一元函数极限的概念

一元函数极限的求法一元函数的极限就是在函数定义域内某一点处接近这个点时，函数取值的趋势。

在数学分析中，极限是一个十分重要的概念，它用于定义连续性、收敛与发散、导数和积分等重要概念。

对于一元函数的极限的求法，我们可以通过直接代入法、极限的四则运算法则、夹挤定理以及极限的极限转换法等多种方法进行求解。

1. 直接代入法直接代入法是最基础的求解一元函数极限的方法，即将自变量的值逐渐逼近极点，观察函数在这个点附近的取值趋势，将自变量的取值代入函数中，求函数在该点的取值。

例如：求函数$f(x)=\dfrac{x-1}{x+3}$在$x=2$处的极限。

解：将$x=2$代入得$f(2)=\dfrac{1}{5}$，因此，$x=2$时$f(x)$的极限为$\dfrac{1}{5}$。

2. 极限的四则运算法则此法则是求解一元函数极限中的基本规则。

对于两个已知极限的函数进行加减、乘除运算时，可以直接套用极限的四则运算法则。

例如：求函数$f(x)=\dfrac{sinx}{x}$在$x=0$处的极限。

解：$lim_{x \to 0}\dfrac{sinx}{x}=lim_{x \to0}\dfrac{sinx}{x}\cdot\dfrac{1}{cosx}=lim_{x \to 0}\dfrac{sinx}{x}\cdot lim_{x \to 0}\dfrac{1}{cosx}=1$，因此，$x=0$时$f(x)$的极限为$1$。

3. 夹挤定理当我们需要求一个函数在某一点处的极限值时，有时我们并不知道函数在该点处是否存在极限，因此我们引入夹挤定理，即用两个已知的存在极限的函数挤压住需要求的函数，从而求出该函数的极限值。

例如：求函数$f(x)=x^2sin\dfrac{1}{x}$在$x=0$处的极限。

解：$\lim_{x \to 0}(-x^2) \leq \lim_{x \to 0} x^2sin\dfrac{1}{x} \leq \lim_{x \to 0} x^2$。

在数学分析中，一元函数的极限是一个核心概念。

它帮助我们理解函数在某一点附近的行为，并且是数学证明的基础。

与极限概念密切相关的是无穷小量。

本文将通过讨论一元函数的极限与无穷小量的概念与性质，来探索数学分析中这一重要主题。

首先，让我们来定义一元函数的极限。

设函数f(x)定义在某一点a的某个领域内，如果对于任意给定的正数ε，存在一个正数δ，使得当0 < |x - a| < δ时，有|f(x) - L| < ε成立，那么称函数f(x)在点a处的极限为L。

这个定义可以直观地解释为，当自变量x足够接近点a时，函数值f(x)也足够接近L。

我们用“lim(x→a)f(x) = L”表示函数f(x)在点a处的极限。

极限的性质是数学分析中的重要内容。

首先，函数在某一点的极限唯一，也就是说，如果lim(x→a)f(x)存在，则它是唯一确定的。

其次，函数在点a处的极限与f(a)的取值无关。

也就是说，lim(x→a)f(x)的取值只与f(x)在点a附近的值有关，与f(a)本身无关。

这个性质使得我们能够通过研究极限来理解函数的行为。

最后，如果lim(x→a)f(x) = L，那么对于函数f(x)的所有无穷小量x-a而言，它们的函数值f(x)也是无穷小量，且lim(x→a)f(x) = L。

接下来，我们来讨论无穷小量的概念。

如果函数f(x)在点a处的极限为0，那么称函数f(x)在点a处为无穷小量。

无穷小量在数学分析中有着重要的作用。

首先，我们可以通过无穷小量来定义导数。

具体地说，如果函数f(x)在点a处的极限为0，那么函数f(x)在点a处的导数为lim(x→a)(f(x)-f(a))/(x-a)。

其次，无穷小量具有线性性质，也就是说，如果函数f(x)和g(x)在点a处都是无穷小量，那么它们的线性组合af(x) + bg(x)在点a处也是无穷小量。

这个性质为我们在分析问题时提供了便利。

从极限与无穷小量的概念与性质出发，我们可以进一步研究函数的连续性、可导性以及其它更高级的数学概念。

一元函数中的极限与连续性在学习高中数学的时候，我们曾经学过一元函数的极限和连续性。

这两个概念对于后续的学习和应用有着至关重要的作用。

在这篇文章中，我们就来深入探讨一元函数中的极限与连续性。

一、极限的定义首先我们来了解一下什么是“极限”。

在数学中，极限是一个无限逼近的过程。

通过逼近，可以得到一个数或者一个函数的极限值。

当自变量趋近于某一特定值时，函数的取值也将趋近于一个特定的值。

这个特定的值就是“极限”。

二、极限的性质接下来我们来看一下一元函数的极限有哪些性质。

1. 极限的唯一性在一元函数中，一个函数只能有一个极限。

如果存在两个不同的极限，那么这个函数在这个点就不存在极限。

2. 极限的局部有界性如果函数在一个点存在极限，那么这个点的邻域内函数的取值是有界的。

3. 夹逼定理夹逼定理是一元函数的极限中比较重要的一个定理。

如果函数f(x)在点x0的左侧存在一个函数g(x)，在点x0的右侧存在一个函数h(x)，并且g(x) <= f(x) <= h(x)，那么当x趋近于x0时，g(x)和h(x)的极限值都是L，那么f(x)在x0处的极限也是L。

4. 无穷小与无穷大当x趋近于无穷大或者无穷小的时候，函数f(x)的值可能趋近于0或者正无穷或者负无穷。

这些数被称为无穷小或者无穷大。

如果一个函数在x趋近于某一点时的极限是一个无穷大或者无穷小，那么这个点就被称为函数的瑕点。

三、连续性的定义接下来我们来了解一下一元函数的连续性。

在数学中，函数在某个点处连续，就是指这个点的极限存在并且等于函数在这个点的取值。

四、连续性的性质现在我们来了解一下一元函数的连续性有哪些性质。

1. 极限的连续性如果一个函数在某个点处连续，那么这个点的极限也一定存在。

反之，如果一个点的极限存在，那么这个点不一定连续。

2. 介值定理介值定理是连续性中的一个重要定理。

如果f(x)在[a,b]上连续，且f(a)和f(b)的符号不同，那么在(a,b)上一定存在一点c，使得f(c)=0。

一元函数极限与连续,可导的定义归纳一、 函数在x 趋近于0x 时，单侧极限的定义：设函数()y f x =在点0x 的某个左邻域00(,)x x ρ-有定义(0)ρ>。

