数的整除(能被7、9、11、13整除的数的特征)专题训练

一、基本概念和知识1.整除例如：15÷3=5；63÷7=9一般地；如a、b、c为整数；b≠0；且a÷b=c；即整数a除以整除b（b不等于0）；除得的商c正好是整数而没有余数（或者说余数是0）；我们就说；a能被b整除（或者说b能整除a）7是63的约数.2.数的整除性质性质1：如果a、b都能被c整除；那么它们的和与差也能被c整除.例如：如果2｜10；2｜6；那么2｜（10＋6）；并且2｜（10—6）.性质2：如果b与c的积能整除a；那么b与c都能整除a.即：如果bc｜a；那么b｜a；c｜a.性质3：如果b、c都能整除a；且b和c互质；那么b与c的积能整除a.即：如果b｜a；c｜a；且（b；c）=1；那么bc｜a.例如：如果2｜28；7｜28；且（2；7）=1,那么（2×7）｜28.性质4：如果c能整除b；b能整除a；那么c能整除a.即：如果c｜b；b｜a；那么c｜a.例如：如果3｜9；9｜27；那么3｜27.3.数的整除特征①能被2整除的数的特征：个位数字是0、2、4、6、8的整数.②能被3（或9）整除的数的特征：各个数位数字之和能被3（或9）整除.③能被4（或25）整除的数的特征：末两位数能被4（或25）整除.④能被5整除的数的特征：个位是0或5.⑤能被8（或125）整除的数的特征：末三位数能被8（或125）整除.⑥能被11整除的数的特征：这个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差（大减小）是0或11的倍数.⑦能被7（11或13）整除的数的特征：一个整数的末三位数与末三位以前的数字所组成的数之差（以大减小）能被7（11或13）整除.练习及详解例题1. 四位数“3AA1”是9的倍数；那么A=_____.（小五奥数）解析：已知四位数3AA1正好是9的倍数,则其各位数字之和3+A+A+1一定是9的倍数,可能是9的1倍或2倍,可用试验法试之.练习（1）在“25□79这个数的□内填上一个数字,使这个数能被11整除,方格内应填_____.练习（2）已知一个五位数□691□能被55整除,所有符合题意的五位_____.例题 2. 1至100以内所有不能被3整除的数的和是_____.解析：先求出1~100这100个数的和,再求100以内所有能被3整除的数的和,以上二和之差就是所有不能被3整除的数的和.(1+2+3+…+100)-（3+6+9+12+…+99）=(1+100)÷2×100-(3+99)÷2×33 =5050-1683=3367练习所有能被3整除的两位数的和是______.例题3. 能同时被2、3、5整除的最大三位数是_____.练习能同时被2、5、7整除的最大五位数是_____.例题4. 173□是个四位数字；数学老师说：“我在这个□中先后填入3个数字,所得到的3个四位数,依次可被9、11、6整除.”问：数学老师先后填入的3个数字的和是多少？答案：∵能被9整除的四位数的各位数字之和能被9整除；1+7+3+□=11+□∴□内只能填7.∵能被11整除的四位数的个位与百位的数字和减去十位与千位的数字和所得的差能被11整除.∴(7+□)-(1+3)=3+□能被11整除, ∴□内只能填8.∵能被6整除的自然数是偶数,并且数字和能被3整除,而1+7+3+□=11+□, ∴□内只能填4. 所以,所填三个数字之和是7+8+4=19.练习在1992后面补上三个数字；组成一个七位数；使它们分别能被2、3、5、11整除；这个七位数最小值是多少？。

能被7,11,13整除的数的特征的原理能被7, 11, 13整除的数的特征的原理解析引言当我们进行数学运算时，我们可能会遇到一些特殊的数，它们能够被7，11和13整除。

这些特殊的数在数论中有着重要的地位，同时也有着一些有趣的特征。

本文将深入探讨这些数的特点及其原理。

1. 数的整除性质•整除定义：当一个数除以另一个数时，如果能够得到一个整数，那么我们称这个数能够被另一个数整除。

•整除特性：如果一个数能够同时被两个或更多个数整除，那么它也能够被这些数的乘积整除。

2. 7的整除特征•规则1：能被7整除的数，其个位数的十进制表示减去2倍的十位数的十进制表示，结果能够被7整除。

–例如，35是7的倍数，35 - (2 * 3) = 29，29被7整除。

•规则2：能被7整除的数，将其个位数的数字去掉，再用去掉的数字减去2倍的余数，结果能够被7整除。

–例如，56是7的倍数，5 - (2 * 6) = -7，-7被7整除。

3. 11的整除特征•规则1：能被11整除的数，将奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和相减，结果能够被11整除。

