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金融衍生品的定价金融衍生品是指衍生于其他金融资产的金融产品，例如期权、期货和利率互换等。
这些金融衍生品的交易和投资，需要对其价格进行定价。
金融衍生品的定价是金融衍生品市场的基础和前提，也是金融衍生品市场运作的关键。
金融衍生品定价的原理金融衍生品是基于其他金融资产的价格和风险而建立的，因此可以把金融衍生品的定价归结为基础资产的定价和风险溢价的应用。
基础资产的定价基础资产的定价是指根据基础资产本身的价值，以及基础资产与衍生品之间的相关性，为衍生品定价。
例如，如果一个期权是基于股票的，那么首先需要计算股票的价格。
为了确定期权的价格，需要考虑股票当前价格、股票波动率、期权行权价格、期权到期日等因素。
这些因素可以通过市场数据和协议进行计算和测量。
风险溢价的应用风险溢价是指为应对风险，投资者要求更高的回报，并通过向价格中添加风险奖励来补偿他们的风险。
这也是金融衍生品定价中必不可少的一部分。
例如，一个期权的价格包括无风险利率、期权行权价格、到期日、股票价格和波动率等，但并不包括投资者对期权价格风险的补偿，这可以由期权隐含波动率来估算。
因此，期权价格应该等于基础资产的价格加上由风险奖励形成的风险溢价。
风险溢价可以从不同的角度进行估算。
一种基本的估算方法是使用隐含波动率，它可用于计算出领先的模型衍生品价格。
隐含波动率是指衍生品市场已反映在价格中的波动率。
根据隐含波动率，可以确定投资者为了补偿风险需要获得的期权价格溢价。
衍生品定价的困难衍生品定价是金融市场上一项非常复杂的任务。
一方面，由于衍生品价格的影响因素非常多且复杂，衍生品自身的价值很难直接测量。
另一方面，衍生品定价过程中需要考虑的市场因素也非常复杂，如利率、股票价格波动、汇率变化等，这些因素都会直接或间接地影响到衍生品的价格。
衍生品定价的复杂性也导致了交易者和投资者在交易和投资时容易遭受损失。
因此，金融市场需要更精确的衍生品定价模型，并且需要定期更新和改进这些模型，以适应金融市场的变化。
《金融衍生品定价的数学模型和案例分析》简介同济大学数学系 姜礼尚期权（option）是一类金融衍生工具，但从更广义上讲，期权是一种未定权益（Contingent Claim），它是一种选择权；应用Black-Scholes-Morton 期权定价原理，可以为多种不同形式的未定权益和选择权给出一个“公平”的估价。
基于这个理念，我们认为期权定价原理的应用绝不仅限于期权本身的定价，而应更广泛地应用于金融、保险、财务、投资等各个不同领域。
本书正是从这个思路出发，试图利用期权定价原理对当前市场上流行的一些金融和保险的创新产品进行定价。
在这里我们把这些创新产品看成是相关标的资产(underlying assets)：外汇、黄金、股指、公司资产和利率等的衍生物，基于无套利原理，得到一个风险中性的“公平”价格，它的定价强烈地依赖于相关标的资产的数学模型，虽然它只是一种近似，但对金融机构的实际定价具有重要的参考价值。
本书可以看作是拙作“期权定价的数学模型和方法”(高等教育出版社，2003年)的应用篇，着重研究在已有定价模型和方法的基础上，针对各种金融和保险创新产品的具体实施条款，建立数学模型（即建立偏微分方程定解问题），求出它的闭合解或数值解，并进行定量分析，讨论一些金融参数和创新产品定价之间的依从关系。
为了帮助更多读者掌握用偏微分方程方法研究Black-Scholes-Merton期权定价原理，我们专门写了“期权定价的偏微分方程模型和方法”一章放在附录中，供大家学习和参考。
本书作为金融数学专业的教学用书和金融、保险、管理等领域的参考教材，它适用于两大类读者：第一类读者是应用数学专业的教师和研究人员，特别是广大攻读金融数学各类学位的研究生和本科生，第二类读者是金融、保险、管理等的从业人员，特别是正在从事金融和保险创新产品设计的金融（保险）分析师，金融（保险）机构的决策人员以及相关的研究工作者。
