一元二次方程根与系数的关系各种类型题及训练

一元二次方程根与系数旳关系习题一、单选题:1.有关x 旳方程0122=+-x ax 中，如果0<a ，那么根旳状况是（ B ）(A ）有两个相等旳实数根 （Ｂ）有两个不相等旳实数根（C ）没有实数根 （Ｄ)不能拟定a 4)2(2--=∆ 解： 04>-∴a 实数根。

原方程有两个不相等的∴a 44-= 044>-∴a0<a 0>∆即2.设21,x x 是方程03622=+-x x 旳两根，则2221x x +旳值是（ C )(Ａ）1５ （B)12 （C)6 （D ）３21x x ，方程两根为解： 2122122212)(x x x x x x -+=+∴ 2332121==+x x x x ， 623232=⨯-= 3.下列方程中，有两个相等旳实数根旳是( B ）（A ） 2y 2+5=6y(B)x ２＋５=2错误!ｘ(Ｃ）错误!x 2-错误!x+2=０（D)3ｘ2-2错误!x+1=0 )0(”的方程即可本题为找出“=∆4.以方程x 2＋2ｘ－３=0旳两个根旳和与积为两根旳一元二次方程是( B )（A ） y ２+5y －6=0 (B ）ｙ2+５y ＋６=０ （Ｃ）ｙ2－５y ＋６=０ (D)y 2－５y-6=0，则：，解：设方程两根为21x x 0)3)(2()]3()2[(2=--+-+--y y322121-=-=+x x x x ， 0652=++y y 即：：为根的一元二次方程为和以32--∴５．如果21x x ，是两个不相等实数,且满足12121=-x x ,12222=-x x ,那么21x x •等于( D )(A)２ （B ）－2 （C ） 1 （D)－1 1212222121=-=-x x x x ，解： 的两根12221=-∴x x x x 可看作是方程， 121-=∴x x二、填空题:１、如果一元二次方程0422=++k x x 有两个相等旳实数根,那么k ＝2±。

中考数学专项练习一元二次方程系数与根的关系（含解析）一、单选题1.若、是一元二次方程的两根，则的值是（）A.-2B.2C.3D.12.一元二次方程x2+3x﹣a=0的一个根为﹣1，则另一个根为（）A.﹣2B.2C.4D.﹣33.已知方程x2-5x+2=0的两个解分别为m，n，则m+n-mn的值是（）A.-7B.-3C.7D.34.若关于x一元二次方程x2﹣x﹣m+2=0的两根x1 ，x2满足（x1﹣1）（x2﹣1）=﹣1，则m的值为（）A.3B.-3C.2D.-25.下列方程中：①x2-2x-1=0，②2x2-7x+2=0，③x2-x+1=0两根互为倒数有（）A.0个B.1个C.2个D.3个6.设x1 ，x2是一元二次方程-2x-3=0的两根，则=（）A.6B.8C.1D.127.一元二次方程x2＋x－2＝0的两根之积是()A.－1B.－2C.1D.28.方程x2+2x-4=0的两根为x1 ，x2 ，则x1+x2的值为（）A.2B.－2C.D.－9.若矩形的长和宽是方程x2﹣7x+12=0的两根，则矩形的对角线之和为（）A.5B.7C.8D.1010.假如a，b是一元二次方程x2﹣2x﹣4=0的两个根，那么a3b﹣2a2b 的值为（）A.-8B.8C.-16D.1611.假如是一元二次方程的两个实数根，那么的值是（）A.B.C.D.二、填空题12.设x1、x2是方程x2-4x+3=0的两根，则x1+x2=________.13.定义新运算“*”，规则：a*b= ，如1*2=2，* ．若x2+x﹣1=0的两根为x1 ，x2 ，则x1*x2=________．14.若x1、x2是方程2x2﹣3x﹣4=0的两个根，则x1•x2+x1+x2的值为________．15.若a、b是一元二次方程x2+2x﹣1=0的两个根，则的值是_____ ___．16.写出一个以2和3为两根且二项系数为1的一元二次方程，你写的是________．17.若方程x2﹣3x+1=0的两根分别为x1和x2 ，则代数式x1+x2﹣x 1x2=________．18.若一个一元二次方程的两个根分别是1、3，请写出一个符合题意的一元二次方程________．三、运算题19.已知关于的一元二次方程的两个整数根恰好比方程的两个根都大1，求的值.20.已知一元二次方程x2﹣6x+4=0的两根分别是a，b，求（1）a2+b2（2）a2﹣b2的值．四、解答题21.已知关于x的方程x2+x+a﹣1=0有一个根是1，求a的值及方程的另一个根．22.阅读材料：设一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根为x1 ，x2 ，则两根与方程系数之间有如下关系：x1+x2=﹣，x1•x2=．请依照该材料解题：已知x1 ，x2是方程x2+6x+3=0的两实数根，求+和x12x2+x1x22的值．答案解析部分一、单选题1.【答案】C【考点】根与系数的关系【解析】【分析】∵一元二次方程的两根分别是、，∴==3．故选C．2.【答案】A【考点】根与系数的关系【解析】【解答】解：设x1、x2是关于x的一元二次方程x2+3x﹣a=0的两个根，则x1+x2=﹣3，又﹣x2=﹣1，解得：x1=﹣2．即方程的另一个根是﹣2．故选：A．【分析】依照一元二次方程根与系数的关系x1+x2=﹣求另一个根即可．3.【答案】D【考点】根与系数的关系【解析】【分析】利用根与系数的关系求出m+n与mn的值，代入所求式子中运算即可求出值．【解答】∵x2-5x+2=0的两个解分别为m，n，∴m+n=5，mn=2，则m+n-mn=5-2=3．故选D【点评】此题考查了根与系数的关系，熟练把握根与系数的关系是解本题的关键．4.【答案】A【考点】根与系数的关系【解析】【解答】解：依照题意得x1+x2=1，x1x2=﹣m+2，∵（x1﹣1）（x2﹣1）=﹣1，∴x1x2﹣（x1+x2）+1=﹣1，∴﹣m+2﹣1+1=﹣1，∴m=3．故选A．【分析】依照根与系数的关系得到x1+x2=1，x1x2=﹣m+2，再变形等式（x 1﹣1）（x2﹣1）=﹣1得到x1x2﹣（x1+x2）+1=﹣1，则有﹣m+2﹣1+1=﹣1，然后解此一元一次方程即可．5.【答案】B【考点】一元二次方程的根与系数的关系【解析】【解答】两根互为倒数则说明两根之积为1且△≥0，即，则a=c，∴只有②是正确的，③没有实数根．故答案为：B【分析】由两根互为倒数则说明两根之积为1且△≥0，可得出答案。

一元二次方程根与系数的关系习题精选（含答案）一．选择题（共22小题）1．（2014•宜宾）若关于x的一元二次方程的两个根为x1=1，x2=2，则这个方程是（ ）　A ．x2+3x﹣2=0B．x2﹣3x+2=0C．x2﹣2x+3=0D．x2+3x+2=02．（2014•昆明）已知x1，x2是一元二次方程x2﹣4x+1=0的两个实数根，则x1•x2等于（ ）　A ．﹣4B．﹣1C．1D．43．（2014•玉林）x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣mx+m﹣2=0的两个实数根，是否存在实数m使+=0成立？则正确的结论是（ ）　A ．m=0时成立B．m=2时成立C．m=0或2时成立D．不存在4．（2014•南昌）若α，β是方程x2﹣2x﹣3=0的两个实数根，则α2+β2的值为（ ）　A ．10B．9C．7D．55．（2014•贵港）若关于x的一元二次方程x2+bx+c=0的两个实数根分别为x1=﹣2，x2=4，则b+c的值是（ ）　A ．﹣10B．10C．﹣6D．﹣16．（2014•烟台）关于x的方程x2﹣ax+2a=0的两根的平方和是5，则a的值是（ ）　A ．﹣1或5B．1C．5D．﹣17．（2014•攀枝花）若方程x2+x﹣1=0的两实根为α、β，那么下列说法不正确的是（ ）　A ．α+β=﹣1B．αβ=﹣1C．α2+β2=3D．+=﹣18．（2014•威海）方程x2﹣（m+6）x+m2=0有两个相等的实数根，且满足x1+x2=x1x2，则m的值是（ ）　A ．﹣2或3B．3C．﹣2D．﹣3或2i mA ．2B ．1C ．﹣1D ．0　10．（2014•黄冈样卷）设a ，b 是方程x 2+x ﹣2015=0的两个实数根，则a 2+2a+b 的值为（ ）　A ．2012B ．2013C ．2014D ．2015　11．（2014•江西模拟）一元二次方程x 2﹣2x ﹣3=0与3x 2﹣11x+6=0的所有根的乘积等于（ ）　A．﹣6B ．6C ．3D．﹣3　12．（2014•峨眉山市二模）已知x 1、x 2是方程x 2﹣（k ﹣2）x+k 2+3k+5=0的两个实数根，则的最大值是（ ）　A ．19B ．18C ．15D ．13　13．（2014•陵县模拟）已知：x 1、x 2是一元二次方程x 2+2ax+b=0的两根，且x 1+x 2=3，x 1x 2=1，则a 、b 的值分别是（ ）　A ．a=﹣3，b=1B ．a=3，b=1C ．a=﹣，b=﹣1D ．a=﹣，b=1　14．（2013•湖北）已知α，β是一元二次方程x 2﹣5x ﹣2=0的两个实数根，则α2+αβ+β2的值为（ ）　A．﹣1B ．9C ．23D ．27　15．（2013•桂林）已知关于x 的一元二次方程x 2+2x+a ﹣1=0有两根为x 1和x 2，且x 12﹣x 1x 2=0，则a 的值是（ ）A ．a=1B ．a=1或a=﹣2C ．a=2D ．a=1或a=216．（2013•天河区二模）已知一元二次方程x 2﹣4x+3=0两根为x 1、x 2，则x 1+x 2=（ ）A ．4B ．3C ．﹣4D．﹣3　17．（2013•青神县一模）已知m 和n 是方程2x 2﹣5x ﹣3=0的两根，则的值等于（ ）A ．B ．C ．D ．　18．（2012•莱芜）已知m 、n 是方程x 2+2x+1=0的两根，则代数式的值为（ ）A 9B ．±3C ．3D 5ei n re 19．（2012•天门）如果关于x 的一元二次方程x 2+4x+a=0的两个不相等实数根x 1，x 2满足x 1x 2﹣2x 1﹣2x 2﹣5=0，那么a 的值为（ ）　A ．3B ．﹣3C ．13D．﹣13　20．（2011•锦江区模拟）若方程x 2﹣3x ﹣2=0的两实根为x 1、x 2，则（x 1+2）（x 2+2）的值为（ ）　A．﹣4B ．6C ．8D ．12　21．（2011•鄂州模拟）已知p 2﹣p ﹣1=0，1﹣q ﹣q 2=0，且pq ≠1，则的值为（ ）A ．1B ．2C ．D ．22．（2010•滨湖区一模）若△ABC 的一边a 为4，另两边b 、c 分别满足b 2﹣5b+6=0，c 2﹣5c+6=0，则△ABC 的周长为（ ）　A ．9B ．10C ．9或10D ．8或9或10二．填空题（共4小题）23．（2014•莱芜）若关于x 的方程x 2+（k ﹣2）x+k 2=0的两根互为倒数，则k=　_________　．24．（2014•呼和浩特）已知m ，n 是方程x 2+2x ﹣5=0的两个实数根，则m 2﹣mn+3m+n=　_________　．25．（2014•广州）若关于x 的方程x 2+2mx+m 2+3m ﹣2=0有两个实数根x 1、x 2，则x 1（x 2+x 1）+x 22的最小值为　_________　．　26．（2014•桂林）已知关于x 的一元二次方程x 2+（2k+1）x+k 2﹣2=0的两根为x 1和x 2，且（x 1﹣2）（x 1﹣x 2）=0，则k 的值是　_________　．　三．解答题（共4小题）27．（2014•泸州）已知x 1，x 2是关于x 的一元二次方程x 2﹣2（m+1）x+m 2+5=0的两实数根．（1）若（x 1﹣1）（x 2﹣1）=28，求m 的值；（2）已知等腰△ABC 的一边长为7，若x 1，x 2恰好是△ABC 另外两边的边长，求这个三角形的周长．　28．（2014•日照二模）已知x 1，x 2是关于x 的一元二次方程x 2+（3a ﹣1）x+2a 2﹣1=0的两个实数根，其满足29．（2013•孝感）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+2k=0有两个实数根x1，x2．（1）求实数k的取值范围；（2）是否存在实数k使得x1•x2﹣x12﹣x22≥0成立？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由．　30．（2001•苏州）已知关于x 的一元二次方程，（1）求证：不论k取何值，方程总有两个不相等的实数根；（2）设x1、x2是方程的两个根，且x12﹣2kx1+2x1x2=5，求k的值．一元二次方程根与系数的关系习题精选（含答案）参考答案与试题解析一．选择题（共22小题）1．（2014•宜宾）若关于x 的一元二次方程的两个根为x 1=1，x 2=2，则这个方程是（ ）　A ．x 2+3x ﹣2=0B ．x 2﹣3x+2=0C ．x 2﹣2x+3=0D ．x 2+3x+2=0考点：根与系数的关系．分析：解决此题可用验算法，因为两实数根的和是1+2=3，两实数根的积是1×2=2．解题时检验两根之和是否为3及两根之积是否为2即可．解答：解：两个根为x 1=1，x 2=2则两根的和是3，积是2．A 、两根之和等于﹣3，两根之积等于﹣2，所以此选项不正确；B 、两根之和等于3，两根之积等于2，所以此选项正确；C 、两根之和等于2，两根之积等于3，所以此选项不正确；D 、两根之和等于﹣3，两根之积等于2，所以此选项不正确，故选：B ．点评：验算时要注意方程中各项系数的正负．　2．（2014•昆明）已知x 1，x 2是一元二次方程x 2﹣4x+1=0的两个实数根，则x 1•x 2等于（ ）　A．﹣4B ．﹣1C ．1D ．4考点：根与系数的关系．专题：计算题．分析：直接根据根与系数的关系求解．解答：解：根据韦达定理得x 1•x 2=1．故选：C ．点评：本题考查了一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的根与系数的关系：若方程两个为x 1，x 2，则x 1+x 2=﹣，x 1•x 2=．3．（2014•玉林）x 1，x 2是关于x 的一元二次方程x 2﹣mx+m ﹣2=0的两个实数根，是否存在实数m 使+=0成立？则正确的结论是（ ）　A ．m=0时成立B ．m=2时成立C ．m=0或2时成立D ．不存在分析：先由一元二次方程根与系数的关系得出，x 1+x 2=m ，x 1x 2=m ﹣2．假设存在实数m 使+=0成立，则=0，求出m=0，再用判别式进行检验即可．解答：解：∵x 1，x 2是关于x 的一元二次方程x 2﹣mx+m ﹣2=0的两个实数根，∴x 1+x 2=m ，x 1x 2=m ﹣2．假设存在实数m 使+=0成立，则=0，∴=0，∴m=0．当m=0时，方程x 2﹣mx+m ﹣2=0即为x 2﹣2=0，此时△=8＞0，∴m=0符合题意．故选：A ．点评：本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系：如果x 1，x 2是方程x 2+px+q=0的两根时，那么x 1+x 2=﹣p ，x 1x 2=q ．4．（2014•南昌）若α，β是方程x 2﹣2x ﹣3=0的两个实数根，则α2+β2的值为（ ）　A ．10B ．9C ．7D ．5考点：根与系数的关系．分析：根据根与系数的关系求得α+β=2，αβ=﹣3，则将所求的代数式变形为（α+β）2﹣2αβ，将其整体代入即可求值．解答：解：∵α，β是方程x 2﹣2x ﹣3=0的两个实数根，∴α+β=2，αβ=﹣3，∴α2+β2=（α+β）2﹣2αβ=22﹣2×（﹣3）=10．故选：A ．点评：此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．5．（2014•贵港）若关于x 的一元二次方程x 2+bx+c=0的两个实数根分别为x 1=﹣2，x 2=4，则b+c 的值是（ ）　A．﹣10B ．10C ．﹣6D．﹣1分析：根据根与系数的关系得到﹣2+4=﹣b，﹣2×4=c，然后可分别计算出b、c的值，进一步求得答案即可．解答：解：∵关于x的一元二次方程x2+bx+c=0的两个实数根分别为x1=﹣2，x2=4，∴根据根与系数的关系，可得﹣2+4=﹣b，﹣2×4=c，解得b=﹣2，c=﹣8∴b+c=﹣10．故选：A．点评：此题考查根与系数的关系，解答此题的关键是熟知一元二次方程根与系数的关系：x1+x2=﹣，x1x2=．　6．（2014•烟台）关于x的方程x2﹣ax+2a=0的两根的平方和是5，则a的值是（ ）　A ．﹣1或5B．1C．5D．﹣1考点：根与系数的关系；根的判别式．专题：计算题．分析：设方程的两根为x1，x2，根据根与系数的关系得到x1+x2=a，x1•x2=2a，由于x12+x22=5，变形得到（x1+x2）2﹣2x1•x2=5，则a2﹣4a﹣5=0，然后解方程，满足△≥0的a的值为所求．解答：解：设方程的两根为x1，x2，则x1+x2=a，x1•x2=2a，∵x12+x22=5，∴（x1+x2）2﹣2x1•x2=5，∴a2﹣4a﹣5=0，∴a1=5，a2=﹣1，∵△=a2﹣8a≥0，∴a=﹣1．故选：D．点评：本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程的两根为x1，x2，则x1+x2=﹣，x1•x2=．也考查了一元二次方程的根的判别式．7．（2014•攀枝花）若方程x2+x﹣1=0的两实根为α、β，那么下列说法不正确的是（ ）　A ．α+β=﹣1B．αβ=﹣1C．α2+β2=3D．+=﹣1考点：根与系数的关系．分析：先根据根与系数的关系得到α+β=﹣1，αβ=﹣1，再利用完全平方公式变形α2+β2得到（α+β）2﹣2αβ，利用通分变形+得到，然后利用整体代入的方法分别计算两个代数式的值，这样可对各选项进行判断．解答：解：根据题意得α+β=﹣1，αβ=﹣1．所以α2+β2=（α+β）2﹣2αβ=（﹣1）2﹣2×（﹣1）=3；+===1．故选：D ．点评：本题考查了一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的根与系数的关系：若方程两个为x 1，x 2，则x 1+x 2=﹣，x 1•x 2=．8．（2014•威海）方程x 2﹣（m+6）x+m 2=0有两个相等的实数根，且满足x 1+x 2=x 1x 2，则m 的值是（ ）　A．﹣2或3B ．3C ．﹣2D．﹣3或2考点：根与系数的关系；根的判别式．专题：判别式法．分析：根据根与系数的关系有：x 1+x 2=m+6，x 1x 2=m 2，再根据x 1+x 2=x 1x 2得到m 的方程，解方程即可，进一步由方程x 2﹣（m+6）+m 2=0有两个相等的实数根得出b 2﹣4ac=0，求得m 的值，由相同的解解决问题．解答：解：∵x 1+x 2=m+6，x 1x 2=m 2，x 1+x 2=x 1x 2，∴m+6=m 2，解得m=3或m=﹣2，∵方程x 2﹣（m+6）x+m 2=0有两个相等的实数根，∴△=b 2﹣4ac=（m+6）2﹣4m 2=﹣3m 2+12m+36=0解得m=6或m=﹣2∴m=﹣2．故选：C ．点评：本题考查了一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0，a ，b ，c 为常数）根的判别式△=b 2﹣4ac ．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．同时考查了一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的根与系数的关系：若方程的两根为x 1，x 2，则x 1+x 2=﹣，x 1•x 2=．9．（2014•长沙模拟）若关于x 的一元二次方程x 2+（k+3）x+2=0的一个根是﹣2，则另一个根是（ ）A 2B ．1C ．D 0考点：根与系数的关系．分析：根据一元二次方程的根与系数的关系x1•x2=来求方程的另一个根．解答：解：设x1、x2是关于x的一元二次方程x2+（k+3）x+2=0的两个根，由韦达定理，得x1•x2=2，即﹣2x2=2，解得，x2=﹣1．即方程的另一个根是﹣1．故选C．点评：此题主要考查了根与系数的关系．在利用根与系数的关系x1+x2=﹣、x1•x2=时，要注意等式中的a、b、c所表示的含义．10．（2014•黄冈样卷）设a，b是方程x2+x﹣2015=0的两个实数根，则a2+2a+b的值为（ ）　A ．2012B．2013C．2014D．2015考点：根与系数的关系；一元二次方程的解．专题：计算题．分析：先根据一元二次方程的解的定义得到a2+a﹣2015=0，即a2+a=2015，则a2+2a+b变形为a+b+2015，再根据根与系数的关系得到a+b=﹣1，然后利用整体代入的方法计算．解答：解：∵a是方程x2+x﹣2015=0的根，∴a2+a﹣2015=0，即a2+a=2015，∴a2+2a+b=a+b+2015，∵a，b是方程x2+x﹣2015=0的两个实数根∴a+b=﹣1，∴a2+2a+b=a+b+2015=﹣1+2015=2014．故选C．点评：本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=，x1x2=．也考查了一元二次方程的解．11．（2014•江西模拟）一元二次方程x2﹣2x﹣3=0与3x2﹣11x+6=0的所有根的乘积等于（ ）　A ．﹣6B．6C．3D．﹣3e t 分析：由一元二次方程x 2﹣2x ﹣3=0和3x 2﹣11x+6=0先用判别式判断方程是否有解，再根据根与系数的关系，即可直接得出答案．解答：解：由一元二次方程x 2﹣2x ﹣3=0，∵△=4+16=20＞0，∴x 1x 2=﹣3，由一元二次方程3x 2﹣11x+6=0，∵△=121﹣4×3×6=49＞0，∴x 1x 2=2∴﹣3×2=﹣6故选A ．点评：本题考查了一元二次方程根与系数的关系．解此类题目要把代数式变形为两根之积的形式．　12．（2014•峨眉山市二模）已知x 1、x 2是方程x 2﹣（k ﹣2）x+k 2+3k+5=0的两个实数根，则的最大值是（ ）　A ．19B ．18C ．15D ．13考点：根与系数的关系；二次函数的最值．分析：根据x 1、x 2是方程x 2﹣（k ﹣2）x+（k 2+3k+5）=0的两个实根，由△≥0即可求出k 的取值范围，然后根据根与系数的关系求解即可．解答：解：由方程有实根，得△≥0，即（k ﹣2）2﹣4（k 2+3k+5）≥0所以 3k 2+16k+16≤0，所以 （3k+4）（k+4）≤0解得﹣4≤k ≤﹣．又由x 1+x 2=k ﹣2，x 1•x 2=k 2+3k+5，得x 12+x 22=（x 1+x 2）2﹣2x 1x 2=（k ﹣2）2﹣2（k 2+3k+5）=﹣k 2﹣10k ﹣6=19﹣（k+5）2，当k=﹣4时，x 12+x 22取最大值18．故选：B ．点评：本题考查了根与系数的关系，属于基础题，关键是根据△≥0先求出k 的取值范围再根据根与系数的关系进行求解．13．（2014•陵县模拟）已知：x 1、x 2是一元二次方程x 2+2ax+b=0的两根，且x 1+x 2=3，x 1x 2=1，则a 、b 的值分别是（ ）　A ．a=﹣3，b=1B ．a=3，b=1C ．a=﹣，b=﹣1D ．a=﹣，b=1考点：根与系数的关系．分析：根据根与系数的关系得到得x1+x2=﹣2a，x1x2=b，即﹣2a=3，b=1，然后解一次方程即可．解答：解：根据题意得x1+x2=﹣2a，x1x2=b，所以﹣2a=3，b=1，解得a=﹣，b=1．故选D．点评：本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=，x1x2=．14．（2013•湖北）已知α，β是一元二次方程x2﹣5x﹣2=0的两个实数根，则α2+αβ+β2的值为（ ）　A ．﹣1B．9C．23D．27考点：根与系数的关系．分析：根据根与系数的关系α+β=﹣，αβ=，求出α+β和αβ的值，再把要求的式子进行整理，即可得出答案．解答：解：∵α，β是方程x2﹣5x﹣2=0的两个实数根，∴α+β=5，αβ=﹣2，又∵α2+αβ+β2=（α+β）2﹣βα，∴α2+αβ+β2=52+2=27；故选D．点评：此题考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法，若方程两个为x1，x2，则x1+x2=﹣，x1x2=．15．（2013•桂林）已知关于x的一元二次方程x2+2x+a﹣1=0有两根为x1和x2，且x12﹣x1x2=0，则a的值是（ ）　A ．a=1B．a=1或a=﹣2C．a=2D．a=1或a=2考点：根与系数的关系；一元二次方程的解．专题：压轴题．分析：根据x12﹣x1x2=0可以求得x1=0或者x1=x2，所以①把x1=0代入原方程可以求得a=1；②利用根的判别式等于0来求a的值．解答：解：解x12﹣x1x2=0，得x1=0，或x1=x2，①把x1=0代入已知方程，得t i me an dAl l t h i ng sa ﹣1=0，解得：a=1；②当x 1=x 2时，△=4﹣4（a ﹣1）=0，即8﹣4a=0，解得：a=2．综上所述，a=1或a=2．故选：D ．点评：本题考查了根与系数的关系、一元二次方程的解的定义．解答该题的技巧性在于巧妙地利用了根的判别式等于0来求a 的另一值．16．（2013•天河区二模）已知一元二次方程x 2﹣4x+3=0两根为x 1、x 2，则x 1+x 2=（ ）　A ．4B ．3C ．﹣4D．﹣3考点：根与系数的关系．分析：根据一元二次方程x 2﹣4x+3=0两根为x 1、x 2，直接利用x 1+x 2=﹣求出即可．解答：解：∵一元二次方程x 2﹣4x+3=0两根为x 1、x 2，∴x 1+x 2=﹣=4．故选A ．点评：此题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，正确记忆根与系数关系公式是解决问题的关键．　17．（2013•青神县一模）已知m 和n 是方程2x 2﹣5x ﹣3=0的两根，则的值等于（ ）　A ．B ．C ．D ．考点：根与系数的关系．专题：计算题．分析：根据根与系数的关系得到m+n=，mn=﹣，再变形+得到，然后利用整体思想计算．解答：解：根据题意得m+n=，mn=﹣，所以+===﹣．故选D ．点评：本题考查了一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的根与系数的关系：若方程两个为x 1，x 2，则x 1+x 2=﹣，x 1•x 2=．18．（2012•莱芜）已知m 、n 是方程x 2+2x+1=0的两根，则代数式的值为（ ）　A 9B ．±3C ．3D5i e dl l t h i ng si nt he i rb a re go od fo s ．．考点：根与系数的关系；二次根式的化简求值．专题：整体思想．分析：根据一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的根与系数的关系得到m+n=﹣2，mn=1，再变形得，然后把m+n=﹣2，mn=1整体代入计算即可．解答：解：∵m 、n 是方程x 2+2x+1=0的两根，∴m+n=﹣2，mn=1，∴====3．故选C ．点评：本题考查了一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的根与系数的关系：若方程两根分别为x 1，x 2，则x 1+x 2=﹣，x 1•x 2=．也考查了二次根式的化简求值．19．（2012•天门）如果关于x 的一元二次方程x 2+4x+a=0的两个不相等实数根x 1，x 2满足x 1x 2﹣2x 1﹣2x 2﹣5=0，那么a 的值为（ ）　A ．3B ．﹣3C ．13D．﹣13考点：根与系数的关系；根的判别式．分析：利用根与系数的关系求得x 1x 2=a ，x 1+x 2=﹣4，然后将其代入x 1x 2﹣2x 1﹣2x 2﹣5=x 1x 2﹣2（x 1+x 2）﹣5=0列出关于a的方程，通过解方程即可求得a 的值．解答：解：∵x 1，x 2是关于x 的一元二次方程x 2+4x+a=0的两个不相等实数根，∴x 1x 2=a ，x 1+x 2=﹣4，∴x 1x 2﹣2x 1﹣2x 2﹣5=x 1x 2﹣2（x 1+x 2）﹣5=a ﹣2×（﹣4）﹣5=0，即a+3=0，解得，a=﹣3；故选B ．点评：本题考查了根与系数的关系．将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．　20．（2011•锦江区模拟）若方程x 2﹣3x ﹣2=0的两实根为x 1、x 2，则（x 1+2）（x 2+2）的值为（ ）　A．﹣4B ．6C ．8D ．12考点：根与系数的关系．分析：根据（x 1+2）（x 2+2）=x 1x 2+2x 1+2x 2+4=x 1x 2+2（x 1+x 2）+4，根据一元二次方程根与系数的关系，即两根的和与积，代入数值计算即可．解答：解：∵x 1、x 2是方程x 2﹣3x ﹣2=0的两个实数根．thingsintheirbeingareg∴x1+x2=3，x1•x2=﹣2．又∵（x1+2）（x2+2）=x1x2+2x1+2x2+4=x1x2+2（x1+x2）+4．将x1+x2=3、x1•x2=﹣2代入，得（x1+2）（x2+2）=x1x2+2x1+2x2+4=x1x2+2（x1+x2）+4=（﹣2）+2×3+4=8．故选C点评：将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．21．（2011•鄂州模拟）已知p2﹣p﹣1=0，1﹣q﹣q2=0，且pq≠1，则的值为（ ）　A．1B．2C．D．考点：根与系数的关系．专题：计算题．分析：首先把1﹣q﹣q2=0变形为，然后结合p2﹣p﹣1=0，根据一元二次方程根与系数的关系可以得到p与是方程x2﹣x﹣1=0的两个不相等的实数根，那么利用根与系数的关系即可求出所求代数式的值．解答：解：由p2﹣p﹣1=0和1﹣q﹣q2=0，可知p≠0，q≠0，又∵pq≠1，∴，∴由方程1﹣q﹣q2=0的两边都除以q2得：，∴p与是方程x2﹣x﹣1=0的两个不相等的实数根，则由韦达定理，得p+=1，∴=p+=1．故选A．点评：本题考查了根与系数的关系．首先把1﹣q﹣q2=0变形为是解题的关键，然后利用根与系数的关系就可以求出所求代数式的值．22．（2010•滨湖区一模）若△ABC的一边a为4，另两边b、c分别满足b2﹣5b+6=0，c2﹣5c+6=0，则△ABC的周长为（ ）　A．9B．10C．9或10D．8或9或10考点：根与系数的关系；三角形三边关系．专题：压轴题．分析：由于两边b、c分别满足b2﹣5b+6=0，c2﹣5c+6=0，那么b、c可以看作方程x2﹣5x+6=0的两根，根据根与系数的关系可以得到b+c=5，bc=6，而△ABC的一边a为4，由此即可求出△ABC的一边a为4周长．解答：解：∵两边b、c分别满足b2﹣5b+6=0，c2﹣5c+6=0，∴b、c可以看作方程x2﹣5x+6=0的两根，∴b+c=5，bc=6，而△ABC的一边a为4，①若b=c，则b=c=3或b=c=2，但2+2=4，所以三角形不成立，故b=c=3．∴△ABC的周长为4+3+3=10或4+2+2②若b≠c，∴△ABC的周长为4+5=9．故选C．点评：此题把一元二次方程的根与系数的关系与三角形的周长结合起来，利用根与系数的关系来三角形的周长．此题要注意分类讨论．二．填空题（共4小题）23．（2014•莱芜）若关于x的方程x2+（k﹣2）x+k2=0的两根互为倒数，则k=　﹣1　．考点：根与系数的关系．专题：判别式法．分析：根据已知和根与系数的关系x1x2=得出k2=1，求出k的值，再根据原方程有两个实数根，求出符合题意的k的值．解答：解：∵x1x2=k2，两根互为倒数，∴k2=1，解得k=1或﹣1；∵方程有两个实数根，△＞0，∴当k=1时，△＜0，舍去，故k的值为﹣1．故答案为：﹣1．点评：本题考查了根与系数的关系，根据x1，x2是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的两个实数根，则x1+x2=﹣，x1x2=进行求解．24．（2014•呼和浩特）已知m，n是方程x2+2x﹣5=0的两个实数根，则m2﹣mn+3m+n=　8　．考点：根与系数的关系；一元二次方程的解．专题：常规题型．Array分析：根据m+n=﹣=﹣2，m•n=﹣5，直接求出m、n即可解题．解答：解：∵m 、n 是方程x 2+2x ﹣5=0的两个实数根，∴mn=﹣5，m+n=﹣2，∵m 2+2m ﹣5=0∴m 2=5﹣2mm 2﹣mn+3m+n=（5﹣2m ）﹣（﹣5）+3m+n =10+m+n =10﹣2=8故答案为：8．点评：此题主要考查了一元二次方程根根的计算公式，根据题意得出m 和n 的值是解决问题的关键．　25．（2014•广州）若关于x 的方程x 2+2mx+m 2+3m ﹣2=0有两个实数根x 1、x 2，则x 1（x 2+x 1）+x 22的最小值为 ．考点：根与系数的关系；二次函数的最值．专题：判别式法．分析：由题意可得△=b 2﹣4ac ≥0，然后根据不等式的最小值计算即可得到结论．解答：解：由题意知，方程x 2+2mx+m 2+3m ﹣2=0有两个实数根，则△=b 2﹣4ac=4m 2﹣4（m 2+3m ﹣2）=8﹣12m ≥0，∴m ≤，∵x 1（x 2+x 1）+x 22=（x 2+x 1）2﹣x 1x 2=（﹣2m ）2﹣（m 2+3m ﹣2）=3m 2﹣3m+2=3（m 2﹣m+﹣）+2=3（m ﹣）2 +；∴当m=时，有最小值；∵＜，∴m=成立；∴最小值为；故答案为：．点评：本题考查了一元二次方程根与系数关系，考查了一元二次不等式的最值问题．总结一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．26．（2014•桂林）已知关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2﹣2=0的两根为x1和x2，且（x1﹣2）（x1﹣x2）=0，则k的值是　﹣2或﹣　．考点：根与系数的关系；根的判别式．分析：先由（x1﹣2）（x1﹣x2）=0，得出x1﹣2=0或x1﹣x2=0，再分两种情况进行讨论：①如果x1﹣2=0，将x=2代入x2+（2k+1）x+k2﹣2=0，得4+2（2k+1）+k2﹣2=0，解方程求出k=﹣2；②如果x1﹣x2=0，那么将x1+x2=﹣（2k+1），x1x2=k2﹣2代入可求出k的值，再根据判别式进行检验．解答：解：∵（x1﹣2）（x1﹣x2）=0，∴x1﹣2=0或x1﹣x2=0．①如果x1﹣2=0，那么x1=2，将x=2代入x2+（2k+1）x+k2﹣2=0，得4+2（2k+1）+k2﹣2=0，整理，得k2+4k+4=0，解得k=﹣2；②如果x1﹣x2=0，那么（x1﹣x2）2=（x1+x2）2﹣4x1x2=[﹣（2k+1）]2﹣4（k2﹣2）=4k+9=0，解得k=﹣．又∵△=（2k+1）2﹣4（k2﹣2）≥0．解得：k≥﹣．所以k的值为﹣2或﹣．故答案为：﹣2或﹣．点评：本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，根的判别式，注意在利用根与系数的关系时，需用判别式进行检验．三．解答题（共4小题）27．（2014•泸州）已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣2（m+1）x+m2+5=0的两实数根．（1）若（x1﹣1）（x2﹣1）=28，求m的值；（2）已知等腰△ABC的一边长为7，若x1，x2恰好是△ABC另外两边的边长，求这个三角形的周长．考点：根与系数的关系；三角形三边关系；等腰三角形的性质．专题：代数几何综合题．分析：（1）利用（x1﹣1）（x2﹣1）=x1•x2﹣（x1+x2）+1=m2+5﹣2（m+1）+1=28，求得m的值即可；（2）分7为底边和7为腰两种情况分类讨论即可确定等腰三角形的周长．解答：解：（1）∵x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣2（m+1）x+m2+5=0的两实数根，∴x1+x2=2（m+1），x1•x2=m2+5，∴（x1﹣1）（x2﹣1）=x1•x2﹣（x1+x2）+1=m2+5﹣2（m+1）+1=28，解得：m=﹣4或m=6；当m=﹣4时原方程无解，∴m=6；（2）①当7为底边时，此时方程x2﹣2（m+1）x+m2+5=0有两个相等的实数根，∴△=4（m+1）2﹣4（m2+5）=0，解得：m=2，∴方程变为x2﹣6x+9=0，解得：x1=x2=3，∵3+3＜7，∴不能构成三角形；②当7为腰时，设x1=7，代入方程得：49﹣14（m+1）+m2+5=0，解得：m=10或4，当m=10时方程变为x2﹣22x+105=0，解得：x=7或15∵7+7＜15，不能组成三角形；当m=4时方程变为x2﹣10x+21=0，解得：x=3或7，此时三角形的周长为7+7+3=17．点评：本题考查了根与系数的关系及三角形的三边关系，解题的关键是熟知两根之和和两根之积分别与系数的关系．28．（2014•日照二模）已知x 1，x 2是关于x 的一元二次方程x 2+（3a ﹣1）x+2a 2﹣1=0的两个实数根，其满足（3x 1﹣x 2）（x 1﹣3x 2）=﹣80．求实数a 的所有可能值．考点：根与系数的关系；根的判别式．专题：计算题．分析：根据△的意义由一元二次方程x 2+（3a ﹣1）x+2a 2﹣1=0的两个实数根得到△≥0，即（3a ﹣1）2﹣4（2a 2﹣1）=a 2﹣6a+5≥0，根据根与系数的关系得到x 1+x 2=﹣（3a ﹣1），x 1•x 2=2a 2﹣1，由（3x 1﹣x 2）（x 1﹣3x 2）=﹣80变形得到3（x 1+x 2）2﹣16x 1x 2=﹣80，于是有3（3a ﹣1）2﹣16（2a 2﹣1）=﹣80，解方程得到a=3或a=﹣，然后代入△验算即可得到实数a 的值．解答：解：∵x 1，x 2是关于x 的一元二次方程x 2+（3a ﹣1）x+2a 2﹣1=0的两个实数根，∴△≥0，即（3a ﹣1）2﹣4（2a 2﹣1）=a 2﹣6a+5≥0所以a ≥5或a ≤1．…（3分）∴x 1+x 2=﹣（3a ﹣1），x 1•x 2=2a 2﹣1，∵（3x 1﹣x 2）（x 1﹣3x 2）=﹣80，即3（x 12+x 22）﹣10x 1x 2=﹣80，∴3（x 1+x 2）2﹣16x 1x 2=﹣80，∴3（3a ﹣1）2﹣16（2a 2﹣1）=﹣80，整理得，5a 2+18a ﹣99=0，∴（5a+33）（a ﹣3）=0，解得a=3或a=﹣，当a=3时，△=9﹣6×3+5=﹣4＜0，故舍去，当a=﹣时，△=（﹣）2﹣6×（﹣）+6=（）2+6×+6＞0，∴实数a 的值为﹣点评：本题考查了一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的根与系数的关系：如果方程的两根为x 1，x 2，则x 1+x 2=﹣，x 1•x 2=．也考查了一元二次方程根的判别式以及代数式的变形能力．29．（2013•孝感）已知关于x 的一元二次方程x 2﹣（2k+1）x+k 2+2k=0有两个实数根x 1，x 2．（1）求实数k 的取值范围；（2）是否存在实数k 使得x 1•x 2﹣x 12﹣x 22≥0成立？若存在，请求出k 的值；若不存在，请说明理由．e an dAl l t h i ng si nt he i rb ei n ga re go od fo r考点：根与系数的关系；根的判别式．专题：压轴题．分析：（1）根据已知一元二次方程的根的情况，得到根的判别式△≥0，据此列出关于k 的不等式[﹣（2k+1）]2﹣4（k 2+2k ）≥0，通过解该不等式即可求得k 的取值范围；（2）假设存在实数k 使得≥0成立．利用根与系数的关系可以求得，然后利用完全平方公式可以把已知不等式转化为含有两根之和、两根之积的形式≥0，通过解不等式可以求得k 的值．解答：解：（1）∵原方程有两个实数根，∴[﹣（2k+1）]2﹣4（k 2+2k ）≥0，∴4k 2+4k+1﹣4k 2﹣8k ≥0∴1﹣4k ≥0，∴k ≤．∴当k ≤时，原方程有两个实数根． （2）假设存在实数k 使得≥0成立．∵x 1，x 2是原方程的两根，∴．由≥0，得≥0．∴3（k 2+2k ）﹣（2k+1）2≥0，整理得：﹣（k ﹣1）2≥0，∴只有当k=1时，上式才能成立．又∵由（1）知k ≤，∴不存在实数k 使得≥0成立．点评：本题综合考查了根的判别式和根与系数的关系，在解不等式时一定要注意数值的正负与不等号的变化关系．30．（2001•苏州）已知关于x 的一元二次方程，（1）求证：不论k 取何值，方程总有两个不相等的实数根；（2）设x 1、x 2是方程的两个根，且x 12﹣2kx 1+2x 1x 2=5，求k 的值．n ga re go od fo rs 考点：根与系数的关系；根的判别式．专题：计算题；证明题；压轴题．分析：（1）要保证方程总有两个不相等的实数根，就必须使△＞0恒成立；（2）欲求k 的值，先把此代数式变形为两根之积或两根之和的形式，代入数值计算即可．解答：解：（1）已知关于x 的一元二次方程，∴△=（﹣2k ）2﹣4×（k 2﹣2）=2k 2+8，∵2k 2+8＞0恒成立，∴不论k 取何值，方程总有两个不相等的实数根．（2）∵x 1、x 2是方程的两个根，∴x 1+x 2=2k ，x 1•x 2=k 2﹣2，∴x 12﹣2kx 1+2x 1x 2=x 12﹣（x 1+x 2）x 1+2x 1x 2=x 1x 2=k 2﹣2=5，解得k=±．点评：此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．。

