东华大学概率论与数理统计B考试大纲final(带公式)
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为了帮助广大考生复习备考,也应广大考生的要求,现提供我校自命题专业课的考试大纲供考生下载。
考生在复习备考时,应全面复习,我校自命题专业课的考试大纲仅供参考。
电力大学2020年硕士研究生入学初试《概率论与数理统计)》课程考试大纲参考书目:①盛骤等编,《概率论与数理统计》(第六版),北京:高等教育出版社,2010年;②黄建雄等编,《概率论与数理统计》(第二版),北京:中国物资出版社,2009。
一、复习总体要求要求学生对概率论与数理统计的基本概念和理论能正确理解,并对相关知识具有一定的分析运算能力和应用能力。
概率论部分约占50%,数理统计部分约占50%。
二、复习内容概率论部分(约50%)1. 随机事件及其概率考试内容:随机试验,样本空间,随机事件及其事件之间的关系与运算,概率的基本性质,古典概型,几何概型,条件概率,全概率公式,贝叶斯公式,事件的独立性。
考试要求:(1)了解随机试验,样本空间,随机事件,事件的关系与运算;(2)理解事件的概率,掌握概率的公理化及其性质,会计算古典概型,掌握概率的乘法公式,全概率公式,贝叶斯公式;(3)理解事件的相互独立性,及在概率运算中的应用。
2. 随机变量及其分布考试内容:随机变量及其概率分布的概念与性质,离散型随机变量及其概率分布的概念,连续型随机变量及其概率分布的概念,泊松定理的结论和应用条件。
考试要求:(1)理解随机变量的概念,分布函数的概念和性质;(2)掌握离散型随机变量,及其分布:0-1分布,二项分布,超几何分布,泊松分布,泊松定理及其应用;(3)掌握连续型随机变量及其概率密度,均匀分布,指数分布,正态分布,正态分布的标准化。
(4)理解随机变量函数的分布并会求解,离散型和连续型。
3. 多维随机变量及其分布考试内容:二维随机变量的概念,二维随机变量的联合分布的概念及性质,随机变量的独立性及不相关的概念,二维正态分布的概率密度,离散型联合概率分布,边缘分布,条件分布,随机变量相互独立的条件,连续型联合概率密度,边缘密度,条件密度,随机变量相互独立的条件。
《概率论与数理统计》考试大纲一、课程简介概率论是一门研究随机现象统计规律性数量关系的数学学科,约形成于二十世纪初期,1917年苏联科学家伯恩斯坦首先给出了概率论的公理体系,1933年柯尔莫哥洛夫又以更完整的形式提出了概率论的公理结构,从此概率论臻于完善;而数理统计是研究如何有效地收集整理和分析受随机影响的数据,并作出统计推断、预测或者决策的一门学科,它是以概率论为基础的。
《概率论与数理统计》是一门研究和探索客观世界随机现象规律的数学学科,它以随机现象为研究对象,是数学的分支学科,在金融、保险、经济与企业管理、工农业生产、医学、地质学、气象与自然灾害预报等等方面都起到非常重要的作用。
随着计算机科学的发展,以及功能强大的统计软件和数学软件的开发,这门学科得到了蓬勃的发展,它不仅形成了结构宏大的理论,而且在自然科学和社会科学的各个领域应用越来越广泛。
该课程主要讲授“概率论与数理统计基本概念”、“随机变量”、“大数定律与中心极限定理”、“参数估计与假设检验”和“方差分析与回归分析”等内容,理、工、经管类本科生必修的一门重要的基础课。
学习该课程可使学生掌握概率论与数理统计的基本概念,了解它的基本理论和方法,从而使学生初步掌握处理随机现象的基本思想和方法,培养学生运用概率统计方法分析和解决、处理实际不确定问题的基本技能和基本素质。
二、考查目标目的是科学、公平、有效地测试考生是否具备攻读我校统计学专业硕士研究生所必须的基本素质、一般能力和培养潜能,以利于选拔具有发展潜力的优秀人才入学,为国家的经济建设培养具有良好职业道德、具有较强分析与解决实际问题能力的高层次应用型的统计学专业人才。
考查考生对概率论与数理统计的基本概念、基本理论和方法的掌握情况,是否具有较强的逻辑推理能力和灵活的思维能力,是否具有较强的计算能力,是否具有综合运用所学知识分析与解决较为复杂实际问题的能力。
要求考生:比较全面地掌握统计学的基本原理和方法,以及相关的概率论知识;具有一定的运用统计学模型分析实际数据和解释分析结果的能力。