我们深信本书将对他们的学习和研究有所裨益。
衍生品定价的方法衍生品定价是金融市场中一项重要的活动，通过对金融衍生品进行定价，金融机构可以在市场上买卖这些衍生品来进行风险管理和投资交易。
衍生品定价方法的选择取决于衍生品类型及其特征，下面将介绍一些常见的衍生品定价方法。
1. 基于风险中性定价模型（Risk-neutral Pricing Model）风险中性定价模型是衍生品定价中最常用的方法之一。
该模型的基本思想是假设市场处于风险中性状态，即投资者对风险是中立的。
根据这一假设，可以通过构建动态投资组合，在风险中性世界中对衍生品进行定价。
此方法常用于期权定价，如布莱克-斯科尔斯期权定价模型就是基于风险中性定价原理。
2. 基于随机模型（Stochastic Models）随机模型是另一种常用的衍生品定价方法，该方法将金融市场的价格变动建模为一个随机过程。
常见的随机模型包括布朗运动模型、几何布朗运动模型等。
通过使用随机模型，可以模拟金融资产的价格变动，并根据模型的参数进行衍生品的定价。
3. 基于蒙特卡洛模拟（Monte Carlo Simulation）蒙特卡洛模拟是一种基于随机抽样的方法，通过生成大量的随机路径，来估计衍生品的价值。
该方法适用于复杂的衍生品，因为它可以模拟各种市场条件和价格变动的情况。
蒙特卡洛模拟可以为衍生品的定价提供更准确的估计，但同时需要大量的计算资源和时间。
4. 基于树模型（Tree Models）树模型是一种常用的离散化模型，将时间和价格通过建立树状结构进行离散化。
在树模型中，每个节点表示时间和价格的特定组合。
可以通过构建树模型，从当前价格开始，逐步推导出衍生品的价值。
常见的树模型包括二叉树模型和多项式树模型。
以上介绍的方法只是衍生品定价中的一部分，实际上，衍生品定价方法的选择还取决于市场的特点、金融机构的需求以及投资者的偏好。
因此，在实际应用中，常常需要进行方法的选择和参数的估计等工作，以确保定价结果的准确性和可靠性。
衍生品定价是金融市场中极为重要的一个环节，对于金融机构和投资者来说，了解和掌握衍生品的定价方法是进行投资决策和风险管理的基础。
金融衍生品定价模型总结归纳：金融衍生产品是金融市场中的重要组成部分。
为了正确定价和评估这些衍生品，金融衍生品定价模型被广泛应用。
以下是对几种常见的金融衍生品定价模型的总结和归纳：1. Black-Scholes模型Black-Scholes模型是一种用于期权定价的重要模型。
它基于市场中的假设，包括无风险利率恒定、认购和认沽期权市场合理定价、标的资产价格遵循几何布朗运动等。
该模型可以解决欧式期权的定价问题，为投资者提供了参考。
2. Vasicek模型Vasicek模型是用于利率期限结构建模的一种模型。
该模型假设利率是随机变动的，但随着时间的推移趋于均值回归。
它可以用来估计债券的价格、利率期限结构和利率敏感性等。
3. Cox-Ingersoll-Ross模型Cox-Ingersoll-Ross模型是另一种利率期限结构建模的模型。
与Vasicek模型类似，它也假设利率是随机变动的，并且时间趋于均值回归。
然而，Cox-Ingersoll-Ross模型相对于Vasicek模型更适用于描述利率变动的波动。
4. Black-Derman-Toy模型Black-Derman-Toy模型主要用于定价利率衍生品，如利率互换和利率期权。
该模型结合了随机利率和随机波动率，可以更准确地测量和定价利率的变动和风险。
这些金融衍生品定价模型在金融市场中起着重要作用，帮助投资者和决策者进行合理定价和误差控制。
然而，使用这些模型时需要谨慎，因为它们是基于某些假设和限制条件构建的，实际市场情况可能与模型假设有所不同。
总结：选择合适的金融衍生品定价模型是金融从业者的重要任务之一。
不同类型的衍生品需要使用不同的模型来定价。
了解和掌握这些模型的原理和应用，有助于更准确地评估和定价金融衍生品。
