4．若过点O 作圆C 的一条切线，切点为P ，则点P 到直线2100x y +-=距离的最大值为 ▲ ．14．已知[)0,2θπ∈，若关于k()33sin cos k θθ-在(],2-∞-上恒成立，则θ的取值范围为 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．15．已知向量1(sin )x =，m ，1(3)x =，n ，函数()f x =⋅m n ．（1）求函数()f x 的最小正周期；（2）若//m n ，且(0,)2x π∈，求(4)f x 的值．16．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为梯形，//CD AB ，2AB CD =， AC 交BD 于O ，锐角PAD ∆所在平面PAD ⊥底面ABCD ，PA BD ⊥，点Q 在侧棱PC 上，且2PQ QC =． （1）求证：//PA 平面QBD ； （2）求证：BD AD ⊥．17．如图所示，圆O 是一块半径为1米的圆形钢板，为生产某部件需要，需从中截取一块多边形ABCDFGE ．其中AD 为圆O 的直径，B ,C ,G 在圆O 上，//BC AD ， E ,F 在AD 上，且 12OE OF BC ==,EG FG =． （1）设AOB θ∠=，试将多边形ABCDFGE 面积S 表示成θ的函数关系式； （2）多边形ABCDFGE 面积S 的最大值．OAB CDEF（第18题）18．在平面直角坐标系xOy 中，已知12F F ，分别为椭圆22221y x a b+=（0a b >>）的左、右 焦点，且椭圆经过点(20)A ，和点(13)e ，，其中e 为椭圆的离心率． （1）求椭圆的方程；（2）过点A 的直线l 交椭圆于另一点B ，点M 在直线l 上，且MA OM =．若21BF MF ⊥，求直线l 的斜率．19．已知函数2()(1)e x f x x ax =-+，其中a ∈R ，e 是自然对数的底数．（1）若0a =，求函数()y f x =的单调增区间； （2）若函数()f x 为R 上的单调增函数，求a 的值；（3）当0a >时，函数()y f x =有两个不同的零点12x x ，，求证：120x x +<．20．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，把满足条件*1()n n a S n +≤∈N 的所有数列{}n a 构成的集合记为M ．（1）若数列{}n a 通项公式为12n na =，求证：{}n a M ∈；（2）若数列{}n a 是等差数列，且{}n a n M +∈，求512a a -的取值范围；（3）设4nn nb a =*()n ∈N ，数列{}n a 的各项均为正数，且{}n a M ∈．问数列{}n b 中是否存在无穷多项依次成等差数列？若存在，给出一个数列{}n a 的通项；若不存在，说明理由．2018年高考模拟试卷（4）数学Ⅱ(附加题)21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定两题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．． A ．[选修41：几何证明选讲]（本小题满分10分）如图，AB 为⊙O 的直径，D 为⊙O 上一点，过D 作⊙O 的切线交AB 的延长线于点C ．若DA = DC ， 求证：AB = 2BC ．B ．[选修：矩阵与变换] （本小题满分10分）已知,a b R ∈，向量为21α-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦是矩阵21a A b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的属于特征值3-的一个特征向量． （1）求矩阵A 的另一个特征值； （2）求矩阵A 的逆矩阵1A -．C ．[选修：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为415315x t y t⎧=--⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t 为参数)．以原点O 为 极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为)4πρθ=-．求直线l 被曲线C 所截得的弦长． D ．[选修：不等式选讲] （本小题满分10分）已知实数x ，y ，z 满足x + y + z = 2，求22232z y x ++的最小值．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答卷纸指定区域内．．．．．．．．作答． 22．（本小题满分10分）某小组共10人，利用寒假参加义工活动，已知参加义工活动次数为1，2，3的人数分别 为3，3，4．现从这10人中选出2人作为该组代表参加座谈会．（1）记“选出2人参加义工活动的次数之和为4”为事件A ，求事件A 发生的概率； （2）设X 为选出2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X 的分布列和数学期望．23．（本小题满分10分）在各项均不相同的数列1a ，2a ，3a ，…，n a *(n N ∈）中，任取k (k N ∈,且)k n ≤项变动位 置，其余n k -项保持位置不动，得到不同的新数列，由此产生的不同新数列的个数记为()n P k ．