高一数学两角和与差的余弦

高一数学两角和与差的正弦、余弦、正切知识精讲【本讲主要内容】两角和与差的正弦、余弦、正切【知识掌握】 【知识点精析】1. 两角和与差的三角函数公式 sin()sin cos cos sin ()αβαβαβαβ±±±=Scos()cos cos sin sin ()αβαβαβαβ±±=+Ctan()tan tan tan tan ()αβαβαβαβ±±±=+1T2. 两角和的余弦与正弦公式是本章各类公式的基础，在这两个公式中，两角和的余弦公式又是基础，因为两角和的正弦公式是它与诱导公式导出的。

3. 公式S C αβαβ±±，具有一般性，即α、β可为任意角，通过对S C αβαβ±±，展开式进行比较，可总结出规律：S αβ±的展开式是“异名同号”；C αβ±的展开式是“同名异号”。

公式T αβ±也具有一般性，但应明确：公式T αβ±是在αππβππ≠，≠k k ++22，αβππ±≠k +2时成立，否则不成立。

4. 注意公式的逆用或变形应用 例如：114+-=+tan tan tan()ααπα，114-+=-tan tan tan()ααπαtan tan tan()(tan tan )αβαβαβ+=+-1 tan tan tan()(tan tan )αβαβαβ-=-+1 5. 在公式的应用中还要注意“角的演变”规律 例如：2ααβαβ=++-()()；βαβααβαβαβαβαβ=+-+=++=+--()()；等等2226. 重要结论将a b sin cos αα+化为一个角的一种三角函数形式 解：a b a b a a bb a bsin cos (sin cos )αααα+=++++222222令a a bb a b2222+=+=cos sin ϕϕ，，则：a b a b a b sin cos (sin cos cos sin )sin()αααϕαϕαϕ+=++=++2222（其中ϕ角所在象限由a ，b 符号确定，ϕ角的值由tan ϕ=ba确定） 注意：将a b cos sin αα+化为一个角的一种三角函数形式与本题解法，类似本题解法具有一般性，并且有记忆价值，它是解答此类问题的基础。

一、 公式推导借助于两角差的余弦公式cos(βα-)=cos αcos β+sin αsin β,则有：思考途径一：把βα+转化为)(βα--cos(βα+)=cos[)(βα--]=cos αcos(-β)+sin αsin(-β)=cos αcos β-sin αsin β.思考途径二：把任意角β换成-βcos(βα+)=cos αcos(-β)+sin αsin(-β)=cos αcos β-sin αsin β.即：两角和的余弦公式 cos(βα+)=cos αcos β-sin αsin β.注意：1两角和差余弦公式的异同之处.2两角和、差余弦公式间的关系.3公式中的角具有任意性.4 cos(βα+)=cos α + cos β一定成立吗？练习1、利用和角余弦公式求下列各三角函数的值（1） cos75º （2） cos105º练习2、证明公式 cos(2π-α)=sin α 如何利用两角和与差的余弦公式 cos(βα+)=cos αcos β-sin αsin β和 cos(βα-)=cos αcos β+sin αsin β推导出两角和与差的正弦公式？运用公式cos(βα+)=cos αcos β-sin αsin β及诱导公式有：sin()βα+=cos[)(2βαπ+-]=cos[βαπ--)2(] =cos(απ-2)cos β+sin(απ-2)sin β= sin αcos β+cos αsin β即：两角和的正弦公式 sin()βα+= sin αcos β+cos αsin β.在上式中用-β代换β 得：sin()βα-= sin αcos （-β）+cos αsin （-β）即：两角差的正弦公式 sin()βα-= sin αcos β-cos αsin β注意：1公式的推导应启发学生自己完成，老师做归纳总结.2 两公式间的关系、异同.3明确角、函数名和排列顺序以及公式中每一项的符号.4牢记公式，熟练左右互化.练习3、利用和角正弦公式求下列各三角函数的值(1) sin75º (2) sin105º练习4、证明公式 sin(2π-α)=cos α 如何根据两角和与差的正、余弦公式推导出利用两角和与差的正切公式？利用正切函数与正、余弦函数的关系，当cos(βα+)≠0时，将公式sin()βα+= sin αcos β+cos αsin β 与 cos(βα+)=cos αcos β-sin αsin β两边分别相除，有：βαβαβαβαβαβαβαsin sin cos cos sin cos cos sin )cos()sin()tan(-+=++=+若cos αcos β≠0 时，上式即为:两角和的正切公式 βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(-+=+ 用-β代换β，则有：两角差的正切公式 βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(+-=- 练习5、利用和与差的正切公式求下列各三角函数的值(1) tan75º (2) tan105º注意：1、 和角公式: S )(βα+、 C )(βα+ 、 T )(βα+差角公式： S )(βα-、 C )(βα- 、 T )(βα-2、公式之间的内在联系.3、明确各三角函数的意义.4、公式的逆向变换、多向变换.5、理解公式推导中角的代换的实质.6、和差公式可看成是诱导公式的推广，诱导公式可看成是和差公式的特例 如：ααααπαπαπcos sin 0cos 1sin 2sin cos 2cos )2cos(=⋅-⋅=-=+7、形如asinx+bsinx(a 、b 不同时为0)的变化.三、例题例1、（利用两角和与差的余弦公式解题）（1）求cos20ºcos70º-sin20ºsin70º的值.（2）在ΔABC 中，已知sinA=53, cosB=135 , 求cosC 的值. 例2、（利用两角和与差的正弦公式解题）(1) 求sin72ºcos42º-cos72ºsin42º的值.(2) 已知cos α=53,∈α(0,2π),求sin(6πα-). (3) 求︒︒-︒︒︒+︒8sin 15sin 7cos 8sin 15cos 7sin 的值. 例3、（利用两角和与差的正切公式解题）（1） 求︒-︒+15tan 115tan 1的值. （2） 设,20,23,31tan ,55cos πβπαπβα =-=求 βα-的值. 例4、 已知,135)43sin(,53)4cos(,434,40=+=-βπαππαππβ 求 )sin(βα+的值.分析：由于)(2)4()43(βαπαπβπ++=--+，可通过求出βπ+43和απ-4的正、余弦值来求)sin(βα+.。

高一数学两角和与差的正弦余弦和正切公式试题答案及解析1.若tanθ＝，则cos2θ＋sin2θ的值为()A．－B．－C．D．【答案】D【解析】cos2θ＋sin2θ＝＝＝.2.已知sin＝，则sin＝______.【答案】【解析】sin＝cos＝cos＝1－2sin2＝.3.已知0<α<，0<β<，且3sinβ＝sin(2α＋β)，4tan＝1－tan2，求α＋β的值．【答案】α＋β＝.【解析】由3sinβ＝sin(2α＋β)得3sin[(α＋β－α)]＝sin[(α＋β)＋α]∴tan(α＋β)＝2tanα①由4tan＝1－tan2得tanα＝＝②由①②得tan(α＋β)＝1，又∵0<α<，0<β<，∴0<α＋β<，∴α＋β＝.4.给出下列三个等式f(xy)＝f(x)＋f(y)，f(x＋y)＝f(x)·f(y)，f(x＋y)＝，下列函数中不满足其中任何一个等式的是()A．f(x)＝3x B．f(x)＝sin xC．f(x)＝logx D．f(x)＝tan x2【答案】B【解析】对选项A，满足f(x＋y)＝f(x)·f(y)，对选项C，满足f(xy)＝f(x)＋f(y)，对选项D，满足f(x＋y)＝，故选B.5.已知tanα、tanβ是方程x2＋x－2＝0的两个根，且－<α<，－<β<，则α＋β的值是()A．－B．－C．或－D．－或【答案】A【解析】由韦达定理得，tanα与tanβ一正一负，不妨设tanα>0，tanβ<0，则0<α<，－<β<0，∴－<α＋β<，又tan(α＋β)＝＝－.∴α＋β＝－.6.已知α、β为锐角，cosα＝，tan(α－β)＝－，则tanβ的值为()A．B．C．D．【答案】B【解析】∵α是锐角，cosα＝，故sinα＝，tanα＝∴tanβ＝tan[α－(α－β)]＝＝.7.若tanα＝2，tan(β－α)＝3，则tan(β－2α)的值为________．【答案】【解析】tan(β－2α)＝tan[(β－α)－α]＝＝＝.8.不查表求值：tan15°＋tan30°＋tan15°tan30°＝______.【答案】1【解析】tan15°＋tan30°＋tan15°tan30°＝tan(15°＋30°)(1－tan15°tan30°)＋tan15°tan30°＝tan45°(1－tan15°tan30°)＋tan15°tan30°＝1－tan15°tan30°＋tan15°tan30°＝1.9.化简：tan(18°－x)tan(12°＋x)＋ [tan(18°－x)＋tan(12°＋x)]．【答案】1【解析】∵tan[(18°－x)＋(12°＋x)]＝＝tan30°＝∴tan(18°－x)＋tan(12°＋x)＝ [1－tan(18°－x)·tan(12°＋x)]于是原式＝tan(18°－x)tan(12°＋x)＋· [1－tan(18°－x)·tan(12°＋x)]＝1.10.设tanα，tanβ是方程ax2－(2a＋1)x＋(a＋2)＝0的两根，求证：tan(α＋β)的最小值是－.【答案】见解析【解析】由tanα，tanβ是方程的两根得⇒a≤且a≠0，又，∴tan(α＋β)＝＝＝－－a≥－－＝－.∴tan(α＋β)的最小值是－.11. cos75°cos15°－sin255°sin15°的值是()A．0B．C．D．－【答案】B【解析】原式＝cos75°·cos15°＋sin75°sin15°＝cos(75°－15°)＝cos60°＝.12.已知α、β为锐角，cosα＝，cosβ＝，则tan(α－β)的值为()A．B．C．D．【答案】B【解析】∵α、β为锐角，∴－ <α－β<，又∵cosα＝，cosβ＝，∴sinα＝，sinβ＝，∴cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝×＋×＝.∵y＝sin x在上单调递增，sinα＝>＝sinβ，∴α>β.∴0<α－β<，∴sin(α－β)＝＝＝.∴tan(α－β)＝＝.13.若sinα－sinβ＝，cosα－cosβ＝，则cos(α－β)的值为()A．B．C．D．1【答案】A【解析】将条件式两边分别平方相加得：2－2sinαsinβ－2cosαcosβ＝1，∴2－2cos(α－β)＝1，∴cos(α－β)＝.14. cos15°＋sin15°＝________.【答案】【解析】 cos15°＋sin15°＝cos60°cos15°＋sin60°sin15°＝cos(60°－15°)＝cos45°＝.15.