2020高考数学(文科)历年高考题汇总专题复习：第十章 推理与证明、算法与复数

数学《推理与证明》高考复习知识点一、选择题1．设函数()()02x f x x x =>+，观察下列各式：()()12xf x f x x ==+，()()()2134x f x f f x x ==+，()()()3278x f x f f x x ==+，()()()431516xf x f f x x ==+，…，()()()1n n f x f f x -=，…，根据以上规律，若1122018n f ⎛⎫> ⎪⎝⎭，则整数n 的最大值为( )A ．7B ．8C ．9D ．10【答案】C 【解析】分析：由已知所给的前几函数的特点：分子都是x ，分母是关于x 的一次式，其常数项为2n ，一次项的系数比常数项小1，据此即可得出答案． 详解：观察：()()12x f x f x x ==+，()()()2134xf x f f x x ==+，()()()3278x f x f f x x ==+，()()()431516x f x f f x x ==+，…，()()()1n n f x f f x -=，…可知：分子都是x ，分母是关于x 的一次式，其常数项为2n ，一次项的系数比常数项小1，故f n （x ）=(21)2n nxx -+，所以111112()(21)2212201822n n n n nf +==>--++，即12122018n n +-+<20192673103nn ⇒<=⇒<，故n 的最大值为9，选C. 点睛：善于分析、猜想、归纳所给的式子的规律特点是解题的关键．然后再结合函数的最值分析思维即可解决问题.2．二维空间中圆的一维测度(周长)2lr π=，二维测度(面积)2S r π=；三维空间中球的二维测度(表面积)24S r π=，三维测度(体积)343V r π=.若四维空间中“超球”的三维测度38V r π=，猜想其四维测度W =（ ）A ．42r πB ．43r πC ．44r πD ．46r π【答案】A 【解析】分析：由题意结合所给的性质进行类比推理即可确定四维测度W .详解：结合所给的测度定义可得：在同维空间中，1n +维测度关于r 求导可得n 维测度，结合“超球”的三维测度38V r π=，可得其四维测度42W r π=. 本题选择A 选项.点睛：本题主要考查类比推理，导数的简单应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.3．甲、乙、丙三人中，一人是工人，一人是农民，一人是知识分子．已知：丙的年龄比知识分子大；甲的年龄和农民不同；农民的年龄比乙小．根据以上情况，下列判断正确的是（ ）A ．甲是工人，乙是知识分子，丙是农民B ．甲是知识分子，乙是农民，丙是工人C ．甲是知识分子，乙是工人，丙是农民D ．甲是农民，乙是知识分子，丙是工人 【答案】C 【解析】“甲的年龄和农民不同”和“农民的年龄比乙小”可以推得丙是农民，所以丙的年龄比乙小；再由“丙的年龄比知识分子大”，可知甲是知识分子，故乙是工人，故选C.4．给出下面类比推理：①“若2a<2b ，则a<b”类比推出“若a 2<b 2，则a<b”； ②“(a ＋b)c ＝ac ＋bc(c≠0)”类比推出“a b a bc c c+=+ (c≠0)”； ③“a ，b ∈R ，若a －b ＝0，则a ＝b”类比推出“a ，b ∈C ，若a －b ＝0，则a ＝b”； ④“a ，b ∈R ，若a －b>0，则a>b”类比推出“a ，b ∈C ，若a －b>0，则a>b(C 为复数集)”． 其中结论正确的个数为( ) A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】B 【解析】 【分析】在数集的扩展过程中，有些性质是可以传递的，但有些性质不能传递，因此，要判断类比的结果是否正确，关键是要在新的数集里进行论证，当然要想证明一个结论是错误的，也可以直接举一个反例，要想得到本题的正确答案，可对四个结论逐一进行分析，不难解答. 【详解】①若“22a b <，则a b <”类比推出“若22a b <，则a b <”，不正确，比如1,2a b ==-； ②“()(0)a b c ac bc c +=+≠”类比推出“(0)a b a bc c c c+=+≠”，正确； ③在复数集C 中，若两个复数满足0a b -=，则它们的实部和虚部均相等，则,a b 相等，故正确；④若,a b C ∈，当1,a i b i =+=时，10a b -=>，但,a b 是两个虚数，不能比较大小，故错误；所以只有②③正确，即正确命题的个数是2个， 故选B. 【点睛】该题考查的是有关判断类比得到的结论的正确性的问题，涉及到的知识点有式子的运算法则，数相等的条件，复数不能比较大小等结论，属于简单题目.5．甲、乙、丙三人参加某公司的面试，最终只有一人能够被该公司录用，得到面试结果以后甲说：丙被录用了；乙说：甲被录用了；丙说：我没被录用.若这三人中仅有一人说法错误，则下列结论正确的是（ ） A ．丙被录用了 B ．乙被录用了C ．甲被录用了D ．无法确定谁被录用了 【答案】C 【解析】 【分析】假设若甲被录用了，若乙被录用了，若丙被录用了，再逐一判断即可. 【详解】解：若甲被录用了，则甲的说法错误，乙，丙的说法正确，满足题意， 若乙被录用了，则甲、乙的说法错误，丙的说法正确，不符合题意， 若丙被录用了，则乙、丙的说法错误，甲的说法正确，不符合题意， 综上可得甲被录用了， 故选：C. 【点睛】本题考查了逻辑推理能力，属基础题.6．小正方形按照下图中的规律排列，每个图形中的小正方形的个数构成数列{}n a 有以下结论:①515a =；②{}n a 是一个等差数列；③数列{}n a 是一个等比数列；④数列{}n a 的递堆公式11(),n n a a n n N *+=++∈其中正确的是（ ）A ．①②④B ．①③④C ．①②D ．①④【答案】D 【解析】由图形可得：a 1=1,a 2=1+2，…∴()1 122nn na n+ =++⋯+= .所以①a5=15；正确；②an−a n−1= n,所以数列{a n}不是一个等差数列；故②错误；③数列{an}不是一个等比数列；③错误；④数列{a n}的递推关系是a n+1=a n+n+1(n∈N∗).正确；本题选择D选项.点睛：数列的递推关系是给出数列的一种方法，根据给出的初始值和递推关系可以依次写出这个数列的各项，由递推关系求数列的通项公式，常用的方法有：①求出数列的前几项，再归纳猜想出数列的一个通项公式；②将已知递推关系式整理、变形，变成等差、等比数列，或用累加法、累乘法、迭代法求通项．7．某游泳馆内的一个游泳池设有四个出水量不同的出水口a，b，c，d，当游泳池内装满水时，同时打开其中两个出水口，放完水所需时间如下表：则a，b，c，d四个出水口放水速度最快的是（）A．d B．b C．c D．a【答案】A【解析】【分析】利用所给数据，计算出每个出水口分别的放水时间，比较大小即可.【详解】由题易解得a，b，c，d放水时间分别为70，100，90，50，所以d出水速度最快.故选：A.【点睛】本题考查了方程的思想，属于基础题.8．用数学归纳法证明11151236n n n++⋅⋅⋅+≥++时，从n k=到1n k=+，不等式左边需添加的项是（）A．111313233k k k+++++B．112313233k k k+-+++C．11331k k-++D．133k+【答案】B【解析】分析：分析n k =，1n k =+时，左边起始项与终止项，比较差距，得结果. 详解：n k =时，左边为111123k k k++⋅⋅⋅+++, 1n k =+时，左边为111111233313233k k k k k k ++⋅⋅⋅++++++++++, 所以左边需添加的项是11111123132331313233k k k k k k k ++-=+-+++++++，选B. 点睛：研究n k =到1n k =+项的变化，实质是研究式子变化的规律，起始项与终止项是什么，中间项是如何变化的.9．平面内的一条直线将平面分成2部分,两条相交直线将平面分成4部分,三条两两相交且不共点的直线将平面分成7部分,…则平面内的六条两两相交且任意三条不共点的直线将平面分成的部分数为( ) A ．20 B ．21C ．22D ．23【答案】C 【解析】 【分析】一条直线可以把平面分成两部分,两条直线最多可以把平面分成4部分,三条直线最多可以把平面分成7部分,四条直线最多可以把平面分成11部分,可以发现,两条直线时多了2部分,三条直线比原来多了3部分,四条直线时比原来多了4部分,即可求得答案. 【详解】设画n 条直线,最多可将面分成()f n 个部分,1,(1)112n f ==+=Q ;2,(2)(1)24n f f ==+=; 3,(3)(2)37n f f ==+=;, 4,(4)(3)411n f f ==+=; ,5,(5)(4)516n f f ==+=; 6,(6)(5)622n f f ==+=.故选:C. 【点睛】本题解题关键是掌握根据题意能写出函数递推关系,在求解中寻找规律,考查了分析能力和推理能力,属于中档题.10．山城发生一起入室盗窃案，经警方初步调查，锁定为甲、乙、丙、丁四人中的一人所盗，经审讯，四人笔录如下，甲说：“是丁盗的”；乙说：“是甲、丁两人中的一人盗的”；丙说：“甲说的正确”；丁说：“与我无关，是他们三人中的一人盗的”，后经进一步调查发现四人中只有两人说了真话，由此可判断盗窃者是（ ）A．甲B．乙C．丙D．丁【答案】A【解析】【分析】分别假设甲、乙、丙、丁是罪犯，依次分析四人的供词，由两人说的是真话，两人说的是假话，能判断出结果．【详解】①假设盗窃者是甲，则甲说了假话，乙说了真话，丙说了假话，丁说了真话，合乎题意；②假设盗窃者是乙，则甲说了假话，乙说了假话，丙说了假话，丁说了真话，不合乎题意；③假设盗窃者是丙，则甲说了假话，乙说了假话，丙说了假话，丁说了真话，不合乎题意；④假设盗窃者是丁，则甲说了真话，乙说了真话，丙说了真话，丁说了假话，不合乎题意.综上所述，盗窃者是甲.故选：A.【点睛】本题考查罪犯的判断，考查合情推理等基础知识，考查分类讨论思想的应用，是中等题．11．泰山有“五岳之首”“天下第一山”之称，登泰山的路线有四条：红门盘道徒步线路，桃花峪登山线路，天外村汽车登山线路，天烛峰登山线路.甲、乙、丙三人在聊起自己登泰山的线路时，发现三人走的线路均不同，且均没有走天外村汽车登山线路，三人向其他旅友进行如下陈述：甲：我走红门盘道徒步线路，乙走桃花峪登山线路；乙：甲走桃花峪登山线路，丙走红门盘道徒步线路；丙：甲走天烛峰登山线路，乙走红门盘道徒步线路；事实上，甲、乙、丙三人的陈述都只对一半，根据以上信息，可判断下面说法正确的是（）A．甲走桃花峪登山线路B．乙走红门盘道徒步线路C．丙走桃花峪登山线路D．甲走天烛峰登山线路【答案】D【解析】【分析】甲乙丙三人陈述中都提到了甲的路线,由题意知这三句中一定有一个是正确另外两个错误的,再分情况讨论即可.【详解】若甲走的红门盘道徒步线路,则乙,丙描述中的甲的去向均错误,又三人的陈述都只对一半,则乙丙的另外两句话“丙走红门盘道徒步线路”,“乙走红门盘道徒步线路”正确,与“三人走的线路均不同”矛盾.故甲的另一句“乙走桃花峪登山线路”正确,故丙的“乙走红门盘道徒步线路”错误,“甲走天烛峰登山线路”正确.乙的话中“甲走桃花峪登山线路”错误,“丙走红门盘道徒步线路”正确.综上所述,甲走天烛峰登山线路,乙走桃花峪登山线路, 丙走红门盘道徒步线路故选：D【点睛】本题主要考查了判断与推理的问题,重点是找到三人中都提到的内容进行分类讨论,属于基础题型.12．一名法官在审理一起珍宝盗窃案时，四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供词如下，甲说：“罪犯在乙、丙、丁三人之中”；乙说：“我没有作案，是丙偷的”；丙说：“甲、乙两人中有一人是小偷”；丁说：“乙说的是事实”．经过调查核实，四人中有两人说的是真话，另外两人说的是假话，且这四人中只有一人是罪犯，由此可判断罪犯是( )A．乙 B．甲 C．丁 D．丙【答案】A【解析】【分析】由题意，这个问题的关键是四人中有两人说真话，另外两人说了假话，通过这一突破口，进行分析，推理即可得到结论.【详解】在甲、乙、丙、丁四人的供词中，可以得出乙、丁两人的观点是一致的，因此乙丁两人的供词应该是同真同假（即都是真话或都是假话，不会出现一真一假的情况）；假设乙、丁两人所得都是真话，那么甲、丙两人说的是假话，由乙说真话可推出丙是犯罪的结论；由甲说假话，推出乙、丙、丁三人不是犯罪的结论；显然这两人是相互矛盾的；所以乙、丁两人说的是假话，而甲、丙两人说的是真话，由甲、丙的供词可以断定乙是犯罪的，乙、丙、丁中有一人是犯罪的，由丁说假话，丙说真话推出乙是犯罪的，综上可得乙是犯罪的，故选A.【点睛】本题主要考查了推理问题的实际应用，其中解答中结合题意，进行分析，找出解决问题的突破口，然后进行推理是解答的关键，着重考查了推理与论证能力.13．“干支纪年法”是中国历法上自古以来使用的纪年方法，甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸被称为“十天干”，子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥叫做“十二地支”。

专题10 不等式、推理与证明、算法初步、复数1．【2020年高考全国Ⅰ卷文数】若312i i z =++，则||=zA ．0B ．1C 2D ．2【答案】C【解析】因为31+21+21z i i i i i =+=-=+，所以22112z =+=故选C ．【点睛】本题主要考查向量的模的计算公式的应用，属于容易题． 2．【2020年高考全国Ⅱ卷文数】（1–i ）4= A ．–4 B ．4C ．–4iD ．4i【答案】A【解析】422222(1)[(1)](12)(2)4i i i i i -=-=-+=-=-. 故选A.【点睛】本题考查了复数的乘方运算性质，考查了数学运算能力，属于基础题. 3．【2020年高考全国Ⅲ卷文数】若)(1i 1i z +=-，则z = A ．1–iB ．1+iC ．–iD ．i【答案】D【解析】因为21(1)21(1)(1)2i i iz i i i i ---====-++-，所以z i . 故选：D【点晴】本题主要考查复数的除法运算，涉及到共轭复数的概念，是一道基础题. 4．【2020年新高考全国Ⅰ卷】2i12i-=+ A ．1 B ．−1 C ．iD ．−i【答案】D 【解析】2(2)(12)512(12)(i i i ii i 12)i i 5----===-++- 故选：D【点睛】本题考查复数除法，考查基本分析求解能力，属基础题.5．【2020年高考北京】在复平面内，复数z 对应的点的坐标是(1,2)，则i z ⋅= A ．1i 2+ B ．2i -+C ．12i -D ．2i --【答案】B【解析】由题意得12i z =+，i i 2z ∴=-.故选：B ．【点睛】本题考查复数几何意义以及复数乘法法则，考查基本分析求解能力，属基础题. 6．【2020年新高考全国Ⅰ卷】已知a >0，b >0，且a +b =1，则 A ．2212a b +≥B ．122a b ->C ．22log log 2a b +≥- D【答案】ABD【解析】对于A ，()222221221a b a a a a +=+-=-+21211222a ⎛⎫⎪⎭+ ⎝≥-=，当且仅当12a b ==时，等号成立，故A 正确； 对于B ，211a b a -=->-，所以11222a b-->=，故B 正确； 对于C ，2222221log log log log log 224a b a b ab +⎛⎫+=≤==- ⎪⎝⎭， 当且仅当12a b ==时，等号成立，故C 不正确；对于D ，因为2112a b =+++=，≤，当且仅当12a b ==时，等号成立，故D 正确； 故选：ABD.【点睛】本题主要考查不等式的性质，综合了基本不等式，指数函数及对数函数的单调性，侧重考查数学运算的核心素养.7．【2020年高考浙江】若实数x ，y 满足约束条件31030x y x y -+≤⎧⎨+-≥⎩，则2z x y =+的取值范围是A ．(,4]-∞B ．[4,)+∞C ．[5,)+∞D ．(,)-∞+∞【答案】B【解析】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，目标函数即：1122y x z =-+， 其中z 取得最大值时，其几何意义表示直线系在y 轴上的截距最大， z 取得最小值时，其几何意义表示直线系在y 轴上的截距最小， 据此结合目标函数的几何意义可知目标函数在点A 处取得最小值， 联立直线方程：31030x y x y -+=⎧⎨+-=⎩，可得点A 的坐标为：()2,1A ，据此可知目标函数的最小值为：min 2214z =+⨯= 且目标函数没有最大值.故目标函数的取值范围是[)4,+∞. 故选：B【点睛】求线性目标函数z ＝ax ＋by (ab ≠0)的最值，当b ＞0时，直线过可行域且在y 轴上截距最大时，z 值最大，在y 轴截距最小时，z 值最小；当b ＜0时，直线过可行域且在y 轴上截距最大时，z 值最小，在y 轴上截距最小时，z 值最大.8．【2020年高考全国Ⅰ卷文数】执行下面的程序框图，则输出的n=A ．17B ．19C ．21D ．23【答案】C【解析】依据程序框图的算法功能可知，输出的n 是满足135100n ++++>的最小正奇数，因为()()211112135110024n n n n -⎛⎫+⨯+⎪⎝⎭++++==+>，解得19n >，所以输出的21n =． 故选：C.【点睛】本题主要考查程序框图的算法功能的理解，以及等差数列前n 项和公式的应用，属于基础题．9．【2020年高考全国Ⅱ卷文数】如图，将钢琴上的12个键依次记为a 1，a 2，…，a 12.设1≤i <j <k ≤12．若k –j =3且j –i =4，则称a i ，a j ，a k 为原位大三和弦；若k –j =4且j –i =3，则称a i ，a j ，a k 为原位小三和弦．用这12个键可以构成的原位大三和弦与原位小三和弦的个数之和为A ．5B ．8C ．10D ．15【答案】C【解析】根据题意可知，原位大三和弦满足：3,4k j j i -=-=．∴1,5,8i j k ===；2,6,9i j k ===；3,7,10i j k ===；4,8,11i j k ===；5,9,12i j k ===．原位小三和弦满足：4,3k j j i -=-=．∴1,4,8i j k ===；2,5,9i j k ===；3,6,10i j k ===；4,7,11i j k ===；5,8,12i j k ===．故个数之和为10． 故选：C ．【点睛】本题主要考查列举法的应用，以及对新定义的理解和应用，属于基础题． 10．【2020年高考全国Ⅱ卷文数】执行下面的程序框图，若输入的k =0，a =0，则输出的k 为A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】C【解析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出的k 值 模拟程序的运行过程：0,0k a ==，第1次循环，2011a =⨯+=,011k =+=，110>为否； 第2次循环，2113a =⨯+=,112k =+=，310>为否； 第3次循环，2317a =⨯+=,213k =+=，710>为否； 第4次循环，27115a =⨯+=,314k =+=，1510>为是 ， 退出循环. 输出4k =. 故选：C.【点睛】本题考查求循环框图的输出值，解题关键是掌握模拟循环语句运行的计算方法，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.11．【2020年高考浙江】设集合S ，T ，S ⊆N *，T ⊆N *，S ，T 中至少有2个元素，且S ，T 满足：①对于任意的x ，y ∈S ，若x ≠y ，则xy ∈T ；②对于任意的x ，y ∈T ，若x <y ，则yx∈S ．下列命题正确的是A ．若S 有4个元素，则S ∪T 有7个元素B ．若S 有4个元素，则S ∪T 有6个元素C ．若S 有3个元素，则S ∪T 有5个元素D ．