第二节 轴力和轴力图

2P + –
3P
BC
PB
PC
N3
C
PC N4
5P
+
P
D PD D PD D PD
x
19
[例3] 图示杆长为L，受分布力 q = kx 作用，方向如图，试画
出杆的轴力图。
解：x 坐标向右为正，坐标原点在
q(x)
自由端。
L
取左侧x 段为对象，内力N(x)为：
O x
O x
q
q(x)
N(x)
x
qL
N
N ( x)
计算杆在截开面上的未知内力（此时截开面上的内力 对所留部分而言是外力）。
10
1. 轴力的概念: (在轴向载荷作用下，杆件横截面上的唯一 内力分量--就是轴力)
m
P
P
m
P
m FN
FN = P
m
P
m
P
m
P
m FN
FN = P
m
11
2. 轴力的正负规定: FN 与外法线同向,为正轴力(拉力) FN
FN与外法线反向,为负轴力(压力)
P
a
k
k
Pa
由平衡方程：Pa=P
a
则：
pa
Pa Aa
k Aa：斜截面面积；Pa：斜截面上内力。
由几何关系：cosa A
Aa
Aa
A
cosa
代入上式，得：
pa
Pa Aa
P cosa
A
s 0 cosa
斜截面上全应力：pa s 0cosa
30
斜截面上全应力： pa s 0cosa P
k
分解：
a

第二章 轴向拉伸和压缩
Ⅱ. 截面法·轴力及轴力图
FN=F
步骤： （1）假想地截开指定截面；
（2）用内力代替另一部分对所取分离体的作用力；
（3）根据分离体的平衡求出内力值。
横截面m－m上的内—轴力。无论取横截面m－m的左 边或右边为分离体均可。
一般来说：正值的轴力画上轴线上方，负值画在轴线下 方。
第二章 轴向拉伸和压缩
F (c)
F (f)
轴力图(FN图)——显示横截面上轴力与横截面位置的关系。
第二章 轴向拉伸和压缩
注意：杆受多个轴向外力作用时，应以外力作用点处 的横截面作为特征截面，将梁分成若干段来求整段梁的轴 力。 例题2-1 试作此杆的轴力图。
1
FR = F
F
F
FN1 = F
2
q
3
F x
1
FR = F
2
FN 3 = F
3 F
F
FR = F
q
FN2
F
x
0
F F
FR = F
x1
Fx1 F l
FN 2
Fx1 FN2 2 F - FR 0 l
FN2 Fx1 F l
F
x1
第二章 轴向拉伸和压缩
F
l F + F
q=F/l
F 2l l F
系替代。
3.轴力图(FN图)——显示横截面上轴力与横截面位置的关系。 杆受多个轴向外力作用时，在杆的不同截面上的轴力各 不相同。为表示横截面上的轴力随横截面位置而变化的情况， 用平行于杆轴线的坐标表示横截面的位置，垂直于轴线的坐 标表示横截面上轴力的数值，从而绘制出轴力与横截面位置 关系的图形，称为轴力图。

内力、截面法、轴力及轴力图
1、内力的概念
固有内力：分子内力.它是由构成物体的材料的物理性 质所决定的.(物体在受到外力之前，内部就存在着内力)
附加内力：在原有内力的基础上，又添加了新的内力
内力与变形有关
内力特点：
1、有限性 2、分布性 3、成对性
2、轴力及其求法——截面法
轴向拉压杆的内力称为轴力.其作用线与杆 的轴线重合,用符号 ＦＮ 表示
1、切开； 2、代力； 3、平衡。
F
FN
FN
F
FN F
内力的正负号规则
同一位置处左、右侧截面上内力分量必须具有相 同的正负号。
FN FN
FN
FN

拉力为正
FN
FN
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ

压力为负
例题 2.1

一直杆受力如图示,试求1-1和2-2截面上的轴力。
20KN 20KN 1 40KN 2
20KN 20KN
1 1
2
40KN
FN 1
FN 2
FN 1 0
1
FN 2 40kN
例题 2.2

求图示直杆1-1和2-2截面上的轴力
1 2F 2
2F
F
F
1
2F
2
2 F
2
10KN
10KN
A=10mm2
100KN
100KN
A=100mm2
哪个杆先破坏?

