福建省漳州市2019-2020学年高一下期末学业水平测试数学试题含解析

人教A 版数学高二弧度制精选试卷练习（含答案) 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．设扇形的周长为4cm ，面积为21cm ，则扇形的圆心角的弧度数是 ( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【来源】黑龙江省鹤岗市第一中学2018-2019学年高一12月月考数学（理)试题【答案】B 2．已知扇形的面积为，扇形圆心角的弧度数是，则扇形的周长为（ ） A ． B ． C ． D ．【来源】同步君人教A 版必修4第一章1.1.2弧度制【答案】C3．扇形圆心角为3π，半径为a ，则扇形内切圆的圆面积与扇形面积之比为( ) A ．1:3B ．2:3C ．4:3D ．4:9【来源】2012人教A 版高中数学必修四1.1任意角和弧度制练习题（二)（带解析)【答案】B4．已知扇形的圆心角为2弧度,弧长为4cm , 则这个扇形的面积是( ) A ．21cm B ．22cm C ．24cm D ．24cm π【来源】陕西省渭南市临渭区2018—2019学年高一第二学期期末数学试题【答案】C5．若扇形的面积为38π、半径为1，则扇形的圆心角为（ ） A ．32π B ．34π C ．38π D ．316π 【来源】浙江省杭州第二中学三角函数 单元测试题【答案】B 6．一场考试需要2小时，在这场考试中钟表的时针转过的弧度数为（ ） A ．3π B ．3π- C ．23π D ．23π-【来源】浙江省台州市2019-2020学年高一上学期期末数学试题【答案】B7．实践课上小华制作了一副弓箭，如图所示的是弓形，弓臂BAC 是圆弧形，A 是弧BAC 的中点，D 是弦BC 的中点，测得10AD =，60BC =（单位：cm ），设弧AB 所对的圆心角为θ（单位：弧度），则弧BAC 的长为（ ）A ．30θB ．40θC ．100θD ．120θ【来源】安徽省池州市2019-2020学年高一上学期期末数学试题【答案】C8．已知扇形AOB 的半径为r ，弧长为l ，且212l r =-，若扇形AOB 的面积为8，则该扇形的圆心角的弧度数是（ ）A ．14B ．12或2C ．1D ．14或1 【来源】广西贵港市桂平市2019-2020学年高一上学期期末数学试题【答案】D9．已知扇形的圆心角为150︒，弧长为()5rad π，则扇形的半径为（ ）A ．7B ．6C ．5D ．4【来源】安徽省六安市六安二中、霍邱一中、金寨一中2018-2019学年高二下学期期末联考数学（文)试题【答案】B10．已知扇形AOB ∆的周长为4，当扇形的面积取得最大值时，扇形的弦长AB 等于（ ）A ．2B ．sin1C ．2sin1D ．2cos1【来源】湖北省宜昌市一中、恩施高中2018-2019学年高一上学期末联考数学试题【答案】C11．“圆材埋壁”是《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，学会一寸，锯道长一尺，问径几何？”其意为：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知道大小，用锯取锯它，锯口深一寸，锯道长一尺，问这块圆柱形木材的直径是多少？现有圆柱形木材一部分埋在墙壁中，截面如图所示，已知弦1AB =尺，弓形高1CD =寸，则阴影部分面积约为（注： 3.14π≈，5sin 22.513︒≈，1尺=10寸）（ ）A ．6.33平方寸B ．6.35平方寸C ．6.37平方寸D ．6.39平方寸【来源】山东省潍坊市2018-2019学年高一下学期期中考试数学试题【答案】A12．已知扇形OAB 的面积为1，周长为4，则弦AB 的长度为（ ） A ．2 B ．2/sin 1 C ．2sin 1 D ．sin 2【来源】黑龙江省部分重点高中2019-2020学年高一上学期期中联考数学试题【答案】C13．已知扇形OAB 的面积为4，圆心角为2弧度，则»AB 的长为（ ） A ．2 B ．4 C ．2π D ．4π【来源】江苏省南京市2019-2020学年高一上学期期末数学试题【答案】B14．已知α 为第三象限角，则2α所在的象限是( )． A ．第一或第二象限B ．第二或第三象限C ．第一或第三象限D ．第二或第四象限【来源】四川省南充高级中学2016-2017学年高一4月检测考试数学试题【答案】D15．若扇形的面积为216cm ，圆心角为2rad ，则该扇形的弧长为（ ）cm . A ．4 B ．8 C ．12 D ．16【来源】江苏省盐城市大丰区新丰中学2019-2020学年高一上学期期末数学试题【答案】B16．周长为6，圆心角弧度为1的扇形面积等于（ ）A ．1B ．32πC ．D ．2【来源】河北省邯郸市魏县第五中学2019-2020学年高一上学期第二次月考数学试题【答案】D17．已知一个扇形弧长为6，扇形圆心角为2rad ，则扇形的面积为 ( )A ．2B ．3C ．6D ．9【来源】2013-2014学年辽宁省实验中学分校高二下学期期末考试文科数学试卷（带解析)【答案】D18．集合{|,}42k k k Z ππαπαπ+≤≤+∈中角所表示的范围(阴影部分)是( ) A ． B ． C ．D ．【来源】2015高考数学理一轮配套特训：3-1任意角弧度制及任意角的三角函数（带解析)【答案】C19．已知⊙O 的半径为1，A ，B 为圆上两点，且劣弧AB 的长为1，则弦AB 与劣弧AB 所围成图形的面积为（ ）A ．1122-sin 1B ．1122-cos 1C ．1122-sin 12D ．1122-cos 12【来源】河北省衡水中学2019-2020学年高三第一次联合考试数学文科试卷【答案】A20．已知一个扇形的圆心角为56π，半径为3．则它的弧长为（ ） A ．53π B ．23π C ．52π D ．2π 【来源】河南省新乡市2018-2019学年高一下学期期末数学试题【答案】C21．中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴. 一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成，设扇形的面积为1S ，圆面中剩余部分的面积为2S ，当1S 与2S 的比值为12时，扇面看上去形状较为美观，那么此时扇形的圆心角的弧度数为( )A ．(3π-B ．1)πC ．1)πD ．2)π【来源】吉林省长春市2019-2020学年上学期高三数学（理)试题【答案】A22．《九章算术》是中国古代第一部数学专著，成于公元一世纪左右，系统总结了战国、秦、汉时期的数学成就，其中《方田》一章中记载了计算弧田（弧田就是由圆弧和其所对弦所围成弓形）的面积所用的经验公式：弧田面积=12（弦⨯矢+矢⨯矢），公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，按照上述经验公式计算所得弧田面积与其实际面积之间存在误差，现有圆心角为23π，弦长为实际面积与按照上述经验公式计算出弧田的面积之间的误差为（ ）平方米（其中3π≈ 1.73≈）A ．14B ．16C ．18D ．20【来源】上海市实验学校2018-2019学年高一下学期期末数学试题【答案】B23．已知某扇形的面积为22.5cm ，若该扇形的半径r ，弧长l 满足27cm r l +=，则该扇形圆心角大小的弧度数是（）A ．45B ．5C ．12D ．45或5 【来源】安徽省阜阳市太和县2019-2020学年高三上学期10月质量诊断考试数学（文)试题【答案】D24．已知一个扇形的圆心角为3弧度，半径为4，则这个扇形的面积等于（ ）． A ．48 B ．24 C ．12 D ．6【来源】湖南师范大学附属中学2016-2017学年高一下学期期中考试数学试题【答案】B25．已知扇形的圆心角23απ=，所对的弦长为 ） A ．43π B ．53π C ．73π D ．83π 【来源】河南省新乡市辉县市一中2018-2019高一下学期第一阶段考试数学试题【答案】D26．如果2弧度的圆心角所对的弦长为4，那么这个圆心所对的弧长为（ ） A ．2 B ．2sin1 C ．2sin1 D ．4sin1【来源】黑龙江省大兴安岭漠河一中2019-2020学年高一上学期11月月考数学试题【答案】D27．若α是第一象限角，则下列各角中属于第四象限角的是（ ）A ．90α︒-B ．90α︒+C ．360α︒-D ．180α︒+【来源】福建省厦门双十中学2017-2018学年高一下学期第二次月考数学试题【答案】C28．已知扇形的半径为2，面积为4，则这个扇形圆心角的弧度数为（ ）A B ．2 C ． D ．【来源】河南省南阳市2016—2017学年下期高一期终质量评估数学试题【答案】B二、填空题29．已知大小为3π的圆心角所对的弦长为2，则这个圆心角所夹扇形的面积为______. 【来源】安徽省马鞍山市第二中学2018-2019学年高一下学期开学考试数学试题【答案】23π. 30．135-=o ________弧度，它是第________象限角.【来源】浙江省杭州市七县市2019-2020学年高一上学期期末数学试题【答案】34π- 三 31．设扇形的半径长为8cm ，面积为24cm ，则扇形的圆心角的弧度数是【来源】2011-2012学年安徽省亳州一中高一下学期期中考试数学试卷（带解析)【答案】32．在北纬60o 圈上有甲、乙两地，若它们在纬度圈上的弧长等于2R π（R 为地球半径），则这两地间的球面距离为_______ . 【来源】上海市浦东新区川沙中学2018-2019学年高二下学期期末数学试题 【答案】3R π 33．已知一个扇形的弧长等于其所在圆半径的2倍,则该扇形圆心角的弧度数为________,若该扇形的半径为1,则该扇形的面积为________.【来源】浙江省宁波市2019-2020学年高一上学期期末数学试题【答案】2 134．设O 为坐标原点,若直线l :102y -=与曲线τ0y =相交于A ､B 点,则扇形AOB 的面积为______.【来源】上海市普陀区2016届高三上学期12月调研（文科)数学试题 【答案】3π 35．已知扇形的圆心角为12π，面积为6π，则该扇形的弧长为_______； 【来源】福建省漳州市2019-2020学年学年高一上学期期末数学试题 【答案】6π 36．在半径为5的圆中，5π的圆心角所对的扇形的面积为_______. 【来源】福建省福州市八县一中2019-2020学年高一上学期期末联考数学试题 【答案】52π37．已知集合M ={（x ，y ）|x ﹣3≤y ≤x ﹣1}，N ={P |PA PB ，A （﹣1，0），B （1，0）}，则表示M ∩N 的图形面积为__．【来源】上海市复兴高级中学2015-2016学年高二上学期期末数学试题【答案】4338．圆心角为2弧度的扇形的周长为3，则此扇形的面积为 _____ ．【来源】山东省泰安市2019届高三上学期期中考试数学（文)试题 【答案】91639．已知圆心角是2弧度的扇形面积为216cm ，则扇形的周长为________【来源】上海市向明中学2018-2019学年高三上学期第一次月考数学试题【答案】16cm40．扇形的圆心角为3π，其内切圆的面积1S 与扇形的面积2S 的比值12S S =______. 【来源】上海市七宝中学2015-2016学年高一下学期期中数学试题 【答案】2341．已知扇形的半径为6，圆心角为3π，则扇形的面积为__________. 【来源】江苏省苏州市2019届高三上学期期中调研考试数学试题【答案】6π42．若扇形的圆心角120α=o ，弦长12AB cm =，则弧长l =__________ cm ．【来源】黑龙江省齐齐哈尔八中2018届高三8月月考数学（文)试卷43．已知扇形的周长为8cm ，圆心角为2弧度，则该扇形的半径是______cm ，面积是______2cm .【来源】浙江省杭州市西湖高级中学2019-2020学年高一上学期12月月考数学试题【答案】2 444．已知扇形的弧长是半径的4倍，扇形的面积为8，则该扇形的半径为_________【来源】江西省宜春市上高县第二中学2019-2020学年高一上学期第三次月考数学（理)试题【答案】2.45．已知点P(tan α，cos α)在第三象限，则角α的终边在第________象限．【来源】[同步]2014年湘教版必修二 3.1 弧度制与任意角练习卷1（带解析)【答案】二三、解答题46．已知角920α=-︒.（Ⅰ）把角α写成2k πβ+（02,k Z βπ≤<∈）的形式，并确定角α所在的象限；（Ⅱ）若角γ与α的终边相同，且(4,3)γππ∈--，求角γ.【来源】安徽省合肥市巢湖市2019-2020学年高一上学期期末数学试题【答案】（Ⅰ）α=8(3)29ππ-⨯+，第二象限角；（Ⅱ）289πγ=- 47．已知一扇形的圆心角为α，半径为R ，弧长为l .（1）若60α=︒，10cm R =，求扇形的弧长l ；（2）若扇形周长为20cm ，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？【来源】山东省济南市外国语学校三箭分校2018-2019学年高一下学期期中数学试题【答案】（1）()10cm 3π（2）2α= 48．已知一扇形的圆心角为60α=o ，所在圆的半径为6cm ，求扇形的周长及该弧所在的弓形的面积.【来源】江西省南昌市新建一中2019-2020学年高一上学期期末(共建部)数学试题【答案】2π+12，6π﹣49．已知一扇形的周长为4，当它的半径与圆心角取何值时，扇形的面积最大？最大值是多少？【来源】宁夏大学附中2019-2020学年高一上学期第一次月考数学试题【答案】半径为1，圆心角为2，扇形的面积最大，最大值是2.50．已知扇形的圆心角为α（0α>），半径为R ．（1）若60α=o ，10cm R =，求圆心角α所对的弧长；（2）若扇形的周长是8cm ，面积是24cm ，求α和R ．【来源】安徽省阜阳市颍上二中2019-2020学年高一上学期第二次段考数学试题【答案】（1）10cm 3π（2）2α=，2cm R =。

