01第一章 函数与极限

第一章 函数与极限高等数学与初等数学的根本区别之一是初等数学的研究对象基本上是常量，而高等数学的研究对象主要是变量．在现实世界中，存在着许许多多变化着的量，它们之间有些变量是相互依赖、相互联系的，函数就是对变量之间相互依赖关系的一种抽象．极限是高等数学中的另一个主要概念，它是高等数学这门课程的基本推理工具．连续性是函数的一个重要性态，而连续函数是高等数学研究的主要对象．在初等数学的学习过程中，我们已经学习过函数、极限与连续的概念，本章将在此基础上，对函数、极限与连续进行复习、巩固和提高．第一节 函数一、函数的概念定义1 设x 和y 是两个变量，D 是一个给定的非空实数集．如果对于变量x 在数集D 中取定的每一个确定的数值，变量y 按照一定的对应法则f 都有惟一确定的数值与之对应，则称变量y 是定义在数集D 上的变量x 的函数，记作)(x f y =．数集D 称为函数)(x f y =的定义域，x 称为自变量，y 称为函数（或称因变量）． 当x 取数值D x ∈0时，由对应法则f ，与0x 对应的y 的值0y 称为函数)(x f y =在点0x 处的函数值．记作)(00x f y =．当x 取遍D 中的每个数值时，对应的函数值全体组成的数集{}D x x f y y M ∈==，)(称为函数)(x f y =的值域．函数)(x f y =中表示对应法则（或对应关系）的记号“f ”也可改用其它字母.例如“F ”或“g ”，这时函数)(x f y =就记作)(x F y =或)(x g y =．同一个函数在讨论中应取定一种记号．如果在讨论同一问题时，涉及多个函数，则应取不同的记号分别表示．为方便起见，有时可用记号)(1x f y =，)(2x f y =，…等表示函数．这种表示函数的方法也称为函数的解析法（或公式法）．函数的定义域和对应法则称为函数的两个要素.如果某两个函数)(x f y =与)(x g y =的定义域和对应法则相同，则称它们为相同的函数，否则称它们为不同的函数.对于函数)(x f y =，如果自变量x 在定义域内任意取定一个数值时，对应的函数值y 总是只有一个，这种函数称为单值函数，否则称为多值函数．注意 以后凡是没有特别说明时，本书所讨论的函数都是指单值函数.例1 设62)(3-+=x x x f ，1sin )(+-=x x x g ，求（1）)()3()1(2x f f f ，，；（2）)1()()0(+x g g g ，，π．解（1） 36121)1(3-=-⋅+=f ，276323)3(3=-⋅+=f ，626)(2)()(262322-+=-+=x x x x x f .（2） 1100sin )0(=+-=g ，ππππ-=+-=11sin )(g ，xx x x x g -+=++-+=+)1sin(1)1()1sin()1(. 例2 已知1)1(2+-=+x x x f ,求)(x f .解 令，于是，则11-==+t x t x331)1()1()(22+-=+---=t t t t t f ， 所以 33)(2+-=x x x f .例3 判断下列各对函数是否是相同的函数：（1）x x f =)(，2)(x x g =；（2）x x g x x f lg 2)(lg )(2==，.解 （1）因为x x f =)(的定义域为)(∞+-∞，， x x x g ==2)(的定义域也为)(∞+-∞，，所以，函数)()(x g x f 与是相同的函数.（2）因为2lg )(x x f =的定义域为)0()0(∞+⋃-∞，，，x x g lg 2)(=的定义域为)0(∞+，，所以，函数)()(x g x f 与是不同的函数.例4 求下列函数的定义域：（1）2312+-+=x x x y ； （2）342+-=x x y ； （3）24x y -=； （4）．)2ln(232-+-+=x x x y 解（1）由0232≠+-x x ，解得21≠≠x x 且， 因此，函数2312+-+=x x x y 的定义域为)2()21()1(∞+-∞，，， .（2）由0342≥+-x x ，解得，或31≥≤x x 因此，函数342+-=x x y 的定义域为(][)∞+∞-，，31 . （3）由042≥-x ，，解得22≤≤-x 因此，函数24x y -=的定义域为[]22，-. （4）由⎩⎨⎧>-≥-+，，020232x x x 解得32≤<x ， 因此，函数)2ln(232-+-+=x x x y 的定义域为(]32，. 给定一个函数)(x f y =时，就意味着其定义域是同时给定的.如果所讨论的函数来自于某个实际问题，则其定义域必须符合实际意义；如果不考虑所讨论的函数的实际背景，则其定义域应使函数)(x f y =在数学上有意义即可.为此要求：（1）分式中的分母不能为零；（2）偶次根式的被开方式非负；（3）对数的真数大于零；（4）正切符号下的式子不等于为整数）；k k (2ππ+（5）余切符号下的式子不等于为整数）；k k (π（6）反正弦、反余弦符号下的式子的绝对值小于等于1；（7）如果函数)(x f y =中含有上述几种情形，则应取各情形下的交集.二、函数的三种常用表示法表示函数的方法，常用的有列表法、图形法、解析法三种.1. 列表法用列出表格来表示两个变量的函数关系的方法称为列表法.例如，数学用表中的平方表、平方根表、三角函数表，以及银行里使用的利息表等都是用列表法表示函数关系的.2. 图形法用函数的图形来表示两个变量的函数关系的方法称为图形法.例如，气象台用自动记录器描绘温度随时间变化的曲线就是用图形法表示函数关系的.3. 解析法用一个等式表示两个变量的函数关系的方法称为解析法.这个等式称为函数的解析表达式，简称解析式.例如， )0(2>=r r S π，)0(≠+=a b ax y ，)0(2≠++=a c bx ax y ， )22(42≤≤--=x x y等都是用解析法表示函数关系的.高等数学中研究的函数都是用解析法表示的函数.在许多实际问题的解决过程中，经常用到这样一类函数，在自变量的不同变化范围中，对应法则用不同的解析式表示的函数，这类函数称为分段函数.分段函数是高等数学中常见的一种函数.例如，函数⎩⎨⎧<-≥==00x x x x x y ，，， 和 ⎪⎩⎪⎨⎧-<≤≤->-=11112x x x x x x y ，，，，， 都是分段函数，它们的图形如图1-1、图1-2所示.图1-1 图1-2注意 分段函数是用几个解析式合起来表示一个函数，而不是表示几个函数. 三、函数的四个简单性质1、奇偶性定义2 设函数)(x f 的定义域D 关于原点对称（即时D x ∈，D x ∈-则）.（1）如果 )()(x f x f =-，D x ∈，则称函数)(x f 为偶函数.（2）如果 )()(x f x f -=-，D x ∈，则称函数)(x f 为奇函数.（3）如果 )()(x f x f ≠-且)()(x f x f -≠-，D x ∈，则称函数)(x f 为非奇非偶函数.例如，函数2)(x x f =在)(∞+-∞，内是偶函数，因为)()()(22x f x x x f ==-=-. 函数3)(x x f =在)(∞+-∞，内是奇函数，因为)()()(33x f x x x f -=-=-=-. 注意 偶函数的图形关于y 轴是对称的；奇函数的图形关于原点是对称的.2.单调性定义3 设函数)(x f 的定义域为D ，区间D I ⊂.如果对于区间I 上的任意两点1x 、2x ，当21x x <时，恒有（1） )()(21x f x f <，则称函数)(x f 在区间I 上是单调增加的，区间I 称为单调增区间（图1-3）.（2） )()(21x f x f >，则称函数)(x f 在区间I 上是单调减少的，区间I 称为单调减区间（图1-4）.图1-3 图1-4单调增加的函数和单调减少的函数统称为单调函数，单调增区间和单调减区间统称为单调区间. 例如，函数3)(x x f =在)(∞+-∞，内是单调增加的（图1-5）.函数32)(x x f =在(]0，∞-内是单调减少的，在[)∞+，0内是单调增加的，而在()∞+∞-，内不是单调的（图1-6）.图1-5 图1-6 3.有界性定义4 设函数)(x f 的定义域为D ，区间D I ⊂.如果存在正数M ，使 I x M x f ∈≤，)(，则称函数)(x f 在区间I 上有界.如果不存在这样的正数M ，则称函数)(x f 在区间I 上无界.例如，函数x x f sin )(=在)(∞+-∞，内有界，因为1sin ≤x . 函数x x f 1)(=在[)∞+，1内有界，而在)0(∞+，内无界.4.周期性 定义5 设函数)(x f 的定义域为D .如果存在非零数T ，使得对于任意，D x ∈都有D T x ∈±，且)()(x f T x f =+，则称函数)(x f 为周期函数，T 称为周期函数)(x f 的周期.注意 通常我们所说的周期函数的周期是指最小正周期.例如 正弦函数x y sin =和余弦函数x y cos =都是周期为π2的周期函数. 正切函数x y tan =和余切函数x y cot =都是周期为π的周期函数.四、反函数定义6 设函数)(x f y =的定义域为，D 值域为M .如果对于数集M 中的每一个数值y ，数集D 中都有惟一的数值x 与之对应，也就是说变量x 是变量y 的函数，这个函数称为函数)(x f y =的反函数.记作)(1y f x -=.其定义域为M ，值域为D .习惯上自变量用x 表示，因变量用y 表示.因此，我们将定义6中，函数)(x f y =的反函数)(1y f x -=记作)(1x f y -=.注意 （1）函数)(x f y =与其反函数)(1x f y -=的图形关于直线x y =对称.（2）只有在定义区间上单调的函数才有反函数.（3）函数)(x f y =与其反函数)(1x fy -=互为反函数. 例5 求下列函数的反函数：（1）31+=x y ； （2）x x y +-=11． 解（1）由31+=x y ，解得 13-=y x ， x 与y 互换得函数31+=x y 的反函数为13-=x y . （2）由x xy +-=11，解得 y y x +-=11， x 与y 互换得函数x xy +-=11的反函数为x xy +-=11.五、初等函数1.基本初等函数（1）幂函数 αx y =（α为任意实数）.（2）指数函数 x a y = （0>a 且1≠a ，a 为常数）.（3）对数函数 x y a log = 10(≠>a a 且，a 为常数）.常用对数函数 x y lg =，自然对数函数 x y ln =.（4）三角函数正弦函数 x y sin =，余弦函数 x y cos =，正切函数 x y tan =，余切函数 x y cot =，正割函数 x y sec =，余割函数 x y csc =.（5）反三角函数反正弦函数 x y arcsin =，反余弦函数 x y arccos =，反正切函数 x y arctan =，反余切函数 x arc y cot =.定义7 幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数统称为基本初等函数.基本初等函数的图形和性质在初等数学中已经学习过，在此就不再详述（详见附录Ⅱ）.2.复合函数在某些实际问题中，讨论的函数并非都是基本初等函数本身或仅仅由基本初等函数通过四则运算所得到的函数.例如，在自由落体运动中，物体的动能E 是速度v 的函数221mv E =，而速度v 又是时间t 的函数gt v =，因此，物体的动能E 通过速度v 而成为时间t 的函数2)(21gt m E =.对于这样的函数，我们引入复合函数的概念.定义8 设函数)(u f y =的定义域为1U ，函数)(x u ϕ=的值域为2U .如果φ≠21U U ，则y 通过变量u 成为变量x 的函数，这个函数称为由函数)(u f y =和)(x u ϕ=复合而成的复合函数.记作[])(x f y ϕ=.其中，变量u 称为中间变量.例如，由函数 221mv E = 和 gt v = 复合而成的复合函数为2)(21gt m E =.注意 不是任何两个函数都能够复合成一个复合函数的.例如，函数 u y arcsin = 和 22+=x u 就不能复合成一个复合函数.因为函数22+=x u 的值域[)∞+，2 与函数 u y arcsin = 的定义域[]11，-没有共同的元素.有时，一个复合函数可能由三个或更多的函数复合而成.例如，由函数 v u u y sin ln ==， 和 2x v = 复合而成的复合函数为2sin ln x y =.其中u 和v 都是中间变量.同时，我们还必须掌握好复合函数的复合过程，即“分解”复合函数，这对于导数、微分、不定积分及定积分的学习很有益处.例如，复合函数 10)53(+=x y 是由函数10u y = 和 53+=x u复合而成的；也是由函数2u y = 和 5)53(+=x u复合而成的；也是由函数5u y = 和 2)53(+=x u复合而成的.由此可见，一个复合函数的复合过程并不是惟一的.为了便于今后的学习，我们要求掌握第一种复合函数的复合过程.例6 指出下列复合函数的复合过程：（1）x y 5sin ln =； （2）x y 5sin 2=.解 （1）复合函数 x y 5sin ln = 是由函数x v v u u y 5sin ln ===，，复合而成的.（2）复合函数 x y 5sin 2= 是由函数x v v u u y 5sin 2===，， 复合而成的.3.初等函数定义9 由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次的函数复合所构成并可用一个数学解析式表示的函数称为初等函数.例如，函数15sin ln 5sin ln 12+==-=x y x y x y ，，都是初等函数.本书中所讨论的函数绝大多数都是初等函数.*六、关于函数)sin(ϕ+=wx A y 图形的学习探究在初等数学中，学习函数)sin(ϕω+=x A y （其中A>0，ω>0）的图形这一内容时，都要研究正弦函数x y sin =图形和函数)sin(ϕω+=x A y 图形的关系.在《高中数学》教材中，详细给出了解决此问题的5个步骤.然而，学生在做函数)sin(ϕω+=x A y 图形的练习和作业时，实际上大多数学生是凭记忆在机械地完成，并没有达到对此种方法真正意义上的理解、掌握和应用.究其原因是学生认为解决这一问题只有《高中数学》教材中介绍的一种方法.事实上，这是一种完全错误的认识.对于此问题，我们下面举例进行关于函数)sin(ϕω+=x A y 图形的学习探究.例 画出函数)32sin(3π+=x y ，∈x R的简图.解 根据《高中数学》教材中给出的解决此问题的如下5个步骤：我们就可以画出函数)32sin(3π+=x y ，∈x R 的简图，如图1-7（1）所示（注意图1-7（1）中的序号）.这一方法也就是《高中数学》教材中给出的方法.一、创设情境、提出问题回顾上例中画出函数)32sin(3π+=x y 图形的5个步骤并仔细观察图1-7（1）中由正弦函数x y sin =图形得到函数)32sin(3π+=x y 图形的变化过程，为启发学生思维我们将这一变化过程记为方法1：x y sin = → ？ → ？ → )32sin(3π+=x y⇒x y sin = → )3sin(π+=x y →)32sin(π+=x y →)32sin(3π+=x y .然后从原问题出发提出如下问题：⑴ 解决这一问题的方法是否惟一？ ⑵ 若不惟一，共有几种方法？⑶ 此例中给出的方法是否为最优？ 二、适当提示、猜想结论在给学生一定的时间进行思考的同时，重点提示学生们解决问题的方法是随着函数)sin(ϕω+=x A y 中A 、ω、ϕ不同顺序的依次确定而确定. 鼓励学生勇于猜想，对有思路的学生再给予进一步的提示，并同思路较为清晰的学生进行适当的讨论，而后，请其仿照方法1的写法到黑板上写出他们不同于方法1的方法.至此，问题⑴得到解决. 三、相互交流、完善结论问题的解决需要学生相互之间的合作与交流，这有利于发展学生合作交流的意识与能力.随着上述学生板书的结束，学生们的探究热情将会逐渐高涨，在此基础上，进一步鼓励全体学生继续猜想、验证、交流是否还有其它方法，并同时提醒学生找到的解决问题的方法不能重复、不能遗漏；运用分类讨论和穷举的方法引导学生完整地求得解决问题的全部方法，把成功的机会留给学生，让学生亲身经历学习探究的过程，感受真正参与合作学习、交流的快乐. 学生在求解中，不断优化策略，找到各种不同的方法，将极大地展示他们的智慧，最终引导学生们一致判定解决问题的方法有且仅有六种. 随着学生的踊跃交流、积极思考、主动探究，解决问题的6种方法逐渐明晰起来.为了体现六种方法的内在规律性，分别记为：方法1：x y sin = → )3sin(π+=x y →)32sin(π+=x y → )32sin(3π+=x y 方法2：x y sin = → )3sin(π+=x y →)3sin(3π+=x y → )32sin(3π+=x y ； 方法3：x y sin = → x y sin 3= →x y 2sin 3= → )32sin(3π+=x y ； 方法4：x y sin = → x y sin 3= →)3sin(3π+=x y → )32sin(3π+=x y ；方法5：x y sin = → x y 2sin = → )32sin(π+=x y → )32sin(3π+=x y ； 方法6：x y sin = → x y 2sin = → x y 2sin 3= → )32sin(3π+=x y .这6种方法所对应的图形变化过程分别如图1-7（1）、（2）、（3）、（4）、（5）、（6）所示.至此，问题⑵得到圆满解决.（1） （2）(3) (4)(5) (6)图1-7四、全面比较、选择最优 为了画出函数)32sin(3π+=x y 的图形，经过师生的共同探究，找到了由正弦函数x y sin =图形得到函数)32sin(3π+=x y 图形仅有的6种方法. 这些方法不要求学生、也没必要要求学生全都掌握，只是要求学生通过亲自体验，真正做到理解、掌握和应用其中的最优方法.在这6种方法中，哪种方法为最优？提出两个标准：其一是有利于学生理解、掌握和应用；其二是由正弦函数x y sin =图形得到函数)32sin(3π+=x y 图形的变化过程中，函数)32sin(3π+=x y 的图形在坐标系中的位置最为清晰、突出.让学生尝试着从所有找到的6种方法中，寻求适合学生自己的解答问题的最佳方法.根据以上两个标准，学生们经过充分的思考、实际练习、交流，对6种方法及对应图形的认真比较，最后，全体学生必将在上述6种方法中选择其中自己认为最优的的一种方法（学生选择的最优方法有可能不是教材中所给出的方法1）.为了使学生更好地观察、归纳、总结、理解、掌握和应用，我们还可以利用《几何画板》向学生演示由正弦函数x y sin =图形向函数)32sin(3π+=x y 图形变化的过程.最后，问题⑶又得到了解决. 五、严谨思维、提高能力关于函数)sin(ϕω+=x A y 图形的学习探究活动必将使学生们体会到学习探究活动的乐趣和成功的喜悦、提高学生学习《高等数学》课程的兴趣，同时，也将极大地提升学生获得数学地分析问题和解决问题能力的渴望.2006年6月，胡锦涛总书记在两院院士大会上的讲话中指出：“在尊重教师主导作用的同时，更加注重培育学生的主动精神，鼓励学生的创造性思维.”因此，在高职《高等数学》课程教学过程中，应使学生的数学学习活动不应只限于接受、记忆、模仿和练习，应倡导自主探索、动手实践、合作交流等学习数学的方式，通过各种不同形式的自主学习、探究活动，让学生体验数学发现和创造的过程，发展他们的创新意识.虽然问题解决的学习探究有利于学生数学能力的培养，但是由于各种条件的制约，实际教学中却不能更多地给予学生这种学习探究的机会.因此，我们高职院校师生在高职《高等数学》课程教学过程中应充分挖掘高职《高等数学》课程中具有发散性和持续性的宝贵教学资源，在高职《高等数学》课程教学时为学生提供合作学习、主动探究的机会，充分发挥学生的学习主体作用，在体验成功的的快乐氛围中激发学生学习探究热情，为学生今后持续性学习、为提高学生数学地分析问题和解决问题的能力，为提高学生创新思维能力和实践操作能力奠定基础，从而有效地培养学生的数学能力和学习探究能力.习 题 1—11.设13)(5--=x x x f ，求)1(f ，)2(f ．2.设)2)(1()1(++=+x x x x f ，求．)(x f3.判断下列各对函数是否为相同的函数： （1）2)()(x x g x x f ==，；（2）31)(-⋅=x x x f ，334)(x x x g -=；（3）1)(-=x x x f 23)(x x x g -=，；（4）1)(=x f xx x g =)(，．4.求下列函数的定义域： （1）34422+--=x x x y ；（2）42-=x y ；（3）2112++-=x x y ； （4）211x xy --=．5.判断下列函数的奇偶性： （1）)1()(22x x x f -=； （2）233)(x x x f -=；（3）)1)(1()(+-=x x x x f ； （4）1cos sin )(++=x x x f ． 6.求下列函数的反函数： （1）2+=x x y ；（2）[)∞+∈-=，，242x x x y ．7.在下列各题中,求由所给函数复合而成的复合函数： （1）x u u y sin 2==，； （2）21x u u y +==，； （3）x e u u y ==，2； （4）xv v u e y u 1sin ===，，．8.指出下列复合函数的复合过程： （1）;42+=x y（2）x e y arctan =；（3）x y 5sin =； （4）12cos +=x y ；（5）x y 2sin ln =； （6）2cos ln x y =；（7）)32(sin 2x y -=； （8）x e y sin ln =．9.利用正弦函数的图形作出下列函数的图形： （1）x y sin =； （2）x y sin =．第二节 函数的极限极限是高等数学中的一个重要概念，是由于求某些实际问题的精确解答而产生的.例如，我国古代数学家刘徽利用圆内接正多边形来推算圆面积的方法——割圆术，就是极限思想在几何学上的典型应用.高等数学中的连续、导数、定积分等概念都是在极限的基础上定义的.本节主要讨论当∞→x 时，函数)(x f 的极限；当0x x →时，函数)(x f 的极限两种情形.一、∞→x 时，函数)(x f 的极限我们从函数xy 1=的图形（图1-8）可以看出，当自变量x 取正值无限增大（记为+∞→x ）时，函数xy 1=的值无限趋近于常数0（记为1→x）.此时，我们称常数0为函数xy 1=当+∞→x 时的极限.记作01lim=+∞→x x .图1-8同样地，当自变量x 取负值并且它的绝对值无限增大（记为-∞→x ）时，函数xy 1=的值也无限趋近于常数0.此时，我们称常数0为函数xy 1=当-∞→x 时的极限.记作01lim=-∞→xx .定义1 如果当+∞→x 时，函数)(x f 无限趋近于一个确定的常数A ，则称常数A 为函数)(x f 当+∞→x 时的极限.记作.)(lim A x f x =+∞→也可记作A x f →)(（+∞→x 当）.定义2 如果当-∞→x 时，函数)(x f 无限趋近于一个确定的常数A ，则称常数A 为函数)(x f 当-∞→x 时的极限.记作.)(lim A x f x =-∞→也可记作A x f →)(（-∞→x 当）.