2018高中数学人教B版必修五2.1.2《数列的递推公式选学》双基达标练

数列的递推公式（选学）堂研究一、通 公式与 推公式解析： 推公式是：已知数列{ a n } 的第 1( 或前几 ) ，且从第二 ( 或某一 ) 开始的任一 a n 与它的前一a n － 1( 或前几 ) 的关系能够用一个公式来表示，那么 个公式就叫做 个数列的 推公式．通 公式是： 一个数列 { a n } 的第 na n 与 数 n 之 的关系， 假如能够用一个公式 a n ＝ f ( n ) 来表示，我 就把 个公式叫做 个数列的通 公式．通 公式反应的是 与 数之 的关系， 而 推公式反应的是相 两 ( 或几 ) 之 的关系．于通 公式，只需将公式中的 n 挨次取 1，2，3，⋯即可获得相 的 ；而 推公式 要已知首 ( 或前几 ) ，才可求得其余的 ． 常常我 要利用各样方法将 推公式 化 通 公式，通 公式能 更直接地研究数列．名 点 ： 推公式也是 出数列的一种重要方法， 有 其实不必定要知道数列的通 公式，只需知道数列的 推公式， 即可解决 ， 有的 推公式与通 公式之 也能够 行互化．二、教材中的“？”(1) 你能猜想出例 1 中 个数列的通 公式 ？2解析： 数列 { a n } 的通 公式a n ＝ 3－ 2n ．(2) 你能比 例2 中 a 与 an ＋ 1 的大小 ？你能比 a 与 an ＋ 2 的大小 ？nn解析： 不可以比 a n+1 与 a n 的大小．当 n 奇数 ， a n+2 ＞a n ；当 n 偶数 ， a n+2＜ a n ．型一 由 推公式写出数列的【例 1】 在数列 { a } 中，已知 a ＝ 2，a ＝3，a＝ 3a n ＋1－ 2a ( n ≥1) ，写出此数列的前六 ．n12n ＋ 2n解析：通 察， 此 的 推公式是数列中相 三 的关系式， 知道前两 就能够求出后一 ．解： a 1＝ 2，a 2＝ 3，a 3 ＝3a 2－ 2a 1＝3×3－2×2＝ 5，a 4 ＝3a 3－ 2a 2＝3×5－2×3＝ 9，a 5 ＝3a 4－ 2a 3＝3×9－2×5＝ 17，a 6 ＝3a 5－ 2a 4＝3×17－2×9＝ 33．反省： 由 推公式写出数列的 的方法．(1) 依据 推公式写出数列的前几 ，第一要弄清楚公式中各部分的关系，挨次代入 算即可；(2) 解答 需注意：若知道的是首 ，往常将所 公式整理成用前方的 表示后边的 的形式；(3) 若知道的是末 ，往常将所 公式整理成用后边的 表示前方的 的形式．型二由 推公式求通 公式【例 2】 已知数列 {a n }，1＝ 1， n ＝ n －1＋1 ( n ≥2) ．a a an ( n － 1)(1) 写出数列 { a n } 的前 5 ；(2) 求数列 { a n } 的通 公式．解析： (1) 中只需利用代入法挨次求出a 2， a 3， a 4， a 5 即可；(2) 利用以下关系式① a n ＝ ( a n － a n －1) ＋ ( a n －1－ a n －2) ＋⋯＋ ( a 3－ a 2) ＋ ( a 2－a 1) ＋ a 1；1 1 1②( － 1) ＝n － 1－ nn n行累加与裂 相消即可求出{ n } 的通 公式．a13解： (1) a 1＝1； a 2＝ a 1＋＝ ；a 3 ＝a 2＋ 1517＝ ； a 4＝ a 3＋＝ ；3×2 3 4×3 45＝ 4＋ 1 ＝ 9 ．aa5×4 51(2) 由 a n ＝ a n － 1＋ n ( n － 1) ，1得 a n － a n － 1＝ n ( n － 1) ( n ≥2) ，∴ a n ＝ ( a n － a n －1) ＋ ( a n －1－ a n －2) ＋⋯＋ ( a 3－ a 2) ＋ ( a 2－a 1) ＋ a 1＝1 ＋ 11＋ 1n ( n － ＋⋯＋＋ 11) ( n － 1)( n － 2)3×2 2×111 1 1 11＋ 1－ 1＝n － 1－n＋n － 2－n － 1 ＋⋯＋ 2－ 3 2 ＋ 111 2n － 1 ( n ∈N +) ．＝－ n ＋ 1＋ 1＝ 2－ n ＝ n反省： (1) 依据 推公式写出数列的前几 ，要弄清楚公式中各部分的关系，挨次代入算即可． 此外，解答 需注意： 若知道的是首 ，往常将所 公式整理成用前方的 表示后边的 的形式； 若知道的是末 ， 往常将所 公式整理成用后边的 表示前方的 的形式．(2) 累加法当 a n－ a n－1＝ f ( n)足必定条件，常用 a n＝( a n－ a n－1)＋( a n－1－ a n－2)＋⋯＋( a2－ a1)＋a1累加来求通公式 a n．(3)累乘法假如推关系能够形a n+1＝ g( n)· a n的形式，且g( n)能求，可用累乘法求数列的通公式．型三易辨析【例 3】数列 { a } 足a＝ 1，此后各由32出，写a ＝ a ＋ 2(2 n － 12n ＋ 22n－ 11)n1n＋1n出个数列的前 4 ，并写出其通公式．解： a1＝1， a2＝3， a3＝5， a4＝7．由此猜想，个数列是正奇数从小到大排成的，∴a n＝2n－1．因解析：猜想的其实不都是正确的，必明其正确性，如当n＝5， a5＝33，故通公式不正确．正解： a2＝a1＋2(2×13－12×12＋22×1－11)，a3＝a2＋2(2×23－12×22＋22×2－11)，a4＝a3＋2(2×33－12×32＋22×3－11)，⋯a n＝a n－1＋2[2( n－1)3－12( n－1)2＋22( n－1)－11]，以上全部式子相加得a n＝ n4－10n3＋35n2－48n＋23．3333n( n＋1)22222n( n＋1)(2 n＋1)里用了 1＋ 2＋ 3＋⋯＋ n ＝与1＋ 2 ＋ 3 ＋⋯＋n＝26。

数学人教B 必修5第二章2.1.2 数列的递推公式(选学)1．体会递推公式是数列的一种表示方法．2．理解递推公式的含义，能够根据递推公式写出数列的前几项．3．掌握由一些简单的递推公式求数列的通项公式．1．数列的递推公式如果已知数列的______(或前几项)，且从第二项(或某一项)开始的________与它的前一项________(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的______公式．(1)与所有的数列不一定都有通项公式一样，并不是所有的数列都有递推公式．(2)递推公式也是给出数列的一种重要方法．事实上，递推公式与通项公式一样，都是关于n 的恒等式，我们可用符合要求的正整数依次去替换n ，从而可以求出数列的各项．【做一做1】数列2,4,6,8,10，…的递推公式是( )．A ．a n ＝a n －1＋2(n ≥2)B ．a n ＝2a n －1(n ≥2)C ．a n ＝a n －1＋2，a 1＝2(n ≥2)D ．a n ＝2a n －1，a 1＝2(n ≥2)【做一做2－1】已知在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＝a n －1＋2(n ≥2)，则{a n }的通项公式是( )．A ．3nB ．2nC ．nD ．12n 【做一做2－2】在数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2，且a n ＋1－a n ＝1＋(－1)n (n ≥2)，则a 10＝________.一、通项公式与递推公式剖析：递推公式是：已知数列{a n }的第1项(或前几项)，且从第二项(或某一项)开始的任一项a n 与它的前一项a n －1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．通项公式是：一个数列{a n }的第n 项a n 与项数n 之间的关系，如果可以用一个公式a n ＝f (n )来表示，我们就把这个公式叫做这个数列的通项公式．通项公式反映的是项与项数之间的关系，而递推公式反映的是相邻两项(或几项)之间的关系．对于通项公式，只要将公式中的n依次取值1,2，3，…即可得到相应的项；而递推公式则要已知首项(或前几项)，才可求得其他的项．往往我们要利用各种方法将递推公式转化为通项公式，通项公式能够更直接地研究数列．递推公式也是给出数列的一种重要方法，有时并不一定要知道数列的通项公式，只要知道数列的递推公式，即可解决问题，有的递推公式与通项公式之间也可以进行互化．二、教材中的“？”(1)你能猜想出例1中这个数列的通项公式吗？剖析：数列{a n}的通项公式为a n＝23－2n.(2)你能比较例2中a n与a n＋1的大小吗？你能比较a n与a n＋2的大小吗？剖析：不能比较a n＋1与a n的大小．当n为奇数时，a n＋2＞a n；当n为偶数时，a n＋2＜a n.题型由递推公式求通项公式【例】已知数列{a n}，a1＝1，a n＝a n－1＋1n(n－1)(n≥2)．(1)写出数列{a n}的前5项；(2)求数列{a n}的通项公式．分析：(1)中只需利用代入法依次求出a2，a3，a4，a5即可；(2)利用下列关系式①a n＝(a n－a n－1)＋(a n－1－a n－2)＋…＋(a3－a2)＋(a2－a1)＋a1；②1n(n－1)＝1n－1－1n.进行累加与裂项相消即可求出{a n}的通项公式．反思：(1)根据递推公式写出数列的前几项，要弄清楚公式中各部分的关系，依次代入计算即可．另外，解答这类问题时还需注意：若知道的是首项，通常将所给公式整理成用前面的项表示后面的项的形式；若知道的是末项，通常将所给公式整理成用后面的项表示前面的项的形式．(2)累加法当a n－a n－1＝f(n)满足一定条件时，常用a n＝(a n－a n－1)＋(a n－1－a n－2)＋…＋(a2－a1)＋a1累加来求通项公式a n.1下列说法错误的是()．A．递推公式也是数列的一种表示方法B．a n＝a n－1，a1＝1(n≥2)是递推公式C．给出数列的方法只有图象法、列表法、通项公式D．a n＝2a n－1，a1＝2(n≥2)是递推公式2已知数列{a n}的首项a1＝1，且a n＝3a n－1＋1(n≥2)，则a4为()．A．13 B．15 C．30 D．403已知数列{a n }的第1项是1，第2项是2，以后各项由a n ＝a n －1＋a n －2(n ＞2)给出，则该数列的第5项等于( )．A ．6B ．7C ．8D ．94一个数列{a n }的首项a 1＝1，a 2＝2，从第二项起每一项等于它的前一项的2倍再加上后一项，请写出构成这个数列的递推公式a n ＝________________.5已知数列{a n }满足a n ＋1＋a n －1a n ＋1－a n ＋1＝n (n 为正整数)，且a 2＝6，则数列{a n }的通项公式为a n ＝________.答案：基础知识·梳理1．第1项 任一项a n a n －1 递推【做一做1】C【做一做2－1】B【做一做2－2】10 由题意，知a 10－a 9＝1＋(－1)9，a 9－a 8＝1＋(－1)8，a 8－a 7＝1＋(－1)7，…，a 3－a 2＝1＋(－1)2，累加上述各式，可得a 10－a 2＝8.又因为a 2＝2，所以a 10＝10. 典型例题·领悟【例】解：(1)a 1＝1；a 2＝a 1＋12×1＝32； a 3＝a 2＋13×2＝53；a 4＝a 3＋14×3＝74； a 5＝a 4＋15×4＝95. (2)由a n ＝a n －1＋1n (n －1)，得a n －a n －1＝1n (n －1)(n ≥2)， ∴a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 3－a 2)＋(a 2－a 1)＋a 1＝1n (n －1)＋1(n －1)(n －2)＋…＋13×2＋12×1＋1 ＝(1n －1－1n )＋(1n －2－1n －1)＋…＋(12－13)＋(1－12)＋1 ＝－1n ＋1＋1＝2－1n ＝2n －1n(n ∈N ＋)． 随堂练习·巩固1．C 通过图象、列表、通项公式我们可以确定一个数列，另外根据递推公式，并且知道数列的第一项，我们也可以确定数列，它也是给出数列的一种方法．a n ＝a n －1(n ≥2)与a n ＝2a n －1(n ≥2)，这两个关系式虽然比较特殊，但都表示的是数列中的任意项与它的前后项间的关系，且都已知a 1，所以都是递推公式．2．D 利用递推式可逐个求出a 2，a 3，a 4.3．C ∵a 1＝1，a 2＝2，a n ＝a n －1＋a n －2(n ＞2)，∴a 3＝a 2＋a 1＝2＋1＝3，a 4＝a 3＋a 2＝3＋2＝5，a 5＝a 4＋a 3＝5＋3＝8.4．2a n －1＋a n ＋1(n ≥2) 这个数列给出的方法是不同的，它是由前后项之间的关系确定的，只需要根据已知条件就可以直接列出关系式，要注意n 的取值范围．5．2n 2－n。