若S 有3个元素，则S ∪T 有4个元素 【答案】A【解析】首先利用排除法：若取{}1,2,4S =，则{}2,4,8T =，此时{}1,2,4,8S T =，包含4个元素，排除选项D ；若取{}2,4,8S =，则{}8,16,32T =，此时{}2,4,8,16,32S T =，包含5个元素，排除选项C ；若取{}2,4,8,16S =，则{}8,16,32,64,128T =，此时{}2,4,8,16,32,64,128S T =，包含7个元素，排除选项B ； 下面来说明选项A 的正确性：设集合{}1234,,,S p p p p =，且1234p p p p <<<，*1234,,,p p p p N ∈，则1224p p p p <，且1224,p p p p T ∈，则41p S p ∈， 同理42p S p ∈，43p S p ∈，32p S p ∈，31p S p ∈，21pS p ∈，若11p =，则22p ≥，则332p p p <，故322p p p =即232p p =， 又444231p p p p p >>>，故442232p p p p p ==，所以342p p =， 故{}232221,,,S p p p =，此时522,p T p T ∈∈，故42p S ∈，矛盾，舍.若12p ≥，则32311p p p p p <<，故322111,p pp p p p ==即323121,p p p p ==， 又44441231p p p p p p p >>>>，故441331p p p p p ==，所以441p p =， 故{}2341111,,,S p p p p =，此时{}3456711111,,,,p p p p p T ⊆. 若q T ∈， 则31q S p ∈，故131,1,2,3,4i qp i p ==，故31,1,2,3,4i q p i +==， 即{}3456711111,,,,q p p p p p ∈，故{}3456711111,,,,p p p p p T =， 此时{}234456711111111,,,,,,,S T p p p p p p p p ⋃=即S T 中有7个元素.故A 正确. 故选：A ．【点睛】“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.12．【2020年高考江苏】已知i 是虚数单位，则复数(1i)(2i)z =+-的实部是 ▲ ．【答案】3【解析】∵复数()()i 12i z =+- ∴2i i i 2i 23z =-+-=+∴复数的实部为3. 故答案为：3.【点睛】本题考查复数的基本概念，是基础题．13．【2020年高考江苏】已知22451(,)x y y x y +=∈R ，则22x y +的最小值是 ▲ ．【答案】45【解析】∵22451x y y +=∴0y ≠且42215y x y -=∴422222222114144+2555555y y y x y y y y y -+=+=≥⋅=，当且仅当221455y y =，即2231,102x y ==时取等号. ∴22xy +的最小值为45. 故答案为：45. 【点睛】本题考查了基本不等式在求最值中的应用.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用≥或≤时等号能否同时成立）.14．【2020年高考江苏】如图是一个算法流程图，若输出y 的值为2-，则输入x 的值是_____.【答案】3-【解析】由于20x >，所以12y x =+=-，解得3x =-. 故答案为：3-【点睛】本小题主要考查根据程序框图输出结果求输入值，考查指数函数的性质，属于基础题.15．【2020年高考天津】i 是虚数单位，复数8i2i-=+_________． 【答案】3i 2- 【解析】()()()()828151032222i i i ii i i i 5----===-++-. 故答案为：3i 2-.【点睛】本题考查复数的四则运算，属于基础题. 16．【2020年高考天津】已知0,0a b >>，且1ab =，则11822a b a b+++的最小值为_________． 【答案】4 【解析】0,0,0a b a b >>∴+>，1ab =,11882222ab ab a b a b a b a b∴++=++++842a b a b +=+≥=+，当且仅当a b +=4时取等号， 结合1ab =,解得22a b ==+，或22a b =+=-. 故答案为：4【点睛】本题考查应用基本不等式求最值，“1”合理变换是解题的关键，属于基础题. 17．【2020年高考全国Ⅰ卷文数】若x ，y 满足约束条件220,10,10,x y x y y +-≤⎧⎪--≥⎨⎪+≥⎩则z =x +7y 的最大值为 .【答案】1【解析】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，目标函数7z x y =+即：1177y x z =-+， 其中z 取得最大值时，其几何意义表示直线系在y 轴上的截距最大， 据此结合目标函数的几何意义可知目标函数在点A 处取得最大值， 联立直线方程：22010x y x y +-=⎧⎨--=⎩，可得点A 的坐标为：1,0A ，据此可知目标函数的最大值为：max 1701z =+⨯=. 故答案：1．【点睛】求线性目标函数z ＝ax ＋by (ab ≠0)的最值，当b ＞0时，直线过可行域且在y 轴上截距最大时，z 值最大，在y 轴截距最小时，z 值最小；当b ＜0时，直线过可行域且在y 轴上截距最大时，z 值最小，在y 轴上截距最小时，z 值最大.18．【2020年高考全国Ⅱ卷文数】若x ，y 满足约束条件1121,x y x y x y +≥-⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩，，则2z x y =+的最大值是__________．【答案】8【解析】不等式组表示的平面区域为下图所示：平移直线12y x =-，当直线经过点A 时，直线1122y x z =-+在纵轴上的截距最大，此时点A 的坐标是方程组121x y x y -=-⎧⎨-=⎩的解，解得：23x y =⎧⎨=⎩，因此2z x y =+的最大值为：2238+⨯=. 故答案为：8.【点睛】本题考查了线性规划的应用，考查了数形结合思想，考查数学运算能力.19．【2020年高考全国Ⅲ卷文数】若x ，y 满足约束条件0,201,x y x y x +⎧⎪≥-≥≤⎪⎨⎩，,则z =3x +2y 的最大值为_________． 【答案】7【解析】不等式组所表示的可行域如图因为32z x y =+，所以322x zy =-+，易知截距2z 越大，则z 越大， 平移直线32x y =-，当322x zy =-+经过A 点时截距最大，此时z 最大， 由21y x x =⎧⎨=⎩，得12x y =⎧⎨=⎩，(1,2)A ，所以max 31227z =⨯+⨯=. 故答案为7.【点晴】本题主要考查简单线性规划的应用，涉及到求线性目标函数的最大值，考查学生数形结合的思想，是一道容易题.1．【重庆市江津中学、实验中学等七校2020届高三下学期6月联考】设13z i=+，则在复平面内z 对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【答案】A 【解析】2(13)31213(13)(13)i i z i ii i -===++-， ∴在复平面内z 对应的点的坐标为31,22⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，位于第一象限．故选：A ． 【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，属于基础题． 2．【辽宁省锦州市黑山县黑山中学2020届高三6月模拟考试数学】复数()311i iz =--（i 是虚数单位），则z 的共轭复数为 A ．2i -+ B ．2i --C ．23i -+D ．2i +【答案】A【解析】∵()()()()32211i 1i 1i 21i 2iiz i i i i=--=---=--+=--， ∴2z i =-+.故选：A. 【点睛】本题考查复数代数形式的四则运算和共轭复数，考查运算求解能力，是基础题. 3．【山东省日照五莲县丶潍坊安丘市、潍坊诸城市、临沂兰山区2020届高三6月模拟数学试题】若复数1z ，2z 在复平面内对应的点关于y 轴对称，且12z i =-，则复数12z z = A ．1- B ．1C ．3455i -+ D ．3455-i 【答案】C【解析】依题意可得22z i =--，所以122(2)(2)342555z i i i i z i ---+===-+--， 故选：C . 【点睛】本题考查了复数的几何意义和复数的乘除法运算，属于基础题.4．【河北省正定中学2019-2020学年高三下学期第四次阶段质量检测数学】在复平面内，若复数3422z i i=++所对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限C ．第四象限D ．虚轴【答案】C【解析】因为3422=4z i i i=++-,所以在复平面上，复数z 表示的点是()41-，,在第四象限， 故选C. 【点睛】本题考查复数的运算和复数的几何意义，属于基础题.5．【广东省深圳市高级中学2020届高三下学期5月适应性考试数学】设i 为虚数单位，复数2(1)81i z i -+=+的实部为A ．5B ．5-C ．3-D ．3【答案】D【解析】()212i i -=-，()()()()82182610351112i i i iz i i i i ----====-++-，实部为3， 故选：D. 【点睛】本题考查复数的概念和复数的运算，属于基础题.6．【河北省衡水中学2020届高三下学期（5月)第三次联合考试数学】已知复数2(2)z i =+，则z 的虚部为 A ．3 B ．3i C ．4D ．4i【答案】C【解析】2(2)34z i i =+=+，所以z 的虚部为4. 故选：C. 【点睛】本题考查复数代数形式的乘法，复数的相关概念，属于基础题.7．【广西南宁市第三中学2020届高三适应性月考卷】设i 是虚数单位，若复数z 满足()11z i i -=+，则其共轭复数z =A ．iB ．i -C ．1i -+D ．1i --【答案】A【解析】()()()21122111i i ii z i i i ++===+--=--，所以z i =， 故选：A. 【点睛】该题考查的是有关复数的问题，涉及到的知识点有复数的除法运算，复数的共轭复数，属于基础题目.8．【河北省衡水中学2020届高三下学期第九次调研数学】已知复数2(1)(1)i z i i +=-，则下列结论正确的是 A ．z 的虚部为iB ．2z =C ．z 的共轭复数1z i =-+D ．2z 为纯虚数【答案】D【解析】()()()2221(1)12222====1(1)+11112i i i i i i iz i i i i i i i -++++==+-++-,z 的虚部为1,z =,1z i =-,()22=12i z i +=.故选:D. 【点睛】本题考查复数的乘除运算,考查复数的概念,难度容易.9．【广西来宾市2019-2020学年高三5月教学质量诊断性联合考试数学】已知复数1023z i i=-+（i 是虚数单位），则z 的共轭复数是 A ．33i -- B ．33i +C ．151344i -- D ．151344i + 【答案】B 【解析】1010(3)10(3)22232333(3)(3)10i i z i i i i i i i i i --=-=-=-=--=-++-， 33z i ∴=+.故选：B 【点睛】本题考查复数的除法运算，还考查了求共轭复数，属于基础题.10．【2020届清华大学中学生标准学术能力诊断性测试高三5月测试数学】已知复数z 满足4zi i=-（其中i 为虚数单位），则z 的虚部为 A ．4i B ．4C ．1D ．1-【答案】B 【解析】由4zi i=-，得2(4)414z i i i i i =-=-=+． ∴复数z 的虚部是4．故选：B ． 【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题． 11．【2020届四川省成都市石室中学高三下学期5月月考数学】复数2332iz i-=+，则z z ⋅= A ．i B ．i -C ．1D ．1-【答案】C 【解析】(23)(32)13(32)(32)13i i iz i i i ---===-+-，z i ∴=，∴1z z ⋅=.故选：C. 【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查共轭复数的基本概念，是基础题. 12．【河南省名校联盟2020届高三5月质量检测数学】已知复数z 2ai=+-1(i 为虚数单位，a ∈R )为纯虚数，则实数a = A ．52B ．52-C ．0D ．2【答案】B【解析】∵z ()()()2251122255a i a a a i i i i ++=+=+=+--+为纯虚数，∴250505a a +⎧=⎪⎪⎨⎪≠⎪⎩，解得a 52=-. 故选B. 【点睛】本题考查了根据复数的类型求参数，意在考查学生的计算能力和转化能力. 13．【广东省深圳外国语学校2020届高三下学期4月综合能力测试数学】已知集合{}2230A x x x =--≥，202x B x Z x ⎧⎫+=∈≤⎨⎬-⎩⎭，则A B =A ．[]2,1--B ．[)1,2-C ．{}2,1--D ．{}1,2-【答案】C 【解析】{}{22301A x x x x x =--≥=≤-或}3x ≥，{}{}20222,1,0,12x B x Z x Z x x ⎧⎫+=∈≤=∈-≤<=--⎨⎬-⎩⎭，因此，{}2,1A B =--.故选：C. 【点睛】本题考查交集的计算，同时也考查了一元二次不等式与分式不等式的求解，考查计算能力，属于基础题.14．【安徽省合肥一中、安庆一中等六校教育研究会2020届高三上学期第一次素质测试数学】若1,01a c b ><<<，则下列不等式不正确的是 A ．20192019log log a b > B ．log log c b a a > C ．()()cbc b a c b a ->-D ．()()cba c a a c a ->-【答案】D【解析】因为1,01a c b ><<<，所以0a c ->，考查指数函数(1)xy a a =>，所以()()c b c ba a a c a a c a ⇔<-<-，所以D 不正确. 【点睛】本题考查不等式的基本性质及指数函数的单调性，求解时注意利用分析法判断不等式的正确性.15．【辽宁省葫芦岛市2020届高三5月联合考试数学】某校甲、乙、丙、丁四位同学参加了第34届全国青少年科技创新大赛，老师告知只有一位同学获奖，四人据此做出猜测：甲说：“丙获奖”；乙说：“我没获奖”；丙说：“我没获奖”；丁说：“我获奖了”，若四人中只有一人判断正确，则判断正确的是 A ．甲 B ．乙 C ．丙 D ．丁【答案】C【解析】由题意知，甲和丙的说法矛盾，因此两人中有一人判断正确，故乙和丁都判断错误，乙获奖，丙判断正确. 故选C. 【点睛】本题考查了逻辑推理，意在考查学生的逻辑推理能力.16．【2020届河南省商丘周口市部分学校联考高三5月质量检测数学】宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：“松长六尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，何日竹逾松长？”如图是解决此问题的一个程序框图，其中a 为松长、b 为竹长，则矩形框与菱形框处应依次填A ．2a a a =+；a b <B ．2aa a =+；a b < C ．2a a a =+；a b ≥ D ．2aa a =+；ab >【答案】B【解析】松日自半，则表示松每日增加原来长度的一半，即矩形框应填2aa a =+；何日竹逾松长，则表示竹长超过松长，即松长小于竹长，即菱形框应填ab <. 故选：B 【点睛】本小题主要考查补全程序框图，属于基础题.17．【河北省正定中学2019-2020学年高三下学期第四次阶段质量检测数学】圆224610x y x y ++-+=关于直线()800,0ax by a b -+=>>对称，则32a b+的最小值是 A ．6B ．3C ．154D 6【答案】B【解析】根据圆的方程可知，圆心坐标为()2,3C -，而直线经过圆心，所以2380a b --+=，得238a b +=，因为0,0a b >>，所以()3213214312312+388289b a a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫+=⨯+⨯+=⨯+≥+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 故选：B. 【点睛】本题考查圆的对称性，基本不等式的应用，关键在于巧妙地运用“1”，构造基本不等式，属于中档题.18．【重庆市江津中学、实验中学等七校2020届高三下学期6月联考（三诊)数学】2019年10月1日上午，庆祝中华人民共和国成立70周年阅兵仪式在天安门广场隆重举行，这次阅兵不仅展示了我国的科技军事力量，更是让世界感受到了中国的日新月异，去年的阅兵方阵有一个很抢眼，他们就是院校科研方阵，他们是由军事科学院，国防大学，国防科技大学联合组建，若已知甲，乙，丙三人来自上述三所学校，学位分别有学士、硕士、博士学位，现知道：①甲不是军事科学院的，②来自军事科学院的均不是博士，③乙不是军事科学院的，④乙不是博士学位，⑤来自国防科技大学的是硕士，则甲是来自哪个院校的，学位是什么 A ．国防大学，博士 B ．国防科技大学，硕士 C ．国防大学，学士 D ．军事科学院，学士【答案】A【解析】由①③可知，丙是军事科学院的. 进而由②④可知，乙丙不是博士，故甲是博士.进而由⑤可知甲不是来自国防科技大学，所以甲来自国防大学. 所以甲来自国防大学，学位是博士. 故选A. 【点睛】本小题主要考查合情推理，属于基础题.19．【广西南宁市第三中学2020届高三适应性月考卷】运行如图所示的程序算法，则输出的结果为A ．2B ．12C ．13D ．132【答案】A【解析】当2a =时， 1k =；当132a =时，3k =； 当132132a ==时，5k =；…；当132a =时，99k =，当2a =时，101k =，跳出循环； 故选:A. 【点睛】本题主要考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程模拟运行程序发现a 值出现的周期性的变化是解题的关键，属于基础题.20．【广西来宾市2019-2020学年高三5月教学质量诊断性联合考试数学】设实数,x y 满足不等式组4,2,4,x y y x x +≥⎧⎪-≤⎨⎪⎩则11y z x +=+的最小值为A ．13B ．15C ．13-D ．12-【答案】B【解析】作出不等式组所表示的平面区域如下图阴影部分所示， 目标函数11y z x +=+表示平面区域内的点(,)x y 与(1,1)D --连线的斜率， 则11y z x +=+的最小值为()()011415CDk --==--.故选：B 【点睛】本题考查线性规划问题中分式型目标函数求最值问题，属于简单题.21．【河北省衡水中学2020届高三下学期第二次调研数学】执行如图所示的程序框图，输出的结果是A ．5B ．6C ．7D ．8【答案】B【解析】1i =，12n =， 第一次循环： 8n =，2i =， 第二次循环：31n =，3i =， 第三次循环：123n =，4i =， 第四次循环：119n =，5i =，第五次循环：475n =，6i =，停止循环，输出6i=.故选B.【点睛】本题考查了循环结构流程图和条件结构流程图，属于基础题.22．【广东省深圳市2020届高三下学期第二次调研数学】执行如图的程序框图，如果输入的k＝0.4，则输出的n＝A．5 B．4 C．3 D．2【答案】C【解析】模拟程序的运行，可得k＝0.4，S＝0，n＝1，S11 133 ==⨯，不满足条件S＞0.4，执行循环体，n＝2，S11113352=+=⨯⨯（1111335-+-）25=，不满足条件S＞0.4，执行循环体，n＝3，S1111 1335572 =++=⨯⨯⨯（11111133557-+-+-）37=，此时，满足条件S＞0.4，退出循环，输出n的值为3.故选：C.【点睛】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题.23．