如果存在实数B ，对于任意给定的0ε>，可以找到一个δ(0)δρ<<，使得当00x x δ-<-<时，成立()f x B ε-<则称B 是函数()y f x =在点0x 处的左极限，记为0lim ()()x x f x f x B --→==. 类似地，如果函数()y f x =在点0x 的某个右邻域00(,)x x ρ+有定义(0)ρ>.并且存在实数C ，对于任意给定的对于任意给定的0ε>，可以找到一个δ(0)δρ<<，使得当00x x δ<-<时，成立()f x C ε-<则称C 是函数()y f x =在点0x 处的右极限，记为0lim ()()x x f x f x C ++→==.二、 函数在x 趋近于0x 时的极限的定义：设函数()y f x =在点0x 的某个去心邻域有定义，即存在0ρ>使00(,)\{}f U x x D ρ⊂.如果存在实数A ，对于任意的0ε>,可以找到一个δ(0)δρ<<,使得当00x x δ<-<时，成立()f x A ε-<则称A 是函数()y f x =在点0x 处的极限，记为lim ()x x f x A →=.或()f x A → 0()x x →注：在x 趋近于0x 时函数极限：0lim ()x x f x A →=的定义中，函数必须要满足自变量x 不管是从左边还是从右边趋近于0x ，函数值y 最后都趋近于A ，也就是当lim ()lim ()x x x x f x f x A -+→→==，才有 0lim ()x x f x A →=用文字来表述：左极限与右极限同时存在并相等（等于A ），才能说函数存在极限，并且极限为A .我们把这个结论说得强一点：左右极限同时存在并相等是函数在x 趋近于0x 时有极限的充分必要条件。

高等数学极限知识点讲解在数学的学习过程中，极限是一项非常重要且基础的概念。

它是研究函数和数列的性质时经常用到的一个数学工具。

本文将对高等数学中的极限知识点进行系统的讲解，帮助读者更好地理解和掌握这一部分内容。

极限的概念在数学中，极限是研究函数在某一点附近的性质时的重要概念。

简而言之，当自变量趋于某一值时，函数的取值趋于一个确定的值或者无穷大，这个值就是极限。

通常用符号$\\lim$表示，表示当自变量趋于某一点时，函数的极限值。

一元函数的极限对于一元函数f(f)而言，其在f=f处的极限定义如下：$$ \\lim_ {x \\to a} f(x) = L $$其中f是一个常数，表示当f接近f时，f(f)的值趋近于f。

