人教新课标版数学高二B版必修5素材 预习学案 2.1.2数列的递推公式(选学)

高三数学数列的通项公式【教学重点】：通过学习让学生能够熟练准确的掌握通项公式的求法，并能解决实际问题。

【教学难点】：1、 如何将n+1p ()n a a f n =+转化为我们熟悉的等差和等比数列。

2、 理解和掌握n+1p ()n a a f n =+此类型的数列通项公式确定的数学思想方法。

【知识点梳理】1 数列的通项公式如果数列{a n }的第n 项a n 与n 之间的函数关系可以用一个式子a n ＝fn 来表示，那么这个公式叫 做这个数列的通项公式． 2．S n 与a n 的关系已知S n ，则a n ＝错误!在数列{a n }中，若a n 最大，则错误!若a n 最小，则 错误!3、已知()⎩⎨⎧=-=+n f a a a a n n 11求数列通项公式用累加法4、已知()⎪⎩⎪⎨⎧==+nf a a aa nn 11求数列通项公式用累乘法5、已知)(1n f pa a n n +=+求数列通项公式（1）：可转化为()()211≥-=--+n a a p a a n n n n 令n n n a a b -=+1，则}{n b 成等比数列； （2）：可转化为)(1k a p k a n n +=++，则{}k a n +为等比数列【典型例题】题型一：由数列的前几项写出数列的通项公式例1、根据下面各数列的前几项的值，写出数列的一个通项公式：()()()()().,5,0,5,0,55;,7777,777,77,74;,225,8,29,2,213;,31,15,7,3,12;,54,21,114,721 ---解析：()()()();122;3174311441-=-=-⋅-+=n n n a nn a()()()();110974;21321-=-=+n n n n a n a ()ππ21cos 52sin 55-==n a n a n n 或 点拨：（1）解决这类问题需要我们从多角度、全方位观察、广泛联系，一般要将原数列变形为基本数列或特殊数列，要熟知一些基本数列，如数列{}{}{}(){}n nn n n 1,2,1,,2-⎭⎬⎫⎩⎨⎧等. （2）归纳得出的数列的通项公式适合前几项即可，并且通项公式也不一定唯一题型二：由递推关系求通项（1）累加法：已知()⎩⎨⎧=-=+n f a a a a n n 11求数列通项公式用累加法例1 已知数列{}n a 满足11211n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。

数列的递推公式（选学）堂研究一、通 公式与 推公式解析： 推公式是：已知数列{ a n } 的第 1( 或前几 ) ，且从第二 ( 或某一 ) 开始的任一 a n 与它的前一a n － 1( 或前几 ) 的关系能够用一个公式来表示，那么 个公式就叫做 个数列的 推公式．通 公式是： 一个数列 { a n } 的第 na n 与 数 n 之 的关系， 假如能够用一个公式 a n ＝ f ( n ) 来表示，我 就把 个公式叫做 个数列的通 公式．通 公式反应的是 与 数之 的关系， 而 推公式反应的是相 两 ( 或几 ) 之 的关系．于通 公式，只需将公式中的 n 挨次取 1，2，3，⋯即可获得相 的 ；而 推公式 要已知首 ( 或前几 ) ，才可求得其余的 ． 常常我 要利用各样方法将 推公式 化 通 公式，通 公式能 更直接地研究数列．名 点 ： 推公式也是 出数列的一种重要方法， 有 其实不必定要知道数列的通 公式，只需知道数列的 推公式， 即可解决 ， 有的 推公式与通 公式之 也能够 行互化．二、教材中的“？”(1) 你能猜想出例 1 中 个数列的通 公式 ？2解析： 数列 { a n } 的通 公式a n ＝ 3－ 2n ．(2) 你能比 例2 中 a 与 an ＋ 1 的大小 ？你能比 a 与 an ＋ 2 的大小 ？nn解析： 不可以比 a n+1 与 a n 的大小．当 n 奇数 ， a n+2 ＞a n ；当 n 偶数 ， a n+2＜ a n ．型一 由 推公式写出数列的【例 1】 在数列 { a } 中，已知 a ＝ 2，a ＝3，a＝ 3a n ＋1－ 2a ( n ≥1) ，写出此数列的前六 ．n12n ＋ 2n解析：通 察， 此 的 推公式是数列中相 三 的关系式， 知道前两 就能够求出后一 ．解： a 1＝ 2，a 2＝ 3，a 3 ＝3a 2－ 2a 1＝3×3－2×2＝ 5，a 4 ＝3a 3－ 2a 2＝3×5－2×3＝ 9，a 5 ＝3a 4－ 2a 3＝3×9－2×5＝ 17，a 6 ＝3a 5－ 2a 4＝3×17－2×9＝ 33．反省： 由 推公式写出数列的 的方法．(1) 依据 推公式写出数列的前几 ，第一要弄清楚公式中各部分的关系，挨次代入 算即可；(2) 解答 需注意：若知道的是首 ，往常将所 公式整理成用前方的 表示后边的 的形式；(3) 若知道的是末 ，往常将所 公式整理成用后边的 表示前方的 的形式．型二由 推公式求通 公式【例 2】 已知数列 {a n }，1＝ 1， n ＝ n －1＋1 ( n ≥2) ．a a an ( n － 1)(1) 写出数列 { a n } 的前 5 ；(2) 求数列 { a n } 的通 公式．解析： (1) 中只需利用代入法挨次求出a 2， a 3， a 4， a 5 即可；(2) 利用以下关系式① a n ＝ ( a n － a n －1) ＋ ( a n －1－ a n －2) ＋⋯＋ ( a 3－ a 2) ＋ ( a 2－a 1) ＋ a 1；1 1 1②( － 1) ＝n － 1－ nn n行累加与裂 相消即可求出{ n } 的通 公式．a13解： (1) a 1＝1； a 2＝ a 1＋＝ ；a 3 ＝a 2＋ 1517＝ ； a 4＝ a 3＋＝ ；3×2 3 4×3 45＝ 4＋ 1 ＝ 9 ．aa5×4 51(2) 由 a n ＝ a n － 1＋ n ( n － 1) ，1得 a n － a n － 1＝ n ( n － 1) ( n ≥2) ，∴ a n ＝ ( a n － a n －1) ＋ ( a n －1－ a n －2) ＋⋯＋ ( a 3－ a 2) ＋ ( a 2－a 1) ＋ a 1＝1 ＋ 11＋ 1n ( n － ＋⋯＋＋ 11) ( n － 1)( n － 2)3×2 2×111 1 1 11＋ 1－ 1＝n － 1－n＋n － 2－n － 1 ＋⋯＋ 2－ 3 2 ＋ 111 2n － 1 ( n ∈N +) ．＝－ n ＋ 1＋ 1＝ 2－ n ＝ n反省： (1) 依据 推公式写出数列的前几 ，要弄清楚公式中各部分的关系，挨次代入算即可． 此外，解答 需注意： 若知道的是首 ，往常将所 公式整理成用前方的 表示后边的 的形式； 若知道的是末 ， 往常将所 公式整理成用后边的 表示前方的 的形式．(2) 累加法当 a n－ a n－1＝ f ( n)足必定条件，常用 a n＝( a n－ a n－1)＋( a n－1－ a n－2)＋⋯＋( a2－ a1)＋a1累加来求通公式 a n．(3)累乘法假如推关系能够形a n+1＝ g( n)· a n的形式，且g( n)能求，可用累乘法求数列的通公式．型三易辨析【例 3】数列 { a } 足a＝ 1，此后各由32出，写a ＝ a ＋ 2(2 n － 12n ＋ 22n－ 11)n1n＋1n出个数列的前 4 ，并写出其通公式．解： a1＝1， a2＝3， a3＝5， a4＝7．由此猜想，个数列是正奇数从小到大排成的，∴a n＝2n－1．因解析：猜想的其实不都是正确的，必明其正确性，如当n＝5， a5＝33，故通公式不正确．正解： a2＝a1＋2(2×13－12×12＋22×1－11)，a3＝a2＋2(2×23－12×22＋22×2－11)，a4＝a3＋2(2×33－12×32＋22×3－11)，⋯a n＝a n－1＋2[2( n－1)3－12( n－1)2＋22( n－1)－11]，以上全部式子相加得a n＝ n4－10n3＋35n2－48n＋23．3333n( n＋1)22222n( n＋1)(2 n＋1)里用了 1＋ 2＋ 3＋⋯＋ n ＝与1＋ 2 ＋ 3 ＋⋯＋n＝26。

数学人教B 必修5第二章2.1.2 数列的递推公式(选学)1．体会递推公式是数列的一种表示方法．2．理解递推公式的含义，能够根据递推公式写出数列的前几项．3．掌握由一些简单的递推公式求数列的通项公式．1．数列的递推公式如果已知数列的______(或前几项)，且从第二项(或某一项)开始的________与它的前一项________(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的______公式．(1)与所有的数列不一定都有通项公式一样，并不是所有的数列都有递推公式．(2)递推公式也是给出数列的一种重要方法．事实上，递推公式与通项公式一样，都是关于n 的恒等式，我们可用符合要求的正整数依次去替换n ，从而可以求出数列的各项．【做一做1】数列2,4,6,8,10，…的递推公式是( )．A ．a n ＝a n －1＋2(n ≥2)B ．a n ＝2a n －1(n ≥2)C ．a n ＝a n －1＋2，a 1＝2(n ≥2)D ．a n ＝2a n －1，a 1＝2(n ≥2)【做一做2－1】已知在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＝a n －1＋2(n ≥2)，则{a n }的通项公式是( )．A ．3nB ．2nC ．nD ．12n 【做一做2－2】在数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2，且a n ＋1－a n ＝1＋(－1)n (n ≥2)，则a 10＝________.一、通项公式与递推公式剖析：递推公式是：已知数列{a n }的第1项(或前几项)，且从第二项(或某一项)开始的任一项a n 与它的前一项a n －1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．通项公式是：一个数列{a n }的第n 项a n 与项数n 之间的关系，如果可以用一个公式a n ＝f (n )来表示，我们就把这个公式叫做这个数列的通项公式．通项公式反映的是项与项数之间的关系，而递推公式反映的是相邻两项(或几项)之间的关系．对于通项公式，只要将公式中的n依次取值1,2，3，…即可得到相应的项；而递推公式则要已知首项(或前几项)，才可求得其他的项．往往我们要利用各种方法将递推公式转化为通项公式，通项公式能够更直接地研究数列．递推公式也是给出数列的一种重要方法，有时并不一定要知道数列的通项公式，只要知道数列的递推公式，即可解决问题，有的递推公式与通项公式之间也可以进行互化．二、教材中的“？”(1)你能猜想出例1中这个数列的通项公式吗？剖析：数列{a n}的通项公式为a n＝23－2n.(2)你能比较例2中a n与a n＋1的大小吗？你能比较a n与a n＋2的大小吗？剖析：不能比较a n＋1与a n的大小．当n为奇数时，a n＋2＞a n；当n为偶数时，a n＋2＜a n.题型由递推公式求通项公式【例】已知数列{a n}，a1＝1，a n＝a n－1＋1n(n－1)(n≥2)．(1)写出数列{a n}的前5项；(2)求数列{a n}的通项公式．分析：(1)中只需利用代入法依次求出a2，a3，a4，a5即可；(2)利用下列关系式①a n＝(a n－a n－1)＋(a n－1－a n－2)＋…＋(a3－a2)＋(a2－a1)＋a1；②1n(n－1)＝1n－1－1n.进行累加与裂项相消即可求出{a n}的通项公式．反思：(1)根据递推公式写出数列的前几项，要弄清楚公式中各部分的关系，依次代入计算即可．另外，解答这类问题时还需注意：若知道的是首项，通常将所给公式整理成用前面的项表示后面的项的形式；若知道的是末项，通常将所给公式整理成用后面的项表示前面的项的形式．(2)累加法当a n－a n－1＝f(n)满足一定条件时，常用a n＝(a n－a n－1)＋(a n－1－a n－2)＋…＋(a2－a1)＋a1累加来求通项公式a n.1下列说法错误的是()．A．递推公式也是数列的一种表示方法B．a n＝a n－1，a1＝1(n≥2)是递推公式C．给出数列的方法只有图象法、列表法、通项公式D．a n＝2a n－1，a1＝2(n≥2)是递推公式2已知数列{a n}的首项a1＝1，且a n＝3a n－1＋1(n≥2)，则a4为()．A．13 B．15 C．30 D．403已知数列{a n }的第1项是1，第2项是2，以后各项由a n ＝a n －1＋a n －2(n ＞2)给出，则该数列的第5项等于( )．A ．6B ．7C ．8D ．94一个数列{a n }的首项a 1＝1，a 2＝2，从第二项起每一项等于它的前一项的2倍再加上后一项，请写出构成这个数列的递推公式a n ＝________________.5已知数列{a n }满足a n ＋1＋a n －1a n ＋1－a n ＋1＝n (n 为正整数)，且a 2＝6，则数列{a n }的通项公式为a n ＝________.答案：基础知识·梳理1．第1项 任一项a n a n －1 递推【做一做1】C【做一做2－1】B【做一做2－2】10 由题意，知a 10－a 9＝1＋(－1)9，a 9－a 8＝1＋(－1)8，a 8－a 7＝1＋(－1)7，…，a 3－a 2＝1＋(－1)2，累加上述各式，可得a 10－a 2＝8.又因为a 2＝2，所以a 10＝10. 典型例题·领悟【例】解：(1)a 1＝1；a 2＝a 1＋12×1＝32； a 3＝a 2＋13×2＝53；a 4＝a 3＋14×3＝74； a 5＝a 4＋15×4＝95. (2)由a n ＝a n －1＋1n (n －1)，得a n －a n －1＝1n (n －1)(n ≥2)， ∴a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 3－a 2)＋(a 2－a 1)＋a 1＝1n (n －1)＋1(n －1)(n －2)＋…＋13×2＋12×1＋1 ＝(1n －1－1n )＋(1n －2－1n －1)＋…＋(12－13)＋(1－12)＋1 ＝－1n ＋1＋1＝2－1n ＝2n －1n(n ∈N ＋)． 随堂练习·巩固1．C 通过图象、列表、通项公式我们可以确定一个数列，另外根据递推公式，并且知道数列的第一项，我们也可以确定数列，它也是给出数列的一种方法．a n ＝a n －1(n ≥2)与a n ＝2a n －1(n ≥2)，这两个关系式虽然比较特殊，但都表示的是数列中的任意项与它的前后项间的关系，且都已知a 1，所以都是递推公式．2．D 利用递推式可逐个求出a 2，a 3，a 4.3．C ∵a 1＝1，a 2＝2，a n ＝a n －1＋a n －2(n ＞2)，∴a 3＝a 2＋a 1＝2＋1＝3，a 4＝a 3＋a 2＝3＋2＝5，a 5＝a 4＋a 3＝5＋3＝8.4．2a n －1＋a n ＋1(n ≥2) 这个数列给出的方法是不同的，它是由前后项之间的关系确定的，只需要根据已知条件就可以直接列出关系式，要注意n 的取值范围．5．2n 2－n。

