江苏省启东市启东中学高三上学期

2024学年江苏省南通市启东市启东中学高三4月考数学试题文试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。

3．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．某医院拟派2名内科医生、3名外科医生和3名护士共8人组成两个医疗分队，平均分到甲、乙两个村进行义务巡诊，其中每个分队都必须有内科医生、外科医生和护士，则不同的分配方案有A ．72种B ．36种C ．24种D ．18种2．已知点()2,0A 、()0,2B -．若点P 在函数y x =的图象上，则使得PAB △的面积为2的点P 的个数为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．43．已知集合{}{}2340,13A x x x B x x =-->=-≤≤，则R ()A B =( )A ．()1,3-B ．[]1,3-C ．[]1,4-D ．()1,4- 4．设集合{|3}{|02}A x x B x x x =<=，或，则A B ⋂=（ ）A ．()0-∞，B ．()23，C ．()()023-∞⋃，， D ．()3-∞， 5．已知直线22+=mx ny ()0,0m n >>过圆()()22125x y -+-=的圆心，则11m n+的最小值为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 6．已知函数()2tan()(0)f x x ωω=>的图象与直线2y =的相邻交点间的距离为π，若定义{},max ,,a a b a b b a b ⎧=⎨<⎩，则函数()max{()h x f x =，()cos }f x x 在区间3,22ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭内的图象是( ) A ． B ．C ．D ．7．已知i 是虚数单位，则复数24(1)i =-（ ） A ．2i B ．2i - C ．2 D ．2- 8．在ABC 中，角、、A B C 的对边分别为,,a b c ，若tan 2sin()a B b B C =+．则角B 的大小为( )A ．π3B ．π6C ．π2 D ．π49．若i 为虚数单位，则复数22sin cos 33z i ππ=-+的共轭复数z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限10．若函数()ln f x x =满足()()f a f b =，且0a b <<，则2244 42a b a b+-+的最小值是（ ） A ．0 B ．1 C ．32 D ．2211．某公园新购进3盆锦紫苏、2盆虞美人、1盆郁金香，6盆盆栽，现将这6盆盆栽摆成一排，要求郁金香不在两边，任两盆锦紫苏不相邻的摆法共（ ）种A ．96B ．120C ．48D ．7212．中国的国旗和国徽上都有五角星，正五角星与黄金分割有着密切的联系，在如图所示的正五角星中，以A 、B 、C 、D 、E 为顶点的多边形为正五边形，且512PT AP -=，则512AT ES --=（ ）A 51+B 51+C 51RD - D 51RC - 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

江苏省启东中学2020级高三上学期数学周练（1）一、单项选择题（本大题共8小题，共40分）1．从集合{1,2,3}U =的非空子集中随机选择两个不同的集合A ，B ，则{1}A B ⋂=的概率为（ ） A ．421B ．542 C ．17D ．5562．若3cos 45πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，sin 2α=（ ）A ．2425-B ．725-C ．2425D ．7253．复数z 满足20211iz i=+，则12z -=（ ）A ．12iB ．1C ．12D 2 4．已知14sin 4,ln 4,4a b c -===，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．c b a <<B ．a b c <<C ．a c b <<D ．b c a <<5．函数2()1cos e 1x f x x ⎛⎫=+ ⎪-⎝⎭的大致图象为（ ）A ．B ．C ．D ．6．双曲线C ：2214x y -=的顶点到其渐近线的距离等于（ ）.A ．25B ．45C 25D 457．在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，N 为BC 的中点.当点M 在平面11DCC D 内运动时，有//MN 平面1A BD ，则线段MN 的最小值为（ ）A ．1B 6C 2D 38．已知12x <时，有()21124212nx x x x =-+-+-++，根据以上信息，若对任意12x <都有()()220125112n n x a a x a x a x x x =+++++-+，则10a =( )A ．245B ．246C ．247D ．248二、多项选择题（本大题共4小题，共20分）9．关于函数()sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，有如下命题，其中正确的有（ ）A ．()f x 的最小正周期为πB ．()f x 的图象关于点,012π⎛⎫- ⎪⎝⎭对称C ．()f x 的图象关于直线3x π=对称D ．()f x 在54,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增 10．甲口袋中有3个红球，2个白球和5个黑球，乙口袋中有3个红球，3个白球和4个黑球，先从甲口袋中随机取出一球放入乙口袋，分别以1A ，2A 和3A 表示由甲口袋取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙口袋中随机取出一球，以B 表示由乙口袋取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是（ ） A ．1A ，2A ，3A 是两两互斥的事件 B ．事件1A 与事件B 相互独立 C ．()2311P B A =D ．()25P B =11．已知抛物线M ：24y x =，圆N ：()()22210x y r r -+=>，过点()1,0的直线l 与圆N 交于C ，D 两点，交抛物线M 于A ，B 两点，则满足AC BD =的直线l 有三条的r 的值有（ ） A ．1B ．2C ．3D ．412．()f x 是定义在R 上的函数，若()2f x x +是奇函数，()f x x -是偶函数，函数()()[]()(),0,121,1,f x x g x g x x ∞⎧∈⎪=⎨-∈+⎪⎩，则（ ）A ．当()1,2x ∈时，()2264g x x x -+-=B ．当()2,3x ∈时，()242020x g x x =-+-C ．()2124212k g k N k g *+⎛⎫ ⎪⎝⎭=∈-⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．1212124nk nk g =--⎛⎫=⎪⎝⎭∑ 三、填空题（本大题共4小题，共20分）13．某办公楼前有7个连成一排的车位，现有三辆不同型号的车辆停放，恰有两辆车停放在相邻车位的概率是__________．14．抛物线具有光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出．如图，抛物线方程为22(0)y px p =>，一平行x 轴的光线射向抛物线上的点P ，反射后经过抛物线的焦点F 射向抛物线上的点Q ，再反射后又沿平行x 轴方向射出．若抛物线的方程为24y x =，则在每次反射过程中，与x 轴平行的两条光线间的最小距离为__________．15．如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，AB ＝AD ＝2，13AA =，1160DAB DAA BAA ∠=∠=∠=︒，点E 是AB 中点，则异面直线1AC 与DE 所成角余弦值是______．{}n a 各项都是16．已知数列正数，且211n n n a a a ++=-，若{}n a 是递增数列，则1a 的取值范围是_______.若123a =，()111n nn b a +-=-，且12320201k b b b b k <++++<+，则整数k =_______.四、解答题（本题共6小题，共70分）17．在ABC 中，2ABC ACB ∠=∠，ABC ∠和ACB ∠的平分线交于点D . （1）若58AB AC =，求cos DCB ∠的值； （2）若AB CD =，求BDC ∠的大小.18．设数列{}n a 为等比数列，且252,16a a ==，数列{}n b 满足10b =且()12n n b b n n *++=∈N .（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）若,n n n n c a b T =⋅是{}n c 的前n 项和，求n T .19．如图，直三棱柱111ABC A B C -的体积为4，1A BC 的面积为22．第14题第15题（1）求A 到平面1A BC 的距离；（2）设D 为1A C 的中点，1AA AB =，平面1A BC ⊥平面11ABB A ， 求二面角A BD C --的正弦值．20．冰壶是2022年2月4日至2月20日在中国举行的第24届冬季奥运会的比赛项目之一．冰壶比赛的场地如图所示，其中左端（投掷线MN 的左侧）有一个发球区，运动员在发球区边沿的投掷线MN将冰壶掷出，使冰壶沿冰道滑行，冰道的右端有一圆形的营垒，以场上冰壶最终静止时距离营垒区圆心O 的远近决定胜负，甲、乙两人进行投掷冰壶比赛，规定冰壶的重心落在圆O 中，得3分，冰壶的重心落在圆环A 中，得2分，冰壶的重心落在圆环B 中，得1分，其余情况均得0分．已知甲、乙投掷冰壶的结果互不影响，甲、乙得3分的概率分别为13，14；甲、乙得2分的概率分别为25，12；甲、乙得1分的概率分别为15，16．（1）求甲、乙两人所得分数相同的概率；（2）设甲、乙两人所得的分数之和为X ，求X 的分布列和期望．21．已知点()2,0A -，()2,0B ，动点(),R x y 满足直线AR 与BR 的斜率之积为14-.记R 的轨迹为曲线C .（1）求曲线C 的方程；（2）设经过点()1,0Q 的直线l 交曲线C 于M ，N 两点，设直线BM ，BN 的斜率为1k ，2k ，直线AM 与直线BN 交于点G .①求12k k 的值； ①求证点G 在定直线上.22．已知函数()()ln 2xf x e ax a R =--∈．（1）讨论函数()f x 的单调性；第19题（2）当2a =时，求函数()()ln 2cos g x f x x =+-在,2π⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上的零点个数．。

2023年高考生物模拟试卷考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。

3．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题(本大题共7小题,每小题6分,共42分。

)1．某小组为解决粮食贮存通风散热问题，利用下图所示装置测定小麦种子呼吸作用强度（底物为葡萄糖）。

气体自动分析仪用于测定密闭容器中O2和CO2的含量变化。

下列相关叙述错误的是（）A．该装置可用于探究温度对小麦种子呼吸作用强度的影响B．小麦种子呼吸作用释放的能量部分储存在ATP中，其余的以热能形式散失C．当装置中小麦种子同时存在有氧呼吸和无氧呼吸时，不能测出无氧呼吸强度D．通过O2与CO2的含量变化可推算出小麦种子呼吸作用释放的热能2．研究发现，来自胎盘的称为Cak2细胞的干细胞能够在心脏病发作后再生健康的心脏细胞，Cdk2细胞除了具有胚胎干细胞的所有蛋白，还具有其他的蛋白，这使得它们能够直接迁移到损伤部位。

下列叙述错误的是（）A．Cdk2细胞仍然保留有分裂和分化的能力B．Cdk2细胞中蛋白质的合成需多种核酸一蛋白质复合物参与C．Cdk2细胞的迁移过程可能与细胞骨架有关系D．肌细胞能代替Cdk2细胞培养出健康的心脏细胞3．培养下列微生物，培养基中不用添加碳源的是（）A．蓝藻B．酵母菌C．醋酸菌D．毛霉4．2018年诺贝尔获奖者之一詹姆斯·艾利森研究了一种作为免疫系统“刹车”的蛋白质。

他发现，松开这个“刹车”，有可能释放免疫细胞来攻击肿瘤。

下列有关叙述错误的是（）A．肿瘤患者体内“刹车”的蛋白质的作用机理类似于自身免疫病B．肿瘤患者体内“刹车”的蛋白质基因的表达可能抑制了T细胞的作用C．攻击肿瘤的免疫细胞是效应T细胞D．詹姆斯·艾利森的发现可能为治疗肿瘤提供新方法5．如图为外源性致敏原引起哮喘的示意图。

