北师大版高中数学选修21第三章圆锥曲线与方程word教案

§2抛_物_线2．1 抛物线及其标准方程[对应学生用书P49]抛物线的定义如图，我们在黑板上画一条直线EF，然后取一个三角板，将一条拉链AB固定在三角板的一条直角边上，并将拉链下边一半的一端固定在C点，将三角板的另一条直角边贴在直线EF上，在拉锁D处放置一支粉笔，上下拖动三角板，粉笔会画出一条曲线．问题1：曲线上点D到直线EF的距离是什么？提示：线段DA的长．问题2：曲线上点D到定点C的距离是什么？提示：线段DC的长．问题3：曲线上的点到直线EF和定点C之间的距离有何关系？提示：相等．抛物线的定义定义平面内与一个定点F和一条定直线l(l不过F)距离相等的点的集合叫作抛物线焦点定点F准线定直线l抛物线的标准方程某定点和定直线l(定点不在定直线l上)，且定点到l的距离为6，曲线上的点到定点距离与到定直线l的距离相等．在推导曲线的方程的过程中，由建系的不同，有以下点和直线．A (3,0)，B (－3,0)，C (0,3)，D (0，－3)； l 1：x ＝－3，l 2：x ＝3，l 3：y ＝－3，l 4：y ＝3.问题1：到定点A 和定直线l 1距离相等的点的轨迹方程是什么？并指出曲线开口方向． 提示：y 2＝12x . 向右．问题2：到定点B 和定直线l 2距离相等的点的轨迹方程是什么？曲线开口向哪？ 提示：y 2＝－12x . 向左．问题3：到定点C 和定直线l 3距离相等的点的轨迹方程是什么？曲线开口向哪？ 提示：x 2＝12y . 向上．问题4：到定点D 和定直线l 4距离相等的点的轨迹方程是什么？曲线开口向哪？ 提示：x 2＝－12y . 向下．抛物线的标准方程图像标准方程焦点坐标准线方程y 2＝2px (p ＞0)⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0x ＝－p2y 2＝－2px (p ＞0)⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，0 x ＝p 2x 2＝2py (p ＞0)⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2 y ＝－p 2x 2＝－2py (p ＞0)⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－p 2 y ＝p 21．平面内与一定点F 和一定直线l 距离相等的点的集合是抛物线，定点F 不在定直线上，否那么点的轨迹是过点F 垂直于直线l 的直线．2．抛物线的标准方程有四种形式，顶点都在坐标原点，焦点在坐标轴上．[对应学生用书P50]求抛物线的焦点坐标和准线方程[例1] 指出以下抛物线的焦点坐标和准线方程并说明抛物线开口方向． (1)y ＝14x 2；(2)x ＝ay 2(a ≠0)．[思路点拨] 首先根据抛物线的方程确定抛物线是哪一种类型，求出p .再写出焦点坐标和准线方程．[精解详析] (1)抛物线y ＝14x 2的标准形式为x 2＝4y ，∴p ＝2，∴焦点坐标是(0,1)，准线方程是y ＝－1.抛物线开口向上． (2)抛物线方程的标准形式为y 2＝1ax ，∴2p ＝1|a |. ①当a >0时，p 2＝14a，抛物线开口向右，∴焦点坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫14a ，0，准线方程是x ＝－14a ； ②当a <0时，p 2＝－14a，抛物线开口向左，∴焦点坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫14a ，0，准线方程是x ＝－14a .综合上述，当a ≠0时，抛物线x ＝ay 2的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫14a ，0，准线方程为x ＝－14a .a >0时，开口向右；a <0时，开口向左．[一点通]1．先将抛物线方程化成标准形式，再判断开口方向、焦点位置，准确地求出p 值．2．抛物线y 2＝2ax (a ≠0)的焦点坐标⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，0，准线x ＝－a2，不必讨论a 的正负．1．抛物线x 2＝8y 的焦点坐标是( ) A ．(0,2) B ．(0，－2) C ．(4,0)D ．(－4,0)解析：由抛物线的方程为x 2＝8y 知，抛物线的焦点在y 轴上，所以2p ＝8，p2＝2，所以焦点坐标为(0,2)，应选A.答案：A2．(高考)假设抛物线y 2＝2px 的焦点坐标为(1,0)，那么p ＝________，准线方程为________．解析：因为抛物线y 2＝2px 的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，准线方程为x ＝－p2，抛物线y 2＝2px的焦点坐标为(1,0)，所以p ＝2，准线方程为x ＝－1.答案：2 x ＝－1求抛物线的标准方程[例2] (1)过点(－3,2)；(2)焦点在直线x －2y －4＝0上；(3)抛物线焦点在y 轴上，焦点到准线的距离为3.[思路点拨] 确定p 的值和抛物线的开口方向，写出标准方程．[精解详析] (1)设所求的抛物线方程为y 2＝－2p 1x (p 1>0)或x 2＝2p 2y (p 2>0)，∵过点(－3,2)，∴4＝－2p 1(－3)或9＝2p 2·2. ∴p 1＝23或p 2＝94.故所求的抛物线方程为y 2＝－43x 或x 2＝92y .(2)令x ＝0得y ＝－2，令y ＝0得x ＝4， ∴抛物线的焦点为(4,0)或(0，－2)． 当焦点为(4,0)时，p2＝4，∴p ＝8，此时抛物线方程y 2＝16x ； 当焦点为(0，－2)时，p2＝|－2|，∴p ＝4，此时抛物线方程为x 2＝－8y . 故所求的抛物线的方程为y 2＝16x 或x 2＝－8y .(3)由题意知，抛物线标准方程为x 2＝2py (p >0)或x 2＝－2py (p >0)且p ＝3，∴抛物线标准方程为x 2＝6y 或x 2＝－6y .[一点通]求抛物线标准方程的方法有：(1)定义法，求出焦点到准线的距离p ，写出方程．(2)待定系数法，假设抛物线的焦点位置，那么可设出抛物线的标准方程，求出p 值即可，假设抛物线的焦点位置不确定，那么要分情况讨论．另外，焦点在x 轴上的抛物线方程可统一设成y 2＝ax (a ≠0)，焦点在y 轴上的抛物线方程可统一设成x 2＝ay (a ≠0)．3．(某某高考)设拋物线的顶点在原点，准线方程为x ＝－2，那么拋物线的方程是( ) A ．y 2＝－8x B ．y 2＝8x C ．y 2＝－4xD ．y 2＝4x解析：由准线方程x ＝－2，可知拋物线为焦点在x 轴正半轴上的标准方程，同时得p ＝4，所以标准方程为y 2＝2px ＝8x .答案：B4．抛物线的顶点在原点，对称轴是x 轴，抛物线上一点(－5,25)到焦点的距离是6，那么抛物线的方程是________．解析：因为点(－5,25)在第二象限，且以原点为顶点，x 轴为对称轴，故抛物线开口向左，设其方程为y 2＝－2px ，把(－5,25)代入得p ＝2，故所求方程为y 2＝－4x .答案：y 2＝－4x5．焦点在x 轴上，且抛物线上横坐标为3的点A 到焦点的距离为5，求抛物线的标准方程．解：由题意，设抛物线方程为y 2＝2px (p >0)，其准线为x ＝－p2.∵A 到焦点的距离为5，∴A 到准线的距离也是5， 即3－⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2＝5，解得p ＝4.故所求的抛物线标准方程为y 2＝8x .抛物线标准方程的实际应用[例3] 某隧道横断面由抛物线和矩形的三边组成，尺寸如下图，某卡车载一集装箱，箱宽3 m ，车与箱共高4 m ，此车能否通过此隧道？请说明理由．[思路点拨] 可先建立坐标系并把图中的相关数据转化为曲线上点的坐标，求出抛物线方程，然后比较当车辆从正中通过时，1.5 m 处的抛物线距地面高度与车辆高度的大小进行判断．[精解详析] 建立如下图的平面直角坐标系． 设抛物线方程为x 2＝－2py (p >0)，当x ＝3时，y ＝－3，即点(3，－3)在抛物线上． 代入得2p ＝3，故抛物线方程为x 2＝－3y . 集装箱的宽为3 m ，当x ＝32时，y ＝－34，而桥高为5 m ，所以5－34＝414>4.故卡车可通过此隧道． [一点通]1．此题的解题关键是把实际问题转化为数学问题，利用数学模型，通过数学语言(文字、符号、图形、字母等)表达、分析、解决问题．2．在建立抛物线的标准方程时，以抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为一条坐标轴建立坐标系．这样可使得方程的形式更为简单，便于计算．6．某河上有抛物线形拱桥，当水面距拱顶6 m 时，水面宽10 m ，抛物线的方程可能是( )A ．x 2＝－256yB ．x 2＝－2512yC ．x 2＝－365yD ．x 2＝－2524y解析：建立直角坐标系如图，设抛物线方程为x 2＝－2py (p >0)，那么P (5，－6)在抛物线上．∴25＝－2p (－6)，∴p ＝2512.∴抛物线方程为x 2＝－256y .答案：A7．某抛物线形拱桥跨度是20米，拱桥高度是4米，在建桥时，每4米需用一根支柱支撑，求其中最长支柱的长．解：如图，建立平面直角坐标系，设抛物线方程为x 2＝－2py (p ＞0)．依题意知，点P (10，－4)在抛物线上， ∴100＝－2p ×(－4)，2p ＝25. 即抛物线方程为x 2＝－25y . ∵每4米需用一根支柱支撑， ∴支柱横坐标分别为－6，－2,2,6.由图知，AB 是最长的支柱之一，点B 的坐标为(2，y B )，代入x 2＝－25y ，得y B ＝－425.∴|AB |＝4－425＝3.84，即最长支柱的长为3.84米．1．确定抛物线的标准方程，只需求一个参数p ，但由于标准方程有四种类型，因此，还应确定开口方向，当开口方向不确定时，应进行分类讨论．有时也可设标准方程的统一形式，避免讨论，如焦点在x 轴上的抛物线标准方程可设为y 2＝2mx (m ≠0)，焦点在y 轴上的抛物线标准方程可设为x 2＝2my (m ≠0)．2．求抛物线标准方程的方法：特别注意在设标准方程时，假设焦点位置不确定，要分类讨论．[对应课时跟踪训练十六]1．抛物线y ＝－18x 2的焦点坐标是( )A ．(0，－4)B ．(0，－2)C ．(－12，0)D ．(－132，0)解析：抛物线方程可化成x 2＝－8y ，所以焦点坐标为(0，－2)，应选B. 答案：B2．假设抛物线y 2＝2px 的焦点与椭圆x 26＋y 22＝1的右焦点重合，那么p 的值为( )A ．4B ．2C ．6D ．8解析：∵a 2＝6，b 2＝2， ∴c 2＝a 2－b 2＝4，c ＝2.椭圆的右焦点为(2,0)，∴p2＝2，p ＝4.答案：A3．抛物线y ＝ax 2的准线方程是y ＝2，那么a 的值为( ) A.18 B ．－18C ．8D ．－8解析：由y ＝ax 2，得x 2＝1a y ，14a ＝－2，a ＝－18.答案：B4．假设动圆与圆(x －2)2＋y 2＝1外切，又与直线x ＋1＝0相切，那么动圆圆心的轨迹方程是( )A ．y 2＝8x B ．y 2＝－8x C ．y 2＝4xD ．y 2＝－4x解析：设动圆的半径为r ，圆心O ′(x ，y )，且O ′到点(2,0)的距离为r ＋1，O ′到直线x ＝－1的距离为r ，所以O ′到(2,0)的距离与到直线x ＝－2的距离相等，由抛物线的定义知y 2＝8x .答案：A5．抛物线y 2＝2px 过点M (2,2)，那么点M 到抛物线准线的距离为________．解析：因为y 2＝2px 过点M (2,2)，于是p ＝1，所以点M 到抛物线准线的距离为2＋p 2＝52.答案：526．点P (6，y )在抛物线y 2＝2px (p ＞0)上，假设点P 到抛物线焦点F 的距离等于8，那么焦点F 到抛物线准线的距离等于________．解析：抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线为x ＝－p2，因为P (6，y )为抛物线上的点，所以P到焦点F 的距离等于它到准线的距离，所以6＋p2＝8，所以p ＝4，故焦点F 到抛物线准线的距离等于4.答案：47．由条件解以下各题的标准方程及准线方程．(1)求焦点在直线2x －y ＋5＝0上的抛物线的标准方程及其准线方程． (2)抛物线方程为2x 2＋5y ＝0，求其焦点和准线方程． (3)抛物线方程为y ＝mx 2(m ≠0)，求其焦点坐标及准线方程．解：(1)直线2x －y ＋5＝0与坐标轴的交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫－52，0，(0,5)，以此两点为焦点的抛物线方程分别为y 2＝－10x ，x 2＝20y .其对应准线方程分别是x ＝52，y ＝－5.(2)抛物线方程即为x 2＝－52y ，焦点为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－58，准线方程：y ＝58.(3)抛物线方程即为x 2＝1m y (m ≠0)，焦点为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14m ，准线方程y ＝－14m .8.如图，抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，A 是抛物线上横坐标为4，且位于x 轴上方的点，A 到抛物线准线的距离等于5，过A 作AB 垂直于y 轴，垂足为B ，OB 的中点为M .(1)求抛物线方程；(2)过M 作MN ⊥FA ，垂足为N ，求点N 的坐标． 解：(1)抛物线y 2＝2px 的准线为x ＝－p2，于是，4＋p2＝5，p ＝2.所以抛物线方程为y 2＝4x . (2)因为点A 的坐标是(4,4)， 由题意得B (0,4)，M (0,2)． 又F (1,0)，所以k AF ＝43.因为MN ⊥FA ，所以k MN ＝－34.那么FA 的方程为y ＝43(x －1)，MN 的方程为y ＝－34x ＋2.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝43x －1，y ＝－34x ＋2，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝85，y ＝45.