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第9章列联分析

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医学统计学-第9章 关联性分析

医学统计学-第9章 关联性分析
双向有序分类资料的关联性检验某矿工医院探讨矽肺不同期次患者的胸部片密度变化492例患者资料整理如下表所示问矽肺患者肺门密度的增加与期次有无关本表是按两个变量从小到大顺序分类整理出来的目的为研究两个变量之间有无关联性此从表的左上角往右下角方向看频数有集中于此对角线偏上趋势即肺门密度有随着矽肺期次增加而变大趋势换言之这两个变量似有关联性
关于两种属性的关联程度，我们用pearson
列联系数表达：
对于2×2列联表
关联系数r介于
（9-10）(110-1～2) 0.5 = 0.71 之 间, 该值越大,关
联程度越高。
理论上我们还要作总体为列联系数为0的假设 检验，但这个假设等价于以上的χ2检验。
例9-3 为观察行为类型与冠心病的关系，某研究
r的取值范围在±1之间，为正值时，正相关。 为负值时，负相关。 r=0时为零相关。 ρ是总 体相关系数，r是ρ的估计值。 假设是建立ρ的基础上。。。
相关系数的计算
利用例题的资料试计算凝血酶浓度X与凝 血时间Y之间的样本相关系数。
4.相关分析条件
用于双变量正态分布资料, X、Y都是正态分布。
9.2 两个连续随机变量间的相关分析
例 某地研究2－7岁急性白血病患儿的血小
板数与出血症状程度之间的相关性，结果见下 表：试用秩相关进行分析。
首先先将实测原始数据由小到大排序 编秩，以pi表示Xi秩次；qi表示Yi的
次，见上表所示。
观察值相同的取平均秩次；将pi、qi直接 替换（9-1）中的X和Y的均数，直接得 到如下算式：
计算结果如下：
九
(9-11)
关联系数为：
关联系数的范围：
其中，R是列联表的行数，C是列联表列数。
双向有序分类资料的关联性检验

贾俊平《统计学》(第7版)考研真题与典型题详解 第9章~第10章【圣才出品】

贾俊平《统计学》(第7版)考研真题与典型题详解 第9章~第10章【圣才出品】
表 9-1 关于餐厅改革的调查结果
这个表格是（ ）。 A．4×3 列联表 B．3×2 列联表 C．2×3 列联表 D．3×4 列联表 【答案】B 【解析】表中的行是态度变量，这里划分为三类，即赞成、中立和反对；表中的列是单 位变量，这里划分为两类，即男同学和女同学，因此这个表格是 3×2 列联表。
2 / 60
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第 9 章 分类数据分析
一、单项选择题 1．列联分析是利用列联表来研究（ ）。 A．两个数值型变量的关系 B．两个分类变量的关系 C．两个数值型变量的分布 D．一个分类变量和一个数值型变量的关系 【答案】B 【解析】列联表是由两个或以上的变量进行交叉分类的频数分布表，列联分析是利用列 联表来研究两个分类变量之间的关系。
10．某大学为了解男女毕业生对开设《职业规划》这门课程的看法，分别抽取了 500 名男学生和 500 名女学生进行调查，得到的结果如表 9-7 所示。
表 9-7 关于开设《职业规划》课子书、题库视频学习平台

如果要检验男女毕业生对开设《职业规划》这门课程的看法是否相同，即检验假设 H0： π1＝π2＝850/1000＝0.85，χ2 检验统计量的自由度是（ ）。
表 9-5
根据这个列联表计算的χ2 统计量的值为（ ）。 A．0.6176 B．1.2352 C．2.6176 D．3.2352 【答案】B 【解析】非参数检验中的χ2 拟合优度检验和可以应用于列联表的独立性检验来测定两 个分类变量之间的相关程度。用 fo 表示观察值频数，用 fe 表示期望值频数，则χ2 统计量为：
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【解析】赞成研究生奖学金制度改革的行百分比分别为：（90/174）×100%＝51.7%； （84/174）×100%＝48.3%。