【2020届清华大学中学生标准学术能力诊断性测试高三5月测试数学】下列程序框图的算法思想源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”.执行该程序框图，若输入16a =，10b =，则程序中需要做减法的次数为A ．6B ．5C ．4D ．3【答案】C【解析】由16a =，10b =，满足a b ，满足a b >，则16106a =-=；满足a b ，不满足a b >，则1064b =-=； 满足a b ，满足a b >，则642a =-=； 满足a b ，不满足a b >，则422b =-=； 不满足ab ，则输出2a =；则程序中需要做减法的次数为4， 故选：C ． 【点睛】本题主要考查算法和程序框图，主要考查循环结构的理解和运用，以及赋值语句的运用，属于基础题．24．【甘肃省西北师大附中2020届高三5月模拟试卷】“辗转相除法”是欧几里得《原本》中记录的一个算法，是由欧几里得在公元前300年左右首先提出的，因而又叫欧几里得算法．如图所示是一个当型循环结构的“辗转相除法”程序框图．当输入2020m =，303n =时，则输出的m 是A ．2B ．6C ．101D ．202【答案】C【解析】输入2020m =，303n =，又1r =． ①10r =>，202r =，303m =，202n =； ②2020r =>，3032021101÷=，101r =，202m =，101n ；③1010r =>，0r =，101m =，0n =； ④0r =，则0r >否，输出101m =. 故选：C ． 【点睛】本题主要考查程序框图和计算程序框图的输出值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.25．【重庆市第一中学2019-2020学年高三下学期期中数学】冰雹猜想也称奇偶归一猜想：对给定的正整数进行一系列变换，则正整数会被螺旋式吸入黑洞(4，2，1)，最终都会归入“4-2-1”的模式.该结论至今既没被证明，也没被证伪. 下边程序框图示意了冰雹猜想的变换规则，则输出的i =A．4B．5C．6D．7【答案】B【解析】由题意，第一次循环，12S Z∉，35116S=⨯+=，011i=+=，1S≠；第二次循环，12S Z∈，11682S=⨯=，112i=+=，1S≠；第三次循环，12S Z∈，1842S=⨯=，213i=+=，1S≠；第四次循环，12S Z∈，1422S=⨯=，314i=+=，1S≠；第五次循环，12S Z∈，1212S=⨯=，415i=+=，1S=；此时输出5i=.故选：B【点睛】本题考查循环结构程序框架图的应用，属于基础题.26．【重庆市南开中学2019-2020学年高三下学期线上期中数学】若某程序框图如图所示，则输出的S的值是A ．31B ．63C ．127D ．255【答案】C【解析】第一次运行，1i =，0S =，8i <成立，则2011S =⨯+=，112i =+=； 第二次运行，2i =，1S =，8i <成立，则2113S =⨯+=，213i =+=； 第三次运行，3i =，3S =，8i <成立，则2317S =⨯+=，314i =+=； 第四次运行，4i =，7=S ，8i <成立，则27115S =⨯+=，415i =+=； 第五次运行，5i =，15S =，8i <成立，则215131S =⨯+=，516i =+=； 第六次运行，6i =，31S =，8i <成立，则231163S =⨯+=，617i =+=； 第七次运行，7i =，63S =，8i <成立，则2631127S =⨯+=，718i =+=； 第八次运行，8i =，127S =，8i <不成立， 所以输出S 的值为127. 故选：C. 【点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题.解决程序框图问题时，一定要注意以下几点：（1）不要混淆处理框和输入框；（2）注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；（3）注意区分当型循环结构和直到型循环结构；（4）处理循环结构的问题时，一定要正确控制循环次数；（5）要注意各个框的顺序；（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中，只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.27．【重庆市南开中学2019-2020学年高三下学期第六次教学质量检测数学】数独起源于18世纪初瑞士数学家欧拉等人研究的一种拉丁方阵，是一种运用纸、笔进行演算的数学逻辑游戏.如图就是一个迷你数独，玩家需要根据66⨯盘面上的已知数字，推理出所有剩余空格的数字，并满足每一行、每一列、每一个粗线宫（32⨯）内的数字均含16-，每一行，每一列以及每一个粗线宫都没有重复的数字出现，则图中的a b c d +++=A ．11B ．13C ．15D ．17【答案】D【解析】由题意，如图，从第二列出发，由于每行每列都有1—6，所以第4行第2列为2，第4行第6列为5，所以4610b d +=+=，第2行第3列为6，第5行第3列为4，第5行第5列为6，第3行第5列为4，第3行第1列为5，所以167a c +=+=， 所以a b c d +++=17.故选：D【点睛】本题考查推理与证明中的合情推理，考查学生分析，观察，判断等能力，是一道容易题. 28．【河北省衡水中学2020届高三下学期（5月)第三次联合考试数学】要使得满足约束条件42y xy x x y ⎧⎪-⎨⎪+⎩，的变量,x y 表示的平面区域为正方形，则可增加的一个约束条件为A ．4x y +≤B ．4x y +C ．6x y +D ．6x y +【答案】C【解析】根据正方形的性质可设新增加的约束条件为x y c +，两组对边的距离相等，故2222d ===，所以6c =或2c =-(舍去). 如图所示故选:C . 【点睛】本题考查二元不等式组表示的平面区域，两平行线间的距离公式的应用，属于基础题. 29．【2020届华大新高考联盟高三4月教学质量测评数学】执行如图所示的程序框图，设输出数据构成集合A ，从集合A 中任取一个元素m ，则事件“函数()2f x x mx =+在[)0,+∞上是增函数”的概率为A ．14B ．12C ．34D ．35【答案】C【解析】当20x y =-⇒=； 当2111x y =-+=-⇒=-； 当1100x y =-+=⇒=； 当0113x y =+=⇒=； 当1128x y =+=⇒=； 当213x =+=，退出循环. 所以{}0,1,3,8A =-，又函数()2f x x mx =+在[)0,+∞上是增函数，所以002mm -≤⇒≥. 函数()2f x x mx =+在[)0,+∞上是增函数的概率为34. 故选：C. 【点睛】本题主要考查了当型循环结构，以及与集合和古典概型相结合等问题，属于基础题． 30．【江西省景德镇市2019-2020学年高三第三次质检数学】科赫曲线是一种外形像雪花的几何曲线，一段科赫曲线可以通过下列操作步骤构造得到：任画…条线段，然后把它分成三等分，以中间一段为边向外作正三角形，并把中间一段去掉，这样，原来的一条线段就变成了由4条小线段构成的折线，称为“一次构造”；用同样的方法把每一条小线段重复上述步骤，得到由16条更小的线段构成的折线，称为“二次构造”；…；如此进行“n 次构造”，就可以得到一条科赫曲线.若要在构造过程中使得到的折线的长度大于初始线段的100倍，则至少需要构造的次数是（ ）（取lg30.4771≈，lg 20.3010≈）A ．16B ．17C ．24D ．25【答案】B【解析】设初始长度为a ，各次构造后的折线长度构成一个数列{}n a ，由题知143a a =，143n n a a +=，则{}n a 为等比数列， 4()3n n a a ∴=⋅，假设构造n 次后，折线的长度大于初始线段的100倍，即4()1003n n a a => ， 43lg100log 100lg 4lg 3n ∴>=-，lg100216lg 4lg 320.30100.4771=≈-⨯-17n ∴≥【点睛】本题考查了图形的归纳推理，等比数列的实际应用，指数不等式的求解，考查了数形结合的思想.其中对图形进行归纳推理，构造等比数列是关键.属于中档题.。

1.合情推理与演绎推理(1)归纳和类比都是合情推理，前者是由特殊到一般，部分到整体的推理，后者是由特殊到特殊的推理，但二者都能由已知推测未知，都能用于猜想，推理的结论不一定为真，有待进一步证明.(2)演绎推理与合情推理不同，是由一般到特殊的推理，是数学中证明的基本推理形式.也是公理化体系所采用的推理形式，另一方面，合情推理与演绎推理又是相辅相成的，前者是后者的前提，后者论证前者的可靠性.2.直接证明与间接证明直接证明和间接证明是数学证明的两类基本证明方法.直接证明的两类基本方法是综合法和分析法：综合法是从已知条件推导出结论的证明方法；分析法是由结论追溯到条件的证明方法，在解决数学问题时，常把它们结合起来使用，间接证法的一种方法是反证法，反证法是从结论反面成立出发，推出矛盾的证明方法.思考反证法通常适用于哪些问题？答案反证法是高中数学的一种重要的证明方法，在不等式和立体几何的证明中经常用到，它所反映出的“正难则反”的解决问题的思想方法更为重要.反证法主要证明：否定性、唯一性命题；至多、至少型问题；几何问题.3.数学归纳法数学归纳法主要用于解决与正整数有关的数学问题.证明时，它的两个步骤缺一不可.它的第一步(归纳奠基)n＝n0时结论成立.第二步(归纳递推)假设n＝k时，结论成立，推得n＝k＋1时结论也成立.数学归纳法原理建立在归纳公理的基础上，它可用有限的步骤(两步)证明出无限的命题成立.思考何为探索性命题？其解题思路是什么？答案探索性命题是试题中经常出现的一种题型，此类问题未给出问题结论，需要由特殊情况入手，猜想、证明一般结论的问题称为探求规律性问题，它的解题思想是：从给出的条件出发，通过观察、试验、归纳、猜想，探索出结论，然后再对归纳、猜想的结论进行证明.题型一合情推理及应用例1观察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则a10＋b10等于()A.28B.76C.123D.199答案 C解析记a n＋b n＝f(n)，则f(3)＝f(1)＋f(2)＝1＋3＝4；f(4)＝f(2)＋f(3)＝3＋4＝7；f(5)＝f(3)＋f(4)＝11.通过观察不难发现f(n)＝f(n－1)＋f(n－2)(n∈N*，n≥3)，则f(6)＝f(4)＋f(5)＝18；f(7)＝f(5)＋f(6)＝29；f(8)＝f(6)＋f(7)＝47；f(9)＝f(7)＋f(8)＝76；f(10)＝f(8)＋f(9)＝123.所以a10＋b10＝123.反思与感悟归纳推理和类比推理是常用的合情推理，两种推理的结论“合情”但不一定“合理”，其正确性都有待严格证明.尽管如此，合情推理在探索新知识方面有着极其重要的作用.运用合情推理时，要认识到观察、归纳、类比、猜想、证明是相互联系的.在解决问题时，可以先从观察入手，发现问题的特点，形成解决问题的初步思路，然后用归纳、类比的方法进行探索、猜想，最后用逻辑推理方法进行验证.跟踪训练1自然数按下表的规律排列则上起第2 014行，左起第2 015列的数为()A.2 0142B.2 0152C.2 013×2 014D.2 014×2 015答案 D解析 经观察可得这个自然数表的排列特点：①第一列的每个数都是完全平方数，并且恰好等于它所在行数的平方，即第n 行的第1个数为n 2；②第一行第n 个数为(n －1)2＋1；③第n 行从第1个数至第n 个数依次递减1； ④第n 列从第1个数至第n 个数依次递增1.故上起第2 014行，左起第2 015列的数，应是第2 015列的第2 014个数，即为[(2 015－1)2＋1]＋2 013＝2 014×2 015. 题型二 直接证明与间接证明例2 已知a ＞b ＞0，求证(a －b )28a ＜a ＋b 2－ab ＜(a －b )28b .证明 欲证(a －b )28a ＜a ＋b 2－ab ＜(a －b )28b ，只需证(a －b )28a ＜(a －b )22＜(a －b )28b ，∵a ＞b ＞0，∴只需证a －b 22a ＜a －b 2＜a －b22b ，即a ＋b 2a ＜1＜a ＋b2b， 欲证a ＋b 2a ＜1，只需证a ＋b ＜2a ，即b ＜a ，该式显然成立.欲证1＜a ＋b2b，只需证2b ＜a ＋b ，即b ＜a ，该式显然成立. ∴a ＋b 2a ＜1＜a ＋b2b成立. ∴(a －b )28a ＜a ＋b 2－ab ＜(a －b )28b成立.反思与感悟 直接证明方法可具体分为比较法、代换法、放缩法、判别式法、构造函数法等，应用综合法证明问题时，必须首先想到从哪里开始起步，分析法就可以帮助我们克服这种困难，在实际证明问题时，应当把分析法和综合法结合起来使用. 跟踪训练2 已知等差数列{a n }中，首项a 1＞0，公差d ＞0. (1)若a 1＝1，d ＝2，且1a 21，1a 24，1a 2m 成等比数列，求正整数m 的值；(2)求证对任意正整数n ，1a 2n ，1a 2n ＋1，1a 2n ＋2都不成等差数列.(1)解 ∵{a n }是等差数列，a 1＝1，d ＝2， ∴a 4＝7，a m ＝2m －1.∵1a 21，1a 24，1a 2m 成等比数列， ∴1492＝1(2m －1)2， 即2m －1＝49.∴m ＝25.(2)证明 假设存在n ∈N *，使1a 2n ，1a 2n ＋1，1a 2n ＋2成等差数列，即2a 2n ＋1＝1a 2n ＋1a 2n ＋2， ∴2a 2n ＋1＝1(a n ＋1－d )2＋1(a n ＋1＋d )2＝2a 2n ＋1＋2d2(a 2n ＋1－d 2)2， 化简得d 2＝3a 2n ＋1.(*)又∵a 1＞0，d ＞0，∴a n ＋1＝a 1＋nd ＞d ，∴3a 2n ＋1＞3d 2＞d 2，与(*)式矛盾，因此假设不成立，故命题得证. 题型三 数学归纳法及应用例3 已知a i ＞0(i ＝1,2，…，n )，考察： ①a 1·1a 1≥1；②(a 1＋a 2)⎝⎛⎭⎫1a 1＋1a 2≥4；③(a 1＋a 2＋a 3)⎝⎛⎭⎫1a 1＋1a 2＋1a 3≥9.归纳出对a 1，a 2，…，a n 都成立的类似不等式，并用数学归纳法加以证明.解 结论：(a 1＋a 2＋…＋a n )·⎝⎛⎭⎫1a 1＋1a2＋…＋1a n≥n 2(n ∈N *). 证明：①当n ＝1时，显然成立. ②假设当n ＝k 时，不等式成立，即(a 1＋a 2＋…＋a k )·⎝⎛⎭⎫1a 1＋1a2＋…＋1a k≥k 2. 当n ＝k ＋1时，(a 1＋a 2＋…＋a k ＋a k ＋1)·⎝⎛⎭⎫1a 1＋1a 2＋…＋1a k＋1ak ＋1＝(a 1＋a 2＋…＋a k )⎝⎛⎭⎫1a 1＋1a 2＋…＋1a k ＋a k ＋1·⎝⎛⎭⎫1a 1＋1a 2＋…＋1a k ＋1a k ＋1(a 1＋a 2＋…＋a k )＋1 ≥k 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a k ＋1a 1＋a 1a k ＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a k ＋1a 2＋a 2a k ＋1＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a k ＋1a k ＋a k a k ＋1＋1 ≥k 2＋2k ＋1＝(k ＋1)2.由①②可知，不等式对任意正整数n 都成立.反思与感悟 数学归纳法是推理逻辑，它的第一步称为奠基步骤，是论证的基础保证，即通过验证落实传递的起点，这个基础必须真实可靠；它的第二步称为递推步骤，是命题具有后继传递性的保证，两步合在一起为完全归纳步骤，这两步缺一不可，第二步中证明“当n ＝k ＋1时结论正确”的过程中，必须用“归纳假设”，否则就是错误的. 跟踪训练3 数列{a n }满足S n ＝2n －a n (n ∈N *). (1)计算a 1，a 2，a 3，a 4，并由此猜想通项公式a n ； (2)证明(1)中的猜想.(1)解 当n ＝1时，a 1＝S 1＝2－a 1，∴a 1＝1； 当n ＝2时，a 1＋a 2＝S 2＝2×2－a 2，∴a 2＝32；当n ＝3时，a 1＋a 2＋a 3＝S 3＝2×3－a 3，∴a 3＝74；当n ＝4时，a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝S 4＝2×4－a 4， ∴a 4＝158.由此猜想a n ＝2n －12n 1(n ∈N *).(2)证明 ①当n ＝1时，a 1＝1，结论成立. ②假设n ＝k (k ≥1且k ∈N *)时，结论成立， 即a k ＝2k －12k －1，那么n ＝k ＋1时，a k ＋1＝S k ＋1－S k ＝2(k ＋1)－a k ＋1－2k ＋a k ＝2＋a k －a k ＋1， ∴2a k ＋1＝2＋a k .∴a k ＋1＝2＋a k 2＝2＋2k －12k －12＝2k ＋1－12k .所以当n ＝k ＋1时，结论成立. 由①②知猜想a n ＝2n －12n －1(n ∈N *)成立.应用反证法证明问题时，因对结论否定不正确致误例4 已知x ，y ∈R ，且x 2＋y 2＝0，求证x ，y 全为0. 错解 假设结论不成立，则x ，y 全不为0，即x ≠0且y ≠0，∴x 2＋y 2＞0，与x 2＋y 2＝0矛盾，故x ，y 全为0.错因分析 x ，y 全为0的否定应为x ，y 不全为0，即至少有一个不是0，得x 2＋y 2＞0与已知矛盾.正解 假设x ，y 不全为0，则有以下三种可能： ①x ＝0，y ≠0，得x 2＋y 2＞0，与x 2＋y 2＝0矛盾； ②x ≠0，y ＝0，得x 2＋y 2＞0, 与x 2＋y 2＝0矛盾； ③x ≠0，y ≠0，得x 2＋y 2＞0，与x 2＋y 2＝0矛盾. ∴假设是错误的， ∴x ，y 全为0.防范措施 应用反证法证明问题时，首先要否定结论，假设结论的反面成立，当结论的反面呈现多样性时，需罗列出各种可能情形，否定一定要彻底.1.下列推理正确的是( )A.把a (b ＋c )与log a (x ＋y )类比，则log a (x ＋y )＝log a x ＋log a yB.把a (b ＋c )与sin(x ＋y )类比，则sin(x ＋y )＝sin x ＋sin yC.把(ab )n 与(x ＋y )n 类比，则(x ＋y )n ＝x n ＋y nD.把(a ＋b )＋c 与(xy )z 类比，则(xy )z ＝x (yz ) 答案 D2.在△ABC 中，若sin A sin C ＞cos A cos C ，则△ABC 一定是( ) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.不确定答案 D解析 由sin A sin C ＞cos A cos C ，得cos(A ＋C )＜0，即cos B ＞0, 所以B 为锐角，但并不能确定角A 和C 的情况，故选D.3.猜想数列12×4，14×6，16×8，18×10，…的通项公式是____________________.答案 a n ＝12n (2n ＋2)(n ∈N *)解析 分析式子12×4，14×6，16×8，18×10，…的规律，可得分子均为1，分母为连续相邻的两个偶数的乘积.4.如图是由花盆摆成的图案，根据图中花盆摆放的规律，第n 个图形中的花盆数a n ＝__________.答案 3n 2－3n ＋1解析 观察知每一个图案中间一行的花盆数为1,3,5，…，其中第n 个图案中间一行的花盆数为2n －1，往上一侧花盆数依次是2n －2,2n －3，…，它们的和为n (2n －1＋n )2＝n (3n －1)2，往下一侧(含中间一行)花盆数为n (3n －1)2，所以a n ＝2·n (3n －1)2－(2n －1)＝3n 2－3n ＋1.5.函数列{f n (x )}满足f 1(x )＝x1＋x 2(x ＞0)，f n ＋1(x )＝f 1(f n (x )). (1)求f 2(x )，f 3(x )；(2)猜想f n (x )的表达式，并证明. 