福建省福州第一中学2019-2020学年高一下学期期末考试数学试题参考答案1．D 【思路点拨】根据两条直线垂直，列方程求解即可.【解析】由题：直线12:220,:410l x y l ax y +-=++=相互垂直， 所以240a +=， 解得：2a =-. 故选：D【名师指导】此题考查根据两条直线垂直，求参数的取值，关键在于熟练掌握垂直关系的表达方式，列方程求解.2．D 【解析】试题分析：设公比为，由2580a a +=，得，解得，所以．故选D ．3．A 【思路点拨】对选项逐一画出图象，由此判断真假性，从而确定正确选项.【解析】对于A 选项，当//αβ时，画出图象如下图所示，由图可知，m n ⊥，故A 选项正确.对于B 选项，当//αβ时，可能m β⊂，如下图所示，所以B 选项错误.对于CD 选项，当αβ⊥时，可能n ⊂α，//m n 如下图所示，所以CD 选项错误.故选：A【名师指导】本小题主要考查线、面位置有关命题真假性的判断，考查空间想象能力，属于基础题.4．B 【解析】本小题主要考查均值定理．11()12x f x x x==≤x x=，即1x =时取等号．故选B ． 5．C【解析】本试题主要考查异面直线所成的角问题，考查空间想象与计算能力．延长B 1A 1到E ，使A 1E =A 1B 1，连结AE ，EC 1，则AE ∥A 1B ，∠EAC 1或其补角即为所求，由已知条件可得△AEC 1为正三角形，∴∠EC 1B 为60，故选C ．6．B 【思路点拨】先求出动点P 轨迹方程（圆），再根据两圆位置关系确定PQ 的最大值取法，计算即可得结果.【解析】设(,)P x y ，因为2PA PB =2222(2)2(1)x y x y ++-+22(2)4x y ∴-+=因此PQ 22(22)3+2+3=5+3-+故选：B【名师指导】本题考查动点轨迹方程、根据两圆位置关系求最值，考查数形结合思想方法以及基本化简能力，属中档题.7．D 【思路点拨】如图，BCD △中可得30CBD ∠=︒，再利用正弦定理得802BD =，在ABD △中，由余弦定理，即可得答案；【解析】如图，BCD △中，80CD =，15BDC ∠=︒，12015135BCD ACB DCA ∠=∠+∠=︒+︒=︒，∴30CBD ∠=︒， 由正弦定理得80sin135sin 30BD =︒︒，解得802BD =，ACD △中，80CD =，15DCA ∠=︒，13515150ADC ADB BDC ∠=∠+∠=︒+︒=︒，∴15CAD ∠=︒，∴==80AD CD ，ABD △中，由余弦定理得2222cos AB AD BD AD BD ADB =+-⋅⋅∠2280(802)280802cos135=+-⨯⨯⨯︒ 2805=⨯，∴805AB =，即A ，B 两点间的距离为805．故选：D.【名师指导】本题考查正余弦定理的运用，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.8．C 【思路点拨】取AC 中点D ，连接,BD PD ，证明BD ⊥平面PAC ，故DPB ∠为PB 与平面PAC 所成的角为30，球心O 在平面ABC 的投影为ABC ∆的外心D ，计算得到答案.【解析】取AC 中点D ，连接,BD PD ，2AB BC ==，则BD AC ⊥.PA ⊥平面ABC ，BD ⊂平面ABC ，故PA BD ⊥.PA AC A =，故BD ⊥平面PAC ，故DPB ∠为PB 与平面PAC 所成的角为30.22PB =，故2BD =，6PD =，22AC =，故2ABC π∠=.球心O 在平面ABC 的投影为ABC ∆的外心D ， 根据OA OP =知，1,,12OH AP AH HP OD AP ⊥===，故2223R OD AD =+=， 故球的表面积为2412R ππ=. 故选：C.【名师指导】本题考查了三棱锥的外接球问题，确定球心O 在平面ABC 的投影为ABC ∆的外心D 是解题的关键，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.9．BD 【思路点拨】对每个选项注意检验，要么证明其成立，要么举出反例判定其错误. 【解析】当0x <时，1x x+为负数，所以A 不正确； 若0a b <<，则110b a<<，考虑函数3()f x x =在R 上单调递增， 所以11()()f f a b >，即3311()()a b>，所以B 正确； 若()20x x -<，则02x <<，2log (,1)x ∈-∞，所以C 不正确； 若0a >，0b >，1a b +≤21,0()224a b a b ab ab ++≤<≤= 所以D 正确. 故选：BD【名师指导】此题考查命题真假性的判断，内容丰富，考查的知识面很广，解题中尤其注意必须对每个选项逐一检验，要么证明其成立，要么举出反例，方可确定选项.10．ABD 【思路点拨】先分析公比取值范围，即可判断A ，再根据等比数列性质判断B,最后根据项的性质判断C,D.【解析】若0q <，则67670,00a a a a <>∴<与671a a >矛盾； 若1q ≥，则11a >∴671,1a a >>∴67101a a ->-与67101a a -<-矛盾； 因此01q <<，所以A 正确；667710101a a a a -<∴>>>-，因此2768(,1)0a a a =∈，即B 正确； 因为0n a >，所以n S 单调递增，即n S 的最大值不为7S ，C 错误；因为当7n ≥时，(0,1)n a ∈，当16n ≤≤时，(1,)n a ∈+∞，所以n T 的最大值为6T ，即D 正确； 故选：ABD【名师指导】本题考查等比数列相关性质，考查综合分析判断能力，属中档题.11．AD 【思路点拨】设(,)C x y ，依题意可确定ABC ∆的外心为(0,2)M ，可得出,x y 一个关系式，求出ABC ∆重心坐标，代入欧拉直线方程，又可得出,x y 另一个关系式，解方程组，即可得出结论.【解析】设(,),C x y AB 的垂直平分线为yx =-，ABC ∆的外心为欧拉线方程为20xy -+=与直线yx =-的交点为(1,1)M -，22||||(1)(1)10MC MA x y ∴==∴++-=，①由()4,0A -，()0,4B ，ABC ∆重心为44(,)33x y -+， 代入欧拉线方程20x y -+=，得20x y --=，② 由 ①②可得2,0x y ==或 0,2x y ==-. 故选:AD【名师指导】本题以数学文化为背景，考查圆的性质和三角形重心，属于较难题.12．ABD 【思路点拨】由正方体的对称性可知,平面α分正方体所得两部分的体积相等;依题意可证1BFD E ,1D F BE ,故四边形1BFD E 一定是平行四边形;当,E F 为棱中点时,EF ⊥平面1BB D ,平面1BFD E ⊥平面1BB D ;当F 与A 重合,当E 与1C 重合时1BFD E 的面积有最大值. 【解析】解: 对于A ：由正方体的对称性可知,平面α分正方体所得两部分的体积相等,故A 正确;对于B ：因为平面1111ABB A CC D D ,平面1BFD E平面11ABB A BF =,平面1BFD E平面111CC D D D E =,1BFD E ∴.同理可证：1D F BE ,故四边形1BFD E 一定是平行四边形,故B 正确; 对于C ：当,E F 为棱中点时,EF ⊥平面1BB D ,又因为EF ⊂平面1BFD E , 所以平面1BFD E ⊥平面1BB D ,故C 不正确;对于D ：当F 与A 重合,当E 与1C 重合时1BFD E 的面积有最大值,故D 正确. 故选:ABD【名师指导】本题考查正方体的截面的性质, 解题关键是由截面表示出相应的量与相应的关系,考查空间想象力. 13．52【解析】x 2－x 1＝4a －(－2a)＝6a ＝15，解得52a = 14．28π；【解析】由三视图知,圆锥底面的直径为4,所以半径为2,高为23所以母线长为4= ,圆柱的底面直径4,半径为2,高为4.所以该组合体的表面积为224+224228ππππ⨯⨯⨯⨯+⨯= .15．()2,3【思路点拨】先由22sin cos 1A B +=得2B A =，然后利用正弦定理得c b a -2cos 1A =+，再由02π,0π3πB A C A =⎧⎨=-⎩＜＜＜＜，求出角A 的范围，从而可得cb a -的取值范围.【解析】解：在ABC 中，因为22sin cos 1A B +=，所以cos cos 2B A =，所以2B A =． 由正弦定理及题设得()sin sin sin sin sin sin A B c Cb a B A B A +==--- sin cos 2cos sin 2sin 2sin A A A AA A+=-()22sin 2cos 12sin cos 2sin cos sin A A A AA A A-+=-24cos 12cos 12cos 1A A A -==+-， 由02π,0π3πB AC A =⎧⎨=-⎩＜＜＜＜得π03A ＜＜，故1cos 12A ＜＜，所以cb a-的取值范围为()2,3． 故答案为：()2,3【名师指导】本小题考查解三角形等基础知识；考查运算求解能力；考查数学运算、直观想象等核心素养，体现基础性，属于基础题． 16．215-121n - 【思路点拨】根据和项与通项关系得1112n n S S +-=，再根据等差数列定义与通项公式求1nS ，即得结果，最后根据条件3322a S S =-直接求3.a 【解析】111111120202n n n n n n n n na S S S S S S S S ++++++=∴+=∴--=所以11112(1)2121n n n n S S S n =+-=-∴=- 332112225315a S S =-=-⨯⨯=-故答案为：215-，121n - 【名师指导】本题考查和项与通项关系、等差数列定义与通项公式，考查基本分析求解能力，属基础题.17．【思路点拨】（1）先利用向量求D 点坐标，再根据两点式求直线AD 的方程； （2）先利用向量求cos ABC ∠，再根据三角形面积公式求结果. 【解析】（1）在平行四边形ABCD 中，AB DC =,设(,)(3,1)(2,2)5,1,(5,1)D x y x y x y D ∴-=----∴=-=---所以直线AD 的方程为41454210151y x y x ---=∴-+=+-+； （2）(3,1),(4,5)||10,||41BA BC BA BC =-=--∴==cos 10||||BABC ABC BA BC ⋅∴∠===⋅sin ABC ∴∠=因此平行四边形ABCD 的面积为122||||sin 192ABCSBA BC ABC =⨯⨯∠==【名师指导】本题考查直线方程、三角形面积公式应用、向量数量积求夹角，考查综合分析求解能力，属基础题.18．【思路点拨】（1）不论选那个，都先列出关于公差的方程，解出结果代入等差数列通项公式即可；（2）利用裂项相消法求和. 【解析】（1）322153=15=5S a a =∴∴选①21a -为11a -与31a +的等比中项，则22213(1)(1)(1)(51)(51)(51)a a a d d -=-+∴-=--++2+28012d d d d ∴-=>∴=；选②等比数列{}n b 的公比12q =，12b a =，33b a =， 则23311555()24b a d d -==+=⋅∴=1d >∴舍故只能选①，2(2)52(2)=21n a a n d n n =+-=+-+ （2）111111=()(21)(23)22123n n a a n n n n +=-++++ 所以111111111111()()()()2352572212323233(23)n n T n n n n =-+-++-=-=++++ 【名师指导】本题考查等差数列通项公式、裂项相消法求和，考查基本分析求解能力，属基础题.19．【思路点拨】（1）由菱形性质得AC BD ⊥，由等腰三角形中线的性质得PO BD ⊥，再根据面面垂直的判定定理进行证明即可；（2）利用B CDM M BCD V V --=进行转化，先证出OM ⊥平面ABCD ，从而确定出棱锥的高，利用椎体体积公式求得结果.【解析】（1）证明：设BD 交AC 于点O ，连接PO ，在菱形ABCD 中，AC BD ⊥， 又PB PD =，O 是BD 的中点，∴PO BD ⊥，AC PO O =，AC ⊂平面PAC ，PO ⊂平面PAC ，∴BD ⊥平面PAC ，又BD ⊂平面ABCD ，故平面PAC ⊥平面ABCD ； （2）解：连接OM ，M 为PC 的中点，且O为AC 的中点，∴//OM PA ，由（1）知，BD PA ⊥，又PA AC ⊥， 则BD OM ⊥，OM AC ⊥， 又AC BD O =，∴OM ⊥平面ABCD ， 又11122BCDSBD OC =⋅=⨯=132OM PA ==， ∴1133133B CDM M BCD BCDV V SOM --==⋅=⨯⨯=.∴三棱锥B CDM -的体积为1.【名师指导】本题主要考查面面垂直的判定定理以及三棱锥体积的求法. 证明面面垂直，可根据判断定理进行证明，即先由线线垂直证明线面垂直，再由线面垂直证明面面垂直，本质上是证明线面垂直；求三棱锥体积时，如果不能直接求解或者直接求解比较麻烦，可以进行转化，比如本题中，三棱锥B CDM -的体积可以转化为以三角形BCD 为底，求M BCD -的体积.20．【解析】（I ）在三角形中，∵1cos 3B =，∴22sin B =． 在ABD ∆中，由正弦定理得sin sin AB AD ADB B=∠，又2AB =，4ADB π∠=，22sin B =．∴83AD =．（II ）∵2BD DC =，∴2ABD ADC S S ∆∆=，，又423ADC S ∆=，∴42ABC S ∆= ∵1·sin 2ABC S AB BC ABC ∆=∠，∴6BC =， ∵1·sin 2ABD S AB AD BAD ∆=∠，1·sin 2ADC S AC AD CAD ∆=∠， 2ABD ADC S S ∆∆=，∴sin 2?sin BAD ACCAD AB∠=∠，在ABC ∆中，由余弦定理得2222?cos AC AB BC AB BC ABC =+-∠． ∴42AC =∴sin 2?42sin BAD ACCAD AB∠==∠21．（1）3（2）8【思路点拨】（1）根据等差数列求和公式得n 年每台充电桩总维修费用，再列利润，令利润大于零，解得结果；（2）先列年平均利润，再根据基本不等式求最值.【解析】（1）每台充电桩第n 年总利润为16400[1000(1)400]128002n n n n -+-- 216400[1000(1)400]128000286402n n n n n n -+-->∴-+< 14233142332625.4325n .n n N n ∴-<<+∴<<∈∴≤≤所以每台充电桩第3年开始获利 （2）每台充电桩前n 年的年平均利润16400[1000(1)400]128002n n n n n-+-- ][6464=200282002822400n n n n ⎡⎤⎛⎫-+≤-⋅=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦ 当且仅当64,8n n n==时取等号 所以每台充电桩前8年的年平均利润最大【名师指导】本题考查等差数列实际应用、基本不等式求最值，考查基本分析求解能力，属中档题.22．【解析】（1）由（x ﹣4）2+（y ﹣2）2=20，令x=0，解得y=0或4．∵圆C 2过O ，A 两点，∴可设圆C 2的圆心C 1（a ，2）．直线C 2O 的方程为：y=x ，即x ﹣2y=0．∵直线C 2O 与圆C 1相切，∴=，解得a=﹣1，∴圆C 2的方程为：（x+1）2+（y ﹣2）2=，化为：x 2+y 2+2x ﹣4y=0． （2）存在，且为P （3，4）．设直线OM 的方程为：y=kx ．代入圆C 2的方程可得：（1+k 2）x 2+（2﹣4k ）x=0．x M =，y M =．代入圆C 1的方程可得：（1+k 2）x 2﹣（8+4k ）x=0．x N=，y N=．设P（x，y），线段MN的中点E．则×k=﹣1，化为：k（4﹣y）+（3﹣x）=0，令4﹣y=3﹣x=0，解得x=3，y=4．∴P（3，4）与k无关系．∴在平面内是存在定点P（3，4）使得PM=PN始终成立．点睛：这个题目考查的是直线和圆的位置关系，一般直线和圆的题很多情况下是利用数形结合来解决的，联立的时候较少；在求圆上的点到直线或者定点的距离时，一般是转化为圆心到直线或者圆心到定点的距离，再加减半径，分别得到最大值和最小值；涉及到圆的弦长或者切线长时，经常用到垂径定理和垂径定理.。