所以N ⎝ ⎛⎭⎪⎫85，45.2.2 抛物线的简单性质[对应学生用书P52]太阳能是最清洁的能源．太阳能灶是日常生活中应用太阳能的典型例子．太阳能灶接受面是抛物线一部分绕其对称轴旋转一周形成的曲面．它的原理是太阳光线(平行光束)射到抛物镜面上，经镜面反射后，反射光线都经过抛物线的焦点，这就是太阳能灶把光能转化为热能的理论依据．问题1：抛物线有几个焦点？提示：一个．问题2：抛物线的顶点与椭圆有什么不同？提示：椭圆有四个顶点，抛物线只有一个顶点．问题3：抛物线有对称中心吗？提示：没有．问题4：抛物线有对称轴吗？假设有对称轴，有几条？提示：有；1条．抛物线的简单性质类型y2＝2px(p>0) y2＝－2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0) 图像性质焦点F⎝⎛⎭⎪⎫p2，0F⎝⎛⎭⎪⎫－p2，0F⎝⎛⎭⎪⎫0，p2F⎝⎛⎭⎪⎫0，－p2准线x＝－p2x＝p2y＝－p2y＝p2X围x≥0，y∈R x≤0，y∈R x∈R，y≥0x∈R，y≤0对称轴 x 轴y 轴顶点 O (0,0) 离心率 e ＝1开口方向向右向左向上向下通径过焦点垂直于对称轴的直线与抛物线交于两点P 1，P 2，线段P 1P 2叫抛物线的通径，长度|P 1P 2|＝2p1．抛物线只有一条对称轴，没有对称中心； 2．抛物线只有一个顶点、一个焦点、一条准线； 3．抛物线的离心率是确定的，e ＝1；4．抛物线的焦点和准线分别在顶点的两侧，且它们到顶点的距离相等，均为p2.[对应学生用书P53]利用抛物线性质求标准方程[例1] 抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为x 轴，且与圆x 2＋y 2＝4相交的公共弦长等于23，求这条抛物线的方程．[思路点拨] 因为圆和抛物线都关于x 轴对称，所以它们的交点也关于x 轴对称，即公共弦被x 轴垂直平分，于是由弦长等于23，可知交点纵坐标为± 3.[精解详析] 如图，设所求抛物线的方程为y 2＝2px (p >0)或y 2＝－2px (p >0)，设交点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(y 1>0，y 2<0)， 那么|y 1|＋|y 2|＝23， 即y 1－y 2＝2 3.由对称性知y 2＝－y 1，∴y 1＝ 3. 将y 1＝3代入x 2＋y 2＝4得x ＝±1，∴点(1，3)，(－1，3)分别在抛物线y 2＝2px ，y 2＝－2px 上． ∴3＝2p 或3＝(－2p )×(－1)，p ＝32.故所求抛物线的方程为y 2＝3x 或y 2＝－3x . [一点通]由抛物线的性质求抛物线的标准方程时，关键是确定抛物线的焦点位置，并结合其性质求解p 的值，其主要步骤为：1．顶点在原点，对称轴是y 轴，并且顶点与焦点的距离等于3的抛物线的标准方程为( )A ．x 2＝±3y B ．y 2＝±6x C ．x 2＝±12yD ．x 2＝±6y解析：由顶点与焦点的距离等于3，所以p2＝3，p ＝6.又因为对称轴是y 轴，所以抛物线标准方程为x 2＝±12y .答案：C2．边长为1的等边三角形AOB ，O 为原点，AB ⊥x 轴，以O 为顶点且过A ，B 的抛物线方程是( )A ．y 2＝36x B ．y 2＝－36x C ．y 2＝±36x D ．y 2＝±33x解析：当抛物线焦点在x 轴正半轴上时，如下图，∵△OAB 为等边三角形，且边长为1.∴A ⎝⎛⎭⎪⎫32，12. 设抛物线方程为y 2＝2px (p >0)， ∴14＝2p ·32，∴p ＝312， ∴抛物线方程为y 2＝36x ， 同理，当抛物线的焦点在x 轴负半轴上时，方程为y 2＝－36x . 答案：C3．抛物线y 2＝2px (p ＞0)，有一个内接直角三角形，直角顶点在原点，斜边长为213，一直角边所在的直线方程是y ＝2x ，求此抛物线的方程．解：由题意得另一直角边所在的直线方程是y ＝－12x .由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2px ，y ＝2x 得三角形的一顶点为⎝ ⎛⎭⎪⎫p2，p ，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2px ，y ＝－12x 得三角形的另一个顶点为(8p ，－4p )，由，得⎝ ⎛⎭⎪⎫8p －p 22＋(－4p －p )2＝(213)2.解得p ＝45.故所求抛物线的方程为y 2＝85x .抛物线的定义及性质的应用[例2] 1，求动点M 的轨迹方程．[思路点拨] “点M 与点F 的距离比它到直线l ：x ＋5＝0的距离小1〞，就是“点M 与点F 的距离等于它到直线x ＋4＝0的距离〞，由此可知点M 的轨迹是以F 为焦点，直线x ＋4＝0为准线的抛物线．[精解详析] 如图，设点M 的坐标为(x ，y )．由条件可知，点M 与点F 的距离等于它到直线x ＋4＝0的距离．根据抛物线的定义，点M 的轨迹是以F (4,0)为焦点的抛物线，且p2＝4，即p ＝8.因为焦点在x 轴的正半轴上，所以点M 的轨迹方程为：y 2＝16x . [一点通]由于抛物线上的点到焦点距离与到准线距离相等，所以常把抛物线上点到焦点距离转化为到准线距离处理．即：假设p (x 0，y 0)是抛物线y 2＝2px 上任意一点，那么p 到焦点F 的距离为|PF |＝x 0＋p2(称为焦半径)．4．平面上点P 到定点(0，－1)的距离比它到y ＝2的距离小1，那么点P 轨迹方程为________．解析：由题意，即点P 到(0，－1)距离与它到y ＝1距离相等，即点P 是以(0，－1)为焦点的抛物线，方程为x 2＝－4y .答案：x 2＝－4y5．抛物线y 2＝2x 的焦点是F ，点P 是抛物线上的动点，又有点A (3,2)，求|PA |＋|PF |的最小值，并求出取最小值时P 点坐标．解：将x ＝3代入抛物线方程y 2＝2x ，得y ＝± 6.∵6>2，∴A 在抛物线内部．设抛物线上点P 到准线l ：x ＝－12的距离为d ，由定义知|PA |＋|PF |＝|PA |＋d ，由图可知，当PA ⊥l 时，|PA |＋d 最小，最小值为72，设P (x 0，y 0)，那么y 0＝2， ∴x 0＝2.故P 点坐标为(2,2)．与焦点弦有关的问题[例3] 抛物线y 2＝2px (p >0)，直线l 过抛物线焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，0与抛物线交于A ，B 两点．求证：以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切．[思路点拨] 解答此题可设出A ，B 两点坐标，并用A ，B 的坐标表示圆心坐标，然后证明圆心到准线的距离为圆的半径．[精解详析] 设直线l 与抛物线两交点A ，B 坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，那么中点M ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22.而|AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋p 2＋x 2＋p2＝x 1＋x 2＋p .设圆心M 到准线x ＝－p2的距离为d ， 那么d ＝x 1＋x 22＋p 2＝x 1＋x 2＋p2，∴d ＝|AB |2，即圆心到准线x ＝－p2的距离等于圆的半径．∴以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切． [一点通]1．涉及抛物线的焦半径、焦点弦长问题可以优先考虑利用定义将点到焦点的距离转化为点到准线的距离．2．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，假设AB 是抛物线y 2＝2px (p >0)过焦点F 的一条弦，那么①|AB |＝x 1＋x 2＋p ，②x 1·x 2＝p 24，y 1y 2＝－p 2.6．过抛物线y 2＝4x 的焦点作直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，假设x 1＋x 2＝6，那么|AB |的值为( )A ．10B ．8C ．6D ．4解析：∵y 2＝4x ，∴2p ＝4，p ＝2. ∴由抛物线定义知： |AF |＝x 1＋1，|BF |＝x 2＋1， ∴|AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋x 2＋2＝6＋2＝8.答案：B7．(某某高考)点A (2,0)，抛物线C ：x 2＝4y 的焦点为F ，射线FA 与抛物线C 相交于点M ，与其准线相交于点N ，那么|FM |∶|MN |＝( )A ．2∶ 5B ．1∶2C ．1∶ 5D ．1∶3解析：如图，直线MF 的方程为x 2＋y1＝1，即x ＋2y －2＝0.设直线MF 的倾斜角为α，那么tan α＝－12.由抛物线的定义得|MF |＝|MQ |.所以|MF ||MN |＝|MQ ||MN |＝sin α＝15.答案：C1．抛物线y 2＝2px 上的点P (x 0，y 0)到焦点F 的距离(焦半径)：|PF |＝x 0＋p2.2．假设过抛物线y 2＝2px 的焦点的直线与抛物线相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，那么|AB |＝x 1＋x 2＋p (焦点弦公式)．当AB ⊥x 轴时，AB 为通径且|AB |＝2p .3．解决与焦点弦有关的问题：一是注意运用焦点弦所在直线方程和抛物线方程联立方程组，再结合根与系数的关系解题；二是注意焦点弦、焦半径公式的应用，注意整体思想的运用．[对应课时跟踪训练十七]1．设抛物线的顶点在原点，焦点F 在y 轴上，抛物线上的点(k ，－2)与F 的距离为4，那么k 的值为( )A ．4B ．－2C ．4或－4D ．2或－2解析：由题意知抛物线方程可设为x 2＝－2py (p ＞0)，那么p2＋2＝4，∴p ＝4，∴x 2＝－8y ，将(k ，－2)代入得k ＝±4. 答案：C2．F 是抛物线y 2＝x 的焦点，A ，B 是该抛物线上的两点，|AF |＋|BF |＝3，那么线段AB 的中点到y 轴的距离为( )A.34 B ．1 C.54D.74解析：根据抛物线定义与梯形中位线定理，得线段AB 中点到y 轴的距离为：12(|AF |＋|BF |)－14＝32－14＝54.答案：C3．(新课标全国卷Ⅰ)O 为坐标原点，F 为抛物线C ：y 2＝42x 的焦点，P 为C 上的一点，假设|PF |＝42，那么△POF 的面积为( )A ．2B ．2 2C ．2 3D ．4解析：如图，设点P 的坐标为(x 0，y 0)，由|PF |＝x 0＋2＝42，得x 0＝32，代入抛物线方程得，y 20＝42×32＝24， 所以|y 0|＝26，所以S △POF ＝12|OF ||y 0|＝12×2×26＝2 3.答案：C4．设抛物线y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，PA ⊥l ，A 为垂足．如果直线AF 的斜率为－3，那么|PF |＝( )A ．4 3B ．8C ．8 3D ．16解析：由抛物线的定义得，|PF |＝|PA |，又由直线AF 的斜率为－3，可知∠PAF ＝60°. △PAF 是等边三角形，∴|PF |＝|AF |＝4cos 60°＝8.答案：B5．顶点在原点，焦点在x 轴上且通径长为6的抛物线方程是________．解析：设抛物线的方程为y 2＝2ax ，那么F ⎝ ⎛⎭⎪⎫a2，0.∴|y |＝2a ×a2＝a 2＝|a |.由于通径长为6，即2|a |＝6， ∴a ＝±3.∴抛物线方程为y 2＝±6x . 答案：y 2＝±6x6．对于顶点在原点的抛物线，给出以下条件： ①焦点在y 轴上；②焦点在x 轴上；③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6； ④抛物线的通径的长为5；⑤由原点向过焦点的某条直线作垂线，垂足坐标为(2,1)．那么使抛物线方程为y 2＝10x 的必要条件是________(要求填写合适条件的序号)． 解析：由抛物线方程y 2＝10x ，知它的焦点在x 轴上，所以②适合．又∵它的焦点坐标为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，0，原点O (0,0)，设点P (2,1)，可得k PO ·k PF ＝－1，∴⑤也合适．而①显然不合适，通过计算可知③④不合题意．∴应填序号为②⑤. 答案：②⑤7．抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点O ，并且经过点M (2，y 0)．假设点M 到该抛物线焦点的距离为3，求抛物线方程及|OM |的值．解：设抛物线方程为y 2＝2px (p >0)，那么焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，准抛物线方程为x ＝－p2.∵M 在抛物线上，∴M 到焦点的距离等于到准线的距离，即 ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫2－p 22＋y 20＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋p 22＝3.解得：p ＝1，y 0＝±22， ∴抛物线方程为y 2＝2x .∴点M (2，±22)，根据两点间距离公式有： |OM |＝22＋±222＝2 3.8．y ＝x ＋m 与抛物线y 2＝8x 交于A ，B 两点． (1)假设|AB |＝10，某某数m 的值； (2)假设OA ⊥OB ，某某数m 的值．解：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m ，y 2＝8x 得x 2＋(2m －8)x ＋m 2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2、y 2)，那么x 1＋x 2＝8－2m ，x 1·x 2＝m 2，y 1·y 2＝m (x 1＋x 2)＋x 1·x 2word 21 / 21 ＋m 2＝8m .(1)因为|AB |＝1＋k 2x 1＋x 22－4x 1x 2＝2·64－32m ＝10，所以m ＝716. (2)因为OA ⊥OB ，所以x 1x 2＋y 1y 2＝m 2＋8m ＝0，解得m ＝－8，m ＝0(舍去)．故实数m 的值为－8.。