《金融衍生品定价的数学模型和案例分析》简介同济大学数学系 姜礼尚期权（option）是一类金融衍生工具，但从更广义上讲，期权是一种未定权益（Contingent Claim），它是一种选择权；应用Black-Scholes-Morton 期权定价原理，可以为多种不同形式的未定权益和选择权给出一个“公平”的估价。
基于这个理念，我们认为期权定价原理的应用绝不仅限于期权本身的定价，而应更广泛地应用于金融、保险、财务、投资等各个不同领域。
本书正是从这个思路出发，试图利用期权定价原理对当前市场上流行的一些金融和保险的创新产品进行定价。
在这里我们把这些创新产品看成是相关标的资产(underlying assets)：外汇、黄金、股指、公司资产和利率等的衍生物，基于无套利原理，得到一个风险中性的“公平”价格，它的定价强烈地依赖于相关标的资产的数学模型，虽然它只是一种近似，但对金融机构的实际定价具有重要的参考价值。
本书可以看作是拙作“期权定价的数学模型和方法”(高等教育出版社，2003年)的应用篇，着重研究在已有定价模型和方法的基础上，针对各种金融和保险创新产品的具体实施条款，建立数学模型（即建立偏微分方程定解问题），求出它的闭合解或数值解，并进行定量分析，讨论一些金融参数和创新产品定价之间的依从关系。
为了帮助更多读者掌握用偏微分方程方法研究Black-Scholes-Merton期权定价原理，我们专门写了“期权定价的偏微分方程模型和方法”一章放在附录中，供大家学习和参考。
本书作为金融数学专业的教学用书和金融、保险、管理等领域的参考教材，它适用于两大类读者：第一类读者是应用数学专业的教师和研究人员，特别是广大攻读金融数学各类学位的研究生和本科生，第二类读者是金融、保险、管理等的从业人员，特别是正在从事金融和保险创新产品设计的金融（保险）分析师，金融（保险）机构的决策人员以及相关的研究工作者。
我们深信本书将对他们的学习和研究有所裨益。
金融衍生产品的估值评估与分析金融衍生产品是指可以从其他金融资产的价格变化中获取收益的金融工具。
这种工具的溢价或折价取决于底层资产价格变化，因此对于风险投资者来说，估值评估和分析是关键的。
估值方法：金融衍生品的估值方法包括两类：模型方法和市场方法。
市场方法使用市场数据来计算价格。
模型方法建立了数学模型以计算预期收益。
市场方法市场方法包括两类：比较方法和利用市场数据方法。
比较方法是通过比较其他可比证券的市价和发行公司的公共信息来计算价格。
利用市场数据方法是使用历史数据来估计衍生品价格。
模型方法模型方法通常使用数学函数来计算价格，在这类模型中，理论上的贴现因子是预测股票价格变化的核心因素。
估值评估选择哪种方法来估价金融衍生品通常取决于以下三个因素：1. 市场具有有效性使用市场数据的公允价值假设市场具有有效性，即资本市场中的投资物理上是理性的且具有平等的机会。
有效市场假说认为市场中的价格反映了所有市场信息。
但是，在现实世界找到完全有效的市场是不可能的，因为市场总是受到各种困扰的。
2. 其他基本要素在做决策时，必须考虑一些神经成分，如远期汇率、利率和外汇汇率等，以及其他基本要素，如油价等。
如果这些变量对衍生品价格有重要影响，那么使用数学模型，而不是市场数据会更好。
3. 模型的复杂度模型越复杂，越难以理解，读者难以接受。
因此，为了使估值更加简单，需要尽可能简单，同时使截止日期更加靠近，以便使用更可靠的数据。
分析根据权利方和义务方的优势，金融衍生产品可以分为买方为权利方和卖方为权利方两类。
分析流程包括以下三个步骤：1. 市场风险和信用风险评估：衍生品用于管理市场风险，但是衍生品本身也承受着不同的市场风险和信用风险。
2. 数据的准确性和可行性评估：数据准确性是估值评估和分析的关键，因为金融衍生产品的条件非常复杂，需要大量的数据才能估值。
如果数据不准确或不足，就会影响到评估的结果。
3. 策略选择评估：策略选择的评估和分析是使用金融衍生品的投资者需要注意的因素。
金融衍生品的定价问题分析一、引言随着金融市场的发展和投资工具的多样性，金融衍生品逐渐成为一种越来越重要的金融工具。
金融衍生品包括各种形式的期权、期货以及掉期等金融工具，其特点是以现有的资产或金融工具作为基础，从而通过设计新的合约获得利润或保值。
