一类四阶奇异边值问题的正解

１介 绍 对 四 常 分 程 点 值 题 于 阶微方两边 问： ｆ ’） ｆｊ）０ ｔ １ （ ＝ Ｉｌ ≤ ＜ ｃ ｔ ｃ Ⅱｆ Ｊ ， … 【 Ｏ ＝ （ ＝” ） Ｍ１ ＝ ｕ ） ｕ ） ｕ０ ＝” ） ０ （ １ （ （ 当｝ 性 与ｕｆ 关 ，究 作 ｝ 多这 我 不 ｊ 项 ） 时研 工 ｊ ， 里 们 准 线 （无 常
３４ ８
，
ｒ
ｎ
，
Ｓ Ｕ
Ｍ ｕ ｔｐｅ Ｐｏ ｉｉｅ Ｓ ｌ ｔｏ ｓ ｏ ｒｈ． ｄ ｒ Ｔｗｏ． ｉ ｔ ｌｉ ｌ ｓｔｖ ｏ ｕ ｉｎ ｆＦｏ ｔ ． Ｏｒ ｅ ． ｎ Ｐｏ
Ｂｏ ｎ ａ ｙ Ｖａｕ ｏ ｌｍ ｕ ｄ ｒ ｌ ｅ Ｐｒ ｂ ｅ
Ｌ ｎｊｎ Ｉ Ｗａ － ｕ
（ ｏｌ ｅｏ ｔｅ ｔｓａｄＳａｉｉ ， Ｃ ｌｇ Ｍａｈｍａｉ ｎ ｔｔｔ ｓ ｅ ｆ ｃ ｓｃ
一
类 四阶两点边值 问题 的多重正解
李 万 军米
（ 陇东学院 数学与统计学院， 甘肃 庆阳 ７５ ０ ４０ ） ０
摘
要： 讨论 一类两参数四阶两点边值 问题 ， 用锥上的不动点指标理论及拓扑度 方法， 利 在一定条件下得
到 了该问题 多重正解的存在性． 关键词 ： 四阶 两点边值问题 ； 正解； 多解 ； ； 锥 不动点指数 中图分类号 ： １５ ２ Ｏ ７ ． 文献标识码 ： Ａ
ｐ ｉ ｔｂ ｕ ｄ ｒ ａｕ ｒ ｂ ｅ ｗ ｔ ｗ — ａ ａ ｔ ｒ ｈ ｕ ｈ ａ ｐ ｙｎ ｘ ｄ ｐ ｉ ｔ ｎ ｅ ｎ ｐ ｌ ｇｃ ｌ ｅ ｏｎ ｏ ｎ ａ ｙ ｖ ｌ ｅｐ ｏ ｌｍ ｉ ｔ ｏ ｐ ｒ ｍｅｅ ．Ｔ ｒ ｇ ｐ ｌｉ ｇ ｆ ｅ ｏｎ ｄ ｘ ａ ｄ ｔ ｏｏ ｉ ａ ｄ — ｈ ｏ ｉ ｉ ｏ ｇｅ ｔｏ ｒ ｅ ｍｅ ｄ－ ｔ ｅ ｍｕ ｔ ｌ ｉ ｆ ｓ ｌ ｔ ｎ ｆ Ｆ ｒ — ｄ ｒ Ｔ — ｏｎ ｏ ｎ ａ ｙ Ｖａｕ ｒ ｂ ｅ ｃ ｎ ｂ ｈ ｈ ｌ ｐ ｉ ｔ ｏ ｏ ｕ ｉ ｓ ｏ ｏ ｔ Ｏ ｅ ｗｏ Ｐ ｉ ｔ Ｂ ｕ ｄ ｒ ｌ ｅ Ｐ ｏ ｌｍ ａ ｅ ｉ ｃｙ ｏ ｈ

ｚ… （）一 ｆ ｔ ｚ（） ￡ （ ， ￡ ，一 ｚ （） ， ￡ ） ｔ∈ （ ， ） ０ １
ｚ（ ０） 一 ｚ（ ）一 ０， ０ 一 ｚ （ ） 一 ０ １ ｚ（） １
（） １
（） ２
其中， 厂满足 假设 （ ： Ｈ） 厂∈ （ ０ １ ×Ｅ ，ｏ ×Ｅ ，３ ，０ 。 ） ， （ ， ） ０ ｃ ） ０ Ｃ ） Ｅ ，。 ） 且存 在 常数 、 、ｚ （ ＜ ≤ ， 一 １ ｘ 、 ０ ｚ ｉ ， ２ ＋ ２ １ ， 得对 于 ｔ∈ （ ， ） ｚ， ∈ （ ，。 ， ，１ ＞ ）使 ０１， ０ 。 ） 有