常见递推数列通项公式的求法一、教学设计：1、教学目标：(1)知识与技能：会根据递推公式求出数列中的项，并能运用累加、累乘、待定系数等方法求数列的通项公式。

(2)过程与方法：①复习回忆所学过的通项公式的求法，比照递推公式与通项公式区别认识到由递推公式求通项公式的重要性，引出课题。

②比照等差数列的推导总结出累加法的试用题型。

③学生分组讨论完成累乘法及待定系数法的相关题型. (3)情感、态度与价值观：①通过对数列的递推公式的分析和探究，培养学生主动探索、勇于发现的求知精神；②通过对数列递推公式和数列求和问题的分析和探究，使学生养成细心观察、认真分析、善于总结的良好思维习惯；③通过互助合作、自主探究等课堂教学方式培养学生认真参与、积极交流的主体意识。

2、教学重点、难点：教学重点：根据数列的递推关系式求通项公式。

教学难点：解题过程中方法的正确选择。

二、教学过程：〔一〕复习回忆：1、通项公式的定义及其重要作用2、学过的通项公式的几种求法3、区别递推公式与通项公式，从而引入课题（1）问题探究及新知训练：问题1:数列}{n a ，1a =1，1n a +=n a +2，求n a ?变式： 数列}{n a ，1a =1，1n a +=n a +2n ，求na ? 设计意图：通过分析发现形式类似等差数列，故想到用累加法去求解。

教师带着学生细致讲解整个解题过程。

此例题以类比的形式出现，为学生体验成功搭建了平台，学生在解决第一小题后，一鼓作气，去挑战第二小题，激发了学生的求知欲望，在步步追寻中，学生自己解题，自己总结技巧，有助于加深学生对根本技能的认识，提高分析问题、解决问题的能力。

不断充实自我，完善自我。

然后给出比拟难的题目提高学生迎难而上的拼搏精神。

练习：数列}{n a ，1a =1，n n n a a 211=-+，求n a ? 总结：类型1：)(1n f a a n n =-+，利用累加法(逐差相加法)求解。

问题2：数列{a n }满足)(,2,111*+∈==N n a a a nn ，求{a n }的通项公式。

数列的递推公式课程标准：等差、等比数列是两类最根本的数列，是数列局部的重点，自然也是高考考查的热点，而考查的目的在于测试灵活运用知识的能力，这个“灵活〞往往集中在“转化〞的水平上 三维目标：1、知识与能力：了解求解数列通项公式的几种常用方法；认识几种常见的形式，掌握解题方法并能解决实际的问题2、过程与方法：教学过程中板书演例如题，通过与学生相互交流，加深理解求数列通项的常用方法3、情感态度与价值观：培养学生利用转化，化归的思想，分析问题与解决问题的能力教学重点：掌握几种求解数列通项公式的方法教学难点：应用累加法(逐差相加法)；累乘法(逐商相乘法)；待定系数法等方法求解数列通项教学手段：板书和计算机演示讲解 教学方法：启发式、探究式 学法指导：交流与互动 课时安排：一课时教学过程：一、几种求解数列通项公式的方法： 1、类型1 )(1n f a a n n +=+解法：把原递推公式转化为)(1n f a a n n =-+，利用累加法(逐差相加法)求解。

例:数列{}n a 满足211=a ，nn a a n n ++=+211，求n a 。

解：由条件知：111)1(1121+-=+=+=-+n n n n n n a a n n 分别令)1(,,3,2,1-⋅⋅⋅⋅⋅⋅=n n ，代入上式得)1(-n 个等式累加之，即)()()()(1342312--+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+-+-+-n n a a a a a a a a所以n a a n 111-=-，211=a ，nn a n 1231121-=-+=∴2、类型2 n n a n f a )(1=+解法：把原递推公式转化为)(1n f a ann =+，利用累乘法(逐商相乘法)求解。

例:数列{}n a 满足321=a ，n n a n na 11+=+，求n a 。

解：由条件知11+=+n na a n n ，分别令)1(,,3,2,1-⋅⋅⋅⋅⋅⋅=n n ，代入上式得)1(-n 个等式累乘之，即1342312-•⋅⋅⋅⋅⋅⋅•••n n a a a a a a a a n n 1433221-⨯⋅⋅⋅⋅⋅⋅⨯⨯⨯=n a a n 11=⇒又321=a ，na n 32=∴ 例:31=a ，n n a n n a 23131+-=+)1(≥n ，求n a 。