贾俊平《统计学》配套题库 【课后习题】详解 第9章~第10章【圣才出品】

贾俊平《统计学》配套题库 【课后习题】详解 第9章~第10章【圣才出品】

第9章分类数据分析一、思考题1．简述列联表的构造与列联表的分布。

答：列联表是由两个以上的变量进行交叉分类的频数分布表。

列联表的分布可以从两个方面看，一个是观察值的分布，又称为条件分布，每个具体的观察值就是条件频数；一个是期望值的分布。

2．用一张报纸、一份杂志或你周围的例子构造一个列联表，说明这个调查中两个分类变量的关系，并提出进行检验的问题。

答：对三个生产厂甲、乙、丙提供的学习机的A、B、C 三种性能进行质量检验，欲了解生产厂家同学习机性能的质量差异是否有关系。

抽查了450部学习机次品，整理成为如表9-2所示的3×3列联表。

表9-2A B C 总计甲乙丙204015459065357070100200150总计75200175450根据抽查检验的数据表明：次品类型与厂家（即哪一个厂）生产是无关的（即是相互独立的）。

建立假设：H 0：次品类型与厂家生产是独立的，H 1：次品类型与厂家生产不是独立的。

次品类型生产厂可以计算各组的期望值，如表9-3所示（表中括号内的数值为期望值）。

表9-3各组的期望值计算表A B C 总计甲乙丙20（17）40（33）15（25）45（44）90（89）65（67）35（39）70（78）70（58）100200150总计75200175450所以2222(2017)(4033)(7058)9.821173358χ---=+++=…。

而自由度等于（R －1）（C －1）=（3－1）×（3－1）=4，若以0.01的显著性水平进行检验，查χ2分布表得20.01(4)13.277χ=。

由于220.019.821(4)13.277χχ=<=，故接受原假设H 0，即次品类型与厂家生产是独立的。

3．说明计算2χ统计量的步骤。

答：计算2χ统计量的步骤：（1）用观察值o f 减去期望值e f ；（2）将（o f －e f ）之差平方；（3）将平方结果2)(e o f f -除以e f ；（4）将步骤（3）的结果加总，即得：22()o e ef f f χ-=∑。

贾俊平《统计学》(第5版)课后习题-第9章 分类数据分析【圣才出品】

贾俊平《统计学》(第5版)课后习题-第9章 分类数据分析【圣才出品】

第9章　分类数据分析一、思考题1．简述列联表的构造与列联表的分布。

答：列联表是由两个以上的变量进行交叉分类的频数分布表。

列联表的分布可以从两个方面看，一个是观察值的分布，又称为条件分布，每个具体的观察值就是条件频数；一个是期望值的分布。

2．用一张报纸、一份杂志或你周围的例子构造一个列联表，说明这个调查中两个分类变量的关系，并提出进行检验的问题。

答：对三个生产厂甲、乙、丙提供的学习机的A、B、C三种性能进行质量检验，欲了解生产厂家同学习机性能的质量差异是否有关系。

抽查了450部学习机次品，整理成为如表9-2所示的3×3列联表。

表9-2根据抽查检验的数据表明：次品类型与厂家（即哪一个厂）生产是无关的（即是相互独立的）。

建立假设：H0：次品类型与厂家生产是独立的，H1：次品类型与厂家生产不是独立的。

可以计算各组的期望值，如表9-3所示（表中括号内的数值为期望值）。

表9-3 各组的期望值计算表所以2222(2017)(4033)(7058)9.821173358χ---=+++=…。

而自由度等于（R －1）（C －1）=（3－1）×（3－1）=4，若以0.01的显著性水平进行检验，查χ2分布表得20.01(4)13.277χ=。

由于220.019.821(4)13.277χχ=<=，故接受原假设H 0，即次品类型与厂家生产是独立的。

3．说明计算2χ统计量的步骤。

答：计算2χ统计量的步骤：（1）用观察值o f 减去期望值e f ；（2）将（o f －e f ）之差平方；（3）将平方结果2)(e o f f -除以e f ；（4）将步骤（3）的结果加总，即得：22()o e ef f f χ-=∑。

4．简述ϕ系数、c 系数、V 系数的各自特点。

答：（1）ϕ相关系数是描述2×2列联表数据相关程度最常用的一种相关系数。

它的计算公式为：ϕ，式中，∑-=ee of f f 22)(χ；n 为列联表中的总频数，也即样本量。

贾俊平《统计学》复习笔记课后习题详解及典型题详解 第9章~第10章【圣才出品】

贾俊平《统计学》复习笔记课后习题详解及典型题详解 第9章~第10章【圣才出品】

第9章分类数据分析9.1复习笔记一、分类数据与χ2统计量1．分类数据按照所采用的计量尺度不同，可以将统计数据分为分类数据、顺序数据和数值型数据。

分类数据和顺序数据都是只能归于某一类别的非数字型数据，它们是对事物进行分类的结果，其结果均表现为类别，用文字来表述，不过顺序数据的类别是有序的；数值型数据是按数字尺度测量的观测值，其结果表现为具体的数值。