一
文章 编 号 ：６ ２３ ６ （０ ８ ０ —０７０ １ ７—７ ７ ２ ０ ） １０ ９—４
关 键 词 ： 阶 奇 异边 值 问题 ； 线性 ； 解 ； 四 超 正 锥
中 图分 类 号 ： ７ ． Ｏ１ ５ ８ 文献标志码 ： Ａ
Ｐｏ ｉｉ ｅ Ｓ ｌ ｔｏ ｓｏ ａ ｓ ｏ ｕ ｔ ｒ ｅ ｙ ｅ －ｉ ｅ ｒ ｓｔｖ ｏ ｕ ｉ ｎ ｆ ａ Ｃｌ ｓ ｆＦｏ ｒ ｈ Ｏ ｄ ｒ Ｈ ｐ ｒｌｎ ａ Ｓ ｎ ｕ ａ ｕ ａ ｙ Ｖａ ｕ ｏ ｌ ｍ ｓ ｉ ｇ ｌｒ Ｂｏ ｎｄ ｒ ｌ ｅ Ｐｒ ｂ ｅ
ｃｏ ｎｅ．
Ｋｅ ｏ ｄ ：ｆ ｕ ｔ ｒ ｅ ｉ ｇ ｌ ｒｂ ｕ ｄ ｒ ａ ｕ ｒ ｂ ｅ ；ｈ ｐ ｒｌ ｅ ｒ ｐ ｓｔ ｅ ｓ ｌ ｔ ｎ ；ｃ ｎ ｙ ｗ ｒ ｓ ｏ ｒｈ ｏ ｄ ｒ ｓ ｕ ａ ｏ ｎ ａ ｙ ｖ ｌ ｅｐ ｏ ｌｍｓ ｙ ｅ －ｉ ａ ｏ ｉｉ ｏ ｕ ｉ ｓ ｏ ｅ ｎ ｎ ｖ ｏ
显然函数ｆｔ ，） （， 一∑ ∑ Ｐ ￡ 满足上述超线性条件（ ）其中： （ ∈Ｃ０１， （ ＞ ｚ （ ｚ ） Ｈ 。 Ｐ ￡ （，）Ｐ ） ）

摘
要：
用 一 种 较 简 单 的 方 法 建 立 了 非 线 性 四 阶 常 微 分 方 程 边 值 问 题
ｇ
部 条件．
正的 对线项 只求满一局 解祧巨 非性 厂要其足个
文献标 识码 ： Ａ
关键 词 ： 边值 问题 ； 解 ； ｃ ａ ｄ ｒ 动点 定理 正 Ｓ ｈｕ ｅ 不
可知 ｌ ［ ，］上 的 非 负 上 凸 函数．下面 我 们 ‘ ）是 Ｏ １ （
分 两种情 况证 明 ：
（ ｉ ｔ Ｅ ，３ 则 ）若 ∈ ｏ ｃ ，
（）一 （ － ｔ ｆ ６－ ｏ＋ ）≥ （ ）＋ ｔ （） ０ ｆ
定理 ， 打靶 法 ，以及 上下 解方 法 ． 本文试 图用 一 种 较 简 单 的 方 法 建 立 问 题 （ ） １ 正解 的存在 性结 果 ，对 非 线 性 项 ，只要 求 其 满 足 个局 部条 件 即可 ， 文 的工作 受 到文 献［ ３ 本 ７ 的启
这 里
一 ｍａ ＩＧ（，） ｓｒｄｄ ， ｘＩ ￡ｓＧ（，）ｒｓ
Ｏ ≤ｌ Ｊｏ ≤ｔ Ｊｏ
Ｇ
二
㈤
惫一 Ａ ｍａ ＩＧ（，） ｓ ｘ ￡ｓ ｄ 则 Ａ～ ， 为大 于 ０的常 数． 七均
（） ５
证 明 容 易 验 证 （ ）定 义 的 ｌ ｔ 为 问 题 ３ ‘ ）确 （ （ ）的解 ， 由 Ｇ（，）≥ ０可得 （）≥ ０ ｔ ［ ， ２ 且 ｔ ， ∈ Ｏ