极限的性质重要性质1.极限的唯一性：函数在某一点的极限值唯一。

2.有界性：如果函数在某一点有极限，那么该函数在该点附近是有界的。

3.保号性：如果函数在某一点的左右极限值不相等，那么函数在该点不连续。

极限的运算1.一元函数极限的四则运算法则：两个可导函数的极限和、差、积、商的性质。

2.复合函数的极限：复合函数的极限等于内层函数的极限乘以外层函数的极限。

极限存在的条件极限存在的条件包括分式函数在极限点处不为零、边界点无穷远点等情况。

极限的计算方法无穷小与无穷大的比较当f趋于无穷大时，无穷小量与无穷大量的比较的方法。

夹逼准则夹逼准则是求解一些复杂极限的有效方法，通过找到比所求函数更简单的两个函数界，求出极限。

单调有界准则单调有界准则是判断函数是否有极限的一种方法，如果函数单调有界，那么函数一定有极限。

结语通过本文的讲解，读者应该对高等数学中极限的一些重要知识点有所理解。

极限是数学中的基础概念，对于理解函数的性质和数列的收敛性都有重要的意义。

希望读者能够认真学习并掌握这些知识，为后续的学习打下坚实的基础。

一元函数基本性质及它们的应用一元函数是指只有一个自变量的函数，即函数的定义域只包含一个实数集。

在数学中，一元函数是研究最为广泛和重要的一类函数之一。

本文将从一元函数的基本性质及其在实际应用中的应用方面进行探讨。

一元函数的基本性质主要包括函数的定义域、值域、增减性、奇偶性、周期性、极限等。

首先，函数的定义域是指自变量的取值范围，用于确定函数的合法输入。

其次，函数的值域是指函数所有可能的输出值的范围，用于确定函数的输出范围。

增减性描述了函数随自变量增大或减小时的趋势，可以通过导数或微分来进行判断。

奇偶性指的是函数图像关于y轴对称或点对称的性质，可以通过函数的定义式进行判断。

周期性表示函数在某个区间内呈现出循环的特征，可以通过函数的定义式进行判断。

极限是函数在某一点无限接近于某个确定的值。

一元函数的应用非常广泛，涉及到生活、工程、科学等众多领域。

其中，最为常见的应用包括函数在物理学中的运动学、力学和电磁学中的应用、以及在经济学中的供求关系、生产函数等方面的应用。

在运动学中，一元函数可以用来描述物体的位移、速度和加速度等与时间相关的物理量。

例如，位移函数可以描述物体在某一时刻的位置，速度函数可以描述物体在某一时刻的速度，加速度函数可以描述物体在某一时刻的加速度。

这些函数的应用可以帮助我们描述和分析物体在空间中的运动规律，从而推导出一些重要的物理关系。

在力学和电磁学中，一元函数可以用来描述物体受到的力和电场的分布情况。

例如，牛顿第二定律描述了物体的加速度与受力之间的关系，可以通过一元函数来建立受力和加速度之间的关系。

另外，在电磁场中，一元函数也可以用来描述电场的分布和电势的变化。

在经济学中，一元函数可以用来描述供求关系和生产函数等经济现象。

供求关系描述了商品和服务的供给与需求之间的关系，可以通过一元函数来定量分析市场供求平衡的变化。

生产函数描述了产出与投入之间的关系，可以通过一元函数来优化生产过程，提高经济效益。

一元函数、极限、连续及导数知识点的总结一元函数
一元函数是一个只带有一个自变量的函数，只有一个输入参数，只允许有一个输出。

一般说来，函数f(x)叫做一元函数，其中x叫做函数的自变量，f（x）叫做函数的值。

一元函数的幂函数及其幂函数的导数常常被广泛使用，幂函数指的是函数 y=x^n（n
为实数）。

极限
极限是一种在数学中定义函数值的相对接近程度的概念。

极限可以描述函数当自变量
接近某一个值时，函数的值的趋势。

极限一般为存在极限、不存在极限、无穷极限等三种，不同的极限有不同的特征。

连续
连续是数学上定义函数和曲线的特性之一，它描述的是函数以某种方式连续改变，这
样输入变量可以有任意值。

若把实数轴上的点分割成了若干个，那么上述曲线就是连续的。

导数
导数是指某函数的变化速率，是指衡量函数值在不同点的变化情况，即求函数在某点
的切线斜率。

导数的求法有定义式求导方法和泰勒公式的方法，定义式求导方法是根据导
数的定义来求导，而泰勒公式是使用泰勒展开式来求导。

一元函数极限的聚点定义【实用版】目录一、什么是一元函数二、一元函数极限的聚点定义三、一元函数极限的聚点性质四、举例说明正文一、什么是一元函数一元函数是微积分中的一个基本概念，它是一种将一个自变量映射到一个因变量的函数。

在初等数学中，我们常见的一元函数有幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等。

在微积分中，一元函数可以表示为 y = f(x)，其中 x 是自变量，y 是因变量。

二、一元函数极限的聚点定义在数学中，极限是指一个函数在某一点附近的行为。

一元函数的极限聚点定义是指，当自变量 x 趋近于某一点 a 时，函数 y = f(x) 的值趋近于某个常数 L。

用数学符号表示就是：lim(x->a) [f(x)] = L其中，lim 表示极限，x->a 表示 x 趋近于 a，f(x) 表示函数在点x 的取值，L 表示函数在点 a 的极限值。

三、一元函数极限的聚点性质一元函数极限的聚点具有以下性质：1.唯一性：每个自变量 x 的极限只有一个，即对于同一个自变量 x，无论它趋近于哪个点，极限都是唯一的。

2.连续性：如果一元函数在某一区间内具有连续性，那么它在这个区间内的任何一点都存在极限。

3.有界性：如果一元函数在某一区间内有界，那么它的极限也存在。

4.保号性：如果一元函数在某一区间内符号不变，那么它的极限也具有相同的符号。

四、举例说明假设我们有一个一元函数 y = 1/x，当x趋近于0时，函数的值趋近于无穷大。

因此，这个函数在x=0处没有极限。

再假设我们有一个一元函数 y = sin(1/x)，当 x 趋近于 0 时，函数的值在 -1 到 1 之间震荡，没有一个确定的极限值。

因此，这个函数在 x=0 处也没有极限。

一元函数的极限存在准则与极限运算法则在数学中，一元函数的极限存在准则和极限运算法则是研究函数极限的重要内容。

理解和运用这两个准则和法则，可以帮助我们更好地理解一元函数的极限，解决相关问题。

本文将详细介绍一元函数的极限存在准则和极限运算法则，并通过例子加以说明。

一、极限存在准则极限存在准则是指在某个区间上的函数，如果满足柯西收敛准则或者Bolzano-Weierstrass定理，那么该函数就存在极限。

1. 柯西收敛准则柯西收敛准则是指函数收敛的严格条件，即对于任意正数ε，存在正数δ，使得当x满足0<|x-a|<δ时，有|f(x)-L|<ε。

其中，a为某个实数，L为极限值。

这一准则要求函数在无穷接近于极限时的差值趋近于零，函数值和极限值的差值趋近于零。

换言之，当自变量x无限接近于a时，函数值f(x)也无限接近于L。

2. Bolzano-Weierstrass定理Bolzano-Weierstrass定理是指有界实数集合必有收敛子列。

对于函数而言，如果一个函数在某个区间上有界，并且该区间上有无穷个变量值，那么该函数必定存在极限。

Bolzano-Weierstrass定理可以简单解释为：如果一个函数在某个区间上无限变化，并没有趋于无穷大或无穷小，那么该函数在该区间上一定存在极限。

通过柯西收敛准则和Bolzano-Weierstrass定理，我们可以判断一元函数在某个区间上是否存在极限，进而帮助我们求解一元函数的极限值。

二、极限运算法则极限运算法则是指一元函数的极限运算中满足的一些基本规则，可以帮助我们更好地计算和理解极限。

1. 四则运算法则根据四则运算法则，给定两个函数f(x)和g(x)，当它们的分母项在某点a处的极限存在且不为零时，有以下几个结论：- 两个函数的和的极限等于各自函数的极限之和：lim[x→a](f(x)+g(x)) = lim[x→a]f(x) + lim[x→a]g(x)- 两个函数的差的极限等于各自函数的极限之差：lim[x→a](f(x)-g(x)) = lim[x→a]f(x) - lim[x→a]g(x)- 两个函数的乘积的极限等于各自函数的极限之积：lim[x→a](f(x)·g(x)) = lim[x→a]f(x) · lim[x→a]g(x)- 两个函数的商的极限等于各自函数的极限之商，若lim[x→a]g(x) ≠ 0：lim[x→a](f(x)/g(x)) = lim[x→a]f(x) / lim[x→a]g(x)这些四则运算法则为我们计算一元函数的极限提供了方便和便捷的方法。

一元函数极限值为正无穷的定义在数学中，我们经常研究函数的极限值，其中一种特殊情况是函数的极限值为正无穷。

那么，什么是一元函数极限值为正无穷呢？我们先来回顾一下极限的基本概念。

在数学中，函数的极限是指当自变量趋近于某个特定值时，函数的取值趋近于某个确定的值。

在一元函数中，自变量只有一个，即x。

而当我们谈论一元函数极限值为正无穷时，我们实际上是在描述当自变量x趋近于某个特定值时，函数的取值趋近于正无穷大。

那么，如何准确地描述一元函数极限值为正无穷呢？我们可以用符号来表示。

对于给定的函数f(x)，当x趋近于某个特定值a时，如果对于任意的正数M，存在一个正数N，使得当x大于N时，函数的取值f(x)都大于M，那么我们就可以说函数f(x)的极限值为正无穷。