分类数据是对事物进行分类的结果，其特征是，调查结果虽然用数值表示，但不同数值描述了调查对象的不同特征。

数值型数据可以转化为分类数据。

分类数据的结果是频数，χ2检验是对分类数据的频数进行分析的统计方法。

2．χ2统计量χ2统计量可以对分类数据做拟合优度检验和独立性检验，可以用于测定两个分类变量之间的相关程度。

若用f o 表示观察值频数，用f e 表示期望值频数，则χ2统计量可以写为：22()o e e f f f χ-=∑χ2检验：χ2检验是利用随机样本对总体分布与某种特定分布拟合程度的检验，也就是检验观察值与理论值之间的紧密程度。

χ2检验主要用于拟合优度检验和独立性检验。

（1）χ2统计量的特征①χ2≥0，因为它是对平方值结果的汇总；②χ2统计量的分布与自由度有关；③χ2统计量描述了观察值与期望值的接近程度。

两者越接近，即f o－f e的绝对值越小，计算出的χ2值越小；反之，f o－f e的绝对值越大，计算出的χ2值也越大。

χ2检验正是通过对χ2的计算结果与χ2分布中的临界值进行比较，做出是否拒绝原假设的统计决策。

（2）χ2分布与自由度的密切关系自由度越小，χ2的分布就越向左边倾斜；随着自由度的增加，χ2分布的偏斜程度趋于缓解，逐渐显露出对称性，随着自由度的继续增大，χ2分布将趋近于对称的正态分布。

（3）应用χ2检验统计量的注意事项①各组的理论频数f e不得小于总频数n；②总频数应较大，至少大于50；③如果某组理论频数小于5，可将相邻的若干组合并，直至理论频数大于5为止；④倘若有两个以上的单元，如果20%的单元期望频数f e小于5，则不能应用χ2检验。

第9章相关分析

第9章相关分析

*Spearman correlation:.
DATA LIST FREE / Place X Y.
BEGIN DATA.
1
0.7
21.5
2
1
18.9
3
1.7
14.4
4
3.7
46.5
5
4
27.3
6
5.1
64.6
7
5.5
46.3
8
5.7
34.2
9
5.9
77.6
10
10
55.1
END DATA.
NONPAR CORR /VARIABLES=X Y /PRINT=SPEARMAN TWOTAIL NOSIG.
10
10
55.1
在excel下进行计算, 结果如下
乡编号 1 2 3 4 5 6
X X的秩 Y Y的秩 di di^2
0.7
1 21.5
3
2
4
1
2 18.9
2
0
0
1.7
3 14.4
1
2
4
3.7
4 46.5
7
-3
9
4
5 27.3
4
1
1
5.1
6 64.6
9
-3
9
7
5.5
7 46.3
6
1
1
8
5.7
8 34.2
X与Y相关，并且它们与Z之间还存 在协同作用，rxy,z与rxy均非零，但 rxy,z≠rxy。
9.3.1 剔除了一个变量Z的影响后，两
个变量X、Y之间的偏相关系数
此时偏相关系数为

(9)第9章 相关分析




列边缘分布
列观察值的合计数的分布 例如，四个分公司接受调查的人数分别为 100 人， 120 人， 90人，110人
2. 条件分布与条件频数


变量 X 条件下变量 Y 的分布，或在变量 Y 条件下 变量 X 的分布 每个具体的观察值称为条件频数
9 - 17
社会 统计学
条件频数
观察值的分布
期望频数的分布
(例题分析)
一分公司 二分公司 三分公司 四分公司
赞成该 方案
实际频数 期望频数
实际频数 期望频数
68 66
32 34
75 80
75 40
57 60
33 30
79 73
31 37
反对该 方案
9 - 23
2
社会 统计学
列联表 (独立性)检验
判断两个分类变量之间是否存在联
系。对父母的孝敬程度是否与孩子的
9 - 32
社会 统计学
相关系数
(原理分析)
一个简化的 22 列联表
因素 Y y1 y2 合计
9 - 33
因素 X x1 x2
合计
a c a+c
b d b+d
a+b c+d n
社会 统计学
相关系数
(原理分析)
列联表中每个单元格的期望频数分别为 (a b)(a c) (a c)(c d ) e11 e21 n n (a b)(b d ) (b d )(c d ) e12 e22 n n 将各期望频数代入 的计算公式得
9 - 30
社会 统计学
一
二
利用2的相关测量