东华大学试卷2019—2020 学年第 2 学期课号课程名称概率论与数理统计(期末; 闭卷)适用班级(或年级、专业)1、(9分) 从0,1,2,3,4,5这六个数中任取三个数进行排列,问取得的三个数字能排成三位数且是偶数的概率有多大.2、(9分)用三个机床加工同一种零件,零件由各机床加工的概率分别为0.5、0.3、0.2,各机床加工的零件为合格品的概率分别为0.94、0.90、0.95,求全部产品的合格率.3、(11分)某机械零件的指标值ξ在[90,110]内服从均匀分布,试求:(1)ξ的分布密度、分布函数;(2)ξ取值于区间(92.5,107.5)内的概率.4、(9分)某射手每次射击打中目标的概率都是0.8,现连续向一目标射击,直到第一次击中为止.求“射击次数”的期望.5、(17分)对于下列三组参数,写出二维正态随机向量的联合分布密度与边缘分布密度.6、(15分)求下列各题中有关分布的临界值.1))6(205.0χ,)9(201.0χ; 2))12(01.0t ,)8(05.0t ; 3))10,5(025.0F ,)5,10(95.0F .7、(11分)某水域由于工业排水而受污染,现对捕获的10条鱼样检测,得蛋白质中含汞浓度(%)为0.213 0.228 0.167 0.766 0.054 0.037 0.266 0.135 0.0950.101,若生活在这个区域的鱼的蛋白质中含汞浓度ξ~N (μ,2σ),试求μ=E ξ,2σ=D ξ的无偏估计.8、(12分)某种导线的电阻服从正态分布N(μ,2σ),要求电阻的标准差不得超过0.004欧姆. 今从新生产的一批导线中抽取10根,测其电阻,得s*=0.006欧姆. 对于α=0.05,能否认为这批导线电阻的标准差显著偏大?9、 (7分)某校电器(3)班学生期末考试的数学成绩x (分)近似服从正态分布N (75,102),求数学成绩在85分以上的学生约占该班学生的百分之几?。
概率论与数理统计复习提纲概率论与数理统计总复习第⼀讲随机事件及其概率⼀随机事件,事件间的关系及运算 1.样本空间和随机事件 2.事件关系,运算和运算律⑴事件的关系和运算⑶运算律:交换律,结合律,分配律;对偶律: B A B A ?=?,B A B A ?=?;⼆概率的定义和性质 1.公理化定义(P7)2.概率的性质(P8.五个) ⑴)(1)(A P A P -=;⑵)()()()(AB P B P A P B A P -+=?;3.古典概型和⼏何概型4.条件概率 )()()|(A P AB P A B P =三常⽤的计算概率的公式1.乘法公式 )()()()()(B A P B P A B P A P AB P ==2.全概率公式和贝叶斯公式(P17-20.) 四事件的独⽴性1.定义:A 和B 相互独⽴ )()(B P A B P =或)()()(B P A P AB P ?=,2.贝努利试验在n 重贝努利试验中,事件=k A {A 恰好发⽣k 次})0(n k ≤≤的概率为:k n nk n k p p C A P --=)1()(第⼆讲随机变量及其概率分布⼀随机变量及其分布函数1.随机变量及其分布函数 )()(x X P x F ≤=)(+∞<<-∞x2.分布函数的性质(P35.四个)⑴0)(lim =-∞→x F x ;1)(lim =+∞→x F x ;(常⽤来确定分布函数中的未知参数)⑵)()()(a F b F b X a P -=≤<(常⽤来求概率) ⼆离散型随机变量及其分布律1.分布律2.常⽤的离散型分布三连续型随机变量 1.密度函数 ?∞-=xdt t f x F )()(2.密度函数的性质(P39.七个) ⑴1)(=?+∞∞-dx x f ;(常⽤来确定密度函数中的参数)⑵?=≤adx x f b X a P )()(;(计算概率的重要公式)⑶对R x ∈?,有0)(==c X P (换⾔之,概率为0的事件不⼀定是不可能事件). 3.常⽤连续型分布重点:正态分布:)0,(21)(22)(>=--σσµσπσµ都是常数,x ex f标准正态分布)1,0(N :2221)(x ex -=π四随机变量函数的分布1.离散情形设X 的分布律为则)(X g Y =的分布律为2.连续情形设X 的密度函数为)(x f X ,若求)(X g Y =的密度函数,先求Y 的分布函数,再通过对其求导,得到Y 的密度函数。
东 华 大 学 试 卷2017—2018 学年第 2 学期 课号课程名称 概率论与数理统计 (期末; 闭卷) 适用班级(或年级、专业)一. 填空:(每小题3分,共15分) 1.设41)()()(===C p B p A p ,0)(=AB p ,61)()(==AC p BC p ,则 事件C B A ,,都不发生的概率为 。
2.随机变量T 在[0,6]上服从均匀分布,则方程 012=++x T x 有实根的概率为 。
3.随机变量X 服从参数为λ的泊松分布,且1)]2)(1[(=−−X X E , 则=λ 。
4.设总体X 服从参数为λ的指数分布)(λExp ,n X X X ,,,21 是来自 总体X 的简单随机样本,则=X D 。
5.设1621,,,X X X 是来自总体X ),4(~2σN 的简单随机样本,2σ已知,令 ∑==161161i i X X ,则统计量σ−164X 服从分布为 (必须写出分布的参数)。
二.选择(每小题3分,共15分)1.以A 表示“概率考试及格,英语不及格”,则A 表示( ))(A 概率考试不及格,英语考试及格;)(B 概率英语考试都及格; )(C 概率英语考试都不及格;)(D 概率不及格或英语及格。