江苏省南通市名校联盟2024—2025学年高三模拟演练语文试题注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求：1．本试卷共8页，满分为100分，考试时间为75分钟。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。

3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符。

4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

作答非选择题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效。

5．如需作图，必须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗。

一、现代文阅读（35分）（一）现代文阅读Ⅰ（本题共5小题，19分）阅读下面的文字，完成下面小题。

材料一作为一款AI语言模型，ChatGPT由美国人工智能实验室OpenAI于2022年11月底发布，并迅速火遍全球。

人们长期苦于那些智能语音助手的傻瓜回答，这次ChatGPT却出乎意料的聪明：它可以用来创作故事、撰写新闻、回答客观问题、聊天、写代码和查找代码问题等。

外媒评论称，ChatGPT会成为科技行业的下一个“颠覆者”。

ChatGPT是自然语言处理中一项引人瞩目的进展，它阅览了互联网上几乎所有数据，并在超级复杂的模型之下进行深度学习。

因为语言是人类智慧、思维方式的核心体现，所以，自然语言处理被称作“AI皇冠上的明珠”。

而ChatGPT的出色表现，被认为可能是迈向通用型AI的一种可行路径——作为一种底层模型，它再次验证了深度学习中“规模”的意义。

2023年1月12日，曾担任微软董事长的比尔·盖茨表示，他不认为Web3有那么重要，也不认为元宇宙本身是革命性的，但是人工智能却是颇具颠覆性的。

当被问及如何看待ChatGPT时，他说，“这让我能一窥未来。

江苏省南通市启东中学2023-2024学年高二上学期10月考试数学试题一、单选题1．若方程x 2＋y 2－x ＋y ＋m ＝0表示一个圆，则实数m 的取值范围是（ ）A ．m ＜12B ．m ≤12C ．m ＜2D ．m ≤22．已知双曲线2213x y m +=的焦距为4，则m 的值为（ ）A ．1B ．1-C ．7D ．7-3．已知两点()()1,3,2,3M N ---，直线l 过点()11P ，且与线段MN 相交，则直线的斜率k 的取值范围是（ ）A ．4k -≥或2k ≥B ．42k -≤≤C ．2k ≥D ．4k -≤4．已知数列{}n a 满足()2*sin N 4n n a n π=∈，则{}n a 的前10项的和为（ ） A ．132B ．6C ．5D ．1125．直线:4320l x y +-=关于点()1,1A 对称的直线方程为（ ） A ．4x ＋3y －4＝0 B ．4x ＋3y －12＝0 C ．4x －3y －4＝0D ．4x －3y －12＝06．已知数列{}n a 和2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭均为等差数列，n S 是数列{}n a 的前n 项和，则510S a =（ ） A ．1B ．32C ．2D ．527．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左右焦点为1F 、2F ，O 为坐标原点，M 为椭圆上一点，1F M 与y 轴交于一点N，且2OM OF ==，则椭圆C 的离心率为（ ） A ．13BCD18．若圆()()22:cos sin 1M x y θθ-+-=02θπ≤<（）与圆22:240N x y x y +--=交于A 、B 两点，则tan ∠ANB 的最大值为（ ）A ．12B ．34C ．45D ．43二、多选题9．已知直线l 过()1,2P ，且()2,3A ，()4,5B -到直线l 的距离相等，则l 的方程可能是（ ） A ．460x y +-= B ．460x y +-=C ．3270x y +-=D ．2370x y +-=10．已知等差数列{}n a 的前n 项和为S n ，且公差0d ≠，若对于任意正整数n ，2022n S S ≥，则（ ）A ．10a >B ．0d >C ．20220a =D ．40450S ≥11．圆22:20F x y x +-=，抛物线2:4C y x =，过圆心F 的直线l 与两曲线的四个交点自下向上依次记为,,,P M N Q ，若,,PM MN NQ 构成等差数列，则直线l 的方程可能是（ ）A ．10x y --=B ．10x y +-=C 0y -=D 0y +12．泰戈尔说过一句话：世界上最远的距离，不是树枝无法相依，而是相互了望的星星，却没有交汇的轨迹；世界上最远的距离，不是星星之间的轨迹，而是纵然轨迹交汇，却在转瞬间无处寻觅.已知点()1,0F ，直线:4l x =，动点P 到点F 的距离是点P 到直线l 的距离的一半.若某直线上存在这样的点P ，则称该直线为“最远距离直线”，则下列结论中正确的是（ ）A ．点P 的轨迹方程是22143x y +=B ．直线1l ：240x y +-=是“最远距离直线”C ．平面上有一点()1,1A -，则2PA PF +的最小值为5.D ．点P 的轨迹与圆C ：2220x y x +-=是没有交汇的轨迹（也就是没有交点）三、填空题13．双曲线22124y x -=的渐近线方程为．14．等差数列{}n a 中，53710a a a -=-，则{}n a 的前9项和为15．已知点()()2,0,2,0A B -，若圆()223()4a x y -+-=上存在点,P 使得90APB ∠=o ，则实数a 的取值范围是．16．P 是抛物线24x y =准线为l 上一点，,A B 在抛物线上，,PA PB 的中点也在抛物线上，直线AB 与l 交于点Q ，则PQ 的最小值为.四、解答题17．等差数列{}n a 中，102030,50a a ==. (1)求数列的通项公式； (2)若242n S =，求n .18．已知点()1,0A -，()3,0B ，动点P 满足2226PB PA =+．(1)求动点P 的轨迹方程；(2)直线l 过点()2,3Q -且与点P 的轨迹只有一个公共点，求直线l 的方程．19．记n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知11,n n S a a ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭是公差为13的等差数列．(1)求{}n a 的通项公式； (2)证明：121112na a a +++<L ． 20．已知椭圆C :22221x y a b+=（a >b > 0）的离心率e =，过左焦点F 的直线l 与椭圆交于点M 、N .当直线l 与x 轴垂直时，MON △（O 为坐标原点）. (1)求椭圆C 的标准方程:(2)设直线l的倾斜角为锐角且满足OM ON ⋅=uuu r uuu rl 的方程.21．已知正项数列{}n a ，对任意*n ∈N ，都有22,n nn n S a a S =+为数列{}n a 的前n 项和． (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设13(1)2n an n n b λ-=+-⋅⋅，若数列{}n b 是递增数列，求实数λ的取值范围．22．已知C ：221x y a b+=12，过椭圆左焦点1F 作不与x 轴重合的直线与椭圆C 相交于M 、N 两点，直线m 的方程为：2x a =-，过点M 作ME 垂直于直线m 交直线m 于点E . (1)求椭圆C 的标准方程；(2)求证线段NE 必过定点P ，并求定点P 的坐标.。

启东中学2018届高三上学期第一次月考英语试题第I卷选择题（共三部分，满分85分）第一部分：听力（共两节，满分20分）第一节(共5小题；每小题1分，满分5分)听下面5段对话。

每段对话后有一个小题，从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项，并标在试卷的相应位置。

听完每段对话后，你都有10秒钟的时间来问答有关小题和阅读下一小题。

每段对话仅读一遍。

1.Who was ill yesterday?A.LilyB.Lily’s motherC.Lily’s grandfather2.What does the boy want to do during his holiday?A.Go surfingB.Go hikingC.Go shopping3.Where are the speakers most probably?A.In a bookstoreB.In a libraryC.In a post office4.How will the man travel around?A.By subwayB.By carC.By bus5.What does the woman mean?A.The man should get up early.B.The man shouldn’t drop the class.C.The class is not difficult.第二节听下面5段对活或独白。

每段对话或独白后有几个小题，从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项，并标在试卷的相应位置。

听每段对话或独白前，你将有时间阅读各个小题，每小题5秒钟；听完后，各小题将给出5秒钟的作答时间。

每段对话或独白读两遍。

听第6段材料，回答第6、7题。

6.What’s the relationship between the two speakers?A.Husband and wifeB.Brother and sisterC.Mother and son7.What will the woman do in the afternoon?A.Visit her parentsB.Make a phone callC.Do some shopping听第7段材料，回答第8至10题.8.When will the party be held?A.On FridayB.On SaturdayC.On Sunday9.Where will the speakers have lunch?A．At a club B.At a restaurant C.At a man’s house10.What will the woman get for her granddad?A. A hatB.Some CDsC.A suitcase听第8段材料，回答第11至13题。

2023-2024学年江苏省启东市东南中学高三上学期第二次质量检测英语试卷1. What happened to the woman probably?A．She was thirsty. B．She ate something hot. C．She was allergic tochicken.2. What are the speakers concerned about?A．The price. B．The food. C．The environment.3. What might the young man be building?A．A model train. B．A model airplane. C．A model car.4. Who might the speakers be?A．A lawyer and his client.B．A policeman and a crime victim.C．A passenger and a pedestrian.5. Where might the speakers be?A．In a cave. B．On a dark road. C．On the subway.听下面一段较长对话，回答以下小题。

6. How does the woman feel at the moment?A．Sick. B．Sore. C．Dizzy.7. What were the speakers most likely doing?A．Riding a roller coaster. B．Riding a bus. C．Riding a boat.听下面一段较长对话，回答以下小题。

8. Which state was the coldest last year?A．Florida. B．California. C．Illinois.9. How does climate affect hurricanes according to the scientists?A．It causes more of them to happen.B．It makes them more powerful.C．It has no effect on them at all.听下面一段较长对话，回答以下小题。

