高中数学选修2-1全套教案教学文案

选修2—1教案第一章常用逻辑用语1.1命题及其关系1.1.1命题（一）教学目标1、知识与技能：理解命题的概念和命题的构成，能判断给定陈述句是否为命题，能判断命题的真假；能把命题改写成“若P，则q”的形式；2、过程与方法：多讣学住举命题的例子，培养他们的辨析能力；以及培养他们的分析问题和解决问题的能力；3、情感、态度与价值观：通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣。

（二）教学重点与难点重点：命题的概念、命题的构成难点：分清命题的条件、结论和判断命题的真假（三）教学过程1.复习回顾初屮已学过命题的知识，请同学们回顾：什么叫做命题？2•思考、分析下列语旬的表述形式冇什么特点？你能判断他们的真假吗？（1）若直线&〃b,则直线a与直线b没有公共点.（2）2+4=7.（3）垂直于同一条直线的两个平面平行.（4 ）若x2=l,则x=l.（5 ）两个全等三角形的面积相等.（6 ）3能被2整除.3•讨论、判断学牛通过讨论，总结：所有句子的表述都是陈述句的形式，每句话都判断什么事情。

具屮（1）（3）（5）的判断为真，（2）（4）（6）的判断为假。

教师的引导分析：所谓判断，就是肯定一个事物是什么或不是什么，不能含混不清。

4、抽象、归纳定义：一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题.命题的定义的要点：能判断真假的陈述句.在数学课中，只研究数学命题，请学生举几个数学命题的例子.教师再与学生共同从命题的定义，判断学生所举例子是否是命题，从“判断”的角度來加深対命题这一概念的理解.5、练习、深化判断下列语句是否为命题？（1）空集是任何集合的子集.（2）若整数a是素数，则是a奇数.（3 ）指数函数是增函数吗？（4 ）若平面上两条直线不相交，则这两条直线平行.（5）何=_2.（6）x> 1 5 .让学生思考、辨析、讨论解决，且通过练习，引导学生总结：判断-个语句是不是命题，关键看两点: 第一是“陈述句”，第二是“可以判断真假”，这两个条件缺一不可.疑问句、祈使句、感叹句均不是命题.解略。

选修 2—1 教案第一章常用逻辑用语1.1 命题及其关系1.1.1命题（一）教学目标１、知识与技能：理解命题的概念和命题的构成，能判断给定陈述句是否为命题，能判断命题的真假；能把命题改写成“若p，则 q”的形式；２、过程与方法：多让学生举命题的例子，培养他们的辨析能力；以及培养他们的分析问题和解决问题的能力；３、情感、态度与价值观：通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣。

（二）教学重点与难点重点：命题的概念、命题的构成难点：分清命题的条件、结论和判断命题的真假（三）教学过程1．复习回顾初中已学过命题的知识，请同学们回顾：什么叫做命题？2．思考、分析下列语句的表述形式有什么特点？你能判断他们的真假吗？（1）若直线 a∥ b，则直线 a 与直线 b 没有公共点．（2） 2+4=7．（3）垂直于同一条直线的两个平面平行．（４）若x2=1, 则 x=1．（５）两个全等三角形的面积相等．（６）３能被２整除．3．讨论、判断学生通过讨论，总结：所有句子的表述都是陈述句的形式，每句话都判断什么事情。

其中（ 1）（ 3）（ 5）的判断为真，（ 2）（ 4）（ 6）的判断为假。

教师的引导分析：所谓判断，就是肯定一个事物是什么或不是什么，不能含混不清。

4．抽象、归纳定义：一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．命题的定义的要点：能判断真假的陈述句．在数学课中，只研究数学命题，请学生举几个数学命题的例子．教师再与学生共同从命题的定义，判断学生所举例子是否是命题，从“判断” 的角度来加深对命题这一概念的理解．5．练习、深化判断下列语句是否为命题？（１）空集是任何集合的子集．（２）若整数 a 是素数，则是 a 奇数．（３）指数函数是增函数吗？（４）若平面上两条直线不相交，则这两条直线平行．（５）( 2)2＝－２．（６） x＞１５．让学生思考、辨析、讨论解决，且通过练习，引导学生总结：判断一个语句是不是命题，关键看两点：第一是“陈述句” ，第二是“可以判断真假” ，这两个条件缺一不可．疑问句、祈使句、感叹句均不是命题．解略。

四种命题、四种命题的相互关系（一）教学目标◆知识与技能：了解原命题、逆命题、否命题、逆否命题这四种命题的概念，掌握四种命题的形式和四种命题间的相互关系，会用等价命题判断四种命题的真假．◆过程与方法：多让学生举命题的例子，并写出四种命题，培养学生发现问题、提出问题、分析问题、有创造性地解决问题的能力；培养学生抽象概括能力和思维能力．◆情感、态度与价值观：通过学生的举例，激发学生学习数学的兴趣和积极性，培养他们的辨析能力以及培养他们的分析问题和解决问题的能力．（二）教学重点与难点重点：（1）会写四种命题并会判断命题的真假；（2）四种命题之间的相互关系．难点：（1）命题的否定与否命题的区别；（2）写出原命题的逆命题、否命题和逆否命题；（3）分析四种命题之间相互的关系并判断命题的真假．教具准备：与教材内容相关的资料。

教学设想：通过学生的举例，激发学生学习数学的兴趣和积极性，培养他们的辨析能力以及培养他们的分析问题和解决问题的能力．（三）教学过程学生探究过程：１．复习引入初中已学过命题与逆命题的知识，请同学回顾：什么叫做命题的逆命题？2．思考、分析问题1：下列四个命题中，命题（1）与命题（2）（3）（4）的条件与结论之间分别有什么关系？（1）若f(x)是正弦函数，则f(x)是周期函数．（2）若f(x)是周期函数，则f(x)是正弦函数．（3）若f(x)不是正弦函数，则f(x)不是周期函数．（4）若f(x)不是周期函数，则f(x)不是正弦函数．３．归纳总结问题一通过学生分析、讨论可以得到正确结论．紧接结合此例给出四个命题的概念，（１）和（２）这样的两个命题叫做互逆命题，（１）和（３）这样的两个命题叫做互否命题，（１）和（４）这样的两个命题叫做互为逆否命题。

４．抽象概括定义１：一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么我们把这样的两个命题叫做互逆命题．其中一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的逆命题．让学生举一些互逆命题的例子。

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高中数学（选修2－1）教案孔德友庐江县第三中学1.1命题及其关系第一课时1.1.1 命题一、教学目标：１、知识与技能：理解命题的概念和命题的构成，能判断给定陈述句是否为命题，能判断命题的真假；能把命题改写成“若p，则q”的形式；２、过程与方法：多让学生举命题的例子，培养他们的辨析能力；以及培养他们的分析问题和解决问题的能力；３、情感、态度与价值观：通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣。

二、教学重点与难点：重点：命题的概念、命题的构成；难点：分清命题的条件、结论和判断命题的真假。

三、教学方法：探析归纳，讲练结合三、教学过程（一）、复习回顾：初中已学过命题的知识，请同学们回顾：什么叫做命题？（二）、探析新课1、思考、分析：下列语句的表述形式有什么特点？你能判断他们的真假吗？（1）若直线a∥b，则直线a与直线b没有公共点．（2）2+4=7．（3）垂直于同一条直线的两个平面平行．（４）若x2=1,则x=1．（５）两个全等三角形的面积相等．（６）３能被２整除．2、讨论、判断：学生通过讨论，总结：所有句子的表述都是陈述句的形式，每句话都判断什么事情。

其中（1）（3）（5）的判断为真，（2）（4）（6）的判断为假。

教师的引导分析：所谓判断，就是肯定一个事物是什么或不是什么，不能含混不清。

3、抽象、归纳：定义：一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．命题的定义的要点：能判断真假的陈述句．在数学课中，只研究数学命题，请学生举几个数学命题的例子．教师再与学生共同从命题的定义，判断学生所举例子是否是命题，从“判断”的角度来加深对命题这一概念的理解．4、练习、深化：判断下列语句是否为命题？（１）空集是任何集合的子集．（２）若整数a是素数，则是a奇数．（３）指数函数是增函数吗？（４）若平面上两条直线不相交，则这两条直线平行．（５）2)2(＝－２．（６）x＞１５．让学生思考、辨析、讨论解决，且通过练习，引导学生总结：判断一个语句是不是命题，关键看两点：第一是“陈述句”，第二是“可以判断真假”，这两个条件缺一不可．疑问句、祈使句、感叹句均不是命题．解略。

