求一元二次方程的整数根的方法

第五讲一元二次方程的整数整数解从求根入手，求出根的有理表达式，利用整除求解；从判别式手，运用判别式求出参数或解的取值范围，或引入参数(设厶= k2)，通过穷举，逼近求解；从韦达定理入手，从根与系数的关系式中消去参数，得到关于两根的不定方程，借助因数分解、因式分解求解；从变更主元入人，当方程中参数次数较低时，可考虑以参数为主元求解.注：一元二次方程的整数根问题，既涉及方程的解法、判别式、韦达定理等与方程相关的知识，又与整除、奇数、偶数、质数、合数等整数知识密切相关.【例题求解】【例1】若关于x的方程(6_k)(9_k)x2 _(117_15k)x 54=0的解都是整数，则符合条件的整数是的值有__________ 个.注：系数含参数的方程问题，在没有指明是二次方程时，要注意有可能是一次方程，根据问题的题设条件，看是否要分类讨论.【例2】已知a、b为质数且是方程x2 -13x c =0的根，那么- -的值是()a b127 A. -22125B.22C.12322121D.——22【例3】试确定切有理数r ,使得关于x的方程rx2 (r 2)x r 0有根且只有整数根【例4】当m为整数时，关于x的方程(2m-1)x2 -(2m 1)x ^0是否有有理根？如果有，求出m的值；如果没有，请说明理由.注：一元二次方程ax2 bx 0 (a^ 0)而言，方程的根为整数必为有理数，而△=b2-4ac为完全平方数是方程的根为有理数的充要条件.【例5】若关于x的方程ax2 -2(a -3)x • (a -13) =0至少有一个整数根，求非负整数a的值. 思路点拨因根的表示式复杂，从韦达定理得出的a的两个关系式中消去a也较困难，又因a的次数低于x的次数，故可将原方程变形为关于a的一次方程.学历训练1已知关于X的方程(a_1)x2• 2x_a _1 =0的根都是整数，那么符合条件的整数a有_____ .2.已知方程x2 -1999x • m =0有两个质数解，则m = _____________ .3 .给出四个命题：①整系数方程ax2 bx ^0(a^ 0)中，若△为一个完全平方数，则方程必有有理根；②整系数方程ax2 bx ^0(a^0)中，若方程有有理数根，则△为完全平方数；③无理数系数方程ax2 bx・c =0(a z0)的根只能是无理数；④若a、b、c均为奇数，则方程ax2 bx 0没有有理数根，其中真命题是_____________________________________ .4. 已知关于x的一元二次方程x2(2a-1)x a2=0 (a为整数)的两个实数根是为、x?,则肿1 -肿2 = __________ .5. 设rn为整数，且4<m<40 ,方程x2-2(2m—3)x ■ 4m2-14m ・8=0有两个整数根，求m的值及方程的根.(山西省竞赛题)6. 已知方程ax2 -(3a2 -8a)x 2a2 -13a 1^0 (a丰0)至少有一个整数根，求a的值.7. 求使关于x的方程kx2 (k 1)x k-^0的根都是整数的k直&当n为正整数时，关于x的方程2x2 -8nx，10x-n2• 35n-76=0的两根均为质数，试解此方程.9.设关于x的二次方程(k2 -6k，8)x2 (k2 -6k-4)x，k2 =4的两根都是整数，试求满足条件的所有实数k的值.10•试求所有这样的正整数a，使得方程ax2 2(2a -1)x 4(a _3) =0至少有一个整数解.11 •已知p为质数，使二次方程x2 -2px p2 _5p-1 =0的两根都是整数，求出p的所有可能值.12 .已知方程x2，bx，c=0及x2cx 0分别各有两个整数根X i、X2及x；、X2，且X i x2>0, x1 x2>0.(1)求证：X1<0, X2<0, x；<0, X2< 0; (2)求证：b-1_c_b，1 ; (3)求b、c所有可能的值.13.如果直角三角形的两条直角边都是整数，且是方程mx2 -2x-m V=0的根(m为整数),这样的直角三角形是否存在？