2019—2020学年高一年级下学期期末冲刺满分训练卷第十章 立体几何初步 期末单元测试卷（范围：新教材人教B 版 必修四 考试时间：90分钟 满分：150分）一、选择题（本题共12道小题，每小题5分，共60分）1.以下命题（其中a 、b 表示直线，α表示平面）中，正确的命题是( )A. 若//a b ，b α⊂，则//a αB. 若//a α，//b α，则//a bC. 若//a b ，b α⊥，则a α⊥D. 若//a α，b α⊂，则//a b答案及解析：1.C【分析】根据线线、线面有关定理对选项逐一分析，由此确定正确选项.【详解】对于A 选项，直线a 可能含于平面α，所以A 选项错误.对于B 选项，,a b 可能异面，所以B 选项错误.对于C 选项，由于//a b ，b α⊥，所以a α⊥，所以C 选项正确.对于D 选项，,a b 可能异面，所以D 选项错误.故选：C【点睛】本小题主要考查空间线线、线面位置关系的判断，属于基础题.2.下列命题正确的是（ ）A. 有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱。

B. 有两个面平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱。

C. 绕直角三角形的一边旋转所形成的几何体叫圆锥。

D. 用一个面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台。

答案及解析：2.B【分析】根据课本中的相关概念依次判断选项即可.【详解】对于A 选项，几何体可以是棱台，满足有两个面平行，其余各面都是四边形，故选项不正确；对于B ，根据课本中棱柱的概念得到是正确的；对于C ，当绕直角三角形的斜边旋转时构成的几何体不是圆锥，故不正确；对于D ，用平行于底面的平面截圆锥得到的剩余的几何体是棱台，故不正确.故答案为：B.【点睛】这个题目考查了几何体的基本概念，属于基础题.3.在正方体ABCD - A 1B 1C 1D 1中，动点E 在棱BB 1上，动点F 在线段A 1C 1上，O 为底面ABCD 的中心，若1,BE x A F y ==，则四面体O-AEF 的体积( )A. 与x ，y 都有关B. 与x ，y 都无关C. 与x 有关，与y 无关D. 与y 有关，与x 无关答案及解析：3.B【分析】 根据等体积法以及锥体体积公式判断选择.【详解】因为V O －AEF ＝V E －OAF ，所以，考察△AOF 的面积和点E 到平面AOF 的距离的值，因为BB 1∥平面ACC 1A 1，所以，点E 到平面AOE 的距离为定值，又AO ∥A 1C 1，所以，OA 为定值，点F 到直线AO 的距离也为定值，即△AOF 的面积是定值，所以，四面体O-AEF 的体积与x ，y 都无关，选B 。

