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复变函数与积分变换试题与答案一、单项选择题（每题4分，共16分）1、当 ()z f 为下面（ ）项时，⎰=≠2|z |0dz )z (f ： A 、 e z cosz B 、21)-z (1 C 、 1z 1- D 、π-z 1 2、点 z =21 关于单位圆 | z | = 1 的对称点是（ ） A 、 1 + i B 、2 C 、 2 i D 、 －23、下列各项中o 正o确的是（ ）A 、| sin z | ≤1B 、 Ln z 2 = 2 Ln zC 、f(z)= e z 的周期是2πiD 、arg z 1z 2 = arg z 1 + arg z 2 4、若z 0是f (z) 的m 阶极点，下列说法o 错o误的是（ ）A 、z 0是)z (f 1的m 阶零点 B 、)z (f lim o z z →存在 C 、f(z) 在z 0不解析 D 、)z (f lim oz z →= ∞ 二、计算题（每题6分，共30分）1、设 z =i1i 3+ 求 | z | 、 arg z 和 z3、求 Ln （1－ i ） 及其主值 ln （1－ i ）2、求 ⎰cz dz 其中 c: z = 0 到 z = 2 + i 的直线段4、设 z = 2 + 2 i ,写出z 的指数表达式，并计算 ( 2 + 2 i )45、求在映射f (z) = z 2 +3z 下，过点z =2i 的光滑曲线C 在该点的转角和伸缩率三、解答题（每题7分，共35分）1、求方程 z 3 － 8 i = 0 的全部三个根1、f (z ) = 2 x 3+3 y 3i 在何处可导? 何处解析？ 如果可导，求出f '(z).3、求dz )4z )(1z (z e 2|z |2z ⎰=-- （ C 为正向）4、将 f(z) =2)1z )(z 2(1-- 在 0< |z －1| <1 上展开成罗朗级数。
（幂为(z －1）)5、指出 f(z) =6zsinz z - 在有限复平面上的孤立奇点及类型，并求奇点处的留数四、 解答题（1、2题6分，3题7分共19分）1、求将上半平面 Im z > 0 保形映照到单位圆 | w | < 1内， 且满足 f ( 2 i )= 0，arg ) i 2(f ' =2π 的分式线性映照。
第1页共4页上海海事大学试卷2013—2014学年第一学期期末考试《复变函数与积分变换》（A 卷）班级学号姓名总分一、填空题（共10题，每空3分，共30分）请将正确答案写在题目后面的横线上1．复平面中1Rez 2=所表示的平面曲线为___________.2．方程e 10z --=的解z=________________________________.3．-1的三次根是_____________________________________________.4．3223()33,f z x x yi xy y i z x yi =+--=+其中，则()f z '=______________________.5．2124z dz z z ==++⎰ ________________.6．0z i e dz π--=⎰________________.7．设C 为正向圆周|ζ|=2，c sin 3(z)d -zf πζζ=⎰ ，其中|z|<2，则(1)f '=_______________.8．设100i)(1z +=，则Imz ＝___________________________.9．已知函数[()](),[()]f t F tf t ω==则F F _________.10.若12120,0;0,0;()()()()=1,0,,0,t t t f t f t f t f t t e t -<<⎧⎧==*⎨⎨≥≥⎩⎩则_____________.题目一二三四五六得分阅卷人--------------------------------------------------------------------------------------装订线------------------------------------------------------------------------------------第2页共4页二、计算下列积分（共2题，其中第1题8分，第2题12分，共20分）1.(1)d cz z -⎰，其中积分路径C 为从点0到点1+i 的直线段.2．dz a z e c 22z⎰+,其中c:｜z ｜=b 正向，且b>｜a ｜.第3页共4页三、（10分）将函数)2)(1(1--z z 分别在区域0<|z -1|<1,1<|z -2|<+∞内展开为洛朗级数四、求下列积分变换（共2题，其中第1题8分，第2题12分，共20分）1.利用定义求函数()tf t e -=的Fourier 变换2.求22233()(1)(3)s s F s s s ++=++的Laplace 逆变换第4页共4页五、（10分）利用拉氏变换解常微分方程的初值问题2e ,(0)(0)(0)0t y y y y y '''''''+====六、（10分）利用留数方法计算()22022d ,0x x a x a +∞>+⎰。
