(完整版)数列的递推公式教案

高中数学教案《由递推公式求通项公式》一、教学目标：1. 理解递推公式的概念，掌握递推公式的求解方法。

2. 能够运用递推公式求解简单的数列通项公式。

3. 培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。

二、教学内容：1. 递推公式的定义和性质。

2. 递推公式的求解方法。

3. 运用递推公式求解数列通项公式。

三、教学重点与难点：1. 重点：递推公式的求解方法，数列通项公式的求解。

2. 难点：递推公式的灵活运用，解决复杂问题。

四、教学方法：1. 采用问题驱动的教学方法，引导学生主动探究递推公式的求解方法。

2. 通过案例分析，让学生掌握递推公式在求解数列通项公式中的应用。

3. 利用数形结合的方法，帮助学生直观地理解递推公式的性质。

五、教学过程：1. 导入：引导学生回顾数列的相关知识，为新课的学习做好铺垫。

2. 递推公式的定义与性质：讲解递推公式的定义，引导学生理解递推公式的性质。

3. 递推公式的求解方法：介绍递推公式的求解方法，引导学生掌握求解技巧。

4. 数列通项公式的求解：讲解如何运用递推公式求解数列通项公式，引导学生独立解决问题。

5. 案例分析：分析典型例题，让学生加深对递推公式的理解和运用。

6. 练习与拓展：布置练习题，巩固所学知识，引导学生运用递推公式解决实际问题。

8. 作业布置：布置适量作业，让学生巩固所学知识。

9. 课后辅导：针对学生在作业中遇到的问题进行辅导，提高学生的解题能力。

10. 教学评价：对学生的学习情况进行评价，为下一步教学提供参考。

六、教学评价：1. 学生能够准确理解递推公式的概念及其在数列中的作用。

2. 学生能够运用不同的方法解决递推公式的问题，并正确求解通项公式。

3. 学生能够分析问题，将实际问题转化为数学问题，并运用递推公式解决。

4. 学生能够通过案例分析，理解递推公式在不同情境下的应用。

5. 学生能够独立完成课后作业，并对遇到的问题进行自主思考和解决。

七、教学拓展：1. 探讨递推公式在其他数学领域的应用，如组合数学、图论等。

二、数列的递推公式与通项公式、前n 项和公式一、知识点回顾：1、递推公式定义：如果已知数列{}n a 的第1项（或前几项），且任一项n a 与它的前一项1n a -（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式。

2、数列前n 项和S n 与通项a n 的关系式：a n =⎩⎨⎧--11s s s n n 12=≥n n 。

在数列｛a n ｝中，前n 项和S n 与通项公式a n 的关系，是本讲内容一个重点，要认真掌握之。

注意：（1）用1--=n n n S S a 求数列的通项公式时，你注意到此等式成立的条件了吗？（2n ≥，当1n =时，11S a =）；若a 1 适合由a n 的表达式，则a n 不必表达成分段形式，可化统一为一个式子。

（2）一般地当已知条件中含有n a 与n S 的混合关系时，常需运用关系式1--=n n n S S a ，先将已知条件转化为只含n a 或n S 的关系式，然后再求解。

3、数列的通项的求法：⑴公式法：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式。

⑵已知n S （即12()n a a a f n +++= ）求n a ，用作差法：{11,(1),(2)n nn S n a S S n -==-≥。

一般地当已知条件中含有n a 与n S 的混合关系时，常需运用关系式1--=n n n S S a ，先将已知条件转化为只含n a 或n S 的关系式，然后再求解。

⑶已知12()n a a a f n = 求n a ，用作商法：(1),(1)(),(2)(1)n f n f n a n f n =⎧⎪=⎨≥⎪-⎩。

⑷若1()n n a a f n +-=求n a 用累加法：11221()()()n n n n n a a a a a a a ---=-+-++- 1a +(2)n ≥。

⑸已知1()n n a f n a +=求n a ，用累乘法：121121n n n n n a a aa a a a a ---=⋅⋅⋅⋅ (2)n ≥。

斐波那契数列斐波那契数列，又称黄金分割数列、因数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”，指的是这样一个数列：1、1、2、3、5、8、13、21、34、……在数学上，斐波纳契数列以如下被以递推的方法定义：F(1)=1，F(2)=1, F(n)=F(n-1)+F(n-2)（n>=3，n∈N*）在现代物理、准晶体结构、化学等领域，斐波纳契数列都有直接的应用，为此，美国数学会从1963年起出版了以《斐波纳契数列季刊》为名的一份数学杂志，用于专门刊载这方面的研究成果。

定义斐波那契数列指的是这样一个数列1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233，377，610，987，1597，2584，4181，6765，10946，17711，28657，46368........自然中的斐波那契数列这个数列从第3项开始，每一项都等于前两项之和。

斐波那契数列的定义者，是意大利数学家列昂纳多·斐波那契，生于公元1170年，卒于1250年，籍贯是比萨。

他被人称作“比萨的列昂纳多”。

1202年，他撰写了《算盘全书》（Liber Abacci）一书。

他是第一个研究了印度和阿拉伯数学理论的欧洲人。

他的父亲被比萨的一家商业团体聘任为外交领事，派驻地点于阿尔及利亚地区，列昂纳多因此得以在一个阿拉伯老师的指导下研究数学。

他还曾在埃及、叙利亚、希腊、西西里和普罗旺斯等地研究数学。

通项公式递推公式斐波那契数列：1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, ...如果设F(n）为该数列的第n项（n∈N*），那么这句话可以写成如下形式：:F(n)=F(n-1)+F(n-2)显然这是一个线性递推数列。

通项公式(如上，又称为“比内公式”，是用无理数表示有理数的一个范例。

) 注：此时通项公式推导方法一：利用特征方程（线性代数解法）线性递推数列的特征方程为：x²=x+1解得，.则∵∴解得方法二：待定系数法构造等比数列1（初等代数解法）设常数r，s .使得则r+s=1，－rs=1n≥3时，有……联立以上n-2个式子，得：∵，上式可化简得：那么……（这是一个以为首项、以为末项、为公比的等比数列的各项的和）。