一元二次方程根与系数的关系专项训练1、已知关于x 的方程0)32(22=+-+k x k x 有两个实数根x 1、x 2，且x 1+x 2 =x 1x 2，求k 的值2、已知：关于x 的方程x 2-kx-2=0.（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）设方程的两根为x 1,x 2,如果2(x 1+x 2)>x 1x 2,求k 的取值范围。

3、已知关于x 的方程x 2-2ax+a 2-2a+2=0的两个实数根x 1,x 2满足x 12+x 22=2,求a 的值.4、已知关于x 的一元二次方程x 2-2(k+1)x+k 2-3=0.（1）若此方程有两人个实数根，求实数k 的取值范围；（2）若此方程的两个实数根x 1、x 2满足321121-=+x x ，求实数k 的值。

5、已知关于x 的一元二次方程k 2x 2+(1-2k)x+1=0有两个不相等的实数根x 1,x 2.求k 的取值范围；（2）当k 为何值时，│x 1+x 2│-2x 1x 2=-3.6、关于x 的方程04)1(2=+++k x k kx 有两个不相等的实数根。

（1）求k 的取值范围；（2）是否存在实数k ，使方程的两个实数根的倒数与等于0 ？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由。

7、已知：关于x 的一元二次方程01)12(2=-+++k x k x ；其中k 为实数，（1）求证：不论k 取什么实数，方程都用两个不同的实根；（2）设方程的两根为x 1，x 2，且满足2x 1+x 2=3，求实数k 的值8、已知关于x 的方程x 2+2(2-m )x +3-6m =0(1) 求证:无论m 取什么实数,方程总有实数根；(2) 如果方程的两个实数根x 1、x 2满足x 1=3x 2，求实数m 的值. 9、已知关于x 的方程012)14(2=-+++k x k x . （1）求证：该方程一定有两个不相等的实数根；（2）若x 1、x 2是两个实数根，且32)2)(2(21-=--k x x ，求k 的值10、已知关于x 的方程()013222=++--k x k x 。

装…………○……_姓名：___________班级：__装…………○……一元二次方程根与系数的关系基础练习30题含详细答案一、单选题1．若12,x x 是一元二次方程²350x x +-=的两根，则12x x +的值是（ ） A ．3B ．3-C ．5D ．5-2．已知方程22430x x +-=的两根分别为1x 和2x ，则12x x 的值等于（ ） A ．2B ．－1.5C ．－2D ．43．已知α，β是方程2202010x x ++=的两个根，则（1＋2022α＋α2）（1＋2022β＋β2）的值为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．44．如图，二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，且OC ＝2OB 则下列结论：① 0abc <；②0a b c ++>；③240ac b -+=；④ cOA OB a⋅=-，其中正确的结论有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个5．★在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a ，b ，c 分别是∠A ，∠B ，∠C 的对边，a ，b 是关于x 的方程x 2－7x ＋c ＋7＝0的两根，那么AB 边上的中线长是（ ） A ．32B ．52C ．5D ．2二、解答题6．关于x 的一元二次方程x 2+3x ﹣k =0有两个不相等的实数根． （1）求k 的取值范围．（2）若x 1+2x 2=3，求|x 1﹣x 2|的值．7．已知关于x 的方程x 2+（2m ﹣1）x +m 2＝0有实数根． （1）若方程的一个根为1，求m 的值；在，请求出来，若不存在，请说明理由． 8．关于x 的一元二次方程x 2+mx+m ﹣2＝0．（1）若﹣2是该方程的一个根，求该方程的另一个根；（2）求证：无论m 取任何实数，此方程总有两个不相等的实数根；（3）设该方程的两个实数根为x 1，x 2，若x 12+x 22+m （x 1+x 2）＝m 2+1，求m 的值． 9．已知P 2222225a 3b 8a 1a b b a a b ab+⎛⎫=+÷⎪--+⎝⎭（a≠±b ，ab≠0） （1）化简P ；（2）若a 、b 是方程x 2+（12）x =0的两实根，求P 的值．10．已知关于x 的一元二次方程x 2+2（k ﹣1）x+k 2﹣1＝0有两个不相等的实数根． （1）求实数k 的取值范围；（2）若方程的两根x 1，x 2满足x 12+x 22＝16，求k 的值．11．已知关于x 的一元二次方程x 2﹣2（m+1）x+m 2+5＝0有两个不相等的实数根． （1）求实数m 的最小整数值；（2）在（1）的条件下，若方程的实数根为x 1，x 2，求代数式（x 1﹣1）•（x 2﹣1）的值． 12．关于x 的一元二次方程x 2﹣（2k+1）x+2k ＝0． （1）求证：无论k 取任何实数，方程总有两个实数根；（2）若该方程的两个根x 1，x 2满足3x 1+3x 2﹣x 1x 2＝6，求k 的值．13．阅读下列材料：法国数字家韦达在研究一元二次方程时有一项重大发现： 如果一元二次方程20(0)ax bx c a -+=≠在240b ac -≥的两根分别可表示为1x ，2x =1212,b c x x x x a a +=-⋅=这是一元二次方程根与系数的关系．利用一元二次方程根与系数的关系，回答下列问题：（1）已知方程25790x x +-=的两根分别为1x 、2x ，求12x x +与12x x ⋅的值．（2）已知方程25790x x +-=的两根分别1x 、2x ，若12x x >，求2212x x +与1211x x -的值．（3）已知一元二次方程2350x ax +-=的一根大于2，另一根小于2求a 的取值范围． 14．已知关于x 的方程()222360x m x m +-+-=．（1）求证：无论m 取什么实数，方程总有实数根；（2）如果方程的两个实数根1x 、2x 满足123x x =，求实数m 的值．15．关于x 的一元二次方程x 2+2（m-1）+m 2-1=0有两个不相等的实数根x 1，x 2． （1）求实数m 的取值范围；（2）是否存在实数m ，使得x 12+x 22=16+x 1x 2成立？如果存在，求出m 的值；如果不存在，请说明理由．16．如果1x ，2x 是一元二次方程20ax bx c ++=的两根，那么有12b x x a+=-，12cx x a=．这是一元二次方程根与系数的关系，我们可以利用它来解题，例如：1x ，2x 是方程2630x x +-=的两根，求2212x x +的值． 解法可以这样：因为126x x +=-，123x x =-，所以()()()2222121212262342x x x x x x +=+-=--⨯-=．请你根据以上解法解答下题：设1x ，2x 是方程22150x x --=的两根，求：（1）1211+x x 的值；（2）()212x x -的值．17．关于x 的一元二次方程2x －x ＋p －1＝0有两实数根1x 、2x ． （1）求p 的取值范围； （2）若p=0，求1221x x x x +的值； （3）若[2＋1x （1－1x ）][2＋2x （1－2x ）]＝9，求p 的值．18．关于x 的一元二次方程x 2﹣2x ﹣m +2＝0有两个不相等的实数根x 1，x 2． （1）求实数m 的取值范围；（2）若方程两实数根x 1，x 2满足x 12+2x 2＝m 2，求m 的值．三、填空题19．已知函数3()()y x m x n =---，并且,a b 是方程3()()0x m x n ---=的两个根，则实数,,,m n a b 的大小关系可能是____． 20．方程220x x +-=的两个根分别为,m n ，则11m n+的值为_________． 21．若x 1，x 2是一元二次方程x 2﹣2x ﹣3＝0的两个根，则x 1x 2的值＝__． 22．已知实数m ，n 满足条件2720m m -+=，2720n n -+=，则n mm n+的值是______． 23．对于任意实数a 、b ，定义：a ◆b ＝a 2+ab +b 2．若方程（x ◆2）﹣5＝0的两根记为m 、n ，则（m +2）（n +2）＝_____．24．已知1x 、2x 是方程2210x x --=的两根，则2212x x +=_________．25．已知一周长为11的等腰三角形（非等边三角形）的三边长分别为a 、b 、5，且a 、b 是关于x 的一元二次方程x 2﹣6x +k +2＝0的两个根，则k 的值为__． 26．已知二次方程x 2+（2m +1）x +m 2﹣2m +32＝0的两个实数根为α和β，若|α|+|β|＝4，求m 的值__．27．已知x 2+2x +1＝0的两根为x 1和x 2，则x 1•x 2的值为__．28．已知一元二次方程2x 2+3x ﹣1＝0的两个根是x 1，x 2，则x 1•x 2＝_____． 29．已知 12,x x 是一元二次方程()23112x -=的两个解，则12x x +=_______． 30．一元二次方程2310x x --=与230x x --=的所有实数根的和等于____．参考答案1．B 【分析】利用根与系数的关系即可得到x 1+x 2的值． 【详解】解：∵x 1、x 2是一元二次方程x 2+3x-5=0的两根， ∴x 1+x 2=-3． 故选：B ． 【点睛】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解本题的关键． 2．B 【分析】根据一元二次方程的根与系数关系12cx x a=求解即可． 【详解】解：∵方程22430x x +-=的两根分别为1x 和2x ，且a=2，b=4，c=﹣3， ∴12c x x a==32-=﹣1.5， 故选：B ． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数关系，熟记根与系数关系12cx x a=是解答的关键． 3．D 【分析】根据根与系数的关系及一元二次方程的解可得出：1αβ=，2202010αα++=，2 202010ββ++=，将其代入原式中即可求出结论．【详解】∵α，β是方程2202010x x ++=的两个根，∴1αβ=，220201αα+=-，220201ββ+=-，∴()()221202212022ααββ++++=()()22120202120202αααβββ++++++4αβ==4． 故选：D ． 【点睛】本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，根据根与系数的关系及一元二次方程的解得出1αβ=，2202010αα++=，2202010ββ++=是解题的关键． 4．C 【分析】①根据抛物线的开口方向向上得a ＞0、对称轴在y 轴左侧得b ＞0、与y 轴的交点在y 轴负半轴得c ＜0，进而可得结论；②当x ＝1时，不能说明y 的值即a +b +c 是否大于还是小于0，即可判断；③设B 点横坐标为x 2，根据OC ＝2OB ，用c 表示x 2，再将B 点坐标代入函数解析式即可判断；④根据一元二次方程根与系数的关系即可判断． 【详解】解：①观察图象可知：抛物线的开口方向向上，对称轴在y 轴左侧，与y 轴的交点在y 轴负半轴∴a ＞0，b ＞0，c ＜0， ∴abc ＜0， 所以①正确；②当x ＝1时，y ＝a +b +c ，不能说明y 的值是否大于还是小于0， 所以②错误；③设A （x 1，0）（x 1＜0），B （x 2，0）（x 2＞0）， ∵OC ＝2OB ，∴﹣2x 2＝c ， ∴212x c ， ∴B （12c -，0）将点B 坐标代入y ＝ax 2+bx +c 中，211042c a bc c，∵0c ≠∴240ac b -+= 所以③正确；④当y ＝0时，ax 2+bx +c ＝0， 方程的两个根为x 1，x 2， 根据根与系数的关系，得12c x x a•=， 即1212•OA OBx x ax c x 所以④正确． 故选：C ． 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征、抛物线与x 轴的交点，解决本题的关键是综合运用二次函数的图象和性质． 5．B 【分析】由于a 、b 是关于x 的方程x2−7x ＋c ＋7＝0的两根，由根与系数的关系可知：a ＋b ＝7，ab ＝c ＋7；由勾股定理可知：222+=a b c ，则()222a b ab c +-=，即49−2（c ＋7）＝2c ，由此求出c ，再根据直角三角形斜边中线定理即可得中线长． 【详解】解：∵a 、b 是关于x 的方程2x −7x ＋c ＋7＝0的两根， ∴根与系数的关系可知：a ＋b ＝7，ab ＝c ＋7； 由直角三角形的三边关系可知：222+=a b c ， 则()222a b ab c +-=， 即49−2（c ＋7）＝2c ， 解得：c ＝5或−7（舍去），再根据直角三角形斜边中线定理得：中线长为52．故选：B ． 【点睛】本题考查三角形斜边中线长定理及一元二次方程根与系数的关系运用，勾股定理的运用，一元二次方程的解法的运用，解答时运用一元二次方程的根与系数的关系建立方程是关键． 6．（1）94k >-；（2）15． 【分析】（1）由关于x 的一元二次方程230x x k +-=有两个不相等的实数根，可得判别式△0>，则可求得k 的取值范围；（2）利用根与系数的关系可求出1x 、2x 的值，进而可求出求12||x x -的值 【详解】 （1）关于x 的一元二次方程230x x k +-=有两个不相等的实数根，∴△2341()940k k =-⨯⨯-=+>，94k ∴>-，即k 的取值范围为：94k >-； （2）1x 、2x 是一元二次方程230x x k +-=有两个不相等的实数根，123x x ∴+=-， 1223x x +=， 19x ∴=-，26x =，1215x x ∴-=．【点睛】此题考查了根的判别式以及根与系数的关系．注意由关于x 的一元二次方程230x x k +-=有两个不相等的实数根，可得△0>． 7．（1）0或-2；（2）存在，m 的值为-1． 【分析】（1）先根据∆=(2m-1)2-4m 2≥0求出m 的取值范围，把x=1代入原方程可得到关于m 的一元二次方程，然后解此一元二次方程即可；（2）根据根与系数的关系得到α+β=-(2m-1)，αβ=m 2，利用α2+β2-αβ=6得到(α+β)2-3αβ=6，则(2m-1)2-3m 2=6，然后解方程后利用（1）中m 的范围确定m 的值． 【详解】解：（1）由题意得∆=(2m-1)2-4m 2≥0， 解得m ≤14． 把x ＝1代入方程得1+2m ﹣1+m 2＝0， 解得m 1＝0，m 2＝﹣2， 即m 的值为0或﹣2； （3）存在．∵α、β是方程的两个实数根， ∴α+β＝﹣(2m ﹣1)，αβ＝m 2， ∵α2+β2﹣αβ＝6， ∴(α+β)2﹣3αβ＝6， 即(2m ﹣1)2﹣3m 2＝6，整理得m 2﹣4m ﹣5＝0，解得m 1＝5，m 2＝﹣1， ∵m ≤14； ∴m 的值为﹣1． 【点睛】本题考查了一元二次方程ax 2+bx +c =0（a ≠0）根与系数的关系，若x 1，x 2为方程的两个根，则x 1，x 2与系数的关系式：12bx x a +=-，12c x x a⋅=．也考查了一元二次方程ax 2+bx +c =0（a ≠0）的根的判别式与根的关系．8．（1）方程的另一个根为0；（2）证明见解析；（3）m ＝﹣3或1 【分析】（1）利用待定系数法解决问题即可； （2）证明判别式大于0即可；（3）利用根与系数的关系，把问题转化为一元二次方程解决问题． 【详解】（1）解：由题意，得：4﹣2m+m ﹣2＝0， 解得：m ＝2，∴方程为x 2+2x ＝0， 解得：x 1＝﹣2，x 2=0， ∴方程的另一个根为0．（2）证明：∵△＝m 2﹣4（m ﹣2）＝m 2﹣4m+8＝（m ﹣2）2+4＞0， ∴无论m 取任何实数，此方程总有两个不相等的实数根． （3）由根与系数的关系得：x 1+x 2＝﹣m ，x 1x 2＝m ﹣2， 由x 12+x 22+m （x 1+x 2）＝m 2+1，得：（x 1+x 2）2﹣2x 1x 2+m （x 1+x 2）＝m 2+1， ∴m 2﹣2（m ﹣2）﹣m 2＝m 2+1， 整理得：m 2+2m ﹣3＝0， 解得：m ＝﹣3或1． 【点睛】本题考查根与系数的关系、根的判别式、解一元二次方程、解一元一次方程等知识，解答的关键是熟练掌握基本知识的联系和运用，属于中考常考题型．9．（1）P ＝﹣3ab ；（2）P ＝﹣． 【分析】（1）先把括号里分式变成同分母的运算，再把除法变成乘法，再算乘法即可；（2）根据根与系数的关系得出ab =【详解】 解：（1）P ＝（22225a 3b 8aa b a b+---）•ab （a+b ） ()()5a 3b 8aa b a b +-=+-•ab （a+b） ()3a b a b--=-•ab＝﹣3ab ；（2）∵a 、b 是方程x 2+（12）x =0的两实根，∴ab =∴P ＝﹣3ab ＝﹣【点睛】本题考查了分式的混合运算和求值，根与系数的关系等知识点，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键．10．（1）k＜1；（2）k＝﹣1．【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式∆＞0，即可得出关于k的一元一次不等式，解之即可得出k的取值范围；（2）根据根与系数的关系及x12+x22＝16，即可得出关于k的一元二次方程，解之即可得出k值，再结合（1）的结论即可确定k的值．【详解】解：（1）∵a＝1，b＝2（k﹣1），c＝k2﹣1，∴∆＝b2﹣4ac＞0，即[2（k﹣1）]2﹣4×1×（k2﹣1）＞0，∴k＜1．（2）∵关于x的一元二次方程x2+2（k﹣1）x+k2﹣1＝0的两根为x1，x2，∴x1+x2＝﹣2（k﹣1），x1x2＝k2﹣1．∵x12+x22＝16，∴（x1+x2）2﹣2x1x2＝16，即[﹣2（k﹣1）]2﹣2（k2﹣1）＝16，整理，得：k2﹣4k﹣5＝0，-+=k k(5)(1)0解得：k1＝5，k2＝﹣1．又∵k＜1，∴k＝﹣1．【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系、根的判别式等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．11．（1）实数m的最小整数值是3；（2）（x1﹣1）•（x2﹣1）＝7【分析】（1）由方程有两个不相等的实数根结合根的判别式即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，从而求得m的最小整数值；（2）根据根与系数的关系即可得出x1+x2＝2（m+1）、x1•x2＝m2+5，代入整理后的代数式即可得出得出m的值．【详解】解：（1）∵方程x2﹣2（m+1）x+m2+5＝0有两个不相等的实数根，∴△＝[﹣2（m+1）]2﹣4（m2+5）＝8m﹣16＞0，解得：m＞2，∴实数m的最小整数值是3；（2）∵原方程的两个实数根为x1、x2，m=3，∴x1+x2＝2（m+1）=8，x1•x2＝m2+5=14，∴（x1﹣1）•（x2﹣1）＝x1•x2﹣（x1+x2）+1＝14﹣8+1＝7．【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系、根的判别式、解一元一次不等式、代数式求值，解题的关键是：（1）根据方程有两个不相等的实数根找出△＝8m﹣16＞0；（2）掌握x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2ba=-，x1x2ca=．12．（1）证明见解析；（2）k3 4 =【分析】（1）计算判别式的值，再利用配方法得到△＝（2k+1）2≥0，然后根据一元二次方程根的判别式与根的关系得到结论；（2）根据根与系数的关系得到x1+x2＝2k+1，x1•x2＝2k，而3（x1+x2）﹣x1•x2＝6，所以3（2k+1）﹣2k＝6，然后解关于k的方程即可．【详解】（1）证明：∵△＝[﹣（2k+1）]2﹣4×1×2k＝（2k﹣1）2≥0，∴无论k取何值，所以方程总有两个实数根；（2）解：根据题意得：x1+x2＝2k+1，x1•x2＝2k，∵3（x1+x2）﹣x1•x2＝6，∴3（2k+1）﹣2k＝6，∴k34 =．【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx+c ＝0（a≠0）的两根时，x 1+x 2b a =-，x 1x 2ca=，也考查了根的判别式、配方法、解一元一次方程． 13．（1）1212,9575x x x x +=-⋅=-；（2）2212x x +=13925；1211x x -；（3）72a <- 【分析】（1）根据根与系数的关系即可求出结论；（2）根据完全平方公式的变形和分式减法变形，然后代入求值即可；（3）设一元二次方程2350x ax +-=的两根分别1x 、2x ，根据根与系数的关系可得1212,533x x x a x +=-⋅=-，根据题意可得()()122002x x ⎧⎨--<∆>⎩，代入即可求出a 的取值范围． 【详解】解：（1）∵方程25790x x +-=的两根分别为1x 、2x ∴1212,9575x x x x +=-⋅=-； （2）由（1）知：1212,9575x x x x +=-⋅=- ∴2212x x + =()212122x x x x +-=225579⎛⎫⎛⎫--⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=13925∴()2221122122x x x x x x +-=-=25139925⎛⎫⨯- ⎝-⎪⎭=22925∵12x x > ∴210x x -<∴21x x -==∴1211x x - =2112x x x x -=955-； （3）设一元二次方程2350x ax +-=的两根分别1x 、2x ， ∴1212,533x x x a x +=-⋅=- 由题意可得()()122002x x ⎧⎨--<∆>⎩∴()21212600240a x x x x +⎧⎪⎨-++<>⎪⎩∴2600335240a a ⎧⎪⎨⎛⎫-⨯+< +>--⎪⎪⎝⎭⎩②① ∵无论a 为何值，260a +恒为正，故①恒成立； 解②，得72a <-； 综上：72a <-． 【点睛】此题考查的是一元二次方程根与系数的关系，掌握根与系数的关系和完全平方公式的变形是解题关键．14．（1）见解析；（2）0或-4． 【分析】（1）证明一元二次方程根的判别式恒大于0，即可解答；（2）根据一元二次方程根与系数的关系x 1+x 2=4x 2=-2（2-m ）=2m-4，以及x 1•x 2=3x 22=3-6m 即可求得m 的值． 【详解】解：（1）证明：∵关于x 的方程x 2+2（2-m ）x+3-6m=0中，△=4（2-m ）2-4（3-6m ）=4（m+1）2≥0，∴无论m 取什么实数，方程总有实数根．（2）如果方程的两个实数根x 1，x 2满足x 1=3x 2，则x 1+x 2=4x 2=-2（2-m ）=2m-4 ∴x 2=2m-1 ① ∵x 1•x 2=3x 22=3-6m ， ∴x 22=1-2m ②，把①代入②得m （m+4）=0， 即m=0，或m=-4． 答：实数m 的值是0或-4 【点睛】解答此题的关键是熟知一元二次方程根的情况与判别式△的关系，及根与系数的关系： （1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根； （2）△=0⇔方程有两个相等的实数根； （3）△＜0⇔方程没有实数根．（4）若一元二次方程有实数根，则x 1+x 2=-b a ，x 1x 2=c a． 15．（1）m<1；（2）存在，m=-1 【分析】（1）由一元二次方程有两个不相等的实数根列得[]222(1)4(1)0m m --->，解不等式即可；（2）利用根与系数的关系得到122(1)x x m +=--=2-2m ，2121x x m =-，代入x 12+x 22=16+x 1x 2中求出m 的值，根据（1）中m 的取值范围确定m 的值. 【详解】（1）∵一元二次方程x 2+2（m-1）+m 2-1=0有两个不相等的实数根， ∴0∆>，∴[]222(1)4(1)0m m --->， 解得m<1； （2）存在，∵一元二次方程x 2+2（m-1）+m 2-1=0有两个不相等的实数根x 1，x 2，∴122(1)x x m +=--=2-2m ，2121x x m =-，若x 12+x 22=16+x 1x 2，则2121212()216x x x x x x +-=+，∴ 222(22)2(1)161m m m ---=+-，解得m=-1或m=9， ∵m<1， ∴m=9舍去， 即m=-1. 【点睛】此题考查一元二次方程根的判别式，根与系数的关系式，解一元二次方程，正确计算是解题的关键. 16．（1）115-；（2）1214【分析】（1）由根与系数的关系可得x 1+x 2=12，x 1x 2=152-，将其代入到12121211x x x x x x ++= 中，求出结果即可； （2）将x 1+x 2=12，x 1x 2=152-代入到（x 1-x 2）2=（x 1+x 2）2-4x 1x 2即可得． 【详解】（1）根据题意，可得x 1+x 2=12，x 1x 2=152-，∴12121211112=15152x x x x x x ++==--；（2）(x 1-x 2)2=(x 1+x 2)2-4x 1x 2=211511214302244⎛⎫⎛⎫-⨯-=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 【点睛】本题考查根与系数的关系，解题关键是运用一元二次方程的两根为x 1，x 2，则有x 1+x 2=b a -，x 1•x 2=ca． 17．（1）54p ≤；（2）-3；（3）-4．【分析】（1）一元二次方程有实数根，0∆≥根据判别式的公式代入即可求p 的取值范围； （2）将p=0代入2x －x ＋p －1＝0化简，再根据根与系数的关系得出1x 与2x 之间的关系，进一步可求得2212x x +的值，代入即可求解；（3）将等式变形，结合四个等式：21110x x p -+-=，22210x x p -+-=，代入求p ，结果要根据p 的取值范围进行检验． 【详解】 （1）x 的一元二次方程2x －x ＋p －1＝0有两实数根0∴∆≥即()()2241410b ac p -=---≥ 解得：54p ≤∴p 的取值范围为：54p ≤； （2）将p=0代入2x －x ＋p －1＝0， 即2x －x －1＝0121x x ∴+=，121x x ⋅=-()2221212122123x x x x x x ∴+=+-=+=22121221123=31x x x x x x x x +∴+==-⋅- （3）由[2＋1x （1－1x ）][2＋2x （1－2x ）]＝9，得()()221122229x x xx +-+-=1x 、2x 为一元二次方程2x －x ＋p －1＝0有两实数根21110x x p ∴-+-=，22210x x p -+-= 2211221,1x x p x x p ∴-=--=-()()21219p p ∴+-+-=即()219p +=2p ∴=或4p =-54p ≤4p ∴=- 【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式的运用，根与系数关系的运用以及等式变形的能力． 18．（1）m ＞1；（2）m ＝2． 【分析】（1）若方程有两个不相等的实数根，则根的判别式∆=b 2-4ac ＞0，建立关于m 的不等式，求出m 的取值范围；（2）根据题意x 12-2x 1-m+2=0，即可得到x 12=2x 1+m-2，代入x 12+2x 2＝m 2，可得2x 1+2x 2+m ﹣2＝m 2，根据根与系数的关系得到x 1+x 2=2，代入2x 1+2x 2+m ﹣2＝m 2，得到关于m 的方程，解方程即可． 【详解】解：（1）∵关于x 的一元二次方程x 2﹣2x ﹣m +2＝0有两个不相等的实数根x 1，x 2， ∴∆＝(﹣2)2﹣4(﹣m +2)＝4m ﹣4＞0， ∴m ＞1；（2）∵x 1+x 2＝2，x 12﹣2x 1﹣m +2＝0， x 12＝2x 1+m ﹣2，∴x 12+2x 2＝2x 1+2x 2+m ﹣2＝m 2，即2×2+m ﹣2＝m 2， 解得：m ＝﹣1或m=2， ∵m ＞1， ∴m ＝2． 【点睛】本题考查了一元二次方程ax 2+bx +c =0（a ≠0）的根的判别式∆=b 2﹣4ac 与根的关系，当∆>0时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当∆=0时，一元二次方程有两个相等的实数根；当∆<0时，一元二次方程没有实数根．也考查了一元二次方程根与系数的关系． 19．a m n b <<<，b m n a <<<，a n m b <<<或b n m a <<<． 【分析】首先把方程化为一般形式，由于a ，b 是方程的解，根据根与系数的关系即可得到m ，n ，a ，b 的关系，相互比较即可得出答案． 【详解】由3()()0x m x n ---=变形得：()()3x m x n --=， ∴0x m -＞，x n -＞0或0x m -<，0x n -<， ∴x m ＞，x n ＞或x m <，x n <， ∵a ，b 是方程的解，将a ，b 代入，得：a m ＞，a n ＞，b m <，b n <或a m <，a n <，b m ＞，b n ＞，综合可得：a m n b <<<，b m n a <<<，a n m b <<<或b n m a <<< 故答案为：a m n b <<<，b m n a <<<，a n m b <<<或b n m a <<<． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，难度较大，关键是m ，n ，a ，b 大小的讨论是此题的难点． 20．12； 【分析】根据根与系数的关系可得出m+n=-1，mn=-2，将其代入11n m m n mn++=中即可求出结论． 【详解】解：∵方程x 2+x ﹣2＝0的两个根分别为m ，n ， ∴m +n ＝﹣1，mn ＝﹣2，111122n m n m m n mn mn mm +-∴+=+===-． 故答案为：12． 【点睛】本题考查了根与系数的关系，牢记“两根之和等于-b a ，两根之积等于ca是解题的关键． 21．-3 【分析】根据根与系数的关系即可求解． 【详解】解：根据题意得x 1x 2＝31c a -==﹣3． 故答案为﹣3． 【点睛】此题主要考查一元二次方程根与性质的关系，解题的关键是熟知x 1x 2＝ca的运用． 22．2或452【分析】根据题意先将两个未知数理解为一元二次方程的两个根，再利用韦达定理求出两根关系，进而求得原式的答案即可． 【详解】由题意，实数m n ，是一元二次方程2720x x -+=的两个实数根， 此时题目并未告知m n ，是否相等，故作以下讨论： ①若m n =，则112n mm n+=+=； ②若m n ≠，则根据韦达定理，有72m n mn +==，，()222227224522m n mnn m m n m n mnmn+-+-⨯+====，故答案为：2或452． 【点睛】本题考查一元二次方程根的理解及根与系数的关系，灵活解读题意是解题关键．23．-1【分析】根据新定义可得出m 、n 为方程x 2＋2x−1＝0的两个根，利用根与系数的关系可得出m ＋n ＝−2、mn ＝−1，变形（m ＋2）（n ＋2）得到mn ＋2（m ＋n ）＋4然后利用整体代入得方法进行计算．【详解】解：∵（x ◆2）﹣5＝x 2+2x +4﹣5，∴m 、n 为方程x 2+2x ﹣1＝0的两个根，∴m +n ＝﹣2，mn ＝﹣1，∴（m +2）（n +2）＝mn +2（m +n ）+4＝﹣1+2×（﹣2）+4＝﹣1．故答案为﹣1．【点睛】本题考查了一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a≠0）的根与系数的关系：若方程两根为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝b a -，x 1•x 2＝c a． 24．6【分析】根据根与系数的关系得到x 1+x 2=2，x 1x 2=-1，再把2212x x +变形为21212()2x x x x +-，然后利用整体代入的方法计算出值即可．【详解】解：∵1x 、2x 是方程2210x x --=的两根，∴x 1+x 2=2，x 1x 2=-1，所以，2212x x +=21212()2x x x x +-=222(1)426-⨯-=+=．故答案为：6．【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x 1+x 2=-b a ，x 1x 2=c a． 25．3或7【分析】先根据一元二次方程根的判别式得出k的取值范围，再分5是等腰三角形的腰的长度和底边的长度两种情况，根据等腰三角形的周长得出另外两边的长度，最后利用根与系数的关系得出关于k的方程，解之得出答案．【详解】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣6x+k+2＝0有两个实数根，∴∆＝(﹣6)2﹣4(k+2)≥0，解得k≤7；若5是等腰三角形的腰的长度，则另外两边分别为5、1，此时三角形三边为1、5、5，符合角形三边条件，所以关于x的一元二次方程x2﹣6x+k+2＝0的两个根为1、5，则k+2＝5，即k＝3；若5是等腰三角形的底边长度，则另外两边的长度为3、3，此时三角形三边的长度为3、3、5符合三角形三边条件，则k+2＝9，即k＝7；综上，k的值为3或7，故答案为：3或7．【点睛】本题主要考查根的判别式、三角形三边关系、根与系数的关系及等腰三角形的定义，解题的关键是根据等腰三角形的性质分类讨论及一元二次方程根与系数的关系．26．3 2【分析】先由根与系数的关系得到2m+1=-（α+β），α•β=m2-2m+32=（m-1）2+12＞0，那么α和β同号，再由|α|+|β|=4，分α+β=-4或α+β=4进行讨论即可．【详解】解：∵二次方程x2+（2m+1）x+m2﹣2m+32＝0的两个实数根为α和β，∴α+β＝﹣（2m+1），α•β＝m2﹣2m+32，∴2m+1＝﹣（α+β），α•β＝m2﹣2m+32＝（m﹣1）2+12＞0，∴α•β＞0，即α和β同号，∴由|α|+|β|＝4得：α+β＝﹣4或α+β＝4．当α+β＝﹣4时，2m +1＝4，解得m ＝32； 当α+β＝4时，2m +1＝﹣4，解得m ＝﹣52． ∵△＝（2m +1）2﹣4（m 2﹣2m +32） ＝4m 2+4m +1﹣4m 2+8m ﹣6＝12m ﹣5≥0，∴m ≥512； ∴m ＝﹣52不合题意，舍去， 则m ＝32． 故答案为：32． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式及根与系数关系，利用两根关系得出的结果必须满足△≥0的条件．27．1【分析】利用一元二次方程根与系数的关系即可解答．【详解】根据题意得x 1•x 2＝1．故答案为1．【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系“在一元二次方程20ax bx c ++=(0a ≠，a b c 、、都为常数)中，两根1x ，2x 与系数的关系为12b x x a +=-，12c x x a =”． 28．﹣12【分析】由根与系数的关系，即可求出答案．【详解】解：∵一元二次方程2x 2+3x ﹣1＝0的两个根是x 1，x 2，∴x 1x 2＝﹣12， 故答案为：﹣12． 【点睛】本题考查了根与系数的关系，解题的关键是掌握根与系数的关系进行解题．29．2【分析】先将方程整理为x 2-2x-3=0，再根据根与系数的关系可得出x 1+x 2即可．【详解】解：一元二次方程()23112x -=整理为2230x x --=，∵x 1、x 2是一元二次方程x 2-2x-3=0的两个根，∴x 1+x 2=2．故答案为：2．【点睛】 本题考查了根与系数的关系，牢记两根之和等于b a -是解题的关键． 30．4【分析】利用一元二次方程根于系数的关系式求出根的和即可．【详解】解：∵2310x x --=， ∴123b x x a+=-=， ∵230x x --=， ∴121b x x a +=-=， ∴所有实数根的和等于4．故答案是：4．【点睛】本题考查一元二次方程根于系数的关系，解题的关键是掌握一元二次方程根与系数的关系式．。