第一章 常用逻辑用语1.1 命题及其关系第1课时 命 题一、基本概念1．命题的定义：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句，叫做命题．2．命题的分类：判断为真的语句称为真命题；判断为假的语句称为假命题．3．数学中的定义、公理、公式、定理都是命题，但命题不一定都是定理，因为命题有真假之分，而定理是真命题．题型一、命题概念的理解例1、判断下列语句是否是命题，并说明理由．(1)求证：3是无理数；(2)x 2＋4x ＋4≥0，x ∈R ；(3)你是高一的学生吗？(4)并非所有的人都喜欢苹果．[解析] (1)祈使句，不是命题．(2)x2＋4x ＋4＝(x ＋2)2≥0，它包括x2＋4x ＋4>0，或x2＋4x ＋4＝0，对于x ∈R ，可以判断真假，它是命题．(3)是疑问句，不涉及真假，不是命题．(4)是命题，人群中有的人喜欢苹果，也存在着不喜欢苹果的人．题型二、命题真假的判断例2、给出以下命题：①f (x )＝tan x 的图象关于点⎪⎭⎫ ⎝⎛+0,2ππk (k ∈Z )对称；②f (x )＝－cos(k π＋x )(k ∈Z )是偶函数； ③f (x )＝cos|x |是最小正周期为π的周期函数；④y ＝3|sin x |＋4|cos x |的最大值为5；⑤y ＝sin 2x －cos x 的最小值为－1.其中所有真命题的序号是__________________[答案] ①②④⑤．题型三、命题的结构例3、把下列命题写成“若p ，则q ”的形式，并判断其真假．(1)实数的平方是非负数；(2)等底等高的两个三角形是全等三角形；(3)能被6整除的数既能被3整除也能被2整除；(4)弦的垂直平分线经过圆心，并平分弦所对的弧．[解析] (1)原命题可以写成：若一个数是实数，则它的平方是非负数．这个命题是真命题．(2)原命题可以写成：若两个三角形等底等高，则这两个三角形是全等三角形．这个命题是假命题．(3)原命题可以写成：若一个数能被6整除，则它既能被3整除也能被2整除．这个命题是真命题．(4)原命题可以写成：若一条直线是弦的垂直平分线，则这条直线经过圆心且平分弦所对的弧．这个命题是真命题．例4、判断下列命题的真假：(1)如果a >b ，那么1a <1b；(2)x ＝1是方程x 2－3x ＋2＝0的根． 解、(1)假命题．当ab >0时，如果a >b ，那么1a <1b ；当ab <0时，如果a >b ，那么1a >1b；当a ＝0或b ＝0时，1a 或1b无意义． (2)真命题．x ＝1时，x 2－3x ＋2＝0成立，故x ＝1是方程x 2－3x ＋2＝0的根．课堂练习1．下列语句中，是命题的是( )A ．3比5大B ．太阳和月亮C ．高年级的学生D ．022=+y x[答案] A[解析] 3比5大是一个假命题．B 、C 、D 都不能判断真假．2．下列命题为真命题的是( )A ．若1x ＝1y，则x ＝y B ．若x 2＝1，则x ＝1 C ．若x ＝y ，则x ＝y D ．若x <y ，则x 2<y 2[解析] B 中，若x 2＝1，则x ＝±1；C 中，若x ＝y <0，则x 与y 无意义；D 中，若x ＝－2，y ＝－1，满足x <y ，但x 2>y 2，故选A.3．)设m ∈R ，命题“若m ＞0，则方程02=-+m x x 有实根”的逆否命题是( )A ．若方程02=-+m x x 有实根，则m ＞0B ．若方程02=-+m x x 有实根，则m ≤0C ．若方程02=-+m x x 没有实根，则m ＞0D ．若方程02=-+m x x 没有实根，则m ≤0[答案] D课后作业一、选择题1．下列语句中命题的个数为( )①{0}∈N ；②他长得很高；③地球上的四大洋；④5的平方是20.A ．0B ．1C ．2D ．3[答案] C[解析] ①④是命题，②③不是命题．地球上的四大洋是不完整的句子．2．若a >1，则函数f (x )＝a x 是增函数( )A ．不是命题B ．是真命题C ．是假命题D ．是命题，但真假与x 的取值有关[答案] B[解析] 当a >1时，指数函数f (x )＝a x 是增函数，故“若a >1，则函数f (x )＝a x 是增函数”是真命题．3．给定下列命题：①若k >0，则方程x 2＋2x －k ＝0有实数根；②若a >b >0，c >d >0，则ac >bd ；③对角线相等的四边形是矩形；④若xy ＝0，则x 、y 中至少有一个为0.其中是真命题的是( )A ．①②③B ．①②④C ．①③④D ．②③④ [答案] B[解析] ①中Δ＝4－4(－k )＝4＋4k >0，所以①为真命题；②由不等式的乘法性质知命题正确，所以②为真命题；③如等腰梯形对角线相等，不是矩形，所以③是假命题；④由等式性质知命题正确，所以④是真命题，故选B.4．下面的命题中是真命题的是( )A ．y ＝sin 2x 的最小正周期为2πB ．若方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两根同号，则c a>0 C ．如果M ⊆N ，那么M ∪N ＝MD ．在△ABC 中，若AB →·BC →>0，则△ABC 为锐角三角形[答案] B[解析] y ＝sin 2x ＝1－cos2x 2，T ＝2π2＝π，故A 为假命题； 当M ⊆N 时，M ∪N ＝N ，故C 为假命题；当AB →·BC →>0时，向量AB →与BC →的夹角为锐角，B 为钝角，故D 为假命题．5．设a 是已知的平面向量且a ≠0.关于向量a 的分解，有如下四个命题：①给定向量b ，总存在向量c ，使a ＝b ＋c ；②给定向量b 和c ，总存在实数λ和μ，使a ＝λb ＋μc ；③给定向量b 和正数μ，总存在单位向量c ，使a ＝λb ＋μc .④给定正数λ和μ，总存在单位向量b 和单位向量c ，使a ＝λb ＋μc .上述命题中的向量b 、c 和a 在同一平面内，且两两不共线，则真命题的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4[答案] C[解析] 对于①，由向量的三角形加法法则可知其正确；由平面向量基本定理知②正确；对③，可设e 与b 是不共线单位向量，则存在实数λ，y 使a ＝λb ＋y e ，若y >0，则取μ＝y ，c ＝e ，若y <0，则取μ＝－y ，c ＝－e ，故③正确；④显然错误，给定正数λ和μ，不一定满足“以|a |，|λb |，|μc |为三边长可以构成一个三角形”，这里单位向量b 和c 就不存在．可举反例：λ＝μ＝1，b 与c 垂直，此时必须a 的模为2才成立．二、填空题6．给出下列四个命题：①若a >b >0，则1a >1b ；②若a >b >0，则a －1a >b －1b ；③若a >b >0，则2a ＋b a ＋2b >a b；④若a >0，b >0，且2a ＋b ＝1，则2a ＋1b的最小值为9.其中正确命题的序号是__________________．(把你认为正确命题的序号都填上)[答案] ②④7．已知函数f (x )＝|x 2－2ax ＋b |(x ∈R )，给出下列命题：①若a 2－b ≤0，则f (x )在区间[a ，＋∞)上是增函数；②若a 2－b >0，则f (x )在区间[a ，＋∞)上是增函数；③当x ＝a 时，f (x )有最小值b －a 2；④当a 2－b ≤0时，f (x )有最小值b －a 2.其中正确命题的序号是______________．[答案] ①④[解析] 由题意知f (x )＝|x 2－2ax ＋b |＝|(x －a )2＋b －a 2|.若a 2－b ≤0，则f (x )＝|(x －a )2＋b －a 2|＝(x －a )2＋b －a 2，可知f (x )在区间[a ，＋∞)上是增函数，所以①正确，②错误；只有在a 2－b ≤0的条件下，才可能在x ＝a 时，f (x )取最小值b －a 2，所以③错误，④正确．三、解答题8．把下列命题改写成“若p ，则q ”的形式．(1)ac >bc ⇒a >b ；(2)当m >14时，mx 2－x ＋1＝0无实根；(3)方程x 2－2x －3＝0的解为x ＝3或x ＝－1.[解析] (1)若ac >bc ，则a >b .(2)若m >14，则mx 2－x ＋1＝0无实根． (3)若x 2－2x －3＝0，则x ＝3或x ＝－1.8．已知命题p ：lg(x 2－2x －2)≥0；命题q ：0<x <4，若命题p 是真命题，命题q 是假命题，求实数x 的取值范围．[解析] 由lg(x 2－2x －2)≥0，得x 2－2x －2≥1，即x 2－2x －3≥0.解得x ≤－1或x ≥3.故命题p ：x ≤－1或x ≥3.又命题q ：0<x <4，且命题p 为真，命题q 为假，则⎩⎪⎨⎪⎧x ≤－1或x ≥3x ≤0或x ≥4， 所以x ≤－1或x ≥4.所以，满足条件的实数x 的取值范围为(－∞，－1]∪[4，＋∞)．第2课时 四种命题及其相互关系一、基本概念1．一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么我们把这样的两个命题叫做互逆命题，其中一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的逆命题．若原命题是“若p，则q”，则其逆命题为“若q，则p”．2．对于两个命题，其中一个命题的条件和结论分别是另一个命题的条件的否定和结论的否定．我们把这样的两个命题叫做互否命题，如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做原命题的否命题．若原命题为“若p，则q”，则其否命题为“若¬p，则¬q”．3．对于两个命题，其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，我们把这样的两个命题叫做互为逆否命题，如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做原命题的逆否命题．若原命题为“若p，则q”，则其逆否命题为“若¬q，则¬p”．4．四种命题的相互关系5．(1)原命题为真，它的逆命题不一定为真．(2)原命题为真，它的否命题不一定为真．(3)原命题为真，它的逆否命题一定为真．即互为逆否的命题是等价命题，它们同真同假，同一个命题的逆命题和否命题是一对互为逆否的命题，它们同真同假题型一、四种命题的概念例1、写出下列命题的逆命题、否命题与逆否命题．(1)正数的平方根不等于0；(2)当x＝2时，x2＋x－6＝0；(3)若a>b，则ac2>bc2.[解析](1)原命题：若a是正数，则a的平方根不等于0；逆命题：若a的平方根不等于0，则a是正数；否命题：若a不是正数，则a的平方根等于0；逆否命题：若a的平方根等于0，则a不是正数；(2)原命题：若x＝2，则x2＋x－6＝0；逆命题：若x2＋x－6＝0，则x＝2.否命题：若x≠2，则x2＋x－6≠0；逆否命题：若x2＋x－6≠0，则x≠2.(3)原命题：若a>b，则ac2>bc2；逆命题：若ac2>bc2，则a>b；否命题：若a≤b，则ac2≤bc2；逆否命题：若ac2≤bc2，则a ≤b.题型二、四种命题真假的判断例2、判断下列命题的真假，写出它们的逆命题、否命题、逆否命题，并判断其真假．(1)若四边形的对角互补，则该四边形是圆的内接四边形；(2)若在二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 中，b 2－4ac <0，则该函数图象与x 轴有交点．[解析] (1)该命题为真．逆命题：若四边形是圆的内接四边形，则四边形的对角互补，为真．否命题：若四边形的对角不互补，则该四边形不是圆的内接四边形，为真．逆否命题：若四边形不是圆的内接四边形，则四边形的对角不互补，为真．(2)该命题为假．逆命题：若二次函数y ＝ax2＋bx ＋c 的图象与x 轴有公共点，则b2－4ac<0，为假． 否命题：若二次函数y ＝ax2＋bx ＋c 中b2－4ac ≥0，函数图象与x 轴无公共点，为假． 逆否命题：若二次函数y ＝ax2＋bx ＋c 的图象与x 轴无公共点，则b2－4ac ≥0，为假． 题型三、四种命题间的相互关系例3、若命题p 的否命题为q ，命题p 的逆否命题为r ，则q 与r 的关系是( )A ．互逆命题B ．互否命题C ．互为逆否命题D ．以上都不正确[答案] A例4、有下列四个命题：①“若x ＋y ＝0，则x ，y 互为相反数”的逆命题；②“若a>b ，则22b a >”的逆否命题；③“若x ≤－3，则062>-+x x ”的否命题；④“若ab 是无理数，则a ，b 是无理数”的逆命题．其中真命题的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3[答案] B题型四、正难则反，等价转化思想例5、证明：已知函数f (x )是(－∞，＋∞)上的增函数，a 、b ∈R ，若f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )，则a ＋b ≥0.[解析] 原命题的逆否命题为“已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a 、b ∈R ，若a ＋b<0，则f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)．”证明如下：若a ＋b<0，则a<－b ，b<－a ，又∵f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，∴f(a)<f(－b)，f(b)<f(－a)．∴f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)，即逆否命题为真命题．∴原命题为真命题．课堂练习1．命题“若α＝π4，则tan α＝1”的逆否命题是( )A ．若α≠π4，则tan α≠1B ．若α＝π4，则tan α≠1 C ．若tan α≠1，则α≠π4 D ．若tan α≠1，则α＝π4[答案] C2．下列说法正确的是( )A ．命题“若x 2＝4，则x ＝2”的否命题是真命题B ．命题“若a ＋3是有理数，则a 是无理数”的逆命题是真命题C ．命题“若x >a 2＋b 2，则x >2ab ”为假命题D ．命题“若x ＝y ，则tan x ＝tan y ”的逆否命题是假命题[答案] A课后作业一、选择题1．给出命题：若函数y ＝f (x )是幂函数，则它的图象不过第四象限，在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是( )A ．3B ．2C ．1D ．0[答案] C[解析] 原命题是真命题，因为幂函数的图象不过第四象限，反过来，图象不过第四象限的函数不一定是幂函数，所以逆命题为假命题，根据等价命题的真假性相同可知，否命题为假命题，逆否命题为真命题，故选C.2．“若x 2＝1，则x ＝1”的否命题为( )A ．若x 2≠1，则x ＝1B ．