复变函数与积分变换期末考试试卷（A 卷）一、单项选择题(本大题共15小题，每小题2分，共30分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1．下列复数中，位于第四象限的复数是（ ）A. 4+3iB. -3-3iC.-1+3iD.5-3i 2．下列等式中，不成立的等式是（ ） A. z·z =Re (z·z ).arg(3)arg()B i i -=- .rg(3)arg(3)C A =2.||D z z z ⋅=3．不等式 ||3z > 所表示的区域为（ ） A. 圆的外部B.上半平面C. 角形区域D.圆的内部4．积分||322z dz z =-⎰的值为（ ）A. 8i πB.2C. 2i πD. 4i π 5．下列函数中，在整个复平面上解析的函数是（ ）.z A z e +.sin z B z e + .tan z C z e + .R e ()s i n D z z+6．在复平面上，下列命题中，错误．．的是（ ）A. cosz 是周期函数B. ze 是解析函数.cos sin iz C e z i z =+.||D z =7．在下列复数中，使得ze =成立的是（ ）.ln 224iA z i ππ=++.ln 424iB z i ππ=++.ln 22C z i π=+.l n 42D z iπ=+ 8．设C 为正向圆周1||=z , 则积分 cos z c e dzz⎰等于（ ）A ．2πB ．2πiC ．0D ．－2π 9．设C 为正向圆周||2z =, 则21(1)C dz z i --⎰等于（ ）A.i21π B. 0 C.i 2πD.2i π-10．以下关于级数的命题不正确的是（ ）A.级数0327nn i ∞=+⎛⎫⎪⎝⎭∑是绝对收敛的B.级数212(1)n n in n ∞=⎛⎫+ ⎪-⎝⎭∑是收敛的 C.级数01(1)2n n n i n ∞=⎛⎫-+ ⎪⎝⎭∑是收敛的D.级数212n n i n ∞=⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑是收敛的11．已知31z i =+，则下列正确的是（ ）12.iA z π=34.iB z eπ=712.i C z π=3.iD z π=12．下列关于幂级数的叙述，不正确 的是（ ） A.在收敛圆内，幂级数绝对收敛 B.在收敛圆外，幂级数发散 C.在收敛圆周上，可能收敛，也可能发散 D.在收敛圆周上，条件收敛13．0=z 是函数sin z e z z的（ ）A.本性奇点B.一级极点C.二级极点D.可去奇点14．cos z zz π-在点 z π= 处的留数为（ ） A. π-.B πC.1D. -115．关于0Im lim z zzω→=下列命题正确的是（ ）A.0ω=B. ω不存在C.1ω=-D.1ω=二、填空题（本大题共5小题，每小题2分，共10分）16.sincos 33z i ππ=+复数的三角形式为____________. 17. 已知22()()()f z x ay x i bxy y =++++在复平面上可导，则a b +=_________. 18. 设函数)(z f =3zt te dt ⎰，则)(z f 等于____________.19. 幂极数n n2n 1(-1)z n∞=∑的收敛半径为_______.20.设121,1z i z =-+=，求12z z ⎛⎫=⎪⎝⎭____________.三、计算题（本大题共4小题，每题7分，共28分） 21．设C 为从原点到2＋3i 的直线段，计算积分[(2)]CI x y ixy dz =-+⎰22. 设2()cos 4ze f z z z=+-. (1)求)(z f 的解析区域，（2）求).(z f '23. 将函数1()(1)(2)f z z z =--在点0=z 处展开为泰勒级数.24. 将函数112()(1)z ef z z -=-在圆环0|1|z <-<∞内展开成洛朗级数.四、综合题（共4小题，每题8分，共32分）25．已知22(,)2u x y x y x =-+，求一解析函数()(,)(,)f z u x y iv x y =+，并使(0)2f i =。
河南理工大学 2012—2013 学年第 1 学期《复变函数与积分变换》试卷（A 卷）一、填空题：（8×4’）1． =+331)(i ；2．方程12=)Re(z 所表示的平面曲线方程为__________________；3．C 是线段OA ，O 为原点，A 为i +2, 则dz z c )Re(⎰____________； 4．)i =________________；5．n n z in )(cos ∑∞=0的收敛半径是_________________； 6．函数411z +在所有有限奇点处的留数和为___________； 7．ℱ)]([t u _________________；8． 若F 1(ω)=ℱ[f 1(t )]，F 2(ω)=ℱ[f 2(t )]，则ℱ=*)]()([t f t f 21_______.二、选择题：（4×4’）1．函数)Im()(z z z f 2=在0=z 处的导数( ) Ａ. －1 Ｂ.1 Ｃ. 0 Ｄ.不存在.2．设函数)(z f 在单连通区域B 内解析，c 为B 内一条简单正向闭曲线，则必有( )Ａ.0=⎰dz z f c )](Im[ Ｂ. 0=⎰dz z f c )](Re[ Ｃ. 0=⎰dz z f c )( Ｄ. 0=⎰])(Re[dz z f c. 3．若幂级数∑∞=-02n n n z c)(在0=z 收敛，则它必在( )Ａ. z =3点收敛 Ｂ. z =2点发散 Ｃ. z =3点发散 Ｄ.