若存在，求出满足条件的所有三角形的三边长；若不存在，请说明理由.4 =】+参考答案 E]一元二次方程的整数解 【例题求解】 5 当A = G 时，褐工=触当4=9时，得J--3,当内工6且世H9时•辉得耳《» 吕，斗=諾亍当&一人=±]*±氛工9 时‘比足整数*这时i = 7,5t 3 +15.-3t 当9一*=士1・土2*士3, ±6时.去是整数"这时居■ 10*8,11,7,12*15*3.编上所 述丄=3飞，7,415时酿方程的解为整忆 B a + b=\3.则 口/为 2T inc-a&=22. 门】当r=0时，得a 三寺不見整数； 怡〉当『工0时*设方程的两根为釘•业〈药£比)•则小+立=一宁，4片=弓于 , 2J -|^7Z —（X ）JJ ）=烈〒)+千 =3,有(2乃一1〉(2忌一】)= 7 丫百凤 为整数•且寸冬工“解得或 r=l f故所求一切有理数$为一专或】.若心・”2伽为l)I +^=n J (n + 2?M —l>(n —2m+ 1) — 4'n+ (2m — 1)=2 f n+ (2wI, n — (2m —1) = 2 i n~ ( Zm~'7 n + (2rn — 1)与n — (2m — 1 )奇偶性相同"故只可能有此与榊为整数矛盾•故心不可惟为完全平方数，方程不可能有有理报.a == ,；+ ；；；尹】①*解得：一2云才疼B 且 —l f j=— 2,0.1,2,3»4T 5»€ 分别代入①*得a=l+13・《的分数值已舍去》 【学力训练】-l-~y z. 3994 3.①②④ 4. ±1 5. A=4(2m +I)为完全平方数.又m 为4<m<40的整数.则m=12或24.当讯=讣时"劝=lh 业=2餉当« = 24时*$ = L 5 当<1=1时+z=l*当口工1时，工1 = 1*壮 38. Xj ="52. 6-显然 a^0t JT\ —2— ,JT E = 1 ——,从而可得 q « a T.当* = 0时山="当AH1时.设两个整数帳为有 1,3 或 5” ①①—②，得 X1 — JTi j r ==2②化(JL -DC JJ —1) = 3=1X3= ( — 1)X(-3),解得曲+壮=6 或巧 + 壮= -2. 即一 1_* = 6或_ 1_+ = _氛解得A=-y 或&="故稠足要或的点值为o>-y*i. 8-设陶顶数根为站申，.则及+找=4“一5为奇數皿曲必一避一偶+不妨设TI =2,代人原方程得M r -19H^18=O,W 得眄 =16 •检=日■当n = 16时.x? = 57$当丹=3时*斗―5. jTTg •消去氏得盘】找+3刁+2 = 0.即.Tn (令+3) = — 2. fjj -21 + 3I E + 3 — 1lw- 4#；廟:!鼻1.解得一4£工翟2,讨论得d=l*3,e 」0.11・6=4, 一4(p'-5p-l〉= 4(5p+l)为完全平方数•从而5/>+1为完全平方散・令5p+l«/i\注意到p>2.故n>4.且n 为赧数•于是5p-<n*l)(n-l).则”+1“一1中至少有一个是5的倍数・刃” =5&土1"为轅数) A5#>+l«25^±10*+l,p=*(5*±2)・由P为质».5*±2>1知*=】"■ 3或7•当p = 3时•原方程变为x:-6x-7 = 0.得小=一1•比=7$当p=7时•原方程变为^-Ux+B-O,得xi-=bx t-13.所以“一3 或7・12・假设Jj>0. lf| xjx：>0 知x,>0.Xi +x：" —6= i•还与已知Xi jfz>O.x\x\>0 矛馬•故Xi <0#x：<0.ffl)理/V0*V0・(2)<~(6-1) = ^^：+^|4-^ + 1 = (^ + 1)(^ + 1)>0»故对于方程”+工+6一0 进行同样讨论■得综上有6-l<c<6+l.(3)①当 *・6+1 时才<・一4 一亠 + 1・从而(T)+ l)(j-r + 1)=2=( —1) K(—2) = 1 X2."+1・一1 fxi +1 = —2故 - 。