2.如果),163(N ~X ,且43+=X Y ,则DY 等于( ))(A 144 )(B 25 )(C 27 )(D 433.设X 服从参数为91=λ的指数分布,)(x F 为其分布函数, 则=<<}93{X P ( ))(A )93()1(F F − )(B )11(913ee −)(C ee 113− )(D ⎰−93/dx e x4.1621,,,X X X 是来自总体),10(N ~X 的一部分样本,设: 216292821X X Y X X Z ++=++= ,则YZ~( ) )(A )1,0(N )(B )16(t )(C )16(2χ )(D )8,8(F5.已知n X X X ,,,21 是来自总体的样本,则下列是统计量的是( )X X A +)( +A ∑=−n i i X n B 1211)(a X C +)( +10 131)(X a X D ++5三.计算(70分) 1、(8分)已知一批产品中,合格品占90%,检查时一个合格品被认为是次品的概率为0.02,而一个次品被认为是合格品的概率为0.05,现在任取一件检查,求该产品被认为是合格品的概率。
《概率论与数理统计》考试大纲一、考查目标《概率论与数理统计》是为选拔学位学科教学(数学)教育硕士专业硕士研究生而为同等学历考生设置的入学考试科目。
其目的是科学、公平、有效地考查学生对《概率论与数理统计》的基础知识的掌握情况;是否具备攻读我校教育硕士研究生所必须的基本的数据分析素质和培养潜能.二、考试内容及要求第一章随机事件与概率(一)考核知识点1、随机事件与概率:样本空间,随机事件,随机变量,事件域,事件运算,事件间关系2、概率的定义及其确定方法3、概率的性质:可加性,单调性,连续性4、条件概率:定义,乘法公式,全概率公式,Bayes 公式5、事件与试验的独立性(二)考核要求1、深刻理解本章的各项内容2、能够应用本章的基本概念、基本原理、基本方法解决相关实际问题,如古典概率问题。
第二章随机变量及其分布(一)考核知识点1、随机变量及其分布:概念,离散随机变量,分布列,连续随机变量,密度函数,分布函数2、数学期望3、方差与标准差:定义,性质,切比雪夫不等式4、常用离散分布:二项分布,几何分布,泊松分布,超几何分布5、常用连续分布:正态分布,指数分布,均匀分布,伽玛分布6、随机变量函数的分布(二)考核要求1、深刻理解本章的各项内容2、能够应用本章的基本概念、基本原理、基本方法解决相关实际问题第三章多维随机变量及其分布(一)考核知识点1、多维随机变量及其分布:概念,联合分布列,联合密度函数,联合分布列,常用多维分布2、边际分布于随机变量的独立性:边际分布列,边际分函数,边际分密度函数,随机变量的独立性3、多维随机变量函数的分布:离散多维随机变量函数的分布,最大最小值分布,4、多维随机变量的特征:数学期望,方差,协方差,相关系数,运算,期望向量,协方差矩阵(二)考核要求1、领会本章的各项内容2、能够应用本章的基本概念、基本原理、基本方法解决相关实际问题,如多维正态分布问题。
第四章大数定律与中心极限定理(一)考核知识点1、大数定律:伯努利大数定律,大数定律的一般形式,切比雪夫大数定律,辛钦大数定律,马尔科夫数定律2、中心极限定理:利莫弗 - 拉普拉斯中心极限定理,莱维 - 林德伯格中心极限定理,正态近似3、多维随机变量函数的分布:离散多维随机变量函数的分布,最大最小值分布,(二)考核要求1、领会本章的各项内容2、能够应用本章的基本概念、基本原理、基本方法解决相关实际问题,如多维正态分布问题。
概率论与数理统计考前必备公式==================================概率论与数理统计是大学生必修的数学课程之一,也是多个专业领域的基础知识。
这门课程主要研究随机现象以及随机事件的概率,探索统计规律,并应用于实际问题的分析与决策。
在概率论与数理统计的学习过程中,我们会接触到大量的公式,这些公式是我们进行问题求解的基础。
本文档将为大家整理并介绍概率论与数理统计考前必备的公式,帮助大家在考试中更好地把握重点,提高成绩。
1.随机变量与分布1.1随机变量随机变量是一种数值型的随机量,它的取值由随机实验的结果决定。
我们将随机变量分为离散型和连续型两类。
1.离散型随机变量定义:$X$是一个随机变量,如果它的取值有穷多个或者可列无穷多个,那么$X$是离散型随机变量。
2.连续型随机变量定义:$X$是一个随机变量,如果它的取值为一个区间或者多个区间,那么$X$是连续型随机变量。
1.2分布函数分布函数是描述随机变量取值情况的函数,记作$F(x)$,其中$x$为实数。
根据随机变量的类型,分布函数可为离散型随机变量的概率质量函数或连续型随机变量的概率密度函数。
1.离散型随机变量概率质量函数概率质量函数描述离散型随机变量取值的概率分布。