初中数学一元二次方程根与系数关系专项练习题（附答案详解）1．若一个关于x 的一元二次方程的两个根分别是数据2，4，5，4，3，5，5的众数和中位数，则这个方程是（ ）A ．x 2﹣7x+12=0B ．x 2+7x+12=0C ．x 2﹣9x+20=0D ．x 2+9x+20=02．关于x 的方程kx 2+2x ﹣1＝0有两个实数根，则k 的取值范围是（ ）A ．k≥1B ．k≥﹣1C ．k≥1且k≠0D ．k≥﹣1且k≠03．若m ，n 是方程2250x x --=两根，则()()22m m m n -+的值为( ) A ．5 B ．10 C ．5- D ．10-4．已知x 1，x 2是一元二次方程x 2-6x- 15=0的两个根，则x 1+x 2等于( )A ．-6B ．6C ．-15D ．155．在数轴上用点B 表示实数b ．若关于x 的一元二次方程x 2+bx +1=0有两个相等的实数根，则（ ）A ．2OB = B ．2OB >C ．2OB ≥D ．2OB <6．若方程x 2 +x-1 = 0的两实根为α、β，那么下列说法不正确的是( ) .A ．α+β=-1B ．αβ=-1C ．11+αβ=1D ．α2+β2=1 7．已知x 1，x 2是关于x 的方程x 2+bx ﹣3=0的两根，且满足x 1+x 2﹣3x 1x 2=5，那么b 的值为（ ）A ．4B ．﹣4C ．3D ．﹣38．下列关于x 的一元二次方程中，有两个不相等的实数的是( ).A ．2x +2 =0B ．2x +x-1=0C ．2x +x+3=0D ．42x -4x+1=0. 9．已知关于x 的一元二次方程x 2＋mx ＋n ＝0的两个实数根分别为x 1＝－2，x 2＝4，则m ，n 的值分别为()A ．m ＝－2，n ＝8B ．m ＝－2，n ＝－8C ．m ＝2，n ＝－8D ．m ＝2，n ＝8 10．已知α，β是方程2201610x x ++=的两个根，则()()221201812018ααββ++++的值为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．411．已知1x ，2x 分别是一元二次方程260x x --=的两个实数根，则12x x +=________．12．已知,,a b c 是等腰ABC ∆的三条边，其中2b =，如果 ,a c 是关于y 的一元二次方程 260y y n -+=的两个根，则n 的值是__．13．已知a 、b 是一元二次方程2410x x --=的两根，则a +b =_____.14．有一个一元二次方程，它的一个根 x 1＝1，另一个根－2＜x 2＜0． 请你写出一个符合这样条件的方程：_________．15．已知方程 x 2﹣4x+3＝0 的两根分别为 x 1、x 2，则 x 1+x 2＝______．16．已知x 1，x 2是一元二次方程x 2﹣3x ﹣2＝0的两实数根，则1132x ++2132x +的值是_____．17．已知x 1，x 2是关于x 的方程x 2-（2m -2）x +（m 2-2m ）=0的两根，且满足x 1•x 2+2（x 1+x 2）=-1，那么m 的值为（ ）A ．1-或3B ．3-或1C ．3-D ．118．设一元二次方程2230x x --=的两个实数根为x 1，x 2，则x 1＋x 1x 2＋x 2等于( )． A ．1 B ．－1 C ．0 D ．319．已知方程x 2+kx ﹣6＝0有一个根是2，则k ＝_____，另一个根为_____．20．求作一个方程，使它的两个根分别是4-和3，这个方程的一般式是________. 21．关于x 的一元二次方程226250x x p p -+-+=的一个根为2。

一元二次方程根与系数的关系（5种题型）1.探索一元二次方程的根与系数的关系.（重点）2.不解方程利用一元二次方程的根与系数的关系解决问题.（难点）韦达定理：如果12x x ，是一元二次方程 20(0)ax bx c a −+=≠的两个根,由解方程中的公式法得,12x x ==． 那么可推得1212b cx x x x a a+=−⋅=，这是一元二次方程根与系数的关系．题型1：求根与系数关系例1．（2023春·江苏南京·九年级专题练习）若1x ，2x 是一元二次方程2230x x −−=的两个根，则12x x +的值是（ ） A ．2 B ．2− C ．3 D ．3−【答案】A【分析】根据一元二次方程根与系数的关系可得12x x +的值．【详解】解：一元二次方程2230x x −−=的二次项系数是1a =，一次项系数2b =−，∴由根与系数的关系，得122x x +=．故选：A ．【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系：若1x ，2x 是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根，12b x x a +=−，12cx x a =，牢记公式是解题的关键．12x x 是【答案】D【分析】利用两根之积等于ca 即可解决问题．【详解】解：一元二次方程22410x x −+=的两个根为1x、2x ，1212x x ∴=，故选：D ．【点睛】本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，牢记“两根之和等于ba −，两根之积等于c a ”是解题的关键．题型2：利用根与系数的关系式求代数式的值【答案】4/0.75【分析】根据根与系数的关系求出12x x +和12x x ⋅的值，然后代入221212x x x x +计算即可．【详解】解：∵22310x x +−=，∴1232x x +=−，1212x x ⋅=−，∴()2212121212313224x x x x x x x x ⎛⎫==−⨯−=⎪⎝++⎭． 故答案为：34．【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，若1x ，2x 为方程20(0)ax bx c a ++=≠的两个根，则1x ，2x 与系数的关系式：12b x x a +=−，12cx x a ⋅=． 例4．（2023春·江苏南京·九年级专题练习）若m ，n 分别是一元二次方程2410x x −+=的两个根，则23m m n −+的值为（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6【答案】A【分析】根据一元二次方程解的定义和根与系数的关系得到2410m m −+=，m ＋n ＝4，然后利用整体代入的方法计算．【详解】解：∵m ，n 分别是一元二次方程2410x x −+=的两个根，∴2410m m −+=，m ＋n ＝4， ∴241m m −=−，∴2234143m m n m m m n −+=−++=−+=，故选：A ．【点睛】本题考查了一元二次方程的解，根与系数的关系，若1x ，2x 是一元二次方程20ax bx c ++=（a≠0）的两根时，12b x x a +=−，12cx x a ⋅=，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 例5.已知12x x ，是方程2133022x x −−=的两根，求下列各式的值：（1）1211x x +；（2）2212x x −；（3）2212x x +；（4）12||x x−．【答案】（1）2−；（2）−3）42；（4）． 【解析】解：由韦达定理，得：126x x +=，123x x =−．原式=12122x x x x +=−；原式()()()1212126x x xx x x=+−=−=±6=±=±•=±原式=()21212242x x x x +−=；原式12x x −==．【总结】本题考查韦达定理12b x x a +=−，12cx x a =的灵活应用．例6.已知2212510520.1m m n n mn n m−−=+−=≠+，，求的值． 【答案】5−．【解析】由22510m m −−=，可得：25120m m −−=，整理得：21520m m +−=，又由于2520n n +−=，所以可知1m 、n 是方程2520x x +−=的两根， 由韦达定理，可得：15n m +=−．【总结】本题考查韦达定理12b x x a +=−，12cx x a =的灵活应用，而且还考查了一元二次方程的根的灵活应用，要注意观察．例7.已知αβ，是方程：2240x x −−=的两根，求代数式3+8+6αβ的值． 【答案】30．【解析】由题及韦达定理可得：2240αα−−=，2αβ+=，得：224αα=+．3+8+6αβ=286ααβ⋅++=()2486ααβ+++=22486ααβ+++=()224486ααβ++++=()81430αβ++=．【总结】本题考查韦达定理12b x x a +=−，12cx x a =的灵活应用，运用了降次等的思想方法．题型3：已知含字母的一元二次方程的一个根，求另一个根及字母的值例8．（2023春·江苏徐州·九年级校考阶段练习）已知关于x 的方程220x x a +−=的一个根为2，则另一个根是______． 【答案】4−【分析】根据一元二次方程根与系数的关系即可求解．【详解】解：设方程220x x a +−=的另一个根为2x ，则222x +=− 解得：24x =−， 故答案为：4−．【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系：若12,x x 是一元二次方程()200axbx c a ++=≠的两根，12b x x a +=−，12cx x a =，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．例9.若方程：2980kx x −+=的一个根为1x =，则k =________；另一个根为________． 【答案】1；8x =．【解析】将1x =代入方程，可得：1k =，再由韦达定理可得：128x x =，得另一根为8x =．【总结】本题考查韦达定理12b x x a +=−，12cx x a =的应用．题型4：有关一元二次方程的根与系数关系的创新题例10.已知一个直角三角形的两个直角边的长恰好是方程：22870x x −+=两个根，求这个直角三角形的周长． 【答案】7．【解析】解：设直角三角形的三边长为a ，b ，c ，且c 是斜边长，由题知，4a b +=，72ab =，由勾股定理，可得：222c a b =+，所以3c =，所以直角三角形的周长7a b c ++=．【总结】本题考查韦达定理12b x x a +=−，12cx x a =的灵活应用，并且考查了直角三角形的性质，即勾股定理的应用．例11．（2023春·江苏苏州·九年级苏州中学校考开学考试）已知关于x 的一元二次方程22430x mx m −+=． （1）求证：该方程总有两个实数根；（2）若0m >，且该方程的两个实数根的差为2，求m 的值． 【答案】（1）见详解；（2）1m =【分析】（1）由题意及一元二次方程根的判别式可直接进行求证；（2）设关于x 的一元二次方程22430x mx m −+=的两实数根为12,x x ，然后根据一元二次方程根与系数的关系可得212124,3x x m x x m +=⋅=，进而可得()2124x x −=，最后利用完全平方公式代入求解即可．【详解】（1）证明：由题意得：21,4,3a b m c m ==−=，∴22224164134b ac m m m ∆=−=−⨯⨯=，∵20m ≥，∴240m ∆=≥，∴该方程总有两个实数根；（2）解：设关于x 的一元二次方程22430x mx m −+=的两实数根为12,x x ，则有：212124,3x x m x x m +=⋅=，∵122x x −=，∴()()2222121212416124x x x x x x m m −=+−=−=，解得：1m =±， ∵0m >， ∴1m =．根与系数的关系是解题的关键．【答案】(1)③；(2)4；(3)10【分析】（1）分别求出①②③三个方程的根，然后根据题中所给定义可进行求解；（2）设关于x 的方程260x x c −+=的两个根为12,x x ，然后根据“三倍根方程”可令213x x =，进而根据一元二次方程根与系数的关系及方差的解可进行求解；（3）先把一元二次方程进行因式分解变形，然后根据“三倍根方程”的关系可进行求解．【详解】（1）解：由2320x x −+=可得：121,2x x ==，不满足“三倍根方程”的定义；由230x x −=可得：120,3x x ==，不满足“三倍根方程”的定义；由28120x x −+=可得：122,6x x ==，满足“三倍根方程”的定义；故答案为③；（2）解：设关于x 的方程260x x c −+=的两个根为12,x x ，由一元二次方程根与系数的关系可知：126x x +=，12x x c =，令213x x =，则有146x =， ∴132x =，292x =， ∴274c =； （3）解：由()20x m n x mn −++=可得：()()0x m x n −−=，∴12,x m x n==，令3m n =，则有：2222233910mn n m n n n ==++．【点睛】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系及解法，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．一、单选题1．（2022秋·江苏无锡·九年级统考期中）关于下列一元二次方程，说法正确的是（ ） A ．2560x x ++=的两根之和等于5 B ．231x x −=的两根之积等于1C ．20x x m ++=两根不可能互为倒数D ．210x mx ++=中m =0时，两根互为相反数【答案】C【分析】根据一元二次方程根的判别式以及一元二次方程根与系数的关系进行判断即可求解．【详解】A. 2560x x ++=的两根之和等于5−，故该选项不正确，不符合题意；B. 231x x −=，即方程2310x x −−=的两根之积等于1−，故该选项不正确，不符合题意；C. 20x x m ++=，∵1,1,a b c m ===，24140b ac m ∆=−=−≥，解得14m ≤，∵1m ≠，两根之积为m ，∴方程两根之积不可能互为倒数，故该选项正确，符合题意；D. 210x mx ++=中0m =时，即21x =−，此方程无实根，故该选项不正确，不符合题意．故选C ．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式以及一元二次方程根与系数的关系：若12,x x 是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根，12bx x a +=−，12c x x a =．一元二次方程20ax bx c ++= (0a a b c ≠，，，为常数)的根的判别式24b ac ∆=−，理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键．当0∆>时，方程有两个不相等的实数根；当Δ0=时，方程有两个相等的实数根；当Δ0<时，方程没有实数根．【答案】A【分析】利用根与系数的关系12bx x a +=−即可求解．【详解】解：利用根与系数的关系，可得：1222b a a x x a +=−−=−=，x 的方程220ax ax c −+=的一个解为11x =−，()212213x x ∴=−=−−=，故选：A ．【点睛】本题主要考查根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握根与系数的关系．【答案】D【分析】根据两根之和为10−，以及两根之间的数量关系，求出两个根，再根据两根之积等于26a +，求出a 的值即可．【详解】解：设方程的两个根为,m n ，4=m n ，由根与系数的关系可得：10m n +=−，即：410n n +=−， 解得：2n =−， ∴()428m =⨯−=−，∵()268216mn a =+=−⨯−=，∴5a=； 故选D ．【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系．熟练掌握两根之和等于ba −，两根之积等于c a ，是解题的关键．【答案】A【分析】根据：若一元二次方程()200ax bx c a ++=≠ 两根分别为12x x ，，则有：1212b x x a c x x a ⎧+=−⎪⎪⎨⎪⋅=⎪⎩， 代入数据计算即可.【详解】解：设方程的另一根为1x ，由根据根与系数的关系可得：11115x mx +=⎧⎨⨯=⎩，解得：156x m =⎧⎨=⎩故选：B.【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，关键要理解一元二次方程的两根之和只与二次项系数和一次项系数有关，两根之积只与二次项系数和常数项有关，从而快速计算结果.5．（2022·江苏南京·南师附中树人学校校考二模）方程()()1210x x +−+=的根的情况，下列结论中正确的是（ ） A ．两个正根 B ．两个负根 C ．一个正根，一个负根 D ．无实数根【答案】C 【分析】先把方程()()1210x x -++=化为210x x +−=，再根据2Δ41450b ac =-=+=>可得方程有两个不相等的实数根． 【详解】解：∵()()1210x x -++=（p 为常数），∴210x x +−=，∴2Δ41450b ac =-=+=>，∴方程有两个不相等的实数根，根据根与系数的关系，方程的两个根的积为1−， ∴一个正根，一个负根． 故选：C ．【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式以及根与系数关系，注意利用偶次方的非负性判断代数式的符号是解决问题的关键． 二、填空题6．（2023·江苏盐城·统考一模）已知关于x 的一元二次方程280x kx +−=的一个根是2-，则它的另一个根为______． 【答案】4【分析】利用根与系数之间的关系来求解． 【详解】解：设方程的另一个根为m ，关于x 的一元二次方程280x kx +−=的一个根是2-，由根与系数之间的关系可得 28m −=− 4m ∴=，故答案为：4．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数之间的关系．解题的关键是一元二次方程20ax bx c ++=的两根如果为1x 、2x ，则有12b x x a +=−，12cx x a ⋅=． 7．（2022秋·江苏盐城·九年级统考期中）已知一元二次方程2202210x x −−=的两个根分别是1x 、2x ，则代数式221212x x x x +的值为______． 【答案】2022−【分析】结合题意利用一元二次方程根与系数的关系求得122022x x +=，121x x =−，代入即可求解．【详解】解：一元二次方程2202210x x −−=的两个根分别是1x、2x ，122022x x ∴+=，121x x =−，()2212121212x x x x x x x x ∴+=+12022=−⨯2022=−，故答案为：2022−．【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，代数式求值；熟练掌握根与系数的关系是解题的关键．【答案】2【分析】由根与系数的关系可得12123x x x x m+==，，结合12121x x x x +−=可得出关于m 的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：∵12x x ，是方程230x x m −+=的两个根，∴12123x x x x m+==，， ∵121231x x x x m +−=−=，∴2m =． 故答案为2．【点睛】本题考查了根与系数的关系：若12x x ，是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根时，1212cb a a x x x x +=−=，．9．（2023秋·江苏扬州·九年级校考期末）已知1x、2x 是关于x 的方程2250x x −−=的两个根，则12x x +值等于________． 【答案】2【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得出两根之和即可求解． 【详解】解：1x 、2x 是关于x 的方程2250x x −−=的两个根，12221x x −∴+=−=，故答案为：2．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系，一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的根与系数的关系为：12b x x a +=−，12cx x a ⋅=．【答案】6【分析】根据根与系数关系得到两根和与两根积的值，将式子通分代入求解即可得到答案． 【详解】解：由题意可得， ∵1x ，2x 是一元二次方程2560x x +−=的两个根，∴12551x x +=−=−，12661x x −==−，∴121212115566x x x x x x +−+===− 故答案为：56．【点睛】本题考查一元二次方程根与系数之间的关系，解题的关键是熟练掌握12b x x a +=−，12cx x a =．11．（2023秋·江苏南京·九年级统考期末）关于x 的方程221x x p −−=（p 为常数）有两个不相等的正根，则p 的取值范围是______． 【答案】21p −<<−【分析】根据一元二次方程根的判别式和根与系数得关系解答即可．【详解】由题意得： 221x x p −−=，∴22(1)0x x p −−+=，∴[]224(2)41(1)48b ac p p ∆=−=−−⨯⨯−+=+，∴122b x x a +=−=，12(1)cx x p a ⋅==−+，∵关于x 的方程221x x p −−=（p 为常数）有两个不相等的正根，∴480(1)0p p +>⎧⎨−+>⎩，解得：21p −<<− ∴p 的取值范围是：21p −<<− 故答案为：21p −<<−【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式、根与系数的关系，熟练掌握相关知识点是解题的关键．【答案】1−/1−【分析】依据根与系数的关系即12bx x a +=−，12c x x a =代入即可求出m n 、的值，最后代入计算即可．1是方程20x mx n ++=的两个根，))11m∴+=−，)()1·1n=，即m =−1n =，1m n ∴+=−， 故答案为：1−．【点睛】本题考查了根与系数的关系，二次根式的混合运算；解题的关键是熟练掌握一元二次方程根与系数的关系．13．（2023·江苏南京·统考二模）若α、β为2240x x +−=的两根，则22ααβα++的值为______． 【答案】0【分析】由已知中α，β是方程2240x x +−=的两个实数根，结合根与系数的关系转化求解即可．【详解】解：α，β是方程2240x x +−=的两个实数根，可得2αβ+=−，∴22()2220ααβαααβααα++=++=−+=．∴22ααβα++的值为0．故答案为：0．【点睛】本题考查的知识点是一元二次方程根与关系，若α，β是一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两根时，b a αβ+=−，ca αβ=．14．（2023秋·江苏南京·九年级统考期末）设12,x x 是关于x 的方程2320x x −+=的两个根，则12x x +=_____________．【答案】3【分析】直接利用根与系数的关系12bx x a +=−求解．【详解】解∶根据根与系数的关系12bx x a +=−得123x x +=．故答案为：3．【点睛】本题考車了根与系数的关系∶若12,x x 是一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两根时，1212,b cx x x x a a +=−=．15．（2023秋·江苏南京·九年级南京外国语学校仙林分校校考期末）设1x 、2x 是方程230x mx m +−+=的两个根，则1212x x x x +−=___________． 【答案】3−【分析】根据根与系数关系，求出两根之和、两根之积即可． 【详解】解：1x 、2x 是方程230x mx m +−+=的两个根，所以，12x x m+=−，123x x m =−+，1212(3)3x x x x m m +−=−−−+=−，故答案为：3−．【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数关系，解题根据是熟记根与系数关系，求出两根之和、两根之积．16．（2022秋·江苏淮安·九年级校考期末）若一元二次方程2220x x −−=有两个实数根1x ，2x ，则1212x x x x +−的值是________． 【答案】4【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，即可求得．【详解】解：一元二次方程2220x x −−=有两个实数根1x ，2x，122x x ∴+=，122x x =−，()1212224x x x x ∴+−=−−=，故答案为：4．【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，代数式求值问题，熟练掌握和运用一元二次方程根与系数的关系是解决本题的关键． 三、解答题17．（2023·江苏扬州·统考二模）已知关于x 的一元二次方程()2120x m x m −−+−=(1)求证：该方程总有两个实数根．(2)若该方程两个实数根的差为3，求m 的值． 【答案】(1)证明见解析 (2)0或6【分析】（1）由()2120x m x m −−+−=，可知1a =，()1b m =−−，2c m =−，根据()()()222414230b ac m m m =−=−−−−=−≥⎡⎤⎣⎦，证明即可；（2）由()2120x m x m −−+−=，可得121bx x m a +=−=−，122c x x m a ⋅==−，由该方程两个实数根的差为3，可得()2129x x −=，即()()221212124x x x x x x −=+−⋅，()()21429m m −−−=，计算求解即可．【详解】（1）证明：()2120x m x m −−+−=，1a =，()1b m =−−，2c m =−，∴()()()222414230b ac m m m =−=−−−−=−≥⎡⎤⎣⎦，∴该方程总有两个实数根；（2）解：∵()2120x m x m −−+−=，∴121b x x m a +=−=−，122cx x m a ⋅==−，∵该方程两个实数根的差为3，∴()2129x x −=，∵()()221212124x xx x x x −=+−⋅，∴()()21429m m −−−=，解得0m =或6m =， ∴m 的值为0或6．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别，一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式的变形．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．18．（2020秋·江苏南京·九年级统考期中）已知关于x 的方程()220x mx m −+=−．(1)求证：不论m 为何值，该方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程有一个根是2，求m 的值以及方程的另一个根． 【答案】(1)见解析(2)m 的值为2，另一个根为0【分析】（1）先计算判别式的值得到2(2)4m ∆=−+，然后根据判别式的意义得到结论； （2）设方程的另一个为t ，利用根与系数的关系得到2,22t m t m +==−，然后解方程组即可． 【详解】（1）证明：∵1,,2a b m c m ==−=−，∴22224()41(2)48(2)4b ac m m m m m −=−−⨯⨯−=−+=−+， ∵2(2)0m −≥， ∴2(2)40m −+>，∴0∆>，∴不论m 为何值，该方程都有两个不相等的实数根； （2）解：设方程的另一个为t ，根据根与系数的关系得：2,22t m t m +==−， ∴222t t +−=，解得0=t ， ∴2m =，∴m 的值为2，另一个根为0．【点睛】本题考查了判别式的意义以及根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两根时，1212,b cx x x x a a +=−=．一、单选题1．（2022·江苏·九年级专题练习）设一元二次方程2210x x −−=的两根为1x ，2x ，则1122x x x x −+的值为（ ） A ．1 B ．﹣1 C ．0 D ．3【答案】D【分析】先利用一元二次方程根与系数的关系得122x x +=，121x x =−，再变形得到11221212x x x x x x x x −+=+−，然后利用整体代入的方法计算．【详解】解：根据根与系数的关系得122x x +=，121x x =−，∴1122x x x x −+1212x x x x =+−()21=−−3=，故选：D ．【点睛】本题考查利用一元二次方程根与系数的关系求代数式的值，若1x ，2x 是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根，则12b x x a +=−，12cx x a =，掌握一元二次方程根与系数的关系是解决问题的关键．2．（2022秋·江苏常州·九年级校考阶段练习）若m 、n 是方程210x x +−=的两个实数根，则22m m n ++的值为( ) A ．4 B ．2 C ．0 D ．-1【答案】C【分析】根据根与系数的关系及方程的解的定义即可求解．【详解】∵m 、n 是方程210x x +−=的两个实数根，∴210m m +−=，1bm n a +=−=−，∴21m m +=，∴()()222110m m n m m m n ++=+++=−=，故选：C ．【点睛】此题主要考查根与系数的关系，解题的关键是熟知根与系数的关系、一元二次方程根的定义． 3．（2022秋·江苏南京·九年级校考阶段练习）若关于x 的方程260x mx =--的一个根是2−，则另一个根是（ ） A ．2 B ．﹣2 C ．﹣3 D ．3【答案】D【分析】根据根与系数关系得出两根之积为-6，进而可以求出另一个根． 【详解】解：关于x 的方程260x mx =--的一个根是2−， 根据根与系数关系可知，两根之积为-6，则另一个根为632=−-，故选：D ．【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数关系，解题关键是利用根与系数关系求出两根之积为-6． 4．（2022秋·九年级课时练习）若α和β是关于x 的方程210x bx +−=的两根，且2211αβαβ−−=−，则b 的值是（ ） A ．－3 B ．3C ．－5D ．5【答案】C【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得出+=,1b αβαβ−=−，代入2211αβαβ−−=−得到关于b 的方程，求出b 的值即可．【详解】解：∵α和β是关于x 的方程210x bx +−=的两根，∴+=,1b αβαβ−=−，∴222()1211b αβαβαβαβ−−=−+=−+=− ∴=5b − 故选：C【点睛】本题考查了根与系数的关系，熟练掌握两根之和为-b a ，两根之积为ca 是解题的关键．5．（2022秋·江苏苏州·九年级校考阶段练习）设x 1，x 2是方程x 2＋5x ﹣6＝0的两个根，则x 12＋x 22的值是（ ） A ．5 B ．13C ．35D ．37【答案】D【分析】根据根与系数的关系可以得到x1+x2=-5，x1x2=-6，然后利用将代数式的值代入，计算x12+x22=（x1+x2）2-2x1x2的值．【详解】解：根据题意得x1+x2=-5，x1x2=-6， x12+x22=（x1+x2）2-2x1x2=25+12=37． 故选：D ．【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，12bx x a +=−，12cx x a •=．【答案】C【分析】设直角三角形的斜边为c ，两直角边分别为a 与b ．根据一元二次方程根与系数关系可得8a b +=，14ab =．再根据勾股定理即可求．【详解】解：设直角三角形的斜边为c ，两直角边分别为a 与b ，直角三角形两直角边是方程28140x x −+=的两根，8a b ∴+=，14ab =，根据勾股定理可得：2222()2642836c a b a b ab =+=+−=−=，6c ∴=．故选：C ．【点睛】本题考查勾股定理，一元二次方程根与系数关系，熟练掌握一元二次方程根与系数关系是解题的关键．7．（2020秋·江苏连云港·九年级校考阶段练习）两根均为负数的一元二次方程是（ ） A ．2712+5=0x x - B ．26135=0x x -- C ．24215=0x x ++ D ．2158=0x x -+【答案】C【分析】因为两根均为负数，所以两实数根的和小于零，两根之积大于零．解题时检验两根之和ba −是否小于零，及两根之积ca 是否大于零．【详解】解：A.125>07x x =，1212>07x x +=，两根均为正数；B.125<06x x =-，1213>06x x +=，两根为一正一负；C.125>04x x =，1221<04x x +=-，两根均为负数；D.128<0x x =-，1215<0x x +=-，两根为一正一负．故答案为：C ．【点睛】本题考查了根与系数的关系：若1x ，2x 是一元二次方程()2=00ax bx c a ++¹的两根时，12=bx x a +−，12=c x x a ．二、填空题8．（2022秋·江苏连云港·九年级校考阶段练习）若a ，b 是方程2220x x +−=的两个实数根，则代数式23a a b ++的值为______． 【答案】0【分析】由一元二次方程的解的定义可得出2220a a +−=，即得出222a a +=．根据一元二次方程根与系数的关系可得出2a b +=−，从而即可求出22320a a b a a a b ++=+++=．【详解】∵a ，b 是方程2220x x +−=的两个实数根，∴2220a a +−=，221a b +=−=−，∴222a a +=，∴22322(2)0a b a a a a b ++=+++=+−=． 故答案为：0．【点睛】本题考查一元二次方程的解的定义，一元二次方程根与系数的关系．掌握方程的解就是使方程成立的未知数的值和熟记一元二次方程根与系数的关系：12b x x a +=−、12cx x a ⋅=是解题关键． 9．（2023春·江苏泰州·九年级泰州市姜堰区第四中学校考阶段练习）设方程2202310x x −−=的两个根分别为12x x 、，则1212x x x x +−的值是___________． 【答案】2024【分析】先根据根与系数的关系可求121220231x x x x +==−，，再把12x x +，12x x 的值整体代入所求代数式计算即可．【详解】解：∵方程2202310x x −−=的两个根分别为12x x、，∴121220231x x x x +==−，，∴1212202312024x x x x =−++=．故答案是：2024．【点睛】本题考查了一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根与系数的关系：若方程的两根为12x x、，则1212b cx x x x a a +=−⋅=，．10．（2023·江苏南京·九年级专题练习）已知1x 、2x 是一元二次方程250x x −−=的两个实数根，则221122x x x x −+的值是________．【答案】16【分析】先根据根与系数的关系得到121215x x x x +==−，，然后利用整体代入的方法计算．【详解】解：根据题意得121215x x x x +==−，，所以()222211221212313516x x x x x x x x −+=+−=−⨯−=（）．故答案为：16．【点睛】本题考查了根与系数的关系：若12,x x 是一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两根时，1212,b cx x x x a a +=−⋅=．11．（2022春·江苏南通·九年级校考阶段练习）已知：m 、n 是方程2310x x +−=的两根，则22(33)(33)m m n n ++++=_____．【答案】16【分析】根据m 、n 是方程2310x x +−=的两根，即可得到3m n +=−，1mn =−，2310m m +−=，2310n n +−=，从而得到231m m +=，231n n +=，代入计算即可得到答案．【详解】解：∵m 、n 是方程2310x x +−=的两根，∴3m n +=−，1mn =−，2310m m +−=，2310n n +−=，∴231m m +=，231n n +=，∴()()22(33)(33)131316m m n n ++++=++=，故答案为：16．【点睛】本题考查了一元二次方程根的定义，根与系数的关系，熟知一元二次方程根的定义，根与系数的关系，并根据题意将所求代数式变形是解题关键． 三、解答题12．（2022秋·江苏·九年级专题练习）已知关于x 的一元二次方程2220x x m −+−=有两个实数根1x ，2x ． (1)求m 的取值范围；(2)当11x =−时，求另一个根2x 的值． 【答案】(1)3m ≤ (2)23x =【分析】（1）根据题意得()()22420m ∆=−−−≥，解不等式即可求解； （2）根据根与系数的关系得122x x +=，根据11x =−，即可求解．【详解】（1）解：∵关于x 的一元二次方程2220x x m −+−=有两个实数根1x ，2x∴()()22420m ∆=−−−≥，解得3m ≤，所以m 的取值范围为3m ≤；（2）解：∵关于x 的一元二次方程2220x x m −+−=有两个实数根1x ，2x∴122x x +=， ∵11x =−， ∴23x =．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系，掌握以上知识是解题的关键．13．（2022秋·江苏盐城·九年级滨海县第一初级中学校联考阶段练习）已知关于x 的一元二次方程22430x mx m −+=．(1)求证：该方程总有两个实数根；(2)若0m >，且该方程的两个实数根的平方和为10，求m 的值． 【答案】(1)见解析 (2)1m =【分析】（1）由题意及一元二次方程根的判别式可直接进行求证；（2）设关于x 的一元二次方程22430x mx m −+=的两实数根为1x，2x ，然后根据一元二次方程根与系数的关系可得124x x m+=，2123x x m ⋅=，再根据两个实数根的平方和为10，可得()222121212210x x x x x x +=+−=，由此可解．【详解】（1）证明：由题意得：1a =，4b m =−，23c m =，∴22224164134b ac m m m ∆=−=−⨯⨯=，∵20m ≥，∴240m ∆=≥，∴该方程总有两个实数根；（2）解：设关于x 的一元二次方程22430x mx m −+=的两实数根为1x ，2x ，则有124x x m +=，2123x x m ⋅=，∵221210x x +=，∴()222222121212216231010x x x x x x m m m +=+−=−⨯==，解得：1m =±， ∵0m >， ∴1m =．【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判别式及根与系数的关系是解题的关键．14．（2022秋·江苏连云港·九年级校考阶段练习）已知关于x 的一元二次方程()21360x m x m −++−=．(1)求证：方程总有两个实数根； (2)若12127x x x x ++=，求m 的值． 【答案】(1)见解析 (2)3m =【分析】（1 （2）根据一元二次方程根与系数的关系可得1212136x x m x x m +=+=−，，整体代入12127x x x x ++=中，解出m 的值即可．【详解】（1）∵该一元二次方程为()21360x m x m −++−=，∴()1136a b m c m ==−+=−，，，∴()()2222414361025(5)0b ac m m m m m ⎡⎤−=−+−⨯−=−+=−≥⎣⎦，∴该方程总有两个实数根； （2）∵1212136b cx x m x x m a a +=−=+==−，，又∵12127x x x x ++=，∴1367m m ++−=，解得：3m =．【点睛】本题考查根据判别式判断一元二次方程根的情况，一元二次方程的根与系数的关系．掌握一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根的判别式为24b ac ∆=−，且当0∆>时，该方程有两个不相等的实数根；当Δ0=时，该方程有两个相等的实数根；当Δ0<时，该方程没有实数根．熟记一元二次方程根与系数的关系：12b x x a +=−和12cx x a ⋅=是解题关键． 15．（2022秋·江苏·九年级专题练习）关于x 的方程：2（x ﹣k ）＝x ﹣4①和关于x 的一元二次方程：（k ﹣1）x 2+2mx+（3﹣k ）+n ＝0②（k 、m 、n 均为实数），方程①的解为非正数． （1）求k 的取值范围；（2）如果方程②的解为负整数，k ﹣m ＝2，2k ﹣n ＝6且k 为整数，求整数m 的值；（3）当方程②有两个实数根x 1、x 2，满足（x 1+x 2）（x 1﹣x 2）+2m （x 1﹣x 2+m ）＝n+5，且k 为正整数，试判断|m|≤2是否成立？请说明理由．【答案】（1）k≤2且k≠1；（2）m ＝﹣2或﹣3；（3）成立，见解析【分析】（1）先解出方程①的解，根据一元二次方程的定义和方程①的根为非正数，得出k 的取值范围，即可；（2）先把k ＝m+2，n ＝2m ﹣2代入方程②化简，通过因式分解法，用含m 的代数式表示出一元二次方程的两个实数根，根据方程②的解为负整数，m 为整数，即可求出m 的值；（3）根据（1）中k 的取值范围和k 为正整数得出k ＝2，化简一元二次方程，并将两根和与积代入计算，得出关于m 、n 的等式，结合根的判别式，即可得到结论． 【详解】（1）∵关于x 的方程：2（x ﹣k ）＝x ﹣4， 解得：x ＝2k ﹣4，∵关于x 的方程2（x ﹣k ）＝x ﹣4的解为非正数， ∴2k ﹣4≤0，解得：k≤2， ∵由一元二次方程②，可知k≠1， ∴k≤2且k≠1；（2）∵一元二次方程（k ﹣1）x2+2mx+（3﹣k ）+n ＝0中k ﹣m ＝2，2k ﹣n ＝6， ∴k ＝m+2，n ＝2k ﹣6＝2m+4﹣6＝2m ﹣2，∴把k ＝m+2，n ＝2m ﹣2代入原方程得：（m+1）x2+2mx+m ﹣1＝0， 因式分解得，[（m+1）x+（m ﹣1）]（x+1）＝0，∴x1＝﹣11mm−+=211m−+，x2＝﹣1，∵方程②的解为负整数，m为整数，∴m+1＝﹣1或﹣2，∴m＝﹣2或﹣3；（3）|m|≤2成立，理由如下：由（1）知：k≤2且k≠1，∵k是正整数，∴k＝2，∵（k﹣1）x2+2mx+（3﹣k）+n＝0有两个实数根x1、x2，∴x1+x2＝21mk−−＝﹣2m，x1x2＝31k nk−+−＝1+n，∵（x1+x2）（x1﹣x2）+2m（x1﹣x2+m）＝n+5，∴2m2＝n+5 ①，△＝（2m）2﹣4（k﹣1）[（3﹣k）+n]＝4m2﹣4（n+1）≥0 ②，把①代入②得：4m2﹣8m2+16≥0，即m2≤4，∴|m|≤2．【点睛】本题主要考查一元一次方程与一元二次方程，涉及解一元一次方程，一元二次方程以及一元二次方程的根与系数的关系，根的判别式，熟练掌握因式分解法解一元二次方程，一元二次方程的根与系数的关系，根的判别式，是解题的关键．16．（2022秋·江苏·九年级专题练习）关于x的方程2220x ax a−++=有两个不相等的实数根，求分别满足下列条件的取值范围：（1）两根都小于0；（2）两根都大于1；（3）方程一根大于1，一根小于1．【答案】（1）-2＜a＜-1；（2）2＜a＜3；（3）a＞3【分析】由关于x的方程x2-2ax+a+2=0有两个不相等的实根，得出△=（-2a）2-4（a+2）＞0，解得a＜-1或a＞2．设方程x2-2ax+a+2=0的两根为α，β，利用根与系数的关系得到α+β=2a，αβ=a+2，再分别根据：（1）由两根都小于0，得出α+β=2a＜0，αβ=a+2＞0，此求出a的取值范围；（2）由两根都大于1，得出（α-1）（β-1）＞0，且对称轴212a−−>，依此求出a的取值范围；（3）由一根大于1，一根小于1，得出（α-1）（β-1）＜0，依此求出a的取值范围；【详解】解：∵关于x的方程x2-2ax+a+2=0有两个不相等的实根，∴△=（-2a）2-4（a+2）＞0，∴a＜-1或a＞2．设方程x2-2ax+a+2=0的两根为α，β，α+β=2a，αβ=a+2．（1）∵两根都小于0，∴α+β=2a＜0，αβ=a+2＞0，解得：-2＜a＜0，又22a−−<，a＜0；∵a＜-1或a＞2，∴-2＜a＜-1；（2）∵两根都大于1，∴（α-1）（β-1）＞0，∴αβ-（α+β）+1＞0，∴a+2-2a＞-1，∴a＜3，又212a−−>，a＞1；又a＜-1或a＞2，∴2＜a＜3；（3））∵一根大于1，一根小于1，∴（α-1）（β-1）＜0，∴αβ-（α+β）+1＜0，∴a+2-2a＜-1，∴a＞3.【点睛】本题考查了根的判别式，根与系数的关系，属于基础题，关键是要熟记x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=ba−，x1x2=ca.17．（2022秋·江苏·九年级专题练习）如果方程x2+px+q=0有两个实数根x1，x2，那么x1+x2=﹣p，x1x2=q，请根据以上结论，解决下列问题：【答案】（1）43（2）4（3）存在，当k=﹣2时，1212212x xy yx x−−=【分析】（1）根据a，b是x2+15x+5=0的解，求出a+b和ab的值，即可求出a bb a+的值．（2）根据a+b+c=0，abc=16，得出a+b=-c，ab=16c，a、b是方程x2+cx+16c=0的解，再根据c2-4•16c≥0，即可求出c的最小值．（3）运用根与系数的关系求出x1+x2=1，x1•x2=k+1，再解y1y2-1221x xx x−=2，即可求出k的值．【详解】（1）∵a、b是方程x2+15x+5=0的二根，∴a+b=﹣15，ab=5，∴a bb a+=()22a b abab+−215255−−⨯=43，故答案是：43；（2）∵a+b+c=0，abc=16，∴a+b=﹣c，ab=16 c，∴a、b是方程x2+cx+16c=0的解，∴c2﹣4•16c≥0，c2﹣34c≥0，∵c是正数，∴c3﹣43≥0，c3≥43，c≥4，∴正数c的最小值是4．（3）存在，当k=﹣2时，1212212x xy yx x−−=．由x2﹣y+k=0变形得：y=x2+k ，由x ﹣y=1变形得：y=x ﹣1，把y=x ﹣1代入y=x2+k ，并整理得：x2﹣x+k+1=0， 由题意思可知，x1 ， x2是方程x2﹣x+k+1=0的两个不相等的实数根，故有：()()()()()()()212112121221212121212211214101112112k x x x x k y y x x x x x x x x y y x x x x x x =⎧−−+>⎪+⎪⎪=+⎪⎪=−−⎨⎪+−⎪−−=−−−=⎪⎪⎪⎩即：23420k k k ⎧<−⎪⎨⎪+=⎩解得：k=﹣2．【点睛】本题考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．【答案】(1)x1x2=x3x4= (2)454．【分析】（1）利用换元法解方程，设y ＝x2，则原方程可化为y2﹣5y+6＝0，解关于y 的方程得到y1＝2，y2＝3，则x2＝2或x2＝3，然后分别解两个元二次方程即可；（2）根据已知条件，把a2、b2看作方程2x2﹣7x+1＝0的两不相等的实数根，然后根据根与系数的关系求解．【详解】（1）解：42560x x −+=，设2y x =，则原方程可化为2560y y −+=，解得12y =，23y =，当=2y 时，22x =，解得1x 2=x当=3y 时，23x =，解得3x 4=x −所以原方程的解为1x 2=x 3x 4x =故答案为：1x ，2=x 3x =4x =（2）解：∴实数a ，b 满足：422710a a −+=，422710b b −+=且a b ≠，2a ∴、2b 可看作方程22710x x −+=的两不相等的实数根，2272a b ∴+=，2212a b =g ；∴2424222714522224a b a b a b +=+-=-´=g （）（）； 故答案为：454．【点睛】本题主要考查了用“换元法”把高次方程转化为一元二次方程，韦达定理，完全平方公式，其中转化思想是解决问题的关键．。