§1—5. 杆件变形的基本形式（Basic Forms of Bar’s Deformation）
四,弯曲(Bending): 在包含杆轴的纵向平面内，在杆轴两端
作用一对等值反向的力偶，则杆的横截面发 生绕垂直于杆轴的中性轴转动，变形后的杆 轴线在纵向平面内成为曲线，这种变形形式
称为弯曲。
梁式桥的横梁 和纵梁、屋顶梁、 桥式起重机的大梁、火车轮轴等受力时主要发生弯曲变形。
(+ )
10
AB段 BC段
∑ Fx = 0
FN1 = F1 = 10kN
∑ Fx = 0 FN 2 + F2 = F1
F4
25 CD段
FN 2 = F1 − F2 =
10 − 20 = −10kN
∑ Fx = 0
FN3 = F4 = 25kN
x
2、绘制轴力图。
目录
•§2-2 内力。截面法。轴力及轴力图
杆的受力简图为
拉伸
压缩
F
FF
F
目录
•§2-1 轴向拉伸和压缩的概念
目录
§2-2 内力。截面法。轴力及轴力图
外力：
按 体积力:是连续分布于物体内部各点的力
外
力
如物体的自重和惯性力
作
如油缸内壁的压力，水坝受
用 的 方
面积力:
分布力：到的水压力等均为分布力 集中力：若外力作用面积远小于物体表
式
面的尺寸，可作为作用于一点
F3
目录
§2-2 内力。截面法。轴力及轴力图
F
a
a
F
切、留、代、平 求内力
M
FS＝− F M = −Fa
FS
目录
•§2-2 内力。截面法。轴力及轴力图

15N
5N
20N
Y
+15N
+5N
X
O
二、例题：
例1：杆件受力如图所示，试画出轴力图
FA
解：FA=6-=4
FEC=3
+5KN
O
+3KN
X
-1KN
1、轴向拉杆的应力----2、轴力图(截面法）： 三、轴向拉压杆横截面上的应力： 1、轴向拉杆的应力----三、轴向拉压杆横截面上的应力： 1）定义------拉伸或压缩时的内力称为轴力。 三、轴向拉压杆横截面上的应力： 1）定义------拉伸或压缩时的内力称为轴力。 2、轴力图(截面法）： 建立一个直角坐标系，横向为轴的位置，纵向表示轴力的大小，这样的图称为轴力图。 解：FA=6-4+3=5 受拉的轴力为正，受压的轴力为负 受拉的轴力为正，受压的轴力为负 例1：杆件受力如图所示，试画出轴力图 建立一个直角坐标系，横向为轴的位置，纵向表示轴力的大小，这样的图称为轴力图。
- 三、轴向拉压杆横截面上的应力：
2、轴力图(截面法）： 解：FA=6-4+3=5 一个杆子在受到轴向力F的作用下，产生轴向内力，再与横截面之比就是轴向应力 一个杆子在受到轴向力F的作用下，产生轴向内力，再与横截面之比就是轴向应力
2、轴力图(截面法）：
建立一个直角坐标系，横向为轴的位置，纵向表示轴力 的大小，这样的图称为轴力图。
P2 10k0N
2m 2m
三、轴向拉压杆横截面上的应力：
1、轴向拉杆的应力-----
一个杆子在受到轴向力F的作用下，产生轴向内力，再 与横截面之比就是轴向应力
N A
F
F
N
F
2、例题
如图，横截面边长为200mm的正方形柱，在截面A和B上受到的载荷 P1=200KN,P2=100KN，求截面1-1，2-2上的应力。