2.1.2数列的递推公式(选学)明目标、知重点 1.理解递推公式是数列的一种表示方法.2.能依据递推公式写出数列的前n项.3.把握由一些简洁的递推公式求通项公式的方法．1．递推公式假如已知数列的第一项(或前几项)，且从其次项(或某一项)开头的任一项a n与它的前一项a n－1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．2．数列的表示方法数列的表示方法有通项公式法、图象法、列表法、递推公式法．[情境导学]某人有一对新生的兔子饲养在围墙中，假如它们每个月生一对兔子，且新生的兔子从第三个月开头也是每个月生一对兔子，问一年后围墙中共有多少对兔子？对此问题的争辩产生了出名斐波那契数列{a n}：1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144，…，此数列具有a n＋1＝a n＋a n－1的特性，我们称之为数列的递推公式，这正是本节我们要争辩的重点内容．探究点一数列的递推公式思考1观看：1,3,7,15,31,63这些数有什么规律吗？如何用一个代数式表示出该数列的规律？答首项为1，从第2项起每一项等于它的前一项的2倍再加1.即a n＝2a n－1＋1(n>1且n∈N＋)．思考2观看下面两个数列如何用首项及相邻两项的关系表示出这两个数列？(1)a1＝2，a2＝4，a3＝8，a4＝16，a5＝32，…；(2)1，cos 1，cos(cos 1)，cos(cos(cos 1))，….答(1)a1＝2，从第2项开头，每一项是它前一项的2倍，因此该数列可以用如下方式表示：a1＝2，a n＝2a n－1 (n＝2,3,4，…)；(2)a1＝1，a n＝cos(a n－1) (n＝2,3,4，…)．小结像上面那样，假如已知数列的第1项(或前几项)，且从第2项(或某一项)开头的任一项a n与它的前一项a n－1(或前几项)间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式，递推公式也是给出数列的一种方法．例1已知数列{a n}的第1项是2，以后各项由公式a n＝a n－11－a n－1给出，写出这个数列的前5项．解a1＝2，a2＝21－2＝－2，a3＝－21－(－2)＝－23，a4＝－231－(－23)＝－25，a5＝－251－(－25)＝－27.反思与感悟递推公式反映的是相邻两项(或几项)之间的关系．对于通项公式，已知n的值即可得到相应的项；而递推公式则要已知首项(或前几项)，才可求得其他的项．跟踪训练1在数列{a n}中，已知a1＝2，a2＝3，a n＋2＝3a n＋1－2a n(n≥1)，写出此数列的前6项．解a1＝2，a2＝3，a3＝3a2－2a1＝3×3－2×2＝5，a4＝3a3－2a2＝3×5－2×3＝9，a5＝3a4－2a3＝3×9－2×5＝17，a6＝3a5－2a4＝3×17－2×9＝33.例2已知直线l：y＝x与曲线C：y＝(12)x(如图所示)，过曲线C上横坐标为1的一点P1作x轴的平行线交l于Q2，过Q2作x轴的垂线交曲线C于P2，再过P2作x轴的平行线交l于Q3，过Q3作x轴的垂线交曲线C于P3，……，设点P1，P2，…，P n，…的纵坐标分别为a1，a2, …，a n，…，试求数列{a n}的递推公式．解由题意，点P1的横坐标为1，纵坐标为a1＝12，点Q n＋1与P n的纵坐标相同，都是a n，同时点P n＋1与Q n＋1的横坐标相等，点P n＋1在曲线C：y＝(12)x上，由横坐标得它的纵坐标为1()2na即a n＋1＝1()2na这就是数列{a n}的递推公式．反思与感悟解答本例的关健是在读懂题意的前提下，通过具体的点P2与点Q2的横坐标相等及点Q2与点P1的纵坐标相同，抽象出一般性的点Q n＋1与P n的纵坐标相同，点P n＋1与Q n＋1的横坐标相等，从而找到了a n＋1与a n的关系．跟踪训练2 数列{a n }中，a n ＋1＝a n ＋2(n ∈N ＋)，则点A 1(1，a 1)，A 2(2，a 2)，…，A n (n ，a n )分布在( ) A ．直线上，且直线的斜率为－2 B ．抛物线上，且抛物线的开口向下 C ．直线上，且直线的斜率为2 D ．抛物线上，且抛物线的开口向上 答案 C解析 ∵a n －a n －1n －(n －1)＝a n －a n －1＝2(n ≥2)，∴A 1，A 2，A 3，…，A n 在斜率为2的直线上．故选C.探究点二 数列的递推公式的应用思考1 对于任意数列{a n }，等式：a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝a n 都成立．试依据这一结论，已知数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＋1－a n ＝2，求通项a n . 答 a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)()(1)212222112 1.n n n -=+++⋅⋅⋅+-+=-个＝思考2 若数列{a n }中各项均不为零，则有a 1·a 2a 1·a 3a 2·…·a na n －1＝a n 成立．试依据这一结论，已知数列{a n }满足：a 1＝1，a n a n －1＝n －1n (n ≥2)，求通项a n .答 a n ＝a 1·a 2a 1·a 3a 2·…·a n －1a n －2·a n a n －1＝1·12·23·…·n －2n －1·n －1n＝1n .例3 已知数列{a n }，a 1＝1，以后各项由a n ＝a n －1＋1n (n －1)(n ≥2)给出．(1)写出数列{a n }的前5项； (2)求数列{a n }的通项公式．解 (1)a 1＝1；a 2＝a 1＋12×1＝32；a 3＝a 2＋13×2＝53；a 4＝a 3＋14×3＝74；a 5＝a 4＋15×4＝95.(2)由a n ＝a n －1＋1n (n －1)得a n －a n －1＝1n (n －1)(n ≥2)，∴a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 3－a 2)＋(a 2－a 1)＋a 1 ＝1n (n －1)＋1(n －1)(n －2)＋…＋13×2＋12×1＋1＝(1n －1－1n )＋(1n －2－1n －1)＋…＋(12－13)＋(1－12)＋1＝－1n ＋1＋1＝2－1n ＝2n －1n (n ∈N ＋)．反思与感悟 由递推公式求通项公式的技巧(1)由数列的递推公式求通项公式是数列的重要问题之一，是高考考查的热点，累加法、累乘法、迭代法是解决这类问题的常用技巧．(2)当a n －a n －1＝f (n )且满足确定条件时，常用a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1来求a n . (3)当a n a n －1＝f (n )且满足确定条件时，常用a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·…·a 3a 2·a 2a 1·a 1来求a n .已知数列递推公式求数列某一项时，依次将项数n 的值代入即可．跟踪训练3 已知数列f (x )＝2x －2－x ，数列{a n }满足f (log 2a n )＝－2n . (1)求数列{a n }的通项公式； (2)证明：数列{a n }是递减数列．(1)解 由于f (x )＝2x －2－x ，f (log 2a n )＝－2n ， 所以22log log 222nn a a n －－＝－，a n －1a n＝－2n ，所以a 2n ＋2na n －1＝0，解得a n ＝－n ±n 2＋1.由于a n >0，所以a n ＝n 2＋1－n .(2)证明 a n ＋1a n＝(n ＋1)2＋1－(n ＋1)n 2＋1－n＝n 2＋1＋n(n ＋1)2＋1＋(n ＋1)<1.又由于a n >0，所以a n ＋1<a n ，所以数列{a n }是递减数列．1．数列1,3,6,10,15，…的递推公式是( ) A ．a n ＋1＝a n ＋n ，n ∈N ＋ B ．a n ＝a n －1＋n ，n ∈N ＋，n ≥2 C ．a n ＋1＝a n ＋(n ＋1)，n ∈N ＋，n ≥2D ．a n ＝a n －1＋(n －1)，n ∈N ＋，n ≥2 答案 B2．已知数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1－a n ＋1＝0(n ∈N ＋)，则此数列的通项a n 等于( ) A ．n 2＋1 B ．n ＋1 C ．1－n D ．3－n 答案 D解析 ∵a n ＋1－a n ＝－1.∴a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1) ＝2(1)(1)(1)n +-+-+⋅⋅⋅+-共(-1)个＝2＋(－1)×(n －1)＝3－n .3．用火柴棒按下图的方法搭三角形：按图示的规律搭下去，则所用火柴棒数a n 与所搭三角形的个数n 之间的关系式可以是______________． 答案 a n ＝2n ＋1解析 a 1＝3，a 2＝3＋2＝5，a 3＝3＋2＋2＝7，a 4＝3＋2＋2＋2＝9，…，∴a n ＝2n ＋1. 4．已知：数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝nn ＋1a n. (1)写出数列的前5项； (2)猜想数列的通项公式．解 (1)a 1＝1，a 2＝11＋1×1＝12，a 3＝21＋2×12＝13，a 4＝31＋3×13＝14，a 5＝41＋4×14＝15.(2)猜想：a n ＝1n .[呈重点、现规律] 1．递推公式的理解与应用(1)与全部的数列不愿定都有通项公式一样，并不是全部的数列都有递推公式．(2)递推公式也是给出数列的一种重要方法，递推公式和通项公式一样都是关于项数n 的恒等式，假如用符合要求的正整数依次去替换n ，就可以求出数列的各项．(3)递推公式通过赋值逐项求出数列的项，直至求出数列的任何一项和所需的项．(4)运用递推法给出数列，不简洁了解数列的全貌，计算也不便利，所以我们经常用它得出数列的通项公式或者得到一个特殊数列，比如具有周期性质的数列．2．数列的通项公式与递推公式的作用和联系通项公式递推公式作用通项公式是给出数列的主要形式，由通项公式可求出数列的各项及指定项，也可以解决数列的性质问题(如增减性，最值等).数列的递推公式是给出数列的另一重要形式．由递推公式可以依次求出数列的各项.联系数列的通项公式与递推公式可以相互转化，如数列1,3,5，…，2n －1，…的一个通项公式为a n ＝2n －1(n ∈N ＋)．用递推公式表示为a 1＝1，a n ＝a n －1＋2(n ≥2，n ∈N ＋)一、基础过关1．已知a n ＋1－a n －3＝0，则数列{a n }是( ) A ．递增数列 B ．递减数列 C ．常数列 D ．不能确定答案 A2．已知数列{a n }的首项为a 1＝1，且满足a n ＋1＝12a n ＋12n ，则此数列的第4项是( )A ．1 B.12 C.34 D.58答案 B3．数列{a n }中，a 1＝1，对全部的n ≥2，都有a 1·a 2·a 3·…·a n ＝n 2，则a 3＋a 5等于( ) A.259 B.2516 C.6116 D.3115 答案 C解析 a 1a 2a 3＝32，a 1a 2＝22， a 1a 2a 3a 4a 5＝52，a 1a 2a 3a 4＝42，则a 3＝3222＝94，a 5＝5242＝2516.故a 3＋a 5＝6116.4．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋ln ⎝⎛⎭⎫1＋1n ，则a n 等于( ) A ．2＋ln n B ．2＋(n －1)ln n C ．2＋n ln n D ．1＋n ＋ln n 答案 A解析 ∵a n ＋1＝a n ＋ln ⎝⎛⎭⎫1＋1n ， ∴a n ＋1－a n ＝ln ⎝⎛⎭⎫1＋1n ＝ln n ＋1n ＝ln(n ＋1)－ln n .又a 1＝2，∴a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋(a 4－a 3)＋…＋(a n －a n －1)＝2＋[ln 2－ln 1＋ln 3－ln 2＋ln 4－ln 3＋…＋ln n －ln(n －1)]＝2＋ln n －ln 1＝2＋ln n .5．已知数列{a n }满足a 1＝0，a 2＝2，且对任意m ，n ∈N ＋都有a 2m －1＋a 2n －1＝2a m ＋n －1＋2(m －n )2.则a 3，a 5分别等于________． 答案 6,20解析 由题意，令m ＝2，n ＝1则a 3＋a 1＝2a 2＋2，所以a 3＝6，令m ＝3，n ＝1则a 5＋a 1＝2a 3＋2×4， 所以a 5＝20.6．设a n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋1n ＋3＋…＋12n (n ∈N ＋)，那么a n ＋1－a n 等于____________．答案 12n ＋1－12n ＋2解析 ∵a n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋1n ＋3＋…＋12n∴a n ＋1＝1n ＋2＋1n ＋3＋…＋12n ＋12n ＋1＋12n ＋2，∴a n ＋1－a n ＝12n ＋1＋12n ＋2－1n ＋1＝12n ＋1－12n ＋2.7．依据下列各个数列{a n }的首项及其递推公式，写出数列的前5项，并归纳出通项公式； (1)a 1＝0，a n ＋1＝a n ＋(2n －1)，n ∈N ＋； (2)a 1＝1，a n ＋1＝2a na n ＋2，n ∈N ＋.解 (1)由于a 1＝0，a n ＋1＝a n ＋(2n －1)，n ∈N ＋； 所以，a 2＝1，a 3＝4，a 4＝9，a 5＝16， 归纳出它的通项公式是a n ＝(n －1)2.(2)a 2＝2a 1a 1＋2＝23，a 3＝2a 2a 2＋2＝12，a 4＝2a 3a 3＋2＝25，a 5＝2a 4a 4＋2＝13，归纳出它的通项公式是a n ＝2n ＋1.二、力气提升8．若a 1＝1，a n ＋1＝a n3a n ＋1，则给出的数列{a n }的第4项是( )A.116B.117C.110D.125答案 C解析 a 2＝a 13a 1＋1＝13＋1＝14，a 3＝a 23a 2＋1＝1434＋1＝17，a 4＝a 33a 3＋1＝1737＋1＝110.9．已知数列{a n }满足a n ＋1＝⎩⎨⎧2a n ⎝⎛⎭⎫0≤a n <12，2a n－1⎝⎛⎭⎫12≤a n<1.若a 1＝67，则a 2 014＝________.答案 67解析 计算得a 2＝57，a 3＝37，a 4＝67，故数列{a n }是以3为周期的周期数列， 又知2 014除以3余1，所以a 2 014＝a 1＝67.10．依据下列条件，写出数列的前四项，并归纳猜想它的通项公式． (1)a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋a nn ＋1(n ∈N ＋)； (2)a 1＝－1，a n ＋1＝a n ＋1n (n ＋1)(n ∈N ＋)．解 (1)a 1＝1，a 2＝32，a 3＝42＝2，a 4＝52.猜想a n ＝n ＋12.(2)a 1＝－1，a 2＝－12，a 3＝－13，a 4＝－14.猜想a n ＝－1n.11．已知数列{a n }满足a 1＝12，a n a n －1＝a n －1－a n ，求数列{a n }的通项公式．解 ∵a n a n －1＝a n －1－a n ，∴1a n －1a n －1＝1.∴1a n ＝1a 1＋⎝⎛⎭⎫1a 2－1a 1＋⎝⎛⎭⎫1a 3－1a 2＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n －1a n －1＝(1)12111n -+++⋅⋅⋅+个＝n ＋1.∴1a n ＝n ＋1，∴a n ＝1n ＋1. 12．数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝n ＋1n a n，求{a n }的通项公式． 解 ∵a n ＋1＝n ＋1n a n ，∴a n ＋1a n ＝n ＋1n .∴a 2a 1＝2，a 3a 2＝32，a 4a 3＝43，…，a n a n －1＝nn －1. 把上述等式相乘，得a 2a 1×a 3a 2×a 4a 3×…×a n a n －1＝2×32×43×…×n n －1， 即a na 1＝n ，而a 1＝2，∴a n ＝2n . 三、探究与拓展13．设{a n }是首项为1的正项数列，且(n ＋1)a 2n ＋1－na 2n ＋a n ＋1a n ＝0(n ＝1,2,3，…)，求它的通项公式． 解 ∵(n ＋1)a 2n ＋1－na 2n ＋a n a n ＋1＝0，∴(a n ＋1＋a n )[(n ＋1)a n ＋1－na n ]＝0. 又∵a n >0，∴a n ＋1＋a n >0.∴(n ＋1)a n ＋1－na n ＝0，即a n ＋1a n ＝nn ＋1.∴a 2a 1·a 3a 2·a 4a 3·…·a n a n －1＝12×23×34×…×n －1n . ∴a n a 1＝1n .又a 1＝1，∴a n ＝1n.。