定义3 如果Ax f A x f x x ==-∞→+∞→)(lim )(lim 且，则称常数A 为函数)(x f 当∞→x 时的极限.记作.)(lim A x f x =∞→也可记作A x f →)(（∞→x 当）.由定义3，我们有如下极限运算公式和定理1.c c x =∞→lim （c 为常数），01lim=∞→xx .定理1 A x f x =∞→)(lim 的充分必要条件是A x f x f x x ==-∞→+∞→)(lim )(lim . （1-1）例1 求下列极限：（1）x x 2lim -∞→； （2）x x )21(lim +∞→ ；（3）⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=∞→．，，，，，，010001)()(lim x x x x f x f x解（1）由图1-9及定义2可得xx 2lim -∞→=0.（2）由图1-9及定义1可得0)21(lim =+∞→xx . （3）由图1-10及定义1、定义2可得1)(lim =+∞→x f x ，1)(lim -=-∞→x f x ，所以，由定理1得)(lim x f x ∞→不存在.图1-9 图1-10二、0x x →时，函数)(x f 的极限我们从函数1+=x y 和112--=x x y 的图形（图1-11、图1-12）可以看出，无论函数1+=x y 在点1=x 处有定义，还是函数112--=x x y 在点1=x 处无定义，当自变量x 无限趋近于1时，两个函数的值都无限趋近于常数2.此时，我们称常数2为函数1+=x y 和112--=x x y 当1→x 时的极限.分别记作2)1(lim 1=+→x x ，211lim21=--→x x x .图 1-11 图1-12定义4 设函数)(x f 在)0)(()(0000>+-δδδx x x x ，， 内有定义.如果在)()(0000δδ+-x x x x ，， 内，当0x x →时，函数)(x f 无限趋近于一个确定的常数A，则称常数A 为函数)(x f 当0x x →时的极限.记作A x f x x =→)(lim 0.也可记作A x f →)(（当0x x →）.A x f x x =→)(lim 0也称为函数)(x f 在点0x x =处的极限.由定义4可知，当0x x →时，极限)(lim 0x f x x →是否存在，与函数)(x f 在点0x 处是否有定义无关.同时，我们有如下极限运算公式.c c x x =→0lim （c 为常数）.00lim x x x x =→.有时，我们只需考虑自变量x 小于0x 而趋近于0x （记为-→0x x ）时，或自变量x 大于0x 而趋近于0x （记为+→0x x ）时，函数)(x f 的极限，因此，我们给出左极限、右极限的定义.定义5 如果当-→0x x 时，函数)(x f 无限趋近于一个确定的常数A ，则称常数A 为函数)(x f 当0x x →时的左极限.记作A x f x x =-→)(lim 0.定义6 如果当+→0x x 时，函数)(x f 无限趋近于一个确定的常数A ，则称常数A 为函数)(x f 当0x x →时的右极限.记作Ax f x x =+→)(lim 0.由定义4我们有如下定理.定理2 A x f x x =→)(lim 0的充分必要条件是A x f x f x x x x ==+-→→)(lim )(lim 0. （1-2）例2 求函数110011)(2>≤≤<⎪⎩⎪⎨⎧+=x x x x x x f ，，，，， 在点0=x 和1=x 处的极限.解 函数)(x f 的图形如图1-13所示.图1-13（1）因为1)1(lim )(lim =+=--→→x x f x x ００，0lim )(lim 2==++→→xx f x x ００，即 )(lim )(lim x f x f x x +-→→≠００，所以，)(lim x f x ０→不存在.（2）因为1lim )(lim 211==--→→xx f x x ，11lim )(lim 11==++→→x x x f ，即 )(lim )(lim 11x f x f x x +-→→=，所以 1)(lim 1=→x f x .三、无穷小与无穷大1.无穷小定义7 如果当∞→x （或0x x →）时，函数)(x f 的极限为零，则称函数)(x f 为当∞→x （或0x x →）时的无穷小量（简称无穷小）.记作0)(lim =∞→x f x （或0)(lim 0=→x f x x ）.例如，因为01lim=∞→xx ，所以，函数x1为当∞→x 时的无穷小.因为0lim 0=→x x ，所以，函数x 为当0→x 时的无穷小.因为0sin lim 0=→x x ，0tan lim 0=→x x ，所以，正弦函数x sin 、正切函数x tan 都是当0→x 时的无穷小.注意 （1）常数中只有数0是无穷小.因为0的极限是0.（2）说某个函数是无穷小，必须同时指出自变量的变化趋势.因为无穷小是用极限来定义的.（3）在定义7中，自变量x 的变化趋势可以换成如下四种情形中的任何一种情形.即+∞→x ，-∞→x ，-→0x x ，+→0x x .2.无穷大定义8 如果当∞→x （或0x x →）时，函数)(x f 的绝对值)(x f 无限增大，则称函数)(x f 为当∞→x （或0x x →）时的无穷大量（简称无穷大）.记作∞=∞→)(lim x f x （或∞=→)(lim 0x f x x ）.例如，当0→x 时，函数x1为无穷大.记作∞=→x x 1lim.当∞→x 时，函数3x 为无穷大.记作∞=∞→3lim x x .定义9 如果当∞→x （或0x x →）时，函数0)(>x f 且无限增大，则称函数)(x f 为当∞→x （或0x x →）时的正无穷大.记作+∞=∞→)(lim x f x （或+∞=→)(lim 0x f x x ）.定义10 如果当∞→x （或0x x →）时，函数0)(<x f 且)(x f -无限增大，则称函数)(x f 为当∞→x （或0x x →）时的负无穷大.记作-∞=∞→)(lim x f x （或-∞=→)(lim 0x f x x ）.例如，+∞=∞→2lim x x ， -∞=-∞→)(lim 2x x .注意 （1）常数中没有数是无穷大.（2）说某个函数是无穷大，必须同时指出自变量的变化趋势.（3）在定义8、定义9、定义10中，自变量x 的变化趋势可以换成如下四种情形中的任何一种情形.即+∞→x ，-∞→x ，-→0x x ，+→0x x .3.无穷小与无穷大之间的关系定理3 在自变量x 的同一变化趋势下， （1）如果 ∞=)(lim x f ，则0)(1lim=x f ；（2）如果 0)(lim =x f ，且0)(≠x f ，则∞=)(1limx f .四、两个重要极限1. 1sin lim=→xx x .2. ex xx =⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→11lim 或 ()e x x x =+→11lim .常数e 是无理数，它的值是590457182818284.2=e ….指数函数x e y =与自然对数函数x y ln =中的底e 就是这个常数e .注意 读者应掌握两个重要极限的结构形式特点：1sin lim=→， e =⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→ 11lim 或 ()e =+→101lim ． 只要符合上述结构形式的，极限公式总是成立的.例如 155sin lim5=→xx x ，122sin lim2=→x x x ，e x x x =⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+-∞→-22211lim .习 题 1-21.设xx x f =)(，xx x g =)(，作出它们的图形，并求（1）)(lim 0x f x -→，)(lim 0x f x +→，)(lim 0x g x -→，)(lim 0x g x +→；（2）)(lim 0x f x →，)(lim 0x g x →.2.设⎪⎩⎪⎨⎧-<≤≤->--=，，，，，，11111)(2x x x x x x x f 作出)(x f 的图形，并求)(lim 1x f x -→，)(lim 1x f x →.3.下列数中，哪些数是无穷小？哪些数是无穷大？10010,100100，0，10010-，100100-.4.判断题：（1）当0→x 时，函数xx 1cos是无穷小. （ ）（2）当∞→x 时，函数x x sin +不一定是无穷大. （ ）（3）非零常数与无穷大的乘积必为无穷大. （ ） （4）无穷小与无穷大的乘积必为无穷小. （ ） （5）在自变量的同一变化趋势下，无穷大的倒数必为无穷小. （ ）第三节 极限的运算一、极限的运算法则定理1 如果B x g A x f ==)(lim )(lim ，，则（1）[]B A x g x f x g x f ±=±=±)(lim )(lim )()(lim ； （2）[]B A x g x f x g x f ⋅=⋅=⋅)(lim )(lim )()(lim ； （3）BA x g x f x g x f ==)(lim )(lim )()(lim)0(≠B .推论1 []kA x f k x kf ==)(lim )(lim (k 为常数）. 推论2 [][]n n n A x f x f ==)(lim )(lim （n 为正整数）. 由推论2可得极限运算公式：nnx x x xlim =→ （n 为正整数）， 01lim=∞→nx x(n为正整数）.定理1中的（1）、（2）可推广到有限个函数的情形.例如，如果)(lim 1x f 、)(lim 2x f 、)(lim 3x f 都存在，则[])(lim )(lim )(lim )()()(lim 321321x f x f x f x f x f x f --=--，[])(lim )(lim )(lim )()()(lim 321321x f x f x f x f x f x f ⋅⋅=⋅⋅.定理2 有限个无穷小的代数和仍是无穷小. 定理3 有限个无穷小的乘积仍是无穷小.定理4 有界函数与无穷小的乘积仍是无穷小. 推论 常数与无穷小的乘积仍是无穷小.定义1 在自变量x 的同一变化趋势下，如果0)(lim =x f ，0)(lim =x g ，且1)()(lim=x g x f ，则称函数)(x f 与)(x g 为等价无穷小.记作)(x f ～)(x g .例如，0lim 0=→x x ，0sin lim 0=→x x ，由重要极限1sin lim=→xx x 可知，函数x sin 与x 当0→x 时为等价无穷小.记作当0→x 时，x sin ～x .定理5 设0lim =α，0lim =β，0lim ='α，0lim ='β.如果α～α'，β～β'，且αβ''lim存在，则 =αβlimαβ''lim.此定理也就是说：求两个无穷小商的极限时，分子与分母都可用其等价无穷小来代替，从而使极限的计算简化.二、极限运算的十个基本公式1.c c =lim （c 为常数）.2.n n x x x x 00lim =→ （n 为正整数）.3.01lim=∞→nx x（n 为正整数）.4.[])(lim )(lim )()(lim x g x f x g x f ±=±.5.[])(lim )(lim )()(lim x g x f x g x f ⋅=⋅.6.)(lim )(lim )()(limx g x f x g x f =（0)(lim ≠x g ）.7.[])(lim )(lim x f k x kf = （k 为常数）. 8.[][]nnx f x f )(lim )(lim = （n 为正整数）.9.1sin lim=→xx x . 10.e xxx =+∞→)11(lim 或e x x x =+→1)1(lim .三、极限运算的十个基本类型例1 求)123(lim 22+-→x x x .解 )123(lim 22+-→x x x =22221lim )2(lim )3(lim →→→+-x x x x x=1lim 2lim 3222+-→→x x x x=122232+⋅-⋅ =9.事实上，设多项式函数nn na xa x a x f +++=- 110)(，则 )(lim )(lim 1100n n n x x x x a x a x a x f +++=-→→=n x x n x x n x x a x a x a 0lim lim lim 110→-→→+++=n n n a x a x a +++- 1100=)(0x f .即 )()(lim 00x f x f x x =→. （1-3）例2 求352lim232+--→x x x x .解 由例1得03)35(lim 22≠-=+-→x x x ，6)2(lim 32=-→x x ，则 )35(lim )2(lim 352lim2232232+--=+--→→→x x x x x x x x x=22222323lim lim 5lim 2lim lim →→→→→+--x x x x x x x x=32522223+⋅--=36-=2-.例3 求93lim23--→x x x .解 由例1得0)3(lim 3=-→x x ，0)9(lim 23=-→x x ，因此，不能直接应用商的极限运算法则求此极限. 由函数93)(2--=x x x f 得092≠-x ，从而有03≠-x .因此，首先对函数93)(2--=x x x f 进行简化，然后再应用商的极限运算法则.)3)(3(3lim93lim323+--=--→→x x x x x x x=31lim 3+→x x =)3(lim 1lim 33+→→x x x=61.例4 求36443lim 323+--+∞→x x x x x .解 因为∞=-+∞→)443(lim 23x x x ，∞=+-∞→)36(lim 3x x x ，所以，不能直接应用商的极限运算法则.首先用分子、分母多项式中最高次幂3x去除分子、分母，然后再应用商的极限运算法则.323323316443lim36443limxxxx x x x x x x +--+=+--+∞→∞→=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛-+∞→∞→323316lim 443lim x x x x x x=006003+--+=21.例5 求36243lim32+--+∞→x x x x x .解 首先用分子、分母多项式中最高次幂3x 去除分子、分母，然后再应用商的极限运算法则.323232316243lim36243limxxxx xx x x x x x +--+=+--+∞→∞→ = ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛-+∞→∞→3232316lim 243lim x x x x x x x=006000+--+=0.例6 求下列极限： （1）332lim2+++∞→x x x x ； （2）93lim23-+→x x x .解 （1）因为22232131lim323limxxx x x x x x x +++=+++∞→∞→=⎪⎭⎫⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→∞→22321lim 31lim x x x x x x=0100+++=0，即函数3232+++x x x 为当∞→x 时的无穷小.所以，函数3322+++x x x 为当∞→x 时的无穷大.即∞=+++∞→332lim2x x x x .（2）因为)3(lim )9(lim 39lim32323+-=+-→→→x x x x x x x=6=0，即函数392+-x x 为当3→x 时的无穷小.所以，函数932-+x x 为当3→x 时的无穷大.即∞=-+→93lim23x x x .由例4、例5、例6（1）可得，当m b a ，，0000≠≠和n 为正整数时，有．当，当，当，，，n m n m n m b a b xb x b a xa xa nn nm m m x ><=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∞=++++++--∞→0lim110110 （1-4） 例7 求下列极限： （1）xx x sin lim 0→ ； （2）x x x tan lim 0→ ；（3）xkxx sin lim→ )0(≠k ； （4）bxax x sin sin lim 0→ )00(≠≠b a ，；（5）2cos 1limxxx -→.解 当0→x 时，有)0(0≠→k kx . （1） xx xx x x sin 1limsin lim0→→=xx x x sin lim1lim 0→→=11=1=.（2） xx xxx x x cos sin lim tan lim00→→= xx x x cos sin lim→=xx xx x cos lim sin lim 00→→=11=1=.（3） kx kx k xkx x x sin limsin lim→→=kx kx k kx sin lim→= kxkx k kx sin lim→=1⋅=k k=.（4） x bx x ax bxax x x sin sin limsin sin lim→→= xbx x ax x x sin limsin lim 0→→=ba)3(.又因为，当0→x 时，ax sin ～ax ，bx sin ～bx ， 所以 bxax x sin sin lim→ 5定理 bxax x 0lim→ba x 0lim→=ba =.（5） 2222sin2limcos 1limxx xxx x →→=-22222sinlim⎪⎭⎫ ⎝⎛=→x x x2022sin lim 21⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=→xx x20222sin lim 21⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=→x x x=20222sin lim21⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→x x x=2121⋅=21.例8 求下列极限：（1）xx x 211lim ⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→； （2）xx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→21lim ；（3）xx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞→21lim ； （4）xx x x ⎪⎭⎫⎝⎛--∞→32lim .解 当∞→x 时，有)0(≠∞→k kx . （1） xx x 211lim ⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→=211lim ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→xx x211lim ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+=∞→x x x 2e=.请读者自己推导：nnxx e x =⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→11lim （n 为非零整数）.（2）xxxx xx⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=⎪⎭⎫⎝⎛+∞→∞→211lim21lim22211limxx x⋅∞→⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=222211lim⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=∞→xx x222211lim⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=∞→xx x2e=.（3）xxxx xx⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+=⎪⎭⎫⎝⎛-∞→∞→211lim21lim)2(22211limxx x--∞→-⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+=)2(222111limxxx-∞→-⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+==2222111lim⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+-∞→-x x x=2222211lim 1lim ⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+-∞→-∞→-x x xx=222211lim 1⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+-∞→-x x x21e=2-=e.请读者自己综合（2）、（3）推导：nxx e x n =⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→1lim （n 为非零整数）. （4）由（3）得221lim -∞→=⎪⎭⎫ ⎝⎛-e x xx ， 331lim -∞→=⎪⎭⎫ ⎝⎛-e x xx ， 则 xx xx x x x x ⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛--∞→∞→32lim 32limxx x x ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=∞→3121limxxx x x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∞→3121limxx xx x x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∞→∞→31lim 21lim32--=eee =.例9 求xx x sin lim ∞→.解 因为1sin ≤x ，且01lim=∞→xx ， 即函数x sin 为有界函数，且当∞→x 时，函数x1为无穷小.所以，当∞→x 时，函数xx sin 为无穷小.即sin lim=∞→xx x .例10 求xx x -+-→222lim 2.解 因为)22(lim 2=+-→x x ，0)2(lim 2=-→x x ，所以，不能直接应用商的极限运算法则求此极限.首先进行分子有理化，然后再应用商的极限运算法则.)22)(2()22)(22(lim222lim22++-+++-=-+-→→x x x x xx x x)22)(2(2lim2++--=→x x xx=221lim2++→x x。