–例如，121是11的倍数，(1+1) - 2 = 0，0被11整除。

•规则2：能被11整除的数，将数从右往左数每一位数字依次相加或减，结果能够被11整除。

–例如，363是11的倍数，3 - 6 + 3 = 0，0被11整除。

4. 13的整除特征•规则1：能被13整除的数，将个位数的数字乘以4，再将结果与剩余数字相减，结果能够被13整除。

–例如，13是13的倍数，1 * 4 - 3 = 1，1被13整除。

•规则2：能被13整除的数，将数从右往左数每一位数字依次乘以进制的幂次方，并将结果相加或相减，结果能够被13整除。

–例如，169是13的倍数，1 * 13^2 + 6 * 13^1 - 9 = 0，0被13整除。

5. 组合规则如何判断一个数能否被7、11和13整除呢？我们可以将上述规则进行组合使用。

一高斯算法总和=(首项+末项)×项数÷2末项=首项+公差×(项数-1)项数=(末项-首项) ÷公差+1练习题：1、1+2+3－4+5+6+7－8+9+10+…+25+26+27－282、67+65+63+…+5+3+13、1000－3－6－9－…－51－544、1－2＋3－4＋5－6＋…＋97－98＋995、103＋99＋103＋96＋105＋102＋98＋98＋101＋1026、0.1＋0.3＋0.5＋0.7＋0.9＋0.11＋0.13＋0.15＋…＋0.997、在所有的两位数中，十位上的数字比个位上的数字大的共有多少个？8、有8个小朋友聚会，每两个人握一次手，一共要握多少次手？9、一把钥匙只能打开一把锁。

现在有关10把锁和可以打开它们的确10把钥匙，但全部放乱了。

最多试多少次可以打开所有的锁？10、从“19”开始每隔4个数写出一个数，得到：19、24、29、34、……一直写到1999。

一共写了多少个数？这些数的总和是多少？11、试求200到300之间7的倍数之和。

12、在自然数中，有多少个三位数，求它们的和。

13、用1、2、3、5、7、8、10、13、17和19这十个数能组成多少个最简真分数？14、在三位数中，有多少个是7的倍数，求它们的和。

15、求偶数中前100个偶数的和。

16、一个剧场设置了20排座位，第一排有38个座位，以后每一排都比前一排多2个座位，这个剧场一共有多少个座位？17、一堆钢管，最底层是10根，倒数第二层是9根，以后每上一层，钢管减少1根，问10层共有多少根钢管？18、计算1～100每个数各数位上的数字之和是多少？19、有一列数；19、22、25、28……请问，这列数的前99个数（从19开始算起）的总和是多少？二整除问题1、能被2整除的数的特征：个位数上是0、2、4、6、8的整数，都能被2整除。

2、能被5整除的数的特征：个位数上是0或5的整数，都能被5整除。

小学五年级奥数：数的整除知识点汇总+例题解析数的整除数的整除问题，内容丰富，思维技巧性强。

它是小学数学中的重要课题，也是小学数学竞赛命题的内容之一。

一、基本概念和知识1.整除——约数和倍数例如：15÷3=5，63÷7=9一般地，如a、b、c为整数，b≠0，且a÷b=c，即整数a除以整除b（b不等于0），除得的商c正好是整数而没有余数（或者说余数是0），我们就说，a能被b整除（或者说b能整除a）。

记作b｜a.否则，称为a不能被b整除，（或b不能整除a），记作ba。

如果整数a能被整数b整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a 的约数。

例如：在上面算式中，15是3的倍数，3是15的约数；63是7的倍数，7是63的约数。

2.数的整除性质性质1：如果a、b都能被c整除，那么它们的和与差也能被c整除。

即：如果c｜a，c｜b，那么c｜（a±b）。

例如：如果2｜10，2｜6，那么2｜（10＋6），并且2｜（10—6）。

性质2：如果b与c的积能整除a，那么b与c都能整除a.即：如果bc｜a，那么b｜a，c｜a。

性质3：如果b、c都能整除a，且b和c互质，那么b与c 的积能整除a。

即：如果b｜a，c｜a，且（b，c）=1，那么bc｜a。

例如：如果2｜28，7｜28，且（2，7）=1,那么（2×7）｜28。

性质4：如果c能整除b，b能整除a，那么c能整除a。

即：如果c｜b，b｜a，那么c｜a。

例如：如果3｜9，9｜27，那么3｜27。

3.数的整除特征①能被2整除的数的特征：个位数字是0、2、4、6、8的整数.“特征”包含两方面的意义：一方面，个位数字是偶数（包括0）的整数，必能被2整除；另一方面，能被2整除的数，其个位数字只能是偶数（包括0）.下面“特征”含义相似。