第 课时教学内容：数列的定义教学目的：理解数列的定义、通项公式、Sn 的含义，掌握通项公式的求法及其应用，了解递推的含义．教学重点：数列的基本概念．教学难点：求通项公式、递推公式的应用 教学过程：一、数列的定义： 按一定顺序排列成的一列数叫做数列． 记为：{a n }．即{a n }: a 1, a 2, … , a n ．二、通项公式：用项数n 来表示该数列相应项的公式,叫做数列的通项公式。

1、本质：数列是定义在正整数集（或它的有限子集）上的函数． 2、通项公式: a n =f(n)是a n 关于n 的函数关系． 三、前n 项之和：S n = a 1+a 2+…+a n 注 求数列通项公式的一个重要方法： 对于数列}{n a ,有： ⎩⎨⎧≥-==-)2()1(11n s s n s a n nn例1、已知数列{100-3n}，（1）求a 2、a 3；（2）67是该数列的第几项；（3）此数列从第几项起开始为负项． 解：例2 求下列数列的通项公式：（1）1，3，5，7， ……（2）-211⨯，321⨯，-431⨯，541⨯.…… （3）9,99,999,9999,……解：（1）12-=n a n ；（2）)1(1)1(+-=n n a nn ；（3）110-=nn a练习：定写出数列3，5，9，17，33，……的通项公式： 答案：a n =2n +1 。

例3 已知数列{}n a 的第1项是1，以后的各项由公式111-+=n n a a 给出，写出这个数列的前5项．解 据题意可知：3211,211,123121=+==+==a a a a a ，58,3511534==+=a a a 例4 已知数列{}n a 的前n 项和，求数列的通项公式： （1） n S =n 2+2n ； （2） n S =n 2-2n-1.解：（1）①当n ≥2时，n a =n S -1-n S =(n 2+2n)-[(n-1)2+2(n-1)]=2n+1；②当n=1时，1a =1S =12+2×1=3；③经检验，当n=1时，2n+1=2×1+1=3，∴n a =2n+1为所求. （2）①当n ≥2时，n a =n S -1-n S =(n 2-2n-1)-[(n-1)2+2(n-1)-1]=2n-3； ②当n=1时，1a =1S =12-2×1-1=-2；③经检验，当n=1时，2n-3=2×1-3=-1≠-2，∴n a =⎩⎨⎧≥-=-)2(32)1(2n n n 为所求．注：数列前n 项的和n S 和通项n a 是数列中两个重要的量，在运用它们的关系式1n n n a S S -=-时，一定要注意条件2n ≥ ，求通项时一定要验证1a 是否适合四、提高：例5 当数列{100-2n}前n 项之和最大时，求n 的值．分析：前n 项之和最大转化为10n n a a +≥⎧⎨≤⎩．五、同步练习：1．已知：2n a n n =+，那么 （C ） （A ）0是数列中的一项 （B ）21是数列中的一项 （C ）702是数列中的一项 （C ）30不是数列中的一项2、在数列2，5，9，14，20，x ，…中，x 的值应当是 （D ） （A ）24 （B ）25 （C ）26 （D ）273、已知数列11,7,3，…,79,…且a n =179，则n 为 （C ） （A ）21 （B ）41 （C ）45 （D ）494、数列{a n }通项公式a n =log n+1(n+2)，则它的前30项之积是 （B ）（A ）51（B ）5 （C ）6 （D ）231log 3log 3215+ 5、已知数列1,-1,1,-1，…，则下列各式中，不是它的通项公式的为 （D ） （A ）1)1(--=n n a （B ）2)12(sinπ-=n a n （C ） 1 ()1()n n a n ⎧=⎨-⎩为奇数为偶数（D ）n n a )1(-=6、数列 ,541,431,321,211⋅⋅-⋅⋅-的一个通项公式是 （A ）（A ）)1(1)1(+-=n n a n n （B ）)1(1)1(1+-=+n n a n n（C ）nn a nn)1(1)1(-⋅-=（D ）)2()1(+-=n n a nn7、数列通项是nn a n ++=11，当其前n 项和为9时，项数n 是 （B ）（A ）9 （B ）99 （C ）10（D ）100 8．数列112，223，334，445，…的一个通项公式是 （B ）（A ）21n n a n =+ （B ）221n n n a n +=+ （C ）211n n n a n ++=+ （D ）221n n n a n +=+ 92,5,22,11,,则25 （B ） （A ）第六项 （B ）第七项 （C ）第八项 （D ）第九项 10．已知数列{a n }满足a 1=1,且121(2)n n a a n -=+≥，求数列的第五项a 5= 31 11、已知数列{a n }的前n 项和S n 满足log 2 (S n + 1) = n + 1，求a n .（答案： 3 n=12 n 2n n a ⎧=⎨≥⎩）12、已知数列{100-4n}，（1）求a 10；（2）求此数列前10项之和； （3）当此数列前n 项之和最大时，求n 的值． 答案（1）60（2）780（3）24or2513、设数列{a n }中，S n =－n 2＋24n ，（1）求通项公式； (2)求a 10＋a 11＋a 12＋…＋a 20的值； (3)求S n 最大时a n 的值.答案：（1）an=25-2n （2）-55（3）1 补充：1、已知数列{a n }满足a 1=b(b ≠1),且)(211N n a a nn ∈-=+, （1）求a 1, a 2, a 3; （2）求此数列的通项公式．2、已知数列{a n }前n 项之和S n =1nn +，求a n .3、一数列的通项公式为a n = 30 + n －n 2. ①问－60是否为这个数列中的一项. ②当n 分别为何值时，a n = 0, a n >0, a n <0第 课时教学内容：等差数列（1）教学目的：通过复习，巩固等差数列的定义、通项公式、求和公式 教学重点：等差数列 教学过程：（一）主要知识 1．等差数列的定义:如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示．即：)()(1•+∈=-N n d a a n n 常数2．通项：d n a a n )1(1-+=，推广：d m n a a m n )(-+=． 3．求和：d n n na a a n S n n 2)1(2)(11-+=+=．（关于n 的没有常数项的二次函数）． 4．中项：若a 、b 、c 等差数列，则b 为a 与c 的等差中项:2b=a+c （二）主要方法： 1．等差数列的判定方法(1)定义法: )()(1•+∈=-N n d a a n n 常数 (2)中项法:212+++=n n n a a a (3)通项法:d n a a n )1(1-+= (4)前n 项和法:Bn An S n +=2 2．知三求二(n n S a n d a ,,,,1),要求选用公式要恰当.3．设元技巧: 三数:d a a d a +-,, 四数d a d a d a d a 3,,,3-+-- （二）基础题型： 讲练题：1．求等差数列8，5，2…的第20项。