2.1.2 数列的递推公式（选学）5分钟训练(预习类训练,可用于课前)1.判断下列说法哪个是错误的( )A.递推公式也是数列的一种表示方法B.a n =a n-1(n≥2)是递推公式C.给出数列的方法只有图象、列表、通项公式D.a n =2a n-1(n≥2)是递推公式解析：通过图象、列表、通项公式我们可以确定一个数列，另外根据递推公式，并且知道数列的第一项，我们也可以确定数列，它也是给出数列的一种方法.a n =a n-1与a n =2a n-1，这两个关系式虽然比较特殊，但都表示的是数列中的任意项与它的前后项间的关系，所以都是递推公式.答案： C2.已知数列{a n }的第1项是1，第2项是2，以后各项由a n =a n-1+a n-2(n ＞2)给出，则该数列的第5项等于( )A.6B.7C.8D.9解析：∵a 1=1，a 2=2,a n =a n-1+a n-2，∴a 3=a 2+a 1=1+2=3,a 4=a 3+a 2=3+2=5,a 5=a 4+a 3=5+3=8.答案：C3.一个数列{a n }的首项a 1=1，从第二项起每一项等于它的前一项的2倍再加上后一项，请写出构成这个数列的递推公式a n =__________________.解析：这个数列给出的方法是不同的，它是由前后项之间的关系确定的，只需要根据已知条件就可以直接列出关系式，要注意n 的取值范围.答案：2a n-1+a n+1(n≥2)4.在数列{a n }中，a n+1=a n+2+a n ,a 1=2,a 2=5，则a 6的值为_______________.解析：∵a n+1=a n+2+a n ，∴a n+2=a n+1-a n ，则有a 6=a 5-a 4=(a 4-a 3)-a 4=-a 3=-(a 2-a 1)=a 1-a 2=2-5=-3.答案：-310分钟训练(强化类训练，可用于课中)1.已知a 1=1，a n+1=22+n n a a (n∈N *)，依次写出{a n }的前5项为__________，归纳出a n =_________.解析：题中已给出{a n }的第1项即a 1=1，根据递推公式：a n+1=22+n n a a ，将n=2,3,4,5代入可得这个数列的前5项. ∴a 2=32,a 3=)42(21=,a 4=52,a 5=)62(31=．∴a n =12+n 答案：1，31,52,21,32 a n =12+n 2.数列{a n }满足a 1=1，a n =a n-1+n(n≥2)，则a 5=_____________.解析：由a n =a n-1+n(n≥2)，得a n -a n-1=n ，则a 2-a 1=2,a 3-a 2=3,a 4-a 3=4,a 5-a 4=5，把各式相加得a 5-a 1=2+3+4+5=14,∴a 5=14+a 1=14+1=15.答案：153.已知a 1=2，a n+1=2a n ,写出前5项，并猜想a n .解：将n=2,3,4,5代入a n+1=2a n ，可得：a 1=2,a 2=22,a 3=23,这样我们就很容易猜出通项公式a n =2n .4.已知数列{a n }：1,5,8,9,4，通过公式b n =a n ·a n+1构造一个新的数列{b n }，试写出数列{b n }的前4项.解：将序号1,2,3,4代入公式b n =a n ·a n+1，可得：b 1=a 1·a 2=1×5=5，b 2=a 2·a 3=5×8=40，b 3=a 3·a 4=8×9=72，b 4=a 4·a 5=9×4=36.所以数列{b n }的前4项为：5,40,72,36.5.下面是由数字排列的一个数列：7,9,16,25,41,66,107,173，写出其递推公式.解：通过观察我们可以发现这个数列的一个规律：每一项都等于其前两项的和，7+9=16,9+16=25,16+25=41,25+41=66,…所以递推公式为：a 1=7,a 2=9,a n =a n-1+a n-2(3≤n≤8).6.在数列{a n }中，a 1=1，4a n+1-a n a n+1+2a n =9(n∈N )，写出它的前4项并归纳出用n 表示a n 的式子.解：∵4a n+1-a n a n+1+2a n =9(n∈N ),∴a n+1(4-a n )+2a n =9.∴a n+1(4-a n )=9-2a n .∴a n+1=nn a a --429. ∴a 2=11429a a -- =3714129=-⨯-， a 3=51337)37(2942922=-⨯-=--a a a ， a 4=7195134)513(2942923=-⨯-=--a a . 则求出的这个数列的前4项为：1，719,513,37，可归纳出通项公式为：a n =1256--n n . 30分钟训练(巩固类训练，可用于课后)1.在数列{a n }中，a n =1，a n+1=a n 2-1(n≥1)，则a 1+a 2+a 3+a 4+a 5等于( )A.-1B.1C.0D.2解析：由已知a n+1=a n 2-1=(a n +1)(a n -1)，∴a 2=0,a 3=-1，a 4=0,a 5=-1.答案：A2.已知数列{a n }中，a 1=b （b 为任意正数），a n+1=11+-n a （n=1,2,3，…），能使a n =b 的n 的数值可以是( )A.14B.15C.16D.17解析：∵a 1=b ，a n+1=11+-n a ， ∴a2=11+-b ，a 3=bb 1+-，a 4=b. ∴{a n }为周期为3的数列.由于a 1=a 4=b ，∴a 16=b.答案：C3.若数列{a n }满足：a n+1=na 11-且a 1=2，a 2006等于( ) A.1 B.2 C.2 D.21 解析：由a n+1=n a 11-以及a 1=2得，a 2=21211=-，a 3=1-2=-1，a 4=2，…，由此可见，数列{a n }的项是以3为周期重复出现的，故a 2006=a 3×668+2=a 2=21，故选D ． 答案：D4.数列{a n }的前9项是1,5,7,17,31,65,127,257,511，请写出这个数列所隐含的递推关系式a n =_____________.解析：1+5=6,5+7=12,7+17=24,等等.12与17差个5，24与31差个7，那么下一项是否差个17呢？17+31+17=65正符合，这样可以猜想出这个数列的递推关系式.答案：a 1=1,a 2=5,a n =a n-1+2a n-2(n≥3)5.某网络公司，2005年的市场占有率为A ，根据市场分析和预测，该公司自1996年起市场占有率逐年增加，其规律如下图所示：则该公司2007年的市场占有率为____________；写出其中的递推关系式：____________. 解析：2005年的市场占有率为A ，2006年的市场占有率为A+2A ，2007年的市场占有率为A+42A A +，发现前一年的占有率与后一年的占有率密切联系，可以得到前后两年的递推关系式.答案：47A 递推关系式为：⎪⎩⎪⎨⎧≥+===--221111n A a a n A a n n n6.设二次方程a n x 2-a n+1x+1=0(n∈N )有两根α和β，且满足6α-2αβ+6β=3.试用a n 表示a n+1.解：根据韦达定理，得α+β=n n a a 1+,α·β=na 1，由6α-2αβ+6β=3得6·321+=+n n n a a a ，又在二次方程中a n ≠0，故a n+1=3121+n a . 7.已知数列{a n }满足a 1=1，a n+1=αa n +β，且a 2=3,a 4=15，求α,β的值.解：由a 2=αa 1+β=α+β=3，得β=3-α.故a 3=αa 2+β=3α+β=2α+3，a 4=αa 3+β=α(2α+3)+3-α=2α2+2α+3=15.化简得α2+α-6=0.解得α=-3或α=2，代入β=3-α得β=6或β=1.故⎩⎨⎧=-=⎩⎨⎧=-=.6,3,6,3βαβα或代入检验皆成立. 8.平面内有n(n≥2)条直线，其中任何两条不平行，任何三条不过同一点，用a n 表示交点的个数，试写出a n 与a n-1的关系式.解：要想弄清a n 与a n-1的关系，需要先研究n=1,2,3,…,具体的关系.当n=2时，两条直线相交，交点只有1个，当n=3时，三条直线相交，交点有3个，……当n-1条直线相交时，交点个数为a n-1，现在来考虑n 条直线的情况.任取其中的1条直线，记为l ，除l 以外的其他n-1条直线的交点个数a n-1.又因为已知任何两条直线不平行，所以直线l 必与平面内其他n-1条直线都相交，有n-1个交点，又因为已知任何三条直线不过同一点，所以上面的n-1个交点两两不相同，且与平面内其他的a n-1个交点也两两不相同.从而平面内n 条直线交点的个数是a n =a n-1+(n-1).9.某鱼塘养鱼，由于改进了饲养技术，预计第一年产量的增长率为200%，以后每年的增长率是前一年增长率的一半，设此鱼塘里原来的鱼储存量为a.写出改进饲养技术后的第一年、第二年、第三年、第四年的产量，并写出第n 年与第(n-1)年（n∈N 且n≥2）的产量之间的关系式（不要求证明）.解：不妨设改进技术后第n 年的产量为a n ，则a 1=a(1+200%)=3a ，a 2=a 1(1+21×200%)=6a， a 3=a 2(1+221×200%)=9a， a 4=a 3(1+321×200%)=a 445. 依此，得a n =a n-1(1+121-n ×200%)=a n-1［1+(21)n-2］（n∈N *，n≥2）. 10.为了测试某种金属的热膨胀性质，将这种金属的一根细棒加热，从100 ℃开始第一次量细棒长度，以后每升高50 ℃量一次，把依次量得的数据所成的数列{l n }表示成图象，如下图，根据图象完成下列问题：（1）第5次量得金属棒的长度是多少？此时金属棒的温度是多少？（2）求{l n }的通项和金属棒长度l （m ）关于温度t （单位：℃）的函数关系式；（3）在30 ℃的温度条件下，如果把两块这种矩形金属板平铺在一个平面上，这个平面的最高温度可达到500 ℃，问铺设时两块金属板之间至少要留出多宽的空隙？解：(1)从图上不难看到第5次量得金属棒长度是 2.005 m ，这时温度为(5-1)×50+100=300 ℃.(2)设l n =dn+b ，由待定系数法可得通项公式l n =0.001n+2，由题意可得t=50(n-1)+100=50n+50，∴n=5050 t ，代入通项公式得所求函数关系式为l n =0.000 02t+1.999.（3）设当t=30 ℃时,金属板在某个面上长度为l′ m,当t=500 ℃时金属板在该个面的长度为l″ m,l′=0.000 02×30+1.999,l″=0.000 02×500+1.999,则l″-l′=0.000 02×(500-30)=0.000 02×470=0.00 94(m)，这就是至少要留的空隙.。