若x 2＝1，则x ≠1C ．若x 2≠1，则x ≠1D ．若x ≠1，则x 2≠1[答案] C[解析] “若p 则q ”的否命题形式为“若¬p 则¬q ”．3．“a 2＋b 2≠0”的含义是( )A ．a 、b 不全为0B ．a 、b 全不为0C ．a 、b 至少有一个为0D ．a 不为0且b 为0，或b 不为0且a 为0[答案] A[解析] 若a 2＋b 2≠0，则a ≠0且b ≠0，或a ＝0且b ≠0，或a ≠0且b ＝0，即a 、b 不全为0，故选A.4．已知命题p ：“若a >b >0，则log 12 a <log 12 b ＋1”，则命题p 及它的逆命题、否命题、逆否命题中正确命题的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．4[答案] C[解析]对于命题p，当a>b>0时，有log12a<log12b，则必有log12a<log12b＋1，因此原命题正确，逆否命题也正确；但当log12a<log12b＋1时，得log12a<log12b2，即a>b2>0，此时不一定有a>b>0，因此逆命题不正确，则命题p的否命题也不正确．因此一共有2个正确命题，故选C.5．设a、b是向量，命题“若a＝－b，则|a|＝|b|”的逆命题是()A．若a≠－b，则|a|≠|b| B．若a＝－b，则|a|≠|b|C．若|a|≠|b|，则a≠－b D．若|a|＝|b|，则a＝－b[答案] D[解析]命题“若a＝－b，则|a|＝|b|”的逆命题是“若|a|＝|b|，则a＝－b”，故选D.二、填空题6．命题“若∠C＝90°，则△ABC是直角三角形”的否命题的真假性为__________________．[答案]假[解析]原命题的否命题是“若∠C≠90°，则△ABC不是直角三角形”，是假命题．7．“若a∈A，则a∈B”的逆否命题为__________________．[答案]若a∉B，则a∉A[解析]一个命题的逆否命题是结论的否定作条件，条件的否定作结论，故原命题的逆否命题为“若a∉B，则a∉A”．三、解答题8．判断命题“已知a、x为实数，如果关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集非空，则a≥1”的逆否命题的真假．[解析]逆否命题：已知a，x为实数，如果a<1，则关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集为空集，真命题．判断如下：抛物线y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2开口向上，判别式Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)＝4a－7.∵a<1，∴4a－7<0，即抛物线y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2与x轴无交点，∴关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集为空集，故逆否命题为真．9．已知a、b∈R，且a2－4b>0.写出命题“若a＋b＋1<0，则方程x2＋ax＋b＝0的两个实根满足x1<1<x2”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假．[解析]逆命题：已知a、b∈R，且a2－4b>0，若方程x2＋ax＋b＝0的两根满足x1<1<x2，则a＋b＋1<0.否命题：已知a、b∈R，且a2－4b>0，若a＋b＋1≥0，则方程x2＋ax＋b＝0的两个实根不满足x1<1<x2.逆否命题：已知a、b∈R，且a2－4b>0，若x2＋ax＋b＝0的两个实根不满足x1<1<x2，则a＋b＋1≥0.下面对真假进行判断：(1)令f(x)＝x2＋ax＋b.∵f(1)＝a＋b＋1<0，f(x)的图象为开口向上的抛物线，∴x2＋ax＋b＝0的两个实根满足x1<1<x2，故原命题为真命题．(2)∵方程x2＋ax＋b＝0的两实根满足x1<1<x2，∴(x1－1)(x2－1)<0，x1＋x2＝－a，x1x2＝b，∴a＋b＋1<0，故逆命题为真命题．由四种命题的关系可知，否命题和逆命题都是真命题．第二节充分条件与必要条件一、基本概念1．如果命题“若p，则q”为真，则记为p⇒q，“若p则q”为假，记为p⇒/q.2．如果已知p⇒q，则称p是q的充分条件，q是p的必要条件．3．如果既有p ⇒q ，又有q ⇒p ，则p 是q 的充要条件，记为p ⇔q.4．如果p ⇒/ q 且q ⇒/ p ，则p 是q 的既不充分也不必要条件．5．如果p ⇒q 且q ⇒/ p ，则称p 是q 的充分不必要条件．6．如果p ⇒/ q 且q ⇒p ，则称p 是q 的必要不充分条件．题型一、充分条件例1、已知p ：2x ＋m >0，q ：x 2－4x >0，若p 是q 的充分条件，则实数m 的取值范围是_________．[答案] (－∞，－8]题型二、必要条件例2、下列命题中是真命题的是( )①“x >3”是“x >4”的必要条件；②“x ＝1”是“x 2＝1”的必要条件；③“a ＝0”是“ab ＝0”的必要条件；④“函数f (x )的定义域关于坐标原点对称”是“函数f (x )为奇函数”的必要条件．A ．①②B ．②③C ．②④D ．①④[答案] D题型三、充要条件例3、(2015·齐齐哈尔中学高二期中测试)方程x 2＋y 2＋4mx －2y ＋5m ＝0表示圆的充要条件是( )A.14<m <1 B ．m <14或m >1 C ．m <14D ．m >1 [答案] B题型四、充要条件的证明例4、求证：关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一个根为1的充要条件是a ＋b ＋c ＝0.[解析] ∵关于x 的方程ax2＋bx ＋c ＝0有一个根为1，∴x ＝1满足方程ax2＋bx ＋c ＝0.∴a ×12＋b ×1＋c ＝0，即a ＋b ＋c ＝0.充分性：∵a ＋b ＋c ＝0，∴c ＝－a －b ，代入方程ax2＋bx ＋c ＝0中可得ax2＋bx －a －b ＝0，即(x －1)(ax ＋a ＋b)＝0. 因此，方程有一个根为x ＝1.故关于x 的方程ax2＋bx ＋c ＝0有一个根为1的充要条件是a ＋b ＋c ＝0.例5、a 、b 为非零向量．“a ⊥b ”是“函数f (x )＝(x a ＋b )·(x b －a )为一次函数”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解 B课堂练习1．设a 、b ∈R ，则“a ＋b>2”是“a>1且b>1”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[答案] B2．设A 、B 是两个集合，则“A ∩B ＝A ”是“A ⊆B ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[答案] C3．设a ∈R ，则“a ＝1”是“直线l1：ax ＋2y －1＝0与直线l2：x ＋(a ＋1)y ＝0平行”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 [答案] A4．若“x<a ”是“2x －2x －3≥0”的充分不必要条件，则a 的取值范围是__________________． [答案] a ≤－1 课后作业 一、选择题1．若向量a ＝(x,3)(x ∈R )，则“x ＝4”是“|a |＝5”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[答案] A[解析] 若x ＝4，则a ＝(4,3)， ∴|a |＝42＋32＝5， 若|a |＝5，则x 2＋32＝5，∴x ＝±4，故“x ＝4”是“|a |＝5”的充分而不必要条件． 2．设p ：1＜x ＜2，q ：2x ＞1，则p 是q 成立的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件[答案] A[解析] 由q ：2x >20，解得x >0，易知，p 能推出q ，但q 不能推出p ，故p 是q 成立的充分不必要条件，选A.3．“x >1”是“log 12(x ＋2)<0”的( )A ．充要条件B ．充分而不必要条件C ．必要而不充分条件D ．既不充分也不必要条件[答案] B[解析] 由log 12(x ＋2)＜0，得x ＋2＞1，解得x ＞－1，所以“x ＞1”是“log 12(x ＋2)＜0”的充分不必要条件，故选B.4．“φ＝π”是“曲线y ＝sin(2x ＋φ)过坐标原点”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件[答案] A[解析] 本题考查充要条件及三角函数的性质．当φ＝π时，y ＝sin(2x ＋π)＝－sin2x ，此时图象过原点；而当函数图象过原点时，φ可以取其他值．选A.5．已知向量a ＝(x －1,2)、b ＝(2,1)，则a ⊥b 的充要条件是( )A ．x ＝－12B ．x ＝－1C ．x ＝5D ．x ＝0[答案] D[解析] 本题考查了两向量垂直的坐标运算． ∵a ＝(x －1,2)，b ＝(2,1)，a ⊥b ，∴a ·b ＝(x －1,2)·(2,1)＝2(x －1)＋2＝2x ＝0，即x ＝0.6．“B ＝60°”是“△ABC 三个内角A ，B ，C 成等差数列”的( )A ．充分而不必要条件B ．充要条件C ．必要而不充分条件D ．既不充分也不必要条件[答案] B[解析] 在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝180°，若B ＝60°，则A ＋C ＝180°－60°＝120°，∴A ＋C ＝2B ，∴△ABC 三个内角A ，B ，C 成等差数列．若△ABC 三个内角A ，B ，C 成等差数列，则A ＋C ＝2B ，∴A ＋B ＋C ＝3B ＝180°，∴B ＝60°.故选B. 二、填空题7．直线x ＋y ＋m ＝0与圆(x －1)2＋(y －1)2＝2相切的充要条件是__________________．[答案] m ＝－4或0[解析] 直线x ＋y ＋m ＝0与圆(x －1)2＋(y －1)2＝2相切⇔圆心(1,1)到直线x ＋y ＋m ＝0的距离等于 2⇔|1＋1＋m |2＝2⇔|m ＋2|＝2⇔m ＝－4或0. 8．已知数列{a n }，那么“对任意的n ∈N ＋，点P n (n ，a n )，都在直线y ＝2x ＋1上”是“{a n }为等差数列”的__________________条件．[答案] 充分不必要[解析] 点P n (n ，a n )都在直线y ＝2x ＋1上，即a n ＝2n ＋1，∴{a n }为等差数列， 但是{a n }是等差数列却不一定就是a n ＝2n ＋1. 三、解答题9．已知条件p ：x 2－3x －4≤0；条件q ：x 2－6x ＋9－m 2≤0，若p 是q 的充分不必要条件，求m 的取值范围．[解析] p ：－1≤x ≤4，q ：3－m ≤x ≤3＋m (m >0)或3＋m ≤x ≤3－m (m <0)， 依题意，⎩⎪⎨⎪⎧ m >03－m ≤－13＋m ≥4，或⎩⎪⎨⎪⎧m <03＋m ≤－13－m ≥4，解得m ≤－4或m ≥4.第2课时 充要条件习题课题型一、充要条件的判断例1、在整数集Z 中，被5除所得余数为k 的所有整数组成一个“类”，记为[k ]，即[k ]＝{5n ＋k |n ∈Z }，k ＝0,1,2,3,4.给出如下四个结论：①2013∈[3]；②－3∈[3]；③Z ＝[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]；④“整数a ，b 属于同一‘类’”的充要条件是“a －b ∈[0]”．其中正确结论的序号是__________________． [答案] ①③④题型二、集合关系与充要条件例2、设p 、q 是两个命题，p ：|x |－3>0，q ：x 2－56x ＋16>0，则p 是q 的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件 [答案] A题型三、利用充分条件和必要条件确定参数的取值范围例3、 设p ：|4x －3|≤1；q ：x 2－(2a ＋1)x ＋a 2＋a ≤0，若p 是q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．[解析] ∵|4x －3|≤1，∴12≤x ≤1，即p ：12≤x ≤1.由x 2－(2a ＋1)x ＋a 2＋a ≤0，得(x －a )[x －(a ＋1)]≤0，∴a ≤x ≤a ＋1，即q ：a ≤x ≤a ＋1.∵p 是q 的充分不必要条件，∴p ⇒q ，q ⇒/ p . ∴{x |12≤x ≤1}{x |a ≤x ≤a ＋1}．故有⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1≥1a ≤12，解得0≤a ≤12.所以a 的取值范围是0≤a ≤12.题型四、图示法解决条件的传递问题例4、已知p 是r 的充分条件而不是必要条件，q 是r 的充分条件，s 是r 的必要条件，q 是s 的必要条件，现有下列命题：①s 是q 的充要条件； ②p 是q 的充分条件而不是必要条件； ③r 是q 的必要而不是充分条件； ④¬p 是¬s 的必要条件而不是充分条件； ⑤r 是s 的充分条件而不是必要条件． 则正确命题的序号是( )A ．①④⑤B ．①②④C ．②③⑤D ．②④⑤[解析] 由题意p ⇒r ，r ⇒/ p ，q ⇒r ，r ⇒s ，s ⇒q ，易知s ⇔q ，∴①正确；又p ⇒r ⇔q ，r ⇒/ p ，∴②正确； ①②正确，排除答案A 、C 、D ，故选B.例5、 已知方程x 2－2(m ＋2)x ＋m 2－1＝0有两个大于2的根，试求实数m 的取值范围． [正解] 由于方程x 2－2(m ＋2)x ＋m 2－1＝0有两个大于2的根，设这两个根为x 1，x 2，则有⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4(m ＋2)2－4(m 2－1)≥0(x 1－2)＋(x 2－2)>0(x 1－2)(x 2－2)>0，结合⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝2(m ＋2)x 1x 2＝m 2－1，解得m >5. 所以m 的取值范围为(5，＋∞)．课堂练习1．设a 、b 是实数，则“a ＋b>0”是“ab>0”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件[答案] D2．