第二章《圆锥曲线与方程》教材分析本章是在学生学习了直线和圆的方程的基础上，进一步学习用坐标法研究曲线。

这一章主要学习椭圆、双曲线、抛物线的定义、方程、简单几何性质以及它们的简单应用全章共分6个小节，教学时间约为18课时，各小节的教学时间分配如下：2．1．椭圆及其标准方程 3课时2．2．椭圆的简单几何性质 4课时2．3．抛物线及其标准方程 2课时2．4抛物线的简单几何性质 2课时2．5双曲线及其标准方程 2课时2．6双曲线的简单几何性质 3课时小结与复习 2课时一、内容与要求(一)本章的教学内容圆锥曲线这一章研究的对象是图形，包括三种曲线：椭圆、双曲线、抛物线，使用的方法是代数方法，它的基础是第七章学过的曲线和方程的概念我们知道，曲线可以看成是符合某种条件的点的轨迹，在解析几何里用坐标法研究曲线的一般程序是：建立适当的坐标系；求出曲线的方程；利用方程讨论曲线的几何性质；说明这些性质在实际中的应用在第七草里学生已经初步学习了这种方法，不过，“圆锥曲线”这一章中，这种研究曲线的方法和过程以及它的优势体现得最突出所以，“圆锥曲线”一直是解析几何的重点内容，特别是在对学生掌握坐标法的训练方面有着不可替代的作用本章研究的椭圆、双曲线、抛物线的方程，主要是它们在直角坐标系中的标准方程，所谓标准方程就是曲线在标准位置时的方程，即曲线的中心或顶点在坐标原点，对称轴在坐标轴上时的方程，通过对这种方程的讨论得到的曲线的性质，可以利用平移图形推广到曲线的其他位置上去，所以，曲线的标准方程及它们在标准位置上的性质是本章的重点(二)教学要求本章的教学要求归纳起来有以下几点：1．掌握椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程和几何性质；2．能够根据条件利用工具画圆锥曲线的图形，并了解圆锥曲线的初步应用；3．进一步掌握坐标方法；4．结合本章内容的教学，使学生进一步领会运动变化、对立统一的观点解析几何是用代数的方法解决几何问题，体现了形数结合的思想，因而这一部分的题目的综合性比较强，它要求学生既能分析图形，又能灵活地进行各种代数式和三角函数式的变形，这对学生能力的要求较高坐标方法是要求学生掌握的，但是，作为普通高中的必修课的教学要求不能过高，只能以绝大多数学生所能达到的程度为标准二、本章的主要特点(一)突出重点1．突出重点内容本章所研究的三种圆锥曲线，都是重要的曲线因为对这几种曲线研究的问题基本一致，方法相同，所以教材对这三种曲线没有平均使用时间和力量，而是把重点放在椭圆上通过求椭圆的标准方程，使学生掌握列这一类轨迹方程的一般规律，化简的常用办法这样，在求双曲线、抛物线方程的时候，学生就可以独立地，或在教师的指导下比较顺利地完成在讨论椭圆的几何性质时，教材以椭圆为例详细地说明了在解析几何中讨论曲线几何性质的一般程序，以及怎样利用方程研究曲线的范围、对称性，怎样确定曲线上的点的位置等，这样，学生在学习双曲线和抛物线时，就可以练习使用这些方法，从而在掌握解析几何基本方法上得到锻炼和提高在讨论曲线的几何性质时，不求全，有选择地介绍主要性质以便学生集中精力掌握圆锥曲线的最基本的性质2．突出坐标方法要重视数学思想方法的教学，结合教学内容，把反映出来的数学思想方法的教学，作为高中数学教学的一项重要任务来完成根据圆锥曲线这部分内容的特点，在这一章里把训练学生掌握坐标法作为这一章数学方法教学的重点例如教材在第8.6节中选择了一个求正三角形边长的例题，解这个题目时，首先要证明正三角形的对称轴就是抛物线的对称轴，这是用方程证明图形性质的问题，并且是比较典型的(二)注意内容的整体性和训练的阶段性高中数学教材是一个整体，各部分知识和技能之间是有机联系着的，特别是教材采用了“混编”的形式，将代数、立体几何、解析几何合成统一的高中数学，这就更需要加强各章之间的联系，互相配合，发挥整体的效益(三)注意调动学生学习的主动性教材是为教学服务的，归根结底是为学生服务的学生是学习的主人，只有他们有主动性，才能达到学会学好的目的目前，高中学生被动学习的现象比较突出，在调动学生学习的主动性方面，注意交代知识的来龙去脉，教给学生解决问题的思路例如，在讲椭圆的几何性质时，由于这是第一次出现，所以教材增加了一些说明性的文字，首先说明解析几何里讨论曲线性质时，通常要讨论哪些性质，然后说明用方程讨论这些性质时的一般方法，这就使学生知道为什么学习，怎样去学习，学习就会变得主动又如，学生学习中遇到的另一个问题是不会分析问题，遇到问题不知从什么地方入手，只好被动地听讲教材注意提高例题的质量，在一些例题中给出了分析或小结(例题解后的注)，通过对一些典型例题的分析，使学生学会分析解题思路,找出问题的关键，减少解题的盲目性；通过小结，指出解决问题的一般规律，提高学生解决问题的能力，提高学习效率三、教学中应注意的问题 (一)注意准确地把握教学要求准确地把握教学要求包括两个方面，第一是把握好大纲的精神，第二是学生的实际 根据大纲的精神，圆锥曲线部分是属于控制教学要求的内容，但目前由于考试的影响，这一部分教学的要求比较高，题目的难度很大如何控制教学要求是个难点 高中的教学时间有限，作为全体学生都必须掌握的必修课程，应以最基础的知识和最基本的技能、能力为主，要使学生切实把基础打好不要过分重视技巧性很强的难题从学生的学习规律来说，训练不能一次完成，要循序渐进，打好基础才能有较大的发展余地，急于求成是不可取的；学生的基础、兴趣、志向都是不同的，要根据学生的实际提出恰当的教学要求，这样学生才有学习的积极性，才能使学生达到预定的教学要求(二)注意形数结合的教学解析几何的特点就是形数结合，而形数结合的思想是一种重要的数学思想，是教学大纲中要求学生学习的内容之一，所以在这一章的教学过程中，要时刻注意这种数学思想的教学，并注意以下几点：1．注意训练学生将几何图形的特征，用数或式表达出来，反过来，要使他们能根据点的坐标或曲线的方程，确定点的位置或曲线的性质，使学生能比较顺利地将形的问题转化为数或式的问题，将数或式的问题转化为形的问题。

高中数学圆锥曲线教案
一、教学目标
1.了解圆锥曲线的定义和基本性质。

2.能够掌握圆锥曲线的标准方程及其图像特点。

3.能够解决与圆锥曲线相关的问题。

二、教学重点和难点
重点：掌握圆锥曲线的标准方程及其图像特点。

难点：理解圆锥曲线的定义及性质。

三、教学内容
1.圆锥曲线的定义和基本性质。

2.圆锥曲线的标准方程及其图像特点。

3.圆锥曲线的相关问题解决方法。

四、教学过程
1.导入新知识：通过引入一个问题或实际应用场景引起学生的兴趣。

2.讲解圆锥曲线的定义和基本性质，包括椭圆、双曲线和抛物线。

3.介绍圆锥曲线的标准方程及其图像特点。

4.通过实例分析，让学生熟悉解决与圆锥曲线相关的问题的方法。

5.组织学生进行练习和讨论，巩固所学知识。

6.总结本节课内容，提出问题进行思考，激发学生的学习兴趣。

五、课堂作业
1.完成练习题。

2.思考如何将圆锥曲线应用到实际生活中。

六、教学反思
本节课主要对圆锥曲线的定义和基本性质进行了讲解，并通过实例让学生掌握了圆锥曲线的标准方程及其图像特点。

同时也引导学生思考如何将所学知识应用到实际生活中。

在教学过程中需要注意引导学生正确理解圆锥曲线的概念，帮助他们建立深刻的认识。

新版高中数学圆锥曲线教案一、教学目标：1. 熟练掌握圆锥曲线的基本概念和性质；2. 能够理解常见圆锥曲线方程的几何意义；3. 能够运用圆锥曲线解决实际问题。

二、教学重点：1. 圆锥曲线的定义和分类；2. 圆锥曲线的方程及性质；3. 圆锥曲线的应用实例。

三、教学内容：1. 圆锥曲线的基本概念：椭圆、双曲线、抛物线；2. 圆锥曲线的方程：椭圆方程、双曲线方程、抛物线方程；3. 圆锥曲线的性质：焦点、准线、离心率等；4. 圆锥曲线的应用：求解实际问题。