2.1.2 数列的递推公式(选学)1．数列{a n }满足a n ＋1＝a n ＋n ，且a 1＝1，则a 5的值为 ( )．A ．9B ．10C ．11D ．12解析 a 5＝a 4＋4＝a 3＋3＋4＝a 2＋2＋3＋4＝a 1＋1＋2＋3＋4＝11.答案 C2．已知数列{a n }的首项为a 1＝1，且满足a n ＋1＝12a n ＋12n ，则此数列的第4项是( )．A.516B.12C.34D.58 解析 ∵a 1＝1，a n ＋1＝12a n ＋12n ，∴a 2＝12×a 1＋12＝1，a 3＝12a 2＋122＝34，a 4＝12a 3＋123＝38＋18＝12.答案 B3．设数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝2a n ＋3，则通项a n 可能是 ( )．A ．5－3nB ．3·2n －1－1C ．5－3n 2D ．5·2n －1－3解析 由a 1＝2，得a 2＝2a 1＋3＝7，代入验证得只有D 适合．答案 D4．已知数列{a n }满足a 1＝－14，a n ＝1－1a n －1(n >1)则a 4＝ .解析 a 2＝1－1a 1＝5，a 3＝1－1a 2＝45，a 4＝1－1a 3＝－14.答案 －145．已知数列{a n }中，a 1＝12，a n ＝a n －1－12(n ≥2)，则a n ＝ .解析 a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1 ＝－12－12＋…＋(－12)＋12＝－12(n －1)＋12＝1－n 2.答案 1－n26．根据下面各个数列{a n }的首项和递推公式，写出它的前五项，并归纳出通项公式． (1)a 1＝0，a n ＋1＝a n ＋(2n －1)(n ∈N ＋)； (2)a 1＝1，a n ＋1＝2a na n ＋2(n ∈N ＋)． 解 (1)a 1＝0；a 2＝a 1＋1＝1；a 3＝a 2＋3＝4；a 4＝a 3＋5＝9；a 5＝a 4＋7＝16.由a 1＝02，a 2＝12，a 3＝22，a 4＝32，a 5＝42，可归纳出a n ＝(n －1)2. (2)a 1＝1；a 2＝2a 1a 1＋2＝23；a 3＝2a 2a 2＋2＝12； a 4＝2a 3a 3＋2＝25；a 5＝2a 4a 4＋2＝13.由a 1＝1＝22，a 2＝23，a 3＝12＝24，a 4＝25，a 5＝13＝26.可归纳出a n ＝2n ＋1. 综合提高限时25分钟7．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋ln(1＋1n)，则a n 等于( )．A ．2＋ln nB ．2＋(n －1)ln nC ．2＋n ln nD ．1＋n ＋ln n解析 由题意可知：a n ＋1＝a n ＋ln n ＋1n， 即a n ＋1－a n ＝ln(n ＋1)－ln n ，于是a n ＝(a n －a n －)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝ln n －ln(n －1)＋ln(n －1)－ln(n －2)＋…＋ln 2－ln 1＋2＝2＋ln n . 答案 A8．已知数列{a n }满足a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧2a n0≤a n<12，2a n－112≤a n<1.若a 1＝67，则a 2 012的值为( )．A.67B.57C.37D.17解析 计算得a 2＝57，a 3＝37，a 4＝67，故数列{a n }是以3为周期的周期数列， 又知2 010除以3余2，所以a 2 012＝a 2＝57.答案 B9．数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1a n ＝a n 2＋(－1)n ＋1(n ∈N *)，则a 4a 2＝ .解析 a 2＝2，a 3＝32，a 4＝136，a 4a 2＝1312.答案131210．已知数列的前n 项和为S n ，满足log 2(1＋S n )＝n ＋1，则数列的通项公式a n ＝________.解析 ∵log 2(1＋S n )＝n ＋1 ∴1＋S n ＝2n ＋1即S n ＝2n ＋1－1当n ＝1，a 1＝S 1＝22－1＝3 当n ≥2，a n ＝S n －S n －1＝(2n ＋1－1)－(2n－1)＝2n ＋1－2n＝2n∵a n ＝2n，对于n ＝1，a 1＝21＝2≠3∴通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 32nn ＝1n ≥2答案 ⎩⎪⎨⎪⎧ 32nn ＝1n ≥211．在数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝23，且1a n －2＋1a n ＝2a n －1(n ≥3，n ∈N *)，求a 3，a 4的值．解 令n ＝3，则1a 1＋1a 3＝2a 2，将a 1＝1，a 2＝23代入，1a 3＝2a 2－1a 1＝3－1＝2，∴a 3＝12.令n ＝4，则1a 2＋1a 4＝2a 3，将a 2＝23，a 3＝12代入，1a 4＝2a 3－1a 2＝4－32＝52， ∴a 4＝25.12．(创新拓展)设{a n }是首项为1的正项数列，且(n ＋1)a n ＋12－na n 2＋a n ＋1a n ＝0(n ＝1,2,3，…)，求它的通项公式．解 ∵(n ＋1)a n ＋12－na n 2＋a n ＋1a n ＝0， ∴(a n ＋1＋a n )[(n ＋1)a n ＋1－na n ]＝0. 又∵a n >0，∴a n ＋1＋a n >0. ∴(n ＋1)a n ＋1－na n ＝0，即a n ＋1a n ＝n n ＋1. ∴a 2a 1·a 3a 2·a 4a 3·…·a na n －1＝12×23×34×…×n －1n. ∴a n a 1＝1n. 又 a 1＝1，∴a n ＝1n.。

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同步精选测试数列的递推公式（选学)（建议用时：45分钟)[基础测试]一、选择题1.已知数列{a n}满足：a1＝－错误!,a n＝1－错误!（n〉1)，则a4等于（)A。

错误!B。

错误!C。

－错误!D。

错误!【解析】a2＝1－错误!＝5，a3＝1－错误!＝错误!，a4＝1－错误!＝－错误!。

【答案】C2。

数列2,4，6,8,10，…的递推公式是（)A。

a n＝a n－1＋2(n≥2）B。

a n＝2a n－1(n≥2）C。

a1＝2，a n＝a n－1＋2（n≥2）D。

a1＝2，a n＝2a n－1(n≥2)【解析】由条件可发现，n＞2时，a n－a n－1＝2,即a n＝a n－1＋2,又a1＝2,所以C正确。

【答案】C3。

设a n＝－3n2＋15n－18，则数列｛a n｝中的最大项的值是（）A。

错误! B。

错误! C。

4 D。

0【解析】∵a n＝－3错误!2＋错误!，由二次函数性质得，当n＝2或3时，a n最大，最大为0.【答案】D4.在数列｛a n}中，a1＝2,a n＋1＝a n＋ln错误!，则a n等于（)【导学号：18082078】A。

2＋ln n B.2＋(n－1）ln nC。

2.1.2　数列的递推公式(选学)[学习目标]　1.理解递推公式是数列的一种表示方法.2.能根据递推公式写出数列的前n 项.3.掌握由一些简单的递推公式求通项公式的方法．[知识链接]1．数列中的项与数集中的元素进行对比，数列中的项具有的性质有________．答案　(1)确定性；(2)可重复性；(3)有序性；(4)数列中的每一项都是数．2．数列的项与对应的序号能否构成函数关系？类比函数的表示方法，想一想数列有哪些表示方法？答案　数列的项与对应的序号能构成函数关系．数列的一般形式可以写成：a 1，a 2，a 3，…，a n ，….除了列举法外，数列还可以用公式法、列表法、图象法来表示．[预习导引]1．递推公式如果已知数列的第1项(或前几项)，且从第二项(或某一项)开始的任一项a n 与它的前一项a n －1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．2．数列的表示方法数列的表示方法有列举法、通项公式法、图象法、列表法、递推公式法．要点一　由递推公式写出数列的项例1　已知数列{a n }满足下列条件，写出它的前5项，并归纳出数列的一个通项公式．(1)a 1＝0，a n ＋1＝a n ＋(2n －1)；(2)a 1＝1，a n ＋1＝.2anan ＋2解　(1)∵a 1＝0，a n ＋1＝a n ＋(2n －1)，∴a 2＝a 1＋(2×1－1)＝0＋1＝1；a 3＝a 2＋(2×2－1)＝1＋3＝4；a 4＝a 3＋(2×3－1)＝4＋5＝9；a 5＝a 4＋(2×4－1)＝9＋7＝16.故该数列的一个通项公式是a n ＝(n －1)2.(2)∵a 1＝1，a n ＋1＝，2an2＋an ∴a 2＝＝，a 3＝＝，2a 12＋a 1232a 22＋a 212a 4＝＝，a 5＝＝，2a 32＋a 3252a 42＋a 413∴它的前5项依次是1，，，，.23122513它的前5项又可写成，，，，，21＋122＋123＋124＋125＋1故它的一个通项公式为a n ＝.2n ＋1规律方法　(1)根据递推公式写数列的前几项，要弄清公式中各部分的关系，依次代入计算即可．(2)若知道的是首项，通常将所给公式整理成用前面的项表示后面的项的形式；若知道的是末项，通常将所给公式整理成用后面的项表示前面的项的形式．跟踪演练1　设数列{a n }满足Error!写出这个数列的前5项．解　由题意可知a 1＝1，a 2＝1＋＝1＋＝2，1a 111a 3＝1＋＝1＋＝，a 4＝1＋＝1＋＝，1a 212321a 32353a 5＝1＋＝1＋＝.1a 43585要点二　由递推公式求通项例2　已知数列{a n }满足：a 1＝1,2n －1a n ＝a n －1(n ∈N ，n ≥2)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)这个数列从第几项开始及其以后各项均小于？11 000解　(1)a n ＝··…···a 1anan －1an －1an －2a 3a 2a 2a 1＝()n －1·()n －2·…·()2·()1·112121212＝()1＋2＋…＋(n －1)＝，1221)(21n n -⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∴a n ＝.21)(21n n -⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛(2)∵b n ＝＝(n －)2－，(n －1)n 2121218∴n ∈N ＋时，b n 递增，即{a n }为递减数列，∴当n ≤4时，≤6，a n ＝≥，(n －1)n221)(21n n -⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛164当n ≥5时，≥10，a n ＝≤.(n －1)n 221)(21nn -⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛11 024∴从第5项开始各项均小于.11 000规律方法　由递推公式求通项公式的技巧(1)由数列的递推公式求通项公式是数列的重要问题之一，是高考考查的热点，累加法、累乘法、迭代法是解决这类问题的常用技巧．(2)当a n －a n －1＝f (n )且满足一定条件时，常用a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1来求a n .(3)当＝f (n )且满足一定条件时，常用a n ＝··…···a 1来求a n .an an －1an an －1an －1an －2a 3a 2a 2a 1跟踪演练2　已知数列{a n }，a 1＝1，以后各项由a n ＝a n －1＋(n ≥2)给出．1n (n －1)(1)写出数列{a n }的前5项；(2)求数列{a n }的通项公式．解　(1)a 1＝1；a 2＝a 1＋＝；a 3＝a 2＋＝；12×13213×253a 4＝a 3＋＝；a 5＝a 4＋＝.14×37415×495(2)由a n ＝a n －1＋得a n －a n －1＝(n ≥2)，1n (n －1)1n (n －1)∴a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 3－a 2)＋(a 2－a 1)＋a 1＝＋＋…＋＋＋11n (n －1)1(n －1)(n －2)13×212×1＝(－)＋(－)＋…＋(－)＋(1－)＋11n －11n 1n －21n －1121312＝－＋1＋1＝2－＝(n ∈N ＋)．1n 1n 2n －1n 要点三　数列与函数的综合应用例3　f (x )＝log 2x －(0<x <1)，且数列{a n }满足f ()＝2n (n ∈N ＋)．2log2x n a 2(1)求数列{a n }的通项公式；(2)判断数列{a n }的增减性．解　(1)∵f (x )＝log 2x －，又∵f ()＝2nm ，2log2x n a 2∴log 2－＝2n ，即a n －＝2n .n a 22log22an 整理得a －2na n －2＝0，∴a n ＝n ±.2n n 2＋2又0<x <1，故0<<1，于是a n <0，n a2∴a n ＝n －(n ∈N ＋)．n 2＋2(2)＝an ＋1an (n ＋1)－(n ＋1)2＋2n －n 2＋2＝<1.n ＋n 2＋2(n ＋1)＋(n ＋1)2＋2∵a n <0，∴a n ＋1>a n ，∴数列{a n }是递增数列．规律方法　数列是一类特殊的函数，用函数与方程的思想处理数列问题．在判断数列{a n }的单调性时，可以用作差法或作商法．跟踪演练3　函数f (n )＝Error!数列{a n }的通项a n ＝f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2n )(n ∈N ＋)．(1)求a 1，a 2，a 4的值；(2)写出a n 与a n －1的一个递推关系式(注：1＋3＋5＋…＋(2n －1)＝4n －1)．解　(1)a 1＝f (1)＋f (2)＝f (1)＋f (1)＝2.a 2＝f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝f (1)＋f (3)＋f (1)＋f (2)＝1＋3＋a 1＝6.a 4＝f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (16)＝86.(2)a n －1＝f (1)＋f (2)＋…＋f (2n －1)，a n ＝f (1)＋f (2)＋…＋f (2n )，＝f (1)＋f (3)＋f (5)＋…＋f (2n －1)＋f (2)＋f (4)＋f (6)＋…＋f (2n )＝1＋3＋5＋…＋(2n －1)＋f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2n －1)，∴a n ＝a n －1＋4n －1(n ≥2).1．数列1,3,6,10,15，…的递推公式是( )A ．a n ＋1＝a n ＋n ，n ∈N ＋B ．a n ＝a n －1＋n ，n ∈N ＋，n ≥2C ．a n ＋1＝a n ＋(n ＋1)，n ∈N ＋，n ≥2D ．a n ＝a n －1＋(n －1)，n ∈N ＋，n ≥2答案　B2．已知数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1－a n ＋1＝0(n ∈N ＋)，则此数列的通项a n 等于( )A ．n 2＋1B ．n ＋1C ．1－nD ．3－n答案　D解析　∵a n ＋1－a n ＝－1.∴a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝2＋(－1)＋(－1)＋…＋(－1)＝2＋(－1)×(n －1)＝3－n .3．用火柴棒按下图的方法搭三角形：按图示的规律搭下去，则所用火柴棒数a n 与所搭三角形的个数n 之间的关系式可以是________．答案　a n ＝2n ＋1解析　a 1＝3，a 2＝3＋2＝5，a 3＝3＋2＋2＝7，a 4＝3＋2＋2＋2＝9，…，∴a n ＝2n ＋1.4．已知：数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝a nnn ＋1(1)写出数列的前5项；(2)猜想数列{a n }的通项公式．解　(1)a 1＝1，a 2＝×1＝，a 3＝×＝，a 4＝×＝，a 5＝×＝.11＋11221＋2121331＋3131441＋41415(2)猜想：a n ＝.1n 1．递推公式的理解与应用(1)与所有的数列不一定都有通项公式一样，并不是所有的数列都有递推公式．(2)递推公式也是给出数列的一种重要方法，递推公式和通项公式一样都是关于项数n 的恒等式，如果用符合要求的正整数依次去替换n ，就可以求出数列的各项．(3)递推公式通过赋值逐项求出数列的项，直至求出数列的任何一项和所需的项．(4)运用递推法给出数列，不容易了解数列的全貌，计算也不方便，所以我们经常用它得出数列的通项公式或者得到一个特殊数列，比如具有周期性质的数列．2．数列的通项公式与递推公式的作用和联系通项公式递推公式作用通项公式是给出数列的主要形式，由通项公式可求出数列的各项及指定项，也可以解决数列的性质问题(如增减性，最值等).数列的递推公式是给出数列的另一重要形式．由递推公式可以依次求出数列的各项.联系数列的通项公式与递推公式有时可以相互转化，如数列1,3,5，…，2n －1，…的一个通项公式为a n ＝2n －1(n ∈N ＋)，用递推公式表示为a 1＝1，a n ＝a n －1＋2(n ≥2，n ∈N ＋).。

