非线性四阶周期边值问题正解的存在性和多重性

四阶奇异边值问题的正解的开题报告一、研究背景和意义奇异边值问题是数学中的一个经典问题，其解决方法在实际工程和科学中有着广泛的应用。

而四阶奇异边值问题是一类更具有挑战性的问题，需要更为深刻的数学理论和方法来解决。

特别地，在实际工程中，四阶奇异边值问题通常出现在弹性力学、流体力学等领域。

例如，在弹性力学中，对于一些具有奇异边界条件的弹性体模型，其形变方程涉及到四阶导数，从而无法直接利用常规方法求解。

因此，研究四阶奇异边值问题的解析表达式，对于指导实际工程中的问题求解与应用，都具有非常重要的意义。

二、目标和内容本文主要研究四阶奇异边值问题的正解表示式，即通过数学方法，得到该问题在解析意义下的精确解。

具体地，本文将首先阐述四阶奇异边值问题的定义和数学模型，然后介绍现有方法对该问题进行求解的局限性和不足之处。

接着，讨论本文所采用的一种新的数学方法——非局部方式，以及如何将其应用到该问题的求解中。

最后，本文将给出四阶奇异边值问题的正解的数学表达式，以及对所得结果的分析和讨论。

三、方法和步骤本文所采用的数学方法为非局部方式。

具体而言，本文首先利用奇异积分算子将四阶奇异边值问题转化为定常弱奇异积分方程。

然后，采用非局部方式（Non-local Means, NLM）对该方程进行求解。

NLM方法是在经典局部图像处理中提出的一种非局部平均滤波算法，其解决了图像噪声去除中的大部分问题。

而在数学领域，该方法也被用于解决一些非线性偏微分方程的数值求解问题中。

本文将首先对该方法进行适当的调整，以适用于求解四阶奇异边值问题。

然后，将其应用到该问题的求解中，并对所得结果进行验证和比较。

四、预期成果和贡献本文的预期成果为：得到四阶奇异边值问题的正解表示式，该表示式将在解析意义下给出该问题的精确解。

同时，本文将对该问题的解析特征进行讨论和分析，从而为实际问题的解决提供相关的参考和指导。

本文的主要贡献在于：首次将非局部方式应用到四阶奇异边值问题的求解中，并给出该问题的正解表示式。

一些非线性微分方程的存在性与多重性
本文主要考虑一些非线性微分方程(包括波动方程和椭圆方程)解的存在性与多重性问题.所使用的研究方法主要是非线性分析中的拓扑度理论.首先,我们考虑一类非线性变系数波动方程的Dirichlet-Neumann边值问题,通过分析变系数波算子的谱特征,在系数满足一定条件下,证明了变系数波算子的可逆性以及逆算子的紧性,然后利用Leray-Schauder度理论得到了时间周期解的存在性.进一步,在外力具有某种对称性条件下,我们还得到至少存在两个时间周期解.然后,我们考虑了非线性常系数波动方程的Neumann边值问题,通过引入适当的子空间,证明了波算子在子空间上的可逆性以及逆算子的紧性,进而利用拓扑度理论得到了时间周期解的存在性和多重性.最后,我们考虑变系数椭圆方程的
Dirichlet-Neumann边值问题,在系数满足适当的条件下证明了变系数椭圆算子的可逆性以及逆算子的紧性,利用拓扑度理论得到了解的存在性和多重性.。