换句话说，如果对于任意的正数M，我们都能找到一个正数N，使得当x大于N时，f(x)都大于M，那么我们就可以说函数f(x)的极限值为正无穷。

这意味着随着x的增大，函数的取值也不断增大，没有上界。

举个例子来说明。

考虑函数f(x) = 1/x，在这个函数中，当x趋近于0时，f(x)的取值趋近于正无穷大。

为了证明这一点，我们可以任意取一个正数M，然后找到一个正数N，使得当x大于N时，f(x)都大于M。

假设我们取M=10，那么只需要取N=1/10，当x大于1/10时，f(x) = 1/x就大于10。

同样地，对于任意的正数M，我们总能找到一个正数N，使得当x大于N时，f(x)都大于M。

因此，我们可以说函数f(x)的极限值为正无穷。

需要注意的是，一元函数极限值为正无穷并不意味着函数在某个特定点处的取值就是正无穷大，而是当自变量趋近于某个特定值时，函数的取值趋近于正无穷大。

此外，一元函数极限值为正无穷也不代表函数在自变量趋近于正无穷时的取值已经达到正无穷大，而是取值可以无限增大。

总结起来，一元函数极限值为正无穷是指当自变量趋近于某个特定值时，函数的取值无限增大，没有上界。

引言在数学分析中，极限的概念占有主要的低位并以各种形式出现而贯穿全部内容,同时极限概念与方法是近代微积分的基础. 因此掌握好极限的求解方法是学习数学分析和微积分的关键一环.本文主要对一元函数极限定义和它的求解方法进行了归纳总结,并在具体求解方法中就其中要注意的细节和技巧做了说明, 以便于我们了解函数的各种极限以及对各种极限进行计算.求函数极限的方法较多,但每种方法都有其局限性, 都不是万能的, 对某个具体求极限的问题,我们应该选择合适的方法.一、函数极限概念定义1[]1设f 为定义在[)+∞,a 上的函数，A 为定数.若对任给的ε>0，存在正数M （a ≥），使得当M x >时有()f x A ε-<，则称函数f 当x 趋于+∞时以A 为极限，记作lim ()x f x A →+∞= 或()().f x A x →→+∞定义2[]1（函数极限的ε-δ定义）设函数f 在点 0x 的某个空心邻域0U （0x ；'δ）内有定义，A 为定数。

若对任给的ε>0，存在正数δ（<'δ），使得当0<0x x δ-<时有()f x A ε-<，则称函数f 当x 趋于0x 时以A 为极限，记作lim ()x f x A →∞=或0()()f x A x x →→.定理1[]1设函数f 在0'0(,)U x δ+（或00(;')U x δ-）内有定义，A 为实数。

