天体运动之追及变轨

天体运动专题讲座：天体运动中的几个“特殊”问题天体运动部分的绝大多数问题，解决的原理及方法比较单一，处理的基本思路是：将天体的运动近似看成匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力列方程，向心加速度按涉及的运动学量选择相应的展开形式。

如有必要，可结合黄金代换式简化运算过程。

不过，还有几类问题仅依靠基本思路和方法，会让人感觉力不从心，甚至就算找出了结果但仍心存疑惑，不得要领。

这就要求我们必须从根本上理解它们的本质，把握解决的关键，不仅要知其然，更要知其所以然。

一、变轨问题例：某人造卫星因受高空稀薄空气的阻力作用，绕地球运转的轨道会慢慢改变。

每次测量中卫星的运动可近似看作圆周运动，某次测量卫星的轨道半径为，后来变为，以、表示卫星在这两个轨道上的线速度大小，、表示卫星在这两个轨道上绕地球运动的周期，则（）A．，， B．，，C．，，D．，，二、双星问题例：在天体运动中，将两颗彼此相距较近的行星称为双星。

它们在相互的万有引力作用下间距保持不变，并沿半径不同的同心圆轨道做匀速圆周运动。

如果双星间距为，质量分别为和，试计算：（1）双星的轨道半径；（2）双星的运行周期；（3）双星的线速度。

分析：双星系统中，两颗星球绕同一点做匀速圆周运动，且两者始终与圆心共线，相同时间内转过相同的角度，即角速度相等，则周期也相等。

但两者做匀速圆周运动的半径不相等。

三、追及问题例：两颗卫星在同一轨道平面内绕地球做匀速圆周运动，地球半径为，卫星离地面的高度等于，卫星离地面高度为，则：（1）、两卫星运行周期之比是多少？（2）若某时刻两卫星正好同时通过地面同一点正上方，则至少经过多少个周期与相距最远？分析：两卫星周期之比可按基本思路处理；要求与相距最远的最少时间，其实是一个追及和相遇问题，可借用直线运动部分追及和相遇问题的处理思想，只不过，关键一步应该变换成“利用角位移关系列方程”。

或直接将角位移关系转化成转动圈数关系，运算过程更简洁。

四、超失重问题例：某物体在地面上受到的重力为，将它放置在卫星中，在卫星以加速度随火箭加速上升的过程中，当物体与卫星中的支持物的相互压力为时，求此时卫星距地球表面有多远？（地球半径，取）分析：物体具有竖直向上的加速度，处于超重状态，物体对支持物的压力大于自身实际重力；而由于高空重力加速度小于地面重力加速度，同一物体在高空的实际重力又小于在地面的实际重力。

最新高中物理天体运动热点难点重点卫星变轨问题深度解析高中物理天体运动热点难点重点卫星变轨问题深度解析(包教会)卫星变轨问题引例：飞船发射及运行过程：先由运载火箭将飞船送入椭圆轨道，然后在椭圆轨道的远地点A实施变轨，进入预定圆轨道，如图所示，飞船变轨前后速度分别为v1、v2，变轨前后的运行周期分别为T1、T2，飞船变轨前后通过A点时的加速度分别为a1、a2，则下列说法正确的是A．T1＜T2，v1＜v2，a1＜a2B．T1＜T2，v1＜v2，a1＝a2C．T1＞T2，v1＞v2，a1＜a2D．T1＞T2，v1＝v2，a1＝a2解答：首先，同样是A点，到地心的距离相等，万有引力相等，由万有引力提供的向心力也相等，向心加速度相等。

如果对开普勒定律比较熟悉，从T的角度分析：由开普勒定律知道，同样的中心体，k=a /T 为一常数。

从图中很容易知道，圆轨道的半径R大于椭圆轨道的半长轴a，这样可得圆轨道上运行的周期T2大于椭圆轨道的周期T1。

如果对离心运动规律比较熟悉，从v的角度分析：1、当合力[引力]不足以提供向心力（速度比维持圆轨道运动所需的速度大）时，物体偏离圆轨道向外运动，这一点可以说明椭圆轨道近地点天体的运动趋向。