2017-2020学年福建省漳州市高一（上）期末数学试卷一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）函数f（x）=2x﹣8+logx的零点一定位于区间（）3A．（5，6）B．（3，4）C．（2，3）D．（1，2）2．（5分）将函数y=sin（x﹣）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得的图象向左平移个单位，得到的图象对应的解析式是（）A．B．C．D．3．（5分）在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，E是线段OD中点，AE的延长线交DC 于点F，若，，则=（）A．B．C．D．4．（5分）函数的递增区间是（）A．B．C．D．5．（5分）已知函数在（﹣∞，+∞）上单调递减，则a的取值范围是（）A．（0，1）B．（0，）C．D．6．（5分）sin210°的值为（）A．B．﹣C． D．﹣7．（5分）设集合A={x|2x≤4}，集合B={x|y=lg（x﹣1）}，则A∩B等于（）A．（1，2）B．[1，2] C．[1，2）D．（1，2]8．（5分）下列命题中，正确的是（）A．与共线，与共线，则与也共线B．任意两个相等的非零向量的始点与终点总是一平行四边形的四个顶点C．向量与不共线，则与都是非零向量D．有相同起点的两个非零向量不平行9．（5分）函数f（x）=lg（+a）是奇函数，则a的值为（）A．0 B．1 C．﹣1 D．不存在10．（5分）设x＞0，0＜b x＜a x＜1，则正实数a，b的大小关系为（）A．1＞a＞b B．1＞b＞a C．1＜a＜b D．1＜b＜a11．（5分）已知函数f（x）=x2•sin（x﹣π），则其在区间[﹣π，π]上的大致图象是（）A．B．C．D．12．（5分）已知函数f（x）=，则f（）+f（）+…+f（）的值等于（）A．1006 B．1007 C．1008 D．1009二．填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）函数的定义域是．14．（5分）若tan（）=2，则= ．15．（5分）已知函数，若函数g（x）=f（x）﹣m有3个零点，则实数m的取值范围是．16．（5分）下列说法中，所有正确说法的序号是．①终边落在y轴上的角的集合是；②函数图象的一个对称中心是；③函数y=tanx在第一象限是增函数；④为了得到函数y=sin（2x﹣）的图象，只需把函数y=sin2x的图象向右平移个单位长度．三、解答题：本大题共6个小题，共70分.其中第17题10分，第18题至第22题每题12分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）求值：（1）lg8+lg125﹣（）﹣2+16+（）0（2）sin+cos+tan（）18．（12分）已知f（α）=．（1）化简f（α）；（2）若α是第三象限角，且cos（α﹣）=，求f（α）的值．19．（12分）如图，动物园要建造一面靠墙的两间相同的矩形熊猫居室，如果可供建造围墙的材料总长是60m．（1）用宽x（单位m）表示所建造的每间熊猫居室的面积y（单位m2）；（2）怎么设计才能使所建造的每间熊猫居室面积最大？并求出每间熊猫居室的最大面积？20．（12分）已知函数f（x）=sin2x sinxcosx（1）求f（x）的最小正周期以及图象的对称轴方程（2）当x∈[0，]时，求函数f（x）的最大值和最小值．21．（12分）已知函数f（x）=﹣x2+2ax+1﹣a，（1）若a=2，求f（x）在区间[0，3]上的最小值；（2）若f（x）在区间[0，1]上有最大值3，求实数a的值．22．（12分）对于函数f（x）=a﹣（a∈R）（1）判断函数f（x）的单调性并给出证明；（2）若存在实数a使函数f（x）是奇函数，求a；（3）对于（2）中的a，若f（x）≥，当x∈[2.3]恒成立，求m的最大值．2017-2020学年福建省漳州市华安中学高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）函数f（x）=2x﹣8+log3x的零点一定位于区间（）A．（5，6）B．（3，4）C．（2，3）D．（1，2）【解答】解：∵函数f（x）=2x﹣8+log3x是连续函数，f（3）=﹣1，f（4）=log34＞0，f（3）f（4）＜0，故函数f（x）=2x﹣8+log3x的零点一定位于区间（3，4）内，故选B．2．（5分）将函数y=sin（x﹣）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得的图象向左平移个单位，得到的图象对应的解析式是（）A．B．C．D．【解答】解：将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），可得函数y=sin（x﹣），再将所得的图象向左平移个单位，得函数y=sin[（x+）﹣]，即y=sin（x﹣），故选：C．3．（5分）在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，E是线段OD中点，AE的延长线交DC 于点F，若，，则=（）A．B．C．D．【解答】解：由题意得，==（﹣）=（﹣），=+=（﹣）+=（+3）；∵A、E、F三点共线，∴∥，结合选项可知，=；故选A．4．（5分）函数的递增区间是（）A．B．C．D．【解答】解：∵==cos（2x+）∴2x+∈[2kπ﹣π，2kπ]，∴故选D．5．（5分）已知函数在（﹣∞，+∞）上单调递减，则a的取值范围是（）A．（0，1）B．（0，）C．D．【解答】解：由已知，f1（x）=（2a﹣1）x+7a﹣2在（﹣∞，1）上单减，∴2a﹣1＜0，a＜①f 2（x）=a x在[1，+∞）上单减，∴0＜a＜1．②且且当x=1时，应有f1（x）≥f2（x）．即9a﹣3≥a，∴a≥③由①②③得，a的取值范围是[，）6．（5分）sin210°的值为（）A．B．﹣C． D．﹣【解答】解：sin210°=sin（180°+30°）=﹣sin30°=﹣．故选B7．（5分）设集合A={x|2x≤4}，集合B={x|y=lg（x﹣1）}，则A∩B等于（）A．（1，2）B．[1，2] C．[1，2）D．（1，2]【解答】解：A={x|2x≤4}={x|x≤2}，由x﹣1＞0得x＞1∴B={x|y=lg（x﹣1）}={x|x＞1}∴A∩B={x|1＜x≤2}故选D．8．（5分）下列命题中，正确的是（）A．与共线，与共线，则与也共线B．任意两个相等的非零向量的始点与终点总是一平行四边形的四个顶点C．向量与不共线，则与都是非零向量D．有相同起点的两个非零向量不平行【解答】解：A错，当=时，由与共线，与共线推不出与也共线，B错，任意两个相等的非零向量的始点与终点也可以在一条直线上，C对，D错，有相同起点的两个非零向量也可以平行，也称为共线．故选C．9．（5分）函数f（x）=lg（+a）是奇函数，则a的值为（）A．0 B．1 C．﹣1 D．不存在【解答】解：∵函数f（x）=lg（+a）是奇函数，则f（0）=0，即lg（2+a）=0，则a=﹣1，此时，f（x）=lg，是奇函数，满足条件，10．（5分）设x＞0，0＜b x＜a x＜1，则正实数a，b的大小关系为（）A．1＞a＞b B．1＞b＞a C．1＜a＜b D．1＜b＜a【解答】解：根据题意，假设有指数函数y=a x与y=b x，若x＞0，有0＜b x＜a x＜1，则有a＞1且b＞1，若0＜b x＜a x＜1，则有=（）x＜1，又由x＞0，则＜1，即a＞b，则有1＞a＞b；故选：A．11．（5分）已知函数f（x）=x2•sin（x﹣π），则其在区间[﹣π，π]上的大致图象是（）A．B．C．D．【解答】解：f（x）=x2•sin（x﹣π）=﹣x2•sinx，∴f（﹣x）=﹣（﹣x）2•sin（﹣x）=x2•sinx=﹣f（x），∴f（x）奇函数，∵当x=时，f（）=﹣＜0，故选：D12．（5分）已知函数f（x）=，则f（）+f（）+…+f（）的值等于（）A．1006 B．1007 C．1008 D．1009【解答】解：∵函数f（x）=，∴f（x）+f（1﹣x）=+==1，∴f（）+f（）+…+f（）=1008×1=1008．故选：C．二．填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）函数的定义域是（﹣1，3）∪（3，+∞）．【解答】解：由x+1＞0且x﹣3≠0，可得x＞﹣1且x≠3，则定义域为（﹣1，3）∪（3，+∞），故答案为：（﹣1，3）∪（3，+∞），14．（5分）若tan（）=2，则= ﹣．【解答】解：∵tan（）==2，∴tanα=，则===﹣，故答案为：﹣．15．（5分）已知函数，若函数g（x）=f（x）﹣m有3个零点，则实数m的取值范围是（0，1）．【解答】解：令g（x）=f（x）﹣m=0，得m=f（x）作出y=f（x）与y=m的图象，要使函数g（x）=f（x）﹣m有3个零点，则y=f（x）与y=m的图象有3个不同的交点，所以0＜m＜1，故答案为：（0，1）．16．（5分）下列说法中，所有正确说法的序号是②④．①终边落在y轴上的角的集合是；②函数图象的一个对称中心是；③函数y=tanx在第一象限是增函数；④为了得到函数y=sin（2x﹣）的图象，只需把函数y=sin2x的图象向右平移个单位长度．【解答】解：①当角θ的终边落在y轴的非负半轴上时，角θ=2kπ+，k∈Z，当角θ的终边落在y轴的非正半轴上时，角θ=2kπ+，k∈Z，故终边落在y轴上的角的集合是{θ|θ=2kπ+，或θ=2kπ+，k∈Z}={θ|θ=2kπ+，或θ=2kπ+π+，k∈Z}={θ|θ=nπ+，n∈Z}，不正确；②令x﹣=kπ+，k∈z，可得对称中心为（kπ+，0），k∈z，令k=0，得到一个对称中心的坐标（，0），故正确；③∵390°，45°是第一象限角，390°＞45°，但tan390°=＜1=tan45°，∴函数y=tanx在第一象限是增函数错误，命题①为假命题；④由于函数y=sin（2x﹣）=sin[2（x﹣）]，故只需把函数y=3sin2x的图象向右平移个长度单位即可得到函数y=sin（2x﹣）的图象，故正确；故答案为：②④．三、解答题：本大题共6个小题，共70分.其中第17题10分，第18题至第22题每题12分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）求值：（1）lg8+lg125﹣（）﹣2+16+（）0（2）sin+cos+tan（）【解答】解：（1）lg8+lg125﹣（）﹣2+16+（）0 =3lg2+3lg5﹣49+23+1=﹣37（2）sin+cos+tan（）=sin+cos﹣tan=+﹣1=0．18．（12分）已知f（α）=．（1）化简f（α）；（2）若α是第三象限角，且cos（α﹣）=，求f（α）的值．【解答】解：（1）原式==﹣cosα；（2）∵cos（α﹣）=﹣sinα，∴sinα=﹣，又α是第三象限角，∴cosα=﹣=﹣=﹣，∴f（α）=﹣cosα=．19．（12分）如图，动物园要建造一面靠墙的两间相同的矩形熊猫居室，如果可供建造围墙的材料总长是60m．（1）用宽x（单位m）表示所建造的每间熊猫居室的面积y（单位m2）；（2）怎么设计才能使所建造的每间熊猫居室面积最大？并求出每间熊猫居室的最大面积？【解答】解：（1）设熊猫居室的宽为x（单位m），由于可供建造围墙的材料总长是60m，每间熊猫居室的长为30﹣x（单位m），所以两间熊猫居室的面积y=x（30﹣x）又，得0＜x＜20，于是y=﹣x2+30x，（0＜x＜20）为所求；（2）又（1）y=﹣x2+30x=﹣3（x﹣10）2+150，二次函数图象开口向下，对称轴x=10，且x∈（0，20），当x=10时，所建造的熊猫居室面积最大，使熊猫居室的宽10m，每间居室的长为15m时，所建造的熊猫居室面积最大；每间熊猫居室的最大面积为150m2．20．（12分）已知函数f（x）=sin2x sinxcosx（1）求f（x）的最小正周期以及图象的对称轴方程（2）当x∈[0，]时，求函数f（x）的最大值和最小值．【解答】解：（1）函数f（x）=sin2x sinxcosx=+sin2x=sin（2x﹣）+，故它的最小正周期为=π，令2x﹣=kπ+，求得x=+，可得f（x）的对称轴方程为x=+，k∈Z．（2）当x∈[0，]时，2x﹣∈[﹣，]，当2x﹣=﹣时，即x=0时，函数f（x）取得最小值0；当2x﹣=时，即x=时，函数f（x）取得最大值．21．（12分）已知函数f（x）=﹣x2+2ax+1﹣a，（1）若a=2，求f（x）在区间[0，3]上的最小值；（2）若f（x）在区间[0，1]上有最大值3，求实数a的值．【解答】解：（1）若a=2，则f（x）=﹣x2+4x﹣1=﹣（x﹣2）2+3，函数图象开口向下，对称轴为x=2，所以函数f（x）在区间[0，3]上是增加的，在区间[2，3]上是减少的，有又f（0）=﹣1，f（3）=2∴f（x）min=f（0）=﹣1 …（3分）（2）对称轴为x=a当a≤0时，函数在f（x）在区间[0，1]上是减少的，则f（x）max=f（0）=1﹣a=3，即a=﹣2；…（6分）当0＜a＜1时，函数f（x）在区间[0，a]上是增加的，在区间[a，1]上是减少加的，则f（x）max=f（a）=a2﹣a+1=3，解得a=2或﹣1，不符合；…（9分）当a≥1时，函数f（x）在区间[0，1]上是增加的，则f（x）max=f（1）=﹣1+2a+1﹣a=3，解得a=3；…（11分）综上所述，a=﹣2或a=3 …（12分）22．（12分）对于函数f（x）=a﹣（a∈R）（1）判断函数f（x）的单调性并给出证明；（2）若存在实数a使函数f（x）是奇函数，求a；（3）对于（2）中的a，若f（x）≥，当x∈[2.3]恒成立，求m的最大值．【解答】解：（1）不论a为何实数，f（x）在定义域上单调递增．证明：设x1，x2∈R，且x1＜x2，则=，由x1＜x2，知0＜，∴，，∴f（x1）﹣f（x2）＜0，∴不论a为何实数，f（x）在定义域上单调递增．（2）∵存在实数a使函数f（x）是奇函数，∴由f（﹣x）=﹣f（x），得，解得a=1．（3）由条件可得m≤2x（1﹣）=（2x+1）+﹣3恒成立，m≤（2x+1）+﹣3恒成立，m≤（2x+1）+﹣3的最小值，x∈[2，3]，设t=2x+1，则t∈[5，9]，函数g（t）=t+﹣3在[5，9]上单调递增，∴g（t）的最小值是g（5）=，m，∴m的最大值为．。