轴向拉伸与压缩的特点：
◆ 受力特点：
◆ 变形特点：
F
F
F
F
承受轴向变形的杆件称为拉杆或压杆。
外力合力的作用线与杆轴线重合
主要是沿轴线方向伸长或缩短
第二节 轴力与轴力图 一、内力与截面法 内力 —— 外力引起的构件内部相连部分之间的相互作用力。 ◆ 内力为作用于整个截面上的连续分布力。今后，内力一般被用来特指截面上的分布内力的合力、或合力偶矩、或向截面形心简化所得到的主矢和主矩。
塑性材料为塑性屈服；脆性材料为脆性断裂
极限应力 ——
材料强度失效时所对应的应力，记作 u ，有
塑性材料（拉压相同）
脆性材料（拉压不同）
2.许用应力与安全因数
材料安全工作所容许承受的最大应力，记 作 [ ]，规定
许用应力 ——
02
其中，n 为大于 1 的因数，称为安全因数 。
对于塑性材料，压缩与拉伸的许用应力基本相 同，无需区分；对于脆性材料，压缩与拉伸的许 用应力差异很大，必须严格区分。
（2）计算两杆应力
解得
AB 杆：
（2）计算两杆应力
AB 杆： AC 杆：
拉（压）杆斜截面上的应力 斜截面的方位角 ： 以 x 轴为始边，以外法线轴 n 为终边，逆时针转向的 角为正，反之为负 。 斜截面上的全应力
将 p 沿斜截面的法向和切向分解，即得 斜截面上的正应力、切应力分别为 —— 横截面的面积 —— 横截面上的正应力 切应力的正负号规定：围绕所取分离体顺时针转向的切应力为正，反之为负。
[例 2-3] 试作出图示拉压杆的轴力图。
解：省略计算过程，直接作出轴力图如上图所示。
第三节 拉压杆的应力
一、应力的概念 应力是指截面上分布内力的集度 如图 为分布内力在 k 点的集度，称为 k 点的应力

三、 轴向拉压时横截面的强度条件
● 使材料发生破坏的最小应力称为极限应力，用
0
表示。
● 为使构件能够正常工作，其工作应力应小于材料的 极限应力
0 N ＜ 0 强度条件 A ≤ n
n : 安全系数 ：许用应力
● 强度条件的应用：
(1) 已知 N , A 校核构件的强度；
N max A F A L
已知电机重量 W=1.2 kN，M8吊环螺栓外径 D=8mm， 内径 d=6.4mm ， =40MPa，校核螺栓强度。
P
解： 1、内力分析
N=W=1.2kN
2、强度分析
d2 N 4W A 2 4 A d 4 1.2 103 37.3MPa＜ 2 3.14 6.4 螺栓强度安全

1 sin 2 2

切应力符号规则：截面 外法线顺时针旋转90度 为切应力的正方向。
互相垂直的截面上，切应力 大小相等，符号相反，同时指向 或者背离两截面的交线。
F


N = F
N N 0， 0 横截面正应力 A N 0， 0
拉应力 压应力
例1 画图示杆的轴力图。
Ⅰ
60kN 80kN
Ⅱ
Ⅲ 50kN
第一段:
30kN
FN1 60kN
第二段:
Ⅰ 60kN
Ⅱ
Ⅲ
30kN
轴力图
⊕
○ － 20 kN
⊕
FN2 20kN
第三段:
FN3 30kN
并在图上表出数值和正负号。
×
2.2
等直杆横截面的应力 应变
方法一：实验 变形

目录
失效、 §2.7 失效、安全因数和强度计算
例题2.5 例题2.5
AC为50×50×5的等边角钢， AC的面积A1=2×4.8cm2 ， 50×50× 的等边角钢， AC的面积A1=2× 的面积A1=2 AB为10号槽钢， AB的面积为A2=2×12.74cm2 〔σ〕 10号槽钢 AB的面积为A2=2× 号槽钢， 的面积为A2=2 =120MPa。 =120MPa。确定许可载荷F。
x
∑F
=0
的作用用内力代替 (4)对留下部分写平衡方程 (4)对留下部分写平衡方程 求出内力即轴力的值
FN − F = 0
FN = F
目录
轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力 §2.2 轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力 2、轴力：截面上的内力 轴力：
m F m F FN FN F F
由于外力的作用线 与杆件的轴线重合， 与杆件的轴线重合，内 力的作用线也与杆件的 轴线重合。 轴线重合。所以称为轴 力。 3、轴力正负号： 轴力正负号：
该式为横截面上的正应力σ计 该式为横截面上的正应力σ 算公式。正应力σ和轴力F 同号。 算公式。正应力σ和轴力FN同号。 即拉应力为正，压应力为负。 即拉应力为正，压应力为负。
圣 维 南 原 理
均 分 布
目录
圣维南原理验证
§2.2 轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力
目录
§2.2 轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力
例题2.2 例题2.2
A 1
45° 45°
C
2
FN 1
y
图示结构，试求杆件AB、CB的 图示结构，试求杆件AB、CB的 AB 应力。 =20kN；斜杆AB AB为直 应力。已知 F=20kN；斜杆AB为直 20mm的圆截面杆 水平杆CB 的圆截面杆， CB为 径20mm的圆截面杆，水平杆CB为 15×15的方截面杆 的方截面杆。 15×15的方截面杆。 计算各杆件的轴力。 解：1、计算各杆件的轴力。 B 设斜杆为1 水平杆为2 （设斜杆为1杆，水平杆为2杆） 用截面法取节点B 用截面法取节点B为研究对象 F