（1）求4444(0)(1)(2)(3)P P P P +++的值； （2）求5(5)P 的值；（3）设1()nn n k A kP n k ==-∑，求证：10(1)()nn n k A n P n k +==+-∑．2018年高考模拟试卷（4）参考答案数学Ⅰ一、填空题：1．13+i 55【解析】1(1)(2)132(2)(2)5i i i i z i i i ++++===--+． 2．8【解析】由条件得{1,0,2}A B =-，所以A B 的子集有8个．3．10【解析】由题意可知133310S =+++=．4．150【解析】设第一个小矩形面积为x ，由61x =，得16x =，从而样本容量为256150⨯=．5．221x y -=【解析】设双曲线C 的方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>，因为双曲线C 的渐近线方程为x y ±=，所以a b =，又因为一个焦点为，所以c 1a b ==，所以双曲线C 的方程为221x y -=6．(,2]-∞-【解析】由已知得，1()402x -≥，所以2x ≤-7．4【解析】由图知函数的周期为()115224242πππ-⨯=，所以242ωπ==π．8．35【解析】从5张分别标有数字1，2，3，4，5的卡片中随机抽取2张组成两位数，共有20种情况，要使1,2,3,4,5中的两个数组成两位奇数，有12种情况，所以其概率为123205=． 9．14【解析】因为213C PAB PAB V V S h -∆==，121111323224E ABD DAB PAB h h V V S S V -∆∆==⋅=⨯⨯=， 所以1214V V =．10．23【解析】因为23BC BA BP +=，所以2()BC BP BP BA -=-，即2PC AP =，所以13AP AC =，所以11()33AD AP PD AC AB AC AB AC λμλμ=+=++=++，又点D 是BC 的中点，所以1122AD AB AC =+，所以111,232λμ=+=，所以23λμ+=． 11．3049 【解析】1132n n n a a -+-=⋅，所以121321()()()n n n a a a a a a a a -=+-+-++-1322n -=⋅-，所以1013049i i a ==∑．12．83【解析】因为a b ∈R ，，a b >，22240a ab b ---=，所以()(2)4a b a b -+=．令a b t -=，42a b +=，0t >， 则()()142233a t b t t t =+=-，，所以41482()333a b t t -=+⋅≥，当且仅当1t =时取等号．所以2a b -的最小值为83．13．222:(3)()C x y b r -+-=（其中229r b -<）截x 轴所得的弦长恒为4，所以224r b =+，设00(,)P x y ，由已知条件得，2222009b r x y +=++，所以22005x y +=，即点P 在圆225x y +=，所以点P 到直线2100x y +-=+14． 0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】()33()sin cos f k k θθ=--，题意即为()0f k ≥在(],2-∞-上恒成立，即min ()0f k ≥．由于[)0,2θπ∈，sin 0θ≥且cos 0θ≥，则0,2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦．当πθ=时，()00f k =≥恒成立，符合；当(,]42ππθ∈时，33sin cos 0θθ->，所以()f k 在(],2-∞-上单调递增，不符合；当[0,)4πθ=时，33sin cos 0θθ-<，所以()f k 在(],2-∞-上单调递减，此时()33min ()(2)2sin cos 0f k f θθ=-=---≥，即332sin 2cos θθ+令3()2f x x =（0x ≥），不等式即为(sin )(cos )f f θθ≤，由于121()602f x x x -'=+≥，所以()f x 在[)0,+∞上单调递增，而当[0,)4πθ=时，sin cos θθ<，所以(sin )(cos )f f θθ≤恒成立．综上所述，θ的取值范围是0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦．15．解：（1）1(sin )22x =，m ，1(3)22x =，n ，1()sin 222x xf x m n ∴=⋅=+ …… 2分ππsin cos cos sin 2323x x =+()πsin 23x =+， …… 4分所以函数()f x 的最小正周期为2π4π12T ==． …… 6分（2）1(sin )x =，m ，1(3)x =，n ，且//m n ，11sin 02222x x ∴-⨯=， …… 8分sin x ∴=，(0,)2x π∈，cos x ∴ …… 10分sin 22sin cos 2x x x ∴=⋅==， …… 12分225cos 212sin 126x x =-=-⨯=，115(4)sin 22226f x x x ∴=+== …… 14分16．