几类四阶两点边值问题的正解的存在性和多重性IIABSTRACTThe formation and development of ordinary differential equations is affected by complexvariable function, combinatorial topology, lie group. Its wide application is not only reflected in some natural science disciplines, such as mechanics, physics, biology, astronomy, but also closely related to the development of engineering technology. At present, the development of computer technology has promoted the application and theoretical research of ordinary differential equations. In recent years, nonlinear functional analysis has become an important tool in the study of nonlinear problems in astronomy, physics, fluid mechanics, elastic mechanics, aerospace technology and biotechnology. Therefore, the study of nonlinear differential equations is concerned by the majority of scholars. In this paper, we study the existence of positive solutions of boundary value problems for three classes of nonlinear fourth- order ordinary differential equations.The paper consists of following four chapters.In chapter 1, the first part reviews the research background, status and significance of boundary value problems of nonlinear fourth-order ordinary differential equations. In the second part, the relevant symbols, definitions and theorems of this article are introduced. At the last part the main structure of the paper is briefly introduced.In chapter 2, we mainly investigate the existence and multiplicity of positive solutions of boundary value problems for two classes of fourth- order ordinary differential equations. Based on the fixed-point index theory, some sufficient conditions for the existence of positive solution and multiplicity of one simple-supported and the other sliding-supported fourth-order two-point boundary value problem with parameter is investigated.In chapter 3, we discuss the existence of positive solutions for another class of fourth-order boundary value problem in Banach space. By establishing comparison theorem and using pontryagin maximum principle and fixed point theorems for increasing operators, we obtain some sufficient conditions for the existence of solutions of the problem.In the last chapter, the full paper is summarized, and the prospects for future research are put forward.Keywords: fourth-order ordinary differential equation, fixed-point theorem, two-point boundary value problem, positive solution, existence目录第一章绪论 (1)1.1本文所研究问题的背景及意义 (1)1.2 发展历史和研究现状 (1)1.3 本文所引用的符号、定义和定理 (4)1.4 本文结构安排 (8)第二章两类四阶微分方程边值问题正解的存在性和多重性 (9)2.1 引言 (9)2.2 第一类四阶边值问题正解存在性及多重性 (9)2.3 第二类四阶边值问题正解的存在性 (15)第三章Banach空间中一类四阶微分方程两点边值问题的正解 (22)3.1 引言 (22)3.2预备知识与引理 (23)3.3主要结果 (24)第四章总结与展望 (29)4.1研究总结 (29)4.2 展望 (29)参考文献 (30)致谢 (33)在学期间的研究成果及发表的学术论文 (34)III第一章绪论1.1 本文所研究问题的背景及意义随着近代应用数学还有物理学的飞速发展，对分析和控制客观现象的数学能力向着更有全局性、更高、更精的水平发展的要求也越来越高，从而非线性分析的研究成果越来越丰富，逐渐形成现代分析数学中一个重要的分支学科也就是非线性泛函分析.由于越来越多的学者对其深入研究与探索，非线性分析理论体系日益完备.直至如今，非线性泛函分析这门学科已经成为研究不但是在数学方面，在更多其他领域包括物理学、医学、经济学、生物学以及航天技术中非线性问题的一个十分重要的工具.不同的物理现象可以建立相同的数学模型，而常微分边值问题的提出和发展与力学和电学紧密联系，在实际问题的研究过程中，我们建立的模型往往是非线性的，因此研究非线性常微分方程就显得尤为重要，为现代许多数学工作者和工程人员在建立模型解决实际的物理问题或者工程问题时提供了重要的理论依据.其实在自然科学、技术科学，甚至在社会科学中都存在着大量微分方程的相关问题.因此常微分方程的理论丰富广泛来源于社会的生产实践.数学家们对常微分方程解的探索始于十七世纪.随着生产生活、社会科技中有关常微分方程的问题大量涌现，数学家们不断寻求和研究新的方法、理论求解常微分方程.19世纪30年代，著名的数学家Sturm和Liouville最早开始研究边值问题，得到了关于特征值的一系列结论，建立了Sturm-Liouville理论.而后到了20世纪，数学家们将微分、积分这些运算统一抽象为算子，泛函分析就是在算子概念的基础上发展起来的新兴学科.建立和发展非线性泛函分析的这门学科，为后人研究微分方程边值问题奠定了重要的理论基础.在随后几十年里，经过许多数学家们不懈的努力，涌现了许多著名的不动点定理，比如Leray-Schauder不动点定理，Krasnoselskii 锥拉伸与压缩不动点定理，以及Amann建立了锥上不动点指数理论，从而使得非线性微分方程的研究取得了长足的发展.近三十年，高阶微分方程的边值问题在桥梁工程方面得到了极大地关注，更多的国内外的专家和学者研究这方面的问题，其研究的过程和结果使得非线性微分方程的研究取得了快速发展，而非线性微分方程边值问题关于正解存在性的工具和内容也更加丰富趋于完备，产生了很多相关学术专著，参考文献[1-18].众所周知，建立非线性微分方程边值问题的数学模型可以用来刻画弹性梁的平衡状态，由于其重要的意义，所以研究这类问题，丰富相关的数学理论的同时还可以指导人们解决实际问题.1.2 发展历史和研究现状四阶常微分方程边值问题正解的存在性备受众多学者关注，利用非线性算子方程理论来解1几类四阶两点边值问题的正解的存在性和多重性2决四阶方程边值问题解的存在性被广泛应用，研究方法也很多，通常有代数法、变分法、单调迭代法、上下解方法等.随着锥理论的成熟，人们常常将所研究的边值问题的解的存在性转化为研究积分算子在锥上的不动点的存在性，而研究积分算子不动点的存在性常用的理论是非线性泛函分析中的拓扑度理论和不动点指数理论，其中，Leray-Schauder 度理论和Krasnoselskii 不动点定理应用最为广泛.方法和理论的成熟为边值问题正解的存在性与多解性研究提供了充分的条件.1997年，马如云在文[19]中研究了如下的四阶边值问题：(4)()(,(),''())[0,1],(0)(1)''(0)''(1)0.u t f t u t u t t u u u u ⎧=∈⎪⎨====⎪⎩， (1.2.1)在f 关于u 单调不减，关于v 单调不增的情况下，利用上下解方法取得了该问题正解存在的充 分条件.2002年，吴红萍、马如云在文[20]中，考察了一类四阶两点边值问题(4)()(,())(0)(1)'(0)''(1)0.u t f t u t u u u u ⎧=⎪⎨====⎪⎩，(1.2.2) 利用锥拉伸与锥压缩不动点定理及拓扑度理论，给出了该问题正解的存在性以及多个正解存在 的充分条件.其中[][)[)∞→∞⨯,0,01,0:f 连续.2003年，李永祥在文[21]中，运用锥压缩与锥拉伸不动点定理研究了一类四阶边值问题正 解的存在性与多解性[]4()(),0,1,(0)(1)''(0)''(1)0.d u t f u t dtu u u u ϕ⎧=∈⎪⎨⎪====⎩ (1.2.3) 对于0000(,)(,)limsup,liminf ,u v u v f u v f u v f f u vu v +→+→==++ (1.2.4) 00(,)(,)limsup ,liminf ,u v u v f u v f u v f f u v u v ∞∞+→+→==++ (1.2.5) 当-0f 适当小，-∞f 适当大，或者-0f 适当大，-∞f 适当小时，该边值问题(1.2.3)至少有1个正解，同时，还获得上述问题的两个正解的存在性，其中([0,1],[0,)),C φ∈∞在[0,1]的任何子区间上 ()0t φ≠且(,)([0,)(,0],[0,)).f u v C ∈∞⨯-∞∞2003年，安玉莲、罗华在文[22]中考虑f 无任何增长性限制的条件下,研究了一类一端固 定一端滑动的静态梁南京航空航天大学硕士学位论文3[](4)(,,','','''),0,1,(0)'(0)'(1)'''(1)0y f x y y y y x y y y y ⎧=∈⎪⎨⎪====⎩ (1.2.6) 四阶两点边值问题解的存在性和唯一性，其中[]R R f →⨯41,0:连续.本文利用Leray-Schauder 度理论，讨论该问题解的存在性，同时在满足Lipschitz 条件时，获得该边值问题解的唯一性.2004年, Philip Kormana 在文[23]中利用分歧理论研究了如下的四阶边值问题(4)()()(),(0,1),(0)(1)(0)(1)0u t h t f u t u u u u λ⎧=∈⎪⎨''====⎪⎩ (1.2.7) 正解的存在性与唯一性.2004年，姚庆六、任立顺在文[24]中考察下列四阶非线性边值问题：(4)()(,(),()),01,(0),(1),(0),(1).u t f t u t u t t u A u B u C u D '⎧=≤≤⎪⎨''''''====⎪⎩ (1.2.8) 本文利用Schauder 不动点理论及相关积分方程组的技巧，在f 连续且定义]1,0[C 中的范数为 )(max 10t u u t ≤≤=的条件下，得到了问题(1.2.7)的正解，即满足0*>u ，10≤<t 的解. 2006年，姚庆六，李永祥在文[25]中，使用Leray-Schauder 不动点定理研究了一类含有剪力因子'''()u t 的非线性弹性方程解的存在性.