专题2.4 一元二次方程的根与系数的关系【十大题型】【北师大版】【题型1 利用根与系数的关系直接求代数式的值】 【题型2 利用根与系数的关系求方程的根】【题型3 利用根与系数的关系和一元二次方程的解求代数式的值】 【题型4 利用根与系数的关系降次求代数式的值】 【题型5 由一元二次方程的两根求值】 【题型6 构造一元二次方程求代数式的值】【题型7 由一元二次方程的根判断另一个一元二次方程的根】 【题型8 根与系数的关系与三角形、四边形的综合运用】 【题型9 由一元二次方程根的取值范围求字母的取值范围】【题型10 一元二次方程中的新定义问题】知识点1：一元二次方程的根与系数的关系若一元二次方程20ax bx c ++=（a 、b 、c 为常数，0a ¹）的两根为1x ，2x ，则12bx x a +=-，12c x x a×=．注意它的使用条件为，0a ¹，Δ0³．【题型1 利用根与系数的关系直接求代数式的值】【例1】（23－24九年级·黑龙江绥化·开学考试）1．已知一元二次方程256x x x +=+的两根分别为m 、n ，则11m n+= ．【变式1－1】（23－24九年级·广西来宾·期中）2．若a ，b 是方程2250x x --=的两个实数根，则()()22a b --的值为 ．【变式1－2】（23－24九年级·四川成都·阶段练习）3．设方程22310x x ++=的根为1x 、2x ，则2212x x += ．【变式1－3】（23－24九年级·浙江宁波·期末）4．已知 12x x ， 是方程 22370x x +-= 的两个根，则 331212x x x x + 的值为（ ）A ．214B ．2598-C ．638-D ．1338-【题型2 利用根与系数的关系求方程的根】【例2】（23－24九年级·全国·单元测试）5．若关于x 的方程()()()31212x x m m x --=-的两根之和与两根之积相等，则方程的根为．【变式2－1】（23－24·山东济南·二模）6．若关于x 的一元二次方程260x mx +-=有一个根为2x =，则该方程的另一个根为x =．【变式2－2】（23－24九年级·河北保定·阶段练习）7．若关于x 的一元二次方程2(0)ax b ab =>的两个根分别是m 与26m -，则m 的值为 ，方程的根为．【变式2－3】（23－24九年级·浙江台州·阶段练习）8．若关于x 的一元二次方程2(0)ax c a =¹的一根为2，则另一根为．【题型3 利用根与系数的关系和一元二次方程的解求代数式的值】【例3】（23－24九年级·山东枣庄·期中）9．已知m 、n 是关于x 的方程2220210x x --=的根，则代数式2422023m m n --+的值为（ ）A ．2022B ．2023C ．4039D ．4040【变式3－1】（23－24·江苏南京·模拟预测）10．设1x 、2x 是方程2320200x x --=的两个根，则21122x x x -+= ．【变式3－2】（23－24九年级·辽宁大连·期中）11．设a ，b 是2180x x ++=的两个实数根，则232a a b ++的值是 ．【变式3－3】（23－24九年级·河南新乡·期末）12．已知a ，b 是方程2570x x -+=的两个根，则243a a b -+-=．【题型4 利用根与系数的关系降次求代数式的值】【例4】（23－24九年级·湖北武汉·阶段练习）13．已知a 、b 是一元二次方程2310x x -+=的根，则代数式221111a b +++的值是（ ）A ．3B ．1C ．3-D ．1-【变式4－1】（23－24九年级·云南·期末）14．已知,m n 是方程230x x +-=的两个实数根，则332024m m n -++的值是 ．【变式4－2】（23－24九年级·山东淄博·期中）15．已知12,x x 是方程220240x x --=的两个实数根，则代数式321122024x x x -+的值为（ ）A ．4049B ．4048C ．2024D ．1【变式4－3】（23－24九年级·江苏苏州·阶段练习）16．已知：m 、n 是方程2310x x +-=的两根，则355m m n -+= ．【题型5 由一元二次方程的两根求值】【例5】（23－24九年级·河北保定·阶段练习）17．若关于x 的一元二次方程2(0)ax b ab =>的两个根分别是m 与26m -，则m 的值为 ，方程的根为．【变式5－1】（23－24九年级·四川成都·期末）18．已知关于x 的方程220x bx c ++=的根为12x =-，23x =，则+b c 的值是（ ）A ．-10B ．-7C ．-14D ．-2【变式5－2】（23－24九年级·江苏连云港·阶段练习）19．在解一元二次方程x 2+px +q ＝0时，小明看错了系数p ，解得方程的根为1和﹣3；小红看错了系数q ，解得方程的根为4和﹣2，则p ＝ ．【变式5－3】（23－24九年级·四川广安·阶段练习）20．已知关于x 的一元二次方程x 2﹣2kx +12k 2﹣2＝0．设x 1，x 2是方程的根，且x 12﹣2kx 1+2x 1x 2＝5，则k 的值为 ．【题型6 构造一元二次方程求代数式的值】【例6】（23－24九年级·江苏无锡·阶段练习）21．已知s 满足22310s s --=，t 满足22310t t --=，且s t ¹，则s t += ．【变式6－1】（23－24·湖南常德·一模）22．若两个不同的实数m 、n 满足21m m =+，21n n -=，则22m n += ．【变式6－2】（23－24九年级·全国·竞赛）23．已知实数a b 、分别满足21163a a =+和21312b b =-，那么b a a b+的值是 ．【变式6－3】（23－24九年级·浙江宁波·期末）24．若4231a a -=，231b b -=，且21a b ¹，则2ba 的值是 ．【题型7 由一元二次方程的根判断另一个一元二次方程的根】【例7】（23－24九年级·浙江台州·期末）25．若关于x 的一元二次方程220ax ax c ++= (0)a ¹的一个根为m ，则方程21210a x a x c -+-+=（）（）的两根分别是（ ）．A ．1m +，1m --B ．1m +，1m -+C ．1m +，2m +D ．1m - ，1m -+【变式7－1】（23－24九年级·安徽合肥·期中）26．已知关于x 的一元二次方程20x cx a ++=的两个整数根恰好比方程20x ax b ++=的两个根都大1，则a b c ++的值是 ．【变式7－2】（23－24九年级·浙江·自主招生）27．设a 、b 、c 、d 是4个两两不同的实数，若a 、b 是方程2890x cx d --=的解，c 、d 是方程2890x ax b --=的解，则++a b c d +的值为 ．【变式7－3】（23－24九年级·安徽合肥·期末）28．关于x 的一元二次方程20x px q ++=有两个同号非零整数根，关于y 的一元二次方程20y qy p ++=也有两个同号非零整数根，则下列说法正确的是（ ）A ．p 是正数，q 是负数B ．22(2)(2)8p q -+-＜C ．q 是正数，p 是负数D ．22(2)(2)8p q -->+【题型8 根与系数的关系与三角形、四边形的综合运用】【例8】（23－24九年级·山东·课后作业）29．已知菱形ABCD 的边长为5，两条对角线交于O 点，且OA 、OB 的长分别是关于x 的方程22(21)30x m x m +-++=的根，则m 等于( )A ．3-B ．5C ．53-或D ．53-或【变式8－1】（23－24九年级·黑龙江齐齐哈尔·期末）30．已知三角形的两边长分别是方程211300x x -+=的两个根，则该三角形第三边m 的取值范围是 ．【变式8－2】（23－24九年级·安徽六安·阶段练习）31．已知正方形ABCD 的两邻边AB ，AD 的长度恰为方程210x mx -+=的两个实数根，则正方形ABCD 的周长为（ ）A ．2B ．4C ．6D ．8【变式8－3】（23－24九年级·浙江杭州·期中）32．已知关于x 的一元二次方程230x x k -+=有两个实根1x 和2x ．(1)求实数k 的取值范围；(2)是否存在矩形，1x 和2x k 的值；若不存在，请说明理由．【题型9 由一元二次方程根的取值范围求字母的取值范围】【例9】（23－24·浙江宁波·模拟预测）33．已知关于x 的一元二次方程20x ax b ++=有两个根1x ，2x ，且满足1212x x <<<．记=+t a b ，则t 的取值范围是 ．【变式9－1】（23－24九年级·浙江金华·阶段练习）34．若关于x 的方程()24550x x m --+=的解中，仅有一个正数解，则m 的取值范围是 ．【变式9－2】（23－24九年级·山东青岛·阶段练习）35．若关于x 的方程20x px q ++=的两根同为负数，其中240p q -³，则（ ）A ．0p >且0q >B ．0p >且0q <C ．0p <且0q >D ．0p <且0q <【变式9－3】（23－24九年级·河南南阳·期中）36．若关于x 的一元二次方程22120x x m ++-=的两个实数根之积为负数，则实数m 的取值范围是（ ）A ．0m >B ．12m >C ．12m <D ．0m <【题型10 一元二次方程中的新定义问题】【例10】（23－24九年级·黑龙江哈尔滨·期中）37．定义：若x ₁、x ₂是方程()²00ax bx c a ++=¹的两个实数根，若满足2121x x x x -=×，则称此类方程为“差积方程”．例如：()1102x x æö--=ç÷èø是差积方程．(1)判断方程26510x x -+=是否为“差积方程”？并验证；(2)若方程()2220x m x m -++=是“差积方程”，直接写出m 的值；(3)当方程(()²00ax bx c a ++=¹为“差积方程”时，求a 、b 、c 满足的数量关系．【变式10－1】（23－24九年级·上海青浦·期中）38．如果一元二次方程的两根相差1，那么该方程称为“差1方程”．例如 20x x +=是“差1方程”． 已知关于 x 的方程 ()210x m x m ---=（m 是常数）是“差1方程”，则 m 的值为【变式10－2】（23－24九年级·四川·阶段练习）39．已知对于两个不相等的实数a 、b ，定义一种新的运算：@a b ，如6@15===m ，n 是一元二次方程22170x x -+=的两个不相等的实数根，则[()@m n mn +=．【变式10－3】（23－24九年级·江苏盐城·阶段练习）40．定义：已知1x ，2x 是关于x 的一元二次方程()200ax bx c a ++=¹的两个实数根，若120x x <<，且1234x x <<，则称这个方程为“限根方程”．如：一元二次方程213300x x ++=的两根为110x =-，23x =-，因为1030-<-<，10343-<<-，所以一元二次方程213300x x ++=为“限根方程”．请阅读以上材料，回答下列问题：(1)判断一元二次方程29140x x ++=是否为“限根方程”，并说明理由；(2)若关于x 的一元二次方程()22980x k x k ++++=是“限根方程”，且方程的两根1x 、2x 满足12121111121x x x x ++=-，求k 的值．1．23-．【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，对于一元二次方程()200,ax bx c a ++=¹，若1x ，2x 是该方程的两个实数根，则1212.,b c x x x x a a +=-=直接根据一元二次方程根与系数的关系得到4m n +=，6mn =-，再根据11m nm n mn++=进行求解即可．【详解】解：∵一元二次方程256x x x +=+可化为2460x x --=，这个方程的两根分别为m ，n ，∴4m n +=，6mn =-，114263m n m n mn +\+===--，故答案为：23-．2．5-【分析】本题考查了一元二次方程根于系数的关系，根据一元二次方程根于系数的关系可得2a b +=，7ab =-，代入即可求解，熟练掌握一元二次方程根于系数的关系是解题的关键．【详解】解：∵a ，b 是方程2250x x --=的两个实数根，2a b \+=，7ab =-，()()()228457245a b ab a b \--=-++-´+=-=-．故答案为：5-．3．54【分析】利用根与系数的关系求出两根之和与两根之积，原式利用完全平方公式变形后代入计算即可求出值．【详解】解：Q 方程22310x x ++=的根为1x 、2x ，1232x x \+=-，1212x x =，则22221212123195()2()212244x x x x x x +=+-=--´=-=．故答案为：54．【点睛】本题考查了根与系数的关系，解一元二次方程-因式分解法，以及完全平方公式，解题的关键是熟练掌握根与系数的关系．4．B【分析】本题主要考查了根与系数的关系等知识点，根据一元二次方程根与系数的关系得出12x x +和12x x ，再利用整体思想即可解决问题，熟知一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．【详解】∵1x ，2x 是方程22370x x +-=的两个根，∴1232x x +=-，1272x x =-，∴331212x x x x +()221212x x x x =+()21212122x x x x x x éù=+-ëû27372222éùæöæö=-´--´-êúç÷ç÷èøèøêúëû2598=-，故选：B ．5．9x =±【分析】将已知方程化简成一般形式，再根据一元二次方程根与系数的关系和已知条件，列出关于m 的方程，解出方程，求出m 的值，再将m 代入原来方程，解出方程．【详解】解：将已知方程化简可得：3x 2＋（9－7m ）x ＋6m ＝0，根据一元二次方程根与系数的关系可得x 1＋x 2＝9-7m-3，x 1x 2＝2m ，根据已知条件可得∶9-7m-3＝2m ，解出：m ＝9，将m ＝9代入化简后的方程可得：x 2－18x ＋18＝0，化成完全平方得：（x －9）2＝63，解得x ＝9±故答案为∶ 9x =±【点睛】本题主要考查了一元二次方程的根与一元二次系数的关系，解此题的关键是掌握一元二次方程的根与一元二次系数的关系．6．3-【分析】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，直接利用：一元二次方程()200ax bx c a ++=¹两根分别是12,x x ，则1212,b cx x x x a a+=-=，进行解题即可．【详解】解：设关于x 的一元二次方程260x mx +-=的另一个根为t ，则26t =- ，解得3t =-，故答案为3-7．2122,2x x ==-【分析】若一元二次方程20(a 0)++=¹ax bx c 的两个根为12,x x ，则1212,b cx x x x a a+=-=g ．【详解】解：整理方程得：20ax b -=由题意得：260m m +-=∴2m =故两个根为：122,262x m x m ===-=-故答案为：2；122,2x x ==-【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，理解这两个根和为0是解题的关键．8．2-【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，根据根与系数的关系得到20m +=是解题的关键．【详解】解：设方程的另一个根为m ，则20m +=，解得：2m =-，故答案为：2-．9．D【分析】根据一元二次方程解的定义及根与系数的关系得出222021m m -=，2bm n a+=-=，将原式化简求值即可．【详解】解：∵m 、n 是关于x 的方程2220210x x --=的根，∴222021m m -=，2bm n a+=-=，2422023m m n --+222()2023m m m n =--++2021222023=-´+4040=，故选：D ．【点睛】题目主要考查一元二次方程的根及根与系数的关系，求代数式的值，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题关键．10．2023【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数关系，方程解的定义，掌握一元二次方程根与系数关系，方程解的定义是解题的关键．首先根据根与系数关系得到123x x +=，之后将1x 代入方程中得到211320200x x --=，变形为21132020x x -=，两式相加即可得到答案．【详解】解：1x Q 、2x 是方程2320200x x --=的两个根，123x x \+=，211320200x x --=21132020x x -=\()()12211211220203202323x x x x x x x \=++=-+-+=．故答案为：2023．11．20-【分析】本题考查了根与系数的关系：若1x ，2x 是一元二次方程()200ax bx c a ++=¹的两根时，则12bx x a +=-，12c x x a=．利用整体代入法是本题的关键．【详解】解：∵a ，b 是2180x x ++=的两个实数根，∴218a a +=-，1a b +=-，∴()()22322182(1)20a a b a a a b ++=+++=-+´-=-，故答案为：20-．12．5-【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，掌握20ax bx c ++=的两根1x ，2x 满足12b x x a +=-，12c x x a=是解题的关键．【详解】解：∵a ，b 是方程2570x x -+=的两个根，∴257a a -=-，5a b +=，∴()()2537535a a a b -++-=-+-=-，故答案为：5-．13．B【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系可得3a b +=，1ab =，再整体代入求解即可．【详解】解：∵a 、b 是一元二次方程2310x x -+=的根，∴3a b +=，1ab =，∴221111a b +++2211=a ab b ab+++()()11=a a b b a b +++11=33a b+=3a b ab+331=´1=，故选：B ．【点睛】本题考查一元二次方程的根与系数的关系、分式的化简求值，熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系是解题的关键．14．2020【分析】本题考查了根与系数的关系、一元二次方程的解，正确理解一元二次方程的解的定义是解题的关键．由一元二次方程根与系数关系得1m n +=-，23m m -=-，再代入求值即可．【详解】解：∵m n ，是方程230x x +-=的两个实数根，将x m =代入方程230x x +-=，得230m m +-=，即23m m -=-，23m m=-∴332024m m n -++()232024m m n =-++22024m n =-++，∵23m m =-，∴22024m n -++32024m n =-+++2021m n =++，∵1m n +=-，∴2021120212020m n ++=-+=．故答案为：2020．15．A【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的定义，根据一元二次方程的解，以及一元二次方程根与系数的关系即可求解．【详解】解：解：∵1x ，2x 是方程220240x x --=的两个实数根，∴2112024x x -=，122024x x =-，121x x =+321122024x x x -+()()()2222211212121220242122024x x x x x x x x x =-+=+=+-=-´-4049=故选A16．18-【分析】先根据一元二次方程的解的定义得到2310m m +-=，即231m m =-+，323m m m =-+，再把355m m n -+化简为用m 和n 的一次式表示得到()53m n +-，再根据根与系数的关系得到3m n +=-，然后利用整体代入的方法计算即可．【详解】解：∵m 、n 是方程2310x x +-=的两根，∴2310m m +-=，且0m ¹，3m n +=-，∴231m m =-+，∴323m m m =-+，2355m m m n=-+-+()33145m m n=--+-+553m n =+-()53m n =+-，∴原式()53318=´--=-，故答案为：18-．【点睛】本题考查根与系数的关系：若1x ，2x 是一元二次方程()200ax bx c a ++=¹的两根时，则12b x x a+=-，12c x x a =．掌握一元二次方程根与系数的关键是解题的关键，也考查一元二次方程的解的定义，运用了整体代入和恒等变换的思想．17． 2 122,2x x ==-【分析】若一元二次方程20(a 0)++=¹ax bx c 的两个根为12,x x ，则1212,b c x x x x a a+=-=g ．【详解】解：整理方程得：20ax b -=由题意得：260m m +-=∴2m =故两个根为：122,262x m x m ===-=-故答案为：2；122,2x x ==-【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，理解这两个根和为0是解题的关键．18．C【分析】根据一元二次方程根与系数的关系分别求出b ，c 的值即可得到结论．【详解】解：∵关于x 的方程220x bx c ++=的根为12x =-，23x =，∴121222b c x x x x +=-=， ∴232322b c -+=--´=，，即b=-2，c=-12∴21214b c +=--=-．故选：C．【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程两个为x1，x2，则x1+x2=-ba，x1•x2=ca．19．﹣2【分析】根据根与系数的关系及两同学得出的结论，即可求出p，q的值．【详解】解：由小明看错了系数p，解得方程的根为1和﹣3；可得q＝1×（﹣3）＝﹣3，小红看错了系数q，解得方程的根为4和﹣2，可得﹣p＝4﹣2，解得p＝﹣2，故答案为：﹣2．【点睛】本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，牢记“两根之和等于﹣ba，两根之积等于ca．”是解题的关键．20．【分析】先计算出一元二次方程判别式，即△=2k2+8，从而得到△＞0，于是可判断不论k为何值，方程总有两个不相等实数根；再利用方程的解的定义得到x12-2kx1=-12k2+2，根据根与系数的关系可得x1x2=12k2-2，则-12k2+2+2·(12k2-2)=5，然后解关于k的方程即可.【详解】（1）证明：△=(-2k)2-4(12k2-2)=2k2+8＞0，所以不论k为何值，方程总有两个不相等实数根；（2）∵x1是方程的根，∴x12-2kx1+12k2-2=0，∴x12-2kx1=-12k2+2，∵x12-2kx1+2x1x2=5，x1x2=12k2-2，∴-12k2+2+2·(12k2-2)=5，整理得k2-14=0，∴．故答案为【点睛】本题考查一元二次方程的根与系数的关系，一元二次方程根的判别式，关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式和根与系数的关系.21．32【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，正确得到31,22s t st +==-是解题的关键．由题意可知实数s 、t 是关于x 的方程22310x x --=的两个不相等的实数根，由此可得答案．【详解】解：Q 实数s 、t 满足22310s s --=，22310t t --=，且s t ¹，\实数s 、t 是关于x 的方程22310x x --=的两个不相等的实数根，32s t \+=．故答案为：32．22．3【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式的应用，先根据已知条件得到m 、n 是关于x 的一元二次方程的两个不等实数根，然后根据根和系数的关系得到结果，再根据完全平方公式计算即可，理解m 、n 是关于x 的一元二次方程的两个不等实数根是解题的关键．【详解】解：由题可得：210m m --=，210n n --=，∴m 、n 是关于x 的一元二次方程210x x --=的两个不等实数根，∴1,1m n mn +==-，∴()()222221213m n m n mn +=+-=-´-=，故答案为：3．23．2或16【分析】本题考查一元二次方程的根，一元二次方程根与系数的关系等，分情况讨论，当a b =时，2b a a b+=；当a b ¹时， a 和b 是方程2620x x -+=的两个根，再由根与系数的关系求出a b +和ab ，再将b a a b +变形为()22a b ab ab+-，即可求解．【详解】解：分两种情况：当a b =时，112b a a b+=+=；当a b ¹时，Q 21312b b =-，\21163b b =+，\2620b b -+=，又Q 21163a a =+，\2620a a -+=，\a 和b 是方程2620x x -+=的两个根，\661a b -+=-=，2ab =，\()22222622162a b ab b a b a a b ab ab +-+-´+====，故答案为：2或16．24【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，根据题意可以得到2a 和b 是方程2310x x --=的两根，然后解方程即可．【详解】解：由题意得：42310a a --=()222310a a --=，2310b b --=，∴2a 2x=∴2b a =25．A 【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系求出方程220ax ax c ++= 的另一个根，设1x t -=，根据方程220ax ax c ++= 的根代入求值即可得到答案；【详解】解：∵一元二次方程220ax ax c ++= (0)a ¹的一个根为m ，设方程另一根为n ，∴22a n m a+=-=-，解得：2n m =--，设1x t -=，方程21210a x a x c -+-+=（）（）变形为220at at c ++=，由一元二次方程220ax ax c ++= (0)a ¹的根可得，1t m =，22t m =--，∴12x m -=--，1x m -=，∴11x m =--，21x m =+，故答案为：A ．【点睛】本题考查一元二次方程的根与系数的关系及换元法解一元二次方程，解题的关键是用换元法变形方程代入求解．26．-3或29【分析】设方程20x ax b ++=的两个根为a b ，，其中a b ，为整数，且a ≤b ，则方程20x cx a ++=的两根为11a b ++，，根据题意列出式子，再进行变形即可求出．【详解】解：设方程20x ax b ++=的两个根为a b ，，其中a b ，为整数，且a ≤b ，则方程20x cx a ++=的两根为11a b ++，，由题意得,(1)(1)a a a b a b +=-++=，两式相加得2210ab a b +++=，即()()223a b ++=，所以21{23a b +=+=，；或23{2 1.a b +=-+=-，解得1{1a b =-=，；或5{ 3.a b =-=-，又因为(),,[(1)(1)]a b c a b ab a b =-+==-+++所以012a b c ==-=-，，；或者8156a b c ===，，，故3a b c ++=-或29．故答案为-3或29【点睛】主要考查一元二次方程的整数根与有理根，一元二次方程根与系数关系的应用；利用根与系数的关系得到两根之间的关系是解决本题的关键；27．648【分析】由根与系数的关系得a b +，+c d 的值，两式相加得的值，根据一元二次方程根的定义可得2890a ac d --=，代入可得272980a a c ac -+-=，同理可得272980c c a ac -+-=，两式相减即可得a c +的值，进而可得+++a b c d 的值．【详解】解：由根与系数的关系得8a b c +=，8c d a +=，两式相加得()8a b c d a c +++=+．因为a 是方程2890x cx d --=的根，所以2890a ac d --=，又8d a c =-，所以272980a a c ac -+-=①同理可得272980c c a ac -+-=②①-②得()()810a c a c -+-=．因为a c ¹，所以81a c +=，所以()8648a b c d a c +++=+=．故答案为648【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的定义，根据等式的性质变形是解题的关键．28．D【分析】设方程x 2+px +q ＝0的两根为x 1、x 2，方程y 2+qy +p ＝0的两根为y 1、y 2．根据方程解的情况，结合根与系数的关系可得出x 1•x 2＝q ＞0，y 1•y 2＝p ＞0，即可判断A 与C ；②由方程有两个实数根结合根的判别式得出p 2﹣4q ≥0，q 2﹣4p ≥0，利用不等式的性质以及完全平方公式得出（p ﹣2）2+（q ﹣2）2＞8，即可判断B 与D ．【详解】解：设方程x 2+px +q ＝0的两根为x 1、x 2，方程y 2+qy +p ＝0的两根为y 1、y 2．∵关于x 的一元二次方程x 2+px +q ＝0有两个同号非零整数根，关于y 的一元二次方程y 2+qy +p ＝0也有两个同号非零整数根，∴x 1•x 2＝q ＞0，y 1•y 2＝p ＞0，故选项A 与C 说法均错误，不符合题意；∵关于x 的一元二次方程x 2+px +q ＝0有两个同号非零整数根，关于y 的一元二次方程y 2+qy +p ＝0也有两个同号非零整数根，∴p 2﹣4q ≥0，q 2﹣4p ≥0，∴（p ﹣2）2+（q ﹣2）2＝p 2﹣4q +4+q 2﹣4p +4＞8（p 、q 不能同时为2，否则两个方程均无实数根），故选项B 说法错误，不符合题意；选项D 说法正确，符合题意；故选：D ．【点睛】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，逐一分析四个选项说法的正误是解题的关键．29．A【分析】由题意可知：菱形ABCD 的边长是5，则2225AO BO +=，则再根据根与系数的关系可得：2213AO BO m AO BO m +=-+´=+，；代入22AO BO +中，得到关于m 的方程后，求得m 的值．【详解】由直角三角形的三边关系可得：2225AO BO +=，又有根与系数的关系可得：221,3AO BO m AO BO m +=-+´=+，∴()()()222222212325AO BO AO BO AO BO m m +=+-´=-+-+=，整理得：22150m m --=，解得：m =−3或5.又∵0D >,∴22(21)4(3)0,m m --+> 解得114m <-∴3m =-.故选:A.【点睛】考查一元二次方程根与系数的关系以及菱形的性质，注意掌握勾股定理在解题中的应用.30．111<<m 【分析】先根据一元二次方程的根与系数的关系求得两根和与两根积，经过变形得到两根差的值，即可求得第三边的范围．【详解】解：∵三角形两边长是方程x 2−11x ＋30＝0的两个根，∴x 1＋x 2＝11，x 1x 2＝30，∵（x 1−x 2）2＝（x 1＋x 2）2−4x 1x 2＝121−120＝1，∴x 1−x 2＝1，又∵x 1−x 2＜m ＜x 1＋x 2，∴1＜m ＜11．故答案为：1＜m ＜11．【点睛】本题主要考查了三角形的三边关系和一元二次方程的根与系数的关系，要知道第三边大于两边差，小于两边和．31．B【分析】此题考查了正方形的性质，一元二次方程根与系数的关系.首先根据正方形的性质得到AB AD =，然后根据一元二次方程根与系数的关系得到1AB CD ×=，进而求出1AB CD ==，即可得到正方形ABCD 的周长．【详解】∵四边形ABCD 是正方形∴AB AD=∵正方形ABCD 的两邻边AB ，AD 的长度恰为方程210x mx -+=的两个实数根，∴1AB CD ×=，∴1AB CD ==∴正方形ABCD 的周长为4．故选：B ．32．(1)94k £(2)不存在，理由见解析【分析】本题考查了根与系数的关系和根的判别式，勾股定理，能熟记根与系数的关系和根的判别式的内容是解此题的关键．（1）求出D 的值，根据已知得出不等式，求出即可；（2）根据根与系数的关系得出123x x +=，12x x k =，根据已知得出22212x x +=，变形后代入求出k 的值，进行判断即可．【详解】（1）解：Q 关于x 的一元二次方程230x x k -+=有两个实根1x 和2x ，()23410k \D =--´´³，解得：94k £；（2）1x 和2x 一元二次方程230x x k -+=的两根，123x x \+=，12x x k =，1x Q 和2x ，22212x x \+=，()2121222x x x x \+-=，922k \-=，解得：72k =，94k £Q ，7924>，72k \=不符合题意，\不存在矩形，1x 和2x ．33．10t -<<【分析】本题考查了一元二次方程根和系数的关系，不等式的性质，由根和系数的关系可得，12x x a +=-，12x x b =，得到()()12111t x x =---，由1212x x <<<可得()()120111x x <--<，即得到()()1211110x x -<---<，即可求解，掌握一元二次方程根和系数的关系是解题的关键．【详解】解：由根和系数的关系可得，12x x a +=-，12x x b =，∴()12a x x =-+，12b x x =，∴()()()121212111t a b x x x x x x =+=-++=---，∵1212x x <<<，∴1011x <-<，2011x <-<，∴()()120111x x <--<，∴()()1211110x x -<---<，即10t -<<，故答案为：10t -<<．34．5m ³-【分析】根据一元二次方程根的分布，根的判别式以及根与系数的关系列出不等式组，并解答求得m 的取值范围．本题主要考查了一元二次方程根的分布，根的判别式和根与系数的关系等知识点，解此题的关键是得到()()2Δ54450504m m ìéù=--´´-+³ëûïí+-£ïî．【详解】解：Q 关于x 的方程245(5)0x x m --+=的解中，仅有一个正数解，\()()2Δ54450504m m ìéù=--´´-+³ëûïí+-£ïî，解得5m ³-．故答案为：5m ³-．35．A【分析】据2p －4q ³0，得出方程有两个实数根，再根据已知条件得出两根之积＞零、两根之和<零时，由此得到关于p ，q 的不等式，然后确定它们的取值范围即可.【详解】2p Q －4q ³0，\方程有两个实数根.设1x ，2x 是该方程的两个负数根，则有1x +2x ＜0，x 1x 2＞0，1x +2x =-p,12x x =q ，\-p<0，,q>0.\p>0，,q>0.故选A.【点睛】本题考查一元二次方程根的符号的确定，应利用一元二次方程根与系数的关系与根的判别式.36．B【分析】利用根的判别式0D >及两根之积为负数，即可得出关于m 的一元一次不等式组，解之即可得出实数m 的取值范围．【详解】解：∵关于x 的一元二次方程22120x x m ++-=的两个实数根之积为负数，∴()2Δ241120120m m ì=-´´->í-<î解得：12m >，∴实数m 的取值范围是12m >．故选：B ．【点睛】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，牢记“当0D >时，方程有两个不相等的实数根”及“两根之积等于c a ”是解题的关键．37．(1)是，证明见解析(2)23m =或2-(3)224b ac c -=【分析】本题考查了根与系数的关系，解一元二次方程，理解新定义是解题的关键．（1）分别根据因式分解法解一元二次方程，然后根据定义判断即可；（2）先根据因式分解法解一元二次方程，然后根据定义列出绝对值方程，解方程即可求解；（3）根据求根公式求得1x ，2x ；根据新定义列出方程即可求解．【详解】（1）方程26510x x -+=是“差积方程”，证明：26510x x -+=，即(21)(31)0x x --=，解得112x =，213x =，11112323-=´Q ，26510x x \-+=是差积方程；（2）解：()2220x m x m -++=，()()20x m x --=解得方程的解为：12x =，2x m =，2(2)20x m x m -++=Q 是差积方程，22m m \-=，即：22m m -=或22m m -=-．解得：23m =或2-，（320 (0)a ¹解得1x =，2x =20ax bx c ++=Q (0)a ¹是差积方程，1212x x x x \-=×，即224b ac c -=．38．2-或0##0或―2【分析】本题考查根与系数的关系．设方程的两个根为()1212,x x x x <，由题意，得：12121,m m x x x x =+-=-，211x x -=，利用完全平方公式的变形式进行计算即可．【详解】解：设方程的两个根为()1212,x x x x <，由题意，得：12121,m m x x x x =+-=-，211x x -=，∴()()()2222112124141x x x x x x m m -=+-=-+=，解得：2m =-或0m =，故答案为：2-或0．39．25【分析】首先根据韦达定理求解两根之和与两根之积，然后代入原式根据定义进行求解．【详解】由m ，n 是22170x x -+=的两个不相等的实数根可得：21m n +=，7mn =故[()@(21@m n mn +=======25=【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数关系（也叫韦达定理），实数的定义新运算，此类题型一定要严格按照题目中的定义来求解，注意过程的正确性．40．(1)此方程为“限根方程”，理由见解析(2)5【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程，一元二次方程的根与系数的关系．理解题意，熟练掌握因式分解法解一元二次方程，一元二次方程的根与系数的关系是解题的关键．（1）因式分解法解一元二次方程得1272x x =-=-，，根据定义，求解作答即可；（2）由()22980x k x k ++++=，可得129x x k +=--，1228x k x =+，代入12121111121x x x x ++=-，整理得，211300k k -+=，解得，5k =或6k =，分当5k =时，当6k =时，两种情况求解，然后判断作答即可．【详解】（1）解：此方程为“限根方程”，理由如下：∵29140x x ++=，∴()()720x x ++=，解得，1272x x =-=-，，∵7342-<<-，∴方程为“限根方程”；（2）解：∵()22980x k x k ++++=，∴129x x k +=--，1228x k x =+，∵12121111121x x x x ++=-，∴()121211112x x x x ++=-，即()29812111k k --++=-，整理得，211300k k -+=，∴()()560k k --=，解得，5k =或6k =，①当5k =时，214330x x ++=，解得，12113x x =-=-，，∵11343-<<-，∴5k =符合题意；②当6k =时，215440x x ++=，解得，12114x x =-=-，，∵1134-<-，∴6k =不符合题意，舍去；∴k 的值为5．。