2024届江苏省南通市启东市启东中学高三第一次模拟考试化学试题理试卷注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题（每题只有一个选项符合题意）1、下列物质分子中的碳原子在同一平面上时，在任意情况下都不可能与碳原子们共平面的氢原子有（）A．1个B．2个C．3个D．4个2、与氢硫酸混合后无明显现象的是A．NaOH溶液B．亚硫酸C．FeCl3溶液D．氯水3、某同学将光亮的镁条放入盛有NH4Cl溶液的试管中，有大量气泡产生，为探究该反应原理，该同学做了以下实验并观察到相关现象，由此得出的结论不合理的是选项实验及现象结论A 将湿润的红色石蕊试纸放在试管口，试纸变蓝反应中有NH3产生B 收集产生的气体并点燃，火焰呈淡蓝色反应中有H2产生C 收集气体的同时测得溶液的pH为8.6 弱碱性溶液中Mg也可被氧化D 将光亮的镁条放入pH为8.6的NaHCO3溶液中，有气泡产生弱碱性溶液中OH-氧化了Mg A．A B．B C．C D．D4、下判说法正确的是A．常温下，c(Cl-)均为0.1mol/LNaCl溶液与NH4Cl溶液，pH相等B．常温下，浓度均为0.1mol/L的CH3COOH溶液与HCl溶液，导电能力相同C．常温下，HCl溶液中c(Cl-)与CH3COOH溶液中c(CH3COO-)相等，两溶液的pH相等D．室温下，等物质的量浓度的CH3COOH溶液和NaOH溶液等体积混合，所得溶液呈中性5、用化学用语表示2CO2＋2Na2O2===2Na2CO3＋O2中的相关微粒，其中正确的是()A．中子数为6的碳原子：612C B．氧原子的结构示意图：C．CO2的结构式：O—C—O D．Na2O2的电子式：Na Na6、氮气与氢气在催化剂表面发生合成氨反应的微粒变化历程如图所示。