②能被5整除的数的特征：个位是0或5。

③能被3（或9）整除的数的特征：各个数位数字之和能被3（或9）整除。

④能被4（或25）整除的数的特征：末两位数能被4（或25）整除。

能被2、3、5、7、9、11、13、17、19整除的数的特征能被2整除的数的特征是个位上是偶数，能被3整除的数的特征是所有位数的和是3的倍数（例如：315能被3整除，因为3+1+5=9是3的倍数）能被4（或25）整除的数的特征：末两位数能被4（或25）整除。

能被8（或125）整除的数的特征：末三位数能被8（或125）整除。

能被5整除的数个位上的数为0或5，能被7整除的数的特征若一个整数的个位数字去掉,再从余下的数中,减去个位数的2倍,如果差是7的倍数,则原数能被7整除。

如果数字仍然太大不能直接观察出来，就重复此过程。

能被9整除的数的特征是所有位数的和是9的倍数能被11整除的数的特征把一个数由右边向左边数,将奇位上的数字与偶位上的数字分别加起来,再求它们的差,如果这个差是11的倍数(包括0),那么,原来这个数就一定能被11整除。

例如：判断491678能不能被11整除。

奇位数字的和9+6+8=23偶位数位的和4+1+7=1223-12=11因此,491678能被11整除。

这种方法叫“奇偶位差法”。

能被13整除的数的特征把一个整数的个位数字去掉，再从余下的数中，加上个位数的4倍，如果和是13的倍数，则原数能被13整除。

如果数字仍然太大不能直接观察出来，就重复此过程。

如：判断1284322能不能被13整除。

128432+2×4=12844012844+0×4=128441284+4×4=13001300÷13=100所以，1284322能被13整除。

【其它方法：能被7（11或13）整除的数的特征：一个整数的末三位数与末三位以前的数字所组成的数之差（以大减小）能被7（11或13）整除。

】例1：判断1059282是否是7的倍数？例2：判断3546725能否被13整除？能被17整除的数的特征把一个整数的个位数字去掉，再从余下的数中，减去个位数的5倍，如果差是17的倍数，则原数能被17整除。

数的整除（能被7、9、11、13整除的数的特征）专题训练数的整除（能被7、9、11、13整除的数的特征）专题训练知识梳理：1、整数a除以整数b(b≠0)，所得的商正好是整数而没有余数，我们就说a能被b整除(也可以说b能整除a)。

2、如果整数a能被整数b(b≠0)整除，则称a是b的倍数，b是a的约数。

3、整除的数，其数字和一定是9的倍数．4、能被11整除的数的特征是这个数的奇数位数字之和与偶数位数字之和的差能被11整除。

5、一个三位以上的整数能否被7（11或13）整除，只须看这个数的末三位数字表示的三位数与末三位以前的数字组成的数的差（以大减小）能否被7（11或13）整除。

例题精讲1、判断47382能否被3或9整除？分析：能被3或9整除的数的特点是这个数各数位上的数字和是3或9的倍数。

47382各个数位的数字相加和是24，24是3的倍数但不是9的倍数。

解：47382能被3整除，不能被9整除2、判断42559，7295871能否被11整除？分析：一个三位以上的整数能否被11整除，只须看这个数的奇数位数字之和与偶数位数字之和的差能否被11整除。

解：42559奇数位的数字和为4+5+9=18，偶数位的数字和为2+5=7，18-7=11是11的倍数，所以42559能被11整除；7295871奇数位的数字和为7+9+8+1=25，偶数位的数字和为2+5+7=14，25-14=11是11的倍数，所以7295871也能被11整除。

3、32335能否被7整除？分析：一个三位以上的整数能否被7（11或13）整除，只须看这个数的末三位数字表示的三位数与末三位以前的数字组成的数的差（以大减小）能否被7（11或13）整除。