第一章 函数与极限一、内容提要（一）主要定义【定义 1.1】 函数 设数集,D R ⊂如果存在一个法则，使得对D 中每个元素x ,按法则f ,在Y 中有唯一确定的元素y 与之对应，则称:f D R →为定义在D 上的函数,记作(),y f x x D =∈.x 称为自变量,y 称为因变量,D 称为定义域.【定义1.2】 数列极限 给定数列{}x n 及常数a ,若对任意0ε>,总存在正整数N ,使得当n N >时,恒有x a n -<ε成立,则称数列{}x n 收敛于a ,记为a x n n =∞→lim .【定义1.3】 函数极限（1）对于任意0ε>,存在()0δε>,当δ<-<00x x 时,恒有()ε<-A x f .则称A 为()f x 当0x x →时的极限,记为A x f x x =→)(lim 0.（2） 对于任意0ε>,存在0X >,当x X >时,恒有f x A ()-<ε.则称A 为()f x 当x →∞时的极限,记为lim ()x f x A →∞=.（3）单侧极限左（右）极限 任意0ε>,存在()0δε>,使得当000(0)x x x x δδ-<-<<-<时,恒有()ε<-A x f .则称当00()x x x x -+→→时)(x f 有左（右）极限A ,记为00lim ()(lim ())x x x x f x A f x A -+→→== 或00(0)((0))f x A f x A -=+=.单边无穷极限 任意0ε>,存在0X >,使得当x X >（x X <-）时, 恒有f x A ()-<ε, 则lim ()x f x A →+∞=（lim ()x f x A →-∞=） .【定义1.4 】 无穷小、无穷大 若函数()f x 当0x x →(或x →∞)时的极限为零（|()|f x 无限增大）,那么称函数()f x 为当0x x →(或x →∞)时的无穷小（无穷大）.【定义1.5】 等价无穷小 若lim 0,lim 0,lim 1βαβα===,则α与β是等价的无穷小.【定义 1.6】 连续 若)(x f y =在点0x 附近有定义,且)()(lim 00x f x f x x =→,称()y f x =在点0x 处连续.否则0x 为()f x 的间断点.（二）主要定理【定理1.1】极限运算法则 若a x u =)(lim , b x v =)(lim ,则 （1）()lim u v ±存在,()lim lim lim u v u v a b ±=±=±且; （2）()lim u v ⋅存在,()lim lim lim u v u v a b ⋅=⋅=⋅且; （3）当0≠b 时, limu v 存在,lim lim lim u u a v v b==且 推论 ⑴ lim lim Cu C u Ca ==; ⑵ ()lim lim nnnu u a ==. 【定理1.2】极限存在的充要条件⇔=→A x f x x )(lim 0lim ()x x f x -→=0lim ()x x f x A +→=.lim ()x f x A →∞=⇔lim ()x f x →-∞=lim ()x f x A →+∞=【定理1.3】极限存在准则 (1) 单调有界数列必有极限(2) 夹逼准则: 设数列{}n x 、{}n y 及{}n z 满足① n n n y x z ≤≤, ② lim =lim n n n n y z a →∞→∞=,则lim n n x →∞存在,且lim n n x a →∞=.【定理1.4】极限与无穷小的关系 若lim (),f x A =则(),f x A α=+其中lim 0.α=【定理1.5】两个重要极限 1sin lim0=→x x x ,e x xx =⎪⎭⎫⎝⎛+∞→11lim .【定理1.6】 初等函数的连续性 初等函数在其定义区间内连续. 【定理1.7】闭区间上连续函数的性质（1）最值定理 闭区间上连续函数在该区间上一定有最大值M 和最小值m . （2）有界定理 闭区间上连续函数一定在该区间上有界.（3）介值定理 闭区间上连续函数必可取介于最大值M 与最小值m 之间的任何值. （4）零点存在定理 设函数()x f 在[]b a ,上连续,()a f ()0<⋅b f ,则至少存在一个ξ∈()b a ,,使 ()0f ξ=.二、典型题解析函数两要素：定义域，对应关系定义域：使表达式有意义的自变量的全体，方法为解不等式 对应关系：主要方法用变量替换（一）填空题【例1.1】 函数23arccos2xy x =+的定义域是 . 解 由arccos y u =的定义域知11u -≤≤,从而23112xx -≤≤+, 即 (][][),21,12,-∞--+∞.【例1.2】 设()()()2sin ,1f x x f x xφ==-,则函数()x φ的定义域为 .解 由已知()()2sin[()]1fx x xφφ==-，所以()2sin(1)x arc x φ=-，则2111,x -≤-≤即x ≤.【例1.3】设1()(0,1),()([...()])1n n f x x x f x f f f x x =≠≠=+次,试求()n f x 解 由()1xf x x =-,则21()[()]11xx f x f f x x x x -===--，显然复合两次变回原来的形式，所以,2(),211n x n k f x x n k x =⎧⎪=⎨=+⎪-⎩（二）选择题【例 1.9】设函数()f x 在(),-∞+∞上连续,又0a >且1a ≠,则函数()()()sin 2sgn sin F x f x x =-是 [ ](A) 偶函数 (B) 奇函数 (C) 非奇非偶函数 (D) 奇偶函数. 解 因为()()sgn sin sgn sin x x -=-⎡⎤⎣⎦,所以()sgn sin x 为奇函数.而()sin 2f x -为偶函数,故()()sin 2sgn sin f x x -⋅为奇函数,故选 B .【例 1.10】设()f x 是偶函数,当[]0,1x ∈时,()2f x x x =-,则当[]1,0x ∈-时,()f x = [ ](A) 2x x -+(B) 2x x + (C) 2x x - (D) 2x x --.解 因为()()f x f x -=，取[]1,0x ∈-，则[0,1]x -∈，所以()()()22f x x x x x -=---=--, 故选 D .（三）非客观题 1.函数及其性质【例1.16】 求函数()lg(1lg )f x x =-的定义域. 解 要使()f x 有意义，x 应满足0,1lg 0x x >⎧⎨->⎩ 即010x <<，所以()f x 的定义域为 (0,10).【例1.17】 设函数()f x 的定义域是［0,1］,试求()f x a +＋()f x a -的定义域（0a >）.解 由()f x 的定义域是［0,1］,则0101x a x a ≤+≤⎧⎨≤-≤⎩,故1a x a ≤≤-,则当1a a =-时,即12a =时,函数的定义域为12x =； 当1a a ->时,即12a <时,函数的定义域为[],1a a -； 当1a a -<时,即12a >时,函数的定义域为空集. 【例1.18】设()2,x f x e =()()1f x x ϕ=-并且()0x ϕ≥,求()x ϕ及其定义域.解 因为()()2[()]1,x fx e x φϕ==-且()0x ϕ≥，故()x ϕ=,为使此式有意义,ln(1)0x -≥，所以函数()x ϕ的定义域为{}0x x ≤.【例1.19】 设()2422x xf x x ++=-,求()2f x -.解（ 法一）配方法 ()2(2)422(2)2x f x x +-+=-++,所以()24224.x xf x x --=-+解（法二） 变量代换法 令2x t =-,代入得()2422t f t t -=-+,即()2422xf x x -=-+，则()24224xxf x x --=-+.【例1.20】 设()22,01,12x x f x x x ≤≤⎧=⎨<≤⎩,()ln g x x =,求()f g x ⎡⎤⎣⎦. 解 ()[]ln f g x f x =⎡⎤⎣⎦ 22ln ,0ln 1ln ,1ln 2x x x x ≤≤⎧=⎨<≤⎩[]()()222ln ,1,0, ln , ,0,x x e x x e e ⎧∈+∞⎪=⎨⎡⎤∈+∞⎪⎣⎦⎩[]222ln ,1,ln , ,x x e x x e e ⎧∈⎪=⎨⎡⎤∈⎪⎣⎦⎩【例1.21】 设()1,10,1x x x ϕ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩,()22,12,1x x x x ψ⎧-≤⎪=⎨>⎪⎩,求 ()x ϕϕ⎡⎤⎣⎦,()x ϕψ⎡⎤⎣⎦. 解 ⑴ 当(),x ∈-∞+∞时，()01x ϕ≤≤ ，所以 ()()1,,x x ϕϕ≡∈-∞+∞⎡⎤⎣⎦.⑵ 因为 ()()()1,10,1x x x ψϕψψ⎧≤⎪=⎡⎤⎨⎣⎦>⎪⎩, 且 ()()1,12,1x x x x ψψ⎧==⎪⎨<≤≠⎪⎩ 1,故 ()1,10,1x x x ϕψ⎧=⎪=⎡⎤⎨⎣⎦≠⎪⎩. 【例1.22】 求函数()2312,1,121216,2x x f x x x x x ⎧-<-⎪=-≤≤⎨⎪->⎩的反函数.解 当21121,x y x <- -<-时，=则x =， 当312=8,x y x -≤≤ ≤≤时，-1则x =当212168,x y x > =->时， 则16,12y x +=所以()f x 的反函数为 ()111816,812x y f x x x x -⎧<-⎪⎪⎪==-≤≤⎨⎪+⎪>⎪⎩.【例 1.23】设()f x 在(,)-∞+∞上有定义,且对任意,(,)x y ∈-∞+∞有()()f x f y x y -<-,讨论()()F x f x x =+在(,)-∞+∞上的单调性.解 任取12,(,)x x ∈-∞+∞,不妨设21x x >,则由条件有()()()()21212121f x f x f x f x x x x x -<-<-=-，所以()()1221f x f x x x -<-,则可变形为()()1122f x x f x x +<+,即()()12F x F x <，故()F x 在(,)-∞+∞上单调增加.【例1.24】 求c 的一个值,使()sin()()sin()0b c b c a c a c ++-++=,这里b a >,且均为常数.解 令()sin f x x x =,则()f x 是一个偶函数,则有[]()()f b c f b c +=-+要使()(),()f b c f a c a b +=+≠成立,则有1()()()2a cbc c a b +=-+⇒=-+.极限与连续：不定式，等价关系，特殊极限 极限待定系数的确定原理 连续待定系数确定的原理【例1.4】 设2lim 8xx x a x a →∞+⎛⎫= ⎪-⎝⎭,则a = . 解 因为 233lim lim lim 1x x xx x x x a x a a a x a x a x a →∞→∞→∞+-+⎛⎫⎛⎫⎛⎫==+ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭3333lim 1x a axa x aa x a e x a --→∞⎛⎫=+= ⎪-⎝⎭再由3ln83ln 28ln 2aee e a ===⇒=.【例1.5】（2004数三）若()0sin lim cos 5x x xx b e a→-=-,则a = ,b = .解 因()0sin limcos 5x x xx b e a→-=-,而()0limsin cos 0x x x b →-=，则0lim 0x x e a →-=, 所以1a =,又0x →时，sin ,1x xx e x -，则()()000sin limcos lim cos limcos51x x x x x x x b x b x b x e →→→-=-=-=-,154b b -=⇒=-. 【例 1.6】 已知当0x →时，123(1)1ax +-与1cos x -是等价无穷小，则常数a = .解 由1230(1)1lim1,1cos x ax x→+-=-而1222ln(1)3112ln(1)2333220000(1)112limlim limlim1cos 1cos 32ax ax ax x x x x ax e a xx x x ++→→→→+--====--，故3.2a = 【例1.7】 （2004数二）设()()21lim1n n x f x nx →∞-=+,则()f x 的间断点为x = .解 ()()()22111limlim ,0110,0n n n x n x x f x xnx nx x →∞→∞⎧--=⋅=≠⎪=⎨++⎪=⎩而 ()001lim lim(0)x x f x f x→→===∞≠，故()f x 的间断点（无穷）为0x =.【例1.8】 设()1sin , 02, 0x x f x x a x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩,在0x =处连续,则a = . 解 要使()f x 在0x =处连续,应有()()0lim 0,x f x f a →==而()0001sin1122lim lim sin lim 222x x x xx f x x x →→→===, 所以12a =.（二）选择题 【例1.11】()1, 10,01x x f x x x --<≤⎧=⎨<≤⎩ ,则()0lim x f x →= [ ](A) -1 (B) 0 (C) 不存在 (D) 1. 解 ()0lim lim 0x x f x x →+→+==, ()()0lim lim 11x x f x x →-→-=-=-.因为()()0lim lim x x f x f x →+→-≠,所以()0lim x f x →不存在，故选 C.【例1.12】 下列结论正确的是 [ ] (A) 若1lim1n n na a +→∞=,则lim n n a →∞存在;(B) 若lim n n a A →∞=,则11lim lim1lim n n n n nn n a a A a a A ++→+∞→∞→∞===; (C) 若lim n n a A →∞=,若lim n n b B →∞=,则()lim n bB n n a A →+∞=;(D) 若数列{}2n a 收敛且()2210n n a a n --→→∞,则数列{}n a 收敛.解 (A)不正确,反例{}n a n =,(B)不正确,因为只有当lim 0n n a →∞≠时，才能运用除法法则:11lim lim lim n n n n nn n a a a a ++→+∞→∞→∞= ,(C)不正确,只有0A ≠时,()lim n b B n n a A →+∞=成立.故选 D.注意无穷大与有界量的乘积关系 【例1.13】 当0x →时,变量211sin x x是 [ ] (A) 无穷小; (C) 有界的,但不是无穷小量; (B) 无穷大; (D) 无界的,但不是无穷大量. 解 M ∀,1,22n x n ππ∃=+只要,2M n π⎡⎤>⎢⎥⎣⎦则()2,2n f x n M ππ=+> 所以211sin x x 无界.再令 12x k π=,()0,1,2,k =±±，则()20lim lim(2)x k f x k π→→∞=⋅ sin 20k π≡,故()lim x f x →∞≠∞.故选 D.趋向无穷大主要是最高次项 趋向无穷小主要是最低次项【例1.14】 当0x →时，下列4个无穷小关于x 的阶最高的是 [ ](A) 24x x + (B)1 (C)sin 1xx- (D)-解 242200lim lim(1)1x x x x x x→→+=+=，所以24x x +是x 的2阶无穷小. 当0x →111sin 22x x ，故（B ）是x 的同阶无穷小. 311000sin 11sin 6lim lim lim k k k x x x x x x xx x xx ++→→→---==，要使极限存在2k =，故（C ）是x 的2阶无穷小.0x x →→= 3001sin (1cos )1lim lim 24cos k k x x x x x x xx →→-==, 同理（D ）是x 的3阶无穷小.故选D.指数函数的极限要注意方向【例1.15】（2005数二）设函数()111xx f x e-=-,则 [ ](A) 0x =,1x =都是()f x 的第一类间断点; (B) 0x =,1x =都是()f x 的第二类间断点;(C) 0x =是()f x 的第一类间断点,1x =是()f x 的第二类间断点; (D) 0x =是()f x 的第二类间断点,1x =是()f x 的第一类间断点. 解 因为()0lim x f x →=∞,则0x =是()f x 的第二类间断点;而()()11111111lim lim 0,lim lim 111xx x xx x x x f x f x ee++--→→→→--====---, 所以1x =是()f x 的第一类（跳跃）间断点,故选 D. （三）非客观题 求极限的各种方法（1） 用N ε-定义证明数列极限定义证明的关键是利用n x A ε-<倒推找正整数N （与ε有关）,这个过程常常是通过不等式适当放大来实现.【例1.25】求证lim1n n→∞=. 