2.1.2 数列的递推公式(选学)一、基础过关1．已知数列{a n }的首项为a 1＝1，且满足a n ＋1＝12a n ＋12n ，则此数列的第4项是( ) A ．1 B.12 C.34 D.582．数列{a n }中，a 1＝1，对所有的n ≥2，都有a 1·a 2·a 3·…·a n ＝n 2，则a 3＋a 5等于( )A.259B.2516C.6116D.31153．若a 1＝1，a n ＋1＝a n 3a n ＋1，则给出的数列{a n }的第7项是 ( ) A.116 B.117 C.119 D.1254．由1,3,5，…，2n －1，…构成数列{a n }，数列{b n }满足b 1＝2，当n ≥2时，b n ＝ab n －1，则b 6的值是( ) A ．9 B ．17 C ．33 D ．655．已知数列{a n }满足a n ＋1＝⎩⎨⎧ 2a n ⎝⎛⎭⎫0≤a n <12，2a n －1 ⎝⎛⎭⎫12≤a n <1.若a 1＝67，则a 2 013的值为( ) A.67 B.57 C.37 D.176．已知数列{a n }满足a 1＝12，a n a n －1＝a n －1－a n ，则数列{a n }的通项公式是__________． 7．已知数列{a n }满足a 1＝－1，a n ＋1＝a n ＋1n (n ＋1)，n ∈N *，求通项公式a n . 8．在数列{a n }中，a 1＝12，a n ＝1－1a n －1(n ≥2，n ∈N *)． (1)求证：a n ＋3＝a n ； (2)求a 2 012.二、能力提升9．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋ln ⎝⎛⎭⎫1＋1n ，则a n 等于 ( )A ．2＋ln nB ．2＋(n －1)ln nC ．2＋n ln nD ．1＋n ＋ln n 10．设{a n }是首项为1的正项数列，且(n ＋1)a 2n ＋1－na 2n ＋a n ＋1a n ＝0(n ＝1,2,3，…)，则它的通项公式是________．11．已知数列{a n }中，a 4＝18，a n ＝a n －12a n －1＋1(n ≥2)． (1)证明：1a n ＝1a n －1＋2(n ≥2)，并求出a 1的值； (2)求出数列{a n }的通项a n .12．某餐厅供应1 000名学生用餐，每星期一有A 、B 两种菜可供选择，调查资料显示星期一选A 菜的学生中有20%在下周一选B 菜，而选B 菜的学生中有30%在下周一选A 菜，用A n 、B n 分别表示在第n 个星期一选A 菜、B 菜的学生数，试写出A n 与A n －1的关系及B n 与B n －1的关系．三、探究与拓展13．在一次珠宝展览会上，某商家展出一套珠宝首饰，第一件首饰是1颗珠宝，第二件首饰是由6颗珠宝(图中圆圈表示珠宝)构成如图1所示的正六边形，第三件首饰如图2，第四件首饰如图3，第五件首饰如图4，以后每件首饰都在前一件上按照这种规律增加一定数量的珠宝，使它构成更大的正六边形，设第n 件首饰所用珠宝数为f (n )．(1)求f (n ＋1)－f (n )的值；(2)求f (n )．(提示：1＋2＋3＋…＋(n －1)＝n (n －1)2)答案1．B 2.C 3.C 4.C 5．C6．a n ＝1n ＋17．解 ∵a n ＋1－a n ＝1n (n ＋1)， ∴a 2－a 1＝11×2； a 3－a 2＝12×3； a 4－a 3＝13×4； … …a n －a n －1＝1(n －1)n； 以上各式累加得，a n －a 1＝11×2＋12×3＋…＋1(n －1)n＝1－12＋12－13＋…＋1n －1－1n＝1－1n. ∴a n ＋1＝1－1n ，∴a n ＝－1n. 8．(1)证明 a n ＋3＝1－1a n ＋2＝1－11－1a n ＋1＝1－11－11－1a n ＝1－11－1a n －1a n＝1－11－a n a n －1＝1－1a n －1－a n a n －1＝1－1－1a n －1＝1－(1－a n )＝a n . ∴a n ＋3＝a n .(2)解 由(1)知数列{a n }的周期T ＝3，a 1＝12，a 2＝－1，a 3＝2. 又∵a 2 012＝a 3×670＋2＝a 2＝－1.∴a 2 012＝－1.9．A [∵a n ＋1＝a n ＋ln ⎝⎛⎭⎫1＋1n ， ∴a n ＋1－a n ＝ln ⎝⎛⎭⎫1＋1n ＝ln n ＋1n＝ln(n ＋1)－ln n ．又a 1＝2，∴a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋(a 4－a 3)＋…＋(a n －a n －1)＝2＋[ln 2－ln 1＋ln 3－ln 2＋ln 4－ln 3＋…＋ln n －ln(n －1)]＝2＋ln n －ln 1＝2＋ln n ．]10．a n ＝1n11．(1)证明 ∵a n ＝a n －12a n －1＋1(n ≥2) ∴1a n ＝2a n －1＋1a n －1， ∴1a n ＝1a n －1＋2 ∴1a 4＝1a 1＋⎝⎛⎭⎫1a 2－1a 1＋⎝⎛⎭⎫1a 3－1a 2＋⎝⎛⎭⎫1a 4－1a 3 ＝1a 1＋3×2＝8. ∴1a 1＝2，∴a 1＝12. (2)解 由(1)知1a n ＝1a 1＋⎝⎛⎭⎫1a 2－1a 1＋⎝⎛⎭⎫1a 3－1a 2＋…＋⎝⎛⎭⎪⎫1a n －1a n －1， ∴1a n＝2＋2＋2＋…＋2(n －1)个2 ∴1a n ＝2n ，∴a n ＝12n，n ∈N ＋. 12．解 由题意知：⎩⎪⎨⎪⎧ A n ＋B n ＝1 000A n ＝0.8A n －1＋0.3Bn －1B n ＝0.2A n －1＋0.7B n －1由A n －1＋B n －1＝1 000，得B n －1＝1 000－A n －1.所以A n ＝0.8A n －1＋0.3(1 000－A n －1)＝0.5A n －1＋300.同理，B n ＝0.2(1 000－B n －1)＋0.7B n －1＝0.5B n －1＋200.13．解 (1)珠宝的数目依次是：f (1)＝1，f (2)＝1＋5，f (3)＝1＋5＋9，f (4)＝1＋5＋9＋13，f (5)＝1＋5＋9＋13＋17，…，∴f (2)－f (1)＝5，f (3)－f (2)＝9，f (4)－f (3)＝13，f (5)－f (4)＝17，…，∴f (n ＋1)－f (n )＝4n ＋1.(2)由(1)知f (n ＋1)－f (n )＝4n ＋1.∴f (n )＝f (1)＋[f (2)－f (1)]＋[f (3)－f (2)]＋…＋[f (n )－f (n －1)]＝1＋(4×1＋1)＋(4×2＋1)＋(4×3＋1)＋…＋4(n －1)＋1＝n ＋4[1＋2＋3＋…＋(n －1)]＝n ＋4×n ×(n －1)2＝n ＋2n (n －1)＝2n 2－n .。