对于离散型随机变量$X$,其概率质量函数定义如下:$$P(X=x_i)=p_i,\q u ad i=1,2,\d ot s$$2.连续型随机变量概率密度函数概率密度函数描述连续型随机变量取值的概率分布。
对于连续型随机变量$X$,其概率密度函数定义如下:$$F(x)=\in t_{-\in f ty}^{x}f(x)d x$$1.3均匀分布均匀分布是最简单的连续型随机变量分布之一,主要用于描述在一个区间内所有点出现的概率相等的情况。
1.均匀分布的概率密度函数均匀分布的概率密度函数定义如下:$$f(x)=\be gi n{cas e s}\f ra c{1}{b-a},&a\le qx\l eq b\\0,&\t ex t{其他}\e n d{ca se s}$$其中$a$为区间下界,$b$为区间上界。
概率论与数理统计B考试大纲答疑:1月5日下午3:00-4:30。
2号学院楼543。
第2章描述统计学1.样本均值、样本方差、样本标准差的计算;2.样本中位数、分位数;先对数据按从小到大排序。
如果np不是整数,那么第[np]+1个数据是100p%分位数。
如果np是一个整数,那么100p%分位数取第[np]和第[np]+1个值的平均值。
特别地,中位数是50%分位数。
3.样本相关系数。
,重点例题:例2.3.1, 例2.3.7, 例2.3.8,例2.6.2。
重点习题:P5ex4, P29 ex6, ex12第3章概率论根底1. 样本空间,事件的并、交、补,文图和德摩根律;,2. 概率的定义、补事件计算公式、并事件计算公式;对于任何的互不相交事件序列,3. 等可能概型的计算,排列和组合;4. 条件概率、乘法公式、全概率公式、贝叶斯公式;,4.事件独立性及其概率的计算。
重点习题:P53 ex12, ex13, ex18, ex25, ex29, ex31, ex33, ex35, ex47第4章随机变量与数学期望1. 随机变量的分布函数及其性质;2. 离散型随机变量的概率质量函数及其性质,有关概率的计算;离散型随机变量:取值集合有限或者是一个数列x i, i=1,2, …。
概率质量函数:,3. 连续型随机变量的概率密度函数及其性质,有关概率的计算;连续型随机变量:随机变量的可能的取值是一个区间。
概率密度函数f(x):对任意一个实数集B有,,4 二维随机变量的联合分布函数、联合质量函数、联合密度函数,有关概率的计算;,,5. 随机变量的独立性,有关概率的计算;随机变量X与Y独立: ;分布函数离散型连续型6. 怎样求连续型随机变量函数的密度函数〔先求分布函数,再求导〕;Y=g(X)7. 数学期望〔离散型,连续型〕,函数的数学期望〔离散型,连续性〕;离散型连续型8. 数学期望的性质,当X与Y独立时,E[XY]=E[X] E[Y]9. 方差和它的性质;;当X与Y独立,,10 协方差、相关系数,有关性质;Corr(X,Y)=1或-1,当且仅当X和Y线性相关,即P(Y=a+bX)=1 (当b>0, 相关系数为1; 当b<0, 相关系数为-1)当X与Y独立时,X与Y不相关,即.11. 矩母函数,利用矩母函数求各阶矩;矩矩母函数利用矩母函数求各阶矩12. 切比雪夫不等式,弱大数定律,概率的频率意义。
概率论与数理统计(公共课)复习提纲 注:方框标示的内容为重点。
第1章 随机事件及其概率1. 样本点与样本空间、事件的关系与运算;2. 事件的运算规律;(1) 交换律 A ∪B =B ∪A , A ∩B =B ∩A ;(2) 结合律 (A ∪B )∪C =A ∪(B ∪C ), (A ∩B )∩C =A ∩(B ∩C );(3) 分配律 (A ∪B )∩C =(A ∩C )∪(B ∩C ), (A ∩B )∪C =(A ∪C )∩(B ∪C)3. 事件概率的定义及其性质、古典概型的概率计算;条件概率 P (B |A ) = P (AB ) / P (A );乘法公式 P (AB ) = P (A )P (B |A ) 或 P (AB ) = P (B )P (A |B )全概率公式 P (B ) = P (A 1)P (B |A 1) + … + P (A n )P (B |A n ) + …n = 2的情形(样本空间被对立事件划分) )|()()|()()(A B P A P A B P A P B P += n = 3的情形 )|()()|()()|()()(332211A B P A P A B P A P A B P A P B P ++=贝叶斯公式(已知事件B 发生后,求其由A i 所引起的概率),...2,1,)|()()|()()()()|(===∑i A B P A P A B P A P B P B A P B A P jj j i i i i事件的独立性 P (AB ) = P (A )P (B );9.有限事件的两两独立与相互独立;伯努利概型及其概率计算;随机变量及其分布与数字特征1. 