若对任给的0ε>，存在正数'()δδ<，使得当00x x x δ<<+（或00x x x δ-<<）时有()f x A ε-<，则称数A 为函数f 当x 趋于0x +（或0x -）时的右（左）极限，记作lim ()(lim ())x x x x f x A f x A +-→→==或00()()(()())f x A x x f x A x x +-→→→→.定理2[]1（唯一性）若极限0lim ()x x f x →存在，则此极限是唯一的.定理3[]1（局部有界性）若0lim ()x x f x →存在，则f 在0x 的某空心邻域00()U x 内有界.定理4[]1（局部保号性）0lim ()0x x f x A →=>若（或<0），则对任何正数r <A （或r <-A ）,存在00()U x ，使得对一切00()x U x ∈有()0f x r >>（或()0f x r <-<）.定理5[]1（保不等式性）0lim ()x x f x →设与0lim ()x x g x →都存在，且在某邻域0'0(;)U x δ内有()()f x g x ≤，则lim ()lim ().x x x x f x g x →→≤二、函数极限的求解与应用极限一直是数学分析中的一个重点内容，而对函数极限的求法可谓是多种多样，通过归纳和总结，我们罗列出一些常用的求法.求解函数极限的最基本的方法还是利用函数极限的定义，同时也要注意运用两个重要极限，其中可以利用等量代换，展开、约分等方法化成比较好求的数列，也可以利用函数极限的四则运算法则计算.夹逼性定理和拉格朗日中值定理是很重要的定理，在求的时候要重点注意运用. 洛必达法则是针对某些特殊的函数而言的，还有一些比较常用的方法，在本文中都一一列举了.1、利用函数极限的定义根据函数极限的定义，是求极限的最基本的方法之一.例1 证明 1lim0x x→∞=. 证明 ε∀>0，∃M =1ε，则当x >M 时有，10x -=1x <1M =ε.所以有1lim0x x→∞=. 例2 用极限的定义证明20211lim 0x x x x -=-→ 0(||1)x <.证明 由于||1x ≤, 0||1x <, 因此22=≤≤于是, 对任给的)10(0<<>εε不妨设, 取,212εδx -=则当00||x x δ<-<时, 有 .11202ε<---x x注 用极限的定义时, 只需要证明存在)(δ或N , 故求解的关键在于不等式的建立. 在求解的过程中往往采用放大、缩小等技巧, 但不能把含有n 的因子移到不等式的另一边再放大, 而是应该直接对要证其极限的式子一步一步放大, 有时还需加入一些限制条件, 限制条件必须和所求的N (或δ)一致, 最后结合在一起考虑.2．利用极限的运算法则定理6[]1（四则运算法则） 若极限0lim ()lim ()x x x x f x g x →→与都存在，则函数f g ±，.f g 当0x x →时极限也存在，且[]0lim ()()lim ()lim ();x x x x x x f x g x f x g x →→→±=±[]0lim ()()lim ().lim ()x x x x x x f x g x f x g x →→→=；lim ()x x g x →又若00,f g x x ≠→则当时极限存在，且有0()limlim ()/lim ().()x x x x x x f x f x g x g x →→→=例3 求221lim1nnn a a a b b b →∞++++++++, 其中1,1<<b a . 解 分子分母均为无穷多项的和,应分别求和,再用四则运算法则求极限bb b b b a a a a a n nn n--=++++--=++++++111,1111212,原式= 1111lim111111lim11n n n n a b a a b abb +→∞+→∞----==----例4 求⎪⎪⎭⎫⎝⎛--++→20211lim x x x x . 解 原式⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-++--+-++=→)211(41121lim 220x x x x x x x ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-++--=→)11)(211()11(2lim2220x x x x x x ⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-+-++-=→)11)(211(2lim20x x x x 41-=.注1 对于和、差、积、商形式的函数求极限, 可以采用极限运算法则, 使用时需要先对函数做某些恒等变换或化简, 变换的方法通常有分式的通分、约分、分解因式、分子分母有理化、三角函数的恒等变化、拆项消去法、比较最高次幂法等.注2 运用极限法则时, 必须注意只有各项极限都存在(对商, 还要分母极限不为零)时才能适用.3．利用迫敛性（夹逼准则）定理7[]1 （迫敛性）0lim ()lim ()x x x x f x g x A →→==设，且在某0'0(;)U x δ内有()()()f x h x g x ≤≤，则 0lim ().x x h x A →=例5 求下列函数的极限.(1)cos lim x x xx→-∞-；(2)2sin lim 4x x xx →+∞-.解 (1)因为-1≤cos 1x ≤，所以当0x <时，1cos 1x x x x-≤≤-， 于是 1cos 111x x x x x-+≤≤-,又因为 11lim (1)lim (1)1x x x x→-∞→-∞+=-=，由迫敛性得 cos lim1.x x xx →-∞-= （2）因为1sin 1,x -≤≤2-24x x x >≤-所以当时，22sin 44x x xx x ≤--， 又因为 2221lim lim 0,lim 04441x x x x x x x x x →+∞→+∞→+∞--===---， 又迫敛性得 2sin lim 4x x xx →+∞-=0.例6 求⎪⎭⎫⎝⎛→x x x x 1sin sin 1lim 20.解 当0≠x 时, 有 222111|sin sin ||sin |x x x x x x ⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭,从而 2110|sin sin |||x x x x ⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭,由夹逼准则得 2011lim |sin sin |0x x x x →⎛⎫= ⎪⎝⎭, 所以 01sin sin 1lim 20=⎪⎭⎫⎝⎛→x x x x .注1 迫敛性（夹逼准则）多适用于所考虑的函数比较容易适度放大或缩小, 而且放大和缩小的函数是容易求得相同的极限. 基本思想是把要求解的极限转化为求放大或缩小的函数或数列的极限.注2 利用夹逼准则求函数极限的关键：（1）构造函数)(x f , )(x h , 使)(x f ≤)(x g ≤)(x h ； （2）A x h x f x x x x ==→→)(lim )(lim 0, 由此可得A x g x x =→)(lim 0.4．利用两个重要极限两个重要极限:（1)1sin lim0=→xxx ；(2)e x xx =⎪⎭⎫⎝⎛+∞→11lim .根据复合函数的极限运算法则, 可将以上两个公式进行推广: (1)1)()(sin lim0=→x f x f x x ()(,sin ,0)(lim 0x f u u u y x f x x ===→)； (2)e x g x g x x =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+→)()(11lim 0 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=∞=→)(,11,)(lim 0x g u u y x g ux x . 例7 求下列函数的极限（1）1lim sin ;x x x→+∞（2）30tan sin lim x x xx→- . 解（1）令1t x=， 0t 0.1sin lim sin lim 1.x t x tx x t++→+∞→→+∞→==则当 时， 于是 (2)23330002sin sin tan sin sin (1cos )2limlim lim cos cos x x x xx x x x x x x xx x→→→--==220sinsin 12lim ..2cos 211.1.21.2x x x x x x →⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎛⎫⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦==例8 求下列函数的极限（1）02lim(1);x x x-→-（2）101lim()1x x x x→+- . 解（1）22221lim(1)=lim 1+-2xx x x e x x --→∞→∞⎡⎤⎛⎫⎢⎥ ⎪⎢⎥-= ⎪⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎢⎥⎣⎦. （2）11122100122lim()lim(1)lim(1)111x x x x x x n x x x x x x x--→→∞→+=+=+--- =2112202lim 11x xxx x e x --→⎡⎤⎛⎫⎢⎥+= ⎪⎢⎥-⎝⎭⎣⎦.5．利用无穷小的性质和等价无穷小代换定理8[]1 设函数(),(),()f x g x h x 在0(,)U x δ'内有定义, 且有 )(~)(x g x f )(0x x →. (1) 若A x h x f x x =→)()(lim 0, 则A x h x g x x =→)()(lim 0；(2) 若B x f x h x x =→)()(lim, 则B x g x h x x =→)()(lim 0.性质1 有限个无穷小量的代数和为无穷小量； 性质2 有限个无穷小量的乘积为无穷小量；性质3 常数与无穷小量的乘积是无穷小量.