新教材苏教版高中数学必修第一册第四章 指数与对数 课时分层练习题,精选最新配套习题,含解析

苏教版必修第一册 《第4章 指数与对数》单元测试卷一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 将√−2√23化为分数指数幂，其形式是（ ） A.212B.−212C.2−12D.−2−122. 已知log a 2b =c ，则有（ ） A.a 2b =c B.a 2c =b C.b c =2a D.c 2a =b3. 计算9−32的结果是（ ） A.127 B.18 C.36D.1364. 下列根式中，分数指数幂的互化，正确的是（ ） A.−√x =(−x)12(x >0) B.√y 26=y 13(y <0) C.x −34=√(1x )34(x >0) D.x −13=−√x 3(x ≠0)5. 若lg 2+lg (2x +5)＝2lg (2x +1)，则x 的值等于（ ） A.1 B.0或18C.18D.log 236. 下列各式中成立的是（ ）A.(n m )7＝n 7m 17 B.√(−3)412=√−33C.√x 3+y 34=(x +y)34D.√√93=√337. 已知log a 12=m ，log a 3=n ，则a m+2n 等于（ ） A.3B.34C.9D.928. 2log a (M −2N)＝log a M +log a N ，则MN 的值为（ ） A.14B.4C.1D.4或1二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分）对于下列说法，其中错误说法为（ ） A.零和负数没有对数B.任何一个指数式都可以化成对数式C.以10为底的对数叫做自然对数D.以e 为底的对数叫做常用对数下列运算正确的是（ ） A.√a 44=a B.log 2a 2＝21og 2a C.√−a 33=−a D.(log 29)⋅(log 34)＝4已知a ＝2ln 3，b ＝3ln 2，则下列判断正确的是（ ） A.a ≥b B.a ≤bC.a ＝bD.无法比较它们的大小下列命题中，真命题是（ ）A.若log 189＝a ，log 1854＝b ，则182a−b =32B.若log x 27＝3(log 318−log 32)，则x ＝±√3C.若log 6[log 3(log 2x)]＝0，则x −12=√24D.若x 2+y 2−4x −2y +5＝0，则log x (y x )＝0三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上）10lg 2−ln e ＝________．若10x＝2，10y＝3，则103x−4y 2=________．若log （x−1）(3−x)有意义，则x 的取值范围是________．若√x 2+2x +1+√y 2+6y +9=0，则x ＝________，(x 2020)y ＝________ 四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）（1）已知3a ＝5b ＝15，求1a +1b 的值； （2）设10a ＝2，lg 3＝b ，用a ，b 表示log 26．（1）化简：log 4(24×642)+log 318−log 32+log 52×log 2125； （2）已知a ＝2√7，b ＝5√2，求6−64√a 6b −6−6a 3b −1+9b4⋅b 5a 3+3b 5的值．（1）求6423+(27125)−13−(279)0.5的值； （2）若log 23＝x ，求4x −4−x2x −2−x 的值．求下列各式中x 的值： （1）log 3(log 2x)＝0；（2）log 2(lg x)＝1；（3）52−log 53=x ；（4）(a log a b )log b c =x(a >0, b >0, c >0, a ≠1, b ≠1)．设M ＝{0, 1}，N ＝{11−a, lg a, 2a , a}，是否存在实数a ，使得M ∩N ＝{1}？设a ＝2×100023+6423+√(−2)2． （1）化简上式，求a 的值；（2）设集合A ＝{x|x >a}，全集为R ，B ＝(∁R A)∩N ，求集合B 中的元素个数．参考答案与试题解析苏教版必修第一册《第4章指数与对数》单元测试卷一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.【答案】B【考点】有理数指数幂的运算性质及化简求值【解析】可得出√−2√23=−213⋅(212)13，然后进行分数指数幂的运算即可．【解答】√−2√23=−213⋅216=−212．2.【答案】B【考点】指数式与对数式的互化【解析】利用指数式与对数式的互化即可得出．【解答】解：∵loga2b=c，∴(a2)c=b，∴a2c=b．故选B．3.【答案】A【考点】有理数指数幂的运算性质及化简求值【解析】进行分数指数幂的运算即可．【解答】9−32=(32)−32=3−3=127．4.【答案】C【考点】根式与分数指数幂的互化及其化简运算【解析】利用根式与分数指数幂的关系得出A−√x=−x 12(x>0)，√y26=(y2)16，.x−34=√(1x)34(x >0)，.x−13=1x 13=√x3，从而选出答案．【解答】解：A ．−√x =−x 12(x >0)故A 错； B.√y 26=(y 2)16故B 错；C.x−34=√(1x )34(x >0)故C 正确； D.x−13=1x 13=√x3故D 错故选C ． 5.【答案】 D【考点】 函数的零点 对数的运算性质【解析】根据题意，由对数的运算性质可得2(2x +5)＝(2x +1)2，变形可得2x ＝3，转化为对数式即可得答案． 【解答】根据题意，lg 2+lg (2x +5)＝2lg (2x +1)，即2(2x +5)＝(2x +1)2，变形可得(2x )2−9＝0， 则有2x ＝3，解可得x ＝log 23， 6.【答案】 D【考点】有理数指数幂的运算性质及化简求值 【解析】利用根式与分数指数幂的互化及有理指数幂的运算性质逐一核对四个选项得答案． 【解答】 ∵(nm)7＝n 7m −7≠n 7m 17，故A 错误；∵ √(−3)412=3412=313=√33，故B 错误； ∵√x 3+y 34=(x 3+y 3)14，故C 错误；∵ √√93=(323)12=313=√33故D 正确． 7.【答案】 D【考点】指数式与对数式的互化【解析】由已知中loga 12=m，loga3=n，可得a m=12，a n=3，结合指数的运算性质，可得答案．【解答】解：∵loga 12=m，loga3=n，∴a m=12，a n=3，∴a m+2n=a m⋅(a n)2=92.故选D.8.【答案】B【考点】对数的运算性质【解析】利用对数运算法则化简求解即可．【解答】2loga (M−2N)＝logaM+logaN，M>2N>0，可得(M−2N)2＝MN，即M2−5MN+4N2＝0，可得(MN )2−5⋅MN+4=0，解得MN=4，或MN=1（舍去）．二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分）【答案】B,C,D【考点】对数函数的定义对数及其运算【解析】根据对数的定义即可判断．【解答】只有符合a>0，且a≠1，N>0，才有a x＝N⇔x＝logaN，故B错误．由定义可知CD错误．只有A正确．【答案】C,D【考点】有理数指数幂的运算性质及化简求值对数的运算性质【解析】根据对数的运算性质和根式的概念即可判断．【解答】当a<0时，A，B不成立，对于C显然成立，对于D由换底公式得[(log29)⋅(log34)=lg9lg2×lg4lg3=21g3lg2×21g2lg3=4．所以D正确，【答案】A,B,C【考点】对数的运算性质对数值大小的比较【解析】将已知等式两边取对数，利用对数的运算性质即可求解a＝b，从而得解．【解答】因为a＝2ln3，b＝3ln2，所以ln a＝ln2ln3＝ln3ln2，ln b＝ln3ln2＝ln2ln3．所以ln a＝ln b，即a＝b，【答案】A,C,D【考点】对数的运算性质命题的真假判断与应用【解析】利用对数与指数的转化判断A；求解对数方程判断B；对数与指数的转化以及对数的运算法则判断C，方程恒成立求解x，y，代入对数式子，求解即可判断D．【解答】对于A，因为log189＝a，log1854＝b，所以18a＝9，18b＝54，所以182a−b=182a18b =9254=32．即A正确；对于B，logx 27＝3(log318−log32)＝3⋅log39＝3×2＝6．所以x6＝27，所以x6＝33，又x>0，所以x=√3．即B错误；对于C，由题意得：log3(log2x)＝1，即log2x＝3，转化为指数式为x＝23＝8，所以x−12=8−12=√8=√24，所以C正确．对于D，由x2+y2−4x−2y+5＝0，得(x−2)2+(y−1)2＝0，所以x＝2，y＝1，所以logx (y x)＝log2(12)＝0，即D正确．三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上）【答案】15【考点】对数的运算性质【解析】化简10lg2−ln e＝10lg2−1=210，从而解得．【解答】10lg2−ln e＝10lg2−1=210=15，2√29【考点】有理数指数幂的运算性质及化简求值 【解析】根据指数幂的运算法则即可得到结论． 【解答】∵ 10x ＝2，10y ＝3， ∴ 103x−4y 2=103x2−2y =(10x )32(10y )2=23232=√239=2√29，【答案】(1, 2)∪(2, 3) 【考点】对数函数的定义 【解析】根据对数函数成立的意义进行求解即可． 