以上全不正确.4．0=z 是6zz z sin -的( )Ａ.可去奇点 Ｂ. 三阶极点 Ｃ. 六阶极点 Ｄ. 本性奇点. 三、解答题：(共52分)1．验证xy y x y x u 222+-=),(为调和函数，并求一满足条件00=)(f 的解析函数),(),()(y x iv y x u z f +=.(8分)2．⎰+-τdz z z e z))((21，τ为不过2,1-的任意一条简单正向闭曲线. (8分) 3．用留数法计算积分⎰+∞∞-++dx x x x 542cos .(7分) 4．把函数112+=z z f )(在复平面上的下列圆环域展开为i z -的洛朗级数，+∞<-<<-<i z i z 22201)(,)(.(8分)5．计算 ℱ][sin t t+2.(7分) 6．计算 ℒ])([22112+-s s .(7分) 7．利用Laplace 变换法解微分方程⎩⎨⎧==+'.)(,001y y y (7分)。
第 1 页 共 6 页上 海 海 事 大 学 试 卷2010 — 2011 学年第一学期期末考试 《 高等数学A （一）》（A 卷）解答一、单项选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中） (本大题分3小题, 每小题4分, 共12分).)( ;)(;2)( ; 0)(2coslim 120不存在，但不是无穷大为无穷大 等于 等于）（的值为、D C ••B A •••A••••••••••••••••xx x +→个不同的实根 有 有三个不同的实根 有唯一实根 无实根 ）（则方程适合、设5)()()()(0432,,53,,2352D C •••B A ••••B•••••c bx ax x b a b a =+++< 为正常数 恒为零 为负常数 不为常数 ）（则、设)()()()()(,)(32sin D C •••B A •••D•••••••••••x F dt e x F •x •xt ⎰+=π二、填空题（将正确答案填在横线上）(本大题分2小题, 每小题4分, 共8分)1、的值为201lim x x e x x --→ 212、设a b c ,,均为非零向量，满足c b a a c b b a c ⨯=⨯=⨯=,,，b ++三 计算题（必须有解题过程，否则不给分） （本大题分10小题，每题6分，共 60分）1、极限xx xx 2)4(lim +∞→ 884)41(lim e xxx =+=⋅∞→原式 6分2、)0(,)cos()(y y xy e x y y xy '=+=求确定由方程设--------------------------------------------------------------------------------------装 订线第 2 页 共 6 页解：y xy y x y y x y e xy '='+-'+)sin()()(， 4分2)0(,2.,0='==y y x 时当 6分3、．求dx xx••⎰--1145 解：令 ，541452-==-x t x t () 1分 原式=-⎰185213()t dt4分 =166分 4、.d )1(arctan x x x x⎰+求解：x x x xd )1(arctan ⎰+)d(arctan arctan 2x x ⎰= 3分C x +=2)(arctan 6分（遗留C 扣1分）5、．点处的连续性和可导性在试讨论，，已知 0)( , 00cos )(20=⎪⎩⎪⎨⎧≤>=⎰x x f x •••x x tdt t x f •x •解：0)0(0lim )(lim )0(0cos lim )0(200====-==+--+→→→⎰f x x f f tdt t f x x xx 又 2分∴= 在点处连续f x x ()0 3分lim )0()(lim )0(0)cos (lim cos lim )0()(lim )0(200000==-='===-='--+++→→-→→→+⎰x x xf x f f x x xtdt t xf x f f x x x xx x 5分第 3 页 共 6 页'==f f x x ()()000，在点处可导． 6分．，试求： 斜率等于处的切线，且它在原点通过原点具有连续导数，又曲线、设函数xx dtt f •••x f y x f •x•x sin )(lim100)()(60⎰→=解：，，由题意知，1)0(0)0(='=f f 2分lim ()sin lim()sin cos x x x f t dt x x f x x x x→→⎰=+000 4分='-→lim()cos sin x f x x x x 02 5分='=12012f () 6分7、）为驻点，，使得点（中的试确定442,,,,23-+++=d c b a d cx bx ax y（1，—10）为拐点。
复变函数与积分变换 试题一、填空、判断题（共24分）(a ) 填空 （每空2分）1、，=+8)1(i ， ln （－3 i ）=2、把点z = 1，i ，-1 分别映照成点w = 1，0，-1 的分式线性映照 w = f (z) 把单位圆 |z| < 1 映照成 。
3、4sinz )(z z f =的孤立奇点的类型是 ，奇点处的留数是 。
4、积分dz )z 1cosz e (2|z |z ⎰=-+π= 。