2.1.2数列的递推公式(选学)自主学习知识梳理定义不同点相同点通项公式如果数列{a n}的第n项a n与项数n之间的关系可用一个函数式a n＝f(n)来表示，则这个公式称为{a n}的通项公式给出n的值，可求出{a n}的第n项a n可确定一个数列；可求出数列中任意一项递推公式如果已知数列{a n}的第一项(或前几项)，且从第二项(或某一项)开始的任一项a n与前一项a n－1(或前几项)之间的关系可用一个公式来表示，则这个公式叫做{a n}的递推公式由第一项(或前几项)的值，经过一次(或多次)运算，逐项地求出a n(1)累加法：a n＋1＝a n＋f(n) (f(n)可求和)a n＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(a n－a n－1)＝a1＋f(1)＋f(2)＋…＋f(n－1)．(2)累乘法：a n＋1＝a n·f(n) (f(n)为含n的代数式)a n＝a1·a2a1·a3a2·…·a na n－1＝a1·f(1)·f(2)·…·f(n－1)．3．数列{a n}的通项a n与其前n项和S n之间的关系是：当n＝1时，a1＝S1，当n≥2时，a n＝S n－S n－1.4．S n与a n的混合关系式有两个思路(1)消去S n，转化为a n的递推关系式，再求a n；(2)消去a n，转化为S n的递推关系式，求出S n后，再求a n.自主探究1．已知数列{a n}，a1＝2，a n＋1＝a n＋2，试用累加法推导{a n}的通项公式．2．已知数列{a n}，a1＝2，a n＋1＝2a n，试用累乘法推导{a n}的通项公式．对点讲练知识点一利用累加法求通项公式例1已知：a1＝1，a n＋1＝a n＋(2n＋1)，求a n.总结 形如a n ＋1＝a n ＋f (n )的递推数列，常用累加法求其通项公式，关键是不断变换递推公式中的“下标”．变式训练1 已知数列{a n }，a 1＝1，以后各项由a n ＋1＝a n ＋1n (n ＋1)给出，试用累加法求通项公式a n .(提示：1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1)．知识点二 利用累乘法求通项公式例2 已知：a 1＝1，a n ＋1＝2n ·a n ，求a n .总结 形如a n ＋1＝a n f (n )的递推数列，常用累乘法求其通项公式． 变式训练2 已知数列{a n }的前n 项和S n 满足：S n ＝n 2a n ，且a 1＝1，求{a n }的通项公式．知识点三 由实际问题提炼出递推公式例3 某县位于沙漠地带，人与自然长期进行着顽强的斗争，到2010年底全县的绿化率已达30%.从2011年开始，每年将出现这样的局面，即原有沙漠面积的16%将被绿化，与此同时，由于各种原因，原有绿化面积的4%又被沙化．设全县面积为1,2010年底绿化面积为a 1＝310，经过n 年绿化总面积为a n ＋1.求证：a n ＋1＝425＋45a n .总结 在实际问题中，若题目条件给出的是相邻年份的数量关系时，可以考虑构建递推数列模型．变式训练3 在一次珠宝展览会上，某商家展出一套珠宝首饰，第一件首饰是1颗珠宝，第二件首饰是由6颗珠宝(图中圆圈表示珠宝)构成如图1所示的正六边形，第三件首饰如图2，第四件首饰如图3，第五件首饰如图4，以后每件首饰都在前一件上按照这种规律增加一定数量的珠宝，使它构成更大的正六边形，设第n 件首饰所用珠宝数为f (n )，求f (n ＋1)－f (n )的值．1．数列的递推公式是给出数列的另一重要形式，一般地，只要给出数列的首项或前几项以及数列的相邻两项或几项之间的运算关系，就可以依次求出数列的各项．2．由数列的递推公式求通项公式是数列的重要问题之一，是高考考查的热点，累加法、累乘法是解决这类问题的常用技巧.课时作业一、选择题1．数列{a n }满足a n ＋1＝a n ＋n ，且a 1＝1，则a 5的值为( ) A ．9 B ．10 C ．11 D ．122．已知数列{a n }的首项为a 1＝1，且满足a n ＋1＝12a n ＋12n ，则此数列的第4项是( )A.516B.12C.34D.583．已知数列{a n }满足a 1＝12，a n a n －1＝a n ＋a n －1，则这个数列的第5项是( )A ．1 B.12 C.34 D.58.4．已知数列{a n }对任意的p ，q ∈N *满足a p ＋q ＝a p ＋a q ，且a 2＝－6，那么a 10等于( ) A ．－165 B ．－33 C ．－30 D ．－215．在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋2n －1，求出a 2，a 3，a 4后，归纳猜想a n 的表达式为( )A ．3n －2B ．n 2－2n ＋2C ．3n －1 D ．4n －3 二、填空题6．数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1a n ＝a 2n＋(－1)n ＋1 (n ∈N *)，则a 4a 2＝________. 7．数列{a n }中，a 1＝3，a 2＝7，当n ≥1时，a n ＋2等于a n a n ＋1的个位数，则该数列的第2 010项是______．三、解答题8．函数f (n )＝⎩⎪⎨⎪⎧n (n 为奇数)f ⎝⎛⎭⎫n 2 (n 为偶数).数列{a n }的通项a n ＝f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2n ) (n ∈N *)．(1)求a 1，a 2，a 4的值；(2)写出a n 与a n －1的一个递推关系式．(注：1＋3＋5＋…(2n －1)＝4n －1)9．某餐厅供应1 000名学生用餐，每星期一有A 、B 两种菜可供选择，调查资料显示星期一选A 菜的学生中有20%在下周一选B 菜，而选B 菜的学生中有30%在下周一选A 菜，用A n 、B n 分别表示在第n 个星期一选A 菜、B 菜的学生数，试写出A n 与A n －1的关系及B n 与B n －1的关系．2．1.2 数列的递推公式(选学)自主探究1．解 ∵a n ＋1－a n ＝2∴⎭⎪⎬⎪⎫a 2－a 1＝2a 3－a 2＝2……a n －a n －1＝2(n －1)个式子相加得： a n －a 1＝2(n －1)，∴a n ＝a 1＋2(n －1)＝2n 或a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1) ＝2＋2(n －1)＝2n .2．解 ∵a n ＋1a n＝2∴⎭⎪⎬⎪⎫a 2a 1＝2a 3a 2＝2……an an －1＝2(n －1)个式子相乘得：a n a 1＝2n －1，∴a n ＝a 1·2n －1＝2n 或a n ＝a 1·a 2a 1·a 3a 2·…·a n a n －1＝a 1·2n －1＝2n .对点讲练例1 解 ∵a n ＋1－a n ＝2n ＋1，∴a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝1＋3＋5＋…＋(2n －1)＝[1＋(2n －1)]×n2＝n 2.变式训练1 解 ∵a n ＋1－a n ＝1n (n ＋1)，∴a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝1＋11×2＋12×3＋…＋1(n －1)n＝1＋⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋…＋⎝⎛⎭⎫1n －1－1n ＝2－1n . 例2 解 ∵a n ＋1a n＝2n，∴a n ＝a 1·a 2a 1·a 3a 2·…·a n a n －1＝1·21·22·…·2n －1＝21＋2＋3＋…＋(n －1)＝2[1＋(n －1)]×⎝⎛⎭⎫n －12 ＝2n 2－n 2.变式训练2 解 ∵S n ＝n 2a n ，∴S n ＋1＝(n ＋1)2a n ＋1 ∴S n ＋1－S n ＝(n ＋1)2a n ＋1－n 2a n∴a n ＋1＝(n ＋1)2a n ＋1－n 2a n ∴(n 2＋2n )a n ＋1＝n 2a n∴(n ＋2)a n ＋1＝na n .∴a n ＋1a n ＝nn ＋2.∴a n ＝a 1·a 2a 1·a 3a 2·…·a n －2a n －3·a n －1a n －2·a n a n －1＝1·13·24·35·…·n －3n －1·n －2n ·n －1n ＋1＝2n (n ＋1).例3 证明 由已知可得a n 确定后，a n ＋1表示如下： a n ＋1＝a n ·(1－4%)＋(1－a n )·16%，即a n ＋1＝80%a n ＋16%＝45a n ＋425.变式训练3 解 珠宝的数目依次是： f (1)＝1，f (2)＝1＋5，f (3)＝1＋5＋9，f (4)＝1＋5＋9＋13，f (5)＝1＋5＋9＋13＋17，…， ∴f (2)－f (1)＝5，f (3)－f (2)＝9，f (4)－f (3)＝13， f (5)－f (4)＝17，…，∴f (n ＋1)－f (n )＝4n ＋1. 课时作业1．C [a 5＝a 4＋4＝a 3＋3＋4＝a 2＋2＋3＋4 ＝a 1＋1＋2＋3＋4＝11.]2．B [∵a 1＝1，a n ＋1＝12a n ＋12n ，∴a 2＝12×a 1＋12＝1，a 3＝12a 2＋122＝34，a 4＝12a 3＋123＝38＋18＝12.]3．B [∵a n a n －1＝a n ＋a n －1，a 1＝12∴a n ＝a n －1a n －1－1，∴a 2＝a 1a 1－1＝－1，a 3＝a 2a 2－1＝12，a 4＝－1，a 5＝12.]4．C [a 2＝a 1＋a 1＝－6，∴a 1＝－3， a 3＝a 1＋a 2＝－9，a 4＝a 2＋a 2＝－12， a 5＝a 1＋a 4＝－15，a 10＝2a 5＝－30.] 5．B [由a n ＋1＝a n ＋2n －1 a 2－a 1＝1， a 3－a 2＝3， a 4－a 3＝5 ……a n －a n －1＝2n －3.相加得a n －a 1＝1＋3＋5＋…＋(2n －3)＝(n －1)2， ∴a n ＝(n －1)2＋a 1＝n 2－2n ＋2.]6.1312解析 a 2＝2，a 3＝32，a 4a 2＝a 4a 3a 2a 3＝a 23＋1a 22－1＝1312.7．9解析 列举出数列的前9项，依次是3、7、1、7、7、9、3、7、1、7，观察发现数列具有周期性且周期为6，所以a 2 010＝a 6＝9.8．解 (1)a 1＝f (1)＋f (2)＝f (1)＋f (1)＝2. a 2＝f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝f (1)＋f (3)＋f (1)＋f (2)＝1＋3＋a 1＝6. a 4＝f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (16)＝86.(2)a n －1＝f (1)＋f (2)＋…＋f (2n －1) a n ＝f (1)＋f (2)＋…＋f (2n )＝f (1)＋f (3)＋f (5)＋…＋f (2n －1)＋f (2)＋f (4)＋f (6)＋…＋f (2n )＝1＋3＋5＋…＋(2n －1)＋f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2n －1)∴a n ＝a n －1＋4n －1 (n ≥2)．9．解 由题意知：⎩⎪⎨⎪⎧A n ＋B n ＝1 000A n ＝0.8A n －1＋0.3B n －1B n ＝0.2A n －1＋0.7B n －1由A n －1＋B n －1＝1 000，得B n －1＝1 000－A n －1.所以A n ＝0.8A n －1＋0.3(1 000－A n －1)＝0.5A n －1＋300. 同理，B n ＝0.2(1 000－B n －1)＋0.7B n －1＝0.5B n －1＋200.。