解：335-32=303，303不能被7整除，所以32335不能被7整除。

专题特训1、把516至少连续写几次，所组成的数能被9整除？2、四位数36AB能同时被2、3、4、5、9整除，则A=B=？3、173□是一个四位数，在这个□中先后填入3个数，所得到的3个四位数依次能被9、11、6整除，先后填入的3个数分别是几？4、九位数8765□4321能被21整除，□中应填几？5、用1~7七个数字组成不重复数字且能被11整除的七位数，最大的七位数与最小七位的数差是多少？6、一个五位数a236b能被63整除，这个五位数是多少？7、如果六位数1992口口能被105整除，那么它的最后两位数是多少?8、有三个连续的两位数,它们的和也是两位数,并且是11的倍数.这三个数可能是多少？9、一个六位数23□56□是88的倍数,这个数除以88所得的商可能是多少？10、42□28□是99的倍数,这个数除以99所得的商是多少？1、解：能被9整除的数的特点是各数位的数字和能被9整除，5+1+6=12，至少再连续写三次，得到516516516各数字的和为36，才能被9整除。

整除特征练习题整除是数学中的重要概念，指的是其中一个数能够被另一个数整除，也就是能够除尽。

在解决数学问题和实际生活中，整除的概念常常被运用到。

为了练习并巩固我们对整除的理解，下面将给出一系列整除特征练习题。

题目一：判断下列各组数是否满足整除特征，如果满足，请说明除法的整除结果。

如果不满足，请说明除法的余数。

1) 36÷62) 50÷73) 18÷44) 72÷85) 63÷9解答一：1) 36÷6 = 6，36可以被6整除，整除结果为6。

2) 50÷7 = 7余1，50不能被7整除，余数为1。

3) 18÷4 = 4余2，18不能被4整除，余数为2。

4) 72÷8 = 9，72可以被8整除，整除结果为9。

5) 63÷9 = 7，63可以被9整除，整除结果为7。

判断下列各组数是否满足整除特征，如果满足，请说明除法的整除结果。

如果不满足，请说明除法的余数。

1) 105÷72) 68÷103) 96÷54) 80÷95) 42÷6解答二：1) 105÷7 = 15，105可以被7整除，整除结果为15。

2) 68÷10 = 6余8，68不能被10整除，余数为8。

3) 96÷5 = 19余1，96不能被5整除，余数为1。

4) 80÷9 = 8余8，80不能被9整除，余数为8。

5) 42÷6 = 7，42可以被6整除，整除结果为7。

题目三：判断下列各组数是否满足整除特征，如果满足，请说明除法的整除结果。

如果不满足，请说明除法的余数。

1) 72÷62) 120÷84) 64÷75) 115÷10解答三：1) 72÷6 = 12，72可以被6整除，整除结果为12。

2) 120÷8 = 15，120可以被8整除，整除结果为15。

数的整除一、解答题（共15小题，满分0分）1．判断能否被3，7，11，13整除．2．试说明形式的6位数一定能被11整除．3．在1998后面添上两个数字构成一个六位数，它能够同时被7和8整除，所添的两个数字是多少？4．求被179整除的最小和最大的四位数．5．一个五位数减去其各位数字之和后变为，则x是多少？6．首位数字是9，各位上的数字互不相同的7位数中，能被6整除最小数是多少？？7．养殖专业户郝大爷共养鸡鸭810只，卖出鸡只数的，鸭只数的75%，剩下鸡鸭只数相同，求原来鸡鸭各养了多少只？8．五个三位数，前四个数分别是123、345、567、789．已知五个数的平均数是9的倍数，第5个数最大是多少？9．五个数之和是308．这五个数分别被2、3、5、7、11整除，且商相同，求这五个数．10．一个数乘以91后乘积的后三位是193，这个数最小是多少？11．一个各位数字全是1的自然数能被33333整除，问这个数最小是多少？12．某六位数能被17和19整除，求．13．五位数能被36整除，求这样的五位数．14．是105的倍数，求．15．给你一个六位数：（1）试求出所有这样的x、y的组合，使该六位数能被9整除；（2）根据（1）的结果说明该六位数一定不能被72整除；（3）试求出所有这样的x、y的组合，使该六位数能被24整除；（4）试求出所有这样的x、y的组合，使该六位数能被55整除；（5）试求出所有这样的x、y的组合，使该六位数能被91整除．数的整除参考答案与试题解析一、解答题（共15小题，满分0分）1．