2019-2020学年环大罗山联盟高一下学期期末数学试卷一、单选题（本大题共10小题，共40.0分） 1.在△ABC 中，下列等式一定成立的是( )A. sin(A +B)=−sinCB. cos(A +B)=cosCC. cosB+C 2=sin A2D. sinB+C 2=sin A22.已知点A 和B在直线的两侧，则直线倾斜角的取值范围是( )A.B.C.D.3. 设变量、满足约束条件，则目标函数的最小值为( )A.B. C. D.4.在直角梯形ABCD 中，AB//CD ，AB ⊥AD ，AB =2，AD =√3，∠CAB =π3，点F 是线段AB上的一点，若BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2CE⃗⃗⃗⃗⃗ ，AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，且AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DF ⃗⃗⃗⃗⃗ =−174，则λ=( ) A. 14B. 13C. 12D. 235.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 4≤4，S 5≥15，则a 4的最小值为( )A. 6B. 7C. 8D. 96.已知tanα=−13，则12sinαcosα+cos 2α=( )A. 103B. 3C. −103D. −37.六安滨河公园喷泉中央有一个强力喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在水柱正西方向的A 处测得水柱顶端的仰角为45°，沿A 处向南偏东30°前进50米到达点B 处，在B 处测得水柱顶端的仰角为30°，则水柱的高度是( )A. 15mB. 30mC. 25mD. 50m8.设min{p,q}表示p，q中较小的一个，给出下列命题：①min{x2,x−1}=x−1；②设θ∈(0, π2]，则min{sinθsin2θ+1, 12}=12；③设a，b∈N∗，则min{a, 2ba2+b2}的最大值是1，其中所有正确命题的序号有()A. ①B. ③C. ①②D. ①③9.已知函数f(x)=2sinωx(其中ω>0)，若对任意x1∈[−3π4,0)，存在x2∈(0,π3]，使得f(x1)=f(x2)，则ω的取值范围为()A. ω≥3B. 0<ω≤3C. ω≥92D. 0<ω≤9210.已知数列{a n}，{b n}满足b n=log2a n，n∈N∗，其中{b n}是等差数列，且a8⋅a2008=14，则b1+ b2+b3+⋯+b2015=()A. log22015B. 2015C. −2015D. 1008二、单空题（本大题共3小题，共12.0分）11.求值：cos330°=______．12.已知函数f(x)=ax2+a2x+2b−a3，当x∈(−∞,−2)∪(6,+∞)时，f(x)<0，当∈(−2,6)时，f(x)>0．(1)求a、b的值；(2)设F(x)=−k4f(x)+4(k+1)x+2(6k−1)，则当k取何值时，函数F(x)的值恒为负数？13.如图，已知正方形ABCD的边长为2，点E为AB的中点．以A为圆心，AE为半径，作弧交AD于点F.若P为劣弧上的动点，则的最小值为________ ．三、多空题（本大题共4小题，共24.0分）14.直线l：y=−x+1的倾斜角为，经过点(1,3)且与直线l垂直的直线的斜截式方程为15.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，S为△ABC的面积，若c=2acosB，S=12a2−14c2，则△ABC的形状为(1)，C的大小为(2)．16. 已知函数f(x)=cos(2x +φ)(−π2<φ<0)． ①函数f(x)的最小正周期为 ； ②若函数f(x)在区间[π3,4π3]上有且只有三个零点，则φ的值是 ．17. 已知点A(2,5)，B(3,−2)，则向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ = ，与向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 同向的单位向量为 ． 四、解答题（本大题共5小题，共74.0分）18. 已知向量m ⃗⃗⃗ =(1,1)，向量n ⃗ 与向量m ⃗⃗⃗ 的夹角为3π4，且m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =−1． (1)求向量n ⃗ ；(2)设向量a ⃗ =(1,0)，向量b ⃗ =(cosx,sinx)，其中x ∈R ，若n ⃗ ⋅a ⃗ =0，试求|n ⃗ +b ⃗ |的取值范围．19. 已知直线L 1：(3−a)x +(2a −1)y +10=0，直线L 2：(2a +1)x +(a +5)y −6=0． ①若L 1⊥L 2，求a 的值； ②若L 1//L 2，求a 的值．20. 在△ ABC 中，a 、b 、c 分别是A 、 B 、C 的对边长，已知a 、b 、c 成等比数列，A 、B 、C 成等差数列，求B 的大小以及的值。

漳州市2019-2020学年下学期期末教学质量检测高一语文试题（满分150分，考试时间150分钟）一、现代文阅读（一）实用类文本阅读（阅读下面的文字，完成1~3题。

材料一：中国人的传统聚会，不论在家中还是在餐馆，如果是享用中餐，一般都是采用围桌会食的方式。

这种亲密接触的方式，是中国饮食文化的一个重要传统。

但纵观中国饮食史，会食方式存在的时间也就是1000多年。

分餐制的历史则可上溯到史前时代，它经过了不少于3000年的发展过程。

古代中国人分餐进食，一般都是席地而坐；后来所说的“席”，正是这古老分餐制的一个写照。

西晋灭亡后，生活在北方的匈奴、鲜卑等族陆续进入中原，先后建立了他们的政权，使得中原地区自殷周以来建立的传统习俗、生活秩序、礼仪制度等受到了一次次强烈的冲击。

正是这种大的历史变革，传统席地而坐的跪姿坐式受到更轻松的垂足坐姿的冲击，及至唐代，各种各样的高足坐具已相当流行，垂足而坐已成为标准姿势。

唐代后期，高椅大桌的会食已十分普通，家具的革新直接影响了饮食方式的变化。

（摘编自王仁湘《分餐制在古代中国至少流行了三千年》，《光明日报》2020年4月18日）材料二：据世界卫生组织统计，影响健康的因素中有60与生活方式和行为有关。

“从科学角度来看，合餐极易导致疾病传染。

部分通过唾液、呼吸道、消化道传播的疾病，如流感、结核病、幽门螺杆菌等，只要就餐人中有人感染此类疾病，就有可能导致其他就餐者感染。

”山西省健康管理师协会专家曹思毅说，在我国，许多人由于过分饮食，高热量食物摄入过多，水果、蔬菜摄入过少，导致肥胖、营养缺乏等问题，从而对健康造成极大的危害。

分餐可以根据每人每餐所需的营养，搭配饭菜，保证每餐有适量的维生素、蛋白质、脂肪等，同时控制进食量，保证营养平衡。

（摘编自马黎《“分餐制”，不能再说“不”！》，《山西日报》2020年2月14日）材料三：新冠肺炎疫情暴发以来，公筷制、分餐制等倡议再次进入公众视野，就目前各地的推行情况来看，需要加强防范“三个忘了”的举措。

