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用平面向量坐标表示向量共线条件课件

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高一数学人教B版必修4课件：2-2-3 用平面向量坐标表示向量共线条件

高一数学人教B版必修4课件：2-2-3 用平面向量坐标表示向量共线条件

[解析]
由已知得：ka＋b＝(k－3,2k＋2)，
a－3b＝(10，－4)，∵ka＋b 与 a＝3b 平行， 1 ∴(k－3)×(－4)－10(2k＋2)＝0，解得 k＝－3. 1 2 1 此时 ka＋b＝(－3－3，－3＋2)＝－3(a－3b)， 1 ∴当 k＝－3时，ka＋b 与 a－3b 平行，并且反向．
2x＋2＝－3x 所以 2y－4＝－6－3y
，
2 x＝－5 解得 y＝－2 5 故D
.
2 2 点坐标为－5，－5.
(2)要注意用坐标表示两向量平行的条件， a1b2－a2b1＝0 具 a1 a2 有一般性，而 ＝ 只有当 b1≠0，b2≠0 时才适用． b1 b2
• [例1] 已知a＝(1,2)，b＝(－3,2)，当k为
何值时，ka＋b与a－3b平行？平行时它们 是同向还是反向？ • [分析] 由a，b可以用坐标表示ka＋b，a －3b，然后由向量共线的条件便可以求出 k的值．而向量是否同向，可以由λ的符号 确定．
• 2．2.3 用平面向量坐标表示
向量共线条件
• 1．向量共线条件的坐标表示： • 选择基底{e1，e2}，如果a＝(a1，a2)，b＝
b2－ (b1，b2)，a a1∥ ba ，则有 ； 2b1＝0 a∥b a1b2－a2b1＝0，则 反之，若 . • 当b不与坐标轴平行时，条件a1b2－a2b1＝0 可化为 ，即两个向量平行的条 件是相应坐标成比例． • 2．向量长度的坐标表示 • 设a＝(a1，a2)的位置向量 ，则由两点 间距离公式有|a|＝| |＝ .
，
[例 4]
已知 a＝(2,3)，b＝(－1,2)，若 ma＋b 与 a－2b
平行，则 m＝________. 9 A．－ 10 1 C.2 2 B. 11 1 D．－2

第六章第二节平面向量的基本定理及坐标表示课件共49张PPT

第六章第二节平面向量的基本定理及坐标表示课件共49张PPT

设正方形的边长为
1
，
则
→ AM
＝ 1，12
，
→ BN
＝
－12，1 ，A→C ＝(1，1)，
∵A→C ＝λA→M ＋μB→N
＝λ－12μ，λ2 ＋μ ，
λ－12μ＝1， ∴λ2 ＋μ＝1，
解得λμ＝ ＝6525， ．
∴λ＋μ＝85 .
法二：由A→M
＝A→B
＋12
→ AD
，B→N
＝－12
→ AB
＋A→D
栏目一 知识·分步落实 栏目二 考点·分类突破 栏目三 微专题系列
栏目导引
课程标准
考向预测
1.理解平面向量的基本定理及其意义． 考情分析： 平面向量基本定理及
2．借助平面直角坐标系掌握平面向量 其应用，平面向量的坐标运算，向
的正交分解及其坐标表示．
量共线的坐标表示及其应用仍是
3．会用坐标表示平面向量的加法、减 高考考查的热点，题型仍将是选择
A．(－2，3)
B．(2，－3)
C．(－2，1)
D．(2，－1)
D [设 D(x，y)，则C→D ＝(x，y－1)，2A→B ＝(2，－2)，根据C→D ＝2A→B ， 得(x，y－1)＝(2，－2)，
即xy＝ －21， ＝－2， 解得xy＝ ＝2－，1， 故选 D.]
2．(2020·福建三明第一中学月考)已知 a＝(5，－2)，b＝(－4，－3)，若
解析： ∵ma＋nb＝(2m＋n，m－2n)＝(9，－8)， ∴2mm－＋2nn＝＝9－，8， ∴mn＝＝52.， ∴m－n＝2－5＝－3. 答案： －3
考点·分类突破
⊲学生用书 P93
平面向量基本定理及其应用
(1)(多选)(2020·文登区期中)四边形 ABCD 中，AB∥CD，∠A＝90°，