设x ∈R ，则“x >12”是“2x 2＋x －1>0”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 [解析] 本题考查充要条件，解一元二次不等式．由2x 2＋x －1>0，得(x ＋1)(2x －1)>0，即x <－1或x >12，设A ＝{x |x >12}，B ＝{x |x <－1或x >12}，∵A B ，∴选A.3．“a <1”是“1a>1”的( )条件．( )A ．必要不充分B ．充分不必要C ．充分必要D ．既不充分也不必要[答案] A 课后作业 一、选择题1．“a ＝1”是“直线x ＋y ＝0和直线x －ay ＝0互相垂直”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 [答案] C[解析] 当a ＝1时，直线x －ay ＝0化为直线x －y ＝0，∴直线x ＋y ＝0与直线x －y ＝0垂直；当直线x ＋y ＝0和直线x －ay ＝0互相垂直时，有1－a ＝0，∴a ＝1，故选C. 2．m ＝3是直线3x －y ＋m ＝0与圆x 2＋y 2－2x －2＝0相切的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 [答案] A[解析] 由圆心(1,0)到直线3x －y ＋m ＝0距离d ＝|3＋m |2＝3得，m ＝3或－33，故选A.3．设集合A ＝{x ∈R |x －2>0}，B ＝{x ∈R |x <0}，C ＝{x ∈R |x (x －2)>0}，则“x ∈(A ∪B )”是“x ∈C ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[答案] C[解析] 因为A ∪B ＝C ，故“x ∈(A ∪B )”是“x ∈C ”的充要条件． 4．“lg x >lg y ”是“x <y ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[答案] A[解析] lg x >lg y ⇒x >y >0⇒x >y ；而x ＝2，y ＝0时，x >y ⇒/ lg x >lg y ，故“lg x >lg y ”是“x >y ”的充分不必要条件．5．“a ≤0”是“函数f (x )＝|(ax －1)x |在区间(0，＋∞)内单调递增”的 ( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件[答案] C[解析] 本题考查了函数单调性与充分必要条件的判断．若a ＝0，则f (x )＝|x |在(0，＋∞)内单调递增，若“a <0”，则f (x )＝|(ax －1)x |＝|ax 2－x |其图象如图所示，在(0，＋∞)内递增；反之，若f (x )＝|(ax －1)x |在(0，＋∞)内递增，从图中可知a ≤0，故选C. 6．下列命题中的真命题有( )①两直线平行的充要条件是两直线的斜率相等；②△ABC 中，AB →·BC →<0是△ABC 为钝角三角形的充要条件；③2b ＝a ＋c 是数列a 、b 、c 为等差数列的充要条件；④△ABC 中，tan A tan B >1是△ABC 为锐角三角形的充要条件．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 [答案] B[解析] 两直线平行不一定有斜率，①假．由AB →·BC →<0只能说明∠ABC 为锐角，当△ABC 为钝角三角形时，AB →·BC →的符号也不能确定，因为A 、B 、C 哪一个为钝角未告诉，∴②假；③显然为真．由tan A tan B >1，知A 、B 为锐角，∴sin A sin B >cos A cos B ， ∴cos(A ＋B )<0，即cos C >0.∴角C 为锐角， ∴△ABC 为锐角三角形．反之若△ABC 为锐角三角形，则A ＋B >π2，∴cos(A ＋B )<0，∴cos A cos B <sin A sin B ， ∵cos A >0，cos B >0，∴tan A tan B >1，故④真． 二、填空题7．函数f (x )的定义域为I ，p ：“对任意x ∈I ，都有f (x )≤M ”．q ：“M 为函数f (x )的最大值”，则p 是q 的__________________条件．[答案] 必要不充分[解析] 只有当(1)对于任意x ∈I ，都有f (x )≤M ，(2)存在x 0∈I ，使f (x 0)＝M ，同时成立时，M 才是f (x )的最大值，故p ⇒/ q ，q ⇒p ，∴p 是q 的必要不充分条件．8．f (x )＝|x |·(x －b )在[0,2]上是减函数的充要条件是______________________．[答案] b ≥4[解析] f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x (x －b ) x ≥0，－x (x －b ) x <0.若b ≤0，则f (x )在[0,2]上为增函数，∴b >0， ∵f (x )在[0,2]上为减函数，∴b2≥2，∴b ≥4.三、解答题9．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝p n ＋q (p ≠0且p ≠1)，求证：数列{a n }为等比数列的充要条件为q ＝－1.[证明] 充分性：当q ＝－1时，a 1＝p －1，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝p n －1(p －1)，当n ＝1时也成立．于是a n ＋1a n ＝p n (p －1)p n －1(p －1)＝p ，即数列{a n }为等比数列．必要性：当n ＝1时，a 1＝S 1＝p ＋q . 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝p n －1(p －1)，∵p ≠0且p ≠1，∴a n ＋1a n ＝p n (p －1)p n －1(p －1)＝p ，∵{a n }为等比数列，∴a 2a 1＝a n ＋1a n ＝p ，即p (p －1)p ＋q ＝p ， ∴p －1＝p ＋q ，∴q ＝－1.综上所述，q ＝－1是数列{a n }为等比数列的充要条件．10．已知p ：x ＋210－x ≥0，q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0(m <0)，且p 是q 的必要条件，求实数m 的取值范围．[解析] 由x ＋210－x ≥0，解得－2≤x <10，令A ＝{x |－2≤x <10}．由x 2－2x ＋1－m 2≤0可得[x －(1－m )]·[x －(1＋m )]≤0，而m <0，∴1＋m ≤x ≤1－m ，令B ＝{x |1＋m ≤x ≤1－m }．∵p 是q 的必要条件，∴q ⇒p 成立，即B ⊆A .则⎩⎪⎨⎪⎧1＋m ≥－21－m <10m <0，解得－3≤m <0.1.3简单的逻辑联结词第1课时“且”与“或”一、基本概念1．一般地，用联结词“且”把命题p和q联结起来，就得到一个新命题，记作p∧q，读作p且q.2．关于逻辑联结词“且”(1)“且”的含义与日常语言中的“并且”、“及”、“和”相当，是连词“既……又……”的意思，二者须同时成立．(2)从如图所示串联开关电路上看，当两个开关S1、S2都闭合时，灯才能亮；当两个开关S1、S2中一个不闭合或两个都不闭合时，灯都不会亮．(3)从集合角度理解“且”即集合运算“交”．设命题p：x∈A，命题q：x∈B，则p∧q⇔x∈A，且x∈B⇔x∈(A∩B)．(4)“p∧q”是这样的一个复合命题：当p、q都是真命题时，p∧q是真命题；当p、q两个命题中有一个命题是假命题时，p∧q是真命题．3．一般地，用联结词“或”把命题p和q联结起来，就得到一个新命题，记作p∨q，读作p或q.4．关于逻辑联结词“或”(1)“或”的含义和日常语言中的“或者”相当．是“要么……要么……”的意义，二者中有一个成立即可．(2)从并联开关电路上看，当两个开关S1、S2至少有一个闭合时，灯就亮，只有当两个开关S1和S2都断开时，灯才不会亮．(3)从集合角度理解“或”即集合运算“并”．设命题p：x∈A，命题q：x∈B，则p∨q⇔x∈A，或x∈B⇔x∈(A∪B)．(4)当p、q两个命题有一个命题是真命题时，p∨q是真命题；当p、q两个命题都是假命题时，p∨q是假命题．题型一、命题的构成形式例1、分别指出下列命题的构成形式．(1)小李是老师，小赵也是老师；(2)1是合数或质数；(3)他是运动员兼教练员；(4)这些文学作品不仅艺术上有缺点，而且政治上有错误．[解析](1)这个命题是“p且q”的形式，其中，p：小李是老师；q：小赵是老师．(2)这个命题是“p或q”的形式，其中，p：1是合数；q：1是质数．(3)这个命题是“p且q”的形式，其中，p：他是运动员；q：他是教练员．(4)这个命题是“p且q”的形式，其中，p：这些文学作品艺术上有缺点；q：这些文学作品政治上有错误．题型二、判断含有逻辑联结词的命题的真假例2、分别指出由下列命题构成的“p∨q”、“p∧q”形式的命题的真假．(1)p：1∈{2,3}，q：2∈{2,3}；(2)p：2是奇数，q：2是合数；(3)p：4≥4，q：23不是偶数；(4)p：不等式x2－3x－10<0的解集是{x|－2<x<5}，q：点(1,2)不在圆(x－1)2＋(y－1)2＝1上．[解析](1)∵p是假命题，q是真命题，∴p∨q是真命题，p∧q是假命题．(2)∵p 是假命题，q 是假命题，∴p ∨q 是假命题，p ∧q 是假命题． (3)∵p 是真命题，q 是真命题，∴p ∨q 是真命题，p ∧q 是真命题． (4)∵p 是真命题，q 是假命题，∴p ∨q 是真命题，p ∧q 是假命题． 题型三、求解含逻辑联结词命题中的参数例3、已知命题p ：关于x 的不等式|x －1|>m －1的解集为R ，命题q ：函数f (x )＝(5－2m )x 是R 上的增函数，若p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，求实数m 的取值范围． [解析] 不等式|x －1|>m －1的解集为R ，须m －1<0，即p 是真命题时，m <1；函数f (x )＝(5－2m )x 是R 上的增函数，须5－2m >1，即q 是真命题时，m <2. ∵p 或q 为真命题，p 且q 为假命题， ∴p 、q 中一个为真命题，另一个为假命题． (1)当p 真，q 假时，m<1且m ≥2，此时无解； (2)当p 假，q 真时，m ≥1且m<2，此时1≤m<2， 因此1≤m<2.例4、已知命题p ：关于x 的不等式2x ＋(a －1)x ＋1≤0的解集为∅；命题q ：函数f(x)＝2ax＋ax ＋1没有零点，若命题p 且q 为假命题，p 或q 为真命题，求实数a 的取值范围． [解析] 对于命题p ：∵x2＋(a －1)x ＋1≤0的解集为空集，∴Δ＝(a －1)2－4<0，解得－1<a<3.故p 真：－1<a<3，p 假：a ≤－1或a ≥3.对于命题q ：f(x)＝ax2＋ax ＋1没有零点，等价于方程ax2＋ax ＋1＝0没有实数根， ①当a ＝0时，方程无实根符合题意．②当a ≠0时，Δ＝a2－4a<0，解得0<a<4， ∴0≤a<4.故q 真：0≤a<4，q 假：a<0或a ≥4.由命题p 且q 为假命题，p 或q 为真命题可知，命题p 与命题q 有且只有一个为真． 若p 真q 假，则－1<a<0；若p 假q 真，则3≤a<4. 综上可知，实数a 的取值范围是(－1,0)∪[3,4)．例5、已知a >0且a ≠1，设命题p ：函数y ＝a x 在R 上单调递减，q ：不等式：x ＋|x －2a |>1的解集为R ，若p ∧q 为假，p ∨q 为真，求实数a 的取值范围． [正解] 由函数y ＝a x 在R 上单调递减知0<a <1，∴p ：0<a <1.不等式：x ＋|x －2a |>1的解集为R ，即y ＝x ＋|x －2a |在R 上恒大于1，又因为x ＋|x －2a |＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －2a (x ≥2a )2a (x <2a )， ∴函数y ＝x ＋|x －2a |在R 上的最小值为2a ， 故要使解集为R ，只需2a >1，∴a >12，∴q ：a >12.由已知p 和q 有且只有一个为真．若p 真q 假，则 ⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1a ≤12，∴0<a ≤12， 若p 假q 真，则⎩⎪⎨⎪⎧a >1a >12，∴a >1，∴0<a ≤12或a >1.课堂练习1．“xy ≠0”是指( )A ．x ≠0且y ≠0B ．x ≠0或y ≠0C ．x ，y 至少一个不为0D ．不都是0[答案] A2．p ：点P 在直线y ＝2x －3上；q ：点P 在曲线y ＝－2x 上，则使“p ∧q ”为真命题的一个点P(x ，y)是( )A ．(0，－3)B ．(1,2)C ．(1，－1)D ．(－1,1)[答案] C3．已知c>0且c ≠1，设命题p ：指数函数y ＝(2c －1)x 是R 上的增函数；命题q ：不等式x ＋()22c x ->2的解集为R ，若p ∧q 为假命题，p ∨q 为真命题，求实数c 的取值范围．[解析] p 真：2c －1>1，∴c >1.p 假：0<c <1.q 真：不等式x ＋(x －2c )2>2可化为x 2＋(1－4c )x ＋4c 2－2>0， 即不等式x 2＋(1－4c )x ＋4c 2－2>0的解集为R ， ∴Δ＝(1－4c )2－4(4c 2－2)<0，∴c >98.∴q 假：0<c <1或1<c ≤98.∵p ∧q 为假命题，p ∨q 为真命题，∴p 、q 一真一假．当p 真q 假时，1<c ≤98，当p 假q 真时，∅，综上可知，实数c 的取值范围是1<c ≤98.课后作业 一、选择题1．下列语句：①3是无限循环小数；②x 2>x ；③△ABC 的两角之和；④毕业班的学生． 其中不是命题的是( )A ．①②③B ．①②④C ．①③④D ．②③④[答案] D[解析] 对于①能判断真假，对于②、③、④均不能判断真假．故①是命题，②、③、④均不是命题．2．已知命题p ：1∈{x |(x ＋2)(x －3)<0}，命题q ：∅＝{0}，则下列判断正确的是( ) A ．p 假q 假 B ．“p 或q ”为真 C ．“p 且q ”为真 D ．p 假q 真[答案] B[解析] ∵{x |(x ＋2)(x －3)<0}＝{x |－2<x <3}， ∴1∈{x |(x ＋2)(x －3)<0}，∴p 真． ∵∅≠{0}，∴q 假．故“p 或q ”为真，“p 且q ”为假，故选B.3．下列命题：①5>4或4>5；②9≥3；③“若a >b ，则a ＋c >b ＋c ”；④“菱形的两条对角线互相垂直”．其中假命题的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3。