2023-2024学年度江苏省启东中学高一期中考试（数学）一､单选题（本大题共8小题，共40.0分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.对于全集U 的子集M ，N ，若M 是N 的真子集，则下列集合中必为空集的是（）．A.()UNM ⋂ð B.()U M Nð C.()()UUM N ⋂痧 D.M N⋂【答案】B 【解析】【分析】根据题目给出的全集是U ，M ，N 是全集的子集，M 是N 的真子集画出集合图形，由图形表示出三个集合间的关系，从而看出是空集的选项．【详解】解：集合U ，M ，N 的关系如图，由图形看出，只有()U N M I ð是空集．故选：B ．【点睛】本题考查了交、并、补集的混合运算，是基础题.本题解题的关键在于根据题意，给出集合的图形表示法，数形结合解．2.已知集合{}20A x R x a =∈+>，且2A ∉，则实数a 的取值范围是（）A.{}4a a ≤ B.{}4a a ≥ C.{}4a a ≤- D.{}4a a ≥-【答案】C 【解析】【分析】结合元素与集合的关系得到220a +≤，解不等式即可求出结果.【详解】由题意可得220a +≤，解得4a ≤-，故选：C3.已知实数x ，y 满足41x y -≤-≤-，145x y -≤-≤，则9z x y =-的取值范围是（）A.{}726z z -≤≤B.{}120z z -≤≤C.{}415z z ≤≤ D.{}115z z ≤≤【答案】B 【解析】【分析】令m x y =-，4n x y =-，可得85933z x y n m =-=-，再根据,m n 的范围求解即可.【详解】令m x y =-，4n x y =-，则343n m x n my -⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，所以85933z x y n m =-=-．因为41m -≤≤-，所以5520333m ≤-≤．因为15n -≤≤，所以8840333n -≤≤，所以120z -≤≤.故选：B4.加油（两次加油时油价不一样），甲方案：每次购买汽油的量一定；乙方案：每次加油的钱数一定．问哪种加油的方案更经济？（）A.甲方案B.乙方案C.一样D.无法确定【答案】B 【解析】【分析】设两次加油的油价分别为x ，y （,0x y >，且x y ≠），分别计算两种方案的平均油价，然后比较即得.【详解】设两次加油的油价分别为x ，y （,0x y >，且x y ≠），甲方案每次加油的量为()0a a >；乙方案每次加油的钱数为()0b b >，则甲方案的平均油价为：22ax ay x ya ++=，乙方案的平均油价为：22211bxy b bx y x yx y==+++，因为22()022()x y xy x y x y x y +--=>++，所以22x y xy x y+>+，即乙方案更经济．故选：B ．5.若a 为实数，则“1a =”是“3()3+=-x x a f x a为奇函数的”（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】根据函数的的偶性的定义及判定方法，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解.【详解】当1a =时,函数31()31+=-x x f x 的定义域为(,0)(0,)-∞+∞ 关于原点对称，且3131313()()1331313x x x x xx x xf x f x --+++-===-=----，即()()f x f x -=-，此时函数()f x 为奇函数，所以充分性成立；反之：当3()3+=-x x a f x a ，则满足()()f x f x -=-，即3333x xx xa aa a--++=---，即133133x x xxa aa a +⋅+=--⋅-，解得1a =±，所以必要性不成立.综上可得，1a =是函数3()3+=-x x a f x a为奇函数的充分不必要条件.故选：A.6.若函数()()2,16,1x ax x f x a x a x ⎧-+<⎪=⎨--⎪⎩满足对任意实数12x x ≠，都有1212()()0f x f x x x ->-成立，则实数a 的取值范围是（）A.(-∞，2] B.(1,2)C.[2，6)D.72,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】D 【解析】【分析】由题意()f x 是R 上的增函数，所以分段函数的每一段单调递增且分界点处单调递增，列出不等式组求出a 的取值范围即可.【详解】根据题意，任意实数12x x ≠都有1212()()0f x f x x x ->-成立，所以函数()f x 是R 上的增函数，则分段函数的每一段单调递增且分界点处单调递增，所以()21216016a a a a a⎧-⎪⨯-⎪⎪->⎨⎪-+--⎪⎪⎩，解得：723a ≤≤，所以实数a 的取值范围是：[2,7]3.故选：D.7.已知()4y f x =+是定义域为R 的奇函数，()2y g x =-是定义域为R 的偶函数，且()y f x =与()y g x =的图象关于y 轴对称，则（）A.()y f x =是奇函数B.()y g x =是偶函数C.()y f x =关于点()2,0对称D.()y g x =关于直线4x =对称【答案】A 【解析】【分析】根据函数()4y f x =+，()2y g x =-的奇偶性可推出()y f x =以及()y g x =的对称性，结合()y f x =与(y g x =的图象关于y 轴对称，推出()y f x =的奇偶性以及对称性，判断A,C;同理推得()y g x =的奇偶性以及对称性，判断B,D.【详解】由于()4y f x =+是定义域为R 的奇函数，则()y f x =的图象关于(4,0)成中心对称，()2y g x =-是定义域为R 的偶函数，则()y g x =的图象关于2x =-对称，因为()y f x =与()y g x =的图象关于y 轴对称，则()y f x =的图象关于2x =对称，又()y f x =的图象关于(4,0)成中心对称，则()y f x =的图象关于(0,0)成中心对称，故()y f x =为奇函数，A 正确；因为()y f x =为奇函数，故()()f x f x -=-，由()y f x =与()y g x =的图象关于y 轴对称，可得()(),()()f x g x g x f x =-=-，故()()()()g x f x f x g x -==--=-，故()y g x =为奇函数，B 错误；由A 的分析可知()y f x =的图象关于2x =对称，故C 错误；由A 的分析可知()y f x =的图象关于(4,0)成中心对称，()y f x =为奇函数，则()y f x =的图象也关于(4,0)-成中心对称，而()y f x =与()y g x =的图象关于y 轴对称，则()y g x =的图象关于(4,0)成中心对称，故D 错误，故选：A【点睛】本题综合考查了函数的奇偶性以及对称性的应用，对抽象函数的性质的考查能较好地反映学生的思维能力和数学素养，解答时要注意综合应用函数性质的相关知识解答.8.已知函数()22f x ax x =+的定义域为区间[m ，n ]，其中,,a m n R ∈，若f （x ）的值域为[-4，4]，则n m -的取值范围是（）A.[4，]B.，]C.[4，]D.，8]【答案】C 【解析】【分析】先讨论0a =，再结合二次函数的图象与性质分析0a >时，n m -的最大值与最小值，同理可得a<0时的情况即可得解.【详解】若0a =，()2f x x =，函数为增函数，[,]x m n ∈时，则()24,()24f m m f n n ==-==，所以2(2)4n m -=--=，当0a >时，作图如下，为使n m -取最大，应使n 尽量大，m 尽量小，此时14a =，由22()424()424f n am m f m an n =⎧+=⎧⇒⎨⎨=+=⎩⎩，即2240ax x +-=，所以24,m n mn a a+=-=-，所以n m -=，即n m -≤，当14a -<-时，即10a 4<<时，此时,m n 在对称轴同侧时n m -最小，由抛物线的对称性，不妨设,n m 都在对称轴右侧，则由22()24,()24f n an n f m am m =+==+=-，解得24162416,22n m a a-+-==，42n m a a∴-==，当且仅当1414a a+=-,即0a =时取等号，但0a >，等号取不到，4n m ∴->，a<0时，同理，当14a =-时，max ()n m -=，当14a >-时，()min 4n m ->，综上，nm -的取值范围是，故选：C二､多选题（本大题共4小题，共20.0分.在每小题有多项符合题目要求）9.下列说法正确的是（）A.若0,R a b >∈，则“a b >”是“a b >”的必要不充分条件B.“0c <”是“二次方程20(,R)x bx c b c ++=∈有两个不等实根”的充分不必要条件C.“A B B = ”是“()B A B ⊆ ”的充分不必要条件D.若“x >m ”是“2021x <或“2022x >”的充分不必要条件，则m 的最小值为2022【答案】BD 【解析】【分析】根据充分、必要条件逐个分析判断.【详解】对A ：若a b >，则a b b >≥，即a b >若a b >，比如：12a b =>=-，则a b >不成立∴“a b >”是“a b >”的充分不必要条件，A 错误；对B ：若0c <，则240b c ∆=->，即二次方程20(,R)x bx c b c ++=∈有两个不等实根若二次方程20(,R)x bx c b c ++=∈有两个不等实根，等价于240b c ∆=->比如：3,1b c ==满足0∆>，但0c <不成立∴“0c <”是“二次方程20(,R)x bx c b c ++=∈有两个不等实根”的充分不必要条件，B 正确；对C ：∵A B B B A =⇔⊆ 且()B A B B A ⊆⋂⇔⊆则()A B B B A B =⇔⊆⋂ ∴“A B B = ”是“()B A B ⊆ ”的充要条件，C 错误；对D ：根据题意可得：2021m ≥，则m 的最小值为2022，D 正确；故选：BD.10.设矩形ABCD （AB BC >）的周长为定值2a ，把ABC 沿AC 向ADC △折叠，AB 折过去后交DC 于点P ，如图，则下列说法正确的是（）A.矩形ABCD 的面积有最大值B.APD △的周长为定值C.APD △的面积有最大值D.线段PC 有最大值【答案】BC 【解析】【分析】根据基本不等式的性质，结合图形折叠的性质，结合对钩函数的性质逐一判断即可.【详解】设AB x =，则BC a x =-，因为AB BC >，所以,2a x a ⎛⎫∈⎪⎝⎭．矩形ABCD 的面积22()24x a x a S AB BC x a x +-⎛⎫=⋅=-<= ⎪⎝⎭，因为2ax ≠，所以无最大值．故A 错．根据图形折叠可知APD △与1CPB △全等，所以APD △周长为1AP PD DA AP PB DA AB DA a ++=++=+=．故B 正确．设DP m =，则AP PC x m ==-，有222DP DA AP +=，即222()()m a x x m +-=-，得22a m a x=-，22321313()224224ADP a a a S a a x ax a x x ⎛⎫⎛⎫-=--=-+≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭△，当2x a =时，取最大值．故C 正确．22a PC x a x =+-，因为函数22a y x a x =+-在2(0,)2a 上单调递减，在2,2x ⎛⎫∈+∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增，所以当,2a x a ⎛⎫∈⎪⎝⎭，当2x a =时函数有最小值，无最大值．故D 错误．故选：BC ．【点睛】关键点睛：利用基本不等式的性质、对钩函数的性质是解题的关键.11.已知2log 3m =，3log 7n =，则42log 56的值不可能是（）A.31mn mn ++ B.321m n m n ++++ C.31mn mn m +++ D.31mn mn m +-+【答案】ABD 【解析】【分析】利用对数运算的公式计算即可.【详解】由换底公式得：223log 7log 3log 7mn =⋅=，71log 2mn=，()424242427878log 56log log log ⨯==+，其中4277771111711log 421log 61log 2log 311log mnmn m mn n=====++++++，424222233383242log log log log lo 67g 1mnm ====+++，故42313log 5611mn m mn m mn mn m mn +=++=+++++故选：ABD.12.已知关于x 的不等式(1)(3)20a x x -++>的解集是()12,x x ，其中12x x <，则下列结论中正确的是（）A.1220x x ++=B.1231x x -<<<C.124x x ->D.1230x x +<【答案】ACD 【解析】【分析】由一元二次不等式的解集可得12122230x x x x a +=-⎧⎪⎨=-<⎪⎩判断A 、D ，再将题设转化为()(1)(3)2f x a x x =-+>-，结合二次函数的性质，应用数形结合的方法判断B 、C.【详解】由题设，2(1)(3)22320a x x ax ax a -++=+-+>的解集为()12,x x ，∴a<0，则12122230x x x x a +=-⎧⎪⎨=-<⎪⎩，∴1220x x ++=，12230x x a+=<，则A 、D 正确；原不等式可化为()(1)(3)2f x a x x =-+>-的解集为()12,x x ，而()f x 的零点分别为3,1-且开口向下，又12x x <，如下图示，∴由图知：1231x x <-<<，124x x ->，故B 错误，C 正确.故选：ACD.【点睛】关键点点睛：由根与系数关系得12122230x x x x a +=-⎧⎪⎨=-<⎪⎩，结合二次函数的性质及数形结合思想判断各选项的正误.三､填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知“()2160x a +->”的必要不充分条件是“2x ≤-或3x ≥”，则实数a 的最大值为______．【答案】1【解析】【分析】首先解出不等式()2160x a +->，再根据题意得到4243a a --≤-⎧⎨-≥⎩，即可求出a 的取值范围，从而得解；【详解】解：由()2160x a +->，得4x a <--或4x a >-，因为()2160x a +->的必要不充分条件是“2x ≤-或3x ≥”，所以4243a a --≤-⎧⎨-≥⎩，解得21a -≤≤，所以实数a 的最大值为1；故答案为：114.已知0a >，0b >，下面四个结论:①22ab a b a b +≤+；②2a b +>a b >，则22c c a b ≤；④若11111a b +=++，则2+a b 的最小值为；其中正确结论的序号是______.