教学分析本节作为选学内容，课标对递推公式没有明确要求．考虑到它在认识数列中的作用，教材把它单列一节作为选学．实际上，递推公式作为数列的一种表示方法，有其独特的作用，高考试卷中常常见到它的踪影，因此，教学中还是把它作为必学内容对待为好．数列作为刻画自然规律的基本数学模型，教材意图是用函数的观点和递推的观点理解数列．同上节一样本节也是通过一些例子及章头前言中的事例来引入递推公式．并通过例题，让学生明确数列的递推公式应包括数列的首项和公式本身．没有首项，就没有递推的基础，没有递推公式则无法向后延续．让学生体会，给出首项和递推公式，就可唯一确定一个数列．数列的递推公式也是数列的一种表示方法，它与数列的通项公式紧密相连，但作为开始认识数列，本节不宜过分拓展，加大难度，仅限于理解递推公式的定义，并能用数列的首项和递推公式写出数列的后续各项即可．三维目标1．通过本节学习，理解数列递推公式的意义，理解递推公式与通项公式的异同．会根据数列的首项和递推公式写出数列的后续各项．2．通过探究、交流、观察、分析等教学方式，充分发挥学生的主体作用，并通过思考与讨论本章章头左图中的说明，体会数学来源于生活．3．通过对数列递推公式的探究，培养学生动手试验，大胆猜想的优秀品质，培养学生对科学的探究精神和严肃认真的态度．重点难点教学重点：理解用递推公式定义数列的方法；能用递推公式和首项写出数列的后续各项．教学难点：利用数列的递推公式和首项，猜想该数列的通项公式．课时安排1课时教学过程导入新课思路1.(章头图引入)让学生观察章头图中左图兔子的繁殖情况．假设每次生出的小兔子都是一雄一雌，并且排除兔子发生死亡的情况，这样每个月兔子的对数，依次可以排成一个数列，你能把这个数列的每一项(第一项除外)用前一项表示出来吗？由此展开新课的探究．思路2.(直接引入)我们知道数列1,2,3,4，…可用通项公式a n＝n表示．容易发现，这个数列从第2项起的任一项都可用它的前一项表示出来，即a n＝a n－1＋1(n≥2)，这就是数列的另一种表示方法，也就是今天我们探究的主要内容：递推公式．由此展开探究．推进新课新知探究提出问题(1)多媒体演示图1，是工厂生产的钢管堆放示意图，你能写出它的一个通项公式吗？你能找出它的相邻两层之间的关系吗？(2)数列{a n}的通项公式是a n＝2n.从第2项起，它的任一项与它相邻的前一项有什么关系？章头数列3，1cos cos cos…从第2项起，它的任一项与它相邻的前一项有什么关系呢？(3)怎样理解递推公式？若已知数列a n＝2a n－1＋1，你能写出这个数列吗？为什么？活动：教师用多媒体演示工厂生产的钢管堆放示意图．引导学生观察钢管堆放示意图，寻其规律，看看能否建立它的一些数学模型．由学生合作探究，必要时教师给予点拨．模型一：自上而下第1层钢管数为4，即＝1＋3；第2层钢管数为5，即＝2＋3；第3层钢管数为6，即＝3＋3；第4层钢管数为7，即＝4＋3；第5层钢管数为8，即＝5＋3；第6层钢管数为9，即＝6＋3；第7层钢管数为10，即＝7＋3.若用a n表示钢管数，n表示层数，则可得出每一层的钢管数为一数列，且a n＝n＋3(1≤n≤7)．模型二：上下层之间的关系自上而下每一层的钢管数都比上一层钢管数多1，即a1＝4；a2＝5＝4＋1＝a1＋1；a3＝6＝5＋1＝a2＋1.依此类推：a n＝a n－1＋1(2≤n≤7)．在教师的引导点拨下，学生最终能得到以上两种数学模型，教师适时给以点评．首先表扬学生的这种探究问题的精神，不怕困难敢于钻研，而且推得两个很重要的结论．对于推得的a n＝n＋3，只要将n的具体值代入，我们就会很快地求出某一层的钢管数．因为这一关系反映了每一层的钢管数与其层数之间的对应规律，这会给我们的统计与计算带来很大方便，这是由特殊到一般的数学思想方法的运用，是非常正确和成功的．对于推得a n＝a n－1＋1(2≤n≤7且n∈N*)的同学就更值得表扬，因为这是我们没有见过的，这就是创新，这就是聪明智慧的闪现．这个关系式说明：只要知道a1，则以后的每一项都等于它的前项加1，这样就可以求出第二项，以此类推即可求出其他项．这就是我们今天要探究的一个重点内容，也就是数列的另一种表示法，递推公式法．我们把数列中具有这种递推关系的式子叫做递推公式．递推公式很重要，显然教材上涉及的内容不多，但在每年的高考卷上都有所体现，应引起注意．下一节要学习的等差数列就是最简单的递推数列．引导学生给递推公式这样下定义：通过给出数列的第一项(或前若干项)，并给出数列的某一项与它的前一项(或前若干项)的关系式来表示数列，这种表示数列的式子叫做这个数列的递推公式．注意：递推公式也是给出数列的一种方法．如下列数字排列的一个数列：3,5,8,13,21,34,55,89，递推公式为a1＝3，a2＝5，a n＝a n－1＋a n－2(3≤n≤8)．掌握递推公式的关键一点是把握其中的递推关系，应特别注意探究和发现递推关系中前项和后项，或前、后几项之间的关系．有了以上探究活动，学生很容易探究出问题(2)(3)，至此，学生对数列的表示方法有了全面的理解，为数列的后续内容的学习打下了坚实的基础．讨论结果：(1)略(2)a1＝2，a n＝2a n－1(n＝2,3,4，…)；数列3，a1＝1，a n＝cos(a n－1)(n＝2,3,4，…)．(3)递推公式包括已知的第1项(或前几项)才能写出这个数列的后续各项．前者是递推的基础，后者是递推的延续．因此仅知a n＝2a n－1＋1无法写出这个数列的各项．应用示例例1已知a1＝2，a n＋1＝2a n，写出前5项，并猜想a n.活动：根据a1＝2及a n＋1＝2a n，学生很容易求出前5项，分别是2,4,8,16,32.由观察可猜想a n＝2n，这种解法在选择题或填空题中是非常有效的，但若改为求a n，这种解法则是不完整的．由a na n－1＝2，可得到以下解法：a n a n－1×a n－1a n－2×a n－2a n－3×…×a2a1＝a na1＝2n－1，∴a n＝2n.解：∵a1＝2，a n＋1＝2a n，∴a2＝2×a1＝4，a3＝2×a2＝8，a4＝2×a3＝16，a5＝2×a4＝32.∵a2＝2×2＝22，a3＝2×22＝23，a4＝16＝24，∴猜想a n＝2n.变式训练已知a1＝2，a n＋1＝a n－4，求a n.解：由a n＋1－a n＝－4依次向下写，一直到第一项，然后将它们加起来，a n－a n－1＝－4a n－1－a n－2＝－4a n－2－a n－3＝－4……＋)a2－a1＝－4a n－a1＝－4(n－1)∴a n＝2－4(n－1)．例2(教材本节例1)活动：本例由学生自己完成，并通过本例边注中的提问，让学生进一步体会数列两种表示方法的特色，用递推公式写出数列的前几项后，引导学生观察、归纳并猜想该数列的通项公式，虽有一定难度，但学生应有这个能力．教师可引导学生分析，如果不代入a1的值，由依次计算的结果可能更容易看到a n与n的函数关系：a2＝a11－a1；a3＝a11－2a1，a4＝a11－3a1，a5＝a11－4a1，…，a n＝a11－(n－1)·a1＝23－2n.变式训练已知数列{a n}的递推公式是a n＋2＝3a n＋1－2a n，且a1＝1，a2＝3.求：(1)a5；(2)127是这个数列中的第几项？解：(1)∵a1＝1，a2＝3，a n＋2＝3a n＋1－2a n，∴a3＝3a2－2a1＝7，a4＝3a3－2a2＝15，a5＝3a4－2a3＝31.(2)由递推公式，可得a6＝3a5－2a4＝63，a7＝3a6－2a5＝127，∴127是此数列的第7项．例3(教材本节例2)活动：本例为数列这一大节的最后一个教材例题，具有一定的综合性，难度较大．要求学生有较坚实的数形结合基础和解题能力．这种解题的综合能力，要努力去训练，学生才能掌握．具体讲解时，可把P1，P2，P3的坐标都写出来让学生观察发现a n与a n＋1间的关系．变式训练在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋ln(1＋1n)，则a n 等于( ) A ．2＋lnn B ．2＋(n －1)lnnC ．2＋nlnnD ．1＋n ＋lnn答案：A解析：方法一，由a 2＝a 1＋ln2＝2＋ln2，排除C 、D ；由a 3＝a 2＋ln(1＋12)＝2＋ln3，排除B.故选A. 方法二，由已知，a n ＋1－a n ＝lnn ＋1n ，a 1＝2， ∴a n －a n －1＝lnn n －1，a n －1－a n －2＝ln n －1n －2， …a 2－a 1＝ln 21， 将以上n －1个式子累加得a n －a 1＝lnn n －1＋ln n －1n －2＋…＋ln 21 ＝ln(n n －1·n －1n －2·…·21)＝lnn ， ∴a n ＝2＋lnn.例4如图甲是第七届国际数学教育大会的会徽，会徽的主体图案是由如图乙所示的一连串直角三角形演化而成，其中OA 1＝A 1A 2＝A 2A 3＝…＝A 7A 8＝1，记OA 1，OA 2，OA 3，…，OA 7，OA 8的长度所在的数列为{l n }(n ∈N *,1≤n ≤8)．甲乙(1)写出数列的前4项；(2)写出数列{l n }的一个递推关系式；(3)求{l n }的通项公式；(4)如果把图中的三角形继续作下去，那么OA 9，OA 2 007的长度分别是多少？活动：本例虽然题干看起来很繁杂，但难度并不大，可让学生独立探究解决，学生充分理解题意后会很快完成第(1)问，关于递推公式，教师可点拨学生递推公式的关键是递推关系，也就是前项和后项的关系，这是递推公式的核心所在．教师可借此进一步向学生点拨：①数列的递推公式是由初始值和相邻几项的递推关系确定的，如果只有递推关系而无初始值，那么这个数列是不能确定的．②递推公式是给出数列的一种方法，由递推公式可能求出数列的通项公式，也可能求不出通项公式． 解：(1)l 1＝OA 1＝1，l 2＝OA 2＝2，l 3＝OA 3＝3，l 4＝OA 4＝2.(2)通过观察图形，可知：OA n ＋1，OA n,1组成直角三角形，而OA n ＋1＝l n ＋1，OA n ＝l n .∴由勾股定理可得l 2n ＋1＝l 2n ＋1(n ∈N *,1≤n ≤8)．(3)l n ＝n.(4)OA 9＝l 9＝3，OA 2 007＝ 2 007＝3223.点评：递推关系在教材上的要求并不高，仅是明了递推公式是数列的一种表示方法，并能根据给出的数列递推公式写出其中的几项，对繁难复杂的递推公式，如3项或2项以上的递推公式不作要求．知能训练1．若数列{a n }前n 项的值各异，且a n ＋8＝a n 对任意的n ∈N *都成立，则下列数列中可取遍{a n }的前8项值的数列为( )A ．{a 2n ＋1}B ．{a 3n ＋1}C ．{a 4n ＋1}D ．{a 6n ＋1}2．已知a n ＝a n －2＋a n －1(n ≥3)，a 1＝1，a 2＝2，b n ＝a n a n ＋1，则数列{b n }的前4项依次是__________． 答案：1．B 解析：取k ＝0,1,2，…，8验证，周期为8.2．前4项依次是12，23，35，58. 课堂小结1．先由学生自己总结归纳本节课所学到的数学知识，即数列的简单表示法：通项公式、列表法、图象法、简单的递推公式法．探求和发展了数列的各项之间的关系及其规律，并用合适的表示法来表示这种规律．2．教师强调，通过例题进一步明确了数列的图象是一些离散的点，并通过实际例子探究出数列的递推公式．由于教材内容对此要求不高，因此我们在例题或习题的难度上作了严格的控制，但要熟悉常用的基本方法．作业课本本节习题2—1 A 组7、8；习题2—1 B 组4，第5题选做．设计感想本教案设计遵循生活是源，数学是流的规律，对数学概念的探究都是在日常生活实例的背景下进行的．如递推数列是通过工厂堆放的钢管数呈现的．目的是让学生感受到数学离不开生活，生活离不开数学．本教案设计思路体现了新课程理念，遵循学生的认知规律，让学生自主学习，经历数学活动，体验数学过程，以活泼、清新、富于理性思维的内容参与教学，拓展空间，激活思维．同时使学生借助递推思想，有效提高学生分析问题、解决问题的能力，培养学生严密的思维习惯，促进个性品质的良好发展．本教案设计力图展示：教为主导，学为主体，思维训练为主线的教学理念．数学课堂的最后呈现标准不是学生成为解题能手，成为听话的乖绵羊，而是让学生体会到数学的实用价值，一种文化价值．当你醉心于数学课堂时，数学课堂便呈现给你一种美景：那就是活生生的数学，那就是内在神奇而奥妙，外在冷傲而绝美，由大自然抽象出来的自然科学的皇后——数学．备课资料一、探究求数列通项公式的方法求通项公式是学习数列的一个难点，由于求通项公式时需用到多种数学思想方法，因此求解过程中往往方法多，灵活性大，技巧性强，为了学生课余时间进一步探究，现举几例，以供参考．1．观察法已知数列前若干项，求该数列的通项时，一般对所给的项观察分析，寻找规律，从而根据规律写出此数列的一个通项．【例1】 已知数列12，14，－58，1316，－2932，6164，…，写出此数列的一个通项公式． 解：观察数列前若干项可得通项公式为a n ＝(－1)n 2n －32n. 2．公式法已知数列的前n 项和求通项时，通常用公式a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2.用此公式时要注意结论有两种可能，一种是“一分为二”，即分段式；另一种是“合二为一”，即a 1和a n 合为一个表达式．【例2】 已知数列{a n }的前n 项和S n 满足log 2(S n ＋1)＝n ＋1，求此数列的通项公式．解：由条件可得S n ＝2n ＋1－1， 当n ＝1时，a 1＝3，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n ＋1－2n ＝2n . 所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3，n ＝1，2n ，n ≥2. 3．累差迭加法若数列{a n }满足a n ＋1＝a n ＋f(n)的递推式，其中f(n)又是等差数列或等比数列，则可用累差迭加法求通项．【例3】 已知数列6,9,14,21,30，…，求此数列的通项．解：∵a 2－a 1＝3，a 3－a 2＝5，a 4－a 3＝7，…，a n －a n －1＝2n －1，各式相加得a n －a 1＝3＋5＋7＋…＋(2n －1)，∴a n ＝n 2＋5(n ∈N )．4．连乘法若数列{a n }能写成a n ＝a n －1f(n)(n ≥2)的形式，则可由a n ＝a n －1f(n)，a n －1＝a n －2f(n －1)，a n －2＝a n －3f(n －2)，…，a 2＝a 1f(2)连乘求得通项公式．【例4】 已知数列{a n }满足a 1＝1，S n ＝(n ＋1)a n 2(n ∈N )，求{a n }的通项公式． 解：∵2S n ＝(n ＋1)a n (n ∈N )，2S n －1＝na n －1(n ≥2，n ∈N )，两式相减得2a n ＝(n ＋1)a n －na n －1，∴a n a n －1＝n n －1(n ≥2，n ∈N )． 于是有a 2a 1＝21，a 3a 2＝32，a 4a 3＝43，…，a n a n －1＝n n －1(n ≥2，n ∈N )， 以上各式相乘，得a n ＝na 1＝n(n ≥2，n ∈N )．又a 1＝1，∴a n ＝n(n ∈N )．5．求解方程法若数列{a n }满足方程f(a n )＝0时，可通过解方程的思想方法求得通项公式．【例5】 已知函数f(x)＝2x －2－x ，数列{a n }满足f(log 2a n )＝－2n ，求数列{a n }的通项公式． 解：由条件f(log 2a n )＝2log 2a n －2－log 2a n ＝－2n ，即a n －1a n＝－2n. ∴a 2n ＋2na n －1＝0.又a n ＞0，∴a n ＝n 2＋1－n.6．迭代法若数列{a n }满足a n ＝f(a n －1)，则可通过迭代的方法求得通项公式．二、备用习题1．已知数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝3，a n ＝a n －1＋1a n －2(n ≥3)，则a 5等于( )A.5512B.133C ．4D ．5 2．已知数列{a n }的首项a 1＝1，且a n ＝－12a n －1(n ≥2，且n ∈N *)，则a 4等于… ( ) A ．－1 B.12 C.1724 D ．－183．设{a n }是首项为1的正项数列，且(n ＋1)a 2n ＋1－na 2n ＋a n ＋1·a n ＝0(n ∈N *)，则它的通项公式a n ＝__________.4．设数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋n ＋1，则通项a n ＝__________.5．已知a n ＝n －98n －99(n ∈N *)，则在数列{a n }中的前30项中，最大项和最小项分别是__________． 6．一只猴子爬一个8级的梯子，每次可爬一级或上跃二级，最多能上跃起三级，从地面上到最上一级，你知道这只猴子一共可以有多少种不同的爬跃方式吗？参考答案：1．A 解析：a 3＝a 2＋1a 1＝4，a 4＝a 3＋1a 2＝133，a 5＝a 4＋1a 3＝5512. 2．D 解析：a 2＝－12a 1＝－12，a 3＝－12a 2＝14，a 4＝－12a 3＝－18. 3.1n 解析：由已知可求得a 2＝12，a 3＝13，a 4＝14，由此可猜想a n ＝1n. 4.n (n ＋1)2＋1 解析：由题意得，当n ≥2时，a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝2＋(n －1)(2＋n )2＝n (n ＋1)2＋1.当n ＝1时，也符合上式．因此，a n ＝n (n ＋1)2＋1. 5．a 10，a 9 解析：a n ＝n －98n －99＝1＋99－98n －99，11 当1≤n ≤9时，99－98n －99＜0，a n 为递减函数； 当n ≥10时，99－98n －99＞0，a n 为递减函数． ∴最大项为a 10，最小项为a 9.6．解：这题是一道应用题，本题难在爬梯子有多种形式，到底是爬一级还是上跃二级等情况要分类考虑周到．爬一级梯子的方法只有一种．爬一个二级梯子的方法有两种，即一级一级爬是一种，还有一次爬二级，所以共有两种．若设爬一个n 级梯子的不同爬法有a n 种，则a n ＝a n －1＋a n －2＋a n －3(n ≥4)，则得到a 1＝1，a 2＝2，a 3＝4及a n ＝a n －1＋a n －2＋a n －3(n ≥4)，就可以求得a 8＝81.。