一元二次方程根与系数的关系练习题一元二次方程根与系数的关系练题（1）一、填空：1、如果一元二次方程ax^2+bx+c=0(a≠0)的两根为x1，x2，那么x1+x2=-b/a，x1x2=c/a.2、如果方程x^2+px+q=0的两根为x1，x2，那么x1+x2=-p，x1x2=q.3、方程2x^2-3x-1=0的两根为x1，x2，那么x1+x2=3/2，x1x2=-1/2.4、如果一元二次方程x^2+mx+n=0的两根互为相反数，那么m=0；如果两根互为倒数，那么n=1.5、方程x^2+mx+(n-1)=0的两个根是2和-4，那么m=-2，n=-7.6、以x1，x2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是x^2-(x1+x2)x+x1x2=0.7、以3+1，3-1为根的一元二次方程是(x-4)(x-2)=0，即x^2-6x+8=0.8、若两数和为3，两数积为-4，则这两数分别为-1和-3.9、若两数和为4，两数积为3，则这两数分别为1和3.10、已知方程2x^2+3x-4=0的两根为x1，x2，那么x1+x2=-3/2.11、若方程x^2-6x+m=0的一个根是3-2，则另一根是1，m的值是5.12、若方程x^2-(k-1)x-k-1=0的两根互为相反数，则k=±1，若两根互为倒数，则k=-1.13、如果是关于x的方程x^2+mx+n=0的根是-2和3，那么x^2+mx+n在实数范围内可分解为(x+2)(x-3)=0.14、已知方程x^2-3x-2=0的两根为x1、x2，则（1）x1^2+x2^2=11；（2）x1+x2=3；（3）(x1-x2)^2=25；（4）(x1+1)(x2+1)=-1.二、选择题：1、关于x的方程2x^2-8x-p=0有一个正根，一个负根，则p的值是（C）－8.2、已知方程x^2+2x-1=0的两根是x1，x2，那么x1x2+x1+x2=-7.3、已知方程2x^2-x-3=0的两根为x1，x2，那么x1x2=3/2.4、下列方程中，两个实数根之和为2的一元二次方程是（A）x^2+2x-3=0.5、若方程4x^2+(a^2-3a-10)x+4a=0的两根互为相反数，则a的值是（D）-2.1、若一个关于x的方程5x2+23x+m=0有一个根为-5，求另一个根和m的值。

初中数学一元二次方程根与系数关系专项复习题（附答案详解）1．已知关于x 的一元二次方程2210ax x --=有两个不相等的实数根，则二次项系数a 的取值范围是（ ） A ．1a >-B ．2a >-C ．1a >且0a ≠D ．1a >-且0a ≠2．若关于x 的一元二次方程x 2-2x+k=0有两个不相等的实数根，那么k 的取值范围是（ ）A ．k ＜1B ．k≠0C ．k ＞1D ．k ＜03．一元二次方程ax 2+x ﹣2=0有两个不相等实数根，则a 的取值范围是（ ） A ．a 18<B ．a= 18-C ．a 18>-且a≠0 D ．a 18> 且a≠0 4．下列方程中，两根是﹣2和﹣3的方程是（ ） A ．x 2﹣5x+6=0 B ．x 2﹣5x ﹣6=0 C ．x 2+5x ﹣6=0 D ．x 2+5x+6=05．关于x 的一元二次方程260x mx +-=的一个根是3，则另一个根是（ ） A ．-1B ．1C ．-2D ．26．已知方程x 2+2x-1=0，则此方程（ ）A ．无实数根B ．两根之和为2C ．两根之积为-1D ．有一个根为21+7．已知方程x 2﹣4x +k ＝0有一个根是﹣1，则该方程的另一根是( ) A ．1B ．0C ．﹣5D ．58．已知关于x 的一元二次方程x 2－6x ＋k ＋1＝0的两个实数根是x 1，x 2，且x ＋x ＝24，则k 的值是()． A ．8B ．－7C ．6D ．59．关于x 的方程的022=+-a ax x 两个根的平方和5是，则a 的值是（ ）A ．－1或5B ． 1C ．5D ．－110．已知一元二次方程2310x x -+=的两根是1x 、2x ，则12x x +的值是（ ） A ．3B ．1C ．3-D ．1-11．若方程25320x x --=的两个实数根为,m n ，则11m n+的值为__________． 12．若方程x 2+（m+1）x ﹣2n=0的两根分别为2和﹣5，则m=_____，n=_____． 13．已知a ，b 是一元二次方程220180x x --=的两个实数根，则22________a a b--=；14．方程2x2+4x﹣1=0的两根为x1，x2，则x1+x2=____．15．若关于x的方程的两根互为倒数，则= .16．如果一元二次方程2x2﹣5x+m=0有两个实数根，那么实数m的取值范围为_____．17．写出一个二次项系数为2，一个根比1大，另一个根比1小的一元二次方程__________．18．若－2是一元二次方程x2―2x―a＝0的一个根，则a的值为____．19．若关于的方程有两个相等的实数根，则k的值为▲ . 20．如果方程x2﹣2x+m=0的两实根为a，b，且a，b，1可以作为一个三角形的三边之长，则实数m的取值范围是___________________．21．已知关于的方程.（1）若该方程有两个不相等的实数根，求实数的取值范围；（2）若该方程的一个根为1，求的值及该方程的另一根．22．已知关于x的一元二次方程x2+（2m+3）x+m2＝0有两个不相等的实数根，（1）求m的取值范围（2）若α，β是方程的两个实数根，且满足11αβ+＝﹣1，求m的值．23．阅读材料：材料1 若一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根为x1，x2则x1+x2＝﹣ba，x1x2＝ca．材料2 已知实数m，n满足m2﹣m﹣1＝0，n2﹣n﹣1＝0，且m≠n，求n mm n+的值．解：由题知m，n是方程x2﹣x﹣1＝0的两个不相等的实数根，根据材料1得m+n＝1，mn ＝﹣1，所以222()2121n m m n m n mn m n mn mn ++-++===-＝﹣3． 根据上述材料解决以下问题：（1）材料理解：一元二次方程5x 2+10x ﹣1＝0的两个根为x 1，x 2，则x 1+x 2＝ ，x 1x 2＝ ．（2）类比探究：已知实数m ，n 满足7m 2﹣7m ﹣1＝0，7n 2﹣7n ﹣1＝0，且m ≠n ，求m 2n +mn 2的值：（3）思维拓展：已知实数s 、t 分别满足19s 2+99s +1＝0，t 2+99t +19＝0，且st ≠1．求41st s t++的值．24．已知关于x 的一元二次方程(k ﹣1)x 2+(2k+1)x+k ＝0. (1)依据k 的取值讨论方程解的情况.(2)若方程有一根为x ＝﹣2，求k 的值及方程的另一根.25．已知关于x 的方程230x x a ++=①的两个实数根的倒数和等于3，且关于x 的方程2(1)320k x x a -+-=②有实数根，又k 为正整数，求代数式2216k k k -+-的值．26．已知关于的一元二次方程x 2－4x ＋k ＋1＝0（1）若=－1是方程的一个根，求k 值和方程的另一根；（2）设x 1，x 2是关于x 的方程x 2－4x ＋k ＋1＝0的两个实数根，是否存在实数k ，使得x 1x 2＞x 1＋x 2成立？请说明理由．27．已知关于x 的一元二次方程2104x x m -+=有两个实数根． ()1若m 为正整数，求此方程的根．()2设此方程的两个实数根为a 、b ，若2221y ab b b =-++，求y 的取值范围．28．已知关于x 的一元二次方程x 2+(4m+1)x+2m-1=O ． (1)求证：不论m 为任何实数，方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程两根为x 1、x 2，且满足12111+?=2x x ，求m 的值．29．关于的一元二次方程（1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）为何整数时，此方程的两个根都为正整数．30．已知关于ｘ的一元二次方程01)1(22=-+++k x k kx 有两个实数根，求k 的取值范围．参考答案1．D【解析】【分析】由关于x的一元二次方程ax2-2x-1=0有两个不相等的实数根，即可得判别式△＞0且二次项系数a≠0，继而可求得a的范围．【详解】∵一元二次方程ax2-2x-1=0有两个不相等的实数根，∴△=（-2）2-4×a×（-1）＞0，且a≠0，解得：a＞-1且a≠0，故选D．【点睛】此题考查了一元二次方程根的判别式的知识．此题比较简单，注意掌握一元二次方程有两个不相等的实数根，即可得△＞0．2．A【解析】∵关于x的一元二次方程x2−2x+k=0有两个不相等的实数根，∴△=(−2)2−4k>0，解得：k<1.故选：A.3．C【解析】【分析】根据已知得出b2-4ac=12-4a•（-2）＞0，求出即可．【详解】∵一元二次方程ax2+x-2=0有两个不相等实数根，∴b2-4ac=12-4a•（-2）＞0，解得：a＞-18且a≠0，故选：C．【点睛】本题考查了根的判别式的应用，注意：一元二次方程ax2+bx+c=0（a、b、c为常数，a≠0）的根的判别式是b 2-4ac ，当b 2-4ac ＞0时，方程有两个不相等的实数根，当b 2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根，当b 2-4ac ＜0时，方程没有实数根． 4．D ． 【解析】试题分析：设两根是﹣2和﹣3的方程为：x 2+ax+b=0，根据根与系数的关系，可得（﹣2）+（﹣3）=﹣a=5，（﹣2）×（﹣3）=b=6，故方程为：x 2+5x+6=0．故选D ． 考点：根与系数的关系． 5．C 【解析】 【分析】设该一元二次方程的另一根为t ，则根据根与系数的关系得到36t =-，由此易求t 的值． 【详解】解：设关于x 的一元二次方程260x mx +-=的另一个根为t ，则36t =-， 解得2t =-． 故选：C ． 【点睛】本题考查了根与系数的关系．若二次项系数为1，常用以下关系：1x ，2x 是方程20x px q ++=的两根时，12x x p +=-，12x x q =，反过来可得12()p x x =-+，12q x x =，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数． 6．C ． 【解析】试题解析：A 、△=22-4×1×（-1）=8＞0，则该方程有两个不相等的实数根．故本选项错误； B 、设该方程的两根分别是α、β，则α+β=-2．即两根之和为2，故本选项错误； C 、设该方程的两根分别是α、β，则αβ=-1．即两根之积为-1，故本选项正确；D 、根据求根公式1=-±1-+1-．故本选项错误； 故选C ．考点：1.根与系数的关系；2.根的判别式．【解析】 【分析】利用根与系数的关系，即可求出. 【详解】设该方程的另一根为m ， 利用根与系数的关系：12b x x a+=- 得：m ﹣1＝4， 解得：m ＝5． 故选：D ． 【点睛】本题考查一元二次方程的解的定义以及根数系数的关系，熟练掌握相关知识点是解题关键. 8．D 【解析】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，即韦达定理进行作答. 【详解】 由韦达定理，即，x 1·x 2＝.而x ＋x ＝24＝（）2－2 x 1·x 2＝36－2（k ＋1），解出k ＝5.所以，答案选D. 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，即韦达定理的运用，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系，即韦达定理是本题解题关键. 9．D 【解析】试题分析：设,αβ是方程022=+-a ax x 的两个根，则,2a a αβαβ+==，又225αβ+=，所以22()245a a αβαβ+-=-=，解得a =－1或5，当a=-1时，9=V ＞0，当a=5时，16=-V ＜0，所以a=5不合题意舍去，所以选：D ． 考点：根与系数的关系．【解析】 【分析】根据根与系数的关系得到x 1+x 2=3，即可得出答案． 【详解】解：∵x 1、x 2是一元二次方程x 2−3x+1=0的两个根， ∴x 1+x 2=3， 故选A.. 【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx+c=0(a≠0)的两根时，x 1+x 2=b a -，x 1x 2=c a. 11．32-【解析】 【分析】因为方程25320x x --=的两个实数根为m 、n ，所以32,55m n mn +==-，而11m n +=m nnm +，将所得的式子代入计算即可. 【详解】解：∵方程25320x x --=的两个实数根为m 、n ，∴32,55m n mn +==-， ∴11m n +=m n n m +=3525-=32-.故答案为32-.【点睛】本题考查的是一元二次方程的根与系数的关系，对于此类题目，一般的思路和方法是先写出两根之和与两根之积，再将所求的式子变形成两根和与积的形式，整体代入求解. 12． 2 5【解析】∵方程x 2+（m+1）x ﹣2n=0的两根分别为2和﹣5，∴由一元二次方程“根与系数的关系”可得：2+（﹣5）=﹣（m+1），2×（﹣5）=﹣2n，解得：m=2，n=5．故答案为2，5．13．2017【解析】【分析】先根据一元二次方程解的定义得到a2=a+2018，所以a2-2a-b化简为-（a+b）+2018，再利用根与系数的关系得到a+b=1，然后利用整体代入的方法计算．【详解】∵a为方程x2-x-2018=0的根，∴a2-a-2018=0，即a2=a+2018，∴a2-2a-b=a+2018-2a-b=-（a+b）+2018，∵a、b是一元二次方程x2-x-2018=0的两个实数根，∴a+b=1，所以原式=-1+2018=2017．故答案是：2017．【点睛】考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=-ba，x1x2=ca．也考查了一元二次方程解的定义．14．﹣2 【解析】试题解析：根据一元二次方程根与系数的关系可得：x1+x2=4-=-2 2.15．-1．【解析】试题分析：设已知方程的两根分别为m，n，由题意得：m与n互为倒数，即mn=1，由方程有解，得到，解得：，又mn=，∴=1，解得：=1（舍去）或=-1，则=-1．故应填为：-1.考点：根与系数的关系．点评：此题要求熟练掌握一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0），当b 2-4ac≥0时，方程有解，然后利用韦达定理得出，．16．m≤258【解析】 【分析】此题根据方程有实数根,可得25420,m -⨯≥解这个不等式即可得出答案. 【详解】解:关于x 的一元二次方程2250x x m -+=有两个实数根,由一元二次方程根的判别式,得25420,m -⨯≥解得：25.8m ≤ 故答案为：25.8m ≤ 【点睛】一元二次方程根的判别式:△＞0时,一元二次方程有两个不等实根; △=0时,一元二次方程有两个相等实根; △＜0时,一元二次方程没有实根; △≥0时,方程有实数根.17．2240x x -=（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据题意可设一根为2，另一根为0，再计算出2+0=2，2×0=0，然后根据根与系数的关系写出新方程，再把二次项系数化为2即可． 【详解】解：设一根为2，另一根为0， ∵2+0=2，2×0=0，∴以2和0为根的一元二次方程可为x 2-2x=0， 当二次项系数为2时，方程变形为2x 2-4x=0． 故答案为2240x x -=． 【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x 1，x 2是方程ax 2+bx+c=0的两根时，12bx x a +=-，12c x x a=. 18．8【解析】解析：把x=-2代入方程得：4+4-a=0， 解得：a=8.考点：一元二次方程的解． 19．8 【解析】若一元二次方程有两个相等的实数根，则根的判别式△=b 2-4ac=0，建立关于k 的等式，求出k 的值．解：由题意知方程有两相等的实根， ∴△=b 2-4ac=36-4k-4=0， 解得k=8． 20．34＜m≤1． 【解析】 【分析】若一元二次方程有两根，则根的判别式△=b 2-4ac≥0，建立关于m 的不等式，求出m 的取值范围．再根据根与系数的关系和三角形中三边的关系来再确定m 的取值范围，最后综合所有情况得出结论． 【详解】∵方程x 2-2x+m=0的两实根为a ，b ， ∴有△=4-4m≥0， 解得：m≤1，由根与系数的关系知：a+b=2，a•b=m ， 若a ，b ，1可以作为一个三角形的三边之长， 则必有a+b ＞1与|a-b|＜1同时成立，故只需（a-b ）2＜1即可， 化简得：（a+b ）2-4ab ＜1，把a+b=2，a•b=m 代入得：4-4m ＜1， 解得：m ＞34， ∴34＜m≤1， 故本题答案为：34＜m≤1． 【点睛】主要考查一元二次方程的根的判别式与根的关系和一元二次方程根与系数的关系、三角形中三边的关系． 21．（1）；（2）的值是，该方程的另一根为．【解析】试题分析：（1）利用根的判别式列出不等式求解即可； （2）利用根与系数的关系列出有关的方程（组）求解即可.试题解析：（1）∵b 2﹣4ac=22﹣4×1×（a ﹣2）=12﹣4a ＞0， 解得：a ＜3， ∴a 的取值范围是a ＜3；（2）设方程的另一根为x 1，由根与系数的关系得：111x 21x 2a +=-⎧⎨⋅=-⎩，解得：11x 3a =-⎧⎨=-⎩， 则a 的值是﹣1，该方程的另一根为﹣3．22．（1）m ＞﹣34；（2）m ＝3． 【解析】 【分析】（1）根据方程有两个相等的实数根可知△＞0，求出m 的取值范围即可； （2）根据根与系数的关系得出α+β与αβ的值，代入代数式进行计算即可． 【详解】（1）∵关于x 的一元二次方程x 2+（2m +3）x +m 2＝0有两个不相等的实数根，∴△＞0，即△＝（2m +3）2﹣4m 2＞0，解得m ＞﹣34； （2）∵α，β是方程的两个实数根， ∴α+β＝﹣（2m +3），αβ＝m 2． ∵211(23)1m mαβαβαβ+-++===-， ∴﹣（2m +3）＝﹣m 2，解得m 1＝3，m 2＝﹣1（舍弃）． ∴m ＝3． 【点睛】考查的是根与系数的关系，熟知x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx +c ＝0（a ≠0）的两根时，x 1+x 2＝﹣b a ，x 1x 2＝ca是解答此题的关键． 23．（1）-2，-15；（2）﹣17；（3）﹣15．【解析】 【分析】（1）直接利用根与系数的关系求解；（2）把m 、n 可看作方程7x 2﹣7x ﹣1＝0，利用根与系数的关系得到m +n ＝1，mn ＝﹣17，再利用因式分解的方法得到m 2n +mn 2＝mn （m +n ），然后利用整体的方法计算；（3）先把t 2+99t +19＝0变形为19•（1t ）2+99•1t +1＝0，则把实数s 和1t可看作方程19x 2+99x +1＝0的两根，利用根与系数的关系得到s +1t ＝﹣9919，s •1t ＝119，然后41st s t ++变形为s +4•s t +1t，再利用整体代入的方法计算． 【详解】解：（1）x 1+x 2＝﹣105＝﹣2，x 1x 2＝﹣15；故答案为﹣2；﹣15；（2）∵7m 2﹣7m ﹣1＝0，7n 2﹣7n ﹣1＝0，且m ≠n ， ∴m 、n 可看作方程7x 2﹣7x ﹣1＝0， ∴m +n ＝1，mn ＝﹣17，∴m2n+mn2＝mn（m+n）＝﹣17×1＝﹣17；（3）把t2+99t+19＝0变形为19•（1t）2+99•1t+1＝0，实数s和1t可看作方程19x2+99x+1＝0的两根，∴s+1t＝﹣9919，s•1t＝119，∴41st st++＝s+4•st+1t＝﹣9919+4×119＝﹣15．【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣ba，x1x2＝ca．也考查了解一元二次方程．24．(1)k＞﹣18且k≠1时，原方程有两个不相等的实数根；k＝﹣18时，原方程有两个相等的实数根；k＜﹣18时，原方程没有实数根；(2)k＝6，方程的另一根为﹣35.【解析】【分析】(1)根据方程的系数可得出根的判别式△＝8k+1，进而可得出方程解得情况；(2)将x＝﹣2代入原方程可求出k值，再利用两根之和等于ba-及方程的一根为x＝﹣2，可求出方程的另一根.【详解】解：(1)a＝k﹣1，b＝2k+1，c＝k，∵△＝b2﹣4ac＝(2k+1)2﹣4×(k﹣1)×k＝8k+1，∴当k＞﹣18且k≠1时，原方程有两个不相等的实数根；当k＝﹣18时，原方程有两个相等的实数根；当k＜﹣18时，原方程没有实数根.(2)将x＝﹣2代入原方程，得：(k﹣1)×(﹣2)2+(2k+1)×(﹣2)+k＝0，解得：k＝6，∴原方程为5x2+13x+6＝0，∴方程的另一根为x ＝﹣135﹣(﹣2)＝﹣35. 【点睛】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，解题的关键是：（1）牢记“当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根”；（2）代入x=-2求出k 值． 25．0. 【解析】 【分析】由于关于x 的方程x 2+3x +a =0的两个实数根的倒数和等于3，利用根与系数的关系可以得到关于a 的方程求出a ，又由于关于x 的方程（k -1）x 2+3x -2a =0有实数根，分两种情况讨论，该方程可能是一次方程、有可能是一元二次方程，又k 为正整数，利用判别式可以求出k ，最后代入所求代数式计算即可求解． 【详解】解：设方程①的两个实数根分别为x 1、x 2则12123940x x x x a a +-⎧⎪⎨⎪-≥⎩V＝＝＝ ， 由条件，知12121211x x x x x x ++==3， 即33a -=，且94a ≤， 故a ＝－1，则方程②为(k -1)x 2+3x +2=0，Ⅰ.当k -1=0时，k =1,x =23-，则22106k k k -=+-.Ⅱ.当k -1≠0时，∆=9-8（k -1）=17-6-8k ≥0，则178k ≤， 又k 是正整数，且k≠1，则k =2，但使2216k k k -+-无意义.综上，代数式2216k k k -+-的值为0【点睛】本题综合考查了根的判别式和根与系数的关系，在解方程时一定要注意所求k 的值与方程判别式的关系．要注意该方程可能是一次方程、有可能是一元二次方程， 26．（1）k=" -6" ，方程的另一根是5． （2）不存在．理由见解析. 【解析】试题分析：（1）把已知的根代入原方程，求出k ，然后根据根与系数的关系，求得另一根； （2）根据一元二次方程的跟的判别式求出k 的范围，然后再根据根与系数的关系表示出x 1＋x 2＝4，x 1·x 2＝k ＋1，根据已知的不等式求出k 的范围，从判断是否存在. 试题解析：（1）k="-6" ，方程的另一根是5． （ 2 ） 不存在．理由：由题意得Δ＝16－4（k ＋1）≥0，解得k≤3． ∵x 1，x 2是一元二次方程的两个实数根， ∴x 1＋x 2＝4，x 1x 2＝k ＋1， 由x 1x 2＞x 1＋x 2得k ＋1＞4， ∴k ＞3，∴不存在实数k 使得x 1x 2＞x 1＋x 2成立．考点：一元二次方程根的判别式，根与系数的关系 27．()11m =，1212x x ==．()724y ≤． 【解析】 【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出114m 1m 04=-⨯=-≥V ，由此吉可求得m 的取值范围，根据m 为正整数，可得出m 的值，将m 代入原方程求出x 的值即可； （2）根据根与系数的关系以及一元二次方程根的定义可得1ab m 4=，21b b m 04-+=，由此可得3y m 14=+，根据m 的取值范围进行求解即可. 【详解】()1∵一元二次方程21x x m 04-+=有两个实数根，∴114m 1m 04=-⨯=-≥V ， ∴m 1≤．∵m 为正整数， ∴m 1=，当m 1=时，此方程为21x x 04-+=， ∴此方程的根为121x x 2==； ()2∵此方程的两个实数根为a 、b ，∴1ab m 4=，21b b m 04-+=， ∴()22113y ab 2b 2b 1ab 2b b 1m 2m 1m 1444⎛⎫=-++=--+=--+=+ ⎪⎝⎭， ∵()4m y 13=-， 又∵m 1≤， ∴()4m y 113=-≤， ∴y 的取值范围为7y 4≤． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式、根与系数的关系、一元二次方程的根等，综合性较强，正确理解题意，熟练运用相关知识是解题的关键. 28．（1）相交线；（2）m=110-． 【解析】 【分析】（1）要证明方程总有两个不相等的实数根，那么只要证明△＞0即可; （2）首先利用根与系数的关系可以得到x 1+x 2，x 1x 2，接着利用根与系数的关系得到关于m 的方程，解方程即可解决问题． 【详解】（1）证明：因为一元二次方程x 2+(4m+1)x+2m-1=O 的根的判别式 △=(4m+1)2－4（2m-1）=16m 2+8m+1-8m+4=16m 2+5．因为不论m 取何值时，m 2≥0，所以16m 2+5总大于0，即不论m 为任何实数，方程总有两个不相等的实数根；（2）因为方程两根为x 1、x 2，所以x 1+x 2=－（4m+1），x 1x 2=2m －1， 因为12111+=,2x x 所以121212x x x x +=，所以()411212m m -+=-，所以m=110-．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，掌握(1) △>0,方程有两个不相等的实数根；(2) △=0，方程有两个相等的实数根；(3) △<0,方程没有实数根,是解答本题的关键. 29．（1）证明见解析；（2）2或3． 【解析】试题分析：（1）表示出根的判别式，得到根的判别式大于0，进而确定出方程总有两个不相等的实数根；（2）由（1）得到方程有两个不相等的实数根，利用求根公式表示出方程的两根：x 1=，x 2=1，要使原方程的根是整数，必须使得x 1==1+为正整数，则m-1=1或2，进而得出符合条件的m 的值．解：（1）∵△=b 2-4ac=（-2m ）2-4（m-1）（m+1）=4＞0， ∴方程有两个不相等的实数根； （2）由求根公式，得x=， ∴x 1==，x 2==1；∵m 为整数，且方程的两个根均为正整数， ∴x 1==1+，必为正整数，∴m-1=1或2， ∴m=2或m=3．考点：根的判别式；一元二次方程的定义． 30．k≥-13且k≠0． 【解析】试题分析：若一元二次方程有两不等实数根，则根的判别式△=b 2-4ac≥0，建立关于k 的不等式，求出k 的取值范围．还要注意二次项系数不为0． 试题解析：∵a=k ，b=2（k+1），c=k-1，∴△=[2（k+1）]2-4×k×（k-1）=12k+4≥0，解得：k≥-13，∵原方程是一元二次方程，∴k≠0．所以：k的取值范围为：k≥-13且k≠0．考点：根的判别式．。

一元二次方程根及系数的关系应用例析及训练一、根据判别式，讨论一元二次方程的根。

例1：已知关于的方程（1）有两个不相等的实数根，且关于的方程（2）没有实数根，问取什么整数时，方程（1）有整数解？分析：在同时满足方程（1），（2）条件的的取值范围中筛选符合条件的的整数值。

解：∵方程（1）有两个不相等的实数根，解得；∵方程（2）没有实数根，解得；于是，同时满足方程（1），（2）条件的的取值范围是其中，的整数值有或当时，方程（1）为，无整数根；当时，方程（1）为，有整数根。

解得：所以，使方程（1）有整数根的的整数值是。

总结：熟悉一元二次方程实数根存在条件是解答此题的基础，正确确定的取值范围，并依靠熟练的解不等式的基本技能和一定的逻辑推理，从而筛选出，这也正是解答本题的基本技巧。

二、判别一元二次方程两根的符号。

例1：不解方程，判别方程两根的符号。

分析：对于来说，往往二次项系数，一次项系数，常数项皆为已知，可据此求出根的判别式△，但△只能用于判定根的存在及否，若判定根的正负，则需要确定或的正负情况。

因此解答此题的关键是：既要求出判别式的值，又要确定或的正负情况。

解：∵，∴△＝—4×2×(—7)＝65＞0∴方程有两个不相等的实数根。

设方程的两个根为，∵＜0∴原方程有两个异号的实数根。

总结：判别根的符号，需要把“根的判别式”和“根及系数的关系”结合起来进行确定，另外由于本题中＜0，所以可判定方程的根为一正一负；倘若＞0，仍需考虑的正负，方可判别方程是两个正根还是两个负根。

三、已知一元二次方程的一个根，求出另一个根以及字母系数的值。

例2：已知方程的一个根为2，求另一个根及的值。

分析：此题通常有两种解法：一是根据方程根的定义，把代入原方程，先求出的值，再通过解方程办法求出另一个根；二是利用一元二次方程的根及系数的关系求出另一个根及的值。

解法一：把代入原方程，得：即解得当时，原方程均可化为：解得：∴方程的另一个根为4，的值为3或—1。

一元二次方程根与系数的关系专项限时训练卷一．选择题（共10小题）1．已知关于x的一元二次方程（p+1）x2+2qx+（p+1）＝0（其中p，q为常数）有两个相等的实数根，则下列结论中，错误的是（）A．1可能是方程x2+qx+p＝0的根B．﹣1可能是方程x2+qx+p＝0的根C．0可能是方程x2+qx+p＝0的根D．1和﹣1都是方程x2+qx+p＝0的根2．若关于x的一元二次方程（k﹣2）x2﹣2kx+k＝6有实数根，则k的取值范围为（）A．且k≠2B．k≥0且k≠2C．D．k≥03．等腰三角形的一边长是3，另两边的长是关于x的方程x2﹣4x+k＝0的两个根，则k的值为（）A．7B．3C．4D．3或44．若x1，x2是方程2x2﹣6x+3＝0的两个根，则的值为（）A．2B．﹣2C．D．5．关于x的一元二次方程x2﹣6x+m＝0有两个不相等的实数根，则m的值可能是（）A．8B．9C．10D．116．若一元二次方程x2﹣（2m+3）x+m2＝0有两个不相等的实数根x1，x2，且x1+x2＝x1x2，则m的值是（）A．﹣1B．3C．3或﹣1D．﹣3或17．若关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有两个相等的实数根，则m的值是（）A．﹣1B．0C．1D．28．关于x的一元二次方程x2﹣mx﹣1＝0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．不能确定9．已知关于x的一元二次方程mx2+2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（）A．m＜﹣1B．m＞1C．m＜1且m≠0D．m＞﹣1且m≠010．亮亮在解一元二次方程x2﹣6x+□＝0时，不小心把常数项丢掉了，已知这个一元二次方程有实数根，则丢掉的常数项的最大值是（）A．1B．0C．7D．9二．填空题（共2小题）11．若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+4x+1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是．12．已知关于x的一元二次方程kx2﹣（2k﹣1）x+k﹣2＝0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是．三．解答题（共3小题）13．已知关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a﹣c）＝0，其中a，b，c分别为△ABC 三边的长．（1）如果x＝﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；（3）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．14．已知关于x的一元二次方程x2﹣2mx+（m2+m）＝0有两个实数根．（1）求m的取值范围；（2）如果方程的两个实数根为x1，x2，且x1+x2+x1•x2＝4，求m的值．15．已知关于x的一元二次方程x2﹣ax+a﹣1＝0．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若该方程有一实数根大于3，求a的取值范围．。