常用离散型概率分布两点分布(0-1分布) P { X = x 1 } = p , P { X = x 2 } = 1 – p (0 < p < 1) E (X ) = p , D (X ) = p (1 – p )二项分布 X ~ b (n , p ) n k p p C k X P k n k k n ,...,1,0,)1(}{=-==-E (X ) = np , D (X ) = np (1 – p )泊松分布 X ~ P (λ) ,...2,1,0,!}{===-k e k k X P k λλE (X ) = D (X ) = λ2. 二项分布的泊松近似100,10,!)1(><=≈---n np e k p p C kk n k kn λλλ 3. 随机变量的分布函数(1) 定义:F (x ) = P { X ≤ x };(2) 性质:a. 单调非减;b. F (-∞) = 0、F (+∞) = 1;c. 右连续;4. 常用连续型概率分布均匀分布 X ~ U (a , b )密度函数:b x a a b x f <<-=,1)(,分布函数:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<≤--<=bx b x a ab a x a x x F ,1,,0)( 2)(a b X E -=, 12)()(2a b X D -= 指数分布 X ~ e(λ)密度函数:0,)(>=-x ex f x λλ,分布函数:⎩⎨⎧>-=-其它,00,1)(x e x F x λ λ1)(=X E , 21)(λ=X D正态分布 X ~ N (μ, σ2) μ=)(X E , 2)(σ=X D标准正态分布 X ~ N (0, 1),E (X ) = 0, D (X ) = 1;5. 随机变量函数 Y = f ( X ) 的分布离散型:列出分布律;连续型:(1)用概率的方法求出函数 Y 的分布函数后,再求其密度函数;(2)如果函数 Y = f (X ) 满足严格单调,则可使用公式直接求 Y 的密度函数: 的反函数为其中)()(,|,)(|))(()(x f y y h y y h y h f y f X Y =<<'=βα6. 随机变量函数 Y = f ( X ) 的数学期望离散型:∑==ii i p x g X g E X E )()]([)(连续型:⎰+∞∞-==x x f x g X g E X E d )()()]([)( 7. 方差的计算D (X ) =E [ X – E (X ) ]2 = E (X 2) – [E (X )]28. 数学期望与方差的性质(E (X ), E (Y ), D (X ), D (Y )均存在)E (aX ± bY ) = aE (X ) ± bE (Y ) D (aX ± bY ) = a 2D (X ) + b 2D (Y )9. 中心极限定理定理3 设随机变量 X 1, X 2, …, X n , … 相互独立,服从同一分布,且 E (X i ) = μ, D (X i ) = σ2, ( i = 1, 2, …),则)(lim 1x x n n X P n i i n Φ=⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤-∑=∞→σμ或),(~2n n N X X n i i σμ ∑= 即n 个随机变量的和的极限分布是正态分布。
《概率论与数理统计》考试大纲及参考书目
概述
一、考试比例:
概率论占60%,统计学占40%。
二、题型结构:
单项选择题(共10题,每题4分,计40分)
填空题(共10题,每题4分,计40分)
判断题(共5题,每题4分,计20分)
解答题(包括证明题)(共5题,每题10分,计50分)
总分150分。
三、考试时间:
3小时。
四、参考教材:
1.《概率论与数理统计》第四版盛骤等编高等教育出版社
2.《概率论教程》第二版缪柏其、胡太忠编中国科学技术大学出版社
概率论与数理统计1. 概率论的基本概念
(1)事件的基本关系与运算
(2)频率与概率
(3)古典概型的计算
(4)条件概率
(5)事件的独立性
2. 随机变量及其分布
(1)随机变量分布函数的定义及其性质
(2)离散型随机变量的分布函数与概率分布
(3)连续型随机变量的分布函数与概率分布
3. 多维随机变量及其分布
(1)二维随机变量
(2)边缘分布以及条件分布
(3)两个随机变量的函数的分布
4. 随机变量的数字特征
(1)随机变量数学期望的基本性质
(2)随机变量方差的基本性质
(3)几种常见分布的数学期望和方差
(4)协方差及相关系数
5. 大数定律及中心极限定理
(1)大数定律
(2)中心极限定理
6. 参数估计
(1)点估计
(2)最大似然估计
(3)估计量的评选标准
(4)区间估计
(5)正态总体均值与方差的区间估计(6)置信区间
7. 假设检验