第9章 列联表



系数
系数
以值为基础的相关测量

系数
C系数 V 系数
相关系数
1.
2. 3.
测度 22列联表中数据相关程度的一个量 对于22 列联表， 系数的值在0～1之间 相关系数计算公式为 2
n
2 （nij eij） r c 2 式中： i 1 j 1 e ij n为实际频数的总个数，即样本容量
3.
2
i 1 j 1
r
c
(nij eij ) 2 eij
其自由度为(r 1)(c 1) 式中：nij
— 列联表中第i行第j列类别的实际频数 eij — 列联表中第i行第j列类别的期望频数
检验
P279： 例2
使用 统计量检验列联表时， 需要注意的问题？
1. 对于2×2列联表，需要用修正的公式：
10/40 20/40 10/40
2/57 35/57 20/57
60/124
32/124 1
合计
1
1
1
一般只研究控制自变量x之后，因变量y的条件分布。
列联表中变量的相互独立性
列联表中变量的相互独立性
关于y的条件分布
老年
戏曲
y边缘分布
计算结果见表10－15（P275）
中年
青年Βιβλιοθήκη 合计32/12420/27
第三节 列联表中的相关测量
列联强度
列联表中的相关测量
1.
统计量检验只检验了列联表变量间是否存在 关系，而没有测量关系的强度 列联表中的相关测量就是检验变量间关系的强度 列联表相关测量的指标主要有
2. 3.
以值为基础的相关测量

统计学第9章分类数据分析


可解释性
分类结果应具有可解释性，能够清晰地说明各类 别的特征和差异，方便用户理解和应用。
避免过拟合
在训练分类模型时，应避免过拟合现象，确保模 型泛化能力良好，能够适用于不同的数据集和场 景。
交叉验证
采用交叉验证方法评估分类模型的性能，以客观 地评价分类结果的准确性和可靠性。
谢谢聆听
02
目的：通过频数分布表，可以直观地了解数据的分布情况 ，发现数据的异常值和缺失值，以及数据的离散程度和集 中趋势。
03
制作步骤
04
1. 将数据按照某一属性进行分类。
05
2. 统计每一类别的频数和频率。
06
3. 制作频数分布表，包括类别、频数、频率和累积频数 、累积频率等列。
列联表分析
定义：列联表分析是一种将两个或多 个分类变量进行联合，并分析它们之
社会阶层划分
通过分类数据分析，将社会人群划分为不同的阶层，分析不同阶 层的社会特征和行为模式。
人口普查
分类数据分析可以用于人口普查数据的分析和处理，提供更准确 的人口统计信息。
舆情分析
通过分类数据分析，了解公众对某一事件或话题的态度和意见， 为政策制定和舆论引导提供依据。
06 分类数据分析的注意事项
优势比和相对风险
基本概念
相对风险
优势比（Odds Ratio）和相对风险 （Relative Risk）是衡量分类数据关 联强度的指标。
表示暴露于某因素下发生事件的相对危 险度，计算方法为相对风险=暴露组的 事件发生率/非暴露组的事件发生率。
优势比
表示一个事件发生的相对概率，计算 方法为优势比=事件组的发生概率/非 事件组的发生概率。
分类数据分析
目录