(把你认为正确的结论的序号都填上)【答案】①③④【解析】【分析】①可以由222a b ab +≥得2224a b ab ab ++≥，然后变形可得是正确的，②可以由222a b ab +≥得222222()2()a b a b ab a b +≥++=+，然后变形可得是错误的，③可以()1112211a b a b ⎛⎫++++ ⎪++⎝⎭展开由基本不等式推导出来.【详解】因为222a b ab +≥，所以2224a b ab ab ++≥即2()4a b ab +≥所以22ab a ba b +≤+，故①正确因为222a b ab+≥所以222222()2()a b a b ab a b +≥++=+2a b +≥，故②错误因为0a b >>，所以11a b<因为2c ≥0，所以22c c a b≤，故③正确因为()112(1)1122121111b a a b a b a b ++⎛⎫++++=+++⎪++++⎝⎭3≥+，当且仅当2(1)111b a a b ++=++即2a b ==时取得最小值因为11111a b +=++，所以1223a b +++≥+即2a b +≥，故④正确故答案为：①③④【点睛】0a >，0b >22112a b aba b a b+≥≥=++15.关于x 的不等式22(1)ax x -<恰有2个整数解，则实数a 的取值范围是__．【答案】3443(,[,2332-- ．【解析】【分析】先将原不等式转化为[(1)1][(1)1]0a x a x +---<，再对a 分类讨论分别求出原不等式的解集，然后根据其解集中恰有两个整数求出实数a 的取值范围．【详解】不等式22(1)ax x -<可化为[(1)1][(1)1]0a x a x +---<，①当1a =时，原不等式等价于210x ->，其解集为1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭，不满足题意；②当1a =-时，原不等式等价于210x +<，其解集为1 ,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭，不满足题意；③当1a >时，原不等式等价于11011x x a a ⎛⎫⎛⎫--< ⎪⎪+-⎝⎭⎝⎭，其解集为11,11a a ⎛⎫ ⎪+-⎝⎭，其解集中恰有2个整数，∴12 1131a a ⎧<⎪⎪-⎨⎪⎪-⎩，解得：4332a ≤<；④当11a -<<时，原不等式等价于11011x x a a ⎛⎫⎛⎫--> ⎪⎪+-⎝⎭⎝⎭，其解集为11(,,11a a ⎫⎛⎫-∞⋃+∞⎪ ⎪-+⎭⎝⎭，不满足题意；⑤当1a <-时，原不等式等价于11011x x a a ⎛⎫⎛⎫--< ⎪⎪+-⎝⎭⎝⎭，其解集为11,11a a ⎛⎫ ⎪+-⎝⎭，其解集中恰有2个整数，121131a a ⎧<-⎪⎪+∴⎨⎪-⎪+⎩，解得：3423a -<-，综合以上，可得：3443,,2332a ⎛⎤⎡⎫∈-- ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭.故答案为：3443,,2332a ⎛⎤⎡⎫∈-- ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭ ．【点睛】关键点睛：解决本题的关键一是正确的分类讨论，二是要注意在处理满足整数解时等号的取舍．16.已知函数()22,11,1x x f x x x x -≥⎧=⎨+-<⎩，那么()()4f f =___________若存在实数a ，使得()()()f a f f a =，则a 的个数是___________.【答案】①.1②.5【解析】【分析】求出()4f 的值，再计算()()4ff 的值；设()f a t =，则()f t t =，可求得1t =或1t =-，再解方程()1f a =或()1f a =-，可求得a 的值即可求解.【详解】因为()22,1,1x x f x x x x -≥⎧=⎨+-<⎩，所以()4242f =-=-，所以()()()()2422211ff f =-=---=，设()f a t =，则()f t t =，当1t ≥时，()2f t t t =-=，可得1t =，当1t <时，()21f t t t t =+-=，可得1t =-，所以()1f a =或()1f a =-，当1a ≥时，由()21f a a =-=或()21f a a =-=-可得1a =或3a =；当1a <时，()211f a a a =+-=或，()211f a a a =+-=-可得2a =-或1a =（舍）或1a =-或0a =，综上所述：2a =-，1-，0，1，3，有5个a 符合题意，故答案为：1；5.四､解答题（本大题共6小题，共70.0分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.计算下列各式：（102)--（2）23948(lg 2)lg 2lg 50lg 25(log 2log 2)(log 3log 3)+⋅+++⋅+【答案】（1）19（2）134【解析】【分析】（1）、利用指数幂的运算性质求解即可；（2）、利用对数的运算性质求解.【小问1详解】4032)18---)21216=19=+--+.【小问2详解】23948(lg 2)lg 2lg 50lg 25(log 2log 2)(log 3log 3)+⋅+++⋅+()23232111(lg2)lg2lg512lg5log 22log 3log 3223⎛⎫⎛⎫=++++++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭23235(lg2)lg2lg5lg22lg5log 2log 326=++++⨯()5lg2lg2lg5+lg22lg54=+++52lg22lg54=++134=18.设集合{}12A x x =-≤≤，{}21B x m x =<<，{1C x x =<-或}2x >．（1）若A B B = ，求实数m 的取值范围；（2）若B C ⋂中只有一个整数，求实数m 的取值范围．【答案】（1）12m m ⎧⎫≥-⎨⎬⎩⎭（2）312m m ⎧⎫-≤<-⎨⎬⎩⎭【解析】【分析】（1）根据集合交集的性质，可得两集合之间的关系，分类讨论是否为空集，列出不等式，可得答案；（2）由题意，明确交集中的唯一的整数，结合这个整数，列出不等式，可得答案.【小问1详解】因为A B B = ，所以B A ⊆．①当B ≠∅时，由B A ⊆，得2121m m <⎧⎨≥-⎩，解得1122m -≤<；②当B =∅，即12m ≥时，B A ⊆成立．综上，实数m 的取值范围是12m m ⎧⎫≥-⎨⎬⎩⎭．【小问2详解】因为B C ⋂中只有一个整数，所以B ≠∅，且322m -≤<-，解得312m -≤<-，所以实数m 的取值范围是312m m ⎧⎫-≤<-⎨⎬⎩⎭．19.已知命题:p x R ∀∈，2210ax x ++≠；命题:q x R ∃∈，210ax ax ++≤（1）若命题p 为真命题，求实数a 的取值范围；（2）若命题p 与q 均为假命题，求实数a 的取值范围.【答案】（1）()1,+∞；（2）[]0,1.【解析】【分析】（1）根据题意，可知命题p 为真命题，则0a ≠且Δ0<，即可求出a 的取值范围；（2）根据题意，分别求出p ⌝和q ⌝，由命题p 与q 均为假命题，可知p ⌝和q ⌝都是真命题，由p ⌝是真命题，得0a =或0Δ440a a ≠⎧⎨=-≥⎩，由q ⌝是真命题，得0a =或2Δ40a a a >⎧⎨=-<⎩，化简计算后，可得出实数a 的取值范围.【小问1详解】解：因为命题:p x R ∀∈，2210ax x ++≠，若命题p 为真命题，则0a ≠且Δ0<，即20240a a ≠⎧⎨-<⎩，解得：1a >，所以实数a 的取值范围是()1,+∞.【小问2详解】解：因为命题:p x R ∀∈，2210ax x ++≠；命题:q x R ∃∈，210ax ax ++≤，则:p x R ⌝∃∈，2210ax x ++=，:q x R ⌝∀∈，210ax ax ++>，若命题p 与q 均为假命题，则p ⌝和q ⌝都是真命题，由p ⌝是真命题，得0a =或0Δ440a a ≠⎧⎨=-≥⎩，解得：1a ≤，由q ⌝是真命题，得0a =或2Δ40a a a >⎧⎨=-<⎩，解得：04a ≤<，联立104a a ≤⎧⎨≤<⎩，得01a ≤≤，所以实数a 的取值范围为[]0,1.20.十九大指出中国的电动汽车革命早已展开，通过以新能源汽车替代汽/柴油车，中国正在大力实施一项将重塑全球汽车行业的计划，2020年某企业计划引进新能源汽车生产设备看，通过市场分析，全年需投入固定成本3000万元，每生产x （百辆）需另投入成本y （万元），且210100,0100005014500,40x x x y x x x ⎧+<<⎪=⎨+-≥⎪⎩.由市场调研知，每辆车售价5万元，且全年内生产的车辆当年能全部销售完.（1）求出2020年的利润S （万元）关于年产量x （百辆）的函数关系式；（利润=销售额—成本）（2）当2020年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润.【答案】（1）2104003000,040()100001500,40x x x S x x x x ⎧-+-<<⎪=⎨--≥⎪⎩（2）100百辆，最大利润为1300万【解析】【分析】（1）根据题意分情况列式即可；（2）根据分段函数的性质分别计算最值.【小问1详解】由题意得当040x <<时，22()500(10100)3000104003000S x x x x x x =-+-=-+-，当40x ≥时，1000010000()500501450030001500S x x x x x x ⎛⎫=-+--=-- ⎪⎝⎭，所以2104003000,040()100001500,40x x x S x x x x ⎧-+-<<⎪=⎨--≥⎪⎩,【小问2详解】由（1）得当040x <<时，2()104003000S x x x =-+-，当20x =时，max ()1000S x =，当40x ≥时，1000010000()15001500()S x x x x x=--=-+10000200x x +≥= ，当且仅当10000x x =，即100x =时等号成立，()150********S x ∴≤-=，100x ∴=时，max ()1300S x =，13001000> ，100x ∴=时，即2020年产量为100百辆时，企业所获利润最大，且最大利润为1300万元.21.设函数()xxf x ka a-=-（0a >且1,a k R ≠∈），()f x 是定义域为R 的奇函数：，（1）求k 的值，（2）判断并证明当1a >时，函数()f x 在R 上的单调性；（3）已知3a =，若()()3f x f x λ≥⋅对于[]1,2x ∈时恒成立．请求出最大的整数λ．【答案】（1）1k =；（2）()f x 在R 上为增函数；证明见解析；（3）10．【解析】【分析】（1）由()00f =，解得1k =，再检验其成立；（2）利用定义法证明单调性；（3）用分离参数法求出919λ≤，即可得到λ的最大整数值．【详解】（1）∵()xxf x ka a -=-（0a >且1,a k R ≠∈）是定义域为R 的奇函数，∴()00f =，解得1k =．此时()xxf x a a-=-，对任意x R ∈，有()()()x x x x f x a a a a f x ---=-=--=-，即()f x 是R 上的奇函数，符合题意．故1k =．（2）由（1）得()xxf x a a-=-．判断该函数为增函数.下面证明：设12,x x R ∈，且12x x <，则()()()()()()1122121212xx x x x x x x f x f x a aaa a a a a -----=---=---12121212111()()()(1x x x x x x x x a a a a a a a +=---=-+∵1a >，且12x x <，∴120-<x x a a ，又12110x x a ++>∴()()120f x f x -<，即()()12f x f x <，∴()f x 在R 上为增函数．（3）由（1），不等式()()3f x f x λ≥⋅对于[]1,2x ∈时恒成立，即3333(33)x x x x λ---≥-，亦即不等式22(33)(313)(33),[1,2]x x x x x x x λ---≥∈-++-恒成立．令33,[1,2]x x t x -∈=-，则880,39t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，问题转化为关于t 的不等式2(3)t t t λ+≥对任意880,39t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，亦即不等式2+3t λ≤，对任意880,39t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立．当83t =时，2min 91(3)9t +=，919λ∴≤，则λ的最大整数为10．【点睛】（1）函数奇偶性的应用:①一般用()()f x f x =-或()()f x f x =-;②有时为了计算简便,我们可以对x 取特殊值:(1)(1)f f =-或(1)(1)f f =-.（2）分离参数法是求参数范围的一种非常常用的方法.22.已知二次函数2()f x ax bx c =++满足对任意实数x ，不等式212()(1)2x f x x ≤≤+恒成立.（1）求a b c ++的值；（2）若该二次函数与x 轴有两个不同的交点，其横坐标分别为1x ､2x .①求a 的取值范围；②证明：12x x 为定值.【答案】（1）2；（2）①10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭；②证明见解析.【解析】【分析】(1)由212()(1)2x f x x ≤≤+取1x =可求a b c ++，(2)由2()x f x ≤恒成立，结合(1)可得a ，b ，c 的关系，再由()f x 与x 轴有两个不同的交点可求a 的范围，并证明12x x 为定值.【详解】解：（1）对任意实数x ，不等式2212(1)2x ax bx c x ≤++≤+恒成立.令212(1)2x x =+得x =1令x =1，得2≤a +b +c ≤2，∴a +b +c =2.（2）①当a +b +c =2时，22ax bx c x ++≥，即()220ax b x c +-+≥恒成立，所以()()()22202440a b ac a c ac a c >⎧⎪⎨--=+-=-≤⎪⎩，所以0,22a c b a =>=-.因为二次函数有两个不同的零点，所以()22244140b ac a a -=-->，解得12a <∴a 的取值范围为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭②由韦达定理得121c x x a ==，∴12x x 为定值。