【解答】要使对数有意义，则{3−x >0x −1>0x −1≠1 ，即{x <3x >1x ≠2， 解得1<x <2或2<x <3，即x 的取值范围是(1, 2)∪(2, 3)， 【答案】 −1,1【考点】有理数指数幂的运算性质及化简求值 【解析】根据√x 2+2x +1+√y 2+6y +9=0即可得出|x +1|+|y +3|＝0，从而可求出x ，y ，进而可得出(x 2020)y 的值． 【解答】∵ √x 2+2x +1+√y 2+6y +9=√(x +1)2+√(y +3)2=|x +1|+|y +3|=0， ∴ x ＝−1，y ＝−3，∴ (x 2020)y ＝[(−1)2020]−3＝1−3＝1．四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）【答案】∵ 3a ＝5b ＝15，∴ a ＝log 315，b ＝log 515， ∴ 1a =log 153，1b =log 155， ∴ 1a +1b =log 1515＝1． ∵ 10a ＝2， ∴ lg 2＝a ， ∴ log 26=lg 6lg 2=lg 2+lg 3lg 2=a+b a．对数的运算性质指数式与对数式的互化【解析】（1）根据指数式和对数式的互化，和对数的运算性质即可求出，（2）根据换底公式和对数的运算性质即可求出．【解答】∵3a＝5b＝15，∴a＝log315，b＝log515，∴1a =log153，1b=log155，∴1a +1b=log1515＝1．∵10a＝2，∴lg2＝a，∴log26=lg6lg2=lg2+lg3lg2=a+ba．【答案】原式＝log4(42×46)+log3182+log5125＝8+2+3＝13．a6b−6−6a3b−1+9b4＝(a3b−3−3b2)2，由a＝2√7，b＝5√2，得a3b−3<3b2．∴原式=(a3b−3−3b2)(a3b−3+3b2)3b2−a3b−3⋅b5 a3+3b5=−(a3+3b5)b2a3+3b5，＝−b2．∵b＝5√2，故原式＝−50．【考点】有理数指数幂的运算性质及化简求值对数的运算性质【解析】（1）根据对数的运算性质即可求出，（2）根据指数幂的运算性质即可求出．【解答】原式＝log4(42×46)+log3182+log5125＝8+2+3＝13．a6b−6−6a3b−1+9b4＝(a3b−3−3b2)2，由a＝2√7，b＝5√2，得a3b−3<3b2．∴原式=(a3b−3−3b2)(a3b−3+3b2)3b2−a3b−3⋅b5 a3+3b5=−(a3+3b5)b2a3+3b5，＝−b2．∵b＝5√2，故原式＝−50．6423+(27125)−13−(279)0.5=16+53−53=16；∵ log 23＝x ，∴ 2x ＝3，2−x =13， ∴4x −4−x 2x −2−x=(2x +2−x )(2x −2−x )2x −2−x=2x +2−x =3+13=103．【考点】有理数指数幂的运算性质及化简求值 对数的运算性质【解析】（1）进行分数指数幂的运算即可； （2）根据log 23＝x 即可得出2x =3,2−x=13，然后化简4x −4−x2x −2−x 即可．【解答】6423+(27125)−13−(279)0.5=16+53−53=16； ∵ log 23＝x ，∴ 2x ＝3，2−x =13， ∴ 4x −4−x2x −2−x =(2x +2−x )(2x −2−x )2x −2−x=2x +2−x =3+13=103．【答案】∵ log 3(log 2x)＝0， ∴ log 2x ＝1， ∴ x ＝2；∵ log 2(lg x)＝1， ∴ lg x ＝2， ∴ x ＝100； x ＝52−log 53 =525log 53=253；x ＝(a log a b )log b c ＝(b)log b c =c ．【考点】对数的运算性质 【解析】由指数式与对数式的互化及对数的运算化简即可． 【解答】∵ log 3(log 2x)＝0， ∴ log 2x ＝1， ∴ x ＝2；∵ log 2(lg x)＝1， ∴ lg x ＝2， ∴ x ＝100； x ＝52−log 53=525log53=253；x＝(a log a b)log b c＝(b)log b c=c．【答案】若M∩N＝{1}，则①若11−a＝1，则a＝10，此时N＝{1, 1, 210, 10}不满足元素的互异性，不满足条件．②若lg a＝1，则a＝10，此时N＝{1, 1, 210, 10}不满足元素的互异性，不满足条件．③若2a＝1，则a＝0，此时lg a无意义，不满足条件．④若a＝1，则N＝{10, 0, 2, 1}，则M∩N＝{0, 1}不满足条件．综上存在实数a，使得M∩N＝{1}．【考点】交集及其运算【解析】根据集合的基本运算进行求解即可．【解答】若M∩N＝{1}，则①若11−a＝1，则a＝10，此时N＝{1, 1, 210, 10}不满足元素的互异性，不满足条件．②若lg a＝1，则a＝10，此时N＝{1, 1, 210, 10}不满足元素的互异性，不满足条件．③若2a＝1，则a＝0，此时lg a无意义，不满足条件．④若a＝1，则N＝{10, 0, 2, 1}，则M∩N＝{0, 1}不满足条件．综上存在实数a，使得M∩N＝{1}．【答案】a＝2×100+16+2＝218；∵A＝{x|x>218}，∴∁R A＝{x|x≤218}，B＝(∁R A)∩N＝{x|0≤x≤218, x∈N}，∴B中元素个数为219．【考点】有理数指数幂的运算性质及化简求值交、并、补集的混合运算【解析】（1）进行分数指数幂和根式的运算即可求出a＝218；（2）可得出集合A＝{x|x>218}，然后进行交集和补集的运算即可得出集合B＝{x|0≤x≤218, x∈N}，然后即可得出集合B中的元素个数．【解答】a＝2×100+16+2＝218；∵A＝{x|x>218}，∴∁R A＝{x|x≤218}，B＝(∁R A)∩N＝{x|0≤x≤218, x∈N}，∴B中元素个数为219．试卷第11页，总11页。

第4章 指数与对数类型1 指数的运算指数的运算是本章的重点内容，是学好本章的前提和基础，为后续对数的学习作铺垫．指数的运算常与根式交汇考查，也常与方程等知识联系，主要考查数学运算的核心素养．〖例1〗 (1)求值： ⎝⎛⎭⎫2350＋2－2×⎝⎛⎭⎫214－(0.01)0.5.(2)化简：〖解〗 (1)原式＝1＋14×⎝⎛⎭⎫49－⎝⎛⎭⎫1100＝1＋14×23－110＝1＋16－110＝1615.〖跟进训练〗1．计算下列各式(式子中字母都是正数)：类型2 对数的运算对数的运算是本章的重要内容之一，在学习指数运算的基础上学习对数运算，指数运算与对数运算是互逆的．对数运算常与指数、方程等知识交汇考查，主要考查学生的数学运算和逻辑推理能力．对数的运算应遵循以下原则：对数运算首先注意公式应用过程中范围的变化，前后要等价，熟练地运用对数的三个运算性质并结合对数恒等式，换底公式是对数计算、化简、证明常用的技巧．〖例2〗 计算下列各式：(2)lg 25＋23lg 8＋lg 5lg 20＋(lg 2)2.〖解〗 (1)原式＝＝⎝⎛⎭⎫34log 33－log 33·log 5(10－3－2) ＝⎝⎛⎭⎫34－1·log 55 ＝－14.(2)原式＝2lg 5＋2lg 2＋(1－lg 2)(1＋lg 2)＋(lg 2)2 ＝2(lg 5＋lg 2)＋1－(lg 2)2＋(lg 2)2＝2＋1＝3. 〖跟进训练〗 2．计算下列各式：(1)12lg 25＋lg 2＋lg 10＋lg(0.01)－1；(2)2log 32－log 3329＋log 38－3log 55.〖解〗 (1)法一：原式＝lg 〖25×2×10×(10－2)－1〗 ＝lg(5×2×10×102)＝lg 1072＝72.法二：原式＝12lg 52＋lg 2＋12lg 10－lg 10－2＝(lg 5＋lg 2)＋12－(－2)＝lg 10＋12＋2＝1＋12＋2＝72.(2)法一：原式＝log 322＋log 3(32×2－5)＋log 323－3 ＝log 3(22×32×2－5×23)－3＝log 332－3＝2－3＝－1. 法二：原式＝2log 32－(5log 32－2)＋3log 32－3＝2－3＝－1. 类型3 利用对数的运算性质进行求值对于带有附加条件的与对数式有关的求值问题是本节的重点内容之一，常与对数的运算性质相结合，如果附加条件比较复杂，则需先对其进行变形、化简，并充分利用其最简结果解决问题．具体解决方法：(1)注意指数式与对数式的互化，有些需要将对数式化为指数式，而有些需要将指数式化为对数式；(2)注意换底公式与对数的运算性质的应用，解题时应全方位、多角度地思考，注意已知条件和所求式子的前后照应．〖例3〗 若lg a ＋lg b ＝4，lg a ·lg b ＝14，求lg(ab )·(log a b ＋log b a )的值．〖解〗 lg(ab )·(log a b ＋log b a ) ＝(lg a ＋lg b )⎝⎛⎭⎫lg b lg a ＋lg a lg b ＝(lg a ＋lg b )·(lg b )2＋(lg a )2lg a lg b＝(lg a ＋lg b )·(lg b ＋lg a )2－2lg a lg blg a lg b＝4×42－2×1414＝248. 〖跟进训练〗3．若log a b ＋3log b a ＝132，则用a 表示b 的式子是________．b ＝a 或b ＝a 6 〖 原式可化为1log b a ＋3log b a ＝132，整理得3(log b a )2＋1－132log b a ＝0，即6(log b a )2－13log b a ＋2＝0.解得log b a ＝2或log b a ＝16，所以b 2＝a 或b 16＝a .即b ＝a 或b ＝a 6.〗4．已知lg a ＋lg b ＝2lg(a －2b )，求log 2ab 的值．〖解〗 因为lg a ＋lg b ＝2lg(a －2b )， 所以lg ab ＝lg(a －2b )2，ab ＝(a －2b )2，a 2－5ab ＋4b 2＝0， 即(a －b )(a －4b )＝0， 所以a ＝b 或a ＝4b . 