（b ）判断题 （每题3分，请在正确的题后打“√”,错误的题后打“×”） 1、arg z 1z 2 = arg z 1 + arg z 2 （ ）2．若()f z 在0z 解析，则()()n f z 也在0z 解析。
（ ）3、若(,)u x y 与(,)v x y 都是调和函数， 则()(,)i (,)f z u x y v x y =+是解析函（ ） 4．因为|sin |1z ≤，所以在复平面上f (z) = sin z 有界。
（ ） 二、解答题（ ）1、设 1i 11e r z θ= ， 2i 22e r z θ= 证明： ( a ) |z ||z ||z z |2121= ( b ) 2121z z )z z (=2、设 )pxy x (i y n my )(2323+++=x z f 是解析函数，试确定 m , n , p 的值。
3、将 )z 2)(1(1)(--=z z f 在 0 < | z - 1 | < 1 上展开成罗朗级数。
三、计算题（8分+12分=20分）1、计算⎰+cdz iy x )(2，其中 C 是沿曲线 2x y = 由点 0=z 到点 i z +=12、用两种方法（含留数方法）计算积分⎰-+cz z dz )2)(1(z 的值。
其中 C ：| z | = 3 。
3、求 方程 01z 4=+ 的全部根 4、求把上半平面Im ( z ) >0 ，保形映照到单位圆 | w | < 1内， 且满足f （i ）=0，0)i (arg ='f的分式线性映照。
a - b1- abn (z -1) n (z -1) XXXX 学院 2016—2017 学年度第一学期期末考试复变函数 试卷7.幂级数∑(-1)n n =0z n2nn !的和函数是()学号和姓名务必正确清 A. e -zz B. e2- zC. e2dzD. sin z楚填写。
因填写错误或不清 8. 设C 是正向圆周 z = 2 ，则⎰C z2=()楚造成不良后果的，均由本 A. 0 B. - 2i C. iD. 2i人负责；如故意涂改、乱写 的，考试成绩 答一、单项选择题（本大题共 10 小题，每题 3 分，共 30 9. 设函数 f (z ) 在0 < z - z 0 < R (0 < R ≤ +∞) 内解析，那么 z 0 是 f (z ) 的极点的充要条件是()A. lim f (z ) = a （ a 为复常数）B. lim f (z ) = ∞视为无效。
题分，请从每题备选项中选出唯一符合题干要求的选项，z → z 0z → z 0请勿1.Re(i z ) =并将其前面的字母填在题中括号内。
）()10. 10. C. lim f (z ) 不存在D.以上都对z → z 0ln z 在 z = 1处的泰勒级数展开式为 ()超 A. - Re(i z )B. Im(i z )∞(z -1)n +1∞ (z -1)n A. ∑(-1)n, z -1 < 1B. ∑(-1)n, z -1 < 1过C. - Im z此 D. Im zn =1∞n +1n +1n =1 n∞n2. 函数 f (z ) =z 2在复平面上()C. ∑(-1) , z -1 < 1D. ∑(-1) , z -1 < 1密 封 A.处处不连续B.处处连续，处处不可导线 C.处处连续，仅在点 z = 0 处可导D.处处连续，仅在点 z = 0 处解析，3. 设复数 a 与b 有且仅有一个模为 1，则的值()n =0n +1 n =0n 否 则 A.大于 1 B.等于 1 C.小于 1D.无穷大视 4. 设 z = x + i y ，f (z ) = - y + i x ，则 f '(z ) = ()二、填空题(本大题共 5 小题，每题 3 分，共 15 分)为A.1+ i无B. isin zC. -1D. 011. z = 1+ 2i 的5. 设C 是正向圆周 z = 1 ， ⎰C dz = 2i ，则整数n 等于 ()zn A. -1B. 0e z -1C.1D. 26. z = 0 是 f (z ) =的()z2A.1阶极点B. 2 阶极点C.可去奇点D.本性奇点∞系别专业姓名班级学号（最后两位）总分 题号 一 二 三四统分人 题分 30203030复查人得分得分评卷人复查人得分评卷人复查人⎰18.求在映射 w = z 2 下， z _ _ _ _ 平面上的直线 __ _z = (2 + i)t 被映射成 w 平面上的曲线的方程.12.设 z = (2 - 3i)(-2 + i) ，则arg z =.13.在复平面上，函数 f (z ) = x 2 - y 2 - x + i(2xy - y 2 ) 在直线上可导.cos 5z.19.求e z 在 z = 0 处的泰勒展开式.14. 设C 是正向圆周 z = 1 ，则 ⎰Cdz = .z∞ ∞∞15. 若级数∑ zn 收敛，而级数∑ zn 发散，则称复级数∑ zn 为.n =1n =1n =1三、计算题(本大题共 5 小题，每小题 8 分，共 40 分)16. 利用柯西-黎曼条件讨论函数 f (z ) = z 的解析性.20.计算积分1+iz 2dz .2017 + n i 17.判断数列 z n = n +1的收敛性. 若收敛，求出其极限.三、证明题(本大题共1 小题，每小题15 分，共15 分)nn !⎩ 21.试证明柯西不等式定理:设函数 f (z ) 在圆C : z - z 0 = R 所围的区域内解析，且在C因此在任何点(x , y ) 处， ∂u ≠∂v，所以 f (z ) 在复平面内处处不解析。