判断能否被3，7，11，13整除． 考点：数的整除特征．专题：整除性问题．分析： 首先判定能否被3整除，因为能同时被7、11、13整除的最小数为1001，把这个数写成1001×98666+766，探讨766能否被7，11，13整除即可．解答： 解：因为9+8+7+6+5+4+3+2=44，不能被3整除；因为98765432=1001×98666+766，766不能被7整除；766不能被11整除；766不能被13整除；所以不能被3，7，11，13整除．点评： 掌握能被3，7，11，13整除数的特征是解决问题的关键，注意问题的灵活处理．2．试说明形式的6位数一定能被11整除．考点：数的整除特征．专题：整除性问题．分析：根据被11整除数的特征：把一个数由右边向左边数，将奇位上的数字与偶位上的数字分别加起来，再求它们的差，如果这个差是11的倍数（包括0），那么，原来这个数就一定能被11整除．由此说明即可．解答：解：=100010010=1001c=1001×（10010）因为11能整除1001，所以形式的6位数一定能被11整除．点评：此题考查数的整除特征，掌握被11能出数的特征是解决问题的根本．3．在1998后面添上两个数字构成一个六位数，它能够同时被7和8整除，所添的两个数字是多少？考点：数的整除特征．专题：整除性问题．分析： 不妨设，添加的两个数字为，则8能被8整除，则可以是00，08，16，24，32，40，48，56，64，72，80，88，96；且7能整除1998，也就是整除3，相当于整除20，进一步验证得出答案即可． 解答： 解：设添加的两个数字为，8能整除1998，则可以为：00，08，16，24，32，40，48，56，64，72，80，88，96；7能整除199828542×7+6，也就是7能整除6，经过验证可知，08，64．所以所添的两个数字是08或64．点评： 此题考查能被7，8整除的数的特征，解答此题还要有较强的分析推理能力．4．求被179整除的最小和最大的四位数．考点：数的整除特征．专题：整除性问题．分析： 先求出1000÷179的商，该商+1后，与179相乘的积即为所求的被179整除的最小四位数；先求出9999÷179的商，然后用商与179相乘的积即为所求的被179整除的最大四位数．解解：1000÷179=5…105，答：179×（5+1）=179×6=1074．9999÷179=55…154，179×55=9845；答：被179整除的最小的四位数是1074，最大的四位数是9845．点评：此题考查了数的整除特征，明确倍数的求法，是解答此题的关键．5．一个五位数减去其各位数字之和后变为，则x是多少？考点：数字问题．专题：数性的判断专题．分析：五位数与各位数字和的差为7，已知万位为7，那么47应是9的倍数，进一步解决问题．解答：解：设原来的三位数是，由题意得：110﹣（）=7，99999999997，因此，五位数减去各们数字之和一定是9的倍数，可得47=9（或18，或27，36）经验证，只有47=27符合题意，因此5点评：设原来的三位数是，五位数减去各们数字之和一定是9的倍数，然后通过验证推出结果．6．首位数字是9，各位上的数字互不相同的7位数中，能被6整除最小数是多少？？考点：数的整除特征．专题：整除性问题．分析：首位数字确定，要使最小，不妨设为901234x，x是偶数，且9+1+2+3+418+（1）要能被3整除，求得2或8，最小且不重复就是8．解答：解：要使最小，不妨设为901234x，x是偶数，则9+1+2+3+418+（1）需能被3整除，则2或8，2与前面的数字重复，所以x取8．所以能被6整除最小数是9012348．点评：此题考查被一个数整除的数的特征，掌握被2或3整除数的特征是解决问题的关键．7．养殖专业户郝大爷共养鸡鸭810只，卖出鸡只数的，鸭只数的75%，剩下鸡鸭只数相同，求原来鸡鸭各养了多少只？考点：分数和百分数应用题（多重条件）．专题：分数百分数应用专题．分析： 根据“卖出鸡只数的，鸭只数的75%，剩下鸡鸭只数相同”，可知鸡×（1﹣80%）=鸭×（1﹣75%），所以鸡：鸭=（1﹣75%）：（1﹣80%）=5：4．那么鸡有810÷（5+4）×5=450（只），进而求出鸭的只数．解答： 解：（1﹣75%）：（1﹣80%）=5：4鸡有：810÷（5+4）×5=810÷9×5=450（只）鸭有：810﹣450=360（只）答：原来鸡养了450只，鸭养了360只．