又因为a －2b >0，所以a ＝4b ，log 2ab ＝log 24＝2.类型4 解简单的指数和对数方程简单的指数方程和对数方程是指数运算和对数运算的延伸，主要与方程结合交汇考查，培养学生的逻辑推理和数学运算能力，是对指数、对数运算的巩固和提升．具体解决方法如下：(1)化同底：将指数方程变形为a m ＝a n ⇔m ＝n .形如log a M ＝log a N (a ＞0，a ≠1)的对数方程，等价转化为M ＝N ，且⎩⎪⎨⎪⎧M >0，N >0 求解．(2)定义法：解形如b ＝log a M (a ＞0，a ≠1)的方程时，常借助对数的定义等价转化为M ＝a b 求解．(3)换元法：设t ＝a x (x ＝log a t )，将方程转化为关于t 的一元二次方程求出t ，再解出x . 〖例4〗 根据下列条件，分别求实数x 的值： (1)log 2(2－x )＝log 2(x －1)＋1； (2)32x ＋1－6x ＝22x ＋2.〖解〗 (1)原方程可化为log 2(2－x )＝log 2〖2(x －1)〗，得2－x ＝2(x －1)，解得x ＝43.经检验知，原方程的解为x ＝43.(2)原方程可化为3×32x －2x ×3x －4×22x ＝0， 因式分解得(3×3x －4×2x )(3x ＋2x )＝0， 则3×3x－4×2x＝0，即⎝⎛⎭⎫32x＝43，解得x ＝log 32 43.〖跟进训练〗5．解下列关于x 的方程： (1)lg x －1＝lg(x －1)；(2)log 4(3－x )＋log 0.25(3＋x )＝log 4(1－x )＋log 0.25(2x ＋1)．〖解〗 (1)原方程等价于⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝x －1，x －1>0，解之得x ＝2.经检验x ＝2是原方程的解，所以原方程的解为x ＝2.(2)原方程可化为log 4(3－x )－log 4(3＋x )＝log 4(1－x )－log 4(2x ＋1)． 即log 43－x 3＋x ＝log 41－x2x ＋1.整理得3－x x ＋3＝1－x 2x ＋1，解之得x ＝7或x ＝0.当x ＝7时，3－x ＜0，不满足真数大于0的条件，故舍去．x ＝0满足， 所以原方程的解为x ＝0.1．(2020·新高考全国卷Ⅰ)基本再生数R 0与世代间隔T 是新冠肺炎的流行病学基本参数．基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间．在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：I (t )＝e rt 描述累计感染病例数I (t )随时间t (单位：天)的变化规律，指数增长率r 与R 0，T 近似满足R 0＝1＋rT .有学者基于已有数据估计出R 0＝3.28，T ＝6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69)( )A ．1.2天B ．1.8天C ．2.5天D ．3.5天B 〖∵R 0＝1＋rT ，∴3.28＝1＋6r ，∴r ＝0.38.若⎩⎪⎨⎪⎧I (t 1)＝e 0.38t 1，I (t 2)＝e0.38t 2，I (t 2)＝2I (t 1)，则e 0.38(t 2－t 1)＝2,0.38(t 2－t 1)＝ln 2≈0.69，t 2－t 1≈1.8，选B.〗2．(2020·全国卷Ⅲ)Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域，由学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I (t )(t 的单位：天)的Logistic 模型：I (t )＝K 1＋e－0.23(t －53)，其中K 为最大确诊病例数，当I (t *)＝0.95K ，标志着已初步遏制疫情，则t *约为(ln 19≈3)( )A ．60B ．63C ．66D ．69C 〖由题意可得，当I (t *)＝0.95K 时，K1＋e －0.23(t *－53)＝0.95K ， ∴119＝e －0.23(t *－53)，∴ln 19＝0.23(t *－53)，∴t *－53≈13，∴t *≈66，故选C.〗。

本章达标检测(满分:150分;时间:120分钟)一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.log 318-log 32= ( )A.1B.2C.3D.4 2.设a >0,则下列运算正确的是 ( )A.a 43a 34=a B.(a14)4=aC.a 23a -23=0 D .a ÷a 23=a 323.方程42x -1=16的解是 ( )A.x =-32 B .a =32C.x =1D.x =2 4.已知ab =-5,则a √-a a +a √-aa的值是 ( )A.2√ B .0 C .−2√ D .±2√ 5.若x log 43=12,则9x +log 23x 等于( )A.3B.5C.7D.106.已知lg 2=0.301 0,由此可以推断22 014是 位数. ( )A.605B.606C.607D.6087.围棋棋盘共19行19列,361个格点,每个格点上可能出现黑、白、空三种情况,因此有3361种不同的情况.我国北宋学者沈括在他的著作《梦溪笔谈》中也讨论过这个问题,他分析得出一局围棋不同的变化大约有“连书万字五十二”种,即10 00052种,下列最接近336110 00052的是(注:lg 3≈0.477) ( )A.10-25B.10-26C.10-35D.10-36 8.设a =log 23,b =log 34,c =log 58,则 ( )A.a >b >cB.a >c >bC.c >a >bD.c >b >a二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多个选项符合题目要求,全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分)9.若n ∈N,a ∈R,则下列四个式子中有意义的是 ( )A.√(-4)2a 4B .√(-4)2a +14C.√a 45D .√a 5410.下列各式的值为1的是 ( ) A.log 26·log 62 B.log 62+log 64C.(2+√3)12·(2-√3)12D.(2+√3)12-(2-√3)1211.设a ,b ,c 都是正数,且4a =6b =9c ,则 ( )A.ab +bc =2acB.ab +bc =acC.2a=2a+1aD .1a =2a −1a 12.已知正数x ,y ,z 满足3x =4y =6z ,则下列说法正确的是 ( )A.1a+12a =1aB.3x >4y >6zC.x +y >(32+√2)z D.xy >2z 2三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.将答案填在题中横线上) 13.十六、十七世纪之交,随着天文、航海、工程、贸易以及军事的发展,改进数字计算方法成了当务之急,数学家纳皮尔在研究天文学的过程中,为简化计算发明了对数,直到十八世纪才由瑞士数学家欧拉发现了指数与对数的互逆关系,即a b =N ⇔b =log a N ,其中a >0且a ≠1,N >0.现已知a =log 48,则4a = ;4a +4-a = .14.设35x =49,若用含x 的式子表示log 535,则log 535= .15.(2020江苏安宜中学高一期末,)从1,2,3,4,9这五个数中任取两个数分别作为对数的底数和真数,则可以得到 种不同的对数值.16.已知实数α,β满足αe α=e 3,β(ln β-1)=e 4,其中e 为自然对数的底数,则αβ= .四、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)计算:(1)1-312−2+3−(338)13+(√7−√0;(2)log 20.25+ln √e +24×log 23+lg 4+2lg 5−√(-2)44.18.(本小题满分12分)已知x +x -1=4,求下列各式子的值: (1)a 12+a -12; (2)a 32+a-32;(3)a 2+a -2+2a 2+a -2-2.19.(本小题满分12分)求函数y =log 2(8x )·log 2(4x )(1≤log 2x ≤3)的最大值与最小值.20.(本小题满分12分)已知log32=a,log53=b,试用a,b分别表示下列各式:(1)log25;(2)lg 2;(3)log2045.21.(本小题满分12分)光线通过一块玻璃,强度要损失10%.设光线原来的强度为k,通过x块这样的玻璃后强度为y,则至少通过几块这样的玻璃,光线强度能减弱以下?(参考数据:lg 3≈0.477,lg 2≈0.3)到原来的1422.(本小题满分12分)若a,b是方程2(lg x)2-lg x4+1=0的两个实数根,求lg(ab)·(log a b+log b a)的值.答案全解全析本章达标检测一、单项选择题1.B log318-log32=log3182=log39=2.故选B.2.B选项A中,a 43a34=a43+34=a2512,故A错误;选项B中,(a 14)4=a14×4=a,故B正确;选项C中,a 23a-23=a23-23=a0=1,故C错误;选项D中,a÷a 23=a1-23=a13,故D错误.故选B.3.B因为42x-1=16,所以2x-1=log416=log442=2,所以2x-1=2,所以x=32.故选B. 4.B a √-a a+a √-a a=a √-aa a2+a √-aa a2=a √5a2+a √5a2=a√5|a |+a√5|a |,由题意知ab <0,故a |a |=−a|a |,则原式=0.