初中数学一元二次方程的根与系数关系基础过关专项训练题（精选100道习题 附答案详解）1．已知x 1，x 2是一元二次方程x 2-6x- 15=0的两个根，则x 1+x 2等于( )A ．-6B ．6C ．-15D ．152．关于的方程220x ax a -+=的两根的平方和是5，则a 的值是( )A ．-1或5B ．1C ．5D ．-13．已知一元二次方程20(a 0)++=≠ax bx c 中,其中真命题有( )①若a+b+c=0，则240b ac -≥；②若方程20ax bx c ++=两根为−1和2，则2a+c=0；③若方程20ax c +=有两个不相等的实根，则方程20ax bx c ++=必有两个不相等的实根．A ．1个B ．2个C ．3个D ．0个 4．一元二次方程x 2+x ﹣1=0的两根分别为x 1，x 2，则1211x x +=（ ） A ．12 B ．1 CD5．若α，β是方程x 2﹣2x ﹣2=0的两个实数根，则α2+β2的值为（ ） A ．10 B ．9 C ．8 D ．76．若m 、n 是一元二次方程x 2-5x-2=0的两个实数根，则m+n-mn 的值是（ ） A ．-7 B ．7 C ．3 D ．-37．若方程224()0x m x m +-+=的两个根互为相反数，则m 等于（ ） A ． 2- B ．2 C ．2± D ．48．已知m 、n是方程210++=x 的两根，（ ） A ．9 B ．3± C ．3 D ．59．定义运算：a ⋆b=2ab ．若a ，b 是方程x 2+x-m=0(m ＞0)的两个根，则(a+1)⋆a -(b+1)⋆b 的值为（ ）A ．0B ．2C ．4mD ．-4m10．关于x 的一元二次方程()22a 1x 2x 30--+=有两个不相等的实数根，则a 的取值范围是（ ）A ．2a 3>B ．2a 3>且1a 2≠C ．2a 3<D ．2a 3<且1a 2≠ 11．若x x的方程20x m -+=的一个根，则方程的另一个根是（ ）A ．9B ．4C ．D ．12．下列方程中，满足两个实数根的和等于3的方程是（ ）A ．2x 2+6x ﹣5=0B ．2x 2﹣3x ﹣5=0C ．2x 2﹣6x+5=0D ．2x 2﹣6x ﹣5=0 13．设α、β是方程 220120x x ++=的两个实数根，则 22ααβ++的值为（ ） A ．－2014 B ．2014 C ．2013 D ．－2013 14．已知α、β满足5αβ+=，且6αβ=，则以α、β为两根的一元二次方程是（ ）A ．x 2+5x+6=0B ．x 2-5x+6=0C ．x 2-5x-6=0D ．x 2+5x-6=0 15．如果a ，b 是两个不相等的实数，且满足220151a a -=，220151b b -=，那么ab 等于（ ）A ．2015B ．－2015C ．1D ．－116．若a 2+1＝5a ，b 2+1＝5b ，且a ≠b ，则a +b 的值为（ ）A ．﹣1B ．1C ．﹣5D ．517．已知一元二次方程x 2+6x +c ＝0有一个根为﹣2，则另一个根为（ ）A ．﹣2B ．﹣3C ．﹣4D ．﹣818．若关于x 的方程x 2-bx +6=0的一根是x =2，则另一根是（ ）A ．x =-3B ．x =-2C ．x =2D ．x =319．关于x 的一元二次方程（m ﹣2）x 2+（2m ﹣1）x +m ﹣2＝0有两个不相等的正实数根，则m 的取值范围是（ ）A ．m ＞34B ．m ＞34且m ≠2C ．﹣12＜m ＜2D ．54＜m ＜2 20．已知1x =是方程220x ax ++=的一个根，则方程的另一个根为（ ）A ．-2B ．2C ．-3D ．321．若x 1，x 2是一元二次方程x 2﹣2x ﹣1=0的两个根，则x 12﹣x 1+x 2的值为（ ） A ．﹣1 B ．0 C ．2 D ．322．已知关于x 的方程x 2+3x +a =0有一个根为﹣2，则另一个根为（ ）A ．5B ．﹣1C ．2D ．﹣523．方程（m ﹣2）x 2+mx ﹣1＝0是关于x 的一元二次方程，则m 的值为（ ） A ．任何实数． B ．m≠0 C ．m≠2 D ．m≠﹣2 24．关于x 的一元二次方程x 2+2x+k+1=0的两个实根x 1，x 2，满足x 1+x 2﹣x 1x 2＜﹣1，则k 的取值范围在数轴上表示为（ ）A ．B ．C ．D ．25．若12x x 、是一元二次方程2320x x ++=的两个实数根，则2212x x +的值为（ ）A ．13-B ．1-C ．5D ．1326．已知x 1，x 2是关于x 的方程x 2＋ax －2b ＝0的两个实数根，且x 1＋x 2＝－2，x 1·x 2＝1，则b a 的值是( )A ．B ．－C ．4D ．－127．若关于x 的一元二次方程22120x x m ++-=有两个实数根，且这两个实数根之积为负数，则实数m 的取值范围是( )A ．0m ≥B ．12m >C ．102m <<D ．102m ≤< 28．若1x 、2x 是一元二次方程2750x x -+=的两根，则1211+x x 的值是（ ） A ．75 B ．75- C ．57 D ．57- 29．一元二次方程x 2-2x-3=0的根为（ ）A ．x 1=1，x 2=3B ．x 1=-1，x 2=3C ．x 1=-1，x 2=-3D ．x 1=1，x 2=-330．已知1x 、2x 是关于x 的一元二次方程()22230x m x m +++=的两个不相等的实数根，且满足12111x x +=-，则m 的值是（ ） A ．3 B ．3或-1 C ．1 D ．-3或1 31．已知a 2﹣6a ﹣5＝0和b 2﹣6b ﹣5＝0中，a ≠b ，则11a b+的值是__． 32．已知一元二次方程x 2－4x －3＝0的两根为m ，n ，则2m －mn ＋2n = ． 33．已知一元二次方程x 2﹣3x ﹣2＝0的两个实数根为x 1，x 2，则（x 1+1）（x 2+1）的值是_____．34．关于x 的230x ax a --=的一个根是2x =-，则它的另一个根是___．35．关于x 一元二次方程240x mx +-=的一个根为1x =-，则另一个根为x =__________．36．若1x ，2x 是一元二次方程220x x +-=的两个实数根，则1211x x ⋅=__________． 37．一元二次方程2420x x -+=的两根为1x ,2x ,则2111242x x x x -+的值为____________ .38．设a 、b 是方程220190x x +-=的两个实数根，则()()11a b --的值为_____． 39．方程22310x x +-=的两个根为1x 、2x ，则1211+x x 的值等于______． 40．如图，直线y ＝34-x +6与反比例函数y ＝k x（k ＞0）的图象交于点M 、N ，与x 轴、y 轴分别交于点B 、A ，作ME ⊥x 轴于点E ，NF ⊥x 轴于点F ，过点E 、F 分别作EG ∥AB ，FH ∥AB ，分别交y 轴于点G 、H ，ME 交HF 于点K ，若四边形MKFN 和四边形HGEK 的面积和为12，则k 的值为_____．41．已知关于x 方程x 2﹣3x+a=0有一个根为1，则方程的另一个根为_____． 42．方程22430x x +-=和2230x x -+=的所有的根的和等于____．43．设1x ，2x 是一元二次方程2320x x --=的两个实数根，则2211223x x x x ++的值为______．44．若方程2x 2-x =1的两个实数根为12,x x ，则2212x x +=_______________45．若x 1，x 2是一元二次方程x 2﹣2x ﹣1=0的两个根，则x 12﹣x 1+x 2的值为_____． 46．若一元二次方程x （x ﹣2）＝6的两个实数根分别为m ，n ，则m 2n+mn 2的值为_____. 47．方程(2y ＋1)2＋3(2y ＋1)＋2＝0的两个根的乘积为___________．48．若菱形的两条对角线长分别是方程210240x x -+=的两实根，则菱形的面积为_____．49．已知方程22430x x +-=的两根分别为1x 和2x ，则2212x x +的值等于___________________50．已知关于x 的方程x 2+(m +1)x +m 2=0的两根互为倒数，则m =__________．51．一元二次方程x 2－4x －3＝0的两个根之和为________.52．已知一元二次方程x 2﹣6x +9＝0的两根为x 1、x 2，则x 1•x 2＝_______．53．一元二次方程x 2﹣2x ﹣3=0的解是x 1、x 2（x 1＜x 2），则x 1﹣x 2=_____．54．已知直角三角形的两条直角边的长恰好是方程2x 2-8x+7=0的两个根，则这个直角三角形的斜边长是______.55．已知x 1，x 2是关于x 的一元二次方程x 2－5x ＋a ＝0的两个实数根，且2212x x -＝10，则a ＝__________56．一元二次方程250x x c -+=有两个不相等的实数根且两根之积为正数，若c 是整数，则c=_____．（只需填一个）．57．若关于x 的方程2x 2＋mx ＋n ＝0的两个根是－2和1，则n m 的值为_____.58．方程 22()60x m x m ++=-有两个相等的实数根，且满足1212x x x x +=，则 m 的值是_________．59．已知关于的方程两个根是互为相反数，则的值为________．60．已知a ，b 是方程x 2+2017x +2=0的两个根，则（2+2019a +a 2）（2+2019b +b 2）的值为______．61．设m ，n 分别为一元二次方程x 2+2x ﹣2018=0的两个实数根，则m 2+3m+n=______． 62．已知关于x 的方程x 2﹣2x ﹣6＝0的两个根为x 1，x 2，则x 1+x 2＝_____．63．若方程x 2﹣4x ﹣1=0的两根为x 1，x 2，则x 1•x 2﹣x 1﹣x 2=_____．64．若一元二次方程x 2+px ﹣2＝0的一个根为2，则p ＝_____，另一个根是_____． 65．若1x 、2x 是方程22x 2mx m m 10-+--=的两个实数根，且x 1+x 2=1-x 1⋅x 2，则 m 的值为________. 66．若α、β是一元二次方程x 2+2x ﹣3＝0的两个不相等的根，则α2﹣2β的值是_____． 67．若方程22310x x --=的两根为1x 、2x ，则1211+x x 的值为_______________ 68．关于x 的方程2x 2＋(m 2－9)x ＋m ＋1＝0两根互为相反数，则m ＝_____． 69．设m ，n 是一元二次方程x 2＋2x －7＝0的两个根，则m 2＋3m ＋n ＝_______. 70．若方程x 2﹣2x ﹣4＝0的两个实数根为α，β，则α2+β2的值为___．71．已知关于x 的方程()222100()x m x m a +-+=≠有两个根12,x x ． （1）求m 的取值范围；（2）当21120x x x +=时，求m 的值． 72．关于x 的一元二次方程()22x 2m 1x m 10+-+-=有两个不相等的实数根1x ，2x ． ()1求实数m 的取值范围；()2是否存在实数m ，使得12x x 0=成立？如果存在，求出m 的值，如果不存在，请说明理由．73．已知关于x 的一元二次方程x 2+(m +3)x +m +1=0．（1）求证：无论m 取何值，原方程总有两个不相等的实数根；（2）若x 1，x 2是原方程的两根，且1222x x -=，求m 的值，并求出此时方程的两根． 74．关于x 的一元二次方程x 2+kx ﹣6＝0的一个根是3，求它的另一个根和k 的值． 75．已知关于x 的一元二次方程()22110x m x m +++-=，若方程的一个根为2，求m 的值和方程的另一个根.76．已知关于的一元二次方程：. (1)求证：对于任意实数，方程都有实数根；(2)当为何值时，方程的两个根互为相反数？请说明理由.77．用一根长22cm 的铁丝，（1）能否围成面积是30cm 2的矩形？如果能，求出矩形的边长，如果不能说明理由； （2）能否围成面积是32cm 2的矩形？如果能，求出矩形的边长，如果不能说明理由； （3）请探索能围成的矩形面积的最大值是多少 cm 2？78．已知1x 、2x 是方程22510x x -+=的两个实数根，求下列各式的值：（1）221212x x x x +；（2）2212x x +． 79．已知关于x 的一元二次方程x 2﹣2x +k +1＝0．（1）若方程没有实数根，求k 的取值范围；（2）若方程有两实数根为x 1和x 2，且x 12﹣x 1x 2＝0，求k 的值．80．阅读理解，并回答问题：若 12,x x 是方程20ax bx c ++=的两个实数根，则有()()212++=--ax bx c a x x x x ．即221212()ax bx c ax a x x x ax x ++=-++，于是12()b a x x =-+，12c ax x =，由此可得一元二次方程的根与系数关系：12b x x a+=-，12c x x a=，这就是我们众所周知的韦达定理． (1)已知 m ， n 是方程21000x x --=的两个实数根，不解方程求22m n +的值；(2)若123,,x x x 是关于 x 的方程2(2)x x t -=的三个实数根，且123x x x <<． ① 122331x x x x x x ++的值；②求31x x -的最大值．81．已知关于x 的一元二次方程x 2-2kx+12k 2-2=0. (1)求证:不论k 为何值,方程总有两不相等实数根.(2)设x 1,x 2是方程的根,且 x 12-2kx 1+2x 1x 2=5,求k 的值.82．当k 为何值时，方程x 2﹣6x+k ﹣1＝0，（1）两根相等；（2）有一根为0．83．关于x 的一元二次方程()21210m x mx m --++= （1）求证：方程总有两个不相等的实数根。

. . .一元二次方程根与系数的关系习题精选（含答案）一．选择题（共 22 小题）1．（ 2014?宜宾）若关于 x 的一元二次方程的两个根为 x1=1， x2=2，则这个方程是（）2 2 ﹣ 3x+2=0 2 2A ．x +3x ﹣ 2=0B ． xC ． x ﹣ 2x+3=0D ．x +3x+2=02．（ 2014?昆明）已知x 1， x 2 是一元二次方程 x 2﹣ 4x+1=0 的两个实数根，则x1?x2 等于（ ）A ．﹣4B ．﹣1C ． 1D ．43．（ 2014?玉林） x1， x2 是关于 x 的一元二次方程 x 2﹣ mx+m ﹣ 2=0 的两个实数根，是否存在实数m 使 + =0 成立？则正确的结论是（）A ．m=0 时成立B ． m=2 时成立C ． m=0 或 2 时成立D ．不存在4．（ 2014?南昌）若 α， β是方程 2 2 2 ）x ﹣2x ﹣ 3=0 的两个实数根，则 α+β 的值为（ A ．10 B ． 9 C ． 7 D ．55．（ 2014?贵港）若关于2的两个实数根分别为 x1=﹣2， x2=4，则 b+c 的值是（）x 的一元二次方程 x +bx+c=0A ．﹣10B ． 10C ．﹣6D ．﹣16．（ 2014?烟台）关于 x 的方程x 2﹣ ax+2a=0 的两根的平方和是 5，则 a 的值是（ ）A ．﹣1或 5B ． 1C ． 5D ．﹣17．（ 2014?攀枝花）若方程A ．α+β=﹣1 2 的两实根为 α、 β，那么下列说法不正确的是（ ） x +x ﹣1=0 B ． αβ=﹣ 1 2 2D ． C ． α+β=3+ =﹣18．（ 2014?威海）方程 x 2﹣（ m+6）x+m 2=0 有两个相等的实数根，且满足 x1+x 2=x 1x2，则 m 的值是（ ）A ．﹣2或 3B ． 3C ．﹣2D ．﹣3 或 2 9．（ 2014?长沙模拟）若关于 2（ k+3） x+2=0 的一个根是﹣ 2，则另一个根是（）x 的一元二次方程 x + A ．2 B ． 1 C ．﹣1 D ．0 2 2）10．（ 2014?黄冈样卷）设 a ， b 是方程 x +x ﹣ 2015=0 的两个实数根，则 a +2a+b 的值为（ A ．2012 B ． 2013 C ． 2014 D ．201511．（2014?江西模拟）一元二次方程 x2﹣ 2x ﹣ 3=0 与 3x 2﹣ 11x+6=0 的所有根的乘积等于（ ）A ．﹣6B ． 6C ． 3D ．﹣312．（ 2014?峨眉山市二模）已知 x 1、 x 2 是方程 x 2﹣（ k ﹣ 2） x+k 2+3k+5=0 的两个实数根，则 的最大值是（）A ．19 B． 18 C． 15 D．1313．（ 2014?陵县模拟）已知：x1、 x2是一元二次方程2 的两根，且 x1+x 2=3， x1x2=1，则 a、 b 的值分别x +2ax+b=0是（）参考学习A ．a=﹣ 3， b=1B ． a=3， b=1C ．D ．a=﹣ ， b=1a=﹣ ， b=﹣ 114．（ 2013?湖北）已知 α， β是一元二次方程222）x ﹣ 5x ﹣ 2=0 的两个实数根，则 α+αβ+β 的值为（ A ．﹣1 B ． 9 C ． 23D ．2715．（ 2013?桂林）已知关于 x 的一元二次方程 2﹣ 1=0 有两根为 x12 ﹣x1x2=0，则 a 的值是 （ ）x +2x+a 和 x2，且x1A ．a=1B ． a=1 或 a=﹣ 2C ． a=2D ．a=1 或a=2 16．（ 2013?天河区二模）已知一元二次方程x 2﹣4x+3=0 两根为 x 1、x 2，则 x 1+x 2=（ ） A ．4 B ． 3 C ．﹣4 D ．﹣317．（ 2013?青神县一模）已知m 和 n 是方程2x2﹣ 5x ﹣ 3=0 的两根，则 的值等于（）A ．B ．C ．D ．2 x+1=0 的两根，则代数式 的值为（ ）18．（ 2012?莱芜）已知 m 、 n 是方程 x+2A ．9B ． ±3C ．3 D ．519．（ 2012?天门）如果关于x 的一元二次方程 2x +4x+a=0 的两个不相等实数根 x1， x2 满足 x1x2﹣ 2x1﹣ 2x2﹣5=0， 那么 a 的值为（ ）A ．3B ．﹣3C ． 13D ．﹣1320．（ 2011?锦江区模拟）若方程x 2﹣ 3x ﹣ 2=0 的两实根为 x 1、 x 2，则（ x 1+2）（ x 2+2）的值为（ ）A ．﹣4B ． 6C ．8 D ．1221．（ 2011?鄂州模拟）已知 p 2﹣ p ﹣ 1=0 ， 1﹣q ﹣q 2=0，且 pq ≠1，则的值为（ ） A ．1B ． 2C ．D ．22．（ 2010?滨湖区一模）若 △ ABC 的一边 a 为 4，另两边 b 、c 分别满足2 2，则 △ ABC 的周b ﹣ 5b+6=0，c ﹣5c+6=0 长为（ ）A ．9B ． 10C ．9 或 10D ．8或 9或 10二．填空题（共 4 小题）2 223．（ 2014?莱芜）若关于k= _________ ．x 的方程 x +（k ﹣ 2） x+k =0 的两根互为倒数，则24．（ 2014?呼和浩特）已知2 2﹣mn+3m+n= _________ ．m ，n 是方程 x +2x ﹣ 5=0 的两个实数根，则m25．（ 2014?广州）若关于x 的方程x 2+2mx+m 2 +3m﹣2=0 有两个实数根x1、 x2，则 x1（ x2+x 1） +x22的最小值为_________ ．26．（2014?桂林）已知关于x 的一元二次方程x2+（ 2k+1 ）x+k2﹣ 2=0 的两根为 x1和 x2，且（ x1﹣ 2）（x1﹣x2）=0，则 k 的值是_________ ．三．解答题（共 4 小题）27．（ 2014?泸州）已知 x1， x2 是关于 x 的一元二次方程 22 x ﹣ 2（ m+1） x+m +5=0 的两实数根．（ 1）若（ x 1﹣ 1）（ x 2﹣1） =28 ，求 m 的值；（ 2）已知等腰 △ ABC 的一边长为 7，若 x 1， x 2 恰好是 △ ABC 另外两边的边长，求这个三角形的周长．28．（ 2014?日照二模）已知 x 1， x 2 是关于 x 的一元二次方程 2 2的两个实数根，其满足（ 3x 1 x +（ 3a ﹣ 1） x+2a ﹣1=0 ﹣ x 2）（ x 1﹣ 3x 2） =﹣ 80．求实数 a 的所有可能值．29．（ 2013?孝感）已知关于 2 2x1，x2． x 的一元二次方程 x ﹣（ 2k+1） x+k +2k=0 有两个实数根 （ 1）求实数 k 的取值范围；2﹣ x 22≥0 成立？若存在，请求出 （ 2）是否存在实数 k 使得 x 1 ?x 2﹣ x 1 k 的值；若不存在，请说明理由．30．（ 2001?苏州）已知关于 x 的一元二次方程 ， （ 1）求证：不论 k 取何值，方程总有两个不相等的实数根；（ 2）设 x 1 、x 2 是方程的两个根，且 x 12﹣ 2kx 1+2x 1x 2=5，求 k 的值．一元二次方程根与系数的关系习题精选（含答案）参考答案与试题解析一．选择题（共 22 小题）1．（ 2014?宜宾）若关于 x 的一元二次方程的两个根为x =1， x =2，则这个方程是（）1 22 2 ﹣3x+2=02D ．x2A ．x +3x ﹣ 2=0 B． x C． x ﹣ 2x+3=0 +3x+2=0 考点：根与系数的关系．分析：解决此题可用验算法，因为两实数根的和是1+2=3，两实数根的积是1×2=2 ．解题时检验两根之和是否为 3 及两根之积是否为 2 即可．解答：解：两个根为 x1=1，x2=2 则两根的和是3，积是 2．A 、两根之和等于﹣3，两根之积等于﹣2，所以此选项不正确；B 、两根之和等于 3，两根之积等于2，所以此选项正确；C、两根之和等于2，两根之积等于3，所以此选项不正确；D 、两根之和等于﹣3，两根之积等于2，所以此选项不正确，故选： B．点评：验算时要注意方程中各项系数的正负．2．（ 2014?昆明）已知 x1， x2 是一元二次方程x2﹣ 4x+1=0 的两个实数根，则x1?x2等于（）A．﹣4 B．﹣1 C． 1 D ．4考点：根与系数的关系．专题：计算题．分析：直接根据根与系数的关系求解．解答：解：根据韦达定理得x1?x2=1．故选： C．点评：本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（ a≠0）的根与系数的关系：若方程两个为x1，x2，则x1+x 2=﹣，x1?x2= ．3．（ 2014?玉林） x1， x2 是关于 x 的一元二次方程x2﹣ mx+m ﹣ 2=0 的两个实数根，是否存在实数m 使+ =0成立？则正确的结论是（）A ．m=0 时成立B． m=2 时成立C． m=0 或 2 时成立D．不存在考点：根与系数的关系．分析：先由一元二次方程根与系数的关系得出，x1+x 2=m， x1x2=m ﹣2．假设存在实数m 使+ =0 成立，则=0，求出 m=0，再用判别式进行检验即可．解答：解：∵ x1，x2是关于 x 的一元二次方程x2﹣ mx+m ﹣ 2=0 的两个实数根，∴x1+x 2=m ， x1x2=m﹣ 2．假设存在实数 m 使 +=0 成立，则=0，∴ =0，∴ m=0．当 m=0 时，方程 x 2﹣ mx+m ﹣ 2=0 即为 x 2﹣ 2=0，此时 △ =8＞ 0，∴ m=0 符合题意．故选： A ．点评： 本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系：如果22=﹣ p ， x1， x2 是方程 x +px+q=0 的两根时，那么 x1+x x1x2=q ．4．（ 2014?南昌）若 α， β是方程 2 ﹣2x ﹣ 3=0 的两个实数根，则2 2）x α+β 的值为（A ．10B ． 9C ． 7D ．5 考点 ： 根与系数的关系．分析： 根据根与系数的关系求得 α+β=2，αβ=﹣ 3，则将所求的代数式变形为（ α+β）2﹣ 2αβ，将其整体代入即可求值．解答： 解：∵ α，β是方程 x 2﹣ 2x ﹣ 3=0 的两个实数根，∴ α+β=2 ， αβ=﹣3，2 2 2 ﹣ 2αβ=2 2∴ α+β=（ α+β） ﹣ 2×（﹣ 3）=10． 故选： A ．点评： 此题主要考查了根与系数的关系， 将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．2125．（ 2014?贵港）若关于 x 的一元二次方程 x +bx+c=0 的两个实数根分别为 =4，则 b+c 的值是（ ） x =﹣2， xA ．﹣10B ． 10C ．﹣6D ．﹣1 考点 ： 根与系数的关系．分析： 根据根与系数的关系得到﹣2+4= ﹣ b ，﹣ 2×4=c ，然后可分别计算出 b 、 c 的值，进一步求得答案即可． 解答： 解：∵关于 x 的一元二次方程 x 2 +bx+c=0 的两个实数根分别为 x1=﹣ 2，x2=4，∴根据根与系数的关系，可得﹣ 2+4= ﹣b ，﹣ 2×4=c ， 解得 b=﹣2， c=﹣ 8∴ b+c= ﹣ 10．故选： A ．点评： 此题考查根与系数的关系，解答此题的关键是熟知一元二次方程根与系数的关系： x1+x 2=﹣ ，x1x2= ．6．（ 2014?烟台）关于 x 的方程 x2﹣ ax+2a=0 的两根的平方和是 5，则 a 的值是（ ）A ．﹣1或 5B ． 1C ． 5D ．﹣1 考点 ： 根与系数的关系；根的判别式．专题 ： 计算题．2 2分析： 设方程的两根为 x1，x2，根据根与系数的关系得到 x1+x 2=a ，x1?x2=2a ，由于 x1 +x 2 =5 ，变形得到（ x1+x 2）2 2△≥0 的 a 的值为所求．﹣2x1?x2=5，则 a ﹣ 4a ﹣5=0 ，然后解方程，满足解答： 解：设方程的两根为 x1， x2，则 x1+x 2=a ， x1?x2=2a ，2 2∵ x1 +x 2 =5，∴（ x 1+x 2）2﹣ 2x 1?x 2=5， ∴ a 2﹣ 4a ﹣ 5=0，∴ a1=5 ， a2=﹣ 1，∵△ =a 2﹣ 8a ≥0， ∴ a=﹣ 1．故选： D ．点评： 本题考查了一元二次方程 2 （ a ≠0）的根与系数的关系：若方程的两根为 x1， x2，则 x1+x 2=﹣ ，ax +bx+c=0x ?x = ．也考查了一元二次方程的根的判别式． 1 27．（ 2014?攀枝花）若方程A ．α+β=﹣1 2 的两实根为 α、 β，那么下列说法不正确的是（ ） x +x ﹣1=0 B ． αβ=﹣ 1 2 2D ． C ． α+β=3+ =﹣1考点 ： 根与系数的关系．专题 ： 计算题．分析： 先根据根与系数的关系得到2 2 2 ﹣2αβ，利用 α+β=﹣1，αβ=﹣ 1，再利用完全平方公式变形 α +β 得到（ α+β） 通分变形+ 得到，然后利用整体代入的方法分别计算两个代数式的值，这样可对各选项进行判断．解答： 解：根据题意得α+β=﹣ 1， αβ=﹣1．2 2 2 2；所以 α+β=（ α+β） ﹣ 2αβ=（﹣ 1） ﹣ 2×（﹣ 1）=3 + ===1．故选： D ．点评：本题考查了一元二次方程 ax 2+bx+c=0（ a ≠0）的根与系数的关系： 若方程两个为x 1，x 2，则x 1+x 2=﹣，x 1?x 2=．2﹣（ m+6）x+m 21 2 1 x 2，则 m 的值是（ ） 8．（ 2014?威海）方程 x =0 有两个相等的实数根，且满足 x +x =xA ．﹣2或 3B ． 3C ．﹣2D ．﹣3 或 2 考点 ： 根与系数的关系；根的判别式．专题 ： 判别式法．2，再根据 x1+x 2=x 1 分析： 根据根与系数的关系有：x1+x 2 =m+6 ， x1x2=m x2 得到 m 的方程，解方程即可，进一步由2 +m 2 有两个相等的实数根得出 2方程 x ﹣（ m+6）=0 b ﹣ 4ac=0，求得 m 的值，由相同的解解决问题． 解答：解：∵ x1+x2=m+6 ， x1x2=m 2， x 1+x 2=x 1x 2，∴ m+6=m 2，解得 m=3 或 m=﹣2，2 ﹣（ m+6 ） x+m 2∵方程 x =0 有两个相等的实数根，∴△ =b 2﹣ 4ac=（ m+6） 2﹣ 4m 2=﹣3m 2 +12m+36=0解得 m=6 或 m=﹣ 2∴m=﹣ 2．故选： C．点评：本题考查了一元二次方程2 2ax +bx+c=0 （ a≠0，a，b，c 为常数）根的判别式△ =b ﹣ 4ac．当△＞ 0，方程有两个不相等的实数根；当△ =0，方程有两个相等的实数根；当△＜ 0，方程没有实数根．同时考查了一元二次方程 ax2+bx+c=0 （ a≠0）的根与系数的关系：若方程的两根为x1， x2，则 x1+x 2=﹣， x1?x2= ．9．（ 2014?长沙模拟）若关于x 的一元二次方程2 ）x+2=0 的一个根是﹣ 2，则另一个根是（）x +（ k+3A ．2 B． 1 C．﹣1 D ．0考点 ： 根与系数的关系．分析：根据一元二次方程的根与系数的关系 x 1?x 2= 来求方程的另一个根．2解答： 解：设 x 1、x 2 是关于 x 的一元二次方程 x +（ k+3 ）x+2=0 的两个根， 由韦达定理，得 x1?x2=2 ，即﹣ 2x2=2， 解得， x2=﹣1．即方程的另一个根是﹣ 1．故选 C ．点评： 此题主要考查了根与系数的关系．在利用根与系数的关系 x1+x 2=﹣ 、 x1?x2= 时，要注意等式中的 a 、 b 、c 所表示的含义．2 的两个实数根，则 2 的值为（ ）10．（ 2014?黄冈样卷）设 a ， b 是方程 x +x ﹣2015=0 a +2a+b A ．2012 B ． 2013 C ． 2014 D ．2015 考点 ： 根与系数的关系；一元二次方程的解．专题 ： 计算题．2 2 2分析： 先根据一元二次方程的解的定义得到 a +a ﹣ 2015=0 ，即 a +a=2015，则 a +2a+b 变形为 a+b+2015，再根据根与系数的关系得到 a+b=﹣ 1，然后利用整体代入的方法计算．2 ﹣ 2015=0 的根， 解答： 解：∵ a 是方程 x+x2 2∴ a +a ﹣ 2015=0，即 a +a=2015，2∴ a +2a+b=a+b+2015 ，∵ a ， b 是方程 x 2+x ﹣2015=0 的两个实数根∴ a+b=﹣ 1，2∴ a +2a+b=a+b+2015= ﹣ 1+2015=2014 ．故选 C ．点评： 本题考查了根与系数的关系： 若 x1，x2 是一元二次方程ax 21 2 1 2 ．也 +bx+c=0（a ≠0）的两根时， x +x = ，x x = 考查了一元二次方程的解．11．（2014?江西模拟）一元二次方程 x2﹣ 2x ﹣ 3=0 与 3x 2﹣ 11x+6=0 的所有根的乘积等于（）A ．﹣6B ． 6C ．3D ．﹣3考点 ： 根与系数的关系．分析： 由一元二次方程 x 2﹣2x ﹣ 3=0 和 3x 2﹣ 11x+6=0 先用判别式判断方程是否有解，再根据根与系数的关系，即可直接得出答案．解答： 解：由一元二次方程 x 2﹣ 2x ﹣3=0 ，∵△ =4+16=20 ＞ 0，∴ x1x2=﹣ 3，由一元二次方程 3x 2﹣11x+6=0 ，∵△ =121﹣ 4×3×6=49＞ 0，∴ x1x2=2∴﹣ 3×2=﹣6故选 A．点评：本题考查了一元二次方程根与系数的关系．解此类题目要把代数式变形为两根之积的形式．12．（ 2014?峨眉山市二模）已知x1、 x2是方程 x2﹣（ k﹣ 2）x+k 2+3k+5=0 的两个实数根，则的最大值是（）A ．19 B． 18 C． 15 D ．13考点 ： 根与系数的关系；二次函数的最值． 2 2） =0 的两个实根，由 △ ≥0 即可求出 k 的取值范围，然后根据 分析： 根据 x 1、x 2 是方程 x ﹣（ k ﹣ 2） x+（ k +3k+5根与系数的关系求解即可．解答： 解：由方程有实根，得 2 2 △ ≥0，即（ k ﹣2） ﹣ 4（ k+3k+5 ）≥0所以3k 2+16k+16 ≤0，所以 （ 3k+4 ）（ k+4）≤0解得﹣ 4≤k ≤﹣ ．2又由 x1+x2 =k ﹣ 2， x1?x2=k +3k+5 ，得 2 2 2 2 2 2 2x1 +x 2 =（ x1+x2） ﹣ 2x 1x2=（ k ﹣ 2） ﹣ 2（ k +3k+5 ）=﹣ k ﹣10k ﹣ 6=19﹣（ k+5） ，2 2当 k= ﹣ 4 时， x1 +x 2 取最大值 18．故选： B ．点评： 本题考查了根与系数的关系，属于基础题，关键是根据△ ≥0 先求出 k 的取值范围再根据根与系数的关系进 行求解． 13．（ 2014?陵县模拟）已知： x 1、 x2 是一元二次方程x 2 1 2 =3 1 2 +2ax+b=0 的两根，且 x +x ， x x =1，则 a 、 b 的值分别是（ ）A ．a=﹣ 3， b=1B ． a=3， b=1C ．D ．a=﹣ ， b=1 a=﹣ ， b=﹣ 1考点 ： 根与系数的关系．专题 ： 计算题．分析： 根据根与系数的关系得到得 x1+x 2=﹣ 2a ， x1x2=b ，即﹣ 2a=3， b=1，然后解一次方程即可．解答： 解：根据题意得 x1+x2=﹣ 2a ， x1x2=b ，所以﹣ 2a=3， b=1 ，解得 a=﹣ ， b=1．故选 D ．点评：本题考查了根与系数的关系：若 x1，x2是一元二次方程 ax 21 2=1 2= ．+bx+c=0 （a ≠0）的两根时， x+x ，x x14．（ 2013?湖北）已知 α， β是一元二次方程 2 ﹣ 2=0 的两个实数根，则 2 2 ）x ﹣ 5x α+αβ+β 的值为（ A ．﹣1 B ． 9 C ． 23 D ．27考点 ： 根与系数的关系．分析：根据根与系数的关系 α+β=﹣ ， αβ= ，求出 α+β和 αβ的值，再把要求的式子进行整理，即可得出答案．2解答： 解：∵ α，β是方程 x ﹣ 5x ﹣ 2=0 的两个实数根，2 2 2 ﹣βα， 又∵ α+αβ+β=（ α+β）2 2 2∴α+αβ+β=5 +2=27 ；故选 D．点评：此题考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法，若方程两个为 x1， x2，则 x1+x 2=﹣， x1 x2= ．15．（ 2013?桂林）已知关于x 的一元二次方程2﹣ 1=0 有两根为2﹣x1x2=0，则 a 的值是（）x +2x+ax1 和 x2，且x1A ．a=1 B． a=1 或 a=﹣2C． a=2 D ．a=1 或 a=2考点：根与系数的关系；一元二次方程的解．专题：压轴题．分析：根据 x12﹣ x1 x2=0 可以求得 x1=0 或者 x1=x 2，所以①把 x1=0 代入原方程可以求得a=1；② 利用根的判别式等于 0 来求 a 的值．解答：解：解x12﹣x1x2=0，得x1=0 ，或 x1=x2，①把 x1=0 代入已知方程，得a﹣ 1=0 ，解得： a=1；②当 x1=x 2时，△ =4﹣ 4（ a﹣ 1） =0，即 8﹣4a=0，解得： a=2．综上所述， a=1 或 a=2．故选： D．点评：本题考查了根与系数的关系、一元二次方程的解的定义．解答该题的技巧性在于巧妙地利用了根的判别式等于 0 来求 a 的另一值．16．（ 2013?天河区二模）已知一元二次方程x2﹣4x+3=0 两根为 x1、x2，则 x1+x2=（）A ．4 B． 3 C．﹣4 D．﹣3考点：根与系数的关系．分析：根据一元二次方程x2﹣ 4x+3=0 两根为 x1、 x2，直接利用 x1+x 2=﹣求出即可．解答：解：∵一元二次方程x2﹣ 4x+3=0 两根为 x1、 x2，∴ x1+x 2=﹣=4．故选 A．点评：此题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，正确记忆根与系数关系公式是解决问题的关键．17．（ 2013?青神县一模）已知m 和 n 是方程2x 2﹣ 5x﹣ 3=0 的两根，则的值等于（）A ．B．C． D ．考点：根与系数的关系．专题：计算题．分析：根据根与系数的关系得到m+n= ， mn=﹣，再变形+ 得到，然后利用整体思想计算．解答：解：根据题意得 m+n= ， mn= ﹣，所以+ = = =﹣．故选 D．点评：本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（ a≠0）的根与系数的关系：若方程两个为x1，x2，则x1+x 2=﹣，x1?x2= ．2 x+1=0 的两根，则代数式 的值为（ ）18．（ 2012?莱芜）已知 m 、 n 是方程 x +2 A ．9B ． ±3C ． 3D ．5考点 ： 根与系数的关系；二次根式的化简求值．专题 ： 整体思想．分析：根据一元二次方程 2 ，mn=1 ，再变形 得 ax +bx+c=0（ a ≠0）的根与系数的关系得到 m+n= ﹣ 2，然后把 m+n= ﹣2，mn=1 整体代入计算即可．解答： 解：∵ m 、 n 是方程x 2+2 x+1=0 的两根，∴ m+n= ﹣ 2 ， mn=1 ，∴ = == =3．故选 C ．点评： 本题考查了一元二次方程ax 2x1，x2，则x1 2+bx+c=0 （ a ≠0）的根与系数的关系： 若方程两根分别为+x =﹣ ，x 1?x2= ．也考查了二次根式的化简求值．19．（ 2012?天门）如果关于 x 的一元二次方程 2 的两个不相等实数根 x 1， x 2 满足 x 1x 2﹣ 2x 1﹣ 2x 2﹣ 5=0，x +4x+a=0 那么 a 的值为（ ）A ．3B ．﹣3C ． 13D ．﹣13考点 ： 根与系数的关系；根的判别式．分析： 利用根与系数的关系求得x1x2=a ， x1+x 2=﹣ 4，然后将其代入 x 1x 2﹣2x 1﹣ 2x 2﹣ 5=x 1x 2﹣ 2（x 1+x 2）﹣ 5=0 列 出关于 a 的方程，通过解方程即可求得 a 的值．解答： 解：∵ x1，x2 是关于 x 的一元二次方程2 的两个不相等实数根， x +4x+a=0 ∴ x1x2=a ， x1 +x2=﹣ 4， ∴ x 1x 2﹣ 2x 1﹣2x 2﹣ 5=x 1x 2﹣ 2（ x 1+x 2）﹣ 5=a ﹣2×（﹣ 4）﹣ 5=0 ，即 a+3=0， 解得， a=﹣3；故选 B ．点评： 本题考查了根与系数的关系．将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．20．（ 2011?锦江区模拟）若方程 x 2﹣ 3x ﹣ 2=0 的两实根为 x1、 x2，则（ x1+2）（ x2+2）的值为（ ）A ．﹣4B ． 6C ． 8D ．12考点 ： 根与系数的关系．分析： 根据（ x1+2）（ x2+2） =x1 x2+2x 1+2x 2+4=x 1x2+2（ x1+x 2） +4，根据一元二次方程根与系数的关系，即两根的和与积，代入数值计算即可． 解答： 解：∵ x 1、x 2 是方程 x 2﹣ 3x ﹣ 2=0 的两个实数根．∴ x1+x 2=3， x1?x2=﹣ 2．又∵（ x1+2）（ x2+2）=x 1x2+2x 1+2x2+4=x 1x2+2（ x1+x 2） +4．将x1+x 2=3、x1?x2=﹣ 2 代入，得（x1+2）（ x2+2 ） =x 1x2 +2x1+2x 2+4=x 1x2+2（ x1+x2） +4= （﹣ 2） +2×3+4=8．故选 C点评：将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．21．（ 2011?鄂州模拟）已知p 2﹣ p﹣ 1=0 ， 1﹣q﹣q2=0，且 pq≠1，则的值为（）A ．1 B． 2 C． D ．考点：根与系数的关系．专题：计算题．分析：首先把 1﹣q﹣ q2=0 变形为，然后结合 p2﹣ p﹣ 1=0，根据一元二次方程根与系数的关系可以得到p 与是方程 x2﹣ x﹣ 1=0 的两个不相等的实数根，那么利用根与系数的关系即可求出所求代数式的值．解答：2 2，可知 p≠0，q≠0，解：由 p ﹣p﹣1=0和 1﹣ q﹣q=0又∵ pq≠1，∴，∴由方程 1﹣ q﹣ q2=0 的两边都除以q2得：，∴ p 与是方程 x2﹣ x﹣ 1=0 的两个不相等的实数根，则由韦达定理，得p+ =1，∴=p+ =1．故选 A．点评：本题考查了根与系数的关系．首先把2变形为是解题的关键，然后利用1﹣ q﹣q =0根与系数的关系就可以求出所求代数式的值．22．（ 2010?滨湖区一模）若△ ABC 的一边 a 为 4，另两边b、c 分别满足2﹣5b+6=02b， c ﹣ 5c+6=0，则△ ABC的周长为（）A ．9 B． 10 C．9 或 10 D．8或 9或 10考点：根与系数的关系；三角形三边关系．专题：压轴题．分析：由于两边 b、c 分别满足 b2﹣ 5b+6=0，c2﹣ 5c+6=0 ，那么 b、c 可以看作方程x2﹣ 5x+6=0 的两根，根据根与系数的关系可以得到 b+c=5 ， bc=6，而△ABC 的一边 a 为 4，由此即可求出△ABC 的一边 a 为 4 周长．解答：解：∵两边 b、 c 分别满足 b2﹣5b+6=0 ，c2﹣ 5c+6=0，∴b、 c 可以看作方程 x2﹣ 5x+6=0 的两根，∴b+c=5 ， bc=6，而△ ABC 的一边 a 为 4，①若 b=c，则 b=c=3 或 b=c=2 ，但 2+2=4，所以三角形不成立，故b=c=3．∴△ ABC 的周长为 4+3+3=10 或 4+2+2②若 b≠c，∴△ ABC 的周长为4+5=9 ．故选 C．点评： 此题把一元二次方程的根与系数的关系与三角形的周长结合起来， 利用根与系数的关系来三角形的周长． 此 题要注意分类讨论． 二．填空题（共 4 小题） 2 2k= ﹣ 1 ． 23．（ 2014?莱芜）若关于 x 的方程 x +（k ﹣ 2） x+k =0 的两根互为倒数，则 考点 ： 根与系数的关系．专题 ： 判别式法．分析： 根据已知和根与系数的关系x 1x 2= 2得出 k =1，求出 k 的值，再根据原方程有两个实数根，求出符合题意的k 的值．2，两根互为倒数，解答： 解：∵ x 1x 2=k∴ k 2=1，解得 k=1 或﹣ 1；∵方程有两个实数根， △＞0， ∴当 k=1 时， △ ＜ 0，舍去，故 k 的值为﹣ 1．故答案为：﹣ 1．点评：本题考查了根与系数的关系，根据 x 1， x 2 是关于 x 的一元二次方程 ax 2+bx+c=0 （ a ≠0， a ，b ，c 为常数）的两个实数根，则 x1+x2=﹣ ， x1x2= 进行求解．24．（ 2014?呼和浩特）已知 2 ﹣ 5=0 的两个实数根，则 2 ﹣mn+3m+n= 8 ．m ，n 是方程 x +2x m考点 ： 根与系数的关系；一元二次方程的解． 专题 ： 常规题型．分析：根据 m+n= ﹣ =﹣ 2， m?n=﹣ 5，直接求出 m 、 n 即可解题．解答： 解：∵ m 、 n 是方程 x 2+2x ﹣ 5=0 的两个实数根，∴ mn=﹣ 5， m+n=﹣ 2，∵ m 2+2m ﹣ 5=0 ∴ m 2=5﹣ 2mm 2﹣mn+3m+n= （ 5﹣ 2m ）﹣（﹣ 5）+3m+n =10+m+n =10﹣2 =8故答案为： 8．点评： 此题主要考查了一元二次方程根根的计算公式，根据题意得出 m 和n 的值是解决问题的关键．2 2﹣2=0 有两个实数根x1、x ，则 x （ x）+x 2 的最小值为． 25．（ 2014?广州）若关于 x 的方程 x +2mx+m +3m 21 2+x 12考点 ： 根与系数的关系；二次函数的最值．专题 ： 判别式法．分析：由题意可得△ =b 2﹣ 4ac≥0，然后根据不等式的最小值计算即可得到结论．解答：解：由题意知，方程2 2x +2mx+m +3m﹣ 2=0 有两个实数根，则△ =b2﹣ 4ac=4m2﹣ 4（ m2+3m﹣ 2） =8﹣ 12m≥0，∴ m≤，∵ x1（ x2+x 1）+x 22=（ x2+x 1）2﹣ x1x2=（﹣ 2m ） 2﹣（ m 2+3m ﹣2） =3m 2﹣3m+2=3 （ m 2﹣ m+ ﹣ ） +2 2=3 （ m ﹣ ） + ； ∴当 m= 时，有最小值 ； ∵ ＜ ，∴ m= 成立；∴最小值为 ；故答案为： ．点评： 本题考查了一元二次方程根与系数关系，考查了一元二次不等式的最值问题．总结一元二次方程根的情况与判别式 △的关系：（ 1） △ ＞ 0? 方程有两个不相等的实数根；（ 2） △ =0? 方程有两个相等的实数根；（ 3） △ ＜ 0? 方程没有实数根．26．（2014?桂林）已知关于 x 的一元二次方程 x 2 +（ 2k+1 ）x+k 2﹣ 2=0 的两根为 x1 和 x2，且（ x1﹣ 2）（x1 ﹣x2）=0， 则 k 的值是 ﹣ 2 或﹣ ．考点 ： 根与系数的关系；根的判别式．分析： 先由（ x 1﹣ 2）（ x 1﹣ x 2） =0，得出 x 1﹣ 2=0 或 x 1﹣ x 2=0，再分两种情况进行讨论：① 如果 x 1﹣2=0 ，将 x=2代入 x 22﹣ 2=0，得 4+2（2k+1 ）+k 2﹣ 2=0 ，解方程求出 k= ﹣ 2；② 如果 x1﹣ x21 2 = +（ 2k+1 ）x+k =0 ，那么将 x +x﹣（ 2k+1 ）， x 1x 2=k2﹣ 2 代入可求出 k 的值，再根据判别式进行检验．解答： 解：∵（ x 1﹣ 2）（ x 1﹣ x 2） =0， ∴ x 1﹣ 2=0 或 x 1﹣ x 2=0 ．① 如果 x1﹣2=0，那么 x1=2，2 2将 x=2 代入 x +（ 2k+1 ） x+k ﹣2=0，得 4+2 （ 2k+1） +k 2﹣2=0 ，2整理，得 k +4k+4=0 ， 解得 k= ﹣2； ② 如果 x1﹣x2=0，那么（ x1﹣x2）2=（ x1+x 2）2﹣ 4x1x2=[ ﹣（ 2k+1 ）] 2﹣ 4（k2﹣ 2）=4k+9=0 ，解得 k= ﹣．又∵△ =（2k+1 ）2﹣4（ k2﹣ 2）≥0．解得： k≥﹣．所以 k 的值为﹣ 2 或﹣．故答案为：﹣2 或﹣．点评：本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，根的判别式，注意在利用根与系数的关系时，需用判别式进行检验．三．解答题（共 4 小题）27．（ 2014?泸州）已知 x1， x2 是关于 x 的一元二次方程2 2x ﹣ 2（ m+1） x+m +5=0 的两实数根．（1）若（ x1﹣ 1）（ x2﹣1） =28 ，求 m 的值；（2）已知等腰△ ABC 的一边长为 7，若 x1， x2恰好是△ ABC 另外两边的边长，求这个三角形的周长．考点：根与系数的关系；三角形三边关系；等腰三角形的性质．专题：代数几何综合题．分析：（ 1）利用（ x1﹣ 1）（x2﹣ 1） =x1?x2﹣（ x1+x 2） +1=m 2+5﹣2（ m+1） +1=28，求得 m 的值即可；（ 2）分 7 为底边和7 为腰两种情况分类讨论即可确定等腰三角形的周长．2 2解答：解：（ 1）∵ x1， x2是关于 x 的一元二次方程 x ﹣ 2（ m+1） x+m +5=0 的两实数根，2∴ x1+x 2=2（ m+1）， x1?x2=m+5，∴（ x1﹣ 1）（ x2﹣ 1）=x 1?x2﹣（ x1+x 2） +1=m2+5﹣2（ m+1） +1=28，解得： m=﹣ 4 或 m=6；当 m=﹣ 4 时原方程无解，∴ m=6；（ 2）①当 7 为底边时，此时方程2 2x﹣ 2（ m+1） x+m +5=0 有两个相等的实数根，∴△ =4（ m+1）2﹣2，4（ m +5）=0解得： m=2，2∴方程变为 x ﹣ 6x+9=0 ，∵ 3+3＜ 7，∴不能构成三角形；②当 7 为腰时，设x1=7，2代入方程得：49﹣ 14（ m+1） +m +5=0 ，解得： m=10 或 4，当m=10 时方程变为 x2﹣22x+105=0 ，解得： x=7 或 15∵ 7+7＜ 15，不能组成三角形；当m=4 时方程变为 x2﹣10x+21=0 ，解得： x=3 或 7，此时三角形的周长为 7+7+3=17 ．点评：本题考查了根与系数的关系及三角形的三边关系，解题的关键是熟知两根之和和两根之积分别与系数的关系．28．（ 2014?日照二模）已知 x1， x2 是关于 x 的一元二次方程2 23x1 x +（ 3a﹣ 1）x+2a﹣1=0 的两个实数根，其满足（﹣ x2）（ x1﹣ 3x2） =﹣ 80．求实数 a 的所有可能值．考点 ： 根与系数的关系；根的判别式．专题 ： 计算题．x 2 2﹣ 1=0 的两个实数根得到 △ ≥0，即（ 3a ﹣ 1）2﹣4（2a 2﹣1）分析： 根据 △ 的意义由一元二次方程+（ 3a ﹣ 1）x+2a=a2﹣ 6a+5≥0，根据根与系数的关系得到 x1+x2=﹣（ 3a ﹣ 1），x1?x2=2a 2﹣1，由（ 3x 1﹣x 2）（ x 1﹣ 3x 2）=﹣ 8022 2 ，变形得到 3（ x 1+x 2） ﹣ 16x 1x 2=﹣ 80，于是有 3（3a ﹣ 1） ﹣ 16（2a ﹣ 1）=﹣ 80，解方程得到a=3 或 a=﹣然后代入 △验算即可得到实数 a 的值．解答： 解：∵ x 1，x 2 是关于 x 的一元二次方程2 2﹣ 1=0 的两个实数根， x +（ 3a ﹣ 1） x+2a222∴△ ≥0，即（ 3a ﹣ 1） ﹣ 4（ 2a ﹣1） =a ﹣ 6a+5≥0∴ x1+x 2=﹣（ 3a ﹣ 1），x1?x2=2a 2﹣ 1，∵（ 3x 1﹣ x 2）（ x 1﹣ 3x 2） =﹣ 80，即 3（ x 12+x 22）﹣ 10x 1x 2=﹣ 80， ∴ 3（ x1+x2 ）2﹣ 16x1x2 =﹣ 80， ∴ 3（ 3a ﹣ 1） 2﹣ 16（2a 2﹣ 1） =﹣ 80，2整理得， 5a +18a ﹣ 99=0，∴（ 5a+33）（ a ﹣ 3） =0，解得 a=3 或 a=﹣ ，当 a=3 时， △ =9 ﹣ 6×3+5= ﹣ 4＜0，故舍去， 当 a=﹣ 时， △=（﹣ 2）+6=（2+6＞ 0，） ﹣ 6×（﹣ ） +6× ∴实数 a 的值为﹣点评： 本题考查了一元二次方程 2x1，x2，则 x1+x 2=﹣ ， ax +bx+c=0 （ a ≠0）的根与系数的关系： 如果方程的两根为x1?x2= ．也考查了一元二次方程根的判别式以及代数式的变形能力．29．（ 2013?孝感）已知关于 2 2x 的一元二次方程 x ﹣（ 2k+1） x+k +2k=0 有两个实数根 x1，x2． （ 1）求实数 k 的取值范围； 2﹣x22 （ 2）是否存在实数 k 使得 x1 ?x2﹣ x1 ≥0 成立？若存在，请求出 k 的值；若不存在，请说明理由． 考点 ： 根与系数的关系；根的判别式．专题 ： 压轴题．△ ≥0，据此列出关于 k 的不等式 [﹣（ 2k+1 ） ]2分析： （ 1）根据已知一元二次方程的根的情况，得到根的判别式2k 的取值范围； ﹣ 4（ k +2k ） ≥0，通过解该不等式即可求得（ 2）假设存在实数 k 使得≥0 成立．利用根与系数的关系可以求得，然后利用完全平方公式可以把已知不等式转化为含有两根之和、两根之积的形式≥0，通过解不等式可以求得 k 的值．解答： 解：（ 1）∵原方程有两个实数根，2 2∴ [﹣（ 2k+1 ）] ﹣ 4（k +2k ） ≥0，2 2﹣8k ≥0 ∴ 4k +4k+1 ﹣ 4k∴ 1﹣ 4k ≥0，∴ k ≤ ．∴当 k≤时，原方程有两个实数根．（ 2）假设存在实数k 使得≥0 成立．∵ x1， x2是原方程的两根，∴．由≥0，得≥0．2 2 2∴ 3（ k +2k）﹣（ 2k+1）≥0，整理得：﹣（ k﹣ 1）≥0，∴只有当 k=1 时，上式才能成立．又∵由（ 1）知 k≤，∴不存在实数 k 使得≥0 成立．点评：本题综合考查了根的判别式和根与系数的关系，在解不等式时一定要注意数值的正负与不等号的变化关系．30．（ 2001?苏州）已知关于 x 的一元二次方程，（ 1）求证：不论 k 取何值，方程总有两个不相等的实数根；（ 2）设 x1、x2是方程的两个根，且x12﹣ 2kx 1+2x 1x2=5，求 k 的值．考点：根与系数的关系；根的判别式．专题：计算题；证明题；压轴题．分析：（ 1）要保证方程总有两个不相等的实数根，就必须使△＞0 恒成立；（ 2）欲求 k 的值，先把此代数式变形为两根之积或两根之和的形式，代入数值计算即可．解答：解：（ 1）已知关于 x 的一元二次方程，∴△ =（﹣ 2k）2﹣ 4×（ k2﹣ 2）=2k2+8，2∵ 2k +8＞ 0 恒成立，∴不论 k 取何值，方程总有两个不相等的实数根．（2）∵ x1、 x2是方程的两个根，∴ x1+x 2=2k， x1?x2= k2﹣2，∴ x12﹣ 2kx 1+2x 1x2=x 12﹣（ x1+x 2） x1+2x1x2=x1x2=k2﹣ 2=5，解得 k=±．点评：此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．欢迎您的光临，Wor文档下载后可修改编辑双击可删除页眉页脚谢谢！希望您提出您宝贵的意见，你的意见是我进步的动力。