一元二次方程整数根问题的十二种思维策略班级__________ 姓名________________1•利用判别式例1.( 2000年黑龙江中考题) 当m是什么整数时，关于x的一元二次方程2 2 2mx 4x 4 0与x 4mx 4m 4m 5 0的根都是整数。

解：丁方程mx 4x 4 0有整数根，=16-16m>0,得 m K 1又T方程x 2 4 mx 4 m 2 4 m 5 0有整数根二V 16 m24(4 m24m 5) 0 得m545综上所述，—K n K 14/• x可取的整数值是-1 , 0, 1当m=-1时，方程为—x 2-4x+4=0没有整数解，舍去。

而 0 /• m=1例2. (1996年四川竞赛题)已知方程x2mx m 1 0有两个不相等的正整数根，求m的值。

解：设原方程的两个正整数根为x1，x2，则m=- (x1+x2)为负整数.2-V m 4m 4 一定是完全平方数设m2 4 m 4 k 2 ( k为正整数)二(m 2) 2k 28即: (m 2 k)(m 2 k) 8■/ m+2+k> m+2-k,且奇偶性相同m 2 k 4 或m2k 2 m 2 k 2 m 2 k 4 解得m=1> 0 (舍去)或 m=- 5。

2当m=—5时，原方程为x -5x+6=0，两根分别为x1 =2，x2=3。

2.利用求根公式例 3. ( 2000 年全国联赛)设关于 x 的二次方程根都是整数，那么符合条件的整数 a 有 ______________解:当a=1时,x=1当a z 1时，原方程左边因式分解，得(x-1)[(a-1)x+(a+1)]=0 即得X 1 1,X 21 21 a•/ X 是整数/. 1-a= ± 1, ± 2, /• a=-1,0,2,3 由上可知符合条件的整数有 5个.例6.(1994年福州竞赛题)当m 是什么整数时,关于x 的方程(k 2 6k 8)X 2 (2k 2 6k 4)X k 24的两根都是整数，求满足条件的所有实数k 的值。

一元二次方程的整数解问题是初中数学竞赛中的一个重要知识点，也是近几个全国初中数学竞赛考试的一个热点。

对于一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)的实根情况，可以用判别式Δ=b2-4ac来判别，但是对于一个含参数的一元二次方程来说，要判断它是否有整数根或有理根，那么就没有统一的方法了，只能具体问题具体分析求解。

实际上，经常要用到根的判别式、完全平方数的特征和数整除性的性质，以及这几种方法的结合来解题。

下面举几个常见的例子：例1，当 m是什么整数时，方程(m2-1)x2-6(3m-1)x＋72＝0有两个不相等的正整数根。

解法1：首先，m2-1≠0，m≠±1。

Δ=36(m-3)2＞0，所以m≠3。

用求根公式可得由于x1，x2是正整数，所以m-1=1，2，3，6；m+1=1，2，3，4，6，12，解得m=2。

这时x1=6，x2=4。

解法2 ：首先，m2-1≠0，m≠±1。

设两个不相等的正整数根为x1，x2，则由根与系数的关系知所以m2-1=2，3，4，6，8，9，12，18，24，36，72，即m2＝3，4，5，7，9，10，13，19，25，37，73，只有m2=4，9，25才有可能，即m=±2，±3，±5。

经检验，只有m=2时方程才有两个不同的正整数根。

归纳：解法1先把方程的根求出来，然后利用整数的性质以及整除性理论，就比较容易求解问题；解法2利用韦达定理，得到两个整数，再利用整数的整除性质求解。

例2，已知关于x的方程a2x2-(3a2-8a)x＋2a2-13a＋15=0 (其中a是非负整数)至少有一个整数根，求a的值。

分析：“至少有一个整数根”应分两种情况：一是两个都是整数根，另一种是一个是整数根，一个不是整数根。

我们也可以像上题一样，把它的两个根解出来。

解：因为a≠0，所以所以所以只要a是3或5的约数即可，即a=1，3，5。

例3，设m是不为零的整数，关于x的二次方程mx2-(m-1)x＋1＝0有有理根，求m的值。

含参数的一元二次方程整数解知识定位对于一元二次方程ax 2＋bx ＋c=0(a≠0)的实根情况，可以用判别式Δ=b 2-4ac 来判别，但是对于一个含参数的一元二次方程来说，要判断它是否有整数根或有理根，那么就没有统一的方法了，只能具体问题具体分析求解，当然，经常要用到一些整除性的性质。