四、教学步骤：1. 引入：通过生活实例引入圆锥曲线的概念，引发学生兴趣；2. 讲解：介绍圆锥曲线的定义、分类、方程和性质；3. 练习：让学生进行练习，巩固所学内容；4. 应用：通过应用题，让学生运用所学知识解决实际问题；5. 总结：对本节课所学内容进行总结，强化记忆。

五、教学工具：1. 讲义、教材：提供相关知识点及例题；2. 幻灯片：辅助讲解，呈现图形与方程对应关系；3. 黑板、彩色粉笔：展示解题过程；4. 习题册、练习册：让学生进行巩固练习。

六、教学评价：1. 课堂表现：学生是否积极参与讨论、思维活跃；2. 作业情况：学生对作业的完成情况及正确率；3. 考试成绩：检验学生掌握情况。

七、教学反馈：1. 整理学生反馈意见，根据学生反馈调整教学方式；2. 总结本节课教学经验，为下一节课改进教学方法做准备。

八、教学延伸：1. 给学生留下更多实例让学生探究，提高学生学习兴趣；2. 引导学生自主进行拓展探索，培养学生解决问题的能力。

以上是本节课的教案范本，希望能够对教学工作有所帮助，祝教学顺利！。

双曲线的简单性质
【教学目标】
1、掌握双曲线的简单的几何性质。

2、了解双曲线的渐近线及渐近线的概念，会用几何性质求双曲线的标准方程。

【教学过程】
一、双曲线的几何性质
1、填表
2、思考：双曲线的顶点有几个，其坐标是什么？
3、思考：椭圆与双曲线的离心率都是e,其X围相同吗？分别是什么？
二、双曲线的渐近线与等轴双曲线
1、在双曲线122
22=-b
y a x 的各支向外延伸时，与两条直线逐渐接近，我们把这两条直线叫做双曲线的渐近线，也可以将这两条渐近线方程写为
2、在方程122
22=-b
y a x 中，如果b a =，那么双曲线的方程为222a y x =-，它的实轴和虚轴长都等于a 2，此时渐近线方程为，它们相互，并且双曲线实轴和虚轴所成的角，实轴长和虚轴长的双曲线叫做。

3、思考焦点在y 上的双曲线122
22=-b
y a x 其渐近线方程是什么？
4、等轴双曲线的离心率是多少？
5、例1：求双曲线1441692
2=-x y 的实轴长和虚轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程。

6、例2：已知双曲线的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，其 实轴长是虚轴长的2倍，且双曲线过点（1,52）。