递推数列通项公式的求法彭山一中 郑昌建一、课题：常见递推数列通项公式的求法二、教学目标1、知识与技能：会根据递推公式求出数列中的项，并能运用累加、累乘、待定系数等方法求数列的通项公式。

2、过程与方法：①复习回顾所学过的通项公式的求法，对比递推公式与通项公式区别认识到由递推公式求通项公式的重要性，引出课题。

②对比等差数列的推导总结出累加法的试用题型。

③学生分组讨论完成累乘法及待定系数法的相关题型。

3、情感态度与价值观：①通过对数列的递推公式的分析和探究，培养学生主动探索、勇于发现的求知精神；②通过对数列递推公式问题的分析和探究，使学生养成细心观察、认真分析、善于总结的良好思维习惯；③通过互助合作、自主探究等课堂教学方式培养学生认真参与、积极交流的主体意识。

三、教学重点：根据数列的递推关系式求通项公式。

四、教学难点：解题过程中方法的正确选择。

五、教学课型，课时：复习课 1课时六、教学手段：多媒体课件，黑板，粉笔七、教学方法： 激励——讨论——发现——归纳——总结八、教学过程（一）复习回顾：1、通项公式的定义及其重要作用2、学过的通项公式的几种求法3、区别递推公式与通项公式，从而引入课题（二）新知探究：问题1:已知数列}{n a ，1a =1，1n a +=n a +2，求n a ?变式： 已知数列}{n a ，1a =1，1n a +=n a +2n ，求n a ?活动：通过分析发现形式类似等差数列，故想到用累加法去求解。

教师引导学生细致讲解整个解题过程。

解：由条件知：n a a n n 21=-+分别令)1(,,3,2,1-⋅⋅⋅⋅⋅⋅=n n ，代入上式得)1(-n 个等式累加之，即)()()()(1342312--+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+-+-+-n n a a a a a a a a)1(2)2(232222-⨯+-⨯+⨯+⨯+=n n所以[]2)1(22)1(1-⨯+-=-n n a a n 由1a =1，12+-=∴n n a n 练习： 已知数列}{n a ，1a =1，n n n a a 211=-+，求n a ? 总结：类型1：)(1n f a a n n =-+，利用累加法(逐差相加法)求解。