故选B.5.B 由x log 43=12,得log 43x =12,∴3x=412=2,∴9x +log 23x =22+log 22=5.故选B.6. C 令22 014=t ,两边同时取常用对数得2 014×lg 2=lg t ,则lg t =2 014× 0.301 0=606.214,∴22 014是607位数.故选C.7.D 将336110 00052取常用对数可得lg336110 00052=lg 3361-lg 10 00052=361×lg 3-52×4≈-35.8,∴336110 000≈10-35.8. 分析选项,可得10-36与其最接近.故选D. 8.B 因为b =log 34=log 2764=lg64lg27,c =log 58=log 2564=lg64lg25,又lg 64>0,0<lg 25<lg 27,所以b <c.因为a =log 23=log 49>log 48=lg8lg4,c =log 58=lg8lg5,又lg 8>0,0<lg 4<lg 5,所以c <a.所以a >c >b.故选B. 二、多项选择题9.AC A 中,2n 为偶数,则(-4)2n >0恒成立,A 中式子有意义;B 中,(-4)2n +1<0,无意义;C 中,a 4为恒大于或等于0的数,有意义;D 中,当a <0时,式子无意义.故选AC . 10.AC 选项A 中,log 26·log 62=1,故A 符合题意;选项B 中,原式=log 6(2×4)=log 68≠1,故B 不符合题意;选项C 中,原式=[(2+√3)·(2-√3)]12=112=1,故C 符合题意;选项D 中,[(2+√3)12-(2-√3)12]2=2+√3+2−√3-2(2+√3)12·(2-√3)12=4-2=2≠1,故D 不符合题意.故选AC.11.AD 由于a ,b ,c 都是正数,故可设4a =6b =9c =M ,则a =log 4M ,b =log 6M ,c =log 9M ,∴1a =log M 4,1a =log M 6,1a =log M 9.∵log M 4+log M 9=2log M 6,∴1a+1a=2a,即1a=2a−1a,去分母整理得,ab +bc =2ac.故选AD.12.ACD 设3x =4y =6z =t (t >1),则x =1log a 3,y =1log a 4,z =1log a 6.1a+12a=log a 3+12log a 4=log a 6=1a,故A 正确;4a=4log t 3=log t 81,3a=3log t 4=log t 64,log t 81-log t 64=log t 8164>0,所以4a >3a,即3x <4y ,故B 不正确;a +a a =a a+a a=lg6lg3+lg6lg4=32+lg2lg3+lg32lg2>32+√2,故C 正确;aa a2=a a ×a a=lg6lg3×lg6lg4=(lg6)2lg3×2lg2=(lg2)2+2lg2×lg3+(lg3)22lg2×lg3=1+12(lg2lg3+lg3lg2)>2,故D正确.故选ACD. 三、填空题 13.答案 8;658解析 因为a =log 48,所以4a =8. 所以4a +4-a =8+18=658.14.答案22-a解析 对35x =49两边取以5为底的对数,可得x log 535=log 549,即x (log 55+log 57)=2log 57,所以log 57=a2-a ,所以log 535=1+log 57=1+a2-a=22-a.15.答案 9解析 当构成的对数式含有1时,只能真数为1,底数可为2,3,4,9,得到的对数值均为0;当构成的对数式不含1时,有log 23,log 24,log 29,log 32,log 34,log 39,log 42,log 43,log 49,log 92,log 93,log 94,其中log 23=log 49,log 24=log 39,log 32=log 94,log 42=log 93,故有8种不同的对数值.综上,可以得到1+8=9种不同的对数值. 16.答案 e 4解析 对αe α=e 3,β(ln β-1)=e 4两边取以e 为底的对数,得α+ln α=3,lnβ+ln(ln β-1)=4,即α+ln α-3=0,ln β-1+ln(ln β-1)-3=0,所以α和ln β-1是方程x +ln x -3=0的根. 易知方程x +ln x -3=0的根唯一,所以α=ln β-1,所以3-ln α=ln β-1,整理得ln α+ln β=4,所以αβ=e 4. 四、解答题 17.解析 (1)1-312−1−(338)13+(√7−√103)0 =1-√3−√3−(278)13+1 (2分)=1-√3−2+√3−(32)3×13+1(4分)=-32. (5分)(2)log 20.25+ln √e +24×log 23+lg 4+2lg 5−√(-2)44=log 214+ln e 12+2log 234+lg 4+lg 52−√244(7分)=-2+12+81+lg 100-2 (9分)=7912. (10分)18.解析 (1)由条件可知x +x -1=(a 12+a -12)2-2=4,所以(a 12+a -12)2=6, (2分)又a 12+a -12>0,所以a 12+a -12=√6.(4分)(2)a 32+a -32=(a 12+a -12)(x +x -1-1) (6分) =√-1)=3√.(8分)(3)等式x +x -1=4两边平方得x 2+x -2+2=16,所以x 2+x -2=14.(10分)所以a 2+a-2+2a2+a-2-2=14+214-2=1612=43.(12分)19.解析y=log2(8x)·log2(4x) =(log2x+3)·(log2x+2) (2分) =(log2x)2+5log2x+6 (4分)=(log2a+52)2−14.(6分)∵1≤log2x≤3, (8分)∴当log2x=1,即x=2时,y min=12; (10分) 当log2x=3,即x=8时,y max=30.(12分)20.解析(1)log25=log35log32=log55log53log32=1aa=1aa.(4分)(2)lg 2=log32log310=log32log3(2×5)=log32log32+log35=log32 log32+log55log53=aa+1a=aa1+aa.(8分)(3)log2045=log345log320=log3(5×9)log3(4×5)=log35+log39log34+log35=log35+log332log322+log35=log35+2log332log32+log35=log55log53+2log332log32+log55log53=1a+22a+1a =1+2a1+2aa.(12分)21.解析光线经过1块玻璃后,强度变为y=(1-10%)k=0.9k; (2分) 光线经过2块玻璃后,强度变为y=(1-10%)·0.9k=0.92k; (4分)……光线经过x块玻璃后,强度变为y=0.9x k. (6分)由题意得0.9x k<a4,即0.9x<14, (8分)两边同时取常用对数,可得x lg 0.9<lg14. (10分) 因为lg 0.9<lg 1=0,所以x>lg 1 4lg0.9=-2lg22lg3-1≈-2×0.32×0.477-1≈13.04,又x∈N*,所以至少通过14块这样的玻璃,光线强度能减弱到原来的14以下.(12分)22.解析原方程可化为2(lg x)2-4lg x+1=0.(2分)设t=lg x,则方程化为2t2-4t+1=0,∴t1+t2=2,t1t2=12.(4分)∵a,b是方程2(lg x)2-lg x4+1=0的两个实数根,∴不妨令t1=lg a,t2=lg b,∴lg a+lg b=2,lg a·lg b=12, (6分)∴lg(ab)·(log a b+log b a)=(lg a+lg b)·(lg alg a +lg alg a)=(lg a+lg b)·(lg a)2+(lg a)2lg a·lg a(8分)=(lg a+lg b)·(lg a+lg a)2-2lg a·lg alg a·lg a(10分)=2×22-2×1212=12,故lg ab·(log a b+log b a)=12.(12分)。

课后素养落实(十六) 对数的概念(建议用时：40分钟)一、选择题1．(多选题)下面四个结论中正确的是( )A ．lg(lg 10)＝0B ．ln(ln e)＝0C ．若10＝lg x ，则x ＝10D ．若e ＝ln x ，则x ＝e 2AB 〖lg(lg 10)＝lg 1＝0，故A 正确．ln(ln e)＝ln 1＝0，故B 正确．若10＝lg x ，则x ＝1010，故C 错误．若e ＝ln x ，则x ＝e e ，故D 错误．〗2．在M ＝log (x －3)(x ＋1)中，要使式子有意义，x 的取值范围为( )A ．(－∞，3〗B ．(3,4)∪(4，＋∞)C ．(4，＋∞)D ．(3,4) B 〖由函数的解析式可得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1>0x －3>0x －3≠1，解得3<x <4，或x >4.〗3．若log 2(log x 9)＝1则x ＝( )A ．－3B ．3C ．±3D ．9 B 〖由题意知log x 9＝21＝2，∴x 2＝9，∴x ＝±3.又x >0 ∴x ＝3.〗4．设log 45＝2m ，则4m ＝( )A ．125B ．25C ．15D ． 5D 〖∵log 45＝2m ，∴m ＝log 45，∴4m ＝4＝ 5.〗 5．已知a ＝49(a >0)，则log 23a 的值为( ) A ．49B ．13C ．3D ．－3C 〖∵已知a ＝49(a >0)， ∴a ＝⎝⎛⎭⎫49＝⎝⎛⎭⎫233， 则log 23 a ＝log 23⎝⎛⎭⎫233＝3.〗 二、填空题6．