一元二次方程根与系数的关系（附答案）评卷人得分一．选择题（共6小题）1．已知关于x的一元二次方程3x2+4x﹣5=0，下列说法正确的是（）A．方程有两个相等的实数根B．方程有两个不相等的实数根C．没有实数根D．无法确定2．关于x的一元二次方程x2+2x﹣m=0有实数根，则m的取值范围是（）A．m≥﹣1 B．m＞﹣1 C．m≤﹣1 D．m＜﹣13．关于x的一元二次方程x2+3x﹣1=0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．不能确定4．设x1、x2是一元二次方程2x2﹣4x﹣1=0的两实数根，则x12+x22的值是（）A．2 B．4 C．5 D．65．若α、β是一元二次方程x2﹣5x﹣2=0的两个实数根，则α+β的值为（）A．﹣5 B．5 C．﹣2 D．6．已知关于x的方程x2﹣4x+c+1=0有两个相等的实数根，则常数c的值为（）A．﹣1 B．0 C．1 D．3评卷人得分二．填空题（共1小题）7．若关于x的一元二次方程x2﹣3x+a=0（a≠0）的两个不等实数根分别为p，q，且p2﹣pq+q2=18，则的值为．评卷人得分三．解答题（共8小题）8．已知关于x的方程x2﹣（2k+1）x+k2+1=0．（1）若方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围；（2）若方程的两根恰好是一个矩形两邻边的长，且k=2，求该矩形的对角线L 的长．9．已知关于x的方程x2+ax+a﹣2=0．（1）若该方程的一个根为1，求a的值；（2）求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．10．已知关于x的一元二次方程（x﹣m）2﹣2（x﹣m）=0（m为常数）．（1）求证：不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根；（2）若该方程一个根为3，求m的值．11．已知关于x的一元二次方程x2﹣x+a﹣1=0．（1）当a=﹣11时，解这个方程；（2）若这个方程有两个实数根x1，x2，求a的取值范围；（3）若方程两个实数根x1，x2满足[2+x1（1﹣x1）][2+x2（1﹣x2）]=9，求a的值．12．已知x1，x2是关于x的一元二次方程4kx2﹣4kx+k+1=0的两个实数根．（1）是否存在实数k，使（2x1﹣x2）（x1﹣2x2）=﹣成立？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由；（2）求使+﹣2的值为整数的实数k的整数值；（3）若k=﹣2，λ=，试求λ的值．13．已知关于x的方程（k+1）x2﹣2（k﹣1）x+k=0有两个实数根x1，x2．（1）求k的取值范围；（2）若x1+x2=x1x2+2，求k的值．14．已知关于x的方程x2﹣2（m+1）x+m2﹣3=0．（1）当m取何值时，方程有两个不相等的实数根？（2）设x1、x2是方程的两根，且x12+x22=22+x1x2，求实数m的值．15．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+m﹣1=0有两个实数根x1、x2．（1）求m的取值范围；（2）若x12+x22=6x1x2，求m的值．参考答案与试题解析一．选择题（共6小题）1．已知关于x的一元二次方程3x2+4x﹣5=0，下列说法正确的是（）A．方程有两个相等的实数根B．方程有两个不相等的实数根C．没有实数根D．无法确定【解答】解：∵△=42﹣4×3×（﹣5）=76＞0，∴方程有两个不相等的实数根．故选：B．2．关于x的一元二次方程x2+2x﹣m=0有实数根，则m的取值范围是（）A．m≥﹣1 B．m＞﹣1 C．m≤﹣1 D．m＜﹣1【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+2x﹣m=0有实数根，∴△=22﹣4×1×（﹣m）=4+4m≥0，解得：m≥﹣1．故选：A．3．关于x的一元二次方程x2+3x﹣1=0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．不能确定【解答】解：∵a=1，b=3，c=﹣1，∴△=b2﹣4ac=32﹣4×1×（﹣1）=13＞0，∴方程有两个不相等的实数根．故选：A．4．设x1、x2是一元二次方程2x2﹣4x﹣1=0的两实数根，则x12+x22的值是（）A．2 B．4 C．5 D．6【解答】解：∵x1、x2是一元二次方程2x2﹣4x﹣1=0的两实数根，∴x1+x2=2，x1x2=﹣，∴x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2=22﹣2×（﹣）=5．故选：C．5．若α、β是一元二次方程x2﹣5x﹣2=0的两个实数根，则α+β的值为（）A．﹣5 B．5 C．﹣2 D．【解答】解：∵α、β是一元二次方程x2﹣5x﹣2=0的两个实数根，∴α+β=5．故选：B．6．已知关于x的方程x2﹣4x+c+1=0有两个相等的实数根，则常数c的值为（）A．﹣1 B．0 C．1 D．3【解答】解：∵关于x的方程x2﹣4x+c+1=0有两个相等的实数根，∴△=（﹣4）2﹣4×1×（c+1）=12﹣4c=0，解得：c=3．故选：D．二．填空题（共1小题）7．若关于x的一元二次方程x2﹣3x+a=0（a≠0）的两个不等实数根分别为p，q，且p2﹣pq+q2=18，则的值为﹣5．【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣3x+a=0（a≠0）的两个不等实数根分别为p、q，∴p+q=3，pq=a，∵p2﹣pq+q2=（p+q）2﹣3pq=18，即9﹣3a=18，∴a=﹣3，∴pq=﹣3，∴+====﹣5．故答案为：﹣5．三．解答题（共8小题）8．已知关于x的方程x2﹣（2k+1）x+k2+1=0．（1）若方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围；（2）若方程的两根恰好是一个矩形两邻边的长，且k=2，求该矩形的对角线L 的长．【解答】解：（1）∵方程x2﹣（2k+1）x+k2+1=0有两个不相等的实数根，∴△=[﹣（2k+1）]2﹣4×1×（k2+1）=4k﹣3＞0，∴k＞．（2）当k=2时，原方程为x2﹣5x+5=0，设方程的两个为m、n，∴m+n=5，mn=5，∴==．9．已知关于x的方程x2+ax+a﹣2=0．（1）若该方程的一个根为1，求a的值；（2）求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．【解答】（1）解：将x=1代入原方程，得：1+a+a﹣2=0，解得：a=．（2）证明：△=a2﹣4（a﹣2）=（a﹣2）2+4．∵（a﹣2）2≥0，∴（a﹣2）2+4＞0，即△＞0，∴不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．10．已知关于x的一元二次方程（x﹣m）2﹣2（x﹣m）=0（m为常数）．（1）求证：不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根；（2）若该方程一个根为3，求m的值．【解答】（1）证明：原方程可化为x2﹣（2m+2）x+m2+2m=0，∵a=1，b=﹣（2m+2），c=m2+2m，∴△=b2﹣4ac=[﹣（2m+2）]2﹣4（m2+2m）=4＞0，∴不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根．（2）解：将x=3代入原方程，得：（3﹣m）2﹣2（3﹣m）=0，解得：m1=3，m2=1．∴m的值为3或1．11．已知关于x的一元二次方程x2﹣x+a﹣1=0．（1）当a=﹣11时，解这个方程；（2）若这个方程有两个实数根x1，x2，求a的取值范围；（3）若方程两个实数根x1，x2满足[2+x1（1﹣x1）][2+x2（1﹣x2）]=9，求a的值．【解答】解：（1）把a=﹣11代入方程，得x2﹣x﹣12=0，（x+3）（x﹣4）=0，x+3=0或x﹣4=0，∴x1=﹣3，x2=4；（2）∵方程有两个实数根，∴△≥0，即（﹣1）2﹣4×1×（a﹣1）≥0，解得；（3）∵是方程的两个实数根，，∴．∵[2+x1（1﹣x1）][2+x2（1﹣x2）]=9，∴，把代入，得：[2+a﹣1][2+a﹣1]=9，即（1+a）2=9，解得a=﹣4，a=2（舍去），所以a的值为﹣412．已知x1，x2是关于x的一元二次方程4kx2﹣4kx+k+1=0的两个实数根．（1）是否存在实数k，使（2x1﹣x2）（x1﹣2x2）=﹣成立？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由；（2）求使+﹣2的值为整数的实数k的整数值；（3）若k=﹣2，λ=，试求λ的值．【解答】解：（1）∵x1、x2是一元二次方程4kx2﹣4kx+k+1=0的两个实数根，∴x1+x2=1，x1x2=，∴（2x1﹣x2）（x1﹣2x2）=2x12﹣4x1x2﹣x1x2+2x22=2（x1+x2）2﹣9x1x2=2×12﹣9×=2﹣，若2﹣=﹣成立，解上述方程得，k=，∵△=16k2﹣4×4k（k+1）=﹣16k＞0，∴k＜0，∵k=，∴矛盾，∴不存在这样k的值；（2）原式=﹣2=﹣2=﹣4=﹣，∴k+1=1或﹣1，或2，或﹣2，或4，或﹣4解得k=0或﹣2，1，﹣3，3，﹣5．∵k＜0．∴k=﹣2，﹣3或﹣5；（3）∵k=﹣2，λ=，x1+x2=1，∴λx2+x2=1，x2=，x1=，∵x1x2==，∴=，∴λ=3±3．13．已知关于x的方程（k+1）x2﹣2（k﹣1）x+k=0有两个实数根x1，x2．（1）求k的取值范围；（2）若x1+x2=x1x2+2，求k的值．【解答】解：（1）∵关于x的方程（k+1）x2﹣2（k﹣1）x+k=0有两个实数根，∴，解得：k≤且k≠﹣1．（2）∵关于x的方程（k+1）x2﹣2（k﹣1）x+k=0有两个实数根x1，x2．∴x1+x2=，x1x2=．∵x1+x2=x1x2+2，即=+2，解得：k=﹣4，经检验，k=﹣4是原分式方程的解，∴k=﹣4．14．已知关于x的方程x2﹣2（m+1）x+m2﹣3=0．（1）当m取何值时，方程有两个不相等的实数根？（2）设x1、x2是方程的两根，且x12+x22=22+x1x2，求实数m的值．【解答】解：（1）△=[﹣2（m+1）]2﹣4（m2﹣3）=8m+16，当方程有两个不相等的实数根时，则有△＞0，即8m+16＞0，解得m＞﹣2；（2）根据一元二次方程根与系数之间的关系，得x1+x2=2（m+1），x1x2=m2﹣3，∵x12+x22=22+x1x2=（x1+x2）2﹣2x1x2，∴[2（m+1）]﹣2（m2﹣3）=6+（m2﹣3），化简，得m2+8m﹣9=0，解得m=1或m=﹣9（不合题意，舍去），∴实数m的值为1．15．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+m﹣1=0有两个实数根x1、x2．（1）求m的取值范围；（2）若x12+x22=6x1x2，求m的值．【解答】解：（1）∵方程有两个实数根，∴△≥0，即（﹣2）2﹣4（m﹣1）≥0，解得m≤2；（2）由根与系数的关系可得x1+x2=2，x1x2=m﹣1，∵x12+x22=6x1x2，∴（x1+x2）2﹣2x1x2=6x1x2，即（x1+x2）2=8x1x2，∴4=8（m﹣1），解得m=1.5．。

同步测验一、选择题（本题共计10小题，每题3分，共计30分）1.若关于x的一元二次方程x2−4x−m2=0有两个实数根x1，x2，则m2(1x1+1x2)=()A.m 44B.−m44C.4D.−42.关于x的一元二次方程x2+mx−6=0的一个根是3，则另一个根是（）A.−1B.1C.−2D.23.已知x1，x2是方程x2−2x−1=0的两根，则x1+x2的值为（）A.1B.−2C.−1D.24.一元二次方程x2+4x−3=0的两根为x1、x2，则x1⋅x2的值是（）A.4B.−4C.3D.−35.已知a、b是方程x2−4x+2=0的两个根，则a2−2a+2b的值为（）A.−4B.6C.−8D.86.若x1、x2是一元二次方程2x2−3x+1=0的两个根，则x12+x22的值是（）A.54B.94C.114D.77.已知x1，x2是关于x的元二次方程x2−(5m−6)x+m2＝0的两个不相等的实根，且满足x1+x2＝m2，则m的值是（）A.2B.3C.2或3D.−2或−38.x1，x2是关于x的一元二次方程x2−mx+m−2=0的两个实数根，是否存在实数m使1x1+1x2=0成立？则正确的结论是（）A.m=0时成立B.m=2时成立C.m=0或2时成立D.不存在9.关于x的方程x2−(k+3)x+3k=0的两根为x1，x2，1x1+1x2=23，则k值为（）A.1B.2C.3D.410.下列方程中，两根是−2和−3的方程是（）A.x2−5x+6=0B.x2−5x−6=0C.x2+5x−6=0D.x2+5x+6=0二、填空题（本题共计10小题，每题3分，共计30分）11.一元二次方程x2−2x−1=0的两根为x1，x2，则x12+2x1−2x1x2的值为________．12.设x1，x2是方程2x2+4x−3=0的两个根，则x12+x22=________．13.方程x2−2ax+3=0有一个根是1，则另一根为________，a的值是________．14.已知2−√5是一元二次方程x2−4x+c=0的一个根，则方程的另一个根是________．15.已知x1，x2分别是一元二次方程x2−x−6=0的两个实数根，则x1+x2=________．16.请写出方程两个根互为相反数的一个一元二次方程________．17.已知m，n是方程x2−2017x+2018＝0的两根，则(n2−2018n+2 019)(m2−2018m+2019)＝________．18.以−3，4为解的一元二次方程可以为________．19.已知关于x的一元二次方程x2+bx+c=0的两根分别为x1=1，x2=2，则b=________；c=________．20.关于x的方程x2−2√3x+1=0的两根分别为x1，x2，则x1x2+x2x1=________．三、解答题（本题共计6小题，每题10分，共计60分）21.已知方程x2−2x−15=0的两个根分别是a和b，求代数式(a−b)2+4b(a−b)+4b2的值．22.已知关于x的一元二次方程x2−2(k−1)x+k2−1=0有两个不相等的实数根．(1)求k的取值范围；(2)若该方程的两根分别为x1，x2，且满足|x1+x2|=2x1x2，求k的值．23.回答下列问题：(1)解方程：x2−2x−1=0；(2)已知α，β是方程x2+2x−3=0的两个实数根，求α2β+αβ2的值.24.已知关于x的一元二次方程x2+4x+m−1=0．(1)若m是使得方程有两个不相等的实数根的最大正整数，求m的值；(2)设x1、x2是(1)中你所得到的方程的两个实数根，求：−x1−x2+x1x2的值．25.设x1、x2是方程x2+2x−2=0的两个实数根，求x2x1+x1x2的值．26.已知x1、x2为方程x2+3x+1=0的两实根．（1）填空：x1+x2=________；x1⋅x2=________．（2）求代数式x12+x22的值．同步测验学校：__________班级：__________姓名：__________考号：__________ 一、选择题（本题共计10小题，每题3分，共计30分）1.若关于x的一元二次方程x2−4x−m2=0有两个实数根x1，x2，则m2(1x1+1x2)=()A.m 44B.−m44C.4D.−4【解答】解：∵x2−4x−m2=0有两个实数根x1，x2，∴{x1+x2=4，x1x2=−m2，∴则m2(1x1+1x2)=m2⋅x1+x2x1x2=m2⋅4−m2=−4．故选D.2.关于x的一元二次方程x2+mx−6=0的一个根是3，则另一个根是()A.−1B.1C.−2D.2【解答】解：设关于x的一元二次方程x2+mx−6=0的另一个根为t，则3t=−6，解得t=−2．故选C．3.已知x1，x2是方程x2−2x−1=0的两根，则x1+x2的值为()A.1B.−2C.−1D.2【解答】解：∵x1，x2是方程x2−2x−1=0的两根，∴x1+x2=2．故选D．4.一元二次方程x2+4x−3=0的两根为x1、x2，则x1⋅x2的值是（）A.4B.−4C.3D.−3【解答】解：x 1⋅x 2=−3． 故选D ．5.已知a 、b 是方程x 2−4x +2=0的两个根，则a 2−2a +2b 的值为（ ） A.−4 B.6 C.−8 D.8【解答】解：∵a 、b 是方程x 2−4x +2=0的两个根， ∴a 2−4a +2=0，a +b =4， ∴a 2−4a =−2，2a +2b =8， ∴a 2−4a +2a +2b =6， ∴a 2−2a +2b =6， 故选B ．6.若x 1、x 2是一元二次方程2x 2−3x +1=0的两个根，则x 12+x 22的值是（ ）A.54 B.94C.114D.7【解答】 解：由题意知，x 1x 2=12，x 1+x 2=32，∴x 12+x 22=(x 1+x 2)2−2x 1x 2=(32)2−2×12=54．故选A ．7.已知x 1，x 2是关于x 的元二次方程x 2−(5m −6)x +m 2＝0的两个不相等的实根，且满足x 1+x 2＝m 2，则m 的值是（ ） A.2 B.3 C.2或3 D.−2或−3【解答】∵x 1，x 2是关于x 的元二次方程x 2−(5m −6)x +m 2＝0的两个不相等的实根， ∴x 1+x 2＝5m −6，△＝[−(5m −6)]2−4m 2>0， 解得m <67或m >2， ∵x 1+x 2＝m 2， ∴5m −6＝m 2，解得m ＝2（舍）或m ＝3，8.x 1，x 2是关于x 的一元二次方程x 2−mx +m −2=0的两个实数根，是否存在实数m 使1x 1+1x 2=0成立？则正确的结论是()A.m=0时成立B.m=2时成立C.m=0或2时成立D.不存在【解答】解：∵x1，x2是关于x的一元二次方程x2−mx+m−2=0的两个实数根，∴x1+x2=m，x1x2=m−2．假设存在实数m使1x1+1x2=0成立，则x1+x2x1x2=0，∴mm−2=0，∴m=0．当m=0时，方程x2−mx+m−2=0即为x2−2=0，此时Δ=8>0，∴m=0符合题意．故选A．9.关于x的方程x2−(k+3)x+3k=0的两根为x1，x2，1x1+1x2=23，则k值为()A.1B.2C.3D.4【解答】解：∵关于x的方程x2−(k+3)x+3k=0的两根为x1，x2，∴x1+x2=k+3，x1⋅x2=3k，∵1x1+1x2=23，∴x1+x2x1⋅x2=23，即k+33k =23，解得k=3.经检验k=3符合题意.故选C.10.下列方程中，两根是−2和−3的方程是（）A.x2−5x+6=0B.x2−5x−6=0C.x2+5x−6=0D.x2+5x+6=0【解答】解：设两根是−2和−3的方程为：x2+ax+b=0，根据根与系数的关系，∴(−2)+(−3)=−a=5，(−2)×(−3)=b=6，故方程为：x2+5x+6=0．故选D．二、填空题（本题共计10小题，每题3分，共计30分）11.一元二次方程x2−2x−1=0的两根为x1，x2，则x12+2x1−2x1x2的值为________．【解答】解：∵一元二次方程x2−2x−1=0的两根为x1，x2，∴x12=1+2x1，x1x2=−1,x1+x2=2，∴x12+2x2−2x1x2=1+2(x1+x2)−2x1x2=1+4+2=7．故答案为：7.12.设x1，x2是方程2x2+4x−3=0的两个根，则x12+x22=________．【解答】，解：根据题意得x1+x2=−2，x1x2=−32)=7．所以x12+x22=(x1+x2)2−2x1x2=(−2)2−2×(−32故答案为7．13.方程x2−2ax+3=0有一个根是1，则另一根为________，a的值是________．【解答】解：设方程的另一根为x2，根据题意得1⋅x2=3，则x2=3；∵1+x2=2a，∴1+3=2a，∴a=2；故答案为3，2．14.已知2−√5是一元二次方程x2−4x+c=0的一个根，则方程的另一个根是________．【解答】解：设方程的另一根为x1，由x1+2−√5=4，得x1=2+√5．15.已知x1，x2分别是一元二次方程x2−x−6=0的两个实数根，则x1+x2=________．【解答】解：∵一元二次方程x2−x−6=0的二次项系数a=1，一次项系数b=−1，又∵x1，x2分别是一元二次方程x2−x−6=0的两个实数根，∴根据韦达定理，知x 1+x 2=−b a =−−11=1；故答案是：1．16.请写出方程两个根互为相反数的一个一元二次方程________． 【解答】解：例如，x 2−4=0．（答案不唯一）．17.已知m ，n 是方程x 2−2017x +2018＝0的两根，则(n 2−2018n +2 019)(m 2−2018m +2019)＝________． 【解答】∵m 、n 是方程x 2−2 017x +2 018＝0的两根，∴m 2−2017m ＝−2018，n 2−2017n ＝−2018，m +n ＝2017，mn ＝2018， ∴原式＝(−n +1)(−m +1)＝mn −(m +n)+1＝2018−2017+1＝2． 18.以−3，4为解的一元二次方程可以为________． 【解答】解：根据根与系数的关系可知：在二次项系数为1时，一次项系数等于两根之和的相反数即−(−3+4)=−1，常数项等于两根之积即−3×4=−12， 故以−3，4为解的一元二次方程为：x 2−x +12=0， 故答案为：x 2−x +12=0．19.已知关于x 的一元二次方程x 2+bx +c =0的两根分别为x 1=1，x 2=2，则b =________；c =________． 【解答】解：∵关于x 的一元二次方程x 2+bx +c =0的两根分别为x 1=1，x 2=2， ∴1+2=−b ，1×2=c ， ∴b =−3，c =2， 故答案为：−3，2．20.关于x 的方程x 2−2√3x +1=0的两根分别为x 1，x 2，则x 1x 2+x2x 1=________．【解答】解：根据题意得x 1+x 2=2√3，x 1x 2=1， 所以原式=x 12+x 22x 1x 2=(x 1+x 2)2x 1x 2=(2√3)2−2×11=10．故答案为10．三、解答题（本题共计6小题，每题10分，共计60分）21.已知方程x2−2x−15=0的两个根分别是a和b，求代数式(a−b)2+4b(a−b)+4b2的值．【解答】解：根据题意得a+b=2，ab=−15，原式=(a+b)2−4ab+4ab−4b2+4b2=(a+b)2，所以原式=22=4．22.已知关于x的一元二次方程x2−2(k−1)x+k2−1=0有两个不相等的实数根．(1)求k的取值范围；(2)若该方程的两根分别为x1，x2，且满足|x1+x2|=2x1x2，求k的值．【解答】解：(1)由题意知：Δ=[−2(k−1)]2−4(k2−1)=−8k+8，∵方程有两个不相等的实数根，∴−8k+8>0，解得：k<1.故k的取值范围是k<1.(2)由韦达定理可知：x1x2=k2−1，x1+x2=2(k−1)，∵|x1+x2|=2x1x2，∴|2(k−1)|=2k2−2，∵k<1，∴2−2k=2k2−2，整理得：k2+k−2=0，解得：k=1(舍去)或k=−2.故k的值为−2.23.回答下列问题：(1)解方程：x2−2x−1=0；(2)已知α，β是方程x2+2x−3=0的两个实数根，求α2β+αβ2的值.【解答】解：(1)x2−2x−1=0，x2−2x=1，(x−1)2=2，x−1=±√2，∴x=√2+1或x=1−√2(2)由根与系数的关系可知，α+β=−2,αβ=−3,∴α2β+αβ2=αβ(α+β)=−3×(−2)=6..24.已知关于x的一元二次方程x2+4x+m−1=0．(1)若m是使得方程有两个不相等的实数根的最大正整数，求m的值；(2)设x1、x2是(1)中你所得到的方程的两个实数根，求：−x1−x2+x1x2的值．【解答】解：(1)当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根，即42−4(m−1)>0，解得m<5，∴m的最大正整数为m=4.(2)由(1)得x1x2=3，x1+x2=−4，则−x1−x2+x1x2=−(x1+x2)+x1x2=−(−4)+3=7．25.设x1、x2是方程x2+2x−2=0的两个实数根，求x2x1+x1x2的值．【解答】解：根据题意得x1+x2=−2，x1x2=−2，所以x2x1+x1x2=x12+x22x1x2=(x1+x2)2−2x1x2x1x2=(−2)2−2×(−2)−2=−4．26.已知x1、x2为方程x2+3x+1=0的两实根．（1）填空：x1+x2=________；x1⋅x2=________．（2）求代数式x12+x22的值．【解答】解：（1）x1+x2=−3，x1x2=1；（2）x12+x22=(x1+x2)2−2x1x2=(−3)2−2×1=7．11。