2.1.2 数列的递推公式(选学)学习目标 1.理解递推公式是数列的一种表示方法.2.能根据递推公式写出数列的前n 项.3.掌握由一些简单的递推公式求通项公式的方法．知识点一 递推公式思考 下图形象地用小正方形个数给出数列{a n }的前4项：那么a 2＝a 1＋______，a 3＝a 2＋______，a 4＝a 3＋____.由此猜想a n ＝a n －1＋______.梳理 思考中的数列{a n }可由⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，a n ＝a n －1＋n ，n ≥2完全确定．一般地，如果已知数列的__________(或前几项)，且从第2项(或某一项)开始的任一项a n 与它的______________(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．知识点二 递推公式与通项公式的比较思考 (1)已知⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋2，n ∈N ＋，求a 4；(2)已知a n ＝2n ，求a 4.梳理 通项公式和递推公式都是给出数列的方法．已知数列的通项公式，可以直接求出任意一项；已知递推公式，要求某一项，则必须依次求出该项前面所有的项．类型一 由数列前若干项归纳递推公式例1 已知数列{a n }的前4项依次是：13,31,49,67，试猜想a n ＋1与a n 的关系．反思与感悟 递推公式是反映数列相邻两项(或几项)间的关系的，所以寻找数列的递推关系，也常从数列相邻项有何变化着手，常考虑的变化有：数列是递增不是递减，若递增，增幅有什么规律．跟踪训练1 已知数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝3，a 3＝7，a 4＝15，试猜想{a n }的递推公式．类型二 数列的递推公式的应用命题角度1 由递推公式求前若干项例2 设数列{a n }满足⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，a n ＝1＋1a n －1n >1，n ∈N ＋写出这个数列的前5项．引申探究数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝1＋a n1－a n，求a 2 016.反思与感悟 递推公式反映的是相邻两项(或n 项)之间的关系．对于通项公式，已知n 的值即可得到相应的项；而递推公式则要已知首项(或前几项)，才可依次求得其他的项．若项数很大，则应考虑数列是否有规律性．跟踪训练2 在数列{a n }中，已知a 1＝2，a 2＝3，a n ＋2＝3a n ＋1－2a n (n ≥1)，写出此数列的前6项．命题角度2 由递推公式求通项例3 (1)对于任意数列{a n }，等式：a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝a n (n ≥2，n ∈N＋)都成立．试根据这一结论，完成问题：已知数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＋1－a n ＝2，求通项a n ；(2)若数列{a n }中各项均不为零，则有a 1·a 2a 1·a 3a 2·…·a na n －1＝a n (n ≥2，n ∈N ＋)成立．试根据这一结论，完成问题：已知数列{a n }满足：a 1＝1，a n a n －1＝n －1n(n ≥2，n ∈N ＋)，求通项a n .反思与感悟 形如a n ＋1－a n ＝f (n )的递推公式，可以利用a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝a n (n ≥2，n ∈N ＋)求通项公式；形如a n ＋1a n＝f (n )的递推公式，可以利用a 1·a 2a 1·a 3a 2·…·a na n －1＝a n (n ≥2，n ∈N ＋)求通项公式．跟踪训练3 已知数列{a n}中，a1＝1，a2＝2，a n＋2＝a n＋1－a n，试写出a3，a4，a5，a6，a7，a8，你发现数列{a n}具有怎样的规律？你能否求出该数列中的第2 016项？1．数列1,3,6,10,15，…的递推公式是( )A．a n＋1＝a n＋n，n∈N＋B．a n＝a n－1＋n，n∈N＋，n≥2C．a n＋1＝a n＋(n＋1)，n∈N＋D．a n＝a n－1＋(n－1)，n∈N＋，n≥22．已知数列{a n}满足a1＝2，a n＋1－a n＋1＝0(n∈N＋)，则此数列的通项a n等于( )A．n2＋1 B．n＋1C．1－n D．3－n3．用火柴棒按下图的方法搭三角形：按图示的规律搭下去，则所用火柴棒数a n与所搭三角形的个数n之间的关系式可以是______________．1．{a n}与a n是不同的两种表示，{a n}表示数列a1，a2，…，a n，…，是数列的一种简记形式．而a n只表示数列{a n}的第n项，a n与{a n}是“个体”与“整体”的从属关系．2．数列的表示方法：(1)图象法；(2)列表法；(3)通项公式法；(4)递推公式法．3．通项公式和递推公式的区别：通项公式直接反映a n和n之间的关系，即a n是n的函数，知道任意一个具体的n值，就可以求出该项的值a n；而递推公式则是间接反映数列的式子，它是数列任意两个(或多个)相邻项之间的推导关系，不能由n直接得出a n.答案精析问题导学 知识点一 思考 2 3 4 n 梳理 第1项 前一项a n －1 知识点二思考 (1)a 2＝a 1＋2＝4，a 3＝a 2＋2＝6，a 4＝a 3＋2＝8.(2)a 4＝2×4＝8. 题型探究 类型一例1 解 由a 2－a 1＝31－13＝18，a 3－a 2＝49－31＝18， a 4－a 3＝67－49＝18，猜想a n ＋1－a n ＝18，即a n ＋1＝a n ＋18. 跟踪训练1 解 由a 2－a 1＝3－1 ＝2＝21，a 3－a 2＝7－3＝4＝22， a 4－a 3＝15－7＝8＝23，猜想a n ＋1－a n ＝2n，n ∈N ＋. 或a 2＝2×a 1＋1，a 3＝2×a 2＋1， a 4＝2×a 3＋1.∴猜想a n ＋1＝2a n ＋1，n ∈N ＋. 类型二 命题角度1例2 解 由题意可知a 1＝1，a 2＝1＋1a 1＝2，a 3＝1＋1a 2＝32，a 4＝1＋1a 3＝53，a 5＝1＋1a 4＝1＋35＝85.引申探究解 a 2＝1＋a 11－a 1＝1＋21－2＝－3，a 3＝1＋a 21－a 2＝1－31＋3＝－12， a 4＝1＋a 31－a 3＝1－121＋12＝13，a 5＝1＋a 41－a 4＝1＋131－13＝2＝a 1.故{a n }是周期为4的数列． ∴a 2 016＝a 4×503＋4＝a 4＝13.跟踪训练2 解 a 1＝2，a 2＝3，a 3＝3a 2－2a 1＝3×3－2×2＝5， a 4＝3a 3－2a 2＝3×5－2×3＝9， a 5＝3a 4－2a 3＝3×9－2×5＝17， a 6＝3a 5－2a 4＝3×17－2×9＝33.命题角度2例3 解 (1)n ≥2时，a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝1＋2＋2＋…＋2n －个2＝2(n －1)＋1＝2n －1.a 1＝1也适合上式，所以数列{a n }的通项公式是a n ＝2n －1. (2)n ≥2时，a n ＝a 1·a 2a 1·a 3a 2·…·a na n －1＝1·12·23·…·n －1n ＝1n.a 1＝1也适合上式，所以数列{a n }的通项公式是a n ＝1n.跟踪训练3 解 a 1＝1，a 2＝2，a 3＝1，a 4＝－1，a 5＝－2， a 6＝－1，a 7＝1，a 8＝2，….发现：a n ＋6＝a n ，数列{a n }具有周期性，周期T ＝6. 证明如下：∵a n ＋2＝a n ＋1－a n ，∴a n＋3＝a n＋2－a n＋1＝(a n＋1－a n)－a n＋1＝－a n.∴a n＋6＝－a n＋3＝－(－a n)＝a n.∴数列{a n}是周期数列，且T＝6. ∴a2 016＝a335×6＋6＝a6＝－1.当堂训练1．B 2.D 3.a n＝2n＋1，n∈N＋.。