化简＝________.【答案】【解析】＝＝＝.16.设cos＝－，sin＝，其中α∈，β∈，求cos.【答案】【解析】∵α∈，β∈，∴α－∈，－β∈，∴sin＝＝＝.cos＝＝＝.∴cos＝cos＝cos cos＋sin·sin＝－×＋×＝.17.已知△ABC中，sin C＝，cos B＝－，求cos A.【答案】【解析】在△ABC中，由cos B＝－，可得sin B＝，且B为钝角，∴C为锐角，∴cos(A＋B)＝cos(π－C)＝－cos C＝－＝－.sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sin C＝，∴cos A＝cos[(A＋B)－B]＝－×＋×＝.[点评]本题易错点为忽视角范围的讨论，错误得出cos(A＋B)＝而致误．18.设a＝sin14°＋cos14°，b＝sin16°＋cos16°，c＝，则a、b、c的大小关系是() A．a<b<c B．a<c<bC．b<a<c D．b<c<a【答案】B【解析】a＝sin(14°＋45°)＝sin59°，b＝sin(16°＋45°)＝sin61°，c＝·＝sin60°，由y＝sin x在(0°，90°)上单调增知：a<c<b.19.若cosαcosβ＝1，则sin(α＋β)等于()A．－1B．0C．1D．±1【答案】B【解析】∵cosαcosβ＝1，∴cosα＝1，cosβ＝1或cosα＝－1，cosβ＝－1，∴sinα＝0，sinβ＝0，∴sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ＝0.20.函数y＝2sin－cos (x∈R)的最小值等于()A．－3B．－2C．－1D．－【答案】C【解析】y＝2sin－cos＝2cos－cos＝cos (x∈R)．∵x∈R，∴x＋∈R，∴y＝－1.min。

3．1 和角公式3．1.1 两角和与差的余弦[学习目标] 1.了解两角差的余弦公式的推导过程.2.理解用向量法推导出公式的主要步骤.3.熟记两角和、差的余弦公式的形式及符号特征，并能利用该公式进行求值、计算．[学问链接]1．当α＝π2，β＝π4时，cos(α－β)＝cos α＋cos β成立．那么当α、β∈R 时，cos(α－β)＝cos α＋cos β恒成立吗(举例说明)?答 不恒成立，如α＝π3，β＝π6时．2．请你计算下列式子的值，并依据这些式子的共同特征，写出一个猜想． ①cos 45°cos 45°＋sin 45°sin 45°＝1＝cos_0°； ②cos 60°cos 30°＋sin 60°sin 30°＝32＝cos 30°； ③cos 30°cos 120°＋sin 30°sin 120°＝0＝cos(－90°)； ④cos 150°cos 210°＋sin 150°sin 210°＝12＝cos(－60°)．猜想：cos αcos β＋sin αsin β＝cos(α－β)； 即：cos(α－β)＝cos_αcos_β＋sin_αsin_β. [预习导引]1．两角差的余弦公式C α－β：cos(α－β)＝cos_αcos_β＋sin_αsin_β，其中α、β为任意角． 2．两角和的余弦公式在两角差的余弦公式中，以－β替代β就得到两角和的余弦公式．即C α＋β： cos(α＋β)＝cos[α－(－β)]＝cos_αcos(－β)＋sin_α·sin(－β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β.要点一 运用公式求值 例1 计算：(1)cos(－15°)；(2)cos 15°cos 105°＋sin 15°sin 105°. 解 (1)方法一 原式＝cos(30°－45°) ＝cos 30°cos 45°＋sin 30°sin 45° ＝32×22＋12×22 ＝6＋24. 方法二 原式＝cos 15° ＝cos(45°－30°)＝cos 45°cos 30°＋sin 45°sin 30° ＝22×32＋22×12＝6＋24.(2)原式＝cos(15°－105°) ＝cos(－90°) ＝cos 90° ＝0.规律方法 利用两角差的余弦公式求值的一般思路： (1)把非特殊角转化为特殊角的差，正用公式直接求解．(2)在转化过程中，充分利用诱导公式，构造两角差的余弦公式右边形式，然后逆用公式求值． 跟踪演练1 计算： (1)sin 75°；(2)sin x sin(x ＋y )＋cos x cos(x ＋y )． 解 (1)sin 75°＝cos 15°＝cos(45°－30°)＝cos 45°cos 30°＋sin 45°sin 30°＝22×32＋22×12＝6＋24. (2)原式＝cos[x －(x ＋y )]＝cos(－y )＝cos y . 要点二 给值求值例2 设cos (α－β2)＝－19，sin ⎝⎛⎭⎫α2－β＝23，其中α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，求cos α＋β2. 解 ∵α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2， ∴α－β2∈⎝⎛⎭⎫π4，π，α2－β∈⎝⎛⎭⎫－π4，π2， ∴sin ⎝⎛⎭⎫α－β2＝ 1－cos 2⎝⎛⎭⎫α－β2＝ 1－181＝459. cos ⎝⎛⎭⎫α2－β＝ 1－sin 2⎝⎛⎭⎫α2－β＝1－49＝53. ∴cosα＋β2＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α－β2－⎝⎛⎭⎫α2－β ＝cos ⎝⎛⎭⎫α－β2cos ⎝⎛⎭⎫α2－β＋sin ⎝⎛⎭⎫α－β2sin ⎝⎛⎭⎫α2－β ＝－19×53＋459×23＝7527.规律方法 三角变换是三角运算的灵魂与核心，它包括角的变换、函数名称的变换、三角函数式结构的变换．其中角的变换是最基本的变换．常见的有：α＝(α＋β)－β，α＝β－(β－α)，α＝(2α－β)－(α－β)，α＝12[](α＋β)＋(α－β)，α＝12[](β＋α)－(β－α)等．跟踪演练2 已知cos α＝17，cos(α＋β)＝－1114，且α、β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，求cos β的值． 解 ∵α、β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴α＋β∈(0，π)． 又∵cos α＝17，cos(α＋β)＝－1114，∴sin α＝1－cos 2α＝437，sin(α＋β)＝1－cos 2(α＋β)＝5314.又∵β＝(α＋β)－α， ∴cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α ＝⎝⎛⎭⎫－1114×17＋5314×437 ＝12. 要点三 已知三角函数值求角例3 已知α、β均为锐角，且cos α＝255，cos β＝1010，求α－β的值．解 ∵α、β均为锐角， ∴sin α＝55，sin β＝31010. ∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β ＝255×1010＋55×31010＝22. 又sin α<sin β，∴0<α<β<π2，∴－π2<α－β<0.故α－β＝－π4.规律方法 解答已知三角函数值求角这类题目，关键在于合理运用公式并结合角的范围，对所求的解进行取舍，其关键环节有两个：一是求出所求角的某种三角函数值，二是确定角的范围，然后结合三角函数图象就易求出角的值．跟踪演练3 已知cos(α－β)＝－1213，cos(α＋β)＝1213，且α－β∈⎝⎛⎭⎫π2，π，α＋β∈⎝⎛⎭⎫3π2，2π，求角β的值． 解 由α－β∈⎝⎛⎭⎫π2，π， 且cos(α－β)＝－1213，得sin(α－β)＝513.由α＋β∈⎝⎛⎭⎫3π2，2π， 且cos(α＋β)＝1213，得sin(α＋β)＝－513，cos 2β＝cos[(α＋β)－(α－β)]＝cos(α＋β)cos(α－β)＋sin(α＋β)sin(α－β)＝1213×⎝⎛⎭⎫－1213＋⎝⎛⎭⎫－513×513＝－1. 又∵α－β∈⎝⎛⎭⎫π2，π，α＋β∈⎝⎛⎭⎫3π2，2π， ∴2β∈⎝⎛⎭⎫π2，32π， ∴2β＝π，则β＝π2.1．cos 78°cos 18°＋sin 78°sin 18°的值为( ) A.12 B.13 C.32 D.33答案 A解析 cos 78°cos 18°＋sin 78°sin 18°＝cos(78°－18°)＝cos 60°＝12，故选A.2．sin 14°cos 16°＋sin 76°cos 74°的值是( ) A.32 B.12 C ．－32 D ．－12答案 B解析 sin 14°cos 16°＋sin 76°cos 74° ＝cos 76°cos 16°＋sin 76°sin 16°＝cos(76°－16°) ＝cos 60°＝12.3．计算：12sin 60°＋32cos 60°＝________.答案32解析 原式＝sin 30°sin 60°＋cos 30°cos 60° ＝cos(60°－30°)＝cos 30°＝32. 4．已知锐角α、β满足sin α＝55，cos β＝31010，求α＋β. 解 ∵α、β为锐角且sin α＝55，cos β＝31010， ∴cos α＝1－sin 2α＝1－15＝255， sin β＝1－cos 2β＝1－910＝1010， ∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β ＝255·31010－55·1010＝22. 由0<α<π2，0<β<π2得0<α＋β<π，又cos(α＋β)>0，∴α＋β为锐角，∴α＋β＝π4.1.公式C α－β与C α＋β都是三角恒等式，既可正用，也可逆用．要留意公式的结构特征． 如：cos αcos β±sin αsin β＝cos(α∓β)．2．要留意充分利用已知角与未知角之间的联系，通过恰当的角的变换，制造出应用公式的条件进行求解． 3．留意角的拆分技巧的积累，如： α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β＝α＋β2＋α－β2等．一、基础达标1．化简cos(45°－α)cos(α＋15°)－sin(45°－α)sin(α＋15°)得( ) A.12 B ．－12 C.32 D ．－32 答案 A解析 原式＝cos(α－45°)cos(α＋15°)＋sin(α－45°)sin(α＋15°)＝cos[(α－45°)－(α＋15°)]＝cos(－60°)＝12.2．计算cos 70°cos 335°＋sin 110°sin 25°的结果是( ) A ．1 B.22 C.32D.12答案 B解析 原式＝cos 70°cos 25°＋sin 70°sin 25° ＝cos(70°－25°)＝cos 45°＝22. 3．若cos(α－β)＝55，cos 2α＝1010，并且α、β均为锐角且α<β，则α＋β的值为( ) A.π6 B.π4 C.3π4 D.5π6 答案 C解析 sin(α－β)＝－255⎝⎛⎭⎫－π2<α－β<0. sin 2α＝31010，∴cos(α＋β)＝cos[2α－(α－β)] ＝cos 2αcos(α－β)＋sin 2αsin(α－β) ＝1010×55＋31010×⎝⎛⎭⎫－255＝－22， ∵α＋β∈(0，π)，∴α＋β＝3π4. 