一元二次方程的根与系数的关系【十大题型】【题型1 利用根与系数的关系直接求代数式的值】 (1)【题型2 利用根与系数的关系求方程的根】 (3)【题型3 利用根与系数的关系和一元二次方程的解求代数式的值】 (4)【题型4 利用根与系数的关系降次求代数式的值】 (6)【题型5 由一元二次方程的两根求值】 (8)【题型6 构造一元二次方程求代数式的值】 (10)【题型7 由一元二次方程的根判断另一个一元二次方程的根】 (12)【题型8 根与系数的关系与三角形、四边形的综合运用】 (15)【题型9 由一元二次方程根的取值范围求字母的取值范围】 (18)【题型10 一元二次方程中的新定义问题】 (20)知识点1：一元二次方程的根与系数的关系若一元二次方程ax2+bx+c=0（a、b、c为常数，a≠0）的两根为x1，x2，则x1+x2=−b a，x1⋅x2=c a．注意它的使用条件为，a≠0，Δ≥0.【题型1 利用根与系数的关系直接求代数式的值】【例1】（23-24九年级·黑龙江绥化·开学考试）已知一元二次方程xx2+xx=5xx+6的两根分别为m、n，则1mm+1nn=．【答案】−23．【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，对于一元二次方程aaxx2+bbxx+cc=0(aa≠0),，若xx1，xx2是该方程的两个实数根，则xx1+xx2=−bb aa,xx1xx2=cc aa.直接根据一元二次方程根与系数的关系得到mm+nn=4，mmnn=−6，再根据1mm+1nn=mm+nn mmnn进行求解即可．【详解】解：∵一元二次方程xx2+xx=5xx+6可化为xx2−4xx−6=0，这个方程的两根分别为m，n，∴mm+nn=4，mmnn=−6，故答案为：−23．【变式1-1】（23-24九年级·广西来宾·期中）若a，b是方程xx2−2xx−5=0的两个实数根，则(aa−2)(bb−2)的值为．【答案】−5【分析】本题考查了一元二次方程根于系数的关系，根据一元二次方程根于系数的关系可得aa+bb=2，aabb=−7，代入即可求解，熟练掌握一元二次方程根于系数的关系是解题的关键．【详解】解：∵a，b是方程xx2−2xx−5=0的两个实数根，∴aa+bb=2，aabb=−7，∴(aa−2)(bb−2)=aabb−8(aa+bb)+4=-5−7×2+4=−5．故答案为：−5．【变式1-2】（23-24九年级·四川成都·阶段练习）设方程2xx2+3xx+1=0的根为xx1、xx2，则xx12+xx22=．【答案】54【分析】利用根与系数的关系求出两根之和与两根之积，原式利用完全平方公式变形后代入计算即可求出值．【详解】解：∵方程2xx2+3xx+1=0的根为xx1、xx2，∴xx1+xx2=−32，xx1xx2=12，则xx12+xx22=(xx1+xx2)2−2xx1xx2=(−32)2−2×12=94−1=54．故答案为：54．【点睛】本题考查了根与系数的关系，解一元二次方程−因式分解法，以及完全平方公式，解题的关键是熟练掌握根与系数的关系．（23-24九年级·浙江宁波·期末）已知xx1，xx2是方程2xx2+3xx−7=0的两个根，则xx13xx2+xx1xx23【变式1-3】的值为（）A．214B．−2598C．−638D．−1338【答案】B【分析】本题主要考查了根与系数的关系等知识点，根据一元二次方程根与系数的关系得出xx1+xx2和xx1xx2，再利用整体思想即可解决问题，熟知一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．【详解】∵xx1，xx2是方程2xx2+3xx−7=0的两个根，∴xx13xx2+xx1xx23=xx1xx2(xx12+xx22)=xx1xx2[(xx1+xx2)2−2xx1xx2]=−72×��−32�2−2×�−72��=−2598，故选：B．【题型2 利用根与系数的关系求方程的根】【例2】（23-24九年级·全国·单元测试）若关于xx的方程3(xx−1)(xx−2mm)=(mm−12)xx的两根之和与两根之积相等，则方程的根为．【答案】xx=9±3√7【分析】将已知方程化简成一般形式，再根据一元二次方程根与系数的关系和已知条件，列出关于m的方程，解出方程，求出m的值，再将m代入原来方程，解出方程．【详解】解：将已知方程化简可得：3x2＋（9－7m）x＋6m＝0，根据一元二次方程根与系数的关系可得x1＋x2＝-9-7m3，x1x2＝2m，根据已知条件可得∶-9-7m3＝2m，解出：m＝9，将m＝9代入化简后的方程可得：x2－18x＋18＝0，化成完全平方得：（x－9）2＝63，解得x＝9±3√7．故答案为∶xx=9±3√7．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的根与一元二次系数的关系，解此题的关键是掌握一元二次方程的根与一元二次系数的关系．【变式2-1】（23-24·山东济南·二模）若关于xx的一元二次方程xx2+mmxx−6=0有一个根为xx=2，则该方程的另一个根为xx=．【答案】−3【分析】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，直接利用：一元二次方程aaxx2+bbxx+cc=0(aa≠0)两根分别是xx1,xx2，则xx1+xx2=−bb aa,xx1xx2=cc aa，进行解题即可．【详解】解：设关于x的一元二次方程xx2+mmxx−6=0的另一个根为t，则2tt=−6，解得tt=−3，故答案为−3【变式2-2】（23-24九年级·河北保定·阶段练习）若关于xx的一元二次方程aaxx2=bb(aabb>0)的两个根分别是mm 与2mm−6，则mm的值为，方程的根为．【答案】2xx1=2,xx2=−2【分析】若一元二次方程aaxx2+bbxx+cc=0(aa≠0)的两个根为xx1,xx2，则xx1+xx2=−bb aa,xx1·xx2=cc aa．【详解】解：整理方程得：aaxx2−bb=0由题意得：mm+2mm−6=0∴mm=2故两个根为：xx1=mm=2,xx2=2mm−6=−2故答案为：2；xx1=2,xx2=−2【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，理解这两个根和为0是解题的关键．【变式2-3】（23-24九年级·浙江台州·阶段练习）若关于x的一元二次方程aaxx2=cc(aa≠0)的一根为2，则另一根为．【答案】−2【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，根据根与系数的关系得到2+mm=0是解题的关键．【详解】解：设方程的另一个根为mm，则2+mm=0，解得：mm=−2，故答案为：−2．【题型3 利用根与系数的关系和一元二次方程的解求代数式的值】【例3】（23-24九年级·山东枣庄·期中）已知mm、n是关于xx的方程xx2−2xx−2021=0的根，则代数式mm2−4mm−2nn+2023的值为（）A．2022 B．2023 C．4039 D．4040【答案】D【分析】根据一元二次方程解的定义及根与系数的关系得出mm2−2mm=2021，mm+nn=−bb aa=2，将原式化简求值即可．【详解】解：∵mm、n是关于xx的方程xx2−2xx−2021=0的根，∴mm2−2mm=2021，mm+nn=−bb aa=2，mm2−4mm−2nn+2023=mm2−2mm−2(mm+nn)+2023=2021−2×2+2023=4040，故选：D．【点睛】题目主要考查一元二次方程的根及根与系数的关系，求代数式的值，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题关键．【变式3-1】（23-24·江苏南京·模拟预测）设xx1、xx2是方程xx2−3xx−2020=0的两个根，则xx12−2xx1+ xx2=．【答案】2023【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数关系，方程解的定义，掌握一元二次方程根与系数关系，方程解的定义是解题的关键．首先根据根与系数关系得到xx1+xx2=3，之后将xx1代入方程中得到xx12−3xx1−2020=0，变形为xx12−3xx1=2020，两式相加即可得到答案．【详解】解：∵xx1、xx2是方程xx2−3xx−2020=0的两个根，∴xx1+xx2=3，xx12−3xx1−2020=0∴xx12−3xx1=2020∴xx12−2xx1+xx2=(xx12−3xx1)+(xx1+xx2)=2020+3=2023．故答案为：2023．【变式3-2】（23-24九年级·辽宁大连·期中）设αα，ββ是xx2+xx+18=0的两个实数根，则αα2+3αα+2ββ的值是．【答案】−20【分析】本题考查了根与系数的关系：若xx1，xx2是一元二次方程aaxx2+bbxx+cc=0(aa≠0)的两根时，则xx1+xx2=−bb aa，xx1xx2=cc aa．利用整体代入法是本题的关键．【详解】解：∵αα，ββ是xx2+xx+18=0的两个实数根，∴αα2+αα=−18，αα+ββ=−1，∴αα2+3αα+2ββ=(αα2+αα)+2(αα+ββ)=−18+2×(−1)=−20，故答案为：−20．【变式3-3】（23-24九年级·河南新乡·期末）已知aa，bb是方程xx2−5xx+7=0的两个根，则aa2−4aa+bb−3=．【答案】−5【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，掌握aaxx2+bbxx+cc=0的两根xx1，xx2满足xx1+xx2=−bb aa，xx1xx2=cc aa是解题的关键．【详解】解：∵aa，bb是方程xx2−5xx+7=0的两个根，∴aa2−5aa=−7，aa+bb=5，∴(aa2−5aa)+(aa+bb)−3=−7+5−3=−5，故答案为：−5．【题型4 利用根与系数的关系降次求代数式的值】【例4】（23-24九年级·湖北武汉·阶段练习）已知a、b是一元二次方程xx2−3xx+1=0的根，则代数式1aa2+1+ 1bb2+1的值是（）A．3 B．1 C．−3D．−1【答案】B【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系可得aa+bb=3，aabb=1，再整体代入求解即可．【详解】解：∵a、b是一元二次方程xx2−3xx+1=0的根，∴aa+bb=3，aabb=1，∴1aa2+1+1bb2+1=1aa2+aabb+1bb2+aabb=1aa(aa+bb)+1bb(aa+bb)=13aa+13bb=aa+bb3aabb=33×1=1，故选：B．【点睛】本题考查一元二次方程的根与系数的关系、分式的化简求值，熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系是解题的关键．【变式4-1】（23-24九年级·云南·期末）已知mm,nn是方程xx2+xx−3=0的两个实数根，则mm3−3mm+nn+2024的值是．【答案】2020【分析】本题考查了根与系数的关系、一元二次方程的解，正确理解一元二次方程的解的定义是解题的关键．由一元二次方程根与系数关系得mm+nn=−1，mm2−3=−mm，再代入求值即可．【详解】解：∵mm，nn是方程xx2+xx−3=0的两个实数根，∴mm+nn=−1，将xx=mm代入方程xx2+xx−3=0，得mm2+mm−3=0，即mm2−3=−mm，mm2=3−mm∴mm3−3mm+nn+2024=mm(mm2−3)+nn+2024=−mm2+nn+2024，∵mm2=3−mm，∴−mm2+nn+2024=−3+mm+nn+2024=mm+nn+2021，∵mm+nn=−1，∴mm+nn+2021=−1+2021=2020．故答案为：2020．【变式4-2】（23-24九年级·山东淄博·期中）已知xx1,xx2是方程xx2−xx−2024=0的两个实数根，则代数式xx13−2024xx1+xx22的值为（）A．4049 B．4048 C．2024 D．1【答案】A【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的定义，根据一元二次方程的解，以及一元二次方程根与系数的关系即可求解．【详解】解：解：∵xx1，xx2是方程xx2−xx−2024=0的两个实数根，∴xx12−2024=xx1，xx1xx2=−2024，xx1+xx2=1xx13−2024xx1+xx22=xx1(xx12−2024)+xx22=xx12+xx22=(xx1+xx2)2−2xx1xx2=1−2×(−2024)=4049故选A【变式4-3】（23-24九年级·江苏苏州·阶段练习）已知：mm、nn是方程xx2+3xx−1=0的两根，则mm3−5mm+ 5nn=．【答案】−18【分析】先根据一元二次方程的解的定义得到mm2+3mm−1=0，即mm2=−3mm+1，mm3=−3mm2+mm，再把mm3−5mm+5nn化简为用mm和nn的一次式表示得到5(mm+nn)−3，再根据根与系数的关系得到mm+nn=−3，然后利用整体代入的方法计算即可．【详解】解：∵mm、nn是方程xx2+3xx−1=0的两根，∴mm2+3mm−1=0，且mm≠0，mm+nn=−3，∴mm2=−3mm+1，∴mm3=−3mm2+mm，∴mm3−5mm+5nn=−3mm2+mm−5mm+5nn=−3(−3mm+1)−4mm+5nn=5mm+5nn−3=5(mm+nn)−3，∴原式=5×(−3)−3=−18，故答案为：−18．【点睛】本题考查根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根时，则x1+x2=−b a，x1x2=c a．掌握一元二次方程根与系数的关键是解题的关键，也考查一元二次方程的解的定义，运用了整体代入和恒等变换的思想．【题型5 由一元二次方程的两根求值】【例5】（23-24九年级·河北保定·阶段练习）若关于xx的一元二次方程aaxx2=bb(aabb>0)的两个根分别是mm与2mm−6，则mm的值为，方程的根为．【答案】2xx1=2,xx2=−2【分析】若一元二次方程aaxx2+bbxx+cc=0(aa≠0)的两个根为xx1,xx2，则xx1+xx2=−bb aa,xx1·xx2=cc aa．【详解】解：整理方程得：aaxx2−bb=0由题意得：mm+2mm−6=0∴mm=2故两个根为：xx1=mm=2,xx2=2mm−6=−2故答案为：2；xx1=2,xx2=−2【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，理解这两个根和为0是解题的关键．【变式5-1】（23-24九年级·四川成都·期末）已知关于x的方程2xx2+bbxx+cc=0的根为xx1=−2，xx2=3，则b+c的值是（）A．-10 B．-7 C．-14 D．-2【答案】C【分析】根据一元二次方程根与系数的关系分别求出b，c的值即可得到结论．【详解】解：∵关于x的方程2xx2+bbxx+cc=0的根为xx1=−2，xx2=3，∴xx1+xx2=−bb2，xx1xx2=cc2∴−2+3=−bb2，−2×3=cc2，即b=-2，c=-12∴bb+cc=−2−12=−14．故选：C．【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程两个为x1，x2，则x1+x2=-bb aa，x1•x2=cc aa．【变式5-2】（23-24九年级·江苏连云港·阶段练习）在解一元二次方程x2+px+q＝0时，小明看错了系数p，解得方程的根为1和﹣3；小红看错了系数q，解得方程的根为4和﹣2，则p＝．【答案】﹣2【分析】根据根与系数的关系及两同学得出的结论，即可求出p，q的值．【详解】解：由小明看错了系数p，解得方程的根为1和﹣3；可得q＝1×（﹣3）＝﹣3，小红看错了系数q，解得方程的根为4和﹣2，可得﹣p＝4﹣2，解得p＝﹣2，故答案为：﹣2．【点睛】本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，牢记“两根之和等于﹣bb aa，两根之积等于cc aa．”是解题的关键．【变式5-3】（23-24九年级·四川广安·阶段练习）已知关于x的一元二次方程x2﹣2kx+12k2﹣2＝0．设x1，x2是方程的根，且x12﹣2kx1+2x1x2＝5，则k的值为．【答案】±√14【分析】先计算出一元二次方程判别式，即△=2k2+8，从而得到△＞0，于是可判断不论k为何值，方程总有两个不相等实数根；再利用方程的解的定义得到x12-2kx1=-12k2+2，根据根与系数的关系可得x1x2=12k2-2，则-12k2+2+2·(12k2-2)=5，然后解关于k的方程即可.【详解】（1）证明：△=(-2k)2-4(12k2-2)=2k2+8＞0，所以不论k为何值，方程总有两个不相等实数根；（2）∵x1是方程的根，∴x12-2kx1+12k2-2=0，∴x12-2kx1=-12k2+2，∵x12-2kx1+2x1x2=5，x1x2=12k2-2，∴-12k2+2+2·(12k2-2)=5，整理得k2-14=0，∴k=±√14．故答案为±√14.【点睛】本题考查一元二次方程的根与系数的关系，一元二次方程根的判别式，关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式和根与系数的关系.【题型6 构造一元二次方程求代数式的值】【例6】（23-24九年级·江苏无锡·阶段练习）已知ss满足2ss2−3ss−1=0，tt满足2tt2−3tt−1=0，且ss≠tt，则ss+tt=．【答案】32【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，正确得到ss+tt=32,sstt=−12是解题的关键．由题意可知实数ss、tt是关于xx的方程2xx2−3xx−1=0的两个不相等的实数根，由此可得答案．【详解】解：∵实数ss、tt满足2ss2−3ss−1=0，2tt2−3tt−1=0，且ss≠tt，∴实数ss、tt是关于xx的方程2xx2−3xx−1=0的两个不相等的实数根，∴ss+tt=32．故答案为：32．【变式6-1】（23-24·湖南常德·一模）若两个不同的实数m、n满足mm2=mm+1，nn2−nn=1，则mm2+nn2=．【答案】3【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式的应用，先根据已知条件得到m、n是关于x的一元二次方程的两个不等实数根，然后根据根和系数的关系得到结果，再根据完全平方公式计算即可，理解m、n是关于x的一元二次方程的两个不等实数根是解题的关键．【详解】解：由题可得：mm2−mm−1=0，nn2−nn−1=0，∴m、n是关于x的一元二次方程xx2−xx−1=0的两个不等实数根，∴mm+nn=1,mmnn=−1，∴mm2+nn2=(mm+nn)2−2mmnn=122×(−1)=3，故答案为：3．【变式6-2】（23-24九年级·全国·竞赛）已知实数aa、bb分别满足aa=16aa2+13和12bb2=3bb−1，那么bb aa+aa bb的值是．【答案】2或16【分析】本题考查一元二次方程的根，一元二次方程根与系数的关系等，分情况讨论，当aa=bb时，bb aa+aa bb=2；当aa≠bb时，a和b是方程xx2−6xx+2=0的两个根，再由根与系数的关系求出aa+bb和aabb，再将bb aa+aa bb变形为(aa+bb)2−2aabbaabb，即可求解．【详解】解：分两种情况：当aa=bb时，bb aa+aa bb=1+1=2；当aa≠bb时，∵12bb2=3bb−1，∴bb=16bb2+13，∴bb2−6bb+2=0，又∵aa=16aa2+13，∴aa2−6aa+2=0，∴a和b是方程xx2−6xx+2=0的两个根，∴aa+bb=−−61=6，aabb=2，∴bb aa+aa bb=bb2+aa2aabb=(aa+bb)2−2aabb aabb=62−2×22=16，故答案为：2或16．【变式6-3】（23-24九年级·浙江宁波·期末）若aa4−3aa2=1，bb2−3bb=1，且aa2bb≠1，则bb aa2的值是．【答案】−1【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，根据题意先化为1aa4−3aa2−1=0，bb2−3bb−1=0，可以得到1aa2和b是方程xx2−3xx−1=0的两根，然后根据两根之积为cc aa解题即可．【详解】解：∵aa4−3aa2=1，∴1aa4−3aa2−1=0，∵aa2bb≠1，又∵bb2−3bb−1=0，∴1aa2和b是方程xx2−3xx−1=0的两根，∴bb aa2=−1，故答案为：−1．【题型7 由一元二次方程的根判断另一个一元二次方程的根】【例7】（23-24九年级·浙江台州·期末）若关于x的一元二次方程aaxx2+2aaxx+cc=0(aa≠0)的一个根为m，则方程aa（xx−1）2+2aa（xx−1）+cc=0的两根分别是（）．A．mm+1，−mm−1B．mm+1，−mm+1C．mm+1，mm+2 D．mm−1，−mm+1【答案】A【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系求出方程aaxx2+2aaxx+cc=0的另一个根，设xx−1=tt，根据方程aaxx2+2aaxx+cc=0的根代入求值即可得到答案；【详解】解：∵一元二次方程aaxx2+2aaxx+cc=0(aa≠0)的一个根为m，设方程另一根为n，∴nn+mm=−2aa aa=−2，解得：nn=−2−mm，设xx−1=tt，方程aa（xx−1）2+2aa（xx−1）+cc=0变形为aatt2+2aatt+cc=0，由一元二次方程aaxx2+2aaxx+cc=0(aa≠0)的根可得，tt1=mm，tt2=−2−mm，∴xx−1=−2−mm，xx−1=mm，∴xx1=−mm−1，xx2=1+mm，故答案为：A．【点睛】本题考查一元二次方程的根与系数的关系及换元法解一元二次方程，解题的关键是用换元法变形方程代入求解．【变式7-1】（23-24九年级·安徽合肥·期中）已知关于x的一元二次方程xx2+ccxx+aa=0的两个整数根恰好比方程xx2+aaxx+bb=0的两个根都大1，则aa+bb+cc的值是．【答案】-3或29【分析】设方程xx2+aaxx+bb=0的两个根为αα，ββ，其中αα，ββ为整数，且αα≤ββ，则方程xx2+ccxx+aa=0的两根为αα+1，ββ+1，根据题意列出式子，再进行变形即可求出．【详解】解：设方程xx2+aaxx+bb=0的两个根为αα，ββ，其中αα，ββ为整数，且αα≤ββ，则方程xx2+ccxx+aa=0的两根为αα+1，ββ+1，由题意得αα+ββ=−aa,(αα+1)(ββ+1)=aa，两式相加得ααββ+2αα+2ββ+1=0，即(αα+2)(ββ+2)=3，所以{αα+2=1，ββ+2=−1.ββ+2=3；或{αα+2=−3，解得{αα=−1，ββ=−3.ββ=1；或{αα=−5，又因为aa=−(αα+ββ),bb=ααββ,cc=−[(αα+1)+(ββ+1)]所以aa=0，bb=−1，cc=−2；或者aa=8，bb=15，cc=6，故aa+bb+cc=−3或29．故答案为-3或29【点睛】主要考查一元二次方程的整数根与有理根，一元二次方程根与系数关系的应用；利用根与系数的关系得到两根之间的关系是解决本题的关键；（23-24九年级·浙江·自主招生）设a、b、c、d是4个两两不同的实数，若a、b是方程xx2−8ccxx−9dd=0【变式7-2】的解，c、d是方程xx2−8aaxx−9bb=0的解，则aa+bb+cc+dd的值为．【答案】648【分析】由根与系数的关系得aa+bb，cc+dd的值，两式相加得的值，根据一元二次方程根的定义可得aa2−8aacc−9dd=0，代入可得aa2−72aa+9cc−8aacc=0，同理可得cc2−72cc+9aa−8aacc=0，两式相减即可得aa+cc的值，进而可得aa+bb+cc+dd的值．【详解】解：由根与系数的关系得aa+bb=8cc，cc+dd=8aa，两式相加得aa+bb+cc+dd=8(aa+cc)．因为aa是方程xx2−8ccxx−9dd=0的根，所以aa2−8aacc−9dd=0，又dd=8aa−cc，所以aa2−72aa+9cc−8aacc=0①同理可得cc2−72cc+9aa−8aacc=0②①-②得(aa−cc)(aa+cc−81)=0．因为aa≠cc，所以aa+cc=81+bb+cc+dd=8(aa+cc)=648．故答案为648【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的定义，根据等式的性质变形是解题的关键．【变式7-3】（23-24九年级·安徽合肥·期末）关于x的一元二次方程xx2+ppxx+qq=0有两个同号非零整数根，关于y的一元二次方程yy2+qqyy+pp=0也有两个同号非零整数根，则下列说法正确的是（）A．p是正数，q是负数B．(pp−2)2+(qq−2)2＜8C．q是正数，p是负数D．(pp−2)2+(qq−2)2>8【答案】D【分析】设方程x2+px+q＝0的两根为x1、x2，方程y2+qy+p＝0的两根为y1、y2．根据方程解的情况，结合根与系数的关系可得出x1•x2＝q＞0，y1•y2＝p＞0，即可判断A与C；②由方程有两个实数根结合根的判别式得出p2﹣4q≥0，q2﹣4p≥0，利用不等式的性质以及完全平方公式得出（p﹣2）2+（q﹣2）2＞8，即可判断B【详解】解：设方程x2+px+q＝0的两根为x1、x2，方程y2+qy+p＝0的两根为y1、y2．∵关于x的一元二次方程x2+px+q＝0有两个同号非零整数根，关于y的一元二次方程y2+qy+p＝0也有两个同号非零整数根，∴x1•x2＝q＞0，y1•y2＝p＞0，故选项A与C说法均错误，不符合题意；∵关于x的一元二次方程x2+px+q＝0有两个同号非零整数根，关于y的一元二次方程y2+qy+p＝0也有两个同号非零整数根，∴p2﹣4q≥0，q2﹣4p≥0，∴（p﹣2）2+（q﹣2）2＝p2﹣4q+4+q2﹣4p+4＞8（p、q不能同时为2，否则两个方程均无实数根），故选项B说法错误，不符合题意；选项D说法正确，符合题意；故选：D．【点睛】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，逐一分析四个选项说法的正误是解题的关键．【题型8 根与系数的关系与三角形、四边形的综合运用】【例8】（23-24九年级·山东·课后作业）已知菱形ABCD的边长为5，两条对角线交于O点，且OA、OB 的长分别是关于xx的方程xx2+(2mm−1)xx+mm2+3=0的根，则mm等于()A．−3B．5C．5或−3D．−5或3【答案】A【分析】由题意可知：菱形ABCD的边长是5，则AAOO2+BBOO2=25，则再根据根与系数的关系可得：AAOO+BBOO=−2mm+1，AAOO×BBOO=mm2+3；代入AAOO2+BBOO2中，得到关于m的方程后，求得m的值．【详解】由直角三角形的三边关系可得：AAOO2+BBOO2=25，又有根与系数的关系可得：AAOO+BBOO=−2mm+1,AAOO×BBOO=mm2+3，∴AAOO2+BBOO2=(AAOO+BBOO)2−2AAOO×BBOO=(−2mm+1)2−2(mm2+3)=25，整理得：mm2−2mm−15=0，解得：m=−3或5.又∵Δ>0,∴(2mm−1)2−4(mm2+3)>0,解得mm<−114，∴mm=−3.【点睛】考查一元二次方程根与系数的关系以及菱形的性质，注意掌握勾股定理在解题中的应用. 【变式8-1】（23-24九年级·黑龙江齐齐哈尔·期末）已知三角形的两边长分别是方程xx2−11xx+30=0的两个根，则该三角形第三边mm的取值范围是．【答案】1<mm<11【分析】先根据一元二次方程的根与系数的关系求得两根和与两根积，经过变形得到两根差的值，即可求得第三边的范围．【详解】解：∵三角形两边长是方程x2−11x＋30＝0的两个根，∴x1＋x2＝11，x1x2＝30，∵（x1−x2）2＝（x1＋x2）2−4x1x2＝121−120＝1，∴x1−x2＝1，又∵x1−x2＜m＜x1＋x2，∴1＜m＜11．故答案为：1＜m＜11．【点睛】本题主要考查了三角形的三边关系和一元二次方程的根与系数的关系，要知道第三边大于两边差，小于两边和．【变式8-2】（23-24九年级·安徽六安·阶段练习）已知正方形AABBAAAA的两邻边AABB，AAAA的长度恰为方程xx2−mmxx+ 1=0的两个实数根，则正方形AABBAAAA的周长为（）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】B【分析】此题考查了正方形的性质，一元二次方程根与系数的关系.首先根据正方形的性质得到AABB=AAAA，然后根据一元二次方程根与系数的关系得到AABB⋅AAAA=1，进而求出AABB=AAAA=1，即可得到正方形AABBAAAA的周长．【详解】∵四边形AABBAAAA是正方形∴AABB=AAAA∵正方形AABBAAAA的两邻边AABB，AAAA的长度恰为方程xx2−mmxx+1=0的两个实数根，∴AABB⋅AAAA=1，∴AABB=AAAA=1∴正方形AABBAAAA的周长为4．故选：B．【变式8-3】（23-24九年级·浙江杭州·期中）已知关于xx的一元二次方程xx2−3xx+kk=0有两个实根xx1和xx2．(1)求实数kk的取值范围；(2)是否存在矩形，xx1和xx2是这个矩形两邻边的长，且矩形的对角线长为√2？若存在，求kk的值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)kk≤94(2)不存在，理由见解析【分析】本题考查了根与系数的关系和根的判别式，勾股定理，能熟记根与系数的关系和根的判别式的内容是解此题的关键．（1）求出Δ的值，根据已知得出不等式，求出即可；（2）根据根与系数的关系得出xx1+xx2=3，xx1xx2=kk，根据已知得出xx12+xx22=�√2�2，变形后代入求出kk的值，进行判断即可．【详解】（1）解：∵关于xx的一元二次方程xx2−3xx+kk=0有两个实根xx1和xx2，∴Δ=(−3)2−4×1×kk≥0，解得：kk≤94；（2）xx1和xx2一元二次方程xx2−3xx+kk=0的两根，∴xx1+xx2=3，xx1xx2=kk，∵xx1和xx2是这个矩形两邻边的长，且矩形的对角线长为√2，∴xx12+xx22=�√2�2，∴(xx1+xx2)2−2xx1xx2=2，∴9−2kk=2，解得：kk=72，∵kk≤94，72>94，∴kk=72不符合题意，∴不存在矩形，xx1和xx2是这个矩形两邻边的长，且矩形的对角线长为√2．【题型9 由一元二次方程根的取值范围求字母的取值范围】【例9】（23-24·浙江宁波·模拟预测）已知关于xx的一元二次方程xx2+aaxx+bb=0有两个根xx1，xx2，且满足1< xx1<xx2<2．记tt=aa+bb，则tt的取值范围是．【答案】−1<tt<0【分析】本题考查了一元二次方程根和系数的关系，不等式的性质，由根和系数的关系可得，xx1+xx2=−aa，xx1xx2=bb，得到tt=(xx1−1)(xx2−1)−1，由1<xx1<xx2<2可得0<(xx1−1)(xx2−1)<1，即得到−1< (xx1−1)(xx2−1)−1<0，即可求解，掌握一元二次方程根和系数的关系是解题的关键．【详解】解：由根和系数的关系可得，xx1+xx2=−aa，xx1xx2=bb，∴aa=−(xx1+xx2)，bb=xx1xx2，∴tt=aa+bb=−(xx1+xx2)+xx1xx2=(xx1−1)(xx2−1)−1，∵1<xx1<xx2<2，∴0<xx1−1<1，0<xx2−1<1，∴0<(xx1−1)(xx2−1)<1，∴−1<(xx1−1)(xx2−1)−1<0，即−1<tt<0，故答案为：−1<t<0．【变式9-1】（23-24九年级·浙江金华·阶段练习）若关于x的方程4xx2−5xx−(mm+5)=0的解中，仅有一个正数解，则m的取值范围是．【答案】mm≥−5【分析】根据一元二次方程根的分布，根的判别式以及根与系数的关系列出不等式组，并解答求得mm的取值范围．本题主要考查了一元二次方程根的分布，根的判别式和根与系数的关系等知识点，解此题的关键是得到�Δ=(−5)2−4×4×[−(mm+5)]≥0−mm+54≤0．【详解】解：∵关于xx的方程4xx2−5xx−(mm+5)=0的解中，仅有一个正数解，∴�Δ=(−5)2−4×4×[−(mm+5)]≥0−mm+54≤0，解得mm≥−5．故答案为：m≥−5．【变式9-2】（23-24九年级·山东青岛·阶段练习）若关于xx的方程xx2+ppxx+qq=0的两根同为负数，其中pp2−4qq≥0，则（）A．pp>0且qq>0B．pp>0且qq<0C．pp<0且qq>0D．pp<0且qq<0【答案】A【分析】据pp2－4q≥0，得出方程有两个实数根，再根据已知条件得出两根之积＞零、两根之和<零时，由此得到关于p，q的不等式，然后确定它们的取值范围即可.【详解】∵pp2－4q≥0，∴方程有两个实数根.设xx1，xx2是该方程的两个负数根，则有xx1+xx2＜0，xx1xx2＞0，xx1+xx2=-p,xx1xx2=q，∴-p<0，,q>0.∴p>0，,q>0.故选A.【点睛】本题考查一元二次方程根的符号的确定，应利用一元二次方程根与系数的关系与根的判别式. 【变式9-3】（23-24九年级··期中）若关于xx的一元二次方程xx2+2xx+1−2mm=0的两个实数根之积为负数，则实数mm的取值范围是（）A．mm>0B．mm>12C．mm<12D．mm<0【答案】B【分析】利用根的判别式Δ>0及两根之积为负数，即可得出关于mm的一元一次不等式组，解之即可得出实数mm的取值范围．【详解】解：∵关于xx的一元二次方程xx2+2xx+1−2mm=0的两个实数根之积为负数，∴�Δ=22−4×1×(1−2mm)>01−2mm<0解得：mm>12，∴实数m的取值范围是mm>12．故选：B．【点睛】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，牢记“当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根”及“两根之积等于c a”是解题的关键．【题型10 一元二次方程中的新定义问题】【例10】（23-24九年级·黑龙江哈尔滨·期中）定义：若x₁、x₂是方程aaxx²+bbxx+cc=0(aa≠0)的两个实数根，若满足|xx1−xx2|=|xx1⋅xx2|，则称此类方程为“差积方程”．例如：�xx−12�(xx−1)=0是差积方程．(1)判断方程6xx2−5xx+1=0是否为“差积方程”？并验证；(2)若方程xx2−(mm+2)xx+2mm=0是“差积方程”，直接写出m的值；(3)当方程(aaxx²+bbxx+cc=0(aa≠0)为“差积方程”时，求a、b、c满足的数量关系．【答案】(1)是，证明见解析(2)mm=23或−2(3)bb2−4aacc=cc2【分析】本题考查了根与系数的关系，解一元二次方程，理解新定义是解题的关键．（1）分别根据因式分解法解一元二次方程，然后根据定义判断即可；（2）先根据因式分解法解一元二次方程，然后根据定义列出绝对值方程，解方程即可求解；（3）根据求根公式求得xx1，xx2【详解】（1）方程6xx2−5xx+1=0是“差积方程”，证明：6xx2−5xx+1=0，即(2xx−1)(3xx−1)=0，解得xx1=12，xx2=13，∵|12−13|=|12×13|，∴6xx2−5xx+1=0是差积方程；（2）解：xx2−(mm+2)xx+2mm=0，(xx−mm)(xx−2)=0解得方程的解为：xx1=2，xx2=mm，∵xx2−(mm+2)xx+2mm=0是差积方程，∴|2−mm|=|2mm|，即：2−mm=2mm或2−mm=−2mm．解得：mm=23或−2，（3）解：∵aaxx2+bbxx+cc=0(aa≠0)，解得xx1=−bb+√bb2−4aacc2aa，xx2=−bb−√bb2−4aacc2aa，∵aaxx2+bbxx+cc=0(aa≠0)是差积方程，∴|xx1−xx2|=|xx1⋅xx2|，即|√bb2−4aacc aa|=|cc aa|，即bb2−4aacc=cc2．（23-24九年级·上海青浦·期中）如果一元二次方程的两根相差1，那么该方程称为“差1方程”．例【变式10-1】如xx2+xx=0是“差1方程”．已知关于xx的方程xx2−(mm−1)xx−mm=0（mm是常数）是“差1方程”，则mm的值为【答案】−2或0/0或−2【分析】本题考查根与系数的关系．设方程的两个根为xx1,xx2(xx1<xx2)，由题意，得：xx1+xx2=mm−1,xx1xx2=−mm，xx2−xx1=1，利用完全平方公式的变形式进行计算即可．【详解】解：设方程的两个根为xx1,xx2(xx1<xx2)，由题意，得：xx1+xx2=mm−1,xx1xx2=−mm，xx2−xx1=1，∴(xx2−xx1)2=(xx1+xx2)2−4xx1xx2=(mm−1)2+4mm=1，解得：mm=−2或mm=0，故答案为：−2或0．【变式10-2】（23-24九年级·四川·阶段练习）已知对于两个不相等的实数aa、bb，定义一种新的运算：aa@bb=√aabb aa+bb，如6@15=√6×156+15=3√1021=√107，已知mm，nn是一元二次方程xx2−21xx+7=0的两个不相等的实数根，则[(mm+ nn)@mmnn]@√3=．【答案】25【分析】首先根据根与系数的关系求解两根之和与两根之积，然后代入原式根据定义进行求解．【详解】由mm，nn是xx2−21xx+7=0的两个不相等的实数根可得：mm+nn=21，mmnn=7故[(mm+nn)@mmnn]@√3=(21@7)@√3=�√21×721+7�@√3=�√14728�@√3=7√328@√3=√34@√3=�√34×√3√34+√3=√32×45√3=25【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数关系，实数的定义新运算，此类题型一定要严格按照题目中的定义来求解，注意过程的正确性．【变式10-3】（23-24九年级·江苏盐城·阶段练习）定义：已知xx1，xx2是关于x的一元二次方程aaxx2+bbxx+cc= 0(aa≠0)的两个实数根，若xx1<xx2<0，且3<xx1xx2<4，则称这个方程为“限根方程”．如：一元二次方程xx2+ 13xx+30=0的两根为xx1=−10，xx2=−3，因为−10<−3<0，3<−10−3<4，所以一元二次方程xx2+13xx+ 30=0为“限根方程”．请阅读以上材料，回答下列问题：(1)判断一元二次方程xx2+9xx+14=0是否为“限根方程”，并说明理由；(2)若关于x的一元二次方程xx2+(kk+9)xx+kk2+8=0是“限根方程”，且方程的两根xx1、xx2满足11xx1+ 11xx2+xx1xx2=−121，求k的值．【答案】(1)此方程为“限根方程”，理由见解析(2)5【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程，一元二次方程的根与系数的关系．理解题意，熟练掌握因式分解法解一元二次方程，一元二次方程的根与系数的关系是解题的关键．（1）因式分解法解一元二次方程得xx1=−7，xx2=−2，根据定义，求解作答即可；（2）由xx2+(kk+9)xx+kk2+8=0，可得xx1+xx2=−kk−9，xx1xx2=kk2+8，代入11xx1+11xx2+xx1xx2=−121，整理得，kk2−11kk+30=0，解得，kk=5或kk=6，分当kk=5时，当kk=6时，两种情况求解，然后判断作答即可．。