解 (1)f 1(x )＝x1＋x 2(x ＞0)， f 2(x )＝x 1＋x 21＋x 21＋x 2＝x1＋2x 2， f 3(x )＝x 1＋2x 21＋x 21＋2x 2＝x 1＋2x 2＋x 2＝x1＋3x 2. (2)猜想f n (x )＝x 1＋nx 2(n ∈N *)， 下面用数学归纳法证明： ①当n ＝1时，命题显然成立； ②假设当n ＝k (k ∈N *)时，f k (x )＝x1＋kx 2， 那么f k ＋1(x )＝x 1＋kx 21＋x 21＋kx 2＝x 1＋kx 2＋x 2＝x1＋(k ＋1)x 2.这就是说当n ＝k ＋1时命题也成立. 由①②可知，f n (x )＝x 1＋nx2对所有n ∈N *均成立.故f n (x )＝x 1＋nx2(n ∈N *).转化与化归的思想方法是数学最基本的思想方法，数学中一切问题的解决都离不开转化与化归，转化与化归是数学思想方法的灵魂.在本章中，合情推理与演绎推理体现的是一般与特殊的转化，数学归纳法体现的是一般与特殊、有限与无限的转化，反证法体现的是对立与统一的转化.从特殊到一般的思想方法即由特殊情况入手，通过观察、试验、归纳、猜想，探索出结论，然后再对归纳、猜想的结论进行证明.与正整数n 有关的命题，经常要用到归纳猜想，然后用数学归纳法证明，这体现了从特殊到一般的探求规律的思想.一、选择题1.古希腊，毕达哥拉斯学派把1,3,6,10,15,21,28，…这些数叫做三角形数，因为这些数(除1外)对应的点可以排成一个正三角形，如图所示，则第n 个三角形数为( )A.nB.n (n ＋1)2C.n 2－1D.n (n －1)2答案 B解析 观察图形可知，这些三角形数的特点是第n 个三角形数是在前一个三角形数的基础上加上n ，于是第n 个三角形数为1＋2＋…＋n ＝n (n ＋1)2.2.有这样一段演绎推理“有些有理数是真分数，整数是有理数，则整数是真分数”结论显然是错误的，是因为( ) A.大前提错误 B.小前提错误 C.推理形式错误 D.非以上错误 答案 C解析 演绎推理的一般模式是三段论，大前提是已知的一般性原理，小前提是研究的特殊情况，结论是得出的判断.本题中并非所有的有理数都是真分数，所以推理形式错误.3.如图，椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F (c,0)，当AB →⊥FB →时，由b 2＝ac 得其离心率为5－12，此类椭圆称为“黄金椭圆”.类比“黄金椭圆”，在“黄金双曲线”x 2a 21－y 2b 21＝1中，由b 21＝a 1c 1(c 1为黄金双曲线的半焦距)可推出“黄金双曲线”的离心率为( )A.5＋12 B.3＋12 C.5＋13D.7－12答案 A 解析 b 21＝a 1c 1，c 21－a 21＝b 21＝a 1c 1，∴c 21a 21－1＝c 1a 1，∴e 2－e －1＝0，∴e ＝5＋12(∵e ＞1).故选A.4.设函数f (x )＝2x ＋1x －1(x ＜0)，则f (x )( )A.有最大值B.有最小值C.为增函数D.为减函数答案 A解析 ∵x ＜0，∴－x ＞0，则 (－2x )＋⎝⎛⎭⎫－1x ≥2(－2x )⎝⎛⎭⎫－1x ＝22， ∴－⎣⎡⎦⎤(－2x )＋⎝⎛⎭⎫－1x ≤－2 2. ∴f (x )＝－⎣⎡⎦⎤(－2x )＋⎝⎛⎭⎫－1x －1≤－22－1. 当且仅当－2x ＝－1x ，即x ＝－22时取最大值.故选A.5.设集合S ＝{A 0，A 1，A 2，A 3}，在S 上定义运算为：A i A j ＝A k ，其中k 为i ＋j 被4除的余数，i ，j ＝0,1,2,3.则满足关系式(x x A 2＝A 0的x (x ∈S )的个数为( )A.1B.2C.3D.4 答案 B解析 当x ＝A 0时，(x xA 2＝A 2≠A 0，当x ＝A 1时，(x xA 2＝A 2A 2＝A 0，成立；当x ＝A 2时，(x xA 2＝A 0A 2＝A 2≠A 0；当x ＝A 3时，(x xA 2＝A 2A 2＝A 0，成立.故选B.6.O 是平面上一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足OP →＝OA →＋λ⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|，λ∈[0，＋∞)，则P 的轨迹一定通过△ABC 的( ) A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心 答案 B解析 如图，AB →|AB →|为AB →上的单位向量，AC →|AC →|为AC →上的单位向量，则AB →|AB →|＋AC→|AC →|的方向为∠BAC的角平分线AD 的方向.又λ∈[0，＋∞)，∴λ⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|的方向与AB →|AB →|＋AC →|AC →|的方向相同.而OP →＝OA →＋λ⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|，∴点P 在AD 上移动，∴P 的轨迹一定通过△ABC 的内心. 二、填空题7.已知p ＝a ＋1a －2(a ＞2)，q ＝2－a 2＋4a －2(a ＞2)，则p ，q 的大小关系为______.答案 p ＞q解析 p ＝a －2＋1a －2＋2≥2(a －2)·1a －2＋2＝4，－a 2＋4a －2＝2－(a －2)2＜2，∴q ＜22＝4≤p .8.α，β是两个不同的平面，m ，n 是平面α及平面β外两条不同的直线，给出下列四个论断： ①m ⊥n ；②α⊥β；③n ⊥β；④m ⊥α.以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出一个你认为正确的命题__________. 答案 ②③④⇒①(或①③④⇒②)9.若二次函数f (x )＝4x 2－2(p －2)x －2p 2－p ＋1在区间[－1,1]内至少存在一点c ，使f (c )＞0，则实数p 的取值范围是__________. 答案 ⎝⎛⎭⎫－3，32 解析 方法一(补集法)：令⎩⎪⎨⎪⎧f (－1)≤0，f (1)≤0即⎩⎪⎨⎪⎧ －2p 2＋p ＋1≤0，－2p 2－3p ＋9≤0即⎩⎨⎧ p ≤－12或p ≥1，p ≤－3或p ≥32.∴p ≤－3或p ≥32，符合题意的解是－3＜p ＜32. 方法二(直接法)：依题意，有f (－1)＞0或f (1)＞0，即2p 2－p －1＜0或2p 2＋3p －9＜0，∴－12＜p ＜1或－3＜p ＜32，∴－3＜p ＜32. 10.设函数y ＝f (x )在(0，＋∞)内有定义，对于给定的正数K ，定义函数f K (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x )，f (x )≤K ，K ，f (x )＞K ，若函数f (x )＝ln x ＋1e x，且恒有f K (x )＝f (x )，则K 的最小值为______________. 答案 1e解析 由于f (x )＝ln x ＋1e x ，所以f ′(x )＝1x －ln x －1e x ，令g (x )＝1x－ln x －1，则g ′(x )＝－x －2－1x＜0，所以g (x )在(0，＋∞)上单调递减，而g (1)＝0，所以当x ∈(0,1)时，g (x )＞0，此时，f ′(x )＞0，当x ∈(1，＋∞)时，g (x )＜0，此时f ′(x )＜0，所以f (x )在(0,1)上单调递增，f (x )在(1，＋∞)上单调递减，故f (x )max ＝f (1)＝1e ，又函数f (x )＝ln x ＋1e x，且恒有f K (x )＝f (x )，结合新定义可知，K 的最小值为1e. 三、解答题11.如图所示，设在四面体P ABC 中，∠ABC ＝90°，P A ＝PB ＝PC ，D 是AC 的中点，求证：PD ⊥平面ABC .证明 要证明PD ⊥平面ABC ，只需证明PD 与平面ABC 内的两条相交直线垂直即可，由于已知△ACP 为等腰三角形，AP ＝PC ，D 为AC 的中点，故PD ⊥AC ，从而有△P AD 为直角三角形，且AD ＝BD ，PD ＝PD ，AP ＝PB ，于是△APD ≌△BPD .因此∠PDA ＝∠PDB ＝90°，∴PD ⊥BD .又知AC 交BD 于D ，可知PD ⊥平面ABC .12.求证：不论x ，y 取何非零实数，等式1x ＋1y ＝1x ＋y总不成立.证明 假设存在非零实数x ，y 使得等式1x ＋1y ＝1x ＋y成立. 于是有y (x ＋y )＋x (x ＋y )＝xy ，即x 2＋y 2＋xy ＝0，即⎝⎛⎭⎫x ＋y 22＋34y 2＝0. 由y ≠0，得34y 2＞0. 又⎝⎛⎭⎫x ＋y 22≥0， 所以⎝⎛⎭⎫x ＋y 22＋34y 2＞0. 与x 2＋y 2＋xy ＝0矛盾，故原命题成立.13.在数列{a n }，{b n }中，a 1＝2，b 1＝4，且a n ，b n ，a n ＋1成等差数列，b n ，a n ＋1，b n ＋1成等比数列(n ∈N *).(1)求a 2，a 3，a 4及b 2，b 3，b 4，由此猜测{a n }，{b n }的通项公式，并证明你的结论；(2)求证1a 1＋b 1＋1a 2＋b 2＋…＋1a n ＋b n ＜512. (1)解 由条件得2b n ＝a n ＋a n ＋1，a 2n ＋1＝b n b n ＋1，a 1＝2，b 1＝4.由此可得a 2＝6，b 2＝9，a 3＝12，b 3＝16，a 4＝20，b 4＝25.猜测a n ＝n (n ＋1)，b n ＝(n ＋1)2.用数学归纳法证明：①当n ＝1时，由上可得结论成立.②假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时，结论成立，即a k ＝k (k ＋1)，b k ＝(k ＋1)2，那么，当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝2b k －a k ＝2(k ＋1)2－k (k ＋1)＝(k ＋1)(k ＋2)，b k ＋1＝a 2k ＋1b k＝(k ＋2)2. ∴当n ＝k ＋1时，结论也成立.由①②可知a n ＝n (n ＋1)，b n ＝(n ＋1)2对一切正整数n 都成立.(2)证明 当n ＝1时，1a 1＋b 1＝16＜512. n ≥2时，由(1)知a n ＋b n ＝(n ＋1)(2n ＋1)＞2(n ＋1)n .∴1a n ＋b n ＜12⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1， ∴1a 1＋b 1＋1a 2＋b 2＋…＋1a n ＋b n＜16＋12⎝⎛⎭⎫12－13＋13－14＋…＋1n －1n ＋1 ＝16＋12⎝⎛⎭⎫12－1n ＋1＜16＋14＝512.综上，对n ∈N *，1a 1＋b 1＋1a 2＋b 2＋…＋1a n ＋b n ＜512成立.。

高三数学百所名校好题分项解析汇编之衡水中学专版(2020版)专题10 推理与证明、算法、复数一、选择题1. 【2020届河北省衡水中学高三上学期五调考试】数学老师给出一个函数()f x ，甲、乙、丙、丁四个同学各说出了这个函数的一条性质：甲：在(]0-∞， 上函数单调递减；乙：在[)0+∞，上函数单调递增；丙：在定义域R 上函数的图象关于直线1x =对称；丁：()0f 不是函数的最小值．老师说：你们四个同学中恰好有三个人说的正确．那么，你认为____说的是错误的．2. 【2020届河北省衡水中学全国高三期末大联考】已知复数z 满足1z i i ⋅=-，则复数z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3. 【2020届河北省衡水中学全国高三期末大联考】执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（ ）A ．-2B ．-6C ．-8D ．-124. 【河北省衡水市2019届高三下学期第三次质量检测】已知i 为虚数单位，若1i(,)1ia b a b =+∈-R ，则b a =（ ） A ．1B 2C ．22D ．25. 【河北省衡水市全国普通高中2019届高三四月大联考】已知复数z 满足(2)1z i i -=+，其中i 为虚数单位，则z =（ ） A ．45B ．35C．10D．56.【河北省衡水中学2019-2020学年高三第一次联合考试】已知复数z满足z（1+i）＝1+3i，其中i是虚数单位，设z是z的共轭复数，则z的虚部是（）A．i B．1 C．﹣i D．﹣17.【河北省衡水中学2019-2020学年高三第一次联合考试】某校高一组织五个班的学生参加学农活动，每班从“农耕”“采摘““酿酒”野炊”“饲养”五项活动中选择一项进行实践，且各班的选择互不相同．已知1班不选“农耕”“采摘”；2班不选“农耕”“酿酒”；如果1班不选“酿酒”，那么4班不选“农耕”；3班既不选“野炊”，也不选“农耕”；5班选择“采摘”或“酿酒”则选择“饲养”的班级是（）A．2班B．3班C．4班D．5班8.【河北省衡水中学2018届高三毕业班模拟演练一】已知,为虚数单位，若复数为纯虚数，则的值为（）A．B．2 C．-2 D．09.【河北省衡水中学2018届高三毕业班模拟演练一】若运行如图所示的程序框图，输出的的值为127，则输入的正整数的所有可能取值的个数为（）A．8 B．3 C．2 D．110.【河北省衡水中学2018届高三第十次模拟考试数学（理)试题】在复平面内，复数2332izi-++对应的点的坐标为()2,2-，则z在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限11.【河北省衡水中学2018届高三第十次模拟考试数学（理)试题】执行如下程序框图，则输出结果为（ ）A ．20200B ．5268.5-C ．5050D ．5151-12 【河北省衡水中学2018届高三第十六次模拟考试数学（理)试题】 已知是虚数单位，则复数的实部和虚部分别是（ ） A ．，B ．，C ．， D ．，13. 【河北省衡水中学2018届高三第十六次模拟考试数学（理)试题】我国古代名著《九章算术》用“更相减损术”求两个正整数的最大公约数是一个伟大创举.这个伟大创举与我国古老的算法—“辗转相除法”实质一样。

第十章 推理证明、算法、复数考点35 推理与证明、数学归纳法两年高考真题演练1.(2014·某某)用反证法证明命题“设a ，b 为实数，则方程x 3＋ax ＋b ＝0至少有一个实根”时，要做的假设是( )A ．方程x 3＋ax ＋b ＝0没有实根B ．方程x 3＋ax ＋b ＝0至多有一个实根C ．方程x 3＋ax ＋b ＝0至多有两个实根D ．方程x 3＋ax ＋b ＝0恰好有两个实根 2．(2015·某某)观察下列各式： C 01＝40； C 03＋C 13＝41; C 05＋C 15＋C 25＝42； C 07＋C 17＋C 27＋C 37＝43； ……照此规律，当n ∈N *时，C 02n －1＋C 12n －1＋ C 22n －1＋…＋ C n －12n －1＝________．3．(2015·某某)一个二元码是由0和1组成的数字串x 1x 2…x n (n ∈N *)，其中x k (k ＝1，2，…，n )称为第k 位码元．二元码是通信中常用的码，但在通信过程中有时会发生码元错误(即码元由0变为1，或者由1变为0)．已知某种二元码x 1x 2…x 7的码元满足如下校验方程组：⎩⎪⎨⎪⎧x 4⊕x 5⊕x 6⊕x 7＝0，x 2⊕x 3⊕x 6⊕x 7＝0，x 1⊕x 3⊕x 5⊕x 7＝0，其中运算⊕定义为0⊕0＝0，0⊕1＝1，1⊕0＝1，1⊕1＝0.现已知一个这种二元码在通信过程中仅在第k 位发生码元错误后变成了1101101，那么利用上述校验方程组可判定k 等于________．4．(2014·某某)如图，在等腰直角三角形ABC 中，斜边BC ＝22，过点A 作BC 的垂线，垂足为A 1；过点A 1作AC 的垂线，垂足为A 2；过点A 2作A 1C 的垂线，垂足为A 3；…，依此类推，设BA ＝a 1，AA 1＝a 2，A 1A 2＝a 3，…，A 5A 6＝a 7，则a 7＝________．5．(2014·某某)若集合{a ，b ，c ，d }＝{1，2，3，4}，且下列四个关系：①a ＝1；②b ≠1；③c ＝2；④d ≠4有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组(a ，b ，c ，d )的个数是________．6多面体 面数(F ) 顶点数(V )棱数(E ) 三棱柱 5 6 9 五棱锥 6 6 10 立方体6 812猜想一般凸多面体中F ，V ，E 所满足的等式是________．7．(2014·某某)设a 1＝1，a n ＋1＝a 2n －2a n ＋2＋b (n ∈N *)． (1)若b ＝1，求a 2，a 3及数列{a n }的通项公式；(2)若b ＝－1，问：是否存在实数c 使得a 2n ＜c ＜a 2n ＋1对所有n ∈N *成立？证明你的结论．考点35 推理与证明、数学归纳法一年模拟试题精练1．(2015·某某师大附中模拟)观察下列等式：13＋23＝1，73＋83＋103＋113＝12，163＋173＋193＋203＋223＋233＝39，…，则当n ＜m 且m ，n ∈N 时，3n ＋13＋3n ＋23＋…＋3m －23＋3m －13＝________．(最后结果用m ，n 表示)2．(2015·某某黄冈模拟)对于集合N ＝{1，2，3，…，n }和它的每一个非空子集，定义一种求和称之为“交替和”如下：如集合{1，2，3，4，5}的交替和是5－4＋3－2＋1＝3，集合{3}的交替和为3. 当集合N 中的n ＝2时，集合N ＝{1，2}的所有非空子集为{1}，{2}，{1，2}，则它的“交替和”的总和S 2＝1＋2＋(2－1)＝4，请你尝试对n ＝3，n ＝4的情况，计算它的“交替和”的总和S 3, S 4，并根据计算结果猜测集合N ＝{1，2，3，…，n }的每一个非空子集的“交替和”的总和S n ＝________ (不必给出证明)．3．(2015·某某威海模拟)对大于1的自然数m 的三次幂可用奇数进行以下方式的“分裂”23⎩⎪⎨⎪⎧35，33⎩⎪⎨⎪⎧7911，43⎩⎪⎨⎪⎧13151719，…仿此，若m 3的“分裂”数中有一个是2 015，则m 的值为________．4．(2015·某某七市模拟)将长度为l (l ≥4，l ∈N *)的线段分成n (n ≥3)段，每段长度均为正整数，并要求这n 段中的任意三段都不能构成三角形．例如，当l ＝4时，只可以分为长度分别为1，1，2的三段，此时n 的最大值为3；当l ＝7时，可以分为长度分别为1，2，4的三段或长度分别为1，1，1，3的四段，此时n 的最大值为4.则：(1)当l ＝12时，n 的最大值为________； (2)当l ＝100时，n 的最大值为________．5．(2015·某某模拟)已知n ，k ∈N * ，且k ≤n ，k C k n ＝n C k －1n －1，则可推出C 1n ＋2C 2n ＋3C 3n ＋…＋k C k n ＋…＋n C n n ＝n (C 0n －1＋C 1n －1＋…C k －1n －1＋…C n －1n －1)＝n ·2n －1，由此，可推出C 1n ＋22C 2n ＋32C 3n ＋…＋k 2C k n ＋…＋n 2C nn ＝________.6．(2015·某某日照模拟)已知2＋23＝223，3＋38＝338，4＋415＝4415，…，若7＋a b ＝7ab，(a 、b 均为正实数)，则类比以上等式，可推测a 、b 的值，进而可得a ＋b ＝________．7．(2015·某某某某模拟)已知函数f 1(x )＝2x ＋1，f n ＋1(x )＝f 1(f n (x ))，且a n ＝f n （0）－1f n （0）＋2.(1)求证：{a n }为等比数列，并求其通项公式； (2)设b n ＝（－1）n －12a n ，g (n )＝1＋12＋13＋…＋1n (n ∈N *)，求证：g (b n )≥n ＋22.考点36 算法与程序框图两年高考真题演练1.(2015·某某)阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的结果为( )A ．2B ．1C ．0D ．－12．(2015·)执行如图所示的程序框图，输出的结果为( )A ．(－2，2)B ．(－4，0)C ．(－4，－4)D ．(0，－8) 3．(2015·某某)执行如图所示的程序框图，若输出k 的值为8，则判断框内可填入的条件是( ) A ．s ≤34B ．