金融衍生品的定价问题是金融市场中的一个重要难点，因为这些工具的价值是在未来发生的难以预测的金融涨跌、货币涨跌等不确定因素之上建立的。
二、金融衍生品及其分类金融衍生品是一种派生于证券、债券、商品、货币等现货的金融衍生工具，包括期权、期货、掉期和互换。
以下是几种常见的金融衍生品：1. 期权（Options）：期权是指在未来某一特定时间，购买某一特定资产的权利，购买者不必在未来进行实际交易，但可以让卖方在未来按照约定的价格买入或卖出相应的资产。
常见的期权有欧式期权和美式期权。
2. 期货（Futures）：期货是指在未来某个约定时间，以约定的价格买进或卖出某种资产或商品的合约。
期货的交易在期货市场上进行，合约期满时，买方必须按照合约约定的价格买进或卖出相应的资产或商品，无论市场价格如何变化。
期货合约可以是标准化的，也可以是非标准化的。
3. 掉期（Forwards）：掉期是指在未来某个约定的时间，以约定的价格进行买卖某种资产或商品的协议。
掉期合约不像期货合约一样标准化，合约双方可以自行约定价格、到期时间等条款。
4. 互换（Swaps）：互换是指交换不同货币、利率、资产或负债等金融工具的协议。
一方收到来自另一方的固定利率，同时向对方支付浮动利率或其他金融资产的收益，以保证其现有的利润或资产的价值。
互换具有多样化的形式，如利率互换、汇率互换和信用互换。
三、金融衍生品的定价原理金融衍生品的定价基于两个基本原理：风险中性和无套利机会原则。
1. 风险中性（Risk-neutral）定价原理：风险中性是指在某种情况下，投资者对于未来可能出现的风险持中立态度，即不希望牺牲任何利润来避免风险。
金融衍生品定价的数学建模研究近几十年来，金融衍生品市场发展迅速，交易规模持续扩大。
金融衍生品的定价问题成为金融领域中的一个重要研究方向。
数学建模在金融衍生品定价中起着关键的作用，可以帮助金融机构和投资者更好地理解衍生品的价值和风险，优化投资组合和风险管理策略。
一、衍生品定价的数学方法在金融衍生品定价中，最常用的数学方法是期权定价模型。
其中最著名的模型是布莱克-斯科尔斯期权定价模型（Black-Scholes option pricing model）。
该模型基于随机微分方程和假设市场不存在套利机会的条件，通过建立一个与衍生品价格相关的随机微分方程来推导出期权的价格。
除了布莱克-斯科尔斯模型外，还存在其他一些期权定价模型，如考虑波动率波动的随机波动率模型（stochastic volatility models）和考虑跳跃过程的跳跃扩散模型（jump-diffusion models）。
这些模型在不同的市场环境和衍生品特征下，能够更准确地描述期权价格的变动。
二、数学建模的优势数学建模在金融衍生品定价中有以下几个优势：1. 灵活适应市场变化：数学建模提供了一种灵活的方法来应对不同的市场环境和衍生品特征。
通过调整模型参数，可以适应不同的市场波动性、利率水平和交易条件等因素的变化。
2. 精确度高：数学建模能够根据市场数据和历史价格，通过严密的计算，给出相对准确的衍生品价格。
这有助于投资者更好地理解衍生品的价值和风险，并做出明智的投资决策。
3. 可靠性强：数学建模的结果不依赖于个人主观判断，而是通过严谨的数学推导得出。
这使得建模结果更具有客观性和可靠性，有利于实施风险管理和投资策略。
4. 提高效率：数学建模可以快速计算出衍生品价格，大大提高了定价的效率。
投资者和金融机构可以更快速地进行交易和风险管理，提高了市场的流动性和效益。
三、数学建模的局限性尽管数学建模在衍生品定价中具有很多优势，但也存在一些局限性：1. 假设问题：数学模型建立在一系列假设的基础上，如市场无摩擦、市场不存在套利机会等。