4．在△ABC 中，若sin A sin B <cos A cos B ，则△ABC 肯定为( ) A ．等边三角形 B ．直角三角形 C ．锐角三角形 D ．钝角三角形 答案 D解析 ∵sin A sin B <cos A cos B ， ∴cos A cos B －sin A sin B >0，∴cos(A ＋B )>0即cos(π－C )>0，∴－cos C >0， ∴cos C <0，∵0<C <π，∴π>C >π2，∴△ABC 为钝角三角形．5．若sin(π＋θ)＝－35，θ是其次象限角，sin ⎝⎛⎭⎫π2＋φ＝－255，φ是第三象限角，则cos(θ－φ)的值是( ) A ．－55 B.55 C.11525D. 5 答案 B解析 ∵sin(π＋θ)＝－35，∴sin θ＝35，∵θ是其次象限角，∴cos θ＝－45.∵sin ⎝⎛⎭⎫π2＋φ＝－255，∴cos φ＝－255， ∵φ是第三象限角，∴sin φ＝－55. ∴cos(θ－φ)＝cos θcos φ＋sin θsin φ ＝⎝⎛⎭⎫－45×⎝⎛⎭⎫－255＋35×⎝⎛⎭⎫－55＝55.6．若cos(α－β)＝13，则(sin α＋sin β)2＋(cos α＋cos β)2＝________.答案 83解析 原式＝2＋2(sin αsin β＋cos αcos β) ＝2＋2cos(α－β)＝83.7．已知cos α－cos β＝12，sin α－sin β＝－13，求cos(α－β)．解 由cos α－cos β＝12两边平方得(cos α－cos β)2＝cos 2α＋cos 2β－2cos αcos β＝14.①由sin α－sin β＝－13两边平方得(sin α－sin β)2＝sin 2α＋sin 2β－2sin αsin β＝19.②①＋②得2－2(cos αcos β＋sin αsin β)＝1336.∴cos αcos β＋sin αsin β＝5972，∴cos(α－β)＝5972.二、力量提升8．将函数y ＝3cos x ＋sin x (x ∈R )的图象向左平移m (m ＞0)个单位长度后，所得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是( )A.π12B.π6C.π3D.5π6 答案 B解析 y ＝3cos x ＋sin x ＝2cos ⎝⎛⎭⎫x －π6，将函数y ＝2cos ⎝⎛⎭⎫x －π6的图象向左平移m (m ＞0)个单位长度后，得到y ＝2cos ⎝⎛⎭⎫x ＋m －π6，此时关于y 轴对称，则m －π6＝k π，k ∈Z ，所以m ＝π6＋k π，k ∈Z ，所以当k ＝0时，m 的最小值是π6，选B.9．已知sin α＋sin β＋sin γ＝0，cos α＋cos β＋cos γ＝0，则cos(α－β)的值是________． 答案 －12解析 sin α＋sin β＝－sin γ，① cos α＋cos β＝－cos γ， ②①2＋②2⇒2＋2(sin αsin β＋cos αcos β)＝1 ⇒cos(α－β)＝－12.10．若sin α＋sin β＝75，cos α＋cos β＝－75，则cos(α－β)＝________.答案242511．已知：cos(2α－β)＝－22，sin(α－2β)＝22，且π4<α<π2，0<β<π4，求cos(α＋β)． 解 由于π4<α<π2，0<β<π4，所以π4<2α－β<π.由于cos(2α－β)＝－22，所以π2<2α－β<π. 所以sin(2α－β)＝22. 由于π4<α<π2，0<β<π4，所以－π4<α－2β<π2.由于sin(α－2β)＝22，所以0<α－2β<π2， 所以cos(α－2β)＝22， 所以cos(α＋β)＝cos[(2α－β)－(α－2β)] ＝cos(2α－β)cos(α－2β)＋sin(2α－β)sin(α－2β)＝⎝⎛⎭⎫－22×22＋22×22＝0.12．求2cos 50°－3sin 10°cos 10°的值．解 原式＝2cos (60°－10°)－3sin 10°cos 10°＝2(cos 60°cos 10°＋sin 60°sin 10°)－3sin 10°cos 10°＝2cos 60°cos 10°＋2sin 60°sin 10°－3sin 10°cos 10°＝cos 10°＋3sin 10°－3sin 10°cos 10°＝cos 10°cos 10°＝1.三、探究与创新13．已知函数f (x )＝2cos(ωx ＋π6)(其中ω>0，x ∈R )的最小正周期为10π.(1)求ω的值；(2)设α，β∈[0，π2]，f (5α＋53π)＝－65，f (5β－56π)＝1617，求cos αcos β－sin αsin β的值；(3)求f (x )的单调递增区间．解 (1)由于T ＝2πω＝10π，所以ω＝15.(2)f (5α＋53π)＝2cos[15(5α＋53π)＋π6]＝2cos(α＋π2)＝－2sin α＝－65，所以sin α＝35.f (5β－56π)＝2cos[15(5β－56π)＋π6]＝2cos β＝1617，所以cos β＝817，由于α，β∈[0，π2]，所以cos α＝1－sin 2α＝45，sin β＝1－cos 2β＝1517， 所以cos αcos β－sin αsin β＝45×817－35×1517＝－1385. (3)f (x )＝2cos(x 5＋π6)，由2k π－π≤x 5＋π6≤2k π，k ∈Z ，得10k π－35π6≤x ≤10k π－5π6，k ∈Z ，所以单调递增区间为[10k π－35π6，10k π－5π6](k ∈Z ).。

高一数学三角函数两角和与差1、两角和与差的余弦公式：cos(α＋β)=cosαcosβ－sinαsinβ(C(α＋β))cos(α－β)=cosαcosβ＋sinαsinβ(C(α－β))和（差）角公式可看成诱导公式的推广，诱导公式可看成和（差）角公式的特例.当α、β中有一个角为的整数倍时，以利用诱导公式较为简捷.2、两角和与差的正弦公式：sin(α＋β)=sinαcosβ＋cosαsinβ(S(α＋β))sin(α－β)=sinαcosβ－cosαsinβ(S(α－β))（4）两角和与差的三角函数是诱导公式的推广，诱导公式是它的特例，当α、β中有一个角为90°的整数倍时，用诱导公式较为简便.3、两角和与差的正切公式[点拨]（1）Tα＋β中：α、β、α＋β都不取（k∈Z）时，公式才适用；Tα－β中：α、β、α－β都不取（k∈Z）时，公式才适用.（2）如α、β、α±β有一个角取（k∈Z）时，可用诱导公式，（3）公式特征：右边分子为两项：tanα、tanβ，中间符号与右边角间符号一致；右边分母为两项：1，tanαtanβ，中间符号与左边角间符号相反.（4）注意左、右互化，如求值：，可将式子化为：4、和（差）角的正、余弦公式的“加”、“减”、“乘”规律（1）sin(α＋β)＋sin(α－β)=2sinαcosβ（2）sin(α＋β)－sin(α－β)=2cosαsinβ（3）sin(α＋β)²sin(α－β)=sin2α－sin2β（4）cos(α＋β)＋cos(α－β)=2cosαcosβ（5）cos(α＋β)－cos(α－β)=－2sinαsinβ（6）cos(α＋β)²cos(α－β)=cos2α－sin2β5、和（差）角的正切公式的变形形式由tan(α＋β)=变形得：tanα＋tanβ＋tanαtanβtan(α＋β)=tan(α＋β)：由tan(α－β)=变形，得.6、形如asinθ＋bcosθ的三角函数式可化成一个角的一个三角函数即asinθ＋bcosθ=令.故asinθ＋bcosθ=，此即为化一公式，其中.7、正弦、余弦、正切的和（差）角公式的联系例1、已知，求sin(α＋β). 例2、已知例3、化简.例5、求证：.1、sin14°cos16°＋sin76°cos74°的值是（ ）A ．B ．C ．－D ．－2、化简的结果是（ ） A ．1 B ． C ．－ D ．±3、cosx ＋sinx 等于（ ）A ．B ．C ．D ．5、在△ABC 中，若sinA²sinB＜cosA²cosB，则此三角形的外心位于它的（ ）A ．内部B ．外部C ．一边上D ．以上都不对6、tan15°＋tan45°＋tan15°的值为（ ）A ．B ．C ．D ．（17）（本小题满分12分）已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，c = 3a sinC －c cosA(1) 求A ( 2) 若a =2，△ABC 的面积为3，求b ,c.16、（本小题满分12分）已知函数()2cos()12f x x π=-，x R ∈（1） 求()3f π的值； （2） 3cos 5θ=，3(,2)2πθπ∈，求()6f πθ-。

2021-2022学年高一数学【考题透析】满分计划系列(人教A版2019必修第一册)第五章三角函数5.5 三角恒等变换5.5.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式【知识导学】考点一两角和与差的余弦公式名称简记符号公式使用条件两角差的余弦公式C(α－β)cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin βα，β∈R两角和的余弦公式C(α＋β)cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin βα，β∈R考点二两角和与差的正弦公式名称简记符号公式使用条件两角和的正弦S(α＋β)sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin βα，β∈R两角差的正弦S(α－β)sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin βα，β∈R考点三：两角和与差的正切公式名称公式简记符号条件两角和的正切tan(α＋β) ＝tan α＋tan β1－tan αtan βT(α＋β)α，β，α＋β≠kπ＋π2(k∈Z)两角差的正切tan(α－β) ＝tan α－tan β1＋tan αtan βT(α－β)α，β，α－β≠kπ＋π2(k∈Z)考点四：二倍角的正弦、余弦、正切公式【考题透析】透析题组一：两角和与差的余弦公式1．（2021·北京·中国农业大学附属中学高一期末）设510,0,,sin2παβαβ⎛⎫∈==⎪⎝⎭，则αβ+的大小是（）A ．34π-B ．34πC ．14πD ．34π或14π2．（2021·新疆·新和县实验中学高一期末）若02παβπ<<<<，且1cos 3β=-，()1sin 3αβ+=，则cos α=（ ）A B ． C ． D 3．（2021·贵州·兴仁市凤凰中学高一期末）sin 74sin 46sin16sin 44-=（ ）A ．12B ．12-C D ．透析题组二：逆用和差余弦公式进行化简求值4．（2021·四川新都·高一期末）求值：cos 45cos15sin 45sin15-=（ ）A ．12B C ．12-D ．5．