证明：（1）如图，连接OQ ， 因为//AB CD ，2AB CD =，所2AO OC =， ………2分 又2PQ QC =，所以//PA OQ ， …………4分 又OQ ⊂平面QBD ， PA ⊄平面QBD ， 所以//PA 平面QBD . ……… 6分 （2）在平面PAD 内过P 作PH AD ⊥于H ， 因为侧面PAD ⊥底面ABCD ，平面PAD平面ABCD AD =，PH ⊂平面PAD ，所以PH ⊥平面ABCD ， …………………8分又BD ⊂平面ABCD ，所以PH BD ⊥， …………………10分 因为PAD ∆是锐角三角形，所以PA 与PH 不重合， 即PA 和PH 是平面PAD 内的两条相交直线，又PA BD ⊥，所以BD ⊥平面PAD ， …………………12分 又AD ⊂平面PAD ，所以BD AD ⊥． …………………14分 17．解：连接,,,EF BE OB OG ， 12OE OF BC ==，∴BC EF =，∴BE EO ⊥， EG FG =，∴OG EF ⊥， ………2分（1）在Rt BEO ∆中，1BO =，AOB θ∠=， ∴cos EO θ=，sin BE θ=，∴2cos BC EF θ==， ………4分∴EGF ABCD S S S ∆=+梯形11()22AD BC BE EF OG =+⋅+⋅11(22cos )sin 2cos 122θθθ=++⨯⨯sin cos sin cos θθθθ=++，(0,)2πθ∈． ………8分 （2）令sin cos t θθ=+，(0,2πθ∈，则21sin cos 2t θθ-=，且)4t πθ=+∈， ………10分222111(1)12222t t S t t t -∴=+=+-=+-，t ∈， ………12分当t 4πθ=时，max 12S =即多边形ABCDFGE 面积S的最大值为12 ………14分18．解：（1）因为椭圆经过点(20)A ，和点(13)e ，， 所以22222219144a c b b c a ⎧=⎪⎪+=⎨⎪⎪+=⎩，，， …… 2分解得21a b c ===，， 所以椭圆的方程为13422=+y x ． …… 6分（2）解法一：由（1）可得12(10)(10)F F -，，，， 设直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程为)2(-=x k y ．由方程组22(2)143y k x y x =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，， 消去y ，整理得0121616)34(2222=-+-+k x k x k ，解得2=x 或346822+-=k k x ，所以B 点坐标为22286124343k k k k ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭，． …… 8分 由MA OM =知，点M 在OA 的中垂线1=x 上，又M 在直线l 上，所以M 点坐标为),1(k -． …… 10分所以1(2)F M k =-，，()()222222286124912143434343k k k k F B k k k k ----=-=++++，，． 若21BF MF ⊥，则222122228181220180434343k k k F M F B k k k --⋅=+==+++． …… 14分 解得1092=k ，所以10103±=k ，即直线l 的斜率10103±． …… 16分解法二：由（1）可得12(10)(10)F F -，，，，设),(00y x B （20≠x ），则12432020=+y x ①， …… 8分直线)2(2:00--=x x y y l ， 由MA OM =知，点M 在OA 的中垂线1=x 上，又M 在直线l 上，所以M 点坐标为()0012yx --，． …… 10分所以()01022yF M x -=-，，200(1)F B x y =-，，若21BF MF ⊥，则220000120002(1)(2)2(1)022y x x y F M F B x x x ---⋅=--==--， 所以)2)(1(20020--=x x y ②， …… 12分由①②可得042411020=+-x x ，即0)2)(211(00=--x x ，所以1120=x 或20=x (舍)，111060±=y ．所以00l y k ==，即直线l 的斜率10103±． …… 16分 19．解：（1）当a =0时，()(1)e x f x x =-，()e x f x x '=，令()0f x '>，得0x >，所以()f x 的单调增区间为(0)+∞，． …… 3分 （2）()(e 2)x f x x a '=+，因为函数()f x 为R 上的单调增函数，所以()f x '≥0在R 上恒成立． …… 5分 当0x =时，()(e 2)0x f x x a '=+=，()f x '≥0显然成立；当0x >时，()(e 2)0x f x x a '=+≥恒成立，则e 20x a +≥恒成立，此时12a -≥；当0x <时，()(e 2)0x f x x a '=+≥恒成立，则e 20x a +≤恒成立，此时12a -≤．综上，1a =-． …… 8分（3）不妨设12x x <，当0a >时，()(e 2)x f x x a '=+， 函数()f x 在(0)-∞，上单调递减，在(0)+∞，上单调递增． 因为(0)10f =-<，所以1(0)x ∈-∞，，2(0)x ∈+∞，，2(0)x -∈-∞，，…… 10分 ()f x 在(0)-∞，上单调递减，所以要证120x x +<，即证12x x <-，即证12()()f x f x >-，又因为12()()f x f x =，所以即证22()()f x f x >-（*）．