2.1.2　数列的递推公式(选学)[学习目标]　1.理解递推公式是数列的一种表示方法.2.能根据递推公式写出数列的前n 项.3.掌握由一些简单的递推公式求通项公式的方法．[知识链接]1．数列中的项与数集中的元素进行对比，数列中的项具有的性质有________．答案　(1)确定性；(2)可重复性；(3)有序性；(4)数列中的每一项都是数．2．数列的项与对应的序号能否构成函数关系？类比函数的表示方法，想一想数列有哪些表示方法？答案　数列的项与对应的序号能构成函数关系．数列的一般形式可以写成：a 1，a 2，a 3，…，a n ，….除了列举法外，数列还可以用公式法、列表法、图象法来表示．[预习导引]1．递推公式如果已知数列的第1项(或前几项)，且从第二项(或某一项)开始的任一项a n 与它的前一项a n －1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．2．数列的表示方法数列的表示方法有列举法、通项公式法、图象法、列表法、递推公式法．要点一　由递推公式写出数列的项例1　已知数列{a n }满足下列条件，写出它的前5项，并归纳出数列的一个通项公式．(1)a 1＝0，a n ＋1＝a n ＋(2n －1)；(2)a 1＝1，a n ＋1＝.2anan ＋2解　(1)∵a 1＝0，a n ＋1＝a n ＋(2n －1)，∴a 2＝a 1＋(2×1－1)＝0＋1＝1；a 3＝a 2＋(2×2－1)＝1＋3＝4；a 4＝a 3＋(2×3－1)＝4＋5＝9；a 5＝a 4＋(2×4－1)＝9＋7＝16.故该数列的一个通项公式是a n ＝(n －1)2.(2)∵a 1＝1，a n ＋1＝，2an2＋an ∴a 2＝＝，a 3＝＝，2a 12＋a 1232a 22＋a 212a 4＝＝，a 5＝＝，2a 32＋a 3252a 42＋a 413∴它的前5项依次是1，，，，.23122513它的前5项又可写成，，，，，21＋122＋123＋124＋125＋1故它的一个通项公式为a n ＝.2n ＋1规律方法　(1)根据递推公式写数列的前几项，要弄清公式中各部分的关系，依次代入计算即可．(2)若知道的是首项，通常将所给公式整理成用前面的项表示后面的项的形式；若知道的是末项，通常将所给公式整理成用后面的项表示前面的项的形式．跟踪演练1　设数列{a n }满足Error!写出这个数列的前5项．解　由题意可知a 1＝1，a 2＝1＋＝1＋＝2，1a 111a 3＝1＋＝1＋＝，a 4＝1＋＝1＋＝，1a 212321a 32353a 5＝1＋＝1＋＝.1a 43585要点二　由递推公式求通项例2　已知数列{a n }满足：a 1＝1,2n －1a n ＝a n －1(n ∈N ，n ≥2)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)这个数列从第几项开始及其以后各项均小于？11 000解　(1)a n ＝··…···a 1anan －1an －1an －2a 3a 2a 2a 1＝()n －1·()n －2·…·()2·()1·112121212＝()1＋2＋…＋(n －1)＝，1221)(21n n -⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∴a n ＝.21)(21n n -⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛(2)∵b n ＝＝(n －)2－，(n －1)n 2121218∴n ∈N ＋时，b n 递增，即{a n }为递减数列，∴当n ≤4时，≤6，a n ＝≥，(n －1)n221)(21n n -⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛164当n ≥5时，≥10，a n ＝≤.(n －1)n 221)(21nn -⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛11 024∴从第5项开始各项均小于.11 000规律方法　由递推公式求通项公式的技巧(1)由数列的递推公式求通项公式是数列的重要问题之一，是高考考查的热点，累加法、累乘法、迭代法是解决这类问题的常用技巧．(2)当a n －a n －1＝f (n )且满足一定条件时，常用a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1来求a n .(3)当＝f (n )且满足一定条件时，常用a n ＝··…···a 1来求a n .an an －1an an －1an －1an －2a 3a 2a 2a 1跟踪演练2　已知数列{a n }，a 1＝1，以后各项由a n ＝a n －1＋(n ≥2)给出．1n (n －1)(1)写出数列{a n }的前5项；(2)求数列{a n }的通项公式．解　(1)a 1＝1；a 2＝a 1＋＝；a 3＝a 2＋＝；12×13213×253a 4＝a 3＋＝；a 5＝a 4＋＝.14×37415×495(2)由a n ＝a n －1＋得a n －a n －1＝(n ≥2)，1n (n －1)1n (n －1)∴a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 3－a 2)＋(a 2－a 1)＋a 1＝＋＋…＋＋＋11n (n －1)1(n －1)(n －2)13×212×1＝(－)＋(－)＋…＋(－)＋(1－)＋11n －11n 1n －21n －1121312＝－＋1＋1＝2－＝(n ∈N ＋)．1n 1n 2n －1n 要点三　数列与函数的综合应用例3　f (x )＝log 2x －(0<x <1)，且数列{a n }满足f ()＝2n (n ∈N ＋)．2log2x n a 2(1)求数列{a n }的通项公式；(2)判断数列{a n }的增减性．解　(1)∵f (x )＝log 2x －，又∵f ()＝2nm ，2log2x n a 2∴log 2－＝2n ，即a n －＝2n .n a 22log22an 整理得a －2na n －2＝0，∴a n ＝n ±.2n n 2＋2又0<x <1，故0<<1，于是a n <0，n a2∴a n ＝n －(n ∈N ＋)．n 2＋2(2)＝an ＋1an (n ＋1)－(n ＋1)2＋2n －n 2＋2＝<1.n ＋n 2＋2(n ＋1)＋(n ＋1)2＋2∵a n <0，∴a n ＋1>a n ，∴数列{a n }是递增数列．规律方法　数列是一类特殊的函数，用函数与方程的思想处理数列问题．在判断数列{a n }的单调性时，可以用作差法或作商法．跟踪演练3　函数f (n )＝Error!数列{a n }的通项a n ＝f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2n )(n ∈N ＋)．(1)求a 1，a 2，a 4的值；(2)写出a n 与a n －1的一个递推关系式(注：1＋3＋5＋…＋(2n －1)＝4n －1)．解　(1)a 1＝f (1)＋f (2)＝f (1)＋f (1)＝2.a 2＝f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝f (1)＋f (3)＋f (1)＋f (2)＝1＋3＋a 1＝6.a 4＝f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (16)＝86.(2)a n －1＝f (1)＋f (2)＋…＋f (2n －1)，a n ＝f (1)＋f (2)＋…＋f (2n )，＝f (1)＋f (3)＋f (5)＋…＋f (2n －1)＋f (2)＋f (4)＋f (6)＋…＋f (2n )＝1＋3＋5＋…＋(2n －1)＋f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2n －1)，∴a n ＝a n －1＋4n －1(n ≥2).1．数列1,3,6,10,15，…的递推公式是( )A ．a n ＋1＝a n ＋n ，n ∈N ＋B ．a n ＝a n －1＋n ，n ∈N ＋，n ≥2C ．a n ＋1＝a n ＋(n ＋1)，n ∈N ＋，n ≥2D ．a n ＝a n －1＋(n －1)，n ∈N ＋，n ≥2答案　B2．已知数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1－a n ＋1＝0(n ∈N ＋)，则此数列的通项a n 等于( )A ．n 2＋1B ．n ＋1C ．1－nD ．3－n答案　D解析　∵a n ＋1－a n ＝－1.∴a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝2＋(－1)＋(－1)＋…＋(－1)＝2＋(－1)×(n －1)＝3－n .3．用火柴棒按下图的方法搭三角形：按图示的规律搭下去，则所用火柴棒数a n 与所搭三角形的个数n 之间的关系式可以是________．答案　a n ＝2n ＋1解析　a 1＝3，a 2＝3＋2＝5，a 3＝3＋2＋2＝7，a 4＝3＋2＋2＋2＝9，…，∴a n ＝2n ＋1.4．已知：数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝a nnn ＋1(1)写出数列的前5项；(2)猜想数列{a n }的通项公式．解　(1)a 1＝1，a 2＝×1＝，a 3＝×＝，a 4＝×＝，a 5＝×＝.11＋11221＋2121331＋3131441＋41415(2)猜想：a n ＝.1n 1．递推公式的理解与应用(1)与所有的数列不一定都有通项公式一样，并不是所有的数列都有递推公式．(2)递推公式也是给出数列的一种重要方法，递推公式和通项公式一样都是关于项数n 的恒等式，如果用符合要求的正整数依次去替换n ，就可以求出数列的各项．(3)递推公式通过赋值逐项求出数列的项，直至求出数列的任何一项和所需的项．(4)运用递推法给出数列，不容易了解数列的全貌，计算也不方便，所以我们经常用它得出数列的通项公式或者得到一个特殊数列，比如具有周期性质的数列．2．数列的通项公式与递推公式的作用和联系通项公式递推公式作用通项公式是给出数列的主要形式，由通项公式可求出数列的各项及指定项，也可以解决数列的性质问题(如增减性，最值等).数列的递推公式是给出数列的另一重要形式．由递推公式可以依次求出数列的各项.联系数列的通项公式与递推公式有时可以相互转化，如数列1,3,5，…，2n －1，…的一个通项公式为a n ＝2n －1(n ∈N ＋)，用递推公式表示为a 1＝1，a n ＝a n －1＋2(n ≥2，n ∈N ＋).。