(4)()(,(),'''()),01,(0),'(0),'(1),'''(1).u t f t u t u t t u A u B u C u D ⎧=≤≤⎪⎨====⎪⎩ (1.2.9) 给出方程(1.2.9)解的存在性的4个定理，只要非线性项在某有界集上的“高度”适当，则该问 题至少有一个解.2006年，马如云在文[26]研究了问题:(4)()()(),(0,1)(0)(1)(0)(1)0y t y a t f y t y y y y β''⎧+=∈⎪⎨''''====⎪⎩， (1.2.10) 其中[0,1]C β∈2,(),t βπ<[0,1],a C ∈,[0,1]t ∈时0,a ≥且在]1,0[的任一子区间上都有()0.a t ≠()f C R ∈对于所有0,y ≠都有()0,f y y >作者运用Rabinowitz 全局分歧定理研究并获得了该问题的结点解的存在性以及解的全局结构.2008年，赵虹在文[27]中，讨论了四阶边值问题的非负解的问题几类四阶两点边值问题的正解的存在性和多重性4(4)()''()(,()),01,(0)(1)''(0)''(1)0u t u t f t u t t u u u u β⎧+=<<⎪⎨====⎪⎩ (1.2.11) 在假设满足[][)[)∞→∞⨯,0,01,0:f 连续，且R β∈，2πβ<的条件下，基于一个锥上的不动点指数理论得到方程非负解的充分条件.2010年，陈天兰在文[28]中利用不动点指数理论研究了具有超线性或次线性的非线性四阶 两点边值问题(4)()()(,()),01,(0)(1)''(0)''(1)0u t u t f t u t t u u u u λ⎧-=<<⎪⎨====⎪⎩(1.2.12) 作者给出了正解存在时参数λ的取值范围以及不存在正解时λ的取值范围，其中始终假定 :[0,1][0,)[0,)f ⨯∞→∞连续.2010年，闫东明在文[29]中应用锥上的不动点指数理论，研究了一类四阶两点边值问题(4)()(,()),(0,1),(0)(1)'(0)'(1)0u t f t u t t u u u u ⎧=∈⎪⎨====⎪⎩ (1.2.13) 正解的存在性和多重性，给出了几个充分条件. 2014年，陆宇在文[30]中，利用上下解方法和不动点理论讨论了四阶常微分方程的两点边 值问题(4)()=()(,(),''()),01,(0)(1)0,''(0)''(1)0u t a t f t u t u t t u u u u λ⎧<<⎪⎨====⎪⎩ (1.2.14) 存在性的一些充分条件.1.3 本文所引用的符号、定义和定理文中使用的数学符号如下：),(+∞-∞=R ，),0[+∞=+R ，]0,(-∞=-R ；n R ：n 维欧氏空间；2C ：在定义域内二阶连续可导的函数全体；||||⋅：表示范数；11:)(|)({),(R J t u t u R J C →=连续}，1],[R b a J ⊂=.本文使用如下的基本定义和定理.南京航空航天大学硕士学位论文5定义1.3.1[1] 设1E 和2E 均是Banach 空间，1E D ⊂. 若2:E D A →这个算子是连续且紧的，那么就说A 是映D 入2E 的全连续算子.定义1.3.2[1] 设F 是()C M 中的一个子集.若,,,01F M x M ∈∀∈∀>∃ϕ使得()x ϕ≤1M ,则称它是一致有界的.定义1.3.3[1] 设F 是()C M 中的一个子集.若12120,,,(,),x x M x x F ερδφ∀>∀∈<∀∈,总有()0,δε>使得εϕϕ<-)()(21x x ,称它是等度连续的.定义1.3.4[2] 设E 是Banach 空间，K 是E 中的一个非空闭集.若K 满足：(i) 任给,,x y K ∈0,0,αβ≥≥有;x y K αβ+∈(ii) 若,,x K x θ∈≠则,x K -∉则称K 是E 中的一个锥.定义1.3.5[2] 设E 是Banach 空间，K 是E 中的锥，对,,x E y E ∈∈如果,y x K -∈则记.x y ≤这种方法定义的≤“”具有下列性质： (i) ;x x ≤(ii) 若,,x y y z ≤≤则;x z ≤(iii)若,,x y y x ≤≤则.x y =这样定义的半序空间就叫做半序Banach 空间.定义1.3.6[2] 设E 是半序Banach 空间，,:D E A D E ⊂→是一个算子.若0x D ∈，并且满足00x Ax ≤,就称0x 是算子方程x Ax =的一个下解，简称0x 是A 的下解；若0y D ∈满足00y Ay ≥,就称0y 是算子方程x Ax =的一个上解，简称0y 是A 的上解.定义1.3.7[3] 设,D E ⊂算子:A D E →.(i)如果121212,,,x x D x x Ax Ax ∈≤⇒≤则称A 是D 上的增算子;(ii)如果121212,,,x x D x x Ax Ax ∈<⇒<则称A 是D 上的严格增算子.定义1.3.8[3]设K 是E 中一个锥.如果E 中每个按序有上界的增序列必有极限，即若{}n x E ⊂满足12n x x x y ≤≤≤≤≤（y 是E 中某元素），必有x E ∈使0(),n x x n -→→∞则称K 是正则的.定义1.3.9[3] 设K 是实Banach 空间E 中的一个收缩核.假设对于K 的有界开集,U K ⊂算几类四阶两点边值问题的正解的存在性和多重性6 子A U K →：全连续，并且,,Ax x x U ≠∈∂则存在唯一的整数(,,)i A U K （称为A 在U 上关于K 的不动点指数），满足(i)正规性：若A U U →：是恒同算子，则(,,) 1.i A U K = (ii)可加性：若12,U U 是E 中两个互不相交的开子集，12,\(),Ax x x U U U ≠∈ 则1212(,,)(,,)(,,).U U i A U K i A U K i A U K =+(iii)同伦不变性：设:[0,1]H U K ⨯→全连续，并且(,),(,)[0,1],H t x x t x U ≠∈⨯∂则((,),,)i H t U K 与t 无关.(iv)可解性：若(,,)0,i A U K ≠则A 在U 中至少有一个不动点.定理1.3.1[3](Arzela-Ascoli 定理) 集合),(1R J C M ⊂相对列紧的充分必要条件为： (i)集合M 中的函数一致有界，即0K ∃>，使得对()u u t M ∀=∈，都有K t u ≤)(，J t ∈∀;(ii)集合M 中的函数等度连续，即对0ε∀>，()0δδε∃=>，使得当J t ∈1，J t ∈2，δ<-21t t 时，对()u u t M ∀=∈，都有ε<-)()(21t u t u .定理1.3.2[3] 设000000,,,:[,]u v E u v A u v E ∈<→是一个增算子,满足0000,.u Au Av v ≤≤又设下面两个条件之一满足：(i)K 是正规的并且A 是凝聚的; (ii)K 是正则的并且A 是次连续的（即00,[,],n n n x x u v x x Ax Ax ∈→⇒−−→弱）.那么，A 在00[,]u v 中必有最小不动点*x 和最大不动点*x ,并且**lim ,lim ,n n n n x u x v →∞→∞== 这里11,(1,2,3,),n n n n u Au v Av n --=== 满足0110.n n u u u v v v ≤≤≤≤≤≤≤≤定理 1.3.3[3] 设E 是Banach 空间，K E ⊂是E 中的一个锥.设Ω是E 的有界开子集,南京航空航天大学硕士学位论文7.θ∈Ω若全连续算子:A K K Ω→满足 (i) 1,Au u u K ≤∈∂Ω 且2,,Au u u K ≥∈∂Ω或(ii) 1,Au u u K ≥∈∂Ω 且2,.Au u u K ≤∈∂Ω则算子A 在21(\)K ΩΩ 上有一个不动点.定理1.3.4[3] 设123,,ΩΩΩ是E 中的三个有界开集，12123θΩ,ΩΩ,∈⊂Ω⊂Ω，设 3:A K K Ω→ 是一个k -集压缩映像，0 1.k ≤<假定111inf sup ,,,01,x K x K Ax k x Ax x x K μμ∈∂Ω∈∂Ω>≠∀∈∂Ω<≤ 2,,1,Ax x x K μμ≠∀∈∂Ω≥ 333inf sup ,,,01,x K x K Ax k x Ax x x K μμ∈∂Ω∈∂Ω>≠∀∈∂Ω<≤ 则A 在3K Ω 中具有两个非θ不动点x *与x **,并且1223(\),(\).x K x K ***∈ΩΩ∈ΩΩ1.4 本文结构安排近些年来，非线性微分方程边值问题在很多方面都有着广泛的应用，比如物理学、天文学、经济学等.众所周知，非线性四阶常微分方程的边值问题是人们熟知的用来刻画弹性梁状态的重要的数学模型，所以，研究这类问题，对弹性力学、工程物理等领域的研究提供源源不断的动力.本文主要研究三类四阶两点边值问题解的存在性.第二章，利用不动点指数理论讨论了两类一端简单支撑另一端滑动支撑的弹性梁平衡态的四阶微分方程边值问题(4)()()(,()),01,(0)'(1)''(0)'''(1)0u t u t f t u t t u u u u λ⎧-=<<⎪⎨====⎪⎩ 当参数λ在[0,)∞变化时正解的存在性以及下列四阶边值问题(4)()''()(,()),01,(0)'(1)''(0)'''(1)0u t u t f t u t t u u u u α⎧+=<<⎪⎨====⎪⎩几类四阶两点边值问题的正解的存在性和多重性8 正解的存在性，其中:[0,1][0,)[0,)f ⨯∞→∞连续，并且有R α∈，2.4πα<第三章，利用极大值原理、比较定理和增算子不动点定理，讨论了Banach 空间中如下四阶常微分方程两点边值问题(4)()(,()),[0,1](0)'(0)''(1)'''(1)u t f t u t t u u u u θ⎧=∈⎪⎨====⎪⎩， 正解的存在性.第四章，总结全文，简述展望.9第二章 两类四阶微分方程边值问题正解及多个正解的存在性2.1引言研究微分方程的边值问题是当今国内外热点领域之一，尤其微分方程边值问题正解的存在性.梁是工程建筑的重要构件，根据其两端不同的支撑条件，就可以得到不同的边值问题.由于其在弹性力学领域的重要性，近些年，有较多文献专于研究其正解的存在性，见文献[31]-[36].然而，对于描述一端简单支撑，另一端滑动支撑的弹性梁平衡状态的四阶微分方程这方面的研究不是很多.本章讨论了两类四阶微分方程边值问题正解的存在性及多重性. 2.2 第一类四阶边值问题正解存在性及多重性 文献[28]研究了如下四阶边值问题(4)()()(,()),(0,1),(0)(1)''(0)''(1)0u t u t f t u t t u u u u λ⎧-=∈⎪⎨====⎪⎩ (2.2.1)正解的存在性，其中(,)([0,1][0,),[0,))f t u C ∈⨯∞∞,作者运用不动点指数理论，考虑上述问题在[0,)λ∈∞时正解的存在性.受到以上文献的启发，本节研究一类四阶微分方程(4)()()(,()),(0,1),(0)'(1)''(0)'''(1)0u t u t f t u t t u u u u λ⎧-=∈⎪⎨====⎪⎩ (2.2.2)正解及多个正解的存在性.本节总假定：1()([0,1][0,),[0,))H f C ∈⨯∞∞.为了叙述方便，引入下列记号00[0,1][0,1]00(,)(,)liminf min ,limsup max ,t t u u f t u f t u f f u u ++∈∈→→==[0,1][0,1](,)(,)liminf min ,limsup max .u t t u f t u f t u f f u u ∞∞→+∞∈∈→+∞== 注1 L 是(4)()()0,(0,1)(0)'(1)''(0)'''(1)0u t u t t u u u u λ⎧-=∈⎨====⎩的第一个特征值，其特征函数为sin 2tπ，其中10416L πλ=-.记[0,1]E C =为定义在闭区间[0,1]上全体连续函数构成的集合,在其上定义范数01max ()t u u t ≤≤=，则E 为一个Banach 空间.记[0,1]{[0,1]:()0,01}C u C u t t +=∈≥≤≤引理2.2.1 边值问题''()0,(0,1),(0)'(1)0u t t u u -=∈==的格林函数为,01(,),01t t s G t s s s t ≤≤≤⎧=⎨≤≤≤⎩且(,)G t s 有以下性质：1)(,)0,(,)(,);G t s G t s G s s ≥≤ 2)(,)(,)(,).G t s G t t G s s ≥记1013[0,1][,]44max (,),min (,),(,)(,),.t t mC M G t t m G t t C G t t G t t dt Mσ∈∈====⎰定义算子[0,1][0,1],A C C ++→：1100()(,)(,)(,())Au t G t G s f s u s dsd τττ=⎰⎰ (2.2.3)记13{[0,1]:(),}44K u C u t u t σ+=∈≥≤≤,显然K 是[0,1]C 中的一个锥.引理2.2.2 ()A K K ⊂且A 全连续.证 对于,u K ∈由(2.2.3)及引理2.2.1知，()0,[0,1],Au t t ≥∈且11100()(,)(,)(,())(,)(,()),[0,1].Au t G G s s f s u s dsd M G s s f s u s ds t τττ≤≤∈⎰⎰⎰ (2.2.4)因此1(,)(,())Au M G s s f s u s ds ≤⎰另一方面由引理2.2.1，得1()(,)(,)(,)(,)(,())Au t G t t G G G s s f s u s dsd τττττ≥⎰ 100(,)(,)(,()),[0,1].C G t t G s s f s u s ds t ≥∈⎰ (2.2.5)由(2.2.4)和(2.2.5)式，可得 0(,)(),[0,1].C G t t Au t Au Au t Mσ≥≥∈(2.2.6)因此()A K K ⊂.另外由f 的连续性及Arzela-Ascoli 定理可证A 是全连续的.11对0r >,记{:},{:}.r r K u K u r K u K u r =∈<∂=∈=引理 2.2.3[1] 设:A K K →是全连续的，并且对任意r u K ∈∂和01μ<≤,有Au u μ≠,则(,,)1r i A K K =.引理2.2.4[1] 设:A K K →是全连续的，并假设以下两个条件满足： (i)inf 0ru K Au ∈∂>(ii)对任意的r u K ∈∂和1μ>,有Au u μ≠, 则(,,)0r i A K K =.