教学设计2．1.2 数列的递推公式(选学)整体设计教学分析本节作为选学内容，课标对递推公式没有明确要求．考虑到它在认识数列中的作用，教材把它单列一节作为选学．实际上，递推公式作为数列的一种表示方法，有其独特的作用，高考试卷中常常见到它的踪影，因此，教学中还是把它作为必学内容对待为好．数列作为刻画自然规律的基本数学模型，教材意图是用函数的观点和递推的观点理解数列．同上节一样本节也是通过一些例子及章头前言中的事例来引入递推公式．并通过例题，让学生明确数列的递推公式应包括数列的首项和公式本身．没有首项，就没有递推的基础，没有递推公式则无法向后延续．让学生体会，给出首项和递推公式，就可唯一确定一个数列．数列的递推公式也是数列的一种表示方法，它与数列的通项公式紧密相连，但作为开始认识数列，本节不宜过分拓展，加大难度，仅限于理解递推公式的定义，并能用数列的首项和递推公式写出数列的后续各项即可．三维目标1．通过本节学习，理解数列递推公式的意义，理解递推公式与通项公式的异同．会根据数列的首项和递推公式写出数列的后续各项．2．通过探究、交流、观察、分析等教学方式，充分发挥学生的主体作用，并通过思考与讨论本章章头左图中的说明，体会数学来源于生活．3．通过对数列递推公式的探究，培养学生动手试验，大胆猜想的优秀品质，培养学生对科学的探究精神和严肃认真的态度．重点难点教学重点：理解用递推公式定义数列的方法；能用递推公式和首项写出数列的后续各项．教学难点：利用数列的递推公式和首项，猜想该数列的通项公式．课时安排1课时教学过程导入新课思路 1.(章头图引入)让学生观察章头图中左图兔子的繁殖情况．假设每次生出的小兔子都是一雄一雌，并且排除兔子发生死亡的情况，这样每个月兔子的对数，依次可以排成一个数列，你能把这个数列的每一项(第一项除外)用前一项表示出来吗？由此展开新课的探究．思路2.(直接引入)我们知道数列1,2,3,4，…可用通项公式a n＝n 表示．容易发现，这个数列从第2项起的任一项都可用它的前一项表＋1(n≥2)，这就是数列的另一种表示方法，也就示出来，即a n＝a n－1是今天我们探究的主要内容：递推公式．由此展开探究．推进新课新知探究提出问题(1)多媒体演示图1，是工厂生产的钢管堆放示意图，你能写出它的一个通项公式吗？你能找出它的相邻两层之间的关系吗？(2)数列{a n}的通项公式是a n＝2n.从第2项起，它的任一项与它相邻的前一项有什么关系？章头数列3，1cos cos cos…从第2项起，它的任一项与它相邻的前一项有什么关系呢？(3)怎样理解递推公式？若已知数列a n＝2a n－1＋1，你能写出这个数列吗？为什么？活动：教师用多媒体演示工厂生产的钢管堆放示意图．引导学生观察钢管堆放示意图，寻其规律，看看能否建立它的一些数学模型．由学生合作探究，必要时教师给予点拨．模型一：自上而下第1层钢管数为4，即14＝1＋3；第2层钢管数为5，即25＝2＋3；第3层钢管数为6，即36＝3＋3；第4层钢管数为7，即47＝4＋3；第5层钢管数为8，即58＝5＋3；第6层钢管数为9，即69＝6＋3；第7层钢管数为10，即710＝7＋3.若用a n表示钢管数，n表示层数，则可得出每一层的钢管数为一数列，且a n＝n＋3(1≤n≤7)．模型二：上下层之间的关系自上而下每一层的钢管数都比上一层钢管数多1，即a1＝4；a2＝5＝4＋1＝a1＋1；a3＝6＝5＋1＝a2＋1.依此类推：a n＝a n－1＋1(2≤n≤7)．在教师的引导点拨下，学生最终能得到以上两种数学模型，教师适时给以点评．首先表扬学生的这种探究问题的精神，不怕困难敢于钻研，而且推得两个很重要的结论．对于推得的a n＝n＋3，只要将n 的具体值代入，我们就会很快地求出某一层的钢管数．因为这一关系反映了每一层的钢管数与其层数之间的对应规律，这会给我们的统计与计算带来很大方便，这是由特殊到一般的数学思想方法的运用，是非常正确和成功的．对于推得a n＝a n－1＋1(2≤n≤7且n∈N*)的同学就更值得表扬，因为这是我们没有见过的，这就是创新，这就是聪明智慧的闪现．这个关系式说明：只要知道a1，则以后的每一项都等于它的前项加1，这样就可以求出第二项，以此类推即可求出其他项．这就是我们今天要探究的一个重点内容，也就是数列的另一种表示法，递推公式法．我们把数列中具有这种递推关系的式子叫做递推公式．递推公式很重要，显然教材上涉及的内容不多，但在每年的高考卷上都有所体现，应引起注意．下一节要学习的等差数列就是最简单的递推数列．引导学生给递推公式这样下定义：通过给出数列的第一项(或前若干项)，并给出数列的某一项与它的前一项(或前若干项)的关系式来表示数列，这种表示数列的式子叫做这个数列的递推公式．注意：递推公式也是给出数列的一种方法．如下列数字排列的一个数列：3,5,8,13,21,34,55,89，递推公式为a1＝3，a2＝5，a n＝a n－1＋a n－2(3≤n≤8)．掌握递推公式的关键一点是把握其中的递推关系，应特别注意探究和发现递推关系中前项和后项，或前、后几项之间的关系．有了以上探究活动，学生很容易探究出问题(2)(3)，至此，学生对数列的表示方法有了全面的理解，为数列的后续内容的学习打下了坚实的基础．讨论结果：(1)略(2)a1＝2，a n＝2a n－1(n＝2,3,4，…)；数列3，a1＝1，a n＝cos(a n)(n＝2,3,4，…)．－1(3)递推公式包括已知的第1项(或前几项)才能写出这个数列的后续各项．前者是递推的基础，后者是递推的延续．因此仅知a n＝2a n－＋1无法写出这个数列的各项．1应用示例例1已知a1＝2，a n＝2a n，写出前5项，并猜想a n.＋1活动：根据a1＝2及a n＋1＝2a n，学生很容易求出前5项，分别是2,4,8,16,32.由观察可猜想a n＝2n，这种解法在选择题或填空题中是非常有效的，但若改为求a n，这种解法则是不完整的．由a na n－1＝2，可得到以下解法：a n a n－1×a n－1a n－2×a n－2a n－3×…×a2a1＝a na1＝2n－1，∴a n＝2n.解：∵a1＝2，a n＋1＝2a n，∴a2＝2×a1＝4，a3＝2×a2＝8，a4＝2×a3＝16，a5＝2×a4＝32.∵a2＝2×2＝22，a3＝2×22＝23，a4＝16＝24，∴猜想a n＝2n.变式训练已知a1＝2，a n＋1＝a n－4，求a n.