证明 对0ε∀>,1ε-<成立,则需1-n n =n a n n +-<a nε=<只要1an n ⎡⎤>+⎢⎥⎣⎦,取1a N n ⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦,当n N >时,1ε<.证毕. 【例1.26】 设常数1,a >用N ε-定义证明lim 0!nn a n →∞=. 证明 对0ε∀>,要使0!na n ε-<成立,则需[]0!1[]([]1)[]1n a n a a a a a aa k n a a n a ε-⎛⎫⋅⋅⋅⋅-=<⋅< ⎪⋅⋅+⋅⋅+⎝⎭，(其中1[]a ak a ⋅⋅=⋅⋅)只要lg []lg[]1k n a a a ε>++,为保证0,N >取lg max 1,[]lg []1k N a a a ε⎧⎫⎡⎤⎪⎪⎢⎥⎪⎪⎢⎥=+⎨⎬⎢⎥⎪⎪⎢⎥+⎪⎪⎣⎦⎩⎭,当n N >时,有 0!na n ε-<，证毕. （2）通过代数变形求数列极限 逐项平方差【例1.27】求极限2421111lim(1)(1)(1)(1)2222nn →∞++++解 2421111lim(1)(1)(1)(1)2222n n →∞++++=2111(1)(1)(1)222lim n →∞-++2n 1（1+）211-22(1)12lim(1)22n n +→∞=-=平方差公式【例1.28】求极限lim )n n n →∞.解lim )nn n →∞n =limn →∞=limn =12=. 等比求和【例1.29】 求极限221112333lim 111555nn n →∞+++++++. 解 由等比数列的求和公式2(1)1n nq q q q q q-+++=-将数列变形，则221113211113213333lim lim 11111155551515n n n n n n →∞→∞-+⨯++++-=+++-⨯-112123lim 11145n x n →∞⎛⎫+- ⎪⎝⎭=⎛⎫- ⎪⎝⎭1221014+==. 分项求和【例1.30】 求[]31lim(21)2(23)3(25)n n n n n n →∞-+-+-++.解 []31lim (21)2(23)3(25)n n n n n n →∞-+-+-++()311lim 221nn k k n k n →∞==-+∑()23111lim 212n nn k k n k k n →∞==⎡⎤=+-⎢⎥⎣⎦∑∑()()()()32111211lim 226n n n n n n n n →∞++++⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦()()312111lim63n n n n n →∞++==.拆分原理【例1.31】 求极限2111lim()31541n n →∞+++-.解 因为()()1111212122121n n n n ⎛⎫=-⎪-+-+⎝⎭,则 2111lim()31541n n →∞+++-111111lim [(1)()()]23352121n n n →∞=-+-++--+ 111lim (1)2212n n →∞=-=+. 求和后拆分【例1.32】 求极限111lim(1)1212312n n→∞+++++++++.解 111lim(1)1212312n n→∞+++++++++（由等差数列的前n 项和公式）222lim 12334(1)n n n →∞⎡⎤=++++⎢⎥⨯⨯+⎣⎦ （逐项拆分） 111111lim 12()23341n n n →∞⎡⎤=+-+-++-⎢⎥+⎣⎦2lim 221n n →∞⎛⎫=-= ⎪+⎝⎭（3）利用夹逼准则求数列极限 【例1.33】求lim n解 11111n n ≤+<+，而1lim(1)1n n→∞+=，∴ 由夹逼准则得 lim 1n →∞=. 掌握扩大和缩小的一般方法 【例1.34】 求22212lim()12n nn n n n n n n →∞+++++++++. 解212n n n n +++++2221212nn n n n n n n<+++++++++2121n n n +++<++ 且 2121lim,2n n n n n →∞+++=++ 2121lim 21n n n n →∞+++=++， 由夹逼准则得 22212lim()12n nn n n n n n n →∞+++++++++=12. 【例1.35】 求极限226n nn →∞++.解≤≤，则2221nnnk k k===≤≤且 22111limlim 3nnn nk k →∞→∞====,由夹逼准则得原式21lim3nn k→∞===.以下两题了解一下即可 【例1.36】 证明 1;1(0)n n a ==>证明 1） 1n h =+，则22(1)(1)(1)122n nn n n n n n n n n n h nh h h h --=+=+++>，即 0n h <<由夹逼准则 lim 0,n n h →∞=从而lim(1) 1.n n n h →∞=+=2）当1a >时，0<<由夹逼准则1n =；当01a <<，令11b a=>，则lim lim 1n n →∞→∞==，从而1(0).n a =>注 【例1.36】的结果以后直接作为结论使用. 【例1.37】 求极限nk n a ++.（12,,,0k a a a >,k N ∈）解 记{}12max ,,,k aa a a =,则nk a≤++≤.且,n n n a a a ==⋅=,由夹逼准则得{}12max ,,,nk k n a a a a a ++==.（4）利用单调有界准则求数列极限给出前后项的关系，证明其单调，有界，设出极限解方程数列单调性一般采用证明110,1,nn n n x x x x ---≥≥或函数的单调性；数列的有界性方法比较灵活.【例1.38】 求lim n n a a a a →∞++++个根号.解 设n x a =++,则12x x ==…,n x =,从而 1n nx x -<,数列{}n x 单调增加；又n x =,21n nx a x -=+,111n n n n x a x x x -=+<+=,数列有上界,故{}n x 有极限.不妨设lim n n x A →∞=,将21n n x ax -=+两边取极限，有2A a A =+,故12A ±=【例1.39】 求33n .（共有n 个根号）解 设33n x =，显然1n n x x ->,{}nx单调增加；且1n x x =2x =3n x <,{}n x 有上界，所以数列极限存在.不妨设lim n n x A →∞=,将213n n x x -=两边取极限，有23A A =,则()3,0A A ==舍.【例1.40】 设2110,0,,1,2,2n n nx aa x x n x ++>>==,证明数列{}n x 收敛,并求极限.解 2102nn n na x x x x +--=≤，数列{}n x 单调递减；且21122n n n n n x a a x x x x +⎛⎫+==+ ⎪⎝⎭≥=,{}n x 有界,所以数列{}n x 收敛.令lim n n x A →∞=,对212n n nx a x x ++=两边取极限,有12a A A A ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,则A =. （5）利用无穷小的性质求数列极限 【例1.41】 求下列极限（1）（2）题的方法化为指数形式常用，（3）要说明无穷小乘有界量为无穷小 （1） lim 1)(0)n n a →∞-> （2）1121lim (33)n n n n +→∞- （3）2lim 1n nn →∞+解 （1）当1ln 11ln a nn e a n→∞-时， ，则 1ln lim 1)lim (1)a nn n n n e→∞→∞-=-1lim ln ln n n a a n→∞=⋅=（2）当n →∞时， 1ln 331nn-（n+1）（n+1），则11112211lim (33)lim3(31)nnn n n n n n ++→∞→∞-=-（n+1）121ln 3lim 3lim ln 3n n n n n+→∞→∞⋅=⋅=（n+1）（3）因为0n →∞=，而sin 1n ≤，由于无穷小与有界函数的乘积仍为无穷小，所以2lim 01n nn →∞=+ 注 limsin n n →∞不存在，故不能写成lim sin 0n n n n →∞→∞→∞=⋅=. 综合题了解一下即可【例1.42】 求())()22211131lim arctan !22311n n nn n n n →∞⎡⎤⎛⎫+⨯-+++⎢⎥ ⎪ ⎪⨯--⎢⎥⎝⎭⎣⎦. 解()arctan !2n π≤,()221=()2limarctan !0n n →∞∴=,有界量乘无穷小()1111lim lim 112231n n n n n →∞→∞⎡⎤⎛⎫+++=-=⎢⎥ ⎪⨯-⎝⎭⎣⎦，拆分求和2231lim 31n n n →∞+=-, 则 ()2211131lim 322311n n n n n →∞⎡⎤++++=⎢⎥⨯--⎣⎦ )()222131lim arctan !lim 1lim 1n n x n n n n n →∞→∞→∞+⎛⎫⎡⎤-- ⎪⎢⎥⎣⎦-⎝⎭故原式＝　033=-=-.两极限都存在用四则运算法则注利用函数极限求数列极限见第三章；利用定积分定义求数列极限见第六章； 利用级数收敛的性质求极限见第十一章. 3．函数的极限（1）用εδ-定义或X ε-定义证明极限用εδ-定义证明函数极限关键是用倒推法适当放缩找到0x x -与ε的关系，确定()δε；而X ε-定义证明函数极限关键是用倒推法适当放缩找到x 与ε的关系，确定()X ε.【例1.43】 证明 22lim 4x x →= 此题典型要搞清楚自变量的约束范围的确定证明 对于0ε∀>，不妨设21,x -<则222225,x x x +≤+<-++< 要使242252x x x x ε-=+⋅-<⋅-<，只要取min{1,}5εδ=，当02x δ<-<时，有24x ε-<.证毕.注 函数在0x 的极限只与函数在0(,)U x δ的定义有关，与函数的整个定义范围无关.因此上例作了假设2 1.x -<也可假设122x -<等. 【例1.44】 用X ε-定义证明：232lim .33x x x →∞+=证明 对于0ε∀>，要使2322321333x x x x x xε++--==<，只要1.x ε>故取11,X ε=+当x X >时，均有23233x x ε+-<，即232lim .33x x x →∞+=（2）用极限存在的充要条件研讨极限 含有,xxe e-的表达式x →∞的极限；含有[]11,,,xxe e x x -的表达式0x →的极限；分段函数在分段点的极限，一般来说用极限存在的充要条件讨论.注意指数函数的极限，一般要考虑两边趋势【例1.45】 讨论极限 lim x xx xx e e e e --→∞-+.解 221lim lim 11x x x xx x x x e e e e e e --→-∞→-∞--==-++； 221lim lim 11x x xx x x x x e e e e e e--→+∞→+∞--==++. 所以 lim x xx xx e e e e --→∞-+不存在.【例1.46】 求1402sin lim 1x x x e x x e →⎡⎤+⎢⎥+⎢⎥+⎢⎥⎣⎦. 解 1402sin lim 1x x x e x x e +→⎡⎤+⎢⎥+⎢⎥⎢⎥+⎣⎦43402sin lim 0111x xx xe e x x e +--→-⎡⎤+⎢⎥=+=+=⎢⎥⎢⎥+⎣⎦； 1402sin lim 2111x x x e x x e -→⎡⎤+⎢⎥-=-=⎢⎥⎢⎥+⎣⎦； 所以 1402sin lim 1x x x e x x e →⎡⎤+⎢⎥+⎢⎥+⎢⎥⎣⎦1=. 【例1.47】 []x 表示不超过x 的最大整数，试确定常数a 的值，使[]210ln(1)lim ln(1)x x x e a x e →⎧⎫+⎪⎪+⎨⎬⎪⎪+⎩⎭存在，并求出此极限.解 由[]x 的定义知，[][]0lim 1,lim 0,x x x x -+→→=-=故所给极限应分左、右极限讨论. []22211110000ln(1)ln(1)lim lim lim lim .ln(1)ln(1)x x x x x x x x x x xe e e a x a a e a a e e e ----→→→→⎧⎫++⎪⎪+=-=-=-=-⎨⎬⎪⎪++⎩⎭[]222211110002ln(1)ln(1)ln (1)lim lim 0lim 01ln(1)ln (1)ln(1)x xxxx x x x x x xe e e e x a x e e e e x+++--→→→--⎧⎫+++⋅+⎪⎪+=+=+⎨⎬⎪⎪+⋅+++⎩⎭212ln(1)lim 21ln(1)xx xe e +-→-++==++.所以，当2a =-时所给极限存在，且此时极限为2.【例1.48】设21,1,()23, 1.x f x x x x ⎧≥⎪=⎨⎪+<⎩试求点1x =处的极限.解 211(10)lim ()lim(23)5x x f f x x --→→-==+=; 111(10)lim ()lim 1x x f f x x++→→+===; 即(10)(10)f f -≠+，1lim ()x f x →∴不存在.（3）通过代数变形求函数极限 【例1.49】求下列极限（1）22232lim 2x x x x x →-+++- （2）422123lim 32x x x x x →+--+ （3）11lim ,()1n x x n Z x +→-∈- 解 （1）原式222(1)(2)(1)(2)limlim (1)(1)(1)(11)x x x x x x x x x x →-→-++++==-+--++211lim.13x x x →-+==-（2）原式22211(1)(3)(1)(3)limlim 8.(2)(1)2x x x x x x x x x →→-+++===---- （3）原式121(1)(1)lim1n n x x x x x x --→-++++=- (提零因子)121lim(1)n n x xx x n --→=++++=.注 分子分母都为0必有共同的0因子① 因为分母极限为零，所以不能直接用计算法则； ② 当0x x →时，0x x ≠. 【例1.50】求下列极限注意多项式商的三种形式的规律0x x x a →∞→→，，，最高项，最低项，零因子（1）247lim 52x x x x x →∞-+++ （2）()()()3020504192lim 61x x x x →∞++- （3） 3225lim 34x x x x →∞-++解（1）原式234341170lim 0.5211x x x x x x→∞-+==++（2）原式3020501249lim 16x x x x →∞⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⎛⎫- ⎪⎝⎭1030205049263⋅⎛⎫== ⎪⎝⎭. （3）3225lim 34x x x x →∞-=∞++ (因为2334lim 025x x x x →∞++=-) 注 x →∞时有理函数求极限，分子、分母同时除以x 的最高幂次.即抓“大头”.综合题也可直接用结论 0101101,lim0,,m m m n n x n a n m b a x a x a n m b x b x b n m --→∞⎧=⎪⎪+++⎪=>⎨+++⎪∞<⎪⎪⎩. 【例1.51】求下列极限了解共轭因式，尤其是N 方差公式 （1）)0lim 0x aa +→>. （2）0x → （3）limx解 ⑴原式0lim x a+→=limx a+→=lim x a+→==⑵ 原式=2x x →x →=32=⑶ 原式2limx=2123lim 1x --==.（4）利用两个重要极限求极限利用0sin lim 1x x x →=，1lim 1nn e n →∞⎡⎤+=⎢⎥⎣⎦求极限，则有0sin 1lim 1,lim(1)e →→∞=+=（此两式中的形式必须相同）.【例1.52】 求下列极限 （1）201cos limx xx →-）（2）22sin sin lim x a x a x a→--（3）31lim sin ln(1)sin ln(1)x x x x→∞⎡⎤+-+⎢⎥⎣⎦解 （1）原式22200212sin sin1222limlim 2()2x x x xx x →→==.（2）原式()()sin sin sin sin limx ax a x a x a→-+=-()2limsin cos sin sin 22x a x a x a x a x a →-+=+-()sin2limcos sin sin 22x a x ax a x a x a →-+=⋅+-1cos 2sin sin 2a a a =⨯⨯=. （3）3lim sin ln(1)x x x →∞+ 3sin ln(1)33lim ln(1)0 limln(1)3ln(1)x x x x x x x→∞→∞++=⋅++ 33333lim ln 1ln lim[(1)]3x x x x x x⋅→∞→∞⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭同理 1lim sin ln(1)1x x x→∞+=,所以 31lim sin ln(1)sin ln(1)x x x x →∞⎡⎤+-+⎢⎥⎣⎦312=-=.