１． ］ 下证对 Ｖｔ （ ，） ｔ ＞ ０ ∈ Ｏ１，（ ） ． 由 （ 在［ ，］ ￡ ） Ｏ １ 上不恒 为 。可得 。 不是 问题 （ ） ２
① 收藕 日期 ：Ｏ Ｏ １ ２ ２ １ 一０ — ８
２ 主 要 结 果 及 证 明

：
国 家 自然 科 学 基 金 （ ９ ７ ０ ８ 资 助 ； 东 省 自然 科 学 基 金 （ ８ ９ １ ） 助 项 目 １８ １４ ） 山 Ｙ９ Ａ０ ０ ２ 资
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工 程 数 学 学 报
第 １ ９卷
（ ）≠ ｏ ｔ∈ 【 ， ］从 而 Ｇ（ ， ￡ ， １一 ， ￡ ）≥ ８ ｓ ） Ｇ（ ，
Ｌ＜。， 。其中Ｌ＞。 为常数，（ ） Ｆ“ ＝
Ｊｍ ） ｃ ｄ
在 （ 中 ， Ｇ（ ，）＝ ｛ Ｈ） ｓｒ
易 见 Ｇ（ ， ） Ｓ ｒ Ｇ（ ， ）０ ｒ ｒ ， ）使 得 ，
基金项目 ００ — 堕 日 ２０—２ ８ 作者简介： 期： ０２ 郝兆才（９２ １７ 年７ 月生） ． ， 硕士， 男 讲师
维普资讯
ｌ卷 １ ９
。 。 月 。
工
程
数
学
学 报
ＶｏＩ ９ Ｎ ｏ． ｌ １ Ｆｅ ｂ． ２０ ２ ０
Ｊ ＯＵＲＮＡＬ ＯＦ ＥＮＧＩ ＮＥＥＲＩ ＮＧ ＡＴＨＥＭ ＡＴＩ Ｓ Ｍ Ｃ
文 章 编 号 ： ０ ５ ３ ８ （ ０ ２） — １ ５ ０ １ ０ — ０ ５ ２ ０ ０１０ ２ — ３
证 明
注 意 到 ，的增 性 ， 用 单 调 迭 代 方 法 ， 由引 理 １即 可 得 。 利 再
引 理 ３ 设 （ ） 立 ， 边 值 问 题 Ｈ。 成 则
４ ｔ Ｉ 【 （ ）＝ 坤 （ ） （ ｔ ￡ １一 ￡ ， ） ｔ∈ （ １ ０，）
０ １ Ｉ （ ）＝ （ ）＝ ０ （ ）＝ 边 值 问 题 ； 下 解 ； 解 ； 动 点 上 正 不 分 类 号 ： ｖＳ ２ ０ ）３ Ｂ ５；４ ２ Ａ／ （ ０ ０ ４ １ ３ Ｂ ５ ｌ 中 图 分 类 号 ： ７ Ｏ１ ５ ８ 文 献 标 识 码 ：Ａ

（ ） 。 Ｌ （） ｉ ） Ｈ２ ｈ ∈ ， ，ｈ（ ｚ ０ ∈ Ｊ， 一 １ ２ 且 在 ，的 任 何 子 区 间 上 不 恒 为 ０ ，Ｖ ｚ ｉ ，， ；
（ ） ， Ｈ３ ＞ ０ 且 为常数 ； ，
（ ）口 Ｊ∈ Ｒ， 三一 ／ ，口 一 ＋ ／ ＜ １ Ｈ４ ， ９ 口三 ４ ／ ＝ ．
一
１ｓ ￣， 一 ｏｓ ￣．证 毕 ． ／ｉ ｎ 毪 ４ｉ ｎ
考虑 线性边 值 问题
ｆ “ （ ）＋ 触 ”ｚ ｕ ｚ （ ）一 姚 （ ）一 ｐ ｘ ， ｚ∈ ｚ （ ）