12分 记()()()(1)e (1)e x x g x f x f x x x -=--=-++，[0)x ∈+∞，， 2(e 1)()ex xx g x ⋅-'=，所以()0g x '≥在[0)+∞，上恒成立， 所以函数()g x 在[0)+∞，上为增函数， 又因为(0)0g =，20x >，所以2()(0)0g x g >=，即22()()0f x f x -->，（*）式得证．所以，命题成立． …… 16分20．解:（1）因为12n n a =，所以11()1121()12212n n n S -=⨯=--， …… 2分所以111131311()1()()1102222224n n n n n a S ++-=-+=-≤⨯-=-<，所以1n n a S +≤，即{}n a M ∈． …… 4分 （2）设{}n a 的公差为d ，因为{}n a n M +∈，所以1121(1)(1)(1)n n a n a a a ++≤+++++++（*）， 特别的当1n =时，2121a a ≤++，即1d ≤-， …… 6分 由（*）得11(1)(1)122n n n n a nd n na d -++++≤++， 整理得211131()10222d n a d n a ++----≥， 因为上述不等式对一切*n ∈N 恒成立，所以必有102d +≥，解得1d ≥-， 又1d ≤-，所以1d =-， …… 8分 于是11()110a n a --≥+，即1()()110a n -≥+， 所以110a +≥，即11a ≥-，所以5151111(2288)9a a a a a d a a --=+=+=-+≥-，因此512a a -的取值范围是[)9,-+∞． …… 10分 （3）由1n n a S +≤得1n n n S S S +-≤，所以12n n S S +≤，即12n nS S +≤， 所以1312112×2n n n nS S S S S S S S ++=⨯⨯≤，从而有11122n n n S S a +≤⨯⨯=， 又1n n a S +≤，所以2112n n n a S a ++≤≤⨯，即212)3(n n a a n -≤⨯≥， 又222112a S a -⨯=≤，12112a a -⨯<， 所以有2*12()n n a a n -≤⨯∈N ，所以144×2n nn a a ≥， …… 12分 假设数列{}n b （其中4nn nb a =）中存在无穷多项依次成等差数列，不妨设该等差数列的第n 项为dn b +(b 为常数)，则存在*m ∈N ，m n ≥，使得11444×22m m m n m a a dn b b a +≥=≥⨯=，即2112n da n ba ++≥， …… 14分设2*2()32n n f n n n +=∈≥N ,,，则222323(1)2(1)(1)()0222n n n n n n f n f n ++++--+-=-=<，即9(1)()(3)132f n f n f +<≤=<，于是当3n ≥时，222n n +>，从而有：当3n ≥时211da n ba n +>，即2110n da n ba --<，于是当3n ≥时，关于n 的不等式2110n da n ba --<有无穷多个解，显然不成立， 因此数列{}n b 中是不存在无穷多项依次成等差数列． …… 16分数学Ⅱ（附加题）21．A ．证明：连接OD因为DC 为切线且点D 为切点，所以BDC BAD ∠=∠ 因为OA=OD所以OAD ODA ∠=∠ 又因为AD=DC所以BCD OAD ∠=∠ 故OAD BDC ≅ 所以BC=OD=R从而AB=2BC ……………10分 B ．解：（1）由条件得，2223111a b --⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦， 226,213,a b -+=⎧∴⎨-+=-⎩，解得2,2.a b =-⎧⎨=⎩ ………2分 因为矩阵2221A -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦， 所以特征多项式为()2221f λλλ+-=-- ()2(2)146λλλλ=+--=+-， ………4分令()0f λ=，解得3,2λλ=-=．所以矩阵A 的另一个特征值为2． ………5分 （2）因为22det()(2)122621A -==-⨯-⨯=-， ………7分 所以11211666322116633A -⎡⎤⎡⎤-⎢⎥⎢⎥--==⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦． ………10分 C ．解：把曲线C的极坐标方程)4πρθ=-化为直角坐标方程为：22220x y x y +--=，即22(1)(1)2x y -+-=， ………2分∴曲线C 表示的是圆心(1,1)C………4分 直线l 的参数方程415315x t y t⎧=--⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t 为参数)化为普通方程 为3410x y +-=， ………6分 ∴圆心C 到直线l 的距离为65， ………8分 直线l 被曲线C所截得的弦长为= ………10分 （说明：也可以用直线参数方程的几何意义去完成） D ．证明：由柯西不等式可知22222221)1](23)z x y z +⋅≤++++所以2222()24231111123x y z x y z ++++≥=++ ，当且仅当1112,114,116===z y x 时取等号． ………10分 22．