若log a 3＝m ，log a 5＝n .则a 2m ＋n 的值为________．45 〖由log a 3＝m ，得a m ＝3.由log a 5＝n 得a n ＝5，∴a 2m ＋n ＝()a m 2·a n ＝32×5＝45.〗7．已知a ＝23＋log 23，b ＝ 32＋log 32，则a ，b 的大小关系是________．a >b 〖a ＝23＋log 23＝23×2log 23＝8×3＝24，b ＝32＋log 32＝32×3log 32＝9×2＝18，所以a >b .〗8．已知log 7(log 3(log 2x ))＝0，则x ＝________，x －12＝________. 8 24〖由题意得，log 3(log 2 x )＝1，即log 2 x ＝3， 转化为指数式则有x ＝23＝8，∴x ＝8＝18＝18＝122＝24.〗 三、解答题9．求下列各式中的x .(1)log x 27＝32； (2)log 2x ＝－23； (3)log x (3＋22)＝－2；(4)log 5(log 2 x )＝0；(5)x ＝log 27 19. 〖解〗 (1)由log x 27＝32，得x ＝27， ∴x ＝27＝32＝9.(2)由log 2x ＝－23，得2＝x ，∴x ＝1322＝322. (3)由log x (3＋22)＝－2，得3＋22＝x －2，即x ＝(3＋22)＝2－1.(4)由log 5(log 2 x )＝0，得log 2 x ＝1.∴x ＝21＝2. (5)由x ＝log 27 19，得27x ＝19， 即33x ＝3－2，∴x ＝－23. 10．计算下列各式：(1)10lg 3－10log 41＋2log 26；(2)22＋log 23＋32－log 39.〖解〗 (1)10lg 3－10log 41＋2log 26＝3－0＋6＝9.(2)22＋log 23＋32－log 39＝22×2log 23＋323log 39＝4×3＋99＝12＋1＝13.1．(多选题)使log (3a －1)(4－a )有意义的a 的可能取值为( )A ．23B ．1C ．2D ．5 BC 〖由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ 4－a >03a －1>03a －1≠1解得13<a <4，且a ≠23.〗 2．方程lg(x 2－1)＝lg(2x ＋2)的根为( )A ．－3B ．3C ．－1或3D ．1或－3B 〖由lg(x 2－1)＝lg(2x ＋2)，得x 2－1＝2x ＋2，即x 2－2x －3＝0，解得x ＝－1或x ＝3.经检验x ＝－1是增根，所以原方程的根为x ＝3.〗3．把对数式log 84＝x 化成指数式是________；可求出x ＝________.8x ＝4 23 〖∵log 84＝x ， ∴8x ＝4，∴23x ＝22，所以x ＝23.〗 4．求值：31＋log 36－24＋log 23＋103lg 3＋⎝⎛⎭⎫19log 3 4＝________. －4716〖原式＝31·3log 3 6－24·2log 2 3＋(10lg 3)3＋3－2·log 3 4 ＝3×6－16×3＋33＋(3log 3 4)－2＝18－48＋27＋116＝－4716.〗分贝是计量声音强度相对大小的单位，物理学家引入了声压级(SPL)来描述声音的大小，把声压P 0＝2×10－5帕作为参考声压．把所要测量的声压P 与参考声压P 0的比值取常用对数后乘以20得到的数值成为声压级，声压级是听力学中最重要的参数之一，单位是分贝(dB)，分贝值在60以下为无害区，60～110为过渡区，110以上为有害区．(1)根据上述材料，列出分贝值y 与声压P 的函数关系式；(2)某地声压P ＝0.002帕，试问该地为以上所说的什么区？(3)2013年央视春晚中，蔡明、潘长江等表演小品《想跳就跳》时，现场多次响起响亮的掌声，某观众用仪器测量到最响亮的一次音量达到了90分贝，试求此时中央电视台演播大厅的声压是多少？〖解〗 (1)根据题意可知，y ＝20lg P P 0. (2)声压P ＝0.002，代入可得：y ＝20lg 0.0022×10－5＝40，故属于无害区． (3)将90dB 代入可得：90＝20lg P 2×10－5解得：P ＝105Pa.。

章末综合测评(四) 指数与对数(满分：150分 时间：120分钟)一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．将3－22化为分数指数幂，其形式是( ) A ．212 B ．－212 C ．2－12D ．－2－12B [3－22＝(－22)13＝(－2×212)13＝13＝－212．故选B ．]2．若log a 2 b ＝c ，则( ) A ．a 2b＝c B ．a 2c＝b C ．b c＝2aD ．c 2a＝bB [log a 2 b ＝c ⇔(a 2)c＝b ⇔a 2c＝b ．故选B ．] 3．计算9－32的结果是( ) A ．127 B ．18 C ．36D ．136A [9－32＝(32)－32＝3－3＝127，故选A ．]4．下列根式与分数指数幂的互化，正确的是( ) A ．－x ＝(－x )12(x ≥0) B ．6x 2＝x 13(x ≤0) C ．x －34＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 3(x >0)D ．x －13＝－3x (x ≠0)C [－x ＝－x 12(x ≥0)，故A 错，6x 2＝－x 13(x ≤0)，故B 错，x －13＝31x(x ≠0)，故D 错，故选C ．]5．若lg 2＋lg(2x＋5)＝2lg(2x＋1)，则x 的值等于( )A ．1B ．0或18C ．18D ．log 23D [ 因为lg 2＋lg(2x＋5)＝2lg(2x＋1)，∴2(2x＋5)＝(2x＋1)2，(2x )2－9＝0,2x＝3，x ＝log 23．故选D ．]6．下列各式中成立的是( ) A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫n m 7＝n 7m 17B ．12－34＝3－3C ．4x 3＋y 3＝(x ＋y )34D ．39＝33D [39＝(913)12＝916＝313＝33，故选D ．]7．已知log a 12＝m ，log a 3＝n ，则a m ＋2n等于( )A ．3B ．34C ．9D ．92D [由已知得a m ＝12，a n ＝3，所以a m ＋2n ＝a m ×a 2n ＝a m ×(a n )2＝12×32＝92．故选D ．]8．已知2log a (M －2N )＝log a M ＋log a N ，则M N的值为( ) A ．14 B ．4 C ．1D ．4或1B [因为2log a (M －2N )＝log a M ＋log a N ，所以log a (M －2N )2＝log a (MN )，(M －2N )2＝MN ，⎝ ⎛⎭⎪⎫M N 2－5M N ＋4＝0，解得M N ＝1(舍去)，M N＝4，故选B ．]二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)9．对于下列说法，其中错误说法为( ) A ．零和负数没有对数B ．任何一个指数式都可以化成对数式C ．以10为底的对数叫做自然对数D ．以e 为底的对数叫做常用对数BCD [只有符合a >0，且a ≠1，N >0，才有a x＝N ⇔x ＝log a N ，故B 错误．由定义可知CD 错误．只有A 正确．故选BCD ．]10．下列运算正确的是( ) A ．4a 4＝a B ．log 2a 2＝2log 2a C ．3－a 3＝－aD ．(log 29)·(log 34)＝4CD [当a <0时，AB 不成立，对于C 显然成立，由换底公式得[(log 29)·(log 34)＝lg 9lg 2×lg 4lg 3＝2lg 3lg 2×2lg 2lg 3＝4．所以D 正确，应选CD ．] 11．已知a ＝2ln 3，b ＝3ln 2，则下列判断正确的是( )A ．a ≥bB ．a ≤bC ．a ＝bD ．无法比较它们的大小ABC [因为a ＝2ln 3，b ＝3ln 2，所以ln a ＝ln 2ln 3＝ln 3ln 2，ln b ＝ln 3ln 2＝ln 2ln 3．所以ln a ＝ln b ，即a ＝b ，所以选ABC ．]12．下列命题中，真命题是( ) A ．若log 189＝a ，log 1854＝b ，则182a －b＝32B ．若log x 27＝3(log 318－log 32)，则x ＝± 3C ．若log 6[log 3(log 2x )]＝0，则x －12＝24D ．若x 2＋y 2－4x －2y ＋5＝0，则log x (y x)＝0ACD [对于A ，因为log 189＝a ，log 1854＝b ，所以18a ＝9,18b＝54， 所以182a －b ＝182a 18b ＝9254＝32．即A 正确； 对于B ，log x 27＝3(1＋log 32)＝3·3log 32＝3×2＝6． 所以x 6＝27，所以x 6＝33，又x ＞0，所以x ＝3．即B 错误； 对于C ，由题意得：log 3(log 2x )＝1，即log 2x ＝3， 转化为指数式为x ＝23＝8，对于D ，由x 2＋y 2－4x －2y ＋5＝0，得(x －2)2＋(y －1)2＝0，所以x ＝2，y ＝1， 所以log x (y x)＝log 2(12)＝0，即D 正确．]三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．10lg 2－ln e＝ ．15 [ln e ＝1，所以原式＝10lg 2－1＝10lg 2×10－1＝2×110＝15．] 14．若10x ＝2,10y＝3，则103x －4y2＝ ．15．