【例1.53】 求下列极限 趋向常数的极限通常会做变量替换 （1）1lim(1)tan2x xx π→- （2）22sin lim1x xx ππ→- 解 （1）令1,t x =-则 原式02lim tan()lim cotlimlim222tan22t t t t ttt tt t ttππππππ→→→→=⋅-=⋅===（2） 令,x t π=-则原式2222200002sin()sin sin lim lim lim lim .()2(2)221t t t t t t t t t t t t t ππππππππππ→→→→-====----- 【例1.54】 求下列极限（1）32lim 22xx x x →∞-⎛⎫ ⎪-⎝⎭ （2）cot 0lim tan 4xx x π→⎡⎤⎛⎫- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦解 （1）原式1222111lim 1lim 11222222x xx x x x x --→∞→∞⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+⋅+⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦1e e =⋅=（2）原式11tan t 001tan 1t lim()lim()1tan 1t x x t x x →→--==++122t 102t lim(1)1tt t t +-⋅-+→-=++02lim1122t02tlim(1)1t t ttt e →-++--→⎡⎤-=+=⎢⎥+⎣⎦.注 1∞型极限的计算还可用如下简化公式：设(),(),u u x v v x ==且lim 1,lim u v ==∞，则lim(1)lim .u vvu e-=（因为 (1)1lim(1)1lim lim [1(1)]u vu vvu u u e---⎧⎫⎪⎪=+-=⎨⎬⎪⎪⎩⎭）和ln lim lim .v v uu e=【例1.55】 求下列极限 （1）lim hx kx ax b ax c +→∞+⎛⎫⎪+⎝⎭（2）1sin sin 20cos lim cos 2x xx x x →⎛⎫⎪⎝⎭解 （1） 原式＝()()lim 1lim x x ax b b c hx k hx k ax c ax c e e→∞→∞+-⎛⎫⎛⎫-++ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭=()b c hae-＝（2） 原式22000cos 1cos cos 211cos cos 2lim 1lim limcos 2sin sin 2cos 2cos 222x x x x x x x xxx xx xxx eee→→→--⎛⎫⎛⎫-⋅⎪⎪⎝⎭⎝⎭===2222220011(2)1cos 21cos 322lim []lim []22224x x x x x xx x x xeee →→----===.（5）利用函数的连续性求极限① 设()f x 在x a =连续，按定义则有 lim ()()x af x f a →=.因此对连续函数求极限就是用代入法求函数值.② 一切初等函数在它的定义域上连续.因此，若()f x 是初等函数，a 属于它的定义域，则lim ()()x af x f a →=.③ 设lim ()x ag x A →=，若补充地定义()g a A =，则()g x 在x a =连续.若又有()y f u =在u A =连续，则由复合函数的连续性得 lim (())(lim ())()x ax af g x f g x f A →→==.【例1.56】 求下列极限（1）3225lim243x x x x →+++ （2）3x →解 利用函数的连续性得 （1）332252251lim243224233x x x x →+⨯+==++⨯+⨯+，（2）x →==（6）利用无穷小的性质求极限常用的几个重要等价无穷小代换(当0→x 时)有: sin arcsin tan arctan 1ln(1)x xx x x xe x -+x cos 1-～22x , 1-xa ～)0(ln >a a x , )1(log x +α～ln x a.1)1(-+αx ～x α(α为任意实数), 3tan sin ,2x x x -3sin .6x x x - 利用等价无穷小代换时，通常代换的是整个分子、分母或分子、分母的因子. 【例1.57】求下列极限（1）201lim sin 3x x e x →- （2）cos 0lim sin x x e e x x →- （3）0x →解 （1）当0x →时，212,sin 33xex x x -,∴200122limlim sin 333x x x e x x x →→-==. （2）当0x →时，1cos 0x -→，1cos 11cos xex -∴--.原式cos 1cos 1cos cos 22000(1)(1)lim lim lim x x x xx x x e e e e x x--→→→--==⋅20(1cos )1lim2x x x→-==(因为当210,1cos 2x x x →-). （3）原式0x →=0x x →→=012x →=201112lim 1222x xx x →==⋅.【例1.58】 已知()0ln 1sin lim 231x x f x x →⎡⎤+⎢⎥⎣⎦=-,求()20lim x f x x →. 解 由()0lim 310x x →-=及()0ln 1sin lim 231x x f x x →⎡⎤+⎢⎥⎣⎦=-，必有()0limln 10sin x f x x →⎡⎤+=⎢⎥⎣⎦, 所以 ()ln 1sin f x x ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦～()sin f x xln3311x x e -=-～ln 3x 原式()0sin lim ln 3x f x x x →=()201lim ln 3sin x f x x x x →=⋅ ()201lim ln 3x f x x→==2，则 ()2lim2ln 3x f x x→=.【例1.59】 求 30sin tan limsin x x xx→- 解 原式33001sin (1)sin (cos 1)cos limlim sin cos sin x x x x x x x x x →→--==⋅23001()1lim lim cos 22x x x x x x→→⋅-=⋅=-⋅.注 3300sin tan limlim 0.sin sin x x x x x xx x→→--≠= 【例1.60】 求 213sin 2sin lim x x xx x→∞+解 213sin 2sin lim x x xx x→∞+=13sin 1lim2lim sin 1x x x x x x→∞→∞+， 1sin1lim1;lim 0,sin 1,1x x x x x x→∞→∞==≤ 则1lim sin 0x x x →∞=， ∴原式=303+=.（7）利用其它方法求极限① 利用导数定义求极限(见第二章) 利用导数定义=')(0x f 00)()(limx x x f x f x x --→可以将某些求极限问题转化为求导数;② 利用罗必达法则(详见第三章); ③ 利用微分中值定理(详见第三章); 【例1.61】 设()()00,0f f '=存在,求()limx f x x→. 解 因为()()00,0f f '=存在,所以()0limx f x x →()()()00lim 0x f x f f x→-'== *【例1.62】 求lim x→+∞解 令()f t =,显然当0x >时,()f t 在[,1]x x +上满足拉格朗日中值定理,所以有,()()()()f b f a f b a ξ'-=⋅-.所以,原式=cos ξ 其中1x x ξ≤≤+故lim lim cos 0x ξξ→+∞→+∞==4.函数的连续性（1）函数的连续性与间断点的讨论【例1.63】 设()2,0sin ,0a bx x f x bx x x⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩在点0x =处连续,求常数a b 与的关系.解 ()00sin sin lim lim lim x x x bx bx f x b b x bx+++→→→==⋅= ()()200lim lim x x f x a bx a --→→=+=. 因为函数在点0x =连续,所以()0lim x f x +→b =()0lim x f x a -→==,故a b =. *【例1.64】 设()2122lim 1n n n x ax bxf x x +→∞++=+,当,a b 取何值时,()f x 在(),-∞+∞处连续.解 ()2,1,11,121,12a bx x x x ab f x x a b x ⎧+ <⎪>⎪⎪--=⎨=-⎪⎪++⎪=⎩,由于()f x 在()()(),1,1,1,1-∞--+∞上为初等函数,所以是连续的,只要选取适当的,a b ,使()f x 在1x =±处连续即可. 即11lim ()lim ()(1)x x f x f x f -+→→==; ()()()11lim lim 1x x f x f x f -+→-→-==-. 得 1011a b a a b b +==⎧⎧⇒⎨⎨-=-=⎩⎩. 【例1.65】 研究函数(),111,11x x f x x x -≤≤⎧=⎨<->⎩或的连续性,并画出函数的图形.解 ()f x 在(),1-∞-与()1,-+∞内连续, 在1x =-处间断,但右连续,因为在1x =-处,()()11lim lim 11x x f x x f ++→-→-==-=-,但()11lim lim 11x x f x --→-→-==，即()()11lim lim x x f x f x +-→-→-≠.【例1.66】 指出函数22132x y x x -=-+的间断点,说明这些间断点的类型.解 ()22132x f x x x -=-+在1x =、2x =点没有定义，故1x =、2x =是函数的间断点.因为 ()()()()2211111lim lim3212x x x x x x x x x →→-+-=-+--11lim 22x x x →+==--,所以1x =为第一类可去间断点.因为2lim x y →=∞,所以2x =为第二类无穷间断点.【例1.67】 讨论函数()221lim 1nnn x f x x →∞-=+的连续性,若有间断点,判别其类型.解 ()22 11lim0 1 1 1nnn x x x f x x x x x →∞⎧->⎪-===⎨+⎪<⎩, ()11lim lim 1x x f x x ++→→=-=-,()11lim lim 1x x f x x --→→==,()()11lim lim x x f x f x +-→→≠; ()11lim lim 1x x f x x ++→-→-==-,()11lim lim 1x x f x x --→-→-=-=,()()11lim lim x x f x f x +-→-→-≠.故 1x =±为第一类跳跃间断点.（2）闭区间上连续函数的性质【例1.68】 证明方程3910x x --=恰有三个实根. 证明 令()391f x x x =--，则()f x 在[]3,4-上连续，且()()310,290,f f -=-<-=> ()()010,4270f f =-<=>所以()f x 在()()()3,2,2,0,0,4---各区间内至少有一个零点,即方程3910x x --=至少有三个实根. 又它是一元三次方程,最多有三个实根.证毕【例1.69】 若n 为奇数,证明方程110n n n x a x a -+++=至少有一个实根.证 令()11n n n f x x a x a -=+++，则()1(1)nnn a a f x x xx=+++， 于是 lim (),lim ()x x f x f x →-∞→+∞=-∞=+∞，故存在1,x 使()10f x A =>；存在2,x 使()20f x B =<.所以()f x 在[]12,x x 至少有一个零点,即方程至少有一个实根.【例1.70】 设()f x 在[],a b 上连续,且()(),f a a f b b <>,试证:在(),a b 内至少有一点ξ,使得()fξξ=.证 令()()F x f x x =-,()F x 在[],a b 连续,且()0,()0,F a F b <>由介值定理得在(),a b 内至少存在一点ξ,使得()0F ξ=,即()fξξ=.【例1.71】 设()f x 在[]0,2a ()0a >上连续,且()()02f f a =,求证存在()0,a ξ∈,使()()ff a ξξ=+.证 构造辅助函数()()()g x f x a f x =+-,则()()()00g fa f =-,()()()2g a f a f a =-()()0f a f =--⎡⎤⎣⎦()0g =-,即()0g 与()g a 符号相反,由零点存在定理知存在()0,a ξ∈,使()0g ξ=,即()()ff a ξξ=+.【例1.72】 设()f x 在[],a b 上连续,且a c d b <<<,证明：在[],a b 内至少存在一点ξ，使得()()()()pf c qf d p q f ξ+=+，其中,p q 为任意正常数.证()f x 在[],a b 上连续,∴ ()f x 在[],a b 上有最大值M 和最小值m ，则()m f x M ≤≤.由于,[,]c d a b ∈，且,0p q >，于是有(),()pm pf c pM qm qf d qM ≤≤≤≤.⇒ ()()()()p q m pf c qf d p q M +≤+≤+， ⇒()()pf c qf d m M p q+≤≤+.由介值定理，在[],a b 内至少存在一点ξ，使得()()()pf c qf d f p qξ+=+，即()()()()pf c qf d p q f ξ+=+ 5．综合杂例【例1.73】 已知lim 2003,(1)ab bn n n n →∞=--求常数,a b 的值.解 lim lim lim 11(1)[1(1)](1)1aaa bbb n n n b b b n n n n n n n n-→∞→∞→∞-==------ 1lim lim 1a b a b n n n n bb n--+→∞→∞-==- 为使极限为2003，故10,a b -+=且12003,b =所以12002,.20032003b a ==- 【例1.74】 已知221lim2,sin(1)x x ax bx →++=-求常数,a b 的值. 解 由221lim 2,sin(1)x x ax bx →++=-则分子的极限必为0，即21lim()0x x ax b →++=， 从而 10a b ++=；另一方面，当1x →时，22sin(1)1x x --，因此2222221111lim lim 10lim sin(1)11x x x x ax b x ax b x ax a a b x x x →→→+++++--=++=--- 1(1)(1)lim2(1)(1)x x x a x x →-++==-+，从而11211a ++=+，即2,a =又10a b ++=， 得 3.b =【例1.75】已知lim ())0,x ax b →+∞+=求常数,a b 的值.解lim ())lim ())0,x x bax b x a x→+∞→+∞-+=+=而lim ,x x →+∞=∞要使原式极限为0，则lim()0,x ba x→+∞-+=所以 1.a =1lim )lim )lim.2x x x b ax x →+∞→+∞=-===【例1.76】 若 30sin 6()lim 0,x x xf x x →+=求206()lim .x f x x→+ 解 因为30sin 6()lim0,x x xf x x→+=由极限存在与无穷小的关系，得 3sin 6()0,x xf x x α+=+其中0lim 0.x α→=从而 2236()6sin 6,f x xx x x α+=-+ 所以 32233300006()6sin 66sin 6(6)lim lim()lim lim 366x x x x f x x x x x x x x x xα→→→→+-=-+=== 【例1.77】 已知0()lim4,1cos x f x x →=-求10()lim 1.xx f x x →⎛⎫+ ⎪⎝⎭解 因为200()2()limlim 4,1cos x x f x f x x x→→==-则20()lim 2x f x x →=.从而 221()()lim()200()()lim 1lim 1x x f x f x xf x x x x x f x f x e e x x →⋅→→⎛⎫⎛⎫+=+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭注 此题也可用极限存在与无穷小的关系求解.【例1.78】 当0x →x 的几阶无穷小量. 解3255x-=则203limx xx→→==∴x 的23阶无穷小.三、综合测试题。