s ≤56C ．s ≤1112D ．s ≤25244．(2015·新课标全国Ⅱ)下边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入的a ，b 分别为14，18，则输出的a ＝( )A ．0B ．2C ．4D ．145．(2014·某某)执行如图所示的程序框图，若输出k 的值为6，则判断框内可填入的条件是( )A ．s >12B ．s >35C ．s >710D ．s >456．(2014·某某)执行如图的程序框图，如果输入的x ，y ∈R ，那么输出的S 的最大值为( )A ．0B ．1C ．2D ．3考点36 算法与程序框图一年模拟试题精练1．(2015·某某某某模拟)执行如图所示的程序框图，若输入n的值为22，则输出的S 的值为( )A．232 B．211 C．210 D．1912．(2015·乌鲁木齐模拟)执行如图程序在平面直角坐标系上打印一系列点，则打出的点在圆x2＋y2＝10内的个数是( )A．2 B．3 C．4 D．53．(2015·某某模拟)在区间[－2，3]上随机选取一个数M，不断执行如图所示的程序框图，且输入x的值为1，然后输出n的值为N，则M≤N－2的概率为( )A.15B.25C.35D.454．(2015·某某一模)已知如图1所示是某学生的14次数学考试成绩的茎叶图，第1次到第14次的考试成绩依次记为A 1，A 2，…A 14，图2是统计茎叶图中成绩在一定X 围内考试次数的一个程序框图，则输出的n 的值是( )A ．8B ．9C ．10D ．115．(2015·某某一模)如图，给出的是计算12＋14＋16＋…＋12 016的值的程序框图，其中判断框内应填入的是( )A ．i ≤2 021B ．i ≤2 019C ．i ≤2 017D ．i ≤2 0156．(2015·某某枣庄模拟)某算法的程序框图如图所示，如果输出的结果为26，则判断框内的条件应为( )A ．k ≤5?B ．k ＞4?C ．k ＞3?D ．k ≤4?考点37 复 数 两年高考真题演练1.(2015·某某)设i 是虚数单位，则复数2i1－i 在复平面内所对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．(2015·某某)若复数z ＝i(3－2i)(i 是虚数单位)，则z ＝( ) A ．3－2i B ．3＋2i C ．2＋3i D ．2－3i3．(2015·新课标全国Ⅱ)若a 为实数，且(2＋a i)(a －2i)＝－4i ，则a ＝( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．24．(2015·某某)设复数z ＝(x －1)＋y i(x ，y ∈R )，若|z |≤1，则y ≥x 的概率为( ) A.34＋12π B.14－12π C.12－1π D.12＋1π5．(2015·新课标全国Ⅰ)设复数z 满足1＋z 1－z ＝i ，则|z |＝( )A ．1 B. 2 C. 3 D ．26．(2015·某某)设i 是虚数单位，则复数i 3－2i＝( )A ．－iB ．－3iC ．iD ．3i7．(2015·)复数i(2－i)＝( ) A ．1＋2i B ．1－2i C ．－1＋2i D ．－1－2i8．(2015·某某)若集合A ＝{i ，i 2，i 3，i 4}(i 是虚数单位)，B ＝{1，－1}，则A ∩B 等于( )A ．{－1}B ．{1}C ．{1，－1}D ．∅9．(2015·某某)已知（1－i ）2z＝1＋i(i 为虚数单位)，则复数z ＝( )A ．1＋iB ．1－iC ．－1＋iD ．－1－i10．(2015·某某)若复数z 满足z1－i ＝i ，其中i 为虚数单位，则z ＝( )A ．1－iB ．1＋iC ．－1－iD ．－1＋i11．(2014·某某)复平面内表示复数i(1－2i)的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限12．(2014·某某)已知i 是虚数单位，a ，b ∈R ，则“a ＝b ＝1”是“(a ＋b i)2＝2i ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件13．(2014·某某)已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位，若a －i 与2＋b i 互为共轭复数，则(a ＋b i)2＝( )A ．5－4iB ．5＋4iC ．3－4iD ．3＋4i 14．(2015·某某)设复数a ＋b i(a ，b ∈R )的模为3，则(a ＋b i)(a －b i)＝________． 15．(2015·某某)i 是虚数单位，若复数(1－2i)(a ＋i)是纯虚数，则实数a 的值为________．1．(2015·某某江南十校模拟)若复数6＋a i3－i (其中a ∈R ，i 为虚数单位)的实部与虚部相等，则a ＝( )A ．3B ．6C ．9D ．122．(2015·某某某某模拟)已知i 为虚数单位，复数z ＝(1＋2i)i 对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限3．(2015·万州区模拟)设复数z ＝a ＋i1－i(a ∈R ，i 为虚数单位)，若z 为纯虚数，则a ＝( )A ．－1B ．0C ．1D ．24．(2015·乌鲁木齐模拟)在复平面内，复数1＋2i1－i对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 5．(2015·某某模拟)已知复数z 满足：z i ＝2＋i(i 是虚数单位)，则z 的虚部为( ) A ．2i B ．－2i C ．2 D ．－26．(2015·某某一模)已知i 为虚数单位，复数z 满足i z ＝1＋i ，则z ＝( ) A ．1＋i B ．1－i C ．－1＋i D ．－1－i7．(2015·某某一模)设i 为虚数单位，复数2i1＋i等于( )A ．－1＋iB ．－1－iC ．1－iD ．1＋i8．(2015·某某一模)已知复数z 1＝2＋i ，z 2＝1－2i ，若z ＝z 1z 2，则z －＝( )A.45＋iB.45－i C ．i D ．－i 9．(2015·德阳模拟)复数2i 2－i ＝( )A ．－25＋45i B.25－45iC.25＋45i D ．－25－45i 10．(2015·某某枣庄模拟)i 是虚数单位，若z ＝1i －1，则|z |＝( )A.12B.22C. 2 D ．2 11．(2015·某某某某模拟)已知i 是虚数单位， 若⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋i 1＋m i 2＜0(m ∈R )，则m 的值为( )A.12 B ．－2 C ．2 D ．－1212．(2015·某某某某模拟)设a ∈R ，i 是虚数单位，则“a ＝1”是“a ＋ia －i为纯虚数”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件13．(2015·某某模拟)复数z ＝m －2i1＋2i(m ∈R ，i 为虚数单位)在复平面上对应的点不可能位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限14．(2015·某某河西五地模拟)下面是关于复数z ＝21－i的四个命题： p 1：|z |＝2, p 2：z 2＝2i ，p 3：z 的共轭复数为－1＋i, p 4：z 的虚部为1.其中真命题为( ) A ．p 2，p 3 B ．p 1，p 2 C ．p 2，p 4 D ．p 3，p 415．(2015·某某马某某模拟)若复数z ＝(a 2－4)＋(a ＋2)i 为纯虚数，则a ＋i 2 0151＋2i的值为( )A ．1B ．－1C ．iD ．－i第十章 推理证明、算法、复数考点35 推理与证明、数学归纳法 【两年高考真题演练】1．A [因为至少有一个的反面为一个也没有，所以要做的假设是方程x 3＋ax ＋b ＝0没有实根．]2．4n －1[观察等式，第1个等式右边为40＝41－1，第2个等式右边为41＝42－1，第3个等式右边为42＝43－1， 第4个等式右边为43＝44－1，所以第n 个等式右边为4n －1.]3．5 [(ⅰ)x 4⊕x 5⊕x 6⊕x 7＝1⊕1⊕0⊕1＝1，(ⅱ)x 2⊕x 3⊕x 6⊕x 7＝1⊕0⊕0⊕1＝0；(ⅲ)x 1⊕x 3⊕x 5⊕x 7＝1⊕0⊕1⊕1＝1.由(ⅰ)(ⅲ)知x 5，x 7有一个错误，(ⅱ)中没有错误，∴x 5错误，故k 等于5.]4.14 [由题意知数列{a n }是以首项a 1＝2，公比q ＝22的等比数列，∴a 7＝a 1·q 6＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫226＝14.] 5．6 [根据题意可分四种情况：(1)若①正确，则a ＝1，b ＝1，c ≠2，d ＝4，符合条件的有序数组有0个；(2)若②正确，则a ≠1，b ≠1，c ≠2，d ＝4，符合条件的有序数组为(2，3，1，4)和(3，2，1，4)；(3)若③正确，则a ≠1，b ＝1，c ＝2，d ＝4，符合条件的有序数组为(3，1，2，4)； (4)若④正确，则a ≠1，b ＝1，c ≠2，d ≠4，符合条件的有序数组为(2，1，4，3)，(4，1，3，2)，(3，1，4，2)．所以共有6个．故答案为6.]6．F ＋V －E ＝2 [因为5＋6－9＝2，6＋6－10＝2，6＋8－12＝2，故可猜想F ＋V －E ＝2.]7. 解 (1)法一 a 2＝2，a 3＝2＋1. 再由题设条件知(a n ＋1－1)2＝(a n －1)2＋1. 从而{(a n －1)2}是首项为0公差为1的等差数列， 故(a n －1)2＝n －1，即a n ＝n －1＋1 (n ∈N *)．法二 a 2＝2，a 3＝2＋1.可写为a 1＝1－1＋1，a 2＝2－1＋1，a 3＝3－1＋1. 因此猜想a n ＝n －1＋1. 下面用数学归纳法证明上式： 当n ＝1时结论显然成立．假设n ＝k 时结论成立，即a k ＝k －1＋1，则a k ＋1＝（a k －1）2＋1＋1＝（k －1）＋1＋1＝（k ＋1）－1＋1.这就是说，当n ＝k ＋1时结论成立． 所以a n ＝n －1＋1(n ∈N *)． (2)设f (x )＝（x －1）2＋1－1， 则a n ＋1＝f (a n )．令c ＝f (c )，即c ＝（c －1）2＋1－1，解得c ＝14.下用数学归纳法证明加强命题a 2n ＜c ＜a 2n ＋1＜1. 当n ＝1时，a 2＝f (1)＝0，a 3＝f (0)＝2－1， 所以a 2＜14＜a 3＜1，结论成立．假设n ＝k 时结论成立，即a 2k ＜c ＜a 2k ＋1＜1. 易知f (x )在(－∞，1]上为减函数， 从而c ＝f (c )＞f (a 2k ＋1)＞f (1)＝a 2， 即1＞c ＞a 2k ＋2＞a 2.再由f (x )在(－∞，1]上为减函数得c ＝f (c )＜f (a 2k ＋2)＜f (a 2)＝a 3＜1. 故c ＜a 2k ＋3＜1，因此a 2(k ＋1)＜c ＜a 2(k ＋1)＋1＜1. 这就是说，当n ＝k ＋1时结论成立．综上，符合条件的c 存在，其中一个值为c ＝14.【一年模拟试题精练】1. m 2－n 2 [当n ＝0，m ＝1时，为第一个式子13＋23＝1此时1＝12－0＝m 2－n 2，当n ＝2，m ＝4时，为第二个式子73＋83＋103＋113＝12；此时12＝42－22＝m 2－n 2，当n ＝5，m ＝8时，为第三个式子163＋173＋193＋203＋223＋233＝39此时39＝82－52＝m 2－n 2，由归纳推理可知等式：3n ＋13＋3n ＋23＋…＋3m －23＋3m －13＝m 2－n 2.故答案为：m 2－n 2]2．n ·2n －1[S 1＝1，S 2＝4，当n ＝3时，S 3＝1＋2＋3＋(2－1)＋(3－1)＋(3－2)＋(3－2＋1)＝12，S 4＝1＋2＋3＋4＋(2－1)＋(3－1)＋(4－1)＋(3－2)＋(4－2)＋(4－3)＋(3－2＋1)＋(4－2＋1)＋(4－3＋1)＋(4－3＋2)＋(4－3＋2－1)＝32，∴根据前4项猜测集合N ＝{1，2，3，…，n }的每一个非空子集的“交替和”的总和S n＝n ·2n －1，故答案为：n ·2n －1.]3．45 [由题意，从23到m 3，正好用去从3开始的连续奇数共2＋3＋4＋…＋m ＝（m ＋2）（m －1）2个，2 015是从3开始的第1 007个奇数，当m ＝44时，从23到443，用去从3开始的连续奇数共46×432＝989个． 当m ＝45时，从23到453，用去从3开始的连续奇数共47×442＝1 034个．] 4．(1)5 (2)9 [当l ＝12时，为使n 最大，先考虑截下的线段最短，第1段和第2段长度为1、1，由于任意三段都不能构成三角形，∴第3段的长度为1＋1＝2，第4段和第5段长度为3、5，恰好分成了5段；(2)当l ＝100时，依次截下的长度为1、1、2、3、5、8、13、21、34的线段，长度和为88，还余下长为12的线段，因此最后一条线段长度取为34＋12＝46，故n 的最大值是9.]5．n (n ＋1)·2n －2[C 1n ＋22C 2n ＋32C 3n ＋…＋k 2C k n ＋…＋n 2C n n ＝n (C 0n －1＋2C 1n －1＋…＋k C k －1n －1＋…＋n C n －1n －1)＝n [(C 0n －1＋C 1n －1＋…＋C k －1n －1＋…＋C n －1n －1)＋(C 1n －1＋2C 2n －1＋…＋(k －1)C k －1n －1＋…＋(n －1)C n －1n －1)]．]6．55 [观察下列等式2＋23＝223，3＋38＝338，4＋415＝4415，…， 照此规律，第7个等式中：a ＝7，b ＝72－1＝48，∴a ＋b ＝55，故答案为：55.] 7．(1)证明 由题设知a 1＝f 1（0）－1f 1（0）＋2＝14，∴a n ＋1a n ＝f n ＋1（0）－1f n ＋1（0）＋2f n （0）－1f n （0）＋2＝2f n （0）＋1－12f n （0）＋1＋2f n （0）－1f n （0）＋2＝1－f n （0）2f n （0）＋4f n （0）－1f n （0）＋2＝－12，∴数列{a n }为等比数列，项通次公式为a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n ＋1. (2)解 由(1)知b n ＝2n，g (b n )＝1＋12＋13＋…＋12n ，只要证：1＋12＋13＋…＋12n ≥n ＋22，下面用数学归纳证明：n ＝1时，1＋12＝1＋22，结论成立，假设n ＝k 时成立，即1＋12＋13＋…＋12k ＞k ＋22，那么：n ＝k ＋1时，1＋12＋13＋…＋12k ＋12k ＋1＋…＋12k ＋1＞k ＋22＋12k ＋1＋…＋12k ＋1＞k ＋22＋12k ＋1＋12k ＋1＋…＋12k ＋1＞k ＋22＋12k ＋12k ＝k ＋32，即n ＝k ＋1时，结论也成立， 所以n ∈N ，结论成立．考点36 算法与程序框图【两年高考真题演练】1．C [当i ＝1，S ＝0进入循环体运算时，S ＝0，i ＝2；S ＝0＋(－1)＝－1，i ＝3；S＝－1＋0＝－1，i ＝4；∴S ＝－1＋1＝0，i ＝5；S ＝0＋0＝0，i ＝6＞5，故选C.]2．B [第一次循环：S ＝1－1＝0，t ＝1＋1＝2；x ＝0，y ＝2，k ＝1； 第二次循环：S ＝0－2＝－2，t ＝0＋2＝2，x ＝－2，y ＝2，k ＝2；第三次循环：S ＝－2－2＝－4，t ＝－2＋2＝0，x ＝－4，y ＝0，k ＝3.输出(－4，0)．] 3．C [由程序框图，k 的值依次为0，2，4，6，8，因此S ＝12＋14＋16＝1112(此时k ＝6)还必须计算一次，因此可填S ≤1112，选C.]4．B [由题知，若输入a ＝14，b ＝18，则第一次执行循环结构时，由a ＜b 知，a ＝14，b ＝b －a ＝18－14＝4； 第二次执行循环结构时，由a ＞b 知，a ＝a －b ＝14－4＝10，b ＝4； 第三次执行循环结构时，由a ＞b 知，a ＝a －b ＝10－4＝6，b ＝4； 第四次执行循环结构时，由a ＞b 知，a ＝a －b ＝6－4＝2，b ＝4； 第五次执行循环结构时，由a ＜b 知，a ＝2，b ＝b －a ＝4－2＝2； 第六次执行循环结构时，由a ＝b 知，输出a ＝2，结束，故选B.]5．C [程序框图的执行过程如下：s ＝1，k ＝9，s ＝910，k ＝8；s ＝910×89＝810，k ＝7；s ＝810×78＝710，k ＝6，循环结束．故可填入的条件为s >710.故选C.]6．C [先画出x ，y 满足的约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x ＋y ≤1，对应的可行域如图中的阴影部分：移动直线l 0：y ＝－2x .当直线经过点A (1，0)时，y ＝－2x ＋S 中截距S 最大，此时S max ＝2×1＋0＝2. 再与x ≥0，y ≥0，x ＋y ≤1不成立时S ＝1进行比较，可得S max ＝2.] 【一年模拟试题精练】1．B [由循环程序框图可转化为数列{S n }为1，2，4，…并求S 21，观察规律得S 2－S 1＝1，S 3－S 2＝2，S 4－S 3＝3，……，S 21－S 20＝20，把等式相加：S 21－S 1＝1＋2＋…＋20＝20×1＋202＝210，所以S 21＝211.故选B.]2．B [根据流程图所示的顺序，该程序的作用是打印如下点：(1，1)、⎝ ⎛⎭⎪⎫2，12、⎝ ⎛⎭⎪⎫3，13、⎝ ⎛⎭⎪⎫4，14、⎝ ⎛⎭⎪⎫5，15、⎝ ⎛⎭⎪⎫6，16 其中(1，1)、⎝ ⎛⎭⎪⎫2，12、⎝ ⎛⎭⎪⎫3，13满足x 2＋y 2＜10，即在圆x 2＋y 2＝10内，故打印的点在圆x 2＋y 2＝10内的共有3个，故选：B.]3．C [ 循环前输入的x 的值为1， 第1次循环，x 2－4x ＋3＝0≤0，满足判断框条件，x ＝2，n ＝1，x 2－4x ＋3＝－1≤0，满足判断框条件，x ＝3，n ＝2，x 2－4x ＋3＝0≤0，满足判断框条件，x ＝4，n ＝3，x 2－4x ＋3＝3＞0，不满足判断框条件，输出n ：N ＝3.在区间[－2，3]上随机选取一个数M ，长度为5，M ≤1，长度为3，所以所求概率为35，故选C.]4．C [由程序框图知：算法的功能是计算学生在14次数学考试成绩中，成绩大于等于90的次数，由茎叶图得，在14次测试中，成绩大于等于90的有：93、99、98、98、94、91、95、103、101、114共10次，∴输出n 的值为10.故选C.] 5．C [根据流程图，可知第1次循环：i ＝2，S ＝12；第2次循环：i ＝4，S ＝12＋14；第3次循环：i ＝6，S ＝12＋14＋16…，第1 008次循环：i ＝2 016， S ＝12＋14＋16＋…＋12 016； 此时，设置条件退出循环，输出S 的值．故判断框内可填入i ≤2 016.对比选项，故选C.]6．C[分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算S 值并输出，模拟程序的运行过程，即可得到答案，程序在运行过程中，各变量的值变化如下所示：S 条件？ k循环前 0 / 1 第1圈 1 否 2 第2圈 4 否 3 第3圈 11 否 4 第4圈 26 是得，当k ＝4时，S ＝26，此时应该结束循环体并输出S 的值为26，所以判断框应该填入的条件为：k ＞3？，故选C.]考点37 复 数【两年高考真题演练】1．B [2i 1－i ＝2i （1＋i ）（1－i ）（1＋i ）＝2i （1＋i ）2＝i －1＝－1＋i ，其对应点坐标为(－1，1)，位于第二象限，故选B.]2．D [因为z ＝i(3－2i)＝2＋3i ，所以z ＝2－3i ，故选D.]3．B [因为a 为实数，且(2＋a i)(a －2i)＝4a ＋(a 2－4)i ＝－4i ，得4a ＝0且a 2－4＝－4，解得a ＝0，故选B.]4．B [由|z|≤1可得(x －1)2＋y 2≤1，表示以(1，0)为圆心，半径为1的圆及其内部，满足y ≥x 的部分为如图阴影所示，由几何概型概率公式可得所求概率为： P ＝14π×12－12×12π×12＝π4－12π ＝14－12π.] 5．