点评：此题先求出鸡鸭只数的比，是解答此题的关键．8．五个三位数，前四个数分别是123、345、567、789．已知五个数的平均数是9的倍数，第5个数最大是多少？考点：平均数问题；整除性质．专题：平均数问题；整除性问题．分析：123+345+567+789=1824，根据题意“已知五个数的平均数是9的倍数”所以得出这五个三位数的能既能被5整除，又能被9整除，因为能被5整除，所以个位数是0或5，因为求这个五位数最大是900多，1824+900=2724，因为这5个三位数的和能被9整除，所以各个数位上数的和能被9整除，然后分析当这五个数的和的个位是0或5时，要求的数的大小，然后进行比较，进而得出结论．解答：解：123+345+567+789=1824，因为能被5整除，所以个位数是0或5，因为求这个五位数最大是900多，1824+900=2724因为这5个三位数的和能被9整除，所以各个数位上数的和能被9整除，当个位是0时，2+7+9+0=18，能被9整除，所以这个数的和是2790，则要求的数为：2790﹣1824=966；当个位是5时，2+7+4+5=18，能被9整除，所以这个数的和是2745，则要求的数为：2745﹣1824=921；因为921＜966所以要求的三位是最大是966．答：第5个数最大是966．点评： 此题考查了数的整除特征，明确能被5和9整除的数的特征，是解答此题的关键．9．五个数之和是308．这五个数分别被2、3、5、7、11整除，且商相同，求这五个数． 考点：整除性质．专题：整除性问题．分析： 先求出2、3、5、7、11的和，然后用308除以这五个数的和，求出商，然后用商分别乘2、3、5、7、11，即可求出这五个数．解答：解：2+3+5+7+11=28，308÷28=11，所以这五个数分别是：2×11=22，3×11=33，5×11=55，7×11=77，11×11=121；答：这五个数分别是22，33，55，77，121．点评： 求出2+3+5+7+11的和，然后用308除以28，求出商，是解答此题的关键．10．一个数乘以91后乘积的后三位是193，这个数最小是多少？考点：最大与最小．专题：整除性问题．分析：因为是193，3只能和1×3才出3．所以这个数的最后一个数是3，又3×90=270，十位90﹣70=20，则这个数的十应是2，即后两位是23，91×23=2093，百位还差1，只要找个数与1相乘得1相乘得1就可以了，1与1相乘得了，则这个数最小是123，即123×91=11193．解答：解：由于1×3=3，则这个数个位是3，3×90=270，十位90﹣70=20，1×20=20，则这个数的十应是2，即后两位是23，91×23=2093，百位还差1，1与1相乘得1，则这个数最小是123，即123×91=11193．答：这个数最小是123．点评：首先根据题意确定这个数的个位是3，然后逐步进行推理是完成本题的关键．11．一个各位数字全是1的自然数能被33333整除，问这个数最小是多少？考点：整除性质．专题：整除性问题．分析：先把33333分解质因数：33333=3×11111，能被33333整除，那么所有的1加起来能被3整除，所以可能有6，9，12，15个1；但是33333是5位数，很明显6个、9个、12个都不能整除，位数不合适，只能是15个．也就是111111*********÷33333=3333366667；由此解答即可．解答：解：能被33333整除，那么所有的1加起来能被3整除，所以可能有6，9，12，15个1；但是33333是5位数，很明显6个、9个、12个都不能整除，位数不合适，只能是15个，即这个数最小是111111*********；答：这个数最小是111111*********．点评：明确能被3和11111整除的数的特征，是解答此题的关键．12．某六位数能被17和19整除，求．考点：整除性质；位值原则．题：分析： 根据六位数2322能被17和19整除，得出这个六位数能被17×19=323整除，再假设出这个六位数最大值与最小值，进而得出它们商的取值范围，进而得出符合要求的答案．解答： 解：因为六位数2322能被17和19整除，所以这个六位数能被17×19=323整除，这个数最小为230022，故230022÷323=712..46，这个数最大为239922，故239922÷323=742…256，因为23□□22能被323整除，商一定为3位数，且个位数一定为4，符合要求的只有714，724，734．