第1章函数与极限总结第1章主要讲述了函数与极限的概念和性质。

函数是数学中的一种基本概念，它是一种对应关系，即将一个集合的元素映射到另一个集合的元素。

函数可以由一个表达式、一个关系式或者一个图像来表示。

可以通过函数公式、函数图像和函数性质等来研究函数。

极限是函数和数列研究中的一个重要概念，它描述了一个变量在一些值上的趋近情况。

极限可以用来讨论函数的连续性、导数、积分等性质。

极限的计算方法主要有代入法、夹逼准则、单调有界性等。

函数的性质分为定义域、值域、奇偶性、单调性、周期性、最值等。

定义域是指函数的自变量的取值范围，值域是函数的因变量的取值范围。

奇偶性指函数在自变量取相反数时函数值的规律性。

单调性指函数值的变化趋势，可以分为单调递增和单调递减。

周期性指函数值在一些固定区间内有重复出现的规律。

最值包括函数的最大值和最小值。

极限是函数和数列的重要性质，它描述了一个变量在一些值上的趋近情况。

在讨论极限时，我们需要考虑自变量的趋势和因变量的趋势。

当自变量趋于无穷大或趋于零时，函数的极限常常可以用一些简单的方法来求解。

对于其他情况，我们可以通过夹逼准则来求解。

在计算极限时，我们可以采用代入法、夹逼准则、单调有界性等方法。

代入法是指将自变量的值代入函数中，计算函数值的趋势。

夹逼准则是指通过夹逼法来确定极限的值。

单调有界准则是指通过函数的单调性和有界性来判断极限的值。

函数的性质对于研究函数的特征和行为十分重要。

定义域和值域可以帮助我们确定函数的自变量和因变量的取值范围。

奇偶性和周期性可以帮助我们确定函数的对称性和重复性。

单调性可以帮助我们确定函数值的变化趋势。

最值可以帮助我们确定函数的极值点。

总的来说，第1章主要讲述了函数和极限的概念和性质。

函数是数学中的一种基本概念，它描述了一个集合到另一个集合的映射关系。

极限是描述一个变量在一些值上趋近情况的概念，它可以用来研究函数的性质和行为。

函数的性质包括定义域、值域、奇偶性、单调性、周期性和最值等。

第一章：函数与极限第一节：函数1、函数的性质：单调性，有界性（包括有界与无界），奇偶性，周期性。

（重点在于单调性与奇偶性）单调性：)()(,,212121x f x f x x X x x <⇒<∈∀单调增加。

)()(,,212121x f x f x x X x x >⇒<∈∀单调减少 有界性：M x f X x M ≤∈∀>∃)(,,0 无界性：M x f X x M >∈∃>∀)(,,0奇偶性：)()(x f x f -=偶，)()(-x f x f -=奇。

奇函数如果连续则一定经过0点，值为0周期性：)()(T x f x f +=，注意，a T x f a x f ++=+)()(， 如果)()(b ax f x f +=，T 为)(x f 的周期，则周期为aT第二节：极限1、数列极限定义：εε<->>∃>∀⇔=∞→A x N n N A x n n n ,,0,0limM x N n N M x n n n >>>∃>∀⇔∞=∞→,,0,0lim性质：1) 唯一性：收敛数列极限唯一 2) 有界性：收敛数列必有界3) 子数列收敛：注意震荡数列并不是，一个数列收敛，则它的所有子数列都收敛。

4) 保号性：A x n n =∞→lim ，当A>0时，存在从某个N 开始，n x > 0.5) 有序性: n n y x ≤，则n n n n y x ∞→∞→≤lim lim 。

四则运算：1) b a y x n n n +=+∞→）（lim2) b a y x n n n ⋅=⋅∞→）（lim3) bay x n n n =∞→）（lim ，（b ≠0） 2、函数极限定义：εε<->>∃>∀⇔=∞→a x f X x X a x f x )(,0,0)(lim 时，当εδδε<-<-<>∃>∀⇔=→a x f x x a x f x x )(0,0,0)(lim 00，当性质：1) 唯一性，左极限等于右极限。