2、当合力[引力]超过运动向心力（速度比维持圆轨道运动所需的速度小）时，物体偏离圆轨道向内运动，这一点可以说明椭圆轨道远地点天体的运动趋向。

对椭圆轨道，A点为远地点，由上述第2条不难判断，在椭圆轨道上A点的运行速度v1比圆轨道上时A点的速度v2小。

综上，正确选项为B。

注意：变轨的物理实质就是变速。

由低轨变向高轨是加速，由高轨变向低轨是减速。

其基本操作都是打开火箭发动机做功，但加速时做正功，减速时做负功。

一、人造卫星基本原理1、绕地球做匀速圆周运动的人造卫星所需向心力由万有引力提供。

2、轨道半径r确定后，与之对应的卫星线速度vGMGMr3、周期T2、向心加速度a也都是唯一确定2rrGM的。

3、如果卫星的质量是确定的，那么与轨道半径r对应的卫星的动能Ek、重力势能Ep和总机械能E机也是唯一确定的。

第四章曲线运动天体运动热点问题【考点预测】1.卫星的变轨问题2. 星球稳定自转的临界问题3. 双星、多星模型4. 天体的“追及”问题5.万有引力定律与几何知识的结合【方法技巧与总结】卫星的变轨和对接问题1．变轨原理(1)为了节省能量，在赤道上顺着地球自转方向发射卫星到圆轨道Ⅰ上，如图所示．(2)在A点(近地点)点火加速，由于速度变大，万有引力不足以提供卫星在轨道Ⅰ上做圆周运动的向心力，卫星做离心运动进入椭圆轨道Ⅱ.(3)在B点(远地点)再次点火加速进入圆形轨道Ⅲ.2．变轨过程分析(1)速度：设卫星在圆轨道Ⅰ和Ⅲ上运行时的速率分别为v1、v3，在轨道Ⅱ上过A点和B 点时速率分别为v A、v B.在A点加速，则v A>v1，在B点加速，则v3>v B，又因v1>v3，故有v A>v1>v3>v B.(2)加速度：因为在A点，卫星只受到万有引力作用，故不论从轨道Ⅰ还是轨道Ⅱ上经过A点，卫星的加速度都相同，同理，卫星在轨道Ⅱ或轨道Ⅲ上经过B点的加速度也相同．(3)周期：设卫星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道上的运行周期分别为T1、T2、T3，轨道半径分别为r1、r2(半长轴)、r3，由开普勒第三定律r3T2＝k可知T1<T2<T3.(4)机械能：在一个确定的圆(椭圆)轨道上机械能守恒．若卫星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道的机械能分别为E1、E2、E3，从轨道Ⅰ到轨道Ⅱ，从轨道Ⅱ到轨道Ⅲ，都需要点火加速，则E1<E2<E3. 【题型归纳目录】题型一：卫星的变轨问题题型二：星球稳定自转的临界问题题型三：双星模型题型四：天体的“追及”问题【题型一】卫星的变轨问题【典型例题】例1．（2023·安徽·校联考模拟预测）《天问》是中国战国时期诗人屈原创作的一首长诗，全诗问天问地问自然，表现了作者对传统的质疑和对真理的探索精神，我国探测飞船天问一号发射成功飞向火星，屈原的“天问”梦想成为现实，也标志着我国深空探测迈向一个新台阶，如图所示，轨道1是圆轨道，轨道2是椭圆轨道，轨道3是近火圆轨道，天问一号经过变轨成功进入近火圆轨道3，已知引力常量G，以下选项中正确的是（）A．天问一号在B点需要点火加速才能从轨道2进入轨道3B．天问一号在轨道2上经过B点时的加速度大于在轨道3上经过B点时的加速度C．天问一号进入近火轨道3后，测出其近火环绕周期T，可计算出火星的平均密度D．天问一号进入近火轨道3后，测出其近火环绕周期T，可计算出火星的质量【方法技巧与总结】卫星的变轨问题卫星变轨的实质卫星速度突然增大卫星速度突然减小练1．（2023·广东·广州市第二中学校联考三模）天问一号火星探测器搭乘长征五号遥四运载火箭成功发射意味着中国航天开启了走向深空的新旅程。

2019版高考物理一轮复习第5章天体运动第21课时卫星的变轨与追及问题以及双星与多星问题学案考点1 卫星的变轨问题1．卫星的变轨就是卫星在原来轨道上运行，由于速度突然变大或变小而偏离原来轨道的过程。