A [由1＋z 1－z ＝i ，得1＋z ＝i －z i ，z ＝－1＋i1＋i ＝i ，∴|z |＝|i|＝1.]6．C [i 3－2i ＝－i －2i i 2＝－i ＋2i ＝i.选C.]7．A [i(2－i)＝2i －i 2＝1＋2i.]8．C [集合A ＝{i －1，1，－i}，B ＝{1，－1}，A ∩B ＝{1，－1}，故选C.]9．D [由（1－i ）2z ＝1＋i ，知z ＝（1－i ）21＋i ＝－2i1＋i ＝－1－i ，故选D.]10．A [∵z1－i＝i ，∴z ＝i(1－i)＝i －i 2＝1＋i ，∴z ＝1－i.] 11．A [复数i(1－2i)＝2＋i ，在复平面内对应的点的坐标是(2，1)，位于第一象限．] 12．A [当a ＝b ＝1时，(a ＋b i)2＝(1＋i)2＝2i ，反之，若(a ＋b i)2＝2i ，则有a ＝b ＝－1或a ＝b ＝1，因此选A.]13．D [根据已知得a ＝2，b ＝1，所以(a ＋b i)2＝(2＋i)2＝3＋4i.]14．3 [由|a ＋b i|＝3得a 2＋b 2＝3，即a 2＋b 2＝3，所以(a ＋b i)(a －b i)＝a 2＋b 2＝3.]15．－2 [(1－2i)(a ＋i)＝a ＋2＋(1－2a )i ，由已知，得a ＋2＝0，1－2a ≠0，∴a ＝－2.]【一年模拟试题精练】 1．A [z ＝（6＋a i ）（3＋i ）（3－i ）（3＋i ）＝18－a ＋（3a ＋6）i10.由条件得，18－a ＝3a ＋6，∴a＝3.]2．B [因为z ＝(1＋2i)i ＝i ＋2i 2＝－2＋i ，所以z 对应的点的坐标是(－2，1)，所以在第二象限，故选B.]3．C [z ＝a ＋i 1－i ＝（a ＋i ）（1＋i ）（1－i ）（1＋i ）＝a －1＋（1＋a ）i 2＝a －12＋1＋a2i ，若z 为纯虚数，则a －12＝0且1＋a2≠0，解a ＝1，故选：C.] 4．B [∵复数 1＋2i 1－i ＝（1＋2i ）（1＋i ）（1＋i ）（1－i ）＝－1＋3i 2＝－12＋32i ，∴复数对应的点的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，∴复数1＋2i 1－i 在复平面内对应的点位于第二象限，故选B.]5．D [由z i ＝2＋i ，得z ＝2＋i i ＝－i （2＋i ）－i2＝1－2i ，∴z 的虚部是－2.] 6．A [∵i z ＝1＋i ，∴－i ·i z ＝－i(1＋i)，化为z ＝1－i ，∴z －＝1＋i.] 7．D [2i 1＋i ＝2i （1－i ）（1＋i ）（1－i ）＝2＋2i2＝1＋i.]8．D [∵复数z 1＝2＋i ，z 2＝1－2i ，∴z ＝z 1z 2＝2＋i 1－2i ＝（2＋i ）（1＋2i ）（1－2i ）（1＋2i ）＝5i5＝i ，则z ＝－i.]9．A [2i 2－i ＝2i （2＋i ）（2－i ）（2＋i ）＝－2＋4i 5＝－25＋45i.]10．B [由题根据所给复数化简求解即可；∵z ＝1i －1＝1＋i －2，∴|z |＝22.]11．B [由⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋i 1＋m i 2＜0，知2＋i 1＋m i 为纯虚数，∴2＋i 1＋m i ＝2＋m ＋（1－2m ）i 1＋m 2为纯虚数，∴m ＝－2，故选B.]12．A [∵a ＋i a －i ＝a 2－1＋2a i a 2＋1，∴“a ＋ia －i为纯虚数”⇔“a ＝±1”， 故“a ＝1”是“a ＋ia －i为纯虚数”的充分不必要条件．] 13．A [由已知z ＝m －2i 1＋2i ＝（m －2i ）（1－2i ）（1＋2i ）（1－2i ）＝15[(m －4)－2(m ＋1)i]； 在复平面对应点如果在第一象限，则⎩⎪⎨⎪⎧m －4＞0，m ＋1＜0而此不等式组无解．即在复平面上对应的点不可能位于第一象限．故选A.]14．C [p 1：|z |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪21－i ＝2，故命题为假；p 2：z 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫21－i 2＝41－2i －1＝2i ，故命题为真； z ＝21－i＝1＋i ，∴z 的共轭复数为1－i ，故命题p 3为假； ∵z ＝21－i ＝1＋i ，∴p 4：z 的虚部为1，故命题为真．故真命题为p 2，p 4故选C.]15．D [∵z ＝(a 2－4)＋(a ＋2)i 为纯虚数，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2－4＝0，a ＋2≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2或a ＝－2，a ≠－2，解得a ＝2，则a ＋i 2 0151＋2i ＝2＋i 31＋2i ＝2－i 1＋2i ＝－i.]。

专题 算法、复数、推理与证明考点1 算法1．（2020全国Ⅰ文9）执行下面的程序框图，则输出的n =（ ）A ．17B ．19C ．21D ．23 【答案】C【解析】依据程序框图的算法功能可知，输出的n 是满足135100n ++++>的最小正奇数，()()211112135110024n n n n -⎛⎫+⨯+⎪⎝⎭++++==+>，解得19n >，∴输出的21n =，故选C ．2．（2020全国Ⅱ文7）执行右图的程序框图，若输入的0,0k a ==，则输出的k 为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】C【解析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出的k 值，模拟程序的运行过程：0,0k a ==，第1次循环，2011a =⨯+=,011k =+=，210>为否；第2次循环，2113a =⨯+=,112k =+=，310>为否； 第3次循环，2317a =⨯+=,213k =+=，710>为否；第4次循环，27115a =⨯+=,314k =+=，1510>为是，退出循环，输出4k =．故选C ． 3．（2019天津文理】阅读下边的程序框图，运行相应的程序，输出S 的值为A ．5B ．8C ．24D ．29【答案】B【分析】根据程序框图，逐步写出运算结果即可．【解析】1,2S i ==；11,1225,3j S i ==+⨯==；8,4S i ==，结束循环，输出8S =．故选B ．4．（2019北京文理】执行如图所示的程序框图，输出的s 值为A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B 【解析】初始：1s =，1k =，运行第一次，2212312s ⨯==⨯-，2k =，运行第二次，2222322s ⨯==⨯-，3k =，运行第三次，2222322s ⨯==⨯-，结束循环，输出2s =，故选B ．5．（2019全国Ⅰ文理】如图是求112122++的程序框图，图中空白框中应填入（ ）A ．12A A =+B ．12A A=+C ．112A A=+D ．112A A=+【答案】A【解析】初始：1,122A k ==≤，∵第一次应该计算1122+=12A +，1k k =+=2； 执行第2次，22k =≤，∵第二次应该计算112122++=12A +，1k k =+=3， 结束循环，故循环体为12A A=+，故选A ．【秒杀速解】认真观察计算式子的结构特点，可知循环体为12A A=+．6．（2019全国Ⅲ文理】执行下边的程序框图，如果输入的ε为0．01，则输出s 的值等于A ．4122- B ．5122-C ．6122-D ．7122-【答案】C【解析】输入的ε为0.01，11,01,0.01?2x s x ==+=<不满足条件； 1101,0.01?24s x =++=<不满足条件；⋅⋅⋅611101,0.00781250.01?22128S x =++++==<满足条件，结束循环；输出676111112(1)22222S =+++=⨯-=-，故选C ．7．(2018北京文理)执行如图所示的程序框图，输出的s 值为A ．12B ．56 C ．76D ．712【答案】B 【解析】运行程序框图，k =l ，s =1；1111(1)22s =+-⨯=，2k =；2115(1)236s =+-⨯=，k =3；满足条件，跳出循环，输出的56s =，故选B ． 8．(2018全国Ⅱ文理)为计算11111123499100=-+-++-…S ，设计了如图的程序框图，则在空白框中应填入A ．1=+i iB ．2=+i iC ．3=+i iD ．4=+i i【答案】B 【解析】由程序框图的算法功能知执行框1=+N N i计算的是连续奇数的倒数和，而执行框11=++T T i 计算的是连续偶数的倒数和，∴在空白执行框中应填入的命令是2=+i i ，故选B ． 9．(2018天津文理)阅读如图的程序框图，运行相应的程序，若输入N 的值为20，则输出T 的值为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B 【解析】20N =，2i =，0T =，20102N i ==，是整数；011T =+=，213i =+=，35<，203N i =，不是整数；314i =+=，45<，2054N i ==，是整数；112T =+=，415i =+=，结束循环，输出的2T =，故选B ．10．（2017新课标Ⅰ文理）下面程序框图是为了求出满足321000n n ->的最小偶数n和A ．1000A >和1n n =+B ．1000A >和2n n =+C ．1000A ≤和1n n =+D ．1000A ≤和2n n =+【答案】D 【解析】由题意选择321000n n ->，则判定框内填1000A ≤，由∵选择偶数，∴矩形框内填2n n =+，故选D ．11．（2017新课标Ⅱ文理）执行右面的程序框图，如果输入的1a =-，则输出的S = A ．2 B ．3 C ．4 D ．5【答案】B 【解析】初始输值为1a =-，1k =，0S =．则第一次：011S =-=-，1a =，2k =；第二次：121S =-+=，1a =-，3k =；第三次：132S =-=-，1a =，4k =；第四次：242S =-+=，1a =-，5k =；第五次：253S =-=-，1a =，6k =；第六次：363S =-+=，1a =-，7k =；循环结束，输出3S =．故选B ．12．（2017天津文理）阅读如图的程序框图，运行相应的程序，若输入N 的值为19，则输出N 的值为A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】C 【解析】阅读流程图可得，程序执行过程如下：首先初始化数值为19N =，第一次循环：118N N =-=，不满足3N ≤；第二次循环：63N N ==，不满足3N ≤；第三次循环：23NN ==，满足3N ≤；此时跳出循环体，输出2N =，故选C ．13．（2017新课标Ⅲ文理）执行下面的程序框图，为使输出S 的值小于91，则输入的正整数N 的最小值为 A ．5 B ．4 C ．3 D ．2【答案】D 【解析】若2N =，第一次循环，12≤成立，100S =，10M =-，22i =≤成立，第二次循环，此时90S =，1M =，32i =≤不成立，∴输出9091S =<成立，∴输入的正整数N 的最小值是2，故选D ．14．（2017山东文）执行如图的程序框图，当输入的x 的值为4时，输出的y 的值为2，则空白判断框中的条件可能为【答案】B 【解析】输入x 的值为4时，由226,log 42x +==可知4x =不满足判断框中的条件，只能是4x >，故选B ．15．（2017山东理）执行两次如图所示的程序框图，若第一次输入的x 的值为7，第二次输入的x 的值为9，则第一次、第二次输出的a 的值分别为A ．0，0B ．1，1C ．0，1D ．1，0【答案】D 【解析】第一次7x =，227<，3b =，237>，1a =；第二次9x =，229<，3b =，239=，0a =．选D ．16．（2017北京文理）执行如图所示的程序框图，输出的s 值为 A ．2 B ．32 C ．53D ．85【答案】C 【解析】0k =时，03<成立，第一次进入循环1k =，2s =，13<成立；第二次进入循环，2k =，32s =，23<成立；第三次进入循环3k =，53s =，33<否，输出53s =，故选C ． 17．（2016全国I 文理)执行如图的程序框图，如果输入的011x y n ===，，，则输出x ，y 的值满足 A ．2y x = B ．3y x = C ．4y x = D ．5y x =【答案】C 【解析】运行程序，第1次循环得0,1,2x y n ===，第2次循环得1,2,32x y n ===，第3次循环得3,62x y ==，此时2236x y +，输出,x y ，满足C 选项．18．（2016全国II 文理）中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，如图是实现该算法的程序框图．执行该程序框图，若输入的2x =，2n =，依次输入的a 为2，2，5，则输出的s = A ．7 B ．12 C ．17 D ．34【答案】C 【解析】由程序框图知，第一次循环：2,2,2,0222,1x n a s k ====⨯+==； 第二次循环：2,2226,2a s k ==⨯+==；第三次循环：5,62517,3a s k ==⨯+==． 结束循环，输出s 的值为17，故选C ．19．（2016全国III 文理）执行如图的程序框图，如果输入的a =4，b =6，那么输出的n =（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】B 【解析】第一次循环，得2,4,6,6,1a b a s n =====；第二次循环，得2a =-，6,4,10,2b a s n ====；第三次循环，得2,4,6,16,3a b a s n =====；第四次循环，得2,6,4,20,4a b a s n =-====，此时2016s =>，退出循环，输出的4n =，故选B ．20．（2015湖南文理）执行如图所示的程序框图，如果输入3n =，则输出的S = A ．67 B ．37 C ．89 D ．49【答案】B 【解析】第一次循环，113S =⨯，此时2i ，不满足条件，继续第二次循环111335S =+⨯⨯，此时3i ，不满足条件，继续第三次循环11131335577S =++=⨯⨯⨯，此时43i =>，退出循环，输出S的值为37，故选B ．21．（2015重庆文理）执行如图所示的程序框图，若输出k 值为8，则判断框内可填入的条件是 A ．34s ≤B ．56s ≤ C ．1112s ≤ D ．2524s ≤【答案】C 【解析】由程序框图，k 的值依次为0，2，4，6，8，因此1111124612S =++=（此时6k =）还必须计算一次，因此可填1112S ≤，故选C ． 22．（2015新课标I 文理）执行如图所示的程序框图，如果输入的0.01t =，则输出的n = A ．5 B ．6 C ．7 D ．8【答案】C 【解析】由程序框图可知11111,,1,0.012242=-===>S m n ； 11111,,2,0.0124484=-===>S m n ；11111,,3,0.01488168=-===>S m n ；11111,,4,0.01816163216=-===>S m n ；11111,,5,0.011632326432=-===>S m n ；11111,,6,0.0132646412864=-===>S m n ；11111,,7,0.0164128128256128=-===<S m n ，故选C ． 23．（2015新课标II 文理）如图程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入,a b 分别为14，18，则输出的a = A ．0 B ．2 C ．4 D ．14【答案】B 【解析】第一次执行，输入14a ，18b ，∵a b ，∴18144b =-=；第二次执行，输入14a ，4b ，∵a b >，∴14410a =-=； 第三次执行，输入10a ，4b ，∵a b >，∴1046a =-=；第四次执行，输入6a ，4b ，∵a b >，∴642a =-=；第五次执行，输入2a，4b ，∵a b <，∴422b =-=；此时2a b ．24．（2015北京文理）执行如图所示的程序框图，输出的结果为 A ．()22-，B ．()40-，C ．()44--，D ．()08-，【答案】B 【解析】初始值1,1,0x y k ===，执行程序框图，则0,2s t ==，0,2,1x y k ===；2,2,2,2,2s t x y k =-==-==；4,0,4,0,3s t x y k =-==-==，此时输出(,)x y ，则输出的结果为(4,0)-．25．（2015四川文理）执行如图所示的程序框图，输出S 的值是 A．2-B．2 C ．12- D ．12【答案】D 【解析】这是一个循环结构，每次循环的结果依次为：，2;3;4;5k k k k ====大于4，∴输出的51sinsin 662S ππ===． 26．（2014新课标I 文理）执行如图的程序框图，若输入的,,a b k 分别为1，2，3，则输出的M =A ．203 B ．72 C ．165 D ．158【答案】D 【解析】第一次循环：33,2,,222M a b n ====；第二次循环：83,32M a ==，8,33b n ==；第三次循环：15815,,,4838M a b n ====则输出的158M =，故选D ．27．（2014新课标II 文理）执行如图程序框图，如果输入的,x t 均为2，则输出的S = A ．4 B ．5 C ．6 D ．7【答案】D 【解析】第一步2,5,2M S k ===；第二步2,7,3M S k ===，故输出的结果为7． 28．（2014天津文理）阅读如图的程序框图，运行相应的程序，输出的S 的值为 A ．15 B ．105 C ．245 D ．945【答案】B 【解析】1i 时，3T ，3S ；2i 时，5T ，15S ；3i 时，7T ，105S ，4i 输出105S ．29．（2014重庆文理）执行如图所示的程序框图，若输出k 的值为6，则判断框内可填入的条件是 A ．12s >B ．35s > C ．710s > D ．45s >【答案】C 【解析】当输出6k =时，98771109810s =⨯⨯⨯=，结合题中的程序框图知，故选C ． 30．（2014安徽文理）如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是 A ．34 B ．55 C ．78 D ．89【答案】B 【解析】5550>，故运算7次后输出的结果为55．31．（2014福建文理）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的S 得值等于 A ．18 B ．20 C ．21 D ．40【答案】B 【解析】10,1,0213,2S n S n ===++==；∵315≥不成立，执行循环：23229S =++=，3n =，∵915≥不成立，执行循环：392320,4S n =++==，∵2015≥成立，停止循环：∴输出的S 得值为20．32．（2014湖南文理）执行如图所示的程序框图，如果输入的，则输出的属于 A ． B ． C ． D ．【答案】D 【解析】由程序框图可知，2213,[2,0)3,[0,2]t t S t t ⎧+-∈-=⎨-∈⎩，其值域为(2,6][3,1][3,6]-⋃--=-．33．（2014四川文理）执行如图所示的程序框图，如果输入的,x y R ∈，则输出的S 的最大值为 A ．0 B ．1 C ．2 D ．3【答案】C 【解析】当001x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩时，函数2S x y =+的最大值为2．34．