本节的主要结果是：定理2.2.1 假设条件1()H 成立,且0,,f L f L ∞<> 则当4016πλ≤<时，问题(2.2.2) 至少存在一个正解.证 由0f L <知，存在(0,)L ε∈及00r >,使 0(,)(),[0,1],0f t u L u t u r ε≤-∈<≤ (2.2.7)设0(0,]r r ∈,下证Au u μ≠,r u K ∈∂,01μ<≤.事实上，若存在00,01,r u K μ∈∂<≤有000Au u μ=,显然0u 满足(4)0000()()=(,()),(0,1)u t u t f t u t t λμ-∈ (2.2.8) 及边值条件,对上式两端同时乘以sin ,2tπ再从0到1积分，利用分部积分法，由边值条件(2.2.2)及(2.2.7)有100()L u t ⎰s i n2tdt π=1000(,())sin2tf t u t dt πμ⎰≤100()()L u t ε-⎰s i n.2tdt π(2.2.9)由(2.2.6)式知，0(,)()C G t t u t u M≥ (2.2.10)因此100()sin02tu t dt π>⎰，故()L L ε≤-矛盾.从由引理2.2.3知(,,)1r i A K K =. (2.2.11)又由f L ∞>可知，存在(0,)L ε∈及0,H r > (,)(),[0,1],.f t u L u t u H ε≥+∈> (2.2.12)设12C =[0,1],[0,]max t u H ∈∈(,)()f t u L u ε-+1+,则(,)(),[0,1],0.f t u L u C t u ε≥+-∈≥ (2.2.13)取,HR σ>则对任意的13,[,]44R u K t ∈∂∈和(2.2.12)式，得 110011()(,)(,)(,())22Au Au G G s f s u s dsd τττ≥=⎰⎰11003410411(,)(,)(,)(,)()()22()1()(,)(),24G G G G s s L u s dsd m C L C L G s s u s ds u ττττετσεε≥++≥+≥⎰⎰⎰ 因此inf0Ru K Au ∈∂>.下证，Au u μ≠,R u K ∈∂,1μ>.若存在00,1R u K μ∈∂>,使得000Au u μ=,显然0u 满足(2.2.8)式和边值条件(2.2.2),结合(2.2.13)类似(2.2.9)的证明，有110002()sin()()sin,22ttCL u t dt L u t dt ππεπ≥+-⎰⎰因此1002()sin.2tCu t dt ππε≤⎰再结合(2.2.10)式得31410042((,)sin ):2MC t u G t t dt R C ππε-≤=⎰.取0=max{,},HR R σ则当0R R >时，Au u μ≠,R u K ∈∂,1μ>,由引理2.2.4得(,,)0R i A K K =. (2.2.14)因此，由(2.2.11)及(2.2.14)可知，(,\,)1R r i A K K K =-.故问题(2.2.2)在\R r K K 上有正解. 定理2.2.2 假设条件1()H 成立,且0,,f L f L ∞>< 则当4016πλ≤<时，问题(2.2.2) 至少存在一个正解.证 由0,f L >存在(0,)L ε∈及00r >,使 0(,)(),[0,1],0f t u L u t u r ε≥+∈<≤(2.2.15)设0(0,]r r ∈,对任意的,r u K ∈∂和(2.2.15)式，得110011()(,)(,)(,())22Au Au G G s f s u s dsd τττ≥=⎰⎰1311003410411(,)(,)(,)(,)()()22()1()(,)(),24G G G G s s L u s dsd m C L C L G s s u s ds u ττττετσεε≥++≥+≥⎰⎰⎰ 因此inf 0ru K Au ∈∂>.下证，Au u μ≠,R u K ∈∂,1μ>.若存在00,1R u K μ∈∂>,使得000Au u μ=,显然0u 满足(2.2.8)式和边值条件(2.2.2),结合(2.2.15),类似(2.2.9)的证明，有11000()sin()()sin,22ttL u t dt L u t dt ππε≥+⎰⎰仍可得出矛盾.由引理2.2.4知，(,,)0.r i A K K =(2.2.16)又由f L ∞<可知，存在(0,)L ε∈及0,H r > (,)(),[0,1],.f t u L u t u H ε≤-∈>设 [0,1],[0,]max (,)()1t u H C f t u L u ε∈∈=--+则(,)(),[0,1],0.f t u L u C t u ε≤-+∈≥ (2.2.17)如果存在00,01,r u K μ∈∂<≤有000Au u μ=,那么结合(2.2.17)式得，111000002()sin=(,())sin()()sin,222tttCL u t dt f t u t dt L u t dt πππμεπ≤-+⎰⎰⎰因此1002()sin.2tCu t dt ππε≤⎰结合(2.2.6)式，得314100042((,)sin ):2M C t u G t t dt R C ππε-≤=⎰则当0R R >时，R u K ∈∂，01μ<≤，都有Au u μ≠由成立.因此由引理2.2.3得(,,)1R i A K K =. (2.2.18)因此，由(2.2.16)及(2.2.18)可知，(,\,)1R r i A K K K =.故问题(2.2.2)在\R r K K 上有正解. 定理2.2.3 假设条件1()H ，0,f L fL ∞<<成立，并满足2()H 存在常数0,0,0,p a δ>>>使得(,),f t u au ≥[0,1],t ∀∈,u p δ≤≤且,a L >则当4016πλ≤<时边值问题(2.2.2)至少有两个正解；当416πλ≥时边值问题(2.2.2)无正解.14证 首先证明inf 0pu K Au ∈∂>.对于,p u K ∈∂有,u p ≤由条件2()H 可得110010034100411()(,)(,)(,())2211()(,)()221(,)()2Au Au G G s f s u s dsd C G G s s au s ds C m G s s au s ds C ma uτττσ≥=≥≥≥⎰⎰⎰⎰，由上式可以看出inf 0pu K Au ∈∂>.下面证明对任何00,1,p u K μ∈∂>使000,Au u μ=则对于[0,1],t ∈有0,u p ≤≤故由条件2()H 类似于(2.2.9)式证明可得1111000000()sin(,())sin()sin()sin2222ttttL u t dt f t u t dt au t dt a u t dt ππππμ=≥=⎰⎰⎰⎰这显然与a L >矛盾，由此由引理2.2.4可得(,,)0.p i A K K =(2.2.19)由0f L <和定理2.2.1证得存在00,r >使 0(,,)1,0.r i A K K r r =∀<≤ (2.2.20)又由fL ∞<和定理2.2.2证得存在00,R >使0(,,)1,.R i A K K R R =∀≥ (2.2.21) 取,R p r >>由(2.2.19)-(2.2.21)式得(,\,)(,,)(,,)1R p R p i A K K K i A K K i A K K =-=，(,\,)(,,)(,,) 1.p r p r i A K K K i A K K i A K K =-=-因此，A 在\R p K K 和\p r K K 中各有一个不动点，即当4016πλ≤<时，问题(2.2.2)至少有2有个正解.下面证明，当416πλ≥时边值问题(2.2.2)无正解.反证假设边值问题(2.2.2)存在正解,u 则u 满(2.2.2).于是对方程两端同时乘以sin,2tπ再从0到1积分，结合边值，有411()()sin(,())sin.1622ttu t dt f t u t dt πππλ-=⎰⎰当416πλ=时151(,())sin0.2tf t u t dt π=⎰又因f 满足1()H 和2()H ，则存在0[0,1],t ∈使得00(,())0,f t u t >故有1(,())sin 0,2tf t u t dt π>⎰矛盾.当416πλ>时，1(,())sin0,2tf t u t dt π<⎰与1()H 矛盾.因此，当416πλ≥时，边值问题(2.2.2)无正解.2.3 第二类四阶边值问题正解的存在性文[27]中，赵虹利用锥上的不动点指数理论研究了四阶边值问题(4)()''()(,()),01,(0)(1)''(0)''(1)0.u t u t f t u t t u u u u β⎧+=<<⎪⎨====⎪⎩ 本节讨论了在0点简单支撑，1点滑动支撑的四阶边值问题(4)()''()(,()),01(0)'(1)''(0)'''(1)0u t u t f t u t t u u u u α⎧+=<<⎪⎨====⎪⎩， 正解的存在性.假设下面的条件总是满足的：1():[0,1][0,)[0,)H f ⨯∞→∞是连续的； 2()H R α∈且2.4πα<为了方便，引入下面的记号00[0,1][0,1]00(,)(,)liminf min ,limsup max ,t t u u f t u f t u f f u u ++∈∈→→==[0,1][0,1](,)(,)liminf min ,limsup max .u t t u f t u f t u f f u u ∞∞→+∞∈∈→+∞== 记1λ为(4)'',(0)'(1)''(0)'''(1)uu u u u u u αλ+====的第一特征值，则1λ满足142164+=1λαππ相应的特征函数为sin.2tπ(2.3.1) (2.3.2)16假设u 是边值问题(2.3.1)(2.3.2)的一个解，则111200()(,)(,)(,()),01u t G t G s f s u s dsd t τττ=≤≤⎰⎰这里12(,),(,)G t s G t s 分别是''0,(0)'(1)0u u u -===和''0,(0)'(1)0u u u u α--===的格林函数.即1,01(,),0 1.t t s G t s s s t ≤≤≤⎧=⎨≤≤≤⎩,令ω若0,α<则2sinh cosh (1),01,cosh (,)sinh cosh (1),0 1.cosh s t s t G t s t s t s ωωωωωωωω-⎧≤≤≤⎪⎪=⎨-⎪≤≤≤⎪⎩若0,α=则21(,)=(,).G t s G t s若20,4πα<<则2sin cos (1),01,cos (,)sin cos (1),0 1.cos s t s t G t s t s t s ωωωωωωωω-⎧≤≤≤⎪⎪=⎨-⎪≤≤≤⎪⎩从表达式中可以看出2(,)0,,(0,1).G t s t s >∀∈引理2.3.1 存在常数i 0,(,)(1,2)i G t s i δ>=有如下性质：1)(,)0,,(0,1)i G t s t s >∀∈; 2)(,)(,),,[0,1]i i i G t s C G s s t s ≤∀∈; 3)(,)(,)(,),,[0,1]i i i i G t s G t t G s s t s δ≥∀∈,其中，当0α<时，1,i C =;s i n h i ωδω=当0α=时，1,1;i i C δ==当204πα<<时，1,cos i C ω=cos .i δωω= 设{}2[0,1],(0)'(1)''(0)'''(1)0E u C u u u u =∈====且，那么E 是一个Banach 空间，范数定义为'',,u u u E ∞=∀∈其中[0,1]max ().t uu t ∞∈=17众所周知，边值问题(2.3.1)(2.3.2)的解等价于算子111200()(,)(,)(,())Au t G t G s f s u s dsd τττ=⎰⎰ (2.3.3)在E 中的不动点，显然A 是全连续的.本节使用下述记号：1012130[0,1][,]44max (,),min (,),(,)(,).i i i i s s M G s s m G s s C G G d τττττ∈∈===⎰显然0,,0.i i M m C >在E 中定义锥1213[,]44=:0,min (),t K u E u u t u u u σσ∞∞∈⎧⎫⎪⎪∈≥≥≤⎨⎬⎪⎪⎩⎭，其中12102121211210=0,.m C C C C M m C δδσσαδδ>=+引理2.3.2 ().A K K ⊂证 对于,u K ∈由(2.3.3)式和引理2.3.1知，()0,[0,1],Au t t ≥∈且112120()(,)(,()),[0,1].Au t C C M G s s f s u s ds t ≤∀∈⎰因此112120(,)(,()).AuC C M G s s f s u s ds ∞≤⎰ (2.3.4)另一方面由引理2.3.1得1120120()(,)(,)(,()),[0,1].Au t C G t t G s s f s u s ds t δδ≥∀∈⎰ (2.3.5)由(2.3.4)和(2.3.5)式，可得1201121()(,),[0,1].C Au t G t t Au t C C M δδ∞≥∀∈ (2.3.6)故113[,]44min (),t Au t Auσ∞∈≥又由(2.3.6)式得 1120120(,)(,)(,()).AuC G t t G s s f s u s ds δδ∞≥⎰(2.3.7)由(2.3.3)式得120()''()()(,)(,()),[0,1].Au t Au t G s f s u s ds t ατ--=∀∈⎰ (2.3.8)由(2.3.7)和(2.3.8)式得181222201201()''(,)(,())(),C Au AuC G s s f s u s ds AuAu C m αασδδ∞∞∞∞≤+≤+=⎰即2,Au Auσ∞≤从而有().A K K ⊂对0r >,记{:},{:}.r r K u K u r K u K u r =∈<∂=∈=引理2.3.3[1] 设:A K K →是全连续的，并且对任意r u K ∈∂和01μ<≤,有Au u μ≠, 则(,,)1r i A K K =.