第 1 页 共 6 页上 海 海 事 大 学 试 卷2013 — 2014 学年第一学期期末考试《 高等数学A （一）》（B 卷） （本次考试不能使用计算器）班级 学号 姓名 总分一、单项选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中） (本大题分5小题, 每小题2分, 共10分)1、当x →0时，()2cos 1x -是sin 2x 的 （ ）。
(A)高阶无穷小; (B)同阶无穷小;但不等价; (C)等价无穷小; (D)低阶无穷小xx D x x x x C x x x x e B x x e A y x x e y 222222csc sec cot csc tan sec cot csc tan sec 11csc sec 11csc sec arctan 2++++++++-='-+=． ．． ．）（，则、设 也无水平渐近线无铅直渐近线又有水平渐近线，有铅直渐近线无水平渐近线）有铅直渐近线无铅直渐近线，有水平渐近线）渐近线的正确结论是（、关于曲线,)(,)(,(,)(1cos 32D C B A xxy +=⎰⎰⎰-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-202022sin 2)( 0)(sin )(sin )(sin 224ππππππxdxD C xdxB xdx A x x y 、 、 、 、 ）轴围成图形的面积为（与上的曲线，、在--------------------------------------------------------------------------------------装订线------------------------------------------------------------------------------------第 2 页 共 6 页5、曲面22y x z +-=是（ ）（A ）zox 平面上曲线z x =绕z 轴旋转而成的旋转曲面;（B ）zoy 平面上曲线y z -=绕z 轴旋转而成的旋转曲面; （C ）zox 平面上曲线z x =绕x 轴旋转而成的旋转曲面; （D ）zoy 平面上曲线y z -=绕y 轴旋转而成的旋转曲面.二、填空题（将正确答案填在横线上） (本大题分4小题, 每小题4分, 共16分)1、处的法线方程为曲线在设曲线方程为1,sin sin 122=⎪⎩⎪⎨⎧+=++=x tt y tt x 2、='⋅⋅+⎰x x f x f x x xx f d )()( , sin 1sin )(则的一个原函数为已知3、设a b c ,,均为非零向量，且a b c b c a c a b =⨯=⨯=⨯,,b ++=4、⎰-=223_______________cos ππxdx三 计算题（必须有解题过程，否则不给分） （本大题分10小题，每题6分，共 60分）1、之值。
华中科技大学2008～2009学年第一学期 《复变函数与积分变换》课程考试试卷(A 卷) 院(系)_________专业班级__________学号_______________姓名__________ 一、填空题 (每空2分，共20分)
1．复数的主辐角为 ．
2．函数
在何处可导？ ．，何处解析？ ．
3．的值为 ．
4．级数
是否收敛？ ；是否绝对收敛？ ． 5．函数在点展开成泰勒(Taylor )级数的收敛半径 为 ．
6．区域
在映射下的像为 ． 7．映射
在处的旋转角为 ． 8．函数的Fourier 变换为 ．
二、计算题 (每题5分，共20分)
1．
2．
3．
得 分
评卷人
三、(14分)已知
，求常数a 以及二元函数
，使得为解析函数且满足条件
． 四、(14分)将函数
分别在点和点
展开为洛朗(Laurent )级数． 五、(6分)求区域在映射
下的像． 六、(10分)求把区域
映射到上
半平面的共形映射． 七、(10分)利用Laplace 变换求解微分方程： ，．
八、( 6 分) 已知幂级数的系数满足：，
，该级数在内收敛到函
数，证明：，． 得 分
评卷人 得 分
评卷人 得 分
评卷人 得 分
评卷人 得 分
评卷人 得 分
评卷人。
《复变函数与积分变换》期末考试试卷A及答案六、（本题6分）求)()(0>=-ββtet f 的傅立叶变换，并由此证明：te d t ββπωωβω-+∞=+⎰2022cos三．按要求完成下列各题（每小题10分，共40分）（1）．设)()(2222y dxy cx i by axy x z f +++++=是解析函数，求.,,,d c b a解：因为)(z f 解析，由C-R 条件y v x u ∂∂=∂∂ xvy u ∂∂-=∂∂ y dx ay x 22+=+,22dy cx by ax --=+,2,2==d a ，,2,2d b c a -=-=,1,1-=-=b c给出C-R 条件6分，正确求导给2分，结果正确2分。
（2）．计算⎰-C zz zz e d )1(2其中C 是正向圆周： 解：本题可以用柯西公式\柯西高阶导数公式计算也可用留数计算洛朗展开计算，仅给出用前者计算过程因为函数z z e z f z2)1()(-=在复平面内只有两个奇点1,021==z z ，分别以21,z z 为圆心画互不相交互不包含的小圆21,c c 且位于c 内⎰⎰⎰-+-=-21d )1(d )1(d )1(222C z C z C zz z z e z zz e z z z e i z e iz e i z zz z πππ2)1(2)(2021=-+'===无论采用那种方法给出公式至少给一半分，其他酌情给分。