已知：22()22(,)()ZZ r TrTf S T e F Se e dZσ+∞----∞=⎰，(,)(,)f S TS TS∂∆=∂，22(,)(,)fS T S TS∂Γ=∂，(,)(,)f S TS TT∂Θ=-∂.求证：221(,)(,)(,)(,)2S T S S T rS S T rf S TσΘ=-Γ-∆+.证明：只需证明221(,)2((,))),,(S Sf SrT f SrSTS TTTσ+-∆∂Γ=∂.设2()2(,,)Z r TG S T Z Seσ-=，(,,)((,,))H S T Z F G S T Z=，则22(,)(,,)ZrTf S T e H S T Z e dZ+∞---∞=. 于是222222(,)(,)(,,)(,,)(,,)Z ZrT rTZrTf S Te H S T Z e dZ e H S T Z e dZT Te Hrf S T ZS eT dZT+∞+∞-----∞-∞+∞---∞⎡⎤∂∂'⎡⎤=+⎥⎣⎦∂∂⎥⎦⎡⎤∂=+⎥∂⎥⎦-红色部分证毕.对第二项，由先求积分后求偏导，变为先求偏导后求积分，则2222(,,)(,,)Z ZrTrTH S T Ze H S T Z e dZ e dZT T-+∞+∞----∞-∞⎡⎤∂∂=⎥∂∂⎥⎦.接下来只需证明22221(,)(,,)()2,ZrTS S TH S T Ze rS S TdZTσ-+∞--∞∂∆Γ=+∂.回忆一下复合函数求导法则：若(,,)((,,))H S T Z F G S T Z=，则(,,)(,,)((,,))H S T Z G S T ZF G S T ZT T∂∂'=∂∂.于是有22()2(,,)((,,))2Z r TH S T ZF G S T Z Se rTσσ-⎫∂'=-⎪∂⎭.2()2(,,)((,,))Z r TH S T ZF G S T Z eSσ-∂'=∂(这个式子很重要！)，(1)2(,,)(,,)2H S T Z H S T ZS rT Sσ⎫∂∂∴=-⎪∂∂⎭.222222222(,,)(,,)2(,,)(,,)2ZrTZrTZ Z rT rTH S T Ze dZTH S T ZS r e dZSH S T Z H S T ZS e dZ rS e dZS Sσσσ-+∞--∞-+∞--∞--+∞+∞---∞-∞∂∂⎡⎤⎫∂=-⎢⎥⎪∂⎭⎣⎦∂∂⎫=-+⎪∂∂⎭由22(,)(,,)ZrTf S T e H S T Z e dZ+∞---∞=⎰和(,)(,)f S TS TS∂∆=∂，立刻得到22(,,)(,)ZrT H S T ZS T e dZS-+∞--∞∂∆=∂⎰. 因此，2222(,,)(,,)2,)(Z Z rT rTH S T Z H S T Ze dZ S e dZT Sr S TSσσ--+∞+∞---∞-∞∂∂⎫=⎪∂⎭+∆∂. 绿色部分证毕.至此，问题转化为证明2222(,,)21(,)2ZrTS SH S T ZdZSTS eσσσ-+∞--∞∂⎫=⎪Γ∂⎭.也即2222(,,)(,,)21(,)2Z ZrT H S T Z H S T ZZe dZ e dZS SS S Tσσ-+∞+∞---∞-∞⎡⎤∂∂-⎥∂∂⎥Γ=⎦⎰.利用2222Z Zde Ze dZ--=-，凑微分，然后分部积分，得22222222(,,)(,,)(,,)(,,)ZZZ ZH S T ZZe dZSH S T ZdeSH S T Z H S T Ze e dS S+∞--∞+∞--∞+∞+∞---∞-∞∂∂∂=-∂⎡⎤∂∂⎡⎤=-+⎢⎥⎢⎥∂∂⎣⎦⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰由(1)，知222()222(,,)((,,))Z ZZ r TH S T Ze F G S T Z e eSσ---∂'=∂.((,,))F G S T Z'表示衍生品期末支付函数对基础资产期末价格的导数，应该有界，如欧式看涨期权的期末支付函数()()T T F S S K +=-对基础资产期末价格T S 的导数{1, S ()0, 0< S T T T KF S K >'=<(T S K=时导数不存在，但不影响可积性).