1.2.1分条件与必要条件（一）教学目标1.知识与技能：正确理解充分不必要条件、必要不充分条件的概念；会判断命题的充分条件、必要条件．2.过程与方法：通过对充分条件、必要条件的概念的理解和运用，培养学生分析、判断和归纳的逻辑思维能力．３．情感、态度与价值观：通过学生的举例，培养他们的辨析能力以及培养他们的良好的思维品质，在练习过程中进行辩证唯物主义思想教育．（二）教学重点与难点重点：充分条件、必要条件的概念．(解决办法：对这三个概念分别先从实际问题引起概念，再详细讲述概念，最后再应用概念进行论证．)难点：判断命题的充分条件、必要条件.关键：分清命题的条件和结论，看是条件能推出结论还是结论能推出条件.教具准备：与教材内容相关的资料.教学设想：通过学生的举例，培养他们的辨析能力以及培养他们的良好的思维品质，在练习过程中进行辩证唯物主义思想教育．（三）教学过程学生探究过程：一.复习引入命题的概念及命题的真假性二.思考、分析写出下列两个命题的条件和结论，并判断是真命题还是假命题？（1）若x＞a2+ b2，则x＞2ab, （2）若ab＝0，则a＝0.学生容易得出结论；命题(1)为真命题，命题(２)为假命题．置疑：对于命题“若p，则q”，有时是真命题，有时是假命题．如何判断其真假的？三.归纳总结：答：看p能不能推出q，如果p能推出q，则原命题是真命题，否则就是假命题．四.抽象概括充分条件与必要条件1．p是q的充分条件是指“p成立可充分保证q成立，但是如果没有p，q也可能成立”．2．q是p的必要条件是指“要使p成立必须要有q成立”，或者说“若q不成立，则p一定不成立”；但即使有q成立，p未必会成立．五.例题分析及练习[例1]指出下列各题中，p是q的什么条件(在“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分又不必要条件”中选出一种作答)．(1)对于实数x，y，p：x＋y≠8，q：x≠2或y≠6.(2)在△ABC中，p：sin A>sin B，q：tan A>tan B.(3)已知x，y∈R，p：(x－1)2＋(y－2)2＝0，q：(x－1)·(y－2)＝0.[思路点拨]首先判断是否有p⇒q和q⇒p，再根据定义下结论，也可用等价命题判断．[精解详析](2)因为x＝2且y＝6⇒x＋y＝8，即￢q⇒￢p，但￢p⇒/ ￢q，所以p是q的充分不必要条件．(3)取∠A＝120°，∠B＝30°，p⇒/ q，又取∠A＝30°，∠B＝120°，q⇒/ p，所以p是q的既不充分也不必要条件．(4)因为p：A＝{(1,2)}，q：B＝{(x，y)|x＝1或y＝2}，A⇒B，所以p是q的充分不必要条件．[感悟体会](1)若p⇒q且q⇒/ p，则p是q的充分不必要条件；若p⇒/ q且q⇒p，则p是q的必要不充分条件；若p⇒q且q⇒p，则p是q的充要条件；若p⇒/ q且q⇒/ p，则p是q的既不充分也不必要条件．(2)判断A是B的什么条件，常用方法是验证由A能否推出B，由B能否推出A.对于否定性命题，注意利用等价命题来判断．训练题组11．下列命题中，p是q的充分条件的是()A．p：a＝0，q：ab＝0B．p：a2＋b2≥0，q：a≥0且b≥0C．p：x2>1，q：x>1D．p：a>b，q：a>b解析：对A，a＝0时，一定有ab＝0，p⇒q；对B，a2＋b2≥0时，a，b∈R，∴p⇒/ q；对C，x2>1时，x>1或x<－1，∴p⇒/ q；对D ，当a >b >0时，有a >b ，而a >0>b 或0>a >b 时，a 或b 无意义，∴p ⇒/ q .答案：A2．(2012·天津高考)设φ∈R ，则“φ＝0”是“f (x )＝cos (x ＋φ)(x ∈R)为偶函数”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：φ＝0时，函数f (x )＝cos(x ＋φ)＝cos x 是偶函数，而f (x )＝cos(x ＋φ)是偶函数时，φ＝π＋k π(k ∈Z)．故φ＝0是函数f (x )＝cos(x ＋φ)为偶函数的充分而不必要条件．答案：A3．指出下列各组命题中，p 是q 的什么条件(充分不必要条件，必要不充分条件，充要条件，既不充分也不必要条件)．(1)p ：△ABC 中，b 2>a 2＋c 2，q ：△ABC 为钝角三角形；(2)p ：△ABC 有两个角相等，q ：△ABC 是正三角形；解：(1)△ABC 中，∵b 2>a 2＋c 2，∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac<0， ∴B 为钝角，即△ABC 为钝角三角形．反之，若△ABC 为钝角三角形，B 可能为锐角，这时b 2<a 2＋c 2.∴p ⇒q ，q ⇒/ p ，故p 是q 的充分不必要条件．(2)有两个角相等不一定是等边三角形，反之一定成立，∴p ⇒/ q ，q ⇒p ，故p 是q 的必要不充分条件．[例2] 已知p ：实数x 满足x 2－4ax ＋3a 2<0，其中a <0；q ：实数x 满足x 2－x －6≤0.若￢p 是￢q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．[思路点拨] 解决本题可先求出命题p 和q 成立的条件，再得到￢p ，利用￢p 是￢q 的必要不充分条件，即￢q ⇒￢p 求出a 的取值范围，或利用等价条件p ⇒q 求得a .[精解详析] 由x 2－4ax ＋3a 2<0且a <0得3a <x <a ，∴p ：3a <x <a .由x 2－x －6≤0得－2≤x ≤3，∴q ：－2≤x ≤3.∵￢q ⇒￢p ，∴p ⇒q .∴⎩⎪⎨⎪⎧3a ≥－2，a ≤3，a <0⇒－23≤a <0， ∴a 的取值范围是[－23，0)． [感悟体会] 根据充分条件、必要条件、充要条件求参数的取值范围时，可以先把p ，q等价转化，利用充分条件、必要条件、充要条件与集合间的包含关系，建立关于参数的不等式(组)进行求解．训练题组24．集合A ＝{x |x －1x ＋1<0}，B ＝{x ||x －b |<a }．若“a ＝1”是“A ∩B ”≠∅”的充分条件，则实数b 的取值范围是( )A ．[－2,0)B ．(0,2]C ．(－2,2)D ．[－2,2] 解析：A ＝{x |x －1x ＋1<0}＝{x |－1<x <1}，B ＝{x ||x －b |<a }＝{x |b －a <x <b ＋a }，因为“a ＝1”是“A ∩B ≠∅”的充分条件，所以－1≤b －1<1或－1<b ＋1≤1，即－2<b <2.答案：C5．已知p ：x 2－8x －20>0，q ：x 2－2x ＋1－a 2>0.若p 是q 的充分不必要条件，求正实数a 的取值范围．解：不等式x 2－8x －20>0的解集为A ＝{x |x >10或x <－2}；不等式x 2－2x ＋1－a 2>0的解集为B ＝{x |x >1＋a 或x <1－a ，a >0}．依题意p ⇒q 但q ⇒/ p ，说明A B .于是有⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，1＋a ≤10，1－a >－2或⎩⎪⎨⎪⎧a >0，1＋a <10，1－a ≥－2，解得0<a ≤3. 所以正实数a 的取值范围是(0,3].六.课堂小结与归纳1．判断充分、必要条件时，首先要分清条件和结论，然后进行推理和判断．常用的判断方法有以下三种：(1)定义法(直接法).条件p 与结论q 的关系结论 p ⇒q ，但q ⇒/ pp 是q 成立的充分不必要条件 q ⇒p ，但p ⇒/ qp 是q 成立的必要不充分条件 p ⇒/ q ，q ⇒/ pp 是q 成立的既不充分也不必要条件(2)集合法，即用集合的包含关系判断．设命题p ，q 对应的集合分别为A ，B .若A B ，则p 是q 的充分不必要条件若B A ，则p 是q 的必要不充分条件若A不是B的子集，且B不是A的子集，则p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件(3)等价转化法，即利用A⇒B与￢B⇒￢A，A⇔B与￢B⇔￢A来判断．一般地，对于条件或结论是否定形式的命题，可运用等价转化法判断．2．在涉及含有字母参数的充要条件的问题中，常利用集合的包含、相等关系来考虑．七.当堂训练1．给定空间中的直线l及平面α，条件“直线l与平面α内无数条直线都垂直”是“直线l与平面α垂直”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件解析：直线l与平面内无数直线都垂直，不能得到直线l⊥α，因为有可能是直线l在平面α内与一组平行直线垂直．若l⊥α，则直线l垂直于α内的所有直线．答案：B2．(2011·福建高考)若a∈R，则“a＝2”是“(a－1)(a－2)＝0”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件解析：若“a＝2”，则“(a－1)(a－2)＝0”，即a＝2⇒(a－1)·(a－2)＝0.若“(a－1)(a－2)＝0”，则“a＝2或a＝1”，故(a－1)(a－2)＝0不一定能推出a＝2.答案：A3．设甲、乙、丙是三个命题，如果甲是乙的必要条件，丙是乙的充分条件但不是乙的必要条件，那么()A．丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件B．丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件C．丙是甲的充要条件D．丙既不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件解析：因为甲是乙的必要条件，所以乙⇒甲．又因为丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，所以丙⇒乙，但乙⇒/ 丙，如图．综上，有丙⇒甲，但甲⇒/ 丙，即丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件．答案：A4．设p：|x|>1，q：x<－2或x>1，则￢p是￢q的()A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：由已知得￢p ：－1≤x ≤1，￢q ：－2≤x ≤1，所以￢p 是￢q 的充分不必要条件． 答案：A5．如果命题“若A ，则B ”的否命题是真命题，而它的逆否命题是假命题，则A 是B 的________________条件．解析：因为逆否命题为假，所以原命题为假，即A ⇒/ B .又因否命题为真，所以逆命题为真，即B ⇒A ,所以A 是B 的必要不充分条件．答案：必要不充分6．已知集合A ＝{y |y ＝x 2－32x ＋1，x ∈[－12，2]}，B ＝{x ||x －m |≥1}，命题p ：x ∈A ，命题q ：x ∈B ，并且命题p 是命题q 的充分条件，求实数m 的取值范围．解：先化简集合A ，由y ＝x 2－32x ＋1，配方，得y ＝(x －34)2＋716. ∵x ∈[－12，2]，∴y ∈[716，2]．∴A ＝{y |716≤y ≤2}．由|x －m |≥1，解得x ≥m ＋1或x ≤m －1. ∴B ＝{x |x ≥m ＋1或x ≤m －1}．∵命题p 是命题q 的充分条件，∴A ⊆B .∴m ＋1≤716或m －1≥2，解得m ≤－916或m ≥3.故实数m 的取值范围是(－∞，－916]∪[3，＋∞)．。