2023-2024学年江苏省启东市高三（上）期中数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．集合A＝{x|x2+x﹣6＝0}，B＝{2，3}，则A∩B＝（）A．∅B．{2}C．{3}D．{2，3}2．已知a∈R，若（2+i）（1+ai）为纯虚数，则a＝（）A．−12B．12C．﹣2D．23．已知直线l1：x﹣ay+1＝0，l2：（a﹣1）x﹣12y﹣4＝0，则“a＝4”是“l1∥l2”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4．学校以“布一室馨香，育满园桃李”为主题开展了系列评比活动，动员师生一起为营造舒心愉悦的学习生活环境奉献智慧．张老师特地培育了一盆绿萝放置在教室内，绿萝底部的盆近似看成一个圆台，圆台的上、下底面半径之比为3：2，母线长为10cm，其母线与底面所成的角为60°，则这个圆台的体积为（）A．2375√33πcm3B．4750√33πcm3C．7125√33πcm3D．9500√33πcm35．已知函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π2），现有如下四个命题：甲：该函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2；乙：该函数图象可以由y=cos2x−√3sin2x的图象向右平移π4个单位长度得到；丙：该函数在区间(−π12，π6)上单调递增；丁：该函数满足f(π3+x)+f(π3−x)=0．如果只有一个假命题，那么该命题是（ ） A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁6．已知奇函数f （x ）的图象关于直线x ＝1对称，当x ∈[0，1]时，f （x ）＝2x +b ，则f(20232)=（ ） A ．−1−√2B ．1−√2C ．√2+1D ．√2−17．若cos(α+π6)=35，则sin(2α+5π6)=（ ）A ．−725B ．−1225C ．725D ．12258．已知函数f （x ）＝x 3+ax 2+bx +c （a ，b ，c ∈R ），若不等式f （x ）＜0的解集为{x |x ＜m +1且x ≠m }，则函数f （x ）的极小值是（ ） A ．−14B ．0C ．−427 D ．−49二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9．设a ＞b ＞0，c ∈R ，则（ ） A ．a |c |＞b |c | B ．ba ≤b+c 2a+c 2C ．a 2−b 2＜1a −1bD ．a +b ＜√2(a 2+b 2)10．已知数列{a n }满足a 4＝4，a n a n +1＝2n （n ∈N *），则（ ） A ．a 1＝1B ．数列{a n }为递增数列C ．a 1+a 2+…+a 2023＝21013﹣3D ．1a 1+1a 2+⋯+1a n＜311．已知点P 满足|PA|=√2|PB|，点A （﹣1，0），B （1，0），C(0，√7)，则（ ） A ．当∠PCA 最小时，|PC|=2√2B ．当∠PCA 最大时，|PC|=2√2C ．当△P AB 面积最大时，|PA|=2√2D ．当√2|PC|−|PA|最大时，△P AB 面积为√712．已知函数f （x ）＝a 2x ﹣x （a ＞0，a ≠1），则下列结论中正确的是（ ） A ．函数f （x ）恒有1个极值点B ．当a ＝e 时，曲线y ＝f （x ）恒在曲线y ＝lnx +2上方C ．若函数f （x ）有2个零点，则1＜a ＜e 12eD ．若过点P （0，t ）存在2条直线与曲线y ＝f （x ）相切，则0＜t ＜1 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知向量a →=(λ，1)，b →=(−1，2)，若a →与b →共线，则|a →−b →|= ．14．写出一个同时满足下列三个性质的函数：f （x ）＝ ． ①f （x ）的值域为（0，+∞）； ②f （x 1+x 2）＝2f （x 1）•f （x 2）； ③∀x ∈R ，f ′（x ）＜0．15．咖啡适度饮用可以提神醒脑、消除疲劳，让人精神振奋．冲咖啡对水温也有一定的要求，把物体放在空气中冷却，如果物体原来的温度是θ1℃，空气的温度是θ0℃，经过t 分钟后物体的温度为θ℃满足θ=θ0+(θ1−θ0)e −0.08t ．研究表明，咖啡的最佳饮用口感会出现在65℃．现有一杯85℃的热水用来冲咖啡，经测量室温为25℃，那么为了获得最佳饮用口感，从冲咖啡开始大约需要等待 分钟．（结果保留整数）（参考数据：ln 2≈0.7，ln 3≈1.1，ln 11≈2.4）16．在平面四边形ABCD 中，AB =AD =√2，BC =CD =1，BC ⊥CD ，将四边形沿BD 折起，使A ′C =√3，则四面体A ′﹣BCD 的外接球O 的表面积为 ；若点E 在线段BD 上，且BD ＝3BE ，过点E 作球O 的截面，则所得的截面中面积最小的圆的半径为 ． 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）已知数列{a n }中，a 1＝1，a n+1n+1−a n n =1n(n+1)，n ∈N ∗．（1）求数列{a n }的通项公式； （2）设b n ＝（﹣1）n﹣14na n a n+1，求数列{b n }的前n 项和S n ．18．（12分）已知函数f(x)=4x+14x +a 为奇函数．（1）解不等式f(x)＞53；（2）设函数g(x)=log 2x 2⋅log 2x4+m ，若对任意的x 1∈[2，8]，总存在x 2∈（0，1]，使得g （x 1）＝f （x 2）成立，求实数m 的取值范围．19．（12分）在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且tan A +tan B =−√3cacosB．（1）求角A ；（2）已知a ＝7，D 是边BC 的中点，且AD ⊥AB ，求AD 的长．20．（12分）如图，AB 是半球O 的直径，AB ＝4，M ，N 是底面半圆弧AB ̂上的两个三等分点，P 是半球面上一点，且∠PON ＝60°． （1）证明：PB ⊥平面P AM ；（2）若点P 在底面圆内的射影恰在ON 上，求直线PM 与平面P AB 所成角的正弦值．21．（12分）已知圆C 过点P(−1，√7)，且与直线x +y ﹣4＝0相切于点A （2，2）． （1）求圆C 的方程；（2）若M 、N 在圆C 上，直线AM ，AN 的斜率之积为﹣2，证明：直线MN 过定点． 22．（12分）已知函数f(x)=1+lnxx． （1）讨论f （x ）的单调性；（2）设a ，b 为两个不相等的实数，且ae b ﹣be a ＝e a ﹣e b ，证明：e a +e b ＞2．2023-2024学年江苏省启东市高三（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．集合A ＝{x |x 2+x ﹣6＝0}，B ＝{2，3}，则A ∩B ＝（ ） A ．∅B ．{2}C ．{3}D ．{2，3}解：A ＝{x |x 2+x ﹣6＝0}＝{﹣3，2}，故A ∩B ＝{2}． 故选：B ．2．已知a ∈R ，若（2+i ）（1+ai ）为纯虚数，则a ＝（ ） A ．−12B ．12C ．﹣2D ．2解：（2+i ）（1+ai ）＝2﹣a +（1+2a ）i ，因为a ∈R ，且（2+i ）（1+ai ）为纯虚数，所以{2−a =01+2a ≠0，解得a ＝2．故选：D ．3．已知直线l 1：x ﹣ay +1＝0，l 2：（a ﹣1）x ﹣12y ﹣4＝0，则“a ＝4”是“l 1∥l 2”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解：由l 1∥l 2可知1a−1=−a−12，解得a ＝4或a ＝﹣3，当a＝4时，l1：x﹣4y+1＝0，l2：3x﹣12y﹣4＝0，l1∥l2成立，当a＝﹣3时，l1：x+3y+1＝0，l2：﹣4x﹣12y﹣4＝0即x+3y+1＝0，l1与l2重合，所以若l1∥l2，则a＝4，所以“a＝4”是“l1∥l2”的充要条件．故选：C．4．学校以“布一室馨香，育满园桃李”为主题开展了系列评比活动，动员师生一起为营造舒心愉悦的学习生活环境奉献智慧．张老师特地培育了一盆绿萝放置在教室内，绿萝底部的盆近似看成一个圆台，圆台的上、下底面半径之比为3：2，母线长为10cm，其母线与底面所成的角为60°，则这个圆台的体积为（）A．2375√33πcm3B．4750√33πcm3C．7125√33πcm3D．9500√33πcm3解：根据题意，设圆台的上、下底面半径分别为3x，2x，因为母线长为10，且母线与底面所成的角为60°，所以圆台的高为10sin60°＝5√3，并且x＝10×12=5，所以圆台的上底面半径为3x＝15，下底面半径为2x＝10，高为5√3．由此可得圆台的体积为V=13π（152+102+15×10）×5√3=2375√3π3（cm3）．故选：A．5．已知函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π2），现有如下四个命题：甲：该函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2；乙：该函数图象可以由y=cos2x−√3sin2x的图象向右平移π4个单位长度得到；丙：该函数在区间(−π12，π6)上单调递增；丁：该函数满足f(π3+x)+f(π3−x)=0．如果只有一个假命题，那么该命题是（）A．甲B．乙C．丙D．丁解：对于甲，该f（x）图象的相邻两条对称轴之间的距离为T2=πω=π2，则f（x）的周期T＝π；对于乙，将函数y=cos2x−√3sin2x=2cos(2x+π3)的图象向右平移π4个单位长度，得到y=2cos[2(x−π4)+π3]=2sin(2x+π3)的图象；对于丙，函数f（x）在区间(−π12，π6)上单调递增；对于丁，函数f（x）满足f(π3+x)+f(π3−x)=0，即f（x）图象关于(π3，0)对称．因为只有乙的条件最具体，所以从乙入手，若乙正确，此时f（x）的单调递增区间为[−5π12+kπ，π12+kπ]（k∈Z），与丙的结论矛盾，根据题设“只有一个命题是假命题”，可知这一个假命题只能是乙或丙，若丙是真命题，则甲、丙、丁三个是真命题，由f（x）图象关于(π3，0)对称，且周期为π，可知：在点(π3，0)的左侧且距离最近的f（x）图象的对称轴为x=π12，而π12∈(−π12，π6)，说明f（x）在区间(−π12，π6)上不单调，与丙是真命题矛盾．若乙是真命题，则甲、乙、丁三个都是真命题，此时f(x)=2sin(2x+π3)，最小正周期T＝π，且图象关于(π3，0)对称，甲、乙、丁之间相符合．综上所述，丙不可能是真命题，即唯一的假命题是丙．故选C．6．已知奇函数f（x）的图象关于直线x＝1对称，当x∈[0，1]时，f（x）＝2x+b，则f(20232)=（）A．−1−√2B．1−√2C．√2+1D．√2−1解：因为f（x）为奇函数，且当x∈[0，1]时，f（x）＝2x+b，所以f（0）＝1+b＝0，解得：b＝﹣1，即当x∈[0，1]时，f（x）＝2x﹣1，又因为f（x）的图象关于直线x＝1对称，所以f（x）＝f（2﹣x），且f（x）＝﹣f（﹣x）则f （x ）＝f （2﹣x ）＝﹣f （x ﹣2）＝﹣f [2﹣（x ﹣2）]＝﹣f （4﹣x ）＝f （x ﹣4）， 即函数f （x ）是以4为周期的周期函数， 故f(20232)=f(252×4+72)=f(72−4)=f(−12)=−f(12)=1−√2． 故选：B ．