引理2.3.4[1] 设:A K K →是全连续的，并假设以下两个条件满足： (i)inf 0ru K Au ∈∂>(ii)对任意的r u K ∈∂和1μ>,有Au u μ≠, 则(,,)0r i A K K =.本节的主要结果：定理2.3.1 假设条件12(),()H H 满足,并且011,f f λλ∞><则边值问题(2.3.1)(2.3.2)至少存在一个正解.证 由01f λ>，则存在0ε>和00r >使得10(,)(),[0,1],0f t u u t u r λε≥+∀∈<≤设0(0,],r r ∈则对任何,r u K ∈∂对于[0,1],t ∈有()[0,]u t r ∈且111200314112043411201243411201214120121211()(,)(,)(,())221(,)(,)(,())211(,)(,)(,())22(,)()()()2Au AuAu G G s f s u s dsd G G s f s u s dsd C G G s s f s u s ds C m G s s u s dsC m m u ττττττδδδδλεδδλεσ∞≥≥=≥≥≥++≥⎰⎰⎰⎰⎰⎰因此inf 0.ru K Au ∈∂>下面证明对任意r u K ∈∂和1μ>,有.Au u μ≠若不成立，则存在00,1,r u K μ∈∂>使000.Au u μ=注意到0()u t 满足(4)0000()''()(,()),[0,1].u t u t f t u t t αμ+=∈ (2.3.10) (2.3.9)19和边界条件(2.3.2).用sin2tπ乘等式(2.3.10)两端，并从0到1积分，左端用分部积分得42110000()()sin (,())sin ,16422u t tdt f t u t tdt ππππαμ-=⎰⎰即11100001001100()sin (,())sin22(,())sin2()()sin2u t tdt f t u t tdtf t u t tdtu t tdtππλμππλε=≥≥+⎰⎰⎰⎰由式(2.3.6)可得0()u t ≥12010121(,)C G t t u C C M δδ∞120101212(,),C G t t u C C M δδσ≥[0,1].t ∀∈(2.3.12)因此100()sin0.2u t tdt π>⎰由(2.3.11)可得11λλε≥+,显然矛盾.因此，由引理2.3.4知，(,,)0r i A K K = (2.3.13)另一方面，由1f λ∞<,则存在1(0,)ελ∈和0,H >使得 1(,)(),[0,1],.f t u u t u H λε≤-∀∈≥(2.3.14)设1[0,1],[0,]max(,)()1t u H C f t u u λε∈∈=--+，则显然有1(,)(),[0,1],0.f t u u C t u λε≤-+∀∈≥(2.3.15)若存在00,01,r u K μ∈∂<≤使得000Au u μ=，则0()u t 满足(2.3.10)式和边界条件(2.3.2). 在等式 (2.3.10)两端乘sin2tπ，并积分，注意到(2.3.15)得1111000100002()sin (,())sin ()()sin +222Cu t tdt f t u t tdt u t tdt πππλμλεπ=≤-⎰⎰⎰，从而有1002()sin.2Cu t tdt ππε≤⎰(2.3.16)由(2.3.12)式，得(2.3.11)20100()sin2u t tdt π⎰34104()sin2u t tdt π≥⎰12010121223(cos cos ).88C m u C C M δδπππσ≥-(2.3.17)由(2.3.16)和(2.3.17)式得121212120120112012.332(coscos )(cos cos )8888C C M CC C M Cu C m C m πσσπππππεδδεδδ≤⋅=--若令121201201,3(cos cos )88CC C M R C m σππεδδ=-则当0R R ≥时，对任何,01,R u K μ∈∂<≤都应有Au u μ≠成立.因此由引理2.3.3知0.(,,)1R i A K K R R =∀≥，(2.3.18)由(2.3.13)和(2.3.18)式得(,\,)1R r i A K K K =所以，A 在\R r K K 上有一个不动点，从而问题(2.3.1)-(2.3.2)至少有一个正解.推论2.3.1 假设条件12(),()H H 满足,并且0=,=0f f ∞∞(次线性).则边值问题(2.3.1)-(2.3.2)至少存在一个正解.定理2.3.2 假设条件12(),()H H 满足,并且011f f λλ∞<>，则边值问题(2.3.1)(2.3.2)至少存在一个正解.证 由01f λ<，则存在1(0,)ελ∈和00r >使得10(,)(),[0,1],0f t u u t u r λε≤-∀∈<≤ (2.3.19)设0(0,],r r ∈下证对任意的r u K ∈∂和01,μ<≤有Au u μ≠成立.若不成立，则存在0,r u K ∈∂001,μ<≤使得000.Au u μ=则0()u t 满足(2.3.10)式和边界条件(2.3.2). 在等式(2.3.10)两端乘sin 2tπ，并积分，注意到(2.3.19)得111100010000()sin (,())sin ()()sin 222u t tdt f t u t tdt u t tdt πππλμλε=≤-⎰⎰⎰ 由式(2.3.12)得100()sin 0,2u t tdt π>⎰仍可得出11,λλε≤-矛盾.因此由引理2.3.3知，(,,)1r i A K K =(2.3.20)另外，由1f λ∞>，则存在1(0,)ελ∈和0,H >使得1(,)(),[0,1],.f t u u t u H λε≥+∀∈>(2.3.21)21取21,H R σσ>则对11213,[,],().44R u K t u t uu H σσσ∞∈∂∈≥≥>有再由式(2.3.21)得 11213(,)(),,[,]44R f t u u u K t σλεσ≥+∀∈∂∈ 类似于(2.3.9)式可证inf 0.Ru K Au ∈∂>设1[0,1],[0,]max(,)(+)1t u H C f t u u λε∈∈=-+则有1(,)(),[0,1],0.f t u u C t u λε≥+-∀∈≥ (2.3.22)若存在0,R u K ∈∂01,μ>使得000.Au u μ=由式(2.3.22)得1111000100002()sin(,())sin(+)()sin222tttCu t dt f t u t dt u t dt dt πππλμλεπ=≥-⎰⎰⎰因此1002()sin,2tCu t dt ππε≤⎰再由式(2.3.17)得121201201:.3(cos cos )88CC C M u R C m σππεδδ≤=-取201=max{,R},HR σσ则当0R R >时，对任意的R u K ∈∂和1μ>,有Au u μ≠,因此由引理2.3.4知(,,R i A K )0.K = (2.3.23) 由(2.3.20)和(2.3.23)式，有(,\,) 1.R r i A K K K =-所以，A 在\R r K K 上有一个不动点，即边值问题(2.3.1)-(2.3.2)至少有一个正解.推论 2.3.2 假设条件12(),()H H 满足,并且0=0,f =f ∞∞（超线性）.则边值问题(2.3.1)-(2.3.2)至少存在一个正解.22第三章 Banach 空间中一类四阶微分方程两点边值问题的正解3.1 引言常微分方程边值问题一直都是许多学者关注的热点，尤其是四阶微分边值问题更具有代表性，比如，上一章所研究的弹性梁在不同受力条件下的形变.但是由于抽象空间在紧性和连续性上都具有一定的困难，以往的研究都是放在普通的空间，也就是实数空间进行的.这样的研究具有一定的局限性，不利于实际应用.所以，在抽象空间中研究四阶微分方程边值问题显然具有重要的意义.众所周知，近三四十年，Banach 空间中的常微分方程理论迅速发展，利用已经较为成熟的泛函分析方法，结合常微分方程理论，去研究Banach 空间中的常微分方程.目前，此类问题的研究方法主要涉及以下几种：上下解方法、不动点定理、变分法（临界点理论）、单调迭代法等.20世纪30年代中期，法国数学家J.Leray 和J.Schauder 建立了Leray-Schauder 度理论，他们的这一发现在研究微分、积分、泛函方程等方面获得重大突破，特别是对于边值问题的应用，标志着非线性泛函分析诞生.自此，运用拓扑度理论去研究常微分方程的边值问题很快就成为一个重要方向.但是，由于拓扑度理论是用代数的语言刻画的，很难直接应用在分析上，所以当时的研究成果并不多.上世纪50年代，非线性泛函分析的体系初步形成，各种研究方法和工具相继产生，并开始用于研究常微分方程可解性.变分法也开始初步形成，其理论依据的基本结论是“自反空间中，有界凸闭集上的弱下半连续泛函必达到极值”.后来，经过许多数学家的研究，提出了对锥的讨论，同时发现了很多重要的不动点定理，其中，最为著名的就是Krasnoselskii 不动点定理，这一发现使得边值问题正解的存在性变得切实可行. Amann 通过建立锥上的不动点指数理论，丰富了研究正解存在性的方法和工具.如今，有更多的方法来研究边值问题，如文献[37-39].在文献[31]中，作者运用上下解方法研究了Banach 空间中四阶两点边值问题(4)()(,(),''()),(0,1)(0)'(1)''(0)'''(1)u x f x u x u x t u u u u θ⎧=∈⎨====⎩(3.1.1)正解的存在性，其中([0,1],)f C R R R ∈⨯⨯.其他文献见[40-48]受到以上文献的启发，本文主要是利用极大值原理以及比较定理和增算子不动点定理，在Banach 空间中研究如下方程正解的存在性.考察Banach 空间中四阶微分方程两点边值问题(4)()(,()),(0)'(0)''(1)'''(1)u t f t u t t Iu u u u θ⎧=∈⎨====⎩(3.1.2) 其中=[0,1]I ，(,)f C I E E ∈⨯,对t I ∀∈,如果有(,)f t θθ≡,则称()x t θ≡是边值问题(3.1.2)23的平凡解.显然，{[,],(),}Q x x C I E x t t I θ=∈≥∀∈是Banach 空间[,]C I E 中的正规锥， 4[,]x C I E ∈是边值问题(3.1.2)的正解，若它满足(3.1.2)且,()x Q x t θ∈≠.设():[0,1]x t E →连 续，0[0,1].t ∈若0Z E ∃∈，使极限0000()()lim0t x t t x t z t∆→+∆--=∆存在，则称()x t 在0t t =可微. 类似的可定义()x t 在0t t =在其它各种高阶导数.本文中，考察边值问题(3.1.2)正解的存在性.3.2预备知识与引理设(,)E ⋅是实Banach 空间，令=[0,1]I ，对x ∈[,],C I E 令max ()ct Ixx t ∈=，则[,]C I E 为Banach 空间.P 是E 中的一个正规锥（不妨设正规锥常数为1），引入E 中的一个半序关系≤“”，x y ≤当且仅当y x P -∈.显然，{[,](),}Q x x C I E x t t I θ=∈≥∀∈，是Banach 空间[,]C I E 中的正规锥，设θ是E 中的零元.再由Q 引入[,]C I E 中一个半序关系，,[,]x y C I E ∈，x y ≤“”，当且仅当,()().t I x t y t ∀∈≤ 引理3.2.1[13] 假设K 是n R 中有界开集,设2()()u C K C K ∈⋂，且在K 中0(0),u ∆≥≤则sup sup (inf inf )KK KK u u u u ∂∂==引理3.2.2 （比较定理）若4[0,1]q C ∈且(4)(),,(0),'(0),''(1),'''(1),q t t I q q q q θθθθθ⎧≥∀∈⎪≥≥⎨⎪≥≤⎩(3.2.1)(),.q t t I θ≥∀∈则证 {}**()0,g P O E O x x P ∀∈=∈≥∀∈其中*E 是E 的共轭空间，*P 是P 的对偶锥.令()(())m t g q t =则4[,]m C I R ∈且(4)(4)()(()),'''()('''()),''()(''()),'()('()).m t g q t m t g q t m t g q t m t g q t ====由(3.2.1)式知(4)()0,,(0)0,'(0)0,''(1)0,'''(1)0,m t t I m m m m ⎧≥∀∈⎪≥≥⎨⎪≥≤⎩(3.2.2)下证()0m t ≥.令''()()m t y t =.则由(3.2.2)式得''()0,(1)0,'(1)0y t t I y y ≥∀∈⎧⎨≥≤⎩，， 由引理3.2.1得()0,.y t t I ≥∀∈故。