(1)假设检验
(2)正态总体均值的假设检验
(3)正态总体方差的假设检验。
概率论与数理统计公式整理概率论和数理统计领域中一些重要的公式以及定义。
概率基础:概率的定义:对于一个事件,其概率是它发生的可能性,通常用P表示,取值范围在0到1之间。
概率的加法规则:对于任意两个不相交事件A和B,它们的并集事件的概率等于它们各自的概率之和,即:P(A∪B) = P(A) + P(B)概率的乘法规则:对于任意两个事件A和B,它们的交集事件的概率等于它们各自的概率的积,与它们的条件概率之积相等,即:P(A∩B) = P(A) ×P(B|A) = P(B) ×P(A|B)条件概率的定义:在事件A已经发生的条件下,事件B发生的概率,用P(B|A) 表示,并定义为P(A∩B) / P(A)全概率公式:设B1,B2,…,Bn为样本空间的一个划分,即它们两两不相交且并集为样本空间。
则对于任意事件A,都有P(A) = ∑P(A∩Bi)贝叶斯公式:设B1,B2,…,Bn为样本空间的一个划分,即它们两两不相交且并集为样本空间。
则对于任意事件A,都有P(Bi|A) = P(A|Bi) ×P(Bi) / ∑P(A|Bj)×P(Bj)随机变量:随机变量的定义:将样本空间S中的每个样本点赋予一个实数,得到一个实数函数X = X(ω),通常称为随机变量。
随机变量的取值范围被称为它的值域。
离散型随机变量的概率分布:对于一个离散型随机变量X 和它的所有取值x1,x2,…,xn,它们对应的概率分别是P(X = x1),P(X = x2),…,P(X = xn),满足0 ≤P(X = xi) ≤1 且∑P(X = xi) = 1。
连续型随机变量的概率密度函数:对于一个连续型随机变量X,它的概率密度函数f(x) 满足两个条件:非负性:f(x) ≥0,且积分值为1:∫f(x)dx = 1。
对于任意一个区间[a,b],它的概率等于该区间上概率密度函数的积分,即P(a≤X≤b) = ∫a~b f(x)dx。
第二章 离散型随机变量及其分布律第二节 一维离散型随机变量及其分布律习题Page 551、 一个口袋里有6只球,分别标有数字-3、-3、1、1、1、2,从中任取一个球,用ξ表示所得球上的数字,求ξ的分布律。
解答:因为ξ只能取-3、1、2,且分别有2、3、1个,所以ξ的分布律为:ξ-3 1 2 {}i P x ξ=2/63/61/62、 在200个元件中有30个次品,从中任意抽取10个进行检查,用ξ表示其中的次品数,问ξ的分布律是什么?解答:由于200个元件中有30个次品,只任意抽取10个检查,因此10个元件中的次品数可能为0、1、2到10个。
当次品数ξ为k 时,即有k 个次品时,则有10-k 个正品。
所以:ξ的分布律为:103017010200{},0,1,,10k k C C P k k C ξ-===。
3、 一个盒子中有m 个白球,n m -个黑球,不放回地连续随机地从中摸球,直到取到黑球才停止。
设此时取到的白球数为ξ,求ξ的分布律。
解答:因为只要取到黑球就停止,而白球数只有m 个,因此在取到黑球之前,所取到的白球数只可能为0m 中的任意一个自然数。
设在取到黑球时取到的白球数ξ等于k ,则第1k +次取到是黑球,以i A 表示第i 次取到的是白球;_i A 表示第i 次取到的是黑球。
则ξ的分布律为:__12112111{}()()(|)(|)11,0,1,,11k k k k P k P A A A A P A P A A P A A A m m m k n m k mn n n k n kξ++===--+-=⋅⋅⋅⋅=--+-。
4、 汽车沿街道行驶,要通过3个有红绿灯的路口,信号灯出现什么信号相互独立,且红绿灯显示时间相等。
以ξ表示该车首次遇到红灯前已通过的路口数,求ξ的分布律。
解答:因为只有3个路口,因此ξ只可能取0、1、2、3,其中{3}ξ=表示没有碰到红灯。
以i A 表示第i 个路口是红灯,因红绿灯显示时间相等,所以()1/2i P A =,又因信号灯出现什么信号相互独立,所以123,,A A A 相互独立。
概率论与数理统计B考试大纲答疑:1月5日下午3:00-4:30。
2号学院楼543。
第2章描述统计学1.样本均值、样本方差、样本标准差的计算;2.样本中位数、分位数;先对数据按从小到大排序。
如果np不是整数,则第[np]+1个数据是100p%分位数。
如果np 是一个整数,那么100p%分位数取第[np]和第[np]+1个值的平均值。
特别地,中位数是50%分位数。
3.样本相关系数。
,重点例题:例2.3.1, 例2.3.7, 例2.3.8,例2.6.2。
重点习题:P5ex4, P29 ex6, ex12第3章概率论基础1. 样本空间,事件的并、交、补,文图和德摩根律;,2. 概率的定义、补事件计算公式、并事件计算公式;对于任何的互不相交事件序列,3. 等可能概型的计算,排列和组合;4. 条件概率、乘法公式、全概率公式、贝叶斯公式;,4.事件独立性及其概率的计算。