过该双曲线的右焦点2F 的直线l 交双曲线右支于A 、B 两点，AB =4。

（1）求此双曲线的方程
（2）设双曲线的左焦点为1F ,求△1ABF 的周长。

【知识梳理】
【典型例题】。

§1 椭__圆1．1 椭圆及其标准方程[对应学生用书P43]设计游戏时，要考虑游戏的公平性．某电视台少儿节目欲设计如下游戏．规则是：参赛选手站在椭圆的一个焦点处，快速跑到随机出现在椭圆上的某一点处，然后再跑向另一个焦点，用时少者获胜．考验选手的反应能力与速度．问题1：参赛选手要从椭圆的一焦点跑向椭圆上随机一点再跑向椭圆的另一焦点，每个参赛选手所跑的路程相同吗？提示：相同．问题2：这种游戏设计的原理是什么？提示：椭圆的定义．椭圆上的点到两焦点距离之和为定值．问题3：在游戏中，选手所跑的路程能否等于两焦点间的距离？为什么？ 提示：不能．椭圆上的点到两焦点距离之和一定大于两焦点间的距离．椭圆的定义在平面直角坐标系中，已知A (－2,0)，B (2,0)，C (0,2)，D (0，－2)． 问题1：若动点P 满足|PA |＋|PB |＝6，则P 点的轨迹方程是什么？ 提示：x 29＋y 25＝1.问题2：若动点P 满足|PC |＋|PD |＝6，则动点P 的轨迹方程是什么？提示：y 29＋x 25＝1.椭圆的标准方程1．平面内点M 到两定点F 1，F 2的距离之和为常数2a ， 当2a >|F 1F 2|时，点M 的轨迹是椭圆；当2a ＝|F 1F 2|时，点M 的轨迹是一条线段F 1F 2； 当2a <|F 1F 2|时，点M 的轨迹不存在．2．椭圆的标准方程有两种形式，若含x 2项的分母大于含y 2项的分母，则椭圆的焦点在x 轴上，反之焦点在y 轴上．[对应学生用书P44][例1] (1)a ＝4，c ＝3，焦点在y 轴上； (2)a ＋b ＝8，c ＝4；(3)经过点A (3，－2)和点B (－23，1)．[思路点拨] 求椭圆的标准方程时，要先判断焦点位置，确定椭圆标准方程的形式，最后由条件确定a 和b 的值．[精解详析] (1)焦点在y 轴上，设标准方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a ＞b ＞0)，则a 2＝16，b 2＝a 2－c 2＝16－9＝7.∴椭圆的标准方程为y 216＋x 27＝1.(2)⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝8，a 2－b 2＝16⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝8，a ＋b a －b ＝16⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝8，a －b ＝2⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝3.∴椭圆的标准方程为x 225＋y 29＝1或y 225＋x 29＝1. (3)法一：①当焦点在x 轴上时，设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)． 依题意有⎩⎪⎨⎪⎧32a 2＋－2b 2＝1，－232a2＋1b2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝15，b 2＝5.所以所求椭圆的方程为x 215＋y 25＝1.②当焦点在y 轴上时，设椭圆的标准方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a ＞b ＞0)．依题意有⎩⎪⎨⎪⎧－2a 2＋32b 2＝1，1a 2＋－232b2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝5，b 2＝15.舍去，故所求椭圆的方程为x 215＋y 25＝1.法二：设所求椭圆的方程为mx 2＋ny 2＝1(m ＞0，n ＞0，且m ≠n )．依题意有⎩⎪⎨⎪⎧3m ＋4n ＝1，12m ＋n ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝115，n ＝15.所以所求椭圆的方程为x 215＋y 25＝1.[一点通]求椭圆标准方程的一般步骤为：1．如果方程x 2a 2＋y 2a ＋6＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数a 的取值范围是( )A ．(3，＋∞)B ．(－∞，－2)C ．(－∞，－2)∪(3，＋∞)D ．(－6，－2)∪(3，＋∞)解析：由于椭圆的焦点在x 轴上，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2＞a ＋6，a ＋6＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＋a －＞0，a ＞－6.解得a ＞3或－6＜a ＜－2，故选D.答案：D2．已知椭圆的焦点在y 轴上，其上任意一点到两焦点的距离和为8，焦距为215，则此椭圆的标准方程为______________．解析：由已知，2a ＝8,2c ＝215，∴a ＝4，c ＝15， ∴b 2＝a 2－c 2＝16－15＝1，∴椭圆的标准方程为y 216＋x 2＝1.答案：y 216＋x 2＝13．求焦点在坐标轴上，且过点A (2,0)和B ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32的椭圆的标准方程． 解：法一：若焦点在x 轴上，设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，依题意，有⎩⎪⎨⎪⎧4a 2＝1，1a 2＋34b 2＝1，解得a 2＝4，b 2＝1.若焦点在y 轴上，设椭圆方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)，同理⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝1，b 2＝4，这与a >b 矛盾．故所求椭圆方程为x 24＋y 2＝1.法二：设椭圆的方程为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0，m ≠n )． 将A ，B 坐标代入得⎩⎪⎨⎪⎧4m ＝1，m ＋34n ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝14，n ＝1，故所求椭圆方程为x 24＋y 2＝1.[例2] 如图所示，已知椭圆的方程为x 24＋y 23＝1，若点P 在椭圆上，F 1，F 2为椭圆的两个焦点，且∠PF 1F 2＝120°，求△PF 1F 2的面积．[思路点拨] 因为∠PF 1F 2＝120°，|F 1F 2|＝2c ，所以要求S △PF 1F 2，只要求|PF 1|即可．可由椭圆的定义|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，并结合余弦定理求解．[精解详析] 由已知a ＝2，b ＝3， 所以c ＝a 2－b 2＝1，|F 1F 2|＝2c ＝2， 在△PF 1F 2中，由余弦定理得|PF 2|2＝|PF 1|2＋|F 1F 2|2－2|PF 1|·|F 1F 2|·cos 120°， 即|PF 2|2＝|PF 1|2＋4＋2|PF 1|.① 由椭圆定义，得|PF 1|＋|PF 2|＝4， 即|PF 2|＝4－|PF 1|.② 将②代入①解得|PF 1|＝65，∴S △PF 1F 2＝12|PF 1|·|F 1F 2|·sin 120°＝12×65×2×32＝335.因此所求△PF 1F 2的面积是35 3.[一点通]椭圆上一点P 与椭圆的两焦点F 1、F 2构成的△F 1PF 2称为焦点三角形，解关于椭圆中的焦点三角形问题时要充分利用椭圆的定义、三角形中的正弦定理、余弦定理、勾股定理等知识．对于求焦点三角形的面积，若已知∠F 1PF 2，可利用S ＝12|PF 1|·|PF 2|sin ∠F 1PF 2求面积，这时可把|PF 1|·|PF 2|看成一个整体，运用公式|PF 1|2＋|PF 2|2＝4a 2－2|PF 1||PF 2|及余弦定理求出|PF 1|·|PF 2|，而无需单独求出|PF 1|和|PF 2|，这样可以减少运算量．4．平面内有一个动点M 及两定点A ，B .设p ：|MA |＋|MB |为定值，q ：点M 的轨迹是以A ，B 为焦点的椭圆．那么( )A ．p 是q 的充分不必要条件B ．p 是q 的必要不充分条件C ．p 是q 的充要条件D ．p 既不是q 的充分条件，又不是q 的必要条件解析：若|MA |＋|MB |为定值，只有定值>|AB |时，点M 轨迹才是椭圆．故p 为q 的必要不充分条件．答案：B5．已知F 1，F 2为椭圆x 225＋y 29＝1的两个焦点，过F 1的直线交椭圆于A ，B 两点．若|AF 2|＋|BF 2|＝12，则|AB |＝________.解析：由题意，知(|AF 1|＋|AF 2|)＋(|BF 1|＋|BF 2|)＝|AB |＋|AF 2|＋|BF 2|＝2a ＋2a ，又由a ＝5，可得|AB |＋(|AF 2|＋|BF 2|)＝20，即|AB |＝8.答案：86．点P 在椭圆x 24＋y 2＝1上，且PF 1⊥PF 2，求S △PF 1F 2.解：∵点P 在椭圆上，∴|PF 1|＋|PF 2|＝4， 即|PF 1|2＋|PF 2|2＋2|PF 1||PF 2|＝16， 又PF 1⊥PF 2，∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2＝12， ∴|PF 1||PF 2|＝2，∴S △PF 1F 2＝12|PF 1||PF 2|＝1.[例3] AC 的垂直平分线l 与线段CB 的交点P 的轨迹方程．[思路点拨] P 为AC 垂直平分线上的点，则|PA |＝|PC |，而BC 为圆的半径，从而4＝|PA |＋|PB |，可得点P 轨迹为以A ，B 为焦点的椭圆．[精解详析] 如图所示，连接AP ，∵l 垂直平分AC ，∴|AP |＝|CP |.∴|PB |＋|PA |＝|BP |＋|PC |＝4， ∴P 点的轨迹是以A ，B 为焦点的椭圆． ∵2a ＝4,2c ＝|AB |＝2， ∴a ＝2，c ＝1，b 2＝a 2－c 2＝3. ∴点P 的轨迹方程为x 24＋y 23＝1.[一点通]求解有关椭圆的轨迹问题，一般有如下两种思路：(1)首先通过题干中给出的等量关系列出等式，然后化简等式得到对应的轨迹方程； (2)首先分析几何图形所揭示的几何关系，对比椭圆的定义，然后设出对应椭圆的标准方程，求出其中a ，b 的值，得到标准方程．