定理9[]1 设α,β均为无穷小, 且~,~ααββ'', 且αβ''lim 存在,则 αβαβ''=lim lim .例9 求极限22201cos lim sin x x x x →- .解 因为 222()1cos ~;2x x -所以 2220sin cos 1lim x x x x -→=212)(2222=x x x .例10 计算30sin sin tan limxx x x -→. 解 由于 )cos 1(cos sin sin tan x xxx x -=-, 而 )0(~sin →x x x , )0(2~cos 12→-x x x , )0(~sin 33→x x x ,故有 212cos 1lim sin sin tan lim 32030=⋅⋅=-→→x x x x x x x x x .例[]611 计算0x →.解 因为 211cos (0),2xx x -→ 且 22000222sin sin 1cos 22lim lim lim 111222x x x x x x x x x→→→⎛⎫ ⎪-=== ⎪⎪⎝⎭. 由定理得，0x→()200022lim 11122x x x x x x →→→====.注1 对于分子或分母中的两个无穷小之差不能直接用无穷小代换.注2[]7常用等价代换公式: 当0→x 时, x x ~sin , x x ~arcsin , x x ~tan ,x x ~arctan , x e x ~1-, a x a x ln ~1-等.在求解极限的时候要特别注意无穷小等价替换,无穷小等价替换可以很好的简化解题.6.利用恒等变形法在求函数极限时，利用简单的恒等变形可使极限易于计算，恒等变形的手段有约分法有和有理化法. （1）约分法适用于计算00型函数极限，如果所求函数的分子分母都是整式且有公因子（特别是零因子）时，可通过约简式计算极限值.例12[]3 计算21lim 1n x x x x nx →+++--的值（n 为正整数）.解 原式=21(1)(1)(1)lim1n x x x x x →-+-++--= 121lim 1(1)(1)n n x x x x x --→⎡⎤++++++++⎣⎦12n =+++=(1)2n n+. 注 要首先将分子分母因式分解，找到公因子（特别是零因子），接着即可约去公因子，求函数极限. （2）有理化法在求解存在根号的函数极限时，通过选择分子或分母，或分子分母同时有理化约去零因子，即可转化为一般的极限问题.例13[]4 计算：0x ax→ （其中0a >）.解 原式=0x → =22x →=x →=12a注 此题是通过分子有理化来简化运算，在具体解题时根据简便原则进行选择何种方式的有理化.7.利用洛必达法则（1）0型不定式极限定理10[]1 若函数)(x f 和)(x g 满足： (i ) 0)(lim )(lim 0==→→x g x f x x x x ；(ii ) 在点0x 的某空心邻域00(,)U x δ'内两者都可导, 且0)(≠'x g ；(iii ) A x g x f x x =''→)()(lim(A 可为实数, 也可为∞), 则=→)()(limx g x f x x A x g x f x x =''→)()(lim 0. （2）∞∞型不定式极限 定理 11[]1 若函数f 和g 满足： (i ) ∞==→→)(lim )(lim 0x g x f x x x x ；(ii ) 在点0x 的某空心邻域00(,)U x δ内两者都可导, 且0)(≠'x g ； (iii ) A x g x f x x =''→)()(lim(A 可为实数,也可为∞), 则=→)()(limx g x f x x A x g x f x x =''→)()(lim 0. 注[]8洛必达法则是求两个无穷小量或两个无穷大量之比的极限的, 在同一运算过程中可连续使用, 直到求出所求极限. 但是, 对于其他不定式的极限（如,0∞⋅ 001,0,,∞∞∞-∞等类型）如果无法判断其极限状态, 则洛必达法则失败, 但只需经过简单变换, 它们一般可以化为00型和∞∞型的极限. 例 12[]3 计算：（1） 3arcsin lim;(arcsin )x x x x →- （2） 0lim ln x x x +→; （3） ()1ln lim xx x →+∞+.解 （1）这是一个型的不定式极限, 直接应用洛必达法则得:3000arcsin lim x x x x xx →→→-== )11(13lim2222+---=→x x x x x 61-=.（2）这是一个∞⋅0型的不定式极限, 用恒等变形xxx x 1ln ln =将它转化 为∞∞型不定式极限, 并应用洛必达法则得到 x x x ln lim 0+→0)(lim 11lim1ln lim 0200=-=-==+++→→→x xx x x x x x . （3）这是个0∞型不定式极限.类似地先求其对数的极限（∞∞型）：(+ln limlim1ln x x x xx→∞→+∞== 于是有(1ln lim xx x →+∞=e .注1 要注意条件，也即是说，在没有化为0,0∞∞时不可求导.注2 应用洛必达法则，要分别的求分子、分母的导数，而不是求整个分式的导数.注3 要及时化简极限符号后面的分式，在化简以后检查是否仍是未定式，若遇到不是未定式，应立即停止使用洛必达法则，否则会引起错误.8.利用泰勒展开式泰勒展开式[]9：若()f x 在0x =点有直到1n +阶连续导数,那么,,()2(0)(0)()(0)(0)...()2!n nn f f f x f f x x x o x n =+++++，对于求某些不定式的极限来说，应用泰勒公式比使用洛必达法则更为方便，下列为常用的展开式：(1)21()2!!nxn x x e x o x n =+++++ (2) 352112sin (1)()3!5!(21)!n n n x x x x x o x n --=-+++-+-(3)24221cos 1(1)()2!4!(2)!nnn x x x x o x n +=-+++-+(4)21ln(1)(1)()2nn n x x x x o x n -+=-++-+ (5)2(1)(1)(1)(1)1()2!!nn n x x x x o x n ααααααα---++=+++++(6)211x x ()1n n x o x x=+++++-上述展开式中的符号)(n x o 都有:0)(lim 0=→n n x xx o 例13[]1 计算 2240cos limx x x e x -→- .解 利用泰勒公式求解 245cos 1()224x x x o x =-++22521()28x x xeo x -=-++2452cos ()12x x x e o x --=-+ 因而求得2452440010()cos 112limlim 12x x x x x x e x x -→→-+-==-.9.利用拉格朗日中值定理定理12[]1 若函数f 满足如下条件： (1)f 在闭区间上连续;(2)f 在(,)a b 内可导;则在(,)a b 内至少存在一点ξ,使得'()()().f b f a f b aξ-=-此式变形可为:)10( ))(()()('<<-+=--θθa b a f ab a f b f例14[]10 求x x e e xx x sin lim sin 0--→.解 令x e x f =)( 对它应用中值定理得sin '()(sin )(sin )(sin (sin )) (01).x x e e f x f x x x f x x x θθ-=-=-+-<< 即sin '(sin (sin )) (01).sin x xe ef x x x x xθθ-=+-<<-xe xf =)(' 连续, ''0lim (sin (sin ))(0) 1.x f x x x f θ→∴+-==从而有 sin 0lim1.sin x xx e e x x →-=-结论求解函数极限时，不同的函数类型所采用的技巧是各不相同的.对同一题也可能有多种求法，有难有易，有时甚至需要结合上述各种方法，所以我们必须要细心分析仔细甄选，选择出适当的方法.这样不仅准确率更高，而且会省去许多不必要的麻烦，起到事半功倍的效果.这就要求我们要吃透其精髓，明了其中的道理，体会出做题的窍门.达到这样的境界非一日之功，必须要多做题善于总结，日积月累，定会熟能生巧，在做题时才可能得心应手.从上述的介绍中可以看出求极限的方法不拘一格，我们应具体问题具体分析,不能机械地用某种方法，对具体题目要具体分析，有时解题时可多种方法相结合，要学会灵活运用.参考文献：[1] 华东师范大学数学系. 数学分析[M].第三版. 北京: 高等教育出版社, 2001.[2] 彭辉. 高等数学辅导[M].北京: 高等教育出版社, 2003.[3] 裴礼文. 数学分析中的典型问题与方法[M]. 北京: 高等教育出版社, 1995.[4] 丁家泰. 微积分解题方法[M]. 北京: 北京师范大学出版社, 1981.[5] 刘三阳. 高等数学典型题解[M]. 西安: 西北工业大学出版社, 2003.[6] 吉米多维奇. 数学分析习题集解题[M]. 济南: 山东科学技术出版社, 1999.[7] 钱志良. 谈极限的求法[J]. 常州信息职业技术学院学报，2003, 4(17):24-26.[8] 张敏捷. 函数极限的几种特殊求法[J]. 黄石理工学院学报, 2008, 4(24):56-58.[9] 程鹏, 张洪瑞, 李占现. 求函数极限的方法[J]. 河南科技学院学报, 2008,9(36):133-134.[10] Rudin W. Principle of Mathematical Analysis[M]. New York: John Pearson Edution, 1990.致谢在本次论文的撰写中，我得到了崇金凤老师的精心指导，不管是从开始定方向还是在查资料准备的过程中，一直都耐心地给予我指导和意见，使我在总结学业及撰写论文方面都有了较大提高；同时也显示了老师高度的敬业精神和责任感.在此，我对崇金凤教授表示诚挚的感谢以及真心的祝福.四年大学生活即将结束，回顾几年的历程，老师们给了我们很多指导和帮助。