2.1.2 数列的递推公式(选学)自主学习知识梳理(1)累加法：a n ＋1＝a n ＋f(n) (f(n)可求和)an ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝a 1＋f(1)＋f(2)＋…＋f(n －1)．(2)累乘法：a n ＋1＝a n ·f(n) (f(n)为含n 的代数式)a n ＝a 1·a 2a 1·a 3a 2·…·a n a n －1＝a 1·f(1)·f(2)·…·f(n－1)． 3．数列{a n }的通项a n 与其前n 项和S n 之间的关系是：当n ＝1时，a 1＝S 1，当n≥2时，a n ＝S n －S n －1.4．S n 与a n 的混合关系式有两个思路(1)消去S n ，转化为a n 的递推关系式，再求a n ；(2)消去a n ，转化为S n 的递推关系式，求出S n 后，再求a n .自主探究1．已知数列{a n }，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋2，试用累加法推导{a n }的通项公式．2．已知数列{a n }，a 1＝2，a n ＋1＝2a n ，试用累乘法推导{a n }的通项公式．对点讲练知识点一 利用累加法求通项公式例1 已知：a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋(2n ＋1)，求a n .总结形如a n＋1＝a n＋f(n)的递推数列，常用累加法求其通项公式，关键是不断变换递推公式中的“下标”．变式训练1 已知数列{a n}，a1＝1，以后各项由a n＋1＝a n＋1＋给出，试用累加法求通项公式a n.(提示：1＋＝1n－1n＋1)．知识点二利用累乘法求通项公式例2已知：a1＝1，a n＋1＝2n·a n，求a n.总结形如a n＋1＝a n f(n)的递推数列，常用累乘法求其通项公式．变式训练2 已知数列{a n}的前n项和S n满足：S n＝n2a n，且a1＝1，求{a n}的通项公式．知识点三由实际问题提炼出递推公式例3某县位于沙漠地带，人与自然长期进行着顽强的斗争，到2019年底全县的绿化率已达30%.从2019年开始，每年将出现这样的局面，即原有沙漠面积的16%将被绿化，与此同时，由于各种原因，原有绿化面积的4%又被沙化．设全县面积为1,2019年底绿化面积为a1＝310，经过n年绿化总面积为a n＋1.求证：a n＋1＝425＋45a n.总结在实际问题中，若题目条件给出的是相邻年份的数量关系时，可以考虑构建递推数列模型．变式训练3 在一次珠宝展览会上，某商家展出一套珠宝首饰，第一件首饰是1颗珠宝，第二件首饰是由6颗珠宝(图中圆圈表示珠宝)构成如图1所示的正六边形，第三件首饰如图2，第四件首饰如图3，第五件首饰如图4，以后每件首饰都在前一件上按照这种规律增加一定数量的珠宝，使它构成更大的正六边形，设第n 件首饰所用珠宝数为f(n)，求f(n ＋1)－f(n)的值．1．数列的递推公式是给出数列的另一重要形式，一般地，只要给出数列的首项或前几项以及数列的相邻两项或几项之间的运算关系，就可以依次求出数列的各项．2．由数列的递推公式求通项公式是数列的重要问题之一，是高考考查的热点，累加法、累乘法是解决这类问题的常用技巧.课时作业一、选择题1．数列{a n }满足a n ＋1＝a n ＋n ，且a 1＝1，则a 5的值为( )A ．9B ．10C ．11D ．122．已知数列{a n }的首项为a 1＝1，且满足a n ＋1＝12a n ＋12n ，则此数列的第4项是( ) A.516 B.12 C.34 D.583．已知数列{a n }满足a 1＝12，a n a n －1＝a n ＋a n －1，则这个数列的第5项是( ) A ．1 B.12 C.34 D.58. 4．已知数列{a n }对任意的p ，q∈N *满足a p ＋q ＝a p ＋a q ，且a 2＝－6，那么a 10等于( )A ．－165B ．－33C ．－30D ．－215．在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋2n －1，求出a 2，a 3，a 4后，归纳猜想a n 的表达式为( )A ．3n －2B ．n 2－2n ＋2C ．3n －1D ．4n －3二、填空题6．数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1a n ＝a 2n ＋(－1)n ＋1 (n∈N *)，则a 4a 2＝________. 7．数列{a n }中，a 1＝3，a 2＝7，当n≥1时，a n ＋2等于a n a n ＋1的个位数，则该数列的第2 010项是______．三、解答题8．函数f(n)＝⎩⎪⎨⎪⎧ n 为奇数f ⎝ ⎛⎭⎪⎫n 2 为偶数.数列{a n }的通项a n ＝f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2n ) (n∈N *)．(1)求a 1，a 2，a 4的值；(2)写出a n 与a n －1的一个递推关系式．(注：1＋3＋5＋…(2n －1)＝4n －1)9．某餐厅供应1 000名学生用餐，每星期一有A 、B 两种菜可供选择，调查资料显示星期一选A 菜的学生中有20%在下周一选B 菜，而选B 菜的学生中有30%在下周一选A 菜，用A n 、B n 分别表示在第n 个星期一选A 菜、B 菜的学生数，试写出A n 与A n －1的关系及B n 与B n －1的关系．2．1.2 数列的递推公式(选学)自主探究1．解 ∵a n ＋1－a n ＝2∴ ⎭⎪⎬⎪⎫a 2－a 1＝2a 3－a 2＝2……a n －a n －1＝2(n －1)个式子相加得： a n －a 1＝2(n －1)，∴a n ＝a 1＋2(n －1)＝2n 或a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝2＋2(n －1)＝2n.2．解 ∵a n ＋1a n＝2 ∴⎭⎪⎬⎪⎫a 2a 1＝2a 3a 2＝2……a n a n －1＝2(n －1)个式子相乘得：a n a 1＝2n －1， ∴a n ＝a 1·2n －1＝2n或a n ＝a 1·a 2a 1·a 3a 2·…·a n a n －1＝a 1·2n －1＝2n . 对点讲练例1 解 ∵a n ＋1－a n ＝2n ＋1，∴a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝1＋3＋5＋…＋(2n －1)＝[1＋(2n －1)]×n 2＝n 2. 变式训练1 解 ∵a n ＋1－a n ＝1＋， ∴a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝1＋11×2＋12×3＋…＋1－＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ＝2－1n . 例2 解 ∵a n ＋1a n＝2n ， ∴a n ＝a 1·a 2a 1·a 3a 2·…·a n a n －1＝1·21·22·…·2n －1 ＝21＋2＋3＋…＋(n －1)＝2[1＋(n －1)]×⎝ ⎛⎭⎪⎫n －12 ＝2n 2－n 2. 变式训练2 解 ∵S n ＝n 2a n ，∴S n ＋1＝(n ＋1)2a n ＋1∴S n ＋1－S n ＝(n ＋1)2a n ＋1－n 2a n∴a n ＋1＝(n ＋1)2a n ＋1－n 2a n ∴(n 2＋2n)a n ＋1＝n 2a n∴(n＋2)a n ＋1＝na n .∴a n ＋1a n ＝n n ＋2. ∴a n ＝a 1·a 2a 1·a 3a 2·…·a n －2a n －3·a n －1a n －2·a n a n －1＝1·13·24·35·…·n －3n －1·n －2n ·n －1n ＋1＝2＋. 例3 证明 由已知可得a n 确定后，a n ＋1表示如下：a n ＋1＝a n ·(1－4%)＋(1－a n )·16%，即a n ＋1＝80%a n ＋16%＝45a n ＋425. 变式训练3 解 珠宝的数目依次是：f(1)＝1，f(2)＝1＋5，f(3)＝1＋5＋9，f(4)＝1＋5＋9＋13，f(5)＝1＋5＋9＋13＋17，…，∴f(2)－f(1)＝5，f(3)－f(2)＝9，f(4)－f(3)＝13，f(5)－f(4)＝17，…，∴f(n＋1)－f(n)＝4n ＋1.课时作业1．C [a 5＝a 4＋4＝a 3＋3＋4＝a 2＋2＋3＋4＝a 1＋1＋2＋3＋4＝11.]2．B [∵a 1＝1，a n ＋1＝12a n ＋12n ，∴a 2＝12×a 1＋12＝1， a 3＝12a 2＋122＝34，a 4＝12a 3＋123＝38＋18＝12.] 3．B [∵a n a n －1＝a n ＋a n －1，a 1＝12∴a n ＝a n －1a n －1－1，∴a 2＝a 1a 1－1＝－1，a 3＝a 2a 2－1＝12，a 4＝－1，a 5＝12.] 4．C [a 2＝a 1＋a 1＝－6，∴a 1＝－3，a 3＝a 1＋a 2＝－9，a 4＝a 2＋a 2＝－12，a 5＝a 1＋a 4＝－15，a 10＝2a 5＝－30.]5．B [由a n ＋1＝a n ＋2n －1a 2－a 1＝1，a 3－a 2＝3，a 4－a 3＝5……a n －a n －1＝2n －3.相加得a n －a 1＝1＋3＋5＋…＋(2n －3)＝(n －1)2，∴a n ＝(n －1)2＋a 1＝n 2－2n ＋2.]6.1312解析 a 2＝2，a 3＝32，a 4a 2＝a 4a 3a 2a 3＝a 23＋1a 22－1＝1312. 7．9解析 列举出数列的前9项，依次是3、7、1、7、7、9、3、7、1、7，观察发现数列具有周期性且周期为6，所以a 2 010＝a 6＝9.8．解 (1)a 1＝f(1)＋f(2)＝f(1)＋f(1)＝2.a 2＝f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝f(1)＋f(3)＋f(1)＋f(2)＝1＋3＋a 1＝6.a 4＝f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(16)＝86.(2)a n －1＝f(1)＋f(2)＋…＋f(2n －1)a n ＝f(1)＋f(2)＋…＋f(2n )＝f(1)＋f(3)＋f(5)＋…＋f(2n －1)＋f(2)＋f(4)＋f(6)＋…＋f(2n )＝1＋3＋5＋…＋(2n －1)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2n －1)∴a n ＝a n －1＋4n －1 (n≥2)．9．解 由题意知：⎩⎪⎨⎪⎧ A n ＋B n ＝1 000A n ＝0.8A n －1＋0.3B n －1B n ＝0.2A n －1＋0.7B n －1由A n －1＋B n －1＝1 000，得B n －1＝1 000－A n －1.所以A n ＝0.8A n －1＋0.3(1 000－A n －1)＝0.5A n －1＋300.同理，B n ＝0.2(1 000－B n －1)＋0.7B n －1＝0.5B n －1＋200.。

数列的递推公式选学一目标导航课标要求：理解数列递推公式的概念,并能由递推公式求出数列的前几项,进而求出数列的通项公式素养达成：通过由递推公式求通项公式的学习过程,体会函数思想的应用,而通过数列递推公式求数列的特定项体现了由特殊到一般的数学思想二知识探究1数列递推公式如果已知数列的 ,且从第二项或某一项开始的任一项a n与间的关系可以用一个公式来表示,那么这个公式就叫做这个数列的递推公式2数列的通项公式与递推公式的联系与区别相同点不同点三课堂探究·素养提升类型一由递推公式求数列的项【例1】在数列{a n}中,a1=1,4a n1-a n a n12a n=9n∈N,写出它的前4项类型二求数列的递推关系【例2】设a>0,如图,已知直线:=a及曲线C:=2,C 上的点Q1的横坐标为a100,A3是线段A1A2的中点,A4是线段A2A3的中点,……,A n 是线段A n-2A n-1的中点,……求：写出n与n-1、n-2之间的关系式n≥3;类型三叠加法求通项公式【例3】已知数列{a n},满足a1=1,a n=a n-1n≥2,求数列的通项公式变式训练3-1:在数列{a n}中,已知a1=2,a n1=a n n,求a n的表达式类型四叠乘法求通项公式【例4】设{a n}是首项为1且a n>0的数列,又n1 21na+-n2na a n1a n=0n=1,2,3…,求它的通项公式变式训练4-1:在数列{a n}中,已知a1=1,n1a n1=na n,求a n的表达式类型五周期数列问题【例5】 2021·山西朔州怀仁县八中高二期中在数列{a n}中,a1=-2,a n1=11nnaa+-,则a2 017等于A-2 B-13C-12D3变式训练5-1:2021·甘肃永昌第一高级中学期末若数列{a n}满足a1=2,1 (1) n n-a n1a n =a n -1,则a 2 017的值为 A-1 BC2 D312。

人教版高中必修5(B版)2.1.2数列的递推公式(选学)课程设计一、教学目标1.了解数列的递推公式的概念及其作用；2.掌握求解数列的递推公式的一般方法；3.能够应用数列的递推公式解决实际问题。

二、教学重点、难点1.教学重点：数列的递推公式的概念及其作用；2.教学难点：求解数列的递推公式的一般方法。

三、教学准备1.教材：人教版高中必修5(B版)；2.PPT；3.教师讲义；4.学生练习册。

四、教学过程第一步：导入1.教师出示三个数列：a1=1,a2=3,a3=5，b1=2,b2= 4,b3=6，c1=1,c2=2,c3=4；2.让学生尝试继续写出数列的后面几项；3.引导学生发现数列的规律，找出这些数列的递推公式。

第二步：讲解1. 数列的递推公式的概念及其作用1.数列的递推公式是指数列中每一项都是前面一项的某种函数值；2.数列的递推公式可以用来求解数列的后面的项。

2. 求解数列的递推公式的一般方法1.一次求差法：对数列进行一次求差，直到得到一个常数数列，进而得到数列的通项公式；2.二次求差法：对数列进行二次求差，直到得到一个常数数列，进而得到数列的通项公式；3.代数求解法：使用递推公式中的前几项，列方程组求解，得到递推公式。

第三步：例题讲解1.已知数列a n满足a1=1,a2=2,a n=2a n−1−a n−2+2(n>2)，求a3,a4,a5；2.已知数列b n满足b1=1,b2=2,b n=b n−1+2b n−2,n>2，求b5；3.已知数列c n满足c1=k,c2=2k,c3=3k，且对于n>3，有c n=c n−2−c n−3，求c4,c5,c6。