4
15
[例5] 已知三铰屋架如图，承受竖向均布载荷，载荷的 分布集度为：q =4.2kN/m，屋架中的钢拉杆直径 d =16 mm，
许用应力[]=170M Pa。 试校核钢拉杆的强度。
q
q
C
A
钢拉杆
8.5m
B
16
解： ① 整体平衡求支反力
HAA
RA
q
q
C
钢拉杆
8.5m
X 0 HA 0 mB 0 RA 19.5kN
画出杆的轴力图。 q(x)
解：x坐标向右为正，坐标原点在 自由端。
L
取左侧x段为对象，内力N(x)为：
O x
O x
q
q(x)
N(x)
x
qL
N
N(x)

0x

kxdx


1 2
kx2
–
k L2 2
N
(
x)max


1 2
k
L2
6
§8-3 杆件拉伸与压缩时的应力
P
P
一、问题提出
P
P
内力大小不能衡量构件强度的大小。 强度：① 内力在截面的分布集度应力；
e s --屈服段: s ---屈服极限 塑性材料的失效应力:s 。
滑移线：
27
(三)、低碳钢拉伸的强化（硬化）阶段 (ｓｂ 段)
１、ｂ---强度极限
２、卸载定律：
３、冷作硬化： 加载时变形变
小，弹性极限提高
28
(四)、低碳钢拉伸的颈缩（断裂）阶段 (b f 段)
1、延伸率:
2、面缩率：
② 材料承受荷载的能力。
二、应力计算

课题
轴力与轴力图
教学目的
1、理解轴向拉伸和压缩的概念；
2、掌握求解内力的截面法、轴力图的绘制；
教学安排
组织教学
讲述新课
模块三材料力学基础
一、构件的承载能力
1、强度把构件抵抗破坏的能力称为构件的强度。
2、刚度把构件抵抗变形的能力称为构件的刚度。
3、稳定性细长压杆能够维持原有直线平衡状态的能力称为压杆的稳定性。
二、截面法、轴力与轴力图
1、内力的概念由外力作用而引起的构件内部的相互作用力，就称为内力。
构件横截面上的内力随外力和变形的增大而增大，但内力的增大是有限的，若超过某一限度，构件就不能正常工作甚至被破坏。
2、截面法求构件内力的方法通常采用截面法。截面法的步骤是：
（1）假想地用一个截面把构件截为两段；
（2）任取一边为研究对象，进行受力分析；
（3）列平衡方程，求出截面上内力的大小。
3、轴力与轴力图因外力F沿轴线作用，故内力FN也必与轴线重合，因此称其为轴力。规定拉杆的轴力FN为正，压杆则为负。通常未知轴力均按正向假设。
为了能够形象直观地表示出各横截面轴力大小的分布情况，我们用平行于杆件轴线的坐标表示各横截面的位置，用垂直于杆件轴线的坐标表示横截面上轴力的大小，绘出轴力FN随截面坐标x的变化曲线称为轴力图。
等直杆在载荷的作用下，其变形的基本形式有：轴向拉伸与压缩、剪切、扭转和弯曲四种。工程中一些复杂的变形形式，均可看成是上述两种或两种以上基本变形形式的组合，称为组合变形。
第八单元轴向拉伸与压缩
一、轴向拉伸与压缩的概念
受力特点：作用于直杆两端的两个外力等值、反向，作用线与杆的轴线重合。
变形特点：杆件产生沿轴线方向的伸长（或压缩）。
二、变形固体及其基本假设