2019-2020学年高一第一学期期末数学试卷一、选择题1．函数f（x）＝ln（x﹣1）的定义域是（）A．（1，+∞）B．[1，+∞）C．（0，+∞）D．[0，+∞）2．用二分法求解方程e x+3x﹣8＝0近似解的过程中，设f（x）＝e x+3x﹣8，经计算得部分函数值近似值如表：x 1 1.25 1.5 2 2.25 f（x）﹣2.28 ﹣0.76 0.98 5.39 8.24 据此可以判断方程的根所在区间是（）A．（1，1.25）B．（1.25，1.5）C．（1.5，2）D．（2，2.25）3．若向量＝（2，4）与向量＝（x，6）垂直，则实数x＝（）A．12 B．﹣12 C．3 D．﹣34．已知幂函数f（x）＝x2m﹣1的图象经过点（2，8），则实数m的值是（）A．﹣1 B．C．2 D．35．已知函数f（x）＝，则f（1）＝（）A．0 B．1 C．2 D．36．在平面直角坐标系中，已知⊙O是以原点O为圆心，半径长为2的圆．设角x（rad）的顶点与原点重合，始边与横轴的非负半轴重合，终边与⊙O的交点为B，则点B的纵坐标y关于x的函数解析式为（）A．y＝tan x B．y＝sin x C．y＝2cos x D．y＝2sin x7．如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，O是该平面上任意一点，设，则x﹣y＝（）A．﹣4 B．﹣2 C．2 D．48．设函数f（x）＝3x，g（x）＝ax2﹣4x+2，若对任意x1≥0，总存在x2∈R，使得f（x1）＝g（x2），则实数a的最大值是（）A．﹣4 B．2 C．4 D．16二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分.9．下列各选项给出的两个函数中，表示相同函数的有（）A．f（x）＝x与B．f（t）＝|t﹣1|与g（x）＝|x﹣1|C．f（x）＝x与D．与g（x）＝x﹣110．已知函数，则下列关于f（x）的判断正确的是（）A．在区间上单调递增B．最小正周期是πC．图象关于直线成轴对称D．图象关于点成中心对称11．设，是两个非零向量，则下列描述正确的有（）A．若|+|＝||﹣||，则存在实数λ使得＝λB．若⊥，则|+|＝|﹣|C．若|+|＝||+||，则在方向上的投影为||D．若存在实数λ使得＝λ，则|+|＝||﹣||12．已知函数f（x）＝方程|f（x）﹣1|＝2﹣m（m∈R），则下列判断正确的是（）A．函数f（x）的图象关于直线对称B．函数f（x）在区间（3，+∞）上单调递增C．当m∈（1，2）时，方程有2个不同的实数根D．当m∈（﹣1，0）时，方程有3个不同的实数根三、填空题13．已知f（x+1）＝x2+2x+3，则f（1）＝．14．计算＝．15．已知函数，则f（x）图象的一条对称轴方程是；当时，f（x）的值域为．16．使不等式log2x＜x2＜2x成立的x的取值范围是．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．已知集合A＝{x|a﹣1≤x≤2a+3}，B＝{x|1≤log2x≤2}．（1）当a＝0时，求A∩B；（2）若A∩B＝B，求实数a的取值范围．18．已知函数f（x）＝log2（ax+2）．（1）若实数a满足32a﹣3a＝6，求f（2）的值；（2）若f（x）在（﹣∞，1）上单调递减，求实数a的取值范围．19．在平面直角坐标系xOy中，已知角α的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边在直线y＝﹣2x上．（1）求tanα的值；（2）求的值．20．在△OBC中，点A是BC的中点，点D在线段OB上，且OD＝2DB，设＝，＝．（1）若||＝2，||＝3，且与的夹角为，求（2+）•（﹣）；（2）若向量与共线，求实数k的值．21．已知函数f（x）＝2x﹣2﹣x．（1）当x∈[﹣3，3]时，求f（x）的值域；（2）若对于任意t∈R，不等式f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＞0恒成立，求实数k的取值范围．22．已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的周期为π，图象的一个对称中心为，若先把函数y＝f（x）的图象向左平移个单位长度，然后再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数y＝g（x）的图象．（1）求函数f（x）与g（x）的解析式；（2）设函数φ（x）＝ag（x）﹣2cos2x+1（a∈R），试判断φ（x）在（0，2π）内的零点个数．参考答案一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求.1．函数f（x）＝ln（x﹣1）的定义域是（）A．（1，+∞）B．[1，+∞）C．（0，+∞）D．[0，+∞）【分析】函数f（x）＝ln（x﹣1）的定义域为{x|x﹣1＞0}，由此能求出结果．解：函数f（x）＝ln（x﹣1）的定义域为：{x|x﹣1＞0}，解得{x|x＞1}，故选：A．2．用二分法求解方程e x+3x﹣8＝0近似解的过程中，设f（x）＝e x+3x﹣8，经计算得部分函数值近似值如表：x 1 1.25 1.5 2 2.25 f（x）﹣2.28 ﹣0.76 0.98 5.39 8.24 据此可以判断方程的根所在区间是（）A．（1，1.25）B．（1.25，1.5）C．（1.5，2）D．（2，2.25）【分析】由二分法及函数零点的判定定理可知．解：由表格可得，函数f（x）＝e x+3x﹣8的零点在（1.25，1.5）之间；结合选项可知，方程方程e x+3x﹣8＝0的根所在区间是（1.25，1.5）故选：B．3．若向量＝（2，4）与向量＝（x，6）垂直，则实数x＝（）A．12 B．﹣12 C．3 D．﹣3【分析】由向量与垂直便可得到，进行向量数量积的坐标运算便可得出关于x 的方程，解出x即可．解：∵；∴；即2x+24＝0；∴x＝﹣12．故选：B．4．已知幂函数f（x）＝x2m﹣1的图象经过点（2，8），则实数m的值是（）A．﹣1 B．C．2 D．3【分析】把点的坐标代入幂函数解析式，即可求出m的值．解：∵幂函数f（x）＝x2m﹣1的图象经过点（2，8），∴22m﹣1＝8，∴m＝2，故选：C．5．已知函数f（x）＝，则f（1）＝（）A．0 B．1 C．2 D．3【分析】根据题意，由函数的解析式可得f（1）＝f（3）＝log33，即可得答案．解：根据题意，函数f（x）＝，则f（1）＝f（3）＝log33＝1；故选：B．6．在平面直角坐标系中，已知⊙O是以原点O为圆心，半径长为2的圆．设角x（rad）的顶点与原点重合，始边与横轴的非负半轴重合，终边与⊙O的交点为B，则点B的纵坐标y关于x的函数解析式为（）A．y＝tan x B．y＝sin x C．y＝2cos x D．y＝2sin x【分析】结合图象以及三角函数线的定义即可求解．解：因为⊙O是以原点O为圆心，半径长为2的圆．设角x（rad）的顶点与原点重合，始边与横轴的非负半轴重合，终边与⊙O的交点为B，则点B的纵坐标y关于x的函数解析式为y＝2sin x；故选：D．7．如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，O是该平面上任意一点，设，则x﹣y＝（）A．﹣4 B．﹣2 C．2 D．4【分析】由D，E分别是AB，AC的中点，由＝﹣2，求出x，y，再得到结论．解：D，E分别是AB，AC的中点，连接DE，由＝﹣2所以x＝﹣2，y＝2，故x﹣y＝﹣4，故选：A．8．设函数f（x）＝3x，g（x）＝ax2﹣4x+2，若对任意x1≥0，总存在x2∈R，使得f（x1）＝g（x2），则实数a的最大值是（）A．﹣4 B．2 C．4 D．16【分析】设g（x）＝ax2﹣4x+2的值域设为A，由指数函数的值域和题意可得[1，+∞）⊆A，讨论a＝0，a＞0，a＜0，求得g（x）的值域，计算可得所求a的最大值．解：函数f（x）＝3x，x≥0，可得f（x）的值域为[1，+∞），g（x）＝ax2﹣4x+2的值域设为A，若对任意x1≥0，总存在x2∈R，使得f（x1）＝g（x2），可得[1，+∞）⊆A，当a＝0时，可得A＝R，且[1，+∞）⊆A成立；当a＞0时，A＝[2﹣，+∞），由[1，+∞）⊆A，可得2﹣≤1，解得0＜a≤4；当a＜0时，A＝（﹣∞，2﹣]，则[1，+∞）⊆A不成立，综上可得0≤a≤4，即有a的最大值为4．故选：C．二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分.9．下列各选项给出的两个函数中，表示相同函数的有（）A．f（x）＝x与B．f（t）＝|t﹣1|与g（x）＝|x﹣1|C．f（x）＝x与D．与g（x）＝x﹣1【分析】根据两个函数的定义域相同，对应关系也相同，即可判断是相同函数．解：对于A，函数f（x）＝x与g（x）＝＝|x|的解析式不同，表示相同函数；对于B，函数f（t）＝|t﹣1|的定义域为R，g（x）＝|x﹣1|的定义域为R，定义域相同，对应关系也相同，是相同函数；对于C，函数f（x）＝x的定义域为R，g（x）＝log22x＝x的定义域为R，定义域相同，对应关系也相同，是相同函数；对于D，函数f（x）＝＝x﹣1的定义域为（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，+∞），g（x）＝x﹣1的定义域为R，定义域不同，不是相同函数．故选：BC．10．已知函数，则下列关于f（x）的判断正确的是（）A．在区间上单调递增B．最小正周期是πC．图象关于直线成轴对称D．图象关于点成中心对称【分析】根据正切函数的周期性，单调性和对称性分别进行判断即可．解：A．x∈⇒x+∈（，）；故单调递增；A正确B．函数f（x）的最小正周期是＝π，故B正确，C．正切函数没有对称轴，故C错误，D．令x+＝⇒x＝﹣，k∈Z；则f（x）图象关于点（，0）成中心对称，故D正确，故选：ABD．11．设，是两个非零向量，则下列描述正确的有（）A．若|+|＝||﹣||，则存在实数λ使得＝λB．若⊥，则|+|＝|﹣|C．若|+|＝||+||，则在方向上的投影为||D．若存在实数λ使得＝λ，则|+|＝||﹣||【分析】四个选项都出现了向量模之间的加减运算，所以考虑平方处理，整理后：A得出与共线且反向；B得出；C得出与同向；D也是与共线且反向，然后对每个选项逐一查验正误即可．解：A，对式子两边平方、变形得：，∴，而，∴，即与共线且反向，∴当λ＜0时，有＝λ，所以A正确；B，∵⊥，∴对|+|＝|﹣|两边平方、变形得：，因为，所以B正确；C，对式子两边平方、变形得：，所以即与同向，此时在方向上的投影并不一定为||，所以C错误；D，由A选项可知，只有当λ＜0时，才有|+|＝||﹣||，并不是存在λ使得＝λ，就有|+|＝||﹣||，所以D错误．故选：AB．12．已知函数f（x）＝方程|f（x）﹣1|＝2﹣m（m∈R），则下列判断正确的是（）A．函数f（x）的图象关于直线对称B．函数f（x）在区间（3，+∞）上单调递增C．当m∈（1，2）时，方程有2个不同的实数根D．当m∈（﹣1，0）时，方程有3个不同的实数根【分析】先画出函数f（x）的大致图象，即可判断A，B选项的正误，再画出函数y＝|f （x）﹣1|的大致图象，把方程|f（x）﹣1|＝2﹣m根的个数转化为函数y＝2﹣m与函数y＝|f（x）﹣1|的图象交点个即可判断．解：函数f（x）的大致图象如图所示：，显然函数f（x）的图象不关于直线x＝对称，故选项A错误，有图象可知函数f（x）在区间（3，+∞）上单调递增，故选项B正确，函数y＝|f（x）﹣1|的大致图象如图所示：，当m∈（1.2）时，0＜2﹣m＜1，此时函数y＝2﹣m与函数y＝|f（x）﹣1|的图象有2个交点，∴方程|f（x）﹣1|＝2﹣m有2个不同的实数根，故选项C正确，当m∈（﹣1，0）时，2＜2﹣m＜3，此时函数y＝2﹣m与函数y＝|f（x）﹣1|的图象有4个交点，∴方程|f（x）﹣1|＝2﹣m有4个不同的实数根，故选项D错误，故选：BC．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知f（x+1）＝x2+2x+3，则f（1）＝ 3 ．【分析】根据题意，令x＝0可得：f（1）＝0+0+3＝3，即可得答案．解：根据题意，f（x+1）＝x2+2x+3，令x＝0可得：f（1）＝0+0+3＝3，即f（1）＝3；故答案为：314．计算＝．【分析】利用指数对数运算性质即可得出．解：原式＝+lg5（lg5+lg2）﹣lg5＝+lg5﹣lg5＝．故答案为：．15．已知函数，则f（x）图象的一条对称轴方程是；当时，f（x）的值域为[﹣，3] ．【分析】直接利用函数的性质的应用求出结果．解：①当x＝时，函数的值为3．②当时，所以，所以f（x）的值域为．故答案为：，16．使不等式log2x＜x2＜2x成立的x的取值范围是（0，2）∪（4，+∞）．【分析】分析y＝log2x，y＝x2，y＝2x函数图象，即可得到答案．解：不等式log2x＜x2＜2x，由于函数y＝log2x在（0，+∞）上单调递增，且经过（1，0），函数y＝x2在（0，+∞）上单调递增，且经过（1，1），函数y＝2x在（0，+∞）上单调递增，且经过（1，2），当x＞0时，函数y＝x2与y＝2x交点为（2，4），（4，16）如图，所以不等式成立的x的取值范围是（0，2）∪（4，+∞）．故答案为：（0，2）∪（4，+∞）．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．已知集合A＝{x|a﹣1≤x≤2a+3}，B＝{x|1≤log2x≤2}．（1）当a＝0时，求A∩B；（2）若A∩B＝B，求实数a的取值范围．【分析】（1）当a＝0时，求出集合A，B，由此能求出A∩B．（2）由A∩B＝B，得B⊂A，由B＝{x|2≤x≤4}，又A＝{x|a﹣1≤x≤2a+3}，得，由此能求出实数a的取值范围．解：（1）当a＝0时，A＝{x|﹣1≤x≤3}，不等式1≤log2x≤2可化为log22≤log2x≤log24，则2≤x≤4，即B＝{x|2≤x≤4}，所以A∩B＝{x|2≤x≤3}．（2）因为A∩B＝B，所以B⊂A，由（1）知B＝{x|2≤x≤4}，又A＝{x|a﹣1≤x≤2a+3}，所以，解得．则实数a的取值范围是{a|}．18．已知函数f（x）＝log2（ax+2）．（1）若实数a满足32a﹣3a＝6，求f（2）的值；（2）若f（x）在（﹣∞，1）上单调递减，求实数a的取值范围．【分析】（1）由已知结合二次方程可求3a的值，然后结合指数的运算可求a，进而可求；（2）结合一次函数与对数函数及复合函数的单调性可求a的范围．解：（1）因为32a﹣3a＝6，所以（3a﹣3）（3a+2）＝0，因为3a＞0，所以3a+2＞0，则3a﹣3＝0，解得a＝1，所以f（x）＝log2（x+2），因此f（2）＝2．（2）令t＝ax+2，则f（x）＝g（t）＝log2t，而g（t）＝log2t是（0，+∞）上的增函数，要使f（x）在（﹣∞，1）上单调递减，则问题等价于t＝ax+2在区间（﹣∞，1）上单调递减，且t＞0在区间（﹣∞，1）上恒成立，所以，解得﹣2＜a＜0．故a的范围（﹣2，0）．19．在平面直角坐标系xOy中，已知角α的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边在直线y＝﹣2x上．（1）求tanα的值；（2）求的值．【分析】（1）由题意利用任意角的三角函数的定义，求得tanα的值．（2）由题意利用诱导公式，同角三角函数的基本关系，求得要求式子的值．解：（1）在直线y＝﹣2x上任取一点P（m，﹣2m）（m≠0），由已知角α的终边在直线y＝﹣2x上，所以．（2）由（1）知tanα＝﹣2，故＝﹣sinα•（﹣sinα）+1﹣2sinαcosα＝1+＝1+＝1+＝．20．在△OBC中，点A是BC的中点，点D在线段OB上，且OD＝2DB，设＝，＝．（1）若||＝2，||＝3，且与的夹角为，求（2+）•（﹣）；（2）若向量与共线，求实数k的值．【分析】（1）直接代入数量积的运算公式求解即可；（2）先分别求出向量与；再结合其共线即可求出结论．解：（1）因为|a|＝2，|b|＝3，a与b的夹角为，所以，则．（2）由已知，，因为，，所以，，则，又因为与共线，所以存在实数λ使得，即，所以，因为a与b不共线，所以解得；所以实数k的值为．21．已知函数f（x）＝2x﹣2﹣x．（1）当x∈[﹣3，3]时，求f（x）的值域；（2）若对于任意t∈R，不等式f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＞0恒成立，求实数k的取值范围．【分析】（1）由单调性的定义判断f（x）在R上递增，计算可得f（x）的值域；（2）判断f（x）在R上为奇函数，运用参数分离和二次函数的最值求法，可得所求范围．解：设﹣∞＜x1＜x2＜+∞，则，因为x1＜x2，所以，即，又，所以f（x1）＜f（x2），所以f（x）在（﹣∞，+∞）上是增函数．（1）由上可知f（x）在区间[﹣3，3]上是增函数，所以f（x）在区间[﹣3，3]上最小值为，最大值为，因此f（x）的值域是；（2）因为f（﹣x）＝﹣f（x），所以f（x）在R是上奇函数，所以不等式f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＞0对于任意t∈R恒成立，等价于不等式f（t2﹣2t）＞f（k﹣2t2）对于任意t∈R恒成立，因为f（x）在（﹣∞，+∞）上是增函数，所以问题等价于不等式t2﹣2t＞k﹣2t2对于任意t∈R恒成立，即3t2﹣2t＞k对于任意t∈R恒成立，设g（t）＝3t2﹣2t，则g（t）的最小值为，所以，所以k的取值范围是．22．已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的周期为π，图象的一个对称中心为，若先把函数y＝f（x）的图象向左平移个单位长度，然后再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数y＝g（x）的图象．（1）求函数f（x）与g（x）的解析式；（2）设函数φ（x）＝ag（x）﹣2cos2x+1（a∈R），试判断φ（x）在（0，2π）内的零点个数．【分析】（1）根据其周期和对称中心即可求出函数f（x）的解析式；再结合图象之间的变化关系求出g（x）的解析式；（2）转化为h（t）＝﹣2t2+at+1在t∈[﹣1，1）的零点个数；结合余弦函数的图象即可求解解：（1）因为f（x）的周期为2，所以ω＝2，f（x）＝sin（2x+φ），又因为f（x）的图象的一个对称中心为，所以，因为0＜φ＜π，所以，所以，所以．（2）由（1）可知，φ（x）＝a cos x﹣2cos2x+1，设cos x＝t，因为x∈（0，2π），所以t∈[﹣1，1），则φ（x）＝at﹣2t2+1，设h（t）＝﹣2t2+at+1，t∈[﹣1，1），则h（0）＝1＞0，①当a＜﹣1或a＞1时，h（t）在（﹣1，1）内有唯一零点，这时，函数φ（x）在（0，2π）内有两个零点．②当﹣1＜a＜1时，h（t）在（﹣1，1）内有两个不等零点，这时，函数φ（x）在（0，2π）内有四个零点．③当a＝﹣1时，h（t）＝﹣2t2﹣t+1，由h（t）＝0，得或t＝﹣1，这时，函数φ（x）在（0，2π）内有三个零点．④当a＝1时，h（t）＝﹣2t2﹣t+1，由h（t）＝0，得或t＝﹣1（舍），这时，函数φ（x）在（0，2π）内有两个零点．综上可得，当a＜﹣1或a≥1时，φ（x）在（0，2π）内有两个零点；当a＝﹣1时，φ（x）在（0，2π）内有三个零点；当﹣1＜a＜1时，φ（x）在（0，2π）内有四个零点．。