（2021·江苏·仪征中学高一月考）若1cos(),63πα-=-那么sin()cos 6παα++的值为（ ）A B ．C ．D6．（2021·河南·郑州四中高一月考）已知2cos66a =，cos53sin 5b =-，2sin 47sin 66sin 24sin 43c ，则a 、b 、c 的大小关系为（ ）A ．a c b <<B ．b a c <<C ．c a b <<D ．a b c <<透析题组三：：用和差正弦公式进行化简求值7．（2021·北京·中国农业大学附属中学高一期末）sin22cos82cos22sin82-︒︒︒︒的值是（ ）A ．12 B ．12-C D ．8．（2021·江苏东海·高一期中）计算：2sin10cos20sin 20︒-︒=︒（ ）A ．1-B ．2-C ．D ．9．（2021·新疆·乌苏市第一中学高一期中）已知3cos 5α=，0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则sin 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值等于（ ）.A ．BCD ．透析题组四：逆用和差正弦公式进行化简求值10．（2021·全国·高一课时练习）计算sin 46cos14sin 44cos76︒︒+︒︒的结果等于（ ）A ．12B 2C D11．（2021·四川省大竹中学高一月考）sin37cos7cos37sin7︒︒-︒︒的值为（ ）A ．B ．12-C ．12D12．（2021·安徽合肥·高一期末）已知0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭19cos tansin )12παααα+=-，则α=（ ） A ．6πB ．4π C ．12π D ．512π透析题组五：两角和与差的正切公式 一：用和差正切公式进行化简求值13．（2021·浙江·宁波市北仑中学高一期中）已知11tan(),tan ,,(0,)27αββαβπ-==-∈，则2αβ-=（ ）A ．34π-B ．4π-C ．4π D ．54π14．（2021·云南·昆明八中高一月考）已知sin 2cos 0αα-=，则tan 4πα⎛-⎫⎪⎝⎭=（ ）A ．-4B ．4C ．1-3D ．1315．（2021·全国·高一课时练习）计算tan82tan 221tan82tan 22︒︒︒︒-=+（ ）A ．1-B ．1CD ．二：逆用和差正切公式进行化简求值16．（2021·河南商丘·48tan 60tan18tan 48tan18--°°°°°=（ ）A ．1BC ．2D ．317．（2021·上海·高一期中）1tan 27tan 33tan 27tan 33-︒︒=︒+︒（ ）A B C ．tan 6︒ D ．1tan 6︒18．（2021· ）①tan 25tan 353tan 25tan 35++；②()2sin35cos 25cos35cos65+；③1tan151tan15︒︒+-；④1tan151tan15︒︒-+. A ．①② B ．③ C ．①②③D ．②③④透析题型六二倍角公式的运用19．（2021·全国·高一单元测试）已知225sin sin 240θθ+-=，且θ是第二象限的角，则cos 2θ等于（ ）．A ．35B ．35±C ．45±D ．4520．（2021·江西·九江一中高一期中）已知cos()4πα+=0απ<<)，则3cos(2)2sin cos πααα-=+（ ）A ．B ．CD21．（2021·河北张家口·高一期末）若tan 2θ=-，则2sin 2cos 1θθ+的值为（ ）A ．23-B ．23C ．43-D ．43透析题型七：两角和与差的三角函数综合应用22．（2021·全国·高一课时练习）求下列各式的值： （1）sin72cos18cos72sin18︒︒+︒︒； （2）cos72cos12sin72sin12︒︒+︒︒ （3）tan12tan 331tan12tan 33︒︒︒︒+- （4）cos74sin14sin74cos14；（5）sin34sin 26cos34cos26︒︒︒︒-； （6）sin 20cos110cos160sin70︒︒︒︒+．23．（2021·全国·高一课时练习）（1）已知4cos 5α=，求44sin cos αα+的值； （2）已知1sin cos 2αα+=，求sin 2α的值. （3）已知3π,2π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭（4）已知1tan 22βα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，1tan 23αβ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，求()tan αβ+的值.24．（2021·全国·高一课时练习）化简：（1）()2sin15cos15︒+︒；（2）sin cos 22θθ；（3）44cos sin αα-；（4）22cos20sin 10+︒-︒；（5）111tan 1tan θθ--+；（6）()ππ12sin cos 0π44ααα⎛⎫⎛⎫---<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.【考点同练】一、单选题25．（2021·全国·高一单元测试）已知()1cos 3αβ-=，3cos 4β=，0,2παβ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则（ ）．A ．0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭B ．,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭C ．()0,απ∈D ．0,2πα⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭26．（2021·全国·高一课时练习）化简sin 200cos140cos160sin 40︒︒-︒︒，得（ ） A ．32B ．sin 20︒C ．cos20︒D ．1227．（2021·甘肃张掖·高一期末（理））如图，在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，终边分别是射线OA 和射线OB ，且射线OA 和射线OB 关于x 轴对称，射线OA 与单位圆的交点为34,55A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则cos()βα-的值是（ ）A ．2425-B ．2425C ．725D ．725-28．（2021·全国·高一课时练习）若角α满足1cos 43πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则2tan 1tan a a +＝（ ）A ．79B ．724C ．718D ．71229．（2021·河南·高一期末）已知角α的终边过点()3,4-，则sin 22cos 1αα-+的值为（ ） A ．2-B ．25-C ．2925-D ．130．（2021·贵州·镇远县文德民族中学校高一月考）已知tan α=tan2α=（ ）A ．BC ．-D ．31．（2021·云南省玉溪第一中学高一月考）已知,αβ都是锐角，3sin =5，()12cos 13αβ+=-，则sin =β（ ）A ．1BC ．1665-D ．166532．（2021·江苏·邳州宿羊山高级中学高一月考）cos57cos12sin 57sin12+的值为（ ）A ．0B ．12C D 33．（2021·江西省修水县英才高级中学高一月考）sin10cos50sin50cos10+=°°°°（ ）A ．12B C D ． 34．（2021·江苏如皋·高一月考）已知3sin 64πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin 26πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为（ ）A ．BC ．18D ．18-35．（2021·江苏·tan12tan18︒+︒+︒⋅︒的值是（ ）A B C ．0D ．136．（2021·全国·高一课时练习）若θ为锐角，cos()4πθ+=1tan tan θθ+=（ ） A ．512B ．2512C ．247D ．72437．（2021·云南·罗平县第二中学高一月考）已知22()2cossin 2xf x x =+，则()f x 的最大值为（ ） A ．3B ．94C ．2D ．2338．（2021·江苏如皋·3()2ππα<<的结果为（ ）A ．sin2αB ．sin2α- C ．cos2αD ．cos2α-39．（2021·陕西渭滨·高一期末）已知sin 2sin 1αβ+=，cos 2cos αβ+=cos 2()αβ-=（ ） A ．12 B ．12-C ．78-D ．78二、多选题40．（2021·江苏淮安·高一月考）下列各式中，值为12的是（ ） A ．2tan 22.51tan 22.5︒︒-B ．2tan15cos 15⋅C 212π212πD ．cos76°cos16°+cos14°sin16°41．（2021·江苏省前黄高级中学高一月考）若cos2cos 0θθ+=，则sin 2sin θθ+等于（ ）A ．0B C ．D42．（2021·辽宁·大连市第一中学高一月考）已知函数()()2cos 0,||2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的图象上，对称中心与对称轴12x π=的最小距离为4π，则下列结论正确的是（ ） A ．()506f x f x π⎛⎫+-= ⎪⎝⎭B ．当,62x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()f x ≥C ．若()2cos2g x x =，则()6g x f x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭D ．若444sin cos 5αα-=-，0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则4f πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭43．（2021·江苏·东台创新高级中学高一月考）下列计算正确的选项有（ ） A ．sin158°cos48°+cos22°sin48°＝1 B ．sin20°cos110°+cos160°sin70°＝1C ．1tan151tan15+︒-︒D ．cos74sin14sin 74cos14︒︒-︒︒=三、填空题44．（2021·全国·高一单元测试）已知角θ的终边过点P （1，2），则tan 4πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭___________.45．