故试一下323×714=230622，323×724=233852，323×734=237082， 只有323×714=230622符合要求，故原数为：230622；答：06．点评： 此题主要考查了数的整除性，根据已知得出23□□22除以323商的取值范围以及个位数的特点是解题关键．13．五位数能被36整除，求这样的五位数．考点：整除性质；位值原则．题：分析： 36=4×9，能被36整除，就要能同时被4和9整除，能被4整除的数：后两位能被4整除；能被9整除的数：各位数字的和能被9整除；由此可知：y 可能是2或6，如果2，则28+9+2能被9整除，6；如果6，则28+9+6能被9整除，2；由此即可求出这个五位数．解答： 解：36=4×9，能被36整除，就要能同时被4和9整除， 能被4整除的数：后两位能被4整除；能被9整除的数：各位数字的和能被9整除；由此可知：y 可能是2或6，如果2，则28+9+2能被9整除，6；如果6，则28+9+6能被9整除，2；所以这个五位数是26892或22896．答：这个五位数是26892或22896．点评：明确能被4和9整除的数的特征，是解答此题的关键．14．是105的倍数，求． 考点：数的整除特征．专整除性问题．题：分析：首先105=3×5×7，能被3整除则2+7能被3整除，能被5整除，则末尾是0或5，进一步验证是否能被7整除得出答案即可．解答：解：因为105=3×5×7，则2+7能被3整除，能被5整除，则末尾是0或5，当0时，2+70能被3整除，则0，3，6，9；当5时，2+75能被3整除，则1，4，7；则能被7整除的只有200760．所以6，0．点评：此题考查被一个数整除的数的特征，掌握被3、5、7整除数的特征是解决问题的关键．15．给你一个六位数：（1）试求出所有这样的x、y的组合，使该六位数能被9整除；（2）根据（1）的结果说明该六位数一定不能被72整除；（3）试求出所有这样的x、y的组合，使该六位数能被24整除；（4）试求出所有这样的x、y的组合，使该六位数能被55整除；（5）试求出所有这样的x、y的组合，使该六位数能被91整除．考点：整除性质；位值原则．专题：整除性问题．分析：（1）由已知要求需（8+7+3+2）能被9整除，即2能被9整除，且0≤x，y＜10，由此列举即可；（2）验证（1）中的11组结果，容易得到没有结果符合条件；（3）欲使该6位数被24整除，则首先必须是偶数，且2能被3整除，即要求2能被6整除，这样的组合只可能如下（0，6）（1，4）（2，2）（3，0）（2，8）（3，6）（4，4）（5，2）（6，0）（5，8）（6，6）（7，4）（8，2）（9，0）（8，8）（9，6），又要求该六位数能被8整除，即要求3被8整除，这样可以得到（2，8），（3，6），（4，4），（5，2）（6，0）几个组合；（4）为使能整除55，首先y只可能是0或者5，其次偶数位减奇数位整除11．因此即2x﹣y﹣2能被11整除，这样组合仅有（9，5）一组；（5）为使能整除91，则要求87x﹣3能被91整除，则8751，31027，即要求51=1027，由此得出（x，y）=（2，6）．解答：解：（1）由已知要求需（8+7+3+2）能被9整除，即2能被9整除，且0≤x，y＜10，因此（x，y）只能是如下组合（0，9）、（1，7）、（2，5）、（3，3）、（4，1）、（5，8）、（6，6）、（7，4）、（8，2）、（9，9）；（2）验证（1）中的11组结果，容易得到没有结果符合条件；（3）欲使该6位数被24整除，则首先必须是偶数，且2能被3整除，即要求2能被6整除，这样的组合只可能如下（0，6）（1，4）（2，2）（3，0）（2，8）（3，6）（4，4）（5，2）（6，0）（5，8）（6，6）（7，4）（8，2）（9，0）（8，8）（9，6），又要求该六位数能被8整除，即要求3被8整除，这样可以得到只有（2，8），（3，6），（4，4），（5，2）（6，0）；（4）为使能整除55，首先y只可能是0或者5，其次偶数位减奇数位整除11．因此即2x﹣y﹣2能被11整除，这样组合仅有（9，5）一组；（5）为使能整除91，则要求87x﹣3能被91整除，则8751，31027，即要求51=1027，由此得出（x，y）=（2，6）．点评：此题考查了整除的性质，明确能被9整除及能被11整除的特征，是解答此题的关键．。