2．分类⎩⎪⎨⎪⎧椭圆轨道圆轨道―→椭圆轨道(1) (2)圆轨道―→椭圆轨道由一个圆轨道到另一个圆轨道至少要经过两次变轨。

3．卫星发射及变轨过程概述人造卫星的发射过程要经过多次变轨方可到达预定轨道，如图所示。

(1)为了节省能量，在赤道上顺着地球自转方向发射卫星到圆轨道Ⅰ上。

(2)在A 点点火加速，由于速度变大，万有引力不足以提供向心力，卫星做离心运动进入椭圆轨道Ⅱ。

(3)在B 点(远地点)再次点火加速卫星做离心运动进入圆形轨道Ⅲ。

[例1] (2017·四川宜宾考试)在发射一颗质量为m 的人造地球同步卫星时，先将其发射到贴近地球表面运行的圆轨道Ⅰ上(离地面高度忽略不计)，再通过一椭圆轨道Ⅱ变轨后到达距地面高为h 的预定圆轨道Ⅲ上。

已知它在圆形轨道Ⅰ上运行的加速度为g ，地球半径为R ，卫星在变轨过程中质量不变，则( )A ．卫星在轨道Ⅲ上运行的加速度为2ggR2R ＋h＝v 上运行的线速度为Ⅲ．卫星在轨道B C ．卫星在轨道Ⅲ上运行时经过P 点的速率等于在轨道Ⅱ上运行时经过P点的速率D．卫星在轨道Ⅲ上的机械能小于在轨道Ⅰ上的机械能解析由G＝m＝ma及＝mg，解得卫星在轨道Ⅲ上运行的加速度a＝2g，卫星在轨道Ⅲ上运行的线速度为v＝，故A错误、B正确；卫星在轨道Ⅲ上运行时经过P点的速率大于在轨道Ⅱ上运行时经过P点的速率，故C错误；卫星在轨道Ⅲ上的机械能大于在轨道Ⅰ上的机械能，故D错误。

答案B卫星变轨问题(1)一般变轨位置，不是在近地点，就是在远地点。

(2)卫星发射与回收过程，可以看成可逆过程去理解。

(3)相关物理量的比较①卫星在两个不同轨道的“切点”处线速度v不相等，图中vⅢ>vⅡB，vⅡA>vⅠ。

高中物理：天体运动中的追及相遇问题，卫星的追及和相遇问题地面上的物体常常出现追及相遇问题，关键是找出它们的位移、速度和时间等关系，运动路线应该在同一轨道上。

天体运动中也有追及相遇问题，它与地面上的追及相遇问题在思维有上相似之处，即也是找出一些物理量的关系，但它也不同之处，有其自身特点。

根据万有引力提供向心力，即，所以当天体速度增加或减少时，对应的圆周轨道会发生相应的变化，所以天体不可能能在同一轨道上追及或相遇。

分析天体运动的追及相遇重点是角度、角速度和时间等关系的判断。

1、追及问题例1、如图1所示，有A 、B 两颗行星绕同一颗恒星M 做圆周运动，旋转方向相同，A 行星的周期为T 1，B 行星的周期为T 2，在某一时刻两行星相距最近，则①经过多长时间，两行星再次相距最近？②经过多长时间，两行星第一次相距最远？解析：A 、B 两颗行星做匀速圆周运动，由万有引力提供向心力，因此T 1<T 2。

可见当A 运动完一周时，B 还没有达到一周，但是要它们的相距最近，只有A 、B 行星和恒星M 的连线再次在一条直线上，且A 、B 在同侧，从角度看，在相同时间内，A 比B 多转了2π；如果A 、B在异侧，则它们相距最远，从角度看，在相同时间内，A 比B 多转了π。

所以再次相距最近的时间t1，由；第一次相距最远的时间t 2，由。

如果在问题中把“再次”或“第一次”这样的词去掉，那么结果如何？2、相遇问题1月14日高中物理例2、设地球质量为M，绕太阳做匀速圆周运动，有一质量为m的飞船由静止开始从P点沿PD方向做加速度为a的匀加速直线运动，1年后在D点飞船掠过地球上空，再过3个月又在Q处掠过地球上空，如图2所示（图中“S”表示太阳）。