函数的极限和连续性函数是数学中的重要概念，而函数的极限和连续性则是函数理论研究中的核心内容。

本文将围绕函数的极限和连续性展开讨论，以帮助读者更好地理解和运用这两个概念。

一、函数的极限函数的极限是指当自变量趋向于某个特定值时，函数值的变化趋势。

数学上可以用符号“lim”来表示。

一个函数f(x)在x趋近于a时的极限可记作lim(x→a)f(x)，即当x无限接近于a时，函数f(x)的极限是多少。

1. 一元函数极限对于一元函数f(x)，当x趋近于a时的极限可以有以下几种情况：（1）左极限：当x从左侧逼近a时，函数值逐渐趋近于一个特定值L，记作lim(x→a-)f(x)=L。

（2）右极限：当x从右侧逼近a时，函数值逐渐趋近于一个特定值M，记作lim(x→a+)f(x)=M。

（3）函数的极限：如果左、右极限都存在且相等，即lim(x→a-)f(x)=lim(x→a+)f(x)，那么函数在x趋近于a时的极限为lim(x→a)f(x)。

2. 多元函数极限对于多元函数f(x, y)，当(x, y)趋近于点(a, b)时的极限可以有以下几种情况：（1）xy平面上的极限：当点(x, y)从xy平面上任意方向逼近点(a, b)时，函数值逐渐趋近于一个特定值L，记作lim(x, y)→(a, b)f(x, y)=L。

（2）z轴上的极限：如果对于任意按z方向逼近(a, b)的路径，当点(x, y, z)趋近于(a, b, c)时，函数值逐渐趋近于一个特定值L，记作lim(x, y, z)→(a, b, c)f(x, y, z)=L。