第四步：练习1.自己设计一个递推公式，求解该数列的第n项；2.将一个给定的数列进行多种递推公式的推导，并验证其正确性。

第五步：小结1.数列的递推公式是数列中每一项都是前面一项的某种函数的表达式；2.根据不同的数列，可以采用不同的方法求解其递推公式；3.数列的递推公式可以用来求解数列的后续项。

2.1.2 数列的递推公式(选学)课时目标1.了解数列的递推公式，明确递推公式与通项公式的异同.2.会根据数列的递推公式写出数列的前几项．1．如果数列{a n }的第1项或前几项已知，且从数列{a n }的第二项(或某一项)开始的任一项a n 与它的前一项a n －1(或前几项)间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子就叫做这个数列的______公式． 2．一般地，一个数列{a n }，如果从______起，每一项都大于它的前一项，即__________，那么这个数列叫做递增数列．如果从______起，每一项都小于它的前一项，即__________，那么这个数列叫做递减数列．如果数列{a n }的各项________，那么这个数列叫做常数列．一、选择题1．已知a n ＋1－a n －3＝0，则数列{a n }是( )A ．递增数列B ．递减数列C ．常数项D ．不能确定 2．数列1,3,6,10,15，…的递推公式是( ) A ．a n ＋1＝a n ＋n ，n ∈N ＋B ．a n ＝a n －1＋n ，n ∈N ＋，n ≥2C ．a n ＋1＝a n ＋(n ＋1)，n ∈N ＋，n ≥2D ．a n ＝a n －1＋(n －1)，n ∈N ＋，n ≥23．已知数列{a n }的首项为a 1＝1，且满足a n ＋1＝12a n ＋12n ，则此数列第4项是( )A ．1 B.12C.34D.584．数列{a n }中，a 1＝1，对所有的n ≥2，都有a 1·a 2·a 3…a n ＝n 2，则a 3＋a 5等于( ) A.259 B.2516 C.6116 D.31155．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n ，则a n 等于( )A ．2＋ln nB ．2＋(n －1)ln nC ．2＋n ln nD ．1＋n ＋ln n6．已知数列{a n }中，a 1＝a (a 为正常数)，a n ＋1＝－1a n ＋1(n ＝1,2,3，…)，则下列能使a n＝a 的n 的数值是( )A ．15B ．16C ．17D ．18 二、填空题7．已知数列{a n }满足：a 1＝－14，a n ＝1－1a n －1(n >1)，则a 4＝________.8．已知数列{a n }满足：a 1＝a 2＝1，a n ＋2＝a n ＋1＋a n ，(n ∈N ＋)，则使a n >100的n 的最小值是________．9．某县位于沙漠地带，人与自然长期进行着顽强的斗争，到2010年底全县的绿化率已达30%.从2011年开始，每年将出现这样的局面，即原有沙漠面积的16%将被绿化，与此同时，由于各种原因，原有绿化面积的4%又被沙化．设全县面积为1,2010年底绿化面积为a 1＝310，经过n 年绿化总面积为a n ＋1.则a n ＋1用a n 表示为________．10．已知数列{a n }满足a 1＝12，a n a n －1＝a n －1－a n ，则数列{a n }的通项公式是________．三、解答题11．在数列{a n }中，a 1＝12，a n ＝1－1a n －1(n ≥2，n ∈N ＋)．(1)求证：a n ＋3＝a n ； (2)求a 2 010.12．某餐厅供应1 000名学生用餐，每星期一有A 、B 两种菜可供选择，调查资料显示星期一选A 菜的学生中有20%在下周一选B 菜，而选B 菜的学生中有30%在下周一选A 菜，用A n 、B n 分别表示在第n 个星期一选A 菜、B 菜的学生数，试写出A n 与A n －1的关系及B n 与B n －1的关系．能力提升13．已知数列{a n }满足a 1＝－1，a n ＋1＝a n ＋1n n ＋1，n ∈N ＋，则通项公式a n ＝________.14．设{a n }是首项为1的正项数列，且(n ＋1)·a 2n ＋1－na 2n ＋a n ＋1a n ＝0(n ＝1,2,3，…)，则它的通项公式是________．1数列的递推公式是给出数列的另一种重要形式，一般地，只要给出数列的首项或前几项以及数列的相邻两项或几项之间的运算关系，就可以依次求出数列的各项． 2．由数列的递推公式求通项公式是数列的重要问题之一．①叠加法：当a n －a n －1＝f (n －1)满足一定条件时，a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝a 1＋f (1)＋f (2)＋…＋f (n －1)．②叠乘法：当a n a n －1＝f (n －1)满足一定条件时，a n ＝a 1·a 2a 1·a 3a 2·…·a na n －1＝a 1·f (1)·f (2)·…·f (n －1)．2．1.2 数列的递推公式(选学)答案知识梳理1．递推 2.第2项 a n ＋1>a n 第2项 a n ＋1<a n 都相等作业设计1．A 2.B 3.B4．C [a 1a 2a 3＝32，a 1a 2＝22，a 1a 2a 3a 4a 5＝52，a 1a 2a 3a 4＝42，则a 3＝3222＝94，a 5＝5242＝2516.故a 3＋a 5＝6116.]5．A [∵a n ＋1＝a n ＋ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n ，∴a n ＋1－a n ＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n ＝ln n ＋1n＝ln(n ＋1)－ln n .又a 1＝2，∴a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋(a 4－a 3)＋…＋(a n －a n －1)＝2＋[ln 2－ln 1＋ln 3－ln 2＋ln 4－ln 3＋…＋ln n －ln(n －1)]＝2＋ln n －ln 1＝2＋ln n ．] 6．B [a 1＝a ，a 2＝－1a ＋1，a 3＝－1a 2＋1＝－1－1a ＋1＋1＝－a －1a ，a 4＝－1a 3＋1＝－1－a －1a＋1＝a ， a 5＝－1a 4＋1＝－1a ＋1，…….∴a 4＝a 1，a 5＝a 2，…依次类推可得：a n ＋3＝a n ， ∴{a n }为周期数列，周期为3. ∵a 1＝a ，∴a 3k ＋1＝a 1＝a .] 7．－148．129．a n ＋1＝45a n ＋425解析 由已知可得a n 确定后，a n ＋1表示如下：a n ＋1＝a n ·(1－4%)＋(1－a n )·16%， 即a n ＋1＝80%a n ＋16%＝45a n ＋425.10．a n ＝1n ＋1解析 ∵a n a n －1＝a n －1－a n ，∴1a n －1a n －1＝1.∴1a n ＝1a 1＋(1a 2－1a 1)＋(1a 3－1a 2)＋…＋(1a n －1a n －1)＝2＋1＋1＋…＋1n －1个1＝n ＋1.∴1a n ＝n ＋1，∴a n ＝1n ＋1. 11．(1)证明 a n ＋3＝1－1a n ＋2＝1－11－1a n ＋1＝1－11－11－1a n＝1－11－a n a n －1＝1－1a n －1－a na n －1＝1－1－1a n －1＝1－(1－a n )＝a n . ∴a n ＋3＝a n .(2)解 由(1)知数列{a n }的周期T ＝3，a 1＝12，a 2＝－1，a 3＝2.又∵a 2 010＝a 3×670＝a 3＝2，∴a 2 010＝2.12．解 由题意知：⎩⎪⎨⎪⎧A n ＋B n ＝1 000，A n ＝0.8A n －1＋0.3B n －1，B n ＝0.2A n －1＋0.7B n －1.由A n －1＋B n －1＝1 000，得B n －1＝1 000－A n －1.所以A n ＝0.8A n －1＋0.3×(1 000－A n －1)＝0.5A n －1＋300. 同理，B n ＝0.2×(1 000－B n －1)＋0.7B n －1＝0.5B n －1＋200. 13．－1n解析 ∵a n ＋1－a n ＝1nn ＋1， ∴a 2－a 1＝11×2；a 3－a 2＝12×3； a 4－a 3＝13×4； … …a n －a n －1＝1n －1n；以上各式累加得，a n －a 1＝11×2＋12×3＋…＋1n －1n ＝1－12＋12－13＋…＋1n －1－1n＝1－1n.∴a n ＋1＝1－1n ，∴a n ＝－1n.14．a n ＝1n解析 ∵(n ＋1)a 2n ＋1－na 2n ＋a n a n ＋1＝0， ∴[(n ＋1)a n ＋1－na n ]·(a n ＋1＋a n )＝0， ∵a n >0，∴a n ＋a n ＋1>0， ∴(n ＋1)a n ＋1－na n ＝0. 方法一a n ＋1a n ＝n n ＋1. ∴a 2a 1·a 3a 2·a 4a 3·a 5a 4·…·a n a n －1＝12·23·34·45·…·n －1n， ∴a n a 1＝1n.又∵a 1＝1，∴a n ＝1n a 1＝1n.方法二 (n ＋1)a n ＋1－na n ＝0，∴na n ＝(n －1)a n －1＝…＝1×a 1＝1， ∴na n ＝1，a n ＝1n.。

数列的递推公式（选学）课堂探究一、通项公式与递推公式剖析：递推公式是：已知数列{}的第项(或前几项)，且从第二项(或某一项)开始的任一项与它的前一项－(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．通项公式是：一个数列{}的第项与项数之间的关系，如果可以用一个公式＝()来表示，我们就把这个公式叫做这个数列的通项公式．通项公式反映的是项与项数之间的关系，而递推公式反映的是相邻两项(或几项)之间的关系．对于通项公式，只要将公式中的依次取值，，，…即可得到相应的项；而递推公式则要已知首项(或前几项)，才可求得其他的项．往往我们要利用各种方法将递推公式转化为通项公式，通项公式能够更直接地研究数列．名师点拨：递推公式也是给出数列的一种重要方法，有时并不一定要知道数列的通项公式，只要知道数列的递推公式，即可解决问题，有的递推公式与通项公式之间也可以进行互化．二、教材中的“？”()你能猜想出例中这个数列的通项公式吗？剖析：数列{}的通项公式为＝．()你能比较例中与＋的大小吗？你能比较与＋的大小吗？剖析：不能比较与的大小．当为奇数时，＞；当为偶数时，＜．题型一由递推公式写出数列的项【例】在数列{}中，已知＝，＝，＋＝＋－(≥)，写出此数列的前六项．分析：通过观察，此题的递推公式是数列中相邻三项的关系式，知道前两项就可以求出后一项．解：＝，＝，＝－＝×－×＝，＝－＝×－×＝，＝－＝×－×＝，＝－＝×－×＝．反思：由递推公式写出数列的项的方法．()根据递推公式写出数列的前几项，首先要弄清楚公式中各部分的关系，依次代入计算即可；()解答这类问题时还需注意：若知道的是首项，通常将所给公式整理成用前面的项表示后面的项的形式；()若知道的是末项，通常将所给公式整理成用后面的项表示前面的项的形式．题型二由递推公式求通项公式【例】已知数列{}，＝，＝－＋(≥)．()写出数列{}的前项；()求数列{}的通项公式．分析：()中只需利用代入法依次求出，，，即可；()利用下列关系式①＝(－－)＋(－－－)＋…＋(－)＋(－)＋；②＝－进行累加与裂项相消即可求出{}的通项公式．解：()＝；＝＋＝；＝＋＝；＝＋＝；＝＋＝．()由＝－＋，得－－＝(≥)，∴＝(－－)＋(－－－)＋…＋(－)＋(－)＋＝＋＋…＋＋＋＝＋＋…＋)＋＋＝－＋＋＝－＝(∈)．反思：()根据递推公式写出数列的前几项，要弄清楚公式中各部分的关系，依次代入计算即可．另外，解答这类问题时还需注意：若知道的是首项，通常将所给公式整理成用前面的项表示后面的项的形式；若知道的是末项，通常将所给公式整理成用后面的项表示前面的项的形式．()累加法当－－＝()满足一定条件时，常用＝(－－)＋(－－－)＋…＋(－)＋累加来求通项公式．()累乘法如果递推关系可以变形为＝()·的形式，且()能够求积，则可用累乘法求数列的通项公式．题型三易错辨析【例】数列{}满足＝，以后各项由＋＝＋(－＋－)给出，写出这个数列的前项，并写出。