（2013新课标I 文理）执行如图程序框图，如果输入的，则输出s 属于[2,2]t ∈-S [6,2]--[5,1]--[4,5]-[3,6]-[1,3]t ∈-A ．[-3，4]B ．[-5，2]C ．[-4，3]D ．[-2，5]【答案】A 【解析】有题意知，当时，，当时，，∴输出s 属于[-3，4]，故选．35．（2013安徽文理）如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】故选D ． 36．（2013江西文理）阅读如图程序框图，如果输出，那么在空白矩形框中应填入的语句为[1,1)t ∈-3s t =[3,3)∈-[1,3]t ∈24s t t =-[3,4]∈A 162524341112.1211,1211122366141210=∴=++=+++=s s 5i =A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】由题意，当5i =时，空白的判断框中的语句应使10S ≥；故选项A ，B 中，当5i = 时，都有10S <；故排除；假设空白的判断框中的语句是C 项中的2*S i =，则第一次运行时，2,5i S ==；第二次运行时，3,6i S ==；第三次运行时，4,9i S ==；第四次运行时，5,10i S ==；此时不满足10S <，故输出5i =，满足题意，故选C ．37．（2013福建文理）阅读如图所示的程序框图，若输入的，则该算法的功能是 A ．计算数列的前10项和 B ．计算数列的前9项和C ．计算数列的前10项和D ．计算数列的前9项和【答案】C 【解析】第一次循环：，；第二次循环：；第三次循环：…．第九次循环：；第十次循环：，输2*2S i =-2*1S i =-2*S i =2*4S i =+10k ={}12n -{}12n -{}21n-{}21n-1,2S i ==10i <3,3,10S i i ==<7,4,10S i i ==<921,10,10S i i =-==1021,11,10S i i =-=>出S ．根据故选项，，故为数列的前10项和，故选A ．38．（2013浙江文理）某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是，则 A ． B ． C ． D ．【答案】A 【解析】 ；输出的结果为，此时，故．39．（2013天津文理）阅读如图的程序框图，运行相应的程序，若输入x 的值为1，则输出S 的值为 A ．64B ．73C ．512D ．585【答案】B 【解析】第一次循环，，；第二次循环，；第三次循环，，跳出101(12)12S -=-12n -594=a 5=a 6=a 7=a13151,11;2,11;2233k s k s ==+-===+-=17193,11;4,114455k s k s ==+-===+-=595k a =>4a =1S =2x =9,4S x ==73S =循环．40．（2013陕西文理）根据下列算法语句， 当输入x 为60时， 输出yA ．25B ．30C ．31D ．61【答案】C 【解析】此算法的功能是计算分段函数0.5,50()250.6(x 50),50x x f x x ⎧=⎨+->⎩≤的值，∴(60)250.6(6050)31f =+⨯-=，故选C ．41．（2012新课标文理）如果执行如图的程序框图，输入正整数)2(≥N N 和实数N a a a ,,,21 ，输出A 、B ，则A ．B A +为N a a a ,,,21 的和 B ．2BA +为N a a a ,,,21 的算术平均数 C ．A 和B 分别是N a a a ,,,21 中最大的数和最小的数 D ．A 和B 分别是N a a a ,,,21 中最小的数和最大的数【答案】C 【解析】由当x A >时A x =可知A 应为12,,,N a a a ⋅⋅⋅中最大的数，由当x B <时B x =可知B 应为12,,,N a a a ⋅⋅⋅中最小的数．42．（2012安徽文理）如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．8【答案】B 【解析】第一次进入循环体有x=2，y=2，第二次进入循环体有x=4，y=3，第三次进入循环体有x=8，y=4，跳出循环体，输出结果为4，故选D ．43．（2011天津文理）阅读如图的程序框图，运行相应的程序，若输入x 的值为-4，则输出y 的值为A ．0．5B ．1C ．2D ．4【答案】C【解析】由框图可知：4x =-，||3x >，|43|7x =--=；7,||3,|73|4x x x =>=-=；4,||3,|43|13x x x =>=-=<，122y ==，故选C ．44．（2011陕西文理）如图中，1x ，2x ，3x 为某次考试三个评阅人对同一道题的独立评分，P 为该题的最终得分．当126,9x x ==，8.5p =时，3x 等于 A ．11 B ．10 C ．8 D ．7【答案】C 【解析】本题代入数据验证较为合理，显然满足8.5p =的可能为6118.52+=或988.52+=，显然若311x =，不满足3132||||x x x x -<-，则111x =，计算119102p +==，不满足题意；而若38x =，不满足3132||||x x x x -<-，则18x =，计算898.52p +==，满足题意． 45．（2020江苏5）下图是一个算法流程图，若输出y 的值为2-，则输入x 的值是 ．【答案】3-【解析】由题可知2,0,1,0x x y x x ⎧>=⎨+≤⎩，当2y =-时，得12x +=-，解得3x =-．46．（2019江苏卷】下图是一个算法流程图，则输出的S 的值是______________．【答案】5【解析】执行第一次，1,1422x S S x =+==≥不成立，继续循环，12x x =+=； 执行第二次，3,2422x S S x =+==≥不成立，继续循环，13x x =+=； 执行第三次，3,342xS S x =+==≥不成立，继续循环，14x x =+=；执行第四次，5,442xS S x =+==≥成立，输出 5.S =47．（2018江苏）一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的S 的值为 ．【答案】8【解析】该伪代码运行3次，第1次，I =3，S =2；第2次，I =5，S =4；第3次，I =7，S =8，结束运行，故输出的S 的值为8．48．（2017江苏）如图是一个算法流程图，若输入x 的值为116，则输出的y 的值是 ．【答案】2-【解析】由题意得212log 216y =+=-． 49．（2015安徽文理）执行如图所示的程序框图（算法流程图），输出的n 为【答案】4 【解析】由题意，程序框图循环如下：①；②；③；④，此时，∴输出．50．（2014山东文理）执行如图的程序框图，若输入的x 的值为1，则输出的n 的值为 ．1,1a n ==131,2112a n =+==+171,33512a n =+==+1171,471215a n =+==+17| 1.414|0.0030.00512-≈<4n =【答案】3【解析】214130,2,1x n -⨯+==≤；224230,3,2x n -⨯+==≤；234330,4,3x n -⨯+==≤；244430,5,4x n -⨯+>==，此时输出n 值，故输出n 的值为3．51．（2014江苏）如图是一个算法流程图，则输出的的值是 ．【答案】5【解析】该流程图共运行5次，各次2n的值分别是2,4,8,16,32,∴输出的的值是5． 52．（2014辽宁文理）执行如图的程序框图，若输入9x =，则输出y = ．n n【答案】299【解析】第一次循环：5,5y x ==；第二次循环：1111,33y x ==；第三次循环：299y =，此时291141939y x -=-=<，故输出299y =． 53．（2013浙江文理）某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值等于_____．【答案】【解析】1111,1;1,2;1,3121223k S S k S k ===+==++=⨯⨯⨯ 当5k =时程序结束，此时119112455S =+++=⨯⨯．9554．（2013山东文理）执行如图的程序框图，若输入的ε的值为0．25，则输出的n 的值为___．【答案】3【解析】第一次循环，，此时不成立．第二次循环，，此时成立，输出．55．（2012江西文理）如图为某算法的程序框图，则程序运行后输出的结果是_________．【答案】3【解析】由程序框图可知： 第一次：T=0，k=1，sin 1sin 002π=>=成立，a=1，T=T+a=1，k=2，2<6，满足判断条件，继续循环；第二次：sin 0sin12ππ=>=不成立，a=0，T=T+a=1，k=3，3<6，满足判断条件，继续循环；第三次：3sin1sin 02ππ=->=不成立，a=0，T=T+a=1，k=4，4<6， 满足判断条件，继续循环；第四次： 3sin 20sin 12ππ=>=-成立，a=1，T=T+a=2，k=5， 满足判断条件，继续循环；第五次：5sin1sin 202ππ=>=成立，a=1，T=T+a=2，k=6，6<6不成立，不满足判断条件，跳出循环，故输出T 的值3．56．（2012江苏）如图是一个算法流程图，则输出的k 的值是 ．【答案】5【解析】由452+-k k ＞0得1k <或4k >，∴5k =． 57．（2011福建文理）运行如图所示的程序，输出的结果是_______．【答案】3【解析】1,2a b ==把1与2的和输给a ，即3a =，输出的结果为3．58．（2011江苏）根据如图所示的伪代码，当输入a ，b 分别为2，3时，最后输出的m 的值是 ．【答案】3【解析】伪代码的含义是输出两个数的较大者，∴输出的3m =．考点114 复数ENDPRINT a a =a +b b =2a =159．（2020全国Ⅰ文2）若312i i z =++，则z =（ ）A ．0B ．1CD ．2 【答案】C【解析】∵31+21+2i i i i 1i z =+=-=+，∴z ==C ．60．（2020全国Ⅰ理1）若1i z =+，则22z z -= （ ）A ．0B ．1CD ．2【答案】D【解析】由题意可得：()221i 2i z =+=，则()222212z z i i -=-+=-，故2222z z -=-=，故选D ．61．（2020全国Ⅱ文2）()41i -=（ ）A ．4-B ．4C ．i 4-D ．i 4 【答案】A【解析】422222(1i)[(1i)](12i i )(2i)4-=-=-+=-=-．故选A ． 62．（2020全国Ⅲ文2）复数()1i 1i z +=-，则z =（ ）A ．1i -B ．1i +C ．i -D ．i 【答案】D【解析】∵21(1)21(1)(1)2i i iz i i i i ---====-++-，∴z i ，故选D 63．（2020全国Ⅲ理2）复数113i-的虚部是 （ ）A ．310-B ．110- C ．110 D ．310【答案】D 【解析】∵1131313(13)(13)1010i z i i i i +===+--+，∴复数113z i =-的虚部为310，故选D ． 64．（2020浙江2）已知a ∈R ，若()12i a a -+-（i 为虚数单位）是实数，则a = （ ）A ．1B ．1-C ．2D ．2-【答案】C【解析】由条件可知20a -=，即2a =，故选C ．65．（2020北京2）在复平面内，复数z 对应的点的坐标是()1,2，则i z ⋅=（ ）A ．12i +B ．2i -+C ．12i -D ．2i -- 【答案】B【解析】由题意z=1+2i ，iz=-2+i ，故选B ．66．（2020山东2）2i12i-=+ （ ）A ．1B ．1-C ．iD ．i -【答案】D 【解析】2(2)(12)512(12)(12)5i i i ii i i i ----===-++-，故选D ． 67．（2019全国Ⅰ文）设3i12iz -=+，则||z =A ．2BCD ．1【答案】C【解析】方法1：由题可得(3i)(12i)17i (12i)(12i)55z --==-+-，∴||z ==C ．方法2：由题可得|3i ||||12i |z -====+C ．68．（2019全国Ⅰ理）设复数z 满足=1i z -，z 在复平面内对应的点为(x ，y )，则 A ．22+11()x y +=B ．221(1)x y +=-C ．22(1)1y x +-=D ．22(+1)1y x +=【答案】C【解析】由题可得i,i (1)i,z x y z x y =+-=+-i 1,z -==则22(1)1x y +-=．故选C ．69．（2019全国Ⅱ文）设)i i (2z =+，则z = A ．12i + B ．12i -+ C ．12i -D ．12i --【答案】D【解析】由题可得2i(2i)2i i 12i z =+=+=-+，∴12i z =--，故选D ． 70．（2019全国Ⅱ理）设z =–3+2i ，则在复平面内z 对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限【答案】C【解析】由32i,z =-+得32i,z =--则32i z =--对应的点（-3，-2）位于第三象限．故选C ． 71．（2019全国Ⅲ文理）若(1i)2i z +=，则z = A ．1i --B ．1i -+C ．1i -D ．1i +【答案】D【解析】由题可得()(2i 2i 1i 1i 1i 1i 1i )()z -===+++-．故选D ． 72．（2019年高考北京文理）已知复数2i z =+，则z z ⋅=A B C ．3D ．5【答案】D【解析】由题2i z =+，则(2i)(2i)5z z ⋅=+-=，故选D ． 74．(2018北京文理)在复平面内，复数11i-的共轭复数对应的点位于 A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D 【解析】11i 1i 11i 1i (1i)(1i)222++===+--+，其共轭复数为11i 22-，对应的点为11(,)22-，故选D ．75．(2018全国卷Ⅰ文理)设1i2i 1iz -=++，则||z =A ．0B ．12C ．1D 【答案】C 【解析】∵21i (1i)2i=2i i 2i i 1i (1i)(1i)--=++=-+=++-z ，∴|z |1=，故选C ．76．(2018全国卷Ⅱ文)()i 23i += A ．32i -B ．32i +C ．32i --D ．32i -+【答案】D 【解析】()i 23i 32i +=-+，故选D ． 77．(2018全国卷Ⅱ理)12i12i+=- A ．43i 55--B ．43i 55-+C ．34i 55-- D ．34i 55-+ 【答案】D 【解析】12i (12i)(12i)34i 12i (12i)(12i)55+++==-+--+，故选D ． 78．(2018全国卷Ⅲ文理)(1i)(2i)+-= A ．3i --B ．3i -+C ．3i -D ．3i +【答案】D 【解析】2(1i)(2i)2i 2i i 3i +-=-+-=+．故选D ． 79．(2018浙江)复数21i- (i 为虚数单位)的共轭复数是 A ．1i +B ．1i -C ．1i -+D ．1i --【答案】B 【解析】∵22(1i)1i 1i (1i)(1i)+==+--+，∴复数21i-的共轭复数为1i -．故选B ． 80．（2017新课标Ⅰ文）下列各式的运算结果为纯虚数的是A ．2i(1i)+ B ．2i (1i)- C ．2(1i)+ D ．i(1i)+ 【答案】C 【解析】由2(1)2i i +=为纯虚数知选C ． 81．（2017新课标Ⅰ理）设有下面四个命题1p ：若复数z 满足1z ∈R ，则z ∈R ；2p ：若复数z 满足2z ∈R ，则z ∈R ；3p ：若复数1z ，2z 满足12z z ∈R ，则12z z =； 4p ：若复数z ∈R ，则z ∈R ．其中的真命题为A ．1p ，3pB ．1p ，4pC ．2p ，3pD ．2p ，4p 【答案】B 【解析】设i z a b =+（,a b ∈R ），则2211i(i)a b z a b a b-==∈++R ，得0b =，∴z ∈R ，1p 正确；2222(i)2i z a b a b ab =+=-+∈R ，则0ab =，即0a =或0b =，不能确定z ∈R ，2p 不正确；若z ∈R ，则0b =，此时i z a b a =-=∈R ，4p 正确．选B ． 82．（2017新课标Ⅱ文）(1)(2)i i ++=A ．1i -B ．13i +C ．3i +D ．33i +【答案】B 【解析】由复数的运算法则，2(1i)(2i)123i i 13i ++=⨯++=+，故选B ． 83．（2017新课标Ⅱ理）3i1i+=+ A ．1+2i B ．1−2i C ．2+i D ．2−i 84．（2017新课标Ⅲ文）复平面内表示复数i(2i)z =-+的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【答案】C 【解析】∵i(2i)12i z =-+=--，∴复数z 在复平面内对应的点(1,2)Z --，位于第三象限，故选C ．85．（2017新课标Ⅲ）设复数z 满足(1i)2z i +=，则||z = A ．12BCD ．2【答案】C 【解析】由(1i)2z i +=，得2i1i 1iz ==++，∴||z ==C ． 86．（2017山东文）已知i 是虚数单位，若复数z 满足i 1i z =+，则2z = A ．-2i B ．2i C ．-2 D ．2 【答案】A 【解析】由i 1i z =+，得1i1i iz +==-，22(1i)2i z =-=-，故选A ． 87．（2017山东理）已知a R ∈，i是虚数单位，若z a =+，4z z ⋅=，则a = A ．1或-1 B或 C ．- D【答案】A【解析】由,4z a z z =+⋅=得234a +=，∴1a =±，故选A ．88．（2017北京文理）若复数(1i)(i)a -+在复平面内对应的点在第二象限，则实数a 的取值范围是 A ．(,1)-∞ B ．(,1)-∞- C ．(1,)+∞ D ．(1,)-+∞【答案】B 【解析】(1i)(i)(1)(1)i z a a a =-+=++-，∵对应的点在第二象限，∴，解得，故选B ．1010a a +<⎧⎨->⎩1a <-89．（2016全国I 文）设(12i)(i)a ++的实部与虚部相等，其中a 为实数，则a= A ．−3 B ．−2 C ．2 D ．3【答案】A 【解析】∵(12i)(i)a ++=(2)(21)i a a -++，由已知的221a a -=+， 解得3a =-．故选A ．90．(2016年全国I 理)设(1)1i x yi +=+，其中,x y 是实数，则 A ．1 BCD ．2 【答案】B 【解析】∵(1)1i x x xi yi +=+=+，∴1x y ==， ∴|||1|x yi i +=+==，故选B ．91．（2016全国II 文）设复数z 满足i 3i z +=-，则z =A ．12i -+B ．12i -C ．32i +D ．32i - 【答案】C 【解析】由i 3i z +=-得，32z i =-，∴32z i =+，故选C ．92．(2016年全国II 理)已知(3)(1)i z m m =++-在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是A ．()31-，B ．()13-，C ．()1,∞+D ．()3∞--，【答案】A 【解析】由已知可得复数z 在复平面内对应的点的坐标为(3,1)m m +-， ∴30m +>，10m -<，解得∴31m -<<，故选A ． 93．（2016全国III 文）若，则||zz = A ．1 B ．C ．D ．【答案】D 【解析】43||55z i z ==-，故选D ． 94．(2016年全国III 理)若12z i =+，则41izz =-（ ） A ．1 B ．-1 C ．i D ．-i 【答案】C 【解析】441(12)(12)1i ii zz i i ==-+--，故选C ． 95．(2016年山东理) 若复数z 满足232z z i +=- 其中i 为虚数单位，则z = A ．