数的整除特征专项训练一、性质1、如果整数A、B都能被C整除，那么他们的和A＋B或差A－B也能被C整除。

例如：8整除64，8整除24，那么8整除64＋24或64－24。

2、如果A能被B整除，B能被C整除，那么A能被C整除。

例如：30能被15整除，15能被5整除，那么30能被5整除。

二、数的整除特征能被2整除的数的特征：个位数字是0、2、4、6、8。

能被3整除的数的特征：各位数字之和是3的倍数。

能被4（或25）整除的数的特征：末两位数能被4（或25）整除。

能被5整除的数的特征：个位数字是0或5。

能被8（或125）整除的数的特征：末三位数能被8（或125）整除。

能被9整除的数的特征：各位数字之和是9的倍数。

能被11整除的数的特征：奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差能被11整除。

能被7、11、13整除的数的特征：末三位数与末三位数以前的数所组成的数之差能被7、11、13整除。

一个三位数连续写偶数次，所得的数能被7、11、13整除三、例题与练习例1、判断下面的数是否能整除。

例2、判断下面的数是否能整除。

例3、四位数2□2□能同时被8、9整除，那么这个四位数是多少？练一练在3□2□的方框里填入合适的数字，使这个四位数能被15整除，这样的四位数中最大的是多少？例4、将1、2、3、4这四个数任意排列，可组成若干个四位数，在这些四位数中，能被11整除的数最小是多少？能被4整除的数最小是多少？1、由1、2、3这三个数任意排列，可组成若干个三位数，在这些三位数中，能被11整除的数有哪些？2、从0、3、5、7这四个数中选择三个数，排成一个三位数，使它能同时被2、3、5整除，这样的三位数最大的是哪个？3、在568后面补上三个数字，组成一个六位数，使它能被3、4、5整除，这个六位数最小是多少？例5、某个七位数1993口口口能同时被2、3、4、5、6、7、8、9整除，那么它的最后三位数字依次是多少?1、四位数45□□能同时被4、9整除，这个四位数最小是多少？2、六位数36□2□□能同时被3、4、5整除，这个六位数最大是多少？3、用0、2、3、5、6这五个数字中的四个能组成能被11整除的四位数，这些四位数中最小的一个是多少？4、七位数23□354□能被72整除，两个□中的数的乘积是多少？5、已知五位数3□6□5是75的倍数，这样的五位数最大的一个是多少？6、由1、2、5、6、7、9这六个数字所组成的六位数中，能被11整除的最大的数是多少？。

数的整除特征练习题一、选择题1. 一个数能被2整除，这个数一定是：A. 奇数B. 偶数C. 质数D. 合数2. 一个数能被3整除的特征是：A. 各位数字之和能被3整除B. 百位数字能被3整除C. 十位数字能被3整除D. 个位数字能被3整除3. 一个数能被4整除，这个数的：A. 个位数必须是偶数B. 十位数必须是偶数C. 百位数必须是偶数D. 任意两位数必须是偶数4. 一个数能被5整除的特征是：A. 个位数是0或5B. 十位数是0或5C. 百位数是0或5D. 千位数是0或55. 一个数能被8整除，这个数的：A. 个位数必须是偶数B. 十位数必须是偶数C. 任意连续的三位数字之和能被8整除D. 任意连续的四位数字之和能被8整除二、填空题6. 一个数能被9整除的特征是：各位数字之和________。

7. 一个数能被11整除的特征是：从左到右，奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差能被11整除。

8. 一个数能被13整除的特征是：从左到右，隔一位数字相加，再隔一位数字相加，两次结果之差能被13整除。

三、判断题9. 一个数如果个位是偶数，那么这个数一定能被2整除。

（）10. 一个数如果个位是5，那么这个数一定能被5整除。

（）11. 一个数如果各位数字之和能被4整除，那么这个数一定能被4整除。

（）12. 一个数如果个位是0，那么这个数一定能被10整除。

（）13. 一个数如果各位数字之和能被3整除，那么这个数一定能被3整除。

（）四、简答题14. 请列举出能被7整除的最小三位数和最大三位数。

15. 请说明一个数能被12整除需要满足哪些条件。

五、计算题16. 计算下列数中哪些能被3整除：123，456，789，321。

17. 计算下列数中哪些能被6整除：102，204，306，408。

18. 计算下列数中哪些能被9整除：999，1000，1001，1002。

六、应用题19. 某班级有48名学生，如果需要将他们平均分成若干小组，每组人数相同，且每组人数必须是偶数，问最多可以分成多少个小组？20. 某商店需要将一批货物平均分配给8个仓库，如果每个仓库分配的货物数量必须是5的倍数，问这批货物最少有多少件？通过这些练习题，可以帮助学生掌握数的整除特征，提高他们的数学思维能力和解题技巧。