（3）．⎰=++3342215d )2()1(z z z z z解：设)(z f 在有限复平面内所有奇点均在：3<z 内，由留数定理]),([Re 2d )2()1(3342215∞-=++⎰=z f s i z z z z z π -----（5分） ]1)1([Re 22z z f s i π= ----（8分）234221521))1(2()11()1(1)1(z z zz zz f ++=0,z )12()1(11)1(34222=++=有唯一的孤立奇点z z z z z f 1)12()1(11)1(]0,1)1([Re 34220202lim lim =++==→→z z z z zf z z f s z z⎰==++∴33422152d )2()1(z i z z z z π --------（10分）（4）函数2332)3()(sin )2)(1()(-+-=z z z z z z f π在扩充复平面上有什么类型的奇点？，如果有极点，请指出它的级. 解：∞±±±==-+-=，的奇点为 ,3,2,1,0,)(sin )3()2)(1()(3232k k z z z z z z z f π（1）的三级零点，）为（032103=±±±==z kk z πsin ,,,,,（2）的可去奇点，是的二级极点，为，)()(,z f z z f z z 210-=±== （3）的一级极点，为)(3z f z =（4）的三级极点；，为)(4,3,2z f z±-=（5）的非孤立奇点。
课程 复变函数与积分变换 试卷（A ） 学期 20 —20班级 学号 姓名一、判断题（每小题2分，共10分）1．因为21>，所以2i i >. （ ） 2．一个非零复数乘以i ，它的模不变，辐角增加2π. （ ） 3．对任何复数z 都有sin 1z ≤. （ ） 4．因为1()(2)f z z z =-在 02z <<内解析，所以1()0z f z dz ==⎰. （ ）5．若0z 是()y z 的奇点，则0()y z '不存在. （ ） 二、选择题（每小题2分，共10分）1．已知函数3232()3()f z x xy i ay bx y =-++为解析函数，则常数a 和b 的值为（ ）； A ．1和3 B ．1和3- C ．1-和3 D ． 1-和3-2．积分21zz e dz z =-⎰的值为（ ）； A ．2ie π B ．0 C ．22ie π D ．2i π3．级数0!n nn n z n ∞=∑的收敛半径R 为（ ）；A ．1B ．eC ．1e - D ．∞4．函数13()1z z f z e z=+在无穷远点∞处的留数为（ ）；A ．0B ．1C ．13D ．13-5．已知22u x y xy =-+是调和函数，且(0)0f =，则与u 为共轭调和函数的v 为（ ）.A ．2211222x y xy -+B ．2211222x y xy -++C ．2211222x y xy ++D ．2211222x y xy --+三、（每小题3分，共9分）计算下列各值1．设(1)2z i =+，试计算201620121z z ++； 2 3. (1)i i -. 四、（每小题3分，共12分）求下列各积分的值1.在复平面上从坐标原点到点(1,1)分别沿路径y x =和2y x =计算积分120()ix iy dz ++⎰；2.21sin 2(3)z z e z dz z i =+⎰； 3.21sin z z dz z =⎰； 4.4(1)2321z i z dz z -+=+-⎰. 五、（每小题3分，共9分）用留数方法计算下列复变函数的积分值：1.11n z dz z =⎰（其中n 为正整数）；2.2sin z zdz z =⎰； 3.232(1)z z e dz z =-⎰； 六、（每小题3分，共9分）求下列函数在有限复平面内各奇点处的留数：1. 214z +；2.41cos zz-； 3.21n n z z +（其中n 为正整数） 七、（第1小题4分，第2小题9分，共13分）1.试求函数1()1z f z z -=+在1z =处的泰勒展开式； 2.试将函数1()(1)(2)f z z z =--（1）在01z <<和（2）在2z <<+∞内展开成z 的洛朗级数；（3）在011z <-<内展开成1z -的洛朗级数。
第 1 页 共 5 页考试试卷(A)2008--2009学年第二学期 时间110分钟复变函数与积分变换课程40学时2.5学分 考试形式: 闭卷一、专业年级: 教改信息班 总分100分, 占总评成绩70 %1． 注: 此页不作答题纸, 请将答案写在答题纸上 单项选择题（15分, 每小题3分） 下列方程中, 表示直线的是（ ）。
()()()()()()()254(54)54(54)112Re 1A i z i z zzB i z i zC z i z iD z z z -++=-++=-++==-2． 函数222()()(2)f z x y x i xy y =--+-在（ ）处可导。
()()()()22A B x C y D ==全平面处处不可导下列命题中, 不正确的是（ ）。
