2012年金版新学案新编高三总复习第八章 第5课时

(本栏目内容，在学生用书中以活页形式分册装订！)一、选择题1．双曲线x 23－16y 2p2＝1的左焦点在抛物线y 2＝2px (p >0)的准线上，则该双曲线的离心率为( )A.43B.3C.233D ．4 解析： 由题意得c ＝3＋p 216＝p 2，p ＝4，所以e ＝c a ＝23＝233.故选C.答案： C2．若双曲线过点(m ，n )(m >n >0)，且渐近线方程为y ＝±x ，则双曲线的焦点( ) A ．在x 轴上 B ．在y 轴上 C ．在x 轴或y 轴上 D ．无法判断是否在坐标轴上 解析： ∵m >n >0，∴点(m ，n )在第一象限且在直线y ＝x 的下方， 故焦点在x 轴上． 答案： A3．(2011·山东济南模拟)若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，则双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的渐近线方程为( )A ．y ＝±12x B ．y ＝±2xC ．y ＝±4xD ．y ＝±14x解析： 由题意a 2－b 2a ＝32，所以a 2＝4b 2.故双曲线的方程可化为x 24b 2－y 2b 2＝1，故其渐近线方程为y ＝±12x .答案： A4．设F 1、F 2是双曲线x 24－y 2＝1的两个焦点，点P 在双曲线上，且PF 1→·PF 2→＝0，则|PF 1→|·|PF 2→|的值为( )A ．2B ．2 2C ．4D ．8解析： 由题意知：|PF 1|2＋|PF 2|2＝(2c )2，所以(|PF 1|－|PF 2|)2＋2|PF 1|·|PF 2|＝4c 2，得到|PF 1|·|PF 2|＝2(c 2－a 2)＝2b 2＝2，故选A.答案： A5．已知双曲线的焦点分别为F 1(－5,0)、F 2(5,0)，若双曲线上存在一点P 满足|PF 1→|－|PF 2→|＝8，则此双曲线的标准方程为( )A.x 216－y 29＝1B.x 29－y 216＝1C.x 264－y 236＝1D.x 24－y 23＝1解析： 由焦点在x 轴上，可设此双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b2＝1.由|PF 1→|－|PF 2→|＝8得a＝4，又c ＝5，从而b 2＝c 2－a 2＝9.所以双曲线的标准方程为x 216－y 29＝1.故选A.答案： A6．已知双曲线中心在原点且一个焦点为F 1(－5，0)，点P 位于该双曲线上，线段PF 1的中点坐标为(0,2)，则双曲线的方程是( )A.x 24－y 2＝1 B ．x 2－y 24＝1 C.x 22－y 23＝1 D.x 23－y 22＝1 解析： 由PF 1中点为(0,2)知，PF 2⊥x 轴，P (5，4)，即b 2a＝4，b 2＝4a ，∴5－a 2＝4a ，a ＝1，b ＝2，双曲线方程为x 2－y24＝1，故选B.答案： B 二、填空题7．若双曲线x 24－y 2m ＝1的渐近线方程为y ＝±32x ，则该双曲线的焦点坐标是________．解析： 由于该双曲线的焦点在x 轴上，所以a ＝2，b ＝m ，由渐近线方程为y ＝±32x 得m ＝3，这时c ＝4＋3＝7，故焦点坐标为(7，0)，(－7，0)．答案： (7，0)，(－7，0)8．已知过点P (－2,0)的双曲线C 与椭圆x 225＋y 29＝1有相同的焦点，则双曲线C 的渐近线方程是________．解析： 由题意，双曲线C 的焦点在x 轴上且为F 1(－4,0)， F 2(4,0)，∴c ＝4.又双曲线过点P (－2,0)，∴a ＝2. ∴b ＝c 2－a 2＝23，∴其渐近线方程为y ＝±bax ＝±3x .答案： 3x ±y ＝09．(2011·广东揭阳一模)双曲线x 216－y 29＝1上一点P 到右焦点的距离是实轴两端点到右焦点距离的等差中项，则P 点到左焦点的距离为________．解析： 由a ＝4，b ＝3，得c ＝5，设左焦点为F 1，右焦点为F 2，则|PF 2|＝12(a ＋c ＋c －a )＝c ＝5，由双曲线的定义得|PF 1|＝2a ＋|PF 2|＝8＋5＝13. 答案： 13 三、解答题10．已知椭圆D ：x 250＋y 225＝1与圆M ：x 2＋(y －5)2＝9，双曲线G 与椭圆D 有相同焦点，它的两条渐近线恰好与圆M 相切，求双曲线G 的方程．解析： 椭圆D 的两个焦点F 1(－5,0)，F 2(5,0)，因而双曲线中心在原点，焦点在x 轴上，且c ＝5.设双曲线G 的方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)∴渐近线为bx ±ay ＝0且a 2＋b 2＝25，圆心M (0,5)到两条渐近线的距离为r ＝3.∴|5a |b 2＋a2＝3，得a ＝3，b ＝4，∴双曲线G 的方程为x 29－y 216＝1.11．如图所示，双曲线的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，F 1、F 2分别为左、右焦点，双曲线的左支上有一点P ，∠F 1PF 2＝π3，且△PF 1F 2的面积为23，又双曲线的离心率为2，求该双曲线的方程．