解：（1）由已知有1123432101()3C C C P A C +==，所以事件A 的发生的概率为13．…3分 （2）随机变量X 的所有可能的取值为0，1，2． ………4分2223342104(0)15C C C P X C ++===；111133342107(1)15C C C C P X C +===； 11342104(2)15C CP X C === ． ………6分所以随机变量X 的分布列为………8分数学期望()1E X =． ………10分23．解：（1）21444444(0)(1)(2)(3)00214P P P P C C +++=+++=． ………2分 （2）111543322(5)[(3)((2))]44P C P C P C =++=． ………4分（3）证明：()()k n n n k P n k C P n k --=-，11k k n n kC nC --=，∴11111()()(0)()(0)nn n k n n n n n n k n k k k A kP n k kP n k nP kC P n k nP ---====-=-+=-+∑∑∑11111111()(0)()(0)n n k k n n kn n n k n k k nCP n k nP n C P n k nP --------===-+=-+∑∑，1(0)(0)0n n P P +==∴1n A +=1111(1)(1)(1)(0)nk nn k n k n C P n k n P -+-+=++-++∑ 1(1)11(1)((1))(1)(0)n k n n k n k n C P n k n P ---+==+--++∑10(1)()(0)n knn k n k n C P n k nP --==+-+∑ 0(1)()n n k n P n k ==+-∑． ………10分。

（第3题）2018年高考模拟试卷（9）第Ⅰ卷（必做题，共160分）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1． 设集合A = {1，x }，B = {2，3，4}，若A ∩B ={4}，则x 的值为 ▲ ． 2． 若复数z 1＝2+i ，z 1·z2()2z ＝5，则z 2＝ ▲ ．3． 对一批产品的长度（单位：毫米）进行抽样检测，样本容量为200，右图为检测结果的频率分布直方图，根据产品标准，单件产品长度在区间[25，30）的为一等品，在区间[20，25）和[30，35）的为二等品，其余均为三等品，则样本中三等品的件数为 ▲ ．4． 执行如图所示的流程图，会输出一列数，则这列数中的第3个数为 ▲ ． 5． 为活跃气氛，某同学微信群进行了抢红包活动．某同学发了一个“长长久久”随机分配红包，总金额为9.9元，随机分配成5份，金额分别为2.53元，1.19元，3.21元， 0.73元，2.33元，则身处海外的两名同学抢得的金额之和不低于5元的概率为 ▲ ．6． 函数22log (32)y x x =--的值域为 ▲ ．7． 已知P -ABC 是正三棱锥，其外接球O 的表面积为16π，且∠APO ＝∠BPO ＝∠CPO＝30°，则三棱锥的体积为 ▲ ．8． 已知双曲线2214y x -=的左、右顶点为A 、B ，焦点在y 轴上的椭圆以A 、B 为顶点，且A 作斜率为k 的直线l 交双曲线于另一点M ，交椭圆于另一点N ，若AN NM =，则k 的值为 ▲ ．9． 已知函数f (x )＝cos x (sin x ＋cos x )12-，若()6f α=，则c o s (2)4πα-的值为 ▲ ．10．已知{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列，数列{}n b 满足11b a =，且12n b a a =++（第4题）1121n n n a a a a a --++++++（2,n n *∈N ≥），若(28)2018m m a b +-=，则m 的值为 ▲ ．11．定义在[]1,1-上的函数()sin (1)f x x ax b a =-+>的值恒非负，则a b -的最大值为 ▲ ． 12．在△ABC 中，若352115CA AB AB BC BC CA==⋅⋅⋅，则cos C 的值为 ▲ ．13．在平面直角坐标系xOy 中，圆O ：221x y +=，直线:l 30x ay +-=，过直线l 上一点Q 作圆O 的切线，切点为,P N ，且23QP QN ⋅=，则正实数a 的取值范围是 ▲ ． 14．已知偶函数()y f x =满足(2)(2)f x f x +=-，且在[]2,0x ∈-时，2()1f x x =-+，若存在12n x x x ，，，满足120n x x x <<<≤，且()()()()1223f x f x f x f x -+-+()()12017n n f x f x -+-=，则n x 最小值为 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分． 15．（本小题满分14分）已知函数()()()sin 0,0f x A x A ϕϕ=+><<π的最小值是－2，其图象经过 点(,1)3M π． （1）求()f x 的解析式；（2）已知,(0,)2αβπ∈，且8()5f α=，24()13f β=，求()f αβ-的值．16．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，90BAD ∠=︒，AD BC ∥，2AD BC =，AB PA ⊥． （1）求证：平面PAD ⊥平面ABCD ；（2）若E 为PD 的中点，求证：CE ∥平面PAB17．