（2021·四川·成都外国语学校高一月考（文））已知α∈（0，2π），β∈（﹣π，﹣2π），sinα，co sβ＝，则α+2β的值为______46．（2021·河北张家口·高一期末）已知α，(0,)βπ∈，()1sin 3αβ-=，1cos 4β=-，则cos α=______.47．（2021·陕西·西安电子科技大学附中高一月考）若α、β为锐角，且()12cos 13αβ+=，()3cos 25αβ+=，则cos α为_________四、解答题48．（2021·广东·揭阳第一中学高一期末）（1）已知tan 3α=，求()2sin cos αα+；（2）计算：()sin 40tan103-.49．（2021·全国·高一课时练习）已知α是第一象限角，且5cos 13α=，求()πsin 4cos 24παα⎛⎫+ ⎪⎝⎭+的值． 50．（2021·全国·高一课时练习）如图， A ， B 是单位圆O 上的点，且A 点坐标为34,55⎛⎫⎪⎝⎭， B 在第二象限， C 是圆O 与x 轴的正半轴的交点，△AOB 为正三角形，求tan ∠BOC 的值.51．（2021·全国·高一课时练习）计算： （1）sin14cos16sin16cos14+︒︒︒︒； （2）sin 21cos81sin69cos9︒︒-︒︒；（3）()()()()cos 70sin 170sin 70cos 10αααα︒+︒--︒+︒+； （4）()tan75tan15cos75cos15︒-︒︒︒.【答案精讲】1．C 【分析】先利用同角三角函数的关系，求解cos ,cos αβ，再由两角和的余弦公式得到cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=-=，结合αβ+的范围即得解 【详解】由题意,0,2παβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故(0,)αβπ+∈，且cos 0,cos 0αβ>>cos αβ∴==cos()cos cos sin sin αβαβαβ∴+=-=由于cos()0αβ+>，故(0,)2παβ+∈4παβ∴+=故选：C 2．D 【分析】利用()cos cos ααββ=+-⎡⎤⎣⎦求解即可. 【详解】 因为02παβπ<<<<，所以322ππαβ<+<，又因为1cos 3β=-，所以sin β=因为()1sin 3αβ+=，所以()cos αβ+=，所以()()()cos cos cos cos sin sin ααββαββαββ=+-=+++⎡⎤⎣⎦1133⎛⎛⎫=⨯-= ⎪ ⎝⎭⎝⎭故选：D 3．A 【分析】转化sin 74cos16,sin 46cos 44==，再利用两角和的余弦公式即得解 【详解】由题意，1sin 74sin 46sin16sin 44cos16cos 44sin16sin 44cos602-=-== 故选：A 【点睛】本题考查了三角函数的诱导公式和两角和的余弦公式综合，考查了学生综合分析，数学运算能力，属于基础题 4．A 【分析】逆用两角和的余弦公式即可求解. 【详解】()1cos 45cos15sin 45sin15cos 4515cos602-=+==， 故选：A. 5．B 【分析】对sin()cos 6παα++化简，再利用两角差的余弦公式可得结果【详解】解：因为1cos(),63πα-=-所以sin()cos 6παα++sin cos cos sincos 66ππααα=++3cos 2αα=+1sin 2αα⎫=⎪⎪⎭sin sin cos cos 66ππαα⎫=+⎪⎭6πα⎛⎫=- ⎪⎝⎭13⎛⎫=-= ⎪⎝⎭故选：B 6．C 【分析】本题首先可通过诱导公式以及两角和的余弦公式得出2cos65b =、2cos67c ，然后通过函数2cos y x =在区间()0,90上是减函数即可得出结果. 【详解】13cos53sin 52cos5sin 52cos 6052cos6522b ，2sin 47sin 66sin 24sin 432cos43cos24sin 24sin 43c2cos 43242cos672cos66a =，因为函数2cos y x =在区间()0,90上是减函数，656667，所以2cos652cos662cos67，即b ac >>，故选：C . 7．D 【分析】利用两角差的正弦公式，即得解 【详解】由题意，()()sin 22cos82cos 22sin 82sin 2282sin 60︒︒-︒︒=︒-︒=-︒=故选：D 8．D 【分析】将sin10变为()sin 3020-展开化简可求得结果. 【详解】()132cos 20sin 20cos 202sin 3020cos 20222sin10cos 20sin 20sin 20sin 20sin 2020⎛⎫-- ⎪---⎝⎭====故选：D. 9．C 【分析】利用同角的三角函数的基本关系式可求sin α，再利用两角和的正弦可求sin 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值.【详解】因为3cos 5α=，0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故4sin 5α，所以7sin sin cos cos sin 4445πππααα⎛⎫+=+== ⎪⎝⎭故选：C. 10．C 【分析】结合诱导公式、两角和的正弦公式求得正确答案. 【详解】原式()()sin 46cos14sin 9046cos 9014=︒︒+︒-︒︒-︒ ()sin 46cos14cos 46sin14sin 4614sin 60=︒︒+︒︒=︒+︒=︒=故选：C 11．C 【分析】逆用差角正弦公式知sin37cos7cos37sin 7sin(377)︒︒-︒︒=︒-︒，即可求值. 【详解】由1sin 37cos7cos37sin 7sin(377)sin 302︒︒-︒︒=︒-︒=︒=. 故选：C 12．D 【分析】利用辅助角公式化简即可求得. 【详解】解：193sin cos tansin )12παααα+=-， 即11912cos 2tan sin )2122παααα⎫+=-⎪⎪⎝⎭， 即19sin tancos 6126πππαα⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 易知：cos 06πα⎛⎫+≠ ⎪⎝⎭，sin 196tan 12cos 6παππα⎛⎫+ ⎪⎝⎭∴=⎛⎫+ ⎪⎝⎭，即19tan tan 612ππα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，故()19,612k k z ππαπ+=+∈， 即()17,12k k z παπ=+∈， 又0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，令1k =-， 得512πα=. 故选：D. 13．A 【分析】利用两角和与差的正切公式求得tan 2()αβ-，再根据角的范围求解. 【详解】因为11tan(),tan 27αββ-==-，所以[]()()11tan tan 127tan tan ()0111tan tan 3127αββααββαββ--+=-+===>--⋅+⨯, 则π(0,)2α∈,因为1tan 07β=-<, 则,2πβπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,所以,202ππαβπαβ-<-<--<-<, 22122tan α33tan 2α1tan α411331tan 2tan 47tan(2)1311tan 2tan 147αβαβαβ+--===+⋅-⨯， 所以324παβ-=-,14．C 【分析】已知sin 2cos 0αα-=，可得tan 2α=，根据两角差的正切公式计算即可得出结果. 【详解】已知sin 2cos 0αα-=，则tan 2α=，∴ tantan 1tan 1214tan ===41tan 1231tan tan 4παπααπαα---⎛⎫-=- ⎪++⎝⎭+.故选：C. 15．C 【分析】由正切的差角公式，即得解 【详解】由题意，tan82tan 22tan(8222)tan 601tan82tan 22︒︒︒︒︒︒︒-=-==+ 故选：C 16．A 【分析】根据式子结构，构造两角和正切公式的逆运用，直接求值即可. 【详解】48tan 60tan18tan 48tan18--°°°°°)tan 48tan18tan 48tan18--=°°°°()()1tan 48tan18tan 48tan1ta 188n 48=-⎤⎦+-°°°°°°()tan301tan 48tan18tan 48tan18=+-⎤⎦°°°°°1tan 48tan18tan 48tan181=+-=°°°°．故选：A 17．A 【分析】利用两角和的正切公式计算可得； 【详解】 解：()tan 27tan 33tan 2733tan 601tan 27tan 33︒+︒=︒+︒=︒=-︒︒，所以1tan 27tan 33tan 27tan 33-︒︒=︒+︒故选：A【分析】利用()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ+=+-即可得①正确；cos65sin 25=，进而利用正弦和角公式即可得②正确；由tan 451=与正切的和差角公式即可得③正确④错误. 【详解】解：对于①，由于()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ+=+-， 所以tan 25tan 353tan 25tan 35++()()tan 25351tan 25tan353tan 25tan35tan 25353⎡⎤=+-+=+=⎣⎦；对于②，由于cos65sin 25=，所以()()2sin35cos 25cos35cos652sin35cos 25cos35sin 252sin 603+=+==； 对于③，因为tan 451=， 1tan15tan 45tan15tan 6031tan151tan 45tan15︒︒︒︒︒︒++===--对于④，因为tan 451=， 1tan15tan 45tan153tan 301tan151tan 45tan153︒︒︒︒︒︒-+-===+ 故选：C. 【点睛】本题考查三角恒等变化化简求值，考查运算求解能力，是中档题.本题解题的过程中需注意()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ+=+-与1tan15tan 45tan151tan151tan 45tan15︒︒︒︒︒︒++=--的关系.19．B 【分析】根据已知条件可得24sin 25θ=，进而可得cos θ的值，再由余弦的二倍角公式即可得cos 2θ的值. 【详解】由225sin sin 240θθ+-=可得：()()25sin 24sin 10θθ-+=， 可得24sin 25θ=或sin 1θ=-（舍），因为θ是第二象限的角，所以7cos 25θ===-，因为()π2ππ2πZ 2k k k θ+<<+∈，所以()ππππZ 422k k k θ+<<+∈， 所以2θ是第一象限或第三象限角，由2cos 2cos 12θθ=-可得3cos25θ==±， 故选：B. 20．