Ｉ（ 一“１一“ ｏ 一“ １ 一ｏ “ｏ （ ） ） ” ） ”） ， （ （
其 中 户（ ）∈ ｚ （） ，由
口 ｚ “ （ ）＋ 一 彻 一 ２ｚ） “， ， ｚ ∈ Ｊ （ ｇ（ ） （） １
Ｌ ０ （ ）： “ １ （ ）一 口（ ）一 口 １ Ｏ （ ）： （ ）： （ ）一 （ ）一 （ ）一 ０ Ｏ １ Ｏ １
记 Ｊ一 （ ， ） Ｉ： ［ ，１ ， 里 我们假 设 有下列 条 件 Ｏ１， Ｏ ］这 （ ） ｇ： Ｈ１ ｆ， ，× ［ ，＋ ｃ ）— Ｏ Ｏ ｏ ［ ，＋ ｃ ）连续 ； ｏ
三 ＞ 一 ． 三 ＝
设 Ｇ（，）（ ｆｓ 一 １ ２ ，）是下 列线 性边 值 问题 的格林 函数
一
（ ）＋ 雎 （ ）一 ０， （ ）一 （ ）一 ０， ｆ ｆ Ｏ １
则有 以下 引理 引理 １ Ｇ （，）（ ｓ 一 １ ２ 满 足下列 性质 ｆ ，）
（）Ｇ （ ，）＞ ０ ， ｉ ｆｓ ，Ｖ ｔ ｓ∈ Ｊ，
，
０
ｓ
ｔ
１ ．
由 （，） 达 式 知 Ｇ （，）＞ ０ Ｖ ｔｓ Ｊ 且 易 证 ￡ｓ 表 ￡ｓ ， ， ∈ ，

第３ ４卷
第 ４期
曲 阜
师
范 大
学
Ｖｏ ． ４ Ｎｏ． １３ ４ Ｏｃ ．２ ０８ ｔ ０
２０ ０ ８年 １ Ｏ月
Ｊｕｎ ｌ ｏ Ｑ ｆ Ｎ ｒ ａ ｏ ｒａ ｆ ｕｕ ｏｍ ｌ
四阶奇异非 线性微分 方程边值 问题正解的存在性
郭 晓 霞 ， 张 克梅
（ 曲阜师范大学数学科学学院，２３ ６ ７ １５，山东省 曲阜 市 ）
Ｃ
Ｇ （０Ｓ ｌｔ，）
≥ 。≤ …
因此 Ｇ （，） ０Ｇ （０ｓ ， ∈［ ， ０ ， ｌ ｓ ＞ ｌｔ，） ｔ ０１— ］ ｓ∈［ ，］ Ｖｔ ０ １ ］ １ ０ １ ． ∈［ ， —０ ，有
摘要 ： 考察一类带有参数 Ａ的四阶奇异非线性微分方程边值问题 ， 利用锥压缩和锥拉伸 Ｋａｎｓ ｓ ｉ ｒ ｏ ｌｉ ｓ ｅ ｋ
不 动点 定理 获得 其正 解的存在性．
关键词 ： 正解； 非线性奇异边值问题； 不动点定理 ； 锥
‘
中 图分 类 号 ： １５８ Ｏ ７．
文献 标识 码 ： Ａ
２ 引理 及 预 备 知 识
考察 赋予 范数 Ｉ ｌ ａ ｌ（） Ｉ Ｉ＝ ｍ ｘ ｔ Ｉ的 Ｂｎｃ 间 ｃ ｏ １ ．令 ｕ ａａｈ空 ［ ，］
。
Ｋ ｃ ，： ０ 露 ］ｔ≥ ｌ０ ０ 寺， ｉ∈ ［１ ≥ ， ） ０ ｌ ＜ ＜ ｊ ｏ］ （ ｌ ， ｌ
易知 为 ｃ ｏ Ｉ 中的锥． ［ ，］ 定 义 一个积 分算 子 ： Ｋ如下 ： Ｋ—
－
Ｊ ＂ Ｏ １ ０
为方便 讨论 ， 我们 做如下 假设 ， 并采 用 以下记 号 ：