知识梳理1、一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的实数根，是由它的系数a, b, c 的值确定的.根公式是：x=aac b b 242-±－. (b 2－4ac ≥0)2、根的判别式① 实系数方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)有实数根的充分必要条件是：b 2－4ac ≥0.② 有理系数方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)有有理数根的判定是：b 2－4ac 是完全平方式⇔方程有有理数根.③整系数方程x 2+px+q=0有两个整数根⇔p 2－4q 是整数的平方数. 3、设x 1, x 2 是ax 2+bx+c=0的两个实数根，那么③ ax 12+bx 1+c=0 (a ≠0，b 2－4ac ≥0)， ax 22+bx 2+c=0 (a ≠0， b 2－4ac ≥0)；④ x 1=a ac b b 242-＋－， x 2=aac b b 242-－－ (a ≠0, b 2－4ac ≥0)；⑤ 韦达定理：x 1+x 2= a b －, x 1x 2=ac(a ≠0, b 2－4ac ≥0). 4、方程整数根的其他条件整系数方程ax 2+bx+c=0 (a ≠0)有一个整数根x 1的必要条件是：x 1是c 的因数. 特殊的例子有： C=0⇔x 1=0 ，a+b+c=0⇔x 1=1 ，a －b+c=0⇔x 1=－1.例题精讲【试题来源】【题目】b 为何值时, 方程x 2 - bx - 2 = 0 和x 2 - 2x - b (b - 1) = 0有相同的整数根?并且求出它们相同的整数根.．【答案】1；2【解析】解：设相同的整数根为x 0, 由根的定义, 知x20- bx0 - 2 = 0, ①x20- 2x0-b(b - 1) = 0. ②① - ②并整理, 得(2 - b)[x0-(1 + b)]=0,②∴b = 2 或x0 = b + 1.当b = 2 时, 两方程均为x2-2x-2 = 0, 但无整数根;当x0 = b + 1 时, 代入①或②, 解之得b = 1, 于是公共根x0 =b + 1 = 2.【知识点】含参数的一元二次方程整数解【适用场合】当堂例题【难度系数】3【试题来源】【题目】设二次方程ax2+bx+c=0的两根为x1、x2，记S1=x1+1993x2，S2=x12+1993x22，…，Sn=x1n+1993x2n，则aS1993+bS1992+cS1991=【答案】0【解析】解：∵x1、x2是方程ax2+bx+c=0的两根，∴ax12+bx1+c=0， ax22+bx2+c=0。

求一元二次方程整数根方法举隅对于一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠ 0)的实数根问题，可以用根的判别式Δ=b 2-4ac 来判别，但对于它的有理根,整数根情况就没有统一的方法来判别，只能具体情况具体分析。

本文对这一问题作一探讨。

1 直接求解例1．m 是什么整数时方程（m 2-1）x 2-6(3m-1)x+72=0有两个不相等的正整数根？（1993年天津市初二数学竞赛决赛） 解：显然m ≠±1,原方程可分解为[（m-1）x-6][(m+1)x-12]=0x 1=16-m x 2=112+m ∵x 1 , x 2是正整数∴m-1=1或2或3或6m+1=1或2或3或4或6或12解得m=2或3.但m=3时x 1=x 2不合题意，舍去。

当m=2时x 1=6 ,x 2=4符合题意。

故m=2。

2.利用判别式Δ≥0例2 已知方程ax 2-(a-3)x+a-2=0至少有一个整数根，求整数a 的值解：如果a=0原方程化为3x-2=0无整数根，故a ≠0∵Δ=(a-3)2-4a(a-2)≥0∴3a 2-2a-9≤03)721(3)721(+≤≤-a 满足上式的整数a 的值有-1，1，2，检验：当a= -1时x=1或3(两个整数解) ；当a=2时x=0或0.5(一个整数解) ；当a=1时x 2+2x-1=0无整数解。

故a= -1或2例3 求满足方程y 4+2x 4+1=4x 2y 的所有整数对（x,y ）(1995江苏省初中数学竞赛)解：将原方程变形为2x 4-4yx 2+(y4+1)=0有△≥0即（-4y ）2-8(y 4+1)≥0即-8(y 2-1)2≥0 即（y 2-1）2≤0故y=1或-1当y= -1时原方程无解；当y=1时（x 2-1）2=0,x=1或-1∴满足原方程的所有整数对是（1，1） （-1，1）。