按住Ctrl键单击鼠标左打开配套名师教学视频动画播放四种命题、四种命题的相互关系（一）教学目标◆知识与技能：了解原命题、逆命题、否命题、逆否命题这四种命题的概念，掌握四种命题的形式和四种命题间的相互关系，会用等价命题判断四种命题的真假．◆过程与方法：多让学生举命题的例子，并写出四种命题，培养学生发现问题、提出问题、分析问题、有创造性地解决问题的能力；培养学生抽象概括能力和思维能力．◆情感、态度与价值观：通过学生的举例，激发学生学习数学的兴趣和积极性，培养他们的辨析能力以及培养他们的分析问题和解决问题的能力．（二）教学重点与难点重点：（1）会写四种命题并会判断命题的真假；（2）四种命题之间的相互关系．难点：（1）命题的否定与否命题的区别；（2）写出原命题的逆命题、否命题和逆否命题；（3）分析四种命题之间相互的关系并判断命题的真假．教具准备：与教材内容相关的资料。

教学设想：通过学生的举例，激发学生学习数学的兴趣和积极性，培养他们的辨析能力以及培养他们的分析问题和解决问题的能力．（三）教学过程学生探究过程：１．复习引入初中已学过命题与逆命题的知识，请同学回顾：什么叫做命题的逆命题？2．思考、分析问题1：下列四个命题中，命题（1）与命题（2）（3）（4）的条件与结论之间分别有什么关系？（1）若f(x)是正弦函数，则f(x)是周期函数．（2）若f(x)是周期函数，则f(x)是正弦函数．（3）若f(x)不是正弦函数，则f(x)不是周期函数．（4）若f(x)不是周期函数，则f(x)不是正弦函数．３．归纳总结问题一通过学生分析、讨论可以得到正确结论．紧接结合此例给出四个命题的概念，（１）和（２）这样的两个命题叫做互逆命题，（１）和（３）这样的两个命题叫做互否命题，（１）和（４）这样的两个命题叫做互为逆否命题。