若log (x －1)(3－x )有意义，则x 的取值范围是 ． (1,2)∪(2,3) [由已知得⎩⎪⎨⎪⎧3－x >0，x －1>0，x －1≠1.解得1<x <3且x ≠2．即x 的取值范围是(1,2)∪(2,3)．]16．若 x 2＋2x ＋1＋y 2＋6y ＋9＝0，则x ＝ ，(x 2 020)y＝ ．(本题第一空2分，第二空3分)－1 1 [因为x 2＋2x ＋1＋y 2＋6y ＋9＝0, 所以x ＋12＋y ＋32＝|x ＋1|＋|y ＋3|＝0，所以x ＝－1，y ＝－3．所以(x2 020)y＝[(－1)2 020]－3＝1－3＝1．]四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)(1)已知3a ＝5b＝15，求1a ＋1b的值．(2)设10a＝2，lg 3＝b ，用a ，b 表示log 26． [解] (1)∵3a＝5b＝15，∴a ＝log 315，b ＝log 515， ∴1a ＝log 153，1b＝log 15 5，∴1a ＋1b＝log 1515＝1．(2)∵10a＝2，∴lg 2＝a ， ∴log 26＝lg 6lg 2＝lg 2＋lg 3lg 2＝a ＋ba．18．(本小题满分12分)(1)化简：log 4(24×642)＋log 318－log 32＋log 52×log 2125；(2)已知a ＝27，b ＝52，求a 6b －6－9b 4a 6b －6－6a 3b －1＋9b 4·b 5a 3＋3b5的值．[解] (1)原式＝log 4(42×46)＋log 3182＋log 5125＝8＋2＋3＝13．(2)a 6b －6－6a 3b －1＋9b 4＝(a 3b －3－3b 2)2， 由a ＝27，b ＝52，得a 3b －3<3b 2．∴原式＝a 3b －3－3b 2a 3b －3＋3b 23b 2－a 3b －3·b 5a 3＋3b 5 ＝－a 3b －3＋3b 2b 5a 3＋3b 5＝－a 3＋3b 5b 2a 3＋3b 5＝－b 2．∵b ＝52，故原式＝－50．19．(本小题满分12分)(1)求6423＋⎝ ⎛⎭⎪⎫27125－13－⎝ ⎛⎭⎪⎫279 0.5的值；(2)若log 23＝x ，求4x －4－x2x －2－x 的值．[解] (1)6423＋⎝ ⎛⎭⎪⎫27125－13－⎝ ⎛⎭⎪⎫279 0.5＝16＋53－53＝16．(2)若x ＝log 23，则2x ＝3,2－x＝13，所以4x－4－x2x －2－x ＝2x ＋2－x2x －2－x2x－2－x＝2x ＋2－x＝3＋13＝103．20．(本小题满分12分) 求下列各式中x 的值： (1)log 3(log 2x )＝0； (2)log 2(lg x )＝1； (3)52－log 53＝x ；(4) (a log a b )log b c ＝x (a >0，b >0，c >0，a ≠1，b ≠1)． [解] (1)∵log 3(log 2x )＝0，∴log 2x ＝1．∴x ＝21＝2． (2)∵log 2(lg x )＝1，∴lg x ＝2．∴x ＝102＝100．21．(本小题满分12分) 设M ＝{0,1}，N ＝{lg a,2a，a,11－a }，是否存在实数a ，使M ∩N ＝{1}?[解] 不存在实数a ，使M ∩N ＝{1}．理由如下： 若lg a ＝1，则a ＝10，此时11－a ＝1，从而11－a ＝lg a ＝1，与集合元素的互异性矛盾； 若2a＝1，则a ＝0，此时lg a 无意义；若a ＝1，此时lg a ＝0，从而M ∩N ＝{0,1}，与条件不符； 若11－a ＝1，则a ＝10，从而lg a ＝1，与集合元素的互异性矛盾． 综上，不存在实数a ，使M ∩N ＝{1}．22．(本小题满分12分)设a ＝2×1 00023＋6423＋－22．(1)化简上式，求a 的值；(2)设集合A ＝{x |x >a }，全集为R ，B ＝(∁R A )∩N ，求集合B 中的元素个数． [解] (1)原式＝2×1 00023＋6423＋2 ＝2×100＋16＋2＝218． (2)A ＝{x |x >218}，∁R A ＝{x |x ≤218}，B ＝{x |0≤x ≤218，x ∈N }， 所以B 中元素个数为219．。

第4章指数与对数4．1指数1.实数a的奇次方根只有一个．()2．无理数指数幂有的不是实数．()3．指数幂a x(a>0)中的x只能是有理数．()4．当n为大于1的奇数时，na 对任意a∈R都有意义．()5．0的任何指数幂都等于0.()【解析】1.√2．×.提示：无理数指数幂对应一个确定的实数，不正确．3．×.提示：指数幂a x(a>0)中的x是任意实数，不正确．4．√5．×.提示：0的0次幂无意义．·题组一根式概念及化简求值1．化简4m6(m＜0)为()A．m m B．m－mC．－m m D．－m－m【解析】选D.因为m＜0，所以4m6＝－m3＝－m－m .2．关于8 的叙述正确的是()A．8 ＝ 3 ＋ 5 B．在数轴上不存在表示8 的点C．8 ＝±2 2 D．与8 最接近的整数是3【解析】选D.8 ＝2 2 ，是8的算术平方根，是无理数，能够在数轴上表示，所以B，C错误；8 ≠ 3 ＋ 5 ，所以A错误；与8 最接近的整数是9 ＝3，所以D正确．3．m是实数，则下列式子中可能没有意义的是()A．4m2B．3m C．6m D．5－m【解析】选C.由指数幂的运算性质，可得：对于A中式子4m2，实数m的取值为R，所以4m2总有意义；对于B中式子3m ，实数m的取值为R，所以3m 总有意义；对于C中式子6m ，实数m的取值为[0，＋∞)，所以6m 可能没有意义；对于D中式子5－m ，实数m的取值为R，所以5－m 总有意义．4．(2021·南通高三模拟)二次根式a2＝－a成立的条件是() A．a>0 B．a<0C．a≤0 D．a是任意实数【解析】选C.因为a 2 ＝|a|＝－a ，所以a≤0. ·题组二 根式与分数指数幂的互化1.⎝ ⎛⎭⎪⎫614 －12＝( ) A ．32 B ．23 C ．25 D ．52【解析】选C.⎝ ⎛⎭⎪⎫614 －12 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫254 －12 ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫522 －12 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫52 －1 ＝25 .2.3a·a 的分数指数幂表示为( )A ．a 12B ．a 32C ．a 34 D ．都不对【解析】选A.3a·a ＝3a·a 12 ＝a 32 ×13 ＝a 12 ．3．(2021·镇江高三模拟)下列各式中成立的是( ) A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫n m 7＝n 7m 17 B ．12（－3）4＝3－3C ．x 3＋y 3 ＝(x ＋y)32 D ．（3－π）2 ＝π－3【解析】选D.对于A ，⎝ ⎛⎭⎪⎫n m 7＝n 7m －7，故A 错误；对于B ，12（－3）4 ＝1234 ＝33 ，故B 错误；对于C ，显然不成立，故C 错误；对于D ，（3－π）2 ＝⎪⎪⎪⎪3－π ＝π－3，故D 正确．·题组三 指数幂的运算性质1．下列式子计算正确的是( ) A ．m 3·m 2＝m 6B ．(－m)2＝－1m 2C ．m 2＋m 2＝2m 2D ．(m ＋n)2＝m 2＋n 2 【解析】选C.因为m 3·m 2＝m 3＋2＝m 5，故A 错误； 因为(－m)2＝m 2，故B 错误； 因为m 2＋m 2＝2m 2，故C 正确； 因为(m ＋n)2＝m 2＋n 2＋2mn ，故D 错误． 2．化简：3a a ÷76a (a ＞0)＝( )A ．a 53B ．a 23C ．1D ．23a -【解析】选D.原式＝12a ÷76a ＝1726a-＝23a-．3．若3a·9b＝13 ，则下列等式正确的是( ) A ．a ＋b ＝－1 B ．a ＋b ＝1 C ．a ＋2b ＝－1 D ．a ＋2b ＝1 【解析】选C.3a·9b＝3a·32b＝3a ＋2b ＝13＝3－1， 则a ＋2b ＝－1.4．计算结果正确的是( ) A ．－6x 2y 3÷12 x 2y 2＝－12yB ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－32xy 4 2÷⎝⎛⎭⎫－2x 2y 2 ＝34 y 6C．16x5y7÷(－2x3y2)＝－32x2y5D．(2x2y)4÷[(xy)2]2＝8x4【解析】选A.对于A：左边＝－6x2y3÷12x2y2＝－12y＝右边，故A正确；对于B：左边＝94x2y8－2x2y2＝－98y6≠右边，故B不正确；对于C：左边＝16x5y7÷(－2x3y2)＝－8x2y5≠右边，故C不正确；对于D：左边＝16x8y4x4y4＝16x4≠右边，故D不正确．·题组四指数幂运算的综合应用1．一张报纸，其厚度为0.1毫米，现将报纸对折(即沿对边中点连线折叠)10次，这时，报纸的厚度为________厘米．()A．2.56 B．5.12 C．10.24 D．20.48【解析】选C.一张报纸，其厚度为0.1毫米，现将报纸对折(即沿对边中点连线折叠)10次，这时，报纸的厚度为0.1×210＝102.4(毫米)，约为10.24厘米．2．某位股民购进某只股票，在接下来的交易时间内，他的这只股票先经历了3次涨停(每次上涨10%)又经历了3次跌停(每次下降10%)，则该股民这只股票的盈亏情况(不考虑其他费用)为()A．略有亏损B．略有盈利C．没有盈利也没有亏损D．无法判断盈亏情况【解析】选A.由题意可得：(1＋10%)3(1－10%)3＝(0.99)3≈0.97＜1.因此该股民这只股票的盈亏情况为：略有亏损．3．为改善环境，某城市对污水处理系统进行改造．