根据以上条件，求地球与太阳之间的万有引力大小。

解析：飞船开始与地球相当于在D点相遇，经过3个月后，它们又在Q点相遇，因此在这段时间内，地球与太阳的连线转过的角度。

设地球的公转周期为T，飞船由静止开始做加速度为a的匀加速直线运动，则地球的公转半径为所以 地球与太阳之间的万有引力大小为例3、阅读下列信息，并结合该信息解题：（1）开普勒从1609年～1619年发表了著名的开普勒行星运动三定律，其中第一定律为：所有的行星分别在大小不同的椭圆轨道上围绕太阳运动，太阳在这个椭圆的一个焦点上。

天体运动中的追及相遇问题信阳高中陈庆威在天体运动的问题中，我们常遇到一些这样的问题。

比如，A、B两物体都绕同一中心天体做圆周运动，某时刻A、B相距最近，问A、B下一次相距最近或最远需要多少时间，或“至少”需要多少时间等问题。

而对于此类问题的解决和我们在直线运动中同一轨道上的追及相遇问题在思维有上一些相似的地方，即必须找出各相关物理量间的关系，但它也有其自身特点。

根据万有引力提供向心力，即当天体速度增加或减少时，对应的圆周轨道就会发生相应的变化，所以天体不可能在同一轨道上实现真正意义上的追及或相遇。

天体运动的追及相遇问题中往往还因伴随着多解问题而变得更加复杂，成为同学们学习中的难点。

而解决此类问题的关键是就要找好角度、角速度和时间等物理量的关系。

一、追及问题【例1】如图1所示，有A、B两颗行星绕同一颗恒星M做圆周运动，旋转方向相同，A行星的周期为T1，B行星的周期为T2，在某一时刻两行星相距最近，则①经过多长时间，两行星再次相距最近？②经过多长时间，两行星第一次相距最远？解析：A、B两颗行星做匀速圆周运动，由万有引力提供向心力，因此T1<T2。

可见当A运动完一周时，B还没有达到一周，但是要它们的相距最近，只有A、B行星和恒星M的连线再次在一条直线上，且A、B在同侧，从角度上看，在相同时间内，A比B多转了2π；如果A、B在异侧，则它们相距最远，从角度上看，在相同时间内，A比B多转了π。

所以再次相距最近的时间t1，由；第一次相距最远的时间t2，由。

如果在问题中把“再次”或“第一次”这样的词去掉，那么就变成了多解性问题。

【例2】如图2，地球和某行星在同一轨道平面内同向绕太阳做匀速圆周运动。

地球的轨道半径为R，运转周期为T。

地球和太阳中心的连线与地球和行星的连线的夹角叫地球对行星的观察视角（简称视角）。

已知该行星的最大视角为θ，当行星处于最大视角处时，是地球上天文爱好者观察该行星的最佳时期。

若某时刻该行星正好处于最佳观察期，问该行星下一次处于最佳观察期至少需经历多长时间？解析：由题意可得行星的轨道半径θsin R r =设行星绕太阳的运行周期为T /，由开普勒大三定律有：2323T r T R '=，得：θ3sin T T =' 绕向相同，行星的角速度比地球大，行星相对地球θθπππω33sin )sin 1(222T T T -=-'=∆ 某时刻该行星正好处于最佳观察期，有两种情况：一是刚看到；二是马上看不到,如图3所示。