４．抽象概括定义１：一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么我们把这样的两个命题叫做互逆命题．其中一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的逆命题．让学生举一些互逆命题的例子。

【新人教A版】高中数学选修2-1教案第一章常用逻辑用语1.1命题及其关系1.1.1 命题（一）教学目标１、知识与技能：理解命题的概念和命题的构成，能判断给定陈述句是否为命题，能判断命题的真假；能把命题改写成“若p，则q”的形式；２、过程与方法：多让学生举命题的例子，培养他们的辨析能力；以及培养他们的分析问题和解决问题的能力；３、情感、态度与价值观：通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣。

（二）教学重点与难点重点：命题的概念、命题的构成难点：分清命题的条件、结论和判断命题的真假教具准备：与教材内容相关的资料。

教学设想：通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣。

（三）教学过程学生探究过程：1．复习回顾初中已学过命题的知识，请同学们回顾：什么叫做命题？2．思考、分析下列语句的表述形式有什么特点？你能判断他们的真假吗？（1）若直线a∥b，则直线a与直线b没有公共点．（2）2+4=7．（3）垂直于同一条直线的两个平面平行．（４）若x2=1,则x=1．（５）两个全等三角形的面积相等．（６）３能被２整除．3．讨论、判断学生通过讨论，总结：所有句子的表述都是陈述句的形式，每句话都判断什么事情。

其中（1）（3）（5）的判断为真，（2）（4）（6）的判断为假。

教师的引导分析：所谓判断，就是肯定一个事物是什么或不是什么，不能含混不清。

4．抽象、归纳定义：一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．命题的定义的要点：能判断真假的陈述句．在数学课中，只研究数学命题，请学生举几个数学命题的例子．教师再与学生共同从命题的定义，判断学生所举例子是否是命题，从“判断”的角度来加深对命题这一概念的理解．5．练习、深化判断下列语句是否为命题？（１）空集是任何集合的子集．（２）若整数a是素数，则是a奇数．（３）指数函数是增函数吗？（４）若平面上两条直线不相交，则这两条直线平行．（５）2)2(＝－２．（６）x＞１５．让学生思考、辨析、讨论解决，且通过练习，引导学生总结：判断一个语句是不是命题，关键看两点：第一是“陈述句”，第二是“可以判断真假”，这两个条件缺一不可．疑问句、祈使句、感叹句均不是命题．解略。

【新人教A版】高中数学选修2-1教案第一章常用逻辑用语1.1命题及其关系1.1.1 命题（一）教学目标１、知识与技能：理解命题的概念和命题的构成，能判断给定陈述句是否为命题，能判断命题的真假；能把命题改写成“若p，则q”的形式；２、过程与方法：多让学生举命题的例子，培养他们的辨析能力；以及培养他们的分析问题和解决问题的能力；３、情感、态度与价值观：通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣。

（二）教学重点与难点重点：命题的概念、命题的构成难点：分清命题的条件、结论和判断命题的真假教具准备：与教材内容相关的资料。

教学设想：通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣。

（三）教学过程学生探究过程：1．复习回顾初中已学过命题的知识，请同学们回顾：什么叫做命题？2．思考、分析下列语句的表述形式有什么特点？你能判断他们的真假吗？（1）若直线a∥b，则直线a与直线b没有公共点．（2）2+4=7．（3）垂直于同一条直线的两个平面平行．（４）若x2=1,则x=1．（５）两个全等三角形的面积相等．（６）３能被２整除．3．讨论、判断学生通过讨论，总结：所有句子的表述都是陈述句的形式，每句话都判断什么事情。

其中（1）（3）（5）的判断为真，（2）（4）（6）的判断为假。

教师的引导分析：所谓判断，就是肯定一个事物是什么或不是什么，不能含混不清。

4．抽象、归纳定义：一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．命题的定义的要点：能判断真假的陈述句．在数学课中，只研究数学命题，请学生举几个数学命题的例子．教师再与学生共同从命题的定义，判断学生所举例子是否是命题，从“判断”的角度来加深对命题这一概念的理解．5．练习、深化判断下列语句是否为命题？（１）空集是任何集合的子集．（２）若整数a是素数，则是a奇数．（３）指数函数是增函数吗？（４）若平面上两条直线不相交，则这两条直线平行．（５）2)2(＝－２．（６）x＞１５．让学生思考、辨析、讨论解决，且通过练习，引导学生总结：判断一个语句是不是命题，关键看两点：第一是“陈述句”，第二是“可以判断真假”，这两个条件缺一不可．疑问句、祈使句、感叹句均不是命题．解略。

选修2-1数学教案word【篇一：高数2-1教案1】我们更关心孩子的未来i care education-1-高中数学选修 2-1我们更关心孩子的未来第一章：命题与逻辑结构知识点： 1、命题：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句. 真命题：判断为真的语句.假命题：判断为假的语句. 2、“若 p ，则q ”形式的命题中的 p 称为命题的条件， q 称为命题的结论. 3、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，则这两个命题称为互逆命题. 其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的逆命题. 若原命题为“若 p ，则q ”，它的逆命题为“若 q ，则p ”.4、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，则这两个命题称为互否命题. 其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的否命题. 若原命题为“若 p ，则q ”，则它的否命题为“若 ? p ，则? q ”.5、对于两个命题，一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，则这两个命题称为互为逆否命题. 其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的逆否命题. 若原命题为“若 p ，则q ”，则它的否命题为“若 ? q ，则? p ”.6、四种命题的真假性：原命题逆命题真真真假假真假假四种命题的真假性之间的关系：①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．7、若 p ? q ，则 p 是 q 的充分条件， q 是 p 的必要条件．若8、用联结词“且”把命题否命题真假真假逆否命题真真真假p ? q ，则 p 是 q 的充要条件（充分必要条件）． p 和命题 q 联结起来，得到一个新命题，记作 p ? q ．当p 、 q 都是真命题时， p ? q 是真命题；当 p 、 q 两个命题中有一个命题是假命题时， p ? q 是假命题．用联结词“或”把命题 p 和命题 q 联结起来，得到一个新命题，记作 p ? q ．当 p 、 q 两个命题中有一个命题是真命题时， p ? q 是真命题；当 p 、 q 两个命题都是假命题时， p ? q 是假命题．对一个命题 p 全盘否定，得到一个新命题，记作 ? p ．若 p 是真命题，则 ? p 必是假命题；若 p 是假命题，则 ? p 必是真命题． 9、短语“对所有的”、“对任意一个”在逻辑中通常称为全称量词，用“ ? ”表示．含有全称量词的命题称为全称命题．全称命题“对 ? 中任意一个 x ，有p ? x ? 成立”，记作“ ?x ? ? ，p ? x ? ”．短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常称为存在量词，用“ ? ”表示．含有存在量词的命题称为特称命题．特称命题“存在 ? 中的一个 x ，使 10、全称命题p ? x ? 成立”，记作“ ?x ? ? ，p ? x ? ”．p ： ?x ? ? ， p ? x ? ，它的否定 ?p ： ?x ? ? ， ?p ? x ? ．全称命题的否定是特称命题．考点：1、充要条件的判定 2、命题之间的关系典型例题：★1．下面四个条件中，使 a a． a c． a? b 成立的充分而不必要的条件是b． a d． a?b ?12? b ?13? b2? b3★2．已知命题 p： ? n∈n，2n＞1000，则 ? p 为 a． ? n∈n，2n≤1000 b． ? n∈n，2n＞1000 -2-i care education高中数学选修 2-1我们更关心孩子的未来c． ? n∈n，2n≤1000 ★３． x ? 1是| d． ? n∈n，2n＜1000x |? 1 的Ｂ．必要不充分条件 d．既不充分又不必要条件a．充分不必要条件 c．充分必要条件i care education-3-高中数学选修 2-1我们更关心孩子的未来第二章：圆锥曲线知识点： 1、平面内与两个定点f ， f2 的距离之和等于常数（大于 f f2 1 1）的点的轨迹称为椭圆．这两个定点称为椭圆的焦点，两焦点的距离称为椭圆的焦距．2、椭圆的几何性质：焦点的位置焦点在x 轴上焦点在y 轴上图形标准方程x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? a 2 b2? a ? x ? a 且 ?b ? y ? by 2x2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? a 2 b2?b ? x ? b 且 ? a ? y ? a范围?1 ? ?a,0? 、 ?2 ? a,0?顶点?1 ? 0, ?a ? 、 ?2 ? 0,a ? ?1 ? ?b,0? 、 ?2 ? b,0?2b长轴的长 ??1 ? 0, ?b? 、 ?2 ? 0,b ?短轴的长 ?轴长2a焦点f1 ? ?c,0? 、 f2 ? c,0?f1 ? 0, ?c ? 、 f2 ? 0, c ?焦距对称性f1 f2 ? 2c ? c 2 ? a 2 ? b 2 ?关于 x 轴、y 轴、原点对称离心率e?a2 cc b2 ? 1 ? 2 ? 0 ? e ? 1? a ay?? a2 c准线方程x??3、 ? 是椭圆上任一点， ? 到 f 对应准线的距离为 d1 ， ? 到f2 对应准线的距离为 d2 ，设点点则 1?f1 ?f2 ? ? e． d1 d24、平面内与两个定点f ， f2 的距离之差的绝对值等于常数（小于 f f2 1 1-4-）的点的轨迹称为双曲线．i care education高中数学选修 2-1我们更关心孩子的未来这两个定点称为双曲线的焦点，两焦点的距离称为双曲线的焦距．5、双曲线的几何性质：焦点的位置焦点在x 轴上焦点在y 轴上图形标准方程x2 y 2 ? ? 1? a ? 0, b ? 0 ? a 2b2x ? ?a 或 x ? a ， y ? ry 2 x2 ? ? 1? a ? 0, b ? 0 ? a 2 b2y ? ?a 或 y ? a ， x ? r范围顶点轴长焦点?1 ? ?a,0? 、 ?2 ? a,0?虚轴的长 ??1 ? 0, ?a ? 、 ?2 ? 0, a ?2b实轴的长 ?2af1 ? ?c,0? 、 f2 ? c,0?f1 ? 0, ?c ? 、 f2 ? 0, c ?焦距f1 f2 ? 2c ? c 2 ? a 2 ? b 2 ?关于 x 轴、对称性y 轴对称，关于原点中心对称离心率e?a2 x?? cy??b x ac b2 ? 1 ? 2 ? e ? 1? a aa2 y?? cy?? a x b准线方程渐近线方程6、实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线． 7、设 ? 是双曲线上任一点，点 ? 到 f 对应准线的距离为 d1 ，点 ? 到 f2 对应准线的距离为 d2 ，则 ?f1 ? ?f2 ? e ． 1 d1 d2 8、平面内与一个定点f 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹称为抛物线．定点 f 称为抛物线的焦点，定直线 l 称为抛物线的准线． 9、过抛物线的焦点作垂直于对称轴且交抛物线于? 、? 两点的线段?? ，称为抛物线的“通径”，即?? ? 2p ．i care education-5-高中数学选修 2-1【篇二：高中数学选修2-1全套教案】第 1 页第 2 页第 3 页第 4 页第 5 页【篇三：高二选修2-1数学教案】选修2—1教案第一章常用逻辑用语1.1命题及其关系1.1.1 命题（一）教学目标１、知识与技能：理解命题的概念和命题的构成，能判断给定陈述句是否为命题，能判断命题的真假；能把命题改写成“若p，则q”的形式；２、过程与方法：多让学生举命题的例子，培养他们的辨析能力；以及培养他们的分析问题和解决问题的能力；３、情感、态度与价值观：通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣。