解：由a n＋1－a n＝－4依次向下写，一直到第一项，然后将它们加起来，a n－a n－1＝－4a n－1－a n－2＝－4a n－2－a n－3＝－4……＋) a 2－a 1＝－4 a n －a 1＝－4(n －1)∴a n ＝2－4(n －1)．例2(教材本节例1)活动：本例由学生自己完成，并通过本例边注中的提问，让学生进一步体会数列两种表示方法的特色，用递推公式写出数列的前几项后，引导学生观察、归纳并猜想该数列的通项公式，虽有一定难度，但学生应有这个能力．教师可引导学生分析，如果不代入a 1的值，由依次计算的结果可能更容易看到a n 与n 的函数关系：a 2＝a 11－a 1；a 3＝a 11－2a 1，a 4＝a 11－3a 1，a 5＝a 11－4a 1，…，a n ＝a 11－(n －1)·a 1＝23－2n.变式训练已知数列{a n }的递推公式是a n ＋2＝3a n ＋1－2a n ，且a 1＝1，a 2＝3.求：(1)a 5；(2)127是这个数列中的第几项？解：(1)∵a 1＝1，a 2＝3，a n ＋2＝3a n ＋1－2a n ，∴a 3＝3a 2－2a 1＝7，a 4＝3a 3－2a 2＝15，a 5＝3a 4－2a 3＝31.(2)由递推公式，可得a 6＝3a 5－2a 4＝63，a 7＝3a 6－2a 5＝127， ∴127是此数列的第7项．例3(教材本节例2)活动：本例为数列这一大节的最后一个教材例题，具有一定的综合性，难度较大．要求学生有较坚实的数形结合基础和解题能力．这种解题的综合能力，要努力去训练，学生才能掌握．具体讲解时，可把P 1，P 2，P 3的坐标都写出来让学生观察发现a n 与a n ＋1间的关系．变式训练在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋ln(1＋1n )，则a n 等于( )A ．2＋lnnB ．2＋(n －1)lnnC ．2＋nlnnD ．1＋n ＋lnn答案：A解析：方法一，由a 2＝a 1＋ln2＝2＋ln2，排除C 、D ；由a 3＝a 2＋ln(1＋12)＝2＋ln3，排除B.故选A.方法二，由已知，a n ＋1－a n ＝ln n ＋1n ，a 1＝2，∴a n －a n －1＝ln n n －1，a n －1－a n －2＝ln n －1n －2， …a 2－a 1＝ln 21，将以上n －1个式子累加得a n －a 1＝ln n n －1＋ln n －1n －2＋…＋ln 21 ＝ln(n n －1·n －1n －2·…·21)＝lnn ， ∴a n ＝2＋lnn.例4如图甲是第七届国际数学教育大会的会徽，会徽的主体图案是由如图乙所示的一连串直角三角形演化而成，其中OA 1＝A 1A 2＝A 2A 3＝…＝A 7A 8＝1，记OA 1，OA 2，OA 3，…，OA 7，OA 8的长度所在的数列为{l n }(n ∈N *,1≤n ≤8)．甲乙(1)写出数列的前4项；(2)写出数列{l n }的一个递推关系式；(3)求{l n }的通项公式； (4)如果把图中的三角形继续作下去，那么OA 9，OA 2 007的长度分别是多少？活动：本例虽然题干看起来很繁杂，但难度并不大，可让学生独立探究解决，学生充分理解题意后会很快完成第(1)问，关于递推公式，教师可点拨学生递推公式的关键是递推关系，也就是前项和后项的关系，这是递推公式的核心所在．教师可借此进一步向学生点拨：①数列的递推公式是由初始值和相邻几项的递推关系确定的，如果只有递推关系而无初始值，那么这个数列是不能确定的．②递推公式是给出数列的一种方法，由递推公式可能求出数列的通项公式，也可能求不出通项公式．解：(1)l1＝OA1＝1，l2＝OA2＝2，l3＝OA3＝3，l4＝OA4＝2.(2)通过观察图形，可知：OA n＋1，OA n,1组成直角三角形，而OA n＋1＝l n＋1，OA n＝l n.∴由勾股定理可得l 2n＋1＝l 2n＋1(n∈N*,1≤n≤8)．(3)l n＝n.(4)OA9＝l9＝3，OA2 007＝ 2 007＝3223.点评：递推关系在教材上的要求并不高，仅是明了递推公式是数列的一种表示方法，并能根据给出的数列递推公式写出其中的几项，对繁难复杂的递推公式，如3项或2项以上的递推公式不作要求．知能训练1．若数列{a n}前n项的值各异，且a n＋8＝a n对任意的n∈N*都成立，则下列数列中可取遍{a n}的前8项值的数列为() A．{a2n＋1}B．{a3n＋1} C．{a4n＋1} D．{a6n＋1}2．已知a n ＝a n －2＋a n －1(n ≥3)，a 1＝1，a 2＝2，b n ＝a n a n ＋1，则数列{b n }的前4项依次是__________．答案：1．B 解析：取k ＝0,1,2，…，8验证，周期为8.2．前4项依次是12，23，35，58.课堂小结1．先由学生自己总结归纳本节课所学到的数学知识，即数列的简单表示法：通项公式、列表法、图象法、简单的递推公式法．探求和发展了数列的各项之间的关系及其规律，并用合适的表示法来表示这种规律．2．教师强调，通过例题进一步明确了数列的图象是一些离散的点，并通过实际例子探究出数列的递推公式．由于教材内容对此要求不高，因此我们在例题或习题的难度上作了严格的控制，但要熟悉常用的基本方法．作业课本本节习题2—1 A 组7、8；习题2—1 B 组4，第5题选做．设计感想本教案设计遵循生活是源，数学是流的规律，对数学概念的探究都是在日常生活实例的背景下进行的．如递推数列是通过工厂堆放的钢管数呈现的．目的是让学生感受到数学离不开生活，生活离不开数学．本教案设计思路体现了新课程理念，遵循学生的认知规律，让学生自主学习，经历数学活动，体验数学过程，以活泼、清新、富于理性思维的内容参与教学，拓展空间，激活思维．同时使学生借助递推思想，有效提高学生分析问题、解决问题的能力，培养学生严密的思维习惯，促进个性品质的良好发展．本教案设计力图展示：教为主导，学为主体，思维训练为主线的教学理念．数学课堂的最后呈现标准不是学生成为解题能手，成为听话的乖绵羊，而是让学生体会到数学的实用价值，一种文化价值．当你醉心于数学课堂时，数学课堂便呈现给你一种美景：那就是活生生的数学，那就是内在神奇而奥妙，外在冷傲而绝美，由大自然抽象出来的自然科学的皇后——数学．