B 【分析】首先对cos()46πα+=-sin 2α并进一步精确α的范围，同时结合sin 2α求出sin cos αα+，再利用诱导公式化对所求问题化简，进而求解.【详解】∵cos()4πα+=∴22cos[2()]sin 22cos ()1449ππααα+=-=+-=-，即2sin 2=2sin cos 09ααα=>，∵0απ<<，∴sin 0α>，∴cos 0α>， 故02πα<<，∴sin cos αα+==故3cos(2)sin 22sin cos sin cos 33παααααα--==-++ 故选：B. 21．A 【分析】利用二倍角公式转化后进行弦化切，代入即可求解. 【详解】由题知tan 2θ=-，2222sin 22sin cos 2tan 2cos 1sin 2cos tan 23θθθθθθθθ===-+++.故选：A. 22． （1）1 （2）12 （3）1 （4）（5）12-（6）1- 【分析】由条件利用两角和差的三角公式、诱导公式，即可求出各题． （1）解：()sin72cos18cos72sin18sin 7218sin901︒︒+︒︒=︒+︒=︒=； （2）解：()1cos72cos12sin 72sin12cos 7212cos602︒︒+︒︒=︒-︒=︒=； （3） 解：()tan12tan 33tan 1233tan 4511tan12tan 33︒+︒=︒+︒=︒=-︒︒；（4）解：()()cos 74sin14sin 74cos14sin 1474sin 60sin 60︒︒-︒︒=︒-︒=-︒=-︒=； （5）解：1sin 34sin 26cos34cos 26cos 3426cos602()︒︒-︒︒=-︒+︒=-︒=-；（6）解：sin 20cos110cos160sin 70sin 20cos70cos 2i ()0s n 70︒︒+︒︒=︒-︒-︒︒ sin 2070sin9(1)0=-︒+︒=-︒=-．23．（1）337625；（2）34-；（3）2cos 2α-；（4）724【分析】（1）根据同角三角函数关系，可得2sin α的值，代入所求，即可得答案； （2）左右同时平方，根据同角三角函数关系及二倍角公式，即可得答案； （3）根据同角三角函数关系及二倍角公式，化简可得所求=sin cossincos2222αααα-++，根据α的范围，可得sin,cos22αα的范围，分析即可得答案；（4）根据两角和的正切公式，结合题干条件，可得tan 2αβ+⎛⎫⎪⎝⎭的值，根据二倍角正切公式，代入计算，即可得答案. 【详解】 （1）因为4cos 5α=，所以229sin 1cos 25αα=-=，所以244494337sin cos 255625αα⎛⎫⎛⎫+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（2）因为1sin cos 2αα+=，左右同时平方可得：()21sin cos 4αα+=，所以221sin cos 2sin cos 4αααα++=， 所以3sin 22sin cos 4ααα==- （3）=sin cos sin cos 2222αααα=-++，因为3π,2π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以3,24αππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以0sin 1cos 22αα<<-<< 所以sincossincossincossin cos 2cos 222222222ααααααααα⎛⎫-++=--+=- ⎪⎝⎭； （4）tan tan 2222tan 1tan tan 2tan 7122βααββααβααββαβ⎛⎫+⎡⎤⎛⎫=== ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦-⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭⎝⎭-+- ⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭⎝⎭-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以()22tan 72tan 241tan 2αβαβαβ+⎛⎫⎪⎝⎭+==+⎛⎫- ⎪⎝⎭24．（1）32（2）1sin 2θ（3）cos2α （4︒ （5）tan 2θ （62α【分析】（1）结合同角的平方关系，逆用正弦的二倍角公式化简整理即可求出结果；（2）逆用正弦的二倍角公式化简即可求出结果；（3）结合平方差公式以及同角的平方关系，逆用余弦的二倍角公式即可求出结果； （4）利用同角的平方关系以及余弦的二倍角公式化简整理即可求出结；（5）结合同角的商数关系切化弦整理，再结合平方差公式以及降幂公式整理即可求出结果； （6）逆用正弦的二倍角公式，再结合同角的平方关系以及逆用余弦的二倍角公式. （1）()222sin15cos15sin 15cos 152sin15cos15︒+︒=︒+︒+︒︒1sin30=+︒ 112=+32= （2）1sin cos sin 222=θθθ （3）()()224422cos sin cos sin -=-αααα()()2222cos sin cos sin =+-αααα22cos sin =-αα cos2=α （4）===︒（5）1111sin sin 1tan 1tan 11cos cos -=--+-+θθθθθθ11cos sin cos sin cos cos =--+θθθθθθ cos cos cos sin cos sin =--+θθθθθθ()()()()cos cos sin cos cos sin cos sin cos sin +-+=-+θθθθθθθθθθ()()()22cos cos sin cos cos sin cos sin cos sin +--=-+θθθθθθθθθθ222cos sin cos sin =-θθθθsin 2cos 2=θθtan2θ=（6）===因为0πα<<，所以022απ<<，所以sin02α>，因此原式2=α.25．B 【分析】由已知得()0,απ∈，再利用同角之间的关系及两角差的余弦公式计算cos 0α<，即可得解. 【详解】()1cos 3αβ-=，0,2παβ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，()sin αβ∴-==3cos 4β=，0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，sin β∴==()0,απ∴∈又cos cos()cos()cos sin()sin ααββαββαββ=-+=---13034=⨯=< ,2παπ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭故选：B 26．A 【分析】应用诱导公式及逆用差角正弦公式化简求值即可. 【详解】由cos160cos(360160)cos 200︒=︒-︒=︒，sin 40sin(18040)sin140︒=︒-︒=︒，∴sin 200cos140cos160sin 40sin 200cos140cos200sin140︒︒-︒︒=︒︒-︒︒=sin(200140)︒-︒=sin 60︒故选：A 27．D 【分析】由三角函数的定义可得cos α，sin α，cos β，sin β的值，再由差角的余弦公式计算即得. 【详解】由任意角的三角函数的定义可得，3cos 5α=-，4sin 5α， 因34,55A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，且射线OA 和射线OB 关于x 轴对称，则射线OB 与单位圆的交点为34,55B ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，于是得3cos 5β=-，4sin 5β=-，因此，33449167cos()cos cos sin sin 5555252525βαβαβα⎛⎫⎛⎫-=+=-⨯-+⨯-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以cos()βα-的值是725-. 故选：D 28．C 【分析】利用两角和的余弦公式化简已知等式可得cos sin αα-=2sinαcosα的值，根据同角三角函数基本关系式化简所求即可求解． 【详解】因为)1cos cos sin 43πααα⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，可得cos sin αα-=两边平方，可得72sin cos 9αα=， 所以22sin tan 7cos sin cos 1tan 18sin 1cos αααααααα===+⎛⎫+ ⎪⎝⎭． 故选：C.29．C 【分析】先求得sin ,cos αα，结合二倍角公式求得正确答案. 【详解】因为角α的终边过点()3,4-， 所以4sin 5α=-，3cos 5α=，所以()3429sin 22cos 12cos sin 112115525αααα⎛⎫-+=-+=⨯⨯--+=- ⎪⎝⎭.故选：C 30．D 【分析】结合二倍角的正切公式计算即可. 【详解】因为tan α=所以22tan tan 21tan ααα==-故选：D 31．D 【分析】由()sin sin βαβα=+-⎡⎤⎣⎦，结合同角三角函数的基本关系式、两角差的正弦公式求得正确结论. 【详解】 由于0,022ππαβ<<<<，所以0αβ<+<π，所以()45cos ,sin 513ααβ+=，所以()sin sin βαβα=+-⎡⎤⎣⎦()()sin cos cos sin αβααβα=+-+ 541231613513565=⨯+⨯=. 故选：D 32．D 【分析】利用两角差的余弦公式求得正确结论. 【详解】原式()cos 5712cos 45=︒-︒=︒=故选：D 33．C 【分析】由已知结合两角和的正弦公式即可求解． 【详解】sin10cos50sin50cos10︒︒+︒︒sin(1050)sin 60=︒+︒=︒， 故选：C. 34．D 【分析】利用二倍角余弦公式及配凑角法，即可得到结果. 【详解】∵3sin 64πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，∴2sin 2cos 212sin 6266ππππααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+=-=-- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦2311248⎛⎫=-⨯=- ⎪⎝⎭.故选：D. 35．D 【分析】将tan12tan18tan(1218)(1tan12tan18)︒+︒=︒+︒-︒︒ 代入所求的式子，即可求解. 