第9章 列联分析

患慢性 气管炎者 未患慢性 气管炎者 162 121 283 合计 患病率
吸烟 不吸烟 合计
43 13 56
205 134 339
21% 9.7% 16.5%
（一） χ2 统计量
1、用于检验列联表中变量之间是否存在显著性 、 差异，或者用于检验变量之间是否独立。 差异，或者用于检验变量之间是否独立。 2、计算公式为 2 r c ( f ij eij )2 、
χ = ∑∑
i =1 j = 1
eij
其自由度为( r 1)(c 1) 式中： 式中： f ij
关于购买习惯的调查 购买习惯 低收入组 经常购买 不购买 有时购买 合计 25 69 36 130 偏低收入组 偏高收入组 高收入组 40 51 26 117 47 74 19 140 46 57 37 140 合计 158 251 118 527
（二）列联表的分布
1. 观察值的分布
①Hale Waihona Puke 边缘分布行边缘分布
χ
2
步骤四
=
( f ij e ij ) 2 ( f ij e ij ) 2 / e ij
∑
( f ij e ij ) 2 e ij
25 40 47 46 69 51 74 57 36 26 19 37
39 35 42 42 62 56 67 67 29 26 31 31
-14 5 5 4 7 -5 7 -10 7 0 -12 6
1.赞成；2.反对 赞成； 反对 赞成
4. 5.
对品质数据的描述和分析通常使用列联表 可使用 χ2检验
一、列联表的构造与分布
（一） 列联表的构造
1、由两个或两个以上变量进行交叉分类 、 的频数分布表； 的频数分布表； 2、行变量的类别数用 r 表示 列变量的 表示, 、 表示； 类别数用 c 表示； 3、一个 r 行 c 列的列联表称为 r×c 列 、 × 联表
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(a b)( a c) n e21 (a c)(c d ) n
e11
(a b)(b d ) e12 n
e22
(b d )(c d ) n
39
§4.1 φ相关系数
(a e11 ) 2 (b e12 ) 2 (c e21 ) 2 (d e22 ) 2 n(ad bc) 2 e11 e12 e21 e22 (a b)(c d )( a c)(b d )

H0
：1 2 3 4 =0.664 ：1 , 2 , 3 , 4 不全相等
赞成比例一致 赞成比例不一致
H1
§2.2拟合优度检验

由
得：
( f0 fe )2 fe
2

2
f o f e 2
fe
3.0319

自由度=（R-1）（C-1） =（2-1）（4-1）= 3

2
( f0 fe )2 fe

2 当 0.05 ,自由度=（R-1）*（C-1）=（2-1）*（3-1）= 2时， 0.05,2
=5.99147， 2 2
，故拒绝原假设，可以认为广告战之后，各公司产
0.05,2
品市场占有率发生了显著变化。
27
§3 独立性检验
独立性检验（Test of Independence）
=0.1，查表可知： 2 0.1 3 6.251
22

§2.2拟合优度检验
图9-2
2 检验示意图
23
§2.2拟合优度检验

【例9.2】为了提高市场占有率，某行业两个最主要的 竞争对手，A公司和B公司同时开展了广告宣传。在广 告宣传战之前，A公司的市场占有率为45%，B公司的市 场占有率为40%，其他公司的市场占有率为15%。为了 了解广告战之后A、B和其他公司的市场占有率是否发 生变化，随机抽取了200名消费者，其中102人表示准 备购买A公司产品，82人表示准备购买B公司产品，另 外16人表示准备购买其他公司产品。以 0.05 的 显著性水平检验广告战前后各公司的市场占有率是否 发生了变化。
15



§2.1
实际频数 期望频数
2 统计量
(fij)
68 75 57 79 32 45 33 31
(eij)
66 80 60 73 34 40 30 37
fij - eij
2 -5 -3 6 -2 5 3 -6
(fij - eij)2 4 25 9 36 4 25 9 36
(fij- eij)2
24
2
， ，
§2.2拟合优度检验

解：采用拟合优度的 2 检验。
为了检验广告战之后各公司市场占有率的变化，把广告战之前各公司 的市场占有率设为原假设。
H0

H1
： 0.45 ， 2 0.4 ， 3 0.15 1 ：原假设的等式中至少有一个不成立
如果广告战之后各公司产品的市场占有率没有发生变化， 即如果原假 设仍然成立，则在200个被调查者中，喜欢各个公司产品人数的期望值 应当是： f e1 200(0.45) 90
29
§3 独立性检验

解：H
0
:地区和原料等级之间是独立的（不存在依赖关系）。
:地区和原料等级之间不独立 （存在依赖关系）。
H1

在第一行，甲地区的合计为140，用140╱500作为甲地 区原料比例的估计值。在第一列，一级原料的合计为
162，用162╱500作为一级原料比例的估计值。如果地
区和原料等级之间是独立的，可以用下式估计第一个 单元（甲地区，一级）中的期望比例。

统计量描述了观察值与期望值的接近程度。如果两者越接近，即 fo 2
fe的绝对值越小，计算出的
，计算出的

值越小；反之，如果 fo - fe的绝对值越大
2 值也越大；
2 检验是运用
的计算结果与
分布中的临界值进行比较，做出对原
假设接受或是拒绝的统计决策。 2 2
2
17
§2.1