2019-2020学年福建省宁德市六校高一下学期期中数学试卷一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.过棱长为1的正方体的一个顶点作该正方体的截面，若截面形状为四边形，则下列选项中不可能为该截面面积的是()A. √52B. √62C. √2D. √32.已知一个水平放置的正方形用斜二测画法作出的直观图是一个平行四边形，平行四边形中有一条边长为4，则此正方形的面积是()A. 16B. 64C. 16或64D. 以上都不对3.已知异面直线a，b均与平面α相交，下列命题：①存在直线m⊂α，使得m⊥a或m⊥b；②存在直线m⊂α，使得m⊥a且m⊥b；③存在直线m⊂α，使得m与a和b所成的角相等．其中不正确的命题个数为()A. 0B. 1C. 2D. 34.下列说法正确的是()A. “a=1“是直线a2x−y+1=0与直线x−ay+1=0互相垂直的充要条件B. 直线xsinα+y+2=0的倾斜角α的取值范围是[0,π4]∪[3π4,π)C. 过(x1,y1)，(x2,y2)两点的所有直线方程y−y1y2−y1=x−x1x2−x1D. 经过点(1,1)且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为x+y−2=0或x−y=05.过P(4,−3)且在坐标轴上截距绝对值相等的直线有()A. 4条B. 3条C. 2条D. 1条6.如图，正方体各条棱所在的直线中和棱AA1所在直线互相垂直的有()A. 4条B. 6条C. 8条D. 10条7.下列命题不正确的是()A. 若如果一个平面内的一条直线垂直于另一个平面内的任意直线，则两平面垂直B. 若一个平面内的任一条直线都平行于另一个平面，则两平面平行C. 若一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，则这条直线和交线平行D. 若两条不同的直线在一平面内的射影互相垂直，则这两条直线垂直8.已知圆锥的底面和顶点都在球面上，且圆锥的底面半径和球半径的比为√3:2，则圆锥与球的体积比为()A. 1：6B. 1：4C. 9：32D. 1：29.已知直线3x+2y−2=0和6x+my+1=0互相平行，则它们之间的距离是()．A. 4B.C.D.10.已知A(−1,1)，B(3,1)，C(1,3)，则△ABC的BC边上的高所在的直线的方程为()A. x+y+2=0B. x+y=0C. x−y+2=0D. x−y=011.已知命题p：∃x<0，x2>0，那么￢p是()A. ∀x≥0，x2≤0B. ∃x≥0，x2≤0C. ∀x<0，x2≤0D. ∃x≥0，x2≤012.如图，正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，E，F分别为AD，AA1的中点，则以下说法错误的是()A. 平面EFC截正方体所的截面周长为2√5+3√2B. 存在BB1上一点P使得C1P⊥平面EFCC. 三棱锥B−EFC和D−FB1C体积相等D. 存在BB1上一点P使得AP//平面EFC二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.经过点A(1,0)且法向量为d⃗=(2,−1)的直线l的方程为______．14.棱长均相等的四面体A−BCD中，P为BC中点，Q为直线BD上一点，则平面APQ与平面ACD所成二面角的正弦值的取值范围是______．15.己知点和圆：，一条光线从点出发射到工轴上后沿圆的切线方向反射，则这条光线从点到切点所经过的路程是．16.已知点P为椭圆x2+4y2=16上，则点P到直线y=x−5的最短距离为______ ．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.如图，已知点P在圆柱的底面圆O上，AB为圆O的直径，圆柱的表面积为10π，OA=1，∠AOP=120°．(1)求异面直线A1B与OP所成角的大小(结果用反三角函数值表示)；(2)求三棱锥A−A1PB的体积．18.如图所示，四棱锥P−ABCD的底面是边长为a的正方形，侧棱PA⊥a.底面ABCD，在侧面PBC内，有BE⊥PC于E，且BE=√63(1)求证：PB⊥BC；(2)试在AB上找一点F，使EF//平面PAD．19.已知椭圆E的方程为x24+y23=1，右焦点为F，直线l与圆x2+y2=3相切于点Q，且Q在y轴的右侧，设直线l交椭圆E于不同两点A(x1,y1)，B(x2,y2).(1)若直线l的倾斜角为π4，求直线l的方程；(2)求证：|AF|+|AQ|=|BF|+|BQ|．20.(1)求经过两条直线2x−y−3=0和4x−3y−5=0的交点，并且与直线2x+3y+5=0垂直的直线方程．(2)已知在△ABC中，sin A+cos A=15.求tan A的值．21.(本题满分12分)已知椭圆的离心率为，且上任意一点到两焦点的距离之和都为．(I)求椭圆的方程；(II)设直线与椭圆交于、两点，为坐标原点，若，求证：为定值．22.在四棱锥P−ABCD中，底面是直角梯形ABCD，其中AD⊥AB，CD//AB，AB=4，CD=2，侧面PAD是边长为2的等边三角形，且与底面ABCD垂直，E为PA的中点．(Ⅰ)求证：DE//平面PBC；(Ⅱ)求三棱锥A−PBC的体积．【答案与解析】1.答案：D解析：解；如图所示，，，设过顶点A 作正方体的截面AEFG 与底面ABCD 所成的角为θ， 则有：S 底面ABCDS截面AEFG=cosθ，∴S 截面AEFG =S 底面ABCD cosθ>1，又当截面AEFG 是正方体的对角面AB 1C 1D 时，其面积最大，最大为√2， 则截面面积的取值范围是(1,√2]. 故选：D ．设过顶点A 作正方体的截面AEFG 与底面ABCD 所成的角为θ，利用关系式：S 底面ABCDS截面AEFG=cosθ，得出S 截面AEFG >1又当截面AEFG 是正方体的对角面AB 1C 1D 时，其面积最大，最大为√2，从而得到截面面积的取值范围．本小题主要考查棱柱的结构特征、正方体的结构特征的应用、正方体的截面等基础知识，考查空间想象能力．2.答案：C解析：试题分析：因为我们默认坐标系的横轴与水平线是平行的，所以假设用斜二测画法作出的直观图是一个平行四边形的水平的边为4，则原正方形的边长为4，所以面积为16.若平行四边形的另一边为四则根据斜二测画法可知原正方形的边长为8，所以面积为64.所以选C ．考点：1.斜二测画法的法则.2.变化前与变化后的对应关系．3.答案：B解析：解：根据空间线线垂直的几何特征可得：必存在直线m⊂α，使得m⊥a，也必存在直线m⊂α，使得m⊥b，故①正确；若异面直线a，b的公垂线段与平面α平行或在平面α内，则存在直线m⊂α，使得m⊥a且m⊥b，否则这样的m不存在，故②错误；若异面直线a，b中有一条与平面α垂直，则平面α内另一条直线的垂线与两条直线均垂直；若异面直线a，b与平面α均不垂直，则它们在平面α上射影的角平分线与异面直线a，b夹角相等，故③正确．故①③都正确，故不正确的命题个数为1，故选：B根据空间线线关系，线面关系，线线夹角，线线垂直的几何特征，逐一分析四个答案的真假，可得答案．本题考查的知识点空间线线关系，线面关系，线线夹角，线线垂直的几何特征，难度不大，属于基础题．4.答案：D解析：解：A、因为当“a=1“时，直线x−y+1=0与直线x−y+1=0是同一条直线，直线不垂直；由直线垂直斜率乘积为−1，可得a=−1，所以“a=1“是直线a2x−y+1=0与直线x−ay+1=0互相垂直的充要条件，A错误；B、直线xsinα+y+2=0的倾斜角α，直线由斜率，则直线k=tanα=sinαcosα=−sinα，α的取值范围是[0,π4]∪[3π4,π)错误，B错误，C、过(x1,y1)，(x2,y2)两点的所有直线方程y−y1y2−y1=x−x1x2−x1，当两点横坐标不等时，由两点时可得方程正确，若x1=x2，时，直线无斜率，则直线方程为x=x1=x2，C错误；D、当直线过点(1,1)且在x轴和y轴上截距都相等且为0时，则直线过原点，由直线的方程为x−y=0，当直线过点(1,1)且在x轴和y轴上截距都相等且不为0时，直线过两坐标轴点设(0,b)，(a,0)，且a=b≠0，设直线截距式xa +yb=1，将(1,1)代入，可得直线的方程x+y−2=0；则经过点(1,1)且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为x+y−2=0或x−y=0，正确，故选：D．根据命题真假的判断，逐一分析四个答案结论的真假，可得答案．本题以命题的真假判断为载体，考查了直线方程的相关知识，难度不大，属于中档题．5.答案：B解析：解：解法1：设直线方程为y+3=k(x−4)(k≠0).令y=0得x=3+4kk，令x=0得y=−4k−3.由题意，|3+4kk |=|−4k−3|，解得k=−34或k=−1或k=1.因而所求直线有三条．∴应选B．解法2：当直线过原点时显然符合条件，当直线不过原点时，设直线在坐标轴上截距都是a，a≠0.则直线方程为xa +ya=1或xa+y−a=1，把点P(4,−3)的坐标代入方程得a=1或a=7.∴所求直线有三条．∴应选B故选：B．解法1：设直线方程为y+3=k(x−4)(k≠0).利用截距相等求出k=−34或k=−1或k=1.得到所求直线的条数．解法2：当直线过原点时显然符合条件，当直线不过原点时，设直线方程为xa +ya=1或xa+y−a=1，把点P(4,−3)的坐标代入方程得a值，推出直线条数．本题考查直线的方程的形式，考查直线的截距相等条件的应用，考查计算能力．6.答案：C解析：解：∵棱AA1垂直于上、下两个底面∴根据线面垂直的性质，可知棱AA1垂直于上、下两个底面中的所有直线，即8条直线故选：C．根据线面垂直的性质，可知棱AA1垂直于上、下两个底面中的所有直线，故可得结论．本题考查线面垂直的性质，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．7.答案：D解析：试题分析：A选项是直线与平面垂直的定义.B选项是直线与平面平行的定义.由一条直线和一个平面平行，及该直线不在平面内，又因为经过这条直线的平面和这个平面相交，由直线与平面的性质定理可得，这条直线和交线平行.选项D两直线也可以不垂直.所以选B.本题主要是考察线面垂直、面面平行的判定和直线与平面平行的性质.对这些定理要理解清楚．考点：1.线面垂直的判定定理.2.面面平行的判定定理.3.线面平行的性质定理．8.答案：C解析：运用球的截面的性质，由勾股定理求得球心到底面的距离，可得圆锥的高，再由圆锥的体积公式和球的体积公式即可得到体积之比．本题考查球与内接圆锥的关系，考查圆锥与球的体积的公式的运用，考查运算能力，是中档题．解：如图，设OA=R，O1A=r，则r=√32R，由于OO1垂直于底面，则OO1⊥O1A，∴OO12=OA2−O1A2=R2−r2=14R2，即有OO1=12R，PO1=R+12R=32R，则圆锥的体积为13πr2⋅PO1=13π×34R2×32R=38πR3，球的体积为43πR3，则圆锥与球的体积的比为9：32，故选：C．9.答案：C解析：根据两条直线平行，一次项的系数对应成比例，求得m的值，再根据两条平行线间的距离公式求得它们之间的距离．解：∵直线3x+2y−2=0和6x+my+1=0互相平行，则m=4，将直线3x+2y−2=0的方程化为6x+4y−4=0后可得A=6，B=4，C1=1，C2=−4则两条平行直线之间的距离d为d=|C1−C2|=．√A2+B2故选C．10.答案：C解析：本题考查了直线方程的求法，属于基础题．