【详解】tan12tan18︒︒+︒⋅︒)tan12tan18tan12tan18︒︒︒⋅=++︒()1218(1tan12tan18tan12tan1)8︒+︒-︒⋅︒⋅+︒=︒tan12tan18tan12t 8)1an1-︒⋅︒︒⋅=︒=+. 故选：D 36．B 【分析】由cos()410πθ+=-，得1cos sin 5θθ-=-，两边同时平方得：12sin cos 25θθ=，故有22sin cos 12sin cos 25θθθθ=+，再化弦为切即可得出答案.【详解】解：由cos()4πθ+=2210θθ-=， 所以1cos sin 5θθ-=-，两边同时平方得：112sin cos 25θθ-=，则12sin cos 25θθ=， 故有22sin cos 12sin cos 25θθθθ=+，所以2tan 12tan 125θθ=+，则112125tan tan θθ=+， 所以1tan tan θθ+=2512. 故选：B. 37．B 【分析】先根据降幂公式以及平方关系化简()f x ，将其转化为关于cos x 的二次函数形式，结合二次函数的性质可求解出()f x 的最大值. 【详解】因为()2222192cos sin 1cos 1cos cos 224x f x x x x x ⎛⎫=+=++-=--+ ⎪⎝⎭，当1cos 2x =时，()f x 有最大值，且()max 94f x =，故选：B. 38．A【分析】利用给定角的范围确定出cos α与sin 2α的正负，再利用二倍角的余弦公式化简变形即得.【详解】 因32ππα<<，则cos 0α<，且3224παπ<<，即有sin 02α>，sin 2α=.故选：A 39．C 【分析】先利用已知条件计算()cos αβ-，再利用二倍角的余弦公式计算即得结果. 【详解】由sin 2sin 1αβ+=，cos 2cos αβ+=两式平方后相加可得，2222sin cos 4cos 4sin 4sin sin 4cos cos 4ααββαβαβ+++++=， 即54sin sin 4cos cos 4αβαβ++=，得1sin sin cos cos 4αβαβ+=-，所以()1cos 4αβ-=-，故()()221cos 22cos 121478αβαβ⎛⎫-=--=⨯--= ⎪⎝-⎭.故选：C. 40．ACD 【分析】由二倍角公式，同角关系式、两角和的正弦公式化简计算． 【详解】2tan 22.511tan 451tan 22.522︒︒=︒=-； 22sin1511tan15cos 15cos 15sin15cos15sin 30cos1524︒=⋅︒=︒⋅︒=︒=︒；212π212π162π==；1cos76cos16cos14sin16sin14cos16cos14sin16sin 302︒︒+︒︒=︒︒+︒︒=︒=． 故选：ACD ． 41．ABC 【分析】根据余弦的二倍角公式求得cos 1θ=-或1cos 2θ=，再分别求得sin θ，运用正弦的二倍角公式可得选项. 【详解】由cos2cos 0θθ+=得22cos 1cos 0θθ-+=，所以cos 1θ=-或1cos 2θ=.当cos 1θ=-时，有sin 0θ=；当1cos 2θ=时，有sin θ=.于是sin 2sin sin (2cos 1)0θθθθ+=+=故选：ABC. 42．BD 【分析】先求出()2cos 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，再对四个选项一一验证：对于A ：计算56f x π⎛⎫- ⎪⎝⎭再计算()56f x f x π⎛⎫+- ⎪⎝⎭，进行验证； 对于B ：直接求出()2cos 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭在,62x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的值域即可；对于C ：直接求出6g x π⎛⎫- ⎪⎝⎭，进行验证；对于D ：先求出cos2α和sin 2α再求4f πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭即可.【详解】∵对称中心与对称轴12x π=的最小距离为4π，∴=44T π，即=T π.而2T πω=,∴=2ω.又因为12x π=为对称轴，且||2ϕπ<∴2=122k ππϕπ⨯++，解得：=6πϕ-.所以()2cos 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭对于A ：5532cos 22cos 22sin 26662f x x x x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，而 ()2cos 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以()52cos 22sin 22cos 20666f x f x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-=--=+≠ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故A 错误；对于B ：当,62x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，25666,x πππ⎡⎤⎢⎥⎫⎣-∈ ⎪⎝⎭⎦⎛，所以()2cos 26f x x π⎛⎫⎡=-∈ ⎪⎣⎝⎭，故B 正确；对于C ：当()2cos2g x x =时，2cos 2=2cos 2()663g x x x f x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--≠ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故C 错误；对于D ：当444sin cos 5αα-=-，0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()422242224sin cos sin cos sin cos =sin cos =cos 2=5ααααααααα-=-+---∴4cos 2=5α又因为0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴()20,απ∈，∴3sin 25α，所以=2cos 2=2sin 2=2sin2cos 2cos 2sin 446666f ππππππααααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++----+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭34=55+，故D 正确. 故选：BD. 【点睛】三角函数问题通常需要把它化为“一角一名一次”的结构，借助于sin y x =或cos y x =的性质解题. 43．CD 【分析】利用三角函数的诱导公式及两角和与差的三角函数公式的逆应用，逐一计算四个选项是否正确即得结果. 【详解】对于A ，sin158°cos48°+cos22°sin48°＝sin22°cos48°+cos22°sin48°＝sin （22°+48°）＝sin70°≠1，故A 错误；对于B ，sin20°cos110°+cos160°sin70°＝sin20°（﹣cos70°）+（﹣cos20°）sin70°＝﹣（sin20°cos70°+cos20°sin70°）＝﹣sin （20°+70°）＝﹣1，故B 错误； 对于C，()1tan15tan 45tan15tan 4515tan 601tan151tan 45tan15+︒︒+︒==︒+︒=︒=-︒-︒︒C 正确；对于D ，cos74°sin14°﹣sin74°cos14°＝sin （14°﹣74°）＝﹣sin60°=D 正确. 故选：CD. 44．3- 【分析】先利用任意角的三角函数的定义求出tan θ的值，再利用两角和的正切公式求解即可 【详解】因为角θ的终边过点P （1，2），所以tan 2θ=，所以tan tan214tan 34121tan tan 4πθπθπθ++⎛⎫+===- ⎪-⎝⎭-， 故答案为：3- 45．54π-【分析】先利用已知条件和同角三角函数的关系求出cos ,sin αβ，再求出tan ,tan αβ，然后利用正切的二倍角公式求出tan 2β的值，再求出(2)tan αβ+的值，从而可求出2αβ+的值 【详解】 因为α∈（0，2π），β∈（﹣π，﹣2π），sinα，co sβ＝，所以cos 10α===sin β==， 所以sin sin 1tan 7,tan cos cos 2αβαβαβ====， 所以22tan 14tan 211tan 314βββ===--，所以tan tan 2tan(2)1tan tan 2αβαβαβ++=-47314173+==--⨯因为α∈（0，2π），β∈（﹣π，﹣2π）， 所以(2)2,2παβπ⎛⎫+∈-- ⎪⎝⎭，所以524παβ+=-， 故答案为：54π-46．【分析】根据角的变换ααββ=-+，利用两角和的余弦公式计算即可，注意分析角的范围. 【详解】由α，(0,)βπ∈，cos 0β<知2πβπ<<，sin β∴=由2ππβ-<-<-， 2ππαβ∴-<-<，sin()0αβ->， 02αβπ∴<-<，cos()αβ∴-=ααββ=-+，，cos cos()cos()cos sin()sin ααββαββαββ∴=-+=-⋅--=.故答案为：47．5665【分析】本题首先可通过同角三角函数关系求出()5sin 13αβ+=、()4sin 25αβ+=，然后根据两角差的余弦公式即可得出结果. 【详解】因为α、β为锐角，()12cos 13αβ+=，()3cos 25αβ+=，所以02παβ<+<，022παβ<+<，则()5sin 13αβ+=，()4sin 25αβ+==， ()()cos cos 2ααβαβ⎡⎤=+-+⎣⎦()()()()cos 2cos sin 2sin αβαβαβαβ=+++++312455651351365=⨯+⨯=， 故答案为：5665. 48．（1）85；（2）1-.【分析】（1）由()22222sin cos 2tan sin cos 11sin cos 1tan αααααααα+=+=+++可得答案；（2）由()sin10sin103cos10sin 40tan103sin 403sin 40cos10cos10⎛⎫--=-=⋅⎪⎝⎭2sin 40cos40cos10=-可得答案.【详解】（1）tan 3α=，()222222sin cos 2tan 238sin cos 111sin cos 1tan 135αααααααα⨯∴+=+=+=+=+++； （2）()sin10sin103cos10sin 40tan103sin 403sin 40cos10cos10⎛⎫--=-=⋅⎪⎝⎭()13sin10cos102sin 40sin 1060222sin 40cos10cos10--=⋅=2sin 40sin502sin 40cos40cos10cos10=-=-sin801cos10=-=-. 49． 【分析】根据同角三角函数关系，可求得sin α的值，根据两角和的正弦公式、诱导公式、二倍角余弦公式，化简计算，即可得答案. 