【解析方法代码108001112】解析： 设双曲线方程为：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)，F 1(－c,0)，F 2(c,0)，P (x 0，y 0)． 在△PF 1F 2中，由余弦定理，得：|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|·cos π3＝(|PF 1|－|PF 2|)2＋|PF 1|·|PF 2|.即4c 2＝4a 2＋|PF 1|·|PF 2|. 又∵S △PF 1F 2＝2 3. ∴12|PF 1|·|PF 2|·sin π3＝2 3. ∴|PF 1|·|PF 2|＝8.∴4c 2＝4a 2＋8，即b 2＝2.又∵e ＝c a ＝2，∴a 2＝23.∴双曲线的方程为：3x 22－y 22＝1.12．如图，直线l ：y ＝3(x －2)和双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)交于A ，B 两点，且|AB |＝3，又l 关于直线l 1：y ＝bax 对称的直线l 2与x 轴平行．(1)求双曲线C 的离心率；(2)求双曲线C 的方程. 【解析方法代码108001113】解析： (1)设双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1过一、三象限的渐近线l 1：x a －yb＝0的倾斜角为α.因为l 和l 2关于l 1对称，记它们的交点为P . 而l 2与x 轴平行，记l 2与y 轴交点为Q 点． 依题意有∠QPO ＝∠POM ＝∠OPM ＝α. 又l ：y ＝3(x －2)的倾斜角为60°，则2α＝60°，所以tan 30°＝b a ＝33.(2)由b a ＝33，于是设双曲线方程为x 23k 2－y 2k 2＝1，即x 2－3y 2＝3k 2.将y ＝3(x －2)代入x 2－3y 2＝3k 2中得x 2－3·3(x －2)2＝3k 2.化简得到8x 2－36x ＋36＋3k 2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝1＋3|x 1－x 2|＝2(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝2362－4·8·(36＋3k 2)8＝9－6k 2＝3，求得k 2＝1.故所求双曲线方程为x 23－y 2＝1.。

(本栏目内容，在学生用书中以活页形式分册装订！)一、选择题1．命题(1)“直线l垂直于平面α内的无数条直线，则l⊥α”，命题(2)“若l⊥α，则直线l垂直于平面α内的无数条直线”，则()A．(1)是真命题，(2)是真命题B．(1)是真命题，(2)是假命题C．(1)是假命题，(2)是真命题D．(1)是假命题，(2)是假命题解析：直线l垂直于平面α内的无数条直线，则l有可能与α斜交；反之若l⊥α，则直线l垂直于平面α内的无数条直线．答案： C2．设m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列命题中正确的是() A．若m∥n，m∥α，则n∥αB．若α⊥β，m∥α，则m⊥βC．若α⊥β，m⊥β，则m∥αD．若m⊥n，m⊥α，n⊥β，则α⊥β解析：选项A、B、C的结论中都含有直线在平面内的位置关系．在选项D中可以证明α、β所成二面角为直二面角．答案： D3．设α、β是两个不同的平面，l是一条直线，以下命题正确的是()A．若l⊥α，α⊥β，则l⊂βB．若l⊥α，α∥β，则l⊥βC．若l∥α，α∥β，则l⊂βD．若l∥α，α⊥β，则l⊥β解析：对于选项A、C，可能l∥β，所以A、C均不正确．对于选项D，可能l∥β或l⊂β，所以D不正确．答案： B4．如图，在正四面体P－ABC中，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，下面四个结论不成立的是()A．BC∥平面PDFB．DF⊥平面P AEC．平面PDF⊥平面P AED．平面PDE⊥平面ABC解析：因BC∥DF，所以BC∥平面PDF，A成立；易证BC⊥平面P AE，BC∥DF，所以结论B、C均成立；点P在底面ABC内的射影为△ABC的中心，不在中位线DE上，故结论D不成立．答案： D5．已知a、b、l表示三条不同的直线，α、β、γ表示三个不同的平面，有下列四个命题：①若α∩β＝a，β∩γ＝b且a∥b，则α∥γ；②若a、b相交，且都在α、β外，a∥α，a∥β，b∥α，b∥β，则α∥β；③若α⊥β，α∩β＝a，b⊂β，a⊥b，则b⊥α；④若a⊂α，b⊂α，l⊥a，l⊥b，则l⊥α.其中正确的是()A．①②B．②③C．①④D．③④解析：命题①错误，因为α与γ还可能相交；命题②正确，设a与b确定的平面为γ，由题设知α∥γ，β∥γ，所以α∥β.答案： B6．如右图所示，在斜三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠BAC ＝90°，BC 1⊥AC ，则C 1在面ABC 上的射影H 必在( )A ．