根据垂直关系求出高所在直线的斜率，利用点斜式方程求出．=−1，解：边BC所在直线的斜率k BC=3−11−3∴BC边上的高线斜率k=1．又∵BC边上的高线经过点A(−1,1)，∴BC边上的高线方程为y−1=x+1，即x−y+2=0．故选C．11.答案：C解析：解：已知命题p：∃x<0，x2>0，那么￢p是：∀x<0，x2≤0，故选：C．将存在量词改写为全称量词，再否定结论，从而得到答案．本题考查了命题的否定，将命题的否定和否命题区分开，本题属于基础题．12.答案：B解析：解：正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的棱长为2，E ，F分别为AD ，AA 1的中点，延长CE 交BA 的延长线于S ，接SF ，并延长交A 1B 1于B 1，连接CB 1，截面图形如图：可得平面EFC 截正方体所的截面周长为2EC +EF +CB 1=2√5+3√2.所以A 正确； 存在BB 1上一点P 使得C 1P ⊥平面EFC ，就是C 1P ⊥平面EFB 1C ，则C 1P ⊥CB 1，所以P 与B 重合，此时BC 1不垂直FB 1，所以B不正确；三棱锥B −EFC 的体积为：V B−EFC =13×12×2×2×1=23，EC =√5，EF =√2，CB 1=2√2，梯形EFB 1C 的高为：(√22)=3√22，S △B 1CF =12×2√2×3√22=3，S △EFC =12×√2×3√22=32．S △B 1CF =2S △EFC ，D 到上底面距离相等，所以V D−FB 1C =2V D−ECF =2V F−DEC =2×13×12×1×2×1=23，即：三棱锥B −EFC 和D −FB 1C 体积相等．所以C 正确；存在BB 1上一点P 使得AP//平面EFC ，取P 为BB 1的中点，可得AP//FB 1，可得D 正确； 故选：B ．画出截面图形，然后求解周长判断A 的正误；利用直线与平面垂直关系，判断B 的正误；判断体积是否相等判断C 的正误；利用直线与平面平行，判断D 的正误；本题考查命题的真假的判断与应用，考查空间想象能力以及转化思想的应用，是难题． 13.答案：2x −y −2=0解析：本题主要考查直线的斜率和直线的法向量以及方向向量之间的关系，以及直线方程的点斜式，考查的都是基础知识，属于基础题．先利用直线的法向量求出其方向向量，进而得到直线的斜率，再利用点斜式写直线方程即可．解：因为直线的法向量为d⃗ =(2,−1)，所以其方向向量为(1,2)=2，即直线的斜率为21又因为直线过点(1,0)．所以直线方程为y−0=2(x−1)⇒y=2x−2⇒2x−y−2=0．故答案为2x−y−2=0．14.答案：[√2,1]3解析：解：由题意把正四面体A−BCD放到正方体BK内，则平面ACD与平面APQ所成角的正弦值等于平面ACD的法向量BK与平面APQ所成角的余弦值，问题等价于平面APQ绕AP转动，当平面ACD与平面APQ所成角等于BK与AP夹角时，平面APQ与平面ACD所成二面角的正弦值取最小值，；此时该正弦值为：√23当平面APQ与BK平行时，所成角为0°，此时正弦值为1．∴平面APQ与平面ACD所成二面角的正弦值的取值范围为[√2,1]．3,1]．故答案为：[√23由题意把正四面体A−BCD放到正方体BK内，则平面ACD与平面APQ所成角的正弦值等于平面ACD的法向量BK与平面APQ所成角的余弦值，由此能求出平面APQ与平面ACD所成二面角的正弦值的取值范围．本题考查二面角的正弦值的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．15.答案：解析：本题考查圆的方程及其性质，16.答案：√22(5−2√5)解析：解：∵点P为椭圆x2+4y2=16上，∴设点P(4cosθ,2sinθ)，则点P到直线y=x−5的距离：d=√2=√22|2√5sin(θ+α)−5|，∴点P到直线y=x−5的最短距离为√22(5−2√5).故答案为：√22(5−2√5).设点P(4cosθ,2sinθ)，则点P到直线y=x−5的距离：d=|4cosθ−2sinθ−5|√2=√22|2√5sin(θ+α)−5|，由此能求出点P到直线y=x−5的最短距离．本题考查点到直线的最短距离的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意椭圆的参数方程的合理运用．17.答案：解：(1)由题意S表=2π⋅12+2π⋅1⋅AA1=10π，解得AA1=4，在△AOP中，OA=OP=1，∠AOP=120°，∴AP=√3，取AA1中点Q，连结OQ，PQ，则OQ//A1B，∴∠POQ是异面直线A1B与OP所成角(或所成角的补角)，∵AP=√3，AQ=2，AO=1，∴OQ=√5，PQ=√7，由余弦定理得cos∠POQ=OP 2+OQ2−PQ22×OP×OQ =−√510，∴异面直线A1B与OP所成角的大小为arccos√510．(2)在△BOP中，OB=OP=1，∠BOP=60°，∴BP=1，∴三棱锥A−A1PB的体积：V A−A1PB =V A1−APB=13S△APB⋅AA1=13×12×√3×1×4=2√33．解析：(1)由题意S表=2π⋅12+2π⋅1⋅AA1=10π，求出AA1=4，取AA1中点Q，连结OQ，PQ，则OQ//A1B，从而∠POQ是异面直线A1B与OP所成角(或所成角的补角)，由此能求出异面直线A1B与OP所成角的大小．(2)三棱锥A−A1PB的体积V A−A1PB =V A1−APB，由此能求出结果．本题考查异面直线所成角的大小的求法，考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．18.答案：(1)证明：∵PA⊥面ABCD，∴PA⊥BC，又BC⊥AB，∴BC⊥面PAB，∴PB⊥BC．(2)在平面PCD内，过E作EG//CD交PD于G，连接AG，在AB上取点F，使AF=EG，∵EG//CD//AF，EG=AF，∴四边形FEGA为平行四边形，∴FE//AG．又AG⊂平面PAD，FE⊄平面PAD，∴EF//平面PAD，∴F即为所示的点．∵PB⊥BC，∴PC2=BC2+PB2=BC2+AB2+PA2，设PA=x，则PC=√2a2+x2，由PB⋅BC=BE⋅PC得：√a2+x2⋅a=√2a2+x2⋅√63a，∴x=a，即PA=a，∴PC=√3a．又CE=√a2−(√63a)2=√33a，∴PEPC =23，∴GECD =PEPC=23，即GE=23CD=23a，∴AF=23a，即AF=23AB．解析：(1)欲证明PB⊥BC，只需推知BC⊥平面PAB即可；(2)在平面PCD内，过E作EG//CD交PD于G，连接AG，在AB上取点F，使AF=EG.由BE=√63a，能求出AF=23a时，EF//平面PAD．本题考查线面垂直的证明，考查线面平行的点的位置的确定与求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．19.答案：解：(1)设直线l的方程为y=x+m，则有√2=√3，得m=±√6…(3分)又切点Q在y轴的右侧，所以m=−√6，…(2分)所以直线l的方程为y=x−√6…(2分)证明：(2)因为△AOQ为直角三角形，所以|AQ|=√OA2−OQ2=√x12+y12−3又x124+y123=1得|AQ|=12x1…(2分)|AF|=√(x1−1)2+y12又x124+y123=1得|AF|=2−12x1…(2分)所以|AF|+|AQ|=2，同理可得|BF|+|BQ|=2…(2分)所以|AF|+|AQ|=|BF|+|BQ|…(1分)解析：(1)先设直线l的方程为y=x+m，利用点到直线的距离公式可求m，进而可求直线方程(2)由△AOQ为直角三角形，利用两点间的距离公式及勾股定理可求AQ，结合A在椭圆上可得A的坐标满足的方程，从而可用x1表示AQ，同理可得AF，利用椭圆的定义即可证明本题主要考查了点到直线的距离公式在求解直线方程中的应用，椭圆的定义的简单应用 20.答案：解：(1)由已知得：{2x −y −3=04x −3y −5=0，解得两直线交点为(2,1)，∵直线2x +3y +5=0的斜率为−23， ∴所求直线的斜率为32； 故所求直线的方程为y −1=32(x −2)，即3x −2y −4=0；(2))∵sinA +cosA =15①，∴两边平方得1+2sinAcosA =125，∴sinAcosA =−1225<0，又0<A <π，可知：sinA >0，cosA <0，∴sinA −cosA >0，∵(sinA −cosA)2=1−2sinAcosA =1+2425=4925，∴sinA −cosA =75②由①②可得sinA =45，cosA =−35，∴tanA =sinA cosA =−43．解析：(1)可求得两条直线2x −y −3=0和4x −3y −5=0的交点坐标与所求直线的斜率，利用直线的点斜式即可求得答案；(2)在△ABC 中，由sinA +cosA 的值，平方可由此求得sinA ⋅cosA 的值，由sinA ⋅cosA 的值，以及sin 2A +cos 2A =1可得cos A 和sin A 的值，从而求得tan A 的值．本题考查了直线方程问题，考查考查同角三角函数的基本关系，是一道基础题．21.答案：(1)； (2)．解析：解：(1)由题意可知道又在椭圆中：，椭圆方程为；(2)证明：设，若的斜率不存在，由题意可知分别是椭圆的长短轴的顶点，所以则若的斜率存在，不妨设为，则的方程为：，联立和椭圆方程得：(1)即，直线的斜率为，以代替(1)式子中的，得到于是综上可知：．【个人体验】本题考查了椭圆方程的求法，考查了直线与圆锥曲线的位置关系，考查了两点间距离公式，属于中档题22.答案：(Ⅰ)取AB的中点F，连接DF，EF，在直角梯形ABCD中，CD//AB，且AB=4，CD=2，所以BF//CD，且BF=CD，所以四边形BCDF为平行四边形，所以DF//BC，在△PAB中，PE=EA，AF=FB，所以EF//PB，又DF∩EF=F，PB∩BC=B，所以平面DEF//平面PBC．因为DE⊂平面DEF，所以DE//平面PBC；(Ⅱ)解：取AD的中点O，连接PO，在△PAD中，PA=PD=AD=2，所以PO⊥AD，PO=，又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，所以PO⊥平面ABCD，所以PO就是三棱锥P−ABC的高．在直角梯形ABCD中，CD//AB，且AB=4，AD=2，AB⊥AD，所以S△ABC=S△ABD=×AB×AD=×4×2=4．故V A−PBC=V P−ABC=×S△ABC×PO=×4×=．解析：(Ⅰ)证明：取AB的中点F，连接DF，EF，在直角梯形ABCD中，CD//AB，且AB=4，CD=2，所以BF//CD，且BF=CD．所以四边形BCDF为平行四边形，所以DF//BC，在△PAB中，PE=EA，AF=FB，所以EF//PB，又DF∩EF=F，PB∩BC=B，所以平面DEF//平面PBC，因为DE⊂平面DEF，所以DE//平面PBC；(Ⅱ)解：取AD的中点O，连接PO．在△PAD中，PA=PD=AD=2，所以PO⊥AD，PO=，又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，所以PO⊥平面ABCD，所以PO就是三棱锥P−ABC的高．在直角梯形ABCD中，CD//AB，且AB=4，AD=2，AB⊥AD，所以S△ABC=S△ABD=×AB×AD=×4×2=4．故V A−PBC=V P−ABC=×S△ABC×PO=×4×=．。