7．△ABC 的两个顶点坐标分别是B (0,6)和C (0，－6)，边AB ，AC 所在直线的斜率的乘积是－23，求顶点A 的轨迹方程．解：设顶点A 的坐标为(x ，y )，由题意得y －6x ·y ＋6x ＝－23，化简整理，得x 254＋y 236＝1， 又A ，B ，C 是△ABC 的三个顶点，所以A ，B ，C 三点不共线，因此y ≠±6，所以顶点A 的轨迹方程为x 254＋y 236＝1(y ≠±6)．8．已知动圆M 过定点A (－3,0)，并且在定圆B ：(x －3)2＋y 2＝64的内部与其相内切，求动圆圆心M 的轨迹方程．解：设动圆M 和定圆B 内切于点C ，由|MA |＝|MC |得|MA |＋|MB |＝|MC |＋|MB |＝|BC |＝8，即动圆圆心M 到两定点A (－3,0)，B (3,0)的距离之和等于定圆的半径，∴动圆圆心M 的轨迹是以A ，B 为焦点的椭圆， 且2a ＝8,2c ＝6，b ＝a 2－c 2＝7， ∴M 的轨迹方程是x 216＋y 27＝1.1．用待定系数法求椭圆的标准方程时，若已知焦点的位置，可直接设出标准方程；若焦点位置不确定，可分两种情况求解；也可设为Ax 2＋By 2＝1(A >0，B >0，A ≠B )求解．2．解决与椭圆有关的轨迹问题时，要注意检验所得到的方程的解是否都在曲线上． 3．涉及椭圆的焦点三角形问题，可结合椭圆的定义列出|PF 1|＋|PF 2|＝2a 求解，因此回归定义是求解椭圆的焦点三角形问题的常用方法．[对应课时跟踪训练十四1．椭圆25x 2＋16y 2＝1的焦点坐标是( ) A ．(±3,0) B ．(±13，0)C ．(±320，0)D ．(0，±320)解析：椭圆的标准方程为x 2125＋y 2116＝1，故焦点在y 轴上，其中a 2＝116，b 2＝125，所以c2＝a 2－ b 2＝116－125＝9400，故c ＝320.所以该椭圆的焦点坐标为(0，±320)，故选D.答案：D2．若椭圆x 225＋y 29＝1上一点P 到一个焦点的距离为5，则P 到另一个焦点的距离为( ) A ．5 B ．6 C ．4D ．1解析：由椭圆的定义知a ＝5，点P 到两个焦点的距离之和为2a ＝10.因为点P 到一个焦点的距离为5，所以到另一个焦点的距离为10－5＝5，故选A.答案：A3．已知椭圆的焦点F 1(－1,0)，F 2(1,0)，P 是椭圆上的一点，且|F 1F 2|是|PF 1|与|PF 2|的等差中项，则该椭圆的标准方程为( )A.x 216＋y 29＝1 B.x 216＋y 212＝1 C.x 24＋y 23＝1 D.x 23＋y 24＝1 解析：∵F 1(－1,0)，F 2(1,0)，∴|F 1F 2|＝2， 又∵|F 1F 2|是|PF 1|与|PF 2|的等差中项， ∴|PF 1|＋|PF 2|＝2|F 1F 2|＝4，即2a ＝4. 又c ＝1，∴b 2＝3.∴椭圆的标准方程为x 24＋y 23＝1.答案：C4．两个焦点的坐标分别为(－2,0)，(2,0)，并且经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，－32的椭圆的标准方程是( )A.x 210＋y 26＝1B.y 210＋x 26＝1 C.x 294＋y 2254＝1 D.y 294＋x 2254＝1 解析：由椭圆定义知：2a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫52＋22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫52－22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝3102＋102＝210.∴a ＝10.∴b ＝a 2－c 2＝ 6. 答案：A5．椭圆5x 2－ky 2＝5的一个焦点是(0,2)，那么k ＝________. 解析：椭圆方程可化为：x 2＋y 2－5k＝1，则a 2＝－5k，b 2＝1，又c ＝2，∴－5k－1＝4，∴k ＝－1.答案：－16．设P 是椭圆x 29＋y 25＝1上一点，F 1，F 2是其左、右两焦点，若|PF 1|·|PF 2|＝8，则|OP |＝________.解析：由题意，|PF 1|＋|PF 2|＝6，两边平方得|PF 1|2＋2|PF 1|·|PF 2|＋|PF 2|2＝36.因为|PF 1|·|PF 2|＝8，所以|PF 1|2＋|PF 2|2＝20.以PF 1，PF 2为邻边做平行四边形，则|OP |正好是该平行四边形对角线长的一半．由平行四边形的性质知，平行四边形对角线长的平方和等于四边长的平方和，即(2|OP |)2＋(2c )2＝2(|PF 1|2＋|PF 2|2)．所以4|OP |2＋(2×2)2＝2×20，所以|OP |＝ 6.答案： 67．求以椭圆9x 2＋5y 2＝45的焦点为焦点，且经过点M (2，6)的椭圆的标准方程． 解：法一：方程9x 2＋5y 2＝45可化为x 25＋y 29＝1.则焦点是F 1(0,2)，F 2(0，－2)．设椭圆方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)，∵M 在椭圆上，∴2a ＝|MF 1|＋|MF 2| ＝2－02＋6－22＋2－02＋6＋22＝(23－2)＋(23＋2) ＝43，∴a ＝23，即a 2＝12. ∴b 2＝a 2－c 2＝12－4＝8. ∴椭圆的标准方程为y 212＋x 28＝1.法二：由题意知，焦点F 1(0,2)，F 2(0，－2)，则 设所求椭圆方程为y 2λ＋4＋x 2λ＝1(λ＞0)，将x ＝2，y ＝6代入，得6λ＋4＋4λ＝1，解得λ＝8，λ＝－2(舍去)． 所求椭圆方程为y 212＋x 28＝1.8．点P 为椭圆x 24＋y 2＝1上一点，且∠F 1PF 2＝60°，求△F 1PF 2的面积．解：由题意知，a ＝2，b ＝1，c ＝3，|PF 1|＋|PF 2|＝4.① 在△F 1PF 2中，|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|cos 60°， 即12＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|PF 1||PF 2|.② ①2得：|PF 1|2＋|PF 2|2＋2|PF 1||PF 2|＝16.③ 由②③得：|PF 1||PF 2|＝43.∴S △F 1PF 2＝12|PF 1||PF 2|sin 60°＝12×43×32＝33.1．2 椭圆的简单性质[对应学生用书P46]中国第一颗探月卫星－－“嫦娥一号”发射后，首先进入一个椭圆形地球同步轨道，在第16小时时它的轨迹是近地点200 km ，远地点5 100 km 的椭圆，地球半径约为6 371 km.问题1：此时椭圆的长轴长是多少？提示：⎩⎪⎨⎪⎧a －c ＝6 371＋200，a ＋c ＝6 371＋5 100⇒2a ＝18 042 (km)．问题2：此时椭圆的离心率为多少？ 提示：∵a ＝9 021，c ＝2 450， ∴e ＝c a＝0.271 6.椭圆的简单性质1．椭圆上到中心距离最远和最近的点：短轴端点B 1和B 2到中心O 的距离最近；长轴端点A 1和A 2到中心O 的距离最远．2．椭圆上一点与焦点距离的最值：点(a,0)，(－a,0)与焦点F 1(－c,0)的距离，分别是椭圆上的点与焦点F 1的最大距离和最小距离．3．椭圆的离心率反映了焦点远离中心的程度，e 的大小决定了椭圆的形状，反映了椭圆的圆扁程度．因为a 2＝b 2＋c 2，所以b a＝1－e 2，因此，当e 越趋近于1时，b a越接近于0，椭圆越扁；当e 越趋近于0时，b a越接近于1，椭圆越接近于圆．当且仅当a ＝b 时，c ＝0，两焦点重合，图形变为圆，方程为x 2＋y 2＝a 2.所以e 越大椭圆越扁，e 越小椭圆越圆．[对应学生用书P47][例1] 已知椭圆m 的值及椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐标、顶点坐标．[思路点拨] 将椭圆方程化为标准形式，用m 表示出a ，b ，c ，再由e ＝32，求出m 的值，然后再求2a,2b ，焦点坐标，顶点坐标．[精解详析] 椭圆方程可化为x 2m ＋y 2mm ＋3＝1(m >0)，∵m －m m ＋3＝m m ＋m ＋3＞0，∴m ＞mm ＋3，即a 2＝m ，b 2＝mm ＋3. ∴c ＝a 2－b 2＝ m m ＋m ＋3.由e ＝32，得 m ＋2m ＋3＝32，解得m ＝1， ∴椭圆的标准方程为x 2＋y 214＝1.∴a ＝1，b ＝12，c ＝32.∴椭圆的长轴长为2，短轴长为1， 两焦点坐标分别为F 1⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，0，F 2⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0， 顶点坐标分别为A 1(－1,0)，A 2(1,0)，B 1⎝⎛⎭⎪⎫0，－12，B 2⎝⎛⎭⎪⎫0，12.[一点通] 求椭圆的性质时，应把椭圆方程化为标准方程，注意分清楚焦点的位置，准确地写出a ，b 的数值，进而求出c 及椭圆的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标等几何性质．1．已知椭圆C 1：x 212＋y 24＝1，C 2：x 216＋y 28＝1，则( )A ．C 1与C 2顶点相同B ．C 1与C 2长轴长相同 C ．C 1与C 2短轴长相同D ．C 1与C 2焦距相等解析：由两个椭圆的标准方程可知，C 1的顶点坐标为(±23，0)，(0，±2)，长轴长为43，短轴长为4，焦距为42；C 2的顶点坐标为(±4,0)，(0，±22)，长轴长为8，短轴长为42，焦距为42，故选D.答案：D2．已知椭圆的对称轴是坐标轴，两个顶点的坐标分别为(0,4)，(3,0)，则该椭圆的焦点坐标是( )A ．(±1,0)B ．(0，±1)C ．(±7，0)D ．(0，±7)解析：由题意，椭圆的焦点在y 轴上，a ＝4，b ＝3，所以c ＝a 2－b 2＝42－32＝7，所以椭圆的焦点坐标是(0，±7)，故选D.答案：D3．已知椭圆方程为4x 2＋9y 2＝36，求椭圆的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标和离心率．解：把椭圆的方程化为标准方程x 29＋y 24＝1.可知此椭圆的焦点在x 轴上，且长半轴长a ＝3，短半轴长b ＝2；又得半焦距c ＝a 2－b 2＝9－4＝ 5.