（ 。 ０ Ｃ （ ，）［ ， ） Ｈ ） ∈ （０１ ，０∞）和０＜ ＩＧ（， ０ｓｄ ＜∞； ２ｓ ）（）ｓ １ ｓ

１ ６
曲阜 师 范大学 学报 （ 自然科 学版 ）
）＋ ） ＝ ｔＡ （ ） （） ， ＜ ＜ ， ，ｖ ，一 ） ０ 【 （ ０ ： （ ） ＝０ ） １ ．
２０ ０ ８鱼
（ ２
．
１ ）
ｆ ） 烈 ＝ ，（ ， ）０ ＜ ＿ ＋ ） ｔｖ）一（ ， ＜ ， Ａ ）
２ 预 备 知 识
设 Ｅ ＝ｃ ０ １ 为本文的基本空间， ［ ，３ 按最大值范数 Ｉ Ｉｆ ｌ＝ Ｍ ｃ ｏ １ Ｉ （）≥０ ｔ∈［ ，］｝ ［ ，］ ｔ Ｍ ， ０１ ． ］（）， ｕ ｔ 构成 Ｂ ｎｃ 空间－ Ｐ＝ ｛ ａａｈ 令 ｕ∈
令ｔ＝ “ ， （ ） 一 则 ｔ 。ｔ ） ｓｄ ＝：ｖｔ． ）＝ｆ （ （）ｓ Ａ（）原边值问题 （．） （．） Ｇ ， １１ 和 １ 化为： ２
，
Ｉ
（ ） ０ Ｈ ｊ＞， ： ｒ
＿ 这 器ｏ（ｓ ｓ ， ＞ ，里 ＝ ］Ｇ ， （ Ｊ ） ） ｐ ・
（） （， ） ｔ ，ｔ ，
（３ Ｈ ）ＶＨ， ０及 函数 ∈Ｃ ［ １ ，０ ＋∞ ） ， （）＞ ｔ ０ １ 使 得 ｔ ｖ Ｌ＞ （ ０，］ ［ ， ） ｔ ０，∈（ ， ） ， ） ，
、
ｓ ｉ
’
Ｇ｛ ２『 （ 一
， 、
ｓｎ ｉ
１ ， ＜ ０ ， ｓ ｓ
’… 一 … 。
（ ）令 Ａ ＝ ［ １ ｍａ ｘ 。
，
Ｇ（， ）Ｂ＝ 器］ （，） ２￡ ５， ｃ ￡ ｓ， ｚ
百 Ａ容易得到Ｂ＞Ａ＞ ， ＜ ０ｏ＜ ・Ｖ ， ∈［ ， ￡ ０ ｓ
文献 标识 码 ： Ａ
文 章编 号 ： ０－ ３（０８０－ １－ １ １ ３７２０）４ ０５ ４ ０ ５ ０ ０

１ 预 备 知 识 ０ 引言
奇 异边 值 问题 是 应 用数 学 重 要 的研 究 领 域 ， １ １ 再生 核 空间 ［ 。 ］ ． ０ １
内积空间 ［ ，］＝ ｛ （ Ｉ ，’ 是绝对 ０１ ｕ ） ¨ ｝ １ 连续函数 ， ’∈Ｌ ［ ，］ Ｍ ０ １ ｝
等价 的形式
０ 或 ＝１ 奇异． 数值计算结果表明本文方法是 高精度 的， 有效的．
＝
收 稿 日期 ： ０ ９—１ ２０ ２—０ ４
黑龙 江省 自然科学基金 （ ２０ Ａ ０ ７一ｎ） 黑龙 江省 教育厅骨 干教师计划项 目（ １１ ０ ） 哈尔 滨师范 大学博 士启动基 金项 目资助 ； １５ Ｇ ９ ；
贺 裕 ， 么焕 民
（ 哈尔 滨 师 范 大 学 ）
【 摘要 】 在再 生核 空间 ｗ ［ ，］ ｓ０ １ 中求解一类四阶奇异边值 ， 出精确解的级数 给 形式 的精确表 达 式． 明近 似解 一致 收敛 于精 确解 ． 证 数值 算例验 证 了算 法的有 效性 ． 关键词 ：精确 解 ； 奇异 两点边值 问题 ； 生核 空间 再