平面向量的坐标运算以及共线的坐标表示

平面向量的坐标运算以及共线的坐标表示

的坐标．
如果P1P=
1 2
PP2
(如图)，那么
y
OP=OP1+P1P=OP1+13 P1P2
P2
=OP1+ 13(OP2-OP1)
=
2 3
OP1+
13OP2
P P1
O
=(2x13+x2 ，2y13+y2)． x 即点P的坐标是 (2x13+x2，2y13+y2)．
同理，如果P1P=2PP2，那么点P的坐标是 ( x1+32x2，y1+32y2)．
理由．
x
∴顶点D的坐标为（2，2）．
CHENLI
8
向量a与非零向量b平行(共线)的充要条件是有且 只有一个实数λ，使得
a=λb．
如何用坐标表示两个共线向量？
CHENLI
9
设a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，其中b≠0．则由a=λb， 有
(x1，y1)=λ(x2，y2)
即 消去λ后得：
x1=λx2， y1=λy2．
解：
即 同理可得
a + b=（x1i+y1j）+（x2i+y2j ） =（x1+x2）i+（y1+y2）j
a + b =（x1+x2，y1+y2）
a - b =（x1-x2，y1-y2）
两个向量和（差）的坐标分别等于这两个向量相 应坐标的和（差）．
CHENLI
3
λa =λ（x1i+y1j） =λx1i+λy1j
x
∴
1=3-x 2=4-y
∴ x=2 y=2
∴顶点D的坐标为（2，2）．

4-2第二节 平面向量基本定理及其坐标运算(52张PPT)

4-2第二节 平面向量基本定理及其坐标运算(52张PPT)

T 拓思维· 培能力
拓展提伸 提高能力
易混易错系列 忽视平面向量基本定理的使用条件致误 【典例】 → → → → → 已知OA＝a，OB＝b，OC＝c，OD＝d，OE＝e，
解析
答案
1 → → → BE＝BC＋CE＝－ a＋b. 2
1 － a＋b 2
Y 研考点· 知规律
探究悟道 点拨技法
题型一
平面向量基本定理的应用
【例 1】 如图所示，在平行四边形 ABCD 中，M，N 分别为 → → → → DC，BC 的中点，已知AM＝c，AN＝d，试用 c，d 表示AB，AD.
基 础 自 评 → → → 1．若向量BA＝(2,3)，CA＝(4,7)，则BC＝( A．(－2，－4) C．(6,10) B．(2,4) D．(－6，－10) )
解析
→ → → BC＝BA＋AC＝(2,3)＋(－4，－7)＝(－2，－4)．
答案 A
2．若向量 a＝(1,1)，b＝(－1,1)，c＝(4,2)，则 c＝( A．3a＋b C．－a＋3b B．3a－b D．a＋3b
(3)设向量 d 坐标为(x， y)， 则 d－c＝(x－4， y－1)， a＋b＝(2,4)．
4x－4－2y－1＝0， 由题意，知 2 2 x－4 ＋y－1 ＝5， x＝3， ∴ y＝－1， x＝5， 或 y＝3.
∴向量 d 的坐标为(3，－1)或(5,3)．
→ → 方法 2：设AB＝a，AD＝b，因为 M，N 分别为 CD，BC 的中 → 1 → 1 点，所以BN＝2b，DM＝2a，于是有 1 c ＝ b ＋ a， 2 d＝a＋1b， 2 2 a ＝ 2d－c， 3 解得 b＝22c－d， 3
→ 2 → 2 即AB＝ (2d－c)，AD＝ (2c－d)． 3 3

平面向量的基本定理及坐标表示 课件

平面向量的基本定理及坐标表示 课件

d
a AB (4,5) (2,2) (2,3)
yj
a (x,y)叫做向量 a 的坐标，记作
j
x a (x, y)
O
x叫做 a 在x轴上的坐标，
i xi
y叫做 a 在y轴上的坐标，
正交单位
基底
(1)向量
i ,
j
方向 与
(x,y)叫做向量的坐标表示.
x 轴y轴同向,且 i 1,0 j 0,1
i j 1, i 与j垂直
a （2）对于给定向量 ,必有一对实数（x,y）与它对应；
思考？ 在平面直角坐标系中：
点
(x, y)
？
向量
(x, y)
平面向量的正角分解及坐标表示.
如图，光滑斜面上一个木块受到的重力
为G，下滑力为F1，木块对斜面的压力
为F2，这三个力的方向分别如何？
三者有何相互关系？
物理背景:
F1
向量的
G
F2
正交分解
三.平面向量的正角分解及坐标表示.
y
a xi +y j
一、平面向量基本定理:
如果 e1、e2 是同一平面内的两个不共线
向量，那么对于这一平面内的任一向
量 a 有且只有一对实数 1、2 ,使
a 1e1 2e2
其中e1，e2 叫做表示这一平面内 所有向量的 一组基底 .
说明： 1、把不共线的非零向量 e1,e2 叫做表示 这一平面内所有向量的一组基底.
两个非零向量 a，b
B
b
AOB 叫做向量
O aA
a 和 b 的夹角．注意:同起点
夹角的范围：(0 180 ) B
a
ObB
0
a