天体的“环绕”与“变轨”运动例题：研究表明，地球自转在逐渐变慢，3亿年前地球自转的周期约为22小时。

假设这种趋势会持续下去，地球的其他条件都不变，未来人类发射的地球同步卫星与现在的相比A ．距地面的高度变大B ．向心加速度变大C ．线速度变大D ．角速度变大【母题1】我国发射的“天宫一号”和“神州八号”在对接前，“天宫一号”的运行轨道高度为350km ，“神州八号”的运行轨道高度为343km ，它们的运行轨道视为圆周，则（ ）A ．“天宫一号”比“神州八号”速度大B ．“天宫一号”比“神州八号”周期长C ．“天宫一号”比“神州八号”角速度大D ．“天宫一号”比“神州八号”加速度大【母题2】“天宫一号”和“神舟十号”交会对接成功，标志着我国在对接技术上迈出了重要一步，用M 代表“神舟十号”，N 代表“天宫一号”，它们对接前做圆周运动的情形如图所示，则（ ）A ．M 的运行速度小于N 的运行速度B ．M 的向心加速度大于N 的向心加速度C ．M 的运行周期大于N 的运行周期D ．M 适度加速可与N 对接【母题3】2011年4月10日，我国成功发射了第8颗北斗导航卫星，建成以后北斗导航卫星系统将包含多颗地球同步卫星，这有助于减少我国对GPS 导航系统的依赖，GPS 由运行周期为12小时的卫星群组成，则北斗导航卫星系统中地球同步卫星和GPS 导航系统中卫星的向心加速度之比为（ ）A ．34B ．443C ．33D ．423 【母题4】卫星1和卫星2在同一轨道上绕地球做匀速圆周运动，圆心为O ，轨道半径为r ，某时刻两颗卫星分别位于轨道上的A 、B 两位置，两卫星与地心O 连线间的夹角为60°，如图所示，若卫星均沿顺时针方向运行，地球表面处的重力加速度为g ，地球半径为R ，不计卫星间的相互作用力，下列判断正确的是（ ）A ．这两颗卫星的加速度大小均为22r g RB ．卫星1由A 第一次运动到B 所用的时间为gr R r π3 C ．卫星1向后喷气就一定能追上卫星2 D ．卫星1由A 运动到B 的过程中，万有引力对它做正功【母题5】假设人造卫星绕地球做匀速圆周运动，当卫星绕地球运动的轨道半径增大到原来的2倍时，则有（ ）A ．卫星运动的线速度将减小到原来的一半B ．卫星所受的向心力将减小到原来的四分之一C ．卫星运动的周期将增大到原来的2倍D ．卫星运动的线速度将减小到原来的22【母题6】2010年10月1日，继 “嫦娥一号” 卫星成功发射之后， “嫦娥二号”卫星再次发射成功．这是我国航天史上的另一重要成果。

卫星变轨问题引例：飞船发射及运行过程：先由运载火箭将飞船送入椭圆轨道，然后在椭圆轨道的远地点A 实施变轨，进入预定圆轨道，如图所示，飞船变轨前后速度分别为v1、v2，变轨前后的运行周期分别为T1、T2，飞船变轨前后通过A 点时的加速度分别为a1、a2，则下列说法正确的是 A ．T1＜T2，v1＜v2，a1＜a2 B ．T1＜T2，v1＜v2，a1＝a2C ．T1＞T2，v1＞v2，a1＜a2D ．T1＞T2，v1＝v2，a1＝a2解答：首先，同样是A 点，到地心的距离相等，万有引力相等，由万有引力提供的向心力也相等，向心加速度相等。

如果对开普勒定律比较熟悉，从T 的角度分析：由开普勒定律知道，同样的中心体，k=a^3/T^2为一常数。

从图中很容易知道，圆轨道的半径R 大于椭圆轨道的半长轴a ，这样可得圆轨道上运行的周期T2大于椭圆轨道的周期T1。

如果对离心运动规律比较熟悉，从v 的角度分析：1、当合力[引力]不足以提供向心力（速度比维持圆轨道运动所需的速度大）时，物体偏离圆轨道向外运动，这一点可以说明椭圆轨道近地点天体的运动趋向。

2、当合力[引力]超过运动向心力（速度比维持圆轨道运动所需的速度小）时，物体偏离圆轨道向内运动，这一点可以说明椭圆轨道远地点天体的运动趋向。

对椭圆轨道，A 点为远地点，由上述第2条不难判断，在椭圆轨道上A 点的运行速度v1比圆轨道上时A 点的速度v2小。

综上，正确选项为B 。

注意：变轨的物理实质就是变速。

由低轨变向高轨是加速，由高轨变向低轨是减速。

其基本操作都是打开火箭发动机做功，但加速时做正功，减速时做负功。

一、人造卫星基本原理1、绕地球做匀速圆周运动的人造卫星所需向心力由万有引力提供。

2、轨道半径r 确定后，与之对应的卫星线速度r GM v =、周期GMr T 32π=、向心加速度2r GM a =也都是唯一确定的。

3、如果卫星的质量是确定的，那么与轨道半径r 对应的卫星的动能E k 、重力势能E p 和总机械能E 机也是唯一确定的。