第60卷 第2期吉林大学学报(理学版)V o l .60 N o .22022年3月J o u r n a l o f J i l i nU n i v e r s i t y (S c i e n c eE d i t i o n )M a r 2022d o i :10.13413/j .c n k i .jd x b l x b .2021188带参数的非线性简单支撑静态梁方程正解的存在性及多解性吴 梦 丽(西安电子科技大学数学与统计学院,西安710126)摘要:用上下解方法和拓扑度理论讨论带参数的非线性简单支撑静态梁方程y ᵡᵡ(x )+(k 1+k 2)y ᵡ(x )+k 1k 2y (x )=λf (x ,y (x )), 0<x <1,y (0)=y (1)=y ᵡ(0)=y ᵡ(1)={0正解的存在性和多解性,其中:λ>0是一个参数;k 1<k 2<0,k 1,k 2均为实常数;f :[0,1]ˑ[0,ɕ)ң(0,ɕ)为连续函数,且f (x ,y )对固定的x ɪ[0,1]关于y 单调增.关键词:正解;存在性;多解性;上下解;拓扑度中图分类号:O 175.8 文献标志码:A 文章编号:1671-5489(2022)02-0219-06E x i s t e n c e a n dM u l t i p l i c i t y ofP o s i t i v e S o l u t i o n s f o rN o n l i n e a r S i m p l y S u p p o r t e dS t a t i cB e a mE qu a t i o n sw i t haP a r a m e t e r WU M e n gl i (S c h o o l o f M a t h e m a t i c s a n dS t a t i s t i c s ,X i d i a nU n i v e r s i t y ,X i a n 710126,C h i n a )A b s t r a c t :B y u s i n g t h em e t h o d s o f u p p e r a n d l o w e r s o l u t i o n s a n d t o p o l o g i c a l d e g r e e t h e o r y,t h e a u t h o r d i s c u s s e s t h e e x i s t e n c e a n dm u l t i p l i c i t y o f p o s i t i v e s o l u t i o n s f o r t h en o n l i n e a r s i m p l y s u p p o r t e ds t a t i c b e a me qu a t i o n sw i t ha p a r a m e t e r y ᵡᵡ(x )+(k 1+k 2)y ᵡ(x )+k 1k 2y (x )=λf (x ,y (x )), 0<x <1,y (0)=y (1)=y ᵡ(0)=y ᵡ(1)=0{,w h e r e λ>0i s a p a r a m e t e r ,k 1<k 2<0,k 1a n d k 2a r e r e a l c o n s t a n t s ,f :[0,1]ˑ[0,ɕ)ң(0,ɕ)i s a c o n t i n u o u s f u n c t i o n ,a n d f (x ,y )mo n o t o n i c a l l y i n c r e a s e sw i t h r e s p e c t t o y f o r a f i x e d x ɪ[0,1].K e y w o r d s :p o s i t i v e s o l u t i o n ;e x i s t e n c e ;m u l t i p l i c i t y ;u p p e r a n d l o w e r s o l u t i o n s ;t o p o l o g i c a l d e g r e e 收稿日期:2021-05-18.作者简介:吴梦丽(1997 ),女,汉族,硕士研究生,从事常微分方程边值问题的研究,E -m a i l :w m l 110521@163.c o m.基金项目:国家自然科学基金(批准号:12061064).1 引言与主要结果四阶常微分方程边值问题是刻画弹性梁平衡状态的数学模型,在弹性力学㊁工程物理㊁生物化学等领域应用广泛.四阶边值问题的解可用于描述平衡状态下弹性梁的形变,因此,非线性四阶常微分方程边值问题正解的存在性研究受到广泛关注[1-12].V r a b e l [1]用上下解方法得到了简单支撑梁方程y ᵡᵡ(x )+(k 1+k 2)y ᵡ(x )+k 1k 2y (x )=f (x ,y (x )), 0<x <1,y (0)=y (1)=y ᵡ(0)=y ᵡ(1)={0(1)Copyright©博看网 . All Rights Reserved.正解的存在性结果,其中f (x ,y )对y 单调,k 1<k 2<0.M a 等[2]通过构造格林函数,证明格林函数的正性,得到如下结果:定理1[2] 假设0<k 1<k 2<x 21,x 1是方程xc o s (x )+s i n (x )=0的第一个正解,令E ={(x ,u )ɪℝ2:0ɤx ɤ1,α(x )ɤu ɤβ(x )}.若问题(1)存在下解α和上解β,且满足α(x )ɤβ(x ),x ɪ[0,1],f :E ңℝ是连续函数,且当α(x )ɤu 1ɤu 2ɤβ(x )时,f (x ,u 1)ɤf (x ,u 2),x ɪ[0,1].则问题(1)存在一个解y (x ),且满足α(x )ɤy (x )ɤβ(x ), 0ɤx ɤ1.受上述研究结果启发,本文在f 对第二个变量单调增的条件下通过构造上下解,用拓扑度理论讨论两端简单支撑梁方程y ᵡᵡ(x )+(k 1+k 2)y ᵡ(x )+k 1k 2y (x )=λf (x ,y (x )), 0<x <1,y (0)=y (1)=y ᵡ(0)=y ᵡ(1)={0(2)正解的存在性和多解性.本文总假设:(H 1)λ>0是一个参数,k 1<k 2<0是实常数;(H 2)f :[0,1]ˑ[0,ɕ)ң(0,ɕ)是连续函数;(H 3)f (x ,y )对固定的x ɪ[0,1]关于y 单增;(H 4)f ɕ=l i m y ңɕf (x ,y )y=ɕ对x ɪ[0,1]一致成立.本文主要结果如下:定理2 假设(H 1),(H 2),(H 4)成立,则当λ充分小时,问题(2)至少存在一个正解;当λ充分大时,问题(2)不存在正解.定理3 假设(H 1)~(H 4)成立,则存在λ*>0,使得当0<λ<λ*时,问题(2)至少存在两个正解;当λ=λ*时,问题(2)至少存在一个正解;当λ>λ*时,问题(2)不存在正解.注1 由假设条件(H 2),可知f 0=l i m y ң0f (x ,y )y=ɕ对x ɪ[0,1]一致成立.在定理2中用常用的锥上不动点定理可证明存在μ*,μ*>0,使得当λɪ(0,μ*)时,问题(2)存在两个正解;当λ>μ*时,问题(2)不存在正解.但在μ*与μ*之间解的情况未知,μ*能否与μ*相等也未知.本文用上下解和拓扑度方法不仅得到了问题(2)在μ*=μ*处解的情况,而且得到了问题(2)的多解性.2 预备知识引理1[13] 设X 是B a n a c h 空间且K 是X 中的一个锥.当r >0时,定义K r ={x ɪK x <r }.假设T :췍K r ңK 是紧算子,使得当x ɪ∂K r 时,T x ʂx .1)若x ɪ∂K r ,满足 x ɤ T x ,则i (T ,K r ,K )=0;2)若x ɪ∂K r ,满足 x ȡ T x ,则i (T ,K r ,K )=1.引理2[1] 令k 1<k 2<0,则线性问题y ᵡᵡ(x )+(k 1+k 2)y ᵡ(x )+k 1k 2y (x )=0, 0<x <1,y (0)=y (1)=y ᵡ(0)=y ᵡ(1)={0(3)的格林函数G (x ,s )满足G (x ,s )ȡ0(0ɤx ,s ɤ1),其中G (x ,s )=1k 2-k 1{s i n h [-k 1(s -1)]s i n h (-k 1x )/[-k 1s i n h (-k 1)]- s i n h [-k 2(s -1)]s i n h (-k 2x )/[-k 2s i n h (-k 2)]},0ɤx <s ɤ1,1k 2-k 1{s i n h [-k 1(x -1)]s i n h (-k 1s )/[-k 1s i n h (-k 1)]- s i n h [-k 2(x -1)]s i n h (-k 2s )/[-k 2s i n h (-k 2)]},0ɤs <x ɤ1ìîíïïïïïïïï.(4)022 吉林大学学报(理学版) 第60卷Copyright©博看网 . All Rights Reserved.引理3(极大值原理)[1]若y ᵡᵡ(x )+(k 1+k 2) y ᵡ(x )+k 1k 2 y(x )ȡ0, y ɪΨ={y ɪC 4([0,1]),y (0)=y (1)=y ᵡ(0)=y ᵡ(1)=0}.则 y (x )ȡ0,x ɪ[0,1].本文令Y =C [0,1],其在范数 y =m a x x ɪ[0,1]y (x )下构成B a n a c h 空间.令E ={y ɪC 2[0,1]:y (0)=y (1)=y ᵡ(0)=y ᵡ(1)=0}.定义算子T λ:C 4[0,1]ɘE ңY 为(T λy )(x )=λʏ10G (x ,s )f (s ,y (s ))d s ,则问题(2)的解y =y (x )当且仅当y 是算子方程y (x )=(T λy )(x )=λʏ1G (x ,s )f (s ,y (s ))d s 的解.定义P ,C 是Y 中的锥:P =y ɪY :y ȡ0,y (x )ȡγ y ,x ɪ14,éëêêùûúú{}34, C ={y ɪY :y (x )>0,x ɪ[0,1]},其中γʒ=m i n {γ1,γ2},γ1ʒ=m i n 1/4ɤx ɤ3/4,x <s ɤ1G (x ,s )G (s ,s ),γ2ʒ=m i n 1/4ɤx ɤ3/4,0ɤs <x G (x ,s )G (s ,s).由于格林函数G (x ,s )只在0和1处取值为0,其他取值均大于0.故当s ʂ1时,G (x ,s )G (s ,s)>0,并且当1/4ɤx ɤ3/4,x <s 时,有G (x ,s )G (s ,s)={-k 2s i n h (-k 2)s i n h [(-k 1(s -1)]s i n h (-k 1x )--k 1s i n h (-k 1)s i n h [-k 2(s -1)]s i n h (-k 2x )}/{-k 2s i n h (-k 2)s i n h [-k 1(s -1)]s i n h (-k 1s )--k 1s i n h (-k 1)s i n h [-k 2(s -1)]s i n h (-k 2s )},则l i m s ң1G (x ,s )G (s ,s )=l i m s ң1{[-k 1-k 2s i n h (-k 2)c o s h (0)s i n h (-k 1x )--k 1-k 2s i n h (-k 1)c o s h (0)s i n h (-k 2x )]/[-k 1-k 2s i n h (-k 1)s i n h (-k 2)c o s h (0)--k 1-k 2s i n h (-k 1)s i n h (-k 2)c o s h (0)]}>0,故存在γ1>0.同理可知,当s ʂ0时,G (x ,s )G (s ,s )>0,并且当14ɤx ɤ34,x >s 时,l i m s ң0G (x ,s )G (s ,s )>0,因此存在γ2>0.故0<γ<1,且G (x ,s )满足G (x ,s )ȡγM ,其中M =m a x 0ɤx ,s ɤ1G (x ,s ).引理4 假设条件(H 1),(H 2)成立,则T λ(C )⊂P ,且T λ:P ңP 是全连续算子.证明:对任意y ɪC ,x ɪ[0,1],可得(T λy )(x )=λʏ10G (x ,s )f (s ,y (s ))d s ȡλγM ʏ1f (s ,y (s ))d s ȡγ T λy .因此T λ(C )⊂P ,由A r z e l 췍-A s c o l i 定理[14]易证T λ:P ңP 是全连续算子.证毕.3 正解的存在和不存在性下面证明定理2.由假设条件(H 1),(H 2),若q >0,则β(q )=m a xy ɪP , y =qʏ10G (x ,s )f (s ,y (s ))d s >0.122 第2期 吴梦丽:带参数的非线性简单支撑静态梁方程正解的存在性及多解性 Copyright©博看网 . All Rights Reserved.222吉林大学学报(理学版)第60卷对任意的r1>0,取δ1=r1β(r1)>0,令P r1={yɪP: y <r1}.则当λɪ(0,δ1),yɪ∂P r1时,可得(Tλy)(x)=λʏ10G(x,s)f(s,y(s))d s<δ1ʏ10G(x,s)f(s,y(s))d sɤδ1β(r1)=r1= y ,即 Tλy < y .由引理1可得i(Tλ,P r1,P)=1.由假设条件(H4),fɕ=ɕ,故存在H>0,使得当yȡH时,对任意的xɪ[0,1],f(x,y)ȡμy成立.选取μ足够大,满足λMμγ2>1.取r2=m a x{2r1,H/γ},令P r2={yɪP: y <r2}.如果yɪ∂P r2,则y(x)ȡγ y ȡH.因此, (Tλy)(x)=λʏ10G(x,s)f(s,y(s))d sȡλγMμʏ10y(s)d sȡλMμγ2 y > y ,即 Tλy > y .由引理1得i(Tλ,P r2,P)=0.由不动点指数的可加性可得i(Tλ,P r2\췍P r1,P)= -1.因此,Tλ在P r2\췍P r1中有一个不动点,即为问题(2)的正解.下面证明解的不存在性.由假设条件(H2),(H4)可知,存在常数c0>0,使得当yȡ0,xɪ[0,1]时,f(x,y)ȡc0y.反设y为问题(2)的正解,由引理4得yɪP.令λ充分大,满足λM c0γ2>1.则可得y(x)=λʏ10G(x,s)f(s,y(s))d sȡλγMʏ10f(s,y(s))d sȡλγM c0ʏ10y(s)d sȡλM c0γ2 y > y ,显然矛盾.证毕.4构造上下解定义1如果α满足αᵡᵡ(x)+(k1+k2)αᵡ(x)+k1k2α(x)ɤλf(x,α(x)),xɪ[0,1],(5)α(0)ɤ0,α(1)ɤ0,αᵡ(0)ȡ0,αᵡ(1)ȡ0,(6)则αɪC4[0,1]是问题(2)的下解.定义2如果β满足βᵡᵡ(x)+(k1+k2)βᵡ(x)+k1k2β(x)ȡλf(x,β(x)),xɪ[0,1],(7)β(0)ȡ0,β(1)ȡ0,βᵡ(0)ɤ0,βᵡ(1)ɤ0,(8)则βɪC4[0,1]是问题(2)的上解.引理5[1]假设条件(H1)~(H3)成立,问题(2)存在下解α(x)和上解β(x),且满足当xɪ[0,1]时,α(x)ɤβ(x).若f:[0,1]ˑ[α(x),β(x)]ңℝ是连续函数,且f(x,u1)ɤf(x,u2),α(x)ɤu1ɤu2ɤβ(x),xɪ[0,1],则问题(2)存在一个解y(x),满足α(x)ɤy(x)ɤβ(x),0ɤxɤ1.5多解性下面用上下解和拓扑度的方法证明问题(2)的多解性.