2
•
•
•
§1.2列联表的分布
期望分布
–

以前例为例。已知在全部420个样本单位中，赞成改革方案的 有279个，占到总数的66.4%，如果各分公司对这项改革方案 的看法相同，那么对第一分公司赞成该方案的人数应当为： 0.664×100=66人，第二分公司赞成的人数应当为： 0.664×120=80人，这66人和80人就是本例中的期望值。由 此可以计算出期望值的分布，如表9-3所示。
eij
0.0606 0.3125 0.1500 0.4932 0.1176 0.6250 0.3000 0.9730
( f e) 2 2 3.0319 e
16
§2.1


2
统计量
2 统计量特征 2 ≥0，因为它是对平方值结果的汇总； 2 值的大小与观察值和期望值的配对数，即R×C的多少有关。R×C越多 ，在不改变分布的情况下， 2值越大，因此， 2 统计量的分布与自由度有关；
第9章 列联分析

§1列联表
§2拟合优度检验
§3 独立性检验
§4列联表中的相关测量
§5 列联分析中应注意的问题
1
§1 列联表
§1.1列联表的构造
§1.2列联表的分布

2
§1.1 列联表的构造


列联表
列联表（Contingency table）是由两个或两个以 上的变量进行交叉分类的频数分布表。 例如一个集团公司在四个不同的区域设有分公司， 现该集团公司欲进行一项改革，此项改革可能涉及到 各分公司的利益，故采用抽样调查方法，从四个分公 司共抽取420个样本单位，了解职工对此项改革的看法， 调查结果见表9-1。
30
§3 独立性检验
令A = 样本单位来自甲地区的事件
–
B = 样本单位属于一级原料的事件

根据独立性的概率乘法公式有：
P(第一单元) =P(A·B) =P(A)·P(B)
140 162 500 500 =0.09072
31
§3 独立性检验

计算任何一个单元中频数的期望值公式
fe RT CT RT * CT * *n n n n

fe ：给定单元中的频数期望值 RT：给定单元所在行的合计


CT：给定单元所在列的合计
n：观察值的总个数，即样本容量。
32
§3 独立性检验
表9-10 3×3列联表期望值计算过程
33
§3 独立性检验
37
§4.1 φ相关系数

表9-11中，当变量X,Y 相互独立，不存在相关关系
时，频数间应有下面的关系

a b ac bd
化简后有：ad=bc。
结论
–
差值ad-bc的大小可以反映变量之间相关程度的强弱。差值越大，
说明两个变量的关联程度越高。
38
§4.1 φ相关系数

在2*2列联表中，每个单元中频数的期望值为：
统计量
图9-1
自由度分别为1,5和10时的 2分布
18
§2.1
2统计量

2分布自由度的计算公式
自由度=（行数-1）（列数-1）
=(R-1)(C-1)
19
§2.2拟合优度检验
拟合优度检验
–

2检验的 若要对多个比例是否相等进行检验，就需要利用
方法。如果样本是从总体的不同类别中分别抽取，研究 目的是对不同类别的目标量之间是否存在显著性差异进 行检验，把它称为拟合优度检验，也称为一致性检验 （Test of homogeneity）。
f e 2 200(0.40) 80 f e 3 200(0.15) 30
f ei n i
25

各类别期望值的计算公式
§2.2拟合优度检验

表9-7
观察值、期望值及有关计算结果
26
§2.2拟合优度检验

由

( f0 fe )2 fe
2
计算为： =8.18
20
§2.2拟合优度检验

【例9.1】某集团公司欲进行一项改革，从所属的四个
分公司中共随机抽取了420名职工，了解他们对改革方 案的态度（见表9-1），以 =0.1的显著性水平检验四 个分公司对改革方案的看法是否存在差异。 解：如果不存在差异，四个分公司赞成改革方案的比

例应该是一致的。于是原假设和备择假设分别为：
( f0 fe ) fe
2
2
14
§2.1

2 统计量
由 的步骤
( f0 fe )2 2 fe
可以看出计算 2 统计量

步骤一：用观察值 fo 减去期望值 fe；
步骤二：将（fo - fe）之差平方； 步骤三：将 ( fo - fe）2结果除以fe； 步骤四：将步骤三的结果加总。
9
§1.2列联表的分布

表9-3
期望值分布表
单位：人
10
§1.2列联表的分布

将表9-1和表9-3结合起来，便可以得到观察值 和期望值频数对比分布表，如表9-4所示。 表9.4 观察值和期望值频数对比分布表
11
§1.2列联表的分布
如果各个分公司对改革方案的看法相同，即
各分公司赞成改革方案的比例相同，就应有