因此，椭圆的长轴长2a ＝6，短轴长2b ＝4；两个焦点的坐标分别是(－5，0)，(5，0)；四个顶点的坐标分别是(－3,0)，(3,0)，(0，－2)，(0,2)．离心率e ＝53.[例2] (1)离心率e ＝23，短轴长为85；(2)在x 轴上的一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，且焦距为6.[思路点拨] (1)焦点的位置不确定，可设标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1或y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)．(2)画出图形，结合图形明确已知条件．[精解详析] (1)设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1或y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)． 由已知得e ＝c a ＝23，2b ＝85，∴c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝49，b 2＝80.∴a 2＝144.∴所求椭圆的标准方程为x 2144＋y 280＝1或y 2144＋x 280＝1. (2)如图所示，△A1FA 2为一等腰直角三角形，OF 为斜边A 1A 2的中线(高)，且OF ＝c ，A 1A 2＝2b ，∴c ＝b ＝3，∴a 2＝b 2＋c 2＝18， 故所求椭圆的方程为x 218＋y 29＝1.[一点通]利用椭圆的性质求椭圆的标准方程时，通常采用待定系数法，其步骤是： (1)确定焦点位置．(2)设出相应椭圆的方程(对于焦点位置不确定的椭圆可能有两种标准方程)． (3)根据已知条件建立关于参数的方程，利用方程(组)求参数，列方程(组)时常用的关系式为b 2＝a 2－c 2，e ＝c a等．4．若点P (a,1)在椭圆x 22＋y 23＝1的外部，则a 的取值范围为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－233，233B.⎝⎛⎭⎪⎫233，＋∞∪⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－233C.⎝ ⎛⎭⎪⎫43，＋∞D.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－43解析：因为点P 在椭圆x 22＋y 23＝1的外部，所以a 22＋123＞1，解得a ＞233或a ＜－233，故选B.答案：B5．已知椭圆的对称轴是坐标轴，中心O 为坐标原点，F 是一个焦点，A 是一个顶点，若椭圆的长轴长是6，且cos ∠OFA ＝23，则椭圆的标准方程为____________．解析：∵椭圆的长轴长是6，cos ∠OFA ＝23，∴点A 不是长轴的端点(是短轴的端点)．∴|OF |＝c ，|AF |＝a ＝3，∴c 3＝23.∴c ＝2，b 2＝32－22＝5.∴椭圆的方程是x 29＋y 25＝1或x 25＋y 29＝1.答案：x 29＋y 25＝1或x 25＋y 29＝16．已知椭圆的对称轴为坐标轴，椭圆上的点到焦点的最近距离为4，短轴长为85，求椭圆的方程．解：由题意得，⎩⎨⎧b ＝45，a －c ＝4，a 2＝b 2＋c 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，c ＝8，∴椭圆的方程为x 2144＋y 280＝1或y 2144＋x 280＝1.[例3] 如图所示，椭圆的中心在原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，A ，B 是椭圆的顶点，P 是椭圆上一点，且PF 1⊥x 轴，PF 2∥AB ，求此椭圆的离心率．[思路点拨] 求椭圆的离心率就是设法建立a ，c 的关系式，此题可利用kPF 2＝k AB 以及a 2＝c 2＋b 2来建立a ，c 的关系．[精解详析] 设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)．则有F 1(－c,0)，F 2(c,0)，A (0，b )，B (a,0)， 直线PF 1的方程为x ＝－c ，代入方程x 2a 2＋y 2b 2＝1，得y ＝±b 2a ，∴P ⎝⎛⎭⎪⎫－c ，b 2a .又PF 2∥AB ，∴kPF 2＝k AB ，∴b 2－2ac ＝－b a，即b ＝2c . ∴b 2＝4c 2，∴a 2－c 2＝4c 2，∴c 2a 2＝15.∴e 2＝15，即e ＝55，所以椭圆的离心率为55. [一点通]1．求椭圆离心率的方法：(1)直接求出a 和c ，再求e ＝ca ，也可利用e ＝1－b 2a2求解； (2)若a 和c 不能直接求出，则看是否可利用条件得到a 和c 的齐次等式关系，然后整理成关于ca的方程，即为关于离心率e 的方程，进而求解．2．求离心率的取值范围时，常需建立不等关系，通过解不等式来求离心率的取值范围．7.如图，A ，B ，C 分别为椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的顶点与焦点，若∠ABC＝90°，则该椭圆的离心率为( )A.5－12 B.3－12 C.2－12D.5＋14解析：∵∠ABC ＝90°，∴|BC |2＋|AB |2＝|AC |2， ∴c 2＋b 2＋a 2＋b 2＝(a ＋c )2，又b 2＝a 2－c 2， ∴a 2－c 2－ac ＝0. ∴e 2＋e －1＝0，e ＝5－12⎝ ⎛⎭⎪⎫e ＝－5－12舍去. 答案：A1．已知椭圆的方程讨论性质时，若不是标准形式，要先化成标准形式，再确定焦点位置，求准a ，b .2．求离心率e 时，注意方程思想的运用．[对应课时跟踪训练十五1．若椭圆x 25＋y 2m ＝1的离心率e ＝105，则m 的值是( )A ．3B ．3或253C.15D.5或5153解析：若焦点在x 轴上，则a ＝5，由c a ＝105得c ＝2， ∴b ＝a 2－c 2＝3，∴m ＝b 2＝3. 若焦点在y 轴上，则b 2＝5，a 2＝m .∴m －5m ＝25， ∴m ＝253.答案：B2．(广东高考)已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为F (1,0)，离心率等于12，则C 的方程是( )A.x 23＋y 24＝1B.x 24＋y 23＝1 C.x 24＋y 22＝1 D.x 24＋y 23＝1 解析：由右焦点为F (1,0)可知c ＝1，因为离心率等于12，即c a ＝12，故a ＝2，由a 2＝b2＋c 2知b 2＝3，故椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.故选 D.答案：D3．(新课标全国卷)设F 1，F 2是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，P 为直线x ＝3a2上一点，△F 2PF 1是底角为30°的等腰三角形，则E 的离心率为( )A.12 B.23 C.34D.45解析：由题意可得|PF 2|＝|F 1F 2|，∴2⎝ ⎛⎭⎪⎫32a －c ＝2c . ∴3a ＝4c .∴e ＝34.答案：C4．已知P (m ，n )是椭圆x 2＋y 22＝1上的一个动点，则m 2＋n 2的取值范围是( )A ．(0,1]B ．[1,2]C ．(0,2]D ．[2，＋∞)解析：因为P (m ，n )是椭圆x 2＋y 22＝1上的一个动点，所以m 2＋n 22＝1，即n 2＝2－2m 2，所以m 2＋n 2＝2－m 2，又－1≤m ≤1，所以1≤2－m 2≤2，所以1≤m 2＋n 2≤2，故选B.答案：B5．椭圆的短轴长大于其焦距，则椭圆的离心率的取值范围是________． 解析：由题意2b >2c ，即b >c ，即a 2－c 2>c ， ∴a 2－c 2>c 2，则a 2>2c 2.∴c 2a 2<12，∴0<e <22. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22 6．焦点在x 轴上的椭圆，焦距|F 1F 2|＝8，离心率为45，椭圆上的点M 到焦点F 1的距离2，N 为MF 1的中点，则|ON |(O 为坐标原点)的值为________．解析：∵|F 1F 2|＝2c ＝8，e ＝c a ＝45，∴a ＝5，∵|MF 1|＋|MF 2|＝2a ＝10，|MF 1|＝2，∴|MF 2|＝8. 又∵O ，N 分别为F 1F 2，MF 1的中点，∴ON 是△F 1F 2M 的中位线，∴|ON |＝12|MF 2|＝4.答案：47．求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)中心在坐标原点，长轴在x 轴上，离心率为32，且椭圆上一点到两个焦点的距离之和为12；(2)对称轴是坐标轴，一个焦点是(0,7)，一个顶点是(9,0)．解：(1)依题意设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，∵椭圆上一点到其两个焦点的距离之和为12，∴2a ＝12，即a ＝6.∵椭圆的离心率为32， ∴e ＝c a ＝a 2－b 2a ＝32，∴36－b 26＝32，∴b 2＝9. ∴椭圆的标准方程为x 236＋y 29＝1. (2)由题意知椭圆的焦点在y 轴上，可设椭圆的标准方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，则b ＝9，因为c ＝7，所以a 2＝b 2＋c 2＝81＋49＝130，所以椭圆的标准方程为y 2130＋x 281＝1. 8．已知F 1，F 2是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点，A 是椭圆上位于第一象限内的一点，若2AF ·12F F ＝0，椭圆的离心率等于22，△AOF 2的面积为22，求椭圆的方程． 解：如图，∵2AF ·12F F ＝0，∴AF 2⊥F 1F 2，∵椭圆的离心率e ＝c a ＝22， ∴b 2＝12a 2，设A (x ，y )(x >0，y >0)， 由AF 2⊥F 1F 2知x ＝c ，∴A (x ，y )代入椭圆方程得c 2a 2＋y 2b2＝1， ∴y ＝b 2a .∵△AOF 2的面积为22， ∴S △AOF 2＝12c ·b 2a＝22， 而c a ＝22，∴b 2＝8，a 2＝2b 2＝16，x2 16＋y28＝1.故椭圆的标准方程为：。