（本小题满分14分）有一块以点O 为圆心，半径为2百米的圆形草坪，草坪内距离O百米的D 点有一用于灌溉的水笼头，现准备过点D 修一条笔直小路交草坪圆周于A ，B 两点，为了方便居民散步，同时修建小路OA ，OB ，其中小路的宽度忽略不计． （1）若要使修建的小路的费用最省，试求小路的最短长度；（2）若要在△ABO 区域内(含边界)规划出一块圆形的场地用于老年人跳广场舞，试求这块圆形广场的最大面积．(结果保留根号和π)18．（本小题满分16分）如图，点128n n a a +=+，{}n b ，n S 分别为椭圆2214+25n n n b b S ++=的左、右顶点和右焦点，过点n *∈N 的直线{}n a （异于{}n b 轴）交椭圆C 于点{}n b ，n n n c a b =+．（1）若3AF =，点4r s t ，，与椭圆C 左准线的距离为5，求椭圆C 的方程； （2）已知直线()r s t <<的斜率是直线r s t ，，斜率的()()f m x f x +<倍． ① 求椭圆C 的离心率；② 若椭圆C 的焦距为()()f m x f x +<，求△AMN 面积的最大值．19．（本小题满分16分）已知函数2()ln f x x x ax =+．（1）若曲线()y f x =在1x =处的切线过点(22)A -，．① 求实数a 的值；② 设函数()()f x g x x =，当0s >时，试比较()g s 与1()g s的大小； （2）若函数()f x 有两个极值点1x ，2x （12x x <），求证：11()2f x >-．20．（本小题满分16分）设数列{}n a 的各项均为不等的正整数，其前n 项和为n S ，我们称满足条件“对任意的*m n ∈N ，，均有()()()n m n m n m S n m S S +-=+-”的数列{}n a 为“好”数列． （1）试分别判断数列{}n a ，{}n b 是否为“好”数列，其中21n a n =-，12n n b -=，*n ∈N ，并给出证明；（2）已知数列{}n c 为“好”数列．① 若20172018c =，求数列{}n c 的通项公式；② 若1c p =，且对任意给定正整数p s ，（1s >），有1s t c c c ，，成等比数列， 求证：2t s ≥．2018年高考模拟试卷（9）数学Ⅱ(附加题)21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定两题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．． A ．[选修4－1：几何证明选讲]（本小题满分10分）如图，AB 为⊙O 的直径，BD 是⊙O 的切线，连接AD 交⊙O 于E ，若BD∥CE， AB 交CE 于M ，求证：2AB AE AD =⋅B ．[选修4－2：矩阵与变换] （本小题满分10分）已知点A 在变换T :2x x x y y y y '+⎡⎤⎡⎤⎡⎤→=⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦⎣⎦作用后，再绕原点逆时针旋转90︒， 得到点B ．若点B 的坐标为(34)-，，求点A 的坐标．C ．[选修4－4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在极坐标系中，圆C 的方程为2cos (0)a a ρθ=≠，以极点为坐标原点，极轴为x 轴正半轴建立平面直角坐标系，设直线l 的参数方程为31,(43x t t y t =+⎧⎨=+⎩为参数），若直线l 与圆C 恒有公共点，求实数a 的取值范围．D ．[选修4－5：不等式选讲] （本小题满分10分）已知正数,,a b c 满足2362a b c ++=，求321a b c++的最小值．DA（第21-A ）【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答卷纸指定区域内．．．．．．．．作答． 22．已知直三棱柱111ABC A B C -中，ABC ∆为等边三角形，延长1BB 至M ，使11BB B M =，连接11,,A M AC CM ，若190MA C ︒∠=． （1）求直线1C M 与平面1CA M 所成角的正弦值；（2）求平面1CA M 与平面11AAC C 所成的锐二面角．23．（本小题满分10分）（1）求证：11()k k n k n k kC n k C ----=-；（2）求证：100820170(1)120172017n nnn C n-=-=-∑．2018年高考模拟试卷（9）参考答案数学Ⅰ一、填空题： 1．【答案】4【解析】因为A ∩B ={4}，所以4∈A ，故x ＝4． 2．【答案】2+i【解析由z 1·－z 2＝5，得－z 2＝52+i＝2－i ，所以z 1＝2+i ．MC 1B 1A 1CBA（第22题）3．【答案】50【解析】三等品总数[1(0,050.03750.0625)5]20050n =-++⨯⨯=． 4．【答案】30【解析】3A =，1N =，输出3；6A =，2N =，输出6；30A =，3N =，输出30；则这列数中的第3个数是30． 5．【答案】15【解析】两名同学抢红包的事件如下：（2.53，1.19）（2.53，3.21）（2.53，0.73）（2.53，2.33）（1.19，3.21）（1.19，0.73）（1.19，2.33）（3.21，0.73）（3.21，2.33）（0.73，2.33），共10种可能，其中金额不低于5元的事件有（2.53，3.21）（3.21，2.33），共2种可能，所以不低于5元的概率21105P ==． 