考 虑问题 （ ） 引 入 以 下线 性 算 子 三： ［ ， ３， ０
１ ］一 ［ １ ０，］ （ ） ） （
６ Ｍ ） （） （ ．
Ⅱ ） ＋ Ⅱ ）” （ ）ｘ （ “（ ） ＋
（） ４
数∑ ＜ ， （） （） （）＞ 在 ［，］ ０１ 依范
内积 和范数 分别定 义为
４
广 泛应 用 于气体 力学 ， 顿流体 机械 学 ， 体机械 牛 流
学 ， 体力 学 ， 流 弹性学 ， 反应 扩散 过程 ， 化学 动力学
领域 ， 已有许 多 研究 成果 ． Ｏ’ ｅａ ［ ］ 出了 如 Ｒ ｇｎ １ 给 奇异边 值 问题 解 存 在 的充 分 条 件 ， 考 文 献 ［ ］ 参 ２ 介绍 了高 阶方程 的最 大原 理并 发展 了 四阶边值 问 题 下解 和 上解 的单 调方 法 ， 者 在参 考 文献 ［ ］ 作 ３

文章编号 ：０ ８ ４ ２２０ ）６— ８ ８ ４ １０ —１０ ｛０ ８ ０ ０ ３ —０
四阶奇 异 边值 问题 的正解
刘 英
（ 淮阴师范学院数学系， 江苏 淮安 ２３ ０ ） ２３０
摘
要 ： 利用锥拉伸与压缩不动点定理给 出了一类四阶微分方程奇异边值 问题 的正解的存在
性 ，推 广和 包含 了一 些 已知 结果 ．
（ ） ＋ｇ ｒ ｕ ｒ ， （ ）） ｒｄ ｒ） （ ， （） ｒ ）ｄ ］ｓ （） ３ 则问题（） ２ 有解 当且仅当 Ⅱ 是Ａ在 Ｃ ［ ，］ Ｏ １ 中的 不 动点 ． 引理 ｌ 设 Ｐ是 实 Ｂ ｎｃ 【 ８ ａａｈ空间 中的锥 ，
１，
＋ｇ ｒ ｚ ｒ ， （ ））ｒ ｄ （ ， （） ‘ ｒ ）ｄ ］ｓＩ
和唯一性进行了广泛的研究 ， 见文献［ —３ ． １ ］ 对 含 弯矩形 的一般 情形
Ａ【ｂ＋ａ）ｄ＋ｃ １ ） ， （ ｔ［ （ —５ ］０≤ ｔ ｓ≤ １ ≤ ．
由（ ） 可 取 ｐ∈ （，１） Ｖｐ≤ ｔ ｌ—ｐ 有 日１， Ｏ ≤ ，
，
≥ ｐ， 故
Ｇ ￡ｓ （ ， ）≥ ｐ （ ， ） ｐ∈ （ ， ｃ ｓｓ， Ｏ １）
＝
．
船
。。 ：
， ｏ ） （ 或∞ ＝
正解的存在性 ， 其中 厂 ｇ ［，］ ０ ＋∞）×（ ， ：０ １ Ｘ［ ， 一 。，］ ［ ， ∞） 。０ 一 ０ ＋ 连续 ， ａ≥ Ｏ ｂ≥ ０ ｃ≥ ０ ｄ≥ ， ， ，
０目 △ ： ０ ｃ＋ ６ ｄ＋ ｂ ＞ ０ ｃ ．
。 寻Ｊ （ｓｓ’ ｍａ （）Ｉ ｘ ｌ （）Ｉ ｘｌ ｔ 的 Ｂｎｃ ａａｈ空间 ． 文 用到如 下假设 ： 本