陕西省西安市高中数学第三章圆锥曲线与方程教案北师大版选修21教材解析与以往教材中先讲曲线方程的概念，再用方程研究曲线性质的“演绎”式的处理不同，本教材从必修部分开始，先直接给出直线、圆等特殊曲线的方程，并用其研究曲线性质，这是符合学生的认知规律，使得“形式化”有了感性的基础，深化了对数学本质的理解．另外对圆锥曲线的学习,主要是结合已学过的曲线及其方程的实例,了解曲线与方程的对应关系，进一步体会数形结合的思想.同时,在学习平面解析几何初步的基础上,学习圆锥曲线与方程,了解圆锥曲线与二次方程的关系，掌握圆锥曲线的基本几何性质,感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用．课时安排3．1 椭圆 4课时3.1.1 椭圆及其标准方程3.1.2 椭圆的简单性质3．2 抛物线 3课时3.2.1 抛物线及其标准方程3.2.2 抛物线的简单性质3．3 双曲线 3课时3.3.1 双曲线及其标准方程3.3.2 双曲线的简单性质3．4 曲线与方程 3课时3.4.1 曲线与方程3.4.2 圆锥曲线的共同特征3.4.3 直线与圆锥曲线的交点小结 1课时§3.1.1椭圆的标准方程(1)§3.1.1椭圆及其标准方程（2）§3.1.2 椭圆的简单性质授课时间第周星期第节课型讲授新课主备课人李春侠学习目标依据椭圆图形及标准方程，概括出椭圆的简单性质.掌握4点性质与图形的对应关系，能依据性质画椭圆简图重点难点重点是由图形和方程观察概括出性质，离心率的意义及转化是难点学习过程与方法自主学习：【回顾】①到两定点距离之和等于一定值的点的轨迹一定是椭圆吗？②方程14922=+yx，表示怎么样的椭圆？（焦点,,a b c值）1.阅读课本P65至66例4前，回答：标准方程22221(0)x ya ba b+=>>或22221(0)y xa ba b+=>>中①椭圆既是对称图形，又是对称图形，其对称轴是对称中心是②椭圆所有点都在由直线和围成的矩形内，所以，椭圆上点的坐标满足③椭圆的四个顶点其中:12A A叫12B B叫且︱12A A︳= ︱12B B︱=a叫，b叫。