()()()()()()()()()0Res ,0Im 1.z z A f z f z B f z D z f z D C e iD z e iωπω∞∞=-=<<<+如果无穷远点是的可去奇点,那么若在区域内任一点的邻域内展开成泰勒级数,则在内解析.幂级数的和函数在收敛圆内是解析函数.函数将带形域0()映射为单位圆3． 下列级数绝对收敛的是（ ）。
()()()()()221111112n nnn n n n i i i A B C i D nnn ∞∞∞∞====⎛⎫++⎪⎝⎭∑∑∑∑ 设 在 内解析且 , 那么 （ ）。
()()()()2211A iB iCD ππ--第 2 页 共 5 页1. 的主值为 。
2. 函数 仅在点z= 处可导。
3. 。
4. 函数 在 处的泰勒展开式 。
5. 幂级数 的收敛半径为 。
三．(10分)求解析函数 , 已知 。
四. (20分)求下列积分的值 1．()2241z z e dz zz =-⎰2．()20sin 0x xdx a x a+∞>+⎰五. (15分)若函数 在点 解析, 试分析在下列情形: 1. 为函数 的m 阶零点； 2. 为函数 的m 阶极点；求()()()0Res ,f z z z f z ϕ⎡⎤'⎢⎥⎣⎦。
复变函数与积分变换期末考试试卷（A 卷）一、单项选择题(本大题共15小题，每小题2分，共30分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1．下列复数中，位于第四象限的复数是（ ）A. 4+3iB. -3-3iC.-1+3iD.5-3i 2．下列等式中，不成立的等式是（ ） A. z·z =Re (z·z ).arg(3)arg()B i i -=- .rg(3)arg(3)C A =2.||D z z z ⋅=3．不等式 ||3z > 所表示的区域为（ ） A. 圆的外部B.上半平面C. 角形区域D.圆的内部4．积分||322z dz z =-⎰的值为（ ）A. 8i πB.2C. 2i πD. 4i π 5．下列函数中，在整个复平面上解析的函数是（ ）.z A z e +.sin z B z e + .tan z C z e + .R e ()s i n D z z+6．在复平面上，下列命题中，错误．．的是（ ）A. cosz 是周期函数B. ze 是解析函数.cos sin iz C e z i z =+.||D z =7．在下列复数中，使得ze =成立的是（ ）.ln 224iA z i ππ=++.ln 424iB z i ππ=++.ln 22C z i π=+.l n 42D z iπ=+ 8．设C 为正向圆周1||=z , 则积分 cos z c e dzz⎰等于（ ）A ．2πB ．2πiC ．0D ．－2π 9．设C 为正向圆周||2z =, 则21(1)C dz z i --⎰等于（ ）A.i21π B. 0 C.i 2πD.2i π-10．以下关于级数的命题不正确的是（ ）A.级数0327nn i ∞=+⎛⎫⎪⎝⎭∑是绝对收敛的B.级数212(1)n n in n ∞=⎛⎫+ ⎪-⎝⎭∑是收敛的 C.级数01(1)2n n n i n ∞=⎛⎫-+ ⎪⎝⎭∑是收敛的D.级数212n n i n ∞=⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑是收敛的11．已知31z i =+，则下列正确的是（ ）12.iA z π=34.iB z eπ=712.i C z π=3.iD z π=12．下列关于幂级数的叙述，不正确 的是（ ） A.在收敛圆内，幂级数绝对收敛 B.在收敛圆外，幂级数发散 C.在收敛圆周上，可能收敛，也可能发散 D.在收敛圆周上，条件收敛13．0=z 是函数sin z e z z的（ ）A.本性奇点B.一级极点C.二级极点D.可去奇点14．cos z zz π-在点 z π= 处的留数为（ ） A. π-.B πC.1D. -115．关于0Im lim z zzω→=下列命题正确的是（ ）A.0ω=B. ω不存在C.1ω=-D.1ω=二、填空题（本大题共5小题，每小题2分，共10分）16.sincos 33z i ππ=+复数的三角形式为____________. 17. 已知22()()()f z x ay x i bxy y =++++在复平面上可导，则a b +=_________. 18. 设函数)(z f =3zt te dt ⎰，则)(z f 等于____________.19. 幂极数n n2n 1(-1)z n∞=∑的收敛半径为_______.20.设121,1z i z =-+=，求12z z ⎛⎫=⎪⎝⎭____________.三、计算题（本大题共4小题，每题7分，共28分） 21．设C 为从原点到2＋3i 的直线段，计算积分[(2)]CI x y ixy dz =-+⎰22. 设2()cos 4ze f z z z=+-. (1)求)(z f 的解析区域，（2）求).(z f '23. 将函数1()(1)(2)f z z z =--在点0=z 处展开为泰勒级数.24. 将函数112()(1)z ef z z -=-在圆环0|1|z <-<∞内展开成洛朗级数.四、综合题（共4小题，每题8分，共32分）25．已知22(,)2u x y x y x =-+，求一解析函数()(,)(,)f z u x y iv x y =+，并使(0)2f i =。