备课资料一、探究求数列通项公式的方法求通项公式是学习数列的一个难点，由于求通项公式时需用到多种数学思想方法，因此求解过程中往往方法多，灵活性大，技巧性强，为了学生课余时间进一步探究，现举几例，以供参考．1．观察法已知数列前若干项，求该数列的通项时，一般对所给的项观察分析，寻找规律，从而根据规律写出此数列的一个通项．【例1】 已知数列12，14，－58，1316，－2932，6164，…，写出此数列的一个通项公式．解：观察数列前若干项可得通项公式为a n ＝(－1)n 2n －32n .2．公式法已知数列的前n 项和求通项时，通常用公式a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2.用此公式时要注意结论有两种可能，一种是“一分为二”，即分段式；另一种是“合二为一”，即a 1和a n 合为一个表达式．【例2】 已知数列{a n }的前n 项和S n 满足log 2(S n ＋1)＝n ＋1，求此数列的通项公式．解：由条件可得S n ＝2n ＋1－1，当n ＝1时，a 1＝3，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n ＋1－2n ＝2n .所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3，n ＝1，2n ，n ≥2. 3．累差迭加法若数列{a n }满足a n ＋1＝a n ＋f(n)的递推式，其中f(n)又是等差数列或等比数列，则可用累差迭加法求通项．【例3】 已知数列6,9,14,21,30，…，求此数列的通项．解：∵a 2－a 1＝3，a 3－a 2＝5，a 4－a 3＝7，…，a n －a n －1＝2n －1， 各式相加得a n －a 1＝3＋5＋7＋…＋(2n －1)，∴a n ＝n 2＋5(n ∈N )．4．连乘法若数列{a n }能写成a n ＝a n －1f(n)(n ≥2)的形式，则可由a n ＝a n －1f(n)，a n －1＝a n －2f(n －1)，a n －2＝a n －3f(n －2)，…，a 2＝a 1f(2)连乘求得通项公式．【例4】 已知数列{a n }满足a 1＝1，S n ＝(n ＋1)a n 2(n ∈N )，求{a n }的通项公式．解：∵2S n ＝(n ＋1)a n (n ∈N )，2S n －1＝na n －1(n ≥2，n ∈N )，两式相减得2a n ＝(n ＋1)a n －na n －1，∴a n a n －1＝n n －1(n ≥2，n ∈N )． 于是有a 2a 1＝21，a 3a 2＝32，a 4a 3＝43，…，a n a n －1＝n n －1(n ≥2，n ∈N )， 以上各式相乘，得a n ＝na 1＝n(n ≥2，n ∈N )．又a 1＝1，∴a n ＝n(n ∈N )．5．求解方程法若数列{a n }满足方程f(a n )＝0时，可通过解方程的思想方法求得通项公式．【例5】 已知函数f(x)＝2x －2－x ，数列{a n }满足f(log 2a n )＝－2n ，求数列{a n }的通项公式．解：由条件f(log 2a n )＝2log 2a n －2－log 2a n ＝－2n ，即a n －1a n＝－2n. ∴a 2n ＋2na n －1＝0.又a n ＞0，∴a n ＝n 2＋1－n.6．迭代法若数列{a n }满足a n ＝f(a n －1)，则可通过迭代的方法求得通项公式．二、备用习题1．已知数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝3，a n ＝a n －1＋1a n －2(n ≥3)，则a 5等于( )A.5512B.133 C ．4 D ．52．已知数列{a n }的首项a 1＝1，且a n ＝－12a n －1(n ≥2，且n ∈N *)，则a 4等于… ( )A ．－ 1 B.12 C.1724D ．－183．设{a n }是首项为1的正项数列，且(n ＋1)a 2n ＋1－na 2n ＋a n ＋1·a n ＝0(n ∈N *)，则它的通项公式a n ＝__________.4．设数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋n ＋1，则通项a n ＝__________.5．已知a n ＝n －98n －99(n ∈N *)，则在数列{a n }中的前30项中，最大项和最小项分别是__________．6．一只猴子爬一个8级的梯子，每次可爬一级或上跃二级，最多能上跃起三级，从地面上到最上一级，你知道这只猴子一共可以有多少种不同的爬跃方式吗？参考答案：1．A 解析：a 3＝a 2＋1a 1＝4，a 4＝a 3＋1a 2＝133，a 5＝a 4＋1a 3＝5512.2．D 解析：a 2＝－12a 1＝－12，a 3＝－12a 2＝14，a 4＝－12a 3＝－18.3.1n 解析：由已知可求得a 2＝12，a 3＝13，a 4＝14，由此可猜想a n ＝1n .4.n (n ＋1)2＋1 解析：由题意得，当n ≥2时，a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝2＋(n －1)(2＋n )2＝n (n ＋1)2＋1.当n ＝1时，也符合上式．因此，a n ＝n (n ＋1)2＋1.5．a 10，a 9 解析：a n ＝n －98n －99＝1＋99－98n －99， 当1≤n ≤9时，99－98n －99＜0，a n 为递减函数； 当n ≥10时，99－98n －99＞0，a n 为递减函数． ∴最大项为a 10，最小项为a 9.6．解：这题是一道应用题，本题难在爬梯子有多种形式，到底是爬一级还是上跃二级等情况要分类考虑周到．爬一级梯子的方法只有一种．爬一个二级梯子的方法有两种，即一级一级爬是一种，还有一次爬二级，所以共有两种．若设爬一个n 级梯子的不同爬法有a n 种，则a n ＝a n －1＋a n －2＋a n －3(n ≥4)，则得到a 1＝1，a 2＝2，a 3＝4及a n ＝a n －1＋a n －2＋a n －3(n ≥4)，就可以求得a8＝81.(设计者：周长峰)。