平面向量共线的坐标表示29371

平面向量共线的坐标表示29371

复习 平面向量基本定理：
(1)我们把不共线向量e1，e2 叫做表示 这一平面内所有向量的一组 基底 .
(2)基底不惟一，关键是不共线；
复习
平面向量基本定理：
(1)我们把不共线向量e1，e2 叫做表示 这一平面内所有向量的一组 基底 .
(2)基底不惟一，关键是不共线；
(3)由定理可将任一向量a在给出基底 e1、e2的条件下进行分解；
1. 消去时能不能两式相除?
不能 两式相除， y1, y2有可能为 0， 又b 0, x2 , y2中至少有一个不为0 .
2. 能不能写成 y1 y2 ? x1 x2
3. 向量共线有哪两种形式?
探究：
1. 消去时能不能两式相除?
不能 两式相除， y1, y2有可能为 0， 又b 0, x2 , y2中至少有一个不为0 .
特别地, i (1, 0),
j (0, 1), (0, 0).
a
j
Oi
x
平面向量的坐标运算
a a
a
b
(
x1
x2，y1
b ( x1 x2，y1
(x,y)
y2 y2
) )
两个向量和与差的坐标分别等于这 两个向量相应坐标的和与差.
实数与向量的积的坐标等于用这个 实数乘原来向量的相应坐标.
讲解范例
例5. 设点P是线段P1P2上的一点，P1、 P2的坐标分别是(x1, y1)，(x2, y2). (1)当点P是线段P1P2的中点时，求点
P的坐标； (2)当点P是线段P1P2的一个三等分点
时，求点P的坐标.
讲解范例
例5. 设点P是线段P1P2上的一点，P1、 P2的坐标分别是(x1, y1)，(x2, y2). (1)当点P是线段P1P2的中点时，求点

高中数学 平面向量的基本定理及坐标表示 第3课时 平面向量共线的坐标表示课件 新人教A必修4

❖ [答案] 2
❖ [解析] ∵λa＋b＝(λ，2λ)＋(2,3)＝(λ＋2,2λ ＋3)，
❖ ∴存在实数k，使(λ＋2,2λ＋3)＝k(－4，－ 7)，
❖ [例5] 已知A(－1,2)，B(1,4)． ❖ (1)求AB的中点M的坐标； ❖ (2)求AB的三等分点P、Q的坐标； ❖ (3)设D为直线AB上与A、B不重合的一点，
❖ 5．已知a＝(3,2)，b＝(2，－1)，若λa＋b 与a＋λb(λ∈R)平行，则λ＝________.
❖ [答案] 1或－1
❖ [解析] λa＋b＝λ(3,2)＋(2，－1)＝(3λ＋ 2,2λ－1)，a＋λb＝(3,2)＋λ(2，－1)＝(3＋ 2λ，2－λ)．
❖ ∵(λa＋b)∥(a＋λb)，
❖ 由(k－6,2k＋4)＝λ(14，－4)，得
❖ 故当k＝－1时，ka＋2b与2a－4b平行． ❖ [点评] 可由向量平行的坐标表示的充要
条件得
❖ (k－6)×(－4)－(2k＋4)×14＝0，得k＝－1.
❖ (08·全国Ⅱ)设向量a＝(1,2)，b＝(2,3)，若 向量λa＋b与向量c＝(－4，－7)共线，则λ ＝______.
❖ 3．[在证明直] 角由坐已标知条系件x得O，y内A→B，＝(已0,1)知－(A－(－2，2－，3)＝－(23,4)，)， A→BC(＝0,(12),5，)－C(－(22,，5)－，3)求＝(证4,8A)．、B、C三点共线．
∵2×8－4×4＝0，∴A→B∥A→C，
∵A→B与A→C有公共点 A，∴A、B、C 三点共线．
❖ 重点：用平面向量坐标表示向量共线条件．
❖ 难点：运用平面向量坐标表示向量共线条件 的应用，体会向量在解题中的工具性作用．
❖ 1．若a与b共线(b≠0)，则存在实数λ，使a ＝λb，这里b≠0的条件千万不可忽视，而 在坐标表示的共线条件中，若a＝(x1，y1)， b＝(x2，y2)，则a∥b⇔x1y2－x2y1＝0，对任 意向量a，b都成立，解题时，要区别应 用．