为保证问题(2)的所有可能解都是非负的,对f做延拓,使得f(x,s)=f(x,0),s<0,xɪ[0,1].(9)引理6假设条件(H1),(H2),(H4)成立,令I⊂(0,ɕ)是紧子集.则当λɪI时,存在一个常数b I>0,使得问题(2)的所有解均满足 y ɤb I.证明:反设存在无界序列{y n}为问题(2)的解,相应的λnɪI.由引理4知,y nɪP,y n(x)ȡγ y n ,xɪ[0,1].由假设条件(H4),存在常数 q>0,使得f(x,y)ȡμy对所有的yȡ q,xɪ[0,1]都成立.选取充分大的μ,满足i n f{λn}Mμγ2>1.当n充分大使得γ y n ȡ q时,则可得y n(x)=λnʏ10G(x,s)f(s,y n(s))d sȡλnγMʏ10μy n(s)d sȡλn Mμγ2 y n > y n ,矛盾.证毕.下面用Λ表示问题(2)存在正解的λ>0的集合,设λ*=s u pΛ.由定理2知,Λ非空且有界,故0<λ*<ɕ.Copyright©博看网 . All Rights Reserved.下证λ*ɪΛ.首先令λn ңλ*,其中λn ɪΛ,λ1<λ2< <λn -1<λn < <λ*.因为{λn }有界,故由引理6知,对应问题(2)的解{yn }有界.由积分算子T λ的紧性,易得λ*ɪΛ.令y *为问题(2)的一个正解,对应的λ取λ*,定义^f (x ,y (x ))=f (x ,y *(x )+ε),y (x )>y *(x )+ε,f (x ,y (x )),-εɤy (x )ɤy *(x )+ε,f (x ,-ε),y (x )<-εìîíïïïï.令(^T λy )(x )=λʏ1G (x ,s )^f (s ,y (s ))d s .考虑Ω={y ɪY :-εɤy (x )ɤy *(x )+ε}.引理7 假设条件(H 1)~(H 4)成立,且存在充分小的ε>0,使得当0<λ<λ*时,若y ɪC [0,1]满足^T λy =y ,则y ɪ췍Ω.证明:因为y ȡ0,故y ȡ-ε.为证明y ɤy *+ε,只需要证y *+ε为问题(2)的上解.又因为y *ȡ0,故存在常数a >0,使得对于所有的x ɪ[0,1],f (x ,y *(x ))>a 均成立.由f 连续知,存在常数ε0>0,使得对所有的x ɪ[0,1],0ɤεɤε0,均有f (x ,y *(x )+ε)-f (x ,y *(x ))<a (λ*-λ)/λ.而(y *(x )+ε)ᵡᵡ+(k 1+k 2)(y *(x )+ε)ᵡ+k 1k 2(y *(x )+ε)=(y *(x ))ᵡᵡ+(k 1+k 2)(y *(x ))ᵡ+k 1k 2y *(x )+k 1k 2ε=λ*f (x ,y *(x ))+k 1k 2ε=λf (x ,y *(x )+ε)+λ*f (x ,y *(x ))-λf (x ,y *(x )+ε)+k 1k 2ε=λf (x ,y *(x )+ε)+λf (x ,y *(x ))-λf (x ,y *(x ))+λ*f (x ,y *(x ))-λf (x ,y *(x )+ε)+k 1k 2εȡλf (x ,y *(x )+ε)+(λ*-λ)f (x ,y *(x ))+λ[f (x ,y *(x ))-f (x ,y *(x )+ε)]>λf (x ,y *(x )+ε),(y *+ε)(0)ȡ0, (y *+ε)(1)ȡ0, (y *+ε)ᵡ(0)=0, (y *+ε)ᵡ(1)=0.若ε>0,则(y *+ε)(0)>0, (y *+ε)(1)>0,因此,由式(7)和式(8)知,y *+ε为问题(2)的上解.又由引理5知,y ɤy *+ε.证毕.下面证明定理3.令λɪ(0,λ*),证明问题(2)至少存在两个正解.由于(y *(x ))ᵡᵡ+(k 1+k 2)(y *(x ))ᵡ+k 1k 2y *(x )=λ*f (x ,y *(x ))>λf (x ,y *(x )),故y *为问题(2)的上解,显然0为下解,由引理5知,存在问题(2)的解y λ使得0ɤy λɤy *.因此,当0<λ<λ*时,问题(2)存在一个正解y λ,且y λɪΩ.而当λ>λ*时,问题(2)不存在正解.选取I =[0,λ*+1],则(0,λ*)ɘI ʂØ,且(λ*,ɕ)ɘI ʂØ.下证当λɪ(0,λ*)ɘI 时,问题(2)存在第二个正解.由于λɪI ,故^T λ有界,d e g (I -^T λ,B (y λ,R 1),0)=1,其中B (y λ,R 1)是C [0,1]上以y λ为心㊁R 1为半径足够大的球.如果存在一个y ɪ∂Ω,使得y =^T λ(y ),则f =^f ,因此y 为问题(2)的第二个正解.假设对于所有的y ɪ∂Ω,均有y ʂ^T λ(y ),则d e g (I -^T λ,Ω,0)良定.由引理7知,^T λ在B (y λ,R 1)\Ω中没有不动点,由拓扑度的切除性,d e g (I -^T λ,Ω,0)=1.又由^T λΩ=T λΩ,可得d e g (I -T λ,Ω,0)=1.另一方面,由引理6知,当λɪI 时,问题(2)的所有正解均有界.因此,当R 2足够大时,有d e g(I -T λ,B (0,R 2),0)=c ,其中λɪI ,c 为固定常数,B (0,R 2)是C [0,1]上以0为心㊁R 2为半径的球.由于对所有的λ>λ*,问题(2)都不存在正解,所以c =0.再由拓扑度的切除性可得d e g(I -T λ,B (0,R 2)\Ω,0)=-1,因此当λɪ(0,λ*)ɘI 时,问题(2)存在第二个正解.证毕.6 应 用例1 考虑简单支撑静态梁方程322 第2期 吴梦丽:带参数的非线性简单支撑静态梁方程正解的存在性及多解性 Copyright©博看网 . All Rights Reserved.y ᵡᵡ(x )-3y ᵡ(x )+2y (x )=λf (x ,y (x )), 0<x <1,y (0)=y (1)=y ᵡ(0)=y ᵡ(1)={0(10)正解的存在性,其中λ>0是一个参数,k 1=-2,k 2=-1,f (x ,y )=e c o s (x )(y 2+1).显然,问题(10)满足本文假设条件(H 1)~(H 3),此时,f ɕ=li m y ңɕf (x ,y )y =l i m y ңɕe c o s (x )(y 2+1)y=ɕ对x ɪ[0,1]一致成立,故满足条件(H 4).这里格林函数为G (x ,s )=c 1(e 2(s -1)-e -2(s -1))(e 2x -e -2x )-c 2(e s -1-e 1-s )(e x -e -x ),0ɤx <s ɤ1,c 1(e 2(x -1)-e -2(x -1))(e 2s -e -2s )-c 2(e x -1-e 1-x )(e s -e -s ),0ɤs <x ɤ1{,其中c 1=216(e 2-e -2),c 2=216(e -e -1).不妨取r 1=1,记M 1=m a x y =1ʏ10G (x ,s )e c o s (s )(y 2(s )+1)d s ,则由定理2知,当0<λ<1M 1时,问题(10)至少存在一个正解;当λ>1M 1时,问题(10)不存在正解.由定理3知,存在一个λ*>0,使得当0<λ<λ*时,问题(10)至少存在两个正解;当λ=λ*时,问题(10)至少存在一个正解.参考文献[1] V R A B E LR.O n t h eL o w e r a n dU p p e r S o l u t i o n sM e t h o d f o r t h eP r o b l e mo fE l a s t i cB e a m w i t hH i n g e dE n d s [J ].JM a t hA n a lA p pl ,2015,421(2):1455-1468.[2] MA R Y ,WA N GJX ,L O N G Y.L o w e ra n d U p p e rS o l u t i o n M e t h o df o rt h eP r o b l e m o fE l a s t i cB e a m w i t h H i n g e dE n d s [J ].JF i x e dP o i n tT h e o r y A p pl ,2018,20(1):46-1-46-13.[3] L I U XL ,L IW T.P o s i t i v eS o l u t i o n s o f t h eN o n l i n e a rF o u r t h -O r d e rB e a m E q u a t i o nw i t hT h r e eP a r a m e t e r s [J ].JM a t hA n a lA p pl ,2005,303(1):150-163.[4] L IY X.P o s i t i v eS o l u t i o n so fF o u r t h -O r d e rB o u n d a r y V a l u eP r o b l e m sw i t hT w oP a r a m e t e r s [J ].J M a t h A n a l A p pl ,2003,281(2):477-484.[5] MA R Y ,WA N GJX ,Y A N DL .T h eM e t h o do fL o w e r a n dU p p e rS o l u t i o n s f o rF o u r t hO r d e rE qu a t i o n sw i t h t h eN a v i e r C o n d i t i o n [J /O L ].B o u n dV a l u eP r o b l ,(2017-10-19)[2021-04-15].h t t p s ://d o i .o r g/10.1186/s 13661-017-0887-5.[6] MA R Y ,X UL .E x i s t e n c e o f P o s i t i v e S o l u t i o n s o f aN o n l i n e a r F o u r t h -O r d e r B o u n d a r y V a l u eP r o b l e m [J ].A p p l M a t hL e t t ,2010,23(5):537-543.[7] B A I ZB ,WA N G H Y.O nP o s i t i v e S o l u t i o n s o f S o m eN o n l i n e a r F o u r t h -O r d e r B e a mE q u a t i o n s [J ].JM a t hA n a l A p p l ,2002,270(2):357-368.[8] C A B A D A A ,E N G U I ÇA R R.P o s i t i v eS o l u t i o n so fF o u r t h O r d e r P r o b l e m s w i t h C l a m p e d B e a m B o u n d a r y C o n d i t i o n s [J ].N o n l i n e a rA n a l :T h e o r y ,M e t h o d sA p p l ,2011,74(10):3112-3122.[9] MA R Y.E x i s t e n c e o fP o s i t i v eS o l u t i o n so f aF o u r t h -O r d e rB o u n d a r y V a l u eP r o b l e m [J ].A p p lM a t hC o m p u t ,2005,168(2):1219-1231.[10] L IFY ,Z HA N G YB ,L IY H.S i g n -C h a n g i n g S o l u t i o n so naK i n do fF o u r t h -O r d e rN e u m a n nB o u n d a r y V a l u e P r o b l e m [J ].JM a t hA n a lA p p l ,2008,344(1):417-428.[11] G U OJM ,G U O C X ,L I H P .E x i s t e n c ea n d M u l t i p l i c i t y o fS o l u t i o n sf o rF o u r t h -O r d e rN e u m a n nB o u n d a r y V a l u eP r o b l e m w i t hP a r a m e t e r s [J ].JB i o m a t h ,2011,26(1):34-42.[12] MADX ,Y A N GXZ .U p p e r a n dL o w e r S o l u t i o nM e t h o d f o r F o u r t h -O r d e r F o u r -P o i n t B o u n d a r y V a l u eP r o b l e m s [J ].JC o m p u tA p plM a t h ,2009,223(2):543-551.[13] G U O DJ ,L A K S HM I K A N T HAM V.N o n l i n e a rP r o b l e m s i n A b s t r a c tC o n e s [M ].B o s t o n :A c a d e m i cP r e s s ,1988:1-286.[14] 张恭庆,林源渠.泛函分析讲义[M ].北京:北京大学出版社,1987:18.(Z HA N GGQ ,L I NYQ.H a n d o u t o nF u n c t i o n a lA n a l y s i s [M ].B e i j i n g :P e k i n g U n i v e r s i t y P r e s s ,1987:18.)(责任编辑:赵立芹)422 吉林大学学报(理学版) 第60卷Copyright©博看网 . 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四阶奇异边值问题正解的多重性与无解性
席莉静
【期刊名称】《应用泛函分析学报》
【年(卷),期】2005(007)001
【摘要】应用不动点指数理论和上下解的方法,研究了一类非线性四阶微分方程组奇异边值问题,给出了其正解存在性与无解性定理.
【总页数】5页(P46-50)
【作者】席莉静
【作者单位】苏州科技大学应用数学系,江苏,苏州,215009
【正文语种】中文
【中图分类】O175.8
【相关文献】
1.一类四阶边值问题的正解的存在性与多重性 [J], 王云杰;朱江
2.四阶p-Laplace奇异边值问题多重正解的存在性 [J], 吴炯圻;林立
3.四阶奇异微分方程边值问题正解的存在性及多解性 [J], 周友明
4.一类四阶奇异边值问题多重正解的存在性 [J], 郭志浩;宋常修
5.非线性四阶周期边值问题正解的存在性和多重性 [J], 杨和
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两类非局部问题解的存在性与多重性中期报告
本篇中期报告旨在介绍非局部问题中解的存在性与多重性的研究进展，并结合相关领域的研究，给出对未来研究的展望。