直线AB 上 B ．直线BC 上C ．直线CA 上D ．△ABC 内部解析：⎭⎪⎬⎪⎫CA ⊥AB CA ⊥BC 1⇒CA ⊥面ABC 1⇒面ABC ⊥面ABC 1， ∴过C 1作垂直于平面ABC 的线在面ABC 1内，∴H ∈AB .答案： A二、填空题7．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别是棱AA 1和AB 上的点，若∠B 1MN 是直角，则∠C 1MN ＝________.解析： 在正方体中，C 1B 1⊥平面ABB 1A 1，而MN ⊂平面ABB 1A 1，∴C 1B 1⊥MN .又∠B 1MN 是直角，即MN ⊥MB 1.而MB 1∩C 1B 1＝B 1，∴MN ⊥平面MB 1C 1，即∠C 1MN ＝90°.答案： 90°8．α、β是两个不同的平面，m 、n 是平面α及β之外的两条不同直线，给出四个论断：①m ⊥n ；②α⊥β；③n ⊥β；④m ⊥α.以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题为________．解析： 根据线面、面面垂直的定义、判定定理和性质可知，正确的有②③④⇒①或①③④⇒②.答案： ②③④⇒①或①③④⇒②9．如图所示，在四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，且底面各边都相等，M 是PC 上的一动点，当点M 满足________时，平面MBD ⊥平面PCD .(只要填写一个你认为是正确的条件即可)解析： DM ⊥PC (或BM ⊥PC 等)．∵ABCD 为菱形，∴AC ⊥BD ，又∵P A ⊥面ABCD ，∴P A ⊥BD ，又AC ∩P A ＝A ，∴BD ⊥面P AC ，BD ⊥PC .∴当DM ⊥PC (或BM ⊥PC )时，即有PC ⊥平面MBD ，而PC ⊂平面PCD ，∴平面MBD ⊥平面PCD .答案： DM ⊥PC (不唯一)三、解答题10．如图所示，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝1，AA 1＝2，E 是侧棱BB 1的中点．(1)求证：A 1E ⊥平面ADE ；(2)求三棱锥A 1－ADE 的体积．【解析方法代码108001094】解析： (1)证明：由勾股定理知：A 1E ＝1＋1＝2，AE ＝1＋1＝2，则A 1A 2＝A 1E 2＋AE 2，∴A 1E ⊥AE .∵AD ⊥平面AA 1B 1B ，A 1E ⊂平面AA 1B 1B ，∴A 1E ⊥AD ，而AD ∩AE ＝A ，∴A 1E ⊥平面ADE .(2)S △AA 1E ＝12·2·2＝1，∴VA 1－ADE ＝VD －A 1AE ＝13·S △AA 1E ·AD ＝13·1·1＝13. 11．如图，四棱锥P －ABCD 的底面ABCD 是直角梯形，且P A⊥平面ABCD ，AD ∥BC ，AD ⊥DC ，△ADC 和△ABC 均为等腰直角三角形，且P A ＝AD ＝DC ＝a ，点E 为侧棱PB 上一点，且BE ＝2EP .(1)求证：平面PCD ⊥平面P AD ；(2)求证：直线PD ∥平面EAC .证明： (1)∵P A ⊥平面ABCD ，又DC ⊂平面ABCD ，∴DC ⊥P A .∵AD ⊥DC ，且P A 与AD 是平面P AD 内相交直线，∴DC ⊥平面P AD .∵DC ⊂平面PCD ，∴平面PCD ⊥平面P AD .(2)连接BD ，设BD 与AC 相交于点F ，连接EF ，在等腰Rt △ADC 中，∵AD ⊥DC ，∴∠DAC ＝∠ACD ＝π4. ∵AD ∥BC ，∴∠ACB ＝∠DAC ＝π4. ∵△ABC 为等腰直角三角形，且底面ABCD 是直角梯形，∴∠BAC ＝π2. 由AD ＝DC ＝a ，易知AB ＝AC ＝2a ，BC ＝2a ，∴BF ＝2FD .∵BE ＝2EP ，∴PD ∥EF .∵EF ⊂平面EAC ，PD ⊄平面EAC ，∴直线PD ∥平面EAC .12．如图，四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是矩形，P A ⊥底面ABCD ，P A ＝AB ＝1，AD ＝3，点F 是PB 的中点，点E 在边BC 上移动．(1)点E 为BC 的中点时，试判断EF 与平面P AC 的位置关系，并说明理由；(2)证明：无论点E 在BC 边的何处，都有PE ⊥AF .解析： (1)当点E 为BC 的中点时，EF 与平面P AC 平行．∵在△PBC 中，E 、F 分别为BC 、PB 的中点，∴EF ∥PC .又EF ⊄平面P AC ，而PC ⊂平面P AC ，∴EF ∥平面P AC .(2)证明：∵P A ⊥平面ABCD ，BE ⊂平面ABCD ，∴EB ⊥P A .又EB ⊥AB ，AB ∩AP ＝A ，AB ，AP ⊂平面P AB ，∴EB ⊥平面P AB ，又AF ⊂平面P AB ，∴AF ⊥BE .又P A ＝AB ＝1，点F 是PB 的中点，∴AF ⊥PB .又∵PB ∩BE ＝B ，PB 、BE ⊂平面PBE ，∴AF ⊥平面PBE .∵PE ⊂平面PBE ，∴AF ⊥PE .。