一元二次方程的解法第一四版

一元二次方程归纳总结

1、一元二次方程的一般式：20 (0)axbxca，a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项。

2、一元二次方程的解法

（1）直接开平方法 （也可以使用因式分解法）

①2(0)xaa 解为：xa

②2()(0)xabb 解为：xab

③2()(0)axbcc 解为：axbc

④22()()()axbcxdac 解为：()axbcxd

（2）因式分解法：提公因式分，平方公式，平方差，十字相乘法

（3）公式法：一元二次方程20 (0)axbxca，用配方法将其变形为：2224()24bbacxaa

①当240bac时，右端是正数．因此，方程有两个不相等的实根：21,242bbacxa

② 当240bac时，右端是零．因此，方程有两个相等的实根：1,22bxa

③ 当240bac时，右端是负数．因此，方程没有实根。

注意：虽然所有的一元二次都可以用公式法来求解，但它往往并非最简单的，一定要注意方法的选用。

备注：公式法解方程的步骤：

①把方程化成一般形式：一元二次方程的一般式：20 (0)axbxca，并确定出a、b、c

②求出24bac，并判断方程解的情况。

③代公式：21,242bbacxa（要注意符号）

3、一元二次方程的根与系数的关系

法1：一元二次方程20 (0)axbxca的两个根为：

221244,22bbacbbacxxaa

所以：22124422bbacbbacbxxaaa，

22222122244()(4)422(2)4bbacbbacbbacaccxxaaaaa 定理：如果一元二次方程20 (0)axbxca定的两个根为12,xx，那么：

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一元二次方程解法讲义（全四讲）

第一讲 直接开平

一、学习目标

了解形如20xhkk的一元二次方程的解法——直接开平方法；

能够熟练而准确的运用开平方法求一元二次方程的解．

二、知识回顾

1．什么叫做平方根?平方根有哪些性质？

平方根的定义：如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根．

用式子表示：若x2=a，则x叫做a的平方根．

记作x=a，即x=a或x=a．

如：9的平方根是3；425的平方根是25．

平方根的性质：

（1）一个正数有两个平方根，这两个平方根是互为相反数的；

（2）0的平方根是0；

（3）负数没有平方根．

2．x2=4，则x=±2.

想一想：求x2=4的解的过程，就相当于求什么的过程？

三、新知讲解

四、典例探究

1．用直接开平方法求一元二次方程的解

【例1】解方程：（1）2x2﹣8=0；（2）（2x﹣3）2=25．

分析：（1）先变形得到x2=4，然后利用直接开平方法求解；

（2）首先两边直接开平方可得2x﹣3=±5，再解一元一次方程即可．

解答：解：（1）x2=4， 直接开平方法解一元二次方程

一般地，运用平方根的定义直接开平方求出一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法．

对结构形如2()(0,0)axbcac的一元二次方程来说，因为0c，所以在方程两边直接开平方，可得axbc，进而求得(0)cbxca．

注：

（1）直接开平方法是解一元二次方程最基本的方法，它主要针对形如2()(0,0)axbcac的一元二次方程，它的理论依据就是平方根的定义．

（2）利用直接开平方法解一元二次方程时，要注意开方的结果取“正、负”．

（3）当0c时，方程没有实数根．

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两边直接开平方，得x1=2，x2=﹣2．

（2）两边直接开平方，得2x﹣3=±5，

则2x﹣3=5，2x﹣3=﹣5，

所以x=4，x=﹣1．

点评：本题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法：形如x2=p或（nx+m）2=p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法求解．

1 一元二次方程的概念及解法

1、一元二次方程

一．一元二次方程的概念

只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程．一元二次方程的一般形式：20(0)axbxca，a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项．

判断是一元二次方程的标准：①整式方程 ②一元方程 ③二次方程

二．一元二次方程的解

一元二次方程的解：使方程左、右两边相等的未知数的值叫做方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根．

一．考点：一元二次方程的概念，一元二次方程的解．

知识图谱

知识精讲

三点剖析

2 二．重难点：一元二次方程的一般形式，一元二次方程的解．

三．易错点：

1. 确定方程是否为一元二次方程只需要检验最高次项—--二次项的系数是否为零即可；

2. 注意对于关于x的方程20axbxc，当0a时，方程是一元二次方程；当0a且0b时，方程是一元一次方程；

3. 一元二次方程的系数一定要化为一般式之后再看．

题模一：概念

例1.1.1 下列方程中是关于x的一元二次方程的是（ ）

A． 2210xx B． 20axbxc

C． 223253xxx D． 121xx

例1.1.2 方程(2)310mmxmx是关于x的一元二次方程，则m______

例1.1.3 若方程211mxmx是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是__________．

例1.1.4 方程13242xx的二次项系数是______，一次项系数是_______，常数项是_______

题模二：解

例1.2.1 关于x的一元二次方程22110axxa的一个根是0，则a的值为_________________．

例1.2.2 已知1x是关于x的方程20xmxn的一个根，则222mmnn的值为_______．

一元二次方程的解法

（直接开平方法）

教学目标

（一） 使学生会解x^2=m(m≥0)型方程，并知道这种解法的算法；

（二） 使学生理解换元的数学思想，并会解（x+a）^2=m（m≥0）型方程；

（三） 训练学生准确、迅速的计算能力.

教学重点和难点

重点：会解x^2=m(m≥0)、(x+a)^2=m(m≥0)型方程.

难点：正确表示方程的两个根.

教学过程设计

（一） 复习

联系上一节课，提出新需求：

上一节课，在开始时根据题意我们提出了两个解法，得到了两个一元二次方程：

x^2+5x-150=0和x^2-5x-150=0

同学们自然要问，这两个方程的形式（一次项系数）

不同，结果会一样吗？

实践是检验真理的标准，最有说服力的办法是把这两个方程的根解出来比较.于是，提出一个新的需求：怎样解一元二次方程？

（二） 新课

从简单到复杂，逐步攻克难关.

1.我们已经知道一元二次方程的一般形式是ax^2+bx+c=0（a≠0）.其中a，b，c的取值，a绝不可能为零（为什么？），至于b，c没有限制，b，c中有一个为零或两个都为零，仍属一元二次方程.可以用下面的表格把一元二次方程分类

ax^2+bx+c=0

(a≠0) b,c全不为零ax^2+bx+c=0(a≠0,b≠0,c≠0) (叫做完全的一元二次方程)

b，c可能为0 b，c有且只有一个为0

ax^2+c=0(b=0,c≠0)

b,c都为0 ax^2=0（b=0，c=0）

我们把ax^2=0(a≠0),ax^2+c=0(a≠0,c≠0)和ax^2+bx=0(a≠0,b≠0)都叫做不完全的一元二次方程.今天我们来解ax^2=0和ax^2+c=0两种类型.

2.怎样解ax^2=0(a≠0)，算理是什么？

例1 解方程：3x^2=0.

启发学生（1）先化成x^2=0（算理是：方程两边除以

同一个部位零的数，所得的方程与原方程是同解方程）；