2.1.2 数列的递推公式（选学）5分钟训练(预习类训练,可用于课前)1.判断下列说法哪个是错误的( )A.递推公式也是数列的一种表示方法B.a n =a n-1(n≥2)是递推公式C.给出数列的方法只有图象、列表、通项公式D.a n =2a n-1(n≥2)是递推公式解析：通过图象、列表、通项公式我们可以确定一个数列，另外根据递推公式，并且知道数列的第一项，我们也可以确定数列，它也是给出数列的一种方法.a n =a n-1与a n =2a n-1，这两个关系式虽然比较特殊，但都表示的是数列中的任意项与它的前后项间的关系，所以都是递推公式.答案： C2.已知数列{a n }的第1项是1，第2项是2，以后各项由a n =a n-1+a n-2(n ＞2)给出，则该数列的第5项等于( )A.6B.7C.8D.9解析：∵a 1=1，a 2=2,a n =a n-1+a n-2，∴a 3=a 2+a 1=1+2=3,a 4=a 3+a 2=3+2=5,a 5=a 4+a 3=5+3=8.答案：C3.一个数列{a n }的首项a 1=1，从第二项起每一项等于它的前一项的2倍再加上后一项，请写出构成这个数列的递推公式a n =__________________.解析：这个数列给出的方法是不同的，它是由前后项之间的关系确定的，只需要根据已知条件就可以直接列出关系式，要注意n 的取值范围.答案：2a n-1+a n+1(n≥2)4.在数列{a n }中，a n+1=a n+2+a n ,a 1=2,a 2=5，则a 6的值为_______________.解析：∵a n+1=a n+2+a n ，∴a n+2=a n+1-a n ，则有a 6=a 5-a 4=(a 4-a 3)-a 4=-a 3=-(a 2-a 1)=a 1-a 2=2-5=-3.答案：-310分钟训练(强化类训练，可用于课中)1.已知a 1=1，a n+1=22+n n a a (n ∈N *)，依次写出{a n }的前5项为__________，归纳出a n =_________. 解析：题中已给出{a n }的第1项即a 1=1，根据递推公式：a n+1=22+n n a a ，将n=2,3,4,5代入可得这个数列的前5项.∴a 2=32,a 3=)42(21=,a 4=52,a 5=)62(31=．∴a n =12+n 答案：1，31,52,21,32 a n =12+n 2.数列{a n }满足a 1=1，a n =a n-1+n(n≥2)，则a 5=_____________.解析：由a n =a n-1+n(n≥2)，得a n -a n-1=n ，则a 2-a 1=2,a 3-a 2=3,a 4-a 3=4,a 5-a 4=5，把各式相加得a 5-a 1=2+3+4+5=14,∴a 5=14+a 1=14+1=15.答案：153.已知a 1=2，a n+1=2a n ,写出前5项，并猜想a n .解：将n=2,3,4,5代入a n+1=2a n ，可得：a 1=2,a 2=22,a 3=23,这样我们就很容易猜出通项公式a n =2n .4.已知数列{a n }：1,5,8,9,4，通过公式b n =a n ·a n+1构造一个新的数列{b n }，试写出数列{b n }的前4项.解：将序号1,2,3,4代入公式b n =a n ·a n+1，可得：b 1=a 1·a 2=1×5=5，b 2=a 2·a 3=5×8=40，b 3=a 3·a 4=8×9=72，b 4=a 4·a 5=9×4=36.所以数列{b n }的前4项为：5,40,72,36.5.下面是由数字排列的一个数列：7,9,16,25,41,66,107,173，写出其递推公式.解：通过观察我们可以发现这个数列的一个规律：每一项都等于其前两项的和，7+9=16,9+16=25,16+25=41,25+41=66,…所以递推公式为：a 1=7,a 2=9,a n =a n-1+a n-2(3≤n≤8).6.在数列{a n }中，a 1=1，4a n+1-a n a n+1+2a n =9(n ∈N )，写出它的前4项并归纳出用n 表示a n 的式子.解：∵4a n+1-a n a n+1+2a n =9(n ∈N ),∴a n+1(4-a n )+2a n =9.∴a n+1(4-a n )=9-2a n .∴a n+1=nn a a --429. ∴a 2=11429a a -- =3714129=-⨯-， a 3=51337)37(2942922=-⨯-=--a a a ， a 4=7195134)513(2942923=-⨯-=--a a . 则求出的这个数列的前4项为：1，719,513,37，可归纳出通项公式为：a n =1256--n n . 30分钟训练(巩固类训练，可用于课后)1.在数列{a n }中，a n =1，a n+1=a n 2-1(n≥1)，则a 1+a 2+a 3+a 4+a 5等于( )A.-1B.1C.0D.2解析：由已知a n+1=a n 2-1=(a n +1)(a n -1)，∴a 2=0,a 3=-1，a 4=0,a 5=-1.答案：A2.已知数列{a n }中，a 1=b （b 为任意正数），a n+1=11+-n a （n=1,2,3，…），能使a n =b 的n 的数值可以是( )A.14B.15C.16D.17解析：∵a 1=b ，a n+1=11+-n a ， ∴a 2=11+-b ，a 3=bb 1+-，a 4=b. ∴{a n }为周期为3的数列.由于a 1=a 4=b ，∴a 16=b.答案：C3.若数列{a n }满足：a n+1=na 11-且a 1=2，a 2006等于( ) A.1 B.2 C.2 D.21 解析：由a n+1=n a 11-以及a 1=2得，a 2=21211=-，a 3=1-2=-1，a 4=2，…，由此可见，数列{a n }的项是以3为周期重复出现的，故a 2006=a 3×668+2=a 2=21，故选D ． 答案：D4.数列{a n }的前9项是1,5,7,17,31,65,127,257,511，请写出这个数列所隐含的递推关系式a n =_____________.解析：1+5=6,5+7=12,7+17=24,等等.12与17差个5，24与31差个7，那么下一项是否差个17呢？17+31+17=65正符合，这样可以猜想出这个数列的递推关系式.答案：a 1=1,a 2=5,a n =a n-1+2a n-2(n≥3)5.某网络公司，2005年的市场占有率为A ，根据市场分析和预测，该公司自1996年起市场占有率逐年增加，其规律如下图所示：则该公司2007年的市场占有率为____________；写出其中的递推关系式：____________. 解析：2005年的市场占有率为A ，2006年的市场占有率为A+2A ，2007年的市场占有率为A+42A A +，发现前一年的占有率与后一年的占有率密切联系，可以得到前后两年的递推关系式.答案：47A 递推关系式为：⎪⎩⎪⎨⎧≥+===--221111n A a a n A a n n n 6.设二次方程a n x 2-a n+1x+1=0(n ∈N )有两根α和β，且满足6α-2αβ+6β=3.试用a n 表示a n+1.解：根据韦达定理，得α+β=n n a a 1+,α·β=na 1，由6α-2αβ+6β=3得6·321+=+n n n a a a ，又在二次方程中a n ≠0，故a n+1=3121+n a . 7.已知数列{a n }满足a 1=1，a n+1=αa n +β，且a 2=3,a 4=15，求α,β的值.解：由a 2=αa 1+β=α+β=3，得β=3-α.故a 3=αa 2+β=3α+β=2α+3，a 4=αa 3+β=α(2α+3)+3-α=2α2+2α+3=15.化简得α2+α-6=0.解得α=-3或α=2，代入β=3-α得β=6或β=1.故⎩⎨⎧=-=⎩⎨⎧=-=.6,3,6,3βαβα或代入检验皆成立. 8.平面内有n(n≥2)条直线，其中任何两条不平行，任何三条不过同一点，用a n 表示交点的个数，试写出a n 与a n-1的关系式.解：要想弄清a n 与a n-1的关系，需要先研究n=1,2,3,…,具体的关系.当n=2时，两条直线相交，交点只有1个，当n=3时，三条直线相交，交点有3个，……当n-1条直线相交时，交点个数为a n-1，现在来考虑n 条直线的情况.任取其中的1条直线，记为l ，除l 以外的其他n-1条直线的交点个数a n-1.又因为已知任何两条直线不平行，所以直线l 必与平面内其他n-1条直线都相交，有n-1个交点，又因为已知任何三条直线不过同一点，所以上面的n-1个交点两两不相同，且与平面内其他的a n-1个交点也两两不相同.从而平面内n 条直线交点的个数是a n =a n-1+(n-1).9.某鱼塘养鱼，由于改进了饲养技术，预计第一年产量的增长率为200%，以后每年的增长率是前一年增长率的一半，设此鱼塘里原来的鱼储存量为a.写出改进饲养技术后的第一年、第二年、第三年、第四年的产量，并写出第n 年与第(n-1)年（n ∈N 且n≥2）的产量之间的关系式（不要求证明）.解：不妨设改进技术后第n 年的产量为a n ，则a 1=a(1+200%)=3a ，a 2=a 1(1+21×200%)=6a ， a 3=a 2(1+221×200%)=9a ， a 4=a 3(1+321×200%)=a 445. 依此，得a n =a n-1(1+121-n ×200%)=a n-1［1+(21)n-2］（n ∈N *，n≥2）. 10.为了测试某种金属的热膨胀性质，将这种金属的一根细棒加热，从100 ℃开始第一次量细棒长度，以后每升高50 ℃量一次，把依次量得的数据所成的数列{l n }表示成图象，如下图，根据图象完成下列问题：（1）第5次量得金属棒的长度是多少？此时金属棒的温度是多少？（2）求{l n }的通项和金属棒长度l （m ）关于温度t （单位：℃）的函数关系式；（3）在30 ℃的温度条件下，如果把两块这种矩形金属板平铺在一个平面上，这个平面的最高温度可达到500 ℃，问铺设时两块金属板之间至少要留出多宽的空隙？解：(1)从图上不难看到第5次量得金属棒长度是 2.005 m ，这时温度为(5-1)×50+100=300 ℃.(2)设l n =dn+b ，由待定系数法可得通项公式l n =0.001n+2，由题意可得t=50(n-1)+100=50n+50，∴n=5050 t ，代入通项公式得所求函数关系式为l n =0.000 02t+1.999. （3）设当t=30 ℃时,金属板在某个面上长度为l′ m,当t=500 ℃时金属板在该个面的长度为l″ m ,l′=0.000 02×30+1.999,l″=0.000 02×500+1.999,则l″-l′=0.000 02×(500-30)=0.000 02×470=0.00 94(m)，这就是至少要留的空隙.。