7．若cos(α+π6)=35，则sin(2α+5π6)=（ ）A ．−725B ．−1225C ．725D ．1225解：∵cos(α+π6)=35，∴sin(2α+5π6)=sin （2α+π3+π2）＝cos （2α+π3）＝2cos 2（α+π6）﹣1＝2×（35）2﹣1=−725． 故选：A ．8．已知函数f （x ）＝x 3+ax 2+bx +c （a ，b ，c ∈R ），若不等式f （x ）＜0的解集为{x |x ＜m +1且x ≠m }，则函数f （x ）的极小值是（ ） A ．−14B ．0C ．−427 D ．−49解：因为不等式f （x ）＜0的解集为{x |x ＜m +1且x ≠m }， 所以f （m ）＝f （m +1）＝0，且x ＝m 为f （x ）＝0的二重根， 所以f （x ）＝（x ﹣m ）2[x ﹣（m +1）]，则f ′（x ）＝2（x ﹣m ）[x ﹣（m +1）]+（x ﹣m ）2＝（x ﹣m ）（3x ﹣3m ﹣2）， 则当x ＞3m+23或x ＜m 时f ′（x ）＞0，当m ＜x ＜3m+23时f ′（x ）＜0， 所以f （x ）在(3m+23，+∞)，（﹣∞，m ）上单调递增，在(m ，3m+23)上单调递减， 所以f （x ）在x =3m+23处取得极小值， 即f(x)极小值=f(3m+23)=(3m+23−m)2[3m+23−(m +1)]=−427． 故选：C ．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9．设a ＞b ＞0，c ∈R ，则（ ） A ．a |c |＞b |c | B ．ba ≤b+c 2a+c 2C ．a 2−b 2＜1a −1bD ．a +b ＜√2(a 2+b 2)解：选项A．当c＝0时，a|c|＞b|c|不成立，故选项A不正确．选项B．由b+c2a+c2−ba=(b+c2)a−b(a+c2)a(a+c2)=c2(a−b)a(a+c2)＞0，所以ba≤b+c2a+c2，故选项B正确．选项C．由a2−b2−(1a−1b)=(a−b)(a+b)−b−aab=(a−b)(a+b+1ab)＞0，所以a2−b2＞1a−1b，故选项C不正确．选项D．由[√2(a2+b2)]2−(a+b)2=a2+b2−2ab=(a−b)2＞0，所以a+b＜√2(a2+b2)，故选项D正确．故选：BD．10．已知数列{a n}满足a4＝4，a n a n+1＝2n（n∈N*），则（）A．a1＝1B．数列{a n}为递增数列C．a1+a2+…+a2023＝21013﹣3D．1a1+1a2+⋯+1a n＜3解：依题意，a4＝4，a n a n+1=2n，a n=2na n+1，a n+1=2na n，所以a3=23a4=84=2，a2=22a3=42=2，a1=21a2=22=1，A选现正确．所以a3＝a2，所以B选项错误．由a n a n+1=2n得a n+1a n+2=2n+1，两式相除得a n+2a n=2，所以数列{a n}的奇数项是首项为1，公比为2的等比数列；偶数项是首项为2，公比为2的等比数列．a1+a2+⋯+a2023＝（a1+a3+⋯+a2023）+（a2+a4+⋯+a2022）=1(1−21012)1−2+2(1−21011)1−2=21012−1+21012−2=21013−3，所以C选项正确．由上述分析可知，数列{1a n}的奇数项是首项为1，公比为12的等比数列；偶数项是首项为12，公比为12的等比数列．当n为偶数时，1a1+1a2+⋯+1a n=(1a1+1a3+⋯+1a n−1)+(1a2+1a4+⋯+1a n)，=1(1−12n2)1−12+12(1−12n2)1−12=3−32n2＜3；当n为奇数时，1a1+1a2+⋯+1a n=(1a1+1a3+⋯+1a n)+(1a2+1a4+⋯+1a n−1)，=1(1−12n+12)1−12+12(1−12n−12)1−12=3−22n+12−12n−12＜3，综上所述，1a1+1a2+⋯+1a n＜3，所以D选项正确．故选：ACD．11．已知点P满足|PA|=√2|PB|，点A（﹣1，0），B（1，0），C(0，√7)，则（）A．当∠PCA最小时，|PC|=2√2B．当∠PCA最大时，|PC|=2√2C．当△P AB面积最大时，|PA|=2√2D．当√2|PC|−|PA|最大时，△P AB面积为√7解：设点P（x，y），|PA|=√(x+1)2+y2，|PB|=√(x−1)2+y2，又|PA|=√2|PB|，得√(x+1)2+y2=√2⋅√(x−1)2+y2，化简可得（x﹣3）2+y2＝8，即点P在以M（3，0）为圆心，2√2为半径的圆，又点A（﹣1，0）和点C(0，√7)均在圆外，所以当PC与圆相切时，∠PCA取最值，设切点为Q，则|PC|=√|MC|2−|MP|2=√(3−0)2+(0−√7)2−(2√2)2=2√2，故A，B选项正确；又△P AB的面积S=12|AB|⋅|y P|=|y P|，所以当|y P|最大时，S取最大值，此时P(3，±2√2)，|PA|=√(3+1)2+(2√2)2=2√6，故C选项错误；由|PA|=√2|PB|，所以√2|PC|−|PA|=√2|PC|−√2|PB|=√2(|PC|−|PB|)≤√2|BC|=4，当且仅当P为CB延长线与圆M的交点时，等号成立，又CB延长线方程为y=−√7x+√7，x＞1，联立方程组{y=−√7x+√7(x−3)2+y2=8，解得x1=12（舍），x2＝2，所以P(2，−√7)，此时△P AB的面积为S=|y P|=√7，故D选项正确．故选：ABD．12．已知函数f（x）＝a2x﹣x（a＞0，a≠1），则下列结论中正确的是（）A．函数f（x）恒有1个极值点B．当a＝e时，曲线y＝f（x）恒在曲线y＝lnx+2上方C．若函数f（x）有2个零点，则1＜a＜e 1 2eD．若过点P（0，t）存在2条直线与曲线y＝f（x）相切，则0＜t＜1解：f（x）＝a2x﹣x（a＞0，a≠1），f′（x）＝2a2x lna﹣1，对于A：因为a2x＞0恒成立，所以当a∈（0，1）时，f′（x）＜0，此时f（x）单调递减，所以此时不存在极值点，A错误；对于B：当a＝e时，f（x）＝e2x﹣x，令g（x）＝f（x）﹣（lnx+2）＝e2x﹣x﹣lnx﹣2，下面先证明：e x≥x+1和lnx≤x﹣1，令f1(x)=e x−x−1，则f1′(x)=e x−1＞0⇒x＞0，所以f1（x）在（﹣∞，0）单调递减，在（0，+∞）单调递增，所以f1（x）≥f1（0）＝0，所以e x≥x+1，当且仅当x＝0时，取到等号；令f2（x）＝lnx﹣x+1，则f2′(x)=1x−1＞0⇒0＜x＜1，所以f2（x）在（0，1）单调递增，在（1，+∞）单调递减，所以f2（x）≤f2（1）＝0，所以lnx≤x﹣1，当且仅当x＝1时，取到等号，由上结论可得：e2x≥2x+1，﹣lnx≥﹣x+1，因为不能同时取等，所以两式相加可得：e2x﹣lnx＞x+2，即e2x﹣lnx﹣x﹣2＞0恒成立，即g（x）＞0恒成立，所以y＝f（x）恒在曲线y＝lnx+2上方，B正确；对于C：函数f（x）有2个零点等价于方程a2x﹣x＝0有两个根，即a2x=x⇒lna2x=lnx⇒2xlna=lnx⇒2lna=lnxx有两个根，令ℎ(x)=lnxx，则ℎ′(x)=1−lnxx2＜0⇒x＞e，所以h（x）在（0，e）上单调递增，在（e，+∞）上单调递减，所以ℎ(x)max=ℎ(e)=1e，当x→0时，h（x）→﹣∞，当x→+∞时，h（x）→0，所以要使得2lna=lnxx有两个根，则2lna∈(0，1e)，所以0＜lna＜12e⇒1＜a＜e12e，所以C正确；对于D：设切点坐标为(x0，a2x0−x0)，则k=f′(x0)=2a2x0lna−1，又因为切线经过点P（0，t），所以k=a2x0−x0−tx0，所以2a2x0lna−1=a2x0−x0−tx0，解得t=a2x0−a2x0lna2x0，令m=a2x0，则m∈（0，+∞），所以t＝m﹣mlnm，因为过点P（0，t）存在2条直线与曲线y＝f（x）相切，所以方程t＝m﹣mlnm有两个不同的解，令φ（m）＝m﹣mlnm，则φ′（m）＝﹣lnm＞0⇒0＜m＜1，所以φ（m）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，所以φ（m）max＝φ（1）＝1，当m→0时，φ（m）→0，当m→+∞时，φ（m）→﹣∞，所以要使得方程t ＝m ﹣mlnm 有两个根，则t ∈（0，1），D 正确． 故选：BCD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知向量a →=(λ，1)，b →=(−1，2)，若a →与b →共线，则|a →−b →|=√52． 解：由于a →与b →共线，所以λ×2=1×(−1)，λ=−12，a →=(−12，1)，a →−b →=(−12，1)−(−1，2)=(12，−1)，所以|a →−b →|=√14+1=√52．故答案为：√52． 14．写出一个同时满足下列三个性质的函数：f （x ）＝ （12）x +1（答案不唯一） ．①f （x ）的值域为（0，+∞）； ②f （x 1+x 2）＝2f （x 1）•f （x 2）； ③∀x ∈R ，f ′（x ）＜0．解：由∀x ∈R ，f ′（x ）＜0，即函数f （x ）在R 上单调递减， 又函数f （x ）的值域为（0，+∞）， 可设f(x)=a ⋅(12)x ，a ＞0，又f （x 1+x 2）＝2f （x 1）•f （x 2），即a ⋅(12)x 1+x 2=2a ⋅(12)x 1⋅a ⋅(12)x 2=2a 2(12)x 1+x 2，即a ＝2a 2，解得a =12，所以f(x)=12⋅(12)x =(12)x+1．故答案为：（12）x +1（答案不唯一）．15．咖啡适度饮用可以提神醒脑、消除疲劳，让人精神振奋．冲咖啡对水温也有一定的要求，把物体放在空气中冷却，如果物体原来的温度是θ1℃，空气的温度是θ0℃，经过t 分钟后物体的温度为θ℃满足θ=θ0+(θ1−θ0)e −0.08t ．研究表明，咖啡的最佳饮用口感会出现在65℃．现有一杯85℃的热水用来冲咖啡，经测量室温为25℃，那么为了获得最佳饮用口感，从冲咖啡开始大约需要等待 5 分钟．（结果保留整数）（参考数据：ln 2≈0.7，ln 3≈1.1，ln 11≈2.4） 解：由题意得，65＝25+（85﹣25）e﹣0.08t，即e −0.08t =23，所以−0.08t =ln 23，解得t =−252×(ln2−ln3)≈252×(0.7−1.1)=5，所以大约需要等待5分钟． 故答案为：5．16．在平面四边形ABCD中，AB=AD=√2，BC=CD=1，BC⊥CD，将四边形沿BD折起，使A′C=√3，则四面体A′﹣BCD的外接球O的表面积为3π；若点E在线段BD上，且BD＝3BE，过点E作球O的截面，则所得的截面中面积最小的圆的半径为23．解：如图所示：因为AB=AD=√2，BC=CD=1，BC⊥CD，所以BE=CE=DE=√22，AE=√AD2−DE2=√(√2)2−(√22)2=√62，且AC⊥BD，点E为△BCD外接圆的圆心，所以四面体A′﹣BCD的外接球的球心O一定在过点E且垂直面BCD的直线上，如图不妨设GE⊥面BCD，A′F⊥面BCD，四面体A′﹣BCD的外接球的半径OE=ℎ，OB=R=√OE2+EB2=√ℎ2+12，FE＝x，则由对称性可知点F也在直线CE上且A′F⊥FC，A′F＝2OE＝2h，由题意A′E=AE=√62，FC=FE+EC=x+√22，A′C=√3，在Rt△A′FE中，有A′F2+FE2＝A′E2，即x2+(2ℎ)2=32，在Rt△A′FC中，有A′F2+FC2＝A′C2，即(x+√22)2+(2ℎ)2=3，联立以上两式解得x=√22，ℎ=12，所以R=√ℎ2+12=√14+12=√32，从而四面体A′﹣BCD的外接球O的表面积为S=4πR2=4π×(√32)2=3π；如图所示：由题意将上述第一空中的点E用现在的点F来代替，而现在的点E为线段BD的靠近点B的三等分点，此时过点E 作球O 的截面，若要所得的截面中面积最小，只需截面圆半径最小， 设球心到截面的距离为d ，截面半径为r ，则r =√R 2−d 2， 所以只需球心到截面的距离为d 最大即可，而当且仅当OE 与截面垂直时，球心到截面的距离为d 最大，即d max ＝OE ，由以上分析可知此时OO 1=FE =FB −BE =12BD −13BD =√26，OF =12，OE =√14+118=√116，R =√32，所以r =r min =√R 2−OE 2=√34−1136=23． 