三年后，城市污水排放量由原来每年排放125万吨降到27万吨，那么污水排放量平均每年降低的百分率是()A．50% B．40% C．30% D．20%【解析】选B.设污水排放量平均每年降低的百分率为p，则有125(1－p)3＝27，故p＝0.4＝40%.易错点一开方时未注意符号1．已知a2＋a－2＝3，则a＋a－1＝________．【解析】因为a2＋a－2＝(a＋a－1)2－2，所以(a＋a－1)2－2＝3，所以(a＋a－1)2＝5，所以a＋a－1＝±5 .答案：±52．已知a 12＋a－12＝3，则a－a－1＝________．【解析】将a12＋a－12＝3两边平方，得a＋a－1＋2＝9，即a＋a－1＝7.将a＋a－1＝7两边平方，有a2＋a－2＋2＝49，所以a2＋a－2＝47.所以(a－a－1)2＝a2＋a－2－2＝45.所以a－a－1＝±3 5 .答案：±3 5【易错误区】条件求值是代数式求值中的常见题型，一般要结合已知条件先化简再求值，另外要特别注意条件的应用，如条件中的隐含条件，整体代入等，可以简化解题过程．易错点二因忽略幂底数的范围而导致错误1．已知ab＝－5，则a－ba＋b－ab的值是()A．2 5 B．0 C．－2 5 D．±2 5 【解析】选B.因为ab＝－5，所以a与b异号，所以a－ba＋b－ab＝a－aba2＋b－abb2＝a5a2＋b 5b2＝a5|a|＋b5|b|＝0.2．化简：11-222(1-a)[(a-1)(-a)]＝________．【解析】由12(-a)知－a≥0，故a－1<0.所以11-222 (1-a)[(a-1)(-a)]＝(1－a)(1－a)－1·1 4(-a)＝14 (-a)．答案：14(-a)【易错误区】在利用指数幂的运算性质时，要关注条件中有无隐含条件，在出现根式时要注意是否是偶次方根，被开方数是否符合要求． 易错点三 混淆(n a )n 与na n 1．化简3a 3＋4（1－a ）4 的结果是( )A ．1B ．2a －1C ．1或2a －1D ．0 【解析】选C.3a 3＋4（1－a ）4＝a ＋|1－a|＝⎩⎨⎧1，a≤1，2a －1，a>1.2．下列运算不正确的是( ) A ．4（3－π）4 ＝π－3 B ．e 2x ＝(e x )2 C ．3（a －b ）3 ＝a －b D ．ab ＝ a ·b【解析】选D.对于A ，4（3－π）4 ＝|3－π|＝π－3，故A 正确，不符合题意；对于B ，e 2x ＝(e x )2，成立，故B 正确，不符合题意； 对于C ，3（a －b ）3 ＝a －b ，成立，故C 正确，不符合题意；对于D ，当a ＜0且b ＜0时， a 和 b 无意义，故D 错误． 【易错误区】化简n a n时，首先明确根指数n是奇数还是偶数，然后再依据根式的性质进行化简；化简(n a )n时，关键是明确n a 是否有意义，只要n a 有意义，则(n a )n ＝a.为使开偶次方后不出现符号错误，可先用绝对值表示开方的结果，再去掉绝对值符号．限时30分钟分值50分战报得分______一、选择题(每小题5分，共25分)1．下列各式正确的是()A．3－5 ＝6（－5）2B．4（3－π）4＝3－πC．na n＝||a(n>1，n∈N*)D．(na )n＝a(n>1，n∈N*)【解析】选D.A.3－5 ＜0，6（－5）2＞0，可得3－5 ≠6（－5）2，因此不正确；B．4（3－π）4＝π－3，因此不正确；C ．na n＝⎩⎨⎧a ，n 为奇数||a ，n 为偶数，不正确；D ．(na )n ＝a(n ＞1，n ∈N *)，因此D 正确．2．对于a ，b ＞0，r ，s ∈R ，下列运算中正确的是( ) A. a r ·a s ＝a rs B ．(a r )s ＝a r ＋sC ．⎝ ⎛⎭⎪⎫a b r＝a r ·b －r D ．a r b s ＝(ab)rs【解析】选C.对于A ：a r ·a s ＝a r ＋s ，因此A 不正确； 对于B ：(a r )s ＝a r s ，因此B 不正确；对于C: ⎝ ⎛⎭⎪⎫a b r＝a r ·b －r ，因此C 正确；对于D ：(ab)rs ＝a rs ·b rs ，因此D 不正确． 3．16的4次方根可以表示为( ) A ．2 B ．－2 C ．±2 D ． 4【解析】选C.因为()±2 4＝24＝16，所以16的4次方根可以表示为±2. 4．已知12a ＋12a-＝4，则a 2－a －2a －a－1 的值是( ) A ．2 B ．4 C ．14 D ．16【解析】选C.因为12a ＋12a -＝4，所以1122a a -⎛⎫+ ⎪⎝⎭2＝42，即a ＋a －1＋2＝16，所以a ＋a －1＝14，所以a 2－a －2a －a －1 ＝（a ＋a －1）（a －a －1）a －a －1＝a ＋a －1＝14. 5．(多选题)在下列根式与分数指数幂的互化中，不正确的是( )A ．⎝⎛⎭⎫－x 0.5＝－x ()x≠0 B ．6y 2 ＝y 13 C ．34x y -⎛⎫ ⎪⎝⎭＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫y x 3 ()xy≠0 D ．x －13 ＝－3x【解析】选ABD.对于A ，⎝⎛⎭⎫－x 0.5＝－x ()x≠0 ，左边x<0，右边x>0，故A错误；对于B ，6y 2 ＝y 13 ，当y<0时，6y 2 ＝－13y ，故B 错误；对于C ，由分式指数幂可得xy>0，则34x y -⎛⎫ ⎪⎝⎭＝43y x ⎛⎫ ⎪⎝⎭＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫y x 3 ，故C 正确； 对于D ，1-3x ＝131x ＝13x ，故D 错误．所以不正确的是A ，B ，D.二、填空题(每小题5分，共15分)6．设a>0，3a 2 ·a a ＝a t ，则t 的值为________．【解析】由a>0，3a 2 ·a a ＝a t ，得3a 2 ·a a ＝211324aa a ＝1712a ，则t ＝1712 . 答案：17127．若x>0，y>0，化简：423x 1-3y ÷11332x y 3--⎛⎫- ⎪⎝⎭得________. 【解析】由x>0，y>0，得4x 23 y －13 ÷11332x y 3--⎛⎫- ⎪⎝⎭ ＝－4×322111-3333x y ++＝－6xy 0＝－6x. 答案：－6x8．方程4x －2x －2＝0的解为________．【解析】设t ＝2x >0，即转化为求方程t 2－t －2＝0的正实数根由t 2－t －2＝0得t ＝2或t ＝－1(舍).所以t ＝2x ＝2，则x ＝1.答案：x ＝1三、解答题 9．(10分)化简：(1)4（1－π）4 . (2)823 －⎝ ⎛⎭⎪⎫13 －2＋e 0.(3)⎝ ⎛⎭⎪⎫5116 0.5＋⎝⎛⎭⎫－1 －1＋0.75－2＋2310227-⎛⎫ ⎪⎝⎭． 【解析】(1)4（1－π）4 ＝⎪⎪⎪⎪1－π ＝π－1.(2)823 －⎝ ⎛⎭⎪⎫13 －2＋e 0＝()23 23 －32＋1＝4－9＋1＝－4. (3)⎝ ⎛⎭⎪⎫5116 0.5＋⎝⎛⎭⎫－1 －1＋0.75－2＋2310227-⎛⎫ ⎪⎝⎭＝⎝ ⎛⎭⎪⎫8116 12 ＋1⎝⎛⎭⎫－1 ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫34 －2＋236427-⎛⎫ ⎪⎝⎭ ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫942 12 －1＋169 ＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫433 －23 ＝94 －1＋169 ＋916 ＝517144 .1．(2021·宿迁高三模拟)物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却定律来描述：设物体的初始温度是T 0，经过一定时间t(单位：分)后的温度是T ，则T －T a ＝(T 0－T a )·e －kt ，其中T a 称为环境温度，k 为比例系数. 现有一杯90℃的热水，放在26℃的房间中，10分钟后变为42℃的温水，那么这杯水从42℃降温到34℃时需要的时间为( )A ．8分钟B ．6分钟C ．5分钟D ．3分钟【解析】选C.由T －T a ＝(T 0－T a )·e －kt 可得，当90℃的热水，放在26℃的房间中，10分钟后变为42℃的温水时有：42－26＝⎝⎛⎭⎫90－26 ·e －10k ，解得k ＝－110 ln14 ＝110 ln 4，则当水的温度由42℃下降到34℃时，34－26＝⎝⎛⎭⎫42－26 ·e －110 ln 4·t ，解得：t ＝5. 2．若a 2＋a －2＝3，求a －a －1和a 3－a －3的值．【解析】⎝⎛⎭⎫a －a －1 2＝a 2＋a －2－2， 又因为a 2＋a －2＝3，则⎝⎛⎭⎫a －a －1 2＝3－2＝1，a －a －1＝±1；⎝⎛⎭⎫a 2＋a －2 ⎝⎛⎭⎫a －a －1 ＝a 3－a －3－a ＋a －1，当a －a －1＝1时，a 3－a －3－a ＋a －1＝3，所以a 3－a －3＝4，当a －a －1＝－1时，a 3－a －3－a ＋a －1＝－3，所以a 3－a －3＝－4，综上所述：a －a －1＝±1，a 3－a －3＝±4.。