高中数学教案：数列的递推公式与数列求和一、数列的定义与性质数列作为高中数学中的重要概念之一，是一种按照一定规律排列的数的序列。

它能够帮助我们更好地研究数的规律性，以及在各种实际问题中的应用。

本文将重点讨论数列的递推公式与数列求和的相关知识。

1.1 数列的定义数列是指按照一定顺序排列的一组数的集合。

数列通常用{a₁，a₂，a₃，...，aₙ}表示，其中的每一项aₙ都是数列中的元素，下标n表示这是数列中的第n个元素。

1.2 数列的性质数列除了有一定的递增或递减规律外，还具有以下性质：1）有界性：数列中的元素存在上界和下界，即数列的元素都在某个范围内。

2）单调性：数列可以是递增的（数列中的每一项都大于前一项），也可以是递减的（数列中的每一项都小于前一项），还可以是常数列（数列中的每一项都相等）。

3）有限性：数列可以是有限数列（数列中的元素个数是有限的），也可以是无限数列（数列中的元素个数是无限的）。

二、数列的递推公式数列的递推公式是指通过数列中某一项与前几项的关系来表示后一项的公式。

在实际问题中，通过找出数列元素之间的规律，我们可以用递推公式来进行数列的计算与推理。

2.1 递推关系数列的递推关系是指数列中后一项与前几项之间的关系。

对于数列{a₁，a₂，a₃，...，aₙ}，如果存在一个递推公式aₙ=f(a₁，a₂，a₃，...，aₙ₋₁)来表示数列中的每一项，其中f是一个函数，则称这个递推公式为数列的递推关系。

2.2 递归与迭代在数列的递推公式中，有两种主要的解题方法：递归和迭代。

2.2.1 递归递归是指通过已知数列中的前几项来推导下一项的值，直到得到所需要的项。

递归可以分为直接递推法和间接递推法两种。

直接递推法是指通过已知数列中的前两项来推导下一项的值，例如斐波那契数列{1，1，2，3，5，...}就是通过aₙ=aₙ₋₁+aₙ₋₂来进行递推的。

间接递推法是指通过已知数列中的前几项来推导下一项的值，例如{2，5，12，29，...}中的每一项都是前一项的平方与前一项的负数之和。

(完整版)递归法求数列通项1. 引言在数学中，数列是由一组按照特定顺序排列的数字所组成的序列。

数列通项是指数列中的任意一项，通过通项公式可以求解数列中的任意项。

本文将使用递归法来推导并求解数列通项。

2. 递归法的原理递归法是一种通过建立数学函数与数学函数自身之间的关系来解决问题的方法。

在计算机科学中，递归法通过调用自身来解决复杂的问题。

求解数列通项时，递归法可以通过数列前一项和前两项的关系来逐步推导并求解后续的数列项。

3. 数列通项的递归公式对于某个数列递推的递归公式，通常表示为 f(n) = f(n-1) + f(n-2)，其中 f(n) 表示第 n 项，f(n-1) 表示第 n-1 项，f(n-2) 表示第 n-2 项。