2.1.2 数列的递推公式(选学)课时目标1.了解数列的递推公式，明确递推公式与通项公式的异同.2.会根据数列的递推公式写出数列的前几项．1．如果数列{a n }的第1项或前几项已知，且从数列{a n }的第二项(或某一项)开始的任一项a n 与它的前一项a n －1(或前几项)间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子就叫做这个数列的______公式． 2．一般地，一个数列{a n }，如果从______起，每一项都大于它的前一项，即__________，那么这个数列叫做递增数列．如果从______起，每一项都小于它的前一项，即__________，那么这个数列叫做递减数列．如果数列{a n }的各项________，那么这个数列叫做常数列．一、选择题1．已知a n ＋1－a n －3＝0，则数列{a n }是( )A ．递增数列B ．递减数列C ．常数项D ．不能确定 2．数列1,3,6,10,15，…的递推公式是( ) A ．a n ＋1＝a n ＋n ，n ∈N ＋B ．a n ＝a n －1＋n ，n ∈N ＋，n ≥2C ．a n ＋1＝a n ＋(n ＋1)，n ∈N ＋，n ≥2D ．a n ＝a n －1＋(n －1)，n ∈N ＋，n ≥23．已知数列{a n }的首项为a 1＝1，且满足a n ＋1＝12a n ＋12n ，则此数列第4项是( )A ．1 B.12C.34D.584．数列{a n }中，a 1＝1，对所有的n ≥2，都有a 1·a 2·a 3…a n ＝n 2，则a 3＋a 5等于( ) A.259 B.2516 C.6116 D.31155．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n ，则a n 等于( )A ．2＋ln nB ．2＋(n －1)ln nC ．2＋n ln nD ．1＋n ＋ln n6．已知数列{a n }中，a 1＝a (a 为正常数)，a n ＋1＝－1a n ＋1(n ＝1,2,3，…)，则下列能使a n＝a 的n 的数值是( )A ．15B ．16C ．17D ．18 二、填空题7．已知数列{a n }满足：a 1＝－14，a n ＝1－1a n －1(n >1)，则a 4＝________.8．已知数列{a n }满足：a 1＝a 2＝1，a n ＋2＝a n ＋1＋a n ，(n ∈N ＋)，则使a n >100的n 的最小值是________．9．某县位于沙漠地带，人与自然长期进行着顽强的斗争，到2010年底全县的绿化率已达30%.从2011年开始，每年将出现这样的局面，即原有沙漠面积的16%将被绿化，与此同时，由于各种原因，原有绿化面积的4%又被沙化．设全县面积为1,2010年底绿化面积为a 1＝310，经过n 年绿化总面积为a n ＋1.则a n ＋1用a n 表示为________．10．已知数列{a n }满足a 1＝12，a n a n －1＝a n －1－a n ，则数列{a n }的通项公式是________．三、解答题11．在数列{a n }中，a 1＝12，a n ＝1－1a n －1(n ≥2，n ∈N ＋)．(1)求证：a n ＋3＝a n ； (2)求a 2 010.12．某餐厅供应1 000名学生用餐，每星期一有A 、B 两种菜可供选择，调查资料显示星期一选A 菜的学生中有20%在下周一选B 菜，而选B 菜的学生中有30%在下周一选A 菜，用A n 、B n 分别表示在第n 个星期一选A 菜、B 菜的学生数，试写出A n 与A n －1的关系及B n 与B n －1的关系．能力提升13．已知数列{a n }满足a 1＝－1，a n ＋1＝a n ＋1n n ＋1，n ∈N ＋，则通项公式a n ＝________.14．设{a n }是首项为1的正项数列，且(n ＋1)·a 2n ＋1－na 2n ＋a n ＋1a n ＝0(n ＝1,2,3，…)，则它的通项公式是________．1数列的递推公式是给出数列的另一种重要形式，一般地，只要给出数列的首项或前几项以及数列的相邻两项或几项之间的运算关系，就可以依次求出数列的各项． 2．由数列的递推公式求通项公式是数列的重要问题之一．①叠加法：当a n －a n －1＝f (n －1)满足一定条件时，a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝a 1＋f (1)＋f (2)＋…＋f (n －1)．②叠乘法：当a n a n －1＝f (n －1)满足一定条件时，a n ＝a 1·a 2a 1·a 3a 2·…·a na n －1＝a 1·f (1)·f (2)·…·f (n －1)．2．1.2 数列的递推公式(选学)答案知识梳理1．递推 2.第2项 a n ＋1>a n 第2项 a n ＋1<a n 都相等作业设计1．A 2.B 3.B4．C [a 1a 2a 3＝32，a 1a 2＝22，a 1a 2a 3a 4a 5＝52，a 1a 2a 3a 4＝42，则a 3＝3222＝94，a 5＝5242＝2516.故a 3＋a 5＝6116.]5．A [∵a n ＋1＝a n ＋ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n ，∴a n ＋1－a n ＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n ＝ln n ＋1n＝ln(n ＋1)－ln n .又a 1＝2，∴a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋(a 4－a 3)＋…＋(a n －a n －1)＝2＋[ln 2－ln 1＋ln 3－ln 2＋ln 4－ln 3＋…＋ln n －ln(n －1)]＝2＋ln n －ln 1＝2＋ln n ．] 6．B [a 1＝a ，a 2＝－1a ＋1，a 3＝－1a 2＋1＝－1－1a ＋1＋1＝－a －1a ，a 4＝－1a 3＋1＝－1－a －1a＋1＝a ， a 5＝－1a 4＋1＝－1a ＋1，…….∴a 4＝a 1，a 5＝a 2，…依次类推可得：a n ＋3＝a n ， ∴{a n }为周期数列，周期为3. ∵a 1＝a ，∴a 3k ＋1＝a 1＝a .] 7．－148．129．a n ＋1＝45a n ＋425解析 由已知可得a n 确定后，a n ＋1表示如下：a n ＋1＝a n ·(1－4%)＋(1－a n )·16%， 即a n ＋1＝80%a n ＋16%＝45a n ＋425.10．a n ＝1n ＋1解析 ∵a n a n －1＝a n －1－a n ，∴1a n －1a n －1＝1.∴1a n ＝1a 1＋(1a 2－1a 1)＋(1a 3－1a 2)＋…＋(1a n －1a n －1)＝2＋1＋1＋…＋1n －1个1＝n ＋1.∴1a n ＝n ＋1，∴a n ＝1n ＋1. 11．(1)证明 a n ＋3＝1－1a n ＋2＝1－11－1a n ＋1＝1－11－11－1a n＝1－11－a n a n －1＝1－1a n －1－a na n －1＝1－1－1a n －1＝1－(1－a n )＝a n . ∴a n ＋3＝a n .(2)解 由(1)知数列{a n }的周期T ＝3，a 1＝12，a 2＝－1，a 3＝2.又∵a 2 010＝a 3×670＝a 3＝2，∴a 2 010＝2.12．解 由题意知：⎩⎪⎨⎪⎧A n ＋B n ＝1 000，A n ＝0.8A n －1＋0.3B n －1，B n ＝0.2A n －1＋0.7B n －1.由A n －1＋B n －1＝1 000，得B n －1＝1 000－A n －1.所以A n ＝0.8A n －1＋0.3×(1 000－A n －1)＝0.5A n －1＋300. 同理，B n ＝0.2×(1 000－B n －1)＋0.7B n －1＝0.5B n －1＋200. 13．－1n解析 ∵a n ＋1－a n ＝1nn ＋1， ∴a 2－a 1＝11×2；a 3－a 2＝12×3； a 4－a 3＝13×4； … …a n －a n －1＝1n －1n；以上各式累加得，a n －a 1＝11×2＋12×3＋…＋1n －1n ＝1－12＋12－13＋…＋1n －1－1n＝1－1n.∴a n ＋1＝1－1n ，∴a n ＝－1n.14．a n ＝1n解析 ∵(n ＋1)a 2n ＋1－na 2n ＋a n a n ＋1＝0， ∴[(n ＋1)a n ＋1－na n ]·(a n ＋1＋a n )＝0， ∵a n >0，∴a n ＋a n ＋1>0， ∴(n ＋1)a n ＋1－na n ＝0. 方法一a n ＋1a n ＝n n ＋1. ∴a 2a 1·a 3a 2·a 4a 3·a 5a 4·…·a n a n －1＝12·23·34·45·…·n －1n， ∴a n a 1＝1n.又∵a 1＝1，∴a n ＝1n a 1＝1n.方法二 (n ＋1)a n ＋1－na n ＝0，∴na n ＝(n －1)a n －1＝…＝1×a 1＝1， ∴na n ＝1，a n ＝1n.。

数列的递推公式（选学）课堂探究一、通项公式与递推公式剖析：递推公式是：已知数列{}的第项(或前几项)，且从第二项(或某一项)开始的任一项与它的前一项－(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．通项公式是：一个数列{}的第项与项数之间的关系，如果可以用一个公式＝()来表示，我们就把这个公式叫做这个数列的通项公式．通项公式反映的是项与项数之间的关系，而递推公式反映的是相邻两项(或几项)之间的关系．对于通项公式，只要将公式中的依次取值，，，…即可得到相应的项；而递推公式则要已知首项(或前几项)，才可求得其他的项．往往我们要利用各种方法将递推公式转化为通项公式，通项公式能够更直接地研究数列．名师点拨：递推公式也是给出数列的一种重要方法，有时并不一定要知道数列的通项公式，只要知道数列的递推公式，即可解决问题，有的递推公式与通项公式之间也可以进行互化．二、教材中的“？”()你能猜想出例中这个数列的通项公式吗？剖析：数列{}的通项公式为＝．()你能比较例中与＋的大小吗？你能比较与＋的大小吗？剖析：不能比较与的大小．当为奇数时，＞；当为偶数时，＜．题型一由递推公式写出数列的项【例】在数列{}中，已知＝，＝，＋＝＋－(≥)，写出此数列的前六项．分析：通过观察，此题的递推公式是数列中相邻三项的关系式，知道前两项就可以求出后一项．解：＝，＝，＝－＝×－×＝，＝－＝×－×＝，＝－＝×－×＝，＝－＝×－×＝．反思：由递推公式写出数列的项的方法．()根据递推公式写出数列的前几项，首先要弄清楚公式中各部分的关系，依次代入计算即可；()解答这类问题时还需注意：若知道的是首项，通常将所给公式整理成用前面的项表示后面的项的形式；()若知道的是末项，通常将所给公式整理成用后面的项表示前面的项的形式．题型二由递推公式求通项公式【例】已知数列{}，＝，＝－＋(≥)．()写出数列{}的前项；()求数列{}的通项公式．分析：()中只需利用代入法依次求出，，，即可；()利用下列关系式①＝(－－)＋(－－－)＋…＋(－)＋(－)＋；②＝－进行累加与裂项相消即可求出{}的通项公式．解：()＝；＝＋＝；＝＋＝；＝＋＝；＝＋＝．()由＝－＋，得－－＝(≥)，∴＝(－－)＋(－－－)＋…＋(－)＋(－)＋＝＋＋…＋＋＋＝＋＋…＋)＋＋＝－＋＋＝－＝(∈)．反思：()根据递推公式写出数列的前几项，要弄清楚公式中各部分的关系，依次代入计算即可．另外，解答这类问题时还需注意：若知道的是首项，通常将所给公式整理成用前面的项表示后面的项的形式；若知道的是末项，通常将所给公式整理成用后面的项表示前面的项的形式．()累加法当－－＝()满足一定条件时，常用＝(－－)＋(－－－)＋…＋(－)＋累加来求通项公式．()累乘法如果递推关系可以变形为＝()·的形式，且()能够求积，则可用累乘法求数列的通项公式．题型三易错辨析【例】数列{}满足＝，以后各项由＋＝＋(－＋－)给出，写出这个数列的前项，并写出。

2.1.1 数列双基达标 限时20分钟1．下列几个结论：①数列若用图象表示，从图象上看是一群孤立的点；②数列的通项公式一定存在；③数列的通项公式的表示式是唯一的；④数列1,2,3和数列1,2,3，…是同一数列；⑤数列a ，b ，c 与数列c ，b ，a 一定不是同一数列．其中正确的是( )．A ．①②④B ．①C ．①④⑤D ．③⑤答案 B2．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2－n －50，则－8是该数列的 ( )．A ．第5项B ．第6项C ．第7项D ．非任何一项解析 n 2－n －50＝－8，得n ＝7或n ＝－6(舍)，故选C. 答案 C3．已知数列{a n }中，a n ＝2n ＋1，那么a 2n 为 ( )．A ．2n ＋1B ．4n －1C ．4n ＋1D ．4n解析 用2n 代替通项中的n ，得a 2n ＝2×(2n )＋1＝4n ＋1.答案 C4．已知数列－1,7，－13,19，…，则该数列的通项公式可以为 .解析 各项不考虑符号时相差6，又奇数项为负，故通项可写为a n ＝(－1)n·(6n －5)． 答案 a n ＝(－1)n·(6n －5)5．已知数列{a n }中，a n ＋1＝a n ＋3，则数列{a n }是________数列．(填递增，递减) 答案 递增6．已知数列的通项公式a n ＝n 2－4n －12. (1)求这个数列的第4项； (2)65是这个数列的第几项？ (3)这个数列从第几项起各项为正数？ 解 (1)a 4＝42－4×4－12＝－12.(2)∵n 2－4n －12＝65，则有n 2－4n －77＝0，解得n ＝11或n ＝－7(舍去)．∴65是这个数列的第11项． (3)由题意知：a n ≥0，即n 2－4n －12≥0， 解得：n ≥6或n ≤－2(舍去)， ∴这个数列从第7项起各项为正数．综合提高 限时25分钟7．设a n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋1n ＋3＋ (12)(n ∈N *)那么a n ＋1－a n 等于 ( )．A.12n ＋1B.12n ＋2C.12n ＋1＋12n ＋2D.12n ＋1－12n ＋2解析 ∵a n ＋1＝1n ＋2＋1n ＋3＋…＋12n ＋12n ＋1＋12n ＋2∴a n ＋1－a n ＝12n ＋1＋12n ＋2－1n ＋1＝12n ＋1－12n ＋2.答案 D8．已知数列{a n }中，a n ＝n － 2 010n － 2 011则该数列最大项是第________项( )．A ．44B ．45C ．2 010D ．2 011解析 ∵a n ＝n － 2 010n － 2 011＝1＋ 2 011－ 2 010n － 2 011∴当n > 2 011时a n >1且{a n }为递减数列． 当n < 2 011时，a n <1且{a n }为递增数列． ∴当n ＝45时，a n 取得最大值． 答案 B9．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝1n n ＋2 (n ∈N ＋)，那么1120是这个数列的第项．解析 令1n n ＋2 ＝1120得n ＝10.答案 1010．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3n －1 n 为奇数 ，2n ＋1 n 为偶数 ，则a 2＋a 3＝ .解析 2为偶数，∴a 2＝2×2＋1＝5，a 3＝3×3－1＝8 ∴a 2＋a 3＝13. 答案 1311．写出数列1，24，37，410，513，…的通项公式，并判断它的增减性．解 由于数列前n 项分子分别为1,2,3,4,5，…，因此与项的序号n 的关系可记为n ，而分母依次为1,4,7,10,13，…，与项的序号n 的关系可记为3n －2.∴数列的通项公式为a n ＝n 3n －2. 又∵a n ＋1－a n ＝n ＋13 n ＋1 －2－n3n －2＝－23n ＋1 3n －2<0，∴a n ＋1<a n ，∴数列{a n }为递减数列．12．(创新拓展)已知数列{a n }的通项公式a n ＝3n －23n ＋1.(1)求这个数列的第10项； (2)98101是不是该数列的项？ (3)判断数列{a n }的单调性，并求数列的最大、最小项． 解 (1)由a n ＝3n －23n ＋1，令n ＝10，得a 10＝3×10－23×10＋1＝2831.(2)令3n －23n ＋1＝98101，得：9n ＝300，∴n ＝1003，由于n 不是正整数，因此，98101不是该数列的项．(3)由于a n ＝3n －23n ＋1＝3n ＋1－33n ＋1＝1－33n ＋1，则a n ＋1－a n ＝1－33n ＋4－(1－33n ＋1) ＝93n ＋1 3n ＋4.又n ∈N ＋，(3n ＋1)(3n ＋4)>0， ∴a n ＋1>a n ，即数列{a n }是递增数列，所以数列中的最小项为a 1＝14，无最大项.。