1+2iB ．12iC ．D ．【答案】B 【解析】设(,)z a bi a b R =+∈，则z a bi =-，i =x y +43i z =+1-43i 55+43i 55--12i -+12i --故22()332z z a bi a bi a bi i +=++-=+=-， ∴1,2a b ==-，∴12z i =-，故选B ． 96．（2015新课标I 文理）设复数z 满足11zi z+=-，则||z = A ．1 BCD ．2 【答案】A 【解析】由题意知1zi zi ，21(1)1(1)(1)i i zi i i i ，∴|z |1．97．（2015广东文理）若复数()32z i i =-（i 是虚数单位），则z = A ．23i - B ．23i + C ．32i + D ．32i - 【答案】A 【解析】∵23zi ，∴23z i ．98．（2015安徽文理）设i 是虚数单位，则复数21ii-在复平面内所对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 【答案】B 【解析】由题意，其对应的点坐标为，位于第二象限，故选B ．99．（2015山东文理）若复数z 满足1zi i=-，其中i 为虚数单位，则z = A ．1i - B ．1i + C ．1i -- D ．1i -+【答案】A 【解析】2(1)1,1z i i i i i z i =-=-+=+=-．100．（2015四川文理）设i 是虚数单位，则复数32i i-= A ．i - B ．3i - C ．i D ．3i【答案】C 【解析】32222ii i i i i i i． 101．（2015湖北文理）i 为虚数单位，607i 的共轭复数为A ．iB ．i -C ．1D ．1-【答案】A 【解析】，故选 B ．102．（2015湖南文理）已知()211i i z-=+（i 为虚数单位），则复数z = A ．1i + B ．1i - C ．1i -+ D ．1i --22(1)2211(1)(1)2i i i ii i i i +-+===-+--+(1,1)-i i i i-=⋅=⨯31514607【答案】D 【解析】由题意得，，故选D ． 103．（2014新课标I 文理）设i iz ++=11，则=||z A ．21B ．22C ．23D ．2【答案】B 【解析】i i z ++=11=1122i +，∴||2z ==． 104．（2014新课标I 文理）32(1)(1)i i +-=A ．1i +B ．1i -+C ．1i -D ．1i --【答案】D 【解析】32(1)(1)i i +-=13322122i i ii i i-+--+==----．105．（2014新课标II 文理）设复数1z ，2z 在复平面内的对应点关于虚轴对称，12z i =+，则12z z = A ．5- B ．5 C ．4i -+ D ．4i -- 【答案】A 【解析】22z i =-+，∴12z z =(2)(2)5i i +-+=-． 106．（2014新课标II 文理）131ii+=- A ．12i + B ．12i -+ C ．1-2i D ．1-2i - 【答案】B 【解析】131ii+=-12i -+． 107．（2014山东文理）已知i R b a ,,∈是虚数单位，若i a -与bi +2互为共轭复数，则=+2）（bi a A ．i 45- B ．i 45+ C ．i 43- D ．i 43+【答案】D 【解析】由已知得2,1a b ==，∴22(2)34a bi i i +=+=+（）． 108．（2014广东文理）已知复数z 满足，则z = A ． B ． C ． D ． 【答案】D 【解析】由得2525(34)(34)3425i z i i -===-+，故选D ． 109．（2014安徽文理）设是虚数单位，表示复数的共轭复数．若则zi z i+⋅= A ．2- B ．2i - C ．2 D ．2ii iii i z --=+-=+-=1121)1(2(34)25i z +=34i -+34i --34i +34i -(34)25i z +=i z z ,1i z +=【答案】C 【解析】1(1)(1)(1)2z i i z i i i i i i++⋅=+⋅-=--++=． 110．（2014福建文理）复数(32)z i i =-的共轭复数z 等于 A ．23i -- B ．23i -+ C ．23i - D ．23i + 【答案】C 【解析】∵(32)z i i =-=23i +，∴23z i =-．111．（2014天津文理）i 是虚数单位，复数734iiA ．1i B ．1i C ．17312525i D ．172577i 【答案】A 【解析】73472525134343425i i i i i ii i．112．（2014重庆文理）实部为2-，虚部为1 的复数所对应的点位于复平面的 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【答案】B 【解析】实部为-2，虚部为1的复数为-2 +1，所对应的点位于复平面的第二象限，故选B ． 113．（2013新课标I 文理）若复数z 满足(34i)|43i |z -=+，则z 的虚部为 A ．－4B ．45-C ．4D ．45【答案】D 【解析】由题知===，故z 的虚部为，故选D ．114．（2013新课标II 文）设复数满足，则= A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】． 115．（2013山东文理）复数满足 (为虚数单位)，则的共轭复数为 A ．2+iB ．2-iC ．5+iD ．5-i【答案】D 【解析】，得535,52z i z i i=+=+=--． 116．（2013安徽文理）设是虚数单位，是复数的共轭复数，若，则= A ． B ． C．D ．【答案】A 【解析】设，则，由得，z |43|34i i +-4)(34)(34)i i i +-+3455i +45z ()12i z i -=z 1i -+1i --1i +1i -()()()2122211112i i i i z i i i i +-+====-+--+z ()()325z i --=i z z ()()325z i --=i _z z 22z zi z ⋅+=z 1+i 1i -1+i -1-i -z a bi =+z a bi =-22z zi z ⋅+=，故选A ．117．（2013广东文理）若复数满足，则在复平面内，对应的点的坐标是 A ． B ． C ．D ．【答案】C 【解析】对应的点的坐标是，故选C ． 118．（2013江西文理）已知集合{}1,2,M zi =，i 为虚数单位，{}3,4N =，{4}M N ⋂=，则复数z = A ．-2i B ．2i C ．-4i D ．4i 【答案】C 【解析】由{4}M N ⋂=知，4zi =，∴4z i =-． 119．（2013湖北文理）在复平面内，复数（为虚数单位）的共轭复数对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 【答案】D 【解析】，． 120．（2013北京文理）在复平面内，复数对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 【答案】A 【解析】()212i i i -=+，故选A ．121．（2013四川文理）如图在复平面内，点A 表示复数z ，则图中表示z 的共轭复数的点是A ．AB ．BC ．CD ．D【答案】B 【解析】设(,)A x y 表示复数z x yi =+，则z 的共轭复数z x yi =-对应的点位(,)B x y -． 122．（2013辽宁文理）复数的11z i =-模为（ ） ()()()222222a bi a bi i a b i a bi +-+=++=+i z b a a+=⇒⎩⎨⎧==⇒⎩⎨⎧==+⇒111222b b a 22z 24iz i =+z ()2,4()2,4-()4,2-()4,22442iz i i+==-()4,2-21iz i=+i 211iz i i==++1z i ∴=-(2)i i -xA ．B ． CD ．【答案】B 【解析】由已知111(1)(1)22i z i i i --==---+--，∴||z =．123．（2012新课标文理）复数z ＝32ii-++的共轭复数是 （ ） A ．2i + B ．2i - C ．1i -+ D ．1i -- 【答案】D 【解析】∵z =32ii-++=1i -+，∴z 的共轭复数为1i --，故选D ． 124．（2012北京文理）在复平面内，复数103ii+对应的点坐标为（ ） A ．（1，3） B ．（3，1） C ．(1,3-） D ．31-（，） 【答案】A 【解析】由1010(3)133(3)(3)i i i i i i i -==+++-对应复平面内的点为A ． 125．（2012广东文理）设i 为虚数单位，则复数56ii-= A ．65i + B ．65i - C ．65i -+ D ．65i --【答案】D 【解析】依题意： 256(56)65i i ii i i --==--，故选D ． 126．（2012辽宁文理）复数 A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】，故选A ．127．（2012湖南文理）复数(1)z i i =+（i 为虚数单位）的共轭复数是 A ．1i -- B ．1i -+ C ．1i - D ．1i +【答案】A 【解析】由(1)z i i =+=，及共轭复数定义得． 128．（2012天津文理）i 是虚数单位，复数73ii-+= A ．2i + B ．2i - C ．2i -+ D ．2i -- 【答案】B 【解析】73i i -+=(7)(3)(3)(3)i i i i --+-=2173110i i ---=2i -．12222-=2+i i34-55i 34+55i 41-5i 31+5i ()()()22-2-3-434===-2+2+2-555i i i i i i i 1i -+1z i =--129．（2012浙江文理）已知i 是虚数单位，则31ii+=- A ．12i - B ．2i - C ．2i + D ．12i + 【答案】D 【解析】3(3)(1)24121(1)(1)2i i i ii i i i ++++===+--+． 130．（2012江西文理）若复数(为虚数单位)z 是z 的共轭复数 ， 则22z z +的虚部为 A ．0 B ．－1 C ．1 D ．－2 【答案】A 【解析】∵1z i =+，∴1z i =-，∴22z z +=0．131．（2012山东文理）若复数满足（为虚数单位），则为 (A) (B) (C) (D) 【答案】A 【解析】．故选A ． 另解：设，则 根据复数相等可知，解得，于是． 132．（2012陕西文理）设，是虚数单位，则“”是“复数为纯虚数”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】“”则或，“复数为纯虚数”则且，则“”是“复数为纯虚数”的必要不充分条件，故选B ．133．（2011山东文理）复数z =（为虚数单位）在复平面内对应的点所在象限为A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D 【解析】z ==3455i -在复平面内对应的点所在象限为第四象限． 134．（2011安徽文理）设 是虚数单位，复数为纯虚数，则实数a 为A ．2B ． 2C ．D ．【答案】A 【解析】设，则，∴．故选A ． 135．(2011新课标文理)复数的共轭复数是1z i =+i z ()i i z 7112+=-i z i 53+i 53-i 53+-i 53--i ii i i i z 535)1114(7225)2)(711(2711+=++-=++=-+=),(R b a bi a z ∈+=i i a b b a i bi a 711)2(2)2)((+=-++=-+72,112=-=+a b b a 5,3==b a i z 53+=,a b R ∈i 0ab =ba i+0ab =0=a 0=b ba i+0=a 0≠b 0ab =ba i+22ii-+i 22i i -+i aii 1+2--1-212()aibi b R i1+∈2-=1+(2)2ai bi i b bi =-=+1,2b a ==212ii+-A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】=共轭复数为C ． 136．（2011湖南文理）若，为虚数单位，且，则 A ． B ． C ． D ． 【答案】D 【解析】因，根据复数相等的条件可知． 137．（2011广东文理）设复数z 满足(1+i )z =2，其中i 为虚数单位，则z = A ．1+i B ．1-i C ．2+2i D ．2-2i 【答案】B 【解析】22(1)11(1)(1)i z i i i i -===-++-． 138．（2011辽宁文理）i 为虚数单位，=+++7531111i i i iA ．0B ．2iC ．i 2-D ．4i【答案】A 【解析】∵21i =-，∴=+++7531111i i i i 11110i i i i-+-=． 139．（2011福建文理）i 是虚数单位，若集合S=}{1.0.1-，则A ．i S ∈B ．2i S ∈C ．3i S ∈D ．2S i∈ 【答案】B 【解析】∵21i =-，1S -∈，∴2i S ∈．140．（2011浙江文理）把复数z 的共轭复数记作z ，i 为虚数单位，若1,(1)z i z z =++⋅则= A ．3－i B ．3+i C ．1+3iD ．3【答案】A 【解析】(1)(2)(1i)3i z z i +⋅=+-=-．141．（2020全国Ⅱ理15）设复数21,z z 满足i z z z z +=+==322121，，则=-21z z ．【答案】【解析】122z z ==，可设12cos 2sin z i θθ=+⋅，22cos 2sin z i αα=+⋅，()()122cos cos 2sin sin z z i i θαθα∴+=+++⋅=，()()2cos cos 2sin sin 1θαθα⎧+=⎪∴⎨+=⎪⎩()422cos cos 2sin sin 4θαθα++=，35i -35i i -i 212i i+-(2)(12),5i i i ++=,a b R ∈i ()a i i b i +=+1,1a b ==1,1a b =-=1,1a b =-=-1,1a b ==-()1a i i ai b i +=-+=+1,1a b ==-化简得：1cos cos sin sin 2θαθα+=-， ()()122cos cos 2sin sin z z iθαθα∴-=-+-⋅====．故答案为：142．（2020江苏2）已知i 为虚数单位，则复数()()1i 2i z =+-的实部是 ． 【答案】3 【解析】()()1i 2i 3i z =+-=+，则复数z 的实部为3．143．（2020天津10）i 是虚数单位，复数82ii-=+_________． 【答案】32i -【解析】()()()()8281510322225i i i ii i i i ----===-++-．故答案为：32i -． 144．（2020上海3）已知复数12z i =-（i 为虚数单位），则|z |= ．【解析】z ==145．（2020海南2）()()12i 2i ++==（ ）A ．1B ．1-C ．iD ．i -【答案】B【解析】2(12)(2)2425i i i i i i ++=+++=，故选B ． 146．（2019天津文理】i 是虚数单位，则5|ii|1-+的值为______________．【解析】5i (5i)(1i)|||||23i |1i (1i)(1i)---==-=++-． 147．（2019浙江卷】复数11iz =+（i 为虚数单位），则||z =______________．【解析】由题可得1|||1i |2z ===+． 148．（2019江苏卷】已知复数(2i)(1i)a ++的实部为0，其中i 为虚数单位，则实数a 的值是______________． 【答案】2 【解析】2(2i)(1i)i 2i 2i 2(2)i a a a a a ++=+++=-++，令20a -=，解得2a =．149．(2018天津文理)i 是虚数单位，复数67i12i+=+ ． 【答案】4i -【解析】67i (67i)(12i)205i4i 12i (12i)(12i)5++--===-++-．150．(2018上海文理)已知复数z 满足(1i)17i z +=-（i 是虚数单位），则||z = ．【答案】5【解析】由题意17i (17i)(1i)68i34i 1i (1i)(1i)2z -----====--++-，∴|||34i |5z =--==． 151．（2018江苏）若复数z 满足i 12i z ⋅=+，其中i 是虚数单位，则z 的实部为 ． 【答案】2【解析】复数12i(12i)(i)2i iz +==+-=-的实部是2． 152．（2017天津文理）已知a ∈R ，i 为虚数单位，若i2ia -+为实数，则a 的值为 ． 【答案】2-【解析】()(2)(21)(2)2122(2)(2)555a i a i i a a i a a i i i i -----+-+===-++-为实数， 则20,25a a +==-． 153．（2017浙江文）已知a ，b ∈R ，2i 34i a b +=+（）（i 是虚数单位）则22a b += ，ab = ． 【答案】5，2【解析】∵222(i)2i 34i a b a b ab +=-+=+，∴223a b -=，2ab =，又22222222()()491625a b a b a b +=-+=+=，∴225a b +=，2ab =．154．（2017江苏文理）已知复数(1i)(12i)z =++，其中i 是虚数单位，则z 的模是______．|||1i ||12i |z =++==155．（2015天津文理）i 是虚数单位，若复数(12)()i a i -+是纯虚数，则实数a 的值为 ．【答案】2-【解析】()()()12212i a i a a i -+=++-是纯度数，∴20a +=，即2a =-． 156．（2015重庆文理）设复数(,R)a bi a b +∈，则()()a bi a bi +-＝ ．【答案】3【解析】由，即，∴．157．(2014江苏文理)已知复数2(52)z i =+ (i 为虚数单位)，则的实部为 ． 【答案】21【解析】2(52)z i =+=2120i +，的实部为21．158．（2014浙江文理）已知i 是虚数单位，计算21(1)ii -+＝________． 【答案】12i --【解析】211(1)1(1)222i i i i ii i -----===+-． 159．（2014北京文理）复数211i i +⎛⎫= ⎪-⎝⎭________．【答案】1-1【解析】211i i +⎛⎫= ⎪-⎝⎭22(1)1(1)i i +=--．160．（2014湖南文理）复数23ii +（i 为虚数单位）的实部等于_________． 【答案】3-【解析】23ii+=3i --．实部为3-．161．（2013重庆文理）已知复数（是虚数单位），则 5(12)2(12)(12)i i z i i i -==++-，∴||z ==162．（2013天津文理）已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位．若(a + i)(1 + i) = bi ，则a + bi = ． 【答案】【解析】由题意，即，∴a + bi =．163．（2012湖北文理）若31bii +-=a bi +（,a b 为实数，i 为虚数单位），则a b +=____________． 【答案】3【解析】∵31bia bi i+=+-，∴()()()31bi a bi i a b b a i +=+-=++-．又∵,a b 都为实数，故由复a bi +==223a b +=22()()3a bi a bi a b +-=+=z z 512iz i=+i _________z =12i +101a a b -=⎧⎨+=⎩12a b =⎧⎨=⎩12i +。