2.1.2 数列的递推公式(选学)1.理解递推公式的含义重点2.掌握递推公式的应用难点3.会求数列中的最大小项易错点[基础·初探]教材整理数列的递推公式阅读教材P29～P30，完成下列问题.1.数列递推公式(1)两个条件：①已知数列的第1项(或前几项)；②从第二项(或某一项)开始的任一项a n与它的前一项a n－1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示.(2)结论：具备以上两个条件的公式叫做这个数列的递推公式.2.数列递推公式与通项公式的关系1.下列说法中正确的有________.(填序号)①根据通项公式可以求出数列的任意一项；②有些数列可能不存在最大项；③递推公式是表示数列的一种方法；④所有的数列都有递推公式.【解析】①正确.只需将项数n代入即可求得任意项.②正确.对于无穷递增数列，是不存在最大项的.③正确.递推公式也是给出数列的一种重要方法.④错误.不是所有的数列都有递推公式.例如2精确到1,0.1,0.01,0.001，…的近似值排列成一列数：1，1.4，1.41,1.414，…就没有递推公式.【答案】①②③2.已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＝2a n －1＋1(n ≥2)，则a 5＝________.【解析】 因为a 1＝1，a n ＝2a n －1＋1(n ≥2)，所以a 2＝3，a 3＝7，a 4＝15，所以a 5＝2a 4＋1＝31.【答案】 313.已知非零数列{a n }的递推公式为a 1＝1，a n ＝nn －1·a n －1(n >1)，则a 4＝________.【解析】 依次对递推公式中的n 赋值，当n ＝2时，a 2＝2；当n ＝3时，a 3＝32a 2＝3；当n ＝4时，a 4＝43a 3＝4.【答案】 44.已知数列{a n }中，a 1＝－12，a n ＋1＝1－1a n ，则a 5＝______________.【解析】 因为a 1＝－12，a n ＋1＝1－1a n ，所以a 2＝1－1a 1＝1＋2＝3，a 3＝1－13＝23，a 4＝1－32＝－12，a 5＝1＋2＝3.【答案】 3[小组合作型]n n n ＋1n ＋1＋ 2 016 2 015等于( )A.－13B.13C.－12D.12(2)已知数列{a n }，a 1＝1，a 2＝2，a n ＝a n －1＋a n －2(n ≥3)，则a 5＝________. 【精彩点拨】 结合已知项逐步代入递推公式求解. 【自主解答】 (1)由a n a n ＋1＝1－a n ＋1，得a n ＋1＝1a n ＋1， 又∵a 2 016＝2， ∴a 2 015＝－12，故选C.(2)由题知a 3＝a 2＋a 1＝3，a 4＝a 3＋a 2＝5， ∴a 5＝a 4＋a 3＝8. 【答案】 (1)C (2)8由递推公式写出数列的项的方法：(1)根据递推公式写出数列的前几项，首先要弄清楚公式中各部分的关系，依次代入计算即可.(2)若知道的是末项，通常将所给公式整理成用后面的项表示前面的项的形式，如a n ＝2a n ＋1＋1.(3)若知道的是首项，通常将所给公式整理成用前面的项表示后面的项的形式，如a n ＋1＝a n －12.[再练一题]1.已知数列{a n }的第一项a 1＝1，以后的各项由公式a n ＋1＝2a na n ＋2给出，试写出这个数列的前5项.【导学号：18082018】【解】 ∵a 1＝1，a n ＋1＝2a na n ＋2， ∴a 2＝2a 1a 1＋2＝23， a 3＝2a 2a 2＋2＝2×2323＋2＝12，a 4＝2a 3a 3＋2＝2×1212＋2＝25，a 5＝2a 4a 4＋2＝2×2525＋2＝13.故该数列的前5项为1，23，12，25，13.已知数列{a n }的通项公式a n ＝(n ＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫11n(n ∈N ＋)，试问数列{a n }有没有最大项？若有，求最大项和最大项的项数；若没有，说明理由.【精彩点拨】【自主解答】 法一：∵a n ＋1－a n ＝(n ＋2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1011n ＋1－(n ＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫1011n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1011n ·9－n 11，当n <9时，a n ＋1－a n >0，即a n ＋1>a n ； 当n ＝9时，a n ＋1－a n ＝0，即a n ＋1＝a n ； 当n >9时，a n ＋1－a n <0，即a n ＋1<a n ， 故a 1<a 2<a 3<…<a 9＝a 10>a 11>a 12>…，所以数列中有最大项，最大项为第9、10项， 即a 9＝a 10＝1010119.法二：设a k 是数列{a n }的最大项.则⎩⎪⎨⎪⎧a k ≥a k －1， a k ≥a k ＋1，即⎩⎪⎨⎪⎧k ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1011k≥k ⎝ ⎛⎭⎪⎫1011k －1，k ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1011kk ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1011k ＋1，整理得⎩⎪⎨⎪⎧10k ＋10≥11k ，11k ＋11≥10k ＋20，得9≤k ≤10，∴k ＝9或10，即数列{a n }中的最大项为a 9＝a 10＝1010119.求数列的最大(小)项的两种方法：一是利用判断函数增减性的方法，先判断数列的增减情况，再求数列的最大项或最小项；如本题利用差值比较法来探讨数列的单调性，以此求解最大项.二是设a k 是最大项，则有⎩⎪⎨⎪⎧a k ≥a k －1，a k ≥a k ＋1对任意的k ∈N ＋且k ≥2都成立，解不等式组即可.[再练一题]2.已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2－5n ＋4. (1)数列中有多少项是负数？【导学号：18082019】(2)n 为何值时，a n 有最小值？并求出最小值. 【解】 (1)由n 2－5n ＋4<0， 解得1<n <4.∵n ∈N ＋，∴n ＝2,3.∴数列中有两项是负数.(2)法一：∵a n ＝n 2－5n ＋4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫n －522－94，可知对称轴方程为n ＝52＝2.5.又∵n ∈N ＋，故n ＝2或3时，a n 有最小值，且a 2＝a 3，其最小值为22－5×2＋4＝－2.法二：设第n 项最小，由⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤a n ＋1，a n ≤a n －1，得⎩⎪⎨⎪⎧n 2－5n ＋4≤n ＋2－n ＋＋4，n 2－5n ＋n －2－n －＋4.解这个不等式组，得2≤n ≤3， ∴n ＝2,3.∴a 2＝a 3且最小. ∴a 2＝a 3＝22－5×2＋4＝－2.[探究共研型]na 1＝20，a n ＋1＝a n ＋2，你能归纳出数列{a n }的通项公式吗？【提示】 由a 1＝20，a n ＋1＝a n ＋2得a 2＝a 1＋2＝22，a 3＝a 2＋2＝24，a 4＝a 3＋2＝26，a 5＝a 4＋2＝28，…，由以上各项归纳可知a n ＝20＋(n －1)·2＝2n ＋18. 即a n ＝2n ＋18(n ∈N ＋，n ≤30). 探究2 在数列{a n }中，a 1＝3，a n ＋1a n＝2， 照此递推关系，你能写出{a n }任何相邻两项满足的关系吗？若将这些关系式两边分别相乘你能得到什么结论？【提示】 按照a n ＋1a n ＝2可得a 2a 1＝2，a 3a 2＝2，a 4a 3＝2，…，a na n －1＝2(n ≥2)，将这些式子两边分别相乘可得a 2a 1·a 3a 2·a 4a 3·…·a na n －1＝2·2·…·2. 则a n a 1＝2n －1，所以a n ＝3·2n －1(n ∈N ＋).探究3 在数列{a n }中，若a 1＝3，a n ＋1－a n ＝2，照此递推关系试写出前n 项中，任何相邻两项的关系，将这些式子两边分别相加，你能得到什么结论？【提示】 由a n ＋1－a n ＝2得a 2－a 1＝2，a 3－a 2＝2，a 4－a 3＝2，…，a n －a n －1＝2(n ≥2，n ∈N ＋)，将这些式子两边分别相加得：a 2－a 1＋a 3－a 2＋a 4－a 3＋…＋a n －a n －1＝2(n －1)，即a n －a 1＝2(n －1)，所以有a n ＝2(n －1)＋a 1＝2n ＋1，(n ∈N ＋).设数列{a n }是首项为1的正项数列，且a n ＋1＝nn ＋1a n (n ∈N ＋)，求数列的通项公式.【精彩点拨】 由递推公式，分别令n ＝1,2,3，得a 2，a 3，a 4，由前4项观察规律，可归纳出它的通项公式；或利用a n ＋1＝nn ＋1a n 反复迭代；或将a n ＋1＝nn ＋1a n 变形为a n ＋1a n ＝nn ＋1进行累乘；或将a n ＋1＝nn ＋1a n 变形式n ＋a n ＋1na n＝1，构造数列{na n }为常数列.【自主解答】 因为a n ＋1＝nn ＋1a n . 法一：(归纳猜想法)a 1＝1，a 2＝12×1＝12，a 3＝23×12＝13，a 4＝34×13＝14…猜想a n ＝1n.法二：(迭代法)因为a n ＋1＝nn ＋1a n ， 所以a n ＝n －1n a n －1＝n －1n ·n －2n －1a n －2＝…＝n －1n ·n －2n －1·…·12a 1，从而a n ＝1n. 法三：(累乘法)因为a n ＋1＝nn ＋1a n ，所以a n ＋1a n ＝n n ＋1， 则a n a n －1.a n －1a n －2.....a 2a 1＝n －1n .n －2n －1.. (12)， 所以a n ＝1n. 法四：(转化法)因为a n ＋1a n ＝n n ＋1， 所以n ＋a n ＋1na n＝1，故数列{na n }是常数列，na n ＝a 1＝1，∴a n ＝1n.由数列的递推公式求通项公式时，若递推关系为a n ＋1＝a n ＋f (n )或a n ＋1＝g (n )·a n ，则可以分别通过累加或累乘法求得通项公式，即：(1)累加法：当a n ＝a n －1＋f (n )时，常用a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1求通项公式.(2)累乘法：当a n a n －1＝g (n )时，常用a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·…·a 2a 1·a 1求通项公式.[再练一题]3.已知数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋3(n ∈N ＋)，写出这个数列的前5项，猜想a n 并加以证明.【解】 a 1＝2，a 2＝a 1＋3＝5， a 3＝a 2＋3＝8， a 4＝a 3＋3＝11， a 5＝a 4＋3＝14，猜想：a n ＝3n －1.证明如下：由a n ＋1＝a n ＋3得a 2＝a 1＋3， a 3＝a 2＋3， a 4＝a 3＋3，…，a n ＝a n －1＋3.将上面的(n －1)个式子相加，得a n －a 1＝3(n －1)，∴a n ＝2＋3(n －1)＝3n －1.1.已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1a n ＝12，则数列{a n }的通项公式是( ) A.a n ＝2n B.a n ＝12nC.a n ＝12n －1D.a n ＝1n2【解析】 a 1＝1，a 2＝12，a 3＝14，a 4＝18，观察得a n ＝12n －1.【答案】 C2.符合递推关系式a n ＝2a n －1的数列是( ) A.1,2,3,4，… B.1, 2，2,22，… C.2，2, 2，2，…D.0, 2，2,22，…【解析】 由递推公式可知符合该递推公式的数列，每一项的2倍为后一项，所以只有B 符合.【答案】 B3.若数列{a n }满足a n ＋1＝2a n －1，且a 8＝16，则a 6＝________________ 【解析】 由a n ＋1＝2a n －1，得a n ＝12(a n ＋1＋1)，∴a 7＝12(a 8＋1)＝172，a 6＝12(a 7＋1)＝194.【答案】1944.若数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫nn ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫23 n中的最大项是第k 项，则k ＝________. 【导学号：18082020】【解析】 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧k k ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫23kk －k －1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫23 k －1，kk ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫23 kk ＋k ＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫23 k ＋1，化简得又因为k ∈N ＋，所以k ＝4. 【答案】 45.已知数列{a n }满足下列条件，写出它的前5项，并归纳出数列的一个通项公式. (1)a 1＝0，a n ＋1＝a n ＋(2n －1)； (2)a 1＝1，a n ＋1＝2a na n ＋2. 【解】 (1)∵a 1＝0，a n ＋1＝a n ＋(2n －1)， ∴a 2＝a 1＋(2×1－1)＝0＋1＝1；a 3＝a 2＋(2×2－1)＝1＋3＝4； a 4＝a 3＋(2×3－1)＝4＋5＝9； a 5＝a 4＋(2×4－1)＝9＋7＝16.故该数列的一个通项公式是a n ＝(n －1)2. (2)∵a 1＝1，a n ＋1＝2a n2＋a n，∴a 2＝2a 12＋a 1＝23，a 3＝2a 22＋a 2＝12，a 4＝2a 32＋a 3＝25，a 5＝2a 42＋a 4＝13. ∴它的前5项依次是1，23，12，25，13.它的前5项又可写成21＋1，22＋1，23＋1，24＋1，25＋1， 故它的一个通项公式为a n ＝2n ＋1.。