重点例题:例3.5.4, 例3.5.7,例3.7.1,例3.7.2,例3.8.1重点习题:P53 ex12, ex13, ex18, ex25, ex29, ex31, ex33, ex35, ex47第4章随机变量与数学期望1. 随机变量的分布函数及其性质;2. 离散型随机变量的概率质量函数及其性质,有关概率的计算;离散型随机变量:取值集合有限或者是一个数列x i, i=1,2, …。
概率质量函数:,3. 连续型随机变量的概率密度函数及其性质,有关概率的计算;连续型随机变量:随机变量的可能的取值是一个区间。
概率密度函数f(x):对任意一个实数集B有,,4 二维随机变量的联合分布函数、联合质量函数、联合密度函数,有关概率的计算;,,5. 随机变量的独立性,有关概率的计算;随机变量X与Y独立: ;分布函数离散型连续型6. 怎样求连续型随机变量函数的密度函数(先求分布函数,再求导);Y=g(X)7. 数学期望(离散型,连续型),函数的数学期望(离散型,连续性);离散型连续型8. 数学期望的性质,当X与Y独立时,E[XY]=E[X] E[Y]9. 方差和它的性质;;当X与Y独立,,10 协方差、相关系数,有关性质;Corr(X,Y)=1或-1,当且仅当X和Y线性相关,即P(Y=a+bX)=1 (当b>0, 相关系数为1; 当b<0, 相关系数为-1)当X与Y独立时,X与Y不相关,即.11. 矩母函数,利用矩母函数求各阶矩;矩矩母函数利用矩母函数求各阶矩12. 切比雪夫不等式,弱大数定律,概率的频率意义。
切比雪夫不等式弱大数定律:样本均值趋向于总体均值频率趋向于概率重点例题:例4.2.1,例4.2.2,例4.3.1,例4.3.3,例4.3.4,例4.4.1, 例4.5.2,例4.5.7,例4.6.1,例4.7.1。
重点习题:P86 ex1,ex4, ex6, ex9. ex10, ex12, ex13, ex27, ex43, ex44, ex46, ex53, ex56第五章特殊随机变量1 伯努利实验和伯努利分布,数学期望和方差;伯努利(Bernoulli)试验:在一次试验中,其结果可以归为``成功‘’和``失败‘’两类。
x i01E[X]=pVar(X)=p(1-p)p i1-p p2. 二项分布:应用背景,概率质量函数,单调性,伯努利分解,可加性,数学期望和方差;应用背景:伯努利试验“成功”的概率每次都为p, 这样独立进行n次,那么“成功”的总次数X服从参数为(n, p)二项分布,记为X~B(n,p)。
单调性:P(X=i)当i<(n+1)p递增,当i>(n+1)p递减。
二项分布的伯努利分解:设X~B(n, p),那么, 其中Xi相互独立,且为相同的伯努利分布.可加性: 如果X与Y独立, 且X~B(n, p),Y~B(m,p),那么X+Y~B(n+m, p) 。
3. 泊松分布:应用背景,概率质量函数,单调性,数学期望和方差,可加性,二项分布的泊松近似;应用背景: 根据二项分布的泊松近似,一段时间内某种随机事件发生的次数。
单调性:i < l时递增,i > l时递减。
泊松分布的可加性: 设X1和X2为相互独立的泊松随机变量,它们的均值分别为l1和l2, 那么X1+X2为均值是l1+l2的泊松随机变量。
二项分布的泊松近似:设X~B(n, p) 。
当n很大p很小时,其分布近似于参数为l =np的泊松分布4. 均匀分布:应用背景,概率密度函数,数学期望和方差,二维均匀分布,有关概率的计算;应用背景:随机变量X在区间[a, b]上等可能取值概率密度函数:,二维均匀分布:5. 正态分布:应用背景,概率密度函数及其对称性,数学期望和方差,标准正态分布N(0,1),正态分布的标准化和概率计算,线性性质,独立和的性质,分位数及其对称性;应用背景:根据中心极限定理,大量独立随机变量的和近似服从正态分布。
密度函数:X~ N(m, s2),E[X]=m, Var(X)=s2标准正态分布N(0,1):线性性质:正态随机变量的线性函数仍是正态分布。
设X~ N(m, s2), 那么对任意a, b¹0, Y=a+bX~N (a+bm, b2s2).特别地,,。
假设相互独立,且,则。
标准正态分布Z的100(1- a)%(下)百分位数Za:。
对称性: z1-a= - z a6. 指数分布:应用背景,概率密度函数,数学期望和方差,无记忆性,有关概率的计算;应用背景:如果单位时间内“事件发生”数是参数l泊松分布(称为泊松过程),那么两次“发生”之间的间隔时间长度就是参数l的指数分布。
概率密度函数:无记忆性7. 卡方分布:定义,可加性,分位数;定义:若Z1, Z2, …, Z n相互独立, 且都服从N(0,1) ,则称其平方和服从自由度n的 c2(卡方)分布。