6．【答案】(],2-∞【解析】因为(]2232(1)40,4x x x --=-++∈，所以(]22log (32),2x x --∈-∞，即值域为(],2-∞．7．【解析】设球的半径为R ，△ABC 的外接圆圆心为O ′，则由球的表面积为16π， 可知4πR 2＝16π，所以R ＝2.设△ABC 的边长为2a ，因为∠APO ＝∠BPO ＝∠CPO ＝30°，OB ＝OP ＝2， 所以BO ′＝32R ＝3，OO ′＝OB 2－BO ′2＝1， PO ′＝OO ′＋OP ＝3.在△ABC 中，O ′B ＝23×32×2a ＝3，所以a ＝32，所以三棱锥PABC 的体积为V ＝13×12×328．【答案】【解析】对于椭圆，显然1,c b a ==，所以椭圆方程为2214x y +=，设00(,)N x y ，则由AN NM =得00(21,2)M x y +．因为点M 在双曲线上，点N 在椭圆上，所以220014x y +=，2200(21)414x y +-=，解得，001,2x y ==l的斜率k =．9．【答案】13解析一：f (x )＝cos x (sin x ＋cos x )－12＝sin x cos x ＋cos 2x －12＝12sin 2x ＋1＋cos 2x 2－12＝12sin 2x ＋12cos 2x ＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，因为()f α=，所以1sin(2)43πα+=，所以1cos(2)cos (2)sin(2)42443ππππ⎡⎤-α=-α+=α+=⎢⎥⎣⎦。

2018年普通高等学校招生统一考试模拟题（新教材）数 学（理工农医类）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

第Ⅰ卷1至2页。

第Ⅱ卷3至10页。

共150分。

考试用时120分钟。

第Ⅰ卷（选择题共60分）注意事项：1.答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。

2.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上。

3.考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回。

符合题目要求的.(1)已知M {|sin }y y x cotx ==⋅，则M = (A ) [-1,1] (B ) ]1,1(　- (C ) (-1,1) (D )[-1,1)(2)两个非零向量e 1、e 2不共线，若(k e 1+e 2)∥(e 1+k e 2) ，则实数k 的值为 （A ）1 （B ）-1（C ） ±1 （D ） 0(3)有以下四个命题，其中真命题为(A )原点与点(2,3)在直线2x +y -3=0的同侧 (B )点(2,3)与点(3,1)在直线x-y =0的同侧 (C )原点与点(2,1)在直线2y-6x+1=0的异侧 (D )原点与点(2,1)在直线2y-6x+1=0的同侧 (4)①某高校为了解学生家庭经济收入情况，从来自城镇的150名学生和来自农村的150名学生中抽取100名学生的样本；②某车间主任从100件产品中抽取10件样本进行产品质量检验.Ⅰ.随机抽样法；Ⅱ.分层抽样法.上述两问题和两方法配对正确的是 (A )① Ⅰ,② Ⅱ (B )① Ⅱ,② Ⅰ (C ) ① Ⅰ,② Ⅰ (D ) ① Ⅱ,② Ⅱ (5) 如果a 、b ∈R ，则“ab =0”是“|a |+|b |=|a +b |”成立的 （A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既非充分又不必要条件(6)已知函数xx f )21()(=，其反函数为)(x g ，则)(2x g 是（A ）奇函数且在),0(+∞上单调递减 （B ）偶函数且在),0(+∞上单调递增 （C ）奇函数且在)0,(-∞上单调递减 （D ）偶函数且在)0,(-∞上单调递增(7)以下四个命题：①过一点有且仅有一个平面与已知直线垂直；②若平面外两点到平面的距离相等，则过这两点的直线必平行于该平面；③两条相交直线在同一平面内的射影必为相交直线；④两个互相垂直的平面，一个平面内的任一直线必垂直于另一平面的无数条直线.其中正确的命题是（A ）①和② （B ）②和③ （C ）③和④ （D ）①和④(8)函数y =x 2-1的图象上任意一点到点(0,-0.75)的距离等于到直线a y =的距离，则a 等于 (A ) －1.1825 (B ) －1.25 (C ) －1.125 (D ) －1(9)从单词“education ”中选取5个不同的字母排成一排，则含“at ”(“at ”相连且顺序不变)的概率是 （A ）118 （B ）1378 （C ）1432（D ）1756(10)已知正二十面体的各面都是正三角形，那么它的顶点数为 （A ）30 （B ）12 （C ）32 （D ）10(11)已知26)1()1(-+ax x 的展开式中，3x 系数为56，则实数a 的值 (A )6或5(B )－1或4 (C )6或－1(D ) 4或5(12)对某种产品市场产销调查情况如图所示，其中：l 1表示产 品各年年产量的变化规律；l 2表示产品各年的销售情况.你认为下列叙述较为合理的是（1）产品产量、销售量均以直线上升，仍可按原生产计划进行下去；（2）产品已经出现了供大于求的情况 ，价格将趋跌；（3）产品的库存积压将越来越严重，应压缩产量或扩大销售量；（4）产品的产、销情况均以一定的年 增长率递增.