非局部问题是指包涵某种（也可以多种）非局部算子的微分方程或变分问题，例如：分数阶微分方程和分数阶变分问题。

这类问题的非局部算子可以描述一些非局部现象，如蓄电池充放电、物理场中扩散、金融衍生品定价等。

这些问题的解的存在性与多重性是非常重要的问题，它们揭示了非局部算子对扩散行为影响的本质。

在目前的研究中，主要考虑了两类非局部问题：一类是分数阶微分方程的正常模式问题，即给定边界条件求出解；另一类是分数阶变分问题，即求解一个能量泛函的最小值或最大值。

对于正常模式问题，已经有一系列的定理给出了解的存在性和多重性。

其中最有代表性的是在一些特定条件下，分数阶微分方程的正常模式问题的解的存在唯一，这个定理被称为Leray-Schauder定理。

此外，还有一些新的定理已经被得到，并已被推广到更广泛的情况。

对于分数阶变分问题，其解的存在性和多重性研究相对较少，尤其是当权重函数和非局部算子是非线性时，现有的理论对解的存在性和多重性的限制比较严格。

需要进一步研究这个问题，并尝试发展新的方法来解决这个问题。

在未来的研究中，尤其是对于分数阶变分问题，需要更多地关注解的多重性。

因为对于一些实际问题，可能存在多个解，而我们需要选择一个最优的解来描述问题。

此外，需要探索更复杂的非局部问题，例如含有间断或分支的非局部问题，并研究它们的解的存在性、唯一性和多重性。

四阶边值问题解的存在性
四阶边值问题解的存在性
四阶边值问题是一类特殊的偏微分方程边界值问题，它的特点是二阶偏微分方程系数具有分段不等式的特性，并且存在双边边界条件。

对于普通的四阶边界值问题，它的解往往存在性大有讨论。

首先，在非齐次非线性四阶边值问题解的存在性中，有许多文献在讨论解的存在性时，引入了发展拐点理论、斯拉采克式结果及由此引出的条件，即发展拐点形式满足微分方程的显著特性。

而且对于非齐次非线性四阶边值问题，同样可以用发展拐点的技巧来描述解的存在性，即、正定系数矩阵的正定性条件。

其次，在齐次线性四阶微分方程中，可以利用线性代数的工具、离散化算法、格式技术、泰勒展开等手段求解，甚至可以利用拉格朗日方法求取微分方程的解析解。

最后，在非线性四阶边值问题中，学者采用了改进迭代法、积分代数方法、数值解方法等多种技术来求解四阶边值问题，同时，也可以利用一阶变分原理构造解析解。

总之，在普通的四阶边值问题中，解的存在性大有讨论，并且可以利用多种数学技术来求得解析解或近似解。