二、函数的连续性函数的连续性是指函数在某一点上的极限和函数在该点的函数值相等。

简单来说，当自变量在某一点的极限等于该点的函数值时，函数在该点上是连续的。

1. 一元函数的连续性对于一元函数f(x)，如果函数在点a处的极限lim(x→a)f(x)存在且等于f(a)，那么函数在点a上是连续的。

这意味着函数图像中不存在跳跃、断裂或奇点。

一元函数极限一元函数极限是微积分中的重要概念之一。

在数学中，函数的极限描述了函数在某一点上的表现趋势。

而一元函数极限则特指只有一个自变量的函数的极限。

在讨论一元函数极限之前，我们先来了解一下函数极限的概念。

函数极限是指当自变量趋近于某一特定值时，函数的取值逐渐接近于一个确定的值。

这个确定的值就是函数在该特定值处的极限。

一元函数的极限可以用符号“lim”来表示，例如lim(x→a)f(x)，表示当x趋近于a时，f(x)的极限。

一元函数极限的计算方法有很多种，其中比较常用的有代入法、夹逼准则、洛必达法则等。

代入法是最简单直接的一种计算方法，即将自变量的值代入函数中进行计算。

夹逼准则适用于求解一些复杂的极限问题，通过构造夹逼定理来确定极限值。

洛必达法则则是一种常用的计算函数极限的方法，通过对函数进行求导，将极限转化为导数的极限来求解。

一元函数极限的概念与应用广泛存在于各个领域。

在物理学中，函数极限可以用来描述物体在某一点上的速度、加速度等物理量的变化趋势。

在经济学中，函数极限可以用来描述经济指标随时间变化的趋势，从而预测未来的经济发展。

在工程学中，函数极限可以用来描述工程参数随着某一变量的变化趋势，从而优化设计方案。

除了对一元函数极限的计算和应用，我们还需要关注一元函数极限的性质。

一元函数极限具有唯一性、有界性和保号性等性质。

唯一性指的是函数在某一点的极限值是唯一确定的。

有界性指的是如果函数在某一点存在极限，则函数在该点附近有界。

保号性指的是如果函数在某一点的极限大于（小于）零，则函数在该点附近保持正号（负号）。

在实际问题中，我们常常需要通过求解一元函数极限来解决一些复杂的数学问题。

例如，在计算连续复利的问题中，我们需要求解一个复利函数在无穷大时的极限，从而得到复利的最终值。

在求解无穷级数的收敛性问题中，我们需要通过求解一元函数极限来确定级数的收敛性。

总结起来，一元函数极限是微积分中的重要概念，用于描述函数在某一点上的表现趋势。

第三讲 一元函数的极限3 . 一元函数极限的基本概念一、一元函数极限的类型与定义( 1 ）函数的极限类型共有 24 种．为表述清楚起见，将函数极限分为极限过程和极限结果两部分．① 极限过程有 6 种，分别是： ( i )+∞→x ； ( ii ) -∞→x ; （iii ）∞→x ； ( iV ）0x x → ; ( V ）-→0x x ； ( vl ) +→0x x ．② 极限结果有 4 种，分别是： (i ) A （常数） ; ( ii ) ∞+; （iii ）∞-; (iv ) ∞· 其中： (i ）为正常极限， (ii ）、（iii ）、（iv ）为非正常极限，也叫广义极限．把 6 种极限过程和 4 种极限结果组合，就得 24 种极限形式．用精确的数学语言去定义它们，要用两个字母（M M G M ----δεδε... 等）去刻画，首先任意给出一个量（,ε M 等），对极限结果作出要求，然后用另一个字母（,δG 等）表述极限过程，要满足极限结果的要求，自变量必须变化到什么程度．了解了这些，就很容易写出它们的定义．下面写几个例子，读者可将 24 种全部写出．()∞=-→x f x x 0lim ：对 0>∀M ，0>∃δ，当δ<-<x x 00时，恒有M x f ≥)(()A x f x =∞→lim ：对0>∀ε，0>∃G ，当G x >时，恒有()ε<-A x f()+∞=→x f x x 0lim ：对0>∀M ，0>∃δ，当 δ<-<00x x 时，恒有()M x f >()-∞=∞→x f x lim ：对0>∀M ，0>∃G ，当G x > 时，恒有()M x f -<( 2 ）上述 24 种极限都有其否定，因此又有 24 种否定的定义，也略举几例．()∞≠-→x f x x 0lim ：0>∃M ，对 0>∀δ，x '∃：虽然δ<-<'00x x ，但有M x f <)('()A x f x ≠∞→lim ：0>∃ε，对0>∀G ，0x ∃：虽然G x >0时，但是()ε≥-A x f 0()+∞≠→x f x x 0lim ：0>∃M ，对0>∀δ，x '∃：虽然δ<-<0'0x x 时，但有M x f ≤)('()-∞=∞→x f x lim ：0>∃M ，对0>∀G ，x '∃：虽然G x >' ，但是M x f -≥)('二、一元函数极限存在的条件( 1 ）函数极限()x f x x 0lim →存在()()0000-=+⇔x f x f （其中左、右极限都存在且相等） .( 2 ) Cauchy 准则：共有 6 种，是上面讲到的 6 种极限过程分别以 A 为极限，则有相应的 6 种 Cauchy 准则．下面举两例，其余读者自己写出．① 极限()x f x x '0lim +→存在0,0>∃>∀⇔δε，当δδ<-<<-<02010,0x x x x 时，()()ε<-21x f x f② 极限()x f x ∞→lim 存在0,0>∃>∀⇔G ε，当G x G x >>21,时，恒有()()ε<-21x f x f( 3 ）归结原则（Heine 定理）：共有 24 种，略举两例．① 极限()⇔=∞→A x f x lim 对任意的点列{}n x ，当()∞→+∞→n x n ,时，恒有()A x f n =∞→lim ② 极限()⇔∞=→x f x x 0lim 对任意的点列{}n x ，当()∞→→n x x n ,0时，恒有()∞=∞→x f n lim( 4 ）单调有界原理：共有 4 种，分别是：① 若函数 f ( x ）在0x 点的左δ一空心邻域 ()δ,00x -内单调递增（减）且有上（下）界，则极限()x f xx 0lim -→存在． ② 若函数 ()x f 在0x 点的右δ一空心邻域()δ,00x +内单调递增（减）且有下（上）界，则极限()x f xx 0lim +→存在。

微积分——极限理论与一元函数微积分是数学的一个分支，主要研究函数的变化与其相应的导数和积分。

在微积分中，极限理论是非常重要的一部分，因为它为研究一元函数的性质提供了基础。

一、极限的定义与性质1. 定义：若对于任意给定的正数ε，都存在正数δ，使得当自变量x满足0<|x-x0|<δ时，函数f(x)与常数L的距离小于ε，则称L为函数f(x)当x趋于x0时的极限（或称f(x)以L为极限，或称x趋近于x0时f(x)以L为极限），记为：lim f(x)=L，或lim(x→x0) f(x)=Lx→x02. 物理意义：极限是一种数学概念，用来表示当自变量无限趋近于某个值时，因变量的趋势。

在实践中，极限常常用于解决复杂问题，如测量物体体积、定位精度等问题。

3. 性质：①极限是唯一的，即若存在f(x)有两个极限A≠B，则 f(x)没有极限。

②若lim f(x)=L，则f(x)在x趋近于x0时有界。

③若f(x)在x趋近于x0时有界，且当x趋近于x0时无限接近某个常数L，即lim f(x)=L，则f(x)有极限。

4. 一些重要的极限：① lim(x→0)sinx/x=1；②lim(x→0)(cosx-1)/x=0；③ lim(x→∞)(1+1/x)^x=e。

二、一元函数的极限1. 一元函数的极限类型：①有限极限：当x趋近于x0时，f(x)有且仅有一个有限极限。

②无限极限：当x趋近于x0时，f(x)的极限为无穷。

③确定极限不存在：当x趋近于x0时，f(x)的极限不存在。

2. 极限计算：①分段函数极限的计算：将函数分段，分别计算各个分段函数的极限；②分式函数极限的计算：将分式函数转化为两个分式相乘的形式，分别计算两个分式的极限；③指数函数、对数函数、三角函数等特殊函数的极限计算：利用特殊函数的性质和极限的定义，进行逐步推导。

3. 函数的连续与间断：①连续函数：若函数f(x)在点x0有定义，且lim f(x)= f(x0)，则称函数f(x)在点x0连续。

一元函数极限与二元函数极限的区别
一元函数极限和二元函数极限都是数学中的重要概念，是微积分和数学分析的基础。

虽然它们都是极限的概念，但是它们之间有很大的区别。

一元函数极限指的是当自变量趋近于某一特定值时，函数值的趋势。

一元函数极限只有一个自变量，例如y= f(x)。

在一元函数极限中，我们只需要考虑自变量在一个点上的极限，也就是说，只有一个方向需要考虑，因此它是一维的。

二元函数极限则需要考虑两个自变量同时趋于某一点时，函数值的趋势。

二元函数极限有两个自变量，例如z = f(x, y)。

在二元函数极限中，我们需要同时考虑自变量在两个方向上的极限，因此它是二维的。

另外，在一元函数极限中，我们只需要考虑自变量趋于某一点的极限，而在二元函数极限中，我们需要考虑自变量趋于某一点所形成的一系列路径的极限。

因此，在二元函数极限中，我们需要更加谨慎地选择路径来求出极限值。

总之，虽然一元函数极限和二元函数极限都是极限的概念，但是它们的定义和求解方法有很大的区别，需要我们深入理解和掌握。

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