第一章常用逻辑用语1.1命题及其关系1.1.1 命题（一）教学目标１、知识与技能：理解命题的概念和命题的构成，能判断给定陈述句是否为命题，能判断命题的真假；能把命题改写成“若p，则q”的形式；２、过程与方法：多让学生举命题的例子，培养他们的辨析能力；以及培养他们的分析问题和解决问题的能力；３、情感、态度与价值观：通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣。

（二）教学重点与难点重点：命题的概念、命题的构成难点：分清命题的条件、结论和判断命题的真假教具准备：与教材内容相关的资料。

教学设想：通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣。

（三）教学过程学生探究过程：1．复习回顾初中已学过命题的知识，请同学们回顾：什么叫做命题？2．思考、分析下列语句的表述形式有什么特点？你能判断他们的真假吗？（1）若直线a∥b，则直线a与直线b没有公共点．（2）2+4=7．（3）垂直于同一条直线的两个平面平行．（４）若x2=1,则x=1．（５）两个全等三角形的面积相等．（６）３能被２整除．3．讨论、判断学生通过讨论，总结：所有句子的表述都是陈述句的形式，每句话都判断什么事情。

其中（1）（3）（5）的判断为真，（2）（4）（6）的判断为假。

教师的引导分析：所谓判断，就是肯定一个事物是什么或不是什么，不能含混不清。

4．抽象、归纳定义：一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．命题的定义的要点：能判断真假的陈述句．在数学课中，只研究数学命题，请学生举几个数学命题的例子．教师再与学生共同从命题的定义，判断学生所举例子是否是命题，从“判断”的角度来加深对命题这一概念的理解．5．练习、深化判断下列语句是否为命题？（１）空集是任何集合的子集．（２）若整数a是素数，则是a奇数．（３）指数函数是增函数吗？（４）若平面上两条直线不相交，则这两条直线平行．（５）2)2(＝－２．（６）x＞１５．让学生思考、辨析、讨论解决，且通过练习，引导学生总结：判断一个语句是不是命题，关键看两点：第一是“陈述句”，第二是“可以判断真假”，这两个条件缺一不可．疑问句、祈使句、感叹句均不是命题．解略。

高中数学选修2一1教案
教学目标：
1. 掌握数列的定义和基本性质，理解数列的概念和实质。

2. 学习并掌握等差数列和等比数列的求和公式，能够熟练应用。

3. 能够解决实际问题中的数列应用题。

教学重点：
1. 等差数列和等比数列的定义和性质。

2. 等差数列和等比数列的求和公式和应用。

3. 实际应用中的数列问题解决。

教学难点：
1. 等差数列和等比数列的应用题目解决。

2. 能够灵活运用求和公式解决问题。

教学过程：
一、导入：
通过一个生活中的例子引入数列的概念，让学生理解数列的定义和基本性质。

二、讲解：
1. 等差数列和等比数列的概念和基本性质。

2. 等差数列的通项公式和求和公式。

3. 等比数列的通项公式和求和公式。

三、练习：
1. 让学生完成一些基础的等差数列和等比数列的题目。

2. 练习应用题目，让学生灵活运用求和公式解决实际问题。

四、拓展：
引导学生思考更复杂的数列问题，如特殊数列、递归数列等，拓展数列应用的范围。

五、总结：
总结本节课的重点内容，强化学生对数列的理解和应用能力。

六、作业：
布置相关的数列练习题作为课后作业，以巩固学生对数列的掌握。

七、反馈：
下节课开始前对上节课的内容进行复习和总结，及时纠正学生的错误和提出问题。

以上为本教案的主要内容，希望老师们在教学过程中能灵活运用，使学生真正理解数列的概念和应用。

选修 2—1 教案第一章常用逻辑用语1.1 命题及其关系1.1.1命题（一）教学目标１、知识与技能：理解命题的概念和命题的构成，能判断给定陈述句是否为命题，能判断命题的真假；能把命题改写成“若p，则 q”的形式；２、过程与方法：多让学生举命题的例子，培养他们的辨析能力；以及培养他们的分析问题和解决问题的能力；３、情感、态度与价值观：通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣。

（二）教学重点与难点重点：命题的概念、命题的构成难点：分清命题的条件、结论和判断命题的真假（三）教学过程1．复习回顾初中已学过命题的知识，请同学们回顾：什么叫做命题？2．思考、分析下列语句的表述形式有什么特点？你能判断他们的真假吗？（1）若直线 a∥ b，则直线 a 与直线 b 没有公共点．（2） 2+4=7．（3）垂直于同一条直线的两个平面平行．（４）若x2=1, 则 x=1．（５）两个全等三角形的面积相等．（６）３能被２整除．3．讨论、判断学生通过讨论，总结：所有句子的表述都是陈述句的形式，每句话都判断什么事情。

其中（ 1）（ 3）（ 5）的判断为真，（ 2）（ 4）（ 6）的判断为假。

教师的引导分析：所谓判断，就是肯定一个事物是什么或不是什么，不能含混不清。

4．抽象、归纳定义：一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．命题的定义的要点：能判断真假的陈述句．在数学课中，只研究数学命题，请学生举几个数学命题的例子．教师再与学生共同从命题的定义，判断学生所举例子是否是命题，从“判断” 的角度来加深对命题这一概念的理解．5．练习、深化判断下列语句是否为命题？（１）空集是任何集合的子集．（２）若整数 a 是素数，则是 a 奇数．（３）指数函数是增函数吗？（４）若平面上两条直线不相交，则这两条直线平行．（５）( 2)2＝－２．（６） x＞１５．让学生思考、辨析、讨论解决，且通过练习，引导学生总结：判断一个语句是不是命题，关键看两点：第一是“陈述句” ，第二是“可以判断真假” ，这两个条件缺一不可．疑问句、祈使句、感叹句均不是命题．解略。

选修 2—1 教案第一章常用逻辑用语1.1 命题及其关系1.1.1命题（一）教学目标１、知识与技能：理解命题的概念和命题的构成，能判断给定陈述句是否为命题，能判断命题的真假；能把命题改写成“若p，则 q”的形式；２、过程与方法：多让学生举命题的例子，培养他们的辨析能力；以及培养他们的分析问题和解决问题的能力；３、情感、态度与价值观：通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣。

（二）教学重点与难点重点：命题的概念、命题的构成难点：分清命题的条件、结论和判断命题的真假（三）教学过程1．复习回顾初中已学过命题的知识，请同学们回顾：什么叫做命题？2．思考、分析下列语句的表述形式有什么特点？你能判断他们的真假吗？（1）若直线 a∥ b，则直线 a 与直线 b 没有公共点．（2） 2+4=7．（3）垂直于同一条直线的两个平面平行．（４）若x2=1, 则 x=1．（５）两个全等三角形的面积相等．（６）３能被２整除．3．讨论、判断学生通过讨论，总结：所有句子的表述都是陈述句的形式，每句话都判断什么事情。

其中（ 1）（ 3）（ 5）的判断为真，（ 2）（ 4）（ 6）的判断为假。

教师的引导分析：所谓判断，就是肯定一个事物是什么或不是什么，不能含混不清。

4．抽象、归纳定义：一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．命题的定义的要点：能判断真假的陈述句．在数学课中，只研究数学命题，请学生举几个数学命题的例子．教师再与学生共同从命题的定义，判断学生所举例子是否是命题，从“判断” 的角度来加深对命题这一概念的理解．5．练习、深化判断下列语句是否为命题？（１）空集是任何集合的子集．（２）若整数 a 是素数，则是 a 奇数．（３）指数函数是增函数吗？（４）若平面上两条直线不相交，则这两条直线平行．（５）( 2)2＝－２．（６） x＞１５．让学生思考、辨析、讨论解决，且通过练习，引导学生总结：判断一个语句是不是命题，关键看两点：第一是“陈述句” ，第二是“可以判断真假” ，这两个条件缺一不可．疑问句、祈使句、感叹句均不是命题．解略。

高中数学选修2-1教案教案标题：高中数学选修2-1教案教案目标：1. 了解二次函数的基本概念和性质；2. 掌握二次函数的图像特征和变换规律；3. 理解二次函数与实际问题的应用。

教学重点：1. 二次函数的图像特征和变换规律；2. 二次函数的最值和零点；3. 二次函数与实际问题的应用。

教学难点：1. 二次函数的变换规律的理解和应用；2. 二次函数与实际问题的建模和解决。

教学准备：1. 教材：高中数学选修2-1教材；2. 教辅资料：二次函数的图像和变换规律的示意图；3. 课件：包含二次函数的图像和变换规律的示意图；4. 教具：黑板、白板、彩色粉笔/白板笔、计算器。

教学过程：一、导入（5分钟）1. 引入二次函数的概念，与学生共同回顾一元二次方程的解法，引导学生思考二次函数与方程的关系。

二、新知讲解（30分钟）1. 介绍二次函数的基本概念和性质，包括定义、一般式、顶点坐标、对称轴等。

2. 讲解二次函数的图像特征，包括开口方向、顶点位置、对称轴等，并通过示意图进行解释和演示。

3. 解释二次函数的变换规律，包括平移、伸缩和翻转，并通过示意图进行解释和演示。

三、例题演练（20分钟）1. 给出一些简单的例题，要求学生根据给定的二次函数图像特征和变换规律，确定函数的表达式。

2. 引导学生通过对称轴、顶点坐标、开口方向等特征进行分析，解决例题。

四、拓展应用（15分钟）1. 引导学生思考二次函数在实际问题中的应用，如抛物线的运动轨迹、最值问题等。

2. 给出一些实际问题，要求学生建立数学模型，通过二次函数解决问题。

五、归纳总结（10分钟）1. 与学生一起总结二次函数的基本概念、图像特征和变换规律。

2. 强调二次函数与实际问题的应用，以及解题思路和方法。

六、作业布置（5分钟）1. 布置相关的练习题，要求学生巩固所学知识和方法。

2. 鼓励学生自主学习，提供相关的参考资料和网上资源。

教学反思：本节课通过讲解二次函数的基本概念和性质，以及图像特征和变换规律，引导学生理解和掌握二次函数的相关知识和技能。