可加性:当X1和X2分别为自由度为n1 和n2的 c2随机变量且相互独立时,则X1+X2服从自由度为n1+n2的 c2分布.100(1- a)%百分位数 c2a,n:8. t-分布:定义,对称性,与N(0,1)的关系,分位数;设Z~N(0,1), X~c2n,Z和X独立,则称随机变量服从自由度n的t-分布。
当n ®¥,T n®N(0,1),9. F分布:定义,分位数, 倒数性质。
设X和Y分别服从自由度为n和m的c2分布,且相互独立,称服从自由度为n 和m的F-分布。
,重点例题:例5.1.1,例5.2.4,例5.2.6,例5.5.2,例5.5.4,例5.6.1,例5.8.4. 重点习题:ex5, ex6, ex11, ex16, ex18, ex22, ex26, ex28, ex36, ex37, ex47第六章统计抽样的分布1. 总体、样本及其观测值、统计量;样本:若X1, X2, …, X n是独立随机变量, 且具有相同的分布F, 则称它们构成来自分布F 的一个样本. n称为样本容量。
样本的观测数据称为样本观测值x1, x2, …, x n。
统计量:不含未知参数的样本函数。
2. 样本均值:定义,数学期望和方差;设总体X(不一定是正态分布), E[X]=m, Var(X)=s2。
样本X1, X2, …, X n。
样本均值,,3. 中心极限定理:基本定理,二项分布的正态近似,样本均值的近似分布;基本定理:设X1, X2, …, X n为独立同分布的随机变量序列, 并均具有均值m和方差s2(无论分布类型是什么), 则对充分大的n (30以上),X1+X2+ …+ X n近似服从正态分布N(nm,ns2)。
二项分布的正态近似:设X~B(n,p), 对充分大的n(30以上), X近似服从正态分布N(np, np(1-p))样本均值的近似分布:设总体X(不一定是正态分布), E[X]=m, Var(X)=s2。
样本X1, X2, …,X n。
当n充分大(30以上),近似有4.样本方差:定义,数学期望;样本方差,样本标准差5.正态总体:样本均值按N(0,1)(方差已知时)或t-分布(方差未知时),样本方差按卡方分布,样本均值与样本方差独立.定理: 设总体X~N(m,s2)。
样本X1, X2, …, X n。
则(1) , (2) , (3)与S2独立,(4) 。
重点例题:例6.3.2, 例6.3.3, 例6.3.5, 例6.5.1。
重点习题:P148 ex6, ex14, ex18, ex19, ex30第七章参数估计1. 估计量与估计值参数估计:设总体分布为F q,其中q为未知参数。
样本X1, X2, …, X n,独立且与总体同分布。
需要估计q。
估计量:用来估计未知参数q的统计量,记为估计值:估计量的观察值无偏估计量:2. 极大似然估计:定义,似然函数,对数似然方程;似然函数:若总体的密度函数(或质量函数)为f(x|q), 其联合概率函数(称为似然函数)极大似然估计: 求使得对数似然方程3. 伯努利分布、泊松分布、正态分布的极大似然估计;贝努里分布:p的极大似然估计是观测数中成功的比例。
泊松分布极大似然估计。
正态分布N(m,s2)的极大似然估计:正态分布方差s2的无偏估计4. 置信区间的定义;参数q的100(1-a)%置信区间满足5. 正态总体均值的双侧置信区间(方差已知);6. 正态总体方差的双侧置信区间.重点例题:例7.2.3, 例7.2.5, 例7.3.1, 例7.3.4, 例7.3.8重点习题:P181 ex1, ex3, ex 10, ex13, ex36第八章假设检验1. 假设检验的基本概念:原假设与备择假设,拒绝域构造原理,显著性水平,两类错误;原假设H0, 备择假设H1;显著性检验:H1是否显著,以至于可以拒绝H0;第一类错误——拒绝了正确的假设,第二类错误——接受了错误的假设;显著性水平=P(样本观测值落入拒绝域|H0真)=犯第一类错误的概率。
2. 方差已知时正态总体均值的Z检验(双侧,右侧,左侧);双侧检验(临界值法或p值法)左侧检验(临界值法或p值法) 右侧检验(临界值法或p值法)3. 置信区间与拒绝域的关系;若原假设落在未知参数的100(1-)%的置信区间内,则在显著性水平下,接受H0 ,否则拒绝H0。
4. 方差已知时两个正态总体均值相等的Z检验(双侧);5. 方差未知但相等时两个正态总体均值相等的t检验(双侧);6. 成对样本均值相等的t检验(双侧);令W i=Y i-X i化为关于W i的单样本检验: H0: =0, H1: 0, (0=0)7. 两个正态总体方差相等的检验。
重点例题:例8.3.1, 例8.3.6, 例8.4.1, 例8.4.2, 例8.4.4, 例8.5.2重点习题:P218 ex2, ex 10, ex12, ex28,ex31, ex38, ex43, ex49(注:专业文档是经验性极强的领域,无法思考和涵盖全面,素材和资料部分来自网络,供参考。