故答案为：3π；23．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）已知数列{a n }中，a 1＝1，a n+1n+1−a n n =1n(n+1)，n ∈N ∗．（1）求数列{a n }的通项公式； （2）设b n ＝（﹣1）n ﹣14na n a n+1，求数列{b n }的前n 项和S n ．解：（1）因为a n+1n+1−a n n=1n(n+1)⇒a n+1n+1−a n n =1n −1n+1⇒a n+1+1n+1=a n +1n，所以{a n +1n }是常数列，所以a n +1n =a 1+11=2，所以a n ＝2n ﹣1．（2）b n =(−1)n−14n a n a n+1=(−1)n−14n (2n−1)(2n+1)=(−1)n−1(12n−1+12n+1)，当n 为偶数时，S n =(1+13)−(13+15)+⋯+(12n−3+12n−1)−(12n−1+12n+1)=1−12n+1=2n2n+1，当n 为奇数时，S n =(1+13)−(15+12)+⋯−(12n−3+12n−1)+(12n−1+12n+1)=1+12n+1=2n+22n+1，所以S n =2n+1+(−1)n−12n+1．18．（12分）已知函数f(x)=4x+14x +a 为奇函数．（1）解不等式f(x)＞53；（2）设函数g(x)=log 2x 2⋅log 2x4+m ，若对任意的x 1∈[2，8]，总存在x 2∈（0，1]，使得g （x 1）＝f （x 2）成立，求实数m 的取值范围．解：（1）根据条件可知，4x +a ≠0，当a ≥0时，函数的定义域为R ， 又函数f(x)=4x+14x +a为奇函数，所以f （﹣x ）＝﹣f （x ），所以4−x +14−x +a=−4x +14x +a在R 上恒成立，即（a +1）（4x +1）＝0，a ＝﹣1（舍），当a＜0时，x≠log4（﹣a），函数的定义域为（﹣∞，log4（﹣a））∪（log4（﹣a），+∞），又函数f(x)=4x+14x+a为奇函数，所以log4（﹣a）＝0，a＝﹣1，此时f(x)=4x+14x−1，满足f（﹣x）＝﹣f（x），f（x）为奇函数成立，所以f(x)=4x+14x−1=1+24x−1，所以函数f（x）在（﹣∞，0）和（0，+∞）上单调递减，且当x∈（﹣∞，0）时，f（x）＜0；当x∈（0，+∞）时，f（x）＞0，所以f(x)＞53=f(1)，解得0＜x＜1，所以不等式的解集为{x|0＜x＜1}．（2）由（1），得f(x)=4x+14x−1在x∈（0，1]的值域A=[53，+∞)，又g(x)=log2x2⋅log2x4+m=(log2x−1)(log2x−2)+m，x∈[2，8]．设t＝log2x，t∈[1，3]，则y＝（t﹣1）（t﹣2）+m＝t2﹣3t+2+m，当t=32时，取最小值为−14+m，当x＝3时，取最大值为2+m，即g（x）在x∈[2，8]上的值域B=[−14+m，2+m]，又对任意的x1∈[2，8]，总存在x2∈（0，1]，使得g（x1）＝f（x2）成立，所以B⊆A，所以−14+m≥53，解得m≥2312，所以m的取值范围为[2312，+∞)．19．（12分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且tan A+tan B=−√3cacosB．（1）求角A；（2）已知a＝7，D是边BC的中点，且AD⊥AB，求AD的长．解：（1）因为tan A+tan B=−√3cacosB，所以sinAcosA+sinBcosB=−√3cacosB，由正弦定理得，sinAcosA+sinBcosB=−√3sinCsinAcosB，因为sinAcosA+sinBcosB=sinAcosB+cosAsinBcosAcosB=sin(A+B)cosAcosB=sinCcosAcosB，所以sinCcosAcosB=−√3sinCsinAcosB，因为0＜C ＜π，所以sin C ≠0， 又cos B ≠0，所以tan A =−√3， 因为0＜A ＜π，所以A =2π3．（2）因为D 是边BC 的中点，所以BD ＝CD =12BC =72，因为AD ⊥AB ，所以∠DAC ＝∠BAC ﹣∠BAD =2π3−π2=π6， 在Rt △ABD 中，sin B =AD BD =AD 72=2AD7， 在△ACD 中，由正弦定理知，AD sinC=CD sin∠DAC，所以sin C =ADsin∠DAC CD =AD×1272=AD7，在△ABC 中，由正弦定理知，b sinB=c sinC=a sin∠BAC=√32=√3， 所以b 2AD 7=c AD 7=√3，所以b =4AD 3，c =2AD3， 在△ABC 中，由余弦定理得，a 2＝b 2+c 2﹣2bc cos A ， 所以49＝b 2+c 2﹣2bc ×cos 2π3，即b 2+c 2+bc ＝49， 所以（√3）2+（√3）24AD 3×2AD3=49，解得AD =√212．20．（12分）如图，AB 是半球O 的直径，AB ＝4，M ，N 是底面半圆弧AB ̂上的两个三等分点，P 是半球面上一点，且∠PON ＝60°． （1）证明：PB ⊥平面P AM ；（2）若点P 在底面圆内的射影恰在ON 上，求直线PM 与平面P AB 所成角的正弦值．证明：（1）连接OM，MN，BM，因为M，N是底面半圆弧AB̂上的两个三等分点，所以有∠MON＝∠NOB＝60°，又因为OM＝ON＝OB＝2，所以△MON，△NOB都为正三角形，所以MN＝NB＝BO＝OM，即四边形OMNB是菱形，记ON与BM的交点为Q，Q为ON和BM的中点，因为∠PON＝60°，OP＝ON，所以三角形OPN为正三角形，所以PQ=√3=12BM，所以PB⊥PM，因为P是半球面上一点，AB是半球O的直径，所以PB⊥P A，因为PM∩P A＝P，PM，P A⊂平面P AM，所以PB⊥平面P AM；解：（2）因为点P在底面圆内的射影恰在ON上，由（1）知Q为ON的中点，△OPN为正三角形，所以PQ⊥ON，所以PQ⊥底面ABM，因为四边形OMNB是菱形，所以MB⊥ON，即MB、ON、PQ两两互相垂直，以点Q为坐标原点，QM，QN，QP所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则O(0，−1，0)，M(√3，0，0)，B(−√3，0，0)，N(0，1，0)，A(√3，−2，0)，P(0，0，√3)， 所以PM →=(√3，0，−√3)，OP →=(0，1，√3)，OB →=(−√3，1，0)， 设平面P AB 的一个法向量为m →=(x ，y ，z)，则{m →⋅OP →=0m →⋅OB →=0，所以{y +√3z =0−√3x +y =0，令x ＝1，则y =√3，z ＝﹣1，所以m →=(1，√3，−1)， 设直线PM 与平面P AB 的所成角为θ，所以sinθ=|cos〈PM →，m →〉|=√3+√36×5=√105，故直线PM 与平面P AB 所成角的正弦值为√105． 21．（12分）已知圆C 过点P(−1，√7)，且与直线x +y ﹣4＝0相切于点A （2，2）． （1）求圆C 的方程；（2）若M 、N 在圆C 上，直线AM ，AN 的斜率之积为﹣2，证明：直线MN 过定点． 解：（1）设C （a ，b ），直线l ：x +y ﹣4＝0即y ＝﹣x +4， 由圆C 与直线相切于A （2，2），则CA ⊥l ，即b−2a−2×(−1)=−1，可得b ＝a ，又圆C 过点P(−1，√7)，所以|CP |＝|CA |，即√(a +1)2+(b −√7)2=√(a −2)2+(b −2)2， 解得a ＝b ＝0，所以圆心C （0，0），半径|CA|=√(0−2)2+(0−2)2=2√2， 所以圆C 的方程为x 2+y 2＝8；（2）当直线MN 斜率存在时，设MN ：y ＝kx +m ，M （x 1，y 1），N （x 2，y 2）， 联立直线与圆{y =kx +mx 2+y 2=8，得（1+k 2）x 2+2kmx +m 2﹣8＝0， 则Δ＝（2km ）2﹣4（1+k 2）（m 2﹣8）＝﹣4m 2+32+32k 2＞0，即8k 2﹣m 2+8＞0， x 1+x 2=−2km 1+k 2，x 1x 2=m 2−81+k 2，y 1+y 2=k(x 1+x 2)+2m =2m1+k2，y1y2=k2x1x2+km(x1+x2)+m2=−8k2+m2 1+k2，又k AM=y1−2x1−2，k AN=y2−2x2−2，所以k AM⋅k AN=(y1−2)(y2−2)(x1−2)(x2−2)=y1y2−2(y1+y2)+4x1x2−2(x1+x2)+4=−8k2+m2−4m+4+4k2m2−8+4km+4+4k2=−2，即4k2+3m2+8km﹣4m﹣4＝0，则（2k+m﹣2）（2k+3m+2）＝0，解得m＝2﹣2k或m=−23k−23，都满足Δ＞0，所以方程为y＝kx+2﹣2k或y=kx−23k−23，即y﹣2＝k（x﹣2）或y+23=k(x−23)，当直线方程为y﹣2＝k（x﹣2）时，恒过点A（2，2），不成立，当直线方程为y+23=k(x−23)时，恒过(23，−23)；当直线MN斜率不存在时，设直线MN：x＝x0，则M（x0，y0），N（x0，﹣y0），x02+y02=8，则k AM=y0−2x0−2，k AN=−y0−2x0−2，所以k AM⋅k BM=y0−2x0−2⋅−y0−2x0−2=4−y02x02−4x0+4=x02−4x02−4x0+4=−2，解得：x0＝2（舍）或x0=23，即MN方程为x=23，仍过(23，−23)，综上所述，直线MN恒过定点(23，−23)．22．（12分）已知函数f(x)=1+lnxx．（1）讨论f（x）的单调性；（2）设a，b为两个不相等的实数，且ae b﹣be a＝e a﹣e b，证明：e a+e b＞2．解：（1）由f(x)=1+lnxx得，f′(x)=−lnxx2，当x∈（0，1）时，f′（x）＞0；当x∈（1，+∞）时，f′（x）＜0．故f（x）的递增区间为（0，1），递减区间为（1，+∞）．（2）将ae b﹣be a＝e a﹣e b变形为a+1e a=b+1e b．令e a＝m，e b＝n，则上式变为1+lnmm=1+lnnn，即有f（m）＝f（n），于是命题转换为证明：m+n＞2．不妨设m＜n，由（1）知0＜m＜1，n＞1．要证m+n＞2，即证n＞2﹣m＞1，由于f（x）在（1，+∞）上单调递减，故即证f（n）＜f（2﹣m），由于f（m）＝f（n），故即证f（m）＜f（2﹣m），即证f（m）﹣f（2﹣m）＜0在0＜m＜1上恒成立．令g（x）＝f（x）﹣f（2﹣x），x∈（0，1），则g′(x)=f′(x)+f′(2−x)=−lnxx2−ln(2−x)(2−x)2=−(2−x)2lnx+x2ln(2−x)x2(2−x)2，=−(4−4x+x2)lnx+x2ln(2−x)x2(2−x)2=−(4−4x)lnx+x2ln[(2−x)x]x2(2−x)2≥0，所以g（x）在区间（0，1）内单调递增，所以g（x）＜g（1）＝0，即m+n＞2成立．所以e a+e b＞2．。