高等数学教材前三章第一章：函数与极限高等数学是大学数学的一门重要课程，旨在帮助学生理解和掌握高级数学的基本概念和方法。

而高等数学教材的前三章主要涵盖了函数与极限的内容。

1.1 函数的概念及性质函数是数学中的重要概念，它描述了数之间的依赖关系。

函数由自变量和因变量组成，自变量取值的变化会导致因变量相应地改变。

在这一章节中，将介绍函数的定义、函数的图像、函数的性质以及一些常见函数的分类和图像特征。

1.2 极限的概念极限是函数与数列中的重要概念，它描述了数值序列或函数值在某一点附近的趋势。

极限的概念是高等数学中的基础，它对于解决各种数学问题具有重要意义。

本节重点介绍函数的极限概念，包括函数极限的定义、性质以及常见的计算方法。

1.3 极限的运算法则极限的运算法则是数学中的重要工具，通过运算法则可以简化复杂极限的计算过程。

本节将介绍函数极限的四则运算法则、复合函数极限的计算以及无穷小量的运算法则。

第二章：导数与微分导数是微积分中的重要概念，描述了函数在某一点的变化率。

导数的定义和性质，在解决实际问题和数学推理中发挥着重要作用。

2.1 导数的概念导数是函数变化率的度量，它反映了函数在一点处的瞬时变化情况。

本章节将介绍导数的定义和性质，通过求导数可以帮助我们了解函数的变化规律以及优化问题求解。

2.2 导数的计算方法求导是解决导数问题的核心环节。

本节将介绍一些基本导数公式，例如多项式函数的导数、三角函数的导数以及常见初等函数的导数公式。

此外，还将介绍一些常见函数求导的方法，如导数的四则运算、链式法则和隐函数求导法则等。

第三章：微分中值定理与应用微分中值定理是微积分中的重要定理，它描述了函数在某种条件下存在特殊点的性质。

微分中值定理不仅具有理论上的重要性，还在实际问题的求解中起到关键作用。

3.1 弗格罗定理弗格罗定理是微分中值定理的基本形式，它给出了函数在某个闭区间内存在一点，使得该点的切线斜率与该区间的平均斜率相等。

高等数学教材第一章高等数学是大学生必修的一门重要课程，它是建立在中学数学基础之上，对于培养学生的数学思维和解决问题的能力起着重要作用。

本文将对高等数学教材的第一章进行详细介绍，包括内容概述、重要概念、知识点总结等方面。

第一章：函数与极限1.1 函数的概念与性质函数是数学中常见的一种关系，它将一个集合的每个元素都对应到另一个集合中的唯一元素。

在第一章中，我们先介绍了函数的定义和表示方法，重点掌握函数的定义域、值域和图像的概念。

另外，我们还学习了一些常见的函数，如一次函数、二次函数、指数函数等，并深入研究了它们的性质和图像特点。

1.2 极限的概念与性质极限是高等数学中的重要概念，它描述了函数在某个点或无穷远处的趋势。

在本章中，我们首先引入了点的邻域和函数极限的定义，并学习了函数极限的性质。

同时，我们还介绍了一些常见的极限计算方法，如利用夹逼定理、洛必达法则等来求解极限问题。

1.3 连续与间断在第一章的最后一节，我们研究了函数的连续性和间断点的概念。

通过对函数连续性的讨论，我们可以判断函数在某个点的连续性，并进一步研究函数的间断点类型，如可去间断点、跳跃间断点和无穷间断点等。

了解函数的连续性和间断点的性质，对于我们后续学习函数的性质和应用有着重要的指导作用。

总结：高等数学教材的第一章主要介绍了函数与极限的基本概念和性质。

通过学习这一章的内容，我们不仅可以掌握函数的定义和表示方法，还能深入理解函数的图像特点和性质。

同时，研究函数的极限可以帮助我们了解函数在某一点的趋势，为后续的微积分学习打下基础。

此外，通过对函数连续性和间断点的讨论，我们可以判断函数的局部性质，并为函数的应用提供合理的数学理论依据。

高等数学教材的第一章为我们打开了数学的大门，为我们后续学习的深入和应用提供了坚实的基础。

第一章 函数与极限习 题 1-11．求下列函数的自然定义域： （1）211y x=+-；解：依题意有21020x x ⎧-≠⎨+≥⎩，则函数定义域{}()|2x 1D x x x =≥-≠±且．（2）21arccosx y -=解：依题意有2211360x x x ⎧-≤⎪⎨⎪-->⎩，则函数定义域()D x =∅．（3）2ln(32)y x x =-+-；解：依题意有2320x x -+->，则函数定义域{}()|12D x x x =<<．（4）312x xy -=；解：依题意有30x x -≠，则函数定义域{}()|x 0,1D x x x =-∞<<+∞≠±且．（5）1sin1,121;x y x x ⎧≠⎪=-⎨⎪=⎩, ， 解：依题意有定义域{}()|D x x x =-∞<<+∞． （6）1arctan y x =+解：依题意有030x x ≠⎧⎨-≥⎩，则函数定义域{}()|3x 0D x x x =≤≠且．2．已知()f x 定义域为[0,1]，求2(), (sin ), (), ()()f x f x f x a f x a f x a +++- (0a >)的定义域．解：因为()f x 定义域为[0,1]，所以当201x ≤≤时，得函数2()f x 的定义域为[1,1]-； 当0sin 1x ≤≤时，得函数(sin )f x 定义域为[2π,(21)π]k k +； 当01x a ≤+≤时，得函数()f x a +定义域为[,1]a a --+；当0101x a x a ≤+≤⎧⎨≤-≤⎩时，得函数()()f x a f x a ++-定义域为：（1）若12a <，[],1x a a ∈-；（2）若12a =，12x =；（3）若12a >，x ∈∅．3．设21()1,f x x ⎛⎫=- ⎝其中0,a >求函数值(2),(1)f a f ．解：因为21()1f x x ⎛⎫=- ⎝，则 2211(2)142a f a a a a-⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，20 ,>1,11(1)1 2 ,0<<111a a f a a ⎛⎫⎧-=-= ⎪⎨ ⎪-⎩⎝⎭．4．设1||1,()0||1,()21|| 1.xx f x x g x x <⎧⎪===⎨⎪->⎩，求(())f g x 与(())g f x ，并做出函数图形．解：121(())0211 21xx xf g x ⎧<⎪==⎨⎪->⎩，即10(())001 0x f g x x x <⎧⎪==⎨⎪->⎩，112||1(())2||12||1x g f x x x -⎧<⎪==⎨⎪>⎩，即2||1(())1||11||12x g f x x x ⎧⎪<⎪==⎨⎪⎪>⎩，函数图形略．5．设1,0,()1,0,x x f x x +<⎧=⎨≥⎩试证：2,1,[()]1,1.x x f f x x +<-⎧=⎨≥-⎩证明：1(),()0[()]1,()0f x f x f f x f x +<⎧=⎨≥⎩，即2,1,[()]1,1x x f f x x +<-⎧=⎨≥-⎩，得证．6．下列各组函数中，()f x 与()g x 是否是同一函数？为什么？ （1）))()ln,()ln3f x xg x ==- ；不是，因为定义域和对应法则都不相同． （2）()()f x g x == 是．（3）22()2,()sec tan f x g x x x ==-； 不是，因为对应法则不同． （4）2()2lg ,()lg f x x g x x ==； 不是，因为定义域不同．7．确定下列函数在给定区间内的单调性： （1）3ln y x x =+，(0,)x ∈+∞；解：当(0,)x ∈+∞时，函数13y x =单调递增，2ln y x =也是单调递增，则12y y y =+在(0,)+∞内也是递增的．（2）1xy x -=-，(,1)x ∈-∞． 解：(1)111111x x y x x x ---===+---，当(,1)x ∈-∞时，函数11y x =-单调递增，则21111y y x ==-是单调递减的，故原函数1x y x-=-是单调递减的．8. 判定下列函数的奇偶性． （1）lg(y x =+；解：因为1()lg(lg(lg(()f x x x x f x --=-+=+=-+=-，所以lg(y x =+是奇函数．（2）0y =；解：因为()0()f x f x -==，所以0y =是偶函数． （3）22cos sin 1y x x x =++-； 解：因为2()2c o s s i n 1f x x x x -=+--，()()()()f x f x f x f x -≠-≠-且，所以22c o s s i n 1y x x x =++-既非奇函数，又非偶函数．（4）2xxa ay -+=.解：因为()()2xxaaf x f x -+==，所以函数2x xa ay -+=是偶函数．9．设()f x 是定义在[,]l l -上的任意函数，证明：（1）()()f x f x +-是偶函数，()()f x f x --是奇函数； （2）()f x 可表示成偶函数与奇函数之和的形式. 证明：（1）令()()(),()()()g x f x f x h x f x f x =+-=--，则()()()(),()()()()g x f x f x g x h x f x f x h x -=-+=-=--=-，所以()()f x f x +-是偶函数，()()f x f x --是奇函数．（2）任意函数()()()()()22f x f x f x f x f x +---=+，由（1）可知()()2f x f x +-是偶函数，()()2f x f x --是奇函数，所以命题得证．10．证明：函数在区间I 上有界的充分与必要条件是：函数在I 上既有上界又有下界. 证明：（必要性）若函数()f x 在区间I 上有界，则存在正数M ，使得x I ∈，都有()f x M ≤成立，显然()M f x M -≤≤，即证得函数()f x 在区间I 上既有上界又有下界（充分性）设函数()f x 在区间I 上既有上界2M ，又有下界1M ，即有12()()f x M f x M ≥≤且，取12max{,}M M M =，则有()f x M≤，即函数()f x 在区间I 上有界．11．下列函数是否是周期函数？对于周期函数指出其周期： （1）|sin |y x =；周期函数，周期为π． （2）1sin πy x =+； 周期函数，周期为2． （3）tan y x x =； 不是周期函数． （4）2cos y x =.周期函数，周期为π．12．求下列函数的反函数： （1）331xx y =-；解：依题意，31x y y =-，则3log 1y x y =-，所以反函数为13()log ,(,0)(1,)1xfx x x -=∈-∞⋃+∞-．（2）()ax b y ad bc cx d+=≠+；解：依题意，b dy x cy a-=-，则反函数1()()b dx f x ad bc cx a--=≠-．（3）(lg y x =+；解：依题意，1(1010)2yyx -=+，所以反函数11()(1010),2x xf x x R--=+∈．（4）ππ3cos 2,44y x x ⎛⎫=-≤≤⎪⎝⎭．解：依题意，arccos32y x =，所以反函数1arccos3(),[0,3]2xf x x -=∈．13．在下列各题中，求由所给函数构成的复合函数，并求这函数分别对应于给定自变量值1x 和2x 的函数值：（1）212e ,1,0,2u y u x x x ====＋；（2）2121,e 1,1,1,1v y u u v x x x =+=-=+==-． 解：（1）215()e ,(0),(2)xy f x f e f e+====（2）12()(e 1)1x y f x +==-+，42(0)22f e e =-+，(1)1f -=．14．在一圆柱形容器内倒进某种溶液，该容器的底半径为r ，高为H ．当倒进溶液后液面的高度为h 时，溶液的体积为V ．试把h 表示为V 的函数，并指出其定义区间．解：依题意有2πV r h =，则22,[0,π]πV h V r H r=∈．15．某城市的行政管理部门，在保证居民正常用水需要的前提下，为了节约用水，制定了如下收费方法：每户居民每月用水量不超过4.5吨时，水费按0.64元／吨计算．超过部分每吨以5倍价格收费．试建立每月用水费用与用水数量之间的函数关系．并计算用水量分别为3.5吨、4.5吨、5.5吨的用水费用．解：依题意有0.64,0 4.5() 4.50.64( 4.5) 3.2,4.5x x f x x x ≤≤⎧=⎨⨯+-⨯>⎩，所以(3.5) 2.24(4.5) 2.88(5.5) 6.08f f f ===元，元，元．习 题 1-21．设21(1,2,3,)31n n a n n +==+ ，（1） 求110100222||,||,||333a a a ---的值；（2） 求N ，使当n N >时，不等式42||103n a --<成立；（3） 求N ，使当n N >时，不等式2||3n a ε-<成立．解：(1) 12321||||,34312a -=-= 1022121||||,331393a -=-=100220121||||33013903a -=-=． （2） 要使 42||10,3n a --< 即 4113310<（n+1）， 则只要9997,9n >取N ＝99971110,9⎡⎤=⎢⎥⎣⎦故当n>1110时，不等式42||103n a --<成立．（3）要使2||3n a ε-<成立，13,9n εε->取139N εε-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，那么当n N >时， 2||3n a ε-< 成立.2．根据数列极限的定义证明：（1）1lim!n n →∞=； （2）lim1n n→∞=．解：（1）0ε∀>， 要使111|0|!!n n nε-<<＝， 只要取1N ε⎡⎤=⎢⎥⎣⎦， 所以，对任意0ε>，存在1N ε⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，当n N >时，总有1|0|!n ε-<，则1lim 0!n n →∞=.(2) 0ε∀>,要使22|12)nn ε-=<<, 即n >,只要取N =,所以,对任意的ε>0,存在N =, 当n N >, 总有1|nε<, 则lim1n n→∞=.3．若lim n n x a →∞=，证明lim ||||n n x a →∞=．并举例说明：如果数列}{||n x 有极限，但数列}{n x 未必有极限．证明: 因为lim n n x a →∞=, 所以0ε∀>, 1N ∃, 当1n N >时, 有||n x a ε-<.不妨假设a>0,由收敛数列的保号性可知:2N ∃, 当2n N >时, 有0n x >, 取{}12max ,N N N =, 则对ε∀>, N ∃, 当n N >时, 有||||||||n n x a x a ε-=-<.故lim ||||n n x a →∞=. 同理可证0a <时, lim ||||n n x a →∞=成立.反之,如果数列{}||n x 有极限, 但数列{}||n x 未必有极限.如：数列()1nn x =-, ||1n x =， 显然lim ||1n n x →∞=, 但lim n n x →∞不存在．4．设数列{}n x 有界，又lim 0n n y →∞=．证明：lim 0n n n x y →∞=．证明: 依题意,存在M>0, 对一切n 都有||n x M ≤， 又lim 0n n y →∞=, 对0ε∀>, 存在N ,当n N >时, |0|n y ε-<, 因为对上述N , 当n N >时, |0|||||n n n n n x y x y M y M ε-=≤<,由ε的任意性, 则lim 0n n n x y →∞=．5．设数列{}n x 的一般项(3)π2n n x +=，求lim n n x →∞．解: 因为limx →∞=, (3)π|cos|12n +≤, 所以 (3)πlim2x n →∞+=.6．对于数列{}n x ，若21()k x A k -→→∞，2()k x A k →→∞，证明：()n x A n →→∞． 证明: 由于21lim k k x A -→∞=, 所以, 0ε∀>, 10N ∃>, 当1>k N 时，有21||k x A ε--<, 同理,0ε∀>,20N ∃>, 当2k N >时, 有2||k x A ε-<．取N =max {}12,N N , 0ε∀>, 当n N >时,||n x A ε-<成立, 故()n x A n →→∞．习 题 1-31．当1x →时，234y x =+→．问δ等于多少，使当|1|x δ-<时，|4|0.01y -<？ 解：令 1|1|2x -<，则35|1|22x <+<，要使225|4||34||1||1||1||1|0.012y x x x x x -=+-=-=-+<-<，只要|1|0.004x -<，所以取0.004δ=，使当 |1|x δ-< 时，|4|0.01y -<成立．2．当x →∞时，222123x y x +=→-．问X 等于多少，使当||x X >时，|2|0.001y -<？解：要使222217|2||2|3|3|x y x x +-=-=--<0.001, 只要2|3|7000x ->, 即237000x ->. 因此,只要||x >,所以取X ≥．3．根据函数极限的定义证明：（1）3lim (21)5x x →-=； （2）35lim31x x x →∞+=-；（3）224lim42x x x →--=-+； （4）limx →=.证明:(1) 由于|(21)5|2|x x --=-, 任给0ε>,要使|(21)5|x ε--<,只要|3|2x ε-<．因此取2εδ=,则当0|3|x δ<-<时, 总有|(21)5|x ε--<,故3lim (21)5x x →-=．(2) 由于358|3|1|1|x x x +-=--,任给0ε>, 要使35|3|1x x ε+-<-,只要8|1|x ε<-,即81x ε>+或81x ε<-, 因为0ε>,所以88|1||1|εε+>-, 取8|1|M ε=+，则当||x M >时, 对ε∀>,总有35|3|1x x ε+-<-,故有35lim31x x x →∞+=-．(3)由于24|(4)||2|2x x x ---=++,任给0ε>,,要使24|(4)|2x x ε---<+,只要|2|x ε+<,因此取δε=,则当0|(2)|x δ<--<时,总有24|(4)|2x x ε---<+,故224lim42x x x →--=-+. (4) 由于|0|=<,任给0ε>,要使|0|ε-<,ε<,即21x ε>,因此取21M ε=,则当x>M 时,总有|0|ε<,故limx →+∞=.4．用X ε-或εδ-语言，写出下列各函数极限的定义：（1）lim ()1x f x →-∞=； （2）lim ()x f x a →∞=；（3）lim ()x af x b +→=； （4）3lim ()8x f x -→=-．解: (1) 0,ε∀> 0M ∃>, 当x<-M 时, 总有|()1|f x ε-<;(2) 0,ε∀> 0M ∃>, 当||x M >, 总有|()|f x a ε-<;(3) 0,ε∀> 0δ∃>, 当a x a δ<<+时, 总有|()|f x b ε-<; (4) 0,ε∀> 0δ∃> 当33x δ-<<时, 总有|()8|f x ε+<． 5．证明:0lim ||0x x →=.证明: 由于0lim ||lim 0x x x x ++→→==, 0lim ||lim ()0x x x x --→→=-=,所以0lim ||0x x →=.6．证明：若x →+∞及x →-∞时，函数()f x 的极限都存在且都等于A ，则l i m()x f x A→∞=．证明: 由于l i m ()x f x A →+∞=,则对0ε∀>,10M ∃>,当1x M >时,有|()|f x A ε-<．又lim ()x f x A →-∞=,则20M ∃>,当2x M <-,有|()|f x A ε-<.取{}12max ,M M M =那么对0ε∀>,当||x M >时,总有|()|f x A ε-<,故有lim ()x f x A →∞=.习 题 1-41．根据定义证明：（1）211x y x -=+为当1x →时的无穷小；（2）1sin y x x=为当x →∞时的无穷小； （3）13x y x+=为当0x →时的无穷大．证明:(1) 0ε∀>,因为21|0||1|1x x x --=-+,取δε=,则当0|1|x δ<-<时, 总有0x ≠,故211lim01x x x →-=+．(2) 0ε∀>,因为111|sin 0||sin |||||x x xx x -=≤,取1M ε=, 则当||x M >时, 总有1|sin |1|sin 0|||||x x xx x ε-=≤<, 故1limsin 0x x x→∞=.(3) 0M ∀>, 13M δ∃=+,当0||x δ<<时,总有1311|||3|3||x Mxxx +=+>->,所以13limx x x→+=∞.2．函数sin y x x =在(0,)+∞内是否有界？该函数是否为x →+∞时的无穷大？ 解答: 取2πn x n =,则0n y =,因此当2πn x n =()n →∞时, ()0n n y x →→+∞故函数 sin y x x = 当x →+∞时,不是无穷大量．下证该函数在()0,+∞内是无界的. 0M ∀>,π2π2n x n ∃=+且()n x n →+∞→∞,πππ2πsin 2π2π222n y n n n ⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，取[]01N M =+, 00π2π(0,)2x N ∃=+∈+∞,有0π2π2n y N M=+≥，所以sin y x x =是无界的.3．证明：函数11cosy xx=在区间(0,1]上无界，但这函数不是0x +→时的无穷大．证明: 令1tx =,类似第2题可得．习 题 1-51．求下列极限： （1）23231lim41n n n n n →∞+++-；（2）111lim 1223(1)n n n →∞⎡⎤+++⎢⎥⋅⋅+⎣⎦ ；（3）22212lim n n nn n →∞⎛⎫+++ ⎪⎝⎭ ；（4）1132lim 32nn n n n ++→∞+-； （5）2211lim54x x x x →--+；（6）3221lim53x x x x →+-+；（7）lim x →+∞；（8）2221lim53x x x x →∞+++； （9）33()limh x h xh→+-；（10）22131lim41x x x x →+-+；（11）3131lim 11x x x →⎛⎫- ⎪--⎝⎭； （12）23lim 531x x x x x →∞+-+；（13）1limx →（14）3lim 21x xx →∞+；（15）3lim (236)x x x →∞-+；（16）323327lim3x x x x x →+++-．解:(1) 23231lim41n n n n n →∞+++- = 233311lim 0411n nn n nn→∞++=+-．(2) 111lim 1223(1)n n n →∞⎡⎤+++⎢⎥⋅⋅+⎣⎦ = 111111lim ()()()12231n n n →∞⎡⎤-+-++-⎢⎥+⎣⎦= 1lim(1)11n n →∞-=+．(3)22212lim n n nn n →∞⎛⎫+++ ⎪⎝⎭ =21(1)12lim 2n n n n→∞+=．(4) 1132lim32n n n n n ++→∞+-=21()13lim2332()3nn n →∞+=-⋅．(5) 2211lim54x x x x →--+=1(1)(1)lim (1)(4)x x x x x →-+--=112lim43x x x →+=--．(6) 3221lim 53x x x x →+-+=322132523+=--⨯+．(7) limx →+∞=limx→+=lim x→111lim 2x →+∞-=．(8) 2221lim53x x x x →∞+++=2212lim2531x x xx→∞+=++．(9) 33()lim h x h xh→+-=32233(33)limh x x h xh h xh→+++-=3220lim (33)3h x xh h x →++=．(10) 3131lim 11x x x →⎛⎫- ⎪--⎝⎭=2313(1)lim 1x x x x →⎛⎫-++ ⎪-⎝⎭=21(1)(2)lim (1)(1)x x x x x x →-+-++ =212lim11x x x x→+=++．(11) 23lim531x x x x x →∞+-+=22311lim0315x x xxx→∞+=-+．(12) 1limx →=1limx →=1lim x →．(13) 3lim21x xx →∞+=2lim12x xx→∞=+∞+．(14) 3lim (236)x x x →∞-+=32336lim (2)x x xx→∞-+=∞．(15) 323327lim 3x x x x x →+++-=32331lim (327)lim3x x x x x x →→+++⨯=∞-．2．设,0,()2,0.x e x f x x a x ⎧<=⎨+≥⎩ 问当a 为何值时，极限0lim ()x f x →存在．解：因为0lim ()lim 1,lim ()lim (2)x x x x x f x e f x x a a --++→→→→===+=，所以，当0lim ()lim ()x x f x f x -+→→=，即1a =时，0lim ()x f x →存在．3．求当x 1→时，函数12111x x ex ---的极限．解：因为11211111limlim (1)0,1x x x x x e x ex ----→→-=+=-11211111lim lim (1),1x x x x x ex ex ++--→→-=+=+∞-所以12111lim 1x x x ex -→--不存在。