2.2.3 用平面向量坐标表示向量共线条件

张喜林制2.2.3 用平面向量坐标表示向量共线条件考点知识清单1．设),,(),,(2121b b b a a a ==其中.0=/b 那么当且仅当 时，向量)0(,=/b b a 共线．由于规定零向量与任何向量平行，则上述0=/b 的条件可去掉，当021=/⋅b b 时，向量a ，b 共线的条件也可以写 作2．设),,(),,(),,(332211y x C y x B y x A 只要证明____，便可证A 、B 、C 三点共线． 3．P 是直线21p p 上的点，且P 点不与21P P 、重合，则=P 1,2pp λ设1p 坐标为211),,(P y x 坐标为P y x ),,(22点的坐标为（x ，y ），则根据向量共线条件有要点核心解读1．两向量平行的条件(1)设),,(),,(2121b b b a a a ==则.0//1221=-⇔b a b a b a(2)设b b b b a a a ),,(),,(2121==不平行于坐标轴，即=/1b ,0,02=/b 则⋅=⇔2211//b a b a b a 用语言可以表述为：两个向量平行的条件是，相应坐标成比例． 2．两个向量平行的条件的推导我们知道，如果),0(//=/b b a 则存在唯一实数A 使;b a λ= 反之，如果存在一个实数A ，使),0(=/=b b a λ则.//b a选择基底},,{21e e 如果),,(),,(2121b b b a a a ==则条件b a λ=可化为),,(),(),(212121b b b b a a λλλ==即 ,11b a λ= ①⋅=22b a λ ②①②两式的两边分别乘以,12b b 、得,2121b b b a λ= ③ ,1212b b b a λ= ④:④③-得.01221=-b a b a ⑤⑤式就是两个向量平行的条件：⑤式成立，可判断两个向量平行；反之两个向量平行，它们的坐标满足⑤式．⑤式表示的条件，是在假设0=/b 的条件下推出的．事实上，如果在讨论平行问题时，规定零向量可以与任一向量平行，在⑤式中可以去掉0=/b 的假设。

2025届高中数学一轮复习课件《平面向量基本定理及坐标表示》ppt


)
高考一轮总复习•数学
第10页
2．已知平面向量 a＝(1,1)，b＝(1，－1)，则向量12a－32b＝( )
A．(－2，－1) B．(－2,1)
C．(－1,0)
D．(－1,2)
解析：因为 a＝(1,1)，b＝(1，－1)，所以12a－32b＝12(1，1)－32(1，－1)＝12，12－32，－32 ＝(－1,2)．
∴54<k<32.即 k 的取值范围为54，32.
高考一轮总复习•数学
第23页
题型
平面向量的坐标运算
典例 2(1)已知 A(－2,5)，B(10，－3)，点 P 在直线 AB 上，且 P→A ＝－13P→B ，则点 P 的
由线性关系，转化到坐标运算．
坐标是( )
A．(－8,9)
B．(1,3)
C．(－1，－3) D．(8，－9)
高考一轮总复习•数学
第3页
01 理清教材 强基固本 02 重难题型 全线突破 03 限时跟踪检测
高考一轮总复习•数学
第4页
理清教材 强基固本
高考一轮总复习•数学
第5页
一 平面向量基本定理 如果 e1，e2 是同一平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量 a，有且只 有一对实数 λ1，λ2，使 a＝λ1e1＋λ2e2，若 e1，e2 不共线，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内 所有向量的一个基底．若 e1，e2 互相垂直，则称这个基底为正交基底；若 e1，e2 分别为与 x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量，则称这个基底为单位正交基底．
高考一轮总复习•数学
第22页
解析：如图，分别取 BD，AE 的中点 G，N，连接 GN 交 EF 于 H，