3．利用判别式Δ是完全平方式例4 设m 为整数且4<m<40,方程x 2-2(2m-3)x+4m 2-14m+8=0有两个整数根，求m 的值和方程的根（1993天津市初二数学竞赛决赛）解：易得△=4（2m+1）由△=4（2m+1）是完全平方数和4<m<40可得m=12或24并求得相应的根为26，16和52，38 例5． x 为何有理数时代数式9x 2+23x-2的值恰为两个连续正偶数的乘积？（1998山东省初中数学竞赛）解：设两个连续正偶数为k,k+2则9x 2+23x-2=k(k+2)即9x 2+23x-(k 2+2k+2)=0 ∵x 是有理数∴判别式Δ是完全平方数 即设232+4·9（k 2+2k+2）=565+[6(k+1)]2=p2 (p ≥0)p 2-[6(k+1)]2=565=113•5=565•1即[p+6(k+1)][p-6(k+1)]=113•5=565•1∴ p+6(k+1)=113p-6(k+1)=5或 p+6(k+1)=565p-6(k+1)=1分别解得k=8或k=46。

一元二次方程求根方法一元二次方程是初中数学中的重要内容，也是学生们常常遇到的问题之一。

在解一元二次方程时，我们可以运用不同的方法来求根，本文将介绍几种常见的求根方法，并通过具体例子进行说明。

首先，我们来讨论一元二次方程的标准形式：ax² + bx + c = 0。

其中，a、b、c 为已知实数，且a ≠ 0。

求解一元二次方程的根，可以运用以下几种方法。

一、因式分解法当一元二次方程可以因式分解时，我们可以利用因式分解法来求解。

例如，考虑方程x² - 5x + 6 = 0。

我们可以将方程进行因式分解，得到(x - 2)(x - 3) = 0。

由此可知，方程的两个根分别为x = 2和x = 3。

二、配方法当一元二次方程无法直接因式分解时，我们可以运用配方法来求解。

例如，考虑方程x² - 6x + 8 = 0。

我们可以通过配方法将方程转化为完全平方的形式，即(x - 3)² - 1 = 0。

进一步化简，得到(x - 3)² = 1。

通过开平方运算，我们可以得到方程的两个根分别为x = 2和x = 4。

三、求根公式求根公式是解一元二次方程的常用方法之一。

对于一元二次方程ax² + bx + c = 0，其根可以通过求根公式x = (-b ± √(b² - 4ac)) / (2a)来得到。

例如，考虑方程x² - 4x - 5 = 0。

我们可以根据求根公式计算出方程的两个根分别为x = 5和x = -1。

四、图像法图像法是一种直观且易于理解的求解一元二次方程的方法。

我们可以通过绘制一元二次方程的图像，来观察方程的根。

例如，考虑方程x² - 2x - 3 = 0。

我们可以绘制出该方程的图像，发现方程的两个根分别为x = 3和x = -1。

五、因子法当一元二次方程的系数为整数时，我们可以通过因子法来求解。

例如，考虑方程x² - 7x + 10 = 0。

一元二次方程的求根公式及根的判别式主讲：黄冈中学高级教师余国琴一、一周知识概述1、一元二次方程的求根公式将一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)进行配方，当b2－4ac≥0时的根为．该式称为一元二次方程的求根公式，用求根公式解一元二次方程的方法称为求根公式法，简称公式法．说明：(1)一元二次方程的公式的推导过程，就是用配方法解一般形式的一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)；(2)由求根公式可知，一元二次方程的根是由系数a、b、c的值决定的；(3)应用求根公式可解任何一个有解的一元二次方程，但应用时必须先将其化为一般形式.2、一元二次方程的根的判别式（1）当b2－4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；（2）当b2－4ac=0时，方程有两个相等的实数根；（3）当b2－4ac＜0时，方程没有实数根．二、重难点知识1、对于一元二次方程的各种解法是重点，难点是对各种方法的选择，突破这一难点的关键是在对四种方法都会使用的基础上，熟悉各种方法的优缺点。