(A)（1）（2）（3） (B)（1）（3）（4）(C)（2）（4） (D)（2）（3）第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共小题，每题4分，共16分．把答案填在题中横线上． (13)将函数)(x f y =的图象向左平移43π个单位后，得到函数x y 2cos -=的图象，则函数)(x f ＝ .(14)将一张坐标纸折迭一次，使得点)2,0(与点)0,2(-重合，且点)2002,2001(与点),(n m 重合，则n m -的值是 .(15)A 、B 是半径为R 的球面上的两点，它们的球面距离是大圆周长的四分之一，经过A 、B 的平面中，与球心的最大距离是 .(16)测量大气温度T 时，发现在高空11千米以内，离地面距离越远，温度T 越低，大约每升高一千米降温6℃，在11千米以外的上空，其温度几乎不变，如果地面温度为19℃，则T （单位：℃）与h （千米）之间的函数关系是 ．三、解答题：本大题共6个小题共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (17)（本小题12分）如图四边形MNPQ 是⊙C 的内接梯形，向量CM 与PN 的夹角为1200，2QC QM =.①求⊙C 的方程；②求以N M 、为焦点，过点Q P 、的椭圆方程.(18)（本小题满分12分）锐角三角形ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，且)())((c b b c a c a -=-+.①求A ∠的大小；②)62sin(sin 22π++=B B y 取最大值时，求B ∠的大小；③比较c b +与a 2的大小．P QNCM(19)（本小题12分）如图所示，在正方形ABCD 的四边BC CD AD AB 、、、上分别取点E 、F 、G 、H ，使λ====HB CH GD CG FD AF EB AE ::::，对角线BD AC 、交于点O ，现把正方形沿BD 折起.① 求证：EH ∥平面ACD ；② 当λ为何值时，EFGH 是正方形？③ 当正方形ABCD 的边长为2，21=λ，且EFGH 是正方形时，求三棱锥BCD A -的体积.A EBCHGFDAEBCHGF D OO(20)(本题满分12分)设等比数列{}n a 的各项为实数，前n 项的和为S n ，公比为q .(1)若5S ，15S ，10S 成等差数列，求证：52S ，10S ，2010S S -成等比数列； (2)若52S ，10S ，2010S S -成等比数列，试问5S ，15S ，10S 一定成等差数列吗？请说明理由.(21) （本小题满分12分）医学上为研究传染病传播中病毒细胞的发展规律及其预防，将病毒细胞注入一只小白鼠体内进行实验，经检测，病毒细胞的增长数与天数的关系记录如下表.已知该种病毒细胞在小白鼠体内的个数超过118的时候小白鼠将死亡．但注射某种药物，将可杀死其体内该病毒细胞的98%．（1）为了使小白鼠在实验过程中不死亡，第一次最迟应在何时注射该种药物？（精确到天）（2）第二次最迟应在何时注射该种药物，才能维持小白鼠的生命？（精确到天）已知：lg2=0.3010．(22)（本题满分14分）设二次函数)00()(2≠>++=bc a c bx ax x f 且.①若1|)1(||)1(||)0(|=-==f f f ，试求)(x f 的解析式，并求)(x f 的最小值； ②若(1)f 是函数()f x 的极值，且)(x f 的图象在x 轴上截得的弦长不小于2，试分别确定b 、c 的符号.③问在②的条件下，是否存在实数a ，使得函数lg[()2]y f x x =-在区间(,3]-∞上是单调函数？若存在，请求出实数a 的值. 若不存在，请说明理由.2018年普通高等学校招生统一考试模拟题（新教材）数 学（理工农医类）答 案一、选择题：1~5 C C C B A 6~10 D D B A B 11~12 C D 二、填空题13 sin 2x 14 -1 152R 16 196 (011)-47 (11)h h T h -≤≤⎧=⎨>⎩ 三、解答题17 ①22+y =4x2218 ①=3A π②=3B π③由222222()22b c b c b c bc a ++≤≤+-=推得2b c a +≤ (也可根据三角知识解答) 19 ①略 ②λ=120 (1)由已知得，1q ≠，且55102S S S =+，即15510111(1)(1)(1)2111a q a q a q q q q---=+---， 整理，得105210q q --=，解得：512q =-， ∴1022222211110(1)19[]()[1()]()0112161a q a a S q q q-==--=>---520101115201021(1)(1)(1)2()2[]1119=()161a q a q a q S S S q q qa q----=⋅⋅-----∴21052010102()0S S S S S =-≠，且即52S ，10S ，2010S S -成等比数列.(2)不一定成立.例如：1q =时，显然52S ，10S ，2010S S -成等比数列，但5S ，15S ，10S 不成等差数列21 ①在第2 7天 ②在第一次注射后的第4天 22 ①2()1f x x x =+-，其最小值为54-或2()1f x x x =--，其最小值为54- ②b 、c 都取负号. ③不存在。