这个递归公式可以用来计算数列中的任意一项。

4. 递归法求解数列通项的步骤以下是使用递归法求解数列通项的步骤：1. 确定数列的前两项，即 f(0) 和 f(1)。

2. 建立数列前一项和前两项的关系，即 f(n) = f(n-1) + f(n-2)。

3. 编写递归函数，实现求解数列通项的逻辑。

4. 调用递归函数，传入需要求解的项数 n，得到数列中第 n 项的值。

5. 递归法求数列通项的示例代码def get_sequence(n):if n == 0:return 0elif n == 1:return 1else:return get_sequence(n-1) + get_sequence(n-2)6. 总结通过使用递归法可以方便地求解数列中的任意一项。

递归法的关键在于建立数列前一项和前两项的递推关系，并编写递归函数来实现求解数列通项的逻辑。

本文提供了一个简单的示例代码，读者可以根据具体的数列进行相应的修改和应用。

以上是关于递归法求数列通项的完整版文档。

通过使用递归法，可以在数学和计算机科学领域应用求解各种复杂的递推问题。

希望本文能对读者理解递归法的应用有所帮助。

2.1.2 数列的递推公式(选学)自主学习知识梳理(1)累加法：a n ＋1＝a n ＋f(n) (f(n)可求和)an ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝a 1＋f(1)＋f(2)＋…＋f(n －1)．(2)累乘法：a n ＋1＝a n ·f(n) (f(n)为含n 的代数式)a n ＝a 1·a 2a 1·a 3a 2·…·a n a n －1＝a 1·f(1)·f(2)·…·f(n－1)． 3．数列{a n }的通项a n 与其前n 项和S n 之间的关系是：当n ＝1时，a 1＝S 1，当n≥2时，a n ＝S n －S n －1.4．S n 与a n 的混合关系式有两个思路(1)消去S n ，转化为a n 的递推关系式，再求a n ；(2)消去a n ，转化为S n 的递推关系式，求出S n 后，再求a n .自主探究1．已知数列{a n }，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋2，试用累加法推导{a n }的通项公式．2．已知数列{a n }，a 1＝2，a n ＋1＝2a n ，试用累乘法推导{a n }的通项公式．对点讲练知识点一 利用累加法求通项公式例1 已知：a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋(2n ＋1)，求a n .总结形如a n＋1＝a n＋f(n)的递推数列，常用累加法求其通项公式，关键是不断变换递推公式中的“下标”．变式训练1 已知数列{a n}，a1＝1，以后各项由a n＋1＝a n＋1＋给出，试用累加法求通项公式a n.(提示：1＋＝1n－1n＋1)．知识点二利用累乘法求通项公式例2已知：a1＝1，a n＋1＝2n·a n，求a n.总结形如a n＋1＝a n f(n)的递推数列，常用累乘法求其通项公式．变式训练2 已知数列{a n}的前n项和S n满足：S n＝n2a n，且a1＝1，求{a n}的通项公式．知识点三由实际问题提炼出递推公式例3某县位于沙漠地带，人与自然长期进行着顽强的斗争，到2019年底全县的绿化率已达30%.从2019年开始，每年将出现这样的局面，即原有沙漠面积的16%将被绿化，与此同时，由于各种原因，原有绿化面积的4%又被沙化．设全县面积为1,2019年底绿化面积为a1＝310，经过n年绿化总面积为a n＋1.求证：a n＋1＝425＋45a n.总结在实际问题中，若题目条件给出的是相邻年份的数量关系时，可以考虑构建递推数列模型．变式训练3 在一次珠宝展览会上，某商家展出一套珠宝首饰，第一件首饰是1颗珠宝，第二件首饰是由6颗珠宝(图中圆圈表示珠宝)构成如图1所示的正六边形，第三件首饰如图2，第四件首饰如图3，第五件首饰如图4，以后每件首饰都在前一件上按照这种规律增加一定数量的珠宝，使它构成更大的正六边形，设第n 件首饰所用珠宝数为f(n)，求f(n ＋1)－f(n)的值．1．数列的递推公式是给出数列的另一重要形式，一般地，只要给出数列的首项或前几项以及数列的相邻两项或几项之间的运算关系，就可以依次求出数列的各项．2．由数列的递推公式求通项公式是数列的重要问题之一，是高考考查的热点，累加法、累乘法是解决这类问题的常用技巧.课时作业一、选择题1．数列{a n }满足a n ＋1＝a n ＋n ，且a 1＝1，则a 5的值为( )A ．9B ．10C ．11D ．122．已知数列{a n }的首项为a 1＝1，且满足a n ＋1＝12a n ＋12n ，则此数列的第4项是( ) A.516 B.12 C.34 D.583．已知数列{a n }满足a 1＝12，a n a n －1＝a n ＋a n －1，则这个数列的第5项是( ) A ．1 B.12 C.34 D.58. 4．已知数列{a n }对任意的p ，q∈N *满足a p ＋q ＝a p ＋a q ，且a 2＝－6，那么a 10等于( )A ．－165B ．－33C ．－30D ．－215．在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋2n －1，求出a 2，a 3，a 4后，归纳猜想a n 的表达式为( )A ．3n －2B ．n 2－2n ＋2C ．3n －1D ．4n －3二、填空题6．数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1a n ＝a 2n ＋(－1)n ＋1 (n∈N *)，则a 4a 2＝________. 7．数列{a n }中，a 1＝3，a 2＝7，当n≥1时，a n ＋2等于a n a n ＋1的个位数，则该数列的第2 010项是______．三、解答题8．函数f(n)＝⎩⎪⎨⎪⎧ n 为奇数f ⎝ ⎛⎭⎪⎫n 2 为偶数.数列{a n }的通项a n ＝f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2n ) (n∈N *)．(1)求a 1，a 2，a 4的值；(2)写出a n 与a n －1的一个递推关系式．(注：1＋3＋5＋…(2n －1)＝4n －1)9．某餐厅供应1 000名学生用餐，每星期一有A 、B 两种菜可供选择，调查资料显示星期一选A 菜的学生中有20%在下周一选B 菜，而选B 菜的学生中有30%在下周一选A 菜，用A n 、B n 分别表示在第n 个星期一选A 菜、B 菜的学生数，试写出A n 与A n －1的关系及B n 与B n －1的关系．2．1.2 数列的递推公式(选学)自主探究1．解 ∵a n ＋1－a n ＝2∴ ⎭⎪⎬⎪⎫a 2－a 1＝2a 3－a 2＝2……a n －a n －1＝2(n －1)个式子相加得： a n －a 1＝2(n －1)，∴a n ＝a 1＋2(n －1)＝2n 或a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝2＋2(n －1)＝2n.2．解 ∵a n ＋1a n＝2 ∴⎭⎪⎬⎪⎫a 2a 1＝2a 3a 2＝2……a n a n －1＝2(n －1)个式子相乘得：a n a 1＝2n －1， ∴a n ＝a 1·2n －1＝2n或a n ＝a 1·a 2a 1·a 3a 2·…·a n a n －1＝a 1·2n －1＝2n . 对点讲练例1 解 ∵a n ＋1－a n ＝2n ＋1，∴a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝1＋3＋5＋…＋(2n －1)＝[1＋(2n －1)]×n 2＝n 2. 变式训练1 解 ∵a n ＋1－a n ＝1＋， ∴a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝1＋11×2＋12×3＋…＋1－＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ＝2－1n . 例2 解 ∵a n ＋1a n＝2n ， ∴a n ＝a 1·a 2a 1·a 3a 2·…·a n a n －1＝1·21·22·…·2n －1 ＝21＋2＋3＋…＋(n －1)＝2[1＋(n －1)]×⎝ ⎛⎭⎪⎫n －12 ＝2n 2－n 2. 变式训练2 解 ∵S n ＝n 2a n ，∴S n ＋1＝(n ＋1)2a n ＋1∴S n ＋1－S n ＝(n ＋1)2a n ＋1－n 2a n∴a n ＋1＝(n ＋1)2a n ＋1－n 2a n ∴(n 2＋2n)a n ＋1＝n 2a n∴(n＋2)a n ＋1＝na n .∴a n ＋1a n ＝n n ＋2. ∴a n ＝a 1·a 2a 1·a 3a 2·…·a n －2a n －3·a n －1a n －2·a n a n －1＝1·13·24·35·…·n －3n －1·n －2n ·n －1n ＋1＝2＋. 例3 证明 由已知可得a n 确定后，a n ＋1表示如下：a n ＋1＝a n ·(1－4%)＋(1－a n )·16%，即a n ＋1＝80%a n ＋16%＝45a n ＋425. 变式训练3 解 珠宝的数目依次是：f(1)＝1，f(2)＝1＋5，f(3)＝1＋5＋9，f(4)＝1＋5＋9＋13，f(5)＝1＋5＋9＋13＋17，…，∴f(2)－f(1)＝5，f(3)－f(2)＝9，f(4)－f(3)＝13，f(5)－f(4)＝17，…，∴f(n＋1)－f(n)＝4n ＋1.课时作业1．C [a 5＝a 4＋4＝a 3＋3＋4＝a 2＋2＋3＋4＝a 1＋1＋2＋3＋4＝11.]2．B [∵a 1＝1，a n ＋1＝12a n ＋12n ，∴a 2＝12×a 1＋12＝1， a 3＝12a 2＋122＝34，a 4＝12a 3＋123＝38＋18＝12.] 3．B [∵a n a n －1＝a n ＋a n －1，a 1＝12∴a n ＝a n －1a n －1－1，∴a 2＝a 1a 1－1＝－1，a 3＝a 2a 2－1＝12，a 4＝－1，a 5＝12.] 4．C [a 2＝a 1＋a 1＝－6，∴a 1＝－3，a 3＝a 1＋a 2＝－9，a 4＝a 2＋a 2＝－12，a 5＝a 1＋a 4＝－15，a 10＝2a 5＝－30.]5．B [由a n ＋1＝a n ＋2n －1a 2－a 1＝1，a 3－a 2＝3，a 4－a 3＝5……a n －a n －1＝2n －3.相加得a n －a 1＝1＋3＋5＋…＋(2n －3)＝(n －1)2，∴a n ＝(n －1)2＋a 1＝n 2－2n ＋2.]6.1312解析 a 2＝2，a 3＝32，a 4a 2＝a 4a 3a 2a 3＝a 23＋1a 22－1＝1312. 7．9解析 列举出数列的前9项，依次是3、7、1、7、7、9、3、7、1、7，观察发现数列具有周期性且周期为6，所以a 2 010＝a 6＝9.8．解 (1)a 1＝f(1)＋f(2)＝f(1)＋f(1)＝2.a 2＝f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝f(1)＋f(3)＋f(1)＋f(2)＝1＋3＋a 1＝6.a 4＝f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(16)＝86.(2)a n －1＝f(1)＋f(2)＋…＋f(2n －1)a n ＝f(1)＋f(2)＋…＋f(2n )＝f(1)＋f(3)＋f(5)＋…＋f(2n －1)＋f(2)＋f(4)＋f(6)＋…＋f(2n )＝1＋3＋5＋…＋(2n －1)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2n －1)∴a n ＝a n －1＋4n －1 (n≥2)．9．解 由题意知：⎩⎪⎨⎪⎧ A n ＋B n ＝1 000A n ＝0.8A n －1＋0.3B n －1B n ＝0.2A n －1＋0.7B n －1由A n －1＋B n －1＝1 000，得B n －1＝1 000－A n －1.所以A n ＝0.8A n －1＋0.3(1 000－A n －1)＝0.5A n －1＋300.同理，B n ＝0.2(1 000－B n －1)＋0.7B n －1＝0.5B n －1＋200.。