«复变函数与积分变换»期末试题〔A〕一．填空题〔每题3分，共计15分〕1．231i-的幅角是〔〕；2.)1(iLn+-的主值是〔〕；3.211)(zzf+=，=)0()5(f〔〕；4．0=z是4sinzzz-的〔〕极点；5．zzf1)(=，=∞]),([Re zf s〔〕；二．选择题〔每题3分，共计15分〕1．解析函数),(),()(yxivyxuzf+=的导函数为〔〕；〔A〕yxiuuzf+=')(；〔B〕yxiuuzf-=')(；〔C〕yxivuzf+=')(；〔D〕xyivuzf+=')(.2．C是正向圆周3=z，如果函数=)(zf〔〕，那么0d)(=⎰C zzf．〔A〕23-z；〔B〕2)1(3--zz；〔C〕2)2()1(3--zz；〔D〕2)2(3-z. 3．如果级数∑∞=1nnnzc在2=z点收敛，那么级数在〔A 〕2-=z 点条件收敛 ； 〔B 〕i z 2=点绝对收敛；〔C 〕i z+=1点绝对收敛； 〔D 〕i z 21+=点一定发散．４．以下结论正确的选项是( )〔A 〕如果函数)(z f 在0z 点可导，那么)(z f 在0z 点一定解析； (B)如果)(z f 在C 所围成的区域解析，那么0)(=⎰Cdz z f〔C 〕如果0)(=⎰Cdz z f ，那么函数)(z f 在C 所围成的区域一定解析；〔D 〕函数),(),()(y x iv y x u z f +=在区域解析的充分必要条件是),(y x u 、),(y x v 在该区域均为调和函数．5．以下结论不正确的选项是〔 〕．(A) 的可去奇点；为z1sin ∞(B) 的本性奇点；为z sin ∞(C) ;1sin 1的孤立奇点为z∞(D) .sin 1的孤立奇点为z ∞三．按要求完成以下各题〔每题10分，共计40分〕〔1〕设)()(2222y dxy cx i by axy x z f +++++=是解析函数，求.,,,d c b a〔2〕．计算⎰-Czz z z e d )1(2其中C 是正向圆周：2=z ；〔3〕计算⎰=++3342215d )2()1(z z z z z〔4〕函数3232)(sin )3()2)(1()(z z z z z z f π-+-=在扩大复平面上有什么类型的奇点？，如果有极点，请指出它的级.四、〔此题14分〕将函数)1(1)(2-=z z z f 在以下区域展开成罗朗级数； 〔1〕110<-<z ，〔2〕10<<z ，〔3〕∞<<z 1五．〔此题10分〕用Laplace 变换求解常微分方程定解问题⎩⎨⎧='==+'-''-1)0()0()(4)(5)(y y e x y x y x y x六、〔此题6分〕求)()(0>=-ββtet f 的傅立叶变换，并由此证明：te d t ββπωωβω-+∞=+⎰2022cos«复变函数与积分变换»期末试题〔A 〕答案及评分标准一．填空题〔每题3分，共计15分〕1．231i -的幅角是〔 2,1,0,23±±=+-k k ππ〕；2.)1(i Ln +-的主值是〔 i 432ln 21π+ 〕； 3.211)(z z f +=，=)0()5(f 〔 0 〕，4．0=z 是4sin z zz -的〔 一级 〕极点；5． zz f 1)(=，=∞]),([Re z f s 〔-1 〕； 二．选择题〔每题4分，共24分〕1．解析函数),(),()(y x iv y x u z f +=的导函数为〔B 〕；〔A 〕 y x iu u z f +=')(； 〔B 〕y x iu u z f -=')(；〔C 〕y x iv u z f +=')(； 〔D 〕x y iv u z f +=')(.2．C 是正向圆周3=z ，如果函数=)(z f 〔 D 〕，那么0d )(=⎰Cz z f ．〔A 〕23-z ； 〔B 〕2)1(3--z z ； 〔C 〕2)2()1(3--z z ； 〔D 〕2)2(3-z . 3．如果级数∑∞=1n nnz c 在2=z 点收敛，那么级数在〔C 〕〔A 〕2-=z 点条件收敛 ； 〔B 〕i z 2=点绝对收敛；〔C 〕i z+=1点绝对收敛； 〔D 〕i z 21+=点一定发散．４．以下结论正确的选项是( B )〔A 〕如果函数)(z f 在0z 点可导，那么)(z f 在0z 点一定解析； (B)如果)(z f 在C 所围成的区域解析，那么0)(=⎰Cdz z f〔C 〕如果0)(=⎰Cdz z f ，那么函数)(z f 在C 所围成的区域一定解析；〔D 〕函数),(),()(y x iv y x u z f +=在区域解析的充分必要条件是),(y x u 、),(y x v 在该区域均为调和函数．5．以下结论不正确的选项是〔 D 〕．的可去奇点；为、zA 1sin )(∞的本性奇点；为、z B sin )(∞.sin )(的孤立奇点为、zC 11∞的孤立奇点；为、z D sin )(1∞ 三．按要求完成以下各题〔每题10分，共40分〕〔1〕．设)()(2222y dxy cx i by axy x z f +++++=是解析函数，求.,,,d c b a解：因为)(z f 解析，由C-R 条件y v x u ∂∂=∂∂xv y u ∂∂-=∂∂ y dx ay x 22+=+,22dy cx by ax --=+,2,2==d a ，,2,2d b c a -=-=,1,1-=-=b c给出C-R 条件6分，正确求导给2分，结果正确2分。