(1) “开平方法”一般解形如“”类型的题目，如果用“公式法”就显得多余的了。

(2)“因式分解法”是一种常用的方法，一般是首先考虑的方法。

(3) “配方法”是一种非常重要的方法，一般不使用，但若能恰当地使用，往往能起到简化作用，思考于“因式分解法”之后，“公式法”之前。

如方程；用因式分解，则6391这个数太大，不易分解；用公式法，也太繁；若配方，则方程化为，就易解，若一次项系数中有偶因数，一般也应考虑运用。

(4)“公式法”是一般方法，只要明确了二次项系数、一次项系数及常数项，若方程有实根，就一定可以用求根公式求出根，但因为要代入(≥0)求值，所以对某些特殊方程，解法又显得复杂了。

2、在运用b2－4ac的符号判断方程的根的情况时，应注意以下三点：（1）b2－4ac是一元二次方程的判别式，即只有确认方程为一元二次方程时，才能确定a、b、c，求出b2－4ac；（2）在运用上述结论时，必须先将方程化为一般形式，以便确认a、b、c；（3）根的判别式是指b2－4ac，而不是三、典型例题讲解例1、解下列方程：(1)；(2)；(3).分析：用求根公式法解一元二次方程的关键是找出a、b、c的值，再代入公式计算，解：(1)因为a=1，，c=10所以所以(2)原方程可化为因为a=1，，c=2所以所以.(3)原方程可化为因为a=1，，c=－1所以所以；所以．总结：(1)用求根公式法解一元二次方程首先将方程化为一般形式；如果二次项系数为负数，通常将其化为正数；如果方程的系数含有分母，通常先将其化为整数，求出的根要化为最简形式；(2)用求根公式法解方程按步骤进行．例2、用适当方法解下列方程：①②③④⑤⑥⑦分析：要合理地选用适当的方法解一元二次方程，就必须熟悉各种方法的优缺点，处理好特殊方法和一般方法的关系。