而22()22lim 0Z Z r TZ eeσ--→∞=，故22(,,)0ZH S T Z e S +∞--∞⎡⎤∂=⎢⎥∂⎢⎥⎣⎦. 于是有 2222(,,)(,,)Z ZH S T Z H S T Z Ze dZ e d S S +∞+∞---∞-∞∂∂⎡⎤=⎢⎥∂∂⎣⎦⎰⎰. (2) 利用(1)，并由复合函数求导法则，可知[]22222()2()()22()()22(,,)((,,))((,,))((,,))(,,)((,,))((,,))Z r TZ r TZ r TZ r TZ r Td H S T Z d F G S T Ze dZ S dZ F G S T Z e F G S T Z eZZ G S T Z F G S T Z eF G S T Z eZ σσσσσσ-----⎡⎤∂⎡⎤'=⎢⎥⎢⎥∂⎣⎦⎢⎥⎣⎦⎡⎤∂∂''=+⎢⎥∂∂⎢⎥⎣⎦∂'''=+∂由2()2(,,)Z r TG S T Z SeZσ-∂=∂，并对第二项再次利用(1)，得22()2(,,)(,,)((,,))Z r T d H S T Z H S T Z F G S T Z Se dZ S S σ⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎫∂∂⎪⎡⎤''=+⎬⎢⎥∂∂⎣⎦⎪⎩⎭. (3)将(3)代入(2)，得22222()22(,,)(,,)((,,))Z Z Z r T H S T Z Ze dZS H S T Z F G S T Z Se e dZS σ+∞--∞⎡⎤-⎢⎥+∞-⎢⎥⎣⎦-∞∂∂⎧⎫∂⎪⎪''=+⎨⎬∂⎪⎪⎩⎭⎰2222222()221((,,))2(,,)(,,)2Z Z r ZrTZ T Tr H S T Z S F G S T Z H S T Z Ze dZ e eed Z Zd S S σσσ-+⎡⎤--⎢⎥+∞-∞+∞---∞-∞⎢⎥⎣⎦-∞⎡⎤∂∂-⎥∂∂''⎥⎦=⎰⎰⎰由22(,)(,,)Z rTf S T eH S T Z edZ +∞---∞=和22(,)(,)fS T S T S∂Γ=∂，易得222()22(,)((,,))ZrT Z r TS T F G S T Z e e dZσ⎡⎤--⎢⎥+∞-⎢⎥⎣⎦-∞''Γ=⎰. 因此，2222(,,)(,,)21(,)2Z ZrT H S T Z H S T ZZe dZ e dZS SS S Tσσ-+∞+∞---∞-∞⎡⎤∂∂-⎥∂∂⎥Γ=⎦⎰.蓝色部分证毕.评价：1、多次交换求积分和求偏导的次序.2、多次用到凑微分，特别是2()2(,,)((,,))Z r TH S T ZF G S T Z eSσ-∂'=∂.3、Vt∂Θ=∂是更常见的表达式，t表示距离期初的时间. 若设T为衍生品的期限，T为距离期末的时间，则t T T=-，进而有V V dt VT t dT t∂∂∂==-∂∂∂. 这就是VT∂Θ=-∂的由来.4、记21()2Z r ttS S eσ-=.注意到~(0,)N t，而(标准)布朗运动~(0,)tW N t，故21()2tW r ttS S eσσ+-= ，即几何布朗运动. 通过伊藤公式，还可知其微分形式为()t t tdS S dW rdtσ=+.tW 是风险中性概率测度下的(标准)布朗运动，由实际概率测度下的(标准)布朗运动tW经过概率测度变换得到，212t trdW dW dtμσσ-+=+.在实际概率测度下，tW ttS S eσμ+=或21(())2t t tdS S dW dtσμσ=++. 值得注意的是，在概率测度变换后，lntS的方差并没有改变，均为2tσ. 因此，只要测得基础资产的波动率σ和市场利率r，就可对衍生品进行定价.5、该定理其实就是B-S方程222212V V VS rS rVt S Sσ∂∂∂++-=∂∂∂. B-S方程可以由伊藤公式和无套利原则得出，证明很简洁，且给出了VS∂∆=∂的表达式. 感兴趣的同学可以自己做做. 教材上的证明通过离散过程的极限模拟连续过程不够严谨(中心极限定理只是近似)，而且相当繁琐.6、今天阳光真好~。