【详解】因为α是第一象限角，且5cos 13α=，所以12sin 13α=， 所以()22πsin 4222cos 24πcos sin cos sin 14αααααααα⎛⎫+ ⎪⎝⎭===-+-- 50【详解】由题可知445tan 335AOC ∠==，所以()tan tan 60BOC AOC ∠=∠+tan tan 601tan tan 60AOC AOC ∠+=-∠⋅43413=-==. 51．（1）12（2） （3） （4【分析】（1）根据两角和的正弦公式，即可求出结果；（2）根据诱导公式()()sin 90=cos cos 90=sin αααα︒-︒-，化简，再根据两角和的余弦公式，即可求出结果；（3）根据诱导公式()sin 180=sin αα︒-，再根据两角差的正弦公式，即可求出结果； （4）先根据sin tan cos ααα=化简，再根据两角差的正弦公式，即可求出结果； （1）解：()1sin14cos16sin16cos14sin 1416sin 302︒︒︒+︒=+=︒=︒︒； （2）解：()()sin 21cos81sin69cos9sin 21cos81sin 9021cos 9081︒︒-︒︒=︒︒-︒-︒︒-︒ sin 21cos81cos21sin81=︒︒-︒︒()sin 8121sin 60=-︒-︒=-︒= （3）解：()()()()cos 70sin 170sin 70cos 10αααα︒+︒--︒+︒+()()()()=cos 70sin 18010+sin 70cos 10αααα︒+︒-︒-︒+︒+⎡⎤⎣⎦()()()()=cos 70sin 10+sin 70cos 10αααα︒+︒-︒+︒+()()sin 7010sin 60αα=-︒+-︒+=-︒=⎡⎤⎣⎦； （4）解：()sin 75sin15tan 75tan15cos 75cos15=cos 75cos15cos 75cos15︒︒⎛⎫︒-︒︒︒-︒︒ ⎪︒︒⎝⎭ sin 75cos15cos 75sin15=cos 75cos15cos 75cos15︒︒-︒︒⎛⎫︒︒ ⎪︒︒⎝⎭()sin 75cos15cos 75sin15sin 7515sin 60=︒︒-︒︒=︒-︒=︒=。

两角和与差的余弦、正弦、正切(一)1.2.公式：a sin θ＋b cos θ＝22b a +sin （θ＋ϕ(其中cos ϕ＝2222sin ,ba b ba a +=+ϕ，θ为任意角).(二)1.熟练掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式的运用2.理解公式：a sin θ＋b cos θ＝22b a +sin （θ＋ϕ） (其中2222sin ,cos ba b ba a +=+=ϕϕ，θ为任意角).3.灵活应用上. (三)1. 2.提高学生的思维素质.利用两角和与差的正、余弦公式将a sin θ＋b cos θ形式的三角函数式化为某一个角的三角函数形式.使学生理解并掌握将a sin θ＋b cos θ形式的三角函数式化为某一个角的三角函数形式，并能灵活应用其解决一些问题.cos θcos ϕ＋sin θsin ϕ＝cos （θ－ϕ cos θcos ϕ－sin θsin ϕ＝cos （θ＋ϕ sin θcos ϕ＋cos θsin ϕ＝sin （θ＋ϕ sin θcos ϕ－cos θsin ϕ＝sin （θ－ϕ1.)4cos(2)cos (sin 2)3()4sin(2sin cos )2()6sin(cos 21sin 23)1(ππθθθπααα-=++=++=+x x x2.利用和(差))3cos(66)3sin(62)4(cos sin 3)3(cos 53sin 153)2(cos 21sin 23)1(x x x x x x x x -+---+ππ［例1］求证)6sin(2sin 3cos απαα+=+证明：右边＝)sin 6coscos 6(sin2)6sin(2απαπαπ+=+)sin 23cos 21(2α+=或：左边＝)sin 6cos cos 6(sin 2sin 23cos 21(2sin 3cos απαπαααα+=+=+ )6sin(2απ+=(其中令6cos 23,6sin 21ππ==) ［例2］求证)3cos(2sin 3cos απαα-=+分析：要证此式，可从右边按照两角差的余弦公式展开，化简整理可证此式.若 即：左＝)sin 3sin cos 3(cos 2)sin 23cos 21(2sin 3cos απαπαααα+=+=+ )3cos(2απ-=(其中令3sin 33,3cos 21ππ==) 师：综合上两例可看出对于左式ααsin 3cos +可化为两种形式)6sin(2απ+或)3cos(2απ-，右边的两种形式均为一个角的三角函数形式.那么，对于a sin α＋b cos α的式子是否都可化为一个角的三角函数形式呢?师：推导)cos sin (cos sin 222222ααααba b ba ab a b a ++++=+由于1)()(222222=+++b a b b a asin 2θ＋cos 2θ＝1(1)若令22ba a +＝sin θ，则22ba b +＝cos θ∴a sin α＋b cos α＝22b a +（sin θsin α＋cos θcos α）＝22b a +cos （θ－α或＝22b a +cos （α－θ(2)若令22ba a +＝cos ϕ，则22ba b +＝sin ϕ∴a sin α＋b cos α＝22b a +（sin αcos ϕ＋cos αsin ϕ）＝22b a +sin （α＋ϕ） 例如：2sin θ＋cos θ＝)cos 55sin 552(1222θθ++ 若令cos ϕ＝552，则sin ϕ＝55∴2sin θ＋cos θ＝5（sin θcos ϕ＋cos θsin ϕ）＝5sin （θ＋ϕ若令552＝sin β，则55＝cos β∴2sin θ＋cos θ＝5（cos θcos β＋sin θsin β）＝5cos （θ－β）或 ＝5cos （β－θ）看来，a sin θ＋b cos θ均可化为某一个角的三角函数形式，且有两种形式. Ⅳ.师：通过本节的学习，要在熟练掌握两角和与差的余弦、正弦、正切公式的基础上，推导并理解公式：a sin θ＋b cos θ＝22b a +sin （θ＋ϕ(其中cos ϕ＝22ba a +，sin ϕ＝22ba b +)ｍcos α＋ｎsin α＝22n m +cos （α－β(其中cos β＝22nm m +，sin β＝22nm n +进而灵活应用上述公式对三角函数式进行变形，解决一些问题.两角和差的正弦、余弦和正切公式（基础训练）1．化简)sin()sin()cos()cos(γββαγββα-----为 （ ）A ．)2sin(γβα+-B ．)sin(γα- .cos()C αγ-D ．)2cos(γβα+- 2．已知3tan =α，则αααα22cos 9cos sin 4sin 2-+的值为（ ）A ．3B ．2110 C ．13 D ．1303．已知4sin 25α=-，(,)44ππα∈-，sin 4α的值为 （ ）A ．2425B ．2425-C ．45D ．7254．函数2sin y x =是（ ）A ．最小正周期为2π的偶函数B ．最小正周期为2π的奇函数C ．最小正周期为π的偶函数D ．最小正周期为π的奇函数5．已知sin αcos α=38，且4π<α<2π,则cos α－sin α的值为 （ ） A ．12 B ．—12 C ．14- D ．12±6．已知α+ β =3π, 则cos αcos β αcos β αsin β – sin αsin β 的值为 （ ）A ．2-B ．–1C ．1D ．7、已知1tan 23α=，求tan α的值． 8、已知4sin 5α=，(,)2παπ∈5cos 13β=-,β是第三象限角，求cos()αβ-的值.课时对点练一、选择题(本题共5小题，每小题5分，共25分) 1．函数y ＝2cos 2⎝⎛⎭⎫x －π4－1是( )A ．最小正周期为π的奇函数B ．最小正周期为π的偶函数C ．最小正周期为π2的奇函数D ．最小正周期为π2的偶函数2．tan 70°＋tan 50°－3tan 70°·tan 50°＝( )A. 3B.33C ．－33D ．－ 33．若3sin x －3cos x ＝23sin(x －φ)，φ∈(－π，π)，则φ＝( )A ．－π6B.π6C.5π6D ．－5π64．(2010·烟台调研)已知sin ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝35，则sin 2x 的值为( )A.725B.1625C.1425D.19255．已知cos ⎝⎛⎭⎫π6－α＝33，则sin 2⎝⎛⎭⎫α－π6－cos ⎝⎛⎭⎫5π6＋α的值是 ( )A.2＋33B ．－2＋33C.2－33D.－2＋33二、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分) 6．函数y ＝2cos 2x ＋sin 2x 的最小值是________． 7．(2010·汕头二模)若0＜α＜π2＜β＜π，且cos β＝－13，sin(α＋β)＝13，则cos α＝________.8．已知α、β为锐角，且cos α＝17，cos(α＋β)＝－1114，则β的值为________．三、解答题(本题共2小题，每小题10分，共20分) 9．已知tan ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝12.(1)求tan α的值； (2)求sin 2α－cos 2α1＋cos 2α的值．10．(2010·湖南卷)已知函数f (x )＝sin 2x －2sin 2x . (1)求函数f (x )的最小正周期；(2)求函数f (x )的最大值及f (x )取最大值时x 的集合．素能提升练一、选择题(本题共2小题，每小题5分，共10分) 1．(2009·海南卷)有四个关于三角函说法正确的是（ ） A ：x ∈R ，sin 2x 2＋cos 2x 2＝12； B x 、y ∈R ，sin(x －y )＝sin x －sin y ；C.：x ∈[0，π],1－cos 2x 2＝sin x ； D ：sin x ＝cos y ⇒x ＋y ＝π2.二、填空题(本题共2小题，每小题5分，共10分) 3.3－sin 70°2－cos 210°＝________. 4．若cos(α＋β)＝15，cos(α－β)＝35，则tan α·tan β＝________.三、解答题(本题共2小题，每小题10分，共20分) 5．如图在平面直角坐标系xOy 中，以Ox 轴为始边作两个锐 角α、β，它们的终边分别与单位圆相交于A 、B 两点．已 知A 、B 两点的横坐标分别为210、255.(1)求tan(α＋β)的值；(2)求α＋2β的大小．6．(2010·珠海质量检测)已知函数f (x )＝4cos 4x －2cos 2x －1cos 2x .(1)求f ⎝⎛⎭⎫－1112π的值； (2)当x ∈⎣⎡⎭⎫0，π4时，求g (x )＝f (x )＋sin 2x 的最大值和最小值．。