第二章23234平面向量共线的坐标表示

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[活学活用] 已知 a＝(1,2)，b＝(－3,2)，当实数 k 为何值时，(ka＋b)∥(a－ 3b)？这两个向量的方向是相同还是相反？ 解：∵a＝(1,2)，b＝(－3,2)， ∴ka＋b＝(k－3,2k＋2)，a－3b＝(10，－4)． 由题意得(k－3)×(－4)－10(2k＋2)＝0，解得 k＝－13. 此时 ka＋b＝－13a＋b＝－13(a－3b)， ∴当 k＝－13时，(ka＋b)∥(a－3b)，并且它们的方向相反.
A．3
B．－3
1 C.3 解析：选 C
D．－13 ∵a∥b，∴(－1)×(－1)＝3x，∴x＝13.
返回
2．已知 A(2，－1)，B(3,1)，则与 AB平行且方向相反的向量 a
是
()
A．(2,1) C．(－1,2)
B．(－6，－3) D．(－4，－8)
解析：选 D AB＝(1,2)，向量(2,1)、(－6，－3)、(－1,2) 与(1,2)不平行；(－4，－8)与(1,2)平行且方向相反．
返回
3．已知向量 a＝(1,2)，b＝(－2,3)，若 λa＋μb 与 a＋b 共线，则 λ 与 μ 的关系是________． 解析：∵a＝(1,2)，b＝(－2,3)，∴a＋b＝(1,2)＋(－2,3)＝(－ 1,5)，λa＋μb＝λ(1,2)＋μ(－2,3)＝(λ－2μ，2λ＋3μ)， 又∵(λa＋μb)∥(a＋b)， ∴－1×(2λ＋3μ)－5(λ－2μ)＝0， ∴λ＝μ. 答案：λ＝μ
返回
∴yx＝＝－2＋11＋231＋×＋2323×23－31，，
即xy＝＝3545.，
故 P 点坐标为54，35.
(2)当 P1P 与 PP2 反向时，则有 P1P ＝－23 PP2 ，设 P 点坐
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3、已知向量a (2,3)，b (1,2)，若 ma nb 与
a 2b 共线，则m 等于（ C ）
n
A、1 B、2 C、- 1 D、- 2
2
2
4、a (x,2)，b (1 ,1)，c a 2b, d 2a b,且 2
c //d ,则 c 2d （ D）
A、(- 5 ,-5) B、( 5 ,5) C、(1,2) D、(-1,-2)
1、平行向量基本定理:
a b a // b
a // b（b 0） a b
2、向量数乘坐标表示
a （a1 ，a2） (a1,a2)
3、一个向量的坐标等于向量终点的坐 标减去始点的坐标
A（x1 ，y1） B （x2 ，y2） AB (x2 ，y2 ) (x1 ，y1)
aae11， 22e2 bb2e21 ， 44e2
a1 a2
： 教材105页，练习A，第1,2,3题
作业选做题:
已知A(2,3), B(5,4),C(7,10),
若AP AB AC( R), 求取何值时点P在第三象限内．
求 A的B纵// 坐a 标 . a
y
解： AB // a
15 2 y 0
解此方程得
y5 2
例2、在直角坐标系 xO内y ，已知 A(-2、，- 3)
B(0， 、1) C，(2，求5)证
三A、点B共、线C.
证明：由已知条件，得
AB (0,1) (2,3) (2,4)
AC (2,5) (2,3) (4,8) 2844 0
a1b2 b1b2 a2b1 b2b1
两式相减得：
a1b2 a2b1 0
两个向量平行条件（坐标表示）：
a1b2 a2b1 0
如果向量 b不平行于坐标轴，即 b1 0，b2 0
a1 a2
b1
b2
两个向量平行的条件是，相应坐标成比例
例1、已知 AB ( 2和,向5 )量 a，并(1且, y向)量 .
a
b
e2
c
e1
基a底||反b（e之1b，，e2如0，） 果如，存果则在存一a在个惟实(一数a1实,a使数2)，a使ba(b（b1b,bb2
)
0）
则则a a|| b. b可化为：
（a1 ，a2） （b1 ，b2）（b1 ，b2）
即： a1 b1 a2 b2
上述两式的两边分别乘以 b、2 ，b1 得
AB // AC
因此 A、B、C三点共线
课堂练习：
1、若三点A(3,6)、B(5,2)、C(6, y)共线，那
么 y 等于（ C ）
A、-13 B、9 C、- 9 D、13
2、若向量a (x,1) , b (4, x) ,当a // b且方向相
同时，x的值为（A ）
A、2 B、- 2 C、4 D、- 4
7、已知 A (-1 ,1) , B (1 , 3 ) , C (4 , 6 ) 求证： A、B、C三点共线
证明：由已知条件可知，
AB (2,2) BC (3,3) 2323 0 AB// BC
因此 A、B、C三点共线
小结：
两个向量平行条件（坐标表示）：
a1b2 a2b1 0
如果向量 b不平行于坐标轴，即 b1 0，b2 0
2
2
5、已知 a (2x y 1, x y 2) , b (2,2), 若 a // b 则 x , y 为__x_ ___13__， __y_ __R _.
6、已知三个向量OA (k,12)，OB (4,5)， OC (10, k)，且A、B、C三点共线， 则k __2__或 ___1_1__.