利用韦达定理求一元二次方程的根一、关于韦达定理的性质1. 韦达定理：假设一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根分别为x 1、x 2，则有x 1＋x 2＝－b a ， x 1x 2＝c a. 2. 推导：（法一）根据一元二次方程的求根公式x ＝－b ±b 2－4ac 2a不妨假设 x 1＝－b ＋b 2－4ac 2a ， x 2＝－b －b 2－4ac 2a不难得出 x 1＋x 2＝－b a ， x 1x 2＝c a. （法二）若一元二次方程的两根分别为x 1、x 2，则方程可以写成以下形式 a (x －x 1)(x －x 2)＝0 (a ≠0) （双根式） 按照x 的次数降幂排列，得 ax 2－a (x 1＋x 2)x ＋ax 1x 2＝0对比一元二次方程的一般式ax 2＋bx ＋c ＝0，得b ＝－a (x 1＋x 2)，c ＝ax 1x 2，∴ x 1＋x 2＝－b a ， x 1x 2＝c a. 3. 推论：（一）当二次项系数为1时，即一元二次方程满足x 2＋px ＋q ＝0的形式假设方程的两根分别为x 1、x 2，则有x 1＋x 2＝－p ，x 1x 2＝q .（二）已知一元二次方程两根分别为x 1、x 2，则方程可以写成以下形式 x 2－(x 1＋x 2)x ＋x 1x 2＝0. 4. 实质：韦达定理告诉了我们一元二次方程的根与系数的关系.二、利用韦达定理求一元二次方程的根例如，求一元二次方程x 2―22x ―6＝0的根.很明显，根据我们所学习惯，首选方法是十字相乘法.（法一）因式分解，得(x－32)(x ＋2)＝0，解得，x1＝32，x2＝－ 2.当然，利用十字相乘法很难凑数时，我们就会选用求根公式法.（法二）a＝1，b＝－22，c＝－6，∴b2－4ac＝8＋24＝32，∴x＝－b±b2－4ac2a＝22±422＝2±22，于是有x1＝32，x2＝－ 2.结合以上两种方法，我们发现，十字相乘法计算速度快，但是凑数的过程十分灵活，若每一个系数都是整数，且满足x2－(x1＋x2)x＋x1x2＝0形式的方程可以很快算出来，但如果系数是分数、根式我们发现利用这种方法解方程是十分困难的，而且这种方法并不是对一切一元二次方程都适用. 而利用求根公式解一元二次方程时，虽然是一种万能的方法，但有时会给我们带来无比的计算量. 那有什么方法既可以减少计算量，使运算变得简单快捷，同时又可以用来解一切的一元二次方程呢？接下来，我们看以下解法.（法三）已知方程x2―22x―6＝0，根据韦达定理有x1＋x2＝22，x1x2＝―6.在方程有解的情况下，必然会存在某一个实数a（假定为正数），使得x1＝2＋a，x2＝2－a，（满足条件x1＋x2＝22）且(2＋a)(2－a)＝―6. （满足条件x1x2＝―6）于是有2－a2＝―6，则a2＝8，因此a＝22∴x1＝2＋22＝32，x2＝2－22＝－ 2.上述解法中a取正取负并不影响计算的最终结果，为了方便，习惯上可以假定a为正数. 观察以上解法，我们可以发现，这种解法并不像十字相乘法需要有凑数的灵感，也不像求根公式法会带来无比的计算量，反而还结合两者的优点，计算快捷且万能通用. 当然我们也可以看以下例子.例1：解方程x2―6x―25＝0，根据韦达定理有x1＋x2＝6，x1x2＝―25.在方程有解的情况下，必然会存在某一个实数a（假定为正数），使得x＝3＋a，x2＝3－a，（满足条件x1＋x2＝6）1且(3＋a)(3－a)＝―25. （满足条件x1x2＝―25）于是有9－a2＝―25，则a2＝34，因此a＝34∴x1＝3＋34，x2＝3－34.例2：解方程x2＋24x―63＝0，根据韦达定理有x1＋x2＝－24，x1x2＝―63.在方程有解的情况下，必然会存在某一个实数a（假定为正数），使得x＝－12＋a，x2＝－12－a，（满足条件x1＋x2＝－24）1且(－12＋a)(－12－a)＝―63. （满足条件x1x2＝―63）于是有144－a2＝―63，则a2＝207，因此a＝207∴x1＝－12＋207，x2＝－12－207.例3：解方程x2―14x＋48＝0，根据韦达定理有x1＋x2＝14，x1x2＝48.在方程有解的情况下，必然会存在某一个实数a（假定为正数），使得x＝7＋a，x2＝7－a，（满足条件x1＋x2＝14）1且(7＋a)(7－a)＝48. （满足条件x1x2＝48）于是有49－a 2＝48， 则a 2＝1， 因此a ＝1∴ x 1＝7＋1＝8， x 2＝7－1＝6.例4：解方程x 2＋18x ＋40＝0，根据韦达定理有x 1＋x 2＝－18，x 1x 2＝40.在方程有解的情况下，必然会存在某一个实数a （假定为正数），使得 x 1＝－9＋a ， x 2＝－9－a ， （满足条件x 1＋x 2＝－18）且 (－9＋a )(－9－a )＝40 （满足条件x 1x 2＝40）于是有81－a 2＝40， 则a 2＝41， 因此a ＝41∴ x 1＝－9＋41， x 2＝－9－41.通过以上4个例子，我们可以熟悉，若二次项系数为1时，利用韦达定理解一元二次方程的流程. 实际上当一元二次方程二次项系数不为1时，我们也可以离此流程解一元二次方程. 如例5：解方程2x 2＋9x ―5＝0，（法一）根据韦达定理有x 1＋x 2＝－92，x 1x 2＝―52. 在方程有解的情况下，必然会存在某一个实数a （假定为正数），使得x 1＝－94＋a ， x 2＝－94－a ， （满足条件x 1＋x 2＝－92） 且 (－94＋a )(－94－a )＝―52. （满足条件x 1x 2＝―52） 于是有 8116－a 2＝―52， 则a 2＝12116， 因此a ＝114∴ x 1＝－94＋114＝12， x 2＝－94－114＝－5. （法二）a ＝2，b ＝9，c ＝－5，∴ b 2－4ac ＝81＋40＝121，∴ x ＝－b ±b 2－4ac 2a ＝9±114，于是有x 1＝12， x 2＝－5. 当然，当二次项系数不为1时，运用韦达定理或求根公式解方程的计算量差不太多，因此当系数都是整数、分数时可根据实际情况讨论；若系数出现根式可考虑用韦达定理.。