第4章测评(时间:120分钟满分:150分)一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.在N=log(5-b)(b-2)中,实数b的取值范围是()A.(-∞,2)∪(5,+∞)B.(2,5)C.(4,5)D.(2,4)∪(4,5){b-2>0,5-b>0,5-b≠1,解得2<b<5且b≠4.所以实数b的取值范围是(2,4)∪(4,5).故选D.2.(2021天津河西高一期末)设a>0,则下列运算正确的是()A.a 43a34=a B.a144=aC.a 23a-23=0 D.a÷a23=a32解析a 43a34=a43+34=a2512,故A错误;a144=a14×4=a,故B正确;a23a-23=a23-23=a0=1,故C错误;a÷a23=a1-23=a13,故D错误.故选B.3.(2021浙江高三学业考试)log318-log32=()A.1B.2C.3D.4318-log32=log3182=log39=2.故选B.4.方程42x-1=16的解是()A.x=-32B.x=32C.x=1D.x=242x-1=16,所以2x-1=log416=2,所以2x-1=2,解得x=32.故选B.5.(2020江苏高一课时练习)已知18x=2y=3,则1x −1y=()A.1B.2C.-1D.-218x=2y=3,∴x=log183,y=log23,∴1x =log318,1y=log32,∴1x−1y=log318-log32=2,故选B.6.(2020江苏高一课时练习)51160.5+(-1)-1÷0.75-2+21027-23=()A.9B.49C.-94D.-49解析原式=942×0.5-342+433×(-23)=94−916+916=94.故选A .7.已知ab=-5,则a √-ba +b √-ab 的值是( ) A.2√5 B.0 C.-2√5 D.±2√5ab<0,a √-ba +b √-ab =a √-aba 2+b √-abb 2=a √5a 2+b √5b 2=a √5|a |+b √5|b |,由于ab<0,故a|a |=-b|b |,则原式=0.故选B .8.(2020江苏高一单元测试)若lg a ,lg b 是方程2x 2-4x+1=0的两个根,则lg a b 2的值等于()A.2B.12C.4D.14解析lg a ,lg b 是方程2x 2-4x+1=0的两个根,则{lga +lgb =2,lga ·lgb =12,∴lg ab2=(lg a-lg b )2=(lg a+lg b )2-4lg a ·lg b=22-4×12=2.故选A .二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得3分. 9.下列各选项中,值为1的是( ) A.log 26×log 62B.log 62+log 64C.2+√3 12×(2-√3)12 D.(2+√3)12-(2-√3)12A 选项,log 26×log 62=log 26×1log 26=1,故A 选项正确.对于B 选项,原式=log 6(2×4)=log 68≠1,B 选项不正确. 对于C 选项,原式[(2+√3)×(2-√3)]12=112=1,C 选项正确;对于D 选项,由于[(2+√3)12-(2-√3)12]2=2+√3+2-√3-2(2+√3)12·(2-√3)12=4-2=2≠1,D 选项不正确.故选AC .10.(2020江苏高一课时练习)在下列根式与分数指数幂的互化中,不正确的是( ) A.(-x )0.5=-√x (x ≠0)B.√y 26=y 13C.x y -34=√(yx ) 34(xy ≠0)D.x -13=-√x 3解析对于A,(-x )0.5=-√x (x ≠0),左边x<0,右边x>0,故A 错误;对于B,√y 26=y 13,当y<0时,√y 26=-y 13,故B 错误;对于C,由分式指数幂可得xy>0,则x y-34=y x43=√(yx ) 34,故C 正确;对于D,x -13=1x 13=1√x3,故D错误.故选ABD.11.已知a ,b 均为正实数,若log a b+log b a=52,a b =b a ,则ab =( ) A.12B.√22C.√2D.2t=log a b ,则t+1t=52,所以2t 2-5t+2=0,即(2t-1)(t-2)=0,解得t=12或t=2,即log a b=12或log a b=2,所以a=b 2或a 2=b. 因为a b =b a ,代入得2b=a=b 2或b=2a=a 2, 所以a=4,b=2或a=2,b=4, 所以ab=2或ab=12.故选AD.12.设a ,b ,c 都是正数,且4a =6b =9c ,那么( ) A.ab+bc=2ac B.ab+bc=ac C.2=2a+1bD.1c=2b−1a,设4a =6b =9c =k (k>0),则a=log 4k ,b=log 6k ,c=log 9k ,对于选项A,由ab+bc=2ac ,可得bc +ba =2, 因为bc+ba =log 6k log 9k+log 6k log 4k=log k 9log k 6+log k 4log k 6=log 69+log 64=log 636=2,故A 正确,B 错误; 对于选项C,2a +1b =2log4k+1log 6k =2log k 4+log k 6=log k 96,2c =2log 9k =2log k 9=log k 81, 则2c≠2a+1b ,故C 错误; 对于选项D,2b −1a =2log 6k−1log 4k =2log k 6-log k 4=log k 9,1c =1log 9k =log k 9,则1c =2b −1a ,故D 正确.故选AD .三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.(2021浙江嘉兴高一期末)计算:√(π-4)2−823= .π(π-4)2−823=|π-4|-(23)23=4-π-4=-π.14.若对数ln(x 2-5x+6)存在,则x 的取值范围为 .-∞,2)∪(3,+∞)对数ln(x 2-5x+6)存在,∴x 2-5x+6>0,解得x<2或x>3,即x 的取值范围为(-∞,2)∪(3,+∞). 15.(2020江苏太湖高级中学高一期中)已知2x +2-x =3,则23x -2-3x 2x -2-x= .2x +2-x =3,所以23x -2-3x 2x -2-x=(2x -x -x )(22x +2x ×2-x +2-2x )2x -2-x=22x +2-2x +1=(2x +2-x )2-2+1=32-1=8.16.(2020北京海淀101中学高二期末)已知log 5x+log 5y=2(x>0,y>0),则x+4y 的最小值为 .log 5x+log 5y=log 5xy=2,所以xy=25且x>0,y>0,所以x+4y ≥2√4xy =20,当且仅当x=4y ,即x=10,y=52时,等号成立,所以x+4y 的最小值为20.四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(10分)(2020全国高一课时练习)将下列根式化成分数指数幂的形式. (1)√a 13√a (a>0); (2)√x (√x 2)23(x>0);(3)√b -234-23(b>0).解(1)原式=√a 13a 12=√a 56=a 56 12=a 512(a>0).(2)原式=√x(x 25) 23=√x ·x 453=√x 953=1(x 95) 13=1x 35=x -35(x>0).(3)原式=b -23 14 -23=b -23×14×(-23)=b 19(b>0).18.(12分)计算下列各式的值: (1)lg 2+lg 50; (2)log 34log 98;(3)2log 214+169-12+lg 20-lg 2-log 32×log 23+(√2-1)lg 1.+lg50=lg100=lg102=2.(2)log 34log98=lg4lg3lg8lg9=2lg2lg3×2lg33lg2=2×23=43.(3)2log 214+169-12+lg20-lg2-log 32×log 23+(√2-1)lg1=14+34+lg10-1+(√2-1)0=1+1-1+1=2.19.(12分)(2020江苏高一课时练习)已知lg(x+2y )+lg(x-y )=lg 2+lg x+lg y ,求log 8xy的值.lg(x+2y )+lg(x-y )=lg2+lg x+lg y ,∴{x +2y >0,x -y >0,x >0,y >0,(x +2y )(x -y )=2xy ,即{x >y >0,(x y ) 2-x y -2=0, 解得xy =2或xy =-1(舍去),∴log 8x y =log 82=13.20.(12分)计算:(1)(-1.8)0+32-2×√(278) 23−1√0.01+√93;(2)lg 12-lg 58+lg 12.5-log 89×log 34. 解(1)原式=1+49×323×23−10.1+33=1+49×94-10+27=19.(2)原式=lg12×252÷58-lo g 2332×log 322=lg10-23×2×(log 23×log 32)=1-43=-13.21.(12分)(2020湖北利川第五中学高一期末) (1)计算:2log 2√22+lg 0.01+21+log 23-log 29×log 32; (2)已知√x √x =3,求x+x -1+2x 2+x -2-2的值.原式=log 212+lg10-2+2×2log 23−lg9lg2×lg2lg3=-1-2+6-2=1.(2)因为√x +√x=3,所以x+x -1=√x +1√x 2-2=7,x 2+x -2=(x+x -1)2-2=47,所以x+x -1+2x 2+x -2-2=7+247-2=15.22.(12分)(1)求log 2125×log 38×lo g 1527的值;(2)已知log 95=a ,3b =7,试用a ,b 表示log 2135.原式=log 25-2×log 323×lo g 5-133=(-2log 25)×(3log 32)×(-3log 53)=18×lg5lg2×lg2lg3×lg3lg5=18.(2)由3b =7得b=log 37,由log 95=a ,得到a=12log 35,即log 35=2a.log2135=log335log321=log35+log37log37+log33=2a+bb+1.。