第一章 函数与极限一、基本要求及重点、难点1. 基本要求(1) 在中学已有函数知识的基础上，加深对函数概念的理解和函数性质（奇偶性、单调性、周期性和有界性）的了解。

(2) 理解复合函数的概念，了解反函数的概念。

(3) 会建立简单实际问题中的函数关系式。

(4) 理解极限的概念，了解极限的,N εεδ--定义（不要求做给出ε求N 或δ的习题）。

(5) 掌握极限的有理运算法则，会用变量代换求某些简单复合函数的极限。

(6) 了解极限的性质（唯一性、有界性、保号性）和两个存在准则（夹逼准则与单调有界准则），会用两个重要极限求极限。

(7) 了解无穷小、无穷大、高阶无穷小和等价无穷小的概念，会用等价无穷小求极限。

(8) 理解函数在一点连续和在一区间上连续的概念。

(9) 了解函数间断点的概念，会判别间断点的类型。

(10) 了解初等函数的连续性和闭区间上连续函数的介值定理与最大值、最小值定理。

2. 重点及难点（1）重点：极限与连续的概念，计算极限的方法，判断间断点类型的方法。

（2）难点：极限概念的建立，对δεε--,N 定义的理解。

二、内容概述1. 函数的定义：设数集R D ⊂，则称映射R D f →:为定义在D 上的函数，通常简记为D x x f y ∈=),(。

2. 基本初等函数的定义：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数统称为基本初等函数。

3. 初等函数的定义：指由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的复合并可用一个式子表示的函数。

4. 分段函数的定义：在定义域不同的区间内用不同的解析式表示的函数。

（注：分段函数表示的是一个函数，不能认为是几个函数；一般地分段函数不是初等函数。

） 5. 数列极限的定义：设{}n x 为一数列，如果存在常数a ，对于任意给定的正数ε（不论它多么小），总存在正整数N ，使得当N n >时，不等式ε<-a x n 都成立，那么就称常数a 是数列{}n x 的极限，或者称数列{}n x 收敛于a ，记为a x n n =∞→lim 。

第一章 函数与极限§1-1 函数与极限一、 函数1.函数的定义设x ，y 是两个变量，D 是给定的一个集合，若对于D 中的每一个x 值，由某一法则f ，变量y 都有唯一确定的值与之对应，则称变量y 是变量x 的函数，记为(),yf x x D ，其中x 称为自变量，y 称为因变量，x 的取值围D 称为定义域，y 的取值围称为值域。

2.定义域数轴上使函数有意义的一切点的集合。

实际问题中要求根据实际意义具体确定。

3.定义域的求法原则 （1）分母不为零 （2）0≥x x ， （3）ln ,0x x >（4）arcsin ,arccos ,11x x x -≤≤（5）同时含有上述四项时，要求使各部分都成立的交集 例1：求211yx 的定义域解：210x定义域为(,1)(1,)例2：求24ln 1yx x 的定义域 解：042≥-x 且10x22≤≤-x 且1x定义域为(1,2)4.函数的表示法 （1）表格法将自变量的值与对应因变量的值列成表的方法。

（2）图像法在坐标系中用图像来表示函数关系的方法。

（3）解析式法将自变量和因变量之间的关系用数学公式表示的方法。

解析式分为三类：（a ）显函数函数y 由x 的解析式直接表示出来，如()y f x（b ）隐函数函数自变量x 和因变量y 由(,)0F x y 确定，如sin 0xy y（c ）分段函数函数在其定义域不同围有不同表达式如符号函数10sgn 0010x yxxx或0()0x x f xxx x 二、反函数1.定义设函数的定义域为f D ，值域为f V 。

对于任意的f V y ∈，在f D 上至少可以确定一个x 与y 对应，且满足()x f y =。

如果把y 看作自变量，x 看作因变量，就可以得到一个新的函数：()y f x 1-=。

我们称这个新的函数()y f x 1-=为函数()x f y =的反函数，而把函数()x f y =称为直接函数。

第一章函数与极限教学目的：1、理解函数的概念，掌握函数的表示方法，并会建立简单应用问题中的函数关系式。

2、了解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。

3、理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念。

4、掌握基本初等函数的性质及其图形。

5、理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念，以及极限存在与左、右极限之间的关系。

6、掌握极限的性质及四则运算法则。

7、了解极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法。

8、理解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限。

9、理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型。

10、了解连续函数的性质和初等函数的连续性，了解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质。

教学重点：1、复合函数及分段函数的概念；2、基本初等函数的性质及其图形；3、极限的概念极限的性质及四则运算法则；4、两个重要极限；5、无穷小及无穷小的比较；6、函数连续性及初等函数的连续性；7、区间上连续函数的性质。

教学难点：1、分段函数的建立与性质；2、左极限与右极限概念及应用；3、极限存在的两个准则的应用；4、间断点及其分类；5、闭区间上连续函数性质的应用。

教学方法：翻转课堂分享式教学知识框图§1. 1 映射与函数（2课时）一、映射1. 映射的概念定义 设X 、Y 是两个非空集合, 如果存在一个法则f , 使得对X 中每个元素x , 按法则f , 在Y 中有唯一确定的元素y 与之对应, 则称f 为从X 到Y 的映射, 记作 f : X →Y ,其中y 称为元素x (在映射f 下)的像, 并记作f (x ), 即y =f (x ),而元素x 称为元素y (在映射f 下)的一个原像; 集合X 称为映射f 的定义域, 记作D f , 即 D f =X ;X 中所有元素的像所组成的集合称为映射f 的值域, 记为R f , 或f (X ), 即R f =f (X )={f (x )|x ∈X }.需要注意的问题:(1)构成一个映射必须具备以下三个要素: 集合X , 即定义域D f =X ; 集合Y , 即值域的范围: R f ⊂Y ; 对应法则f , 使对每个x ∈X , 有唯一确定的y =f (x )与之对应.(2)对每个x ∈X , 元素x 的像y 是唯一的; 而对每个y ∈R f , 元素y 的原像不一定是唯一的; 映射f 的值域R f 是Y 的一个子集, 即R f ⊂Y , 不一定R f =Y .例1设f : R →R , 对每个x ∈R , f (x )=x 2.显然, f 是一个映射, f 的定义域D f =R , 值域R f ={y |y ≥0}, 它是R 的一个真子集. 对于R f 中的元素y , 除y =0外, 它的原像不是唯一的. 如y =4的原像就有x =2和x =-2两个.例2设X ={(x , y )|x 2+y 2=1}, Y ={(x , 0)||x |≤1}, f : X →Y , 对每个(x , y )∈X , 有唯一确定的(x , 0)∈Y 与之对应.显然f 是一个映射, f 的定义域D f =X , 值域R f =Y . 在几何上, 这个映射表示将平面上一个圆心在原点的单位圆周上的点投影到x 轴的区间[-1, 1]上.(3) f :]2 ,2[ππ-→[-1, 1], 对每个x ∈]2 ,2[ππ-, f (x )=sin x . f 是一个映射, 定义域D f =]2 ,2[ππ-, 值域R f =[-1, 1]. 满射、单射和双射:设f 是从集合X 到集合Y 的映射, 若R f =Y , 即Y 中任一元素y 都是X 中某元素的像, 则称f 为X 到Y 上的映射或满射; 若对X 中任意两个不同元素x 1≠x 2, 它们的像f (x 1)≠f (x 2), 则称f 为X 到Y 的单射; 若映射f 既是单射, 又是满射, 则称f 为一一映射(或双射).上述三例各是什么映射？2. 逆映射与复合映射设f 是X 到Y 的单射, 则由定义, 对每个y ∈R f , 有唯一的x ∈X , 适合f (x )=y , 于是, 我们可定义一个从R f 到X 的新映射g , 即g : R f →X ,对每个y ∈R f , 规定g (y )=x , 这x 满足f (x )=y . 这个映射g 称为f 的逆映射, 记作f -1, 其定义域1-f D =R f , 值域1-f R =X .按上述定义, 只有单射才存在逆映射. 上述三例中哪个映射存在逆映射？ 设有两个映射g : X →Y 1, f : Y 2→Z ,其中Y 1⊂Y 2. 则由映射g 和f 可以定出一个从X 到Z 的对应法则, 它将每个x ∈X 映射成f [g (x )]∈Z . 显然, 这个对应法则确定了一个从X 到Z 的映射, 这个映射称为映射g 和f 构成的复合映射, 记作f o g , 即f og : X →Z ,(f o g )(x )=f [g (x )], x ∈X .应注意的问题:映射g 和f 构成复合映射的条件是: g 的值域R g 必须包含在f 的定义域内, R g ⊂D f . 否则, 不能构成复合映射. 由此可以知道, 映射g 和f 的复合是有顺序的, f o g 有意义并不表示g o f 也有意义. 即使f o g 与g o f 都有意义, 复映射f o g 与g o f 也未必相同.例4 设有映射g : R →[-1, 1], 对每个x ∈R , g (x )=sin x ,映射f : [-1, 1]→[0, 1], 对每个u ∈[-1, 1], 21)(u u f -=.则映射g 和f 构成复映射f o g : R →[0, 1], 对每个x ∈R , 有|c o s |s i n 1)(s i n )]([))((2x x x f x g f x g f =-=== .二、函数1. 函数概念定义 设数集D ⊂R , 则称映射f : D →R 为定义在D 上的函数, 通常简记为 y =f (x ), x ∈D ,其中x 称为自变量, y 称为因变量, D 称为定义域, 记作D f , 即D f =D .应注意的问题:记号f 和f (x )的含义是有区别的, 前者表示自变量x 和因变量y 之间的对应法则, 而后者表示与自变量x 对应的函数值. 但为了叙述方便, 习惯上常用记号“f (x ), x ∈D ”或“y =f (x ), x ∈D ”来表示定义在D 上的函数, 这时应理解为由它所确定的函数f . 函数符号: 函数y =f (x )中表示对应关系的记号f 也可改用其它字母, 例如“F ”, “ϕ”等. 此时函数就记作y =ϕ (x ), y =F (x ).函数的两要素:函数是从实数集到实数集的映射, 其值域总在R 内, 因此构成函数的要素是定义域D f 及对应法则f . 如果两个函数的定义域相同, 对应法则也相同, 那么这两个函数就是相同的, 否则就是不同的.函数的定义域:函数的定义域通常按以下两种情形来确定: 一种是对有实际背景的函数, 根据实际背景中变量的实际意义确定.求定义域举例:求函数412--=x xy 的定义域.要使函数有意义, 必须x ≠0, 且x 2 - 4≥0.解不等式得| x |≥2.所以函数的定义域为D ={x | | x |≥2}, 或D =(-∞, 2]⋃[2, +∞]).单值函数与多值函数:在函数的定义中，对每个x ∈D , 对应的函数值y 总是唯一的, 这样定义的函数称为单值函数. 如果给定一个对应法则, 按这个法则, 对每个x ∈D , 总有确定的y 值与之对应, 但这个y 不总是唯一的, 我们称这种法则确定了一个多值函数. 例如, 设变量x 和y 之间的对应法则由方程x 2+y 2=r 2 给出. 显然, 对每个x ∈[-r , r ]，由方程x 2+y 2=r 2,可确定出对应的y 值, 当x =r 或x =-r 时, 对应y =0一个值; 当x 取(-r , r )内任一个值时, 对应的y 有两个值. 所以这方程确定了一个多值函数.对于多值函数, 往往只要附加一些条件, 就可以将它化为单值函数, 这样得到的单值函数称为多值函数的单值分支. 例如, 在由方程x 2+y 2=r 2给出的对应法则中, 附加“y ≥0”的条件, 即以“x 2+y 2=r 2且y ≥0”作为对应法则, 就可得到一个单值分支221)(x r x y y -==; 附加“y ≤0”的条件, 即以“x 2+y 2=r 2且y ≤0”作为对应法则, 就可得到另一个单值分支222)(x r x y y --==.表示函数的主要方法有三种: 表格法、图形法、解析法(公式法), 这在中学里大家已经熟悉. 其中, 用图形法表示函数是基于函数图形的概念, 即坐标平面上的点集 {P (x , y )|y =f (x ), x ∈D }称为函数y =f (x ), x ∈D 的图形. 图中的R f 表示函数y =f (x )的值域.函数的例子:例. 函数⎩⎨⎧<-≥==00 ||x x x x x y . 称为绝对值函数. 其定义域为D =(-∞, +∞), 值域为R f =[0, +∞).例. 函数⎪⎩⎪⎨⎧<-=>==01000 1sgn x x x x y .称为符号函数. 其定义域为D =(-∞, +∞), 值域为R f ={-1, 0, 1}.例 设x 为任上实数. 不超过x 的最大整数称为x 的整数部分, 记作[ x ].函数y = [ x ]称为取整函数. 其定义域为D =(-∞, +∞), 值域为R f =Z .0]75[=, 1]2[=, [π]=3, [-1]=-1, [-3. 5]=-4.分段函数:在自变量的不同变化范围中, 对应法则用不同式子来表示的函数称为分段函数.例。

高中数学必修一函数与极限课件第一章函数及其表示1.1 函数的概念函数是自变量和因变量之间的关系，通常用符号f(x)表示。

1.2 函数的图像函数的图像是自变量和因变量的对应关系在坐标系中的表示，可以通过绘制函数的图像来研究函数的性质。

1.3 函数的性质函数的性质包括定义域、值域、单调性、奇偶性等，通过研究这些性质可以更好地理解函数的特点。

1.4 函数的分类常见的函数包括一次函数、二次函数、指数函数、对数函数等，每种函数都有其特殊的性质和图像。

第二章极限的概念2.1 函数的极限函数在某一点的极限表示函数在该点附近的取值趋近于某个确定的值，可以用数列的极限来形象地理解函数的极限。

2.2 极限的性质极限具有唯一性、有界性、保序性等性质，这些性质有助于我们研究函数在不同点的极限。

2.3 无穷大与无穷小无穷大和无穷小是对函数趋于无穷时的极限进行定义，并通过符号∞和0来表示。

2.4 极限的运算法则极限的运算法则包括四则运算法则、复合函数的极限法则等，可以方便地计算复杂函数的极限。

第三章连续与间断3.1 函数的连续性函数在某一点连续表示函数在该点的函数值等于极限值，通过研究函数的连续性可以得到函数图像的一些特征。

3.2 连续函数的性质连续函数具有介值定理、零点定理、最值定理等性质，这些性质可以帮助我们更好地理解连续函数的特点。

3.3 链式法则和分段函数链式法则是求复合函数的导数的一种方法，分段函数是由不同部分组成的函数，其连续性要通过各部分的连续性来判断。

第四章导数与其应用4.1 导数的概念导数表示函数在某一点的变化率，可以通过极限来定义导数，并用符号f'(x)表示。

4.2 导数的计算常见的导函数包括常数函数的导数、幂函数的导数、指数函数的导数、对数函数的导数等，可以通过求导公式来计算它们的导数。

4.3 导数的应用导数的应用包括函数的增减性、极值点、拐点、图像的凹凸性等，通过导数的应用可以更好地理解函数的特征和变化规律。